84-7786-514-0-completo

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INTRODUCCIÓN 
a la TOPOLOGÍA 
de los ESPACIOS 
MÉTRICOS
José Manuel Díaz Moreno
Seruicio de Publicaciones
Uniuersidad de Cádiz
José Manuel Díaz Moreno
INTRODUCCIÓN 
ALA 
TOPOLOGÍA 
DE LOS 
ESPACIOS MÉTRICOS
SERVICIO DE PUBLICACIONES 
UNIVERSIDAD DE CADIZ 
1998
Díaz Moreno, José Manuel
Introducción a la topología de los espacios métricos / José 
Manuel Díaz Moreno. — Cádiz : Universidad, Servicio de 
Publicaciones, 1998. — 200 p.
ISBN 84-7786-514-0
1. Espacios métricos. I. Universidad de Cádiz. Servicio de 
Publicaciones, ed. II. Título.
515.124
Edita: Servicio de Publicaciones de la Universidad de Cádiz
I.S.B.N.: 84-7786-514-0
Depósito Legal: CA-741/1998
Diseño Cubierta: CREASUR
Imprime: Jiménez-Mena, s.l.
Polígono Industrial Zona Franca. Cádiz
Printed in Spain
A mis amigos
Prólogo
Como estructura matemática abstracta, el concepto de espacio métrico 
fue introducido inicialmente por el matemático francés M. Fréchet en 
1906, y más tarde desarrollado por F. Hausdorff en su Mengenlehre. En 
parte, su importancia radica en que constituye una interesante generali­
zación de los espacios normados, cuya teoría fue básicamente desarrollada 
por Stephan Banach como cimiento del Análisis Funcional. El desarro­
llo posterior de las investigaciones sobre topología métrica ha puesto de 
manifiesto su extraordinario poder para unificar una amplia variedad de 
teorías hasta entonces dispersas y aparentemente independientes.
Actualmente, todas las obras de topología general dedican algún espacio 
al tratamiento de los espacios métricos, bien como caso particular de los 
espacios topológicos, bien como una manera natural de introducirlos. Sin 
embargo, la teoría de los espacios métricos es el fundamento indispensa­
ble para un estudio serio y riguroso del Análisis Matemático y puede 
presentarse en forma de una hermosa teoría acabada, muy asequible a la 
intuición geométrica y poco propensa a presentar fenómenos patológicos, 
muy al contrario de lo que ocurre con los espacios topológicos, raras veces 
al alcance de la intuición, llenos de sutilezas axiomáticas y de extraños 
fenómenos. Todo ello inclina a pensar que la teoría de espacios métricos 
merecería un estudio independiente; sin embargo, existe un sorprenden­
te vacío de obras dedicadas al desarrollo independiente de la topología 
métrica.
Este libro, que tiene su origen en los cursos que sobre la materia el autor 
explica en la Facultad de Ciencias de la Universidad de Cádiz, recoge los 
principales conocimientos que es necesario poseer para estar en condicio­
nes de seguir posteriormente un curso de Análisis Funcional elemental. 
El autor espera además que el lector perciba y disfrute de la belleza ma­
temática que los espacios métricos por sí mismos representan.
Los prerrequisitos para asimilar el contenido de este libro son pocos; des­
de un punto de vista formal, los únicos conocimientos previos que se 
presuponen son: familiaridad y destreza con las nociones elementales de 
la teoría de conjuntos, incluyendo lo relativo al principio de inducción y 
las nociones básicas sobre numerabilidad; y, muy especialmente, el cono­
cimiento del cuerpo de los números reales, particularmente en lo que se 
refiere al axioma del supremo y a los resultados básicos sobre valor abso­
luto y desigualdades. El capítulo 0 está dedicado a recordar las nociones 
que deberían conocerse antes de abordar el texto en sí. Finalmente, el 
último capítulo, requiere conocimientos elementales de álgebra lineal.
Con tales requisitos, la experiencia demuestra que el material del presente 
libro puede adoptarse como texto para un curso semestral de topología 
métrica destinado a estudiantes de Matemáticas o disciplinas afines.
Aunque sería deseable que el lector poseyera cierta madurez matemáti­
ca lograda después de haber perdido la inocencia matemática, predo­
mina en la obra la idea de introducir la estructura definición-teorema- 
demostración, característica de la matemática contemporánea, tan sua­
vemente como sea posible; además cada concepto nuevo se acompaña de 
motivaciones intuitivas, en un lenguaje llano y ordinario (en ocasiones 
con el riesgo que ello conlleva) y se ha procurado siempre destacar la 
significación y grado de trascendencia de los resultados.
i
Al final de cada capítulo se ofrece una numerosa colección de proble­
mas, pero se ha intentando no hacer uso de ellos como parte integral del 
desarrollo teórico; a lo más se cita alguno en calidad de contraejemplo. 
Sin embargo, no se debe interpretar que puede prescindirse de ellos; por 
el contrario, los problemas evidencian las posibilidades de la teoría, le 
confieren una mayor significación y apuntan hacia ramificaciones intere­
santes.
Algunos capítulos finalizan con un apéndice dedicado a los espacios de su­
cesiones y de funciones. Tales espacios métricos son complejos de analizar 
en un primer curso sobre topología métrica pero ofrecen contraejemplos 
no triviales sobre algunas cuestiones poco intuitivas. Es en este sentido, 
y sólo en este, por lo que se han añadido al texto.
El capítulo 1 introduce casi todos los conceptos básicos de la topología 
métrica en la recta real. Esto ayudará al lector a situar el contenido del 
libro y le familiarizará con las nociones más habituales en un contexto 
más asequible que la teoría general.
Todo el capítulo 2 sirve para que el lector comprenda que los axiomas que 
definen los espacios métricos (que desde el punto de vista estructuralista 
constituyen el inicio abstracto de la teoría) son el resultado de un largo 
proceso de abstracción y de trabajo científico sobre las nociones intuitivas 
de distancia.
Junto a la base axiomática de los espacios métricos, los capítulos 3 y 4 
tienen la tarea de introducir los elementos topológicos primigenios.
En los capítulos, 5,6,7 se tratan clases especiales de espacios métricos que 
son de importancia particular en las aplicaciones del Análisis Matemático; 
se habla respectivamente de las propiedades de conexión, compacidad y 
completitud, tres conceptos fundamentales y que constituyen junto al 
estudio de las aplicaciones continuas entre espacios métricos (capítulo 8), 
el núcleo central. Exigen, pues, un estudio cuidadoso porque deriva en 
una serie de teoremas fundamentales que constituyen los resultados más 
notables de la teoría.
Se finaliza, en el capítulo 9 con una introducción a los espacios normados 
en el que se ha tratado, fundamentalmente, de resaltar las especiales, 
y a veces sorprendentes, relaciones entre dos estructuras, la topológica 
y la algebraica, que, al menos en principio, aparecen como fuertemente 
independientes.
Estoy en deuda con el doctor don Francisco Benítez Trujillo, quien leyó 
y corrigió el manuscrito, haciendo muchas sugerencias siempre valiosas y 
útiles.
ii
índice General
O Introducción 1
0.1 Valor absoluto 1
0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo............................. 5
0.3 Intervalos.............................................................................. 8
0.4 Sucesiones.............................................................................. 10
0.5 Conjuntos numerables......................................................... 14
0.6 Problemas.............................................................................. 15
1 Topología usual de R 19
1.1 Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados........................... 19
1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto.................... 23
1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto....................... 25
1.4 Conjuntos densos.................................................................. 29
1.5 Conjuntos compactos............................................................ 30
1.6 Problemas............................................................................. 34
2 Espacios métricos 39
2.1 Distancias.................................................................... 39
2.2 Espacios y subespacios métricos.........................................42
2.3 Distancias entre conjuntos................................................... 45
2.4 Problemas............................................................................. 48
2.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 50
3 Topología de los espacios métricos 53
3.1 Conjuntos abiertos............................. 53
3.2 Conjuntos cerrados............................................ 58
3.3 Abiertos y cerrados en los subespacios............................. 61
3.4 Distancias equivalentes......................................................... 64
3.5 Problemas.............................................................................. 66
3.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 68
iii
4 Subconjuntos notables 71
4.1 Interior, exterior y frontera de un conjunto ...................... 71
4.2 Adherencia y acumulación de un conjunto.......................... 74
4.3 Subconjuntos densos............................................................. 79
4.4 Problemas............................................................................... 80
4.5 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 84
5 Conjuntos conexos 87
5.1 Conjuntos separados .......................................................... 87
5.2 Conjuntos conexos................................................................ 89
5.3 Componentes conexas.......................................................... 93
5.4 Conjuntos conexos en la recta real...................................... 95
5.5 Problemas............................................................................... 96
6 Conjuntos compactos 99
6.1 Conjuntos acotados y totalmente acotados......................... 99
6.2 Conjuntos totalmente acotados............................................. 103
6.3 Conjuntos compactos............................................................... 106
6.4 Propiedad de Bolzano-Weierstrass ....................................... 110
6.5 Problemas.................................................................................112
6.6 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 114
7 Sucesiones y espacios completos 117
7.1 Sucesiones.................................................................... 117
7.2 Subsucesiones........................................................................... 122
7.3 Sucesiones de Cauchy ............................................................ 124
7.4 Espacios y subespacios completos.......................................... 128
7.5 Algunos espacios completos importantes ...........................131
7.6 Conjuntos compactos en R"................................................... 133
7.7 Problemas................................................................................. 137
7.8 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 140
8 Aplicaciones continuas 145
8.1 Continuidad local..................................................................... 145
8.2 Continuidad global.................................................................. 152
8.3 Continuidad uniforme ............................................................ 158
8.4 Aplicaciones contractivas y teorema del punto fijo........... 161
8.5 Homeomorfismos e isometrías........................... 164
8.6 Problemas.................................................................................. 167
iv
9 Espacios normados 172
9.1 Espacios normados.................................................................. 172
9.2 Topología de los espacios normados........................................175
9.3 Normas equivalentes............................................................... 179
9.4 Aplicaciones lineales continuas ..............................................182
9.5 Espacios normados de dimensión finita................................. 185
9.6 Problemas................................................................................. 191
9.7 Apéndice. Espacios de funciones y espacios de sucesiones 193
Bibliografía 197
índice de términos 199
v
O Introducción
Este capitulo cero debe interpretarse como un breve recordatorio de al­
gunas propiedades de los números reales estrechamente relacionadas con 
los axiomas de cuerpo y orden que los define. Hemos tenido la necesi­
dad de reprimir tentaciones de desarrollar y ahondar en una variedad 
de cuestiones que conducen a resultados de gran trascendencia pero que 
están fuera de nuestras necesidades. Aunque se espera más bien que este 
capítulo sirva de soporte técnico al objeto principal de nuestro estudio, 
el lector debería poner un especial cuidado en comprender y dominar los 
conceptos y propiedades aquí expuestos porque serán usadas profusamen­
te a lo largo de este libro.
0.1 Valor absoluto
El hecho de que —a > 0 si a < 0 es la base de un concepto, el de valor 
absoluto, que va a desempeñar un papel sumamente importante en este 
curso.
Definición 0.1.1 Para todo número a 6 
|a| de a como sigue:
IR definimos el valor absoluto
a si a > 0
a si a < 0
Tenemos, por ejemplo,
I — 3| = 3, |7| = 7, |0| = 0,
|1 + y/i - 73| = 1 + 72 - 73, 
y
|i + 72 - 7ió| = Tío - 72 -1.
En general, el método más directo de atacar un problema referente a va­
lores absolutos requiere la consideración por separado de distintos casos. 
Por ejemplo, para demostrar que
|a + b| < |a| + |b|
deberían considerarse los cuatro casos posibles
(i) 
(ii) 
(iii) 
(iv)
a > 0
a > 0
a < 0
a < 0
y 
y 
y 
y
b > 0;
b < 0;
b > 0;
b < 0.
y
Aunque esta manera de tratar valores absolutos es a veces el único método 
disponible, con frecuencia se pueden emplear métodos más sencillos. Nó­
tese, por ejemplo, que |a| es siempre positivo excepto cuando a = 0 y, 
1
por tanto, es el mayor de los números a y —a; este hecho puede utilizarse 
para dar una definición alternativa,
|a| = máx{a, —a},
que permite probar de forma muy simple algunos resultados básicos.
Proposición 0.1.2 Para todo a 6 R se tiene
—|a| < a < |a|
Demostración
Puesto que |a| = máx {a, —a} se tiene que
|a| > a y |a| > —a, 
o bien, — |a| < a; así que —|a| < a < |a|.
Proposición 0.1.3 Para todo a,b 6 R se verifica 
-b<a<b si y sólo si |a| < b
Demostración
Se tiene que -b < a < b si y sólo si -b < a y a < &; es decir, si y sólo si 
b > a y b > —a.
Por tanto, — b < a < b si y sólo si
& > máx {a, —a} = |a|.
■
Los resultados anteriores pueden usarse ahora para demostrar ciertos 
hechos muy importantes relativos a valores absolutos.
Teorema 0.1.4 Para todo a,b ER se verifica
|a + 6| < |a| + |6|
Demostración
Puesto que
-|a| < a < |a| y - |&| < b < |&| 
se tiene, sumando,
-(|a| + |6|) <a + b< |a| + |&|
y, por la proposición anterior,
|a + 6| < |a| + |ó|
2
Teorema 0.1.5 Para todo a,b 6 R se verifica
|a| — |&| < ||a| — |&|| < [a — 6|.
Demostración s
La primera desigualdad es obvia. Veamos la segunda: se tiene
|a| = |a - b + &| < |a - &| + |&|;
por tanto, |a| —|M < l°~&l de forma análoga, |6| — |a| < |6—a| = |a — &|. 
Así que
|a- &| > máx{|a| - |6|, -(|a| - |6|)} = ||a| - |&||
■
Cuando identificamos R con la recta real de la manera habitual, el valor 
absoluto de un número |a| puede interpretarse como la distancia desde el 
origen al punto a. Por ejemplo | ± 5| = 5 significa que los puntos 5 y -5 
están a una distancia 5 del origen.
Más generalmente; el valor absoluto nos permite definir la distancia entre 
dos números reales cualesquiera, pero demoraremos esta cuestión hasta 
su momento adecuado.
La idea fundamental en que se basan en última instancia la mayor parte de 
las desigualdades que involucran a valores absolutos es, por el elemental 
que pueda parecer, el hecho de que a2 > 0 para todo numero real a. 
En particular se tiene para cualesquiera números reales x e y (¿cómo se 
deduce esto?)
2a?2/ < x2 + y2 (0.1)
lo que permite probar la primera, sin duda, de las desigualdades impor­
tantes: la desigualdad de Schwarz.
Teorema 0.1.6 (desigualdad de Schwarz)
Si a, y b{ son númerosreales para todo i = 1,... ,n, entonces
1/2
Demostración
Si ai = 0 o bt — 0 para todo i — 1,... ,n, la desigualdad es evidente. 
Supongamos, pues, que existe algún a¿ 0 y algún bi / 0 y pongamos 
P =
Sustituyendo ahora
3
en la desigualdad (0.1), se tiene
P 9 “ P2 92
(i = 1,... ,n)
de forma que
= 2
y, finalmente,
$2ii6* i < p?= 
i=l
1/2
La desigualdad de Schwarz es la base para demostrar otro hecho que 
tendrá una muy importante consecuencia en el capítulo 2 (en su momento, 
el lector intuirá inmediatamente donde).
Teorema 0.1.7 (desigualdad de Minkowski)
Si a¡ y b¡ son números reales para todo i = 1,..., n, entonces
Demostración
Puesto que
¿ |a¡ + M2 < 52 M2 + 2 ¿ la«M + ¿ IM2
•=1 i= 1 i=l i=l
se tiene, por la desigualdad de Schwarz,
y, por tanto,
4
0.2 Conjuntos acotados. Supremo e ínfimo
Definición 0.2.1 Se dice que un conjunto no vacío A c R está
1. acotado superiormente si existe un número x £ IR tal que
a < x para todo a £ A.
Tal número x se llama una cota superior de A.
2. acotado inferiormente si existe un número x GR tal que
x < a para todo a £ A.
Tal número x se llama una cota inferior de A.
3. acotado si está acotado superior e inferiormente.
Obsérvese que si x es una cota superior de A, entonces y > x es también 
una cota superior de A; por tanto, un conjunto acotado superiormente 
tiene, de hecho, una infinidad de cotas superiores. Del mismo modo, un 
conjunto acotado inferiormente tiene una infinidad de cotas inferiores.
Ejemplo 0.2.1
1. El conjunto
A = {x £ R : 0 < x < 1}
es un conjunto acotado. Para demostrar que A está acotado basta 
con exhibir alguna cota superior y alguna cota inferior de A, lo 
cual es bastante fácil: por ejemplo, 138 es una cota superior de A, e 
igualmente lo son 2, 3/2, 5/4 y 1; por otra parte, cualquier número 
real negativo es una cota inferior y también lo es 0. Evidentemente, 
1 es la cota superior mínima de A y 0 es la cota inferior máxima.
2. Sean a y b dos números reales tales que a < b. Los intervalos 
siguientes son todos acotados, siendo a una cota inferior y b una 
cota superior.
(a) {x G R : a < x < 6}
(b) {x £ R : a < x < 6}
(c) {x £ R : a < x < b}
(d) {x £ R : a < x < b}
3. Para cada a £ R los intervalos siguientes son conjuntos no acotados
(a) {x £ R : x < a}
(b) {x £ R : x > a}
(c) {x G R : x < a}
(d) {x G R : x > a}
4. El conjunto R de números reales y los números naturales N son 
ejemplos de conjuntos que no están acotados superiormente.
•
Sea A C R un conjunto no vacío y acotado y supongamos que existe 
una cota superior mínima x; es decir, si z es otra cota superior, entonces
5
x es menor o igual que z. Es evidente que si x ,e y son ambos cotas 
superiores mínimas de A, entonces x < y e y < x (¿por qué?) y, por 
tanto, x = y, de forma que no puede haber dos cotas superiores mínimas 
distintas. Análogamente, si existe una cota inferior máxima de A, esta 
debe ser única. Son estas consideraciones las que motivan las definiciones 
siguientes.
Definición 0.2.2 Dado un conjunto no vacío A C R,
1. Se dice que un número x E R es el supremo de A y se escribe 
x = sup A si verifica
(a) x es una cota superior de A; y
(b) si y es una cota superior de A, entonces x < y.
2. Se dice que un número x € R es el ínfimo de A y se escribe x = inf A 
si verifica
(a) x es una cota inferior de A; y
(b) si y es una cota inferior de A, entonces y < x.
Nótese que si existe un x € A tal que a < x para todo a G A, entonces 
x es el supremo de A y, análogamente, si x < a para todo a 6 A, x es el 
ínfimo de A. En general, cuando el sup A € A se le suele llamar máximo 
y se escribe máx A y, de forma análoga, cuando inf A G A se le suele 
llamar mínimo y se escribe mín A.
Ejemplo 0.2.2
1. Sean a y b dos números reales tales que a < 6 y
A = {x £ R : a < x < 6);
se tiene entonces
inf A — a y sup A = b.
En efecto, a es, evidentemente, una cota inferior de A. Veamos que 
si c > a entonces no es cota inferior: si c > b > a, la cuestión es 
evidente y si a < c < b, se tiene que x = (a+c)/2 verifica a < x < c 
y x e A, así que c no es cota inferior de A. Por tanto a = inf A. 
De forma análoga se demuestra que b = sup A.
2. Si a, b, x G R con a < b y
A — {x : a < x < b}, B = {x : a < x < b}, C = {x : a < x < b}
se tiene
inf A = inf B = inf C = a
y
sup A = sup B = sup C = b.
Hemos omitido hasta aquí un detalle: la cuestión de cuáles son los conjun­
tos que tienen ínfimo o supremo. Consideremos el problema del supremo 
(las cuestiones relativas al ínfimo se resuelven con facilidad por analogía). 
Es evidente que si A no está acotado superiormente, entonces A no tiene
6
ninguna cota superior, de modo que no puede tener supremo. Recípro­
camente, se tiene la tentación de afirmar que siempre que A tiene alguna 
cota superior, tiene supremo. Aunque no daremos una demostración for­
mal aquí, nuestra intuición es correcta y el aserto es verdadero, y por 
cierto muy importante; tan importante que vale la pena enunciarlo con 
detalle.
Teorema 0.2.3
1. Si A C R es un conjunto no vacío y acotado superiormente, enton­
ces tiene supremo.
2. Si A C R es un conjunto no vacío y acotado inferiormente entonces 
tiene ínfimo.
Aunque los conjuntos no acotados superiormente no tienen supremo y, 
por tanto, la notación sup A carece de sentido, a veces, por conveniencia, 
escribiremos sup A = oo. De forma análoga, para el ínfimo pondremos 
inf A = -oo.
Es posible que esta propiedad, cuya demostración omitimos, llame la 
atención del lector por su falta de originalidad, pero esta es, precisamente, 
una de sus virtudes. La propiedad del supremo no es, en realidad, tan 
inocente como parece; después de todo no se cumple para los números 
racionales Q (véase el problema 12). De hecho, la propiedad del supremo 
caracteriza, en cierto modo, a los números reales.
Ejemplo 0.2.3
Dado
A = {1/n : n € N}
se tiene inf A = 0.
En efecto, puesto que 0 < n para todo n € N, se tiene 0 < 1/n, así que 0 
es una cota inferior de A y, por tanto, A tiene ínfimo.
Pongamos a = inf A, con a > 0; entonces se verifica que a < 1/n para 
todo n E N. En particular, también será
1 a < — 2n
y, por tanto, 2a < 1/n así que 2a es también una cota inferior y debe 
verificar 2a < a, de donde a < 0. Luego, a = 0.
Nótese que esto significa que para todo £ > 0 existe un número natural 
n con 1/n < e, un hecho que será utilizado frecuentemente en este curso.
•
Al comienzo de este capítulo se ofreció el conjunto N de los números na­
turales como ejemplo de conjunto no acotado. Ahora vamos a demostrar 
que N es no acotado. El lector puede quedar sorprendido de encontrarse 
con un teorema tan evidente. Si esto es así, quizá la causa sea el que 
se haya dejado influir demasiado fuertemente por la imagen geométrica 
de R. Sin embargo, un raciocinio basado sobre una imagen geométrica 
no constituye una demostración. La propiedad de que N no es acotado 
recibe el nombre de propiedad arquimediana de los números reales porque 
se deduce de un axioma de la geometría que se suele atribuir (no con 
absoluta justicia) a Arquímides.
7
Teorema 0.2.4 N no está acotado superiormente.
Demostración
Supongamos que N estuviese acotado superiormente. Puesto que N 0 0, 
existiría una cota superior mínima a para N. Entonces
a > n para todo n G N.
En consecuencia,
a > n + 1 para todo n G N,
puesto que n + 1 está en N si n está en N. Pero esto significa que
a — 1 > n para todo n G N,
así que a - 1 es también una cota superior de N, en contradicción con el 
hecho de que a es la cota superior mínima.
El que R sea arquimediano es la base de un resultado extraordinariamente 
poderoso que enunciamos aquí porque haremos uso de ella frecuentemen­
te.
Teorema 0.2.5 Si x,y son números reales tales que x < y, entonces 
existe un número racional r tal que x < r < y y un número irracional p 
tal que x < p <y.
Entre otras consecuencias, el resultado anterior significa que en cada in­
tervalo abierto (a, 6) hay, al menos, un número racional. Esta propiedad 
es tan importante,que recibe un nombre específico: decimos que Q es 
denso en R, un concepto que proviene de la topología y que será precisado 
en su momento.
0.3 Intervalos
Hay nueve tipos de subconjuntos de R llamados intervalos que tienen un 
papel relevante en el análisis de las funciones reales y conviene, por tanto, 
familiarizarse con ellos.
Los cuatro primeros son conjuntos acotados y pueden visualizarse como 
segmentos de la recta real (figura 0.1 (a)).
Sean a y & dos números reales tales que a < b. Se llama intervalo abierto 
de extremos a y b y se designa por (a, b) al conjunto de los números reales 
estrictamente comprendidos entre a y b:
(a, b) = {a; G R : a < x < &}
Los intervalos semiabiertos (o semicerrados) de extremos a y & se definen 
de la forma
(a, b] = {x G R : a < x < b} y [a, b) = {x G R : a < x < b}
8
Se llama intervalo cerrado de extremos a y b y se designa por [a, b] al 
conjunto de números reales
[a, b] = {a: € IR : a < x < 6}.
Además, para cada a £ R hay cuatro semirrectas
(—00, a) = {z E R : x < a} 
(a, oo) = {z € R : x > a}
(—00, a] = {z E R : x < a} 
[a, oo) = {z £ R : x > a}
representadas gráficamente en la figura 0.1 (b).
Finalmente, (figura 0.1 (c)) R en sí mismo puede ser entendido como el 
intervalo (extendido indefinidamente en ambas direcciones)
(—oo, oo) = R
Figura 0.1: Intervalos
(a)
(b)
»----------------------o (—oo, a)
-------------------------• (—oo, a]
(a, oo) o---------------------
[a, oo) • »
--------------------------------------------------1--------------------------------------------------
a
(c)
O
Todos los intervalos se caracterizan por una propiedad simple llamada 
propiedad de convexidad.
Teorema 0.3.1 Sea A C R un conjunto no vacío. Las siguientes afir­
maciones son equivalentes:
1. A es un intervalo.
2. Para todo x,y € A, el intervalo [z,y] está contenido en A.
9
Demostración
Que (1) implica (2) es evidente. Para ver el recíproco ponemos
a = inf A y b = sup A
(Nótese que permitimos que a y b puedan ser, respectivamente, —oo o 
+oo si A no está acotado inferior o superiormente).
Entonces, para cada z 6 (a, b), existen x, y € A tal que x < z < y (¿por 
qué?) y, como por hipótesis, [a:, y] C A se tiene (a, 6) C A. Puesto que 
a = inf A y b = sup A, A es uno de los intervalos con extremos a y b.
0.4 Sucesiones
El concepto de sucesión es tan natural que incluso aparentemente se puede 
prescindir de una definición formal. No es difícil, sin embargo, formular 
una definición rigurosa; lo importante acerca de una sucesión es que para 
todo número natural n existe un número real an y es precisamente esta 
idea lo que se formaliza en la definición siguiente.
Definición 0.4.1 Una sucesión de números reales es una aplicación
a : N —> IR
Desde el punto de vista de la definición, los valores particulares de la 
sucesión a deberían designarse mediante
a(l), a(2), a(3), ...
pero la notación con subíndices
01, , 02, 03, .
es la que se usa casi siempre; la sucesión misma se suele designar como 
(o„).
Cuando el rango de una sucesión a es un conjunto acotado superiormente 
(inferiormente), es decir, existe un número M tal que an < M (an > 
M) para todo n, decimos que a es una sucesión acotada superiormente 
(inferiormente).
Una sucesión acotada inferiormente, pero no superiormente es la sucesión 
(on) definida por
Gn =
mientras que las sucesiones (bn) y (c„) definidas por
bn = (-1)", cn = 1 
n
son acotadas superior e inferiormente.
Una representación muy conveniente de una sucesión se obtiene marcando 
los puntos ai, a2, as,... sobre una recta como en la figura 0.2.
Este tipo de gráfica indica hacia donde va la sucesión. La sucesión (an) 
va hacia el infinito, la sucesión (bn) salta entre -1 y 1, y la sucesión (cn)
10
Figura 0.2: Sucesiones
0 O] 02 03 04 05
&5 — 63 — bi O 62 — bt = be
O c5 C3 C2 C1
converge hacia 0. De las tres frases resaltadas, la última constituye el 
concepto crucial asociado con las sucesiones, y será definido con precisión 
(la definición se ilustra en la figura 0.3).
Definición 0.4.2 Una sucesión (an) converge hacia l,
lím an = l, n->oo
si para todo e > 0 existe un número natural no tal que
|on — Z| < e siempre que n > no
Además de la terminología introducida en esta definición,decimos a veces 
que la sucesión (an) tiende hacia l o que tiene el límite l. Se dice que una 
sucesión (an) converge si converge hacia l para algún l.
Para demostrar que la sucesión (cn) converge hacia 0, basta observar lo 
siguiente. Si e > 0, existe un número natural no tal que
1
— < e.no
Entonces, si n > no tenemos
1 
n no
y, por tanto,
|cn - 0| < e.
Sin embargo, es generalmente muy difícil determinar el límite de una 
sucesión, (o probar que cierto número real lo es) partiendo únicamente
Figura 0.3: Límite de una sucesión_________
ano+l
—I---------- ———। ------ •- -I
l — £ Ono+3 l “no+2 l + £ 
11
de la definición; por eso es importante, disponer de algunos criterios que 
garanticen la convergencia de sucesiones. El primer criterio, muy fácil de 
demostrar, pero que constituye la base para todos los demás resultados, 
se expresa en términos de crecimiento.
Diremos que una sucesión (an) es creciente cuando a„+i > an para todo 
n; y no decreciente si an+i > an para todo n; existen definiciones análogas 
para sucesiones decrecientes y no crecientes.
Teorema 0.4.3 Si (a„) es una sucesión no decreciente y acotada supe­
riormente, entonces (an) converge.
Demostración
Puesto que (an) es acotada superiormente, pongamos
a = sup{an : n e N};
y veamos que límn_»oo «n = a.
En efecto, puesto que a es el supremo del conjunto {a„ : n € N), si e > 0, 
existe algún ant¡ que satisface
a - «n0 < e.
Entonces, si n > no tenemos que an > ana, de modo que
o an < o ano <c e.
Esto demuestra que lím^oc = a.
Un enunciado análogo se tiene si (an) es no creciente y acotada inferior- 
mente.
La hipótesis de que (an) está acotada superiormente es claramente esen­
cial en el teorema anterior; si (an) no está acotada superiormente, en­
tonces (tanto si es no decreciente como si no lo es) diverge. Con esta 
consideración podría parecer que no debería existir dificultad alguna en 
decidir si una sucesión no decreciente está o no acotada superiormente, 
y en consecuencia si converge o no. De momento puede el lector inten­
tar decidir si la siguiente (evidentemente creciente) sucesión está o no 
acotada superiormente:
111 111
2’1 + 2 + 3’1 + 2 + 3 + 4’' •'
Aunque el teorema 0.4.3 trata solamente un caso muy particular de su­
cesiones, resulta más útil de lo que a primera vista pueda parecer, puesto 
que es siempre posible extraer de cualquier sucesión (an) otra sucesión 
que es, o bien no creciente, o bien no decreciente. Hablando sin precisión, 
definamos una subsucesión de una sucesión (an) como una sucesión de la 
forma
«ni i «nai «ns> ■ ■ ■
donde los ni son números naturales con
«i < n2 < n3 < • • •
12
Entonces toda sucesión contiene una subsucesión que es o bien no decre­
ciente o bien no creciente (problema 22)
Proposición 0.4.4 Cualquier sucesión (an) contiene una subsucesión 
que es o bien no decreciente o bien no creciente.
Este hecho, de por sí ya relevante, es además el núcleo de un resultado 
aparentemente sorprendente, pero de inmediata comprobación.
Teorema 0.4.5 (de Bolzano-Weierstrass).
Toda sucesión acotada tiene una subsucesión convergente.
Hasta aquí es donde podemos llegar sin suposiciones adicionales: es fácil 
construir sucesiones que tengan muchas, incluso infinitas, subsucesiones 
que converjan hacia números distintos (véase el problema 21). Existe 
otra suposición razonable que, al añadirla, ofrece una condición necesaria 
y suficiente para la convergencia de cualquier sucesión; una condición 
que, además de simplificar muchas demostraciones (sólo por esta razón 
ya vale la pena que la establezcamos) desempeña un papel fundamental 
en el análisis.
Si una sucesión converge, de modo que sus términos eventualmente se 
aproximan todos a un mismo número, entonces la diferencia entre dos 
cualesquierade tales términos debe ser muy pequeña. Para ser precisos, 
si límn_>oo = l para algún valor l, entonces, por definición, para cualquier 
e > 0, existe no tal que |an - l\ < e/2 para n > no; ahora bien, si es a la 
vez n > no y m > n0, entonces
¡Un ^ml < |&n 1| d" P ®m| < 2 2 =
Esta desigualdad final, |an — am| < e, que elimina la mención al límite 
l, puede utilizarse para formular una condición (la condición de Cauchy) 
que es claramente necesaria para la convergencia de una sucesión.
Definición 0.4.6 Una sucesión (an) es una sucesión de Cauchy si para 
todo e > 0 existe un número natural no tal que
|an — am| < c, siempre que n,m>n0
La elegancia de la condición de Cauchy está en que es también suficiente 
para asegurar la convergencia de una sucesión. Después de todo nuestro 
trabajo preliminar, queda poco por hacer para terminar la demostración. 
Hemos visto ya que (an) es una sucesión de Cauchy si converge. La idea 
fundamental para ver el recíproco consiste en probar que toda sucesión de 
Cauchy está acotada y que, por tanto, posee una subsucesión convergente 
para, finalmente, demostrar que si una sucesión de Cauchy (an) tiene una 
subsucesión convergente entonces (an) también converge (problema 23).
Teorema 0.4.7 Una sucesión (an) converge si y sólo si es una sucesión 
de Cauchy.
13
0.5 Conjuntos numerables
La noción de conjunto numerable es, es realidad, muy natural. Se trata 
de extender a infinito la posibilidad de contar. La definición matemática 
adecuada es la siguiente.
Definición 0.5.1 Un conjunto A es numerable si existe una aplicación 
sobreyectiva
f.X->A
Inmediatamente se aprecia que la definición anterior lleva implícita una 
interpretación ligeramente diferente pero extremadamente importante: 
el conjunto A es numerable si es posible disponer sus elementos en una 
sucesión
01, 02, 03,...
El primer ejemplo inmediato de conjunto numerable es lógicamente N; 
evidentemente también es numerable cualquier conjunto finito o el con­
junto de los números pares. Algo más sorprendente es comprobar que Z 
es también numerable, pero ver es creer
0, -1, 1, —2, 2, ...
Los resultados siguientes muestran que hay muchos más conjuntos nume­
rables de lo que se pueda suponer.
Teorema 0.5.2
1. Cualquier subconjunto de un conjunto numerable es numerable.
2. La unión de dos conjuntos numerables es numerable.
La demostración de estas propiedades es sencilla y se deja al lector. (La 
primera es inmediata, para la segunda apliqúese el mismo artificio que 
dio resultado para Z).
El conjunto de los números racionales positivos es también numerable; 
para demostrarlo, basta utilizar la siguiente descripción
Naturalmente, de forma similar, el conjunto de los números racionales 
negativos también es numerable y, por tanto, deducir que Q es numerable 
(esto es sí que es verdaderamente sorprendente) es ahora una trivialidad.
Puesto que existen tantos conjuntos numerables, es importante observar 
que, por ejemplo, el conjunto de los números reales comprendidos entre 
Oy 1 no es numerable (problema 25). En otras palabras, no es posible 
disponer todos estos números reales según una sucesión
Ol, 02, 03, ...
14
0.6 Problemas
1. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes utili­
zando como mínimo una vez menos el signo de valor absoluto.
(a) |72 + 73- 75 + 77|.
(b) |(|a + 6|-W-|5|)l-
(c) |(|a + &| + |c| - |a + b + c|)|.
(d) |r2 - 2xy + y21.
(e) 1(172 + 731-|75-T7|)|.
2. Dése una expresión equivalente de cada una de las siguientes pres­
cindiendo de los signos de valor absoluto, tratando por separado 
distintos casos cuando sea necesario.
(a) |a + 6|-|fe|.
(b) |(|*| - 1)1-
(c) |*| - l*2|-
(d) a - |(a- |a|)|.
3. Encontrar todos los números x para los que se cumple
(a) |x - 3| = 8.
(b) - 3| < 8.
(c) |z + 4| < 2.
(d) |x - 1| + - 2| > 1.
(e) |a: - 1| + |a: + 1| < 2.
(f) - 1| + |r + 1| < 1.
(g) |z - 1||*+ 1| = 0.
(h) - 1||* + 2| = 3.
4. (a) Dar una nueva demostración |a + 6| < |a| + |6| mediante un 
análisis exhaustivo de todos los casos posibles. ¿Cuándo se 
verifica |a + í>| = |a| + |6| y cuándo |a + b| < |a| + 16|?.
(b) Dése otra demostración más corta partiendo del hecho de que
7a2 = |a|
(¡ojo! no a).
5. Demostrar lo siguiente:
igualdad).
(a) |;rj/| = M|í/|.
(b)
1
X
_ _1_
” 1*1
, si x 0 0.
(c) *1|y|
— x 
” y , si y / 0.
(d) X -y| < |x| + |¡/|. (Dése un demostración muy corta).
(e) X + y + z| < 1*1 + l?/l + |*|- (Indíquese cuándo se cumple la
15
6. Demostrar que
, r i x + y + I?/ - x| máx {x, y } = -------- - --------
x + y - |y - x|
mín{x,j/} = - ~2'*------L
7. Demostrar que si
I» - ®o| < | y \y - S/ol < |
entonces
|(z + 3/) - (xo +yo)l < e,
|(x - y) - (x0 - yo)| <£
El enunciado de este problema encierra algunos números extraños, 
pero su mensaje básico es muy sencillo: si x está suficientemente 
cerca de xo e y está suficientemente cerca de yo, entonces x + y está 
cerca de xo + yo, y x — y está cerca de xo — yo-
8. Hallar la cota superior mínima y la cota inferior máxima (si existen) 
de los siguientes conjuntos. Decidir también qué conjuntos tienen 
elemento máximo o elemento mínimo.
(a) / i : n € N1
(n )
(b) M:n€Z,n/ol
[ n J
(c) {x : x = 0 o x=l/n,ngN}
(d) {x G Q : 0 < x <
(e) {x : x2 + x + 1 > 0}
(f) {x : x2 + x - 1 < 0}
(g) {x : x < 0 y x2 + x — 1 < 0}
. (h) / i + (-1)” : n € 
(n J
9. Sea A c K un conjunto no vacío. Probar que A es acotado si y 
sólo si existe un número real positivo K tal que |x| < K para todo 
x 6 A.
10. Supongamos que A y B son dos conjuntos no vacíos de números 
reales tales que x < y para todos x G A, y G B.
(a) Demostrar que sup A < y para todo y G B.
(b) Demostrar que sup A < inf B.
11. Sean A C B conjuntos no vacíos y acotados superior e inferiormente 
de números reales. Probar que
inf(B) < inf(A) < sup(A) < sup(B)
12. Probar que en el conjunto Q de los números racionales, el conjunto
A = {a G Q : a > 0, a2 < 2}
es no vacío y está acotado superiormente, pero no tiene supremo.
16
13. Use la propiedad arquimediana para demostrar de otra forma que 
para todo e > 0 existe un número natural n con 1/n < e.
14. Sea A C K no vacío y acotado superiormente, y sea c un número 
real. Demostrar que c < sup(A), si y sólo si para cada £ > 0 real, 
existe x e A tal que c — £ < x.
15. Probar que si A es acotado y para todo x, y e A, el intervalo [x, y] 
está contenido en A, entonces
(a, b) C A C [a, 6]
con a = inf A y b = sup A.
Este problema puede ayudar a comprender la demostración del teo­
rema 0.3.1.
16. Probar que un conjunto A es acotado si y sólo si existe un intervalo 
(a, 6) que lo contiene.
17. (a) Demostrar que si I y J son intervalos en IR tales que Ir\J / 0, 
entonces I U J es un intervalo.
(b) Si I y J son intervalos tales que ZU J es un intervalo, entonces 
I n J / 0. ¿Verdadero o falso? (expliqúese).
¿Y si son intervalos abiertos? ¿Y si son intervalos cerrados?.
18. Hallar
oo
(a) Q [n, +oo)
n=l
oo
(b) Q (-1/n, 1/n)
n=l
19. ¿Verdadero o falso? (expliqúese en cada caso)
OO
(a) |J [0,1-1/n] = [0,1]
n=l
oo
(b) Q(a-l/n,6 + l/n) = [a,i]
n=l
20. Sea 5 una familia de intervalos tales que para cada par de intervalos 
I, J de S, existe K € S tal que IU J C K. Probar que la unión de 
todos los intervalos de S, es un intervalo.
21. (a) Hallar todas las sucesiones convergentes de la sucesión
1, -1, 1, -1, 1, -1, ...
(Existen infinidad de ellas, pero sólo hay dos límites que estas 
subsucesiones pueden tener).
(b) Hallar todas las subsucesiones convergentes de la sucesión
1, 2, 1, 2,-3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, ...
(c) Considérese la sucesión
1 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1
2’ 3’ 3’ 4’ 4’ 4’ 5’ 5’ 5’ 5’ 6’
¿Para qué números a existe una subsucesión que converge ha­
cia a?.
17
22. Probar que cualquier sucesión contiene una subsucesión que es o 
bien no decreciente o bien no creciente.
(Es muy posible confundirse al tratar de demostrar esta afirmación, 
si bien la demostración es muy corta cuando se acierta con la idea 
adecuada).
23. (a) Demostrar que si una subsucesiónde una sucesión de Cauchy 
converge, entonces también converge la sucesión original.
(b) Demostrar que cualquier subsucesión de una sucesión conver­
gente es convergente.
24. Probar que si Ai, A¡, A3,... son todos numerables, entonces
Ay n a% n A3 a • ■ •
es también numerable.
(Utilizar el mismo artificio que para QJ
25. Probar que el conjunto de los números reales comprendidos entre 0 
y 1 no es numerable.
(Utilícese un desarrollo decimal y reducción al absurdo)
18
1 Topología usual de R
En este capítulo construiremos sobre IR una estructura topológica que, 
fundamentalmente, se basa en la idea de proximidad; una idea que sub­
yace en los conceptos habituales del análisis. Las propiedades topológicas 
nacen, al menos en principio, para dar una forma precisa a tales concep­
tos.
1.1 Conjuntos abiertos y conjuntos cerrados
Desde el punto de vista del análisis, los subconjuntos más importantes 
de IR son, sin duda, los intervalos. Sin embargo, entre ellos hay ciertas 
diferencias, algunas importantes y otras no (dependiendo, en parte, del 
contexto).
Por ejemplo, la diferencia entre (0,1) y (0,5) es únicamente de escala; las 
desigualdades que los definen son las mismas.
Por otra parte, los intervalos (0,1) y (0, +oc) son de tipos diferentes: uno 
está acotado y el otro no; incluso así, aún presentan ciertas semejanzas 
-de hecho, es posible transformar el primero en el segundo-.
En contraste, los intervalos I = (0,1) y J = [0,1] tienen propiedades 
muy diferentes; el punto crucial es el hecho de que los puntos extremos 
0 y 1 pueden ser aproximados tanto como se quiera mediante puntos de 
I, pero ellos mismos no son puntos de I. Más precisamente, a pesar de 
que 0 y 1 no son puntos de I, son límite de sucesiones convergentes cuyos 
términos sí están en I. Por el contrario, si una sucesión convergente tiene 
sus términos en J entonces su límite también debe estar en J.
Esta importante propiedad caracteriza no solamente a los intervalos sino 
también a otra clase mucho más amplia de subconjuntos de R. Pero 
precisar esta idea necesita de ciertas definiciones previas.
Definición 1.1.1 Dado un número real x, se llama entorno de x de radio 
r > 0 al conjunto
E(x; r) = {y : - y | < r} = (x — r, x + r)
En lo que sigue, cuando no sea necesario especificar el radio del entorno, 
designaremos cualquier entorno de x mediante E{x) y llamaremos entorno 
reducido del punto x al conjunto
E*(x) = E(x) \ {x}.
Así pues, un entorno reducido de x es un entorno de x del que se ha 
suprimido el punto x.
Es evidente que la intersección de un número finito de entornos de x es 
también un entorno de x: la intersección
E(x;ri) n E(x;f2) O ... D E(x- rn) 
19
es el entorno E(x-,r) donde r = mín {ri, r2,..., rn }; es importante obser­
var, sin embargo, que esto no ocurre, en general, para un número infinito 
de entornos (¿puede el lector encontrar un contraejemplo?).
También está claro que si x e y son dos números reales distintos, existen 
un entorno de a: y otro de y disjuntos: basta considerar los entornos 
E^x;^ y E(y,r) con r = - j/|/2.
Sea ahora x un punto cualquiera del intervalo (a, b); si tomamos
r = mín {|z — a|, |x - b|},
entonces se tiene
E{x,r) = (x — r,x + r) C (a,bfi
en otras palabras, no sólamente x está en (a, b), sino que -informalmente- 
todos los puntos cercanos a x están en (a, b); nótese que esto no pasa, por 
ejemplo, para algunos puntos de (a, b]. Precisemos esta idea.
Definición 1.1.2 Un conjunto A C R es un conjunto abierto si para 
cada x € A existe un entorno E(x) contenido en A.
Ejemplo 1.1.1
1. Los intervalos (a, b), (—oo, a) y (a, oo) son evidentemente conjuntos 
abiertos. En particular, todo entorno es un conjunto abierto.
2. Un intervalo cerrado [a,b] no es un conjunto abierto pues, por 
ejemplo, todo entorno de a contiene puntos que no están en [a, b], 
(¿cuáles?).
3. Ningún conjunto no vacío finito o numerable es abierto, pues todo 
abierto contiene intervalos abiertos que son infinitos no numerables. 
En particular, Z, Q y cualquier sucesión (an) de números reales no 
son conjuntos abiertos.
En el resultado siguiente se expresan las primeras propiedades de los 
conjuntos abiertos.
Teorema 1.1.3 Se verifican las siguientes propiedades:
1. 0 y R son abiertos.
2. La unión de cualquier colección de conjuntos abiertos es un conjunto 
abierto.
S. La intersección de cualquier colección finita de conjuntos abiertos 
es un conjunto abierto.
Demostración
Si x € R, cualquier entorno E(x) está contenido en R; por tanto R es 
abierto. Por otra parte, 0 es, trivialmente, abierto (¿para qué punto no 
existe un entorno contenido en él?). Veamos 2 y 3.
20
Sea A la unión de una colección arbitraria {Aí}í^¡ de conjuntos abiertos 
y sea x € A. Existirá un i tal que x 6 A, y como Ai es abierto, existirá 
un entorno E(x) contenido en Ai. Entonces E(x) C A y A es abierto.
Sea B la intersección de una colección finita B\, B2,... Bn de conjuntos 
abiertos y sea x € B. Entonces x G Bi para i = 1,2, ...,n y como 
cada Bi es abierto existirán n entornos Ei(x) C Bi. La intersección de 
los Ei(x) es un entorno de x contenido en B y B es, pues, un conjunto 
abierto.
■
Sin embargo, la intersección de una colección no finita de conjuntos abier­
tos puede no ser un conjunto abierto como prueba el siguiente ejemplo.
Ejemplo 1.1.2
1. Paracadan G Nsea An = (-l/n,l/n). La intersección de todos los 
abiertos An es el conjunto {0} que no es abierto pues todo entorno 
de 0 contiene puntos distintos de 0.
2. Más generalmente, sea An = (a-l/n,b+l/n). Si x G [a, b] entonces 
x G An para todo n, y x pertenece a la intersección de todos los 
An; por otra parte, si x £ [a, b], existe n suficientemente grande tal 
que x G An y, por tanto, x no pertenece a la intersección de todos 
los An.
Resumiendo
oo 
Q An = [a, b] 
n=l
que no es un conjunto abierto.
A la familia T formada por todos los conjuntos abiertos de R le llama­
remos topología usual de R. Por simplicidad, en lo que resta de capítulo, 
cuando hablemos de R lo supondremos siempre dotado de la topología 
T.
Como cabría esperar, la relación entre los conjuntos abiertos y los inter­
valos abiertos es muy estrecha. El resultado siguiente, de importantes 
consecuencias, pone de manifiesto la estructura interna de los conjuntos 
abiertos, su estructura intrínseca.
Teorema 1.1.4 Un conjunto no vacío A C R es abierto si y sólo si es 
unión de una colección numerable de intervalos abiertos disjuntos.
Demostración
Como A es abierto, para cada x G A existe un intervalo {y, z) que contiene 
a x y está contenido en A. Sean
a = inf{y G R : (y, x) C A} y b = sup{z G R : (x, z) C A}
(obsérvese que permitimos que muy bien pudiera ser a = —oo o b = oo).
Entonces a < x < b y, por tanto, Ix = (a, b) es un intervalo abierto que 
contiene a x.
21
1
Veamos que además, Ix C A. En efecto, si t e Ix, o bien es a < t < x, en 
cuyo caso existe un y < i tal que (y, x) C A, o es x < t < b, en cuyo caso 
existe un z > t tal que (x, z) C A, luego en todo caso t e A.
Por otra parte, a £ A pues, en caso contrario, por ser A abierto, existiría 
r > 0 tal que el intervalo (a—r, a) estaría contenido en A y esto contradice 
la definición de a. Análogamente se prueba que b & A.
Consideramos la colección de intervalos abiertos {Zz : x 6 A}. Como 
cada x 6 A está contenido en Ix y todo Ix está contenido en A, se tiene
x€A
y, por tanto A es unión de intervalos abiertos.
Por otra parte, si dos de los intervalos (a, b) y (c, d) de esta colección 
tienen un punto común, deben ser c < b y a < d. Como c no está en A, 
tampoco está en (a, b) y es c < a y como a no está en A tampoco está 
en (c, d) y es a < c. Por tanto a = c. De manera análoga se prueba que 
b = d. Por consiguiente, dos intervalos distintos de la colección {Z^.} son 
disjuntos y A es unión de intervalos disjuntos.
Finalmente, como cada uno de los intervalos abiertos Ix contiene un 
número raciona, puede definirse una aplicación biyectiva entre la colec­
ción {Zz } y un subconjunto denúmeros racionales que, naturalmente, es 
numerable, luego la colección {Zz} es numerable.
El recíproco es evidente, puesto que los intervalos abiertos son conjuntos 
abiertos y la unión de abiertos es un conjunto abierto.
Consideremos ahora otros subconjuntos de R que, en cierto sentido, po­
seen propiedades complementarias de los abiertos.
Definición 1.1.5 Un conjunto C C R es un conjunto cerrado si su com­
plementario R \ C es abierto.
Los conjuntos cerrados tienen, en realidad, una caracterización muy suge- 
rente, que aún no estamos en condiciones de demostrar, pero que conviene 
tenerla en mente -ya hemos aludido a ella previamente-. En R, un con­
junto C es cerrado si y sólo si cualquier sucesión convergente de elementos 
de C tiene su límite en C.
Ejemplo 1.1.3
1. Todo intervalo cerrado [a, &] es un conjunto cerrado pues su comple­
mentario es abierto por ser la unión de los dos conjuntos abiertos
(—oo, a) y (b, +oo).
2. Todo intervalo de la forma [a, oo) es cerrado pues su complementario 
es el conjunto abierto (—oo,a); análogamente, (—oo,a] es cerrado 
pues su complementario es el conjunto abierto (a, oo).
3. {a} es cerrado, pues su complementario es (—oo,a) U (a, oo) que es 
un conjunto abierto por ser unión de abiertos.
22
Antes de alargar la lista de ejemplos, veamos las propiedades básicas que 
resultan inmediatamente -la demostración se deja al lector- de las leyes 
de De Morgan y las propiedades de los abiertos.
Teorema 1.1.6 Se verifican las propiedades siguientes:
1. 0 y R son cerrados.
2. La unión de cualquier colección finita de conjuntos cerrados es un 
cerrado.
3. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados es un 
conjunto cerrado.
En este punto parecen convenientes algunas palabras de precaución: en 
nuestro quehacer diario, “cerrado" significa generalmente “no abierto"; 
sin embargo esto no es así en R Por una parte hay subconjuntos que no 
son abiertos ni cerrados, por ejemplo el intervalo (0,1], y por otra hay 
conjuntos, como 0 y R, que son abiertos y cerrados a la vez.
Ejemplo 1.1.4
1. Si
A = ■ .,«„}
es un conjunto no vacío finito, entonces podemos poner
A =
í=i
y, puesto que cada {a:,} es cerrado, se tiene que A es un conjunto 
cerrado.
2. Sin embargo, la unión arbitraria de conjuntos cerrados no es, nece­
sariamente, un conjunto cerrado; por ejemplo, el conjunto
oo
U [0,1 - 1/n] = [0,1)
n=l
no es un conjunto cerrado.
1.2 Interior, exterior y frontera de un conjunto
Desde un punto de vista conjuntista, cualquier conjunto A C R clasifica 
los puntos de R en dos clases: aquellos que pertenecen a A y los que no. 
Sin embargo, desde una perspectiva topológica es importante hacer una 
distinción más fina.
Así, dado un punto x e R podemos afirmar que ocurre una y sólo una de 
las siguientes situaciones:
1. Existe algún entorno E(x) contenido en A.
2. Existe algún entorno E(x) contenido en R \ A.
3. Todo entorno E(x) tiene puntos de A y de su complementario.
Precisemos esta idea.
23
1
Definición 1.2.1 Un punto x G R es un punto interior a un conjunto 
A C R si existe un entorno E(x) contenido en A. El conjunto de los 
puntos interiores a A se llama interior de A y se designa por int(A).
Un punto x G R es un punto exterior a un conjunto A C R si existe un 
entorno E(x) contenido en el complementario de A. El conjunto de los 
puntos exteriores a A se llama exterior de A y se designa por ext(A).
Un punto x G R es un punto frontera de un conjunto A C R si todo 
entorno de x contiene puntos de A y de su complementario. El conjunto 
de los puntos frontera de A se llama frontera de A y se designa por fr(A).
Informalmente: si x es un punto interior a A, no solamente x está en A 
sino que además hay una pequeña zona alrededor de x que permanece en 
A; esto es: todos los puntos suficientemente cercanos a x están en A y algo 
análogo ocurre si x es un punto exterior. Sin embargo, un punto frontera 
no puede moverse porque puede perder inmediatamente su condición.
Consecuencia inmediata de la definición es que, para cualquier A C R,
int(A) C A y ext(A) C R \ A.
Además, es evidente que los conjuntos int(A), ext(A) y fr(A) son disjuntos 
dos a dos y que
int(A) U ext(A) U fr(A) = R
Ejemplo 1.2.1
1. Si A es un intervalo acotado de extremos a y b, entonces
int(A) = (a, b), ext(A) = (—oo,a) U (6 +oo) y fr(A) = {a, 6}.
2. Sea M = (0,1) U {2}; entonces:
int(M) = (0,1), fr(M) = {0,1,2}
y
ext(M) = (-oo,0) U (1,2) U (2,+oo).
3. Sea el subconjunto de R, A = {1/n : n G N}; entonces se tiene que
int(A) = 0, ext(A) = R \ (AU {0}) y fr(A)=AU{0}.
El resultado siguiente precisa el carácter topológico de estos conjuntos.
Teorema 1.2.2 Para todo A C R, se tiene que int(A) y ext(A) son 
conjuntos abiertos y fr(A) es cerrado.
Demostración
Desde luego, int(A) es abierto si es vacío. En otro caso, por definición 
de interior, para cada x G int(A) existe un entorno E(x) contenido en 
A. Como E(x) es abierto, para cada y G E(x) existe un entorno E(y) 
contenido en E(x) y, por tanto, E(y) C A. Esto prueba que todos los 
24
puntos de E(x) son interiores a A, es decir que E(x) C int(A). Así, 
int(A) es abierto.
Como ext(A) = int(R — A), también ext(A) es un conjunto abierto.
Finalmente, como
fr(A) = R - (int(A) U ext(A))
y el conjunto int(A) U ext(A) es abierto por ser unión de abiertos, fr(A) 
es un conjunto cerrado.
Tenemos, pues, que int(A) es un conjunto abierto; pero, aún más, como 
pone de manifiesto el resultado siguiente cualquier conjunto A es abierto 
si y sólo si coincide con su interior.
Teorema 1.2.3 Un conjunto A es abierto si y sólo si todos sus puntos 
son interiores.
Demostración
Si A es abierto y x € A, existe un entorno E(x) contenido en A, luego 
x G int(A). Recíprocamente si todos los puntos de A son interiores, se 
tiene que int(Á) = A y, por tanto, A es abierto.
1.3 Adherencia y acumulación de un conjunto
Cuando un punto x es exterior a A, existe un entorno E(x) que -en 
términos informales- separa a x del conjunto A. Esto no ocurre con los 
puntos frontera ni, desde luego, con los puntos interiores. Precisemos 
esta idea.
Definición 1.3.1 Un punto x G R es un punto adherente a un conjunto 
A C R cuando todo entorno E(x) contiene puntos de A.
El conjunto de puntos adherentes a A se llama adherencia o clausura de 
A y se designa por A.
Puesto que todo entorno E(x) contiene ajr, todo punto x G A es ad­
herente a A, así que, en general, A C A, aunque, como se verá, no 
necesariamente es A = A.
Ejemplo 1.3.1
Sea A el intervalo abierto (a, 6). La adherencia de A es el intervalo 
cerrado [a, 6]. En efecto: los puntos a y 6 son adherentes al intervalo 
(a,b) puesto que todo entorno E(a) y E(b) contiene puntos de A; por 
tanto, la adherencia de A incluye como mínimo al intervalo cerrado [a, 6],
Por otra parte, si x £ [a, b], uno de los entornos E(x, |z - a|), E(x, |z - b|) 
no contiene puntos de A, así que x no es punto de adherencia de A.
25
Obsérvese que si x G 3? todo entorno E(x) contiene puntos de A, así que 
x no pertenece a ext(A); es decir: x G int(A) U fr(A). Recíprocamente, 
todo punto interior a A o frontera de A es adherente, así que, en realidad,
A = int(A) U fr(A).
Este hecho nos permite mostrar cómo los puntos adherentes pueden de­
terminar si un conjunto es cerrado o no.
Teorema 1.3.2 Un conjunto A C IR es cerrado si y sólo si A = A.
Demostración
En primer lugar, observamos que, A es un conjunto cerrado puesto que
A = int(A) U fr(A) = IR - ext(4);
así que si A = 3, A es cerrado.
Recíprocamente, sea A es cerrado. Si x £ A, se tiene que x G R \ A, 
que es un conjunto abierto; por tanto, existe un entorno E(x) C R \ A 
y E(x) A A = 0 y x no es un punto adherente. Así, pues, A C A y, por 
tanto A = A.
■
Sea ahora A = {l/n : n G N}. Es fácil ver que 0 G A, puesto que 
todo entorno de 0 contendrá puntos de A. Como se verá, no es difícil 
probar que, en general, el límite de una sucesión convergente es un punto 
adherente del conjunto formado por los términos de la sucesión. Desde 
luego,este hecho no es casual; existe una estrecha relación entre puntos 
adherentes y sucesiones.
Teorema 1.3.3 Un punto x es adherente a un conjunto A si y sólo si x 
es límite de una sucesión (xn) de puntos de A.
Demostración
Si x es un punto adherente a A, se tiene que para todo n
! 1 1\I x---- ,a: -I— ) A A / 0
\ n n /
Podemos escoger entonces, para cada n un punto xn G A tal que
( 1xn G Ix ,x + - | \ n n)
Esto define una sucesión (x^ tal que |z„ — x| < 1/n. Luego límxn = x.
Recíprocamente, sea (in) una sucesión de puntos de A cuyo límite es 
x. Entonces dado e > 0, se tiene que xn G (x — e, x + e) para todo n 
suficientemente grande y, por tanto, (x - e, x + e) A A / 0; así, pues
x G A.
26
Conviene hacer notar que en el teorema anterior no se exige que los 
términos de la sucesión (xn) sean todos distintos. Es más: muy bien 
pudiera ocurrir que, para cualquier n, el único punto
/ 1 1\
xn G I x- ,x + - ]\ n n j
sea el propio x.
Por otra parte, este resultado nos permite mostrar de otra forma que, 
por ejemplo, 0 es un punto adherente de A = (0, +oo), puesto que 0 = 
líml/n, y 1/n € A para todo n. Pero su importancia no se reduce a 
un simple mecanismo de decisión sino que tiene una consecuencia muy 
importante: es posible caracterizar a los conjuntos cerrados mediante sus 
sucesiones convergentes, una cuestión que ya fue apuntada en la sección 
anterior.
Teorema 1.3.4 Un conjunto A es cerrado si y sólo si toda sucesión con­
vergente (xn) con xn G A tiene su limite en A.
Demostración
En primer lugar, si A es cerrado y límxn = x con xn G A para todo 
n G N, entonces todo entorno E(x) contiene puntos de {rn} y, por tanto, 
de A; luego x G A = A (A es cerrado).
Recíprocamente, supongamos que toda sucesión en A convergente tiene 
su límite en A. Si x G A, existe una sucesión (a:n) en A tal que líma:n = x 
y, por tanto, x G A; luego A = A y A es cerrado.
Consideremos ahora el conjunto M — (0,1) U {2}. No es difícil comprobar 
que M = [0,1] U {2}. Ahora bien, puesto que 2 es un punto adherente 
de M debe existir alguna sucesión convergente, llamémosle (xn), con sus 
términos en M tal que lím xn = 2. Como 2 G M la sucesión constante 2 
verifica esta condición. Pero no hay ninguna más. Así que 2 es un punto 
adherente pero con ciertas características especiales. Obsérvese por otra 
parte que, efectivamente, todo entorno E(2,r) contiene puntos de M, 
pero si r < 1, el único punto de intersección es precisamente 2. Estas 
reflexiones nos llevan a afinar un poco más el concepto de adherencia.
Definición 1.3.5 Un punto x G R es un punto de acumulación de un 
conjunto A C R cuando todo entorno reducido E* (x) contiene puntos de 
A. ' '
Un punto x G R es un punto aislado de un conjunto A si es un punto de 
A que no es de acumulación.
El conjunto de puntos de acumulación de A se llama el conjunto derivado 
de A y se designa por A'.
Ejemplo 1.3.2
1. Se tiene (a,by = (a, 6]' = [a, b)' = [a, &]' = [a, &].
2. Si A = {1,1/2,1/3,..., 1/n,...}, entonces A' = {0}.
27
J
3. En general, si A = {zn : n € N} y límxn = a con a / xn para 
todo n € N, entonces A' = {a}. Si, por el contrario, a € A puede 
ocurrir que A' = {a}, como en la sucesión definida por xo = a y 
xn = a + 1/n, o que A' = 0 como en la sucesión = a.
4. Todo punto i E Z es un punto adherente de Z, pero no es de 
acumulación puesto que E* (x, 1 /2)PZ = 0. Es interesante observar, 
no obstante, que si a € A\A, entonces a es un punto de acumulación 
de A (Probarlo).
•
A la vista de la definición, es evidente que todos los puntos de acumulación 
son puntos de adherencia, así que, en general, A! c A; pero, como se 
ha visto en el ejemplo anterior, el recíproco no es, en general, cierto. La 
estrecha relación entre los puntos de acumulación y los puntos adherentes 
se pone de manifiesto en el resultando siguiente.
Teorema 1.3.6 Para cada A C K se verifica A — A U A'.
Demostración
Está claro que Au A' C A, puesto que tanto A como A' están contenidos 
en A. Veamos que también se verifica el recíproco.
Sea x € A; entonces para todo entorno E{x) se cumple E(x) P A 0. 
Puede suceder que exista un entorno E(x) tal que E(x) P A = {x} en 
cuyo caso x G A, o bien que para todo entorno E(x) sea E’(x) P A / 0, 
en cuyo caso x 6 A'. En todo caso x € A U A'.
Como consecuencia inmediata es posible caracterizar a los conjuntos ce­
rrados mediante sus puntos de acumulación. Basta tener en cuenta que 
A es cerrado si y sólo si A = A = A U A'. Por tanto
Corolario 1.3.7 Un conjunto A C R es cerrado si y solo si contiene a 
todos sus puntos de acumulación.
El resultado más notable con respecto a los puntos de acumulación es, sin 
duda, el teorema de Bolzano-Weierstrass. Afirma que todo subconjunto 
A de R, infinito y acotado, tiene al menos un punto de acumulación (que 
puede o no pertencer a A).
Teorema 1.3.8 (de Bolzano-Weierstrass).
Todo conjunto infinito y acotado A C R tiene al menos un punto de 
acumulación.
Demostración
Puesto que A está acotado, está contenido en un intervalo [ao,i>o]- Di­
vidamos [ao,6o] en dos partes iguales; al menos uno de ellos contiene un 
subconjunto infinito de A. Llamemos a este subintervalo [ai, &J. Divida­
mos de nuevo [ai, 6i] en dos partes iguales y obtendremos un subintervalo 
[02,62] que contendrá un subconjunto infinito de A y continuemos este 
28
proceso. De esta manera obtenemos una sucesión de intervalos tales que 
el n-ésimo, [an,6n] tiene longitud
bn ~ On = — an-l) = ■ • • = “ ao)
Además, la sucesión (an) es creciente y acotada superiormente por bg y 
(bn) es decreciente y acotada inferiormente por ag. Ambas, pues, tienen 
límite, y
lím &n -Ema„ = lím(6n - an) = lím ~(bg - a0) = 0
así que ambos coinciden; llamémosle x y veamos que x es un punto de 
acumulación de A.
En efecto: si r es cualquier número real positivo, tomemos n suficiente­
mente grande para que bn - an < r/2; entonces [an, bn] estará contenido 
en E(x,r). Así, pues, el intervalo E(x,r) contiene puntos de A distintos 
de x y, por lo tanto, x es un punto de acumulación de A.
■
1.4 Conjuntos densos
Sea x un punto cualquiera de IR. Es evidente que en cualquier entorno 
E(x) hay puntos de Q. Informalmente podríamos decir que <Q está por to­
das partes o que Q rellena a R. Para hacer precisa esta idea introducimos 
el concepto de conjunto denso.
Definición 1.4.1 Un conjunto D es denso en R si D = R.
R es denso trivialmente. También se tiene Q = R y R — Q = R (véase el 
problema 8), así que Q y R - Q son también conjuntos densos en R.
Casi todas las propiedades importantes de los conjuntos densos descan­
san, en última instancia, en el hecho de que la intersección de un conjunto 
denso con cualquier conjunto abierto (no vacío) es siempre no vacía.
Teorema 1.4.2 Un conjunto D es denso en R si y sólo si para todo 
abierto no vacío A C R se verifica que A A D / 0.
Demostración
Sea D denso en R y A un subconjunto abierto. Sea x 6 A; y E(x') c A; 
puesto que x € D se tiene E(x) A D 0 y, por tanto,
DA A 0 0.
Recíprocamente, supongamos que todo abierto no vacío tiene intersección 
no vacía con D. Sea x e R y E(x) un entorno de x; puesto que E(x) es 
abierto,
E(x) A D / 0
y x 6 D, lo que prueba que D es denso.
29
I
1.5 Conjuntos compactos
Los conjuntos compactos son conjuntos que presentan características muy 
similares, desde el punto de vista topológico, a los conjuntos finitos. El 
concepto es, sin embargo, más amplio y, por ende, más útil que la me­
ra noción de cardinalidad. Comencemos por un ejemplo ilustrativo que 
' ayudará a conseguir cierta familiaridad con algunas conceptos previos
imprescindibles.
Sea A = {1/n : n E N} y consideremos para cada x G (0,1), el conjunto 
abierto Bx = (x, 1). No es difícil comprobar que
AC |J Bx
ie(o,i)
y decimos, entonces, que la familia 7^ = {Bx : 0 < x < 1} es un recubri­
miento abierto de A. Por otra parte, la familia
<5 = {B1/n : n € N}
verifica que <S C R y. además,
A = |J ^/n,
n£N
y decimos, entonces que S es un subrecubrimiento abierto del recubri­
miento 1Z de A.Definición 1.5.1 Sea 71 una familia de conjuntos de R. Decimos que H 
es un recubrimiento de A C R cuando la unión de todos los conjuntos de 
71 contiene a A.
Un recubrimiento abierto es un recubrimiento formado por conjuntos 
abiertos.
Un subrecubrimiento de un recubrimiento 71 de A es una subfamilia S 
de 1Z que es también un recubrimiento de A.
Conviene precisar que, aunque muy bien pudiera suceder, en general no 
es cierto que A C el sentido preciso de la definición de recubrimiento 
es que para cada punto x € A existe al menos un conjunto C £ 7? tal que 
x e C.
Ejemplo 1.5.1
1. Sea
A = {1,1/2,1/3,...}.
A es un conjunto infinito formado por puntos aislados puesto que 
para cada x e A existe un entorno E(x) tal que E(x) A A = {¡r}.
Consideremos entonces la familia
7Z = {E(a:) : x £ A};
claramente se tiene
A C E(x).
x€A
así que 71 es un recubrimiento abierto de A. Sin embargo, nótese 
que 71 no posee ningún subrecubrimiento propio: si omitimos algún 
E(x), el punto x queda descubierto, pues x no pertenece a ningún 
otro E(y) con x / y.
30
r
2. Sea A el intervalo [—1,1], La familia
= {(-1 + 1/n, 1 - 1/n): n € N} U {(-3/2, -1/2), (1/2,3/2)} 
es un recubrimiento abierto de A y
5 = {(-1,1),(-3/2,-1/2),(1/2,3/2)}
es un subrecubrimiento finito de A.
Como ilustran los ejemplos precedentes, la estructura de un conjunto 
determina en gran medida el comportamiento de sus posibles recubri­
mientos. Pero antes de analizar en profundidad esta cuestión conviene 
ver qué ocurre en algunos casos particulares.
Teorema 1.5.2 Todo recubrimiento abierto del intervalo cerrado y aco­
tado [a, b] posee un subrecubrimiento finito.
Demostración
Llamemos Raun recubrimiento abierto de [a, b]. Sea S el conjunto de 
los puntos x e [a, b] tal que el intervalo cerrado [a, x] está cubierto por un 
número finito de conjuntos de 1Z. Nuestro objetivo, entonces, es probar 
que b 6 S.
El conjunto S no es vacío, ya que, al menos, a 6 S, porque [a, a] = {a} y a 
pertenece a algún conjunto de ü. Además, S está acotado superiormente 
porque S C [a,b]. Ponemos, entonces, a = supS y, puesto que S C [a,b], 
se tiene que a <a<b.
Procedemos, ahora, de la siguiente forma: probaremos, en primer lugar 
(1), que a € S y seguidamente (2), mostraremos que a = b, lo que lleva 
implícito que b e S.
(1) Puesto que a 6 [a, b] y cubre al intervalo [a,b], existirá A € TZ tal 
que a € A; ahora bien, A es abierto, así que podemos encontrar e > 0 
tal que [a - e, a] C A.
Por ser a = sup S, existe x 6 S tal que a — e < x < a. Pongamos
[a, a] = [a, i] U [x, a]
Puesto que x 6 S, el intervalo [a, x] está cubierto por un número finito 
de conjuntos de TZ y, por otra parte, el intervalo [x, a] C [a — e, a] está 
cubierto por A; luego el intervalo [a, a] está cubierto por un número finito 
de conjuntos de TZ y, por tanto, a € S.
(2) Para concluir, basta probar que a = b. Si fuese a < b, como a € A 
y A es abierto existirá z con a < z < b tal que [a,z] C A y el intervalo 
[a, z] estaría cubierto por un número finito de conjunto de TZ, luego sería 
zESyz>a = sup S, lo cual es imposible. Por tanto, a = b.
En la demostración anterior, para determinar un cierto subrecubrimiento 
finito de TZ se han utilizado dos hechos acerca del intervalo [a, b]: que es 
cerrado y que es acotado. La cuestión, entonces, surge inmediatamente: 
31
I
¿son sólo convenientes para la demostración o, por el contrario, son con­
diciones imprescindibles?. El ejemplo siguiente muestra que ninguna de 
las dos puede ser excluida.
Ejemplo 1.5.2
1. La recta R, que es un conjunto cerrado pero no acotado, posee un 
recubrimiento abierto R = UneN(—«>+«), Que n0 admite ningún 
subrecubrimiento finito. En efecto, la unión de un número finito de 
intervalos (-n,n) es igual al mayor de ellos y, por tanto, no puede 
ser R.
2. El intervalo (0,1], que es un conjunto acotado pero no cerrado posee 
un recubrimiento abierto (0,1] C Uneuín’^) del que no puede 
extraerse un subrecubrimiento finito porque la unión de un número 
finito de intervalos de la forma (l/n,2) es el mayor de ellos y, por 
consiguiente, no puede contener a (0,1].
•
Veamos ahora otro caso muy importante.
Teorema 1.5.3 Si X consiste de los términos de una sucesión conver­
gente y su limite, todo recubrimiento abierto de X posee un subrecubri­
miento finito.
Demostración
Pongamos, para fijar ideas, X = {z} U {zn : n G N) con lím xn = x.
Si H es un recubrimiento abierto de X, el límite x debe estar en un 
conjunto de Ti, digamos U. Toda vez que U es abierto y (a:n) converge a 
x existe n0 tal que xn G U si n > no- Ahora, cada uno de los términos 
x¡(i = 1,...,no) está en algún Ui G Ti. Así, X está cubierto por los 
conjuntos U, Ui,..., Uno.
Los resultados precedentes muestran que de todo recubrimiento abierto 
de [a, b] o del conjunto X formado por los términos de una sucesión con­
vergente y su límite se puede extraer un subrecubrimiento finito. Ahora 
bien, la cuestión es: ¿hay otros conjuntos con tal propiedad?. La res­
puesta es sí. En realidad en el caso del conjunto X se puede dar una 
demostración alternativa observando que es un conjunto cerrado y acota­
do (la sucesión es convergente) y, por tanto, existe un intervalo cerrado 
y acotado [a, 6] tal que X C [a, 6]. A partir de aquí no es difícil determi­
nar un subrecubrimiento finito (¿cómo?). Esta misma idea nos permitirá 
responder rigurosamente a la cuestión planteada. Antes, sin embargo, 
conviene dar nombre a tales conjuntos.
Definición 1.5.4 Un conjunto K C R es compacto cuando todo recu­
brimiento abierto de K admite un subrecubrimiento finito.
Así, los intervalos cerrados y acotados [a, b] y los conjuntos X formados 
por los términos de una sucesión convergente y su límite son conjuntos 
compactos y no lo son R y (a, b]. El resultado siguiente permite identificar 
a los conjuntos compactos
32
Teorema 1.5.5 (de Borel-Lebesgue).
Un conjunto K C R es compacto si y sólo si es cerrado y acotado.
Demostración
Supongamos en primer lugar que K es compacto (así, pues, K / R) y 
sea x £ R \ K. Para cada y G K tomemos dos entornos, E(x) y E(y) 
disjuntos. La familia
{E(y) :yeK}
es un recubrimiento abierto de K y de él se podrá extraer un subrecubri­
miento finito E(yi), Efo),... ,E(yn). Sean Ei(x),E2<.x), ... ,En(x) los 
entornos de x correspondientes. La intersección
Ei(x) nE2(x),n...,nEn(x)
es un entorno de x contenido en R \ K, luego R \ K es abierto y K es 
cerrado.
Para ver que K es acotado consideremos el recubrimiento abierto de 
K formado por todos los intervalos (—n, n) con n G N. De él podrá 
extraerse un subrecubrimiento finito cuya unión es el mayor de ellos, 
digamos (—no,no). Así, K C (—no, no) y es, pues, acotado.
Recíprocamente, si K es cerrado y acotado entonces K estará contenido 
en algún intervalo cerrado [a, b] y si 72 es un recubrimiento abierto de K, 
adjuntándole el abierto R \ K obtendremos un recubrimiento abierto del 
compacto [a, b] del que se podrá extraer un subrecubrimiento finito. Tal 
subrecubrimiento estará formado por un número finito de conjuntos de 
72, Ai, A2,..., Ah y, tal vez, R\K. Entonces los conjuntos Ai, A2,..., A* 
cubren a K. Por tanto K es compacto.
■
Tendremos numerosas ocasiones de apreciar la extraordinaria utilidad 
del concepto de compacidad. Con su ayuda, podemos, por ejemplo, dar 
una nueva demostración del teorema de Bolzano-Weierstrass que tiene un 
carácter existencial.
Teorema 1.5.6 (de Bolzano-Weierstrass).
Todo conjunto infinito y acotado A C R tiene al menos un punto de 
acumulación.
Demostración
Si A es acotado estará contenido en un intervalo cerrado [a, b]. Si A no 
tiene puntos de acumulación, ningún punto de [a, b] será de acumulación 
de A, lo cual implica que para cada y G [a, b] existe un entorno E(y) tal 
que el entorno reducido E*(y) no contiene puntos de A. La colección 
{E{y) : y G [a, b]} es un recubrimiento abierto del compacto [a,b] del 
que se podrá extraer un subrecubrimiento finito, E(yi), E(y2),..., E(yk) 
que también cubren a A. Además, ningunode los entorno reducidos 
E*(yi),E*(y2), ■ • .,E*(yk) tiene puntos de A, luego A consta a lo sumo 
de los k puntos yi,y2,--,Vk-
33
1.6 Problemas
1. Probar que Q no es abierto ni cerrado y que Z es cerrado en R,
2. Si A, F C R son dos conjuntos abierto y cerrado respectivamente, 
demostrar que
(a) F \ A es cerrado.
(b) A \ F es abierto
Indicación: ¿qué es A\B?.
3. ¿Verdadero o falso?. (Expliqúese)
(a) Si A y B son abiertos disjuntos tales que A U B es un intervalo 
abierto (acotado o no), entonces A o B es vacío.
(b) Si F, G son cerrados disjuntos tales que F U G es un intervalo 
cerrado (acotado o no), entonces F o G es vacío.
4. Sea I un intervalo con puntos extremos a < b. Si U es un conjunto 
abierto en R tal que U A I 0, entonces U A (a, b) / 0.
5. Dados dos números reales x e y definimos la distancia de x a y como 
d(x,y) = |r - i/|
Probar que para cualesquiera x,y, z G R se verifica
(a) d(x,y) > 0.
(b) d(x,y} = 0 ■<=> x = y.
(c) d(x,y) = d(y,x).
(d) d(x,y) +d(y,z) > d(x, z).
6. Probar que para cualesquiera x, y, z G R se verifica
|d(a:, y) - d(z,í()| < d^z)
7. Este ejercicio muestra las estrechas relaciones entre los conceptos 
de abierto y cerrado y las sucesiones.
(a) Un conjunto A C R es abierto, si y sólo si se cumple la siguiente 
condición: si una sucesión (rn) converge hacia un punto a G A, 
entonces xn € A para todo n suficientemente grande.
(b) Sea F un conjunto cerrado y (a:n) una sucesión cuyos términos 
están en F. Demostrar que si (rn) converge a un punto a 
entonces a pertenece a F.
8. Determinar el interior, el exterior, la frontera, la adherencia y los 
puntos de acumulación de los conjuntos siguientes
(a) Z
(b) Q
(c) R-Q
(d) A = {(—l)"/n :n G N}.
9. ¿Verdadero o falso?
□o oo
U = U 
n—1 n—1
34
10. Dar explícitamente el significado de cada una de las afirmaciones 
siguientes En las explicaciones no se pueden utilizar las palabras 
entrecomilladas.
(a) a € X “no" es un punto “interior" de X.
(b) a E S “no" es “adherente" a X.
(c) X C R “no" es un conjunto “abierto"
(d) El conjunto Y C R “no" es “cerrado".
(e) a E R “no" es “punto de acumulación" de X C R
(f) X' = 0.
(g) X C Y pero X “no" es “denso" en Y
(h) int(X) = 0
(i) xnx' = 0.
11. Sea X C R un conjunto acotado. Probar
(a) a = inf X y b = sup X son puntos de adherencia de X.
(b) X es un conjunto acotado y supX = supX. ¿Cuál es el 
resultado análogo para el ínfimo?.
12. Probar que si A es un conjunto no vacío cerrado de R tal que A yS R, 
entonces R\ A no es cerrado. Así, los únicos subconjuntos de R que 
son abiertos y cerrados a la vez son 0 y R.
(Utilícese 11)
13. Sea A C R y, para cada n € N sea
Un = {a: € R : - a| < 1/n para algún a € A}
Probar
(a) Un es un conjunto abierto.
oo
(b) A = Q u„.
n=l
14. A — • • ■ ,xn, • • • }, el conjunto formado por los términos de
la sucesión (xn). Hallar A' cuando
(a) xn —> x y xn / x para todo n.
(b) xn = x para todo n.
(c) (xn) = (x,x + l,x,x + 1/2, x, x + 1/3,...)
15. Contestar razonadamente
(a) Dado un entero positivo k, dése un ejemplo de un conjunto 
A C R tal que A' tenga exactamente k elementos.
(b) Dése un ejemplo con A' = {0} U {1/n :n 6 N)
16. Probar
(a) x es un punto de acumulación de A si y sólo si x € A \ {z}.
(b) x es un punto de acumulación de A si y sólo si es límite de una 
sucesión de elementos de A distintos dos a dos.
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17. Constrúyase un conjunto A en la recta real tal que
A / A' / (A')< = {0}.
18. Demostrar
(a) A es denso en R si y sólo si R \ A tiene interior vacío.
(b) A es denso en R si y sólo si todo punto de R es límite de una 
sucesión de puntos de A.
19. (a) Hallar un conjunto A C R con A R, tal que A es denso pero 
R \ A no lo es.
(b) Dar un ejemplo no trivial de un subconjunto abierto y denso 
en R.
20. Probar que el conjunto
R \ {xn : n e N}
es denso en R
21. Por extensión, diremos que un conjunto D C A es denso en A, si 
A C Probar que todo intervalo I C R posee un subconjunto 
denso en I y numerable.
22. Probar las siguientes variantes del teorema de Bolzano-Weierstrass.
(a) Un conjunto C C R es compacto si y sólo si todo subconjunto 
infinito de C tiene al menos un punto de acumulación en C.
(b) Un conjunto C es compacto si y sólo si cada sucesión en C 
tiene una subsucesión que converge a un punto de C.
23. Si (An) es una sucesión de conjuntos compactos no vacíos de R tal 
que An+i C An para todo n, demostrar que el conjunto intersección
oo
A= p| An
n=l
es no vacío y compacto.
24. Probar que dado un conjunto A C R, todo recubrimiento abierto 
de A admite un subrecubrimiento numerable.
25. (Propiedades de separación). Demostrar:
(a) Si C es compacto y x $ C, existen dos abiertos disjuntos que 
contienen a C y a x. ¿Es cierto esto si C es cerrado?.
(b) Si Ci y C2 son compactos disjuntos, existen abiertos Ai y A? 
disjuntos que los contienen. ¿Existe un análogo para conjuntos 
cerrados?.
26. Probar
(a) La unión finita de compartos es un compacto.
(b) La intersección arbitraria de compactos es un compacto.
(c) Si K, es una familia de conjuntos cerrados, al menos uno de los 
cuales es compacto, entonces DAT es compacto.
(d) Si C es compacto y F cerrado, C A F es compacto.
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27. ¿Verdadero o falso? (expliqúese). Si A es un subconjunto acotado 
de R entonces A' es compacto.
28. Si xn -+ x y A = {x} U {xn : n e N}, entonces A es compacto y, 
por tanto, cerrado y acotado. Probar que A es cerrado y acotado 
sin hacer uso del teorema de Borel-Lebesgue.
29. Construir recubrimientos abiertos de Q y de [0, oo) que no admitan 
subrecubrimientos finitos.
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2 Espacios métricos
Desde un punto de vista intuitivo, un espacio métrico es, simplemente, 
un conjunto en donde podemos hablar de la distancia entre sus elemen­
tos, lo que nos permitirá precisar la noción de proximidad, una idea que 
está presente implícitamente en todos los conceptos fundamentales de la 
Topología y el Análisis.
La recta real o el plano geométrico constituyen ejemplos simples de es­
pacios métricos, concepto que es en realidad una abstracción de las pro­
piedades de lo que habitualmente se conoce como distancia.
Los espacios métricos son muy numerosos y diversos. Por razones evi­
dentes, no podemos abordar en este texto el estudio de ciertos espacios 
para los que se necesita un conocimiento matemático amplio; por ello 
nos centraremos únicamente en aquellos conjuntos con los que el lector 
tiene cierta familiaridad y que surgen de forma natural en el análisis. No 
obstante, en la mayoría de los casos, los conceptos y propiedades que se 
estudiarán son fácilmente generalizables.
2.1 Distancias
Comencemos con un caso sencillo: el conjunto IR de los números reales. 
Si, como es habitual, identificamos IR con una recta, podemos intuir, 
sin mucha dificultad, lo que normalmente entendemos como medir la 
distancia entre dos puntos -después de todo para hallar la distancia entre 
los puntos —3 y 5 sólo se necesita algo de aritmética-. Sin embargo, es 
necesario dar una definición precisa que, por una parte, recoja nuestras 
nociones intuitivas y, por otro, sea matemáticamente rigurosa; ello se 
consigue con el auxilio del valor absoluto.
Definición 2.1.1 Dados dos números reales x e y definimos la distancia 
euch'dea de x a y como
d(x,y) = |z - 3/|
Tenemos, por ejemplo, d(3,2) = |3 — 2| = 1 y d(3, —7) = |3 + 7| = 10.
Puede sorprender que hallamos puesto un apellido, euclídea, en nuestra 
definición. Ello se debe a que sobre un mismo conjunto se pueden definir 
distancias distintas; pero esto será precisado más tarde. Veamos, de 
momento, algunas propiedades más o menos evidentes -y deseables- que 
se deducen de forma inmediata de las propiedades del valor absoluto.
Teorema 2.1.2 Para cualesquiera x,y,z € IR se verifica
1. d(x,y) =0 si y sólo si x = y.
2. d(x,y) > 0.
3. d(x,y) = d{y,x\
4- d(x,y) < d(x,z) + d(z,y).
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Una precisión, antes de seguir. En lo que sigue consideraremos el con­
junto Rn como el conjunto de las n-plas (xi,Z2, • • • ,xn), donde x¡ G 
R (i = 1,2,... ,n) a