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TOPOLOGÍA
2o Matemáticas, Curso 2014/15
Ejemplos de espacios topológicos
Notación.- Dado X un conjunto, denotamos por P(X) el conjunto de
partes de X, esto es, el conjunto de todos los subconjuntos de X.
Ejercicio 1.– Sea X un conjunto. Mostrar que cada uno de los sigu-
ientes subconjuntos de P(X) definen topoloǵıas en X. Para cada uno de
estos ejemplos, describir la familia de cerrados y describir la operación de
adherencia.
(1) τcof = {∅} ∪ {A ⊂ X : X \ A es finito }. (Se llama Topoloǵıa
cofinita).
(2) Dado un elemento x ∈ X, τx = {∅} ∪ {A ⊂ X : x ∈ A}.
(3) Dado un elemento x ∈ X, τ−x = {X} ∪ {A ⊂ X : x ̸∈ A}.
(4) Suponiendo que X es infinito y siendo x ∈ X, τ−x,cof = {A ⊂ X :
x ̸∈ A ó X \A es finito }.
(5) Siendo B ⊂ X, τB = {A ⊂ X : B ⊂ A}.
Ejercicio 2.– (El plano radial). Un subconjunto A de R2 se va a llmar
radialmente abierto si para cada punto x ∈ A y cada recta ℓ por el punto
x, existe un segmento abierto que contiene a x y está contenido en A ∩ ℓ.
Mostrar que la colección de subconjuntos radialmente abiertos (junto con el
vaćıo) forman una topoloǵıa en R2. ¿Es más fina o más grosera, o ninguna
de las dos cosas, que la topoloǵıa usual?
Ejercicio 3.–
(1) Explicitar todas las topoloǵıas posibles sobre un conjunto de dos ele-
mentos. Establecer las relaciones de contención entre dichas topoloǵıas.
(2) Explicitar todas las topoloǵıas sobre X = {0, 1, 2, 3} que tengan
tres abiertos. Establecer las relaciones de contención entre dichas
topoloǵıas.
(3) Explicitar todas las topoloǵıas sobre X = {0, 1, 2, 3} que tengan
cuatro abiertos. Establecer las relaciones de contención entre dichas
topoloǵıas.
Ejercicio 4.– Sea (X, τ) un espacio topológico tal que τ = {∅, X,A,B}.
¿Qué condiciones verifican los conjuntos A,B?
Ejercicio 5.– Considérese en Z la colección de subconjuntos τ = {∅} ∪
{nZ : n ∈ N}. Determı́nese si τ es o no una topoloǵıa.
Ejercicio 6.– Sea (X, τ) un espacio topológico y sea A ⊂ X. Mostrar
que {U ∪ (V ∩ A) : U, V ∈ τ} es una topoloǵıa en X y que de hecho es la
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topoloǵıa menos fina de entre las que son más finas que τ y para las cuales
A es un conjunto abierto.
Ejercicio 7.– Determinar si existe una topoloǵıa en Rn cuya familia de
cerrados son, además del vaćıo y el total, las uniones finitas de subespacios
afines de Rn.
Adherencias e interiores
Ejercicio 8.– (Topoloǵıa dada por la adherencia). Probar que la ad-
herencia en un espacio topológico (X, τ) tiene las siguientes propiedades:
(1) A ⊂ A para todo A ⊂ X.
(2) Ā = A para todo A ⊂ X.
(3) A ∪B = A ∪B para todos A,B ⊂ X.
(4) ∅ = ∅.
(5) Si A ⊂ X, entonces A es cerrado en X si y sólo si A = A.
Probar que una topoloǵıa queda determinada únicamente por las propiedades
anteriores. Es decir probar el siguiente resultado:
Sea X un conjunto y sea f : P(X) → P(X) una aplicación
tal que, si denotamos f(A) = A para cada A ⊂ X, entonces
se satisfacen las propiedades (1)-(4) anteriores. Probar que
existe una única topoloǵıa en X para la cual los cerrados
son precisamente los subconjuntos A de X para los cuales
f(A) = A, cumpliéndose además que para cada A ⊂ X, f(A)
es precisamente la adherencia de A para esta topoloǵıa.
Ejercicio 9.– (Topoloǵıa dada por el interior). Probar que el interior
en un espacio topológico (X, τ) tiene las siguientes propiedades:
(1) A◦ ⊂ A para todo A ⊂ X.
(2) (A◦)◦ = A◦ para todo A ⊂ X.
(3) (A ∩B)◦ = A◦ ∩B◦ para todos A,B ⊂ X.
(4) X◦ = X.
(5) Si A ⊂ X, entonces A es abierto en X si y sólo si A◦ = A.
Probar que una topoloǵıa queda determinada únicamente por las propiedades
anteriores. Es decir probar el siguiente resultado:
Sea X un conjunto y sea f : P(X) → P(X) una aplicación
tal que, si denotamos f(A) = A◦ para cada A ⊂ X, entonces
se satisfacen las propiedades (1)-(4) anteriores. Probar que
existe una única topoloǵıa en X para la cual los abiertos
son precisamente los subconjuntos A de X para los cuales
f(A) = A, cumpliéndose además que para cada A ⊂ X,
f(A) es precisamente el interior de A para esta topoloǵıa.
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Ejercicio 10.– Mostrar que A ∩B ⊃ A ∩ B y que (A ∪ B)◦ ⊃ A◦ ∪
B◦ en cualquier espacio topológico. Hallar ejemplos de subjuntos A,B del
espacio topológico R2 con la topoloǵıa usual para los cuales las contenciones
anteriores sean estrictas. Hallar tales ejemplos también para el plano radial
(espacio topológico propuesto en un ejercicio más arriba).
Ejercicio 11.– Recordemos que en un espacio topológico (X, τ), la fron-
tera de un conjunto A ⊂ X se define como Fr(A) = A∩X \A. Probar que
se dan las siguientes propiedades para cualquier conjunto A ⊂ X:
(1) A = A ∪ Fr(A).
(2) A◦ = A \ Fr(A).
(3) X = A◦ ∪ Fr(A) ∩ (X \A)◦.
Ejercicio 12.– Sea (X, τ) un espacio topológico.Recordemos que un
subconjunto A ⊂ X se dice que es denso si A = X. Se pide:
(1) Probar que tanto el conjunto de los números racionales como el con-
junto de los números irrecionales son conjuntos densos en R (con la
topoloǵıa usual).
(2) Encontrar conjuntos densos en Rn, en cada una de las topoloǵıas del
ejercicio 1 y en el plano radial (ejercicio 2).
(3) Probar que si A ⊂ X es un conjunto denso y U ⊂ X es un abierto,
entonces U ⊂ A ∩ U .
(4) Sea B ⊂ X un subconjunto cualquiera. Probar que B corta a
cualquier conjunto denso de X si y sólo si B◦ es no vaćıo.
Ejercicio 13.– Sea (X, τ) un espacio topológico. Probar que para cada
A ⊂ X se tiene X \A◦ = X \A y X \A = (X \A)◦.
Ejercicio 14.– Sea (X, τ) un espacio topológico. Probar que un conjunto
A ⊂ X es abierto si y sólo si se tiene la siguiente condición:
∀Y ⊂ X, A ∩ Y = A ∩ Y .
Ejercicio 15.– Sea (X, τ) un espacio topológico y sean A,B dos sub-
conjuntos de X. Probar la siguiente implicación
Fr(A) ∩ Fr(B) = ∅ ⇒ (A ∩B)◦ = A◦ ∩B◦.
Dar un ejemplo en el que la implicación contraria no es cierta.
Ejercicio 16.– Sea (X, τ) un espacio topológico y sea A un subconjunto
de X. Probar:
(1) A es cerrado si y sólo si Fr(A) ⊂ A.
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(2) Fr(A) ⊂ Fr(Fr(A)). Dar un ejemplo en el que la contención con-
traria no sea cierta.
(3) Fr(Fr(Fr(A))) = Fr(Fr(A)).
Ejercicio 17.– Sea (X, τ) un espacio topológico. Un conjunto A ⊂ X
se dice que es regularmente abierto si A es el interior de su adherencia. Un
conjunto F ⊂ X se dice que es regularmente cerrado si F es la adherencia
de su interior. Probar lo siguiente:
(1) El complmentario de un conjunto regularmente abierto es regular-
mente cerrado y rećıprocamente.
(2) Para cada A ⊂ X se tiene que (A)◦ es regularmente abierto.
(3) La intersección de dos conjuntos regularmente abiertos es un con-
junto regularmente abierto. Poner un ejemplo en el que esto no es
cierto para la unión.
(4) La unión de dos conjuntos regularmente cerrados es un conjunto
regularmente cerrado. Poner un ejemplo en el que esto no es cierto
para la intersección.
Dar ejemplos de conjuntos abiertos en R (con la topoloǵıa usual) que no son
regularmente abiertos.
Ejercicio 18.– Consideremos la recta real R con su topoloǵıa usual.
Hallar la frontera de los siguientes conjuntos:
Q, I = R \Q, (a, b) ∩Q, { 1
n
}n≥1.
Ejercicio 19.– Hallar la adherencia, interior y frontera de los siguientes
conjuntos de R2:
(1) B(0, 1) = {(x, y) : x2 + y2 < 1}.
(2) B(0, 1) ∩Q2.
(3) El grafo de la función f : (0, 1) → R, f(x) = sen( 1x).
(4) La unión de las rectas y = 1
nx para n = 1, 2, ...
(5) La unión de todas las elipses En = {(x, y) : x2 + n2y2 = n2} para
n = 1, 2, ...
Ejercicio 20.– Probar que todo conjunto cerrado de R2 es la frontera
de un conjunto de R2.