Filminas Practico de Integrales Trigonometricas

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𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥. 𝑑𝑥 
 Potencias Impares con una función trigonométrica (m=impar) 
Se pueden presentar como una función 
trigonométrica elevada a una potencia entera y 
positiva o como un producto de ellas. 
 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 Usaremos la relación trigonométrica 
fundamental, despejando según 
corresponda 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1  𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 
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𝑚 = 2𝑘 + 1 → 
 ↑ 
(Impar) 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑚𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛(2𝑘+1)𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠(2𝑘+1)𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑘 . 𝑑𝑥 
Despejamos k y descomponemos la potencia, utilizando 
propiedades. 
Reemplazamos el factor levado al cuadrado por la relación trigonométrica 
correspondiente 
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 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑘 . 𝑑𝑥 
𝑢 = cos 𝑥 1𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝑜 𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 1cos 𝑥 . 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑘 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 1 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑘 . 𝑑𝑥 
 
 𝑠𝑒𝑛 𝑥. 1 − 𝑢2 𝑘 . 1𝑠𝑒𝑛 𝑥 . 𝑑𝑢 𝑜 𝑐𝑜𝑠 𝑥. 1 − 𝑢2 𝑘 . 1cos 𝑥 . 𝑑𝑢 
 1 − 𝑢2 𝑘 . 𝑑𝑢 𝑜 1 − 𝑢2 𝑘 . 𝑑𝑢 
Resolvemos por sustitución, tomando para la sustitución la función que 
hemos reemplazado. 
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 Potencias Pares con una función trigonométrica (n=par) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = 12 . (1 − cos 2 𝑥) Usaremos la siguiente relación 
trigonométrica, de donde se puede 
obtener, según corresponda: 𝑐𝑜𝑠2𝑥 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥 = cos 2𝑥 
 𝑐𝑜𝑠2𝑥 = 12 . (1 + cos 2 𝑥) 
 𝑠𝑒𝑛23𝑥 = 12 . (1 − cos 6 𝑥) 
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 𝑛 = 2𝑝 → 
 ↑ 
(Par) 𝑠𝑒𝑛𝑛𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛(2𝑝)𝑥. 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠(2𝑝)𝑥. 𝑑𝑥 
 𝑠𝑒𝑛2𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑜 𝑐𝑜𝑠2𝑥 𝑝. 𝑑𝑥 
Despejamos p y descomponemos la potencia, utilizando 
propiedades. 
Reemplazamos por la relación trigonométrica correspondiente encada caso. 
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 12 . 1 − cos 2𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑜 12 . 1 + cos 2𝑥 𝑝 𝑑𝑥 
 12 𝑝 . 1 − cos 2𝑥 𝑝 𝑑𝑥 𝑜 12 𝑝 . 1 + cos 2𝑥 𝑝 𝑑𝑥 
 A partir de aquí desarrollamos la potencia p y dependiendo de su valor, deberemos 
reemplazar cuantas veces sea necesario las identidades trigonométricas, tomando 
los argumentos correspondientes, hasta que queden todos cosenos de potencia 1. 
Las integrales resultantes se resuelven por sustitución tomando los argumentos 
de los coseno como variable a sustituir. Ej: 𝑢 = 2𝑥 ; 𝑣 = 4𝑥 ; 𝑒𝑐𝑡. 
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 𝑠𝑒𝑛𝑚𝑥. 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥. 𝑑𝑥 
 Producto potencias par - impar 
Cuando se presenta un producto de funciones 
trigonométricas donde una de ellas está 
elevada a una potencia impar y la otra a una 
potencia par, se trabaja desarrollando la 
potencia impar. 
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