U5 Sistemas de Ecuaciones Lineales AV

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Facultad Regional Córdoba
Departamento de Materias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
Socolovsky Silvia – Martínez Iván
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Recordemos con algunos ejemplos
�𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 = 0
Ejemplo 1
Sistema Compatible Determinado
Solución Única
𝑆𝑆 =
1
2
;
1
2
� 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1
4𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 = 2
Ejemplo 2
Sistema Compatible Indeterminado
Infinitas Soluciones
𝑆𝑆 = (𝑥𝑥; 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1)
𝑥𝑥
𝑦𝑦
1
2
1
0𝑥𝑥
𝑦𝑦
1
2
1
2
0
�𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 1
𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 = 0
Ejemplo 3
Sistema Incompatible
No tiene Solución
𝑆𝑆 = ∅
𝑥𝑥
𝑦𝑦
1
0
En este curso vamos a trabajar con “m ” ecuaciones con “n” incógnitas
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESUnidad 5
Una ecuación lineal en un cuerpo K es una expresión de la forma 
𝑎𝑎1𝑥𝑥1 + 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + … + 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 = 𝑏𝑏
donde
las incógnitas 𝒙𝒙𝟏𝟏,𝒙𝒙𝟐𝟐, … , 𝒙𝒙𝒏𝒏 tienen exponente “1” y no están multiplicadas entre si
los escalares 𝒂𝒂𝟏𝟏,𝒂𝒂𝟐𝟐, … , 𝒂𝒂𝒏𝒏 se denominan coeficientes 
y
la constante “b” se denomina término independiente
Un sistema de ecuaciones lineales es un conjunto finito de ecuaciones lineales
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SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
En general para un sistema de “m” ecuaciones con “n” incógnitas, tenemos 
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + … + 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒂𝒂𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + … + 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝟐𝟐
⋮ ⋮ ⋮ … ⋮ ⋮
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + … + 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏 𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝒃𝒃𝒎𝒎
Cantidad de 
ecuaciones
“m”
Cantidad de incógnitas “n” 
Que lo podemos 
expresar como
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏
𝒂𝒂𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒏𝒏
⋮ ⋮ … ⋮
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏
𝒙𝒙𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐
⋮
𝒙𝒙𝒏𝒏
=
𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒃𝒃𝟐𝟐
⋮
𝒃𝒃𝒎𝒎
A . X = b
Matriz Principal
A
Matriz de 
Incógnitas
Matriz de 
Términos 
Independientes
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Teorema de Rouché - Frobenius
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, 
si y sólo si, 
el rango de la matriz principal (coeficientes) 
es igual 
al rango de la matriz ampliada.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A: Matriz Principal A’: Matriz Ampliada
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Matriz Ampliada
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A la matriz principal le agregamos la 
columna de los términos independientes𝐴𝐴′ =
𝒂𝒂𝟏𝟏𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟏𝟏𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝟏𝟏𝒏𝒏
𝒂𝒂𝟐𝟐𝟏𝟏 𝒂𝒂𝟐𝟐𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝟐𝟐𝒏𝒏
⋮ ⋮ … ⋮
𝒂𝒂𝒎𝒎𝟏𝟏 𝒂𝒂𝒎𝒎𝟐𝟐 … 𝒂𝒂𝒎𝒎𝒏𝒏
𝒃𝒃𝟏𝟏
𝒃𝒃𝟐𝟐
⋮
𝒃𝒃𝒎𝒎
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Si A es una matriz de su reducida por filas, 
se puede calcular el “Rango de A” y lo denotamos “r(A)”
como el número de filas no nulas de su matriz reducida 
por filas
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Rango de una Matriz
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Si la matriz C, se obtiene de A, mediante una sucesión finta de operaciones 
elementales de filas, 
se dice que C es equivalente por filas a A
Si las matrices son equivalentes, entonces, 
los sistemas de ecuaciones correspondientes tienen el mismo conjunto 
solución
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Matrices equivalentes y conjunto solución
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La solución del sistema de ecuaciones esta constituida por el conjunto de soluciones comunes 
a todas ellas.
Soluciones
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Compatible
Incompatible
Determinado
Indeterminado
Solución Única
Infinitas Soluciones
No tiene Solución
Sistema
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Sistemas 
Homogéneos No homogéneos
Compatible
Determinado 
Compatible
Indeterminado
Compatible
Determinado 
Compatible
Indeterminado
Incompatible
Solución 
Única y trivial
(0, 0, … , 0)
Infinitas 
Soluciones
Solución 
Única
Infinitas 
Soluciones
No tiene
SoluciónSistema compatible: Tiene solución Sistema incompatible: No tiene solución
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
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Homogéneos
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
A . X = 0 Los Términos Independientes son todos iguales a cero - Matriz B = 0
Siempre tiene solución - Solución Trivial: aquella donde 𝒙𝒙𝟏𝟏= 𝒙𝒙𝟐𝟐= … = 𝒙𝒙𝒏𝒏 = 𝟎𝟎
Horizontal
𝑛𝑛 < 𝑚𝑚
m
m
𝑚𝑚 < 𝑛𝑛
Vertical
Cuadrada Rectangular
n
n 
𝒎𝒎 𝒙𝒙 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒙𝒙 𝒏𝒏
n
n
 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆  𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆
𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶𝑆𝑆 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝐷𝐷𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆 = 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑛𝑛𝐷𝐷𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝐷𝐷𝐶𝐶
Matriz
 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆
SISTEMAS
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No Homogéneos
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS
A . X = B Términos Independientes alguno distinto de cero - Matriz B = bi
Horizontal
𝑛𝑛 < 𝑚𝑚
m
m
𝑚𝑚 < 𝑛𝑛
Vertical
Cuadrada Rectangular
n
n 
𝒎𝒎 𝒙𝒙 𝒏𝒏𝒏𝒏 𝒙𝒙 𝒏𝒏
n
n
 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆
 𝑟𝑟 𝐴𝐴 ≠ 𝑟𝑟 𝐴𝐴′ → 𝑆𝑆𝑆𝑆
𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶𝑆𝑆 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝐷𝐷𝐶𝐶 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝐶𝐶𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶𝑆𝑆 𝑆𝑆𝑛𝑛𝐷𝐷𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝐷𝐷𝐶𝐶 𝑆𝑆𝑆𝑆: 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝑆𝑆𝑛𝑛𝐼𝐼𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶e 
Matriz
 𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝐶𝐶
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) ≠ 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 → 𝑆𝑆𝑆𝑆
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑚𝑚 < 𝑛𝑛 → 𝑆𝑆𝐶𝐶𝑆𝑆
 𝑟𝑟(𝐴𝐴) ≠ 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 → 𝑆𝑆𝑆𝑆
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Ejemplos - Matrices Reducidas por Filas
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES SISTEMAS HOMOGENEOS Y NO HOMOGÉNEOS
Ejemplo 1
Sistema Compatible Determinado
Solución Única
Ejemplo 2
Sistema Compatible Indeterminado
Infinitas Soluciones
Ejemplo 3
Sistema Incompatible
No tiene Solución
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 6 4
0 1 3 −5
0 0 0 1
1 0 6 5
0 1 −3 4
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛 𝑟𝑟(𝐴𝐴) ≠ 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 𝑟𝑟(𝐴𝐴) = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛
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Métodos de Resolución 
Gauss
Gauss Jordan
Matricial 
o de la Matriz Inversa
Es el método más usual y general
Permite resolver cualquier tipo de Sistema de Ecuaciones
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Crámer
Con los métodos Gauss y Gauss Jordan se puede 
resolver cualquier tipo de sistema de ecuaciones
Con los métodos Matricial y Crámer son aplicables 
sólo a sistemas de ecuaciones cuadrados
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Para el sistema de ecuaciones lineales 𝐴𝐴𝐴𝐴 = B
la matriz reducida por filas es equivalente por filas a la matriz A.
Incógnitas Principales
del sistema, serán las 
asociadas a los elementos 
conductores de cada columna
Ecuaciones Principales
del sistema resolvente, 
aquellas que corresponden 
a las filas no nulas de la 
matriz reducida por filas
El número de incógnitas principales y el de ecuaciones principales es igual 
al rango de la matriz A
Representación matricial y ecuaciones
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Diagrama en bloques del Método de Gauss y Gauss - Jordan
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Sistema de ecuaciones 
original
Matriz ampliada 
asociada al sistema 
original
Matriz ampliada
asociada al sistema 
resolvente
Sistema resolvente
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
No Homogéneos
1. Escribir la matriz ampliada
2. Reducir por filas la matriz y clasificar la solución
3. A partir de la matriz reducida por filas escribir el sistema resolvente 
(sin los términos nulos ni las ecuaciones nulas).
4. Despejar las incógnitas principales en términos de las no principales.
5. Reemplazar las incógnitas no principales por parámetros
6. Escribir la solución como conjunto de n-uplas. (Solución general)
7. Para obtener soluciones particulares asignar valores particulares a 
los parámetros.
Por Gauss Jordan
P
A
S
O
S
Se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones
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SISTEMAS NO HOMOGENEOSMÉTODO de GAUSS - JORDAN
Ejemplo 1 
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟔𝟔
𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 = −𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟎𝟎
Sistema de Ecuaciones Matriz Ampliada
1 1 1 6
1 −1 −1 −4
1 1 −1 0
Matriz Reducida por Filas
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛
Teorema de Rouché - Frobenius
3 = 3 = 3
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 1; 2; 3
Sistema Resolvente
Sistema Compatible Determinado
Solución Única
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏= 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟐𝟐= 𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟑𝟑= 𝟑𝟑
1 2
43
6
3Igual que 
Despejar Incógnitas Principales
5 Parametrizar 
No corresponde
Solución Particular7 No corresponde
2
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Ejemplo 2 
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟑𝟑
𝟑𝟑𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 = −𝟐𝟐
Sistema de Ecuaciones Matriz Ampliada
1 1 −1 3
3 −2 4 1
2 −3 5 −2
Matriz Reducida por Filas
1 0
2
5
7
5
0 1 −
7
5
8
5
0 0 0 0
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛
Teorema de Rouché - Frobenius
2 = 2 < 3
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 =
7
5
−
2
5
𝒕𝒕 ;
8
5
+
7
5
𝒕𝒕 ; 𝑆𝑆
Sistema Resolvente
Sistema Compatible Indeterminado
Infinitas Soluciones
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏+ 2
5
𝒙𝒙𝟑𝟑 = 7
5
1 2
43
6
Despejar Incógnitas Principales
5 Parametrizar 
Si 𝒙𝒙𝟑𝟑= 𝑆𝑆
Soluciones Particulares7
𝒙𝒙𝟐𝟐−
7
5
𝒙𝒙𝟑𝟑 = 8
5
𝒙𝒙𝟏𝟏= 7
5
− 2
5
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟐𝟐= 8
5
+ 7
5
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟏𝟏= 7
5
− 2
5
𝒕𝒕
𝒙𝒙𝟐𝟐= 8
5
+ 7
5
𝒕𝒕
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 =
7
5 ;
8
5 ; 0 + 𝑆𝑆 −
2
5 ;
7
5 ; 1−∞ < 𝑆𝑆 < +∞Si 𝒕𝒕 = 0 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 =
7
5 ;
8
5 ; 0
Si 𝒕𝒕 = 1 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 1; 3 ; 1
SISTEMAS NO HOMOGENEOSMÉTODO de GAUSS - JORDAN
2
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Ejemplo 3
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟎𝟎
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟓𝟓
𝟎𝟎𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟑𝟑
Sistema de Ecuaciones Matriz Ampliada
1 1 1 1 3
1 −1 2 −1 0
2 0 3 0 5
0 2 −1 2 3
Matriz Reducida por Filas
𝑟𝑟 𝐴𝐴 ≠ 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴
Teorema de Rouché - Frobenius
2 ≠ 3
Sistema Resolvente
Sistema Incompatible
No tiene solución
Solución General
1 2
43
6
Despejar Incógnitas Principales
5 Parametrizar 
Soluciones Particulares7
1 0
3
2
0
3
2
0 1 −
1
2
1
3
2
0 0 0 0 2
0 0 0 0 0
SISTEMAS NO HOMOGENEOSMÉTODO de GAUSS - JORDAN
No corresponde No corresponde
No correspondeNo corresponde
No corresponde
2
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�
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Resolución de Sistemas de Ecuaciones Lineales
Homogéneos
1. Escribir la matriz de coeficientes
2. Reducir por filas la matriz y clasificar la solución
3. A partir de la matriz reducida por filas escribir el sistema resolvente 
(sin los términos nulos ni las ecuaciones nulas).
4. Despejar las incógnitas principales en términos de las no principales.
5. Reemplazar las incógnitas no principales por parámetros
6. Escribir la solución como conjunto de n-uplas. (Solución general)
7. Para obtener soluciones particulares asignar valores particulares a 
los parámetros.
Por Gauss Jordan
P
A
S
O
S
Se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones
N-upla : 
Conjunto ordenado de “n” elementos
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Ejemplo 1 
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟑𝟑 + −𝟒𝟒𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟎𝟎
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟕𝟕𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟑𝟑𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟎𝟎
Sistema de Ecuaciones Matriz de Coeficientes
1 1 5 −4
2 1 7 −3
Matriz Reducida por Filas
Teorema de Rouché - Frobenius
1 2
1 0 2 −2
0 1 3 1
SISTEMAS HOMOGENEOSMÉTODO de GAUSS - JORDAN
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛
2 = 2 < 4
Sistema Compatible Indeterminado
Infinitas Soluciones
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 ; 𝒙𝒙𝟒𝟒 = −2𝑆𝑆 + 2𝑆𝑆;−3𝑆𝑆 − 𝑆𝑆; 𝑆𝑆; 𝑆𝑆
Sistema Resolvente
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏+ 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒= 0
43
6
Despejar Incógnitas Principales
5 Parametrizar 
Si 𝒙𝒙𝟑𝟑= 𝑆𝑆
y 𝒙𝒙𝟒𝟒= 𝑆𝑆
Soluciones Particulares
𝒙𝒙𝟐𝟐+ 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝒙𝒙𝟒𝟒= 0
𝒙𝒙𝟏𝟏= −𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟐𝟐= −𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 − 𝒙𝒙𝟒𝟒
𝒙𝒙𝟏𝟏= −𝟐𝟐𝒕𝒕 + 𝟐𝟐𝟐𝟐
𝒙𝒙𝟐𝟐= −𝟑𝟑𝒕𝒕 − 𝟐𝟐
−∞ < 𝑆𝑆 < +∞
Si 𝒕𝒕 = 0 𝑦𝑦 𝑆𝑆 = 1
𝑆𝑆 = 𝑆𝑆 −2;−3; 1; 0 + 𝑆𝑆 2;−1; 0; 1
−∞ < 𝑆𝑆 < +∞
𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 ; 𝒙𝒙𝟒𝟒 = 𝟐𝟐;−1;𝟎𝟎;𝟏𝟏
Si 𝒕𝒕 = 1 𝑦𝑦 𝑆𝑆 = 0 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 ; 𝒙𝒙𝟒𝟒 = −𝟐𝟐;−3; 1;𝟎𝟎
2
7
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Ejemplo 2
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎
𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎
Sistema de Ecuaciones Matriz de Coeficientes
1 1
1 −1
Matriz Reducida por Filas
Teorema de Rouché - Frobenius
1 2
SISTEMAS HOMOGENEOSMÉTODO de GAUSS - JORDAN
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛
2 = 2 = 2
Sistema Compatible Determinado
Solución Única
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 0; 0
Sistema Resolvente
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏= 0
43
6
Despejar Incógnitas Principales
5 Parametrizar 
Soluciones Particulares
𝒙𝒙𝟐𝟐= 0
1 0
0 1
Solución Trivial
No corresponde
No corresponde
No corresponde
2
7
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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO de GAUSS
P
A
S
O
S
Se puede aplicar a cualquier sistema de ecuaciones
1. Escribir la matriz ampliada / coeficientes (caso sistema homogéneo)
2. Reducir por filas la matriz en forma escalonada y clasificar la solución
3. A partir de la matriz reducida por filas escribir el sistema resolvente (sin los 
términos nulos ni las ecuaciones nulas).
4. Si el sistema es compatible determinado, despejar las incógnitas comenzando por
la última ecuación, 𝑥𝑥𝑛𝑛 y continuar con 𝑥𝑥𝑛𝑛−1 , … , 𝑥𝑥2 , 𝑥𝑥1 terminando con la primer
incógnita.
5. Si el sistema es compatible indeterminado, Despejar las incógnitas principales en 
términos de las no principales.
6. Reemplazar las incógnitas no principales por parámetros
7. Escribir la solución como conjunto de n-uplas. (Solución general)
8. Para obtener soluciones particulares asignar valores particulares a los parámetros.
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Ejemplo 1 
Sistema de Ecuaciones Matriz Ampliada
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 = 𝑛𝑛
Teorema de Rouché - Frobenius
3 = 3 = 3
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 2;−𝟑𝟑; 1
Sistema Resolvente
Sistema Compatible Determinado
Solución Única
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 3 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 11
1 2
4
6
Despejar Incógnitas Principales
8
Parametrizar 
Soluciones Particulares
7
𝟗𝟗𝒙𝒙𝟐𝟐−𝟏𝟏𝟑𝟑𝒙𝒙𝟑𝟑 = −40 𝒙𝒙𝟐𝟐= −3
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO de GAUSS
−
4
3𝒙𝒙𝟑𝟑= −
4
3
32
𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟏𝟏
𝟒𝟒 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑= 𝟒𝟒
𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏𝟎𝟎
1 −2 3 11
4 1 −1 4
2 −1 3 10
Matriz Reducida
Forma Escalonada
1 −2 3 11
0 9 −13 −40
0 0 −
4
3
−
4
3
𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏
𝒙𝒙𝟏𝟏= 2
No corresponde
No corresponde
5
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Ejemplo 2 
Sistema de Ecuaciones Matriz Ampliada
𝑟𝑟 𝐴𝐴 = 𝑟𝑟 𝐴𝐴𝐴 < 𝑛𝑛
Teorema de Rouché - Frobenius
2 = 2 < 3
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 3 +
2
9 𝒕𝒕 ;
8
9 𝒕𝒕 ; 𝑆𝑆
Sistema Resolvente
Sistema Compatible Indeterminado
Infinitas Soluciones
Solución General
𝒙𝒙𝟏𝟏−𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 2 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 3
1 2
7
Despejar Incógnitas Principales
6 Parametrizar 
Si 𝒙𝒙𝟑𝟑= 𝑆𝑆
Soluciones Particulares8
−𝟗𝟗𝒙𝒙𝟐𝟐+𝟖𝟖𝒙𝒙𝟑𝟑 = 0
𝒙𝒙𝟏𝟏= 3 + 2
9
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝒙𝒙𝟐𝟐= 8
9
𝒙𝒙𝟑𝟑
𝑆𝑆 = 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 3; 0 ; 0 + 𝑆𝑆
2
9 ;
8
9 ; 1−∞ < 𝑆𝑆 < +∞Si 𝒕𝒕 = 0 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 3; 0 ; 0
Si 𝒕𝒕 = 1 𝒙𝒙𝟏𝟏; 𝒙𝒙𝟐𝟐 ; 𝒙𝒙𝟑𝟑 =
29
9 ;
8
9 ; 1
𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟑𝟑
𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟔𝟔
−𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝟔𝟔𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟏𝟏𝟒𝟒𝒙𝒙𝟑𝟑 = −𝟑𝟑
MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO de GAUSS
1 2 −2 3
2 −5 4 6
−1 16 −14 −3
1 −2 −2 3
0 −9 8 0
0 0 0 0
Matriz Reducida
Forma Escalonada
𝒙𝒙𝟏𝟏= 3 + 2
9
𝒕𝒕
𝒙𝒙𝟐𝟐= 8
9
𝒕𝒕
32 4 5
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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO MATRICIAL
Se puede aplicar a sistemas de ecuaciones cuadrados
Igual cantidad de ecuaciones que de incógnitas
A . X = b
Matriz 
Cuadrada
Matriz de 
Incógnitas
Matriz de 
Términos 
Independientes
Partimos de la expresión matricial de un sistema de ecuaciones lineales
Si A es regular o no singular, es decir, A ≠ 0 → ∃ Inversa
entonces podemos premultiplicar por 𝑨𝑨 −𝟏𝟏𝑨𝑨 −𝟏𝟏 A . X = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏b
𝑰𝑰. X = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏b
X = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏b
Si ∃ 𝐴𝐴−1 → 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑚𝑚𝑎𝑎 𝐼𝐼𝐶𝐶𝑚𝑚𝐶𝐶𝑎𝑎𝑆𝑆𝑆𝑆𝑏𝑏𝐶𝐶𝑆𝑆 𝐶𝐶𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑟𝑟𝑚𝑚𝑆𝑆𝑛𝑛𝑎𝑎𝐷𝐷𝐶𝐶 Si ∄ 𝐴𝐴−1 → 𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑆𝑆 𝐼𝐼𝑛𝑛𝐼𝐼𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑒𝑒𝑆𝑆𝑆𝑆𝑛𝑛𝑆𝑆𝐼𝐼𝑐𝑐
𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆 𝐼𝐼𝑛𝑛𝑐𝑐𝑐𝑐𝑆𝑆𝑐𝑐𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑆𝑐𝑐𝑐𝑐𝑆𝑆
Observación
Sólo podemos resolver 
si el sistema es 
compatible determinado!
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MÉTODOS MATRICIALMÉTODOS DE RESOLUCIÓN
EJEMPLO
Sistema de Ecuaciones Expresión Matricial
3𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = −1
−2𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 6
3 −2
−2 4
𝑥𝑥
𝑦𝑦 = −1
6
Determinación
Matriz Regular
3 −2
−2 4 = 8 ≠ 0
∃ Inversa!
𝐴𝐴−1 =
1
2
1
4
1
4
3
8
Cálculo de la Inversa Cálculo de las incógnitas
X = 𝑨𝑨 −𝟏𝟏 b
𝑥𝑥
𝑦𝑦 =
1
2
1
4
1
4
3
8
. −1
6
𝑥𝑥
𝑦𝑦 = 1
2
Sistema 
compatible 
Determinado
𝑺𝑺 = 𝒙𝒙;𝒚𝒚 = 𝟏𝟏;𝟐𝟐
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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO DE CRÁMER
Se puede aplicar a sistemas de ecuaciones cuadrados
Homogéneos y no homogéneos
Lo vemos con un ejemplo
A . X = b A es una matriz cuadrada y regular o no singular, es decir, A ≠ 0
→ el sistema tiene Solución Única
CAdA inCógnitA es iguAl Al CoCiente de dos determinAntes
Determinante de la matriz A donde la columna correspondiente a la 
incógnita a calcular, se reemplaza por los términos independientes
Determinante de la matriz A
∆𝒙𝒙𝒊𝒊
∆𝑴𝑴𝑴𝑴
=
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MÉTODOS DE RESOLUCIÓN MÉTODO DE CRÁMER
EJEMPLO
𝒙𝒙𝟏𝟏 =
3 −1 1
1 2 −1
1 1 0
2 −1 1
0 2 −1
−1 1 0
=
𝟑𝟑
𝟑𝟑
= 𝟏𝟏
𝟐𝟐𝒙𝒙𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟑𝟑
𝟎𝟎 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏
−𝟏𝟏 𝒙𝒙𝟏𝟏 + 𝟏𝟏𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟎𝟎𝒙𝒙𝟑𝟑 = 𝟏𝟏
Sistema de Ecuaciones Matriz de Coeficientes
𝐴𝐴 =
2 −1 1
0 2 −1
−1 1 0
Cálculo del Determinante
𝐴𝐴 =
2 −1 1
0 2 −1
−1 1 0
= 3 ≠ 0
𝒙𝒙𝟐𝟐 =
2 3 1
0 1 −1
−1 1 0
2 −1 1
0 2 −1
−1 1 0
= 𝟔𝟔
𝟑𝟑
=2 𝒙𝒙𝟑𝟑 =
2 −1 3
0 2 1
−1 1 1
2 −1 1
0 2 −1
−1 1 0
= 𝟗𝟗
𝟑𝟑
=3
Cálculo de las Incógnitas
𝑺𝑺 = 𝒙𝒙𝟏𝟏;𝒙𝒙2;𝒙𝒙3 = 𝟏𝟏;𝟐𝟐;𝟑𝟑Solución
El sistema tiene Solución Única
Regla de Crámer por Julio Profehttps://youtu.be/AJdCfaGjWlkOtro ejemplo en 
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https://youtu.be/AJdCfaGjWlk
Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría Analítica
con fines didácticos
Bibliografía y webgrafía consultada: 
Material de Cátedra. Álgebra y Geometría Analítica. FRC de la UTN 
Material de cátedra. Algebra I . UNC
Material de cátedra. Introducción a la matemática. UNC
Álgebra y Geometría Analítica. Aleajandro E. García Venturini
Imágenes
Material sugerido
Método de Crámer por Julio Profe https://youtu.be/AJdCfaGjWlk
Recopilado por Ing. Silvia Socolovsky e Ing. Daniel Sandín
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https://youtu.be/AJdCfaGjWlk
un tiempo de descanso
Ahora, hay que continuar con el práctico
Pero primero, 
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	Número de diapositiva 1
	Número de diapositiva 2
	Número de diapositiva 3
	Número de diapositiva 4
	Número de diapositiva 5
	Número de diapositiva 6
	Número de diapositiva 7
	Número de diapositiva 8
	Número de diapositiva 9
	Número de diapositiva 10
	Número de diapositiva 11
	Número de diapositiva 12
	Número de diapositiva 13
	Número de diapositiva 14
	Número de diapositiva 15
	Número de diapositiva 16
	Número de diapositiva 17
	Número de diapositiva 18
	Número de diapositiva 19
	Número de diapositiva 20
	Número de diapositiva 21
	Número de diapositiva 22
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	Número de diapositiva 29
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	Número de diapositiva 32