U6 Recta y Plano AV

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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA NACIONAL
Facultad Regional Córdoba
Departamento de Materias Básicas
Álgebra y Geometría Analítica
Socolovsky Silvia – Martínez Iván
Geometría Analítica
Unidad 6
Es una parte de la matemática que tiene por objeto 
el estudio y análisis de los lugares geométricos 
considerando la deducción de ecuaciones y construcción de gráficas
Pero
¿Qué son los lugares 
geométricos? Son figuras cuyos puntos cumplen que
 Todo punto de la figura goza de una propiedad determinada
 Todo punto que goza de esa propiedad pertenece a la figura 
Geometría AnalíticaUnidad 6
Geometría Analítica
Unidad 7
Recta 
Plano Cónicas 
Cuádricas
Recta
Definición
Es el lugar geométrico de todos los puntos tales que 
pasando por un punto de coordenadas conocidas se encuentra 
sobre una misma dirección dada por un vector conocido
𝑃𝑃1 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1
𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑦𝑦
0 𝑎𝑎1
𝑎𝑎2 �𝑎𝑎
λ𝑎𝑎
λ : parámetro y varía −∞ < λ < ∞
𝑃𝑃 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 punto genérico 
Representa a los infinitos puntos de la recta.
𝑃𝑃1 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1 punto conocido 
�𝑎𝑎 vector de dirección
𝑃𝑃1𝑃𝑃 // �𝑎𝑎 ∴ 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = λ𝑎𝑎
Ecuaciones
Recta
Ecuación Vectorial Paramétrica
𝑂𝑂𝑃𝑃 = 𝑂𝑂𝑃𝑃1 + λ𝑎𝑎
𝑥𝑥; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1 + λ 𝑎𝑎1;𝑎𝑎2
En 𝑅𝑅2 , 𝑅𝑅3 … . .
Válidas en cualquier espacio
Ecuación Simétrica
Despejando λ en 
𝑥𝑥−𝑥𝑥1
𝑎𝑎1
= 𝑦𝑦−𝑦𝑦1
𝑎𝑎2
en 𝑅𝑅2
Despejando λ en 
𝑥𝑥−𝑥𝑥1
𝑎𝑎1
= 𝑦𝑦−𝑦𝑦1
𝑎𝑎2
= 𝑧𝑧−𝑧𝑧1
𝑎𝑎3
en 𝑅𝑅3
1
2
Ecuación Cartesiana Paramétrica
De igualando las componentes homólogas
En 𝑅𝑅2 �𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + λ𝑎𝑎1
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 + λ𝑎𝑎2
y en 𝑅𝑅3 �
𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1 + λ𝑎𝑎1
𝑦𝑦 = 𝑦𝑦1 + λ𝑎𝑎2
𝑧𝑧 = 𝑧𝑧1 + λ𝑎𝑎3
2
𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1; 𝑧𝑧1 + λ 𝑎𝑎1;𝑎𝑎2;𝑎𝑎3
3
4
3
4
Ecuación de la Recta que pasa por un punto
5 Desp. de 5 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 
𝑎𝑎2
𝑎𝑎1
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
Siendo 𝑚𝑚 la pendiente 
VER
Diapo 3 
Gráfico
6
Expresándola con las 
componentes
Ecuaciones - Continuación
Recta
Forma Explícita
87𝑦𝑦 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0
De 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
Forma General o Implícita
Distribuyendo y renombrando
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
𝑦𝑦 − 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑏𝑏 = 0
B𝑦𝑦 − 𝐵𝐵𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝐵𝐵𝑏𝑏 = 0
A C
Ecuación de la Recta que pasa por dos puntos
9
De 6 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑚𝑚 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 
𝑦𝑦2−𝑦𝑦1
𝑥𝑥2−𝑥𝑥1
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥1 𝑥𝑥2
𝑦𝑦1
𝑦𝑦2
Ecuación Segmentaria
De 9 Dividiendo por – C y reacomodando la expresión
𝑥𝑥
𝑎𝑎 +
𝑦𝑦
𝑏𝑏 = 1 10
𝑥𝑥
𝑦𝑦
0
𝑏𝑏
𝑎𝑎
𝐴𝐴𝑥𝑥
−𝐶𝐶 +
𝐵𝐵𝑦𝑦
−𝐶𝐶 +
𝐶𝐶
−𝐶𝐶 = 0
𝑥𝑥
−𝐶𝐶
𝐴𝐴
+
𝑦𝑦
−𝐶𝐶
𝐵𝐵
= 1
𝑎𝑎 =
−𝐶𝐶
𝐴𝐴 𝑦𝑦 𝑏𝑏 =
−𝐶𝐶
𝐵𝐵
6
Ángulo entre dos rectas
Recta
𝑥𝑥
𝑦𝑦
0
𝑟𝑟1
𝑟𝑟2
𝑏𝑏1 𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
𝑏𝑏2
𝛼𝛼
Aplicando el producto escalar
Podemos determinar el ángulo ∝
�𝑟𝑟1 . �𝑟𝑟2 = �𝑟𝑟1 �𝑟𝑟2 cos ∝ siendo 0° ≤∝≤ 90°
cos ∝ =
�𝑟𝑟1 . �𝑟𝑟2
�𝑟𝑟1 �𝑟𝑟2
=
𝑎𝑎1𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2𝑏𝑏2
𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22 . 𝑏𝑏1
2 + 𝑏𝑏2
2
𝛼𝛼 = arccos
𝑎𝑎1𝑏𝑏1 + 𝑎𝑎2𝑏𝑏2
𝑎𝑎12 + 𝑎𝑎22 . 𝑏𝑏1
2 + 𝑏𝑏2
2
El ángulo que forman dos rectas es el ángulo que 
forman sus vectores directores Observación
Si 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 ∝ = 0 entonces las rectas son perpendiculares
Si �𝑎𝑎 = λ�𝑏𝑏 entonces las rectas son paralelas
Familia o haz de rectas
Recta
Rectas paralelas
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑦𝑦 = 𝑚𝑚1𝑥𝑥 + 𝑘𝑘
Tienen la misma 
pendiente o 
coeficiente angular
Satisfacen una única condición geométrica
−∞ < 𝑘𝑘 < ∞
𝑘𝑘: 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑟𝑟𝑏𝑏𝑎𝑎𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑟𝑟𝑎𝑎𝑎𝑎
Rectas concurrentes
𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1
Pasan por un punto
−∞ < 𝑘𝑘 < ∞
Tienen distintas 
pendientes
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑥𝑥1
𝑦𝑦1
Rectas que pasan por la intersección de otras dos
Combinando 
−∞ < 𝑘𝑘 < ∞
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑟𝑟1
𝑟𝑟2
Determinamos la ecuación de cualquier recta que pasa por 
la intersección de otras dos sin conocer el punto
𝑟𝑟1 ∶ 𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 = 0
𝑟𝑟2 ∶ 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2 = 0
𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1 + 𝑘𝑘 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2 = 0
Rectas no paralelas 
(𝐴𝐴1+𝑘𝑘𝐴𝐴2) 𝑥𝑥 + (𝐵𝐵1+𝑘𝑘𝐵𝐵2) 𝑦𝑦 + (𝐶𝐶1+𝑘𝑘𝐶𝐶2) = 0
Despejando “y”
𝑦𝑦 = −
(𝐴𝐴1+𝑘𝑘𝐴𝐴2)
(𝐵𝐵1+𝑘𝑘𝐵𝐵2) 𝑥𝑥 −
(𝐶𝐶1+𝑘𝑘𝐶𝐶2)
(𝐵𝐵1+𝑘𝑘𝐵𝐵2)
𝑚𝑚 𝑏𝑏
Video Rectas paralelas, concurrentes y que 
pasan por la intersección de otras dos
Familia o haz de rectas
Recta
Rectas paralelas, concurrentes y que pasan por la intersección de otras dos
Rectas en el espacio
Recta
Rectas paralelas
Se intersectan en un 
plano común
Rectas concurrentes Rectas alabeadas
Los planos son paralelos
Comparten un mismo 
plano
𝑥𝑥
𝑦𝑦
𝑟𝑟1
𝑟𝑟2
𝑧𝑧
Las rectas no son paralelas y 
no tienen intersección
Ayudita
Para determinar si dos rectas son alabeadas
1) Determina si son paralelas
2) Determina si hay intersección 
3) Si no ocurre ni 1) ni 2) entonces son alabeadas
https://drive.google.com/file/d/1KkTmCzo5PenB5VaRJt7ivrvCPT-i_b-0/view?usp=sharing https://drive.google.com/file/d/1gjhfv2-7_0N1Nv5CWaIh-_1DHI1cT-7q/view?usp=sharing
Rectas paralelas y concurrentes en un plano en el espacio
Rectas alabeadas
https://drive.google.com/file/d/1KkTmCzo5PenB5VaRJt7ivrvCPT-i_b-0/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/1gjhfv2-7_0N1Nv5CWaIh-_1DHI1cT-7q/view?usp=sharing
Forma Normal de la Ecuación de la Recta en 𝑹𝑹𝟐𝟐
Recta
𝑃𝑃1𝑃𝑃 vector perpendicular a �𝑐𝑐
Teniendo en cuenta lo anterior, el producto escalar será igual a cero
𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷 . �𝒏𝒏 = 𝟎𝟎
Siendo �𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 ̂𝚤𝚤 + 𝐵𝐵 ̂𝚥𝚥 y 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ̂𝚤𝚤 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 ̂𝚥𝚥
�𝑐𝑐 . 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = 𝐴𝐴 ̂𝚤𝚤 + 𝐵𝐵 ̂𝚥𝚥 . 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ̂𝚤𝚤 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 ̂𝚥𝚥
Resolviendo el producto escalar , tenemos
𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 = 0
𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝐴𝐴𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 − 𝐵𝐵 𝑦𝑦1 = 0
𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 − (𝐴𝐴𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦1) = 0
𝑟𝑟
r: recta que pasa por el punto 𝑃𝑃1 y es perpendicular a un vector �𝑐𝑐(A;B)
𝑝𝑝
𝑥𝑥
𝑦𝑦
0 𝐴𝐴
𝑤𝑤
𝐵𝐵 �𝑐𝑐(A;B)
𝑃𝑃1(𝑥𝑥1;𝑦𝑦1)
𝑃𝑃(𝑥𝑥;𝑦𝑦)
Dividiendo por �𝒏𝒏
𝐴𝐴
�𝒏𝒏
𝒙𝒙 +
𝐵𝐵
�𝒏𝒏
𝒚𝒚 −
𝐴𝐴
�𝒏𝒏
𝑥𝑥1 +
𝐵𝐵
�𝒏𝒏
𝑦𝑦1 = 𝟎𝟎
Siendo
𝐴𝐴
�𝑛𝑛
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 𝑦𝑦 𝐵𝐵
�𝑛𝑛
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤
Entonces
𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 + 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 − 𝑝𝑝 = 0
Siendo 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥1 cos𝑤𝑤 + 𝑦𝑦1 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤
𝑥𝑥1
𝑦𝑦1
𝑥𝑥
𝑦𝑦
Expresiones Cartesianas
Producto Escalar
Sumatoria de los productos
de las componentes homólogas
Reacomodando
Distribuyendo
Ver en el gráfico
�𝑐𝑐 : módulo del vector normal
𝑝𝑝 ∶ Distancia desde el origen hasta la recta en dirección normal
00 ≤ 𝑤𝑤 ≤ 3600
Transformación de la ecuación general o implícita a la forma normal
Recta
La ecuación general o implícita es 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = 0
Y a la expresión 𝐴𝐴
�𝒏𝒏
𝒙𝒙 + 𝐵𝐵
�𝒏𝒏
𝒚𝒚 − 𝐴𝐴
�𝒏𝒏
𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵
�𝒏𝒏
𝑦𝑦1 = 𝟎𝟎 está dividirla por �𝑐𝑐 (módulo del vector normal)
𝐴𝐴
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
𝑥𝑥 + 𝐵𝐵
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
𝑦𝑦 + 𝐶𝐶
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 0 entonces
𝐴𝐴𝑥𝑥+𝐵𝐵 𝑦𝑦+𝐶𝐶
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 0
𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 + 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 − 𝑝𝑝 = 0
El signo del radical lo escogemos de modo tal 
que el resultado sea “ − 𝑝𝑝𝑝
Siendo 𝐾𝐾 = 1
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
Reemplazando
Consideraciones
 El signo de K debe ser opuesto al de C para obtener “ − 𝑝𝑝𝑝
 Si 𝐶𝐶 = 0 El signo de “k” debe ser igual al signo de B
 Si B= 0 El signo de “k” debe ser igual al signo de A
Cálculo de la distancia de una recta a un punto o a otra recta paralela
Recta
"𝑝𝑝𝑝 distancia desde el origen hasta la recta “r”
�𝑐𝑐 : Vector normal 
Queremos determinar la distancia “d”
Desde la recta “r” hasta el punto 𝑃𝑃0
"𝑃𝑃0" pertenece a la recta "𝑟𝑟0” que es paralela a “ r”
Entonces la ecuación de la rectapara "𝑟𝑟0” // a “r” es 
𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 + 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 − (𝑝𝑝 + 𝑑𝑑) = 0
Y despejando
𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 + 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑤𝑤 − 𝑝𝑝
𝑟𝑟
𝑝𝑝
𝑥𝑥
𝑦𝑦
0 𝐴𝐴
𝑤𝑤
𝐵𝐵 �𝑐𝑐(A;B)
𝑃𝑃0(𝑥𝑥0;𝑦𝑦0)
𝑟𝑟0
𝑤𝑤
𝒅𝒅
𝑃𝑃0 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐
en ≠ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
respecto de la recta
≠
+
𝑃𝑃0 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐
en 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑚𝑚𝑎𝑎𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐
respecto de la recta
−
Cálculo de distancia de general o implícita a la forma normal
Recta
𝐴𝐴
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
𝑥𝑥 + 𝐵𝐵
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
𝑦𝑦 + 𝐶𝐶
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 𝑑𝑑 entonces
𝐴𝐴𝑥𝑥+𝐵𝐵 𝑦𝑦+𝐶𝐶
± 𝐴𝐴2+𝐵𝐵2
= 𝑑𝑑
Iguales consideraciones respecto al signo que las indicadas en la diapositiva anterior
Distancia en 𝑹𝑹𝟑𝟑 entre un punto y una recta y entre dos rectas paralelas
Recta
Queremos determinar la distancia “d”
Desde la recta “r” hasta el punto 𝑃𝑃0
"𝑃𝑃0" pertenece a la recta "𝑟𝑟0” que es paralela a “ r”
Considerando el producto vectorial
�𝑎𝑎
𝑥𝑥
𝑧𝑧
0
𝒅𝒅
𝑟𝑟
𝑃𝑃0(𝑥𝑥0;𝑦𝑦0; 𝑧𝑧0)
𝑟𝑟0
𝑃𝑃1(𝑥𝑥1;𝑦𝑦1; 𝑧𝑧1) 𝛼𝛼
�𝑎𝑎 =(𝑎𝑎1; 𝑎𝑎2; 𝑎𝑎3)
Dirección de la recta “r” que pasa por el punto 𝑃𝑃1(𝑥𝑥1;𝑦𝑦1; 𝑧𝑧1)
𝑦𝑦
𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟎𝟎 ∗ �𝒂𝒂 = 𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟎𝟎 . �𝒂𝒂 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬 𝛂𝛂
"𝛼𝛼" formado por la recta “r” en dirección del vector �𝑎𝑎
y el vector 𝑃𝑃1𝑃𝑃0
Siendo 𝑃𝑃1𝑃𝑃0 sen 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐 sen 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑
𝑃𝑃1𝑃𝑃0
entonces 𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟎𝟎 ∗ �𝒂𝒂 = �𝒂𝒂 𝒅𝒅
Y despejando 𝒅𝒅 = 𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟎𝟎 ∗ �𝒂𝒂
�𝒂𝒂Observación
En caso de determinar distancia entre rectas paralelas "𝑟𝑟0” pasa por el punto 𝑃𝑃0 https://www.geogebra.org/m/rWtAXWcu
https://www.geogebra.org/m/rWtAXWcu
Distancia entre dos rectas alabeadas
Recta
Las rectas alabeadas pertenecen a distintos planos y no 
son paralelas
"𝑃𝑃1" pertenece a la recta "𝑟𝑟1” y tiene dirección 𝑎𝑎1
"𝑃𝑃2" pertenece a la recta "𝑟𝑟2” y tiene dirección 𝑎𝑎2
�𝑐𝑐 es perpendicular a "𝑟𝑟1” y a "𝑟𝑟2”
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑑𝑑
𝑟𝑟1
𝛼𝛼
𝑦𝑦
𝐿𝐿𝑎𝑎 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑐𝑐𝑦𝑦𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 sobre la normal es “d”
Realizando el producto escalar
𝑃𝑃1𝑃𝑃2 . �𝑐𝑐 = 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 �𝑐𝑐 cos𝛼𝛼
𝑃𝑃1𝑃𝑃2 . �𝑐𝑐 = 𝑑𝑑 �𝑐𝑐
Despejando 𝒅𝒅 = 𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟐𝟐 . �𝒏𝒏
�𝒏𝒏
𝑃𝑃1
𝑃𝑃2
𝑟𝑟2
�𝑐𝑐
𝑃𝑃1𝑃𝑃2
0
𝑎𝑎1
𝑎𝑎2
Como el 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = 𝑑𝑑
𝑃𝑃1𝑃𝑃2
entonces 𝑑𝑑 = 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 cos𝛼𝛼 y reemplazando
𝒅𝒅 = 𝑷𝑷𝟏𝟏𝑷𝑷𝟐𝟐 . 𝑎𝑎1 x 𝑎𝑎2
𝑎𝑎1 x 𝑎𝑎2Siendo �𝑐𝑐 = 𝑎𝑎1 x 𝑎𝑎2
https://drive.google.com/file/d/14VCCJvC4Po7JB_bSvHrcLKRu3WxZvQx4/view?usp=sharing
https://drive.google.com/file/d/14VCCJvC4Po7JB_bSvHrcLKRu3WxZvQx4/view?usp=sharing
Ecuación vectorial del plano que pasa por un punto y es perpendicular a un vector
Plano
Definimos un vector con los puntos 𝑃𝑃1 y P →𝑃𝑃1𝑃𝑃
𝑃𝑃1 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1 ; 𝑧𝑧1 es un punto conocido
𝑃𝑃 𝑥𝑥;𝑦𝑦; 𝑧𝑧 representa un punto genérico
Considerando que �𝑐𝑐 es perpendicular al plano
Entonces el producto escalar entre 𝑃𝑃1𝑃𝑃 y el vector 
normal �𝑐𝑐 será igual a cero
�𝑐𝑐 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = 0𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑑𝑑
𝑦𝑦𝑃𝑃1 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1 ; 𝑧𝑧1
0 𝑃𝑃 (𝑥𝑥;𝑦𝑦; 𝑧𝑧)
�𝑐𝑐(𝐴𝐴;𝐵𝐵;𝐶𝐶)
�𝑐𝑐: Vector que parte del origen y es perpendicular al plano
Plano
Siendo �𝑐𝑐 = 𝐴𝐴 ̂𝚤𝚤 + 𝐵𝐵 ̂𝚥𝚥 + 𝐶𝐶 �𝑘𝑘 y 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ̂𝚤𝚤 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 ̂𝚥𝚥 + 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 �𝑘𝑘
�𝑐𝑐 . 𝑃𝑃1𝑃𝑃 = 𝐴𝐴 ̂𝚤𝚤 + 𝐵𝐵 ̂𝚥𝚥 + 𝐶𝐶 �𝑘𝑘 . 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 ̂𝚤𝚤 + 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 ̂𝚥𝚥 + 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 �𝑘𝑘 = 0
Donde resolviendo , tenemos
Ecuación general o implícita
𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 + 𝐶𝐶 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1 = 0
𝐴𝐴 𝑥𝑥 − 𝐴𝐴𝑥𝑥1 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 − 𝐵𝐵 𝑦𝑦1 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 − 𝐶𝐶𝑧𝑧1 = 0
𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + (−𝐴𝐴𝑥𝑥1 − 𝐵𝐵 𝑦𝑦1 − 𝐶𝐶𝑧𝑧1) = 0
𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + D = 0
Son las componentes de su Normal
Números directores
Expresión Cartesiana
Producto Escalar
Sumatoria de los productos de las componentes 
homólogas
Distribuyendo
Reacomodando
Ecuación General o Implícita
Plano
Ejemplo
Ecuación general o implícita
Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto T(-2;-1;5) 
y que es perpendicular a la recta determinada por los puntos Q(2;-1;2) y R(-3; 1; -2)
Primero tenemos que hallar la recta normal al plano
�𝑐𝑐 = 𝑄𝑄 – 𝑅𝑅 = (2;−1; 2) − (−3; 1; −2) = (5; −2; 4)
Ahora podemos determinar la ecuación general del plano
Realizamos el producto escalar entre la recta normal al plano y el vector 𝑃𝑃𝑃𝑃 formado por el punto genérico “P” 
y el punto conocido “ T”
�𝑐𝑐 .𝑃𝑃𝑃𝑃 = 5; −2; 4 . (x+2; y +1; z − 5) =0
�𝑐𝑐 .𝑃𝑃𝑃𝑃 = 5. x+2 − 2 . y +1 + 4. z − 5 = 0
�𝑐𝑐 .𝑃𝑃𝑃𝑃 = 5. x + 10 – 2𝑦𝑦 – 2 + 4𝑧𝑧 − 20 = 0
5. x– 2𝑦𝑦 + 4𝑧𝑧 − 12 = 0
Sumatoria de los productos
de las componentes homólogas
Planteando el producto escalar
Distribuyendo
Plano
Forma segmentaria de la ecuación del plano
𝑥𝑥
𝑎𝑎 +
𝑦𝑦
𝑏𝑏 +
𝑧𝑧
𝑐𝑐 = 1
En la ecuación general o implícita cuando 𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + D = 0 siendo 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 , 𝐶𝐶 𝑦𝑦 D ≠ 0
tenemos un plano en cualquier posición en el espacio
¿Dónde intersecta el plano a los ejes coordenados?
𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑦𝑦 = 0 ۸ 𝑧𝑧 = 0 → 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐷𝐷 = 0 → 𝑥𝑥 = −
𝐷𝐷
𝐴𝐴
= 𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑎𝑎; 0; 0
𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 0 ۸ 𝑧𝑧 = 0 → 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐷𝐷 = 0 → 𝑦𝑦 = −𝐷𝐷
𝐵𝐵
= 𝑏𝑏 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (0; 𝑏𝑏; 0)
𝑆𝑆𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 0 ۸ 𝑦𝑦 = 0 → 𝐶𝐶𝑧𝑧 + 𝐷𝐷 = 0 → 𝑧𝑧 = −𝐷𝐷
𝐶𝐶
= 𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑑𝑑𝑐𝑐 𝑎𝑎𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (0; 0; 𝑐𝑐)
Geométricamente
Los valores de “a”, 
”b”, ”c” son las 
distancias desde el 
origen de coordenadas 
hasta las 
intersecciones del 
plano con cada eje.
¿Cómo obtenemos la ecuación segmentaria del plano?
𝐴𝐴𝑥𝑥
−𝐷𝐷 +
𝐵𝐵𝑦𝑦
−𝐷𝐷 +
𝐶𝐶𝑧𝑧
−𝐷𝐷 +
𝐷𝐷
−𝐷𝐷 = 0
𝑥𝑥
−𝐷𝐷
𝐴𝐴
+
𝑦𝑦
−𝐷𝐷
𝐵𝐵
+
𝑧𝑧
−𝐷𝐷
𝐶𝐶
= 1
De forma 
análoga a 
como hicimos 
con la recta
𝑥𝑥
𝑦𝑦
(𝑎𝑎; 0; 0)
𝑧𝑧
(0;𝑏𝑏; 0)
(0; 0; 𝑐𝑐)
0
Plano
Planos paralelos y perpendiculares. Ángulo entre planos
Planos paralelos
𝑆𝑆𝑎𝑎 𝜋𝜋1 //𝜋𝜋2 → 𝑐𝑐1//𝑐𝑐2
𝜋𝜋1
𝜋𝜋2
𝑐𝑐1
𝑐𝑐2
Entonces sus componentes son múltiplos 
escalares 
y el producto vectorial es igual a cero 
𝜋𝜋1: 𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1𝑧𝑧 + 𝐷𝐷1 = 0 → 𝑐𝑐1 = 𝐴𝐴1; 𝐵𝐵1;𝐶𝐶1
𝜋𝜋2: 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2𝑧𝑧 + 𝐷𝐷2 = 0 → 𝑐𝑐2 = 𝐴𝐴2; 𝐵𝐵2;𝐶𝐶2
𝐴𝐴1; 𝐵𝐵1;𝐶𝐶1 = λ 𝐴𝐴2; 𝐵𝐵2;𝐶𝐶2
Y se cumple que 
𝐴𝐴1
𝐴𝐴2
= 𝐵𝐵1
𝐵𝐵2
= 𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
Si 𝜋𝜋1 es coincidente con 𝜋𝜋2
𝐴𝐴1
𝐴𝐴2
=
𝐵𝐵1
𝐵𝐵2
=
𝐶𝐶1
𝐶𝐶2
=
𝐷𝐷1
𝐷𝐷2
Planos perpendiculares Ángulo entre planos
cos𝜃𝜃 =
𝐴𝐴1𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵1𝐵𝐵2 . +𝐶𝐶1𝐶𝐶2 .
𝐴𝐴12 + 𝐵𝐵12 + 𝐶𝐶12 . 𝐴𝐴22 + 𝐵𝐵22 + 𝐶𝐶22
Si 𝜋𝜋1 ⊥ 𝜋𝜋2 → 𝑐𝑐1 ⊥ 𝑐𝑐2
𝜋𝜋1
𝜋𝜋2
𝜃𝜃
𝑐𝑐1
𝑐𝑐2
𝜃𝜃
Cuando dos planos son perpendiculares,
Sus vectores normales también los son
𝑆𝑆𝑎𝑎 θ =90° → cos 90° = 0
Entonces el producto escalar de sus 
normales será igual a cero
𝑐𝑐1 .𝑐𝑐2 = 𝐴𝐴1𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵1𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶1𝐶𝐶2 = 0
El ángulo que forman los planos ,
Es el mismo que forman sus vectores normales
Con el producto escalar podemos calcularlo
𝑐𝑐1 . 𝑐𝑐2 = 𝑐𝑐1 𝑐𝑐2 cos𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝜃𝜃
𝑐𝑐1
𝑐𝑐2
Plano
Posiciones relativas del plano respecto a los ejes y planos coordenados
En la ecuación general o implícita cuando 𝐴𝐴 𝑥𝑥 + 𝐵𝐵 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + D = 0 siendo 𝐴𝐴 , 𝐵𝐵 , 𝐶𝐶 𝑦𝑦 D ≠ 0
tenemos un plano en cualquier posición en el espacio
Ahora vamos a analizar distintos casos donde A; B; C y D valen cero
Plano
Posiciones relativas del plano respecto a los ejes y planos coordenados
Casos
a = 0C = 0 B = 0
𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + D = 0 𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + D = 0 𝜋𝜋: 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 +D = 0
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
Plano 𝝅𝝅 ⊥ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒏𝒏𝒑𝒑 𝒙𝒙𝒚𝒚
Plano 𝝅𝝅 // 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒛𝒛
Plano 𝝅𝝅 ⊥ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒏𝒏𝒑𝒑 𝒙𝒙𝒛𝒛
Plano 𝝅𝝅 // 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒚𝒚
Plano 𝝅𝝅 ⊥ 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒂𝒂𝒏𝒏𝒑𝒑 𝒚𝒚𝒛𝒛
Plano 𝝅𝝅 // 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒙𝒙
Regla: plano // al eje que NO figura y ⊥ al plano que forman los ejes que SI figuran 
en la ecuación del plano
𝜋𝜋
𝜋𝜋
𝜋𝜋
Plano
Posiciones relativas del plano respecto a los ejes y planos coordenados
Casos
a = B = 0B = C = 0 a = C = 0
𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + D = 0 𝜋𝜋: 𝐵𝐵𝑦𝑦 + D = 0 𝜋𝜋: +𝐶𝐶𝑧𝑧 + D = 0
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋 // 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑧𝑧
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑥𝑥
Plano 𝜋𝜋 // 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑧𝑧
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋 // 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 z
Regla: plano // al plano que forman las variables que NO figuran y ⊥ al eje de la variable que SI figura 
en la ecuación del plano
Plano
Posiciones relativas del plano respecto a los ejes y planos coordenados
Casos
a = D = 0C = D = 0 B = D = 0
𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + By = 0 𝜋𝜋: 𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 = 0 𝜋𝜋: 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 = 0
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋//𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑧𝑧
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑧𝑧
Plano 𝜋𝜋//𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 𝑦𝑦
Plano 𝜋𝜋 ⊥ 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦𝑧𝑧
Plano 𝜋𝜋//𝑐𝑐𝑒𝑒𝑐𝑐 x
Regla: la ecuación con dos variables representa un plano que pasa por el origen 
y contiene al eje coordenado que NO aparece en la ecuación del plano
Plano
Ecuación vectorial del plano determinada por tres puntos
𝑃𝑃1𝑃𝑃 . 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 ∗ 𝑃𝑃1𝑃𝑃3 = 0
Ecuación vectorial del plano determinada por tres puntos
Por tres puntos no alineados pasa un único plano
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
𝑃𝑃1
𝑃𝑃
𝑃𝑃3
𝑃𝑃2𝜋𝜋
Para determinar la ecuación del plano 𝜋𝜋 necesitamos 
tres puntos conocidos 𝑃𝑃1 ,𝑃𝑃2 , 𝑃𝑃3 no alineados
y un punto genérico 𝑃𝑃 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧
Formamos los vectores 𝑃𝑃1𝑃𝑃 , 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 y 𝑃𝑃1𝑃𝑃3
Si los tres vectores pertenecen al mismo plano , 
entonces, el producto mixto es igual a cero
ReCoRDaR
En e l producto vectorial 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 ∗ 𝑃𝑃1𝑃𝑃3 = �𝑐𝑐 → Vector ⊥ al plano 𝜋𝜋
y el producto escalar de vectores perpendiculares es igual a cero , 𝑃𝑃1𝑃𝑃 . �𝑐𝑐 = 0
�𝑐𝑐
Plano
Ecuación cartesiana del plano determinada por tres puntos
𝑃𝑃1𝑃𝑃 . 𝑃𝑃1𝑃𝑃2 ∗ 𝑃𝑃1𝑃𝑃3 =
𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦1 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧1
𝑥𝑥2 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦2 − 𝑦𝑦1 𝑧𝑧2 − 𝑧𝑧1
𝑥𝑥3 − 𝑥𝑥1 𝑦𝑦3 − 𝑦𝑦1 𝑧𝑧3 − 𝑧𝑧1
= 0
Siendo las coordenadas de los puntos conocidos 𝑃𝑃1 𝑥𝑥1;𝑦𝑦1; 𝑧𝑧1 ,𝑃𝑃2 𝑥𝑥2;𝑦𝑦2; 𝑧𝑧2 , 𝑃𝑃3 𝑥𝑥3;𝑦𝑦3; 𝑧𝑧3
y las del punto genérico 𝑃𝑃 𝑥𝑥,𝑦𝑦, 𝑧𝑧 , tenemos
𝑃𝑃1
𝑃𝑃
𝑃𝑃3
𝑃𝑃2
Familia o haz de planos
Plano
Familia o haz de planos paralelas
𝑘𝑘 𝜀𝜀 𝑅𝑅
Para cada valor de “k” se tiene un plano paralelo
El vector normal es el mismo - �𝑐𝑐 𝐴𝐴;𝐵𝐵;𝐶𝐶
Es un conjunto de planos con una propiedad común
Pasan por un punto 𝑃𝑃0 𝑥𝑥0;𝑦𝑦0; 𝑧𝑧0
Y cambian las componentes del vector normal
Siendo el haz de planos
−∞ < 𝑘𝑘 < ∞
𝜋𝜋1 y 𝜋𝜋2 constituyen un sistema de ecuaciones con tres incógnitas que corresponden a un sistema compatible indeterminado 
donde las infinitas soluciones corresponden a los distintos planos que pasan por la recta eje de haz 
𝜋𝜋1 ∶ 𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1𝑧𝑧 + 𝐷𝐷1 = 0
𝐴𝐴1𝑥𝑥 + 𝐵𝐵1𝑦𝑦 + 𝐶𝐶1𝑧𝑧 + 𝐷𝐷1 + 𝑘𝑘 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2𝑧𝑧 + 𝐷𝐷2 = 0
𝐴𝐴𝑥𝑥 + 𝐵𝐵𝑦𝑦 + 𝐶𝐶𝑧𝑧 + 𝑘𝑘 = 0
Familia o haz de planos que pasan por un punto
𝑘𝑘1 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥0 + 𝑘𝑘2 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦0 + 𝑘𝑘3 𝑧𝑧 − 𝑧𝑧0 = 0
Familia o haz de planos que pasan por la intersección de otros dos
𝜋𝜋2 ∶ 𝐴𝐴2𝑥𝑥 + 𝐵𝐵2𝑦𝑦 + 𝐶𝐶2𝑧𝑧 + 𝐷𝐷2 = 0
La intersección entre dos planos no paralelos ni coincidentes definen una recta y los infinitos planos que pasan por ella definen el haz
𝜋𝜋1
𝜋𝜋2
Eje del haz
Plano
𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄 𝜶𝜶+ 𝒚𝒚 𝐜𝐜𝐜𝐜𝐬𝐬𝜷𝜷 + 𝒛𝒛 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄𝜸𝜸 − 𝒑𝒑 = 𝟎𝟎
Forma Normal de la Ecuación del Plano
Siendo 
(cos 𝛼𝛼)2 + (cos𝛽𝛽)2 + (cos 𝛾𝛾)2 = 1 la relación 
fundamental
𝑨𝑨𝒙𝒙+𝑩𝑩 𝒚𝒚+𝑪𝑪𝒛𝒛+𝑫𝑫
± 𝑨𝑨𝟐𝟐+𝑩𝑩𝟐𝟐+𝑪𝑪𝟐𝟐
= 𝟎𝟎
Ecuación General Normal
�𝑐𝑐: Vector que parte del origen y es perpendicular al plano
𝑝𝑝: Distancia desde el origen hasta el plano
𝛼𝛼,𝛽𝛽, 𝛾𝛾: Ángulos directores (ángulos entre los ejes y el vector �𝑐𝑐 )
con los que se conforman los cosenos directores
𝑝𝑝
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦0
�𝑐𝑐(𝐴𝐴;𝐵𝐵;𝐶𝐶)
𝛽𝛽
𝛾𝛾
𝛼𝛼
 El signo del radical debe ser opuesto al de D para obtener “ − 𝑝𝑝𝑝
 Si 𝐷𝐷 = 0 → El signo del radical debe ser igual al signo de C
 Si 𝐷𝐷 = 𝐶𝐶 = 0 → El signo del radical debe ser igual al signo de B
 Si 𝐷𝐷 = 𝐶𝐶 = 𝐵𝐵 = 0 → El signo del radical debe ser igual al signo de A
y
Observación 
Si ambas ecuaciones representan la misma relación, entonces sus coeficientes deben ser proporcionales
𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 = 𝐴𝐴𝐾𝐾 ; cos𝛽𝛽 = 𝐵𝐵𝐾𝐾 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾 = 𝐶𝐶𝐾𝐾 ; −𝑝𝑝 = 𝐷𝐷𝐾𝐾 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼
𝐴𝐴
= 𝐾𝐾 ; cos 𝛽𝛽
𝐵𝐵
= 𝐾𝐾 ; 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾
𝐶𝐶
= 𝐾𝐾 ; −𝑝𝑝
𝐷𝐷
= 𝐾𝐾
𝐾𝐾 =
1
± 𝐴𝐴2 + 𝐵𝐵2 + 𝐶𝐶2
Ecuación Normal del Plano
Plano
El plano 𝜋𝜋 tiene por ecuación normal
𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑦𝑦 cos𝛽𝛽 + 𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾 − 𝑝𝑝 = 0
𝑄𝑄0 se encuentra en un plano paralelo al plano 𝜋𝜋 por lo que 
tiene la misma normal
y 
tendrá por ecuación normal
𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 + 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽 + 𝑧𝑧 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝛾𝛾 − (𝑝𝑝 + 𝑑𝑑) = 0
Lo que cambia entre ambos planos es la distancia 
desde el origen
El plano 𝜋𝜋 tiene distancia 𝑝𝑝
El plano que contiene a 𝑄𝑄0 tiene distancia 𝑑𝑑
𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄 𝜶𝜶 + 𝒚𝒚 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄𝜷𝜷 + 𝒛𝒛 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄𝜸𝜸 − 𝒑𝒑 = 𝒅𝒅
Como 𝑄𝑄0 debe satisfacer la ecuación, tenemos: 
𝒅𝒅 = 𝒙𝒙𝟎𝟎𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄 𝜶𝜶+ 𝒚𝒚𝟎𝟎 𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄𝜷𝜷 + 𝒛𝒛𝟎𝟎𝒄𝒄𝒑𝒑𝒄𝒄𝜸𝜸 − 𝒑𝒑
�𝑐𝑐: Vector que parte del origen y es perpendicular al plano
𝑝𝑝: Distancia desde el origen hasta el plano 𝜋𝜋
𝑑𝑑: Distancia desde el plano 𝜋𝜋 hasta el punto 𝑃𝑃0
𝑝𝑝
𝑥𝑥
𝑧𝑧
𝑦𝑦
0
�𝑐𝑐
𝜋𝜋
Distancia desde un punto a un plano y entre dos planos paralelos.
𝑑𝑑
𝑄𝑄0 = (𝑥𝑥0;𝑦𝑦0; 𝑧𝑧0)
Observación 
𝑆𝑆𝑎𝑎 "d" 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐 → 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑠𝑠𝑎𝑎𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐
𝑆𝑆𝑎𝑎 "d" 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑜𝑜𝑎𝑎𝑐𝑐𝑎𝑎𝑝𝑝𝑐𝑐 → 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑎𝑎𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑝𝑝𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑎𝑎𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑚𝑚𝑎𝑎𝑐𝑐𝑚𝑚𝑐𝑐 𝑠𝑠𝑎𝑎𝑑𝑑𝑐𝑐
El plano divide el espacio en dos subespacios
un tiempo de descanso
Ahora, hay que continuar con el práctico
Pero primero, 
Material desarrollado para las clases de Álgebra y Geometría Analítica
con fines didácticos
Bibliografía y webgrafía consultada: 
Material de Cátedra
Imágenes
Recopilado por Ing. Silvia Socolovsky
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