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Operacione� elementale� d� fila�
➔ Tipo 1: ei(k) con k → la fila i la multiplico por el≠ 0
escalar no nulo k.
➔ Tipo 2: eij(k) con k → a la fila i le sumo la fila j previamente multiplicada por un≠ 0
escalar.
➔ Tipo 3: eij→ a la fila i la cambio por la fila j
Si una matriz B se obtiene al aplicar una
operación elemental de filas e sobre otra
matriz A, existe una operación del mismo tipo,
que aplicada a B da como resultado la matriz
A. Esta segunda operación se denomina
inversa de la primera y se indica e-1.
Matriz escalonada reducida por filas: condiciones que tiene que cumplir una matriz para ser
una matriz escalonada reducida por filas:
● Filas nulas en la parte inferior de la matriz.
● El primer elemento no nulo de cada fila debe ser un 1→ elemento conductor, uno pivote
o principal.
● En dos filas consecutivas el elemento conductor debe estar más a la derecha que el
anterior.
● En las columnas de los elementos conductores el resto de los elementos deben ser
cero.
Equivalencia por filas de matrices: Si la matriz B se obtiene de A, mediante una sucesión
finita de operaciones elementales de filas, se dice que “B es equivalente por filas a A”. f
Se indica: A B≈
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Propiedades:
● Reflexividad: A A→ Una matriz es equivalente por filas a si misma.≈
● Simetría: B A A B→Si una matriz A es equivalente por filas a B, entonces B es≈ ⇒ ≈
equivalente por filas a A.
● Transitividad: A B y B C A C→Si una matriz B es equivalente por filas a A, y C es≈ ≈ ⇒ ≈
equivalente por filas a B, entonces C es equivalente por filas a A.
Toda matriz es equivalente por filas a una única matriz escalonada reducida por filas.
Sistem� d� ecuacione� lineale�.
→Ecuación lineal: Dados los escalares a1, a2,..., an, h se denomina ecuación lineal con n
incógnitas a la expresión a1x1+a2x2+...+anxn = h→ las n incógnitas o variables están
representadas por x y los coeficientes que acompañan las incógnitas por a. b es el termino
independiente.
→Sistema de ecuaciones lineales: conjunto finito de ecuaciones lineales. Al conjunto
ordenado de números que verifican simultáneamente todas las ecuaciones se los denomina
solución del sistema lineal.
Al conjunto de todas las soluciones se los denomina conjunto de solución o solución general
del sistema.
→Sistema de ecuaciones equivalentes: tienen el mismo conjunto solución. El método para
resolver un sistema de ecuaciones lineales es transformarlo en otro u otros sistemas
equivalentes, donde la solución sea fácil de determinar.
En la ecuación equivalente que aparece la solución se la llama sistema resolvente.
→Representación matricial:
Matriz del lado izquierdo de la línea de puntos→matriz de los
coeficientes.
Matriz del lado derecho de la línea de puntos(H)→Matriz segundo
miembro
Columna X→ matriz de incógnitas (matriz columna con x1,x2,x3,
etc)
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Procedimiento a seguir para resolver un sistema de ecuaciones lineales:
1) Transformar la matriz original en matriz asociada.
2) Realizar a partir de esta matriz una sucesión de operaciones de fila de modo que la
transformen en otra matriz que esté asociada a un sistema resolvente.
3) Escribir el sistema resolvente.
4) En el sistema resolvente la solución es evidente.
Sistemas resolventes:
● Las incógnitas que están precedidas por un coeficiente igual a 1, son las variables
principales→Dependen de los elementos conductores o unos pivote.
● Las variables no principales se denominan, variables secundarias. Se les puede
asignar cualquier valor real, esto se representa asignando una letra cualquiera, llamada
parámetro.
Se escribe una solución general→si tengo variables secundarias las expreso con letras,
denominadas PARÁMETROS.
Si tengo variables secundarias se escribe una solución particular→ al parámetro le asigno un
valor numérico y resuelvo las ecuaciones.
Si una variable no aparece escrita en el sistema porque su coeficiente es cero, lo que no
significa que su valor sea cero.
Teorema de Rouché Frobenius:
Un sistema de ecuaciones lineales tiene solución si y sólo si, el rango de la matriz de
coeficientes es igual al rango de la matriz ampliada.
● Si r menor a r , el sistema es incompatible.𝐴[ ] 𝐴|𝐻[ ]
● Si r = r , se pueden presentar dos situaciones:𝐴[ ] 𝐴|𝐻[ ]
→ r = r = n→ si la cantidad de unos principales coincide con el número n de𝐴[ ] 𝐴|𝐻[ ]
incógnitas, la reducida por filas de la matriz ampliada permitirá escribir una solución
única. COMPATIBLE DETERMINADA.
→r = r menor que n→ si el rango es menor que el número de incógnitas, la𝐴[ ] 𝐴|𝐻[ ]
reducida por filas de la matriz ampliada permitirá escribir una cantidad igual al r de𝐴[ ]
incógnitas principales. COMPATIBLE INDETERMINADA.
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