MATRICES

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Operacione� co� matrice�:
→ Suma y resta: Se suman o restan los elementos que ocupan el mismo lugar específico.
Las matrices deben tener el mismo orden.
Propiedades:
● Conmutativa: A+B = B+A
● Asociativa: (A+B)+C = A+(B+C)
● Elemento neutro: matriz nula
● Elemento opuesto (-A)→ A+(-A) = -A+A = O
→ Producto de matriz por escalar: kA = [ka ij]. Se multiplican todos los elementos de la matriz por
el escalar.
Propiedades:
● Asociativa mixta: k1 (k2.A) = (k1.k2)A = k2(k1.A)
● Distributiva con respecto a la suma de matrices: k.(A+B) = k.A+k.B
● Distributiva con respecto a la suma de escalares: (k1+k2)A = k1A + k2A
● Elemento neutro: 1: 1.A = A
→Combinación lineal: Sumatoria de productos por un escalar. Pueden ser de matrices en el
plano, en el espacio, de matrices, filas o columnas.
La matriz k1A k2B k3C se llama combinación lineal de las matrices A,B,C según los escalares k1, k2
y k3.
→Producto de matrices: A→orden mxn B→orden nxm. Producto→orden nxn.
Elemento en la fila i columna j de AB→ se considera la fila i de A y la columna j de B.
Multiplico los elementos de la fila i columna j entre sí, y luego sumo los resultados.
El número de columnas del primer factor (premultiplica) debe ser igual al número de filas del
segundo factor (postmultiplica)
En práctico:
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Conclusión: Cuando multiplico 2 matrices se puede dar:
→ AB está definida pero BA no.
→ AB y BA están definidas, pero son de tamaños diferentes.
→ AB y BA están definidas, y son del mismo tamaño.
En el producto de matrices no se aplica la propiedad conmutativa ni la ley de simplificación.
Propiedades:
● Asociativa: A(BC) = (AB)C
● Distributiva respecto a la suma de matrices.
→Por izquierda: A(B+C)
→Por derecha: (A+B)C
● Asociativa mixta: k(AB) = (kA)B = A(kB)→ el escalar puede conmutar.
● Elemento neutro→ I: A.I = I.A = A
→Transpuesta de una matriz: AT→ las filas pasan a ser columnas y las columnas filas.
→Traza de una matriz cuadrada: tr(A)→ suma de los elementos de la diagonal principal.
→Matriz elemental: Se obtiene aplicandole una sola operación elemental a una matriz identidad.
Cuando se premultiplica una matriz A por una matriz elemental E, el efecto es efectuar una
operación elemental de filas en A.
Teorema 1: e(A) e(I).A
Si una matriz B se puede obtener a partir de una matriz A mediante una sucesión finita de
operaciones elementales de filas, entonces resulta evidente que B se puede convertir de nuevo en
A mediante la ejecución al revés de las inversas de tales operaciones de filas.
Teorema 2: A es equivalente por filas con B si y solo si B PA , donde P es un producto de matrices
elementales.
La matriz P la obtendremos realizando sobre la matriz identidad de orden m, la misma sucesión
finita de operaciones elementales de filas que transforman a A en B.
Inversa de una matriz: A.A-1 = A-1.A = I
● Una matriz no es invertible si tiene una fila nula.
● Una matriz reducida por filas es reducible si es la matriz identidad.
● Cada matriz tiene sólo una inversa.
Teorema 4: A es simplificable si es inversible.
AB = AC →lo premultiplico por A -1
(A-1A)B = (A-1.A)C → IB = IC → B = C
Teorema 5: si A es invertible A -1 también lo es: (A-1)-1 = A
Teorema 6: si A y B son invertibles AB también lo es (AB)-1 = A-1. B-1
Teorema 7: toda matriz elemental es inversible, y su inversa es una matriz elemental.
Teorema 8: las siguientes proposiciones son o todas verdaderas o todas falsas:
→A es invertible
→El sistema de ecuaciones lineales homogéneo AX = O solo tiene la solución trivial
→La matriz reducida por filas de A es la matriz identidad de orden n
→A se puede expresar como un producto de matrices elementales
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Método para invertir matrices: Para determinar la inversa de una matriz invertible A, es necesario
encontrar una sucesión de operaciones elementales de filas que reduzca A a la matriz identidad y
luego efectuar esta misma sucesión de operaciones en I para obtener A-1.
Teorema 9: Sea Amxn una matriz invertible, entonces para toda matriz Hnx1, el sistema de
ecuaciones lineales AX=H tiene exactamente una solución, a saber, X=A-1H.
Potencia de una matriz: Multiplico la matriz por sí misma un número finito de veces.
An = AA...A (n factores). Se cumple A 0= I.
Las potencias enteras negativas son: A-n = (A-1)n = A-1A-1...A-1
Se cumplen las leyes usuales de la potencia.
Propiedades de la potencia negativa:
● A-1 es invertible: (A-1)-1 = A
● An es invertible: (An)-1 = (A-1)n
● kA es invertible: A-1 → la inversa afecta al escalar1𝑘
Matriz diagonal: Todos los elementos fuera de la diagonal principal son ceros.
→Producto de matriz diagonal: Para premultiplicar una matriz A por una matriz diagonal D, se
multiplican las filas sucesivas de A por los elementos diagonales sucesivos de D. Para
posmultiplicar una matriz A por una matriz diagonal D, se multiplican las columnas sucesivas de A
por los elementos diagonales sucesivos de D.
Matrices triangulares: Una matriz cuadrada en la que todos los elementos arriba de la diagonal
principal son cero se denomina triangular inferior, y una matriz cuadrada en la que todos los
elementos debajo de la diagonal principal son cero se denomina triangular superior.
Matrices simétricas: Una matriz es simétrica si A = AT
Una matriz es antisimétrica si A = -A T
Si A es una matriz mxn, entonces A T es una matriz nxm , de modo que los dos productos AAT y ATA
son matrices cuadradas. La matriz AAT es de orden mxm y la matriz ATA es de orden nxn. Estos
productos son siempre simétricos.
Operación Notación Propiedad
A+B = B+A Conmutativa
SUMA (A+B)+C = A+ (B+C) Asociativa
A+O = O+A = A Elemento neutro
A+(-A) = -A+A = O Elemento opuesto
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k1(k2A) = (k1k2)A = k2(k1A) Asociativa mixta
k(A+B) = kA + kB Distributiva del producto de
una matriz por un escalar con
respecto a la suma.
PRODUCTO POR UN
ESCALAR
(k1+k2)A = k1A+k2A Distributiva del producto de
una matriz por un escalar con
respecto a la suma de
escalares.
1A = A Elemento neutro
kA = 0 k= 0 o A=0⇔
(AB)C = A(BC) Asociativa
A(B+C) = AC+BC Distributiva por derecha
A(B+C) = AB+AC Distributiva por izquierda
(kA)B = k(AB) = A(kB) Asociativa mixta
IA = AI = A Elemento neutro
AB=O (A O o B O≠ ≠ Divisores propios del cero
PRODUCTO MATRICIAL AO = OA = O Elemento absorvente (matriz
nula)
AB = AC → B C≠
BA = CA → B C≠ No vale ley de simplificación
AB BA≠ No vale propiedad conmutativa
(AT)T = A Transpuesta de la transpuesta
(A+B)T = AT+BT Transpuesta de la suma
TRANSPUESTA (kA)T = kAT Transpuesta del producto por
un escalar
(AB)T= BT +AT Transpuesta del producto
matricial
(A-1)T = (AT)-1 Transpuesta de la inversa
(A-1)-1 = A Inversa de la inversa
(A+B)-1 A-1+B-1≠ Inversa de la suma de
matrices
INVERSA (kA)-1 = A-11𝑘 Inversa del producto por un
escalar
(AB)-1 = B-1A-1 Inversa del producto matricial
(An)-1 = (A-1)n Inversa de la potencia
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