Determinante teorico 1

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DETERMINANTES.
Función determinante: Asigna a una matriz un número real. Se denota |A|, det (A)
Matriz de orden 2x2: producto de la diagonal principal más los productos de la diagonal
secundaria.
Matriz 3x3: Regla de Sarrus.
Menores y cofactores: Menor elemento → la determinante de la submatriz que queda
después de quitar la i-ésima fila y la j-ésima columna de A.
Cofactor (Cij) del elemento aij = (-1i+j)Mij
El factor (-1)i+j se llama signo de posición, el signo resultante depende de la posición del
elemento en cuestión dentro de la matriz.
Desarrollo por cofactores: el determinante de A, se puede calcular multiplicando los
elementos de la primera columna de A por sus cofactores, y sumando los productos
resultantes. El determinante de una matriz A nxn se puede calcular multiplicando los
elementos de cualquier fila o de cualquier columna por sus cofactores y sumando los
productos resultantes.
Nos permite calcular un determinante de orden n en función de los determinantes de orden
n-1. Conviene elegir la fila o columna que tenga la mayor cantidad de ceros.
n≥ 4
Si A es una matriz nxn triangular superior, triangular inferior o diagonal, entonces det (A) es
el producto de los elementos de la diagonal principal.
Si A es una matriz nxn y tiene una fila o una columna nula, su determinante es cero.
Si A es una matriz nxn su determinante es igual al de su transpuesta: det (A) = det (AT)
Efecto de las operaciones elementales en el determinante:
Tipo 1: El determinante se multiplica por el escalar k.
Tipo 2: No varía.
Tipo 3: Si se intercambian dos filas el determinante cambia de signo.
→Si hiciéramos la operación producto de una matriz por un escalar kA, aquí todas las filas
de A están multiplicadas por k , por lo que: det (kA) = kn det (A), siendo n el número de filas
de la matriz A.
Determinante por triangulación: Reducir por filas la matriz dada a la forma de una matriz
triangular superior. → la determinante es igual a los productos de los elementos de la
diagonal principal, con los cambios correspondientes a las operaciones elementales.Este archivo fue descargado de https://filadd.com
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Propiedades de los determinantes:
● Si A tiene dos filas iguales o proporcionales su det = 0
● k(A) → det = kn A (n = número de filas de A)
● det (A+B) det (A)+det (B)≠
● det (AB) = det (A).det (B)
● det (A) = det(AT)
● Si A es invertible→ det A -1 = 1𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
● det (Ak) = detk (A)
Adjunta de una matriz: Es la transpuesta de una matriz de cofactores.
Proporciona otra manera de encontrar la inversa.
Si A es invertible, entonces A -1 = adj (A)1𝑑𝑒𝑡 (𝐴)
Esto sirve para ver que la condición única y necesaria para invertir matrices es que el
determinante de la matriz no sea nulo (sea distinto de cero). A-1 det (A) 0∃ ⇒ ≠
Sistema de ecuaciones lineales y determinante: Si A Rnxn es tal que det(A) 0 entonces∈ ≠
A-1 , si premultiplicamos ambos miembros por A-1 queda:∃
Los sistemas homogéneos son siempre compatibles, si det (A) 0 , el sistema es compatible≠
indeterminado.
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Dependencia o independencia lineal: Si en una matriz cuadrada existe algún vector fila, o
vector columna, que es combinación lineal de los vectores restantes, entonces dichos
vectores son linealmente dependientes y el determinante de la matriz es nulo.
● Uno de los vectores es el vector nulo, la matriz tendría una fila o columna nula y el
determinante es nulo.
● Al menos dos vectores proporcionales, la matriz tendría una fila múltiplo de la otra y el
determinante es nulo.
● Uno de los vectores es combinación lineal de los vectores restantes, la matriz tendría
una fila que es combinación lineal de las otras y el determinante es nulo.
RESUMEN: Sea A Rnxn , son equivalentes las siguientes proposiciones:є
● det (A) .≠ 0
● A es invertible, en símbolos: A-1.∃
● La matriz reducida por filas de A es la matriz identidad.
● El sistema lineal homogéneo AX=O es compatible determinado.
● El sistema lineal no homogéneo AX=H es compatible determinado.
● El rango de A es n.
● Los n vectores filas o columnas de A son linealmente independientes.
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