mir moscú geometría elemental Pogorélov

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Geometría 
elemental 
A. V. Pogorélov 
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Editorial Mir Moscú 
A. B. fIoJ'Op""oll 
8JIEMEHTAPHAB 
rEOMETPMH 
H:iAa'l'enhC·T~O . HAy .,K' 
MOeH~ 
Geometría 
elemental 
A. V. PogoréJov 
TraducidQ dol ruso por 
CARLOS VEOA, 
catedrático do MAtemát.icas SlIporiore9 
Editorial l\Iir 
Mosc(t 
Impreso en la UH SS 1974 
Dorecho~ re~rvlldos 
A NUE STBOS LECTORES: 
« ;\li r J) edita lil)l'() !.I sovié ticos t raduc,¡¡l/)$ a l I)r;¡pniíol. 
illglés, Jro llc.é.~, árabe, alemán o italiano. Entro ellos 
fi gura n la5 Tnl'jores ohras de lMI dis tintas ramas de la. 
ciE>.ncia y la tócllicf\: manuales para los Cl'ntros do 
oIlst"ña Ilzn linp ('ri<lI" y C'scu,,}as t0Cnológir.a~; literatura 
sobl'e ciefldR" natul"ll les y médicas. También se incluy on 
monogl'afías , libros de dh'ulgaci6n científica y c.iellCht 
[iocióll . 
Dirijan SIlS ('I',inio ues ¡\ la Editorial (1 l\'lir », 1 ttizhs· 
ki pur., 2, GSP, Moscú r-110, 129820 unss. 
© Traducción al ospaii ul. 'f ir. HJ7Q . 
INDICE 
Preracio . . 
Parte primera 
Plaflimútría 
§ 1 . Pro rj()(ladcs fundamenLtll u!I de ln~ figura s 
---geométricas elementalfl!l , ... . ... 
Punto y recta (la). Prop il!dade~ iu oda-
melltal~s de la pertenencia do los pun tos 
y las l'ectas en el plano (t8) . l'l'üpieJadl's 
hmdKmclltales de la pO!lic.j(m recíproca tIe 
los pun tos M la recta )' un l11 ¡¡Jauo (19). 
P,fopiedl\des fundllmen\ales do la medición 
de sl'glllentos y 8Dgulilil (21). Propiot1:l'!P.s 
fundamcntales de la CODstrll f.ció n do. s..>¡Un t'll-
tos y ángulos (23). Prim<.>! cri terio eli' la igunl-
dad de los tnaugulos (2ft) . Propiedad flmda-
monlal de las para lelas (25). Pregu ntas de 
n'paso y ejercicios (25). 
§ 2. [lo cómo ~e estudian N I la GeomHrí.a las 
--- prol.icdades de las figuras . 
Axiomas, teoremas y demostraciollc,s (27). 
Posición do los ángulos constnl i dos I"n un 
mismo smni pltlno (28). S<, paradón de los 
lados de un íingulo p or una rpd .1l ('1.9). 
Preguntas de repaso (30) . Ejefi: ido.<¡ \3()). 
§ 3 . Angulos .. . . . . . . . . . . . . 
---(A ngulas adync-ontos (3i ). Angulos U'tU-
cales (3i) . Angulo [edo . Rec, t¡l ~ !'('rpendi-
culares (32). Preguntas de t'(' p<l ::i" (33). 
Ejercicios (3.1). 
§ 4. Igualdad do los t r iángl11o!l . _ _ . .. 
---Segll ndo cr il<lr io do la igualdml de lO!l ~d­
á ngulos (33). Triángulo is6.~dl·~ (34) . Me-
diaDa, bisectriz y a ltur l1 (35). Tercer cri-
t.f!rÍo de la igualdad de los triáng1l 1 o.~ (3S) . 
P regun las de rcpl'!w (37). Rkrrido~ (38). 
§ 5 . Relacione~ (lOtre los ángulo~ y l o~ lados 
---d()l triángu lo .... .. .. . . .. . 
Relaciones entre los ángulos II t,1 t-rüí ng u' 
lo (38\. flehwlófI entro los ángul,)s o<ll tri-
íill¡¡l lJU y sus lados opuoslos (39). n(>lnri(»l~s 
E\ntre los lados del tl'ifm:,!ulo (toO) . Dt~i ­
gualdad trilmgulnr (40). PreguOliJi' ,I() 
repuso (/,2). Ejore,ie.io!; (42) . 
~ H. Tl"Íá)l~\l los r(loM.ngull)~ . . . , . . . . . 
---Angulo!'i y lados del lri:iJII:!II! (' l"{'c·túllguh, 
(43). Tgunlda d ete tos triá,lllllllog l'('('. I :íll~ IJ ]¡¡.S 
(43). l'el"llt'ndiclI lar y oh licul:l (4~\. Pl" I;'~ 
(l' llrlt A~ li t' repaso (-46). Ejt\rcidos /1.7). 
~ 7. C(>ll ~ tr llec.iolles gcom,( tdrll ~ . .... . . 
--- En q u¿ consi.~tou 105 probklllas di' construc-
ción (47). Construcción del t ri5 nglJlo de 
9 
17 
27 
33 
3S 
47 
5 
6 
lad(\.~ dadaa (48), COJlstrucción del ~ogul0 
igual a unu dado (49) . División del ángulo 
por la mitad (49) . División del segmento 
INf In mitll.d (49). Construcción de 1ft porpen-
dicular (50). Lugllf geométrico de puntos 
(SO). MÍ'í,ol!o do l llgares geométricos (52). 
Pr('gl.lllt.¡¡~ J o repaso (53). Ejercicios (M). 
§ 8. Rectas paraldll ~ .... ....... 54 
--Crit(~rlNI de para lelismo de rectn (54) . 
Suma do los ánglllos del triángulo (56). 
Lns p:l.raldllS como rectas equidistantes (57). 
Preguntas dE' repaso (59) . Ejercicios (59). 
§ \1, Cuadriláteros . .. ~ . . . . 60 
--Cuadriláteros c.oJlvexos (60). Paralelogra-
mo (lH). Rl'Ctáugulo. Rombo. Cuadrado (63). 
Trapeci() (64). Punto de intersección de las 
medi:lnH s ,101 triángulo (65). Prtlgunti.lS de 
re'paso (67). Ej'!l"cif:ios (07) . 
§ 10. Movim¡t'llto.~. Igualdad de figuras 68 
---Cooc('pto del movimiento (68). Propiedades 
de] movimiento (69). Simetria respecto A la 
rf'l'_tu lOO). S imetrb respecto al punto (71). 
Traslación parAldll (721. Rota ción (731. 
Proguntas do repaso (75). EjerciciOS (75). 
§ ti. Circunfere"ú<t . . . . . . . . . . . .. 76 
-- Propiorllld os elementa les de In eircunfo· 
rl?ncia (76). Angulas centr::!Ies (77). Angulos 
in!cl'itos (70). Circunferoncias inscrita y 
circunsf,rita (SI ), Preguntas de repaso (83). 
Ejore,idos (eal. 
§ 12. Somejlll)Za de Jos triángulos . , . . .. 84 
--- Crit~rio principal do In semejanza do los 
trilÍ.ngul(!~ (84). Otros ('ritados de JII. somo· 
janza ele los triángu los (87). ~gmentos 
proporc.ional¡lH en el triángulo (88). Pro· 
porcionlllidad do los I/egmentos de Cllordas 
y sl?ca ntes (89), Intorsocci6n'7do la roc-
ta con la dr(~lmfl'rcncill (90). Dos probl(lmas 
de_ C.OMtrl'lcc.ión (91). Semejanza d(l las ligu. 
ras. nUffiolecia (92), Preguntas de repaso 
(93). n: j('['(·jclo~ (94) . 
~ iR. T",or",ma~ dc PLtlígorns y :'IUB aplicaciones 95 
---Teorema de Pitágol"as (95), Relaciones en 
l'l triángulo oblicuángulo (96). Rf'!ftci6n 
llIlt.rl' las diagollnll:s y 10$ lado~ dol para-
IQI<lgr<lmn (97). 8~istenci8 del triángulo de 
Indo.~ lIados (98). Posici6n reciproca do dos 
ch·cunf.;lr(mdas (!lO). AI~unos problemas (102). 
Prl'glmt~~ do repaso (103). Ejercicios (t03). 
§ 14. Fllll('. i()oe~ trigonométricas del ángulo, . t04 
--- Deriuici<'Ín d(' b", funciones trigonométricas 
(j()1) , fo' úrmulM de reducción (105). Rola· 
clones entro los lados y los ángulos en el 
tl'iiiugnlo l"ecLángulo (106) . Teorema del 
coseno (108). Teorema do Jos 5('005 (109) . 
Pregull t35 de repaso y e jercicios tito). 
~ 15. Pol!gonos . . . . . . . . . . . . . . . 
-- Polígonos convexos (1.10). SUllla d9 los 
ángu los del polígono COllVOXQ (tU). Po]í-
~ono co mplomentado. Quebrilda convc;\:n 
( t 13). PoUgonos regulare! (t1{j) . Polígonos 
inscritos y circunscritos (116). Polígonos 
semejan tes (1 17). Pregnntas do ropaBa y fljer-
delos (H9). 
§ t6. Areas de fi~UI'a ! .... . ..•... 
--Concepto dOl área (11.9). MM del roctángu-
lo (120). Aroas do las fiJ,C uros eJomnutales 
(122). Ind e~ndeocla entrE' 01 área de uno. 
fi~ura simplo y el modo do dividirla en 
triángulos (123). Areas de las figuras semo-
jnnt(\¡; (127). Preguntas do ropaso y ejl?rci -
cios (128) . 
~ f.;ongitud de h. circunfewncia . Area del 
c irculo. ...... . . . . . 
Longítud de la drcunferellc in (128). Longi-
tud del arco de circunferencia. Medida r!l-
dial del ángulo (130). Area del círcu lo y do 
sus partes (t33) . Prp_guntas de rl'_paso y 
y ejercicios ("35). 
Parte IJegllnda 
Estereometría 
§ 18. Axiomas de la Estereomet.ría y ¡Ilgunos 
--- corolarios . . 
Algunos corolarios do los axiomas de la 
Estereometria (138) . División del e~pacio 
on do~ scmicspaeios por un plan" (t39). 
Observación al axi{)ma 1J (140) . Ejcl'cic-ios 
(Ut\. 
§ 19. Paralelismo do rectas y planos' . . . . 
---Rectas paralelas en c l espacio (1fti) . 1) 1\-
ratalismo de la recta y del plano (143). 
'Paralelismo de los plano~ (144) . S<'j!!llPJllos 
de rpc.tas p;'lralclll .~ cntro planos parallllos 
(1-'5l . ReeLas cruzados (UB) . Ejcrcic.ios 
(147) . 
~ 20. Perpendicularidad de rpcta.~ y phll¡liS . . 
---Perpend iculnrid (HI dt! las rce.tas (141). 
Perpondicularidlld de I ~\ rectA y del pla" 
ll(I (i¿8) . Propjedacl~ do III ~rp(lndjc\l l n ­
ridad de 11l1'E'!cta y dClI plano (t Ml). COllslmc-
c:tún d<:>1 plano y de 1a ree.t a llroponuiclIllI. -
re! (152). PrepelldicuJar" oblieu8 (153). 
Perpendicnlarídad de los plaMs (155\. Ejer-
cicios (151). 
§ 21. Angulos entro rentas y pla nos . . . . 
---Angulo ontro rodM (158). Angulo nntro 
recto. y plano (:1 59). An~ulo entr(\ planos 
(160). E jerciCios (t62). 
HO 
128 
141 
158 
7 
§ 22. Angll lofl di('uros , triodros y poliedros . . 
---Defin icl6u lIu ]08 lÍngulos di ed ros y triodros 
(\03). TNlTcma de lo~ coson05 para 01 ángu-
lo tril.'dro (104). Angula triedro po)¡jf a un 
ánglll o triedro (1ü5). Teorema de los senos 
r.
an\ ¡jI ángulo h 'iedl"O (t6G). Helo.ci6n ontro 
os lingulo!! planos del áng\llo t.ri edro (i67). 
Angull):; po]it,dros (iG7). Ej('I"clcioS (16ft). 
§ 23. \(o\'inu l'lI to y olras trslls[ormll(:.ion<:>s ell el 
---~?t'~~\' ¡ ~nlcnto' y ~u; i)r~pioliaJ{'s {H*n: 
Ri ml1t .. ¡~I!I fl. j:\pl."c to al plnno y a l PUflt.<'I (170). 
Tra¡;)o.ci{m li¡U'H]())a y fotac ión on tl1 espncio 
(171), Trall ll[ol'11\:l.ción do IH.mejonza y ho-
m'ltcc.ia 4':'11 el ospacio (172), I"'royoecióli de 
un plano sobro oh'o (173). Bjereidlls (174). 
§ 21 . P(1!iQdr05 . . . . . .....•. . 
- El C-UI'I'po j,(clUnét.rico (175). Prbmu (175) . 
Pnrnlt' lcpí¡)¡Jrl:n (t76). l'iriímluc (i7R). 1'0-
H('.t! roll l",!gulllr<lll (tOO) . Ej(!fCiclos (182). 
§ 25. Elcmenl.Ol'I tlo delineación prO)'l.'CL i \'1\ .• 
- -- nI' IJr('S(\nL fu:~ i 6n rl: el punto en el d(~¡io (182). 
Probleml'\ ~ do recta (183). DetcrTninad ón 
do Ir¡ lnngitud ¡j" L segmento (181). Pro ble-
mas 11(' roeta y pluno (185). EJerdclos (1S7) . 
§ 2(,. Vol¡"lwl".Iws do (';\Wl'pOS gimpl{'.! .... 
- -- CoIH:Il\,ltI del volUr!I{\/I \181). VQlum<.'n del 
para 1<.' "llí l"lCdo rrol.ungu ar (188) . Volu men 
Ilel paralelC'pípedo oblicuo (t8!) . Vnlumen 
del prismn (Hit ) . Volumen d e 18 pirámide 
(t 92). VolúmcJ)C's do los cuerpos semejantes 
(1941 . E Xllc.titud do la defi n ici ón dd volu -
mell do los Cll(~rpog s imph,s (t95). Ejerci-
cios (199J. 
§ 27. CucqlO.~ (te revolución . . . . . . . . . 
-Cilindr(1 (1!l9). Cono (201) . Esfera (203). 
Ejerci cll '$ (206). 
i 28. Vol úmenes ¡fo 'c lI l'rpos de revolución . . . 
---Definición general d('l vr>lumllll (207). Vo-
JUllum del ctl indclJ (209). Volumen dol c¡no 
(210). V!\lulflcn de h . t\!fera (2t 2) . 
§ 20. 3Arell~ r1(1 ~UIJerfjci (ls de rovolución . . . 
--- Com:~B lllo del á r('a du In s llp(lrf icie convexa 
(216). Arca d(1 11\ superficie ('sfáric:n (211) . 
Arra d(\l lieg llll'fI~n ('sférico (219). I\t('tl lat(,· 
rf\ '1 rl('l ctlilulro (219). Area h'ltetnl de l CH-
IlO (220). 
{:"II). NOC·jOOl'~ do lustoria de 111. Geom(lLria • _ 
le3 
169 
115 
182 
18 7 
1 !l9 
207 
216 
221 
PIU!:FAcro 
En llls etllpas illiciales , la ensoñanza de. la Geometría 
tiene pOI' objeto, además de comunicar t\ los alumnos los 
resultados geomé t.ricos, darles a conoelH' el método con 
ayuda del cu~l se obtienen esos resultados. Sabido es quo 
los resultados geométricos (teoremas) son obtenidos por 
medio de razonamieJlto8 lógitXJs (demostraciones) arran-
cando de a lgunos planteamieoLos do padida (axiomas). 
Los razonamiento8 lógicos son parte indispensable do todo 
saber. La Geometría se distingue por la darídad y la sen-
cillez tanto en el enunciamiento del rosultildo como en -los 
plantea.mientos do arranque n partir de los cuales debe 
obtenerse ('-Se resultado. De ahí qu<:'o la Ceolne.trÍa nos brindo 
las mojores oportunidlldes parn desR rrol.ll\l· el. pensamiento 
lógico en 11\ escuela. 
Al ofrecer e l curso presente padimos- do que la taren 
esencial de la cnseñanM de Ja G(Jome,tda (0-11 la escuela con-
siste en enseñar nI alumno a T.'lZOnar lógicamente, argumentar 
sus afirmaciones y demostrarlas. r-.-Iuy poco!:! oc los ogresados 
de la escuela serán rnatemátic:.os y mucho menos geómetrM:' 
También habrá los que no util i('(ln ni una vez en Sil actividad 
prácticé1 el teorema de Pitágoras. Sin emhargo. difícilmonte 
hallilmse uno sólo que no deba razonar, 11.Illllizar o demostrar. 
La experienc:iu secular de In 911so ñnnzl\ de la Geometría 
elemElntal de!'ido los tiempos de Ellc.lidc!'i pTl.lCh;l la eficienci<'l 
del sist.cma tradicional. Su perfuccioJl81l1iento, relflcior:Hldo 
con el desarrollo genera l de la cionc ia . JlO debe afectar, 
creemos n050t.ros, sus bases r¡ldoDfllf'R y profuudamente 
meditndas. Por oso, el curso qu_o ofroce mos, tradicional 
en esencia, se distingue sólo por llJ1a exposieción más rigurosa 
de la materia y cierta revalomciún dd Hignificado de sus 
pa.rtes componentes. 
Este curso de GoometrÍa se h,lsa en Ull s btema muy poco 
numeroso de hcc.hos geométricos híen conocidos del alumno 
y asimilados en los g rados primarios. Est.e si stema de plan-
teamienLos de IIf1'anqufl , 11ll1T1ados más nd~lJaTlte flxiomas. 
ha sido selec,dOJlado del 'previo nniilísig rninuc ioso del cnrso 
oscol.1r de Geometl'Ía tomando 011 considernción los - elo~ 
mentos de dcmost.racioncs l.rlldic.ionalm;. -
La exposición comienza con lo l·oJwl.id6n. UpiCfl e.n la 
cDscñllnza es('.olar, de 10 csl.udiudo lull:t1rio'I'R lonlo. Por Jo 
9 
menos , así será considel'ado por el alumno. Empero, nuestra 
meta auwnticfI es dist,intfl y más profunda: introducir los 
conceptos y plantcilmientos do arranque fundamentales, es 
dodr, los axiomas. Los axiomas Gstán enunciados en forma 
de las propiedades hmdamontales de las figuras geométri-
cas elementnles c_om]mestas de puntos y l'ectas. Estos axio-
mas son sencillos y naturales . Hay casos en que los axiomas 
son enunciados más ampliamonte que exigiría la cuestión 
parn evitar preguntas y contusiones. Por ejemplo, decimos 
que existen puntos que so hallan en una recta dada y puntos 
que no se hallan en dicha recta. En realidad, nos bRst.arít\ 
la exigencia de dos puntQg en la recta y un punto fuera 
de la recta. 
Una peculiaridad distintiva de nuestra axiomática so n 
los ax iomas de la medición do los segmentos y los ángulos. 
Estos ílxiomas nos brindan ventajns motódicas substancia-
los. En primor lugar, elndimos el escollo de introduch: 
la medidu pnra los 30gmonLos y los ángulos. Sabido es que 
l~ solución de. egto probloma, dada la construcción axiomática 
de In geometrí¡l , no es nada sO llcilla y requiero el emploo 
de 'medios inasequib les para el alumno por su profundidad. 
Segundo, a t ro.vós de los ax iomas de la medición incorpora~ 
mas la Aritmética cursada ya para ontonces con lo cua l 
se onsancha notablemente el arsenal de medios utilizados 
en la demostrac.i6n geomótrica. 
Natllralmenl,e, los axiomas do la medición de los 
segmentos y los Ílngulos requieren la definic ión corrospon-
diento de los conceptos de In igualdad de los segment os y los 
ángulos, L laml:lmo:; iguales a los segmentos de longitud 
idéntIca, Por extraño que parezca, la mayoría de las perso-
nas consideJ'an 10.<; segmentos igunles precisamente en este 
caso, aunque lo igualdad de los segmentos se define en la 
escuela a tJ'8vés de la superposición, Por ello. nuest.ra deflni-
ción de la igualdad de los segmentos también es natural 
desde este lllmto de vista. En nuestra exposición, la super-
posición y el movimiento eu general S011 conceptos derivados 
y só lo los introdlldm08 a mediados dl'l curso. 
El sl'A'lIndo lllll 'ngrn[o se inicia r.on UlLa definición tan 
!H'cc isll de lo~ cont:-(!pto~ axioma, t eo rem a y demostración 
que nos Ipcrrnit{' dar siempm una respuesta neta al . pOl' 
qué» en cada pUlI l.O de la.'\ demostrnciones . Por Otl'fI varte, 
tenemos el oerc'cho JllOI'~¡] de plantear es(\ <'llor qué» nI alumno 
y de exigirle \Ina respuesL.'l, El concepto de la demostrR-
10 
ci6n es ilustrado con ejemplos senc illos de aná lisis drcnns. 
tanciado. 
Conservamos el ord~n tradicionl\l de distribución del 
material. Por eso consagramos el § 3 a los ángulos. En esto 
parágrafo las demostraciones de Jos teoremas 500 scnci1lu 
y naturales. Se haslln en los axiomo,s de la medici6n y de la 
construcción do los ángulos. 
El parágrafo siguiente se dedica a la igua ldad de los 
triá ngulos. Su contenido es corrionto y las demostraciones 
sencillas e irreprochables. En términos~genorales. las demos-
traciones empleadas no contienen, en cuanto a la idea. 
nada nuovo. Son bion conocíd .. s. Sin embargo, gracias a la 
formulaci61l precisa do los planteamientos de arranque , 
logramos con unas cuantas pincelndas hacer estas demostra-
cione! absolutamente irreprochllbles. Estas «pinceladaS* so 
refieren en la moyoda de los casos a las prop iedades de In 
posición recíproco. de 105 puntos en Ja recta y de los rayos 
en el haz . Dentro de lns mateloáticas en gtlnernl, y de las 
m8temátic8~ modernas en particu lnr. la relación de orden 
desempeña tanto popel como In relación de eQ,uivalencia. 
Por eso , tambi~n desde este punto de visl.A es eonveniente 
desa rrollar este concepto en lns íiguros geométricas seD-
cHlas. 
En 01 § 5 y el § 6 son tratadas las cuestiones tradicionales: 
propiedad dol ángulo ex.terior del triángulo , relac.ión entre 
los lados del triángulo y los ángulu.s opnestos. desigutlldad 
triangular, la perpendicular y la ohlioua . Tormina cada 
parág rafo con numel'Osns preguntns do repaso y ojerdcios. 
Las proguntas de l'opaso comprendon la dofini ción de los 
coucepto~ y In dClmostraci6n do los tecremos así co mo de los 
corolarios que de ellos se dospronden. Tambi6n abarcnn 
cuestion<,s no tan esenciales del curso. Los preguntas de repa-
so determinaD exacta monte el volumon de los conocimientos 
necesa rios para el alumno y son medio de autocontrol. 
El parágrafo slguiento está dedicado a las construcciones 
geométricas . Analiza los pL'incipalas problemas do construc-
ción utilizando el compAs y la regJn y ex plica el método de 
Jos l ugares geoméLricos. Debe decirso que en el acl.ual curso 
escolar de Geomel.l'ía no se presto. ni tema de las construc-
ciones geométri('.as tnnta importancia como en el pasado. 
Se compre.ode: las construcciones geométricas ofrecen inte-
rés, principalmente, para el dcsil l'rollo de l as búsquedas 
de solución y el entrenamionto en las demostraciones. 
11 
Pero las consl.l'l1ec.innes goornétricas no son el único medio 
de lograr este pl'llJ1ÓSitO. 
Los sieLe primoros parágrafos de este libl'O podrían ser 
abarcados bajo el título de Geometría absoluta. Eu ellos 
no so utiliza 01 <'I:x.iolm\ do llls p.:mllelas. Quedo sentado que 
el l\mvh~o del oxi(lma dé Il\s paralelas no ofrece ven tajas 
pnl'pables en 1,\ ex posición de osta parte, Si so toma en con-
sidaraci6n qua 111 Pluo imotdn ostá cnlcnlnda pam tres años 
de ouseñ,Hl l!,u, es ta pnrtc\ del curso se puade rocomend,u parn 
el primor año. f,n f'1, segundo año de ellse ñnnza incluimos la 
t(lorío do las IHII'l:dd,lS y los t.cmll.S colat.cr81e.s inmediatos 
(I! 8-12). 
E l pani~mfo octavo del libro ostá dedicado n 1,1 teoría 
de l as paraielas. Comienza COll la demostrución de 105 crite-
rios de pnraldismo. AIL(\rnndo la trndírión, nos limitamos 
a dos pares de ángulos · de dos para le.las COIl una seCante: 
los correspollrJít'nt(\,5 inwrnos y los a1te·rnOfl internos. En 
dedo. estos dm~ IJlHCS de iínguJos h<lstan plena mento para 
oxponer la teoría de las paralolas y de sus aplicaciones. 
Otros pares de ángulos , corno Ron los correspondientes 
exl;ot'nos, lo s alteulofi externos y demás. no se utilizan prác-
t.ic.amente. En e.amhlo. los ángulos corre.spondie ntes internos 
y alternos S01l de t(' rminados por nosotros 1·igurosamente , 
y no sólo por medio de figuras como se hace (l munudo, y su 
empico en las demostrar.ioflcs se argumentn a fondo. El § 9 
contiene el milh>rinl tradicional sobre los cnadriláteros. 
En el § 10 int,rod lJ ci mos el eonc.epto del mn vimienlo que , 
en nuestra exposición , es concepto dorivado. Se define como 
una aplicación qn(' conserva la distancia. SOI1 demostradas 
las propiedades }ll·inc.ipales del movimil.mLo y estudiados 
los casos pnrticul are~ oe lo!'l movimienLos: sirnotría respecto 
a !lna rcct~, s imetría respe(~to a Ull punto , trl\ !'lación paralola 
y rotación. Conviene ~ñnlflr que 01 C.Ollccpto del movimi(>Jlto 
geo métrico se ~so('in na t.u I·a lmen lf' C01l 11 n p rOC()~O, Ln 
manera do exponll l' In G~oml\I. I' íl\ eu11\ OSc. uell.l. emp'leanrlo 01 
c,onccp(.Q del Tnil\'imieul.o dosdo (,1 co mienzo , da lugflt, 
11 {>mbrollos y co nflLs.ionos. Scg\m n\lestro método, las ptopio-
¡Jadc~ del movimit1IIl,O .lIf'tnmonte formnlntlé\s son JJI'ímoro 
dOH\Ofitl'IUIIlI:l y lllc~o se npliC'tul. 
En el par'lígl".IÍO I:l iguientt\ se C\st,ndia In cÜ·c\ulierencia,. 
El t.emn cQ nt.rn l (k eslp. pnrúgraro Uf; el. J)1'o bloma de los 
lÍng\IJos 0 11 1,\ rit"CIlfI[erellcj,l . Se dcfilw con prM:is ión los 
co nceptos d(} ] 31"('0 de cil'Cunícrcnc.ia , dd ángulo clmtral que 
12 
le corresponde y de la medida dcl:í.ngulo cenLrnl. Se iutl'o-
duC{) el COILCe]lto del ¡í.ngnlo inscr ito }' f\ú demlle strflll lus 
teoremas co rrespondientes de los áng ll}()S in ~critos . 
El § 12 cont.iene el tema final dl'.] segundo año de enseñan-
za. En él se expone, ante todo , la cuestión de la semeja nz}I 
de los triáng ulos que, como se sabe. 110 se lJnvA nunca }wsta 
el fin en la exposición escolar. En efecto, S\I 80lución co m-
pleta exige d ~mpleo dol nx iollHl de la continuidad. Por 
eso la demostración de lo. seme;nm:a de los I.rirUlgll)os en el 
CSlSO principal !'!lIolo dolenerso ¡¡ Illitad dI'} camino. En 
nuestra eX I>osieión el nx jomn do In cOIl\.iuuidnd octÚ::l n tmvI)s 
del axioma dc la medición. Conc,lnimos 1" c1.cmosLmción de) 
criterio pl'incipnl de 1:1, semejanza con \111<\ ~' llcUln observa-
ción que se dc."p rende del axiomil do Jo. m(~d¡dÓII. 
En el curso escolar de la Goomct.rÍa suel e qnodar a'Uiel'l¡\ 
la cuestión de In intersceci6u de la recLa COIl lH circunforcncin 
y de la intersección de do~ circunferencias. Siempre por la 
misma causa: l a c.uestión tropjeza eon el axioma de la con-
tinuidad. Noso tL'OS damos una solución sencilla yexhausti-
va de este Jll'Oblemtl. Y esto se logra , (m fin de cuentas, tam-
bién gracias a los axiomas de la medición. 
La tercera parte de) curso arnlll('.n. con el teorema de Pitá-
goras y sus corolarios: relaciones métricns en un triángulo 
oblicuángulo, relación entro las diagonales y los lados de un 
paralelogramo , ote o Además de estas c.uestLones trad icionu-
les, se da una demostraci6n sencilla del importante teorema 
de la existencia del triángulo de lados dados Pl'cvio cumplí-
miento do de·das condiciones nc('csarJas. Est.e teorema da 
solución exhaustiva al problemo. do Ja posición recíproca 
de dos circunf('roncias en dependencia do S llS radios y d(>11.I 
distancia cntw los centros. 
En el § 14 so introducen I.'lS func.ionos t.rigonom6tricil !; 
de los Iingulos. Nos limitamos a tres fllT1CiolHls: seno, coseno 
y tangente. Sabido os que las tres [unciones reslnlltes-
secullte, cosecllnte y cotangente - no so utilizan práctica-
mente. El material de esto parágrafo os c-()rriollto: fórmulas 
de reducc ión, relaciones entre los la dos y los {mgulos on un 
triángulo rectángulo, teorema dol coseno y toorema de los 
senos. El parÁgrafo que le sigue está consngl'" do a Jos polígo-
nos convexos con J1Toblcnws tradicionalefl .. ce rca de la sumSl 
de los ángulos internos y extomos. de lo. rel ación entre la 
longitud de uno quebrada CO Il"\'cxa y de ulla quebrada Iluar-
cante y, en fin, a los polígonos reg-nlnre~ . 
13 
~n e1 curso {'escolar otL'oce ciertas <iHioultades 1a oxpo$i~ 
ción del p1'Oblema del área de las figuras. Nosotros solucio~ 
namos esta problema de '11 siguiente manera. Al principio, 
el concepto del área. se introduce, argumentando El. fondo 
sus propiedades, a l estud iRr un problema práctico concreto. 
Luego so explica que estas propiedades determinan el á rea 
unívocamente.En fin, se demuestra que es c.orrccto. la defi-
nicióc del área con CS::lS propiedades. Esta última cuestión 
puode consirlt!rarse facultativa en 11" onseñal)z/'I e!'=eo ~ 
hu. 
Finnlmente, el úlLimo toma de In PlilnimetrÍ¡.l: longitud 
de la circunfcrencin y ál'ell dol círculo. En cuaJquier variante 
esto. cuestión ofrece grandes dificultades. Una es el problema 
de la existencia, nunquo en los grados superiores se \'enee 
fácilmente. Hemos unificado las definiciones de los couccp' 
tos principales rclncionndos con la medición de los arcos 
y las árens para b circunferencia y el círculo, lo que debo 
simplificar la exposición. A parte de las cuestiones de la 
ex istencia, que han quedado abiertas, otras cuestiones 
están resueltas con plenitud y precisión suficientes. 
La segunda parte delli.bro, la Estel'eometria, arranca con 
el enunciado de los tres llxiomas dol espflcio y la deducción 
de sus corolarios directos (§ 18). Los axiomas aceptados por 
nosotros suponen cierta modificación de los axiomas de 
enunciado tradicional y concuerdan bien con los axiomas 
del plano. El pnrágrafo siguiente trata de las cuostiones 
del paralelismo de las rectas y los planos en el espacio con 
teoremas y demostraciones tradicionales. 
El extenso § 20 está dedicado a diferentes cuestiones de 
la perpendicularidnd de las rectas y los planos. Los parágra-
fos 1.8, 19 Y 20 constituyen la base de la seg undttparte del 
curso. Hay un parágrafo especial (el 21) ,pn1'(1 lns cuestiones 
relacionadas con el c,once.pto de ángulo entre rectas y planos. 
Estos concoptos son definidl)S con claridAd . Ql1edl\n demostl'a~ 
dos los correspondicntes teoremas accrca de los ángulos. 
El parágrafo 22 acorca de los ángulos diedros, triedros 
y poJiodros cont,ieno, ndemós de las cllesLiones tradicionales 
del curso escola r, la demostración del teoroma do los cosenos 
y del teorema de Jos senos para el ángulo triedro. Suponemos 
quo estos teoremas, impo1'tantes y roU)' usuales, deben darse 
en el curso escolar. Sabido os que la solución de los problc~ 
mas de la posición recíproca de las rectas y los planos en el 
espncio, y en particular la solución de Jos problemas de 
pt'isJrl.as y pir6.mides, se reduce en su pnrlD eseTlcinl a 1" 
demostl'lIción de estos teoremns gcncrnlcs en distintos casoS 
particulares. 
El parágralo siguiente (23) está dedicado a las transfol'-
maciones en el espacio (movimiento, simetría , somejanza 
y demás), En este pnrágrafo , la oxposición repito doliberadn-
mente, y en c iertos casos textualmen te, c1 parágrafo acerea 
de la s tran~forma cio nos en e l plrmo, ParH el alumno adolan-
tado, este parágrafo será un ag l'adab10 rcpa&l de hechos 
de P lanimetría qua ya conoce. 
El t ema de los poliedros (§ 24) comienzn CO Il la definición 
del cone.opto del ("·uel'po geo métrico. Este concepto so inl,l'o-
duce de manera rigurosCl y, a l mismo t iemllo. muy asequible. 
La rigul'osa illtroducción do! concepto d,el euorpo georoGtrieo 
permite llevar más adel ante ose rigor 11 la exposición del 
problema del vo lumen y del {il'ca elel cuorpo geométrico. 
Los teoremas de prismas y p irámides dados en oste parágrafo 
son tradicionales. El tema de lo~ polied ros rogulares se 
expone de manera más circunstllntJiada que suele hace rse 
en el curso escohrr, 
E l cuarto afio de estudio de la Gcome tl'ia termina aquí 
con el § 25 sobro los rud ime,ntos de In delineación proyectivn. 
Este ;partigrafo contieno todas las tareas principales d~ la 
posición recíproca de los puntos, Ina ,roC,tfl !! y los planos al 
represen tarlos en 01 diseño. 
En el § 26 , partiendo de la taren prúcl,icA de ,comparar 
la capac idad de dos rec ipientes, so introduce d concep to del 
volumen del cuerpo y se dilucid,w sus propiedades eSílncia-
les. Por el mótodo corriente, basándose en esas propiedades, 
se encuentran los vo lúmenes de los cuerpos elementales: 
prismas y pirámides. En fin. se dernuestra la justeza de la 
definición formal del volumen de un poliedro como SUUla 
de los volúmenes de lns pirámides que lo constituyen. Este 
último punto puede recomendarse parn f'studio facultati vo, 
La cuestión del volumen do los cnorpos (lslá oxpuesta de 
manera deliberadlllllente próxima a In. cuestión del ároa 
de las figuras planas y , pam el a lumno adelantado, también 
será un ropaso agradable. 
Las cuestiones tradicionales relativas a los cuerpos do 
revolución -cilindro, cono y esíera- están expuestas 
en el § 27. La modición de los voJúmencs y las áreus de estos 
cuerpos no está incJuida aquí , sino que se le consagra Jlarágra-
íos especiales. 
El § 28 ofrece J:. deíinición del volumen para cualqu iel' 
cue rpo . Partiendo do los volúmenes dc los cuerpos simples 
(divisibles 011 un númcro finito do pirámides triangulares), 
nI volumen de cualquier cueqlO so defino, en eseucia, como 
la cota inferior máxima de los vo lúmenes de los cuerpos 
s imples que lo !;fHLtieu(\n. Arrancando de esla dofinición 
¡;oileral so enCUClltran lo s. vo lúmenes de todos los cuerpo s do 
revolución C()n~ id (> rado9 +!ll el curso escolar: cilindro, cono, 
eSreTIl y sus pftrles. S("! dOln nos ll'O In adil.ividad dol volulIlen 
r llra los CUI'-rpos 1illlitado .~ por superfic ies s imples (plano, 
c ilíndrica. evnica y cf:tM.rica) . 
El § 2H trata dpl ¡Ír("l¡) d(J Hna superfic ie. Partiendo de la 
Larca pl'Llctica do J.. c.antidad de pintura no cesaria jHlm reCtl-
IJri r dos s UI,errkios. lhlgarnos SI la definición gcom6t.rica 
untural dol concopto del <Ínm (según Minkowski) . ArranCéll\do 
do esta defin ición so e rlC- uenlrn, por un método standard . 
(JI área do las s11pcrficics de lo~ cuerpos de revolución con-
siderados en el cunm ('scol ¡~r: c ilindro , cono , esfera y sus 
p¡¡rtcs . 
A. V. Pogorélou 
Parte 
primera 
PLANIMETRlA 
§ 1. PROP IEDADES fUNDAMENTALES 
DE LAS FIGURAS GEOM€TRICAS 
ELEMENTAU;S 
Geometría, palahra griega que significa modición de la 
tiorra, es lo. ciencia que trata de lu~ propiedades do las figu-
rns geométricas empleadas para la modición de extensiones. 
6DO 
Fig. 1 
El triángulo, el c.uadr'ado y la circunferencia (fig. 1) 
son ejemplos de figuras gcométrieas. 
Las figuras geométricas son muy div(HSns. Una pnrto de 
una figul'a gcométric.a cualquiera PS, ti su vez, ulla figura 
rig. 2 
geomét.rica. Lo. unión de varias figu1'us gGom6tdcases igual-
mente::una figuf<l geométrica. EIl la Hg. 2 vemos que Ja 
fig\uu de la izqu ierda consta do un triángulo y tres cuadra-
dos, mientras que la figura de lo dcroclw esta formada por 
una circunferencia y partes de circunferellcin. Se considera 
que toda figul'a geométrica está compuesta Jlor (Iuntos. 
2-012.56 17 
La parlo do In Geomct.ria que trata do las figuras eu el 
plano w 1l ,lnH\ Planimetría. Po. CIlla eOILlCll'llI I'ClllQS él eslu-
dio de la GCOlllC t r ia . 
l'ullto y recln. Ln.~ figllrns geom~ tl'ieus olcmolltuJes en 
e l p lano ~n ,,1 pU/~to Y lo recta. Los puntos y llls rectas se 
mnrcnn en el dihujo ' cOJl un lápiz bien 
nHlndo. Para que resulte más neto, el 
pUllto so rep rescnta con un círculo 
peq uolio . Péll'lI. designar Jos puntos se 
emplean letras latinas may úsculas: A, 
B, e, 1), ..• LélS reclos so dcs ignon 
]JOI' lotras latinas min(lscu1I1s: a, b, e, 
d, ... En la fig. 3 puedo verse 01 ¡.- ig. S 
punto A y la roeLa a. 
Propiedades fundamentales de lo perlcnencia de los puntos 
y las rcctas ell el ptnllo. En In fig. 4 est á n representadas la..'1 
re('.tAs n y b y los ¡J llnt.os A, n y C. Los IIuotos A y e se ~al1an 
, 
B 
e 
A 
• 
r' l(. f¡ Fig. 5 
en la recta a. Podemos tnm bién dec ir quo Jos punt.os A y e 
pertenecen 11 la f(lcta a o que la recta a pasa por los p\wLoS A 
y C. . 
E l punto B so hallo en l a rectn b pero no se halla ell la 
recta a. El punto e se h¡¡'JI tl en la rect.:l 11 y en la recta b. 
Las rectas a. y IJ se c/Jrttm enel l)unl.o c. E l punto C es el 
purlto de ¡.n/ersecc!6n de las rectas a y b. 
Pam dibujar lns rectns se emp ica In n'l¡;rla. E n In Cig. 5 
Pllede verse c6mo se cO Il struye con la fOgla la recta que posa 
por dos puntos A y n. 
Llts prop iodndes fnnd l\ mentales do In perl;cnonc in de los 
puntos y In! rectas en c1lllnno son las dos propiedades sibrujen-
tes: 
1, . Cualquiera que sea la recta , existen puntos que pertenecen 
a la recla y punlus q¡te no pertenecen a la relca. 
18 
12 , Cualcsquiúa que sean des !'IUtl(lS , exisle IlIla recta que 
pasa por estos punws. y sólo una. 
UnA recta. puede ser designada con dos (Hllltos que se 
hallan eo ósta. Por ejemplo , la recta a de In fig. l¡ se puede 
designar por AC y lrl recta b se puede designar por BC. 
Ya quo por dos puntos se pllerlc trazar solnmente una 
rect<l, dos rectas distintas no se. CQrtUlI o so corum en un 
punto únic.o. Si hubiese dos puntos de i llLetsecc ión de estas 
rectas, resuIt.aría. que Imr estos pun1.os pasan dos rectas 
diforontes. Poro esto es imposible. Luego, se obtiene la pro-
piedad siguiente: 
i .1. Dos rectas diferen.tes 110 .~e cortan (J se cortan en un 
punto único. 
Prop iedades fundamen tales de la posicj6n recíproca de 
los puntos en ]a reela y en el plano. gn la fig. 13 puede verso 
la rectll a y t.res puntos A, B Y e situados en In misma. El 
punto B se encueutro entre los puntos A 'l C. Refiriéu donos 
e 
8 
A 
Pig. (j Flg. 7 Fig. 8 
a ost.1l posición de los puntos A. B Y e, diromul'l que los pun-
tos A y e se hallan a distintos lados del punto B. También 
se puede decir quo el punto B separa los puntos A y C. Los 
puntos A y B se hallan a un mismo lado del punto e y no 
t:$tán separaCÜJs por el punto C. Los puntos 8 y e están 
a nn mismo lAdo del punto A. 
Fíjense en la fig. 7 . E l punto A divide In recLa Q, on dos 
partos llamados semirrectas . Los ])untos .H yeso h~lllan 
en una misma sem irrecta . El punto A no loS sepnrll . Los 
puntos B y n so ha lhm en diferont.(\s B<'mirroc tns. Bl punto A 
los sepa ra. E l punto A que divide la recLa a "fI semirrectas 
se llnma punto de origen de las semirrectas. En cuanto a las 
semirt:ectas, se las denomina cQmplementari.as. Una sem ir-
recta trJ.mbi6n es ll omada rayo. 
Las somirrt1ctlls se designfll\ co n letro.'i latinas minúsculas. 
Una semirrecta se puede designAr tambiún ron dos puntos: 
2· 19 
el punto de ori gcH y o tm jJllH to suyo cualquiera. Con Ju 
porticu lal'idad do (,tuo e l punto dij ol'igen siempre se coloca 
en primor lugar. POI' ejemplo, 01 punto A divide la rocta a 
(lig. 7) vn dos semirrectas: AB y AD. 
Supongamos que lo!'! puntos A y B se haHu l'I en la recta 
a (Hg. 8). Se llamR segmento AB a In parte de IR recta a 
cuyos punt.os son lodos los puntos X de la roct a a s ituados 
enlre A y B. Los l'untos A y B so denominan extremos del 
!KJgmento. 
1.2. El segmento AB es una parle de la semirrecta AB, 
o sea, todo plml/l del segmento A B es un [Junto de la semirrecta 
AB. 
EfecLi.\'amautfl, t.omemCIS un punto X cutl. lquiel'a on el 
segmento AB (lig . 8) . Se encuentra ent.re los puntos A y B. 
1: 
B, B , 
X 
, 
A, 
a 
fig. • Fig. \O 
Luego, el punto ,1 no se (I!l('uentr:l entre los puntos X y B 
yo quo s610 uno de los tres puntos A, X y B 
se IUlHa entro los ot ros do~. POl' consiguiente, el pUlLto A 
no separa lo~ puntos X y B. Esto sign ifica que 01 'punto 
X pertenece a 1;1 semirrecta AB y 11(1 (\ su complemento. 
En la lig. 9 1<1 re.eLII Il divide el pltmo en dos semiplanos. 
Los puntos A y 1) su Iwll nll ClIl ,In Ini smo sO lniplano. El 
sogmento AO no corla In recta d. Los punt.os A l y O, se 
h ollon en disti ,Uos semtplarl.Os. El segmento AtO, corta In 
rectn a. Designnrcmo" los !:!ornipllH1QS con let ras gl'i ogas a, 
~, y, ... 
Tl'a~emos pOI' (JI l\Hu to de origon A de l It ,~m irrcctft AB 
UlIU roe·tu a q ua 110 I,ase por el punto B (Hg. 10). La recta 
a y 111 recta ...1 8 ~p col'lan en el punto A. N() tienen otros 
l)11ut08 d(\ inters()ct'i ófl. Tomemos en lo sClmirl'ee tn AB un 
Inlnto X cll .. lquiet:l, El s~J.!mcnlo EX uo e·orta la recta a. 
En ofedo , ('1 segmoHlo BX pod)'ítl ('·orlar la rec ta a sola-
mente l'.n el In)Il~{) A. Pero el pUl)to A no perteneco nI seg-
monlo BX ya qlle 1) 0 soparo los puntos B y X, 
20 
Puesto que el !,!ogmcnlo EX no corta la roela a, resulla 
que el punto X se halla, respecto a la recla a, en el mismo 
semíplano quo 01 punto [J. Así, obtenemos Ja propied'HI 
siguiente: 
1.3. Si por el punto de origen A de una semirrecta AB 
se traza una recta a que no pasc por el pu.ntlJ B, toda la semir~ 
recta AB estará en un semlplano respectu a la recta a. 
Ya que 01 segrnonto AB es una parte de la sem irrecta AB, 
obtenemos 11'1 sigui ente propiedad: 
t.1. S i por el extremo A del segmento AH se traza una 
recta a que nn pase por el punto B, lodo el.~egmento AB quedará 
situado en un semi plano respecto a la recIa a; a saber: eslartí 
situado en el semip/aflo dOflde se encuentra el extremo B. 
Las propiedades fundamen tales de la llosición recíproca 
de los puntos en nna recla y en el plano son lns tres propieda-
des sigu ien tes: 
11,. De tres puntos de una recta, lUlO de ellos, y sólo uno, 
j,'e halla enlre los olros dos. 
Hz. Un punto situado en una recta la dio¡de en dos semi-
rreclas. Los puntos de una semirrecta Ita están separados por el 
pun.to de división. Los puntos de. diferentes semirrectas esftln 
separados por es/e punto. 
113' Toda recta divide el plano en dos sl'miplanos. Si los 
extremos de un segmento cualquiera pertenecen a UI¿ semiplarw, 
el segmento no corla la recta . S i los extremos del segmento 
pertenecen a diferentes semiplanos , el segnumlo corla la recia. 
Propiedades fundamentales de la mcdidón de segmentos 
y ángulos . Para medir los segmentos se e mplean diversos 
lnstrnm(mtos do ml,dición. El instrumenl-o más sencillo 
es la regla graduada. En la lig . 11 el segménto AS es igual 
Fig. 11 
a 10 cm, e l segmento AC es igua l a 6 cm y I.~l segmento Be 
es igual a 4 cm. La lOllgitud del .segmento AB es igual 11 la 
suma de las longitudes de los segmC\nto8 AC y Be. 
2\ 
Las propiedadesfllndamentales de la medición de segmen-
tos son las siguientes: 
1111 " Todo segmento tiene una longitud determinada mayor 
que cero. 
Hlz. Si el pltnllJ e de la recta AB se halla entre los pan-
tns A!I n, la longitud del segmcnÚJ AB es igual a la suma de las 
longitudes de los segmentos AC y BC. 
A 
o 
B 
Fig. 12 
Se llama ángulo a una figu ra formada 
}JOI" dos semirrectas distintas con un 
punto de origen común. Este punto se 
denomina Ilértice del ángulo y las semi-
rrec,tM; reciben el nombre de la,dos del 
tmglllo. Si los l¡ldo~ de un ángu lo son 
b semirrectas complcmentllrio.s do uno. mis-
ma recta , el ángulo se llama llano. 
En la lig. 12 pueda verse un ángulo 
de vórtice O y de lados a. y b. Para desig-
I\(\t· un ÚJlgll lo so ,-;c ii a la su vértice, sus l udo~ () tres puntos: 
cl vértice y dof:. plllll.OS, en Jos Jados dol ángulo. La palubl:a 
l/ángulo» s uelú $\I~ I , ¡t.l1irse por el símbolo L . El ángulo de 
, 
Fig , 13 Fig.H 
l a Hg. 12 puede ser dt~signado de Lrcs formas: L O, L (ab) 
y L' AOB. En n1 tercer cnso el vértice se coloca en el 
medio. 
Fíjense en la Hg. 13. Diremos quo el rayo e que parte del 
vértice O del ú ll~u lo (ab) pasa entre sus lnrtos si corta un 
segmento AB (',Iwlquicwa cuyos extremos se hallan en los 
lados del áflg'ulo. En el caso del ángulo Hano , aceptamos que 
cualquier rayo 'tue ananca de su v{.rtkc y no co incido con sus 
Indos pasa ent re los boos del ángulo. 
22 
Los ángulos se miden en grados mediante t- l transpolta-
dar. El ángulo (ab) de la f¡g. 14 es jgua l fl 120". La semirrcet.1 
e pasa entre los lados del ángulo (o,b). El ángulo (ac) es 
igual ti90° y el ángulo (be) es iguR l a 30°, E; I ángulo (ab) 
es igual a la Sl.Hlln do los ángulos (oc) y (be). 
Las propiedades fuod omentnlos de In medici6n de ángulos 
son las siguientos: 
1113> Todo ángulo tiene Ulta. medida en waoos determilUlda 
mayC?' que cero . El ángulo llano es iglUtl a 1800. 
U14 • Si un rayo e parte del vértice de un ángulo (ab) y pasa 
enlre saslados, el ángulo (ab) es tgual a la suma de los ángulos 
(ae) y ( be). 
Propiedades fundamentales de la construcci6n de segmen-
tos y ángulos. Fíjonse en la fig. 15. Muestra cómO se eons-
truyo, valiéndose de una regla, 0 11 10. sem irrec·ta fl de punto 
de origen A un segme uto de 3 cm de longitud . 
Fil!'. 15 Fig. 16 
Fíjenso e_n la fig. 16. La somirrectA; a, prolongado m h 
a ll á de su punto de origoll A, divirle o) plano en dos SE.lm ipla· 
nos. 
La figu1'u muest.¡·/l c.Ómo se COllstl'uye , l"I pn l"til' d e la sem i-
rrect.a a y en el scmiplano superior, uo ángulo (de 60°) 
mediante el transportador. 
Las propiedades fundHmcntalcs de la construcc ión de 
segmentos y áng ulos son las propilldadel'l siguiontes : 
¡Vjo Cualquiera que $ea el número jJQsW/Jo m, en una send-
rrecla se pue.de construir a partir de su punto de origen un seg-
mento de longitud In (cm) y s6lo uno. 
23 
IV,. Cualquiera que sea el número positivo n menor que 
180, se puede conslnúr. a partir de una semirrecta dada y en 
el semiplano dado, un ángulo de n grados, y .<;6[0 uno. 
ConsLruyaroos, a pnrtir del punto de origen A de la semi-
TrocLa AB, un segrnenLo AC menor que AB. ¿Cuál de los 
puntos A. B Y e S(J hnll:l entre los otros dos? El punto A 
no puede enc.ontrflrse cntl'e, B y e ya quo B y G se hallan 
en la misma. somil'l'ecLa euyo punto de origen es A. Si el 
punto B <lstllvicso entre los jlUDtos A y e, t endríamos, según 
la propiedad do In medición de segmentos, AB + Be = AG , 
o sea, AB < AC. Pero, por hipóLesis . es A C < AB. Lllogo, 
el punto B tam[loco se OIlCllontraentre A y C. Puesto que 
uno de los puntos se ho.llo. necesariamente' entre los otros 
dos. este punto puede ser únicamente el punto C. Así se 
obtiene l a propiedad siguiente: 
t .5. Si en unasemirrecla AB se construye, a partir de su 
punto de origen A, un segmenlo A e mellor que AB, estará 
e entre .Ji y B. 
Primer criterio de la igualdad de los triángulos. Un tri-
ángulo es un .. ) rigura de tros puntos no rmrlenucienLcs a una 
B ~ 
A e A, 
B, 
¡'---->,c 
Fig. 17 Fig. 18 
misma recta y do tres segmentos que unen estos puntos de 
dos on dos. Los punLos se llaman vértices y los scgm~ntos , 
ladas del triángulo. En la fig. 17 puede obStll'varsc un trián-
gulo de v6.r~iecs A, B Y e y de lados AB, Be y AG. El 
triángulo so designa por sus vértices. A vcces en lugar de la 
palAbra driángulM se ()mplea el símholo 11, Por ejemplo, 
el triángulo de la figun\ 17 !le designa así: 6ABC. 
Dos segmentos se denominan iguales si tienen la misma 
longitud. Dos ángulos se llAlnnll iguales si tienen la. misma 
medida angu lar expresada en grados. Dos tl'iángulos ABe 
y AtBle t se llaman iguales si se tione LA = LA t , LB = 
= LB" Le = LC" AB = AtB" BC = BtC I Y AC = 
24 • 
-= Aje j . En la lig o 18 Jl uedo verse dos Ll·júngu los ig uales 
ABe y AIBICI • 
E l pl"imcr critCl'io do la igu nlda d 0(1 lo~ triángulos CO II-
s isLa en lo s iguiellte : 
V. Si en dos triángulos ABC y A IB le ] se llene LA :..... 
= LAt. AB "'" AIB! Y AC = Aje l • Los friángulos son 
iguales, es decir , también 
LB = LB" LC = LC¡ y 
Be = B1Cj • 
Propiedad fundamental de 
las paralelas. En al plano se 
llama paralelas u dos rectas 
que no se eOl't :lIl, con la par-
ticulnridad de q uo las rect as 
se conside ra ll prolongados 
inddinidamenl.o lln ambas 
direcciones. 
La Hg, 19 rnll (\sLra cómo se 
o /' 
./ 
Fig. tu 
, 
puede , I~mpl{'ando lo. escuadra y la l'llg la , tl'llzur por el 
punto B la recta b paralela n la n1('.ta a. 
La propie dl'ld flHldamenta) do Ins pnraJe.la.s consisto ell lo 
siguiente: 
VI. Por toda punto B que 1W se halla en 1ft recta a se puede 
trazar en el plano 1lO n/.lis de una paralela a la recta a . 
Pregunl.os de repaso y ejcf('jcios 
t . (. Qué es Gcoml'trlll? 
2. Dense ejemplO!l de figuras 8('om6lr icR~ 
S, Señó'lcn80 10.9 liSuras gcoml:triCll9 eltJfficntutC'$ en el pl ano 
4 . ¿Qu'; 015 Plalllroetrfa? 
5. ¿C6mo so r6preseo1an los pu nws y las rectas en III dibujo? 
6, ¿Q ué instrumento de dibujo .se eml)lcll 118ra tTunT rectas? 
7. ¿G6mo se d«Signlln los ¡untos y laM f{)(.tns? 
8. ¿Qué punto!! do la lig. so h~lIan en la rect .. ' IJ. y qu6 punLos 
so hallan pn l:t rec~a b? ¿En qua plinto so eortau las rQctas a y b? 
9. ¿Cómo SC' traza con 111 rcglll IR recta qlm pasa por dos puntos? 
T6mense dos puntos 0 11 una hoja de papel y trnCC&l IlOr ellus la recta . 
t Oo EnúnciellM las propiedados funrll!.mental(·s de la pl'rtcnencia 
de los puntos i! Lal! reetas p.n el plano. 
11. ¿Por quó dos rectas dílerontes 110 fllll'dcn toner dos puntos 
de intl'rllElcci6n? 
12. ¿Cuál de los ,",s puntos 110 la lig. 6 separo los otro5 dos? 
I.En qué posici6n están los puntos B y e r(lSp~to al punto A? 
13. TrlÍcell(J IIn3 I'IIC tll y t6rol!!l8e fi n 111111 cllatro pUllto~ ..4, B, e 
y D dll modo que el punto e sopnro los punl<l~ A y D Y 01 punto lJ 
sopare los pUlltos n y c. 
14. ¿Q ué propicd<ld('S se ub&>rvan al dividir una roeto en UD! 
S<'mirrecl.as? ¡.CÓmo su dllsi~naJl las semirrcctl'l!? 
i5. l Qu':; es !;(!gmeuto do extremos A y B1 
to. ¿Cuál do Ins tres puntos A, B Y e se halla entre los otros 
du:! si B es uo pun\n del :!Ie8'))Jcuto AC? 
17. ¿I'or q ué todo ¡lU nto 11<>1 sogmonto AB pertenece" la scmi-
r recUl AH? 
i8. ¿Q uó prol1il!dadcs so observan al dividir el plano (m do!! 
~lnilllllDos? 
19. ¿C\lf\1 011 In posidón do la semirrecta AH NlSpocto n una recta 
" q ue ]la,~a Ilvf e l punto A? 
2Q. E núnoIOJ)S(1 las propiedades rundamentales de Jn posición 
n,)níproca do los punt,,~ en la rec ta y e l p lano. 
21. ¿Qné illll~ruwento !SO empica pam mCld ir los segmenlos? 
22 . 'l' ráCl'st! una recta. T6monso en eHa t ros puntos A . n y e 
de nwd(} \{ao 01 punto B csté entre los puott1S A y C. Midflnso 10$ seg-
mCI1U~B AB, AC y BC. Comr.Mtl'se In longitud dol ~gm e[Jlo AC con la 
!tilma rln 1\\$ longit\1des do os SQgmcntos AV y BC . 
2:~ . E 'l úueiMso l:l.! propicd3dos rllndamcnta J<.' .~ d<.' ]a medición 
,11.' I OI:i~ S('gmonto! . 
2/, ¿Qué rJgu rtl ~~ douomilltl áugu lo? 
25. ¿Q ué ángu lo so dl!ltom fntt llano? 
26 . ~.CÓ Il1 0 5\) ~ I()sjg 'l tl el ánKulo? 
27. Exp líqul'SC 01 sO'ltillo de la expr<'sió,r: tina SOllllrl'ooLIl pasa 
eotro los lo.dos do un úngulo. 
28. ¿Qué un idDdNI y q ué ¡nsl rumonto se ('rop )oa u pllro med ir 
1011 ángulos? ¿Cómo se roa lizA I.a medIción? 
29 Coos trilYl\S(\ \1n ángulo (ab) c!ls lqu j(l ra y t rúccse en ul intertor 
dl' este RnQ1II C! un rll yo e ti partir d(! Sil vr!- rtico. Mídanse IIJ::I rí llgulos 
(ah), (<le) y (be). COIIl lhírt1so el 6n¡;:u lo (ab) y la ¡¡U/M do los i ngulos (,,) y (,,) .. 
30. ~núllcieT1~ las propiedades iundamenw lcs d e la medición 
do los ángul118. 
31. Tóml'...'!lIllrt plinto cualq tli(·ra . TrlÍ.cese a pa rtir de él una semi-
rrecla . Coustr(IYA.S(I en la serni rr"('(.11l desde su punto de origen un seg-
mt'nto igual n r; cm . 
32 . Tráce~ unu sl)mirrootrr y cons trúyO!9 u pllrt,ir de ollll un aagu-
lo igua l a 45°. 
33. Enúncionsc las propiodad es (undamen~nles do la c(")ns~tueci6n 
de segmentos y ¡íngulos. 
34. En la ~roirrtlCta A n so ha construido desdo Sil pUI1l0 do origen 
u n scgmento A e mf)nM quo 01 segmento AB. ¿Cuál do lo~ tres puutos 
A, B Y e ~ hnlll'l entre los otros dos? Argumélltese la respuesta . 
35. lQ rr6 1.'8 trüingulo? 
:16. Donom¡nonse los v~rtiees y los lados del triárlgu[r, do la Hg. 17 . 
37. ¿Qué SCj(rol'utos son llaffil!.dos igup ll's?38. ¿Qué 6. nJ{ ulos son ll amados i!tude::!? 
:19. ¿Qu6 .'lignificado tiene 11'1 expre-s iórl: 01 triángulo A BC fI.s 
igull l al triángulo AIBre.? 
:¡O_ Enlllloieso l'1 I'rirOl.'f e rilArio de Ln ig1.laldarl de los tr iá ngulos. 
41. ¿.Qué recta:< se dl'uominOll parllllJ18!l? 
1i2. TrlÍeüsc unil nx: t.a cualquiera. Tóm('~<;e un punto qut! no se 
hall l' 1'11 ('sta reela, TráC('S!l 11m' es ta punto la recta pllralcla. 
43. E ntrudo!\(.· la prilpíerl :HI fundameuta l de las [lllralehl.s . 
26 
§ 2. DE COMO S E E~TllDl:\N EN 
LA GEOMETHI .. \ Iú\S PIlOf'IED.\DE S 
DE LAS FI GU RA S 
Axiomas. teoremfl.s y demostraciones. Ln va lidez de "111\ 
afirmación sohro 1/\ propiedad de uno. u oLJ'a fj~ura geomótri -
cn se ol!t ¡lblcce por modio de un razoonmiento. Este rll.1.on i\-
miento se )lama demostración. Ln proposición que enunci" 
Hna propiednd, de unn figura geomótrka se llama leorema .. 
Veamos un ej€'mplo . 
TEORgM A 2.1. Si una recta a, quc lUl pasa flor n i nguno de 
los vértice.': de un triángulo ABC, corta su lado AB, también 
carla uno , y sólo uno, de los otros lados , BC o AC. 
DE MOS'fR A r.JO N (Hg. 20). La recta a divjde e] plano en dos 
semip la nos. Los puntos A y B se hallan en diferentog semi-
planos ya que el segmento AB y la recta fL se c-ortan. El 
e 
B 
f"igo 20 
punto C está en uno de estos scmiplanos. Si el punto C 
está en el mismo semiplano que 01 punto A, el. segmento AC 
y la reda a no so corLan mientras que el segmento BC eOlta 
esta recta (fig. 20, a la izquierda) . Si el {)unt.o e está en e.1 
mismo semiplano qUQ el punto B, el segmento AC coL'la 
la recta a y el segmento Be no la corta (Hg. 20, ula derecha) . 
En ambos casos la rocta a corta uno do los seg mentos AC 
o Be y sólo uno . Esta es toda la demostmc iófI. 
Las propiedades fundamentales [ - VI de ll\¡\ figuras 
elementa les enunciad8s en el parágrafo anllJrior son propie-
dades de partidl1. pa. ra la demostración de ot'L":\S. Estas pro-
piedades no se demuestran y S6 Ilnman axtomas. 
Los lI,xiomns dofinen implícitamonte los concepto!; geo ~ 
métricos fundamentales. Son los concoptos ex presados con las 
palll brns «p untol>, «rocta» . «perLf>n('lcer» ( pnr:l pilO tos y rectas), 
«hallarse enl re» ("pnrn puntos en llH<I ¡Oj,'cot.n) y «nu;\difla» 
(long ilud de seg ment.os y medida g mclual dc ángulos). Los 
27 
dem{is c.()nw},Los geométricos son derivados. Se definen 
explícitamente partiendo do los concept;os fundamentales. 
Tales son, por ejemplo, los conceptos de segmento , ángulo, 
triA ngulo , etc. 
En la demos lrnci6n de los teoremas se pueden emplear las 
propiedades rundlllncntnlcs do las figuras elementales, 
o sea, los axiomas, así como las propi(\dados y n demostradas, 
eS docir, l os tcommas delDostrados. No se puede emples 'r 
ninguna olra propiedad dll los figuras aun cuando parozca 
evidente. 
En la demostración de los teoremas se permite emplear 
('1 dibujo pal'a la fCl'msentoción geométrica de todo cuanto 
llx prt'samos con pHlahrns. Las propiedades de las figuras 
que evidencia el dihujo no pueden se r utilizadas s i no pode-
mos argumentarlus basándonos en los axiomas y on Jos 
teoremas demoslrl;dos anteriormento. El enunciado de un 
t.oo rema consta comúml1cnw de dos partes. La primera trata 
de lo que c:>stlÍ dado, EstR p:n'lO se llama hipótesis dol too rema. 
La olTll trata do lo quo dohe ser demostrado. Esta parto 
.se llama tesis del teorema. 
En el § 1, además de las propiedades iunda:mcntales 
indicadas con cifras romnnas , se señalan otras propiedades: 
1.1; 1.2; 1.3; 1.lt 'Y 1.~ . EstaS propledallcs han sido obtenidas 
medianto razonlllnijmtos a partir de las pl'opiedades fnnda-
mentales, es decir, de los axiomas. Luego, estas propiedades 
son teoroml\s. 
Posici6n de los áogulos coostruidos en un mismo semiplano. 
TEOREMA 2.2. Si, a, partir de una semirrecta a $e construyen en 
u.n mt~mo semiplnno dM án{!ulos (ab) y (ac), el rayo b pasará 
entre los lados del ángulo (ac) o el rayo e pasará entre los lados 
del ángulo (a/J). 
La hipótesis nel teoremo consiste en que lus ángulos (ab) 
y (ae) están c.onstruidof; 1\ p:ütir de la semirrecta a en un 
mismo scmiplnno. La 1.(>"is ' del teorerua consiste en que el 
myo b pasa cutre Jos lados del ángulo (ac) O que el rayo e 
pasa entre lo~ hl.dos del ángulo (ah). 
DEMOS1'I!ACtON I'll.;t, 1·¡::/1rIF:MA. IndiqLl<l Jllos por a.) la. semi-
rrecta comple.Jllcul:ll·ia de a. Los ángulos (a.tb) y (ate) son 
diferentes. Luego, nno es menor que otro. Sea, por ejemplo, 
el ángulo (atb) monor qua el ángulo (a te). Tomemos on 18s 
semirrectas a, fJ y a l los puntos A, B y A l (Hg. 2'1). 
L ll redil q)\e contiene el r:l.yo e corta 0\ lado A lA del 
t riángulo AtAB. Por eUo, seg ún el teorema 2·.1, cort::l. e l 
Indo A IB o 01 lAdo AB. El puuto do iutel'sccció JI so hall a 
en e l fOyO e ya <IUlI los segmentos AlE '.i A.B Y el ruyo e se 
encuentran,en un mismo semipl¡tno respN·,to a In rocta AA,. 
Es docir, el fayo e corta el seg-
mento AIB o (1 1 sogmento AB. b 
, Si el rayo e co rt ase el seg-
mento A,B. pA~aría entre los 
lados del áng ulo (alb). Sellún 
el axioma IJI, do la mGdic i6n 
de los ángulos, I,co drhHnos 
(a,e) + (eb) = (a,o) do mod o ';:.'-+-"'---+----=' 
que el ángulo (ate) soría monor A, A 
que el ángulo (a lb). Poro asto 
es imposible ya que el ángulo 
Fi Jo:' 2 t 
(al") es menor que 01 ángulo (ale). Por lo tan Lo. el rayo e 
no corta el segmento A tB y, por cons ig uie nte. corta el 
segmen to AB. Pero esto significa a l mismo tiampo que el 
rayo e pasa ontro los lados dC'l á og ulo (ab). 
Queda demostrado el t eo remfl . 
Sepa raeión de los lados de un ¡íngulo por uno. recta. 
TEOREMA 2.3. Si el rayo e pasa mire los ll,dos del árLgulo (ab). 
la recta que contiene el rayo e separa fos ladas del ángulos o sea. 
las semirredas a y b se hallan en distinlo,~ snniplanns respecto 
a la recia que contiene el rayo c. 
Lu hipótt'sis del Loo l'ema cons isLo 13 11 qu o 01 ra yo e pa~m 
eIltl'e los lados del ;íngulo (alJ). La ltls is QlII t~orc rn n co n-
siste on que los Indos del á ngulo (aIJ) se h.lllnn en distintos 
semiplnnos respocto a la recta (J tl O co ntiene 01 l'uyo c. 
DB!'tlOS'iRACrON DBL TEOREMA. Como q uiera qutl e l l'ftyo e 
pasa {' ntre Jos la dos del ángulo (aó), cartil u n sngmcllto AB 
cuyOS cxlrllmos &} hnllan 011 los 
A 
lados dd ángul o (rig. 22). Puesto 
que el súg rnenlo AH ('·01'1./1 la teda 
que contiene el r¡¡yo e, los puntos A 
..r; __ + __ --'c y 8 está r. 0 11 diferontos sond.rhl -
nos rcs(l<'cto n cst.a roe la. 
, 
I<'ig. 22 
Según (> 1 lcol'C'JUIl. 1.3, la se mi-
r recta a se halla en un sCnl iphmo 
respecto a In I'('cln quo co ntione 01 
rayo e: 11 su¡'t'r, M I ell sf'mi pl nuo (10 
elC)lIo S(~ hall a el punto A. Según 
el m ismo t E'Ol'oRl n, In semil'l'Cclu b se halb on 01 sc uliplallO 
al que )Jertenccc 01 punto B, PnosLú q U() los puntos A y B 
se lwllau en distintos sIJmil)lanos respecto a la recta que 
contiene el !'a yo e, mfmlla que las somirrcdas (J, y ú se hall.ul 
en dis tintos sCll1iplanof:l . Qucdn demostrado el teorema. 
Pn'g umas dl.'_ ¡"'flmiu 
1. ¿Qué es dmnostrnc'ión geométrica? 
2. ¿Qué es teorelua? 
3. Dese 1111 cjomplo do t rofcma y de su deIllolllracióu. 
4_ i Qué es axioma ? 
5. Enúncic)}so los axiomas de la pertenencia de los pun tos y las 
rcdas. 
6. Enúncicnse Jos axiomas de la medición ele Jos segmentos y los 
ángulos. 
7. Enúncicnso los axiomas de la construcción d(' los segmentos 
y los án~ul()s . 
8. Citon so los conr.epLos geom étricos fundamentalos. 
9 . DCllso ejemplos do COllcoptos gllQm6tricus dCl'Ívado5 y dl.'se 
su clefiuición particudo de los ('oncep tos fUlldamcntalps, 
10. ¿Qué propiodades dI) las figuras geométricas se permite 
mlllllear fllit'a demostrar un 'eol'e ma? 
11 . ¿Cómo se empIca d dibujo en la demostración deun teorema? 
12. ¿Cuáles son las dos l!artes que componen el enuncittdo de un 
t.eorema? ¿Cómo se denom inan ? 
13. Enúneio..«e r demuéstrese el teorema sobre hl posición de Jos 
¡íngu h.s construidos en un núsmo semilJlano (teorema 2. 2) . 
14. EnÍlnciese y oe-ffiuéstn,sc el teorema soln"" la separación de 
los lados de u n ángu lo por una wcta (teoroma 2 .3). 
15_ Deulllésl_I·('IlSe los teoremas 1.1: 12; 1.::1: 1,4; y 1.5 del § 1. 
Ejercicios 
16. Eu el pla no Si' tIl'UOU clmtro puntos A .. A 2, A3 Y A. Y una 
rocta a que 110 ¡¡.'Isa por ninguno de eHos. Los segm('ntos AjA!! y A 3A ~ 
cortan la T<'Cta a y oll*'~'mento A 2A , no la c orta_ ¿Corta (,1 SCbmwn to 
A JA , la reda a? Arg umentl's\) la rcspue:da . 
17. En (11 plano so t.ioUl'JI cuat ro puntos A, lJ , e y D. Dcmué.'l-
tn>se que si los regmentos AlJ y CD 00 cudall, los puntos B y D 
S(I h;\llim l' n un mi ~JIlIJ :;emiJlla no re.'lper.to ~ la recta A C . 
18_ ]}(lmnésl.,f'sn que si un rayo e pasn e utre los lad os de un á.ngu-
lo (a b). Coorta cualquier SI'gJUenW cuyos extremos se ItalLan en los lados 
dd ángulo (ab ). 
19. Tr1'~ !JU utos A , B Y C sc ha lla n en una m isma recta. ¿Cuál 
de ().~tos jluntos se enCllentrn entre los otros oos, si AH = 10 cm, 
AC = .. {·m y fJC = :1 cm? Arg llm6nt,cse la re~pucsla. 
20_ <"Puoclen hallm'Sl' tf1'S punlos A , n y e en una misma rpr.tR, 
s i All = 5 C.JU , Be ~- (j cm y AL' = 7 cm? ArWlIllt' n tl'SC la 1'C ~l)ll esla, 
2 1. Tr{'~ p\J IIllm _'1. H Y C SI.' I};lUan en ulla mi,~nw reel a . E l Sl'g-
Tl!1~IIt.O AH es igmtl a ! f cm y PI sf'gmento RC o,,> iguul a 3 c.m. I.A qué 
es igual el segment.n A C si d !HlUto H se hfl lla ünl-r'e A y C? l.-\ filié 
c.~ igual el I'I-'gJllCIlt.O A l.' . s i el plint o A se IwUa ¡'¡Ü I'C n r C:' Argll-
llIénlellsc IlI s rl'.'! (1I I"f' tas . 
30 
22. Cutl.lro Tlllntos A, IJ, C y /) Sl' hallllrL ('11 ulla misn.tl. wcta. 
El punto J) al,) halln Cllt·r(\ .ti yc y ('1 plinto e Olltl'O Jj y J) I)n!llluh, -
tr(lSO r¡IIO l·1 ¡JUnto e sn hnUn llntl'c A v /J. (li¡¡!tcI'clI/;¡a. TA'" J;Cmirroc-
tas CA y el) !3() /I cOlllplcmentarias. Bf !,unto') /J I;U ]u,Ha <ln la st!mi-
rrecta. CA.) 
§ 3, ANGULOS 
Angulas adyaecntcs. Dos ánglllos se llaman adyacentes si 
tienen un lado co mún y sus otros lados son semirrectas (jom-
plementarins. Los ángulos (u,h) y (U2'j) de la fig. 23 SOl ) 
adyacentes. 
80a e un punto en la recta AB sitnado entre los puntos A 
y B Y sea D un l)Unto que no se hulla ellla I'ec.tn AB (Hg. 24). 
b 
D 
• 
, A 8 
e 
Pig , 23 Fig, 24 
Los úngu )os BCD y ACD son ont.onces adyac.on ltls. Tienen 
clIodo CD común. Los Indos CA y cn son scmÍl'rcc,tas coro-
plemcntal'ias de la recta AB ya qtlC 105 puntos A }' B de 
estas semirrectas están separados por 01 punto de origen C, 
TEOREMA 3.1. La suma de ánguws adyacentes es igual a 1800. 
DE;"'IOSTRACION. Span (a ,b) y (a ';!.ú) los ángu los adyacentes 
dados (Hg. 23). El rayo b pasa entro los lado!; U l Y a2 del 
ángulo llano. De aquÍ resulta, según el axioma 111" que 
la suma de los angulos (al b) Y (a';!.b) os igual a l ángulo llano, 
es decir, a 180°. Queda demostrado el teorema. 
Del teorema 3.1 se deduce que si dos ángulos son igua les, 
también son iguales sus ángulos adyacentes. 
Angulos verticales. Dos ángulo::; r;o Uaman verticales si 
los lados de un ángulo son semirro .... tlls complemontarias 
de los l ados del otro. Los ánglllos (al!'I) y (a2b~) do la fig. 2G 
acm ángulos vertic.aJcs, 
TEOREMA ·3.2. Lns 4ngulos vel'llcale.<; son t¡Jualt:~' . 
DEMOS1·IlACION. Soün (a,b,) y (a~b2) los ¡íngu!os vel'ticJlles 
da dos (lig. 25). El ilngul0 (a\b 2) eS l\dy:lcel1t.t\ del ángulo (al"' ) Y dQl Ílngu lo (a2b2). De :1quí dodl1C:.imos. según t\l 
teorema 3.1, que c.nda uno de los úllgII1() ~ (a.b¡) 'i (a 2bt ) 
31 
complomenta e l á ngulo (ul b~) hasta 180°, os dec ir, que los 
ángulos (atb¡) y (a:b~) son igunles. Queda demostrado el 
teorema. 
Angulo recto. Reelas perpendiculares. Un ángulo igual 
ll. 90° se llullio'l ánguJo recw. Del teorema ".1 resulta que el 
ánglLlo adyacente de un ángulo recto es un ángulo recto. 
b 
b, 
A • 
0, o. A 
" F ig . 25 (ijl; . 26 
Sean a y b dos rectas fIue se cortan (fig. 26). Las semj ~ 
rmct.as de est.as I'odas {-ol'man cuatro ángulos. Sea a uno 
de est:<Js ángulos. Cualquiera de l o.,"! tres ángulos restant.es 
será ento nc('s ady acen le del 6. lIg111 0 a o vertical del á ngulo (l. 
De oqui se deduce quo si \11l0 de los ángulQs es 1'octo, t a mbién 
son rect.Os los d t>. más lÍllgulos. En este CflSO decirnos quo las 
rect1'lS se cOl'l.an en á ngulo rccto y los denomillélmos per-
pendiculares. 
TEOREMA 3.3. Por todo punto de una recta se puede trazar 
una reéta p erpendicnlnr a ella y sólo una. 
DEMOS'l'RAGlú"", , St1H a In recta dada y sea A un punto en 
ella. Indiqu('mos por a l una do las semi1'l'ectas de la me,ta a 
IJ CO II 01 punto de origen A (fig. 27). 
I Construyamos a pul,ir de la seroí~ 
_____ ;t-___ "O, 
A" I \ 
I \ 
I \ 
Fil:. 27 
1:l't1Ctll a l el ángulo (a ,bj ) 'ig utll u 90°. 
La recta qua contione el rayo lI¡ 
sel'á eutonCes perpendicular a 13 
l'octn a. 
Supongamos (1110' , además de la 
recta construida, exist.e otL'a recta 
quo también pasa por el punLo A y 
es Jlcrp-endicular a la recla a. lndi~ 
quemos por el la semirrecta de estn 
rec~a que se hal1a en el mismo semiplano que el rayo h,. 
Los ángu los (a¡b¡) y (a l c¡), igllalcs cuda uno n 90°, h an 
sido constru idos en Ull luis mo semíplano a partir de 10. somi-
32 
rrecta al' Pero 5t.1gÚrl eL ax io ma 1 V t, a parti l' de b SCIU ¡nocla 
a1 se puede constl'nir en el semil'louo dado sólo 11Il ángulo 
igutil a !.lO°, Por ello, 110 puod(! ex istir otrn . roeta que pase 
por el punto.1 y sea perpendkulnt' o. la reda a. Qucd u demos~ 
trado el teoroma, 
I'reguntao; de rep.'~1 
1. ¿Qu6 ll lJgnl()$ &l ' llaman adyacOIILmt? 
2. ¿Po r quli son II.d)'ac('ntes los nnyu los DCA y DCn de la 
[ig. 241 
3, Demuéstli'Sf'> (¡tiC In suma <1(\ IÍnglllos adyacentCl..'1 (15 igual 
1I 180°. 
4 . D6mu('Stre.~ quo si dn.~ ángll lo~ svn igllsll':< . ~II !I tíngulos adya-
contf'll t,1mbién son ¡guules. 
5. ¿Qué ¡illgu los St! Il ll man verticale!;? 
6. Üemllt~!ltfC3(l qUf! los án~tllO!s ve rtica les son iguales. 
7, ' Qué ángllln !;(l lIamll roela? 
R. D(>ffiuéstrt'HC que Ulmbién 1'\<1 recto l.1 ángul o adYflcen t(l do un 
il. ngul0 recio. 
O. Dcmuéslrt'!iC qU(! s i en la iTlLllr~llccJ6 11 de dOI! reetllS UIlO de los 
ángulos C.3 recto , los tres t'(>slllntt"S t s mhiéu lo tion . 
10. Demuéstl1.'Sc q Ul' 11M todo punto dI! UII1\ rect¡l se puedo tra~ar 
unA roeta p E'r~ndlcu1Il r a ~sta_ 
EJtn::icills 
11. Ellingulo j/lb) es igual a 120u y 1:'1 Áugu lo (ad es igllal a 150°. 
I.A qué es igual ElI II. ngu lo (be) si los l'ayos b y e J;C hallan <'111m mismo 
semi plano l'CSpl'c.to a la rc..ta que contiene e l ra yo a:' ¿A qn6 tlS igual 
el á ltgu lo (be) si l o.~ rllyos b y e Sé ho llan en difl'reutcs s()miplllm'>3 
respecto a la rt!{;h ({ue contieno el .'AyO a ? 
12. l A qué son igll l\lE'3 los ángulos adyllccn les si ItIlo de eUos tlS 
dos \'l>Ct'S mayor quo 01 olro? 
1:1. ¿A qtl6 ~n igunl~ 100 úngul<os ndYICó.'Yl l{'s s i UIIO dt> ellos 
es 3O~ mayor quo íll (l t m? 
14 , L08 segmellto! A B y CD so corlfl ll ell 01 p li nto O Dcmu('stre-
so <l ItO los á ngullls A OC y DOD son \'l'rticslos. 
15 . Uno do )Of! ángulos formados por lu intO:I'lOHt:ciúlI d (\ (los recias 
el! iguul a 60°, IH lh,onSl1 los demás finglll,,~ . 
, 4. lGlJ ,\l.1lAD I)~ t.O~ 
TR IANGU LOS 
Segundo criterio de la igualdad de los triángulos. [:;1 
oxionHI V oCrece el primer critC'rio de Lit i ¡.{ unld ¡ld do los 
triángulos, EL segundo criterio se enlln~ j(\ en 01 teorema 
sig ui ente: 
3- 0 1258 33 
'I'EOHl:~.(A -'..1. S ~ los triángulos ABe y A IEICt son tales 
qu.e AB = A II1,.LA = LAI Y LB = LB j , los trtcíngulos 
:wn iguales. O sea, también AC = A¡Clf DC = B,CI y Le = LG't ( lig. 28). 
c c. 
c, 
f-------=>.,., 
Fig. 28 
OEMOSTRAr:ION. Si en estos tl'iángulos AC = A l C1 • son 
;g lw lcs en \'il't.ud del pI'irncr criterio do la igualdad (axioma 
V). SU(JongnmO:lllHe AC 7=- Atet . Entoncc.s no~ eucontramos 
c.on que AC > ¡\ ¡Cloque AC < AtC I • Supongamos, para 
co ncretnr, que AC > A te1• 
Construyamos en la semirrecta AC eL segmento AC,! 
igual a IIICI , SL'gún el teorema 1.5. el punto C t se halla 
entre A y C. Los triángulos A IBIC¡ y ABC~ son igullles 
debido nI primer criterio de la igualdad ya que AB = AIBI 
y LA = LA¡ por hipótesis del teorema y ACz = AICI 
por construcción. De la igualdad de e~tos triángulos resulta 
la igllaldnd de los ángulos AtBte. y ABC'].. Además 01 ángulo 
AtBtCt es igunl al ángulo ABC por hipótesis del teorema. 
E l rnyo BCt rusa entre los rayos BA y Be ya que corta 
el segmento AC. Por ello, el ángulo ABCz es monor que el 
ángulo ABC. Hornos llegndo a una contra-
e dic.c ión, pues estos ángulos son iguales. 
6 Queda demost.rado el teorema. rrriángult) isósceles, Un Lriángulo se llama isósceles si tiene dos lados iguales. Estos lados igmdas se llaman laterales y el tercer lado se llama base del triángulo (fig. 29). A 8 TP..onEM,\ li.2. 12ft un triángulo is6sceles 
Pi!;. 2D los ángulos de la base son iguales. O sea , 
si A e = Re en el triángulo ABe, se tiene 
LA = LB. 
D~/lWSTRAC(ON El triángulo CAB os igual al triángulo 
CBA s~gún el primer criterio de la igualdad rle los triángulos. 
Efactivnml'llte. s e! til'llc eA = CB, CB = CA Y Le = LC. 
34 
De la igull ldu d d íl Jos tdúnguJo!l! l"cSlI lltI (1110 L A = LB. 
Queda demostrado ol leorcmll. 
TY..QnEMA 4.:1 . S i en un triángulo ABC se lieue LA = LB, 
e! triángulo es isósceles . A saber: AC = BC. 
DEMOS·I' RACION. E l t riá ngulo ABC l'S igual ni triá ngulo 
BAe por el segundo cl'iterio de I I I igull ldad (le los triánguLo8. 
Efectivélmen.te, AH = EA, LB = L A y LA =-" LB. De 
la igu.,ldnd de los triángulos re sultu que A C = BC. Qucdo 
demosl.mdo el tCOrclllll. 
El teal'e ma 4.3 es el recIproco dol teoroma 4.2. La tesis 
del teoremA 4.2 es hl hipótesis dBl tcorcm" 1,.3 mil'n tT(I~ que 
" 
, 
6 
PI" 30 F' ig. 3 1 
la hipóLes is del teo l'e ml\ 4.2 os In tcs i ~ dol t (lQ rc mn 11.3. 
No todo teore ma Li Gne recíproco , es dec ir. si el te.oromo es 
vc rfdico. el t.corcma rccíproc.o pnod l3 no serlo . 
Aclaromos esto con el ejem plo da l ~cor('UH\ 2.3 . S u teo-
rema recípfoc.O seríll el s iguienLe: s i 01 rnyo e parte del 
vtírti r.e de 111 \ ángul o (ab) y la roctn quo lo contil:lno separa 
lo s lados dol ángulo. al rayo c ]'lo.sn en LI~t) los 1:'l dos del ángul o. 
Esta afirmación no es válidD. Fijeosc en la fig. 30. La 
roCt A que co nt.i"nc (01 rayo e SCJlarH los ladus del áng n\o (ah) 
y , s in emlungo. el Tayo e no pasa entro lo::: lados del á ngulo 
yn que no cor tll nÍllgún S<lgmento cuyos ex trulll os sa h:\lI an 
en los Indos dol ángulo, El rayo cO lllllfe menla rio del rayo e 
pasa ('entro Jos la do.'! dpl áng ulo (ab) . 
i\Iedi8ua, biscdriz y altura. Sea ABC u n trhillg\uo y sea 
D un p lin to do la recto A 8 (fig. 31). El s(>glllonlo CD se 
llama mediana del tri ángulo relatl\'o 31 l<l do AB si el punto 
D es cl punto medio del segmento A B. es decir, si AD = RD. 
El segmento eD se lI arnR bise('(r lz nel t ri ángul o s i la scmi-
rree ta CD pusa en tre los Indos CA y CB del tri á ngulo y divid e 
8. 35 
el tÍllgulo e flor /, ' mitad , o sea , s i LACf) = LBCD. El 
w gme Hto eD se UHllIiI alútrlt del t.ri<í.nglll o s i las recta s AB 
y CD 80 11 lWrp(' ndk_ul arcs. 
TP.onB:\tA 4 A . ll n el triángu lo isósceles la mediana relativa 
a l'l- base es hi.w:clriz y a ltura . 
m~"I[OS"H AC'ON Sl' iI A HC el triáng llJo isósf'-e IBS de Imse 
AH ( fig . i}2 ) . Sea CD la uwd iana relativa <1 la hat<e. Los 
e 
D 
Fig. 32 
8 
¡"¡ángulos CAD y CB]) son igtlales según 
PI pl'imer CL'iloú o do la igualdad de Jos 
(, rj ángulos. S us líldos A C y BC'f;on igua-
Ir's p O I' s(:-r e l t riúnguln ABe isósceles. 
Los úugu[ os CAD y CJJD son iguales llor 
d teOJ't'mll 11.2 . L O!; briol' AD y BD son 
i guall~8 po rque D C!'l el punto medio del 
seglllOlll¡) AB. De b i g \l~ ldlld de los 
triá ngulos resulta la ig ua ldad de los 
:í ng-ulos: LACD = L B CD y LADe = 
L B DC. Por sor ignales los á ng ulos 
ACt) y BCD. resulto que CD os bisectriz. 
Como }os ángnlo'i ADC y BDC son odyacC' n tcs o iguolos, 
L1.\Sl lltnn rectos y , pOI' 1, [10 , CD es al tura del t riá ng ulo . 
Queda demostrado el teUl'CllW. 
Tercer l'riteri.o de la igualdad de_ los lri¡ingulos. El tercer 
crH.crio de la ig unldad de Jos t¡'iáugulos s~ e nun cia en el 
teo rema s ig nienLe. 
TEOIlE MA I¡ .S . S i los lrirlll-gulos ABC y A l B 1C l son ((tles 
que AB = AIB ¡. AC = A ,e:! y B C = "B iCI. 10.'1 lriangu.los 
¡;(In iguale.>; , A sa-bel' , larnbién LA = LA (,L H = LBI 
y Le = Le l • 
D EMOSTHA CJÚN' (fig. 33). Si es LA = LA I o LB = 
= L B ). los t ri á ng ulos ~o n ig uales según el primer c ritel'Ío 
AL----'>B A,"------'8, 
Fig, 33 
de la igmlldad de lo s triáng ulo s . S upongamos q ue en los 
l. riá ng uios S(\ t.iNIO L A =i=- LA! Y B '* LBI' Constl'Uyamos 
1\ pa rti r de la scrn iu0cta L1B C' n el semi plano ell el quo se 
36 
encuentra el pu nlo C u n áng: ul o igual ni L A I ycoJlsLl"uyamos 
en su ludo el Sl,.glll l:lul;o ACt. igua l a AI C t • 
Los triáng' ulos A IB.e l y .ti RC! son i ~\l¡\les "l'gÚII ('1 pd-
me .• ' c·r itl'r io, 'fiN.t' l1 AIJ = A JB¡ l'0 r la hi p6tesis dl' l te-o-
IOClDll y A le. = ACt. y LB IAtC I ...::: LHA C~ p M (onst.ruc·-
ción, ,l}c la i:;': II:l ld ad (11) Jos t riJin .l(" ulo ,~ rl't=:,. l l;"\ que 11C2 ~"" 
- B IC t , 
tos triángu los CCz.1 y CCzTJ SQ n i .~6~ü l e~ y li n ll e n CC~ ('.nmo hnso comúo , EH ellos AC -- AC! ya quo!te ~ .. Ate! 
y Que A,CI -= AC'J: ndolll .i~, OC = lJC~ :'il \ t']1It~ De = B ICI 
y q ue B ICI = B(\. 
Sen D 01 pu nto modi o dc l !i(lg trl l'n tn cez' I~ l p itil l.O D 
no S(' huHn on In r('("t~ AB ]lorq uc [·1 !"f'~fllf'l\tn ce l no co rLa 
lista recIo. ne nquí ~ dodut~c q uo l tlS fl.>ct.ns AD y ED 
so n diforclltt's. 
En virtud dl~ l I.C!\Homa 4.4 , 1m3 re{'las AD y 8D SOU P0 l'-
pcndiclJ larc~ a la rec.b:l CC~, S in oOlbnrgo , !lPgún 01 tjJorf.o-
mI! 3.3, por el 1'unl:o D so J1U(ldl' l.rfl'l;lr Sollllnl'nLe tlllfl r()eta 
perpt'lltl ic ul.'lr il la rel',f.¡( CC~. HOUlOS ll l'g,)(lo a una c.Olllrfl-
dicc. ión. Qneda demo strado 01 t.eon'ma. 
rreguJttns dl' repASO 
1, ¿Q116 s<>gnu'"l.(ls 5(' lIam(ln i~un l ('-s'" 
2 ... ,Q ué Áugu los se Ila mo.l) ¡guil le!:? 
:-l . lQué ~ triángulo? 
4, ,iQ uó signi fka la fraSl): 01 tr i :i l1~lIlo .1 lJC f'~ i!.tu:!l allrj¡í ng,, · 
lo P(IR? 
5: ":ulÍnciC's{' d rrim C' r cril l.'rio d,) la igua lllM! d(\ lo~ I l'iúog\l 'I t)~ 
G. g n,'inci(\S(\ y d('muégtrt'~ d ~tI 'l< I ,., ~r¡ t' ) I'¡1l ,'lo In igulIldJll1 
¡fo ¡O~ l r ilÍ ngll]os. 
7. lQué Irlli.n)ClIlu so I1nm/l. js6s(oll ' ~? i,()'IÓ l u an~ dl'l t,l'iú nJ;u lv 
isósm'!()! lSO Jlnm:m lal_('raJc!9? (.Qué 1111 10 ~~ \Ia!lw hn Sl'? 
8. nf'lnuéf;t~e qllQ en (! l tL'i Anp; lllo isó,';(,.' lt'" 101\ ¡\t l¡:;u los .10 In 
bll .~(! lIon ig\lIt I('S . 
9 . Dcmllést~o q110 UII tr i&ngu!o con elo!! (¡nltU!OIl ig¡.r:.lrs f!Jt l!oiftol-
coll.'lI, 
10. ¿Qué es 1'1 l (,Ol"l.'mu reciproco! I)('l>(' IIn . -jl·mplo. ¿Exist(' nI 
N'!ei r.rocu ,1(' cualquier t~rema? 
11 . Dcmué!;tni.sc q ,¡8 ClII d tr ian!.:u10 I!q 'lI\¡a~,ro todo! h,~ Lin¡.:ulll.$ 
SOl) ia\IA1ci'! 
12 , Dl.'mué-! t.r('~) qlle Ult LI'i(Íngulo 11 0 6/1lotl1l" .. '1 ill:unll'.-,S I ' ~ 1"1¡1"iliitUfI' 
13. ~. Qué son medianll , hisrctri1. y u ltllrn (Id tr ilÍlI~ uIH? 
1~ . Dl.'mI16~tr('S" ITU(~ (\fl el tr i tÍ n ~!ul ll ¡ só.'!.r .~I('~ la mooi:l llo rolnt,lv ll. 
n lo, bo,!!'C ('~ hi ~<.'C_triz y nlLura . 
1¡) , Dcmuú~lr('~(ll'l torcur crit('rio 11(\ lu ig,wJdad 11(' los td5.n-
gulos. 
37 
EjerricillS 
16. De!nuiÍ!Jl.rr-so ,\IU' si e l roy o c . quo parte dol vé l'tic e de un án¡¡:u-
lo (a h), pasa enMe sus ados, el á ngulo (ae ) es menor tlue el á ngulo (a-b) . 
17. !\fu&;tl'cse cou 1lI1 ejemplo que dos triá ngul os A B e y A JR jC¡ 
tale~ qllC' AlJ - ~tl lJ ¡, Be _-,- B JC , y LA = L A ¡ PUOdDrI no ser 
iguol l!S_ 
18. Demll(í. ... h·r¡;e (\ 111.' en el triá ngulo isósr.e!es la bj sc c_ t riz re1ath·a 
11 la b/lse es ffi l.'<I i l\lIl\ v a ltura. 
19 _ DeJll lll'sit"'se 11'J{' eu t>I [¡'¡ángulo illó:>eúles las modianBs rela-
tivas a I (lS laterales SLl II iguales y las bisectrices relati vas a los latorales 
;lon iguales. 
20. DrmuÉ's tJ'(-,-so que los pu ntos medios d<> los lado..<; dol t riúngulo 
isóscelos son vél' t-kcs (lo otro t r ilíogulo isósceles. 
21 DI'Jnn{.strcst' qUl' s i &) tr iállgulo A Be l'S igual a l Ll'iángu lo 
}J e A , es equ ilátero _ 
§ 5_ llEJ.A ClONES E NT nE LOS 
fl N GULOS y LOS LADO S DE [, 
T HI ANG ULO 
Relaciones j' !ltr (' los áng ulos del triángulo. TEOJlEM A 5.1. 
I~a suma de dos ángulos cualesqu iera del tri ángulo es menor 
que 180°. 
DEMOSTRAClOX Sea ABC el triá ng ul o d udo (fig. 34) . Demos-
tremos que 111. s u m a do los IÍ ngulos de los vértice s A y e 
es menor que 180°. Indique mos ]lo r O el pun to modio del 
lZJO 
B A 
Fig. 34 
la rl o A C. Construyamos en la prolonga-
d ón del segmento BO el segmen to OD 
ig ual a OB. Los triá ng ulos A OD y COB 
son igu ales . TiClne n igual es los á ngulos 
de vér t ice O . po r se r é 8tOS \'ertica les , y 
AO = OC y OD = OB po r co ns trucc ión. 
De la ig-ualdad de estos triángulos 'so 
ded uc e que L OCB = LOAD. . 
El á ng ulo BAD es igual a la suma 
de l o~ á ng ul os BA O y DA D y a que el 
ra y o AO COI'lll el seglTIf'nto RD cuyos ex t remos se hullnn en 
los lados del á ngu lo RA D. Puesto q ne L OAD = L OCB, 
(,1 áng lllo BAD es iglJl'll a h su ma de los á ng ulo s d e vé t'lj-
Cf'S A y e Ñel tl'i á ng ul o ABC. El á ng ul o BAD no es llano 
po rqlw el punt.o D no se halla e n la rC'c-tB AB. Por e llo, e l 
{ing ulo BAD PS llWHo r que 180" . E s decil' . la suma de los 
:íng lllos A y e d el t riá ngulo ABC es igual a l á ngulo BAD 
menor que 180°. QUf'dn dCfi! os t. rél do (>·1 t eorenlll, 
38 
Se llama agudo todo ángulo menor qut~ el reclo, o sea, 
menor que 90° . Todo ángulo mayor que ~)OO pero menor qU0 
1800 se llama obtuso. 
Del teorema 5.1 se deduce que en cualr¡uicr triángulo hay 
dos ángulos agucWs. En efecto, si fuera agudo só lo un <Íllgulo, 
la suma de los otl'OS dos ángulos soría no me nor que 1 RO" 
n despecho del teot'ema 5. 1. 
En un t¡·iánglllo ABe se llama ángulo exterior de vértico 
A al q ue es adyacente del ángulo dC\ C\sto mi smo v6rUcc en el 
triángulo . Paro no confundir el ángulo de vértice A del 
t r iángulo con el ángulo extorior de mismo vé-rtiec, 01 pri -
mero se denom inlJ interior. 
't'.EonR~rA 5.2. Todo ángulo ex terior del triángulo es mayor 
que cualquier ángulo inferior no ad!Jacen te de éste. 
DE~fOSTn ... c rON. Sen ABe el triángu lo dado. Demos tremos 
que el á ngl1lo exLerio)· de v.értico A es m ayor qu o (11 ángulo 
intNior B. Seglín ('1 teo rema 5.1, In sumn de l o~ {ingulos 
interioros A y 13 \!s menor qtlo 18001 , () ~()n, LA + LB 
es mcn or que 180". Dl\ aq uí resu ltn q lH1 (jI LB el; menor qul"' 
18001 - LA. P ero, !Icgún In prop iedad de los áng ulos adyu-
centt's, 1800 - L A Cf! la In edid a g rlldu::t l dol ángul o ex te-
rior d~ vér ti ce A. QUedli dAmost rndo el tf'O rf) mo. 
Relación cn tre los ángulos del triángulo y sus lados opucSlos. 
TEongMA 5.3. Si AB > Be en un (¡·lán.gulo ABe, el L C 
es m.ayor que el L A. R ecíprocamente, .~ i fl L e es mayol" que 
el L A, se tiene AB > BC. En otras palab¡·os, al la do mayor 
de un trMngulo se opone el ángu.[o ma.yor !J a mayol' úngulo 
se opone mayor lado . 
DEMOSTfI.-'ClON. Soa AB > Be üH el tr iá ngulo ABe 
(fig . 35). Consideremos en la sem im'leta BA (~ l .segmcuto BC 1 
igua l a BC. El 'Imnto e, se ha ll a entre A 
y B. La semirrcc.ta ce l pasa entro CA 
y CB, pUf'S corta el segmento AB. Por 
ello, el ángulo oec¡ es menor qlle ,,1 
á ngul o SCA, o sea, menor <1M fll áng u-
lo C del triángulo ABC. 
Los iillgulo ~ BCC j y RGle ~O[l igua-
les por ser ángul o~ de la base t1el \.r jÍln-
gulo isósc.eles CBC! . El ¿ - fle.G es e l 
ángulo ex te rior de vértice C. dt' l tri{ill-
Ld A e 
gulo ACle y , por esto, es ma yor qut' e! <ÍlIg lll o A . .:-\sí , 
el L e del D Alle 1.'5 mayor qlW el ¿ A rk Of'lle triángulo. 
Queda demostrlldala l a ll fi nnnei ón del teorcmn . 
:19 
Dotno,stromoi'$ ahoru quo s i LC os mayor que LA, so 
tiene AB > BC. Snpong'f1mo!=' quo la afjrmncióll no es válida. 
r':: ntoflcCls. AJ3 = Be o ¡lB < BC. En el primer caso el 
triángulo ABe N¡: isú:¡celes y, pOI: eonsiguioHw.1Qs ángu10s A yc de Sil haso son igunles. p(\ro esto c,ontrll.dice El lA hip6· 
tesis de qlll' (JI ¿C N l mnyol.' 'luo d LA. Ahom bien, s i es 
AH < BC. I·Ú f!. llha según lo demost,l'[\do que el L A es mayor 
(ttlC 1)1 Le, 10 que Lllmhiéll cont.l'Hdico 11 In hipótes is . Por 
lo tanto, si 01 L e es mayor que el L A, se tiene AB > Be. 
Queda demostt'lldo t'l tcot'omn . . 
Hcladont.'s enlre Jos lados del lriánguln. Tl.:Ofn;r.IA 5.!i. 
f."n todo triángulo la suma de dos lados es mayor que el tercer 
lado . 
Df.!MQSTHACI ÚN Sea ABC el Lrifinglllo fiado (rig. 36). 
DemosLremos qm'_ AB < AC + CH. COllsidewntos en la 
B 
A 
Pi¡;. an 
semirrecta AC cl segmento AD igual 
H AC + CB, El }H1nlo e estará 
ellloJlces entre A y D Y CD ."..,. CB, 
Lo~ ángulos 8 y D de] triángulo 
BCD son iguaJes por ser ángulos do 
.In hnso do un triángulo isósceles. 
El ángu lo ABD es mayor que 
II I ilngulo CB)) ya qnC\ In SOlllirf(~cta 
Be paSA entre HA y BD. Por con-
s iguiente , el ángulo A BD es mayor 
que 01 á.ngulo AUll. Empleando el teorema 5.3, deduci-
mos que AD > AH, es decir, que AC+ Be> AB. 
Quedn dCJnosLr"do t~ l teorema. 
])esigualdad triangular. Si los puntos A y B son dife-
rt'ntes , In longitud del seglnento AB se llama distancia 
entre o~ tos puntos. Si lo!': Jmntos A y B coinddcn, la disLan-
CÜI entre ellos se considera igual a coro. 
La df!siguaulrúl triangular es la propiodad de 1[\8 distan-
cias entre tCC'~ puntos que enuncia el toomma siguiente. 
Tfo:Qm:r.I A 5,!). Si A, B Y e .<:on tres puntos. no necesaria-
m.ente dr:stintos. 111 distancia AB no es mayor que 'a suma 
de l(Lo; dislancia..<: A e + CB. 
DJ~)IOSTIU(;lÓN . Distingamos cuatro C·lISOS: 1) los tres 
plintos A. B Y e son diferentes y no se hallan en una misma 
recto; 2) todos los puntos f!.o n diferenles pero se halJuII en una 
mismn rccLn; 3) d.os puntos coinciden y 4) todos los llUotos 
{'I)i nc.i dOll, 
En el prime,' cnso la alil'mnción resulta del teotema 5.4. 
Consideromos (tI seg undo cnso. At'_opto mos , jl'tlCS , q ue lo~ 
puntos A, B;y e son di.fofontos poro so .hl1 Han en 11111.1 mismtl 
recta. Uno dü ~s l.os puntos OSlHr{¡ en t·ro los olros 1I05. Si e 
Sf.l h all a e ntro A y B tcn('<mo!l ¡ lB """ AC ._¡- CB por la pro-
pie>dad de lA medición dü los segmen tos. Si A se 1& [1 1111 entre B 
y e , tenemos AR -i- AC - lle. Si J) ~, halla e nll-e A y C. 
tenemos AB + Be = AC. Vt'mos que (·.lIalqui(H'1I q ue Sl' a 
In posición do los puntos A, '8 y e In dist:lIlclll AB no (I_~ 
mnyoc que .tiC + CB. 
Consideremos t·¡ tercer caso : dos de Jog l.n·~ pUlllos coin-
ciden. Si coinciden los ¡mulos A y B . S{' t.i (~no AB = Ú. 
S i co inddc n .ti yC, se tiene AIJ = CIJ . ~i 
coi nciden B ye , se t.iene AH = AC. Ve- A,_- -r.', 
mo s que en c ua lq u ier caso do co incidencia 
ne dos pu ntos, A n no os m:l yor que 
AC + Cll. 
En el c ua rto C·<180, on 01 que los !'res