mir moscú geometría diferencial Pogorélov

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A. v. POGORáov 
Geometría 
diferencial 
EDITORIAL 
Mil 
A. D. HO r OPE JIOD 
.LV !(J)(l) EFE Ji I.l~ 1 A .Tn,H A H 
rEOMETPllH 
1I:J¡l;.l.TVlhC"l'IJO . J ' .I.~lU. 
MOC"S.I. 
A. V. POGORELOV 
Geometría 
diferencial 
T P .... DlJCIDO DEI. RUSO POR ~RLOl!i vro .... , 
C,U<DII'>ATO.A DOC'l'On EN C.I ENCJ/lS PJSIC0-..... TENÁT1C.<S 
ED1TOnJAL MlR MOSCO 
11l11'rlJMI en la URSS. 1077 
e H3AllTeJlI.CTIIO dlayll .... 1(/14 
.q:) Tradued60 .1 e>l pMlol 
F.dltorl.¡ Mlr . 1977 
INDICE 
l'reraciu a la 80igllnda edici6n 9 
Pro{3C!U 1 la t.ert:l,\r:t edición 9 
lnt.rodued<in 11 
PR IMERA PARTE 
TEORI A DE CU RVAS 
CA.PI'1't1LO 1. 
CONCePTO DE CURVA U 
i t. CUl\'~ elemental. CUI'Vi gimplr. 
Q:,rva general l3 
1 2. Curve resul&r. McdQ$ de ltp,c~utadón . n.¡¡tita 
dll una curva 17 
i 3. I'un to! $ingulnrcs 
de curvos resul.res planas 21 
§ 4. Aaíntotu de curvO! planos 29 
Ej,rcicios pa ra el capitulo 1 S<J 
Problemas r leolrmu para el cap!lulo I 34 
c,"plTtlLO II. 
E!,.EMESTOS DI! CURVIISlR ELACtOI'1ADOS 
CO¡.l EL CQf'CV'TO DE CONTACTO 
, 1. Funci6n "cdwid de argumento ~.'ICI I8f 36 
t 2. Tan~nl<o ft . una cu.va «l 
§ 3. Plano o.seulador 1\ UDO curva 401 
Ij 4. ContaclQ de curvas 47 
§ 5. Envnlnnto oC UDa {amllia d~ curva! 
dependien lúS de un p,lIamelro 00 
Ejerolelos p.r. el npít ulo ¡¡ 54 
Probk>mn y I~QJrm'S pa r8 al u p'lolo 11 56 
CAPrrULO tIL 
CUI!I!TlONES DI'! LA TEORIA DE CURVAS 
RELIICIONADAli CON LOS CQNCIIPTOS !lE CURVATURA 
Y DE T0ll510N ~~ 
§ 1. Lonliil"d do 81'1:0 do un~ curv3. 
Paramolriueión ¡nlrin_a 5~ 
¡¡ 2 . Curvntll , l de una tuTU G. 
, lNDIU 
3. 'fOl'1iíin de una CUI'YIl ti8 
t 4. FórHllllu do f' .... ne L. 
Ecnaeion05 Intr[ulOGM de U" . cuna 71 
1 !j. Con""", 1'1""113 76 
Ejercicio'" J'~ r. el c:Ipllu[o 111 83 
Í'toblemu y teoreonlU vara t!] (lI!)tlulo IJI 85 
SEGUNDA p ... Rn: 
TEOR IA DE S UPF>RFlCIES 
c..lPl~ULO IV. 
WNo..lWI'D I)!! SU l'flHI'IClIi: 81 
, 1. S \lp~r¡¡ei~ 010 11l6n l ll. Supcrflci<' simple. 
Superficie ¡¡elleral 88 
i 2. Suporficie reglllar, 
!\apn,l!oOlltación aUlliticl de un" 5u~rnele 91 
i 3. ru .. ",~trh.lllj t)u~ MpKi.l~ 
de lUIR superficie !)4 
i <ti • • 'III.lot 8inguh'l"I'5 
sobre unl auperlicle regulu 97 
Ejereieios y proble",n par~ el .;apllulo IV 104 
CAPITULO V. 
ELEMENTOS PfUNCIP.A.LES DE SUPEfl FI CJI!3 
RELA.CIONADOS CON BL CONCEPTO DE CO:-TAC'TD 106 
i 1. 1'18no UniC" k) • una eup~rf ¡e lc 106 
f 2. Lfmn súl¡ro lil di' .... nei. 
d(l UII punl" . "'" $ ul'~rfieil'. 
Contacto enl"" un. curva y U1l.II . up<>.[icie t 10 
f 3. 1' ••• boloIOO oeculador. 
Clu¡([e.eióo. de los pUlllO!l do las wperheiot 114 
t ,. Envolvento do 11M bmilh .lu ~"porficiea 
d~pendl~ntts do uno o d05 JlII'''m''tros tlO 
i S. Envolvon&e da una '.m¡lia dI! pl.uO!! 
dfpeQd¡on~s tle un par"Mlro 122 
Ejel'(.;ciO/l par~ el ~pilulo v U5 
Problemas 'J toore,n •• p. tll ~I npítulo \' 116 
CAPITULO VL 
JlIII»ERA FORMA CUAOllATICA DE tI"'A StlPeJ\P1CIB 
y CUESTIONES ADJUNTAS 
~ 1.4 TEORIA Da IUPER"I' IClES Ul 
i 1. Lnngi~ud do una curva 
~bro una luperfieie 128 
INDleB 7 
i 2. A!lflUlo entre curvas 
lobre 1m. $Uperlicie 13) 
3. M . dt uno auperlieic 182 
§ 4. Apliel<cl6n conforme 100 
§ 5. Sup~r fid05 l,ométricu . 
Ilobl. mit lltu de IlUp ..... nclfl 139 
E~icloa Jln. el ~¡i¡tulo ". ( IU 
Proble,oas y le<lremu pUl. el n-pitulo VI 143 
CAPITU.W VlI. 
U .tlUNDA FORMA CtlADIIAT1CA DE UNA SUPf.R'ICIB 
y Cli F:l'l'IONf.! AOJU/'!'U S n E LA T.€ORIA DE 5 UPEl1 , JCIES I U 
t 1. C",veturK Ik una rnrv l 
IIObro "'la IU(H.'rfjeie 140 
i 2. ])IN'Cd"nu Mlint6tica,. 
Líooas asi "Iolicu. OirocdoJ\~ cunj"sd ... 
nooes ron.jugadu $Ilbro una sUJlI'.I,eill I~l 
i 3. Dinoa:¡oo~ prine,pa¡"'J ~n UJ'~ ~uperi¡'d •. 
!.inus tic elUVllur~ 153 
§ 4. Ildad&n ('ni/"(' lu Ulr\'at .. t~ 1 VOIII:i¡Mok'$ 
d~ ""11 sU"" rlicio 
'i lu ~urv M lu r~ "urm ~ l ~" un~ din..:c")" otbitmtin. 
Curvutur~ s m~dia )' IIU,,~ ~ i all ~ 01<1 "no ~upo:rI ¡cle 157 
i ::.. SUJ!'rliricl Ii 'glu,!u ' 163 
§ 6. Snperllcll'5 de rtlVUIU Clti" 100 
~jI>reiclM par, el ro pit.ulo \' II j"i1.) 
t>robl~ma.l y k'ol"t'mu pano el ca pilulu VII 172 
CAPiTULO VW. 
ECUAC!1O:>'1!8 ruND .. UIJ,:t .. T .... LIiS 
DE LA T.€OJU,," DE !I1!rRR'ICIL.~ , 7 ~ 
§ 1. F.mnula~ de den"srió" 175 
t 2. J'órmula~ de Gau'~- Potcr5ÓI\ - Cudanl 117 
t 3. Ilx lsl.encia y u"ldd Md de b. 5"\lI!rlicle 
eon lo -primera y !i<'¡¡und. fonnll' c"adr'I,r~~ d.dls fin 
I'robk",.s y teorornM ¡I~rl 1" c~pÍltJl{J \ ' 111 183 
CArJTULO n . 
(¡ROMl:'rtUA INTlUltUIl IJE.SUPlillnClIi;ll l f) 
1 1. Curvatura g.""'tsi~ dI' un .. cun a 
3"t"l! UUI! , up0.ficic l lIti 
§ 2. Lfntn lI'looÓl!ku 
iObre ulIa supcrncle 188 
8 INDICE 
i ~. PA ramc~t'iuclón 8etn !geod~slr.(l 
11 ... ,ula supor/ lelo 19(1 
'i 4. Líneas do lonQ'i ~ud mínima 
llObro "na aupsrfi cie 193 
§ 5. Tforema d~ 09U55-nOO"C\ 195 
§ 6. Superlic ies 
do e"r v~tllno. gllu!l!Iiana ceuuante 198 
Probl"m~ ~ y teo""m~! ~ra ~ ! onpítulu IX !!I! ' 
PREFACIO A LA. SEGUNDA EDlelO/'! 
La e,lioión present.e difiere de lo. primera (1955). Se 
han introducido modificaciones en casi loOas las secciones 
del libro. Estas modificaciones son de carácter divetso. 
En unos casos se han mejorado 18..9 demostraciones, en 
otrwo, se ha eambiado el orden de exposicióo y, eo los 
demás, se ha completado ésta con ejemplos y d ibujos 
aclaratorios. 
En el libro se cxponcn con suficiente detalle lo~ temas 
fundamentales del curso correspondienle al programa 
de llls FilcultadEs de Física :y Matemáticas. Los temas 
que rebasan los márgenes del programll son desarrollados, 
com o regla , en forma doS(";riptiva . 
El aulor 
P"EFACiO A LA TERCERA EDICION 
La edición presoute diliere de lo :mwrior (Hl56) en 
que contiene ciertos pedeccionamientos de una sllriB de 
demostraciones. De modo substancial ha sido modificada 
únicamente la Olxposic.!ón del tema sobre In envolvente 
de ulla fllmilill monoparamétricH de curvas y de super-
ficies. 
El autor 
l NTRODUCCION 
La Geometria difercDci¡¡1 09 111 rrun¡¡ do las ,l\1atl¡mti-
t ien-s que e.s tud i<l, ¡tpl icandomélodos del análisis i nfi-
n ites imal, imágenes geomélri'CIlS, cun"as y superficies, 
en primer luga r. y talubién fam ilias de curvas y super-
ficies. Un rasgo caraclerístiC¡l do la Geomlltria d iferencial 
es quo se OCUpA ante todo de las propiedades doc;llcs, 
do las curvos y ~\lperfi c;es, o sea, do las p ropieilades de 
pGdll.ZOS de cur\'1I5 y superficie., tan pequofio~ como se 
quiera . 
La Goomtllr'íll d ifemncia l surgió y 00 IloMrrolló estre" 
chnmcnfe ligadn ¡tI nnálisis que, a su vez, Mció en gr/l n 
medida d~ problemas goométricos. Muchos concep tos 
goomé lriCO¡; pl'('~dieron los cQnCtlptos respecliYos del 
anális is . Por ejemplo, el concepto de tl\l1genle precedió 
al do d~r i vada Y los conceptos de áft'ól y volumon , a l de 
integra l. 
E l surgimionlo de la Geometrí a diferu ncial se remonlll 
a la primora m ihd dol siglo xv rll ligánduso 11 lOl< nom-
b re.!! de L. Eulor y G. Monge . . LtI p rimera exposición 
sinópticll de la tCloria de supedicies portenew a Mongo 
(A plicac. ión lid AuMisis 11 la Gcomctría~, 1795) . 
En 1827 Gauss publ iCÓ su oi.lm . Estudio genen. \ 
sobre supE.'rficiM eUf\'I1S» que Sentó Jn~ b!l ~es dc la t eOJ'1n 
da superficies .m su forma Actu~l. ThJsde eulonces la 
Geometría (liforenclnl deja de ser una simple up \i cólción 
del Il n lÍlisi~ y pA~a u ocupar \1 11 l11gilr illdellc ll l!icnte en 
las :\b lomáticas. 
El de~c II IJr¡micoto ele la Geometrí o. /lO cuclidianll que 
se dE>bo a N. 1. J.JobllcbeY~ki iofluyó onorUlerncnto en cl 
de8!lrrolJo de lOtl,1 In GooffilJlria incl u ida la diferencial. 
Asi, con su cOll feranl'i1l rSohre llls hipówsis on 11l~ que so 
CundaiIl Ge"lllt'~rla~ . ¡Hclada en 185!., G. F. B. R icmanu 
senLó IlIs bases cl t, la 1I1lmo.da Gt.<omolr in do! RiolODnn que, 
apl icada al ca~o de variedades mu ltidi rn en~jou lllcs, ocupa 
la misma )!O~iCjÓll respecto a 111 geomc~ría del e-spncio 
(luc!ideo ,lo '1 d lmensionos quo lo georolltl'ín in l-erior de 
uua superfirio IIrbi trarin respeclo II 111 gCi,me>lrín (luclídea 
del pl!lno. 
" 
INTJ\ODUCClON 
El punw de villt;\ loórieo-eonjunti:<la do Jo'. K loin, 
expuesLo en 811 programn de Erlangen (18i2), fue desarro-
llado ell In Ceomelrfn diferenciAl por E. C!i rtllll que ela-
boró la leorla de e.spncios rlo conexión proyectivlI y afín . 
En flusin In esclIl'Ja de Geometrí a dileronciul fue 
cl eada por F. Míndlng y K. M. Pelersón quo ded icaron 
sus Inve¡;;tigaciones fUlldamilola Jes a la leorla de dobla-
miento de lluperficies. Es llIs invClItigllciollO!! fuer on con-
tinuarlas en los trabajOS da muchos gc6IDIlt roll ru~ y 
so.,.i4\tjcos. 
El preslJute libro se basa en las wnforouci"9 do Geome-
trÍl diforencial que 01 sutor dictó en lo FllcullArI de Fisiea 
y Matell1hica do la Uoivol"llld!ld de Júrkov . E l autor sa 
propuso exponer rigurosamente los funrlaml'ntos de la 
Gsor.netría diferencial y lIUS mótodos t1picos do invest i-
gaoi6n 3in alterar cou, tderablemento IRS tradioiones 6:lis-
tentes. Muchas cuest iones ooncretas de Geometría dife-
rencia l IIJlarecen en lorma do ejorcieiw.. y Ilrohlemas y la 
soluci6n Ile ástw.. e.'I una cOlldicióll indispensable de la 
preparación do los estudia ntes goómetrns. 
PRIMERA PARTE 
Teoría de curvas 
CAPITULO I 
CONCEPTO DE CURVA 
La cunu e9 uno do Jos objetos fundamentales de la 
Geometrív direrencia l. Ea este copl lul!) 01 eoncc¡lto de 
cur va es ueb rada eo la medidA e·o que lo requiere la 
eX¡l'O:Iiti6n ~ut_esiva. 
§ t Curva elemeolal. 
Cuna atmple. Curva genera) 
An tepou.iromOll A In dofi niciún dol c,onCllpto de curva 
algu na infol'mnci6n sobre Ins aplicaciones de un conjunto 
arbitrario de puntos en el ospacio. 
Sea JI un conju nto cua lquiera de puntos del espacio. 
Se dice que se tiene UM tlpliav;ión f del conjunto M 
en el aspucio s i fI cnda punto X del conjunto M ,;e le 
hace cor~ponder un punto f (X) del espacio. El punto 
f (X) del espacio se d(!!loruinll Imagen. del punto X. El 
conjunto de pll htos f (M) rormndo por las imúgenes de 
torios Jn:,o punto~ del conjunt o M , so denominn. lmagt ll 
del conjunto M. 
Una Ilpli cación 1 del conjunto M se llama Inyectfua 
!! son dlferente-s lA! imágenes de distinto... puntos. Sea 1 
unt'l npllcacióo inyecLivoIo. De un modo nnlOI'AI queda 
definída entonces la aplicación 1-1 del conjunto 11M) 
que ,socio al punto 1 (X) e l punto X. Esta apl icación 
se denomina inverso. de ,. 
Una aplicaei(;1l 1 de un conjunto Jl1 ~ llama continua 
ei cualcsq uiern qlle sean el p li nto X de ."" y 01 número 
,., CONCr.:P'rO DI!. CURVA ¡c.P. 1 
8 >0, c:dSl e un nÚml'fO t.i > 0101 q"o ¡Jnfn lodo ¡,u nto y 
de 111 1" dblancia cu lrll los plintos j (Y) y I (X ) será 
mCll or que E ~iempre qUI! In dista llt ia cntre Y y X sea 
mOllor qu(' 6. 
Sen I una ~ plic"ciúJI inyecti~'a y I;onliuun de ¡U. Si 
lo nplh;nción !~I riel conjuulo / (Al) wmbién es cQn tinu8 , 
~o di!:\! qUIJ! ú.~ una aplltat/ón ffl/,{)l6gil:a. Siend o l una 
lI.plic3dóJI topológica, suelo dcci !'!'t' quo 1'1 conjunto M 
y 1;U i Dl~ge ll I (M) SOl1 hOfflCfJmor/O$ u lopológieomente 
tqul¡¡altnlt'~. 
D¡.!innmus 111 curva elementa l. 
Un conjun to l' de pllnto~ del t'!5jweio ~o llam ará curva 
,Iemen/nl l'¡ l'S la imagen obtenid a en el espAcio por una 
aplicación \(lpológica 110 1111 segrnelllu nbierlo de la recta . 
Se/! y uno t urn. e1l1ml'ntal y lMIl\ a < I < b el rog-
melito del quo ~tJ uhticllo por la IIpli caclón I lA CUI'VII.. 
Senn I, (1). I I (t) Y 13 ('11119' coordonadas eI!!1 punto da In 
CUfvn corresponrlicn 1.1l1I punto I uol segmen to. El sis tema 
rle igualclndrs 
l: &o I, (1) , /1 - /1 ('), ~ - '1 (t) 
FO denomina tcuaciolll's de J~ curva y ell fo rmo. paru rué-
trIca. 
Uu co" junlo G do p\lnt o..~ dd C!!!Jlacio ~e llnma abkrlo 
si para todo ponto X de es te conjuu \.O !!ti puede indicar 
un númerO a >0 lit! que tod os 10:< plintos del espacio 
distanciados vo X en mono~ da a t alllbilln 1l1l,'l.onecen a 
G, Ea obvio qua 1.'1 cOnjunto formado por cualquier colec-
ción do conjuntos abiertos lle rA a bierto. 
Se Iltlma enlomo de Hn punto X dol e~pacio cualquier 
cOhjunto nble'rlo que conlicne ~8 t t' punto. 
UlI conjunto M 01 0 punt os del e!\l,nrio!l(> llamo conexo 
si no OXillll\il dbs conjulllo~ o.bierlos C' y G~ que dividen 
el coujun.to /1" en dos pnrtes M' y M ' dn modo que u na 
porlel1etc~ s(llo ji C' y In olra , "ólo n C". 
Definamos IIhorn la C\lrVQ s im ple, 
Un cónju nlo 'i (](> puntos del I:spario S(' lJ¡,,"lIrÁ .:urva 
limpIe si este. conjulll o es conexo )' si parn todo punt'o X 
del miSIllO eXIste UII en torno ,tal que ];, pul!' do y com-
prendida ou él con~tiluye UII8 cun" elem(>I1I11J. 
"1 " 
.--. , 
I ) ( x \ 
'-o j 
fig. 1 
Ln estruct ura .¡:Iobah de una cun'o s lOllllo ~ Debra 
en ('1 teorc.m8 siguiento. 
[,f¡ tmtlgt'n obtenida t/~ el "espacio pDr 1.1114 apllnri6n 
topolvgica de 1.1/1 segmen/o I/blerro o de ¡11m circunlfft1lcia 
ts una cunJ(/ simple. 
Hedprocamtl,te , cualquier ,un.la 8(l/Ipl~ ti la Imagen 
ob/elllda e/l tI apodo por una Opli((lcl<ln lopo16f{lca de un 
stgmenlo (lb/erl() o de una clrcunlennda. BrOV(!Dlentc esto 
su c,u",ci~ /Osi: una Cllnu rfltlp/e es homeomorJa con un 
U'{:mtn//J ablertu o una cirrun!"tnrla. 
No dorem os);¡ delllOslrlle!ón dI' ('sto 1001"('1118. Notem os 
lIÓlo que 10 curva !'i im¡, lc ae car¡¡clcriza plennmente por la 
prnpiodad. intlil',uJIl t ll este teoremn. de ser horncomorfa 
con 1111 sl'gmento nhierlo o ,mil circunferenciD; por con-
siguiente, puede ~r doflnldll medill ll te estll propiedad. 
Unll c,ur\'a simplo homeomorfll (,on unll d rcl1l1ferencio 
5(> deno",ino curada. 
So llamll entorllo de un punto X de una Clu\'a aimple" 
la porto cOIJIún de la curva" y de \In entorno upacial 
del punt.o X . St-gün la clefinieión, todo punlo de una curva 
s imple I)O~Ol' Un cn~orno que constituyo un a curVII ele-
mE.'ntol. En lo sucesivo, ni rererirnos 11 1m entorno de 
un puuto tle unll CllfVII, !obrentl'lHlefomos siempre un 
Olltnrnu ('I<,monlol do Mte tipo (fig . 1). 
18 CONCIWl'O lIE CU1lV.A. ¡Clp. I 
, 
5 
FJg_ 2 
Supongamos que la curva simplo y es In imllgeu obtr_n i_ 
da por la aplicaci6u topológica f d,el se-gmonto abierto 
o la circunfcrancill g. Seu X un punlo arbitrario de g 
y sea I!) un ontorno cllalquiorn do éste. Entonces In ima-
gen de ÜI ohtonid'l por ] .. aplicaCión I es tUl tlntoruo del 
pun~o f (X) en la ou,'v:\ y. Rocíprocamente, cualquillr 
entorno del punto f (Xl puede obtenerse dll eshl modo. 
Una a plicación I do un conjunto M on el espacio se 
denomina localmente topológica si pura todo punto de 
esta conjunto existe un ontorno OrJ el que la aplicación / 
es topológica. 
Un conjunto y de puntos del espario se denominariÍ 
curva general si a.!lto coujunto os la imagen oblonida por 
una S1pUCflcióo locnlrnente topológica 00 una t Ul'va 
simpLe on 01 e5[Hlcio. 
Diremos que la nplicoción 11 do unll curvo sim ple 1'1 
y 11\ apliCAción f~ do una c\lrva .'limpi o 1'~ determin an 
una misma curva goncral 1'. si IHltre lo~ puntos do las 
CUrvas VI '1 1'1 puedo nstablecerse una corr:ospoudoncia 
iopol'ógicll, tal que coincidan en la c\lrva y las iwágenes 
de los puntos correspondientes de estas curvas. 
Con el fin de explicar lo segunda porle ne esta defin i-
ción veawos \In ejemplo. En la lJg. 2 apar6C4l \lna .curva 
Il_eneral. Puede interpretarse como la imagen de una cir-
cunferencia obtenida por una aplicaci6n l oc~ lqlente 
t.opol6iic8 siguiendo dos p,~ocedimientos distintos que. 
desdq. el punteo devista de la dolinici_6n dana, conduc6n 
a difer6Dtes curvos y que se puerlen evidenciar de la 
formo siguiente . 
"J CURVA RI!.G'l1LA1\ ln 
Supongamos que el puoto se de!pla'll8 según la circuo· 
IeNneia. Enton~es Sil i~8gen S9 desliza segÚII la curva, 
con la particularidad de que el punto imagen, al recoJ:'fe~ 
la curya, puede tomar sucesivamente las posicioDe9' 1,2, 
3, 4, 2, 5, pero también puede recorrer la curva en el 
orden 1, 2, 4, 3, 2, 5. Las aplicaciones correspondien l.(ls 
a estos recorridos detenninan diferentes clavas general'es 
aun cuando ésLas coincidan en tanto que conjunws pun-
tUf:ll6S~ 
Supongamos que la curva general y es la imagen 
obtenida por la aplicación localmente topológica f de la 
curva simple:; en el espacio. Denominaremos entorno 
del punto I (Xl en la curva i' la imagen do cualquier 
eotorno ¡Lel punto X en la curva ::¡ obtenido. por h. aplica-
ción f. Puesto que la aplicación f 65 topológica en un 
entorno sufici entemente pequeño del punto X, resulta 
que t (Xl posee en y un eotorno qU6 consti tuye una curva 
elemental. 
De este modo, el estudio loc(lllk cualquier curlla plUJe 
ur reduclM a la consideración de uno ClLI'va elermm/aL. 
§ 2. Curva regw8.l'. 
Modos de representaci6n analitica de una curva 
Una curva y se llamará regular (k vcce~ diferenciabJe) 
si para todo puoto de esta. cUrvll existe un entorno que 
admite una parametrizaci6n regula!', o sea, puede ser 
representado por una~ ecuaciones eD forma param6tricll 
z = 11 (t), Y = f~ (/), z = t, (t) , 
donde 11' li y 1, Son funciones regulares (h vecos conti-
nuamente difenmciables). Siendo k = 1, la curva se 
denomina suave. 
Una curva se llama anaUtlca si admita una pal·ame-
trizaci6n anaHUca U¡o It y t, son funcioo88 llDllliticas) 
en un entl)rno suficientemente pequeño de cnda uno de 
sus punt~. 
En lo sucesivo eonsideraremOll exclusivamente curves 
regulares. 
Según hemos vi~to en el parágrafo anterior, Lodo curva 
puede ser representada, en un entorno de cada punto, 
2-020$ 
" 
CON,"t:PTO DE cuevA lOop.. J 
por ccu¡)ciune~ en fOfma pa remétriu 
x = x O), y "" Y (/) , z -= : (1) . 
donde x (¡J. y (/) y z (t) ~on U!lRS fun ciones defin irlas 9n 
u n IntHva lo G < , < b. 
De modo ua tllrnl l!(j phmtea la clle.~tIÓn!¿cl.llindo 01 
sistCOlll de igua hlarles 
x = x(I), I/-y(t). ~=¡(t) (lI<t<b) 
dalerminn \loa curva r(lgulll r, o Sl'1I, CIHtncto (>:! lll!l igual-
dades pueden comudorar~e como eC ll acionc~ de una curva? 
En muchos casos 16 resplle.sttl se obtiene dol teorema 
~iiuian t o. 
l'CQremo. SI x Itl, /1 ti) JI , (1) 8(if1 unos I Ullclo~8 regu-
laru qlU cumplen la condlcldn 
.1:' Z(f}+ y'1(1)+,'1(/»O (4<I<b) . 
emotl/:u el s~Uma de Igualdada 
x - x (/), /1 _,, (1). : = %(1) (o<t<b) 
reprC8cn/a JIU rcuoclolle$ de una curro 'i. Esta curva tS la 
Imogen del Jit!gmnllo 11 < t < b qlU Be ob/lene por la 
aplicación l/Jealmente tapoMg/ca que (Uwc/a al pU/uo t 
!kl segmtnto ti punto deL upacio COII ¡tU coorlltnacUJ.:o ~ (1), 
V(t)¡¡ : (I). 
Aqui !!oÓ1Q debe ,temOSl[afSO la afirm ación do que la 
aplicaciólI indicada es loca tmen te inyect-h· •. Dt'mostre--
m03 esta pMposic[un. 
Si es falsa , existe un t. en cuyo entorno, por pequeño 
que ~u. Sil pueden señalar L1 y ti (t) -+ t , ) t.eJos que 
% (1-,)- % (t,) - O, ff (tI) - V (t,) - O, 
z (t¡) - : (I:) "" O. 
Según el teoroma dol valor DlOII[O, do aqut obte~omos 
%' ({Jo) .., O, 11' (6-,) "" O, z' (6-.) _ O, 
donde 6-" 'fr, y {Jo . es tán comprend idos ontra ti y ti' Puesto 
q ue ti y t i son tao prÓX hIH¡S 1'\ L. como se qu iera, de la 
continuidad de la~ funcion~ ~' (t), 11' (t) Y 2' (t) resulta 
z ' (te) - 0, 11' (te) - 0, l' (lo) - O 
, 'J CURVA R&OULAII !9 
Y. por consiguiente, 
:¡:'~ (to)+Y'l'. (t~) + s'a (to) = O. 
Llegamos fI¡ una contradicción . Hemos demos~r!ldo la 
propOllición. 
Con una selección adoouauu de lv~ ojos de 'coordollndas 
x, 11 y l, algunas curvas tu.lmiten la parametri1lUCiPD 
x = t, V = fJI (t) , z =- 1Jl (1) (a < t < b) 
o 
y = q¡(%), z -'-11 (x) (a <x <b) 
qua viene a S4lf lo mismo . En muchos casos esta para-
metrización rcsulw especiulmente cómoda. En relación 
con esto surge la cuestión: ¿ culindo admito una curva, 
al menos docalmente. , semojante paramstrizllción? La 
respuesta aparece en el teorema siguien te. 
Teorema. Sea 'i una curV<1 regular y sta 
x = J1 (t), V = 12 (1), 10 = /, (t) (a < I < b) 
UnQ. parametri.z;adón regular de uta curva en un ellÚlrrw del 
puma (:Eo. Yo. zo) correspondiente a 1 -= to_ Supongurr\{}S 
q/U ¡; (t) #' O en este purUo. Entonre&. en un en/amo su/I-
c/,nlemcnte pequeño dd punJo t •• la cun'n y puede definirse 
por ÚlS ecuaciolles 
y - 'f' (1:), :: = ~ (Xl, 
domk <¡l IJ lj1 son ¡ullciQI!es regulares de x. 
Efoctivamente, segun el \.(lorems. oJo las funciones 
implícit.as. existe una función regular t (x) que es igllnl 
11 lo para x =.:rG 'J que satisface la ecuación 
x = tI (X (x» 
para todo z. próx imo a xu. Derivando esta identidad 
y tomando x = :eo, encontramos 1 "" ¡; (to) X' (x.), do 
donde Y.: (1:) -+ U. DIl modo que la función X (:t) e~ monó-
lona en w. entorno de %0 y, por consiguiente, sieudo Ó 
suficienwmente pequeño, In nplicación del segmento 
.:0::0 - Ó <% <.:0::0 + 6 en el oje t, dll\.erminadll por la 
igualdad l '"" X (%), t!erlÍ. topológica. 
Do aquí re8ulta qUl' 01 enLorno X (:ea - 6) < t < 
< X (:e. + 6) dll la curva y puetle dllfinirse motliaoto las 
20 
ecuaeiollea 
CONC&PTO Da CURVA 
JI ... l. (x (x», s-f. (x (z» 
(:J:o - ti <a: <2:, + 6). 
Hemos dcmostl'uuo el teorema. 
IClP. I 
Consideremos ahora la represeotación implicita de la 
curva limitándonos primllfo, pa ra simplificar, a curvas 
planas. 
Una curva se denom ina pll1.tUT. si todo:! SUS puntos per-
teneceD • UD plano. Acopuremos que éste ea el plano :ev. 
Diremos que uoa curva plana vhme definida por la 
ecuación) 
q.o (z, v) = 0, 
entendiendo con ello exclusivamente que ¡as coorden.dlls 
de los puntos de la curva satisfacen esta ecuación. Pero 
puoden I!:zllltir puntos del piaDO que s8\ida¡an e!lta ecua-
ción y DO pert.euezcan a la curva y también puede suceder 
que el conjunto de todos los puntos del plano que sati!t-
fa¡an la ecuación qI (z, 11) ... O DO cons tituya siquiera 
UDa curva en el sentido de la definición dada 00 el pad-
grllfo noterior, 
E l teorema siguiente desempeña un papel_importante 
con relación a los curvlls definid4lS por ecuo.ciones en [ormn 
implícita. 
l'eofema , Sea IJI (x, 1/) una ju.nci6n reGular de llU varla,. 
ble, % e 11, SM M el conjunto de los punl06 del pla'lD %1/ 
q&U IOtLfJacen la ecuacl6n 
qJ(%, 11) = O 
11 ua (X8' !lB) un punto th elle con/unlo m el glU ~ + 
+ ep:.p O, En/onu! d punto (.:1:0' Yo) poue un entorno 
taL que todos los punt06 dd conju'lto J,! perlenecfenJe8 a t i 
formo.n una curva elemental regular, 
Dl1m~t,aci6n; Supongamos, parP concre~ar . que en el 
punto (z., 110) es ep. + O, Según el teorema de las funcio-
nes impHcito.s, existen unos 'nÚ,meros /) y t, mayores que 
cero, y una función n¡ular ~ (x), defiuida eu el Intezvalo 
x. - 6 <.:1: < % + 6, tales que todos loa lpunt08 
(z, ~ (%)), Xo - t <% <:r" + 5, satisfacen la ecuación 
,,(%, ¡t) "'" O y, adomAs, con estos puntoa se agotan todoa 
"1 PUNTOS SINGULARES 
" 
los punto:'! del rectángulo 2:0 - Ó <.1: <$0 + /l, Yo-
- 8 <!I < Yo + 8 que satisfacen le ecuación rp (z, y) = 
= Q. La curva elemental de la que trata el teorema viene 
definida por la ecuRci6n 
y =t¡I (z) (zn - a <:z: <%0+ 6). 
Hemos demostrado el toorema. 
El teorema correspondiente a las curv8.9 espaciales 
consiste-en lo siguiente. 
Teorema. Sean rp (z, y, :) y \j) (x, y, :¡¡) . funciones 
regulana de 1M varklblll& %. y !I z. Sto .M d conjunto de 
10$ puntO$ del tfpaclo que sl1U#acen las ec!UJcionts 
ql (x, Y. :) = O !I \ji (x, Y. t) "". Oy ~(l (zo. Yo. ",,) un punta de lrle conjunto en el cual es 
Ignal a do& el rango de la matru 
( O •••• '). 'I/J~ "'v $, 
EnJoTlCes el punto (%0' Yo. zn) p03ee un entorna lal que todtll 
los puntos del conjunto M pertc7l«íen/es IL este entorno 
constUuyen una curtla t'um-/lnJal regular. 
La demostracíón rle este teoremn tIImbit'in So basn en 
la aplicaci6n del t.eorema de las funci ones implicita! y no 
d itiere, en IWlncill.. de la. demostración del teorema corres-
pond¡ente a las curvas planas. 
§ 3. Puntos sIngulares 
de cUl'Va~ regulares plan3s 
Sea y una curva regular plana y sea P un punto de 
la misma. El punto P de la curva y se denomina punto 
regular r~pecto al gra do dado ne regularidad k si en un 
entorno de este punto la curva admite un a p~rametri2a· 
ci6n k vece.~ dUerenciable 
x=x{t), "='1(1) 
que en el punto P satisface la comllción x" + y't + O. 
Si. no niste tal pRr9.metriza.eI6n, so dIce q\le P os un 
punto $lnguZar. 
" 
CONCEPTO DI': CURVA [C.p. I 
E/~mp¡o. El punto t = O de la curva 
%=t*, JI ... t' (- 1 <'<+1) 
es regular rospecto n las parllmelrizaciones dos 'Veces 
diferencinhle! ya que la cur vo. admite una representación 
equiva lente , 
T= T. y = :¡::ITll (_1 <1< 1). 
Sin fmbnrgo, m~~ ndelnnte veremos que el punto t = O 
6$ ~inb'ular respecto a laR parllmetr izacione.s anaJí.tiCIlS. 
En este pllrágrafo Ilnall1.aremos detalladamente el 
problema sobre los punt.os singulare.'! de curvas analít icas 
pllllL~ ~ t'6~pecto a pararq.otriZAciones annlí t iClls. 
LerTUl. Sean '1' una curl-'aanalítira y O Iln punlo de la 
mls/lUl. Emol!te~. escogieruk corwenl.entemenJe lo~ ejes 
de eoorrJe/w'¡o$, la curva pueck parometri'Z(jrse de modo que 
.'1'$ ecuacfones en un entorno Jel punto O uon Ik la forma 
;1':=11,1"', 
y = b,t""+b,t'"I+ 11, < m,. 
DCmeI/raci.6,... Tomemos el punto O como origen de: 
coordenad~s. Sea 
:t = a"n'+a:tsn.+ .. 
y - ~,8'" +~jt""+ ... 
una parllnletr izRclón analítica de la curva. Sin perder 
gonoralidad podemos acepte.r que al punto O le corres-
ponde el valor del pArámetro s = Q. Podemos acephr 
tambi~n qlJe nI ~ mI' (Si nI >rn:.. podemos cambiar 
d", lugar :t e y.) 
Introdu-¡;camos un parámotro nuevo t ligndo a $ me-
diante la i gu,ildad 
t~ , (tt, ."'+~H'+ ")"' . 
.... ,8fi • 
Escogido el parámetro de ,este modo. las ecuacion% de la 
curva i' en un et!~ornn del punto O tompn la forma 
x = a,t"', 
y = bit'"' + b2t"" + ... , 
q UIl % lo que 88 quería demOlltrar, 
'" " 
Teorema. S upcngDJ"Mt ql«! en 1~1t e/llorno dd punto O 
una CUfva anaUt icll vu~ dada por Uu rcuoclonu 
% ..... a,lnl, 
V- b,I""+b, I"" + "., n,.:s;;;m,. 
Enloncel, para que el punto O ua IH' pUII~O , ¡ngular de la 
curva t, neceJtlrw 11 su/Leltme que 01 nuflOS une de 10$ m.~ 
no ua div~lble pnr n¡o 
Demostract6n.. Ntculdad Observemos, en primer luga f, 
que ni Y todoll los In", 110 puedon ~er pares ya qUtl ontol1-
COII, por pequll iío qllO !lea 1, se tendrie % (1) .,. % (-1) e 
lo' (1) = Y (-1). o ~C8. quedRrra infri ng idn 111. in yoct ivi Ll a d 
de la epliueión en un entorno tan ~e'lueño como se 
quiera del punto t _ O. 
Supongamos que todo~ 10.'1 m~ son múltiplos de n, 
(n~ es obviamente impnr). lntr:odu~cn mos en lugar de t 
el parámetro Il "'" ,.... Entoucea las ecuRciollM de h . 
curvA. e n uo entor no riel pun to O loma rán 111 10rmft 
Es evidente que el punto O corr6SJlondian18 al 
va lor, _ O del parámetro re!!.u l lll un punto regnl ll r de la 
curva. 
Suffcfellcta. Supongamo5 quo 111 monos uno ,le lo~ m ... 
no os div i.~ lble por n.¡. nllmo.~trllmo.~ q\lll O es u n punto 
singular. S I el punto O es regulor, 11'1. Gurva ad mite en 
un entorllO del m ismo uoa pararuetrh.aeión ;¡: - tI (a ), 
11 = t, (o). s iendo t. y tI unas funciones an{l lí tJCII~ que, 
[lara el valor f1 = (J . GOrreSllond ienle al plinto O cum· 
plen la cOnll ici6n f; ' + t;""+ O. 
Puosto que tI (al U. (a»-' - !I (t) (z (1»-' e 
y (1) (z (1»-' tiende 11 un limite finHo igual o I~ (a.) x 
X U; (a,))-1 cUllndo t _ O, resuJtp que t;.,. O en el 
plinto O y, por consiguiento, nuestra Curva puede ser defi-
nida, segÍln el teorema del parágrafo IlntA.>rior , Ill ediante 
IR ecu3c.ión 
" 
, 
b) 
CONCEPtO 01 CURVA "'. , 
Vig. 3 
doude ip (xl es una función anl:l!itica de %. Tntrodueienrlo 
,:¡: - % (t) 11 11 - 11 (t) en es ta ecu.clón, obtenemos la 
identidad 
b,t .. r+~ ... + ... ..... c .a.t"'+'~lta..'+ .. _ 
De aqui resulta que todos los m~ son múltiplos de n,. 
T..Iegamos 1 \lila contradicción. Hemos demostrado comple-
tamenl4l el teorema. 
Obse1'f)Qd6n. SI el punto O es singular siendo ") y m, 
pares, se denominll punto de retrocuo dl ttlumla espa:le. 
En uo eototno do este punto la turva tIene la forma 
ind icada en la ligo 3. a. 
SI el punto O es singular, mI no 9.!1 divisible por n) 
y, ademb, 111 es par y In¡ es impar, se diCe que O os UII 
punto de retroceso de primtra especie. LA forml de la curva 
en un entorno de semejante punlo singullf se indita en 
11 fig. 3, b, 
"\ PtmTOS SINGULARBS 
" 
Para probar qua un punto de una t urva el!! singular. 
existe un eriterio ruflclenU sencillo que ofrece el t&llrema 
siguiente. 
Trortrrlll. SUPQrlgarMI que en u~ entorno tkl p~nto O 
la curoa analftlell y viene rkl/n/da. por lat etlUleiOMs 
% = :t (t), y = y (/), 
dornU .l' (t) t Y (/) son !une/om: anaUticas del parámetro t . 
Supongamos qru las pr/1MrM rkrlvada" dt.st ifl.tcu de cero 
rk l/U funcionu z (t) t Y (t) ton de or/Un ni Y m¡, re,pecU-
uanumte, tUndo ni <In¡. 
ElItonee$ el punto O 3m!. sIngular si m" no tJ divúlble 
por ~, con la partlcu1ar/dad de que O urá un. punto de 
relroc,.o de ugunda especie si n, y m¡ son ambos pares, 
/1 sud un ptlJi.to de retrlXtso tU primera especie ti ni es par 
y mi u Impar. 
Este teoremll se deduce directamente del anterior. 
Para termlnl,lt, consideremos el problema de les pun-
tos singulares de c;w::vas auaütieas planAS definidas 
impUcitamente. 
Sea y una curva analitica plana definida por la ecua-
ci6n 
~(z, y) - O, 
donde o:¡l (;r, JI) es una funci6n analítica dI! l a~ variable!'! 
z e JI. 
Si q{, + % '#= O en el puoto O (;ro. y,) de la curva y, 
Ils te punto de la curva 8.!!1 regulsr nomo qued6 demostrado 
en &1 § 2. De este modo sólo pueden ser singu'Jares aquellos 
puntos de la curva en los cueles o:¡l" = o:¡l, ... O. 
Sin perder generalidad, podamos aceptar que el punto 
O es el origen de coordenadas. En un entorno del punto O 
111 curvlI V admite una paramelriución de tipo 
;r=a,l"', 
y ... b,I""+b.t"'I+ ... ; 
podemos ~ceptar quo ~ :s:; mi ya que de lo contrario 
podrlamo., cambiar los ejes z e y. P/¡rll determinar si O 
es un punto singular de la curva y para revebr el carác-
ter de la singularidad en este punto, baste conocer los 
BxponeDts ni' mI, ma ... 
CONCEPTO DIS CURVA (Ca ... 1 
ParA hallar 6stOS exponente,~, mcurrlrurnO-!' 11 1ft idll/]-
tJded 
Ifl (z (t), 11 (1») i3 O. 
Supongamos que el desar tollo de la funci6n q> (z, V) 
en serie de potencills de % e y tOmionl>A con los tlÍrmino.'l 
de segullno grado 
'" (:r, y} _ a~+2o,,%y+o.:y~+ 
Distjllguiremos lr9! casos: 
l. tltollO\-ai¡>O. 
2. lL¡u(1ot-a~ t <0. 
3. IlJOOn-a~ , .... 0. 
Healh:a nt1o un giro de los ejes Je coordonllll ~s, ¡;e 
puedo lograr que en el delJllrrolIo de la funci6n , (z, y) 
en se.r ie de potencills deaapare7.ca el término que con-
\¡elle ;¡;y. 
Introduciondo ;¡; (/) e /J (1) en el dO.'l9.frollo de la fun-
ci6n IP (z , V), obtenemos u na identidAd respecto a t. 
Si " 1 < mi' el menor grado ne t, igual a 2111 , lo tendrá 
sólo un término: a~04:t"ll',. De aqul re.<;nlta au - O, lo 
tual os im posible on el primer y MI~undo caso.-. Res\..D 
aeoptnr que ni ... mI. Entonces, en los nos primeros casos 
la pot.oncia inferior corresponde !:I los términos 4.,p!tb , 
y 0llb:t""'. En el primercaso esto tampoco puede suceder 
yA gue 010 y c" son del mismo signo y de la identidad 
so deduce que Ol.,a~ + at1b~ _ O. 
,De esta modo no exi.~te en. el primer ca!!o un", curva 
IHIAJitlca que s.atisfaga la. ec;ullciÓII qJ (J:, y) _ O )' qHe 
oontonga el punto O. En este ca..'<O, en UD entorno sufi-
clent(lmento pequeño del pUIlto O, no existo ningún 
punto, distinto de O, que ... erifique iR ecuHción , (".t, y) -
_ O. Si l:J curva se define como el lugar geométrico do los 
puntos que Mtisfueen la ecuación ,(:r, y) "" O. este 
punto se denomina punto slngu.lar 418lodo. 
Ejemplo. El luga r geométrieo do los puntos que sati.s-
focen lo ocuaci6n 
(z' + v') (;¡; - 1) - O 
'" 
"UNTOS IINGUJ.M"-S 27 
, 
o , 
PI;. 4 
consla de la rocta % = 1 Y del punto (O, O) que M un 
punto aislado lIe este l ugtlr geométrico. 
En el U!rcer caso podemos aceptar que a .. _ O ylI que 
G, oDn - O. El d e.~a.rl'GlI o de la función 'JI (z, 11) tiene 
la forma 
Supongamos que 11'0 +- O. En el caSO general esW COrtBll-
ponde 8 quo las formas 
no poseen div[sores comunes. 
TntrodudOlldu % (t ) e y (t) en el desarrollo do la fun -
ción o:p (x, y). obsurvamos que los término~ de polf:neia 
ioCerlor de t !lun ao:b~t""' y ana:t,n ,. De aquf resulto. que 
2m, .,. 31:1, . (1 I'\lll, m, no es di" ; ~ ;\¡l e por " , _ Por c0l1 9i-
¡ lI ionto. el punto O os un pu nto shlgulnr ,le la curva. 
Si se acepta que m, y n.o son ambos pates. resultan 
paras todo., 10.'1 m~ pues se expf'6Sa U horn~nOll y lineal-
mente en IAlrmlno¡; !le m¡ y 111, Pero anteriontlonte Sl' ha 
SI'.IiIlJado que n, y todos los m~ 1\0 pueden ~r pares. Por 
es to, 8ólo n, ()~ par. Ello signif ica qUII el [lunto si ngu lar O 
elS un pUD~O de retroceso de pr imera espede. 
Ejemplo. Paru 111 pafabola semicúbica yl - :r .... O 
el origen de coordenadas ()5 un punlo do rel roCO!O de 
primera especie (fitr. 4). 
" 
CON'CBP'I'O D8 CURVA [Cl p. I 
, 
, 
ConslderelJJos, finalmente, el segundo caso. En e!te 
caso la fMción !JI (:t, y) pvode representtl~ en. la forma 
!JI (;r;, y) - A%I + 2B%y + Cy', 
donde A , B Y e son funciones nnalitieas de % e 11 que 
en el punto a vden (loa. o )' CI ... re~pectivamente . y que, 
por ende, sati~aeen en una proll:illl¡dad do este punto la 
desigualdad AC - ~ <0. Por eso, en un entorno 
pequetlo del punto O 89 tiene 
!JI (z, r) = e (g - %~I (%. y» (y - :r" (%, 11». 
donde El y '1 son Iu ralees de la ecuación de segu ndo 
grado 
A+2B'+C' """'0. 
Es decir, en el segundo caso el lugar ge<¡rnHrleo de loa 
punto! que satisfacen la ecuación 'P (r, y) = O en un 
entofoo del punto 0, tonsta de do! curvas aneHUclIlI 
11 - %'1 (:r. 1/) =- O e 11 - z'. (:r. y) _ O y el punto O 
es un punto regular de Ilmbu ya que 
! (1I-:tMz, y)) lo -= -ti (0, O) +0. 
Sin ombargo, el la curva se defino eomo el IlIgar 11:00-
mUden d, 1011 punto!! qUII satisheen la IIcuaci6n 
!p (%, V) - 0, 
I 'J 
" 
u..r:nbién 8CI e!te eMO el punto O se considera singulal 
y $8 dcnom1narpun lQ múltipl,. 
: .• :E/,mplo. El lugar geométrico dalas puntos que satis--
facen l . ecuación 
(xl + V-)~ -~~(~ - vl) _ O 
(Iemnllleeta de Bernoulli, fig. 5) COl15ta en un entorno 
del punto múltiple (O, O) de dos curvas 3nalitieas A;A, 
y 0'71.< 
§ 4. ~[Qlot.oa de curvas piaD" 
Sea 'Y una curva DO cerrada y !le.n 
z -= z(t), Y=JI(I) (0<,<6) 
sus ecuaciones. Se dice quo lo curn 1!6 extiende infinita-
manUl por un lado si r (l) + V' el) _ 00 cuando t _ (1 
(o cuando t -+ b). En cambio, si r (t) + V' (l) _ 00 
tanto para t -+ 4 como pllra t _ b, se dice que la curva 
se extiendo illlini lamente por ambos lados. Es obvio qua 
lA p ropiod/!¡J de uno curva do extendorstl!)nfinitamonte 
no dependo de su parametritación. 
Supongamos que la curva y 116 extiende infiniLamente; 
por ejemplo, 11(111. :L~ + yl ....... 00 para t _ o. Una recta g 
se denomina a.~'rnol(l d, la cur vlI y ,¡ la di,tancia d (t) 
enl.r6 el punto de la curva y y la recta /{ tieude 11 ce.ro 
CUGodo t _ a (lig. 6). 
Teorema. POrIJ que una CUl'IIa l' que l/km dada pqr lq 
eClUlctonn 
z _ r (1). 11 - 11 (1) (a < I < b) 
11 que " cztCendt inlinito.mente CUflruW t _ 0., ungo. uno. 
4ItnlO/4 el necesario y ~Ju:jerne qu~; 
1. Al menolltM de 103 COdM1U JJ (1) (r (/» •• o :e (/) x 
X (y (t)) •• tienda a un Umlte finito cuando t _ 4. S upon· 
,amM, para concretar, que y (1) (r {I)).¡"'" k. 
2. La erprui6n !I (/) - h (/) tienda IambUn o. un 
Um.lle para I _ a una vez cumplida la primera cornil-
,"'~ 
" 
CONCUTO DIl CURVA (CaP. 1 
, 
• 
SI ute limite se dellCM por t, la tcl«lC/én de la asin-
tota str4 
y- kz-l=fJ. 
Dt mO$/rClCión. Ntctrldad. Sea g: 
y-kz-l - O 
18 IIsCntolo. ¡lu In cu r Vlt y. La eXI)N~sión 
I/(t) - b(l) -I 
eo incide, sa lvo un fa ctor comt.ante, con IR di!'laneia entre 
el punto (t) de la eurVD y y la reeta g. Pero, como g es una 
as \nto18 , so tiene 
y (t) - b(l) -1 _(\ ( .. ) 
cuando t _ a. 
Debe sor % (1) _ Qo cuando t _ a ya que, de lo con-
t.rario, l a expresión 11 (t) _ k:;r; (t) - l no puede permane-
cer· aeo!.&da para t _ a (~(I) + y" (1) _ 00). Pero en-
tonces de (.) resulta 
• 11 (1) - kz (1)_ 1. 
Hemu demostrado 111 necesidad. 
y 
o • 
-1 +1 
Hg. 7 
Su/tcunda. Pl1('~to que para t -+ a 
tl!l_k e y (t)-k:r(t)_l, 
:< jl) 
re~u.llA 
!I (/) - h(t) - l_ O. 
" 
Pero cskl !i~nific8 qua el plluto (t) de In CUfVlll1!e acerca 
i ndefin idn.nlenlo, cmmrlo t -+ a" n la re.cla 
lI - kz - l ... O, 
que es, por cOfl~ igu iente, la asínlo\.ll. 
Hemos dem o.~ lrado el teornmll . 
E/tmpla. Ln curva 
, 
x-l, Y=1=/ (- t <t< I J 
(rama de hipúrbola) S(,l 
t -+ 1 (l ig_ 7). 
Para t -+ I Se t iene 
~-O 
M ti) 'J 
e:z:lienrl e inrinitllDlente cuando 
x(t) - O.y(t)_I . 
La curva t iene, por lo tanlo, l~ aslnlola 
z - 1 =0. 
" 
CONCIlP'I'O DI!: C!JllVJ. [CID. t 
Coollirlwem05 ahora , 1 problema ~obre las asIllt.otlls 
d, liGa tUrVD defini da irupHeltamonte por la ecuaci6n 
ip (.x, y) =- O. 
Según hemo~ ~eñ8lado, l a ecuacl6n !p (z , ~) _ O de-
filiO la tUlliR únicamont41 en el sentido de que los puntos 
de 1, curva lo Lisfacen la licuación Ip (Z, y) _ O tlu" cuao-
do COn ~stos no 98 agoten, hablando en términos gene-
ta les, todos los punto, del p lano (I ue cumplen 6SU. ton-
dici6n. El problema sobre la determinación de lu a~n­
totas de 111 curva dada por la eeuaci6n Ip (z. U) ... O no 
es un problemo plenamente definido; es p09iblo indicar 
IIOlamente un conjlloto de rectas que contieos las asín-
totas. 
NO!! IImitafl!.Dlos al CallO dll cu rvas algebraltu (en el 
que fI (.x, V) es U D polinomio re.!pec.ta a las variables 
z e ~). 
Se, (z, il un punto arbitrario dfl 11I aslntota y sean 
;¡:=Z+AU. v- v+!u, 
1.., ecuaciones parllIllé lrieas de la "intota. DeslgDClmoa por 
Q (u) el punto de la curva máa pró:timo al punto (u) 
de la aslntnto . Las coordenadas del punto Q (u) serán 
z(u) _ i+"u+t(u). 
tlonde 
!I(U) _ i+I'U+l1(1l). 
t (u) '1 ' 1 (u) _ O cuando u _ oo. 
lndiquemOll por qlA el CQnjunto de téuninOll de gredo 
k en el polinomio qI. EntoDcllll 
qI = IPR + II'R-t + ... + CFo' 
lllbydueiendo Z _ Z (u) e !I ... JI Cu) en cp (z, V) y des-
pejando 103 té rmioos que contienen u" y ,,"-l, obtend re-
m" 
fJl(Z (u), YCU» ~ U"IPA ('" 1l)+u"-t{i (q;,.(A, f1)1+ 
+y (q; .. (A, f1»~+ cp .. _¡{A , Il)} + ... 
En el segundo miembro de la ¡¡ua!dad DO apareeen los 
términos de grado Inrerlor a ,,"-l. 
U1IICIClOl 
" 
l\aesto que IJI (.1: (u), 11 (u»== O Y. por C<lnsiguiente, 
:" q¡(%(u). y(u))_O pere u-oo. 
re.rult.a 1io (A, fl) - O. 
AnUogamente obionenlo9 
i (If" (i.. fl»í. + i ("" (A. Jl»~ + 'P.-1 CA. It ) - O. 
Ptlesto que (i, y) ea un punto arbl\.r8 rio 110 la ago-
tota, Cl$la igualdld es In eeuación de In aMotote. 
Eltmplo. Hallar las 9tl tllclonea <le Ips ufntotfts do 
la IlIpérboln~ -:by + 211'+ z+ t - O. 
Ten/lUlO! 
IJI, (l. , Il) - ¡,t - 3AI1 + 2Jl' = O. 
Pa" A y l' de aquJ obtenemos, salvo l/U rlelor sin impor-
tancil, dos sistam " lIe "llores ). _ 1. ¡.i _ I Y A _ 2. 
I1 _ 1. Introdueiéndo lIStos "alores en la rórmu ll dedu-
cida anter iormente. hdlbOH.lS las ns¡ntoU!s: 
-i+Ñ+ 1- 0. i-2i+2 - 0. 
IJElle,eIOl "ARA , ... Ul'ITULn I 
t . El JI'o'ntQ Al .. lIt' pl,., ~n el espacio d .. wodo que "" )'1: ..... 
y"ci6n to'~ el ,11 ,,, ... ~~ le mue~ unilorml"'rnf'nlC ... bn ti cit"uu-
"1'110(1, ,.. + r" - ... COfI> v.Joddad ,ngulll • • y tu \'f'O)~c""" 
sobro ti tit s • dIMIl,a uuitonnell\eute (on ye lot illld r. La eurn 
que de"",ibc ol punlo M .. denomlnl IoII/Cf ,1.,,.1 •. n.U .. ta p<:ua-
elón p.r"u¿tr'u de I1 1~lIca lomaooo elllf'mpG I ~omo rar,melro 
y leepundo qw en ~ I momenlo inicl.1 (t _ v) ~ I )'111111 0 ", hfne 
1 .. «MI rdanadas ., O. O. 
R,.pu~,rll. % _ 11 toS 1011. , _ • ~n ... 1. ~ _ fl . 
2. r.. It éHUI timple (tl~l'cieio t) le pTO}'tda ,obro ,1 plll'lO %~ 
mtdl'Il'" uII hu d .. tedll pu.JeJ .. quo 1."ma" 01 'ngul., 6"", el 
t}e l. ¡h llRr lA «IO,cllin ~ l. Ploy.:~elón ' I.I'''' 'lu4 ulores da 6 
l. pl'O}'KciólI l&IIdr' punl OI tial!;ll.ru? A, u., d u rkt« de los 
pIIntol ""'pl,ru. 
I' ''PII~I. SI el hu da f'H'tu pro)'Kual.41l ~ Pll1Ilelo , 1 ,llIno O,.. 1 .. ecUlelOMI d, 1, pTO)'KtIÓD se"," 
~ -.(osu'. ,_dIgO+.»n", 
La pro)'f«i6n !.tlldr. pu"IOI.lu",lart~ ~i 111' 0 _ ± -:. Lcle pllntot 
,Iorular'!)! IItron pllOtoa d. relrocflo 1M prinr.'" e!PfCI •. 
J_DIO' 
31 (.;ONC~P1'O DI; CI ' fI'iA [Cal>. 1 
3. l l" " ."·~u"r.,I'fI". '" dl' t~dl" • n",rla ""lfo' UJ .. m~"1e ,in 
r~sb"l a r ! ... l.ott· '11m 11'( I ~ ~ Cn" \'clocl dad v. Jl nH_r In ~cuan<Ín ,1,,10 
cuna y IIUQ , le~rIl O('u" IJUnln M ligodo rJJ<tm~IIto 8 In f" ltr unleren-
ei • . ¿ I!n qué c"nd'Ch)llCl 1" rurn, y wll lld I)Unt' o:I 1'"I1Ulltl'ell 
Aclat •• .,¡ ''''''etl' r de 11" "uMOI! sin.III ......... 
H .. ·pw~.I • . Si 1" ""da, H tilma por .>t cj~ .1; y si <'l' 0\ nlOmoll lO 
in icial 01 pUIlt" N lit! .. nenQ Ulta llOhr~ el eje 11 pr,r d~b"jn ,Idl cuntro 
dl' l. ei rcullle" ·,, c ia, 1 .. oc .. ~~ i ''''03 do la e .. r~a y !Klrán: 
dond& b 1'1 I~ dialanda dd punto M nI c"" lro I l ~ la ,·ircllnf~n,n .. i8. 
L. c.urva y ti~"t> puo t <l8 sIngulares JI, 01 punlo A! M 1 .. lIa IIObrc la 
e itcunwrc .. ci. (NI ,·sl.<! C~tiO lo cun' .... '" dt'lIo ... ma <lclo/rt~) . l.,. 
p""'OS ~i ngula ..... Ion p" nl'" d" relrO(C.," do p t hm:r a ~~jlf<"11'. 
~. lll' ,"{)!j lI'U '¡ue 1.1 ru,.·u defllUd. p~r la ff"~.· i (.,, 
;¿ ~ ~ 
I zIl-l I V[a_.i (8.frD/doI¡ 
I'S ""a ( u rv ~ ünoHl ic • . II nUa r ~". 1,,, ul,,~ "lIl.'1.d~ll"' . ,\41.rar d 
Ca..~el~r de 1, ,,, JI""I~S s,n&" I ~n'5. 
R"p .. ~.I •. ]." r.ltr~~ ""'""Iu II "~ 1," " "nClri ..... r'ún o""lillca 
ob~i3 
", ,,,, "cW / . Y _ ll!oen'" 
y, por eonsig\l ient,o, u aualhica. P"llIO!! si"I:III.I'C~: (O. al, (0, -111, 
(D, O) y ( _ 4, 11). Lel punto! linguIPI"" fiOU p.u,h ... de ro t .. .cl'!I<l.!" 
primera esl)\.'ek! , 
~. Ih(]lIr 1", eC"l'CiOtK'8 tle 1415 Asfllt.ot.." d~ ¡<t. C".Y",; 
l.z ao lllrnf, 
¡t _ .. ( cOlII + Jn \g -r) (Iraclrl" . 
2. r + 11- 3 .... ¡t "" OVo!! .. ", dt l )uu, ld ,. 
H~p .. ul ... 1. Z _ O. 
2.>: + ¡t+4 - 0. 
PI\OBI,l:)I!.\,5 y TgOJ\EMAB PAliA EL CAPI TULO I 
l. Su 
"'= ",(1) , ¡t- ¡t(I), ~ _ . (t) 
alguna p3ramelrl .... cillR d~ u ... cun~ olc ,!\c.n ta l, I::n'uncC5 , 
"ulllt uua paramcirlnción el de ¡ .. lonna 
z _ Z (o.hl). ~ _ ¡t(o (1'»), &_. (o (t )\' 
d()nd~ o ('tI e& 11M funei ón con tinuo e~ lri c I1t8\l" IC I1lOn6lonl. 
cUIlI_ 
2, ¿Qué grado de regula"dad de la c"n·a definid. por la 
ecua<:l6n lnlpllcih 'P ("'1 ~) - O putde garanll u ue si la ¡,,0<:l6n 
,." " ~~I:e dllerendab e y ~ + "'~ *' 01 ¿ Puedo k'ner l. curva 
Un g"do de ugularidll.d luperior? Dar UP ~Jt'mp lo. 
" 3. I4r U" ejwDplo d,e. UDa curva que IIQ admite paramctci.lI.-
c16n ~uave de ningunll do SWI partn!. 
4. Sea y um. curva IItlllll¡{c.a piona deUnida f U "')1 entorno del 
puntl> (ro. 111) med.ianlll la ~cunci6n t iz, ~) - (1 ,do)lde '1' e~ una 
rundún 11.11111 ~¡cn. Supongall'o! c¡uli en ~l pUllln (ro> Uf) ami Iguales 
ti. (;0'1) la funci6n 'P y todas 5\1 s dcrl\'adu 1105111. la do uril on n - 1-
Demostrar (¡!le. &¡I'ndo rules y distintas looal In. r.!c~a de l poli-
nomio 
P\~- ~ ~~!:!i1V¡jl:O:O'~.) ' 
~+I-" 
~l punID (1'.1" vol el Un punte regular de La cu rva ,. en 01 ~nlido de 
la defin ido" d~1 \ 3. 
~. HallM laa cond iciones de uistcnclll (an'¡ ll>gll.. 11 lu ohleni-
das rn el f 4 po r~ 111. curva plana) da un~ as!)) lut. de unll curva ~8P8-
cíal :r ... Z (1), V - )1 (tl, • - • (1) quo s~ eIIi<'l,dc inlin¡lalP~tlto 
cllando ¡ ...... ,.. 
Ol,l.<:uer 1.1 ecu8~iólI de la ;u;into". 
(j . Hall~f (por Un proc«hmcnlo au6Jogo al aplieuJo el! el § 4 
para lu CUrvU \,Ia n ~~! la l'(:uac;6o de In ~~ín~o~.s do oDa curva 
espadal all(\lbraltu lll'HllIda jOlpllc,\a,nent" por \11>1 utuadonc! 
(JI ("' ~' :) - 0, 1t>(;r, U, :)_ (1, 
donde '1' y", &011 pOllnOOl;(¡5 rupoctf> 3 'f. ~ y~. 
CAPITULO 11 
ELJ;;MENTOS DE CURVAS 
IIELAClONADOS CON EL CONCEPTO DE CONTACTO 
Sean M )' JIJ dos conjuntos do punlos tloL ospocio que 
pO~COIl un puuto ¡;omúlI O. Seoll X un punto !lTLitrario del 
con junto ftf. h (X) su dl~tanc i a ul Co¡,jUlll.o M (extremo 
inIeriur de los distancias entre los puntos del conjunto 
M y ,,1 punto X) y d (X) In distllnchl dd punto X al 
punto O. 
Diremos qu~ el eoniunto M lIeM contacto COIl el con-
junto M en el pu nto O si el cociente h (X) (d (X)) · " 
(a> 1) t iende a cero cuando el punto X se aproxima al 
punto O tanto o.: omo so quier~. 
Empleando el com:opto de tontucLo, Sil introducen 
muchos cunceplos pura las cur\'as. Los consideraromos 
ea este copitulo. 
S' 
coJofc¡¡,rTO 08 COI\',. ActÓ [C.p. d 
§ 1. Funel6n veclol'la\ de argumento e&Ca' ar 
En lo que signo lItili~~remo~ amplianlento los medios 
'r udimenlllrios del análisis vectoria l. Con vista a ello, 
recordaremos lo definición de algunos concoptos. 
Sel! G un conjlmto cualquier. de puntoa do una llleta, 
da un plano o ,lel espacio. DinlIDOS que se ha definido UDa 
luncl6n ~tor1al r sobra el conjunto G si a cnda punto X 
de e~le conjunto se baco corresponder un v«tor r (X). 
Para Iss funcioutlS voetorleles. igual que en el anÁlisis 
para las funciones elJCalaros, 1'0 introduce el concepto 
de ¡(mI/t'. Se dice que [ (X) _ a cuenll o X _ Xg si ([(X) -u. ( -O euallllo X-Xg. 
Pa.rn las funcioll!}! voctoriales l iaMn lugar teoremas 
referentes al lfmito análogos a los teoremalll ,·cforeol8S al 
limito porlt los funcion es sscalares. 
Púr ejemplo, st f ( X) " O (X) MI", tunelonu Vl!Ctoria/u 
JlA(X) t'sunajundó'l ucalar 11 sl/(X)_ ( 1 , O (X)_ b 
" A (X) _ m cuando X _ XI' t'nlonce.! 
f (X) ± O ( X) _ a ± b, 
)'(X).!"(X)_m.(t , 
f(X)·u (X)_ a · b, 
¡' (X) X tI (X )_ a X b. 
Lu dl!mestr~ci6u de 6!tas proposidon ... .a !lO difiere. 
babluudo 011 térmiuO! ¡eoeu les, de !Ji quu se da 60 el ana-
lisis para las funciones esealares_ A tÍlulo de ejemplQ, 
demo:ltremos la úl timn proposición. Tellemos 
(/(X) X O (X) - a X b 1 -
- ((f (X) - a) X (O (Xl - b) + (/(X) - a) X b -
- (o (X) - b)Xlr, 1 ~ lt(X) -a l ( U(X)-b (+ 
+ If(X) - a 11.1+ 1 y(X)-b l lal · 
De oqui :!16 deduce que 11 (X) X O (X) - u. x b 1 _ O 
cuando X __ X •. Pero ello significa que f (X) x g (X) __ 
_ " x b. 
Para les funciones vectoriales se introduce el eOllcepto 
de continuidad dlJ1 miamo modo que para 11':1.8 funciones 
. ') PUNClOf( VE(."fOII IAL 37 
Mellares. A saber, la función !(X) se denomina ~n.!!1lU4 
In tl punto X, al f (X ) -+ f (X,) cUllndo X -+ X, . 
Sean ( X) y O( X) d«; tune/onu vectorudu contlnu.u 
en el punto Xo U «/1 . ~ (X) una lu~16n UcafM cont inua In 
un punto. Entonces, las funcione. vectorltdcl 
)..{X)f(X), f (X)±y(X) y ! (X) X {¡'(X ), 
as! COrI'W IIIfunci6n ~alar [(X)·fI (X) ron conUnuas trI 
el punto X u• 
Esta propiedad rle la continuldttd e! un corolario 
si mple do les proplerlado.q referenlll3 el limito. 
Conctpto de derivada . S9a f (t) I1na función vectorial 
definida en un intervalo. Direm os que la fun ción yedo-
tlal f l iene rkrllf6da en el punto t del sollmenlo ~ i ox is!" 
el limite del cociente 
r(t+lllf- (r) 
• 
cuando h -+ O. LII derivada 011 el plinto t !<e nesignn ]lar 
r (1). 
St f (1) 11 !I lt) $on !u"done, wetorlnlu dt!ercnciablu 
~n el punto t y l. (e) ~ una funcIón '&calar dtf~r~ncfabl~ ~n. 
tstt punlo. rntt)nce~ ). (t) f (t). I (l) ± !I (/). f (i) X (f (t) 
y I (i) U (t) .ron functone.~ dlferenclabre$ tn t l pU'il.r> t con 
la parlku.lar ldad de que 
('.{l ' - ,' f + 'ro 
(f± U)' =r ± O', 
(! X (1 )' "'" l' X fl + ( X fI ', 
(Irl )' = f'y + I!I' . 
Estn~ f6rnlUllI! de nerivaei6n ~e obtieuen absoluta-
mente del miMllo modo que las corr9!polldientel! f6rmu -
Ill! de nerivaei6n dI) funeione~ e.'!elllarM en el IInAlisis . 
Lo derivada do la functón vectorial/, (t) se denomina 
ugurlda tltr {vlUÜ! dflla fu.rlc16n{ (t) y M) desrgno por r (1) . 
AnUogomente se definen In wrcef8. la cuortn. etc. deri-
vada!. 
Tod a lunción q uo t iene dsrlvarlllS continuas hasta el 
orden k-'stmo ind U!!ive en un segmento (a , b)!!EI denomi-
DI luneMn diferenewble k ~ $ObT'IJ ate lefmt!tuo. 
" 
CONCEPTO 01. CONTACTO [C.p. ti 
Mlln fJ J . e" f't Irea veetore! no ¡>lIrtonedonte! a un 
Oli.~mo plano. Todo vector 1" admi te una rcprllSCnlación 
de formo 
In~ números :z: , y y : $l' dewrminan un! voeamt>nte y se 
denominnn cOOnk/iIllÍ@ Ihl ,,«for /' respecto 1\ la base 
'-l' "', y ~ .•. 
Sel! 'r (1) 11M fllnción vectorial tleHnidn on un seg-
mento. Defin AmO! tres func ione!! 9gcll lll.re~ % (1), Y (t) 
y : (/) mcrliallte In condición 
r (/).c: x(/) e l + Y (1) t"! + ::(1) (ls. 
EnlollcM, si l(,l~ !lInrl(lIte.' .z (1), y (t) y ; (t) SOIl cnn· 
amIa' (/ d.ifertllciablrs, la funciórt '~ctorial r (1) es conU-
11M o dlJerénclabTe. rt"lltt:Ul'arMnlr. T'ictt'UM. $/ la funci6n 
wrlorfal r (1) t! rrmtin lUl o diftrtmd(lblt, la. funclonn 
x (l). y (1) y J (l) ~orl COI!tlmuUl o dl!trtmt:iablcI. rtllfJft'H-
vo.menlt. 
PArA demoslrtlr 1ft 5egnndn afinn Adón, multiplique-
mos e~cn l arml'nte In igualdad ,. (t) =:z; (t) l', + Y (t ' f.!t+ 
+¡ (L) /la por un vector e; perpendic.ubr R los vectores el 
y "~. Obtendremo~ :r (1) (e¡e;) o=o r (1) el' De !IIJlli rc~ul ta 
que In continu idad o la rlifel"llllCillbilidArI de In. fuoción 
ve~.toriAI ,. (t) impliCA la contlm¡idnd o 18 rlifereDciabiH-
dlHI. re.~pec t.i ,"am('nte . .11'>1 ... fun ción % (1). R n~onl'lmien 'os 
an'logn~ ~on nplicable!' n J(1 !J runcion~ y (1) Y I (1). 
Para lIlE /u~lonu vtelorlale.t fleM lugar la. /6rmula de 
Taylor. A rober . .el f (L) el "'14 furICi6n 11 vecu dt/erenclQble, 
entoru:es 
/(1 + ~t)=f(I) + ~tr (1) + ' .. + :jl~ (f'~' (t) +1; (t, M)), 
do,uie I e (t, ót) I _ O ruando ót _ O. 
En efecto. 
Pero 
f(l) = % (t) (' 1 + Y (1) el + Z (t) 6 3, 
". 
:z; (t + ru) = % (L ) + ~t.t' (L) + .. . +. (:c'n l (t) + t,), 
.. 
A<' Y (/ + ~t) c.: y (/) + ~ly' (1) + ... + liT vn ) (L) + t,l· 
A<. 
; (tt~t) = ~ (/) + ~tz' (1) + ... + -;¡r (S,n) (1) +~). 
"1 IIUI'{CII,lN VECTOfl lAL 
" 
Mu ltipliCRnrlo estas igUlI lQA de!! por e l ' e, Y e.~ ra~peeti va-
nlente. lIumllndolns y ob~orvando que :ti' (1) e, + 
+ !/~ I (1) f!: + z'~ , (/) e, "" I'~! {Il, obl'.lnemos In fórmula 
de TayJar pArn !tI función vooUlrinl (1). 
P ara la funci ón vec tor ill l el concepto do 111 Integral 
en el !Oenti rlo d" R ieman n ~ introduco del mismo modo 
absulu tnment8 '111'.1 pora ID fu nción csclll~ l'. LfI in tcgt'M I 
.le una función \'t-<:Iorill l rosee h.s propiedades corrient65. 
A el! oor . si r (1) t..i UIUI Junct6n IJtClorud contlruUJ en el seg-
m~"lo (1 < t ~ b 11 JI a < e <b, entnnct, 
, , , I { (t)dl _ If(tj dl+ ~f (t)rlt. 
" ~ < 
SI In, es IL/UI cow:la1tte, enlOllCes 
, , 
~ mf U) dl c m ~ flt ) dt . 
• • 
S I r e. un ,-,«ter cQfI$/(l.nlt. entonca 
, , J r f(t)d/ = r ~f(/) dt. 
• • , , 
) r X f (l )dl _ r X ) l{t} dl . 
. . 
Tltm lugnr la J6rmula de derlPllCitSn de 1ft In/tgrol Inde-
finida 
ir j ((t) rlt -= f (:r) . 
• 
Pnra ll.'rminll r notemos quo la 1'~flni cI6 11 pnu.míit riCll 
de 11I1 D CUf H I meti innto laJl QeUllei ulI1l!! 
x = J: (1 ) , Y - JI (t ), z = ~ (/) 
oqui va lu • su th~fin ¡ c i6n media nil! unu sola ecuación 
~'ocloriHI 
r -- 'l" (1) = :r:(t) d i + !I (/) e, -1- J (/) e" 
CQNCgP\'O DF. CON'l'ACTQ (Cup. 11 
1 
p 
Fig. 8 
rionde el' e. Y e .son vectorll~ uni tarios c\lya~ riire~.ciones 
coinCiden con las de 108 ejes de coordenarlas x, y y t. 
§ 2. Tangeole a una cu:rva 
Soan l' \lna curva, P un punto do la misma y g una 
roeta que plisa por el punto P. Tomemo~ sobre la curva un 
punto Q y rlesignemos por d y h su~ distancillS hasta el 
punto P y la toeta g, respectivamente. 
Direm ~ qne 111 recta g es tangmle n. la curva "1' en 
el punto P si ~ _ O cuando Q _ P (ng. 8). 
SI la curva l' tillml tangente en d punto P, la recta PQ 
tiende hacia esta tang~nle cuando Q __ P. Recíprocam~nt~, 
si la recta PQ U~nt[e hackl una recia g cuondo Q -+ P, 
tsla últtma tS la tangente. Para de-mostrar esto afirulIlci6n 
basta observar que : &l:I el seno ,]el ángulo que forman 
las rec tas g y PQ. 
T torema. Una curva suave ""1' l/eM en todo punto una 
tangente y ista e.s !in/ca. SI 
r = r (1) 
'I"~Gr..>;'f. A U/U. CURVA 
" 
" l4 «uacl6~ wdortal de la c"rva. 14 tangeme In el p"n-
to P, torruporW.w"tll al oolor t del par~tro, llene la dl~_ 
cl6B del v«lor r ' (1). 
Dern.Ntracl6n. Supongamos que la curva y tiene .ma 
t.IIltgen te f/ en el punto P, correspondionte Rl vlllor t 
del partimetro. Sea ~ el vector lIolt.llrlo cuya direcci6n 
e!! h. de la recta g. LII. distancia d entre el punto Q, co-
rrespondientG a l vA lor t +.:1t del ,parámetro. y el punto P 
es fiU"' al" (t+t1t) -,. (l) l. La distllncia h del pun-
to Q a b. tflJlgente 09 Igual a 1 (r ft + tú) _r (L» x "'r 1; 
Seeún b definición de t ll.og\lDte. 
Pero 
~= I ~(I +ÓI)- .. I))x ~ J -O ""rA Al O 
.. 1" f+M -r(f ! ..... -- . 
I r(1+AI)- r (I)IX '1' 1 
.. (1+61) _1'(1 
1
1'(1+61) .. (I) '1' 1 
M X I r ' t X 'f l 
= I " (I+ Ó~! .. (1)1 - .. ' (1) 1 
De II.quf re!ulta que 
r ' (t) X '1' _ O. 
Pero esto 9.'J pmdble sólo si el vector ~ Hene la dirección 
del vector .,.' (l). Por lo ta))to, si 111 tangontu existe, tiene 
b direcci6n del vector '7' (l) y, por consiguiente, es úniCA. 
T"mbién es cierto que la recta g que posa por el pun-
to P Y ti ene 111 direcciÓn del vector r' (t ) lIS la I:wgente, 
ya que ptl rll O9ta recta, según los razonamientos ante-
rior". Ml tiene 
1 . ' COl .. ( .. (I+óll - .. {l))x T?"fijT ¡ .. '(t)x ,.'(I) 1 
,,= 1 .. (t +61) .. (I) I - 1 .. '(I)lt O. 
Hemos demost rado complewmenw el teoremll. 
Conociendo b. dirección de la tangente, os fócil encon-
t rar lIU eCllllcióo. Efeetivamenta, lIlla curvn OlItá dadll por 
la ocuaeión v(lctorial '7 = " (t). el vector;: do un punto 
arbi trarlo de lo tl! ngento puede ser representado as¡: 
; = r {t)+).r' (t). 
Esta. e~ precisamente b ecu~el6D de la tangente en la 
flln»a param6trica (s iendo" el pari metro), 
CflNCP.P'J'Q 011: CONTACT O 
Oed!l7.quelllos 111 ecuación de la tange nt.e pntl1 los 
disLinto., cosos tIc hl repre&.'ntaci6n rma llticu ¡le la curvo . 
Supongamos quo la curva e~t<i dlldA. 1'0[' las ec ull ci()ne.~ 
en formo pnrmné tric.1I 
.t; "" ;t (t) , y = y (t), z = z ( /). 
Egta reprosontación equivllle :l lo reprosenl.1ción vectorial 
1" ~ 1" (1) = 3; (t) 8 1 + Y (1) " . + Z (1) 6 •• 
donde el' C " Y ... . , .~Otl los voctOtM unitnrios de los ojes de 
coordolll[{la .~ , SIl~Litlty,mdo la ecuación vectorinl 
;: ... r (1) + ¡.'r' (1) 
por tres l'cnflciones escalan'lS, oboonl'mo.~ las ecullciones 
de 111 Ill ngl'nte en el caso de In rel)re~ntaejón Pllramótr ic¡J 
; == % (1) + I,x' (1 ), ¡¡ _ y (/) + '.y' (t), 
~ = % (/) + 1.%' (1) 
u. en forllla cqvivalonte, 
;: :0-(1) 
",' ¡t) 
Si la Cllf\'n 08 plnna y viene .lndn por I:ls ocuaciones 
;t = x (1), y = y (1). 
la oCllocióll de la tnngelnte quedA. Así: 
-; "'(1) 11 &(1) 
r' (t) = y ' (t) 
Si 111. curva viene dada por 105 ecuaciones 
y ... y (%), Z = Z (%), (') 
la 'ecuación de la tangente se obtiena di rectamertte de las 
ecuacio¡'JOS do In t:angonte parn el CII.SO dE' la representa\. 
ción p!lram~triea de IR curVII. Basto. obsen'ftf ql\C' In ro-
'present.ación de la curva fl or medio do las eCllnciones ('") 
equivalo a In rop~entllció n fl aramétrica 
~ = t, ¡¡ '"'" V (t), :& = : (t). 
" 
LAS ecuAciones de lA l l\ngOll te fl utl b curva onda por las 
ecueclones (*) quedan 1'1 31: 
- ';-r \,,) 7_. {r} 
:l' - X _ 1J' (r "" "(r ) 
0, en fMIDa equivalen te, 
Y-JI (2") + y' (x) {;-xl , 
:: _= (.)+2.' (;¡-) (i- xL 
En IlI\rtiM lnf . . " i In eur vlI M plana y Vi!Ul O d 8<111 por 1 .. 
ueuaeió n y __ ,,(::t). 1/1 ecuación de la t.Au¡:,p. ll te A e.~ lll 
C\lrV(l serA 
íi '"'" /1 (.1:) + y' (x) (.;- xl· 
Eneontl't'mos, par ¡¡ltimo. la ecuac.i6n ¡le IR tnngoT'tte 
pllra la cun'a def inid" medin nle las: oeunciol105 
IJ' (z, y, 1) _ O. '" (l". y, zl - O 
on el Jlunto (x,. Ila. fol en e l cual ('1 rnn¡:,o do 1" matriz 
('" ... ,) ,~., 't';¡ \11. 
cs Igual a dM. Sea 
r ~. x (t ). JI - 11 (t). ::: .,.. :z (t) 
UDI! pllrnrn ctr!ZIItión ~gul8r de la tunn en un entorno 
del punto (;1:, . YG' la). 
fA" ecuación de In tnng<H11.e 11 In CUr\'R en el punto 
(%e. y,_ z,,) es 
.. - ... , Jt-yo .-.. 
--;::- ._~ ~-~. 
Es decir. p;uo. obtencr IRs (>c u8ciO\lCS <l e In tllllgoutc bM;w 
eouocer In.'! ray,ones .1"; : 1/; : z;. C8lc .. l om o.~ 05ll\~ fa zones. 
TenOID <Js las ic1enti tl ll rlt'1I 
rp {r (t), y (/), Z (/» el O y i (.1" (/) . !I (1), ~ (t)~~. 
DeriYll lldo respecto 11 t es t M id(>ntillnfles, cncolltrllrnos: 
'ftrZ' + ero,y' + <JI ,: ' = 0, 
't'~' + W~y ' + 1/>,z' = O. 
CONC&I'TO oe CONTActO 
De aqul resulta 
",' ~' ¡' 
1', '·I-~~T..-"i;1 "'1'$, ¡""v.z l I ."-~,,,~¡ 
y In ecuación de In tan¡:ente toma la forma 
Z_%q r - iIo 1-'0 
~-~"" I!I'''''I' h,~ ~.\ \". ,,"zl '4>,. ~, 
[ca ... n 
donde las derivadas ip". !J'~ •... , "'. se caleulAn en el 
punto do tangencia (xo. Vo. :,). 
Si la curva es plana y viene dlltln por In ecuación 
!JI (x. y) = 0, la ecuación rle la tangente ~rti 
~-~ . 
.. ~ -'JI" 
Pnll deducir esta ecuaclóh basta observar que la repre-
sentación de la curva en el plllno~!I mediante la ecuación 
,(z, V) "" O equivale A su representación en e..I espacio 
mediAnte 1M ecuacionos 
!J'(z, V) - O y: - O. 
S8 rlenominll plano IIOrnullll una curva an un punto P 
el plano que pasa por el punto P y que es perpendi cular 
a la tangente en este punto. No ofrece dificultad eocontrar 
la ecuación de este plano una WIZ obtonid a la acuación 
de la tangente para cualquier caso de representación 
an~lftica de l. curv.; proponemos esto como un ejercicio 
SIIncillo. 
§ 3. Plano oseulador 11 una cur\"!!o 
Sean y una curva, P un punto de lo mismA y Q: Ull 
plano que pasa por ·el punto P. Design('w as par h la dis-
tancio entre ·un punto arbitrario Q de la curva y el pillno 
11 y por d In d i ~tsnciil de osl.e punto 111 punto P. 
DiremO! que el plano 11 es un pl ano NCUladDr a i:l 
curVII , en el punto P al la ruón :. _ O cuando Q _ P 
(lig. 9). 
Teorema . UIIQ. curoo y regular (por lo mellO.l dOl 1Jtl:t$ 
~onttll#lJmellte d1temu:tabk) tfene M todD pu.nto un plall() 
"1 PLANO OSCULADOR 45 
I'jg. 9 
OU'ulador c<m la particularIdad de que el plano osculador 
es rInlco Q bien es oscu/ador cualquier plano que cont~ne 
la tangente a ta curva. SI 
?,,=.,.(t) 
es la «!.ladón de la curva y, el plano osculador en el punto 
correspondiente al valor I del parámetrQ es para~¡o a los 
vectores '1" (t) Y 'r' (t) . 
Demostraci6n. Sea o. el plano o~cu18dor n la curva y 
en el punto P correspondiente al valor t del par/imetro. 
Designl'mos por e eJ vector unitario do 19 normal al pla. 
no (l. La distAncia entre el punto Q, corruspondient.e al 
va lor l + N ,1el parámetro, y el plano Gt OS 
h = I (} (T (1 + 8/) - l' (/)) l. 
LII distancia de I"s lo punto al punto P e~ 
d _ 1 T (t + f1t) - .,. (t) l. 
Tellemos 
h I t (1'(I+l>.) .. (1» 1 ~ 
di = (r (1+.t.1) 0'(1»)2 
... 1<I{r·(I).\t+ft.¡1+e¡M2) ¡ = 
( ,,.·(I) "'I +~Ó!lt 
15fl+~+"íl 
"'" ,.la (I)+~~ • 
o.;UNC~'J'TO Uf: CONT,l.CTO ICap . ti 
Pu('sto que I'r ' (1) 14=0 y :. _ 1), e; y e;-U cuando dI_O. 
rcslll1u (¡\le CT' (1) ",,0 y CT - (1) = O. Es ¡J('cir, s i el plan,) 
oscldador existo, los vcctoJ"Os T' (t) y 1'- (1) son paralelos 
al mi~tI;<O. 
Es lácil pen~l¡3,lirw de que el plSlno o:<culador QxiSlc 
siempre. Tomcllloi'l con este fin ul plano a. paralelo a los 
vectorel! r' ,(t) y r " (1) (en cuant.o 01 vector nulo, aceptumOl! 
que CU/:II(IUiuf plano le es paraleJo) . Eutonces fl1" (t) =-
=- er o (t)Q=' O y, por consiguiente, 
~ = .," ,,1 , _O cU[ludo ¿\/_O. 
,,- o,. (1 -rf, 
Por lo !.anta , 1'11 lodQ pUllto do llIllI cun·a existe el 
plano o~cu lndor. b;s ol.Jvio que el plano osculador, siendo 
Pllralclo o 10$ vectores 1" (t) Y 1'" (t ), es úuico si los vec-
Lores .,.'(t) y r~ (t ) no SOIl paralolos. En cambio, si e~los 
vedares son paralelos (o el vector r" (t) = O), cualquier 
phlIlo que comprendo 1/:1 tangente a In curva será uu plano 
osculudor. 
HelllU!! demostrado el teorema. 
Oblcugamos la ecuaci6n del plnno osculador . Sea 
l' = l' (t) la ecuación "ectoriel de 111 curva y sea t el 
volor del p:mlmetro correspolldientc al punto P de la 
curva . SUllongamos que en este plinto los vectores "/. ' (t) 
Y 'r o (1) no son parlllelos . Entonces 1" (t) X r ' (t) será el 
voctor do la lIorwlll al plano o!'.culador. Si desigU!lmos por;' 
01 voctor de un plluto cualquiera del pltlno osculador 
referente al punto P, los vectores ;-1' (t) y r' (t)X 
X -r" (1) rosultan perpendiculnes. De aquí quo la ecua-
ción del pl auo oscu lador sea 
(r-,. (t)) (1" (L) X r - (l)) = 0 
o 
(;:-r(t). r'{t), OP· (L)) . .= O, 
Para el caso de la representación parametricn de la 
curva 
It = 2: (l), y'" y (l), :l: = Z (i), 
CONTACTO DE CURVAS 
de esta ecuaci6n ~e oL~iene la ecuación del plano oscu-
lalior ell h\ forma 
I
' - X(') 
x ' (1) 
x-ti) 
'Y-y(t) 
y' (t) 
y' (t) 
'-'(') I ~'(t) =0. 
z" (/) 
Dejamos A. cargo del lector la deducción da las acua-
ciones del plano o~cu lador Iln los restantClS C8S0S de la 
representaci6n ana lí t ica de una curva. 
Toda r('ctll tille posa por un punto de la curv" y es per-
pendicular :l 1:1 Uwgenw se tlenomina normal a la curva. 
En el c~so eH el que el plano osculador ~s único, I'otre 
esLas recta~ dcst'I C.D.D dos rectJlS not!lbl~s : la r'<Jrmal prllL-
cipal, qUl' o,~ la f1 {JI·mal perteneciento DI pIaDO osculador, 
y la blnorrrutl. que es la normal petpendic,1I1af al plan!) 
o~cuJ ador. Pues lo que ya SO cOIl!)ccn las ccuociolles de 111 
tangenLe y de.l plano oscu lndor, no ofrece diIicultad dtldn-
dr ¡as ecuucione~ .J o la normal principal y tle la binorOlal; 
a titulo de ejer<:icio proponemO;.<j al lector obleno! es tas 
ecu~ciones. 
§ 4. CoUt8Cto ele curvas 
Sean, y "Y' tlo~ C\l1VaS ol"m(.'lItales con un puntl) co-
mún O. Tornemos en la curva Y' un punto JI y dl.'s ignemos 
por h su d isl¡mcio husLn In curVII "Y y por d, ~\I d;Slnncia 
ni pun to O. 
Diremos q uo la curva "Y' t iene con la curva "Y en el 
pUlltO O on contacto de orden n si In r ll1.ón 
~~ -O cLondo P _O(fig . l Q). 
Se-nn y y "Y' do:'! curvas generp los COI! un punlo común 
O. Diremos .que la curVa y' tjene con la curva "Y en el 
punto O un contMlo de orden11 si un ent.oruo elemenl.al 
del punto O de la curva "Y' t ieno un COIlt9CtO tic ordon n 
con un entorno clem~ntal da lo. ()urva "Y. 
Teorema. Seall "Y y "Y' do~ curvas Tegulare~ planas, 
q¡ (x , y) 0= O la ecuaciún de la cun;a y y l: = x (1), y .... 
"'" y (1) las ecuaclrmcs de la curva "y '. Supongamos que 
q¡! + ij{ =1- O en el punl o O (xo, Yo)' Emonccs paru que 
" 
CONCEPTO DE CONTAC'I'O 
, 
I/Ig. 10 
.,. 
la curva y' ~nga en el punto O un contacto de Qrd~n 11 con 
la curva y, ti! ruc/Jiiario !I s:uficilmU: que para el valor , 
correspondiente al punto O se cumpwn lus cOndieiOMS: 
q:' (x(t), V(t» = O, 
:1 ql (x (t), y (t)) = O, 
Dem~tracfón. Sea M un punto de la curva y' _ Por 
def~nici~n, su distancia h (M) hasta la curva y es el 
extremo inferior de hlll d istancias de los puntos de la 
.,curva ' y a l puntIJ M, Si los puntos M y O son suficIente-
m~rile p,i'óximo,s, este Bxtremo inferior se a1canT.8 en un 
punto M de. I!l curva y. 
Demnstremos que el segmento MM va en direcci6n 
de la normal 11. la curva y en el punto M. En efecto, sea 
;(s) el vector de un punto de le curva y y saa ni el vector 
deJ puoto M. El cuadrado de la distancia entre (11 punto M 
• 'J 
CONTACTO DE CUnVAS 
y el punro do la curva es igual a (;-($) - m)'. Para 01 
valor de 8 correspondiente al m Úlimo de e.st.a distancia, 
tanemos 
" -
-;¡; {1' (s) - 'I1t)2 "-- 0, 
de donde (i- (8) -1») ;:, {al = O lo que signiliea que,_ ill 
vector Jo/M VII en d irección de In normal a In curva y 
en el punto 1If. 
Sean t y" los cosenos director{lS de la reCla MM. Las 
coordenadas del punto XT se pueden expresar a tuv&< 
de las coordenad ll ~ del punto M del modo siguiente: 
:r=z+~ih e ji ..... V+1)h.. 
doode h ~ l u disloncill entre el punto 111 y la curva "y. 
Lils C{)ortlenadas x-o y- dd punto .11satisfecell, por ser 
ésto UII punto de lo curva Y. In ecuación ~ (z, y) _ O. 
Es decir, 
Ijl (z + ~/¡, ti + ,yl) = O. 
De aquí resulta que 
qI (x, y) + thl/ls (x, V) + '1/¡lPv (;r, y) + h'n = O, 
donde n es una mu¡,:nitUlJ aCo~da eo U" enlomo del PUII-
to O (Z~ . y~). 
Si :1' ->- %0 e y ...... Vo, In expresión ''1'" + r¡1Il, tiende 
11 UII limite distinlo dEl cero ya que represeuta IJI prodncto 
escalar de dos voclores de coorelenadas ,. 1] y Ip ~. 'h 
que en ni lím ite son di~tinLos de cero y están dirigidos 
según la normll l a 1& curva 'V en el puut() O. Por lo tanto, 
Ja magnitud h _ ~ -+<1' _ hlj{' es del mismo orden 
Of" '1Of, 
quo '11 cuando Al __ O. 
Supongamos quu el punto M" de la Curva y' corresponde 
al valor t del pacómetroo EntonceR, s u elistaucia al pun-
to O, igual a 
1 ,. (t) - 1 · (lo) I = 1 (t - lo) (rO (to) + e) l. 
e~ ele orden 1 t - lo I si M es suficientemente próximo 
(1 O. Do oquí se dooucc qUtl para que la curva y' tenga 
con Ja cur va 'V 8U el punto O UII contacto de ortlon 11 
~-Ul()\I 
es lH.'CGSario y IiUficillu te quo 
"" .I{t)), M{I)}_O c~udo ,_t~. 
(l 'o )" 
Pero e~to siguilica que en el desarrollo de 111 fUllci ón 
'P (z (1), 11 (l)) SCIl'ÚIJ JI! pownc ins de (l - t.) lodos 103 
Ulrminos hasta el "-é.simo inclUllive son Iguales a cero. 
Hemos demostrudo el ~eorema . 
b.'¡emplo. Hallar la Vllf' bola de ~lpO 
11 - (Go + al~ + . .. + ""x") ... O 
que tenga un contaclo de ordtm n oon la curva 
11- I1' (.x) 
en el punto (O. qJ (U)). 
Según el tcoretlll!, 1'"1"8 % = O 'J k = 0, 1, ., n 
~ (11' (.x)- u~- a ,.l - ..• -u~.f··) - 0, 
,.' 
de Itonde 
(O) , Ú I ( R I (O) uo= q' ,a, ... ~ ' ~ J, ... , a" = ñfq. . 
La par 'bola bUlSclI,Jn os 
11 = (j' (O)+q.' (O) .1: + +11" (O) 2,l + ... + *tf'M{O) z.". 
§ 5. Envolvente de una famllla de curvu 
dependientes de un p8.liruelro 
Sea oS' {)I,,) uon bmJlia rle curvas suaves IlII el plano 
dependientes de un parámetro Q:. Vnl!. curva suave y se 
denomina enlJOl~nte de la familia S si en cado uno de 
sus puntos es tangente al menos ti unll cu!'va de la familia 
y si cualquier sO{tll'lento de la misma es t.anl(:enta ti UD 
conjQnto infinito de curvas de la familla (fig. 11). 
E/empUJ. Uila curva suave careute dI! partt>s rectilíne;¡s 
es la envo1voute de SU!! tllngcnle;;. 
El teorewa que viene D cOIIL inlJoción rU$uolve eu cierta 
nledida el pro'bJema sobril la determinación de la envol-
vente., 
"1 BNVOLVENTE DE tm" ?AKILlA DZ CURVAS 
"eorerfUJ. SupolIgamos que las curvas 1' .. ¡le la familia S 
vunen dadas en IHla rtlfi6n G por las ecuaclolles 
f{I (z, Y. 0:) - 0, ti es;;; o: .:;;;; b, 
dlJruk 'P es una IU~1611 CO/lUnU4~llle di/erendable rel~to 
a todOl 10$ argunumIU que IW#lorJ: la cornlte16n IP! + 
+ ~ .,. O. Entrmcu la envolvente 'i ele la familia ~ (SI 
e., que e:due) se determina 1'0r las auaclO/'le$ 
tp (x. y , 0;) - O Y q>" (z , y, a) _ O 
ell d semido de que para 10M punjo (:1:, y) lk la eflU"lwnle 
" puedl ¡ndiCD.r un valor o: taL que el .s~em4 de /01 valores 
%, J(, V a. IO.li$/ard Olllbal tcuacWfltS 'f' - O 11 !P .. = O. 
De/llfUlraci6n. Su. P (z, V) un punto CUJJlqUltra de la 
,nvolwlJle y. Puedell preulúaru tU. C~: 
1. Hoy un conjunlo [afinao do curvas y"l, )'" ••... 
de la I;l(Jlilip tangllDt~ ell el pun to P. 
2. Hay s610 1.111 númoro finito de cur VP9 ¡"H > Ylln 
de la familia tangent.es en el puuto P. 
,. 
()<)NcsrTO DE CONTAC1'O tCoP. 11 
Analiceolru! el primer caao. Sin perder generalidad, 
podemos acopt.&r que la sucesi6n de números Ct;~ con-
verge 11 un número !;lo (a ~ !;lo ~ b) . PuesLo que el punto 
P pertCl nece a cada una de ¡liS CUI'vas Y,,~ , se tiene 
q. (z , 11, a.) = O. Do aqui que 
q¡(z, y, o:_} - fJl (x, y, al) = (a~ -a/) (('" (x , lI,a· ) = 0, 
dondo a* oslá comprondido entro a~ y (1/, Por consiguien-
te, 11' .. (.J:, y, a*) - O. Pl;lro o:~ y 0:1 _ao cuando k y l _ 00; por esto, 
y en el primer CHSO queda dewostrado el teorem a, 
COllsidoromos el sogundo caBO. Supongamos que el 
teoremll es falso y que, pOI' consiguiento, fa (x, y, a~) =P O 
para cunlquier o:~ (l¡ = 1, 2, .... /1). 
Designomos por ,.,,: un e-entorno cerrado del punto 
O:k en el 86gmenlo (a, b) y pOr 6 UI! segmonto pequefio 
de la en\'olvento y que comprollde el punto P. Si fijamos 
e y tomamos (; suficienLomen\.o pequoiio , para toda curva 
Ya langonto 11 (; el valor a pel'tent>corá ti uno de los entor-
IIOS wZ. Si IIcepuunos lo contrario, lIegaromos fficilmente 
a la COllclusióu ¡Je que en el punto P es tangente a la 
curva Y una cun',' de la fam ilia dis!,htla ¡Je las Y .. ~ lo 
cual es iUlposible. 
Designemos por m~ el colljullte de pUlltas del segmento 
6 en los que 90n tangentes las curvas y" COJl a e ro:' 
Es obvio 'lue m" es un conjunto cerrado. Formemos el 
segmento 0, perteneciente a 6, q ue respecto a cada uno 
do los conjunt9S m" lloSOO la siguionte propiedad: o bien 
el cOlljunto ntk comprende todo el segmento If; o bien no 
contione ningún 'Punto del mismo, Es fácil construir el 
9egm6nto .~. P rimero conll truimos el segmenw 6' toman-
do 6' = 6 si 01' segmento 6 está integramont e contenido 
en mI' o lomando para 6' un segmento en el conjunto 6 -
- m,. com plomen.tario do m,. si 6 no quedo cubier to por 
mI. Después, a 'par tir del segmento 6' y del conjunto mi' 
construimos de un modo análogo el segmento 6· , elo, 
Con un número fi nIto de seroéjantes construcciones He--
"1 r:NYOJ,vENTI'. DH UNlI FAMILIA DI'! CUlIVM 
garsD'lOl! a obtener el segmento '6 que poseo las propiedaM 
de!! señaladas. 
SupoDg~mos, Que el conjunto m~ contiene el segmento 
[ Siendo e suficientemonte pequetio. en un entorno del 
punto P l a fam¡j¡a de curvaS "lo. con o: c: w: puede ser 
definida medlantn la ecuación , 
'" (~, f{) "'"' a, 
donde 'r (:r, y) e!' una {unción continuamente rl ifefou-
dable que slltisf!'ce J¡, comlición 'Pi + ~ :¡I= O. Esto 
resultn de nuostr~ hipótesis de quO 'l'" (J:. y, a~) *- O 
en el punto P. 
La curva y eo el segmeoto'6 puede ~Ilr defin idll medinn-
telas ecullciollCS 3" '"" x (t) 8 Y = Y (t) . nonda x (t) o y (t) 
son fu nciones ('.Olltioullmente diferencinblM ¡¡ ,lO cumplen 
la condición $'~ + y" :¡I= O. DIl~¡gnemo~ por ex, (t) 01 valor 
del parÁmetro a c: {<I~ que corresponde a 111 curva 1'", 
tangente ~I !lC'¡;::1ll8UtO 11 en ni punto (z (t), y (ti), Es nh"io 
q" 
a; (t) ... '1f' (x (t), y (t) 
es una función continuamento diferencinhle. Tonomos 
a;' "'" 1i'.r + 1f'oy'· 
Puesto que x ' e y' llOn los componentes ele l vector h ngente 
11 la curva y. 1h Y .p~ son los compOllolltes del voclor de 1/\ 
normAl n la C11r\'il '1'" (/\ Y puosto que llls curvas '1'" (1) Y Y 
son tangenlllS en el punto (t) , te.'!ulta que a.' ..., O y, por 
consiguiente, a; .... consl. 
Es decir , sólo 1111/\ e,urva de la falllil ia '1'" con /;t e: (O~ 
es tangento o In curv~ '1' a lo 11\I'!¡'o .'lrl Sf'gmeoto "6 y, 
por consiguirmle, en toda la r.,mi lin S haya Jo SUIllO n 
curvns de Mte ti po. Pero. según la \1t>rinici6n de 1" 011-
voh'ento, .Il'bo 1IIll)(lr IIn con junto inf in i"'). Llegam<Jg 11 
una eonlradim;ión . tIemo!! d(lJOoslrado 1'1 tcortlma. 
Nota. El sis te tna de ecuacionos 
ti' (J' • • 11, a.l = O y f" (x . y. a.l - O 
puede CUmplirse, hablando en términos gOllor~les, para 
curvas quo uo SOIJ envolveuW. Por L'jemjJlo. la ocuflción 
CONCEPTO DE CONTACTO [CoPo JI 
y 
, 
Fig. 12 
de la envolvenle de la familia de curvas 
(z _0:)3 + CII _(l.)' -3(J -o:) (y -a:) = O 
se "orifica par/l la recla l: = Y ' Iue, si n em lJurgo, no es 
cll volvonM. Esta recta consl~ de 101:1 I,untos múltipla!:! de 
las ~urvas de I~ familia (rig. 12). 
EJIlliCIC IOS PARA EL CAPITULO II 
t . P~ra la UIiC6 
%= coa /, ~ = sont , 1"" I 
bailar en el ·p.un to (1, 0, 111. las ~cuuci()IIU 
'1 do 18 t3I1g1!nt.e. . 
b del plft/lO ~cu18dor, 
el del plano normal. 
d) de la nonnRl priucipal, 
e) de la btnnrmaL 
R,.p~"ta. Ln <)(luaeión do la tallgonl.<l N 
%_ 1 V c. 
- 0-=7=,; 
l. KUlelÓft del fllano MOOI. dof U 
,,- . ~O: 
b eeuac;f(>n dell'hon normai es 
,,+ s _ O; 
l. Icn'clón de 1ft norm.1 prlnelpll c' 
~ "" 1 _ O; 
l. \!'Culclón d~ la blno.mal 01 
.. -1 ~ • 
-o-=7=-=r· 
2. Delfrmlnn b oeuación de 1I t lng'!n ll' 11 1. tu.va definió" 
po. In Kuarlnnetl 
"' +I!'+ i' _ I, ~+,' ... .. 
fn el punto (O. O. 1) 
R"fIu"' •. 
:r; '/ 0-1 
0-,."'--0--' 
3. H .. nar la e<" " Rclón da 111 pari.boh de 11J1n 
,_~ + ~;r+b 
l anl[O" lfen el punlo (1, 1) R la circun¡~ .... neia 
.. ' + ,' _ 2. 
R"p, ... /f, . " ,... ... - 3:r + 3. 
<\. H.llar In ~lI rn ~ ." , ( .. ¡ si se ~Oll'_ que " tunall nUo e 
Ir u .. 1 e 11 l~ Inngilud d~l wl(mento da 11 lanlf'l"'" &Ompnllldldo 
CfIt.e el punto ~ I a l.n,~""I. '/ ,,1 punlo da ln lera..eei6n de b " nrnLe 
con el e)e :<. 
II r'p'ltrt~ r.. Irll~lrll 
~- y;¡=f2. , r......--:;;. 
r± .. _ aln , +V.·_,s. 
:-. . Snh" 111.1 hlnonnales do 1,nl hélice slnlpl0 $" loman "-OG-
m<",lol de una ml'lllA lnngl'"d. 1I .. I1.r la «:".c;16n di' h cII",a lar-
mada por los ulnllnOll 011' Nllos Ilegmcrlt Oll. 
Rt'puf dll. Unl hélice. 
6. ~ a"Jo l1ut ¡;n¡ul"" se corlan lu tu.v u 
.. , ... . , y :r._ ~t _ c.7 
1. Dem~lr.r q"e s\ l'n el plallo l. cU"\"n '1 !MI r orl ~ fl,rm."do 
¡\ngulo roelO con lcu CU I"-'IIS "B la famU II 
.¡o{r , ,)_COIISt (~+.~ " O), 
CONCV.l'l'O DE C1)Nl' ACTO [Cap. JI 
&DlonOO' Ilua curva utisfaC& la eC:llac.ión 
dz dy 
-¡p;= -;p;-' 
8, Hnllnf la familia dn .cu rv~~ que {'orlao b¡ • .Io un ánllu lo I'9C\O 
todus (as clrCllnll',I'ncia5 ql18 pesan por d05 puntos d8do& del plano. 
R~Jp,~~l a. Una Inmllia d" clrcUJlrol'<)nc i~ ". 
!l. Ihllar 1" p.C llaci6n do la circlloloJ"(>od. que tien~ 110 con-
tacto de orden dO$ CIJO la p.1libol~ !I _ x· 011 BU v~rtice. 
Rup"~,,ta. r + ~. _ ~. 
10. Hallar la envol\'l'ote de la lamUia <I~ roctas que lonuau en 
01 "nllulo <le e.,lI>rdenadas XOY triángulos de iír~" 20' . 
R~'ph •• ld , LB. l'l,m~ c"rro ~po!\dilm{(l a l .l.njj:ltlo XOY do l~ hi. 
pé,bnla Cllui lt'<tc rft :ry _ a', 
11. Hallar lu ~n\'olveute de la fum il!a do n.'~W5 wblll la~ 
cu~I"" ¡" S njc" de coordcnadas de lormlnnu un ~!lm~.nto de longitud 
cOIIslan«, .. ' 
I/nplUlll~, La ~~troido 
, , , 
IzIJ+lyIJ_ 4J , 
12. Hollar la oll"o l'il'llw dt' In5 tl'~yer,t"rin8 de n" puntu nlat..>-
rial ' an uulu d('~de ~l ori~~n dll coordcn~d"s rOIl \"l,locidad "~. 
R~spu"I~. La p"r~bol" de S!'Rurhlad 
g:rz ¡;~ 
v= - 2~i +2K 
, C5 la ~'celcraci6" do la gravedadl. 
13. Ha llar la cnv"h'l'n t ... d ~ lo, r3rO ~ lumi"o,º, que p8r ten 
del oril,,(,11 de cnord~n~das y son rl'Il~¡udos por lit clrcunfe renola 
:rO -1- !I' - 2az. 
R~lpU~.I~. r.J cerncol do Poseal 
Pn.OBI,EMA$ \ . TF.OllIlM .. S " "',, .. El GAr 'T lJI.O H 
l . Sean l' una 0Il r\' 8. P un punto do l~ misma y, una rcth 
que pasa por do.s dlsUnln$ punt,~.R y S de la curva, Se d¡~e quo 
la curva y liento en 111 punto P 1111 .. t8n~ntc ()n ,,1 ' • .mtldo hl~rUI 
~¡ lu roela! e convijrgon It una r&eta l"tUIIIU'" R y S .... P. 
Demostrar qua toda curva suave p08eO el( cada punto II0 ~ hn-
¡uto on 111 >IOutidu fuorlo y.qunwta Iloluddc CQi, la t:lU,"'Cnte corl'9.!J-
I'RIJIJI. nMAII Y TEOR&!IIAS 57 
pond lente a l. tleflnldón habitual dad. I)I!. e l ! Z. 
SI la curV3 po.., .. en udn pU II\.O una t.angGnl~ en p!lIBnUde fuar· 
tn, I~ eurv ~ es 6ua~c . 
Z. Demo. lrar que 51 Ju U ugon!.u a ,mi eu rvl ~\lU.VC- pUD n por 
un mb mo punto, cnloncel la cu rva fa un 5cg'llonlo M rech. una 
Bol",l rJ"(>C ID o 'Ula ""eh. 
S. DI'lnost r.r qu~' 1", IlIngenU'a b la. h~lico 
:; _ 11 C();I Olt. 6 _ .. ~n (11)1, • _ bt 
forman 'n¡ulo ~onuen te con el plano Z6. Demo!trar que la! nor 
m alu principlllw de la h~lIeo eorta n ~I ell' • . 
4. So de llOUl lna inve,slóu 1. translomucl6n pera l . cual 1(>$ 
pun l<Ml cwrrespond¡""te, r~rtc "own a una m;.m~ lleml~tn '1'10 
urune. de un p1l ntll fijo .s (cen tr<l do In In"0,'$;611) ,lend n COMhnte 
,,) producto d" BUS dI5tll"cill~ D $ . D~nlOstrn f1UO t. In v~r.16n con-
lIIl.VR lo. ~nllulos Piltro lA' tllru.s. 
~. Demostrar que l. cu",n o~ plBna $i bs Ian¡t'BI.o.'! 11 la misma 
IOn pJlu lelu o un plBn(l. 
O. ¿Oajo quf coudici6n 1 .. ",&In t, 
{ 
II¡ {t) ",+ b. (I)/I+c\ (I).+'¡. (t) _O, 
"1 (t)" + ¡,., (t) ,+:, (1) s+ d. VI - O. 
8<>n t~ngl'"t('! 9 In curvo 
r - r(/l, Y- 6 (1), . .... (l)? 
Hol", ~11:t. cnn . 
7. H. tlar en ,.¡ punto 111, Y. , .. ) b couReión d t,] plano 05Gub· dQ r . 1, (urva ddin ,d. 1"''' u K .U3c¡nllOl 
'1' (.l". 11 . J ) _ O Y '" (z. 6. ' 1 =- o. 
8 . Sttnn y una f·urv •. P UI\ punto d~ IJl mio;nll' y a un plan" 
<luo pn~ por lo! t ... s dist,n tO-' puntos Q. R r S do 11 (· .. rVD. So 
dice '(" 11 lit c·\(fVa l' IlllllCf! ~'n 01 punto P " " pano oseul8, IQr on ~l 
~nl jd" lue,t, •• ' I"s pls lI " " a el>nn:.rg<· " JI UII " JIU' ... a. p ( uRlld" Q. 
n v S_l' . 
. i.I"UI,,~1 r~e '1 "" I.t)d~ ,." ". ~ ."",Ine (rl ,," \{ ...... ~ e""l i ll "~ n"'1I Le ,lJ-
1""'"0Ia blcl '1"" ,,)1 ,.\ pu,,!" P r"!IC<' "" Ilb .u., "",,, l/lolor ¡mie" I'U ~I 
!OI!n lid .. h.bnu81 (~ 3). LINK' "', <llchu \'Ullt.<, n" ¡,Iu"" O$Ouladnr 
N I d ",nthl" r"M"\.O y amh,('I co[nd, l"n. 
9. Ihl10r IJl toorv. 
r - r(ll . /I-!I (t ). " = :(t) 
• p. rt ir de IIU )llaune oJ6cub,do ros 
A 11) ... + IJ (1) JI + e (1). + D Ili - \J. 
OONCEl'TO DI!. OOtcTACTO ¡CoP. n 
10. Demostrar q ... l ft eu.u " pina s i todOl $\le pl.not IIi$oCU ' 
ladol"Nl pAsan por un mIsmo p\lnto. 
11. nem~str~T ,!un uoo condición necua,ia y auliclento pUft 
qUQ IR cu,va 
r _ ~(I), /l. 11 (1) •• - s (1) 
... plnl ('i)lI$iste en que 
1
,' 
" .. 
" '1 " ~ KO. 
... " 
12. DemOSlr~, que l. prop¡ed~d de cenlleto de eU,V!\I C~ red. 
proel. o ""a, ~ i uo~ eurva !uave VI tIene un conlaclO dQ Ol'dnn n 
oon una cUrva ~UA"~ 'l • • enloneo& a curva 'l. lleno on ~I mlimlo 
punlo un contac to do orden .. con 1, cuna V, 
Notl , . , ~"n l1n eJ.!'mplo