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Preguntas Propuestas
1
Habilidad
Lógico-Matemático
. . .
2
Razonamiento lógico I
1. Se colocan 3 dados comunes sobre una mesa, 
tal como se muestra. ¿Cuánto suman en total 
los puntos de las caras no visibles en el gráfico?
 
A) 40 B) 41 C) 42
D) 43 E) 44
2. Se cuenta con 2 dados comunes, los cuales 
giran por el tablero y en la dirección mostrada 
hasta las casillas A y B. ¿Cuál es la suma de 
los puntos de las caras superiores al final del 
recorrido de los dados?
A
B
A) 7 B) 10 C) 6
D) 9 E) 8
3. Se tienen 4 frascos cerrados y etiquetados que 
contienen bolitas: uno contiene solo bolitas de 
color rojo, dos de ellos contienen solo bolitas 
de color verde y el cuarto, solo bolitas de color 
azul.
 
rojorojo
AA
verdeverde
BB
verdeverde
CC
azulazul
DD
 Si todos los frascos han sido etiquetados de 
manera equivocada, ¿cuántos y qué frascos se 
tendrían que abrir, como mínimo, para averi-
guar el contenido de cada uno y reetiquetarlos 
correctamente?
A) un frasco, A
B) un frasco, B o C
C) un frasco, D
D) dos frascos, B y C
E) dos frascos, A y D
UNMSM 2009 - II
4. Julio requiere un tornillo de 128 g, el cual se 
encuentra en una caja junto con otros 7 tor-
nillos de 1 g; 2 g; 4 g; 8 g; 16 g; 32 g y 64 g. Si 
al tacto no se pueden diferenciar los pesos y 
todos los tornillos de la caja tienen igual apa-
riencia, ¿cuál es el mínimo número de pesadas 
que debe hacer con una balanza de dos plati-
llos para identificar el tornillo deseado?
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
5. Si se tienen 3 pesas diferentes de 2 kg, 5 kg y 
9 kg y una balanza de 2 platillos, ¿cuántos ob-
jetos de diferente peso se pueden pesar? Con-
sidere que los objetos pesados no pueden ser 
usados como pesas.
A) 7 B) 9 C) 10
D) 11 E) 12
6. Si el peso que puede llevar una canoa no ex-
cede los 100 kg, ¿cuántos viajes, por lo menos, 
deben hacerse para que esta canoa logre lle-
var de una orilla a otra de un río a 3 mujeres 
que pesan 50 kg cada una y un hombre que 
pesa 70 kg?
A) 7 B) 5 C) 9
D) 3 E) 11
Habilidad
Lógico-Matemático
3
7. En la orilla de un río se encuentran 6 perso-
nas cuyos pesos son 50 kg, 60 kg y 70 kg, y los 
otros tres pesan, cada uno, 100 kg. Si cuentan 
con un bote que soporta un peso máximo de 
120 kg, ¿cuántos viajes tendrán que realizar 
como mínimo para cruzar el río?
A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19
8. Tres adultos y 2 adolescentes tienen que cru-
zar un río en una canoa. En cada viaje, puede ir 
uno de los adultos o los dos adolescentes, pero 
no un adulto y un adolescente a la vez. ¿Cuál 
es el mínimo número de veces que la canoa 
tiene que cruzar el río, en cualquier sentido, 
para que todos pasen?
A) 11 B) 13 C) 15
D) 17 E) 19
9. Se encuentran 4 dados comunes ubicados 
sobre una mesa. Según el gráfico, ¿cuál es la 
suma de todos los puntos ubicados en las ca-
ras no visibles?
 
A) 50 B) 48 C) 42
D) 52 E) 54
10. Se tienen 8 monedas de S/.1, de las cuales 2 
son falsas, por lo que el peso de cada una de 
estas es el mismo, pero mayor a las monedas 
auténticas. Si se dispone de una balanza de 2 
platillos, ¿cuántas pesadas se deben realizar, 
como mínimo, para obtener 2 monedas autén-
ticas con seguridad?
A) 1 B) 3 C) 4
D) 2 E) 5
Razonamiento lógico II
11. ¿Cuál es la menor cantidad de números que 
debemos cambiar de posición en la figura 
para que las sumas de los números, en los cír-
culos unidos por una línea recta, sean iguales, 
y además sean la máxima suma posible?
 
20
29
26
11
14
1723
A) 3 B) 2 C) 5
D) 4 E) 6
UNMSM 2007 - II
12. Coloque los números del 1 al 10 en cada uno 
de los círculos mostrados, de tal forma que la 
suma de los números ubicados en cada uno 
de los cinco lados sea la misma. ¿Cuál es el 
valor de dicha suma?
 
A) 16
B) 18
C) 19
D) 22
E) 25
Habilidad
Lógico-Matemático
. . .
4
13. La distribución numérica con filas A, B, C, D y 
columnas I, II, III y IV se completará con los nú-
meros 5; 6; 7 y 8, de modo que no se repitan en 
la misma fila ni columna. Halle la máxima suma 
de los números ubicados en D II, D IV y A III.
I II III IV
A 7
B 8 5
C 6
D
A) 24 B) 21 C) 23
D) 22 E) 20
14. Ubique en los círculos de la figura los 12 prime-
ros números primos de manera que la suma 
de los cuatro números ubicados en los lados 
sea la que se indica. Halle el producto de dos 
números que van en las esquinas, que no sean 
aquellos dos cuya suma es 36.
 
59 62
61
64
A) 25 B) 36 C) 28
D) 14 E) 32
15. En el gráfico mostrado, coloque en los círculos 
los 7 primeros números impares mayores que 
7, sin repetirlos, de manera que la suma de los 
tres números ubicados en los círculos, unidos 
por una línea recta, sea siempre la misma y la 
máxima posible. Halle dicha suma.
 
A) 48 B) 50 C) 49
D) 45 E) 41
UNMSM 2008 - II
16. Se colocan los números del 1 al 20 en cada 
una de las casillas circulares, de modo que 
los números ubicados en cada cuatro casillas 
consecutivas y colineales deben sumar 34. 
Calcule el valor de w+x+y+z.
 
w
x
y
z
A) 14 B) 15 C) 16
D) 19 E) 20
17. Distribuya los números del 1 al 10, uno en cada 
casilla circular, de tal manera que la suma de 
los números ubicados en cada rectángulo sea 
la misma. Halle el máximo valor que puede 
tomar la suma constante.
 
A) 36 B) 35 C) 37
D) 34 E) 33
Habilidad
Lógico-Matemático
5
18. Distribuya en las casillas circulares del gráfico 
los ocho primeros números primos, uno por 
casilla y sin repetir, de manera que la suma de 
los tres números ubicados en las casillas de 
cada lado sea la que se indica. Halle la suma 
de los números ubicados en las casillas som-
breadas.
32
27
2928
A) 35 B) 39 C) 37
D) 41 E) 40
19. Se distribuyen los números del 1 al 7 en las ca-
sillas circulares del gráfico mostrado, sin repe-
tir, de modo que se obtenga la misma suma en 
cada hilera de tres casillas.
 
 Sobre dicha distribución, indique la proposi-
ción correcta.
A) Es imposible.
B) La solución es única.
C) Hay 2 números distintos que pueden ocupar 
la casilla central.
D) Hay 3 números distintos que pueden ocu-
par la casilla central.
E) Hay 7 números distintos que pueden ocu-
par la casilla central.
20. Distribuya los números del 3 al 11, sin repetir, 
de tal manera que la suma de los números ubi-
cados en cada lado del triángulo sea la misma 
y la mayor posible. Dé como respuesta dicha 
suma constante.
 
A) 27 B) 29 C) 30
D) 31 E) 32
Orden de información
21. En una carrera participan tres parejas de espo-
sos: los Sánchez, los Mendoza y los Fernández. 
Se sabe que los esposos llegaron antes que sus 
respectivas esposas: la señora Fernández llegó 
antes que el señor Sánchez; el señor Mendoza 
no llegó primero y fue superado por una dama. 
La señora Sánchez llegó en quinto lugar, justo 
después de su esposo. ¿En qué lugar llegaron 
el señor y la señora Mendoza?
A) 3.o y 6.o
B) 2.o y 4.o
C) 3.o y 4.o
D) 1.o y 2.o
E) 3.o y 5.o
Habilidad
Lógico-Matemático
. . .
6
22. Una enciclopedia está compuesta por 7 tomos, 
los cuales se encuentran en fila en un estante. 
De ellos se sabe lo siguiente:
 • El tomo IV está a la izquierda del tomo I.
 • El tomo II está a la izquierda del tomo V.
 • El tomo VII está a la derecha del tomo IV.
 • El tomo III solo tiene 3 tomos a su derecha.
 • El tomo VII está a la izquierda del tomo II, 
entre el tomo III y el tomo V.
 • El tomo VI está entre el tomo I y el tomo III.
 Según estos datos, ¿qué tomos están adyacen-
tes al tomo III?
A) VI y V
B) VIIy II
C) VI y VII
D) I y VII
E) IV y VI
23. Se tiene la siguiente información:
 • El palto no es más alto que el nogal.
 • El manzano no es más bajo que el nogal.
 • El limonero no es más alto que el pero.
 • El manzano es más bajo que el limonero.
 Entonces se deduce que
A) el pero es el más alto.
B) el palto es el más bajo.
C) el manzano es más alto que el palto.
D) el pero es más alto que el nogal.
E) el nogal es más alto que el palto.
24. En un juego que consiste en lanzar dos dados 
a la vez, Néstor, Víctor, Mario y Javier obtuvie-
ron los siguientes resultados: 3; 5; 8 y 12, aun-
que no necesariamente en ese orden. Si Víctor 
no obtuvo ningún valor par en su lanzamiento 
y Néstor obtuvo un puntaje mayor que el de 
Javier, pero menor que el de Mario, ¿cuánto 
suman los puntajes de Javier y Néstor? 
A) 11 B) 13 C) 8
D) 15 E) 17
UNMSM 2010 - II
25. Ocho amigos se sientan alrededor de una 
mesa circular, en forma simétrica. De ellos se 
sabe lo siguiente:
 • Miguel se sienta junto a Esteban.
 • Pablo se sienta frente a Raúl.
 • Esteban se sienta a la izquierda de Javier.
 • César está junto a la derecha de Darío y 
frente a Arturo.
 • Raúl se sienta a la siniestra de Miguel.
 ¿Quién se sienta junto a la derecha de Arturo?
A) Miguel
B) Pablo
C) Raúl
D) Javier
E) Esteban
26. El señor X invita a almorzar a sus amigos P, D, 
F, G, J y N. Él está en buenas relaciones con 
los seis, pero
 I. P y F no se hablan desde niños.
 II. G, P y D son hinchas de equipos rivales.
 III. J le debe dinero a N.
 IV. G le quitó la novia a F.
 V. J y F son de diferentes tendencias políticas.
 VI. N y G han reñido por asuntos laborales. 
 El señor X quiere sentarse con sus amigos 
alrededor de una mesa circular, tal que cada 
comensal tenga a ambos lados personas con 
las que esté en buenas relaciones; además, 
el señor X quiere sentarse junto a D y sentar 
juntos a J y P. ¿Quiénes se sientan junto a N? 
Indique a uno de estos.
A) X B) P C) D
D) J E) G
Habilidad
Lógico-Matemático
7
27. Cuatro amigos que viven en distintas ciudades: 
(Mala, Huacho, Huaral y Barranca) deciden que 
durante un mes completo unos visiten a otros, 
por lo que las visitas de los tres primeros meses 
fueron las siguientes:
 Enero
 • Omar visitó a César.
 • El que vive en Barranca visitó a Andrés.
 Febrero
 • César visitó al que vive en Huaral.
 • Andrés visitó a Omar.
 Marzo
 • El que vive en Huacho visitó al que vive en 
Mala.
 • El que vive en Barranca visitó a Andrés.
 ¿Dónde vive Giancarlo y quién vive en Mala?
A) Huacho - Andrés
B) Barranca - Omar
C) Huaral - Andrés
D) Huacho - Omar
E) Barranca - Andrés
28. De tres amigas que van de viaje se sabe que una 
es rubia; otra, morena y la otra, china. Sus nom-
bres son Betty, Elsa y Sara, no necesariamente 
en ese orden. Además, cada una viaja a un país 
diferente de Europa: una viaja a Alemania; otra, 
a Francia y la otra, a España. Si cada una dió la 
siguiente información:
 La rubia: No voy a Francia ni a España.
 La morena: Mi nombre no es Elsa ni Sara.
 La china: Ni yo ni Elsa vamos a Francia.
 ¿cuál de las siguientes proposiciones es verda-
dera?
A) La china es Sara y se va a Francia.
B) La china es Betty y se va a España.
C) La morena es Betty y se va a España.
D) La rubia es Elsa y se va a Alemania.
E) La rubia es Sara y se va a España.
UNMSM 2009 - II
29. Se reúnen 4 profesores, cada uno de los 
cuales tiene distinta especialidad (Aritmética, 
Geometría, RM y RV); y practica un deporte 
distinto (atletismo, fútbol, basquet y natación), 
además viven en distintos distritos (Comas, 
SJL, VES y ATE). José es de Comas, el de ATE 
practica fútbol, el que practica atletismo es 
de RV, Carlos no es de Aritmética, Gustavo 
practica básquet, el de VES es geómetra, 
Miguel no practica fútbol, el que practica 
natación es de SJL.
 Determine las características de Miguel.
A) SJL, básquet y Aritmética
B) VES, natación y Aritmética
C) SJL, natación y Aritmética
D) SJL, básquet y RM
E) VES, básquet y RM
30. Tres ilustres personajes pasaron el íntegro de 
sus vidas (nacieron, vivieron y murieron) en 
tres lugares: Lima, Puno y Huancayo. Cada 
uno pasó cada etapa en un lugar distinto y, 
para cada etapa, las personas estaban en luga-
res distintos. Si el que nació en Lima murió en 
el mismo lugar en el que nació el que murió 
en Puno, determine las etapas (nació, vivió y 
murió, en ese orden) de una de las personas.
A) Puno, Huancayo y Lima
B) Lima, Huancayo y Puno
C) Puno, Lima y Huancayo
D) Huancayo, Puno y Lima
E) Puno, Lima y Puno
Habilidad
Lógico-Matemático
. . .
8
Verdades y mentiras
31. Miguel, Mario, Fernando y David son sospe-
chosos de haber robado una billetera en una 
reunión a la cual los cuatro habían asistido. 
Cuando se les interrogó acerca del robo, ellos 
afirmaron lo siguiente:
 Miguel: Yo no fui.
 Fernando: Mario fue.
 Mario: Fernando miente al decir que fui yo.
 David: Yo la robé.
 Si se sabe que solo uno robó la billetera y que 
tres mienten, ¿quién dice la verdad?
A) Miguel
B) Mario
C) David
D) Fernando
E) David y Fernando
UNMSM 2010 - I
32. El inspector Giancarlo fue requerido para in-
vestigar en un manicomio donde existían irre-
gularidades. En este manicomio solo existían 
pacientes y médicos (algunos pacientes no 
se comportaban como locos y algunos médi-
cos no se comportaban como cuerdos). Cada 
habitante del manicomio, paciente o médico, 
o bien estaba loco o bien era cuerdo. Lógica-
mente, los cuerdos solo decían proposiciones 
ciertas y los locos, proposiciones falsas.
 Giancarlo habló con 2 habitantes del manico-
mio A y B, y A le dijo que B está loco y B le dijo 
que A era médico.
 Entonces ¿a cuál de los dos se debe expulsar del 
manicomio por su comportamiento irregular?
A) B
B) A
C) ninguno
D) cualquiera de los dos
E) no se puede determinar
33. Tres estudiantes son llamados a testificar, pues 
uno de ellos tomó un portafolio sin permiso. 
Ellos dijeron lo siguiente:
 Sandra: Milagros tiene el portafolio.
 Rafael: Yo no fui.
 Milagros: Sandra tiene razón.
 Si por lo menos uno miente y al menos uno 
dice la verdad, además se sabe que quien lo 
posee debe estar mintiendo, ¿quién o quiénes 
tienen el portafolio?
A) Milagros
B) Rafael
C) Sandra
D) Milagros y Rafael
E) Sandra y Rafael
34. Nilda, Lucía, Miriam, Sonia y Ángela son ami-
gas y se sabe que solo una de ellas es casada. 
Al preguntárseles quién es la casada, ellas res-
pondieron:
 Nilda: Lucía es la casada.
 Lucía: Miriam es la casada.
 Miriam: Ángela es la casada.
 Sonia: Yo no soy casada.
 Ángela: Miriam mintió cuando dijo que yo soy 
casada.
 Si solamente es cierta una de las afirmaciones, 
¿quién es la casada?
A) Lucía
B) Miriam
C) Nilda
D) Sonia
E) Ángela
UNMSM 2009 - II
Habilidad
Lógico-Matemático
9
35. Cerca de Haití hay una isla en la que cierta can-
tidad de habitantes, debido a su forma de vida, 
se comportan como zombies. Pero no son 
unos zombies típicos, muertos vivientes, sino 
que se confunden con los humanos normales. 
Solo hay un pequeño detalle que los distingue: 
los zombies siempre mienten y los humanos 
normales siempre dicen la verdad. Además 
todos los nativos entienden nuestro idioma, 
pero solo pueden contestar a nuestras pregun-
tas con dos palabras, FA o CIL. Una significa SÍ 
y otra NO, pero no sabemos qué significados 
corresponde a cada una.
 Cierto día me encontré con un nativo y le pre-
gunté: ¿Es verdad que FA significa SÍ? Él me 
respondió: CIL. 
 ¿Qué significa CIL? y ¿el nativo era humano o 
zombie?
A) no se puede determinar - zombie
B) sí - zombie
C) sí - humano
D) no se puede determinar - humano
E) no se puede determinar
36. En una isla, que es habitada por dos clases de 
personas: los pícaros, que siempre mienten, y 
los caballeros, que dicen siempre la verdad, 
conversan Juan, Alberto y Carlos sobre lo si-
guiente.
 Juan: Todos nosotros somos pícaros.
 Alberto: Exactamente uno de nosotros es ca-
ballero.
 ¿A qué grupo pertenece Carlos?
A) caballeros
B) pícaros
C) honestos
D) al grupo de Alberto
E) no se puede precisar
37. Tres profesores son llamados a declarar por la 
desaparición de una caja de tizas. Ellos dieron 
los siguientes testimonios:
 Giancarlo: Jesús tiene razón.
 César: Yo no fui.
 Jesús: Giancarlo tiene la caja de tizas.
 Si por lo menos uno miente, al menos uno dice 
la verdad y solo uno es culpable, ¿quién o quié-
nes tienen la caja de tizas?
A) Jesús
B) César
C) Giancarlo
D) Giancarlo y Jesús
E) Jesús y César
38. Aníbal, a bordo de su lancha, llegó a una isla 
en la cual los forasteros siempre mienten y los 
nativos siempre dicen la verdad. Mientras fon-
deaba cerca de la costa, vio a tres hombres pa-
seando por la playa y preguntó: ¿Ustedes son 
nativos o forasteros? Uno de ellos contestó, 
pero el ruido del motor le impidió oírlo. El ins-
pector volvió a preguntar y el segundo hombre 
respondió: Ha dicho que es nativo y yo tam-
bién lo soy. Entonces el tercero añadió: El pri-
mero es forastero y el segundo también lo es. 
¿Cuántos eran forasteros y qué era el tercero 
que contestó?
A) 3 - forastero
B) 2 - nativo
C) 2 - forastero
D) 1 - forastero
E) 1 - nativo
Habilidad
Lógico-Matemático
. . .
10
39. Tres sospechosos del robo de una cartera 
(Eduardo, Paulo y Felipe) han sido capturados 
y puestos en una misma celda. Un policía de 
investigaciones los interroga en aquel lugar y 
obtiene la siguiente información:
 Eduardo: El ladrón está en esta celda.
 Paulo: El ladrón no está en esta celda.
 Felipe: El ladrón no es Eduardo.
 Si se sabe que solo uno de los sospechosos 
dice la verdad, ¿quién es el ladrón y quién es el 
que dice la verdad, respectivamente?
A) Eduardo y Eduardo
B) Eduardo y Felipe
C) Paulo y Daniel
D) Felipe y Eduardo
E) Eduardo y Paulo
Razonamiento inductivo
40. Cinco personas sospechosas de haber cometi-
do un hurto dieron sus versiones ante un juez.
 Alberto: Fue Braulio o Claudio.
 Braulio: Ni Félix ni yo lo hicimos.
 Claudio: Ustedes dos están mintiendo.
 David: No, uno de ellos está mintiendo y el 
otro está diciendo la verdad.
 Félix: No, David, eso no es cierto.
 Si el juez sabía que tres de ellos siempre 
decían la verdad y que dos siempre mentían, 
¿quién realizó el hurto?
A) Braulio
B) David
C) Alfredo
D) Claudio
E) Félix
41. Halle el valor de 
 A =
× + × + × + + × + ×
× + × + × + + × + ×
1 2 2 3 3 4 28 29 29 30
1 29 2 28 3 27 28 2 29 1
...
...
A) 1 B) 2/3 C) 3
D) 2 E) 4/3
42. Calcule la suma de cifras del resultado de operar
 
S = ×899 999 999 998
30 30
... ...
cifras cifras
� �� �� � �� ��
A) 271 B) 270 C) 540
D) 541 E) 269
43. Halle el valor de M.
 M = × × × +2010 2011 2013 2014 20122
 Dé como respuesta la suma de cifras del resul-
tado.
A) 21 B) 23 C) 22
D) 18 E) 24
44. Halle la suma de cifras del resultado de operar
 A = + +111 111 444 444 1
100 50
... ...
cifras cifras
��� �� � �� ��
A) 171 B) 148 C) 142
D) 151 E) 154
45. Calcule el valor de A en la siguiente expresión.
 A =
× + × + × + × + + × −
×
1 2 3 2 5 2 7 2 49 2 6
47 2
2 3 4 25
25
...
A) 1 B) 2 C) 5
D) 10 E) 25
46. Halle la suma del primer y último término de la 
fila 30 en el arreglo mostrado.
 
fila 1
fila 2
fila 3
fila 4
1 2
3 4 5
6 7 8 9
10 11 12 13 14
. .
 . . . .
. . .
A) 1200 B) 990 C) 930
D) 960 E) 900
Habilidad
Lógico-Matemático
11
47. Se tiene un conjunto de 100 números. 1; 1/2; 
1/3; 1/4; ...; 1/100, del cual se eliminan dos ele-
mentos cualesquiera a y b y se incluye, en el 
conjunto, el número (a+b+ab), de modo que 
queda un conjunto de 99 elementos. Después 
de 99 de estas operaciones, solo sobra un nú-
mero. Indique este último número.
A) 99 B) 100 C) 2
D) 1 E) 4
48. Halle el número total de arcos simples gene-
rados por los puntos de tangencia que se en-
cuentran en el gráfico.
 1 2 3 19 20 21. . .
. . .
. . ..
 . 
. . . 
.
. . 
.
A) 1180 
B) 1240 
C) 1260
D) 1280 
E) 1300
49. Halle el número de cerillos en el siguiente grá-
fico.
A) 1059 
1 2 3 21 22 23
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
B) 1201
C) 1093
D) 1357
E) 1151
50. En el siguiente arreglo, ¿de cuántas formas 
diferentes se puede leer la palabra NARANJA 
uniendo letras contiguas?
 
N
A A
R R R
A A A A
N N N N N
J J J J J J
A A A A A A A
A) 128 B) 320 C) 288
D) 256 E) 64
Claves
01 - C 
02 - D 
03 - B 
04 - C 
05 - D 
06 - A 
07 - C 
08 - B
09 - E 
10 - D 
11 - D 
12 - D 
13 - B 
14 - C 
15 - C 
16 - A
17 - C 
18 - C 
19 - D 
20 - D 
21 - A 
22 - C 
23 - D 
24 - C
25 - B 
26 - B 
27 - E 
28 - D 
29 - C 
30 - A 
31 - B 
32 - B
33 - C 
34 - D 
35 - A 
36 - B 
37 - C 
38 - D 
39 - A 
40 - D
41 - D 
42 - A 
43 - B 
44 - D 
45 - B 
46 - D 
47 - A 
48 - C
49 - E 
50 - D
Aritmética
. . .
2
Razones
1. La relación de las edades de 3 personas hace 
15 años era de 2; 3 y 5, y dentro de 18 años la 
relación del mayor y menor será de 7 a 5. Halle 
la edad intermedia dentro de 5 años.
A) 18 B) 33 C) 38
D) 51 E) 56
2. En una tienda hay naranjas, duraznos y man-
gos en la relación de 3; 5 y 7, respectivamen-
te. El peso de tres naranjas equivale al de dos 
duraznos, además, tres mangos pesan tanto 
como cuatro naranjas. Si se observó que el 
peso total de duraznos excede en 162 kilogra-
mos al peso total de naranjas, halle el peso to-
tal de los mangos.
A) 280 kg B) 392 kg C) 224 kg
D) 336 kg E) 140 kg
3. De un recipiente que contiene agua y vino, se 
extraen 30 litros, de los cuales 18 litros son de 
vino, por lo que en el recipiente están quedan-
do 36 litros de agua con m litros de vino. Lue-
go, se aumenta n litros de agua a lo que queda 
en el recipiente, de manera que la relación de 
las cantidades de agua y vino se invierte con 
respecto a la inicial. Calcule m+n.
A) 86 B) 54 C) 84
D) 99 E) 78
4. Una competencia se inició con una determi-
nada cantidad de personas entre hombres y 
mujeres. Luego 8 mujeres salieron de la com-
petencia quedando 2 hombres por cada mujer. 
Finalmente se retiraron 20 hombres y queda-
ron 3 mujeres por cada hombre. ¿Con cuántas 
personas se inició la competencia?
A) 40 B) 44 C) 50
D) 48 E) 52
UNMSM 2007 - I
5. En una reunión, se observa que el número de 
varones que bailan y mujeres que no bailan 
están en la relación de 3 a 2, y el número de 
varones que no bailan con el total de mujeres 
está en la relación de 3 a 8. Si luego de cierto 
tiempo llegan 15 parejas, entonces la relación 
de varones y mujeres es de 42 a 43. Calcule el 
número de varones que bailan al inicio.
A) 120 B) 30 C) 75
D) 60 E) 15
6. Carmen y Betty parten de la ciudad N hacia la 
ciudad M y José parte de la ciudad M hacia la 
ciudad N, con velocidades de 3; 5 y 6, respec-
tivamente.Si cuando Betty se encuentra con 
José, en ese momento, a Carmen le estarían 
faltando 54 m para encontrarse con José, calcu-
le la distancia que le falta a Betty para llegar a su 
destino cuando se encuentran Carmen y José.
A) 132 m B) 130 m C) 128 m
D) 134 m E) 136 m
7. En un examen de 140 preguntas se observa 
que por cada pregunta correcta se asignan 4 
puntos; por cada pregunta mal contestada, se 
restan 3 puntos, y por cada pregunta no con-
testada, se resta 1 punto. Un alumno indica 
que la relación de las preguntas que contesta 
correctamente con las que deja en blanco es 
de 7 a 2, y las que contesta incorrectamente 
con las que deja en blanco es de 4 a 3. Deter-
mine su nota en la escala vigesimal.
A) 7,09 B) 7,71 C) 7,20
D) 12,40 E) 10,80
Aritmética
3
8. En un corral solo hay gallinas, conejos y cuyes. 
Se sabe que la relación entre la cantidad de 
gallinas y conejos es de 3 a 5, y la relación en-
tre la cantidad de conejos y cuyes es de 7 a 11. 
Calcule la relación entre la cantidad total de 
patas y el número total de cabezas en el corral.
A) 124/63
B) 134/37
C) 134/47
D) 114/17
E) 29/23
Proporción e igualdad de razones geométricas 
equivalentes
9. En una proporción aritmética discreta se cum-
ple que el producto de los antecedentes es 135 
y el de los consecuentes es 40. Calcule la suma 
de los términos de la proporción, si la razón 
aritmética es 5.
A) 42 B) 40 C) 30
D) 38 E) 36
10. El valor de la razón de A y B es 3/2; pero si al 
antecedente se le resta 20 unidades, se forma 
una proporción continua cuya razón de pro-
porcionalidad es inversa a la razón de A y B. 
Calcule la diferencia de términos A y B.
A) 16
B) 12
C) 14
D) 48
E) 24
11. En una proporción continua de constante me-
nor que dos, los términos extremos suman 26 y 
la diferencia de los últimos términos es 4. Cal-
cule la media proporcional.
A) 20 B) 16 C) 8
D) 12 E) 18
12. En una serie continua de tres razones, se cum-
ple que la suma de los dos primeros antece-
dentes y la de los últimos consecuentes está 
en la relación de 16/25, además, la diferencia 
de los términos de la última razón es 75. ¿Cuál 
es el tercer término de dicha serie?
A) 420 B) 375 C) 192
D) 240 E) 300
13. Se cumple que
 
a
b
c
d
e
f
K= = = −2 1
 además
 ac e
bd f
d
c
+
+
= ×
 
2
2
1
27
 Calcule 5 3
3 5
a e
f b
K
+
+
+ .
A) 2/3 B) 1 C) 4/3
D) 2 E) 5/3
14. Se cumple que
 
b
a
a c
b
a b c= = { } ⊂ +4
27 2
; ; ; Z
 Calcule a+b+c si b es mínimo.
A) 52 B) 35 C) 53
D) 50 E) 51
15. En una proporción geométrica continua, la 
suma de los términos medios es igual a los 
5/13 de la suma de los extremos. Si la razón de 
la proporción es menor que uno, halle dicha 
razón.
A) 1/7 B) 2/7 C) 2/3
D) 1/3 E) 1/5
UNMSM 2004 - I
Aritmética
. . .
4
16. Sean M, A, T y E números positivos, tales que 
9T=2E; 5M=3A y 10E=9A. Ordene de menor a 
mayor M, A, T y E.
A) ETMA B) MATE C) TMEA
D) AEMT E) EATM
UNMSM 2007 - I
Regla del tanto por ciento
17. Durante la primera cuarta parte de la Liga, un 
equipo de fútbol ha ganado el 40% de los pun-
tos posibles. ¿Qué porcentaje de puntos debe 
ganar en el resto de la Liga para que al finali-
zarla tenga el 70% de los puntos posibles?
A) 30% B) 58% C) 90%
D) 58% E) 80%
18. Un viaje de excursión de un colegio duró 4 
días. El primer día recorrieron el 20% de su re-
corrido total; el segundo día, el 30% de lo que 
faltaba por recorrer en el primer día; el tercer 
día, el 50% de lo que ya recorrieron los dos pri-
meros días y el último día recorrieron lo que 
les faltaba que es 244,8 km. ¿De cuántos kiló-
metros fue su recorrido total?
A) 1320 B) 850 C) 720
D) 980 E) 565
19. En el año 2007, la producción de papa y camo-
te en Huancayo estuvo en la relación de 3 a 2. 
Si la producción de papa para el año 2008 dis-
minuyó en un 15% y la de camote aumentó en 
un 20%, ¿en qué tanto por ciento aumentó o 
disminuyó la producción de papa y camote en 
el año 2008 con respecto al 2007?
A) aumentó en 1%
B) disminuyó en un 1%
C) aumentó en 10%
D) disminuyó en 10%
E) aumentó en un 2%
20. Se tiene un recipiente con cierto líquido. Si se 
extrae el 25% de lo que no se extrae y luego de 
lo que se ha extraído se devuelve el 60% de lo 
que no se devuelve, obteniendo al final 490 li-
tros de dicho líquido, halle cuántos litros había 
inicialmente en el recipiente.
A) 280 B) 420 C) 520
D) 560 E) 700
21. En un supermercado tienen tres marcas de 
embutidos. Los de la marca A cuestan 50% 
más que los de la marca B, pero contienen un 
10% menos de embutido que los de la marca 
C. Los de la marca C contienen 50% más que 
los de la marca B y cuestan 25% más que A. 
¿Cuál es la marca con el precio más alto y qué 
marca tiene menos contenido de embutidos?
A) C; C B) C; B C) A; B
D) C; A E) B; C
22. ¿A qué precio se debe fijar un DVD para que 
al venderlo con un descuento del 20% aún se 
gane el 10% si la rebaja excede en S/.35 a la 
ganancia obtenida?
A) S/.320 B) S/.285 C) S/.275
D) S/.300 E) S/.450
23. Se disminuye el ancho de un afiche rectangu-
lar en 10% y el largo en 30%. ¿Qué porcentaje 
del área original representa el área del afiche 
restante?
A) 45% B) 77% C) 63%
D) 70% E) 56%
UNMSM 2011- I
Aritmética
5
24. En un país africano, la inflación en el mes de 
setiembre fue del 10% y la inflación en el mes 
de octubre, 5%. ¿Cuál es la inflación acumula-
da durante estos dos meses?
A) 12,5% B) 15% C) 15,5%
D) 10,5% E) 16%
UNMSM 2010 - I
Magnitudes proporcionales I
25. La longitud de un resorte es 18 cm. Si soporta 
un peso de 64 g, su longitud sería 25 cm. ¿Cuál 
sería su longitud si soporta un peso que es tres 
veces más que el anterior? Considere que su 
elongación es DP a la raíz cuadrada del peso 
que soporta.
A) 14 cm
B) 32 cm
C) 25 cm
D) 30 cm
E) 24 cm
26. Un señor contrata a un empleado por un año, 
al cabo del cual le debe pagar S/.9600, además 
de un televisor. Pero a los 10 meses despide 
al empleado, pagándole S/.7900 y el televisor. 
¿Cuánto costaba el televisor?
A) S/.560 B) S/.500 C) S/.720
D) S/.600 E) S/.480
27. Treinta y seis obreros pueden realizar una obra 
en 60 días. Cuando avanzaron la tercera par-
te de la obra, se enfermaron n obreros, por lo 
que la obra se entregó con 5 días de retraso. 
Calcule n.
A) 12 B) 8 C) 5
D) 4 E) 6
28. Dadas tres magnitudes A, B y C se cumple que
 A BDP ; (C: constante)
 A CIP ; (B: constante)
 ¿Qué sucede con el valor de A cuando B se 
cuadriplica y C disminuye en 1/3?
A) aumenta en 2/9
B) disminuye en 7/9
C) disminuye en 2/9
D) aumenta en 7/2
E) disminuye en 1/3
29. El pago semanal que se le hace a un operario 
de máquina es DP al total de horas trabajadas 
e IP al total de minutos de tardanza. La sema-
na pasada un obrero que tuvo 50 minutos de 
tardanza recibió S/.225. Esta semana tiene 40 
minutos de tardanza, ha trabajado 32 horas y 
recibió en soles un equivalente a 10 veces el 
total de horas que trabajó la semana pasada. 
¿Cuántos soles de más recibió esta semana 
con respecto a la semana anterior?
A) 75 B) 50 C) 40
D) 80 E) 25
30. El precio de un celular varía en forma propor-
cional al número de funciones que posee e 
inversamente proporcional al cuadrado de su 
peso, y también es DP a la raíz cuadrada de su 
capacidad. Si un celular que pesa 120 g cues-
ta S/.150 y tiene 256 Mb de capacidad, ¿cuánto 
pesará otro celular que cuesta S/.2700 y tiene 
el doble de funciones que el primero y una 
memoria de 16 Mb?
A) 90 g
B) 100 g
C) 60 g
D) 10 g
E) 20 g
Aritmética
. . .
6
31. Si 7 hombres consumen 18 racionesen 2 días, 
calcule cuántas raciones consumen 4 hom-
bres en 7 días.
A) 36 B) 37 C) 38
D) 39 E) 40
UNMSM 2006 - I
32. Si un cuerpo parte del reposo, se cumple que 
la distancia recorrida es proporcional al cua-
drado del tiempo empleado en recorrer dicha 
distancia. Si un cuerpo recorre 40 m en 25 se-
gundos, calcule qué tiempo empleará en reco-
rrer 10 m.
A) 10 s
B) 40 s
C) 12,5 s
D) 12 s
E) 25 s
Magnitudes proporcionales II
33. Del sistema de engranajes mostrado en el grá-
fico, A; B; C; D y E tienen 20; 10; 15; 12 y 18 
dientes, respectivamente. Si en 4 minutos 
los engranajes B y E dan 208 vueltas en total, 
¿cuántos minutos deben transcurrir para que 
entre los engranajes A y D den 126 vueltas?
A CB
D
E
A) 2 B) 4 C) 5
D) 6 E) 3
34. Una obra fue planificada para ser realizada en 
12 días con 60 obreros a razón de 6 h/d; pero 
cuando ya habían realizado la cuarta parte de 
la obra, se les comunica que la obra aumenta-
rá en un 50% de lo que inicialmente se había 
planteado; sin embargo, el tiempo para su cul-
minación no debía cambiar. ¿Cuántos obreros 
se deben contratar si desde ese instante todos 
trabajan a razón de 8 h/d para terminar en el 
plazo establecido?
A) 12 B) 16 C) 15
D) 30 E) 20
35. Un obra fue dividida en dos partes iguales. Si 
una de las partes fue realizada por 10 obreros 
de la cuadrilla A en 8 días y la otra por 20 obre-
ros de la cuadrilla B en 6 días, ¿en cuántos días 
podrían realizar toda la obra 4 obreros de la 
cuadrilla A y 2 obreros de la cuadrilla B?
A) 15
B) 30
C) 20
D) 24
E) 32
36. Un padre dispuso que su herencia sea reparti-
da entre sus tres hijos de forma proporcional a 
la cantidad de hijos que tengan estos. Si ellos 
tienen 3; 4 y 2 hijos, pero al momento del re-
parto, por equivocación, lo hicieron IP por lo 
que uno de ellos se benefició en S/.1400, cal-
cule la suma de cifras de la herencia.
A) 18
B) 9
C) 12
D) 15
E) 14
Aritmética
7
37. Dos pastores que llevan 5 y 3 panes, respecti-
vamente, se encuentran con un cazador ham-
briento y comparten con este los 8 panes en 
partes iguales. Si el cazador pagó S/.0,8 por 
su parte, ¿cómo deben repartirse los pastores 
este pago?
A) S/.0,5 y S/.0,3
B) S/.0,6 y S/.0,2
C) S/.0,4 y S/.0,4
D) S/.0,7 y S/.0,1
E) S/.0,65 y S/.0,15
38. Al comenzar un negocio, Santiago aportó S/.6000 
y Verónica S/.4000. Luego de 4 meses, Santiago 
aumentó su capital con S/.2000 y transcurridos 
2 meses más Verónica retiró S/.1000 de su capi-
tal y Santiago retiró S/.3000. Si el negocio duró 
un año, al término del cual entre ganancia total 
y capitales finales tienen S/.10 560, ¿cuál es la 
diferencia de sus ganancias?
A) S/.320 B) S/.600 C) S/.720
D) S/.640 E) S/.420
39. Dos bombas trabajando 5 horas diarias durante 
4 días logran bajar el nivel del agua en 65 cm. 
¿En cuántos días 3 bombas similares bajarán 
el nivel en 78 cm funcionando 8 horas diarias?
A) 1,5 días
B) 3,5 días
C) 2,5 días
D) 3 días
E) 2 días
UNMSM 2004 - II
40. Si 10 hombres pueden hacer una obra en 6 
días, mientras que 15 mujeres harían la mis-
ma obra en 8 días, ¿qué tiempo emplearían en 
hacer la misma obra 4 hombres y 6 mujeres?
A) 55/12 días
B) 83/9 días
C) 12 días
D) 8 días
E) 60/7 días
UNMSM 2004 - II
Claves
01 - C 
02 - D 
03 - D 
04 - B 
05 - A 
06 - A 
07 - E 
08 - B
09 - D 
10 - B 
11 - D 
12 - D 
13 - B 
14 - C 
15 - E 
16 - C
17 - E 
18 - C 
19 - B 
20 - D 
21 - D 
22 - C 
23 - C 
24 - C
25 - B 
26 - D 
27 - D 
28 - D 
29 - A 
30 - E 
31 - A 
32 - C
33 - E 
34 - C 
35 - B 
36 - A 
37 - D 
38 - D 
39 - E 
40 - E
. . .
2
Álgebra
Potenciación en R
1. Sea x=6,23 · (10)23
 Simplifique 
2 3 7 2
7
4 2 1
2 1
−
( ) −
+
x x
x
· ·
A) 49 
B) 98 
C) 1/49
D) 2/49 
E) 2/7
2. Si al reducir
 
( )( )...( )( )
( )
2 2 2 2
1 1
1
3
+ + + +
  +
+
n n n n
a a
n vecesupcurlybracketleft upcurlybracketmid����� upcurlybracketright�����
  + +  
+
3 3
2
1
...
( )
a
n veces
� ����� �����
 se obtiene 1
5
3 
−
· an
 calcule el valor de 
1
2
 
−n
A) 1/16 
B) 1/8 
C) 8
D) 16 
E) 32
3. Sean x e y números reales mayores que la 
unidad, de modo que xy=yx ∧ xm=yn. Calcule 
el valor de y
x
A) mn B) m C) m/n
D) n E) n/m
4. Indique el menor valor de m+n si se sabe que 
 x x
n
2 4
2
215( )( )( ) =...
 
3 27
1
9
2 3m m
m( ) =  
−
−
A) 8 B) – 5 C) 4
D) 2 E) 9
5. Dado el conjunto
 
S x x x= ∈ =


−
N
1
1
2
 indique el cardinal de S.
A) 0 
B) 1 
C) 2
D) 3 
E) más de 3
6. Luego de simplificar la expresión
 x x x
3 54
1
17 4( )  ·
 halle el exponente final de x.
A) 1/2 B) 1/3 C) 1/6
D) 5/6 E) 1
7. Si al reducir 125 729 123 x ∧ x > 0 se obtiene 
axb, indique el valor de a+b.
A) 18 B) 16 C) 20
D) 15 E) 9
8. ¿Qué valor debe tomar m para que se verifique 
la igualdad
 
( , ) ( , ) , ?0 1 0 01 0 001 102− − =m m
A) 11/12 
B) –11/15 
C) 11/8
D) 12/11 
E) –11/12
UNMSM 2009 - I
Productos notables
9. Indique el valor de x
x
4
4
21
+



 si se sabe que 
x
x
+ =
1
2.
A) 0 B) 2 C) 4
D) 1 E) 16
3
Álgebra
10. Indique cuáles de las siguientes expresiones 
son trinomio cuadrado perfecto.
 I. 16a2+48a+36
 II. 12 12 3 92 2a ab b+ +
 III. x x2
1
4
− +
A) I ∧ II
B) I ∧ III
C) solo II
D) todas
E) ninguna
11. Se define el operador
 
f n
n n
( ) =
−



 + +



1 22
1 2
2
 Determine el valor de 
 f(0)+f(1)+f(2)
A) 11/2 
B) 9/2 
C) 7/2
D) 9/4 
E) 13/4
12. Dadas las igualdades
 x y= + = −5 3 5 3;
 calcule el valor de 
xy
x y+
.
A) 1/2 B) 1/4 C) 1/8
D) 1/16 E) 1
13. Respecto al número J.
 J =
+
+
+
+
+
+
+
2
3 1
2
3 5
2
5 7
2
7 9
A) J=3 – 3
B) J es un número irracional.
C) J es la de la forma a 2; a≠0.
D) J es un número racional no entero.
E) J es un número entero.
14. Reduzca la expresión M.
 
M
a b
a b
a b
a b
a b
a b
=
+
−
+
−
+
  ++( )




( )2
2 22
A) a b
a b
−
+
 
B) 
( )a b
a b
−
−
2
 
C) 
a b
a b
+
−
D) 1 
E) a+b
15. Se sabe que m n+ = 33 y mn = 93 . Determine 
el valor de m n3 3
1
+( )−
A) –24 
B) –12 
C) –1/12
D) –1/6 
E) –1/18
16. Teniendo en cuenta que x verifica la igualdad 
x2 – 2x+4=0, halle el valor de x9.
A) –1024 
B) –512 
C) –1
D) 2008 
E) 2048
Miscelánea de problemas
17. Si 264=aa y 3 3
54
= ( )b b
 halle 3a+2b.
A) 48 B) 96 C) 66
D) 99 E) 44
UNMSM 2010 - II
. . .
4
Álgebra
18. Determine un valor de x que verifica la igual-
dad 9x –12 · 3x=– 27
A) –1 B) –2 C) 2
D) 3 E) – 4
19. Si se cumple que
 a = + + +2 2 2 ...
 b = 18 18 18
 determine el valor numérico de
 a b b a
3 3
A) 2 B) 3 C) 12
D) 6 E) 18
20. Sean x, y y z números negativos de modo que 
 (x+y)2=z2+1
 (x+y)2=y2+3
 (z+y)2=x2+5
 Entonces, ¿cuál es el valor de x+y+z?
A) – 3 B) − 3 C) – 5
D) – 2 E) –1
21. Calcule el valor de 
 
2 43
2
3
2
−
+
+
−
−
x
x x
y
y y
 si se sabe que x y= − ∧ = +3 1 3 13 3
A) 3 B) 9 C) 0
D) 6 E) – 3
22. Simplifique la siguiente expresión.
 
(sen cos )( sen cos )
sen cos
α α α α
α α
− +
−
1
3 3
 Sugerencia: use productosnotables.
A) sen2a+1
B) sen2a –1
C) sen3a
D) cos3a
E) sen2a+cos2a
23. Si la suma de dos números es 5 y la suma de 
sus cubos es 95, determine la suma de sus 
cuadrados.
A) 21 B) 20 C) 23
D) 25 E) 24
24. Si se cumple que
 (xy)2+(yz)2+(zx)2=xyz(x+y+z)
 calcule la suma de las cifras de
 x y
z
+ 
10
, considere {x; y; z} ⊂ R
A) 5 B) 6 C) 7
D) 8 E) 10
Polinomios
25. Dada la expresión f
x
xx( )
=
−
+
1
1
, calcule el valor 
de 
f f
f f
( ) ( )
( ( ))
·2 2
2
− .
A) –1/2 B) –2 C) –1
D) 1/2 E) 2
26. Sea f una expresión matemática de modo que 
f(x)=f(x –1)+f(x – 2).
 Calcule el valor de f(2) – f(0) si se sabe que 
f(1)=4.
A) –4 B) 1 C) 0
D) 4 E) 2
27. Dados los polinomios
 f(x – 2)=x
2+1 y h(x+1)=3x+1
 calcule h(f(7))+h(– 5).
A) 227 B) –17 C) 193
D) 28 E) 7
5
Álgebra
28. En el binomio 
 P(x)=nx
3+3x+xn
 se cumple que P(2)=4k donde k ∈ Z
+. 
 Determine la suma de coeficientes de dicho 
polinomio.
A) 7 B) 5 C) 4
D) 6 E) 8
29. En el polinomio P(x)=(2x+1)
n+(3x+1)n
 se cumple que la suma de coeficientes excede 
en 23 al término independiente entonces, 
¿cuál es el valor de n+3?
A) 4 B) 2 C) 3
D) 7 E) 5
30. R y S son dos expresiones tales que 
 R(S(x)–1)=x y S(x+2)=2x+5
 evalúe R(S(1,5)).
A) 1/2 B) 3/2 C) 2
D) 5/2 E) 3
31. Dado el polinomio P(x+2)=ax
2+bx – c, si 
P(x)=3x
2 – 5x – 2, entonces, ¿cuál es el valor de 
abc?
A) 12 B) 6 C) 0
D) – 8 E) –10
32. Dada la expresión matemática
 S(x2+1)=x
2+x; x ≥ 0
 halle S(x).
A) S(x)=x+1
B) S x xx( ) = + −1
C) S x xx( ) = − +1
D) S x xx( ) = + − +1 1
E) S x xx( ) = + − −1 1
División de polinomios
33. Dada la división exacta
 
ax bx cx
x
3 2
2
6
4
+ + −
−
 determine el valor de 4a+2b+c.
A) 6 B) 3 C) 4
D) 5 E) 9
34. Calcule el resto de la siguiente división.
 
( )
( )( )
x x
x x
+ + +
+ +
5 1
4 6
2013 2
A) – 9x –18
B) 9x –18
C) –10x+22
D) – 9x+8
E) 9x – 8
35. Dado el esquema de Horner
 
1 11 1 5
3 6
3 1 1
b j
c
a e f
h j
d k
− −
 calcule el valor de
 (c+d+e)2012+(a+b)2 – (j+k)2
A) 20 
B) 18 
C) 26
D) 24 
E) 25
36. Calcule el resto de la siguiente división, si se 
sabe que no es lineal.
 
8 4 6 1
2 2 1
4 3 2 2
2
x x x ax a
x x
+ − + + +
− +
A) 26 B) 37 C) 16
D) 17 E) 50
. . .
6
Álgebra
Claves
01 - D 
02 - C 
03 - C 
04 - D 
05 - C 
06 - E 
07 - B 
08 - A
09 - C 
10 - D 
11 - B 
12 - B 
13 - E 
14 - C 
15 - D 
16 - B
17 - C 
18 - C 
19 - D 
20 - A 
21 - D 
22 - E 
23 - A 
24 - C
25 - B 
26 - D 
27 - A 
28 - B 
29 - E 
30 - C 
31 - C 
32 - E
33 - B 
34 - A 
35 - E 
36 - C 
37 - D 
38 - A 
39 - E 
40 - E
37. Dada la división
 
2 7 10
2 1
4 3 2x x ax bx
x
+ − + +
+
 calcule el valor de a+b si se sabe que los co-
eficientes del cociente son números impares 
consecutivos.
A) – 6 B) 32 C) 22
D) 6 E) 1
38. Dado el polinomio
 P x x xx( ) = + −( ) − +5 33 2 2 2 2 7
 calcule el valor de P 2 1−( ).
A) 6 
B) 3 2 
C) − 2
D) 4 
E) 7
39. Calcule el residuo en la siguiente división al-
gebraica.
 
( )2 5
4 12
4 2x x
x
+ +
+
A) – 3 B) 0 C) x+1
D) 7 E) 10
40. Si R(x) es el resto de la división
 
2 4 3
1
7 5 4 2
2
x x x x
x
− + − +
−
 indique lo incorrecto
A) R(0)=3
B) R(– x)=2x+3
C) R(x)=2x+3
D) R(–1)=5
E) R(x)= – 2x+3
Geometría
. . .
2
Triángulos I
1. En el gráfico, calcule x.
 
25º
α
αx
A) 50º B) 25º C) 30º
D) 40º E) 20º
2. Según el gráfico, a+b=210º, calcule x+y.
 
α
β
x
y
A) 140º B) 150º C) 210º
D) 130º E) 190º
3. Del gráfico, calcule x.
 
160º
α
θ
θx
x – α
A) 60º B) 70º C) 80º
D) 75º E) 55º
4. Del gráfico, calcule x+y+z.
 
α
α
x
z
y
A) 180º B) 210º C) 250º
D) 270º E) 360º
5. Del gráfico, calcule x.
 
60º
20º
θ
θ
x
y
A) 240º B) 190º C) 200º
D) 300º E) 260º
6. Del gráfico que se muestra, calcule x si se sabe 
que AB // PQ.
 
A
Bx
Q
P
αααα
25º25º
30º30º
A) 55º B) 60º C) 65º
D) 50º E) 70º
Geometría
3
7. Del gráfico que se muestra
 2(m ABD)+m BCA=140º, calcule x.
 A
B
CD
P
x
αα
3θ3θ
2θ2θ
60º60º
αα
A) 41º B) 42º C) 43º
D) 44º E) 45º
8. En un triángulo dos de sus lados son 2 y 4, cal-
cule la suma de valores enteros que puede to-
mar el tercer lado si el triángulo es escaleno.
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
Triángulos II
9. En un triángulo ABC, m ABC=110, se ubican 
los puntos E y F en AC, tal que F en AE, de ma-
nera que AE=AB y CF=CB. Calcule m EBF.
A) 55º B) 30º C) 25º
D) 40º E) 35º
10. Se muestra un triángulo equilátero ABC y un 
triángulo isósceles ADE de base DE. Calcule 
x/y.
 A D C
E
B
x
y
A) 1 B) 1/2 C) 2
D) 1/3 E) 2/3
11. En el gráfico el triángulo BPC es isósceles de 
base BP. Calcule m PBQ.
 
2α
α
A P Q
B
C
A) 30º
B) 45º
C) 60º
D) 37º
E) 53º
12. En el triángulo ABC, se traza la bisectriz in-
terior BD, de modo que AB=3 y AD=2. Si 
m BAC=2(m BCA), calcule BC.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 1 E) 6
13. Los dos ángulos de un triángulo miden 24º y 
66º, calcule la medida del ángulo formado por 
la altura y la bisectriz interior trazadas desde el 
vértice del ángulo recto.
A) 42º
B) 38º
C) 48º
D) 56º
E) 21º
Geometría
. . .
4
14. Según el gráfico, calcule x.
 
x
ββ ββ
2α2α
ααφφφφ
80º80º
A) 80º B) 100º C) 115º
D) 120º E) 160º
15. En el gráfico, 2b – a=70º, calcule x.
 
ββ
ββ
bb
aa
xx
θθ
θθ
A) 15º B) 25º C) 30º
D) 35º E) 40º
16. En el gráfico q+w=220º, calcule x.
 
5x
30º
αα β β
ω
θ
A) 20º B) 15º C) 30º
D) 25º E) 18º
Congruencia de triángulos
17. En el gráfico las regiones sombreadas son con-
gruentes, calcule x.
 
xx
A) 22º30’ B) 30º C) 36º
D) 45º E) 54º
18. Del gráfico las regiones sombreadas son con-
gruentes, calcule x.
 
ββ
ββ
x
A) 53º B) 75º C) 63º
D) 60º E) 72º
19. Del gráfico, AB=BC, BD=BE, halle x.
A) 10º 
65º
x
A B
D
C
E
B) 15º
C) 20º
D) 25º
E) 30º
Geometría
5
20. Se tiene un triángulo isósceles ABC, de base 
AC, se traza la ceviana interior BD, tal que, 
CD=AD+BD, calcule m ADB.
A) 106º
B) 120º 
C) 127º
D) 135º
E) 143º
21. En el gráfico, AD=BE. Calcule DE / BD.
 
2α
α
A D
E
B
A) 1/3 B) 2/5 C) 3/4
D) 2/3 E) 1/2
22. Del gráfico, ABC es un triángulo equilátero 
AD=CE, calcule x+y.
 A D C
E
B
x
y
A) 60º
B) 100º
C) 120º
D) 135º
E) 150º
23. En la prolongación de AC y en la región exterior 
relativa a BC, de un triángulo ABC se ubican M 
y N, tal que AB=CM, m BAC=60º y el triángulo 
BCN es equilátero. Calcule m CMN.
A) 30º B) 45º C) 60º
D) 75º E) 90º
24. Se ubica M y N en la región interior y exterior 
relativa de AC, respectivamente, de un triángu-
lo ABC (AB=AC), tal que AM=NC y BM=AN, 
m MAN=70º. Calcule la medida entre CN
���
 y 
BM
� ��
.
A) 40º
B) 70º
C) 80º
D) 90º
E) 100º
Aplicaciones de la congruencia
25. Del gráfico, L
��
 es mediatriz de AB, BE=µ, cal-
cule AC.
 
C A B
E
90º+α
α
θ
θ
L
A) µ
B) 2µ
C) µ/2
D) µ/4
E)  2
Geometría
. . .
6
26. Según el gráfico, AB=7, AC=17. Calcule PB.
 
β
βθ
θ
A C
B
P
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 2
27. Del gráfico, calcule AB / BC.
 
A
B
C
2α
90º+α
α
A) 1 B) 2 C) 1/2
D) 2 E) 3
28. Del gráfico, B es punto medio de AD, halle 
BC / AE.
 
2θ θ
A B C
E
D
A) 1 B) 2 C) 2
D) 
1
2
 E) 
2
2
29. En el gráfico, calcule q si se sabe
 que AC=2(BM) y a+b=60º.
 A
B
C
M
α
θ
ββ
A) 20º B) 30º C) 40º
D) 45º E) 60º
30. En la región externa del lado AC del trián-
gulo isósceles ABC (AB=BC=8) y AC=6, se 
ubica el punto P, de modo que
 m CPB=90º, m ABC=4(m PCA).
 Calcule la distancia de P al punto medio de AB.
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 8
31. En el gráfico AM=MQ, PN=NC. Calcule MN si 
AP=2, QC=2 3.
 A
B
P Q
M N
x
C
A) 2 B) 3 C) 2
D) 5 E) 6
Geometría
7
32. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) se 
traza la mediana BM, las mediatrices de AC y 
BM son concurrentes con BC. Calcule m ACB.
A) 15º B) 30º C) 53º/2
D) 45º E) 60º
Cuadriláteros
33. En un trapezoide ABCD, se tiene que AB=BC 
y m ABC=2(m ADC)=90º. Si AD=20 cm, 
calcule la distancia de B a AD.
A) 6 cm B) 8 cm C) 7 cm
D) 9 cm E) 10 cm
34. Se tiene un trapezoide ABCD, BC=CD=AD, 
además, la mediatriz de AB contiene a D. Cal-
cule m BCD.
A) 30º B) 60º C) 127º/2
D) 75º E) 90º
35. En el cuadrilátero PQRS, PQ= 12 3 y QR = 8 3. 
Halle PS+RS. 
 
120º
P Q
S
R
A) 20 B) 60 C) 50
D) 40 E) 30
UNMSM 2004 - I
36. En un trapecio isósceles ABCD, AB=CD y se 
traza la altura CH. Si AH – 2(HD)=10, calcule la 
distancia del punto medio de BD a CH.
A) 2,5 B) 4 C) 5
D) 10 E) 20
37. En el trapecio ABCD, BD=AD. Si el ángulo DCB 
mide 110º y el ángulo CBD mide 30º, ¿cuál es 
la medida del ángulo ADB?
 A B
D C
A) 90º
B) 100º
C) 80º
D) 110º
E) 120º
UNMSM 2004 - I
38. En el gráfico ABCD es un trapecio cuya base 
menor es BC, AB=10, BC=14, CD=16 y AD=24. 
Calcule a.
 A
B C
D
A) 30º B) 45º C) 37º
D) 37º/2 E) 74º
Geometría
. . .
8
39. Se tiene un romboide ABCD, de centro O, en 
el cual AB=BD, además, en AB se ubica M y 
en AD se ubican N y P, tal que OMNP es un 
cuadrado. Calcule m ABD.
A) 16º
B) 32º
C) 37º
D) 53º
E) 60º
40. En un cuadrado ABCD se ubica Q, en la región 
externa relativo a AD. Si AC biseca al segmento 
BQ, calcule la m BDQ.
A) 60º
B) 90º
C) 45º
D) 135º
E) 120º
Claves
01 - B 
02 - B 
03 - C 
04 - E 
05 - E 
06 - A 
07 - D 
08 - C
09 - E 
10 - B 
11 - B 
12 - C 
13 - E 
14 - C 
15 - D 
16 - A
17 - B 
18 - D 
19 - C 
20 - B 
21 - E 
22 - C 
23 - C 
24 - B
25 - A 
26 - C 
27 - B 
28 - D 
29 - B 
30 - C 
31 - C 
32 - B
33 - E 
34 - B 
35 - B 
36 - C 
37 - B 
38 - C 
39 - D 
40 - B
Trigonometría
. . .
2
Sistemas de medidas angulares
1. Si se cumple que
 36º < > Ag ...(1)
 Bº < > 60g ...(2)
 Calcule 3B – 4A
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
2. En un triángulo dos de sus ángulos suman 160g 
y se diferencian en p/5 rad.
 Determine qué tipo de triángulo es.
A) acutángulo
B) obtusángulo
C) equilátero
D) isósceles
E) rectángulo
3. Del gráfico, calcule el valor de x.
5xº
20º
10g 5xg
A) 20 B) 21 C) 22
D) 11 E) 19
4. Si 7800'' <> AºB', 
 calcule (A · B)+B/A.
A) 25 B) 26 C) 5
D) 7 E) 6
5. Los ángulos interiores de un triángulo equiláte-
ro son (x – y)º, zprad, (x+y+z)g. Calcule x.
A) 
379
6
 B) 
211
6
 C) 1
6
D) 1
3
 E) 
11
6
6. Los ángulos internos de un triángulo se en-
cuentran en progresión aritmética. Si el mayor 
de ellos es seis veces el menor, calcule la me-
dida del ángulo mayor en radianes.
A) 
4
5
≠
rad B) 
≠
3
rad C) 
2
5
≠
rad
D) 
4
7
≠
rad E) 
4
11
≠
rad
7. Se crean dos nuevos sistemas para medir 
ángulos, denotados por A y B, para los cuales 
se cumple que 3º equivalen a 5 grados del 
sistema A (5A) y además 8g equivalen a 9 
grados del sistema B (9B). Calcule la relación 
que hay entre estos sistemas.
A) 24A=25B
B) 12A=25B
C) 24A=23B
D) 12A=5B
E) 4A=3B
8. Reduzca la siguiente serie
 90º+50g+22º30'+
≠
16
rad+...
A) prad B) 2prad C) – prad
D) p / 5rad E) 3p / 5rad
Razones trigonométricas de un ángulo agudo I
9. El perímetro de un triángulo rectángulo es 
300 u. Si la tangente de uno de sus ángulos 
agudos es 2,4, ¿cuánto mide la longitud de la 
hipotenusa?
A) 120 u B) 125 u C) 200 u
D) 150 u E) 130 u
10. Si 3 34cosθ = y 2 8 2tanα = , donde los ángulos q 
y a son agudos. Calcule 53 cos2atan2q.
A) 30 B) 45 C) 60
D) 20 E) 65
11. El área de un triángulo rectángulo ABC, recto 
en B, es 24 3 2u . Si tanC= 3, halle la longitud 
de la hipotenusa.
A) 10 3 u B) 12 6 u C) 16 3 u
D) 8 3 u E) 8 6 u
UNMSM 2007 - I
Trigonometría
3
12. Se tienen un triángulo rectángulo PQR recto en 
Q, si se cumple que cscP · cscR=2, calcule el 
valor de K R= +cot 2 .
A) 2 2− 
B) 5 
C) 1 2+
D) 3 
E) 2 2+
UNMSM 2003
13. En el gráfico adjunto, tanα = 5
8
, NB=x+2 y 
AN=2x, entonces tanq es
5
α θ
A B
C
N
A) 5/4 B) 5/8 C) 6/5
D) 4/5 E) 8/5
UNMSM 2000
14. Del gráfico, se cumple que AH=3 y HC=2. 
Calcule sen2q.
θ
2θ
A
B
CH
A) 1/4 B) 2/9 C) 1/5
D) 4/9 E) 3/4
15. En el gráfico tana=2,4, el valor de a es
α
a26
17
A) 24 B) 25 C) 27
D) 21 E) 23
UNMSM 2000
16. En el gráfico, los segmentos MN y LP son para-
lelos, MN=NP=12 cm, LM=8 cm y LP=20 cm, 
halle tana.
L
M N
P
2α
A) 3/4 B) 4/3 C) 7 /3
D) 7 /4 E) 2 7 /7
UNMSM 2004 - I
Razones trigonométricas de un ángulo agudo II
17. En el gráfico, BE=ED=DC y BD=5 2.
 Halle tana.
A
B
CDE
α
A) 2/3 B) 1/3 C) 1/ 10
D) 10 E) 3/ 10
UNMSM 2008 - II
Trigonometría
. . .
4
18. En el gráfico, halle senq+cosq
A
D
CB
θ
45º
3
1
A) 2
5
2 B) 
3
5
2 C) 4
5
3
D) 4
5
2 E) 
2
5
3
UNMSM 2001
19. En el cuadrado del gráfico adjunto, se tiene 
que 
MP
PN
=
3
4
. Halle el valor numérico de 
tana+16tanb.
AB
M
NP
α β
60
A) 17/3 B) 53/4 C) 17/4
D) 17/5 E) 17
UNMSM 2007 - II
20. Del gráfico, calcule 13 senα.
120ºn 3n
α
A) 
3
4
3 B) 3
2
 C) 
3
3
D) 
2
3
3 E) 
3
2
3
21. Sea
 (cos17º+5sen73º) · sec17º=4tana, 0 < a < 90º.
 Halle el valor de M=sena+5cosa.
A) 3
2
13 
B) 
2
3
13 
C) 2 13
D) 
4
3
13 
E) 13
UNMSM 2002
22. Siendo a, b y q ángulos agudos que cumplen 
cosq · seca=cscb · senq=tanq · cot20º=1. 
Calcule tan(a+b) · cot(2q)+sec(a+b+q)
A) 2 
B) 3 
C) 4
D) 1 
E) 0
23. Si 
 sen(x+2y)sen(15º – q)=cos(y+2x)cos(75º+q), 
donde los ángulos dados son agudos.
 calcule 
tan( )
cot( )
5 2
2
y x
x y
+ +
− −
θ
θ
A) 1/2 B) 2 C) 1
D) 3/4 E) 1/3
24. En un triángulo rectángulo ABC recto en C, se 
tiene que
 sen sen sen (cos )
senA A A B A= ,
 halle csc(A)
A) 8/7 B) 12/11 C) 5/4
D) 3/2 E) 5/3
UNMSM 2005 - I
Trigonometría
5
Resolución de triángulos rectángulos
25. En el gráfico, PS=RT=L. Determine la longitud TS.
S
P QR
T
β α
A) L(senb – sena)
B) L(sena – senb)
C) Lsena · senb
D) L(cosb – cosa)
E) L(cosb+cosa)
26. Calcule el área de la región sombreada en 
términos de q.
2
θ
A) 2sec2q
B) 2senqcosq
C) 2csc2q
D) 2tan2q
E) 2secqcscq
27. Calcule AE en términos de m, n y a.
α
A
B
C
E O
m
n
A) msena– ntana
B) mcosa– nsena
C) msena–ncosa
D) nsena– mcosa
E) ncosa – msena
28. Del gráfico, AH=HM. Calcule MN.
θ
θ
B
A
CH
M
N
1
A) 1
B) 2
C) 1/2
D) 1/3
E) 3
29. En el gráfico, si AB=AE, entonces tanb es igual a
β
θ
A B
E
A) tanq – secq
B) secq+tanq
C) secq – tanq
D) tanq – 2secq
E) secq – 2tanq
UNMSM 2010 - II
Trigonometría
. . .
6
30. Calcule el área de la región sombreada, si se 
sabe que senq · cosq+cotq=4/d2.
θθ
dd
A) 1 u2 B) 3 u2 C) 2 2u
D) 2 u2 E) 3 u2
31. Del gráfico, calcule el área de la región trian-
gular ABC.
A
B
C
M
4cscβ
2α
β
A) 4cscb
B) 4 · csca
C) 2cscb
D) 2csca
E) 2cosa · cscb
32. En el gráfico, halle x.
x
K
θ
A) ksen5q · senq
B) ktanq · cos6q
C) ksec6q · tanq
D) ksec5q·cosq
E) k · cotq · sec7q
UNMSM 2003
Ángulos verticales
33. Desde un hidroavión, se observa un bote 
con un ángulo de depresión de 60º. Si en ese 
instante el hidroavión volaba a 250 3 u de 
altura, ¿cuál es la distancia entre el hidroavión 
y el bote?
A) 500 u
B) 400 u
C) 500 3 u
D) 750 u
E) 400 3 u
34. Desde un globo aerostático se observa las 
bases de dos árboles, que distan entre sí 
100 m, con ángulos de depresión de 53º y 45º 
respectivamente. Calcule la altura de vuelo del 
globo.
A) 200 m
B) 300 m
C) 400 m
D) 500 m
E) 400 2 m
35. A partir del gráfico, halle H si la persona obser-
va la parte más alta del edificio con ángulo de 
elevación de 60º.
H
6 m6 mpersona
30º30º
A) 3 3 m B) 5 m C) 6 m
D) 3 2 m E) 4 3 m
Trigonometría
7
36. Dos personas de 1,60 m de estatura, están si-
tuadas en lados opuestos de una montaña de 
41,60 m de altura, observan la cima de la mis-
ma con ángulos de elevación de 30º y 45º res-
pectivamente. Calcule la distancia que separa 
a las personas (considerar 3 17= , ).
A) 107 m B) 105 m C) 160 m
D) 106 m E) 108 m
37. Desde un punto del suelo se observa la parte 
más alta de un edificio con un ángulo de 
elevación q. Si en la misma dirección, nos 
acercamos al edificio una distancia igual al 
triple de su altura, el ángulo de elevación es el 
complemento del anterior. Calcule tanq – cotq.
A) – 2 B) –1 C) – 3
D) 3 E) 2
38. Un observador mira la parte superior de una 
palmera con un ángulo de elevación. Cuando 
la distancia entre el observador y la palmera 
se ha reducido a su tercera parte, el ángulo de 
elevación se ha duplicado. Calcule la tangente 
del ángulo de elevación inicial.
A) 3 B) 1/3 C) 3 /3
D) 1/2 E) 2
39. Sobre un peñasco en la ribera de un río, se 
levanta una antena de radio de 16 m de altura. 
Desde el extremo superior de la antena, el 
ángulo de depresión de un punto situado a 
la orilla opuesta es de 60º y desde la base de 
la antena el ángulo de depresión del mismo 
punto es 45º. Calcule la altura del peñasco.
A) 4 3 m
B) 8 3 1+( )m
C) 8 3 1−( )m
D) 4 3 1+( )m
E) 8 2 m
40. Dados dos puntos A y B situados al sur y al este 
de un poste de luz, se observa el foco con án-
gulos de elevación que son complementarios. 
La distancia entre los puntos y la base del pos-
te son 24 m y 6 m respectivamente. Calcule la 
mayor tangente de uno de los ángulos de ele-
vación.
A) 1 B) 2 C) 3
D) 4 E) 5
Claves
01 - B 
02 - E 
03 - C 
04 - A 
05 - A 
06 - D 
07 - E 
08 - A
09 - E 
10 - C 
11 - D 
12 - D 
13 - A 
14 - C 
15 - B 
16 - C
17 - B 
18 - D 
19 - E 
20 - E 
21 - E 
22 - B 
23 - C 
24 - A
25 - B 
26 - E 
27 - C 
28 - A 
29 - C 
30 - D 
31 - B 
32 - C
33 - A 
34 - C 
35 - C 
36 - E 
37 - C 
38 - C 
39 - B 
40 - B
Física
. . .
2
MRU - MRUV
1. Del MRU del niño, determine v.
 9 m 6 m
t(t+2)
A) 2 m/s 
B) 1,5 m/s 
C) 1 m/s
D) 3 m/s 
E) 4,5 m/s
2. Los cuerpos mostrados que realizan un MRU, 
se encuentran en B, luego de 5 s, determine v.
 (AB=30 m; BC=50 m)
AA BB
CC
(v – 4)
v
A) 10 m/s 
B) 6 m/s 
C) 8 m/s
D) 5 m/s
E) 2 m/s
3. Un joven que realiza un MRU presenta una ra-
pidez de v=8 m/s, para recorrer desde su casa 
hasta el paradero del Metropolitano, si su ra-
pidez disminuye en 2 m/s, llegaría al paradero 
con un retraso de 5 s. Determine la distancia 
que suele recorrer el joven.
A) 120 m B) 100 m C) 80 m
D) 60 m E) 90 m
4. A partir del instante mostrado el tren emplea 
15 s en cruzar por completo el puente, deter-
mine la longitud del puente. 
 (El tren realiza MRU)
 
25 m/s
50 m
A) 325 m 
B) 225 m 
C) 250 m
D) 300 m 
E) 375 m
5. Los collarines que realizan un MRU, que tiem-
po emplean para volver a estar separados 
25 m. (Los cuerpos realizan MRU).
 
37º
25 m
3 m/s
2 m/s
A) 4 s B) 6 s C) 8 s
D) 10 s E) 5 s
6. El cuerpo realiza un MRUV, determine el mó-
dulo de su aceleración.
 
6 m/s 12 m/s 20 m/s
t (t+1) s
A) 2 m/s2 B) 6 m/s2 C) 8 m/s2
D) 10 m/s2 E) 3 m/s2
Física
3
7. El bus ingresa al puente con 10 m/s y sale luego 
de 5 s, con una rapidez de 20 m/s. Determine 
la longitud del puente. (El bus realiza MRUV).
 
10 m
A) 50 m B) 60 m C) 65 m
D) 70 m E) 75 m
8. De acuerdo al gráfico, determine el tiempo que 
transcurre desde que llega el primer bloque al 
punto A hasta que llega el segundo. (AB=AC). 
(Considere MRUV para los bloques).
 
1 m/s2
4 m/s2
A
B
C
v=0
v=0
37º
30 cm
A) 0,5 s B) 1 s C) 1,5 s
D) 2 s E) 0,2 s
9. A partir del instante mostrado transcurren 5 s 
para que el auto inicie su movimiento, luego 
de qué tiempo el auto alcanza al ciclista. 
(Ciclista con MRU, auto con MRUV).
 
10 m/s10 m/s
a=8 m/s2a=8 m/s2
A) 10 s B) 5 s C) 3 s
D) 8 s E) 12 s
10. En el instante mostrado se rompe la cuerda, 
tal que el poste empieza a caer, determine 
el menor valor de la aceleración que debe 
proyectar el joven para no ser alcanzado por 
el poste. (El poste llega al piso luego de 3 s).
 
20 m
articulación
2 m
v=0
A) 2 m/s2 B) 4 m/s2 C) 5 m/s2
D) 6 m/s2 E) 7 m/s2
Caída libre I
11. Luego de qué tiempo el cuerpo llega al piso.
 ( g=10 m/s2)
A) 7 s 
B) 6 s 
20 m/s
105 m
C) 3 s
D) 4 s
E) 5 s
12. Se muestra un cuerpo luego de 5 s de haber 
sido lanzado, determine su rapidez de lanza-
miento. ( g=10 m/s2).
A) 20 m/s 
B) 30 m/s 
30 m/s
C) 50 m/s
D) 10 m/s
E) 15 m/s
Física
. . .
4
13. Una esfera que estaba en reposo fue soltada 
desde cierta altura. Si la mitad de su caída libre 
la realiza en el último segundo. ¿Cuál es el 
tiempo que duró la caída aproximadamente? 
 ( g=10 m/s2)
A) 2,4 s
B) 3,4 s
C) 1,4 s
D) 1,8 s
E) 3,8 s
14. Desde el suelo se lanza un proyectil vertical 
hasta arriba, de modo que alcanza una altura 
máxima de 500 m. ¿A qué altura se encontrará 
luego de 5 s de su lanzamiento?
A) 125 m 
B) 375 m 
C) 200 m
D) 300 m 
E) 400 m
15. El cuerpo mostrado se suelta desde lo alto 
de un edificio, si en el último segundo de su 
movimiento recorre 25 m. Determine la altura 
del edificio. ( g=10 m/s2).
 
v=0
A) 20 m B) 30 m C) 40 m
D) 45 m E) 50 m
16. Si los cuerpos impactan luego de que A alcanza 
su altura máxima, determine H. ( g=10 m/s2).
 
v=0
30 m/s
H
A
A) 60 m B) 30 m C) 90 m
D) 75 m E) 50 m
17. A partir del instante mostrado, determine la 
separación de los cuerpos luego de 3 s.
 ( g=10 m/s2; 2 1 4≅ , )
 
30 m
v=0
10 m/s
A) 42 m B) 30 m C) 50 m
D) 75 m E) 36 m
18. Se sueltan los cuerpos simultáneamente, tal 
que A impacta con el piso luego de 2 s y B im-
pacta 3 s después. Determine H. ( g=10 m/s2).
 
H
A
BA) 125 m B) 45 m C) 60 m
D) 80 m E) 90 m
Física
5
19. A partir del instante mostrado, los cuerpos lle-
gan al piso al cabo de 4 s. Determine el módu-
lo de la aceleración de B que realiza un MRUV.
 
v=0B
53º53º
10 m/s
A) 2 m/s2 B) 6,25 m/s2 C) 3 m/s2
D) 4 m/s2 E) 5 m/s2
20. En el instante mostrado se lanza un objeto 
desde el piso, que es recepcionado por el jo-
ven en el globo luego de 3 s, justo cuando el 
objeto logra su máximo ascenso. Determine v. 
( g=10 m/s2). (El globo realiza MRU).
A) 30 m/s
B) 20 m/s 
30 m
v
5 m/s
C) 10 m/s
D) 40 m/s
E) 50 m/s
Caída libre II
21. El proyectil es lanzado de A con una rapidez de 
25 m/s de modo que emplea 1 s para ir desde A 
hasta B. ¿Cuál es la distancia AB? ( g=10 m/s2).
A) 15 m
B) 15 2 m 
53º
B
A
C) 30 m
D) 20 m
E) 25 m
22. Desde el punto A, se lanza un proyectil, tal 
como se muestra. Si el proyectil llega a B con 
25 m/s, determine H. ( g=10 m/s2).
A) 20 m g
v0=15 m/s
H
BB
AA
B) 25 m
C) 15 m
D) 10 m
E) 30 m
23. El cuerpo lanzado horizontalmente impacta 
en P. Determine la rapidez con que impacta. 
( g=10 m/s2)
A) 50 m/s
B) 30 m/s 
v
PP
45 m
120 m120 m
C) 40 m/s
D) 45 m/s
E) 30 2 m/s
24. Del gráfico mostrado, determine la altura 
máxima y el alcance horizontal del proyectil.
 ( g=10 m/s2)
 
θ
80 m
2 s
3 s
A) 125 m; 160 m
B) 120 m; 160 m
C) 125 m; 80 m
D) 80 m; 160 m
E) 100 m; 80 m
Física
. . .
6
25. Se muestra la trayectoria parabólica que realiza 
un cuerpo, de acuerdo al gráfico determine la 
altura máxima y el tiempo de vuelo. ( g=10 m/s2).
 
230 m/s
30 m/st
1 s
A) 80 m; 8 s 
B) 60 m; 8 s 
C) 45 m; 6 s
D) 80 m; 6 s 
E) 100 m; 10 s
26. La esfera lanzada horizontalmente impacta en 
el plano inclinado. Determine a qué distancia 
de A impacta el cuerpo. ( g=10 m/s2).
A) 75 m
B) 60 m 
20 m/s
37º37º
AA
C) 45 m
D) 80 m
E) 100 m
27. Si el cuerpo lanzado horizontalmente impacta 
en el plano inclinado, determine el tiempo que 
dura la caída. ( g=10 m/s2).
 
30 m/s
53º53º
A) 6 s B) 3 s C) 8 s
D) 5 s E) 4 s
28. Los cuerpos que son lanzados simultáneamente 
impactan luego de 4 s. Determine v. ( g=10 m/s2).
 80 m80 m
20 m/s v
53º
A) 25 m/s B) 30 m/s C) 40 m/s
D) 20 m/s E) 15 m/s
29. Los cuerpos lanzados simultáneamente, im-
pactan justo cuando B alcanza su altura máxi-
ma. Determine la rapidez de lanzamiento 
de A. Si logra un alcance horizontal de 60 m. 
( g=10 m/s2).
 
B
AA
v
40 m
A) 30 m/s B) 10 m/s C) 15 m/s
D) 20 m/s E) 25 m/s
30. Del gráfico mostrado, determine x. Sabiendo 
que B describe MRU. ( g=10 m/s2).
 
AA
BB
45 m
40 m/s
50 m/s
xx
A) 30 m B) 40 m C) 50 m
D) 60 m E) 70 m
Física
7
Estática I
31. ¿Cuál de las alternativas representa mejor el 
DCL del bloque B? Considere superficies lisas.
 
AA
BB
A) B) 
C) 
D) E) 
32. Indique las proposiciones verdaderas (V) o 
falsas (F).
 I. La primera condición de equilibrio solo se 
cumple para los cuerpos en reposo.
 II. Si sobre un cuerpo en reposo actúan tres 
fuerzas donde dos de ellas son paralelas; 
necesariamente la tercera fuerza será para-
lela a los anteriores.
 III. Si la suma de tres fuerzas (no paralelas), es 
nula, entonces con ellas se puede formar 
un triángulo vectorial.
A) FFV B) FVV C) FFF
D) VVF E) VVV
33. El sistema mostrado se encuentra en reposo, 
¿qué deformación experimenta el resorte?
 (mpolea=1 kg; mbloque=5 kg; g=10 m/s
2)
A) 1 cm 
K=30 N/cm
B) 2 cm
C) 2,5 cm
D) 3 cm
E) 3,5 cm
34. El dinamómetro indica 50 N, ¿qué masa 
presenta la barra? (Considere polea ideal; 
g=10 m/s2).
A) 5 kg 
D
4 kg
B) 7 kg
C) 9 kg
D) 11 kg
E) 13 kg
35. El resorte se encuentra estirado en 5 cm, ¿qué 
masa presenta la esfera? ( g=10 m/s2). Consi-
dere superficies lisas.
A) 1 kg 
37º
K=10 N/cm
g
B) 2 kg
C) 3 kg
D) 4 kg
E) 5 kg
Física
. . .
8
36. La barra mostrada de 4 kg se mantiene en 
reposo, ¿cuál es el módulo de la reacción en la 
articulación? ( g=10 m/s2).
A) 10 N 
30º
60º
K
C.G.
B) 15 N
C) 20 N
D) 35 N
E) 40 N
37. La barra de 8 kg se mantiene en reposo tal 
como se muestra, determine el módulo de la 
reacción en la articulación. ( g=10 m/s2).
 
5 kg
37º
16º
A) 10 N B) 20 N C) 30 N
D) 40 N E) 50 N
38. La barra de 4 kg se encuentra en reposo y el 
dinamómetro indica 20 3 N. Determine la re-
acción de la superficie horizontal. Considere 
superficies lisas. ( g=10 m/s2).
 
g
30º 60º60º
D
A) 20 N B) 40 N C) 60 N
D) 70 N E) 80 N
39. Los bloques mostrados se encuentran en re-
poso, ¿cuánto indica el dinamómetro?
 (mA=2 kg; 2mB=3 kg; g=10 m/s
2)
 
g
2 kg
3 kg
37º
53º D
AA
BB
A) 10 N B) 20 N C) 30 N
D) 40 N E) 50 N
40. En el gráfico se tiene dos esferas de masas 
iguales que se encuentran en reposo apoyado 
en superficies lisas, ¿cuál es el módulo de la 
reacción en A? ( g=10 m/s2).
 
2 kg2 kg
AA
A) 10 N B) 20 N C) 30 N
D) 40 N E) 50 N
Estática II
41. Indique las proposiciones verdaderas (V) o 
falsas (F) respecto a la fuera de rozamiento 
estático.
 I. Para que surja es suficiente que las superfi-
cies en contacto sean rugosas.
 II. Su módulo se calcula según fS=µS fN.
 III. El módulo de esta fuera puede cambiar.
A) VVV B) VVF C) FFV
D) FFF E) VFF
Física
9
42. ¿Cuál de las alternativas representa mejor el 
DCL de la bara homogénea mostrada?
 
µ
A) B) 
C) 
D) E) 
43. El bloque mostrado se encuentra a punto de 
deslizar, determine la reacción del piso incli-
nado y el coeficiente de rozamiento estático. 
( g=10 m/s2).
 30º30º
2 kg
A) 20 N; 3
B) 20 N; 3 3
C) 10 N; 3 3
D) 10 N; 3
E) 15 N; 2
44. Al bloque en reposo se le aplica una fuerza que 
varía con el tiempo según F=(10t) N, ¿en qué 
instante de tiempo empieza a resbalar?
 (mbloque=20 kg)
 
µ= 0,20,5F
A) 2 s B) 4 s C) 6 s
D) 8 s E) 10 s
45. El bloque A de 14 kg se encuentra en reposo. 
Determine la reacción del piso. ( g=10 m/s2).
 
g
AA
10 kg37º
A) 60 N
B) 60 2 N
C) 80 2 N
D) 100 N
E) 100 2 N
46. Una caja es arrastrada sobre una superficie 
debido a la acción de la fuerza F

 de 45 N. Si la 
caja desliza con velocidad constante, determi-
ne el coeficiente de rozamiento y el valor de la 
fuerza que el bloque ejerce sobre la superficie. 
( g=10 m/s2)
 
37º
F
7,5 kg
A) 0,5; 60 N B) 0,4; 72 N C) 0,75; 60 N
D) 0,5; 36 N E) 0,75; 48 N
Física
. . .
10
47. El disco homogéneo se encuentra a punto 
de deslizar, si el dinamómetro indica 20 N, 
determine la reacción de la superficie inclinada 
y el coeficiente de rozamiento estático.
A) 40 N; 2 2 
B) 50 N; 3 2 
60º60º
D
C) 40 N; 2
D) 50 N; 3
E) 40 N; 3 3
48. ¿Qué valores debe tener la fuerza F

 de tal for-
ma que el bloque no deslice? 
 (M=10 kg; g=10 m/s2)
A) 60 N ≤ F ≤ 100 N
B) 50 N ≤ F ≤ 100 N 
µ= 0,50,75
F
MM
37º37º
C) 0 ≤ F ≤ 120 N
D) 70 N ≤ F ≤ 100 N
E) 60 N ≤ F ≤ 120 N
49. La barra homogénea de 10 kg se mantiene 
en equilibrio, determine el módulo de la fuer-
za de rozamiento entre la barra y la balanza. 
( g=10 m/s2).
 
A) 10 N
B) 20 N
C) 30 N 
liso
balanza
53º53º
D) 40 N
E) 50 N
50. Una polea ideal se coloca en uno de los extre-
mos de una barra de masa despreciable. Si el 
sistema que se muestra en el gráfico permane-
ce en reposo, ¿cuál es el módulo de la fuerza 
de rozamiento que actúa sobre la barra?( g=10 m/s2)
 
g
25 kg
74º
A) 144 N B) 300 N C) 250 N
D) 240 N E) 84 N
Claves
01 - B 
02 - A 
03 - A 
04 - A 
05 - C 
06 - A 
07 - C 
08 - A
09 - B 
10 - B 
11 - A 
12 - A 
13 - B 
14 - B 
15 - D 
16 - C
17 - A 
18 - A 
19 - B 
20 - A 
21 - B 
22 - A 
23 - A 
24 - A
25 - A 
26 - A 
27 - C 
28 - A 
29 - A 
30 - A 
31 - D 
32 - B
33 - A 
34 - B 
35 - D 
36 - E 
37 - E 
38 - C 
39 - C 
40 - D
41 - C 
42 - C 
43 - B 
44 - E 
45 - C 
46 - C 
47 - E 
48 - C
49 - D 
50 - D
Química
. . .
2
Configuración electrónica
1. ¿Cuál es la configuración electrónica del ion 
sulfuro?
 Número atómico (S)=16
A) 1s22s22p63s23p6
B) 1s22s22p63s23p4
C) 1s22s22p63s23p2
D) 1s22s22p63p6
E) 1s22s22p63s23p5
2. Respecto a la configuración electrónica 
 1s22s22p63s23p64s23d104p65s14d5
 indique la proposición incorrecta.
A) Tiene en total 10 subniveles.
B) Tiene 3 niveles llenos.
C) Cumple con el principio de aufbau.
D) En la capa N hay 13 electrones.
E) Tiene 6 electrones desapareados.
3. En relación con el átomo de bromo (Z=35), 
indique las proposiciones correctas.
 I. Su configuración electrónica simplificada es 
[Ar]4s23d104p5.
 II. Presenta 7 subniveles llenos.
 III. Tiene 5 electrones de valencia.
A) I y III B) I y II C) II y III
D) solo I E) I, II y III
4. ¿Qué principios no corresponden en el orden 
respectivo a las siguientes configuraciones?
 I. 1s22s22p53s1
 II. 1s22s32p4
 III. 
1s 2s 2px 2py 2pz
A) Pauli - Hund - Hund
B) aufbau - Pauli - Pauli
C) aufbau - Pauli - Hund
D) Pauli - Pauli - Hund
E) aufbau - Pauli - aufbau
5. Calcule el número de electrones de valencia 
de un átomo que tiene 18 neutrones cuyo nú-
mero de masa es 35.
A) 5 B) 2 C) 3
D) 7 E) 6
UNMSM 2010 - II
6. ¿Cuántos electrones no apareados habrá en un 
ion X2 – con Z=14?
A) 3 B) 1 C) 0
D) 2 E) 4
UNMSM 2003
7. El número de masa de un ion binegativo es 80, 
además, es isoelectrónico con el kriptón. Halle 
su número de neutrones.
A) 48 B) 46 C) 44
D) 47 E) 45
8. Indique la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
 I. El Cr (Z=24) tiene 13 electrones en la capa M.
 II. El Fe (Z=26) es isoelectrónico con el 
Ni2+(Z=28).
 III. La configuración electrónica del ion 
Ag1+(Z=47) es [Kr]4d10.
A) FVF B) VVF C) VFV
D) FVV E) FFF
9. Los cuatro números cuánticos del penúltimo 
electrón del 16S son
A) (3, 1, – 1, – 1/2)
B) (3, 1, +1, +1/2)
C) (3, 1, – 1, +1/2)
D) (3, 1, 0, +1/2)
E) (3, 1, 0, –1/2)
UNMSM 2009 - II
Química
3
10. ¿Cuál es el valor de Z para un átomo cuyo 
último electrón tiene los números cuánticos 
(3, 2, 0, – 1/2)?
A) 34 B) 25 C) 26
D) 28 E) 30
UNMSM 2009 - I
Tabla periódica actual
11. Respecto a la tabla periódica actual, señale la 
secuencia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
 I. Los elementos químicos están ordenados 
en función de sus pesos atómicos crecientes.
 II. En un mismo grupo, los elementos poseen 
propiedades físicas similares.
 III. En un periodo se encuentran los elementos 
que tienen la misma cantidad de niveles.
A) VFF B) VVV C) VFV
D) FVV E) FFV
12. Sean las configuraciones electrónicas de dos 
elementos.
 X: 1s22s22p63s23p64s1
 Y: 1s22s22p63s23p64s23d8
 Al respecto, señale la secuencia correcta de 
verdad (V) o falsedad (F) según las siguientes 
proposiciones.
 I. Ambas pertenecen al cuarto periodo.
 II. X es un metal que pertenece al grupo IA.
 III. Y es un metal de transición que pertenece 
al grupo VIIIB.
A) VVV B) VFV C) VFF
D) FVF E) FFF
13. El elemento X tiene número atómico 21, en-
tonces está en el periodo ............... y en el gru-
po ............... de la tabla periódica.
A) 4; 5 B) 3; 5 C) 4; 3
D) 4; 2 E) 3; 3
UNMSM 2002
14. El átomo X cuando gana 2 electrones, su capa 
de valencia tiene 8 electrones. Si este átomo 
pertenece al mismo periodo que el átomo 
R(Z=19), ¿cuál es el número atómico de X?
A) 32 B) 34 C) 30
D) 36 E) 38
15. Se ha determinado que el catión divalente de 
un elemento E es isoelectrónico con el ion S2 – 
(Z=15). Indique a qué familia de la tabla perió-
dica pertenece dicho elemento E.
A) nitrogenoides
B) alcalinos térreos
C) alcalinos
D) gases nobles
E) halógenos
16. Determine el periodo y grupo a los que perte-
nece un átomo cuyo número atómico es 18.
A) 3,18 (VIIIA)
B) 2,18 (VIIIA)
C) 3,14 (IVA)
D) 3,14 (IVB) 
E) 2,14 (IVA)
17. Un elemento R está constituido por 3 isótopos 
cuyos números de masa suman 75. Si tienen 
en total 39 neutrones, ¿a qué familia pertenece 
el elemento R?
A) alcalino B) anfígeno C) carbonoide
D) alcalino térreo E) boroide
18. Determine el periodo y grupo a los que perte-
nece el elemento cuyo último electrón tiene 
los números cuánticos. (4; 1; +1; 1/2)
A) 4; 13 B) 4; 15 C) 4; 5
D) 4; 3 E) 4; 14
Química
. . .
4
19. Las propiedades químicas del elemento con 
número atómico igual a 3 son similares a las 
del elemento con número atómico igual a
A) 22 B) 6 C) 10
D) 18 E) 19
20. Los números cuánticos del último electrón de 
un átomo del elemento A son (3, 1, 0, – 1/2). 
Respecto a lo anterior, indique la secuencia 
correcta de verdad (V) o falsedad (F).
 I. El elemento es representativo.
 II. Pertenece al grupo 15 y periodo 3.
 III. Tiene propiedades químicas similares al 
flúor (Z=9).
A) FFF B) FFV C) VVV
D) FVF E) VFV
Propiedades periódicas de los elementos
21. ¿Qué relación hay entre el radio de los elemen-
tos X, R y T?
 Número atómico: R=9; T=19; X=17
A) X < T=R B) X < T < R C) R < X < T
D) T < X < R E) T < R < X
22. Respecto al radio atómico, indique la secuen-
cia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
 I. Está relacionado con el tamaño de los átomos.
 II. Se determina cuando el átomo está libre.
 III. Influye en las propiedades físicas y quími-
cas de los átomos.
A) VVV B) VFV C) FFV
D) VFF E) FFF
23. Respecto a los elementos
 X(Z=11), T(Z=9) y Q(Z=7), señale la secuen-
cia correcta de verdad (V) o falsedad (F).
 I. X tiene mayor radio atómico que T.
 II. Q tiene menor tamaño atómico que T.
 III. Según el orden de radio iónico, Q3 – >T1 – >X1+.
A) VVF B) VVV C) VFV
D) FVF E) FFF
24. Determine el elemento de menor energía de 
ionización y el de mayor electronegatividad, 
respectivamente, en los siguientes casos.
 19K, 17Cl, 11Na y 9F
A) K, Cl B) Cl, Na C) K, F
D) Cl, F E) K, Na
25. Señale la secuencia correcta de verdad (V) o 
falsedad (F) respecto a las siguientes proposi-
ciones.
 I. En la transformación de un átomo neutro 
en un catión se absorbe energía.
 II. Los gases nobles no se oxidan con facili-
dad porque tienen los más altos valores de 
energía de ionización.
 III. La energía de ionización está en relación 
inversa con el radio atómico.
A) FVV B) VFV C) VVV
D) VVF E) FVF
26. A partir de la siguiente información, señale las 
proposiciones correctas.
 34Se(g)+941 kJ/mol → 34Se(g)
1++1e –
 19K(g)+419 kJ/mol → 19K(g)
1++1e –
 3Li(g)+520 kJ/mol → 3Li(g)
1++1e –
 I. Los tres procesos corresponden a procesos 
endotérmicos.
 II. El potasio se oxida con mayor facilidad que 
el litio.
 III. El Se tiene mayor tendencia a oxidarse que 
el K.
A) I y II B) II y III C) I y III
D) solo I E) solo II
Química
5
27. ¿Cuál de los siguientes procesos corresponde 
a la primera ionización del oxígeno?
 Número atómico (O)=8
A) 1s22s22p4 → 1s22s22p2+2e – 
B) 1s22s22p4 → 1s22s22p3+1e –
C) 1s22s22p4 → 1s22s12p4+1e –
D) 1s22s22p4