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-347- • OSCILACIONES. CAPITULO: 15 . PROBLEIIAS 1.~ Un blQque de ~. O kg estira un resorte 1 6 CM • part i r de su posici6n no detor.ada . S. quita el bloque y s e susplnde uv cuerpo de 0.50 kg del _i.Mo resorte. Si entonces .e suel t. el resorte. ¿eu'l es s u periodo de MoviMiento? ~: MI * ~ kg. Xl a 0.16 M. m z 0.5 ka. Solyci6n: El periodo de Moví.iento de un resort~ 81: T*;:211.!f. (1) Po~ la ley de Hooke s .b.~o l que: -348- o, p"ro (J) De Jd~ ec ua c ion e s (2) y (3) obte neao s lo:: .. "'1&/ 111 ~ " 11 9.8/0.16 ~ 2"S kg /a luego d e la ecua c i 6 n ( 1 ) t ena.os: T • 2 J o.s , .. " 0.2"8 seg. • T ~ 0.2"8 seg. 2.· Una masa de 2.0 kg . e .us pe nd e d e un re so rte. Un c uerpo de 300 " . u spendi do a bajo de l a ma sa , e stira e l resorte 2 .0 Si se quita e l cuer po de 300 g Y se pone a o sc ilar l a a asa , encontr a r el pe r iodo del ~ovi .j ento. Soluc i6n : [.1 periodo es: Lo co nst ... nte k •• ob tien e de: "...!!.&.-. " ( M • . ), k • • • • • , ,,~ 2 . 000 • .80 k • "0/3 Reemplazando valores en (1): ,j 2000 11 T :: 2 2000 x 990 ,. l T " 0. 73 s eg. "0/3 o • " 0.73 lIeg. .-. _. -.. -.. -. --. r . . . , L. -349- 3.- Un pequeno cuerpo de masa 0.10 kg está ejecu ta ndo ~n ~ovi miento arm6nico simple de amplitu d 1.0 m y p~riodo 0.20 seg (a) ¿Cuál es el valor máximo de la f uerza que obrat sobre él? (h) Si las oscilaciones son producidas m o ~iante un re sorte, ¿cuál es la c onstante de fuerza del r es orte? Soluci6n: . ) 1 • f m.;;O.lkg. ... "X "1 m .h T " 0.2 seg. " ? K " c te f • T " 2lf ff , 98.69 kg/seg , = (98.69)(lm) kg/seg r máx 98.69N , h) S i las osci laciones son ~oducidas mediante un r esorte r r . K. dond e k K. • kA mh • h k r 99.69 A 1 N k " 9B.69 • • o'" , • ~.- Un cuerpo oscila con movimiento arm6nico simple d e acuerdo con la eeuaci6n x " 6.0 cos(3lft ~ ~ )m. 3 Calcular (a) la elon ga e i 6n , (b) la velocidad y ( e ) la a eel~ raci6n par a el ti e mpo t " 2 seg. Encontrar ta mb i é n (d) l a fase, (e) la fr e cu encia v , y (f ) el periodo del movimiento. Solución: (a) l a ecuación d e la elongación en el movimiento arm6nico simple e s: x=Acos(oottÓ) (1) En el problema para t " 2 seg. tenemos : -)50- ot .. 6 c os ( 3 JI t + ft 1 3) " 5 cos(3ft ot 2 • ft 1 3) " 3111 lb ) l. velocid oad ser.i ; d. • • - ~ , • Jo se n( 3l1 t • 11/3) ~ " ~ [" serd611 + . ,,] ~ ~ g, J3 ... /seg. Col " a c e lerac i ón serA; d. d ' • • " ~ • " (3 11 ) C:0 5 (3JI't • 11 13 ) " " , , ~ ". . /seg ( d) Y (e) Ellnaulo de fase 6 y la frecuencia angular w se obtie nen identifi c an do tlr.inos en lal ecuaciones (1) y ( 2 ); de donde; 6 " 11/3 rad., w " 3 11 rad /s eg . (d) El periodo es ; T " 211/ w " 2 'lV311 " 0.1i6 le, . Rpt ... : ( .) • ~ l. _ (d) e b) • ~ - 9Ilfi./ug. Co) 21. , . /sea • • (d) • • ./3 ud ( e) w "311 rad/.e, (E) t z 0 . 66 .&, . , ~ " • • d 5.- Una poart1euloa ejecuta un .ovi.iefl~o ar.6nieo l i na.l con res pa c to al punto x " O; para t " O tie ne una alongoaeión ot " 0.37 c . y una .aloeidad caro . Si la freeu aDeia del lIIovi . 'anto e. de 0.25/se" datar_i nar (a ) el pe riodo, (b) la frecuencia anlular. (e) la a.plitvd. (d) la elo ngación para u n ti e.po t (arbitrario). (e) la v-eloeidad para el tie . po t (arbit rario), (f) la .eloeidad .1oti.a. (al l. aceleración .¡oti.a. (h) la elon,aeión para t " 3.0 saa, e (i) la •• loci dad para t " 3.0 seg . So lución : f " 0.25 H2 .) T :: 1 • 1 0. 25 T .. sel. . , b) " dl . ) fl hl il -351- " , ,. T • _. • • • T " • r ad /s e g. • • , , • , • , , eos( wt . , ) . c uando • • , oo . ., par a , • • • , , • )( ( t ) . , e o s (w t) 0 . 37 ( , " • • , • , • • , d. rr • • • ., " . ., • • ., " . ., • )sen • • (0.3 7 )( , • • - 0 . 58 • ". , , • • , .h • • 0. 58 ... c uand o tie ne f t) '" . / , • • • • • • • • • • • • • v ~ Aws e n wt d v '" a '" Ay 2eos y t " '" Ay , • • ... • 0 . 37 • ( , 0.9 1 c~ /s , • ... • J Ae os y t 0 . 37 eos [ ~ ( 3l] O ( O. S8 ) s en ( • , ) , - 0. 58 s e n( 3 , , 0 . 5 9 c _/ s ) , • , . O l a e lon g aci 6 n O 0. 3 7 • , • 0. 9 1 . / , J -352- ~ - "o~ pdrticulas ejecutan ~ovi.ientos ar~6nicos simples de la ~i~m~ amplitud y fre c ~encia lobre la misma linea recta. Se cru~an una con la otra cuando eatán moviéndos e en sentido o puesto ca da ve~ que ~ elonga c i6n es la mitad de su ampli tud. ¿cuAl es la dif~ren cia de fase ent re ellas? Soluciono tn la figura se muestra la soluci6n gr~fica del proble.a, P y Q son las dos partlculas y se en (u entra que la dIferencia de fase es : Soluci6n ¡,[¡alít i ca s abellos que 11 y W son iguales. p • O O H " • , 00' w< ------- ( D " • , 0' ( w! • " (2) pero " • " • ,/2 ( dato) d. " ec uaci6n O, obten~mos co s wt = 1 /2 , se n wt = JI ( 2): , co& wt .,¡-;;;. de la e c ua c i 6 n 11 / 2 = A(cos li t co s 6 _ s e n wt sen6 ) , d e do nde: , , • , 00' , - .fi """'2 s e n , . O Reso l viendo l a e c uac i 6 n d e se gu nd o g ra d o obte nem os: Rpta : ,. - Un bl~que se e ncu e ntr a en una superfi cie hor izo nta l q u e se está mo v ien do ho r izon t alme n te co n un mo v imien t o a rm ón i co - JSJ- ar~5n¡co si~~ l e de fr~c uen ci a dos osc i laciones P?I' segundo. El coefi c iente de roza. le nto est ~ tico enll'e el bl o que y el plano es de 0.50 . tud para que el bloque no deslice sobre l a s~perf~ciel Dat o s: r ~ .... :.: ose/seg. u 0.5 Soluci5n: l.a sup e rficie hu~! zo ntal s e mueve co n Dovimien to armóni c~ ~imple . Como e l bloque eltá en equ i librio re s pecto a la sueprficie horizo~ ',--< < ' ' :..:;..;¡ , ....................... -, tal, la fricción e n tre ista y el blo que ser ti i gual a .L;¡ fuerza restauradora. r " umg % k x k " (umg)/x La frecuencia será: f • de donde: Rpta: A " 3.1 -, 11. 10 •. 8.- Un bloque se encuentra sobre un imbolo q ue se esti Moviend o ver t i c alDente con un movimiento arm6nico ~ imple de periodo 1.0 seg. (a) ¿Para qué amplitud del moví.i e nto se separará n el bloque y el émbolo? (b) Si el imbolo tiene una aDplitud de 5 . 0 . nI, ¿cuil ser á la frecuencia • .1xi.4 para la cual el bloque y el émbolo estarán en contacto continuamente? Solución: ( a) Para uque se cUlllpla dicha condición la fuerza restaUI ·l dora debe ser igual al peso del bloque. kx : mg _- __ - ____ (l) de do nde k " mg/x por otro lado sabemos que el peri o do p •. T • " jf ----------- (2) T • , . .g;; mg/x • 2nJf T' .' • ,. , d , d ond e : • :-4-" , • 0.2S m. " '" -354- (b) Cu ~ nd o la a.pl i tud es ~ c m, l a f r ecuen c i a ser~: f Rpt., : ( . ) , '" • )98,0 = 1.'1 osc/se t . (b) f = 1.12 osc/seg . 9. - Un relorte un iform e, c uy a longi t ud al no e s ta r d ef o r ma d o e s 1, tiene una const a nte de fuer z a k . El re sorte se co r ta en do s partes, c u yas l o n~ i tud e s no d e formad as s on 1 1 y 11' siend o 11 = n1 2 y n e s u n en te r o. ¿C u¡le s so n l a s co nstar. tes de fue r za correspondientes k 1 y k '] e n fu nc iÓn de n y dr k7 Verificar el result a do para n = 1 Y n : ~. SolyciÓn: Si se toman ambo s r esortes como s i e st uvi e s e n oo nectados en serie: , k pero: 1 1 k'1 k, • luego e n (a) par a, k n = 1 • , • , k, k, • " k , l,k1 l'1 k '] , I , • , , k, "', 1 n t 1 k = ~ , ------ =~ " r; = • (' ) - , " k • ~ , " indi c ¡nd o no s qu e el resor te ha sido cortado por la mi to d . n = en : k(n+l) " -355- ", • , ", • "o • , I • " • m f , , , ." • • • • , " " k m , . , .uestr~ en l~ Fig. 1S-22. La s s uper fi c i e s c ar ec e n de ro za - lIiento . Si los resor t e. t ie ne n re . pec t iy a ~ .n te co n St ~ n l es ciÓn de • e s : , tI an'logo eléctrico de este si'tella es una conexiÓn de 40. capacitore. en paralelo). m 501uci6n: L~ fuerza r necesaria para estirar un re sorte e- quivalente al ~ostrado en la fl1ura ser': r • " -------- (1) d, don4e: r • • k pero • • " • " ---- --- DI (ver fil. 2) r , r " - 356- r . ~ 3 ~L ~m~s que la frecue n cia es: f:2~jf • Rccmplaz~n d o k por su valor obtene mos el resul t ~do . 11. Los res ortes se fijan a hora a m y a so portes f i j os ~o mo se ~up.st r a e n la rig. 15-23. De ~ os trar que la f r ecuen - cia d, osc ila ción e n e s t e c as o es: , ~ , j', . .,..-; 111 (tI anilogo eléctrico de est e ~istema es und conex i ó n d e dos ~a pac'tore~ e n serie). Solución; La cons tante de un resorte estA dada po r: k " r , m ; •. ,,"¡.:-; , :". , . .' ... ,- , . . ~~- ". :-:,': k, Las fuerzas necesa rias para comprimir l os resortes 1 y 2 serin; r, " k x , , y r, . Para deformarse ambos resortes a la vez deber i aplicarse u- na fuer:.a. Co mo ambos resortes se deforaan igualmente. " ~ " ~ , Luego: r ", k 2 lx • r , k, , ~ • ~ • • , , Lo frecuencia será: , Jf ~ , 1, • " f . " ,. • 12. Las frecuencias de vibraci6n de los ~tomos en los s61idoa , " a temperaturas normales, son del orden de 10 Iseg, l~ag! nese que los ~tomos estuvieran co nectados entre s~ mediante resortes. Supóngase que un solo átomo de plata vibra con esta fr~~~n"cia y que t o do s los otros ~to.os se encuentran -357- en reposo. Calcular entonces la const ant e de fUArta de un solo resorte. Una 1101 de pl~td con tiene 6.02 x 1 0 23 átomos. tiene un a lIasa de 108 g Y " ~! f" lO/ses. N • Sol%i6n: 1011 gr " 6.01 x (peso molecular de la plata) 2J 10 átomo & ?or m~l • La frecuencia de vibraci6n de un át o mo de plata será: f (1) donde m es la masa 1 T, d. un át o mo de plata: m • , N o Ii . O 2 23 x 10 Atomos/mol Reemplazando en (1) el valor de Ii y despejando k tenelios: • , 2 "n f M k" H o " 110 lit/m Rpt. : 10: " 710 III t / •. 13. [1 extrello de una de las r a.as de un di apa s6n que ejec uta lIovi.iento armónic o s imp le de frecuencia 1000/ s e g tiene u - na amplitud d e 0. 40 mm. No tomando en cu enta e l am orti gu~ .iento, encontra r (d ) la .¡xi.a dcele r a ción y la IIIAxi .ll a ve l oc id ad de la punta de la rama, y ( b ) la velocidad y la a- celeración de la punt a de la ra ma cua ndo tie ne una elo nga- ción de 0.20 111111. Solución: (a) Como la nenergia me c' n i c a t ot a l se conserv a te ndr emos: de dond e : , 2' mv d, po r otro lado s a bemos q ue; ------ ( 1) f " ~ • ./f ------- (2) De la s e c ua cio nes (1) y ( 2 ) ob te nem os: V : • 2n f J,,2_ x 2 ---- ( l ) . d o nde : -358- v = v • • h cuando K = O v = '+ 2' fA = t 211(1000)~ x 10 - ~ m~x • '+ d 11 m/seg.; Ld a c eleraci6n se rj : • • d. " d. d, d, -- .. d' - -- (Ij) 2 2 lb) Cuando x = 0.2 = ~ 1600 w m/ seg -2 mm. = 2 x 10 m, de las ecuacio nes .Rpt.a: (. ) VIII~X = t 0.8 "m/seg . 2 III/Ies , • • • 1 .600 • • h (b) • • • 0.5611 • .. /." , , mIse, , • • • BOO • 111. Un relorte de constante de fuer~a 19.6 nt/ m s e en cuentra suspe ndid o verticalmente. De su extremo libre se suspende un c uerpo de 0.20 kg de .asa y se suelta. Sup6 ngllse que el r esorte estaba sin esti r ar ant .. s de q ue .. 1 c ue r po SI SOlta- ra. y encuént rese qu é ca nt idad ba j ar¡ e l cu e rpo a pa rti r de la poaici6n inicial. Ha l l a r tamb i é n l a frec u e nc ia y a.pli- tud del movi.i e nco ar.6nico ai. p le r es u lt a n t e. Solvci6n: Como e l s istem a es co n s e - vat iv o la ene r gla mec l ni ca total ae cons er v a r!. luego: 1 2 '2 kx " .g x (1) La am p l itud ser¡: ~ - c2,--,x,-,!0-¡"C,y,,-!,"",8C x ~ k - 19.6 la frecuencia es: • 0.2 111. • -359- r • )1 9.6 " O. , 1., e.g.s • Rpta: .. " 0.2 1ft. f " 1.6 C. g., 15. Un bloque de 35 . 6 nt estA suspendido d e un resorte que tie- ne una constante de fU OI I'l:.1I de 526 nt/m Se ~i,para co n tra el bl oque , desde abajo, una b ala q ue pesa O. ~ ~5 nt con una velocidad de 1 52 mlseg, la cua l queda ahogada en e l bloque. (a) Encontrar la amplitud del movimiento arm6nie o s imple r~ !! \J lt"ot •. (b) ¿Qué fra cci6 n d, la e neril . cinética or igi - nal d , la bala queda alma c enada en e l oscilador arm6 ni co? \ ¿Se pierde energía en este pr oc eso? Explique su res puesta. So luci6n: K " 526 N/ .. P " 35.6N Pa " O.ijij5 N v 1 52 mIs a) Cantidad de lIovílllento an te s del c hoque IlISV B • • , • ., ' . • • , , , " • lIasa d. lo bala • • lIIasa d.1 bl oque • , . • • " • v e locidad d. lo b a la • o IV Ca ri~\da d d , mov i miento des - ,pués del choque- ------ O, inici a l Y s ~ v.loc idad de l bloqu e inicia l " . • .. de h b , l a fin al de l b loq ue fin a l Y, '" O ( repas o) Co~o des pu é s - el i ~ pa cto l a bala q u ed a in c res t .d a en e l b I o que : y ' ~ v' , , e n (t); ma Ya = Y'(m S t m3 ' do n d e v' es t Olla d o j u sto el, la pos i c i 6 n d e e qu i l i b r i o l u e go " . -360- " -eVe 8 ., " , , ., • m " , " • , -'- • , m" Taltlbién: donde w • , , , w donde: • • (0.~IIS)( lS 2) 0 .1I~5 t 3S.6 1 . 9 mIs. • , <- mh , j~T • hT : v jP!/a 'T " • , bloq . , , , (1. 9) j 0.~1I5 9.' , , 0.16 • .fj ,k • 35.6 • 52 • • , " , 0.15e b) ~a fracci6n de enera!a ci n~t ica: f[k , 4k del oscilador • , t: k de la bala 1/2 kx 2 donde: x ~ a mplitud: A • , 1 , '2 II V k : con3tante d e l resor te reempla~ando valores: " (526)(0.16)2 0.1I ~ 5 x ( 1 52)2 9 . , f t: k o r i gi na l ~ 1 .2 \ :: 0.0 1 2e 16. Po r lo que se r e fiere a l a s o s cilac i o n es v er tical e s puede considerarse que un a utoll6vi l está mo n ta do sobr e un rc ~~r r~ Los muelles de un ci e r to au t o se aj us tan de t a l manera que las vibraciones t ienen u na f recue ncia 3 por seg undo. ¿C uá l es la constante de fuerza del re sorte s i el auto pe3a 3200 lb ? ¿Cuá l será la frecuen ci a de vibr a ci6n cuando viajan en ) b ? I'lHO S r :ijQlyci6 r)! - 36 1- J c , p. s .• (~l La [ ,'ecllencia » e e"pl'e ~ a p~ :' ),l <),.:u;,<;\ón f , k d, dono e k , , , f , " r " , >. , • IOU.J/..t ' f J c . p. s ' , , J , 200 j to , auto Sglución; ( a) LilI frecuenc i ill 5" ex p r esa por 1 .. e <: u"cl ó " : k ' , . 10 T t , 3 , 200/32 ~ 3 , 60 ;;) ~ l b/ p1g. w, o', (b) Cuando v a n en el auto 5 p d s aj ero»o cad~ un o co n un pes o medi o de 1 60 lb , la ma s a tot a l que sobra e l res ort e ~e · rá ; • M 3 , 200 5 ( 1 6 0 ) '" , , slug , 32 ,. frecull ncia se1".1 : 1 f , '" Rpt 11 : ,Á, !... } . 6 0 0 x , , 2 1 25 (a) k " 3,600 n" lb/plg. i(b) f " 2.61 c.p.s. I 2. 61 C • p. s 11. La esca la de una balan:r;a de 1"esorte t ie ne lo pl g. Y se le e deOa32 lb. Se encuent1"ilI que un paquete colgado de la ba la nza oscila vertic a lme nte con una fre c uen c ia de 2 oscila· ci ones po r segundo, ¿Cuánto pesa el p" quete? .IIll9..<' r 32 lb ( fuerza máxima) " , " pl, (elongaoci6n lI¡¡xima) f , , e . p. s . So l .;" ..é.ll: El pes o 11 " mg Ld f recue ncia es: f " -.!. , , d,' paquete e s: , . , 2T 4 ~ f -36 2- Lu e go: W ~ 111& " kg / (~,ff2l o btenellloa la const~n t e del re sor te (2) k ~ r/x ; 32/(~/12l lb/pie. M ee~pl~~ando valores en (2) obte ne.os: w = 32 x 1 2 x 32 19 ~ lb 2 1 2. 9 .. X 11 X 2 • 18. Partiendo d. la te. 15 - 17 para la co nse rva ci6n de la ene r gia , (con 1/2 kA t t) obtener la elongaciOn en funció n de l tie. po .ediante inteer. ci 6n d e l~ te. 15 - 18. Co~p.ra r con la t c. 15-18 . / Sohci6 0 : Sab eaos que de donde ~ 1 111., 2 t 1 10, 2 2 , , • • - - - - (1) pode.os tOlllar v con si g no positivo o neJativo. La ecuaci ó n (I) se con"ie" t c en: y sabhnd o que o lo q"e es l o lIi. ao: JI " A co .( wt + 6) 19. Cu ando 1. elo na.ción e. la .itad d e le .~pljtud . ¿q ua frac- ció n de t~ eoerat. t otal ee cin¡tica y qu' f re ce ión e. po - tencial en el ao_t.tento ar.6nt co sj.ple7 ¿ P ~re qui elonga- ción la e n e rat •••• ttad cintt ica y .i t .d potencia17 Sglyci6o: (a) La fracción de energta cin 'tica e.: do nd e: , t • - )6)- 1 , 1"1 ,' ~ , x·' ) par" ; x = Al ? • r. kA 2 ¡2 ReemplaZIIL\do \/"loros en ( 1 ) o bt"n c mos: , 31<,, 216 J J , "/ 5\ e _,-__ • Ju ego K • E K . do E. r kA n , " L. e nel'g!1I pot"f'nci al se rá : K , " • r - -- ---- ( ') u = E - ~ : ~ _ JE/4 = [ / 4 6 U = 2 5\ de L. (b) Sabeoo:; q u e : U ,. , (J) , E , , kx 2 ) ( , ) U • • , , , I gu alan d o las ec uac iones (3) y (4 ) obt e nemos: , k. , kA' AJ2 ,- • d. do nd e: • • ..,---• Kpt " : (. ) , • , 5\ U • 15' E (b) • • " V2/2 20 . (al Oemostrar que en un m o Yi~i. nt o a rm 6 n ico s i~ p le l •• ne r- gla potenc ial m.dia es i g ual. l a ene r g!a ciné t ica media cuando el promedio .e t o ma co n respec t o al tiempo pa ra un periad, del movimi ent o , y q ue c ada promedio es ig ual a ] 1/4 kA (v6as e la f i g . 15 - 9a) . (b) De mostrar q ue cu.nd o .1 promedio se to~a co n r es pe cto 1 la pos i c i 6n en e l trans c ur - so ce un ciclo, la e nergia potencial Media es igual 11 1/6 kA 2 Y que la e nerg!a cinitica media .5 igual a 1/310,,2 (véase 1. fig. 15-9b). ( e) Explicar flsica me nte por qui so n diferentes los dos resultados anteriores (a y b). l .• ' ., • , , t o ~1.1!S..lkn : " , , , , -)64- --,..,- ~ , , , -,.-- , ' Kt U ,. K~ - 1/2 kA2 ., E ' , , " , , , , , , , '. L' , T/2 , " , • , , , , t , \~ \ ~}> ¡\+& \ " -. I , ",,' • u • U"'" wt " • JI: ,. Km,1x , , , "'" w' , . , , , , , , K m.1x " U m1x _1/ 2 kA • E ~I ", / • \ / ~ , f i ,i"> \ ;-,* / \ ~"" / x o (a) Cuand 'J el prollledio se toma con respecto al tiempo e n el trans~urso de un periodo del mo v i_ient o , ~e pide demos- tr ar. u ~ K :! kA 2 donde : . . ~ . u'" . 5 .1 valor medio de U, y Km es el valor lIIe- dio de le p.,,. Jflfinici6n e l ... alor medio eS : " U •• , coo wt, • U .h [, . pero '" , 1....!!.!. ] -]65- u • 1 r ~ [, " T t IIIAx O " ~~('] .. - " :;"" : ... . ) , ., U. Por otro l¡¡do: pero K • mU ; .!. kA'] , , '" , m .---- tl) de las ecuaciones (1) y ( 2 ) ohlene~os: U ;.!. k A l m , 1" lb) Cuando ., promedio ,. t o .. a 10m ,:, ~<;ree to ~ toda 00 " ¡ " 1 ,~ , .. pide demo!>' o _ _ U 1 kA :< 1 kA 2 , ., • 6 ID 1 f A A U ~ , .21 !. ~ " . - , m , - (-A ) Ud x ? A A 2 o y. - A ~ _ A J A K d X lIA 1 , , ~ m, ! ~ o • , - ']A 1\ '] -A • ~ ! },; (A2 - . ' ) 2!).: 1 ~ " ' IC.' ) "j , ., • -• I • • ,. po,iei6!1 ( e ) Los r e su lt a d o s de ( a ~ j ¡ le r e ntes p Ol' que ,, 110 e s el ea~ r bo de e n e r ei n ~." uAid a J ~ e ti e.po y el o t r o e s e l camb i o de e n e r e I ~ ~~.' un l d~~ de l o n e i tu d . -366- 21. (~) De mo~trar que l a . r e laci on es generalea para al periodo y la frecuencia de cUalq u iar movi mi ento arm &n ico si~pl. son: T = 211 V ~ • • y • v • (b) Demostrar que l a . r e l a ci on.s , a n e r a las para el periodo y la frecuencia d. un lII ov i .i e nto a r món i co angular simple c u~lqui e r~ s o n: T • 2~ rf y v • $01ucI6n: (a) El periodo en un .ovl. i a nto ar.ónico ai.ple es: Sabem o s también que: , x~Aco s (wt"'6) (2) d 2 x 2 •• --,-" - AII COII (wt ... 6 ) " (3) d e las ecua c ion e s (2) y (3) obtene~o.: - a' .... 1uelo 101 -v--;;; T" 2f1Jr. y (b) Proce diendo en t orna anl1o l ~ qu e e n (a) y sabiendo que Q z Q . .... coa ( wt ... 6 j ¡ • • " Dbtenalllos: T ,. 211¡-:-r 23. Un pindulo si .pl a da 1.00 111 d e lo ngi tud ha c e 100 oscilacio Da s completas en 204 seg e n cierto lugar. ¿C uAl lo r de la ~celeraci6n de la gravedad en es e punto? Solución: es el va Encontrar e mo . el per iodo de un péndulo simple , l a co.po n e~ te tangencial es la f uerza re s tauradora que obra sob r e m y -)67- que tiende a regresarla a .u posiciÓn de equlibrio. Su valor es: r~-lIIgsenQ ----- (t) la ~longaci6n según el arco es x : LQ y para in- gulos pequenos es casi Uf' ~ovimiento rectilíneo. ~oniendo que sen Q T 9 So " , , " , . , , .' ..t' .. ...... " <e r ~ - mg Q : - !1 x = _ kx ( c dr'act erl s ticd del lIIo vimient o L armónico simple). El perlodo es: ! = 2l! ~= Despej3ndo " g r3vedad, ,,_ 2 L , , .1 , • 120"1100) , Rpta: -~-- - (2) ... lo ec uacion (1) obtenemos: • 9."9 .. /lI eg , 9."Q ./ .... , , • • 2". ¿Cull es la longitud de un péndulo simple cuyo periodo ea , exaCt3m .. nt e de 1 seg en un lugar en d o nde g = 9.8 1 m/se g ? Sol !,!%i60: S. sa be : , • "/. " 9. e 1 • l' 1 . -'-'-,- • .' " , 1 : 0 . 21.18 m. 11 s 2 " .8 cm ! 25. Demostrar que la mixima t e nsiÓn d e la cu erda de un péndulo simple, cuando la a mp litud Qm es p e q u e na, es mg(1 t Q! l. ¿En qué posición del p é ndul o es mlx i ma la ten s i Ón? Soluci6n: Co ~o "1 ~iste.a es conservatorio 1 , energfa total s e c on se r 1 .,,' ~ • t mg L(t - cos 9) : _gL(t - c o s 9111 ) es decir: , , 2 mL w t meL( t - cos Q) & mg L(t - c o s Qm) -)68- de donde: , " : ~ (cos Q - cos , l • ------ )( 1) Aplicando l~ segunda l e y de Newt on: 2 g : mw L -------- (2) Reempla¡o;~ndo (1) en (2) tendremos: T = mg (3 co" g LiI posición en dT 3 d9"= - m, I:en 2 cos g ) -------- ---- (3) m la coal T es máxima se obtiene; , " O , d, dond e , O • ,2 T mgO .. 2 co", 'm l ; pero '0' , " 1 - (_m_l ... 2 " l m " m , 26. (a) ¿Cuál es la f r ec ue ncia d e o n pé nd u l o si mple d e 2.0 m de longit od? (b) S up o niend o p eq u e ~ a s a mpli t udes, ¿cu á l s eria s u frecu en c ia en rriba a ra¡o;6n de en c aída libre? Soluc i 6n: un el e v"'dor q u e 2 2.0 mls eg ? (e) fue ra a c e leran do hacia a ¿Cuá l sería s u f r ecu e nc i a (a) La f re c uencia es : .2. j.s '" 2 -1 = 0. 3 5 s e g (b) Cua ndo el elevador a cel e ra ha c i a a r r iba la bo l a del p é~ dul o tiene u n pes o aparente (P)y es su co mponent e t a n- .¡enc i a J la q u e or igina el mov imien t o arm6nico simple . - 369- El p e so apa r ent e será : P - IIlg " ma, p = m(8 t a) La f uerza re s taur a dora es : • p , " " p • r , ". - , , r , . (, • a);.e/L , - k. ,. f re c uencia s erá: 1 2i f ' . ) . ) - - - - ( 1) 1 ) 9.8,+ 2 - 1 f = 2i = 0 . 39 s eg Cua nd o e l pénd ulo es tA en c a lda libre a = - g . P = m(g - g) " O, co mo no hay fu e rza restauradora no existi rá en est e caso movimi e nt o armóni co simp l e, y la frecuenc i a ser á nula. Rpta : (. ) (b) f " 0 .35 s e g- 1 - 1 f " ( .39 s e g f = O 28. ¿Cuál es el periodo de un péndulo formado a r ticulif'\oo un" regla de 1 !!Iet ro dO' modo que puede gi ra r librement e alr'ede- dar de un e j e hori zo ntal que pasa po r su e x tremo? ¿Por un e je e n la mñrca 65 cm? ¿Por uno en la ,lIarca 60 cm? Soluci6n: El momen to restuur~dor para una elongación a:~ gul a r 9 es (paril áng:.t- los pequeilo s ). , , M,d oo. , , - M,' , " donde k , ligd , "O '" di sta nci a d. 1. articulaci6n .1 cen-;:ro " masa Sabemos t alllb i"n ,. 01 problema 21 vj mo fc' p , q ... e : Y , la que: t 2w J- ~: 2WJ-.i.:.(~~~~. = 2Wjf T " 2 J M~d -37 0 - uando la regla estA a rticulada d e s u extremo: • ~ 2 l;j~~:j~ k · 1 ,- .-a 1 . 6~ s eg . l n el s e g u ndo c a so: d ~ 0.65 - 0 . 5 ~ O . l~ m. El mome n to de ine r c i a resp e c t o a e s ta n ueva a rt ic u l a ci6n se ~b tiene aplicando el te o r em a de 5 t ei mer. x Hd 2 + Icrn • HI O . 15 l 2 + HL2 / 1 2 o . l OE- H. T 2 n)' 1 ~ " gd 2 /; 0. 1 06 H n H x 9. 8 x 0 . 1 5 :. 1. 85seg . En el te r c e r c a so: d. 0. 6 - 0. 5·0.1 rn .. 0.0935 H ,~ obtien e T • 2 , 3 2 seg. RpTal IT • 1. 6~ s e g, 1 .85 seg , y 2.32 seg.1 29 . D"mostrar qu e si se mont a u na regl a u nifo rm e , d e l on g it ud 1 , de maner a que p ueda girar alre de dor de un e j e ho r i ~ontal perp e ndicular a l a r e g l a a un a di stanc ia d del c en t r o de ma s a, e l periodo tie n e un valor mínimo c uand o d ~ 1/...¡12'. 0. 2891. ~oluciÓD: El mom ento de in e rcia de la r egla respect o a un eje situado ~ u na distancia d e su centro de ma ,a e s: ¡:Icm+ Md2 " t Hd 2 • Sa bemos que el p e rio do es: " , 12 {L ..¡ 12 Sd La condici6n para que T sea un mi nim o es que: ~:: O dd y que: > O dT dd 'H el! dee il: -3 11 - d • l. '1 _ O. d :Lf Jli [~12~'~'---,-~,~'~'J < O 1 'g d • Al ohte ner d'1T/dd'1 , encontramos que e s una cantidad mayor que ~ero , con lo que se demuestra que el ~prlodo es un mIni '0. Otra manera de d e terminar que es un mI nim o es: Pa ra d < [./ 112 dT Idd < O d ;> [. / v"'i"2 dr/ad> O lo que demuest r a que se produce un .¡ oimo: 3 1. Un aro c ircular de r a d io ., pie s y peso a lb s se c u elga en un clavo horiton t al. Ca) ¿Cull es su frecuencia de osc ila- c16n para un movimiento d e pequena amplit u d7 (b) ¿Cu'l es la l o ngitud d.l péndulo si.pIe equivalent.? Soluci6n: (a ) La frecuencia es: f : "2 ~ I (1) per o 1 • HR 2 MR 2 3 2MR 1 1 f < '. -, : 0.47 ,eg , " , " (b) La l o ngitud del péndulo simple equivale nte se obtiene igualando los periodos: T • '1 n¡z¡;, y T • ,. JI/Mgd donde: , I '1HR '1 d. <-- • --¡¡¡¡-Kd • 2R . , • , • , pies Rpt a: , .) f : 0.4" seg- 1 'b) L 4 pies 32. Una es fera s61ida d e 2 . 0 kg de ~asa y O.JO ~ de di~metro e! ta suspendida de un al ambre. Encontr~r el pe riodo de osei '. -312 - laci6n angular para pequ@nos desplazamiento s si el momento de rotaci6n que se r equiere para torcer el alambre es de -, 6.0 x 10 nt-m/rad i ! n . ~: 11 ~ :1 kg, D '" 0.3 DI. k '" 6.0 x 1 0- 3 n t -m / r a d i$n Solud6n: [1 ala~br e torcido e jerce sob r e l a esf@ra $611da un mo_e nto re s taurador. ,. - kO ( 1) SabeDlos taDlb i i n qu e : ,. 1 • • " l-} " -- (2 ' , ¿ Luego: - kO • ¡.E....! , • ,, ' " , - • M- 2k 0 - 0.3 k ( " 1 Por a ~~ l ogla co n e l mov imi e nto a rm6 n i co si mp le lin eal : T :c 2" VIik ---- --- (3) per o ¡ :: 2HR 2 /5, T • !2~~,~.~(~O~.~'~/'~',-' T = 211 -:- x \5 x 6.0 x 10- 3 Rpta: 11" 1 0.87 seg.1 = 1 0.87 seg J3. [1 balancl n de un reloj ~·ib ra con una amplitud angular de radia n es y un per iodo de 0 . 50 s eg. Enc ontra r (a) la m! xillla veloc·1dad angular del balancin. (b) la velocidad IIngu - lar del bala ncl n cuando su desplaza.iento es de ,,/2 radi a nes, y ( e ) la aceleración a ngular del balanc!n cuando su de spla zaDll e nt o es de "/~ r adi anes. So},ución: (al SabeDlos que g • " cos( ~ t • ~) • • o (1) v =~; - g w sen (w" ,1 -- -- - - ( 2 ) dt .. .1x o o donde ~ o de (2): " 2n /T ~ 2 "/0 . 5" 12.56 rad /s eg. w • ... x 12 . 56 " 39.~4 rad/seg. lb) Cuand o g " 11/2, • -)71 ,,, • 11 COS (w , • " d, donde ," • " "" o , ~: O " o,. 'O' • - , 12 . " • V1/. " " ... o ~ 3~. 1 1 rad/s eg . (c) Cuando g Jlj ~ • 9 ~ g (.o~ 1 " t t 6) m4x o 11 / 4 =- 11': 0::;( 10< t + 16 ' ), o , <;os( "tt6 ) o ,', , cos (w .) =~ ..: - O " , • " ... o o 31 rlld/seg , • - Rpt. : ,. ) " - 3 9.4" rad/seg. .h 'b) " • 3 4 .12 rad/flOlg ,. ) a " r ad/se g , " • " 3~. Los electro nes en un o$cl loscop io s o n desv iado por la De ci6n de dos camp os eléctrico. mutuame nte perpendiculares d ~ mane r ll tal , que en un tie mpo c ualqui era " el de~~ l azam i en to estA dad o por j( ~ A ~os 10f t . y:: A cos( .. ( t a l. (al Describir la trayec toria de 10$ el e ctr one~ y de t ermina r s u t!cuaci6n cua ndo Cl =- O°. ( b) cuand o d o :: 90° , 501uc16n: ( a ) c uand o a =- 0° , X Y =- A cos (Io< 1 t O) A COS \l l : ,&"C O $ 10/ 1 (e) Cuan- (1) (1) La ec ua c i6n ~e l a t r ay ectori a se obt i ene e l i mina ndo t d e la s ecu a ciones (1 ) Y (2) : encon t ra ~ os x ~ y (ecuaci6n d e u na rec ta d e ~5 c de pend i e " - te) . (b) cuand ., Q:: 30c , x :: " cos ( wt ' J) y :: A c o, (w t t 30 C ) ~ "( c a ' wt C05 3 0 - se n wt s.n 30 ) y z ,\(J:JCOS wt - sen wt ) /2 '" ) de las " ~ u a c ¡ o n es ( 3) y ( ~ ) y s ab i en d o qu e : , "y se n wt ~ J"'í " x2 ob t enetaos : , X'j t ~ x ,, 2 ~ O ( ec uaci ó n de u na elipse) -3H- (:':) CUdn!:-!) 290° , It '" A cos wt y : A COS (wt ~ 90) '" A sen wt la~ cC~dcio nes (5) y (6) obteflemos: ,O) ,O) d, , , 2 , 2 + Y '" A (cos wt ~ 2 2 se n wt) : A (ecu,ci6n fer e ncí"l, • de una circun- ~o , si la .'SS de un resorte .5 no es inslgnific,nte pero es p! quefla compdrada con la M,sa • del objeto sus pendid o del re- sor te, el periodo del movi$ient o es T '" 2 J( •• m /J)/k. De- o .ost ra r este ¡'esultado. (Sugerencia: 1.., condici6n 111.11« m es equiv,lente a la suposic i6n de que el resorte se e.tira unifor.e.ente en la direcci6n de . u longitud. ) Sol uci6n: EJ period o del sistema serA: donde" es la .esa oscila t oria efectiva del Silte- ", . En cualqui er inst a nte c a - da elenento de la .as a • del bloque tiene i g ual ve locidad y por esta ra~6n contribu )e total. e n t e a la fIIasa Olcilator i , . f ect iv a v del sist e.a, no a s l el r esort e porque en este en un ins ta n- te cualqui era su veloc ida d e n c a da pa r te es d i f er e nte, va - riando desd e c ero e n la pa r t e supe r ior, hasta un a ve locidad v, igual a la q ue t i e ne el bl o q ue e n ese i n st a nt e. Encontr.refllos l a co n t r i buc i6 n del reso r t e. l a nasa e f e cti- va , analitando s u e nergía c i n ét ica. pletane nte un i f orme t e ndr e mos: y ' '" cy diferenciand o obte- v' '" c v , para u n e l e . ento de lo ngi tud dy ' , la ener - BIa cinética es: Sust ituyend o las do s ecuaciones anteriore3 e integrando: - 375 - 1 , l u ego 1" ",as('l ef,, ~'t lV" del sistema .s er i : H ~ .. t m , ,- • • Re e mpl a ~a n do M e n ( 1 ) o bt e n emu s que el p e rio d o e s: j m t m 13 T • " --,- ''--k
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