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Notas de
Electrodinámica clásica
Luis J. Garay
Madrid, 29 de mayo de 2007
Universidad Complutense de Madrid
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEÓRICA II
Avda. Complutense s/n, E-28040 Madrid, España
Luis J. Garay luis.garay@fis.ucm.es
Tel.: + 34 913945170, Fax: + 34 913944557
Prefacio
Estas notas no son otra cosa que mis apuntes personales, que he ido elaborando
con el único objeto de que me sean útiles en la enseñanza de la asignatura de
Electrodinámica clásica. Aunque probablemente estas notas os sean útiles también
a vosotros, no debéis olvidar que, en ningún caso, pueden sustituir a la bibliografía
de la asignatura.
En este sentido, es necesario hacer algunas advertencias:
Estas notas no son, ni pretenden ser, un libro ni un manual. Son, una vez más,
mis apuntes personales.
No me hago responsable de los errores que puedan contener estas notas ni
del uso que hagáis de las mismas. La bibliografía pertinente es, sin duda, el
medio más adecuado para obtener los conocimientos necesarios.
Son una notas incompletas cuyo contenido no va más allá de los temas trata-
dos en la asignatura de Electrodinámica clásica.
Agradecería que me comunicaseis cualquier errata que pudieseis encontrar. Sin
duda alguna, serán muchas. De hecho, quiero dar las gracias a todos los alumnos
que han seguido este curso por haber contribuido notablemente a disminuir el
número de errores.
Recibid un saludo de mi parte,
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 0–3
Bibliografía
Básica
L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Teoría clásica de campos, Reverté, 1986.
J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd ed., Wiley & Sons, 1999.
Bo Thidé, Classical Electrodynamics. http://www.plasma.uu.se/CED/Book.
A.O. Barut, Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Do-
ver, 1980.
V.V. Batyguin, I.N. Toptygin, Problems in Electrodynamics, Academic Press,
1978.
Complementaria
J.D. Jackson, Electrodinámica clásica, 2a ed., Alhambra Universidad, 1980.
F. Rohrlich, Classical Charged Particles, Addison-Wesley, 1990.
J. Schwinger, L.L. DeRaad Jr., K.A. Milton y Wu-yang Tsai, Classical Elec-
trodynamics, Perseus Books, 1998.
P. Ramond, Field Theory: A Modern Primer, 2nd. ed., Addison-Wesley, 1990.
A.P. French, Relatividad Especial, Reverté, 1996.
A. Ibort y M.A. Rodríguez, Notas de álgebra lineal,
http://www.ucm.es/info/metodos/pdf/Apuntes/...
...alg-aimar/alg-aimar.pdf.
S.M. Carroll, Lecture notes on general relativity, Capítulo 1
http://es.arxiv.org/abs/gr-qc/9712019.
J.I. Illana, El significado de la relatividad,
http://www.ugr.es/�jillana/SR/sr.pdf.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 0–5
Índice
1. Ecuaciones de Maxwell 1–1
1.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–3
1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío . . . . . . . . . . . . . . . 1–3
1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie . . . . . . . . . . 1–4
1.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4
1.2.1. Conservación de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–4
1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting . . . . . . 1–5
1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell 1–5
1.2.4. Propiedades de transformación . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–6
1.3. Ondas planas libres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–8
1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–8
1.3.2. Ondas planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–8
1.3.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–9
1.3.4. Flujo y densidad de energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–10
1.4. Guías de ondas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11
1.4.1. Modos TEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–11
1.4.2. Modos TE y TM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–12
1.4.3. Potencia y energía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–14
1.5. Potenciales electromagnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–16
1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético . . . . 1–16
1.5.2. Condición de gauge de Lorenz . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–17
1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green . . . 1–18
1.6. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1–23
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 0–7
Índice
2. Teoría especial de la relatividad 2–1
2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . 2–3
2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad . . . . . . 2–3
2.1.2. Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–4
2.1.3. Adición de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–5
2.1.4. Elemento de línea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–6
2.2. Espaciotiempo de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7
2.2.1. Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–7
2.2.2. El tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–9
2.2.3. Hipersuperficies espaciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10
2.2.4. Derivación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10
2.2.5. Integración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–10
2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración . . . . . . . . . . . . . 2–13
2.3. Grupo de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14
2.3.1. Grupo de traslaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14
2.3.2. Grupo de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–14
2.3.3. Operadores de Casimir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–18
2.4. Dinámica relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–20
2.4.1. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–20
2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . 2–20
2.4.3. Fuerzas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–24
2.5. Partícula libre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–24
2.5.1. Mecánica analítica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–24
2.5.2. Momento angular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–26
2.5.3. Casimires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27
2.6. Campos relativistas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–27
2.6.1. Leyes de transformación: escalares y vectores . . . . . . . . 2–27
2.6.2. Principio variacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–31
2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether . . . . . . . . 2–33
2.6.4. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–39
2.7. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2–41
0–8 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
Índice
3. Partículas cargadas y campos electromagnéticos 3–1
3.1. Partícula en un campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3
3.1.1. Formulación lagrangiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–3
3.1.2. Formulación canónica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5
3.1.3. Campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–5
3.2. Movimiento de una partícula cargada en un campo electromag-
nético constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–7
3.2.1. Campo eléctrico uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8
3.2.2. Campo eléctrico de Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–8
3.2.3. Campo magnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–11
3.2.4. Campo electromagnético uniforme . . . . . . . . . . . . . . 3–12
3.2.5. Invariantes adiabáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–12
3.3. Dipolos en campos electromagnéticos constantes . . . . . . . . . . 3–14
3.3.1. Dipolo eléctrico en un campo eléctrico constante . .. . . . 3–15
3.3.2. Dipolo magnético en un campo magnético constante y
uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–15
3.3.3. Precesión de Thomas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–18
3.4. Dinámica del campo electromagnético . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–19
3.4.1. Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–20
3.4.2. Leyes de conservación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–21
3.4.3. Formulación hamiltoniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–23
3.4.4. Ecuación de onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–24
3.4.5. Lagrangiano de dos partículas hasta segundo orden . . . . 3–26
3.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3–29
4. Radiación electromagnética 4–1
4.1. Radiación por cargas en movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–3
4.1.1. Campo generado por una partícula cargada . . . . . . . . . 4–3
4.1.2. Potencia radiada por una carga acelerada . . . . . . . . . . . 4–5
4.1.3. Distribución espectral y angular de la potencia radiada . . 4–11
4.2. Reacción de la radiación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–13
4.2.1. Estimación de los efectos radiativos . . . . . . . . . . . . . . 4–13
4.2.2. Fuerza de reacción radiativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–13
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 0–9
Índice
4.2.3. Renormalización electrodinámica de la masa . . . . . . . . . 4–15
4.3. Radiación multipolar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–16
4.3.1. Radiación dipolar eléctrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–18
4.3.2. Radiación dipolar magnética y cuadrupolar eléctrica . . . . 4–18
4.3.3. Intensidad de radiación multipolar . . . . . . . . . . . . . . 4–20
4.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4–23
A. Tensores A–1
A.1. Vectores y formas lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
A.2. Cambios de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–3
A.3. Tensor métrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
A.4. Tensor de Levi-Civita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–5
A.5. Tensores cartesianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A–9
C. On the Electrodynamics of Moving Bodies, by A. Einstein C–1
I. Kinematical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–4
§1. Definition of Simultaneity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–4
§2. On the Relativity of Lengths and Times . . . . . . . . . . . . C–6
§3. Theory of the Transformation of Co-ordinates and Times
from a Stationary System to another System in Uniform
Motion of Translation Relatively to the Former . . . . . . . C–7
§4. Physical Meaning of the Equations Obtained in Respect to
Moving Rigid Bodies and Moving Clocks . . . . . . . . . . . C–12
§5. The Composition of Velocities . . . . . . . . . . . . . . . . . C–13
II. Electrodynamical part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . C–15
§6. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations for Em-
pty Space. On the Nature of the Electromotive Forces Oc-
curring in a Magnetic Field During Motion . . . . . . . . . . C–15
§7. Theory of Doppler’s Principle and of Aberration . . . . . . C–18
§8. Transformation of the Energy of Light Rays. Theory of the
Pressure of Radiation Exerted on Perfect Reflectors . . . . . C–20
§9. Transformation of the Maxwell-Hertz Equations when Convection-
Currents are Taken into Account . . . . . . . . . . . . . . . . C–22
§10. Dynamics of the Slowly Accelerated Electron . . . . . . . . C–23
0–10 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
Índice
D. Does the Inertia of a Body Depend upon its Energy-Content?, by A. Eins-
tein D–1
F. Fórmulas F–1
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 0–11
Tema 1
Ecuaciones de Maxwell
1.1. Ecuaciones de Maxwell
1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío
1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie
1.2. Leyes de conservación
1.2.1. Conservación de carga
1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting
1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell
1.2.4. Propiedades de transformación
1.3. Ondas planas libres
1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B
1.3.2. Ondas planas
1.3.3. Polarización
1.3.4. Flujo y densidad de energía
1.4. Guías de ondas
1.4.1. Modos TEM
1.4.2. Modos TE y TM
1.4.3. Potencia y energía
1.5. Potenciales electromagnéticos
1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético
1.5.2. Condición de gauge de Lorenz
1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green
1.6. Ejercicios
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–1
1.1. Ecuaciones de Maxwell
1.1. Ecuaciones de Maxwell
1.1.1. Ecuaciones de Maxwell en el vacío
Una distribución de carga determinada por una densidad ρ y una corriente ~j
genera un campo electromagnético (~E , ~B) que es solución de las
ecuaciones de Maxwell:
~∇ · ~E = ε−10 ρ, (1.1a)
~∇ × ~B − c−2∂t~E = µ0~j , (1.1b)
~∇ × ~E + ∂t~B = 0, (1.1c)
~∇ · ~B = 0, (1.1d)
donde µ0 = 4π · 10−7 H/m ∼ 1,2566370 · 10−6 H/m es la permitividad magnética
en el vacío, ε0 = 1/(µ0c2) ∼ 8,8541878 · 10−12 F/m es la permitividad eléctrica en
el vacío y c = 1/√ε0µ0 = 2,99792458 · 108 m/s es, por definición, la velocidad de
la luz. En este curso, utilizaremos las unidades del Sistema Internacional.
En un campo electromagnético, una carga q suficientemente pequeña como para
que podamos ignorar el campo generado por ella misma (una carga de prueba)
sufre la fuerza de Lorentz
~F = q(~E +~v × ~B),
donde ~v es su velocidad. Si consideramos densidades, como hasta ahora, la densi-
dad de fuerza es:
~f = ρ~E +~j × ~B = ρ(~E +~v × ~B).
Las leyes de la electrostática y de la magnetostática se obtienen cuando los
campos son independientes del tiempo, es decir, cuando ∂t~E = ∂t~B = 0. Entonces,
las ecuaciones de Maxwell se desacoplan: sin dependencia temporal, los campos
eléctrico y magnético son independientes.
La densidad de corriente ~j(~x , t), la densidad de carga ρ(~x , t) y el campo de
velocidades ~v(~x , t) satisfacen la relación
~j = ρ~v .
Para una carga puntual q, que en el instante t se halla en la posición ~x 0 y que
se mueve con velocidad ~v , las densidades de carga y de corriente son:
ρ(~x , t) = qδ3(~x −~x 0), ~j(~x , t) = q~v(~x , t)δ3(~x −~x 0).
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–3
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
1.1.2. Condiciones de empalme en una superficie
Sea s(~x ) = 0 una superficie tal que |~∇ s| = 1 y sea n̂ = ~∇ s su normal. Esta
superficie puede tener una densidad superficial de carga σ y una densidad super-
ficial de corriente ~K . En esta sección, relacionaremos el campo electromagnético en
un lado de la superficie con el campo en el otro lado.
Las densidades de carga y de corriente se pueden escribir
ρ(~x , t) = ρ+(~x , t)θ[s(~x )] + ρ−(~x , t)θ[−s(~x )] + σ(~x , t)δ[s(~x )],
~j(~x , t) =~j+(~x , t)θ[s(~x )] +~j−(~x , t)θ[−s(~x )] + ~K (~x , t)δ[s(~x )],
y los campos
~C (~x , t) = ~C+(~x , t)θ[s(~x )] + ~C−(~x , t)θ[−s(~x )], ~C = ~E , ~B ,
donde θ(s) es la función de Heaviside:
θ(s) =
{
0 si s < 0
1 si s > 0.
La divergencia y el rotacional de los campos adquieren entonces la forma:
~∇ · ~C = ~∇ · ~C+θ(s) + ~∇ · ~C−θ(−s) + n̂ · (~C+ − ~C−)δ(s),
~∇ × ~C = ~∇ × ~C+θ(s) + ~∇ × ~C−θ(−s) + n̂× (~C+ − ~C−)δ(s),
donde hemos usado las fórmulas F.2.3, F.2.4 y ∂sθ(s) = δ(s). Si sustituimos estas
expresiones en las ecuaciones de Maxwell, obtenemos las siguientes condiciones de
empalme sobre la superficie s = 0:
n̂ · (~E+ − ~E−) = σ/ε0, (1.4a)
n̂× (~B+ − ~B−) = µ0~K , (1.4b)
n̂× (~E+ − ~E−) = 0, (1.4c)
n̂ · (~B+ − ~B−) = 0. (1.4d)
1.2. Leyes de conservación
1.2.1. Conservación de carga
La distribución de carga debe satisfacer la ecuación de continuidad, que se ob-
tiene manipulando las ecuaciones de Maxwell:
∂tρ + ~∇ ·~j = 0.
Esta ecuación representa la ley local de conservaciónde carga.
1–4 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.2. Leyes de conservación
Ejercicio 1.2.1 Demostrar este resultado.
Solución. Si derivamos con respecto al tiempo la ecuación 1.1a, calculamos la
divergencia de la ecuación 1.1b, sumamos las ecuaciones resultantes y tenemos en
cuenta que la divergencia de un rotacional es nula (fórmula F.3.2), obtenemos el
resultado deseado. N
Ejercicio 1.2.2 Escribir la ley global de conservación de carga.
1.2.2. Conservación de energía. El teorema de Poynting
Multiplicando la ecuación 1.1b por ~E y la ecuación 1.1c por ~B , utilizando la
fórmula F.2.1 y combinando las ecuaciones resultantes, obtenemos
1
2
∂t(ε0~E2 + µ−10 ~B
2) + ~∇ · ~S = −~E ·~j (1.5)
donde
~S = µ−10 ~E × ~B
es el llamado vector de Poynting y representa el flujo de energía electromagnética.
Ejercicio 1.2.3 Obtener este resultado.
~E ·~j es la derivada temporal de la densidad de trabajo realizado por el campo
electromagnético (suponiendo que no hay pérdida de masa) y representa por tan-
to la densidad de potencia de conversión de energía electromagnética en energía
mecánica y/o térmica. En efecto, la densidad de potencia es
~f ·~v = (ρ~E +~j × ~B) ·~v =~j · ~E + ρ~v · (~v × ~B)
y el último término se anula en virtud de la fórmula F.1.1.
Así la ecuación 1.5 nos da la potencia en términos de la variación de la densidad
de energía electromagnética interna
u =
1
2
(ε0~E2 + µ−10 ~B
2) (1.6)
y del flujo electromagnético ~S y representa una ecuación de conservación de la
energía.
1.2.3. Conservación de momento. Tensor de tensiones de Maxwell
Mediante la manipulación adecuada de la expresión de la densidad de fuerza
de Lorentz [en particular, sustituyendo las fuentes por sus expresiones en fun-
ción de los campos según las ecuaciones de Maxwell y añadiendo el término nulo
µ−10
~B(~∇ · ~B) = 0], obtenemos
~f = −ε0∂t(~E × ~B) + ε0[~E(~∇ · ~E)− ~E × (~∇ × ~E)] + µ−10 [~B(~∇ · ~B)− ~B × (~∇ × ~B)].
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–5
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
Ejercicio 1.2.4 Obtener este resultado.
Utilizando la fórmula F.2.2, esta expresión queda
~f = −ε0∂t(~E × ~B) + ε0[~E(~∇ · ~E) + (~E · ~∇)~E − ~∇~E2/2]
+ µ−10 [~B(~∇ · ~B) + (~B · ~∇)~B − ~∇~B
2/2].
Si escribimos esta ecuación en componentes, obtenemos :
f i = −∂tSi/c2 + ∂kTik, (1.7)
donde
Tij = ε0(EiEj −
1
2
δij~E2) + µ−10 (B
iBj − 1
2
δij~B2). (1.8)
Ejercicio 1.2.5 Obtener este resultado.
En la ecuación 1.7 y en el futuro, utilizaremos el convenio de sumación de Einstein:
dos índices repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobre todos los
posibles valores del mismo. Por ejemplo, αiβi = ∑3i=1 α
iβi.
Podemos interpretar la ecuación 1.7 como una ley de conservación del mo-
mento. En efecto, ~f es la densidad de fuerza y, por tanto, representa la variación
temporal de la densidad de momento mecánico ~p de un sistema de cargas. ~S/c2
se interpreta como la densidad de momento del campo electromagnético y Tij es el
tensor de tensiones de Maxwell del campo electromagnético. Así, la ecuación 1.7 nos
dice que la variación en el momento total ~p + ~S/c2 se debe a un flujo de momento
representado por la divergencia del tensor de tensiones.
1.2.4. Propiedades de transformación
Sea θi j una transformación constante de las coordenadas x
′i = θi jx
j tal que de-
ja invariante ~x 2. Entonces, θi j es una rotación y su determinante es det θ = ±1.
Las transformaciones con determinante positivo son rotaciones en sentido estricto
(propias) y las que tienen determinante negativo incluyen reflexiones que conside-
raremos por separado.
Ejercicio 1.2.6 Demostrar esta afirmación.
Definimos vector como aquel objeto que se transforma bajo una rotación propia (R)
de la misma manera que el vector de posición y un escalar es aquel que no se ve
afectado por las rotaciones.
Las reflexiones (S) son las transformaciones ~x ′ = −~x . Un vector se transfor-
ma como ~x bajo reflexiones. Un pseudovector es un vector que bajo reflexiones
mantiene su valor, es decir, que no cambia de signo.
1–6 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.2. Leyes de conservación
La inversión temporal (T) es la transformación mediante la cual el tiempo cam-
bia de signo.
Las ecuaciones de la física son covariantes bajo estas tres transformaciones, es
decir, tienen el mismo aspecto antes y después de las transformaciones.
Veamos cómo se comportan las cantidades electromagnéticas bajo estas trans-
formaciones.
q. Experimentalmente la carga eléctrica es invariante bajo estas transforma-
ciones.
ρ. La densidad es q/V. La carga es invariante y el volumen, obviamente,
también. Por tanto, la densidad de carga es un escalar.
~j . Utilizamos su definición~j = ρ~v . La velocidad es un vector y la densidad un
escalar. Por tanto, ~j es un vector. Bajo inversión temporal ~v cambia de signo
y también lo hace~j .
~j : R-vector, S-vector, T−.
~F . La fuerza es ~f = md2~x /dt2. La masa es invariante, luego ~F es un vector
bajo rotaciones y reflexiones. No se ve afectado por inversión temporal.
~F : R-vector, S-vector, T+.
~E . De ~F = q~E , vemos que ~F y ~E se comportan igual.
~E : R-vector, S-vector, T+.
~B . De ~F = q~v × ~B , vemos que ~B es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexio-
nes ~F y ~v son vectores y, por tanto, cambian de signo. Así, ~B lo preserva y
es pseudovector. Bajo inversión temporal, ~F no cambia y ~v sí. Por tanto, ~B
cambia de signo bajo inversión temporal.
~B : R-vector, S-pseudovector, T−.
φ. De ~E = −∇φ, vemos que φ es un escalar bajo rotaciones y bajo reflexiones
(cambia ~E y cambia ~∇ ). Tampoco cambia bajo inversión temporal puesto que
tampoco lo hacen ~E y ~∇ .
φ: R-escalar, S-escalar, T+.
~A . De ~B = ~∇ × ~A , vemos que ~A es un vector bajo rotaciones. Bajo reflexiones,
~B no cambia y ~∇ sí. Por tanto, ~A es un vector bajo reflexiones. Puesto que ~B
cambia de signo bajo inversión temporal y ~∇ no, ~A sí lo hace.
~A : R-vector, S-vector, T−.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–7
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
~S . El vector de Poynting es ~S = µ−10 ~E × ~B . µ0 es invariante. Bajo rotaciones, ~S
es un vector. Bajo reflexiones, puesto que ~B no cambia de signo, ~S se comporta
como ~E , es decir, es un vector. Bajo inversión temporal, ~E no cambia de signo
y ~B sí, luego ~S sí lo hace.
~A : R-vector, S-vector, T−.
u. De su definición (fórmula 1.6), vemos que la densidad de energía electro-
magnética es un escalar bajo las tres transformaciones.
u: R-escalar, S-escalar, T+.
Tij. Puesto que δij es un tensor, es decir, se transforma como un vector en
cada uno de sus índices, de la definición del tensor de Maxwell 1.8, vemos
que Tij es también un tensor. No se ve afectado por las reflexiones (como xixj)
y, por tanto, no es un pseudotensor. Tampoco se ve afectado por la inversión
temporal.
Tij: R-tensor, S-tensor, T+.
1.3. Ondas planas libres
1.3.1. Ecuación de onda para ~E y ~B
En zonas sin cargas ni corrientes, en las que ρ = 0 y ~j = 0, podemos obtener
ecuaciones de onda desacopladas para el campo eléctrico y campo magnético.
Para obtener la ecuación de onda para ~E , calculamos el rotacional de la ecuación
1.1c y usamos las ecuaciones 1.1a y 1.1b. Mediante la utilización de la fórmula F.3.1,
obtenemos
−~∇2~E + c−2∂2t ~E = 0.
De forma enteramente análoga, obtenemos las ecuación de onda para ~B :
−~∇2~B + c−2∂2t ~B = 0.
1.3.2. Ondas planas
Las ondas planas electromagnéticas se pueden escribir, si adoptamos el criterio
de que los campos físicos se obtienen tomando las partes reales de estas soluciones,
como
~E(~x , t) = ~E(~k , ω) ei~k ·~x−iωt, ~B(~x , t) = ~B(~k , ω) ei~k ·~x−iωt, (1.9)
1–8 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.3. Ondas planas libres
donde ~E(~k , ω), ~B(~k , ω) y~k son vectores constantes. Para que sean realmente solu-
ciones, deben satisfacer que
c2~k 2 = ω2,
como se puede ver por simple sustitución. Además, su divergencia se debe anular
y, por tanto,
k̂ · ~E = 0, k̂ · ~B = 0. (1.10)
Es decir, lasondas electromagnéticas planas son transversales. Por último, de la
ecuación de Maxwell 1.1c y usando las fórmulas F.2.2, F.2.4 y F.4.1 obtenemos una
restricción adicional:
ω~B =~k × ~E ⇔ c~B = k̂× ~E . (1.11)
En las ondas planas, los campos eléctrico y magnético, no solo son perpendiculares
al vector de número de onda~k , sino que, además, son perpendiculares entre sí
1.3.3. Polarización
Vemos que ~E y c~B tienen la misma magnitud. Además, ~E y ~B son vectores
complejos con la misma fase. Podemos entonces construir una base ortonormal
{ê1, ê2, k̂} tal que la onda plana más general será de la forma
~E(~x , t) = (ê1E1 + ê2E2)ei
~k ·~x−iωt.
E1 y E2 son complejos. Si tienen la misma fase, la onda está linealmente polari-
zada y su vector de polarización forma un ángulo arctan(E2/E1) con ê1. Si tienen
distintas fases, la onda tiene polarización elíptica.
La polarización circular corresponde al caso en el que E1 y E2 tienen el mismo
módulo pero sus fases difieren en π/2. En efecto, en este caso,
~E(~x , t) = E0(ê1 ± iê2)ei
~k ·~x−iωt (1.12)
y el campo físico tiene la forma
~E(~x , t) = E0[ê1 cos(~k ·~x −ωt)± ê2 sen(~k ·~x −ωt)]
y, por tanto, en un punto fijo ~x del espacio, el vector ~E barre el plano ê1, ê2 con
velocidad angular constante determinada por la frecuencia ω. Si el vector de po-
larización de la onda es ê+ = (ê1 + iê2)/
√
2, ~E gira en sentido contrario de las
agujas del reloj y decimos que la onda tiene helicidad positiva. Si la polarización
es ê− = (ê1 − iê2)/
√
2, entonces decimos que tiene helicidad negativa.
La base de ondas polarizadas circularmente 1.12 forman también una base de
polarizaciones.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–9
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
1.3.4. Flujo y densidad de energía
En general, el vector de Poynting para un campo electromagnético definido por
campos complejos es
µ0~S = Re~E × Re~B =
1
4
(~E + ~E∗)× (~B + ~B∗)
=
1
4
~E × ~B + 1
4
~E × ~B∗ + 1
4
~E∗ × ~B + 1
4
~E∗ × ~B∗
=
1
2
Re(~E × ~B) + 1
2
Re(~E × ~B∗).
Los campos ~E y ~B de una onda plana tienen una dependencia temporal eiωt. Por
tanto, al calcular el promedio temporal, definido mediante la expresión
〈F(t)〉 = lı́m
T→∞
1
T
∫ +T/2
−T/2
dt′F(t + t′), (1.13)
el primer término se anula por ser oscilante e2iωt y nos queda solo el segundo
término:
〈~S〉t =
1
2µ0
Re(~E × ~B∗).
Análogamente, la densidad de energía es
u =
1
2
[ε0(Re~E)2 + µ−10 (Re~B)
2]
=
1
4
[ε0Re(~E2) + µ−10 Re(~B
2)] +
1
4
(ε0~E · ~E∗ + µ−10 ~B · ~B
∗)
y, por tanto, en el promedio temporal, el primer término se anula por ser oscilante:
〈u〉t =
1
4
(ε0~E · ~E∗ + µ−10 ~B · ~B
∗).
Para una onda plana 1.9,
~B · ~B∗ = (k̂× ~E) · (k̂× ~E∗)/c2 = ~E · ~E∗/c2,
~E × ~B∗ = ~E × (k̂× ~E∗)/c = (~E · ~E∗)k̂/c,
donde hemos utilizado las ecuaciones 1.10, 1.11, F.1.2 y F.1.3. Por tanto,
〈~S〉t =
1
2µ0c
(~E · ~E∗)k̂, 〈u〉t =
1
2µ0c2
~E · ~E∗
y la velocidad de propagación de la energía es, entonces,
~v = 〈~S〉t/〈u〉t = ck̂.
1–10 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.4. Guías de ondas
1.4. Guías de ondas
Consideremos una cavidad hueca infinita en una de las dimensiones y con pa-
redes conductoras. Sea êz la dirección hueca. Entonces, el campo electromagnético
satisface la ecuación de onda en el interior de la guía
−c−2∂2t ~C + ~∇2~C = 0, ~C = ~E , ~B ,
junto con las condiciones de contorno en las paredes del conductor obtenidas de
las condiciones de empalme 1.4:
~E‖|S = ~B⊥|S = 0, (1.14)
donde ‖ y⊥ indican las componentes paralela y perpendicular a la superficie del
conductor respectivamente. En efecto, dentro del conductor, las cargas se mueven
libremente y adaptan su posición y velocidad para que ~E = ~B = 0. En la superficie,
tienen menos libertad (solo sobre la superficie y hacia el interior) y hacen que
las densidades superficiales de carga y de corriente se adapten a las condiciones
externas (e internas). Así, la libertad de movimiento superficial obliga a que se
satisfagan las condiciones de contorno 1.14.
La simetría del problema nos permite escribir
~C (~x , t) = ~C ′(x, y)ei(±kz−ωt),
de forma que la ecuación de onda para ~C ′ queda
~∇2
t
~C ′ + (ω2/c2 − k2)~C ′ = 0, (1.15)
donde el laplaciano transversal es ~∇2
t
= ~∇2 − ∂2z. Las condiciones de contorno
para la ecuación de onda para ~C ′ son las mismas que para ~C (ecuación 1.14). Si
solo utilizamos ~∇t y no el operador ∂z, podemos eliminar la prima (′) de ~C puesto
que los resultados no se ven afectados por la multiplicación por el factor ei(±kz−ωt).
Además, es conveniente separar las componentes longitudinales y transversales de
los campos eléctrico y magnético:
~C = ~C t + Cz êz.
1.4.1. Modos TEM
Si Ez = Bz = 0 en toda la guía, entonces se obtiene una solución especial: las
ondas TEM (transversales electromagnéticas) cuyas únicas componentes ~C t = ~C tem
son perpendiculares a la dirección de propagación. El campo eléctrico es solución
de las ecuaciones
~∇t × ~Etem = 0, ~∇t · ~Etem = 0, (1.16)
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–11
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
con la condición de contorno ~E
tem,‖|S = 0 y, por tanto, ~Etem es solución del proble-
ma electrostático bidimensional. El campo magnético se obtiene también mediante
sustitución de ~B = ~Btem en la ecuación de Maxwell 1.1b en vacío:
~Btem = ±c−1êz × ~Etem,
que obviamente satisface la condición de contorno ~B
tem,⊥|S = 0
Ejercicio 1.4.1 Obtener estos resultado mediante sustitución directa en las ecuacio-
nes de Maxwell de ~C = ~C tem.
Si calculamos el rotacional de la primera ecuación de 1.16 y hacemos uso de la
fórmula F.3.1 y de la segunda ecuación, obtenemos ~∇2
t
~Etem = 0, de manera que la
ecuación 1.15 también nos indica que ω = ck, como en un medio infinito.
Es interesante notar que, en un cilindro hueco, este modo TEM no puede existir
puesto que la superficie del conductor es equipotencial y, en consecuencia, dentro
de la guía no puede existir campo eléctrico ni magnético: es necesaria una guía
coaxial.
1.4.2. Modos TE y TM
A partir de las ecuaciones de Maxwell se pueden obtener las siguientes expre-
siones para los campos transversales en función de los longitudinales:
~Et = iγ−2(±k~∇tEz −ωêz × ~∇tBz), (1.17a)
~Bt = iγ−2[±k~∇tBz + (ω2/c2)êz × ~∇tEz], (1.17b)
donde γ2 = ω2/c2 − k2.
Además, se pueden obtener condiciones de contorno para los campos longitu-
dinales a partir de las condiciones de contorno para los campos totales y de las
ecuaciones de Maxwell:
Ez|S = 0, n̂ · ~∇tBz|S = ∂nBz|S = 0. (1.18)
Ejercicio 1.4.2 Obtener estos resultados.
Solución. Para las componentes transversal y longitudinal, las ecuaciones de
Maxwell quedan
±ik~Et + iωêz × ~Bt = ~∇tEz, (1.19a)
êz · (~∇t × ~Et) = iωBz, (1.19b)
±ik~Bt − i(ω/c2)êz × ~Et = ~∇tBz, (1.19c)
êz · (~∇t × ~Bt) = −i(ω/c2)Ez, (1.19d)
~∇t · ~Et = ∓ikEz, (1.19e)
~∇t · ~Bt = ∓ikBz. (1.19f)
1–12 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.4. Guías de ondas
~Et se obtiene multiplicando la ecuación 1.19c vectorialmente por la izquierda
por êz y después usando 1.19a; ~Bt se obtiene multiplicando la ecuación 1.19a vec-
torialmente por la izquierda por êz y después usando 1.19c.
La condición de contorno para la parte longitudinal del campo eléctrico Ez se
deduce inmediatamente de ~E‖|S = 0 y la condición de contorno para Bz se deduce
directamente de 1.19c, si multiplicamos escalarmente esta ecuación por la normal
a la superficie n̂ y recordamos que ~B⊥|S = 0. N
Así, tenemos una ecuación de onda bidimensional 1.15 para Ez y Bz con las con-
diciones de contorno 1.18. Como estas condiciones son diferentes, los autovalores
asociados al campo eléctrico y al campo magnético serán diferentes en general.
En esta sección, consideraremos soluciones tales que Ez o Bz son diferentes de
cero. Llamaremos ondas TM (transversales magnéticas) a las que satisfacen
Bz = 0 en toda la guía, Ez|S = 0 (TM)
y ondas TE (transversales eléctricas) a las que satisfacen
Ez = 0 en toda la guía, ∂nBz|S = 0 (TE).
Una vez conocidos (Ez, Bz)6= 0 podemos calcular ~Et y ~Bt a partir de las ecuaciones
1.17. De estas ecuaciones, vemos que, tanto para los modos TE como para los TM,
los campos eléctrico y magnético están relacionados:
~Bt =
±µ0
Z
êz × ~Et, (1.20)
donde Z es la impedancia de la onda:
Z =
{
k/(ε0ω) (TM)
µ0ω/k (TE).
Así, basta con conocer uno de ellos para tener una solución completa.
Las ecuaciones 1.17 nos permiten determinar las componentes transversales a
partir de Ez y Bz:
~Et = ±
ik
γ2
~∇tEz (TM), ~Bt = ±
ik
γ2
~∇tBz (TE). (1.21)
Estos campos ~C t obviamente satisfacen las condiciones de contorno ~Et,‖|S = 0 y
~B
t,⊥|S = 0, como es fácil comprobar.
Ejercicio 1.4.3 Realizar esta comprobación.
Solución. De la ecuación 1.20 y de la fórmula F.1.4, vemos que
B
t,⊥ = n̂ · ~Bt ∝ n̂ · (êz × ~Et) = ~Et · (n̂× êz) = Et,‖
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–13
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
y, por lo tanto, ~E
t,‖|S = 0⇔ ~Bt,⊥|S = 0.
Para los modos TE, ~Bt ∝ ~∇tBz, luego Bt,⊥|S = n̂ · ~Bt|S ∝ ∂nBz|S = 0.
Para los modos TM, ~Et ∝ ~∇tEz, luego, si p̂ es un vector paralelo a la superficie,
E‖ = p̂ · ~Et ∝ p̂ · ~∇tEz = ∂pEz. Puesto que Ez|S = 0, tenemos que ∂pEz|S = 0. Por
tanto, E‖|s ∝ ∂pEz|s = 0. N
La función Cz = Ez, Bz satisface la ecuación de onda bidimensional
(~∇2
t
+ γ2)Cz = 0
y está sujeta a las condiciones de contorno
Ez|S = 0 (TM), ∂nBz|S = 0 (TE),
como hemos visto. Nos encontramos pues ante un problema de autovalores.
Ejercicio 1.4.4 Demostrar que los autovalores γ2 ≥ 0 para que se puedan satisfacer
las condiciones de contorno.
El resultado es un espectro de autovalores γn, y sus correspondientes autofunciones
ortonormales Cz,n, que son los modos de la guía. De los autovalores γn podemos
obtener, para cada frecuencia, el número de onda
k2n = ω
2/c2 − γ2n.
Definiendo ωn = cγn, la frecuencia más baja posible para el modo n, podemos
escribir la relación de dispersión
kn = c−1
√
ω2 −ω2n. (1.22)
Así, solo los modos para los que ωn ≤ ω se pueden propagar en la guía. Puesto
que γn son los autovalores en una sección finita de una cavidad, están cuantizados
y γn ∼ n/R donde R es una longitud característica de la sección (el lado de una
guía de sección cuadrada, por ejemplo). Por tanto, existe solo un número finito de
modos tales que ωn ≤ ω y, a menudo, se elige la guía de forma que solo exista un
modo.
Es interesante notar que, puesto que ω/c es el número de onda en el espacio
libre y kn ≤ ω/c, la velocidad de fase v f ,n = ω/kn ≥ c y, de hecho, es infinita para
ω = ωn.
1.4.3. Potencia y energía
El promedio temporal del vector de Poynting es
〈~S〉t =
1
2µ0
~E × ~B∗ = 1
2µ0
(~Et × ~B∗t) +
1
2µ0
B∗z~Et × êz +
1
2µ0
Ez êz × ~B∗t .
1–14 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.4. Guías de ondas
Para las ondas TEM, la situación es idéntica a la de las ondas libres:
〈~S〉t =
1
2µ0c
(~Etem · ~E∗tem)k̂, 〈u〉t =
1
2µ0c2
~Etem · ~E∗tem
y la velocidad de propagación de la energía es, entonces,
〈~S〉t/〈u〉t = cêz.
Para ondas TM, Bz = 0, usamos las expresiones 1.20 y 1.21, junto con la fórmula
F.1.2, y obtenemos
〈~S〉t =
k2
2γ4Z
[±|~∇tEz|2êz + i(γ2/k)Ez~∇tE∗z ].
Si integramos la componente axial (en la dirección ±êz) de este resultado sobre
toda la sección Σt de la guía, obtenemos la potencia transmitida en la guía:
P = ±
∫
Σt
〈~S〉t · êz d2~x t =
k2
2γ4Z
∫
Σt
~∇tEz · ~∇tE∗z d2~x t.
Teniendo en cuenta la fórmula F.3.4 y que
∫
Σt
~∇t ·~u d2~x t =
∮
∂Σt
n̂ ·~u dlt, podemos
escribir
P =
k2
2γ4Z
[∮
∂Σt
E∗z (n̂ · ~∇tEz)dlt −
∫
Σt
E∗z ~∇2tEz d2~x t
]
=
k2
2γ4Z
[∮
∂Σt
E∗z (∂nEz) dlt −
∫
Σt
E∗z ~∇2tEz d2~x t
]
.
El primer término se anula por las condiciones de contorno y, por tanto, utilizando
la ecuación de onda para Ez, la potencia transmitida por una onda TM resulta
P =
cε0
2
(
ω
ωn
)2√
1− (ωn/ω)2
∫
Σt
|Ez|2 d2~x t (TM).
Análogamente, para una onda TE,
P =
c
2µ0
(
ω
ωn
)2√
1− (ωn/ω)2
∫
Σt
|Bz|2 d2~x t (TE).
Ejercicio 1.4.5 Obtener este resultado.
Por último, es muy fácil calcular el promedio de la densidad de energía por unidad
de longitud. El resultado es:
U =
∫
〈u〉t d2~x t =
(
c
√
1− (ωn/ω)2
)−1
P.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–15
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
Ejercicio 1.4.6 Obtener este resultado.
Teniendo en cuenta que de la relación de dispersión 1.22 obtenemos una velocidad
de grupo vg = dω/dk = c
√
1− (ωn/ω)2, vemos directamente que la velocidad de
propagación de la energía de las ondas TM y TE en la guía P/U es, como no podía
ser de otra manera, la velocidad de grupo:
P/U = vg.
1.5. Potenciales electromagnéticos
Las ecuaciones 1.1c y 1.1d son estructurales e implican que existen φ y ~A defi-
nidos localmente tales que
~E = −~∇φ− ∂t ~A , ~B = ~∇ × ~A . (1.23)
En efecto, de la ecuación 1.1d concluimos que existe un campo vectorial ~A definido
localmente tal que ~B = ~∇ × ~A (ver fórmula F.3.2). Introducimos este resultado en la
ecuación 1.1c y lo reorganizamos para obtener la ecuación ~∇ × (~E + ∂t ~A) = 0. Por
tanto (ver fórmula F.3.3), localmente, existe una función φ tal que ~E + ∂t ~A = −~∇φ.
La relación entre ~E , ~B y φ, ~A no es unívoca. Los potenciales (φ, ~A) y (φ′, ~A ′)
relacionados mediante las fórmulas
φ′ = φ− ∂t f , ~A ′ = ~A + ~∇ f , (1.24)
donde f (~x , t) es una función arbitraria, generan el mismo campo electromagnético
(~E , ~B). Estas transformaciones reciben el nombre de transformaciones de gauge.
Ejercicio 1.5.1 Probar esta afirmación.
1.5.1. Ecuación de onda para el potencial electromagnético
Al escribir el campo electromagnético en términos de potenciales las ecuacio-
nes estructurales de Maxwell se convierten en identidades y solo nos quedan las
dos ecuaciones que relacionan las fuentes con el campo escrito en términos de los
potenciales.
Para obtener ecuaciones en las que solo aparece el potencial electromagnético
(A0, ~A) en presencia de ρ, ~j , introducimos las relaciones 1.23 en las ecuaciones de
Maxwell y obtenemos:
~∇2φ = −ρ/ε0 − ∂t(~∇ · ~A),
~∇2 ~A − c−2∂2t ~A − ~∇(~∇ · ~A) = −µ0~j + c−2~∇∂tφ.
1–16 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.5. Potenciales electromagnéticos
Una sencilla manipulación de estas ecuaciones nos permite reescribirlas de la si-
guiente manera:
c−2∂2t φ− ~∇2φ = ε−10 ρ + ∂t(~∇ · ~A + c
−2∂tφ),
c−2∂2t ~A − ~∇2 ~A = µ0~j − ~∇(~∇ · ~A + c−2∂tφ).
Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones de Maxwell.
Ejercicio 1.5.2 Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las transforma-
ciones de gauge 1.24.
1.5.2. Condición de gauge de Lorenz
Las transformaciones de gauge 1.24 definen una relación de equivalencia en el
conjunto de potenciales electromagnéticos y, por tanto, este conjunto está formado
por clases de equivalencia. Todos los elementos de una clase están caracterizados
por dar lugar al mismo campo electromagnético. La ambigüedad gauge representa
la libertad de elegir cualquier miembro de una clase de equivalencia para represen-
tar al campo electromagnético. Mediante condiciones adicionales adecuadas, que
reciben el nombre de condiciones de fijación del gauge, podemos elegir los represen-
tantes de cada clase. Estas condiciones deben ser tales que elijan representantes
para todas y cada una de las configuraciones, es decir, que los potenciales elegi-
dos deben cubrir todas las clases de equivalencia. Cuantos menos representantes
de cada clase haya (siempre que tengamos al menos uno), mejor será la fijación
del gauge. Cuando tengamos más de un representante por cada clase, diremos que
queda una libertad gauge residual.
Un ejemplo de condición de fijación del gauge es la condición de Lorenz,
~∇ · ~A + c−2∂tφ = 0.
La imposición de esta condición convierte las ecuaciones de onda se en
− c−2∂2t Aµ + ~∇2Aµ = −µ0 jµ. (1.27)
donde µ = 0, 1, 2, 3, Aµ = (φ/c, ~A) y jµ = (cρ,~j).
Como hemos visto, debemos preguntarnos si la condición de fijación de gauge
de Lorenz siempre se puede imponer, es decir, si dada una configuración Aµno que
no satisface la condición de Lorenz, puede encontrarse mediantetransformacio-
nes gauge una nueva configuración Aµ que sí la satisfaga. En otras palabras, nos
preguntamos si existe una función f tal que
φ = φno − ∂t f , ~A = ~Ano + ~∇ f , ~∇ · ~A + c−2∂tφ = 0.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–17
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
Sustituyendo las dos primeras ecuaciones en la tercera vemos que, para que la
respuesta sea afirmativa, f debe satisfacer la ecuación
~∇2 f − c−2∂2t f = −(~∇ · ~Ano + c−2∂tφno).
Dado que esta ecuación diferencial para f siempre tiene solución, la condición
de Lorenz siempre se puede imponer. Si esta solución fuese única, el gauge esta-
ría completamente fijado. Sin embargo, todavía queda una arbitrariedad adicional
puesto que, si f es una solución y le añadimos otra función f̄ que satisfaga la
ecuación
~∇2 f̄ − c−2∂2t f̄ = 0,
también obtendremos otra solución. Nos queda, por tanto, una libertad gauge re-
sidual.
Existen otras formas de fijar el gauge como, por ejemplo:
Gauge de Coulomb: ~∇ · ~A = 0,
Gauge temporal: φ = 0,
Gauge axial: A3 = 0
1.5.3. Solución de la ecuación de onda. Funciones de Green
En esta sección, obtendremos la solución general de la ecuación de onda 1.27
para el potencial vector Aµ. Para ello, buscamos la solución general G(~x , t;~x ′, t′) de
la ecuación
(−c−2∂2t + ~∇2)G(~x , t;~x ′, t′) = −δ3(~x −~x ′)δ(t− t′). (1.28)
Entonces,
Aµ(~x , t) = Aµ0 (~x , t) + µ0
∫
d3x′dt′G(~x , t;~x ′, t′)jµ(~x ′, t′),
donde Aµ0 es una solución de la ecuación homogénea. La función G(~x , t;~x
′, t′) re-
cibe el nombre de función de Green o propagador.
La función de Green G solo puede depender de la diferencia de tiempos t− t′ y
de posiciones ~x −~x ′. Para verlo, basta con cambiar de variables de ~x , t a~r = ~x −~x ′,
σ = t− t′, de forma que la ecuación 1.28 se convierte en
(−c−2∂2σ + ~∇2~r )G(~r , σ; 0, 0) = −δ
3(~r )δ(σ). (1.29)
Ejercicio 1.5.3 Comprobar que δ3(~r ) = δ(r)/(4πr2).
1–18 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.5. Potenciales electromagnéticos
Si escribimos el laplaciano en coordenadas esféricas para ~r (ver fórmula F.6.1) y
usamos el resultado del ejercicio anterior, vemos que G no puede depender de la
dirección de~r = ~x −~x ′ sino solo de su módulo r. Por tanto,
−c−2∂2σ(G) + ∂2r (rG)/r = −δ(σ)δ(r)/(4πr2).
Sustituyendo en esta ecuación G(σ) = (2π)−1/2
∫
dωG(ω)e−iωσ, utilizando la re-
lación de dispersión en vacío ω2 = c2k2 y la fórmula F.6.3, obtenemos la siguiente
ecuación para la transformada de Fourier de la función de Green:
k2G + ∂2r (rG)/r = −(2π)−1/2δ(r)/(4πr2). (1.30)
Fuera de r = 0, la solución de esta ecuación es
4πrG(r) = α+eikr + α−e−ikr, (1.31)
donde α± son constantes que determinaremos a partir del comportamiento en
r = 0.
Volvemos, mediante una transformación de Fourier inversa a G(~r , σ)
G(~r , σ) = α+G+(~r , σ) + α−G−(~r , σ),
donde
G±(~r , σ) = (4π)−1(2π)−1/2
∫
dω
e−iω(σ∓r/c)
r
=
δ(σ∓ r/c)
4πr
.
Si definimos
t′± = t∓ r/c = t∓ |~x −~x ′|/c,
como los tiempos retardado y avanzado respectivamente, las funciones de Green co-
rrespondientes se pueden escribir
G±(~x , t;~x ′, t′) =
δ(t′ − t′±)
4π|~x −~x ′| , G = α+G+ + α−G−.
Ejercicio 1.5.4 Demostrar, mediante el estudio del comportamiento de la función
de Green en el origen~r = 0, que α+ + α− = 1.
Solución. Para obtener los valores de α±, introducimos esta función de Green G
en la ecuación 1.29:
(−c−2∂2σ + ~∇2)G± =
1
4πc2r
(−∂2σδ± + ~∇2δ±) +
1
2π
~∇δ±~∇
1
r
+
1
4π
δ±~∇2
1
r
,
donde hemos denotando por sencillez en la notación δ± = δ(σ∓ r/c). Usando las
fórmulas (F.4.2,F.4.3,F.4.4) y teniendo en cuenta que
~∇δ± = ∓c−1r̂ ∂σδ±, ~∇2δ± = c−2∂σδ± ∓
2
cr
∂2σδ±,
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–19
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
obtenemos
(−c−2∂2σ + ~∇2)G± = ∓
1
πcr2
∂σδ± − δ±δ3(~r ).
Si integramos este resultado en todo el tiempo y en un pequeño volumen δV al-
rededor de~r = 0, el primer término se anula puesto que supone la evaluación de
δ±(±∞) = 0; el segundo término contribuye con −1. Con estos resultados, vemos
que la integral a todo tiempo y en un pequeño volumen δV alrededor de~r = 0 de
la ecuación 1.29 ∫
dσd3~r (−c−2∂2σ + ~∇2)G = −1
proporciona el resultado buscado α+ + α− = 1. N
Así, la solución general de la ecuación de onda 1.27 para el potencial vector Aµ
es
Aµ(~x , t) = µ0
∫
d3~x ′dt′ jµ(~x ′, t′)G(~x , t;~x ′, t′)
= α+µ0
∫
d3~x ′
jµ(~x ′, t′+)
4π|~x −~x ′| + α−µ0
∫
d3~x ′
jµ(~x ′, t′−)
4π|~x −~x ′| .
La función de Green G es la solución general que nos proporciona la respuesta
a la propagación de una perturbación debida a que algo de intensidad unidad
(puesto que
∫
δ = 1) ocurre en un cierto lugar puntual ~x ′ en un instante t′. Dado un
punto de observación ~x , la respuesta a esta perturbación afecta solo en el instante
t a este punto: antes de t, la función de Green se anula y también lo hace después.
Si consideramos solo la solución retardada, el instante t en el que el punto
de observación se ve afectado por la perturbación es tal que t − t′ = +r/c ≥ 0,
donde r es la distancia entre el lugar en que se hallaba la fuente ~x ′ y el punto de
observación ~x . Por tanto, vemos que la solución retardada nos indica que la señal
debida al suceso ~x ′, t′ llegará al punto de observación ~x más tarde (t ≥ t′).
De forma análoga, la solución avanzada es tal que t ≤ t′, es decir, que la señal
llegaría al punto de observación antes de que se produjese la perturbación, situa-
ción físicamente inaceptable. Sin embargo, las soluciones avanzadas admiten otra
interpretación y uso que no estudiaremos en este curso: permiten determinar qué
señal es necesario enviar en un instante t desde el punto ~x para que empalme ade-
cuadamente con una perturbación que tendrá lugar en el punto ~x ′ y en el instante
t′.
Mediante la combinación de ambas soluciones avanzada y retardada, podemos
resolver problemas de dispersión de ondas en los que una onda de perfil conocido
viene desde el pasado e interacciona con un sistema que se convierte, debido a
esta interacción, en fuente de otra onda que sale hacia el futuro y cuya naturaleza
queremos determinar.
1–20 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.5. Potenciales electromagnéticos
Puesto que nosotros nos vamos a ocupar de los efectos causados por una fuente,
el principio de causalidad requiere que el potencial en ~x , t no dependa de lo que
ocurrirá con la fuente en el futuro. Por tanto, desde el punto de vista físico debemos
quedarnos con el propagador retardado, es decir, α− = 0, α+ = 1. Así obtenemos
los potenciales retardados
φ+(~x , t) =
1
4πε0
∫
d3~x ′
ρ(~x ′, t′+)
|~x −~x ′| ,
~A+(~x , t) =
µ0
4π
∫
d3~x ′
~j(~x ′, t′+)
|~x −~x ′| .
Conviene, por último, recordar que estos potenciales han sido obtenidos en el gau-
ge de Lorenz.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–21
1.6. Ejercicios
1.6. Ejercicios
1.1 Un monopolo magnético de carga magnética qm situado en el origen crea un
campo magnético cuya expresión es
~B m =
µ0qm
4π
~x
|~x |3 .
a. Demostrar que este campo es incompatible con las ecuaciones de Maxwell.
Un cierto solenoide rectilíneo semiinfinito colocado en el semieje êz positivo genera
un campo magnético ~B s = µ0qm δ(x)δ(y)θ(−z)êz.
b. Demostrar que si añadimos este campo al del monopolo, la incompatibilidad
anterior desaparece.
1.2 Si existiesen cargas magnéticas, como en el problema 1.1, las ecuaciones de Max-
well tendrían la siguiente forma:
∇ · ~E = ρe/ε0, ∇× ~E + ∂t~B = −µ0~J m,
∇ · ~B = µ0ρm, ∇× ~B − c−2∂t~E = µ0~J e.
a. Demostrar que estas ecuaciones son invariantes bajo las transformaciones de
dualidad
~E ′ = ~E cos θ + c~B sen θ, c~B ′ = −~E sen θ + c~B cos θ,
cρe′ = cρe cos θ + ρm sen θ, ρm′ = −cρe sen θ + ρm cos θ,
c~J e′ = c~J e cos θ +~J m sen θ, ~J m′ = −c~J e sen θ +~J m cos θ.
b. Determinar y explicar el carácter (escalar, vectorial, etc.) bajo rotaciones pro-
pias, reflexiones espaciales e inversión temporal de todas las cantidades elec-
tromagnéticas involucradas. Ídem con la conjugación de carga q→ q′ = −q.1.3 Demostrar las siguientes afirmaciones:
a. Para un sistema estacionario con una densidad de corriente ~j(~x ), la energía
total del campo magnético puede escribirse de la siguiente forma:
U =
µ0
8π
∫
d3~x d3~x ′
~j(~x ) ·~j(~x ′)
|~x −~x ′| .
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–23
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
b. Si un sistema está compuesto por n circuitos con corrientes I1, I2 . . . In, la
energía total del campo magnético puede escribirse de la siguiente forma:
U =
1
2 ∑i
Li I2i + ∑
i
∑
j<i
Mij Ii Ij.
Obtener expresiones integrales para las autoinductancias Li y las inductancias
mutuas Mij.
1.4 Dos ondas planas monocromáticas con amplitudes diferentes, polarizaciones
lineales ortogonales y un desfase entre ambas se propagan en el vacío. Hallar la
polarización de la onda resultante.
1.5 Sea una región del espacio en la que existen cargas móviles. En esta region, la
densidad de corriente es proporcional al campo eléctrico (ley de Ohm): ~j = σ~E ,
donde σ es la conductividad eléctrica.
a. Derivar, en esta región, la ecuación de onda para el campo eléctrico, supo-
niendo que éste solo depende de la distancia ζ a un cierto plano dado, por
ejemplo, una superficie plana que separa esta región de otro medio (ecuación
del telégrafo).
b. Probar que para la componente de Fourier ~E(ζ, t) = ~E(ζ)eiωt, la ecuación del
telégrafo independiente del tiempo es
(∂2ζ + K
2)~E(ζ) = 0
y calcular K en función de los parámetros del problema, es decir, ω y σ.
c. Encontrar la solución general de esta ecuación e interpretarla físicamente.
d. Cuando ε0ω � σ, es decir, cuando el medio es un buen conductor, se puede
hacer un desarrollo en serie de potencias de ε0ω/σ. Se define la longitud de
penetración δ como la distancia que penetra una onda plana en un conductor
para que su amplitud disminuya en 1/e. Probar que para buenos conduc-
tores δ2 = 2/(µ0ωσ). Explicar en términos de la longitud de penetración la
definición de conductor perfecto como aquél para el que la conductividad es
infinita.
1.6 Considérese una guía de ondas coaxial de radio interior a y radio exterior b
cuyas paredes son dos conductores perfectos distintos. Encontrar los modos TEM
que pueden transmitirse en dicha guía. Calcular el flujo de energía a lo largo de la
guía para los modos obtenidos.
1–24 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
1.6. Ejercicios
1.7 Sea una guía de ondas de sección rectangular de lados a en la dirección êx y
b en la dirección êy con a < b cuyas paredes son conductores perfectos. Se sabe
que el modo fundamental es de tipo TE y que la componente en la dirección êx del
campo eléctrico es Ex = E0 sen(πy/b)ei(kz−ωt), donde E0 es una constante.
a. Obtener la componente Ey del campo eléctrico.
b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.
1.8 Sea una guía de ondas como la del problema 1.7 con b = 3a/2. Se sabe que
existe un modo de tipo TE y que la componente en la dirección êy del campo
eléctrico es Ey = E0 sen(πx/a)ei(kz−ωt), donde E0 es una constante.
a. Obtener la componente Ex del campo eléctrico.
b. Calcular la frecuencia mínima de propagación de este modo.
c. Encontrar el campo magnético ~B .
1.9 Demostrar que el gauge de Coulomb es una buena condición de fijación del
gauge.
1.10 Demostrar que los gauges temporal y axial son buenas condiciones de fijación
del gauge.
1.11 Consideremos una densidad de carga ρ y una densidad de corriente ~j en el
vacío.
a. Teorema de Helmholtz. Mostrar que la densidad de corriente (o cualquier
campo vectorial cuya divergencia y rotacional se anulan en el infinito) puede
ser escrita como ~j = ~jt +~jl, donde la parte longitudinal ~jl es irrotacional y
la transversal~jt tiene divergencia nula. Más aún,
~jt(~x , t) =
1
4π
~∇ × ~∇ ×
∫ ~j(~x ′, t)
|~x −~x ′|d
3~x ′,
~jL(~x , t) = −
1
4π
~∇
∫ ~∇ ′ ·~j(~x ′, t)
|~x −~x ′| d
3~x ′.
b. Escribir la ecuación de onda para el potencial vector y escalar en gauge de
Coulomb.
c. Escribir una expresión cerrada para el potencial escalar en la que conste ex-
plícitamente el tiempo. Dilucidar si esta dependencia involucra el tiempo re-
tardado, el avanzado o ambos e interpretarlo físicamente. Demostrar que, en
este gauge y en ausencia de fuentes, el potencial escalar es idénticamente
nulo.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 1–25
Tema 1. Ecuaciones de Maxwell
d. Demostrar que, en el gauge de Coulomb, el término fuente de la ecuación
de onda para el potencial vector depende solo de la parte transversal de la
corriente.
1.12 Demostrar que el resultado de dos transformaciones gauge sucesivas es inde-
pendiente del orden en que se realicen.
1.13 Un campo de radiación está representado por el potencial vector
~A = êy A0 exp i(kxx + kyy−ωt).
Determinar:
a. El potencial escalar en el gauge de Lorenz.
b. La transformación gauge que transformaría los potenciales anteriores en los
correspondientes al gauge de Coulomb (o de radiación).
1.14 Calcular los potenciales escalar y vector creados por una carga puntual en
movimiento.
1.15 Si a una placa conductora se le aplica un campo eléctrico tangencial y un
campo magnético transversal, aparece una componente de campo eléctrico en la
dirección perpendicular a ambos y lineal en la densidad de corriente (efecto Hall).
Demostrar, estudiando el carácter de las cantidades involucradas bajo rotaciones
y reflexiones, que la generalización de la ley de Ohm para un conductor isótropo
sometido a estos campos es
~E = r~j + R(~B ×~j) + αB2~j + β(~B ·~j)~B + O(B3),
donde r es la resistividad en ausencia de campo magnético, R es el llamado coefi-
ciente de Hall y α y β son coeficientes constantes. ¿Cómo se comporta esta ley bajo
inversión temporal? ¿Por qué?
1–26 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
Tema 2
Teoría especial de la relatividad
2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz
2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad
2.1.2. Transformaciones de Lorentz
2.1.3. Adición de velocidades
2.1.4. Elemento de línea
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
2.2.1. Tensores
2.2.2. El tensor de Levi-Civita
2.2.3. Hipersuperficies espaciales
2.2.4. Derivación
2.2.5. Integración
2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva
2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional
2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie
2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional
2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y
de Stokes
2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración
2.3. Grupo de Poincaré
2.3.1. Grupo de traslaciones
2.3.2. Grupo de Lorentz
2.3.3. Operadores de Casimir
2.4. Dinámica relativista
2.4.1. Principio variacional
2.4.2. Cantidades conservadas. Teorema de Noether
2.4.2.1. Cuadrimomento
2.4.2.2. Momento angular
2.4.2.3. Centro de inercia
2.4.2.4. Invariantes de Casimir
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–1
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
2.4.3. Fuerzas
2.5. Partícula libre
2.5.1. Mecánica analítica
2.5.2. Momento angular
2.5.3. Casimires
2.6. Campos relativistas
2.6.1. Leyes de transformación: escalares y vectores
2.6.1.1. Traslaciones
2.6.1.2. Transformaciones de Lorentz: campos escalares
2.6.1.3. Transformaciones de Lorentz: campos vectoriales
2.6.1.4. Transformaciones de Lorentz: campos tensoriales
2.6.2. Principio variacional
2.6.3. Cantidades conservadas. Teorema de Noether
2.6.3.1. Invariancia bajo traslaciones
2.6.3.2. Invariancia Lorentz
2.6.3.3. Invariancia Poincaré
2.6.3.4. Invariancia gauge abeliana
2.6.4. Formulación hamiltoniana
2.7. Ejercicios
2–2 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz
2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz
2.1.1. Postulados de la teoría especial de la relatividad
Un sistema de referencia es un sistema de coordenadas para señalar la posición
espacial de una partícula y un reloj.
Un sistema de referencia inercial es aquél en el que se satisface la primera ley de
Newton: los cuerpos libres, sobre los queno actúa ninguna fuerza se mueven con
velocidad constante. Dos sistemas inerciales se mueven con una velocidad relativa
constante.
Postulado 1. Principio de relatividad: todas las leyes de la física, en ausen-
cia de fuerzas gravitatorias, son idénticas en todos los sistemas de referen-
cia inerciales.
Según este principio de relatividad, las ecuaciones que describen las leyes de la
naturaleza tienen la misma forma en todos los sistema de referencia inerciales.
El principio de relatividad de Galileo está basado en la propagación instantánea
de señales y su rango de aplicación es la mecánica clásica o newtoniana: todas las
leyes de la mecánica son idénticas en todos los sistemas de referencia inerciales.
Sin embargo, no existen interacciones instantáneas. Al introducir el campo elec-
tromagnético, es necesario tener este hecho en cuenta. La velocidad de la luz en el
vacío es la velocidad máxima que puede alcanzar una interacción. Esta es una ley
física y, por tanto, debe ser válida en todos los sistemas de referencia.
Postulado 2. La velocidad de la luz en el vacío c es constante e igual en
todos los sistemas de referencia inerciales.
Estos dos postulados constituyen la base de la teoría especial de la relatividad.
La mecánica newtoniana se recupera en el límite c → ∞, es decir, en el límite de
interacciones instantáneas.
En la mecánica clásica, el espacio es relativo: la distancia entre dos sucesos no
simultáneos depende del sistema de referencia. En efecto, sean ~x 1(t1) y ~x 2(t2) dos
sucesos en el sistema de referencia S. En otro sistema de referencia inercial S′, que
se mueve con velocidad ~v , la posición es ~x ′(t) = ~x (t)−~vt y, por tanto,
|~x ′2(t2)−~x ′1(t1)|2 = |~x 2(t2)−~x 1(t1)|2 + v2(t2 − t1)2
− 2(t2 − t1)~v · [~x 2(t2)−~x 1(t1)].
Sin embargo, el tiempo es absoluto: dos sucesos simultáneos en un sistema inercial
lo son en cualquier otro y, por tanto, t′ = t. Como consecuencia, tenemos la ley
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–3
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
de suma de velocidades: si en S una partícula tiene velocidad ~V y S′ se mueve
con velocidad ~v con respecto a S, entonces la velocidad de la partícula en S′ es
~V ′ = ~V −~v . En efecto, para dos instantes próximos t1 y t2 = t1 + dt,
~V ′ =
d~x ′
dt′
=
d~x ′
dt
=
d~x
dt
−~v = ~V −~v .
Esta ley de composición es incompatible con el carácter universal y finito de la
velocidad de la luz. De hecho, debido a la constancia y finitud de la velocidad de la
luz, en relatividad especial, el tiempo es relativo, es decir, depende del sistema de
referencia en el que se mida: dos sucesos simultáneos en un sistema de referencia
inercial no son necesariamente simultáneos en otro.
En relatividad especial, el tiempo y el espacio son relativos, pero no todo es
relativo como a menudo se dice. Veremos que existen cantidades absolutas y que
son de gran importancia. Entre ellas, el intervalo espaciotemporal ocupa un lugar
sobresaliente.
2.1.2. Transformaciones de Lorentz
En un sistema de referencia inercial S, consideremos los sucesos “emisión de
una señal luminosa en ~x 1 en el instante t1” y “recepción de la señal en ~x 2 en el
instante t2”. Puesto que la velocidad de propagación de la señal es c, se satisface la
relación:
− c2(t2 − t1)2 + (~x 2 −~x 1)2 = 0. (2.1)
En otro sistema de referencia inercial S′, estos dos sucesos estarán caracterizados
por sus coordenadas ~x ′1 y ~x
′
2 y los instantes en que se producen t
′
1 y t
′
2 respectiva-
mente. Como la velocidad de propagación de la señal es también c, se satisface la
relación
− c2(t′2 − t′1)2 + (~x ′2 −~x ′1)2 = 0. (2.2)
Nos preguntamos cuál es la transformación de coordenadas y tiempos que satis-
facen la condición de invariancia que acabamos de exponer. Probemos con una
transformación lineal1.Los coeficientes solo pueden depender de ~v , la velocidad
relativa de los dos sistemas de referencia inerciales que supondremos, por sencillez
y sin pérdida de generalidad, que es de la forma ~v = vx̂. Teniendo en cuenta que el
origen ~x ′ = 0 de S′ tiene como trayectoria en S la dada por ~x = vtx̂ y que hacemos
coincidir el origen de tiempos, la transformación más general tiene la forma
t′ = γ(v)[ f (v)x + t],
x′ = a(v)(x− vt),
y′ = y, z′ = z,
1También existen transformaciones no lineales que satisfacen esta condición de invariancia. Sin
embargo, su uso y significado queda fuera de los contenidos de este curso.
2–4 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.1. Relatividad especial y transformaciones de Lorentz
donde a, γ y f dependen solo de v. Introducimos estas relaciones en la ecuación
2.2 y haciendo uso de 2.1, obtenemos:
(c2γ2 f 2 − a2 + 1)(x2 − x1)2 + (c2γ2 − a2v2 − c2)(t2 − t1)2
+ 2(c2γ2 f + a2v)(x2 − x1)(t2 − t1) = 0
Dado que a, γ, f no dependen de las posiciones o tiempos, cada término debe anu-
larse por separado, lo que implica que
f = − v
c2
, a = γ =
1√
1− v2/c2
,
de forma que podemos concluir que la relación 2.1 es invariante bajo las llamadas
transformaciones de Lorentz:
t′ = γ[t− (v/c2)x],
x′ = γ(x− vt),
y′ = y, z′ = z.
Si S′ se mueve con una velocidad ~v arbitraria, entonces las transformaciones de
Lorentz adquieren la forma
t′ = γ(t− c−2~v ·~x ), (2.3a)
~x ′ = ~x + (γ− 1)(v̂ ·~x )v̂− γ~vt, (2.3b)
donde γ−1 =
√
1−~v2/c2 y v̂ = ~v/v siendo v = |~v |.
Ejercicio 2.1.1 Obtener estas expresiones.
Ejercicio 2.1.2 Demostrar que el resultado de aplicar dos transformaciones de Lo-
rentz depende en general del orden, es decir, que a diferencia de las transforma-
ciones de Galileo, las transformaciones de Lorentz no conmutan.
Ejercicio 2.1.3 Demostrar que las transformaciones de Lorentz pueden escribirse
en términos de “rotaciones” hiperbólicas.
2.1.3. Adición de velocidades
Sea ~V la velocidad de una partícula en S, ~V ′ su velocidad de S′ y ~v la velocidad
de S′ con respecto a S. Entonces
~V ′ =
d~x ′
dt′
=
d~x ′
dt
dt
dt′
=
d~x ′
dt
/
dt′
dt
.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–5
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
Derivando las ecuaciones 2.3 con respecto a t y teniendo en cuenta que ~V = d~x /dt,
obtenemos la ley de adición de velocidades:
~V ′ =
~V + (γ− 1)(v̂ · ~V )v̂− γ~v
γ(1− c−2~v · ~V )
.
Es ilustrativo escribir las leyes de transformación para la componente paralela V‖ a
~v y la componente perpendicular ~V⊥ de ~V = V‖v̂ + ~V⊥:
V′‖ =
V‖ − v
1− c−2vV‖
, ~V ′⊥ =
~V⊥
γ(1− c−2vV‖)
.
2.1.4. Elemento de línea
Podemos definir el intervalo espaciotemporal entre dos sucesos (~x 1, t1) y (~x 2, t2)
cualesquiera (no necesariamente conectados mediante una señal luminosa) como
la cantidad s12 tal que
s212 = −c2(t2 − t1)2 + (~x 2 −~x 1)2.
Ejercicio 2.1.4 Demostrar que esta cantidad también es invariante bajo las trans-
formaciones de Lorentz.
Resulta útil introducir el elemento de línea ds2 entre dos sucesos próximos (~x , t)
y (~x + d~x , t + dt):
ds2 = −c2dt2 + d~x 2,
que es invariante bajo las transformaciones de Lorentz.
Decimos que dos sucesos están separados temporalmente o que su intervalo es
de género tiempo cuando el cuadrado de su intervalo s2 es negativo. Entonces existe
un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismo lugar
pero en distintos instantes de tiempo.
Decimos que dos sucesos están separados espacialmente o que su intervalo es
de género espacio cuando el cuadrado de su intervalo s2 es positivo. Entonces existe
un sistema de referencia inercial en el que ambos suceso ocurren en el mismo
instante pero en distintos lugares.
Finalmente, decimos que el intervalo de dos sucesos es de género luz o nulo cuan-
do su intervalo s2 se anula. Entonces ambos sucesos están conectados mediante una
señal luminosa.
Es importante notar que esta clasificación de los intervalos en género tiempo,
espacio o luz es independiente del sistema de referencia inercial elegido y, por
tanto, es absoluta.
2–6 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
En cada instante de tiempo, llamaremos sistemade referencia propio de una partí-
cula al sistema de referencia inercial cuya velocidad coincide con la de la partícula,
es decir, tal que ~V = ~v . El tiempo propio τ de una partícula es el tiempo medido por
un reloj que se mueve con la partícula, es decir, el tiempo medido en el sistema de
referencia propio. En términos del tiempo t medido en otro sistema de referencia
S con respecto al cual el sistema de referencia propio S′ se mueve con una veloci-
dad instantánea ~v , el tiempo propio τ ≡ t′ se puede obtener a partir de la ley de
transformación de Lorentz 2.3a:
dτ ≡ dt′ = γ(1− v2/c2)dt = dt/γ.
Por otro lado, el tiempo propio y el intervalo espaciotemporal están íntimamente
relacionados. En efecto,√
−ds2/c2 = dt
√
1− 1
c2
d~x 2
dt2
= dt/γ = dτ.
El tiempo propio es siempre menor que el tiempo medido en cualquier otro sistema
de referencia inercial.
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
2.2.1. Tensores
Dado un sistema de referencia inercial, las coordenadas de un suceso espacio-
temporal (t,~x ) = (t, xi), i = 1, 2, 3, pueden considerarse como un cuadrivector
xµ = (ct, xi), µ = 0, 1, 2, 3, en un espacio cuadridimensional, de forma que el ele-
mento de línea entre dos sucesos próximos se puede escribir como
ds2 = −(dx0)2 + ∑
i
(dxi)2
Como hemos visto, este elemento de línea es invariante bajo transformaciones de
Lorentz.
A la vista de la forma del elemento de línea, que nos indica de alguna forma la
distancia entre dos sucesos, introducimos el tensor métrico
ηµν = diag[−1, 1, 1, 1],
cuyo inverso ηµν en sentido matricial (es decir, tal que ηµρηρν = δνµ) es
ηµν = diag[−1, 1, 1, 1].
Debe que notarse que la signatura (el número de autovalores positivos y negati-
vos) de la métrica espaciotemporal es diferente de la elegida en la mayoría de la
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–7
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
bibliografía presentada, si bien es la estándar para la comunidad relativista. Así,
podemos escribir el elemento de línea de la siguiente forma:
ds2 = ηµνdxµdxν.
En esta fórmula, hemos seguido el convenio de sumación de Einstein: los índices
repetidos, uno arriba y otro abajo, suponen una suma sobre todo el recorrido de
los mismos. Seguiremos este convenio en el resto del curso.
El conjunto de todas las transformaciones que dejan el elemento de línea inva-
riante es el grupo de Poincaré y contiene los siguientes tipos de transformaciones:
traslaciones en el espaciotiempo, reflexiones en el espacio y en el tiempo y trans-
formaciones de Lorentz ortocronas propias. Estas últimas, a su vez, contienen transfor-
maciones de Lorentz puras (boosts), como las que hemos estudiado, y rotaciones
espaciales propias. Las transformaciones propias no contienen reflexiones. Llama-
remos transformación de Lorentz ortocrona propia a aquella que se puede obtener
de forma continua a partir de la unidad. A partir de ahora, solo consideraremos
transformaciones ortocronas propias.
En términos de matrices, Λµν es una transformación de Lorentz si el elemento
de línea no cambia al sustituir xµ por
x′µ = Λµνxν.
Diremos que αµ es un cuadrivector contravariante si se transforma bajo el grupo
de Lorentz como el vector de posición espaciotemporal xµ de un suceso:
α′µ = Λµναν.
Definimos también un vector covariante αµ como aquel que se transforma de acuerdo
con una transformación de Lorentz inversa
α′µ = (Λ
−1)νµαν.
Un tensor se transforma como vector contravariante o covariante en cada uno de
sus índices. Un escalar no se transforma bajo una transformación de Lorentz, es
decir, α es un escalar si y solo si α′ = α.
De la invariancia del elemento de línea, obtenemos la expresión
ηµνΛ
µ
ρΛνσ = ηρσ, (2.4)
de la cual no se deduce directamente el carácter tensorial de ηµν. Sin embargo,
multiplicando por Λ−1 dos veces obtenemos
ηµν = ηρσ(Λ−1)
ρ
µ(Λ−1)σν,
lo que nos indica que ηµν es realmente un tensor.
2–8 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
Ejercicio 2.2.1 Probar que ηµν y δµν también son tensores.
El tensor métrico permite establecer un isomorfismo entre los espacios vecto-
riales de vectores covariantes y contravariantes, de manera que a cada vector con-
travariante αµ le asociamos de forma unívoca el vector covariante αµ y viceversa
mediante las relaciones
αµ = ηµναν, αµ = ηµναν,
de manera que
α0 = −α0, αi = δijαj.
Por tanto, el tensor métrico se puede utilizar para subir y bajar índices. Conviene
notar que ηij = δij y que los índices espaciales (latinos) se suben y bajan tanto
con la métrica euclídea δij como con ηij, gracias a que hemos escogido la signatura
(−, +, +, +). Nótese también que las componentes espaciales covariantes y con-
travariantes coinciden numéricamente mientras que las componentes temporales
covariante y contravariante son iguales en módulo pero de signos contrarios.
Ejercicio 2.2.2 Demostrar que (Λ−1)νµ = Λ νµ .
Dado un tensor α···µ···ν···, llamamos contracción de índices a la operación del cálcu-
lo de su traza
α
···µ··· ···
µ = ηµνα···µ···ν···.
2.2.2. El tensor de Levi-Civita
Definimos el tensor de Levi-Civita como
eµνρσ =

+1, si los índices son una permutación par de 0123
−1, si los índices son una permutación impar de 0123
0, si hay dos índices repetidos
Debe notarse que e0123 = −e0123 = −1. Además, el tensor de Levi-Civita es inva-
riante bajo transformaciones de Lorentz ortocronas propias. No lo es bajo reflexio-
nes espaciales o temporales.
Ejercicio 2.2.3 Demostrarlo.
Contracciones del tensor de Levi-Civita:
eµνρσeµνρσ = −4!, eµνρσeανρσ = −3!1! δµα ,
eµνρσeαβρσ = −2!2! δ
µ
[αδ
ν
β], e
µνρσeαβγσ = −1!3! δ
µ
[αδ
ν
βδ
ρ
γ],
donde [· · · ] denota la antisimetriazación de los índices incluidos en los corchetes;
por ejemplo, α[µν] = (αµν − ανµ)/2.
Ejercicio 2.2.4 Obtener estas relaciones.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–9
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
2.2.3. Hipersuperficies espaciales
Una hipersuperficie (tridimensional) Σ es de género espacio si y solo si la separa-
ción entre dos puntos cualesquiera de la superficie es espacial. Esta condición es
equivalente a exigir que la normal a la hipersuperficie sea de género tiempo en
todo punto, es decir, nµ(x)nµ(x) = −1 ∀x ∈ Σ.
Ejercicio 2.2.5 Demostrarlo.
Recordemos que una hipersuperficie Σ está definida en implícitas mediante
F(x) = 0 y que la normal es nµ = ±∂µF/|∂F|. Puesto que nµ es un vector, el carácter
espacial de una hipersuperficie se preserva bajo transformaciones de Lorentz. Así,
las hipersuperficies de t = constante son de género espacio pues nµ = ±(1, 0, 0, 0)
y nµnµ = −1.
Nótese que, bajo transformaciones de Lorentz, las hipersuperficies definidas por
t = constante no se transforman en hipersuperficies definidas por t′ = constante
sino en t′ +~v ·~x ′/c2 = constante.
2.2.4. Derivación
Definimos el gradiente cuadridimensional como el operador que, actuando sobre
funciones escalares, da un vector covariante cuyas componentes son:
∂µ f = ∂ f /∂xµ = (∂0 f , ∂i f ) = (c−1∂t f , ~∇ f ).
La versión contravariante del gradiente es:
∂µ = ηµν∂ν = ∂/∂xµ.
Finalmente, introducimos el operador de D’Alembert, como el laplaciano cuadridi-
mensional con la métrica ηµν
� = ηµν∂µ∂ν = −c−2∂2t + ~∇2.
Ejercicio 2.2.6 Demostrar que ∂µ se comporta como un vector covariante, ∂µ como
un vector contravariante y � como un escalar.
2.2.5. Integración
2.2.5.1. Integración a lo largo de una curva
Sea xµ(λ) una curva en el espaciotiempo de Minkowski. Entonces el elemento
de línea a lo largo de esa curva está dado por el vector tangente infinitesimal
dxµ = ∂λxµdλ,
que es paralelo a la curva.
2–10 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
2.2.5.2. Intregración sobre una superficie bidimensional
Sea xµ(λ1, λ2) una superficie bidimensional que no sea de género nulo. El ele-
mento de área estará determinado por el área del paralelogramo formado por los
dos vectores tangentes canónicos infinitesimales dvµ1 = ∂1x
µdλ1 y dvν2 = ∂2x
νdλ2.
De la geometríaelemental, sabemos que el área de tal paralelogramo es igual al
producto de los módulos de los dos vectores y por el seno del ángulo que forman:
dS = |dv1||dv2| sen α,
donde cos α = dvµ1 dv2µ/|dv1||dv2|. Esta expresión para el área infinitesimal se pue-
de reescribir de la siguiente manera:
dS2 = |dv1|2|dv2|2(1− cos2 α) = [|dv1|2|dv2|2 − (dv
µ
1 dv2µ)
2]
= 2δα[ρδ
β
σ]dv
ρ
1dv
σ
2 dv1αdv2β = e
µναβeµνρσdv
ρ
1dv
σ
2 dv1αdv2β
= dSµνdSµν,
donde
dSµν = eµνρσdv
ρ
1dv
σ
2
es el elemento de área. Notemos que este tensor antisimétrico es perpendicular a la
superficie en el sentido de que, para cualquier vector tangente zµ a la superficie, se
verifica que zµdSµν = 0. Convencionalmente se representa el elemento de superficie
mediante este tensor perpendicular y no mediante el paralelo
dS∗µν =
1
2
eµνρσdSρσ,
que es análogo al elemento de línea dxµ.
Aunque en esta derivación del elemento de superficie hemos supuesto que los
vectores tangentes no son de género luz, la expresión final es también válida en
este caso.
2.2.5.3. Integración en una hipersuperficie
Sea xµ(u1, u2, u3) una hipersuperficie tridimensional no nula en el espaciotiem-
po de Minkowski. De forma enteramente análoga al caso anterior, llegamos fá-
cilmente a la conclusión de que la (hiper)área (el volumen) infinitesimal dσ del
paralelepípedo formado por los tres vectores tangentes canónicos infinitesimales
dvµ1 = ∂1x
µdu1, dvµ2 = ∂2x
µdu2 y dvµ3 = ∂3x
µdu3 se puede escribir de la siguiente
manera:
dσ =
√
|dσµdσµ|,
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–11
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
donde, si nµ es una normal a la hipersuperficie,
dσµ = eµνρσdvν1dv
ρ
2dv
σ
3 = ±nµdσ.
Ejercicio 2.2.7 Deducir estas expresiones.
Notemos que este vector es perpendicular a la superficie en el sentido de que
para cualquier vector tangente zµ a la superficie zµdσµ = 0. Convencionalmente
se representa el elemento de superficie mediante este vector perpendicular y no
mediante el tensor antisimétrico dual
dσ∗µνρ =
1
2
eµνρσdσσ,
que es paralelo a la hipersuperficie y, por tanto, análogo al elemento de línea dxµ.
Ejercicio 2.2.8 Demostrar que dσ0 = d3~x .
Aunque, en esta derivación del elemento de superficie, hemos supuesto implí-
citamente que los vectores tangentes no son de género luz, la expresión final es
también válida en este caso.
2.2.5.4. Integración en un volumen cuadrimensional
El elemento de volumen cuadrimensional es
dΩ = e0123d4x, d4x = dx0dx1dx2dx3.
Ejercicio 2.2.9 Demostrar que el elemento de volumen dΩ es invariante bajo el
grupo de Poincaré. Demostrar que d4x es invariante bajo el grupo de Poincaré
ortocrono propio.
2.2.5.5. Generalizaciones de los teoremas integrales de Gauss y de Stokes
Sea M una región cuadrimensional, ∂M su frontera tridimensional y Tµ un
campo vectorial. Entonces ∫
M
∂µTµd4x =
∫
∂M
Tµdσµ.
Sea Σ una hipersuperficie tridimensional, ∂Σ su frontera bidimensional y Tµν
un campo tensorial antisimétrico. Entonces∫
Σ
∂νTµνdσµ =
1
2
∫
∂Σ
TµνdSµν.
2–12 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.2. Espaciotiempo de Minkowski
Sea S una superficie bidimensional, ∂S su frontera unidimensional y Tµ un
campo vectorial. Entonces ∫
S
eµνρσ∂ρTσdSµν =
∫
∂S
Tµdxµ.
2.2.6. Cuadrivelocidad y cuadriaceleración
Definimos la cuadrivelocidad como el vector
uµ =
dxµ
dτ
≡ ẋµ.
Denotaremos las derivadas con respecto al tiempo propio con un punto: α̇ ≡ dα/dτ.
A menudo, compararemos un sistema de referencia inercial cualquiera con el
sistema de referencia propio cuya velocidad ~v con respecto al sistema de referencia
inercial original es la misma que la de la partícula. Así, uµ = γ(c,~v). Obviamente,
en el sistema de referencia propio, uµ0 = (c,~0). Puesto que τ es invariante y x
µ se
transforma como un vector, uµ también es un vector.
Definimos el vector aceleración bµ como la derivada de la velocidad:
bµ =
duµ
dτ
=
d2xµ
dτ2
.
Teniendo en cuenta que dγ/dt = γ3~v ·~a/c2, es fácil ver que
bµ = (γ4~v ·~a/c, γ4(~v ·~a)~v/c2 + γ2~a)
y que
bµbµ = γ4[γ2(~v ·~a)2/c2 +~a2] ≥ 0.
Ejercicio 2.2.10 Obtener estas expresiones.
Ejercicio 2.2.11 Deducir la ley de transformación Lorentz de la aceleración (~a = a‖v̂ +~a⊥;
~V es la velocidad de la partícula):
a′‖ =
a‖
γ3(1− c−2vV‖)3
~a ′⊥ =
~a⊥
γ2(1− c−2vV‖)2
+
va‖~V⊥
c2γ2(1− c−2vV‖)3
.
Ejercicio 2.2.12 Demostrar que la velocidad y la aceleración satisfacen las siguien-
tes propiedades:
uµuµ = −c2, uµbµ = 0,
es decir, el cuadrado de la velocidad es un invariante constante y la velocidad y la
aceleración son perpendiculares.
Electrodinámica clásica (2007/5/29) luis j. garay 2–13
Tema 2. Teoría especial de la relatividad
Ejercicio 2.2.13
a) Demostrar que todo vector perpendicular a uno de género tiempo es de género
espacio.
b) Demostrar que los vectores perpendiculares a un vector de género espacio o
nulo pueden ser de género espacio, nulo o tiempo.
2.3. Grupo de Poincaré
2.3.1. Grupo de traslaciones
El grupo de traslaciones está compuesto por todas las transformaciones de la
forma
x′µ = xµ + αµ,
donde αµ es un cuadrivector constante. Por tanto, una traslación equivale a un des-
plazamiento del origen de coordenadas. Consideremos una traslación infinitesimal
(con δαµ muy pequeño)
δxµ = x′µ − xµ = δαµ.
Es claro que cualquier traslación se puede obtener mediante a un aplicación sucesi-
va de traslaciones infinitesimales. Si introducimos el operador Pµ = −i∂µ entonces
podemos escribir
δxµ = δαµ = iδανPνxµ.
Finalmente, cualquiera traslación finita se puede obtener mediante la integra-
ción sobre α de esta ecuación:
x′µ = eiα
νPν xµ.
Los operadores Pµ son los generadores infinitesimales del grupo de traslaciones y
están íntimamente relacionados con el momento total del sistema, como veremos2.
Estos operadores obviamente conmutan:
[Pµ, Pν] = 0.
2.3.2. Grupo de Lorentz
El grupo de Lorentz está formado por todas las matrices Λµν que satisfacen la
ecuación 2.4 y que, en particular, implica que det(Λµν) = ±1. Puesto que la trans-
formación unidad tiene determinante 1, todas las transformaciones propias tienen
2 En esta sección, se introducirán los generadores infinitesimales del grupo de Poincaré que
llamaremos momento y momento angular, si bien estos operadores no tendrán las dimensiones
adecuadas. Sin embargo, bastará con multiplicarlos por una constante con dimensiones de momento
angular como }, para obtener operadores con las dimensiones adecuadas.
2–14 luis j. garay Electrodinámica clásica (2007/5/29)
2.3. Grupo de Poincaré
también determinante 1. Además, no pueden contener reflexiones ni temporales
ni espaciales y, por tanto, Λ00 > 0. Por otro lado, la ecuación 2.4 proporciona die-
ciséis condiciones sobre las dieciséis posibles componentes de Λ. Sin embargo, es
claro que no todas son independientes: por ejemplo, la ecuación para ρ, σ = 0, 1
es la misma que para ρ, σ = 1, 0. Las ecuaciones independientes son las cuatro
que corresponden a ρ = σ más las tres correspondientes ρ, σ = 0, i más las dos de
ρ, σ = 1, i ≥ 2 más ρ, σ = 2, 3. En total son diez ecuaciones para dieciséis paráme-
tros. Nos quedan seis parámetros libres.
La expresión de un boost (una transformación de Lorentz pura) asociado a una
velocidad ~v es fácil de obtener a partir de las leyes de transformación 2.3:
Λ00 = γ, Λ
0
i = −γvi/c, Λi 0 = −γvi/c,
Λi j = δ
i
j + (γ− 1)vivj/v2.
Por tanto, la velocidad proporciona tres de los seis parámetros que determinan una
transformación de Lorentz general. Los otros tres parámetros corresponden a las
rotaciones espaciales.
Consideremos una transformación de Lorentz infinitesimal
Λµν = δ
µ
ν + δω
µ
ν.
Teniendo que en cuenta el resultado del ejercicio 2.2.2,
(Λ−1)νµ = Λ
ν
µ = δ
ν
µ + δω
ν
µ
y, por tanto, hasta primer orden en δω,
δ
µ
ρ = Λ
µ
ν(Λ−1)νρ = δ
µ
ρ + δω
µ
ρ + δω
µ
ρ .
Así, podemos concluir que el tensor δωµν es antisimétrico y, como tal, tiene seis
componentes independientes.
Para boosts infinitesimales con velocidades δvi, las únicas componentes no nulas
son
δω0i =