practica 9

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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS
 (Universidad del Perú, Decana de América)
 FACULTAD DE INGENIERIA ELECTRONICA
 Curso: Funciones Análiticas
 Semestre 2019-II 
 Práctica Dirigida N°9 
1. Desarrollar 
5( ) sinf t t en serie de Fourier.
2. Demostrar que la función f(t)=C, es una función periódica de periodo T, para cualquier T>0
3. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at), para s diferente de 
cero, es una función periódica de t con periodo T/a
4. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, e integrable , demostrar que 
1(t) (s)ds
2
t a
a
t a
f f
a


 
 también es periódica con periodo T.
5. Demostrar que si f(t) y g(t) son continuas por tramos en el intervalo / 2,T/ 2T y 
periódicas de periodo T, entonces la función 
/2
/2
1(t) (t s)g(s)ds
T
T
h f
T

 
 es continua y 
periódica con periodo T.
6. Encontrar la serie de Fourier para la función f(t) definida por 
1 0
(t)
0 0
t
f
t


  
 
  , 
( 2 ) ( )f t f t 
7. Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida f(t)=t para el intervalo ,  y 
( 2 ) ( )f t f t  
8. Encontrar la serie de Fourier de la función f(t) definida f(t)=t2 para el intervalo ,  y 
( 2 ) ( )f t f t 
9. Demostrar que si se aproxima una función f(t) por una serie finita de Fourier ( )kS t , 
entonces esta aproximación tiene la propiedad de ser el minimo error cuadrático medio.
10. Demostrar que el error cuadrático medio kE en una aproximación a f(t) por ( )kS t se 
reduce a 
   
/2 2
2 2 20
1/2
1 1(t)
4 2
T k
k n n
nT
aE f dt a b
T 
   
11. Probar la siguiente desigualdad: 
   
/2 2
2 2 20
1/2
2 (t)
2
T k
n n
nT
af dt a b
T 
  
12. Demostrar el teorema de Parseval: 
   
/2 2
2 2 20
1/2
1 1(t)
4 2
T k
n n
nT
af dt a b
T 
  
13. Si na y nb son las sucesiones de los coeficientes de f(t) , demostrar que 
lim lim 0n nn na b   .
14. Demostrar que si f(t) es una función continua por tramos y la integral del valor absoluto de 
f(t) es finita en el intervalo –T/2<t<T/2 entonces :
/2 /2
0 0
/2 /2
lim ( )cos( ) lim ( )sin( ) 0
T T
n n
T T
f t nw t dt f t nw t dt
 
 
  
15. Demostrar el siguiente teorema de diferenciación de las series de Fourier : Si f(t) es 
continua cuando / 2 / 2T t T   con ( / 2) ( / 2)f T f T  , y la derivada '(t)f es 
continua por tramos y diferenciable , entonces la serie de Fourier: 
 0 0 0
1
1(t) cos sin
2 n nn
f a a nw t b nw t


  
 se puede diferenciar termino por termino 
para obtener: 
 0 0 0
1
( ) sin cosn n
n
f t nw a nw t b nw t


  
 
16. Si f(t) es continua cuando / 2 / 2T t T   con ( ) ( )f t T f t  , Demostrar que la serie 
de Fourier 
 0 0 0
1
1(t) cos sin
2 n nn
f a a nw t b nw t


  
, se puede integrar termino por 
termino para obtener: 
 
2
1
0 2 1 0 2 0 1 0 2 0 1
1 0
1 1( ) ( ) cos cos (sin sin )
2
t
n n
nt
f t a t t b nw t nw t a nw t nw t
nw


       
 
17. Aproximar la función f(t)=t en el intervalo ,  , mediante una serie finita de Fourier de 
5 terminos que sean diferentes de cero. Calcular el error cuadrático medio de la 
aproximación .
18. Demostrar que el producto de dos funciones pares o de dos funciones impares es una 
función par, y que el producto de una función par y una función impar es una función 
impar.