Tópicos de Cálculo Vol 2 - Máximo Mitacc & Luis Toro

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n M O L f l f
m i lVOLUMEN 2
' i ¡ i i y
TERCERA EDICIÓN www.FreeLibros.com
TOPICOS DE CALCULO 
VOL. II
- INTEGRAL INDEFINIDA
- INTEGRAL DEFINIDA
• INTEGRALES IMPROPIAS
- APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA
- COORDENADAS POLARES
- RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL
- SUPERFICIES
MAXIMO MITACC MEZA - LUIS TORO MOTA
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TOPICOS DE CALCULO 
VOL. II
TERCERA EDICION 
MAXIMO MITACC - LUIS TORO MOTA
IMPRESO EN EL PERU PRINTED IN PERU
Prohibida la reproducción total o parcial por todos los medios 
gráficos, sin permiso de los autores.
Número de Inscripción en le Registro Nacional 
de Derechos de Autor N° 160
Impreso en los Talleres Gráficos de:
Editorial THALES S.R.L.
TERCERA EDICION Mayo del 2009
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PRÓLOGO
En esta segunda edición de T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. II, nos hem os esforzado por 
presentar el cálculo integral para funciones reales de una variable real y la 
geometría analítica en el espacio, en form a tal que resulte de m áxim o provecho a 
los estudiantes cuyo cam po de especialización no sea estrictamente las 
matemáticas. L a orientación principal del libro es hacia aplicaciones en d iversas 
áreas de la ciencia, lo cual am plía la utilidad del texto.
Aunque en esta edición la estructura básica general no se ha cam biado, se ha 
realizado una gran cantidad de revisiones. H em os reestructurado casi la totalidad 
del capitulo 6 y el capítulo 7, se han hecho una gran cantidad de m od ificaciones a
lo largo de todo el libro, los cuales consisten en ejemplos adicionales 
desarrollados y redacción de procedimientos. E l conjunto de ejercicios propuestos 
se ha m odificado, con la adición de nuevos ejercicios.
E l L ib ro se d ivide en siete capítulos. E n los prim eros cuatro capítulos se hace una 
presentación de la integral indefinida, integral definida, integral impropia, y sus 
aplicaciones. H em os visto por conveniencia desarrollar primero la integral 
indefinida con la finalidad de fam iliarizar al estudiante con las técnicas y/o 
artificios de integración que luego se usan en los capítulos siguientes. E l capítulo 
cinco trata sobre las coordenadas polares y sus aplicaciones. En los capítulos 
siguientes (del sexto al séptimo), se inicia con una introducción breve de vectores 
en el espacio trid im ensional y se continua con recta, plano, superficies y se 
concluye con las coordenadas cilindricas y esféricas.
Nuestro propósito es que esta edición no lenga errores, pero es casi un axiom a que 
todo libro de Matem ática los presente; por tal m otivo consideram os que este texto 
no sea la excepción, a pesar del esmero y la dedicación puesta para detectarlos y 
corregirlos antes de su impresión. E n tal sentido, los autores com partim os la 
responsabilidad de los m ism os, aclarando que d ichos errores han sido com etidos 
solamente por uno de los autores.
Querem os expresar nuestro agradecim iento a los profesores y a lum nos de todo el 
país por la acogida brindada a la edición anterior y esperam os que esta nueva 
edición tenga la m ism a preferencia.
L o s Autores
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I N D I C E
C A P I T U L O 1: I N T E G R A L I N D E F I N I D A
Antiderivada e integración indefin ida.......................................... 1
Propiedades de la integral indefin ida..................................... 4
Integrales inm ediatas........................................................... 5
M étodos de integración........................................................ 10
Integración por sustitución o cam bio de variab le............. 11
Integración por p a rte s .................................... 20
Técnicas de integración........................................................ 29
Integrales de algunas funciones trigonométricas e hiperbólicas 32
integrales de la form a / sen™* c o s - x dx y f s , n ^ x cosk’ x dx 32
Integración por sustitución trigonom étrica ................................ 45
M étodo de integración por descom posición en fracciones parciales 56
Integración de algunas funciones irracionales........... .............. 68
C A P I T U L O 2: I N T E G R A L D E F I N I D A
Sum atoria s............................................................................ 95
Cálcu lo del área de una región plana por sum ato ria s.............. 104
Sum a superior y sum a in fe r io r ............................................ 112
Integrales inferiores y su p e rio re s.......................................... 115
Integral de R iem ann .............................................................. 116
Propiedades de la integral definida ....................................... 120
Teorem as fundamentales del cálculo in te gra l........................ 121
C am b ia de variable en una integral d e f in id a ........................ 130
Integración por partes en una integral d e f in id a ...................... 134
Cálcu lo aproxim ado de las integrales defin idas................... 144
C A P I T U L O 3: I N T E G R A L E S I M P R O P I A S
Integrales im propias con lím ites infin itos.............................. 149
Integrales im propias con lím ites f in ito s ............................... 152
Integrales im propias con integrando no negativo............. . 161
C A P I T U L O 4: A P L I C A C I O N E S D E L A I N T E G R A L D E F I N I D A
Área de regiones p la n a s ....................... ....... ........................... 167
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Vo lum en de un só lido en función de las áreas de las secciones p lanas...... 181
Vo lum en de un só lido de revo luc ión..................................... 185
M étodo del d isco circular y del anillo circu lar...................... 185
M étodo de la corteza cilindrica .............................. ............... 191
Longitud de a r c o .................................................................. 201
Área de una superficie de re vo lu c ió n ................................... 208
M om entos y centros de masa (ó centros de g ra ve d a d )........... 214
Ap licac iones de la integral en los n e g o c io s ............. ............... 229
C A P I T U L O 5: C O O R D E N A D A S P O L A R E S
Sistem a de coordenadas p o la re s ..................................... ........ 237
Relación entre las coordenadas polares y las rectangu lares....... 239
D istancia entre dos puntos en coordenadas p o la re s ................... 240
Ecuación polar de una re c ta .............................. ..................... 241
Ecuación polar de una c ircunferencia ....................................... 243
D iscu sión y gráfica de una ecuación p o la r ................................ 244
Intersección de curvas en coordenadas p o la re s........................... 248
Derivadas y rectas tangentes en coordenadas p o la re s.............. 251
Á n g u lo entre dos curvas en coordenadas p o la re s ...................... 254
Á rea de regiones en coordenadas p o la re s ........................ ....... 262
Longitud de arco en coordenadas p o la re s ................................. 266
Vo lum en de un só lido de revolución en coordenadas polares.... 268
C A P I T U L O 6 : R E C T A S Y P L A N O S E N E L E S P A C I O 
T R I D I M E N S I O N A L
Vectores en el espacio tr id im en siona l....................................... 273
Representación geométrica de un vector en i 3 ....... .................. 274
Vectores paralelos en R 3 .......................................................... 276
M ó d u lo y longitud de un vector en K 3 ...................................... 277
Á n g u lo entre dos ve c to re s......................................................... 278
Vectores ortogonales o perpendiculares..................................... 279 •
Producto ve c to r ia l............. ....................................................... 283
Ap licaciones del producto ve c to r ia l............................................ 285
A p licac ión del triple producto e sc a la r ........................................ 287
Recta en el e sp a c io .............................. ..................................... 295
Relación entre los cosenos directores de una recta....................... 296
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Ecuaciones de un plano en el e sp a c io ......................................... 306
Á n g u lo entre dos p la n o s ............................................................. 319
Proyección ortogonal de una recta sobre un p la n o ...................... 320
C A P I T U L O 7: S U P E R F I C I E S
E s fe r a .................................................................................... 342
D iscu sió n y gráfica de la ecuación de una su p e rf ic ie ................. 347
C i l in d r o s ................................................................................. 352
Superficie de re v o lu c ió n ......................................................... 356
Superficies cuad rá tica s............................................................. 361
Coordenadas cilindricas y coordenadas e sfé rica s........................ 369
Coordenadas esféricas............................................................... 371
A p lic a c io n e s .............................................................................. 373
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( r ' ........ ....1............................ ^
INTEGRAL 
INDEFINIDA
^ ...... .....— ^
1.1 A N T I D E R I V A D A E I N T E G R A L I N D E F I N I D A
En el libro de T óp ico s de Cá lcu lo Vo lum en 1, se trató principalmente el problem a 
básico siguiente: “D ada una función encontrar su derivada” . S in embargo, existen 
m uchas aplicaciones del cálculo que están relacionadas con el problema inverso, 
el cual es: “D ada una función /, definida en un intervalo /, encontrar una función 
F cuya derivada sea la función /, es decir,
F '( x ) = / (x ) , V x G /.
D e fin ic ió n 1. Sea / un intervalo y /: / -> M una función. U na función F: / —» M 
tal que F ' ( x ) = / (x ) , V x G /, se denom ina prim itiva o antiderivada de / en / y 
se escribe
F ( x ) = An t ( / ( x ) ) , V x G /
E je m p lo 1. S e a / ( x ) = 4 x 3 , x G R y g ( x ) = e x , x G B .
Las funciones F(x) = x 4 y G (x ) = e x, x G K, son respectivamente antiderivadas 
de / y g en E , es decir,
F'(x) = ( x 4) ' = 4 x 3 , V x E R 
G '( x ) = ( e xy = e * , V x G l 
Tam bién son antiderivadas de / ( x ) = 4 x 3 las funciones
1007T
F1(x) = x 4 + 2, F2{x) = x 4 + ln7i y F3( x ) = x 4 + - 
pues sus derivadas son iguales a / ( x ) = 4 x 3 
Análogam ente, otras antiderivadas de g ( x ) = e x son, por ejemplo,
V3
G iC x) = e x - 1, G2(x) = e x - e e, C 3 ( x ) = e x + — y C 4( x ) = e x + k 
donde k es cualquier constante real.
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Observación i. Si F{ x ) = A n t ( f ( x ) ) en I, entonces F(x) + C, donde C es una 
constante real, es también antiderivada de f en l.
lista propiedad es evidente, pues si F(x ) = A n t ( J { x ) ) en I, entonces 
F ' ( x ) = f ( x ) , V x e l
Tam bién ( F ( x ) + C ) ' = F'{x) = / ( * ) , V x 6 /. Entonces 
F(x) + C = A n t ( f { x ) ) en /
U na pregunta natural es: “S i F(x) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, ¿cualqu ier otra 
antiderivada de / en I difiere de F a lo más en una constante?”. D ic h o de otro 
modo, si F ^ x ) = A n t ( f ( x ) ) en /, ¿necesariamente Fr (x) = F ( x ) + C, V x e l ? 
La respuesta es afirm ativa y se deduce de la siguiente proposición.
P rop o s ic ió n 1. Sea / :/ -» E una función definida en el intervalo abierto / y 
F:I -» E una antiderivada o prim itiva de /. S i : / -> E es también una 
antiderivada de /, entonces 
F1(x) = F ( x ) + C 
para alguna constante C.
Dem ostración
D efin im os la función H por H(x) = F ^ x ) - F (x ) . Entonces 
H'(x) = Fi(x) - F' {x) = f ( x ) - f ( x ) = 0, V x E l 
Luego, H'(x) = 0 , V x e l .
D e aquí se deduce que H( x ) = C , V x e l , donde C es una constante (ver 
Coro la rio 1 del T .V .M . T óp ico s de Cá lcu lo Vo l. 1). Luego, se tiene
H(x) = F iC O - F{x) = C <=> F^ x) = F(x) + C , V x e l
Geométricamente, sign ifica que si F( x ) = A n t ( f ( x ) ) en el intervalo /, cualquier 
otra antiderivada de / en I es una curva paralela al gráfico de y = F(x) (Fig. 1.1).
T O I% ()S DE C Á L C U L O - VOLUMEN II
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INTEGRAL INDEFINIDA
D e fin ic ió n 2. Sea F ( x ) una antiderivada de f { x ) definida en el intervalo I. L a 
in tegra l in d e f in id a 'd e f ( x ) es e f conjunto de todas las antiderivadas de f ( x )
definidas en d icho intervalo y se representa mediante el sím bolo
J f ( x ) d x = F ( x ) . + C 
donde C es una constante real que se denom ina constante de in tegrac ión .
L a func ión / ( x ) se llam a integrando, f { x ) d x es el elemento de integración, x 
variable de la integral- y el s ím bolo j se denom ina sím bolo de la integral. La 
expresión / / ( x ) d x se lee “ integral de f ( x ) con respecto a x ” o “ integral 
indefinida de / ( x ) diferencial x ” .
Observación 2, De la definición 2 se deduce las siguientes propiedades:
i) ^ ( J / ( x ) d x ) — ( J / ( x ) d x ) = ( F ( x ) + c y = f ( x ) , es d e c i r :
“la derivada de la integral indefinida es igual al integrando "
ti) d / ( x ) d x j = / ( x ) d x j d x = f { x ) d x
¡ii) Si f es una función derivable en I, entonces una primitiva de f es f . Luego,
J f ' { x ) d x = f ( x ) + C
iv) Como d { f { x ) ) = / ' ( x ) d x , de (iii) se deduce:
J d ( / ( x ) ) = f ( x ) + C
D e las propiedades ii) y iv), se concluye que la integral indefinida puede 
interpretarse com o una operación inversa de la diferenciación, pues al aplicar la 
integral indefinida a la diferencial de la función f { x ) , ésta reproduce la función 
/ ( x ) m ás la constante de integración.
E je m p lo 2. D e l ejemplo 1 se deduce:
i) J e xd x = e x + C
ii) J 4 x 3d x = x 4 + C
E n la figura 1.2 se muestra la gráfica de las antiderivadas de / ( x ) = e x , es decir, 
de F ( x ) = e * + C , donde C es una constante real. S i C > 0, la gráfica de y = e x 
se desplaza paralelamente C unidades hacia arriba y si C < 0, se desplaza 
paralelamente C unidades hacia abajo.
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 
Ejem plo 3. Como d (x ln x - x ) = ln x dx, por la obs. 2-iv , se deduce:
J d ( x l n x — x ) = J \ n x d x = x l n x - x + C
, , í 1 xEjem plo 4. J - ^ —j = - ar c t a n - + C , pues
n x \' 1
( -a r c ta n - + C) = -
1
__ 2__
X ̂1 +=r4
1
4 + x 2
1.2 P R O P I E D A D E S D E L A I N T E G R A L I N D E F I N I D A
P rop o s ic ió n 2. S i / y g son funciones que admiten antiderivadas en el intervalo / 
y k es una constante cualquiera, entonces las funciones / ± g y k f admiten 
antiderivadas en / y se tiene:
a) [ í f ( x ) ± g ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± J g ( x ) d x
b ) I [ k f ( x ) ] d x = k j f ( x ) d x 
D em o stra c ió n
a) Com o | J [/ (x ) ± 5 (x )]d x j = / (x ) ± ^ ( x ) = / (x )d x j ± J g ( x ) d x ,
entonces J [ f (x ) ± g ( x ) ] d x y J f ( x ) d x ± J g ( x )d x son las antiderivadas 
de / ( x ) ± g ( x ) . Po r tanto,
j [ / ( * ) ± 9 ( x ) ] d x = J f ( x ) d x ± j g ( x ) d x
b) L a dem ostración queda com o ejercicio para el lector.
D e la parte (a) se deduce que la integral indefinida de una sum a algebraica de 
varias funciones es igual a la sum a algebraica de sus integrales.
E je m p lo 5. Calcule j (e x - 4 x 3 + ln x )d x .
So luc ión . E n virtud de la proposición 2 y de los ejemplos 1, 2 y 3 se obtiene:
J (e x - 4 x 3 + ln x ) d x = J e xdx - J 4 x 3d x + J l n x d x
= ( e x + Ct ) - ( x 4 + C2) + ( x l n x - x + C3)
= e x - x 4 + x In x - x + C, d on d e C = Cx + C2 + C3
En lo que sigue solamente usarem os una constante ún ica de integración para la 
sum a de 2 o m ás funciones.
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S i conocem os f ' ( x ) , por la observación 2-iii se deduce que
j f ' ( x ) d x = f ( x ) + C ó J d ( f ( x ) ) = f { x ) + C
Esta integral se denom ina integral inmediata. Po r ejemplo, una integral inmediata 
es / d x = x + C. Enseguida, presentaremos una tabla de integrales inmediatas, 
que contiene, además de las integrales de funciones elementales, otras que serán 
de m ucha utilidad. Po r comodidad, en lugar de la variable x usarem os la letra u. 
M á s adelante, verem os que u puede ser una función, es decir, u = u (% ).
F Ó R M U L A S E L E M E N T A L E S D E I N T E G R A C I Ó N
1. J du = u + C 2. j — = ln|u| + C
f un+1 f
3. undu = ---------------- + C ,n — 1 4. e udu = e + C
J n + 1 J
f ciu f
5. \ a udu = --------b C 6 . | sen u du = - c o su + C
J ln a J
7. J eos u d u = sen u + C 8 . j tan u d u = ln[sec u| + C
9. J c o tu d u = ¡njsen u¡ + C 1 0 . J secu du — ln|secu + tan u| + C
” ■ / ese u du = ln|csci¿ — coti¿| + C 12. J sec2u du = tan u + C
13. J csc2u du = — cot u + C 14. J se cu tan u du = se cu 4- C
15. J ese u cot u du = — ese u + C 16. J senh u du = cosh u + C
17. j cosh u du = senh u + C 18. j tanh u du = ln|cosh u| + C
19. J sech2u du = tanh u + C 2 0 . J cschJu du = - c o th u + C
2 1 . J s e c h u tpnh u d u = — se ch u + C
2 2 . J c sc h u coth u d u = — c o sh u + C
INTEGRAL INDEFINIDA
1.3 I N T E G R A L E S IN M E D IA T A S
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■h
■ h
du
+ u- a
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
1 U
arctan — + C , (a > 0)
1 u — a
= — ln
2a u + a
1 u + a
= — ln
2a u - a
+ C , (a > 0) 
+ C , (a > 0)
26
f du u
—= = = arcsen - + C , (a > 0)
-a rc se c ------1- C , (a > 0)
a
29
30
a r c s e n - + C , (a > 0 ) 
a j
f du i ,-----------1
27. I - p = = In u + V u 2 ± a 2 + C
v u 2 ± a 2
r du 1
28. — ;..= -
J u v u 2 — a 2 a
. J yja2 — u 2du = — juVa 2 - u 2 + a
j yj'u2 + a 2du = - |u%/u2 + a 2 4- a 2 ln (u + J u 2 + a 2)j 4- C
31. J yju2 - a 2du = - [u v u 2 - a 2 - a 2 ln |u + V u 2 - a 2j] + C
Cada una de éstas fórm ulas se pueden verificar mediante la derivación (respecto a 
la variable u).
Por ejemplo, en el caso de la fórm ula 24 se tiene:
dd / 1 iu — ai\ 1
du \ 2 a n lu + aU 2a (ln|u - a \ - ln|u + a|)¡L UU
1 1 1 1 
2a u - a u + a
P o r tanto
f du 1 iu - a i
■ I —̂ ------ j = t;—ln --------- + C
J u '- — a 2 2a lu + a l
En el caso de la fórm ula 18, se tiene:
d s e n h u
— ( In co sh u|) = — —— .?= tanh u 
du co sh u
De lo a n te r io r se deduce que J tanh u d u = ln|cosh u| + C.
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Ejem plo 6 . Calcule J ( 6x 4 - x 2 + 3 )du.
Solución
U sando las fórm ulas de integración, tenemos
J (6x 4 - x 2 + 3 ) d u = J 6x 4dx - J x 2d x + J 3dx 
= 6 J x 4dx - J x zd x + 3 J dx
6 x 3
= - x 5 - — + 3x + C
Ejem plo 7. Calcule J (v 2 — \ [x)2dx.
Solución
C om o (V 2 — V * ) 2 = (2 — 2 V 2 V x + x ), entonces se obtiene
j (V2 - yfx)2dx = 2 J dx - 2V 2 J x 1/2dx + J xdx
r3/2 y 2
= 2 „ _ 2 V 2 _ + y + C
= 2 x - ^ 4 2 x 3/z 4 - ^ x 2 + C
f 3 x 5 — 6x 2 + yfx
Ejem plo 8. Halle I ------------------- ---- dx.
J x 6
Solución
D iv id iendo término a térm ino el integrando y aplicando las propiedades de la 
integral, se tiene
f 3 x s - 6 x 2 + t J x f f dx f
I ---------- --------------dx = 3 I x dx - 6 I ------ ¡- x s/2dx
2
- x 3 - 6 \n\x\ ~ - x 3l2 + C
En los ejemplos anteriores, el método para hallar las integrales consistió en tratar 
de descom poner el integrando como la sum a algebraica de varias funciones y 
luego aplicar las propiedades enunciadas en la p roposición 2. Este método es 
llamado "m étodo de integración por descomposición”. E n ciertas funciones, 
descom poner la función en sum as parciales no es tarea fácil, pues depende de la 
experiencia, habilidad y práctica del que calcula.
INTEGRAL INDEFINIDA
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/
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
dx
Ejem plo 9. Calcule ,
J se nh 2x co sh -x 
So lu c ión
1 co sh2x - senh2x
Como -----—----—— = -----------—---------—— = csch^x - sech2x, entonces
s e n r rx co sh -x senh2x cosh^x
/ se n h 2x c o sh 2x = / CSCh2* dx ~ / Sech2* dx = ~ COth X “ tanh x + C
r x 2 + 2
Ejem plo 10 . Encuentre ■ --------dx.
J x 2(x 2 + 4)
So lu c ión
Expresando el num erador del integrando en términos de los factores del 
denominador, resulta
2 1 
+ 2 = x z + - ( x z + 4 - x 2) = - [ ( x 2 + 4 ) + x z ]
Ahora, escribim os la integral como la sum a de dos integrales (haciendo las 
sim plificaciones en cada integrando) y obtenemos
í * ¿ + 2 l f i ! + ( i 2 + 4 ) i r d x 1 r dx
J x 2( x 2 + 4 ) X ~ 2 j x 2( x 2 + 4 ) 2 J x 2"+~4 + 2 J x 2̂
1 rl 1
~ 2 l2 í
i ri x 
: arctan -
+ 2
1 X 1
- a r c ta n - - — + C
4 2 2x
í x 2 — 5
Ejem plo 11 . Halle / = — —— — dx
J x 2( x 2 - 9)
Solución
Procediendo del m ism o m odo que en el ejemplo anterior, resulta
x 2 — 5 = x 2 + | ( x 2 - 9 - x 2) = | ( x 2 - 9 ) i- -”X 2
9 9 9
_ f í * 2 + | ( * 2 - 9 ) 4 r dx 5 r dx
J x 2( x z - 9 ) d x - 9 j x 2 - 9 + 9 j I 2
4 1
= 9 ' ¿ ln
x + 3
x — 3
5 2 ix + 3| 5
~ 9 x + ° ~ 2 7ln L — 31 ~ 9 x + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
3 dx
J x 2( x 2 + 5)
So lu c ión
Usando el m ism o procedim iento de los ejemplos anteriores, se obtiene
3 3 3
3 = - (x 2 + 5 — x 2) = — (x 2 + 5) - - x 2 . Luego,
3 , 7 . , . , , 3 2 j
Ejemplo 12. Halle
_ r ^ ( x 2 + S ) - ^ x 2 d x ^ 3 r d x 3 r 
J x 2( x 2 + 5 ) 5 J x 2 5 J x 2 + 5
3 x
arctan — + C
5x 5 V 5 V 5
Ejem plo 13. Sea /: R -> K una función continua en E tal que
m =2 y = * e
\ e x, x > 1
Determ ine f ( x ) .
Solución
( - 1, oo < x < 0 f - x + Cu x < 0
/ '( x ) = | 1 . 0 < x < l => f ( x ) = I x + C2 , 0 < x < 1
l e * , x > l l e * + C3 , x > l
D e la continuidad de / en E, se tiene
0 / (O ) - l*m / ( x ) = ü m / ( x ) <=* 2 = C, = C2 (1 )x-»0_
ii) / ( l ) = lim _ / (x ) = lim + / ( x ) «=> 1 + C2 = e + C3 ( 2 )
Reso lv iendo las ecuaciones (1) y (2), se obtiene: = 2, C2 = 2 y C3 = e - 3.
í - x + 2 , x < 0
P o r tanto, / ( x ) = | x + 2 , 0 < x < 1
le* + e - 3 , x > 1
Observación 3. Una identidad útil en el proceso de integración es 
1 1
a2 - u2 2a a — u a -r u
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 
f dx
Ejem plo 14 . Calcule I — —
Solución
U sando la identidad de la observación 3, se tiene
(■ d x _ 1 f r 1 1
J x 4 — 9 ~ ~ 6 J i x 2 + 3 + 3~—~}
111 * 1
- — a rc ta n — + — — ln
6 LV3 V3 2V3
x 2 + 13
dx
+ V 3
- V 3
+ C
f x + 13
Ejem plo 15 . Encuentre - -- dx.
J V F T 9
Solución
Trabajando de manera adecuada en el numerador del integrando, se obtiene
f x 2 + 13 , f ( x 2 + 9 ) + 4 f r—------ f dx
. d x = — — dx = \ y jx 2 + 9 dx + 4 1
J V x 2 + 9 J V x 2 + 9 J J V * 2 + 9
= - j * V * 2 + 9 + 9 ln (x + y j x 2 + 9 )] + 4 ln (x + j x 2 + 9 ) + C 
= 2 [ W * 2 + 9 + 17 ln (x + J x 2 + 9 )] + C 
1.4 M ÉTO D O S D E IN TEG R A C IÓ N
Antes de presentar los métodos de integración “por sustitución o cam bio de 
variable” y “por partes”, es necesario hacer notar una diferencia esencial entre las 
operaciones de derivación y de integración. Dada una función elemental (función 
que se obtiene mediante un número finito de operaciones de suma, resta, 
multiplicación, d iv isión y com posic ión de funcionesde las funciones: constante, 
potencia ( y - x a ), exponencial ( y = a x), logarítm ica ( y = lo g a x), 
trigonométricas y trigonom étricas inversas), su derivada mantiene la m ism a 
estructura, es decir, también se expresa com o una función elemental, m ientras que 
en la integral indefinida, esto solamente sucede en condiciones m uy especiales.
Por ejemplo, las integrales sim ples com o 
l ^ i x . f e * d x .
J V i + x 3 d x , J ser¡(x2) d x , j c o s ( x 2) dx
no pueden ser expresadas en térm inos de “com binaciones finitas” de funciones 
elementales.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Del punto de vista práctico, la integración se presenta como una operación más 
com plicada que la derivación, pues ésta tiene reglas generales de derivación; 
mientras que para la integración es posible hacer artificios que son vá lidos para 
clases particulares de funciones. Cada caso particular requiere un ensayo, una 
tentativa, por lo que se recom ienda práctica, más práctica y más práctica.
1.4.1 I N T E G R A C I Ó N P O R S U S T IT U C IÓ N O C A M B I O D E V A R I A B L E
Para hallar la integral indefinida por este método, d iv id im os nuestro aná lisis en 
dos partes: reconocim iento del m odelo y cam bio de variable.
En el reconocim iento del m odelo realizamos la sustitución mentalmente, mientras 
que en cam bio de variable escribim os los pasos de la sustitución.
E l procedim iento de sustitución en la integración es comparable con la regla de la 
cadena en la derivación. Recuerde que para funciones derivables y = f { u ) y 
u = g ( x ) , la regla de la cadena establece
S i hacem os la sustitución u = g ( x ) , entonces a partir de la defin ición de la 
integral definida tenemos
A sí, hem os probado la siguiente proposición:
]
P ro p o s ic ió n 3. S i y = f ( u ) es una función derivable de u, u = g ( x ) es una i 
función derivable de x y F es una antiderivada de /, entonces |
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) dx = F ( g (x ) ) + C (Reconocim iento del m odelo)
S i hacemos el cam bio de variable u = g ( x ) , entonces du = g ' ( x ) d x . Luego,
d
J f ' { g ( x ) ) g ' ( x ) d x = f { g ( x ) ) + C = f ( u ) + C
J f ( g ( x ) ) g ' ( x ) d x = J f ( u ) d u = F ( u ) + C
Ejem plo 16. Calcule J ( x 3 + l ) 4 3 x 2 dx. 
Solución
Sea t = x A + 1 . entonces d t = 3 x 2 dx . Luego,
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 
í X 4
Ejem plo 17 . Halle la integral I - d x .
J Vx5 + 1
Solución
S i t = x 5 + 1 , se tiene d t = 5x 4d x . Entonces
f x 4 , 1 f 5x 4dx i r ,,, 1 7 £í„
T 'f •- dx = r Tr , = c f “ d t = - - - t 6/7 + C
J Vx5 + 1 5 J Vx5 + 1 5 J 5 6
= ¿ 7 ( * 5 + i ) 6 + c
r Sexdx
Ejem plo 18 . Calcule la integral J - ^ = = = = .
Solución
S i u = e x , se tiene du = e * d x . Luego, se obtiene
f S e xdx f du
...... = 5 --- = 5 arcsen u + C = 5 arcsenfe*) + C
J Vi - e 2* J V l ^ ü 2
f s e n h x c o s h x
Ejem plo 19 . Calcule I = — ----------— - — dx.
J (1 + senh 2x ) 5
Solución
S i consideram os u = 1 + se n h 2x , se tiene d u = 2 senh x co sh x d x . Luego,
f ? du 1 í 1 u“4 1
/ - J - ¡ ^ - 2 j U d U ~ 2 ( ^ ) + C - - 8( 1 + s e n V x y + C
f a rc senV x dx 
Ejem plo 20 . Halle I — ■ = = — .
■/ V x — X 2
Solución
r- . ' 1 d x d x
Si se hace u = a r c s e n V x , se tiene du = ------- — = = — ■— ..... . Por tanto,
V T ^ x 2V x 2V x - x 2
r arcsenVx dx f 2
J — — = J 2u d u = u + C = [arcsenVx] + C
= arcsen2 Vx + C
Observación 4. En ciertos casos, es necesario realizar algunas operaciones en el 
integrando para que el cambio de variable sea más fáci l de realizar.
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INTEGRAL INDEFINIDA
Ejemplo 21. Calcule I I 2 + J2 + J 2 + 2cos (5\/x + 4 ) • x 1/ 2dx.
Solución
En el integrando, aplicam os la identidad trigonométrica
9 1 + eos 9
eos — = ------ —
2 2
Q
ó 1 + eos 0 = 2 e o s2 —
- í
1 = 2 + 2 + |2 [ l + eos (5V3c + 4 )] • x i /2dx
- i . ! 2 + 12 + 2 cos 5-^ + 4 ■x~1/ 2dx = J 2 + 2 eos
5 V * 4- 4 1/2dx
5 V x + 4 5 _ . 16
Si u = ----- — -, entonces du = —~x ,¿dx <=> — du = x ' ‘ d x . Luego,
8 16 5
32 f 3 2 32 / 5 V x + 4 \
/ = — I eos u du = — sen u + C = — sen I ----- g— | + C
Ejem plo 2 2 . Halle / = J x dx
e3* ( l - x ) 4
Solución
Luego de expresar el denom inador en una sola potencia, tenemos 
x e x d x C x e x dxf x e d x r xe 
= J e 4x( l — x ) 4 = J ( e x — .e 4x( l — x ) 4 J ( e x - x e x) 4 
Lucho, hacemos u = e x — x e x . Entonces du = —x e xdx ■*=> —du = x e xdx 
l)c esiii manera, se obtiene:
/ f du _ 1
J u4 3u 3
+ C =
3 e 3* ( l - x ) 3
+ C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
E jem plo 23. Calcule / = J
(x 2 - 1)dx
(.x 2 + l ) V x 4 + 1 
Solución
D iv id iendo el numerador y el denom inador entre x 2 , se tiene 
, = f f t 1 ~ x 1) d x
Si u = x + - , entonces du = ( l -----t ) dx
x \ x 2)
V u2 = x 2 + — + 2 ^ u 2 — 2 = x 2 + — . Por tanto, se obtiene 
x 2 x-
r du 1 |u| 1 ( x 2 + 1
I = — ...... = — aresee — + C = — aresee ■
J x W u 2 — 2 V 2 V 2 V 2 \ V 2 |x|
f x + 2
Ejem plo 24 . Calcule / = I -------- ^ “.x.
J (X — i-J
Solución
S i hacemos u = x — 2 , se tiene du = dx . Luego,
/ = J (U +J )dU = | (u~3 + 4 u -4)du
u “ 2 4 , 3 x + 2
= - — " 3 “ +C = - ^ 2 F +C
r x íix
Ejem plo 25. Calcule / = | f = .
Ii + x 2 + 7 ( i + x 2) 3
Solución
La integral puede escribirse com o
x d x f x d x/
1 + x z + V ( l + x 2) 3 V l + W l + V l + x 2
,--------- x d x
Si consideram os i¿ = 1 + V x 2 + 1< entonces d u = . Luego,
V x 2 + 1
/ = J — = J u í/2du = 2 Vü + C = 2J 1 + V 1 + x 2 + C
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Ejem plo 2 6 . Calcule I = J x V x + 4 dx.
So lu c ión
Si se hace u = V * + 4 , entonces u 2 = i + 4 y d x 
/ = [ ( u 2 - 4 )u. 2u du = j (2 u4 - 8 u 2)d u
INTEGRAL INDEFINIDA
2u du . Por consiguiente,
(x + 4 ) 3/2
15
( 6 x - 1 6 ) + C
E J E R C I C I O S
J 4 x ( x + 1 ) d x
4 d x
Vó — x ^ 
d x
/?. - x 3/2 + 3 x + C 
R. ^ x 5/z + 3 x3/2 + C
/?. 4 arcsen — + CV6
x ( x 2 — 8 )
7 x 2 + 16 
x 4 + 4 x 2 
18 d x 
9 x z - x 4 
3 d x 
x 2 + 4 x - 5 
4 dx
V — 4 x 2 — 2 0 x — 9
J V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 d x 
1
* ~ 16ln x 2 - 8 + C
3 x 4
/?. - a r c t a n ---------- 1- C
2 2 x
/?. 2 1 in
x 3
\\n
x - 1
x + 5
x + 3 
+ C
+ C
2 x + 5 
R. 2 a r c s e n ------------ i- C
R. (2 x + 3 ) V ~ 4 x 2 - 1 2 x - 5 + 4 a rcsen
2 x + 3
+ C
10.
I I.
2X3X
-dx (D'ÍÊ s)-3 /6 ' * 25
scn h x d x 
(1 + co sh x ) 3 
dx
c o s 2( l - 4 x )
R. -■ ■+ C
2 (1 + c o s h x ) :
R. - - t a n ( l — 4 x ) + C 
4
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TONICOS Dii C Á LC U LO - V O LU M LN II
13. J cos(7x + 4 ) d x
14. J c l'2x~r,) d x
15. J (lnX + l ) e x l nxdx
16.
dx
x ln2x
f dx
17. ---------
J x ln x
18. J 4 xe x dx
dx
19.
20./
sen2x V c o t x - 1 
tan2xsen x e
c o s Jx
ev*3e
2'. I
‘I dx
23.
(1 4- x 2) ln(x 4- Vi + x 2) 
arctan* + x l n ( x 2 + 1 ) 4 - 1
1 -f X 2
1
R. - s e n ( 7 x 4- 4 ) 4- C
R. - e i2x- ^ 4- C
R. x x + C
R. — --------b C
In x
R. ln I In x I 4- C
( 4 e ) x
R. ------ ~ + C
1 4- In 4
3
R. - - ( c o t x - 1 ) 2/3 4- C
R. - e ta,>2* 4- C
2 ( 3 eÆ )
R. t ~ T ~ + c In 3
R- 2 J l n ( x 4- -J1 4- x 2) 4- C
dx
R■ e arctanx 4- — ln (x 2 4- 1) 4- arctan x 4- C
4
24,
25
26
J i
I
■ /
sen x 
dx
■dx R. sen x 4- ■ • *+■ C
1 4- co s lO x 
dx
R. — tan 5 x 4- C
V 2 x 4- 1 - yjx
R. 2 ( V 2x 4- 1 4- V x ) — 2 [a rc ta n V 2 x 4- 1 4- a rc ta n V x ] 4- C
^ f ( X 2 - 2 x + l ) 1/5 j
27. -------- ---------------- dx
J 1 - x R. - - ( x - 1 ) 2/ 5 4-C
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28. J x 2x( \nx + 1 )dx 
' V2 + x 2 — V2 — x 2
x 2x
R . — + C
INTEGRAL INDEFINIDA29.
30.
31.
32.
33.
34.
35.
36.
37.
38.
39.
40.
41.
42.
f 
/ V ^ T 
h
V 4 — x 4 
dx
-dx
+ sen x 
x - a rctan 2x
+ 4 x 2 
ln ( ln x )
■dx
f ln ( ln x j 
J x l n x
I
dx
2X 4- 3 
dx 
V e * - 1 
x c o s x
/
f sen x
J 
/
V2 - se n 4x 
dx
4 + 5 c o s 2x 
dx
4 + 5 se n 2x 
dx
-.dx
ex + 4 
In 3 x 
x In 5 x
d x
ln (x + V x 2 + 1)
/
i
/
/ v r
43. j V l + c o s x dx
« . J .
1 + x2
+ se n x d x
d x
*• arcsenf t ) - senl’" ' © + c
/?. - [ (x + l ) 3/2 — (x - l ) 3/2] + C
R. tan x - s e c x + C
1 1
/?. - l n ( l + 4 x 2) - - a r c t a n 2( 2 x ) + Co Z
1
R. - l n 2( l n x ) + C
R. - x - ^ K 2^ 3) + c
R. 2 arctanVfc^ - 1 + C
R. - a r c s e n _
2 \ V2 + C
1 ( 2 tan x \
R. - a r c t a n ) — -— ) + C
R.
1
(L tan x \
A 3 J
( 2 cot x
V 3 )■
arctan ( — =— | + C
1
R. - - l n ( l + 4e x) + C
R. In — ln| ln5x| + l n x + C
R. - [ ln (x + V x 2 + 1 )] + C
R. — 2 V l — sen x + C
e x + e x
R. 2 V l - c o s x + C 
R. a rc ta n (e *) + C
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y f W -
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
d x 4f dx 4
45' ~ r = = /?• ~(Vx + 1) 3/2 - 4(Vx + 1 )1/2 + C
J vvx + 1 á
4 8 . I j;Z se n l ' fsenx + x ros r In r i d r ß , ì x 2 senx + ^
2 '
f arctanVx
• J v ï + æ + x * d x R • tarctan^ r + C
*n í ( x - 2 ) , _ _ f y f x 2 - X + l \
' j *• 2 arcse" (----- Ï----- ) + c
3. j x2senx~i(senx + x cosx In x)dx
'■ í ~ i------ —------ R. J l n x + V l n x + ... + C
e lr,(2x)4 in x + V l n x + ... + o o — x 
f eos 6x + 6 eos 4x + 15 eos 2x + 10
J eos 5x + 5 eos 3 x + 10 c o s x dX R - 2 s e n x + C
f sen 8 x d x 1 / 'sen2 4x \
5L I 9 + senHx R' J^arctan (— 3— j + C
f c o s 2x ( t a n 2x + 1) 1
52. —---------- ----------- —— dx R --------------------- 1- r
J (sen x + c o s x ) 2 1 + tan x
4 9 .
f I s e c x - tan x
b3‘ J J s e c x + t a n x d* R' >n|secx + tan x | - ln(secx) + C
54. J c s c 3x d x R. - - [ e s c x c o t x 4- ln|csc x - cotx|J + C
55. J s e c 3x d x R. - [ ln lse c x + tan x| + s e c x tan x ] + C
f e 2x 2
5 6 ' J 4 t+ ~ é* dX fi- - ( e í - l ) 3/2 - 2 ( e I + l ) 1',2 i - C
r V ^ T e arctan * + ln f ( l + x 2)'íx2eX- x2] + V é ^ = T
57. I ---------------- *-------------dx
J \l 1 4- y -̂\!p x 4- y2pX — v2 — 1
R. earctan* + ^ ln 2 ( l + x 2) + arc tanx + C4
q s f x d x n 1
J ( x - l ) 5e 4x R■ ~ 4 (x — l ) 4e 4Ar + C
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2ex + e x 
59- 1 3^ - ^ dx
I n x dx 
x 3 ( l n x — l ) 3
4 dx
60
61
/
/
f ---------- =
J cos x v l -
INTEGRAL INDEFINIDA
fi. l n | V 3 e 2* - 4 V 3 - e " 2*| + C
1
R. -
2 x 2( ln x - l ) 2
+ C
se n 2x + 2 c o s2x _____________________
R. 4 ln [(tan x — 1) + V t a n 2x - 2 tan x + 3] + C
62. J (4 — 3 l n x ) 4 d ( l n x )
f e * V e * + 2 
J ex + 6
x 5 d x
63 •dx
■ /
■ J
x 3 - 8
. 1 + tan x
65. | --------— d x
sen 2x
/?. - — ( 4 - 3 1 n x ) s + C
Ve* + 2
fi. 2 V e * + 2 - 4 a rc ta n ----- -------- h C
x3 8 
fí. Y + - l n | x 3 - 8 | + C
/?. - ln | c s c 2 x - cot 2x\ + tan x + C
6 6 . U n a función /: R -
« o ) = - f y / ' W = l2 + 1
es continua en E y satisface: 
x + |1 - x|
Halle f ( x ) .
x < 1R. / W = arctan* - 2 '
(. l n ( x 2 + 1 ) - arctan x - In 2 , x > 1
67. H alle la ecuac ión de la cu rva para el cual y " = y que es tangente a lax
2
recta 2 x + y = 5 en el p un to (1; 3 ) R. y = — + 1
6 8 . Halle la ecuación de la curva cuya tangente en el punto (0; 2 ) es horizontal y
/ 10 \
tiene punto de in fle x ión en ( — 1 ; "g - ) y y " ; = 4.
2 vR. y = - x 3 + 2 x 2 + 2
x 2 + V i + x
69. E n cuen tre la an t id e r iv a d a de / ( x ) = — j---— — , de m od o que d icha
an tide r ivada pase p o r P ^0;
VTTx
7 0 9 \
2 80/
, „ r3 , 6 3 6 _______
R. (1 + x ) / - (1 + x ) - - (1 + x ) + - + - V l T x 
L8 5 L 1
+ 1
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Sean u y v dos funciones definidas y derivables en el intervalo /. Por la regla de 
la diferencial del producto, se tiene
d ( u v ) = u d v + vd u 
Podem os reescribir la expresión como 
u d v = d ( u v ) - vd u 
Integrando am bos lados de la igualdad se obtiene la fórm ula
J u d v = u v — j vdu
Esta fórm ula es conocida com o fórmula de integración por partes.
Observación 5. La idea básica de la integración por partes consiste en calcular 
la integral original mediante el cálculo de otra integral, la cual se espera que sea 
más simple de resolver que la integral original dada.
Para descomponer el elemento de integración en dos factores u y dv, 
normalmente se elige como la función u aquella parte del integrando que se 
simplifica con la derivación y d v será el factor restante del elemento de 
integración. Esta no es una regla general, pues en la práctica la habil idad y la 
experiencia del que calcula son las mejores herramientas.
Observación 6. Cuando se determina la función v a partir de su diferencial dv, 
no es necesario considerar la constante de integración, pues si en lugar de v se 
considera v + C, C constante, entonces
j u d v = u ( v + C) - j ( v + C)du = u v - J v du
Esto significa que la constante C considerada no f igura en el resultado final.
E jem p lo 2 7 . Calcu le j ln x dx.
Solución
De acuerdo con la sugerencia dada en la observación .2, e legim os
1
u = l n x = > du = - dx 
x
d v = dx = s v = J dx = x (no se considera la constante de integración) 
Por la fórm ula de integración por partes, se obtiene
í , f x dx
J ln x d x = x ln x - I - x \ n x - x + C
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
1.4.2 M É T O D O DE IN T E G R A C IÓ N P O R PAR TES
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Ejem plo 2 8 . Calcule I = J (x 2 + 3x - 1 ) e Zxdx.
Solución
Escogem os
u = x 2 + 3x — 1 = > du = (2 x + 3 )d x 
\ d v _ g 2x^x ^ v — J e 2xdx = — e 2x
Luego, obtenemos
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x - J ( * + 2 )
En la última integral (m ás sim ple que la original) aplicam os nuevamente la 
integración por partes con
( 3
¡u = x + - = $ d u = dx
d v = e 2xd x = * v = - e 2x
2
INTEGRAL INDEFINIDA
Por lo tanto,
/ = - ( x 2 + 3x - l ) e 2x
02x
= ( x 2 + 2x - 2 ) — • + C
Ejem plo 2 9 . Calcule / = J e ax cosbx dx. 
Solución
Escogem os
<u = e ax => d u = a e ax dx 
1
d v = eos bx d x = > v = 7- sen 6x 
b
Entonces,
1
/ = - e a* sen 6 x 
b ~í ¡ e axsen bx dx = - — sen bx b ¡í e axsen bx dx
Integrando nuevam ente p o r partes en | e ax sen bx d x , escogem os 
C u = e ax = > d u = a e ax dx
/'
|d y = se n bx dx =* v = — — co sb x
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 ̂ = ~b e<XX' S6n ~ ~b [ ~ b G<ÍX C° S + b í eaXQ0S^x d x \ ó
1 a a 2
1 = - e ax sen bx 4- — e a* c o s b x - ~ I
o b z b 2
Ahora, se despeja / de la última ecuación y al resultado final se sum a la constante
de integración
1 . a2 \ , a x í s e n b x a c o s b x \ 
e ax
1 = — — (b sen bx 4- a eos bx) + C
a 2 + b 2 '
Ejem plo 3 0 . Calcule / = j sec5x dx.
Solución
En primer lugar, escrib im os la integral dada como
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
De esta manera, se obtiene
/ = J se c 5x d x = J sec3x. sec2x d x
jltima integral,
f u = se c3x =
'■dv = se c 2x i
En la última integral, utilizam os integración por partes eligiendo
(u = se c3* = * du = 3 se c3x tan x dx
• dx =$ v = t a n x 
Entonces,
/ = tan X se c 3x - J 3 sec3x ta n 2x dx 
l = tan x se c 3x - J 3 se c3x ( s e c 2x - 1 )d x 
I = tan x s e c 3x - 3 j se c 5 x d x 4- 3 J s e c 3 x dx
I = tan x sec x - 3 / 4 - 3 J V I + tan2x se c 2x dx
3
41 = tan x se c Jx 4- - ( s e c x tan x 4- ln | secx 4- ta n x| )
1 3
/ = - tan x se c 3x 4- - (sec x tan x 4- ln| secx 4- ta n x | ) 4- C
22
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INTEGRALINDEFINIDA
Ejem pia 31- Calcule J x arctan x dx.
So lu c ió n
E scogem os
dx
u = arctan x => du — ■
1 f x 2 dx
/ = \ x arctan x dx = — arctan x
2 2 J 1 + x 2
x 2 d x 'f x d x
Para ca lcu la r la in tegra l ------- r , se efectúa la d iv is ió n y se tiene:
J 1 + r
, = T araan)I‘ l / ( i - r í ^ ) * r
X 2 1 ( x 2 + 1) 1
= — arctan x - - ( x - a rctan x) + C = ----- ------ arctan x - - x + C
¿ L> £* Lt
f c o s x + x sen x — 1 
E je m p lo 32. Calcule / = J ----- ^ x— ^ 2—
c o sx + x sen x — í
32. Calcule / = j 
So lu c ión
Utilizando la identidad se n 2* + c o s2x = 1, escrib im os la integral com o 
f c o s x + x sen x - se n 2x - c o s2x 
Í = J (se n x - x ) 2
f - c o s x ( c o s x - 1) - sen x ( se n x - x)
1 I ---------------^ ^
/
(se n x - x ) 2 
■ c o s x ( c o s x — 1) f sen x dxf - c o s x ( c o s x - 1) f 
J (sen x - x ) 2 J (sen x - x)
I
Para la integral J, aplicam os la integración por partes con
Í u = — eos x => du = sen x dx
( c o s x - 1 )dx ^ _ 1
dV ~ ( se n x - x ) 2 ^ v ~ ( Sen x - x )
Luego,
c o s x " f s e n x d x f s e n x d x 
/ = --------- +
f sen x d x f
J ( s e n x - x ) Jsen x - x J (se n x - x ) J ( se n x - x ) 
Por lo tanto,
cosx
/ = -------------- + C
sen x - x
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Ejem plo 3 3 . Calcule / = J dx.
Solución
Separando la integral en la sum a de dos integrales, se tiene
I = J ~ d x + J e x \n x d x 
¡
Para la integral / , hacem os j u ~ ^ n x = > d u = —
vdi? = e x d x =$ v — e x
A sí,
1 = j ~xdx + \eX]nx ~ I ~̂ dx\ = e * l n * + c
r ^.garctan*
Ejem plo 3 4 . Calcule / = í -----------------dx.
J (1 + x 2)3/2 ux
Solución
g arc tan x
Como la integral de — ^ 2 es inmediata, elegimos
g arc tan x
d v = - ..2 d x
1 + x 2
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Luego, tenemos 
x e ar<
V T + x 2 J ( 14*2)3721 ~ ’ ' n- ■ --- ~ j — ---~dx
J
E n la integral J consideram os
1 , x d x
u = ■■■•. = * d u = - -
V í T ? ( i + * 2) 3/2
g a rc ta n x
dv = — ------— dx => v = e arctanjc
1 + x 2
Luego, se tiene
~ ”—^an x r
i =
V i + x 2 v r + i ^ j ( i + * 2) 3/2
dx
-i «arc ían x ( v _ < \
Portante, l = i - -■_ ! ? i i + c
2 V i + x 2
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INTEGRAL INDEFINIDA 
Otra form a de calcular la integral del ejemplo anterior es hacer el cam bio de 
variable t = arctan x y la integral se transform a en J e csert t dt.
E je m p lo 35. Calcule / = [ ■ 
J
senh2x dx
(x cosh x — senh x ) 2 
S o lu c ió n ,
M u ltip licando y d iv id iendo entre x, se tiene
/ f senh x x senh x dx
J x (x co sh x - senh x ) 2
A ho ra escogem os
s e n h x x co sh x - s e n h x
u = ----------=¡> d u = ----------■— ---------------dx
x x l
x se nh x 1
d v = -------- -------------- -— — dx = > v
( x co sh x - senh x ) 2 x co sh x - s e n h x
Entonces
senh x r dx
x ( se n h x - x c o s h x ) J x 2
se nh x 1
1 = — ----- :---------------- r - r - - - + C
x ( s e n h x - x c o s h x ) x
f e enx(x co sJx — sen x )
E je m p lo 36. Calcule / = I ----------------- --------------- dx.
J CQS¿X
So lu c ión
T enem os l = J x e sen x eos x d x - J
sen x 
sen* ---------- d x
C O S2X
( u = x = > d u = d x ...
h n h a c i e n d o < , ,en _ , _ se obtiene
t d f = e eos x d x = > v = e
" J
'i
Kn /2, hac iendo
U = x e senx
(u = e sen * = > d u = e sen * eos x d x
, sen * . 1 re su lta
d v = — — a * = * v = -------
co s^ x c o s x
l2 = ----------- [ e senx d x = e senx sec x - [ e senx dx
c o s x J J
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v3
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
E JE R C IC IO S
Calcule las siguientes integrales indefinidas.
1. J x 2 l n x dx
2. J (7 + x — 3 x z ) e~ x dx
3. J x se c2x dx
4. J a rc se n (2 x)dx 
_ f l n x
* J ^
6 . J ln (x + V i + x 2) dx
7. j eos ( l n x ) dx
8 . J s e n ( l n x ) d x
9. J x a rc ta n 2x dx
R. — (3 l n x — 1) + C
ñ. ( 3 x 2 + 5 x - 2 ) e _* + C 
fí. a : ta n x + ln|eosx| + C
V i - 4 x 2 
/?. x a resen 2x h------------------ 1- c
1 + 2 l n x
-— --------1- C
4 x 2
R. x ln (x + V 1 + x 2) - V 1 + x 2 + C
X
R. - [ s e n ( l n x ) + eos ( ln x ) ] + i '
/?. - [ s e n ( l n x ) — eos ( ln x ) ] + C
R- 2 [(*2 + l) a r c ta n 2x - 2x arctan x + l n ( x 2 + 1)] + C
10 / a rc se n 2x d x 
ii.
fx,n(hr)
L í ,J i r r n c v — c o n v V 
f —
J (x + i y
R. x aresen2* + 2 VI - x 2 aresen x - 2x + C
R. ln x |ln (lnx) - 1| + C 
x 2 + 1 ( X — 1
x 2 dx 
( x c o s x - sen x ) 2
( x 2 + l ) e x
R.
R.
R.
- ln (— )
Vx + 1/
sen x ( e o s x - sen x ) 
2x e x
x + C
eot x + C
x + 1
e x + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
15.
16.
17.
18.
19.
2 0 . 
2 1 . 
22 .
23 .
24.
25 .
27.
2H.
x e*
( 1 + x ) 2
dx R. ----------+ e x + C
1 + x
x e
_ 1 ̂
x a rctan y j x 2 — l d x R. - x 2 a rc ta n V * 2 - 1 - 1 + C
(1 - x 2) 3/2 
arctan *
d x
arcsen x 1 /?. + — ln
-dx R.
V i - x 2 2 
arctan x
1 - x
+ C
1 + x
+ In|x| — l n i / l + x 2 + C
es c 5x d x R.
X ( X + 1 \
V i — X 2
e 2*c o s ( e * ) d x 
e a* s e n ¿ x d x
- c s c 3x c o tx - - ( e s e x c o tx + ln|cscx + co tx| )j + C
R. Vi - x 2 ln f------ + 2 a rc se n x + C
Vx + 1 /
/?. e*sen(e*) + cos(e*) + C
■ [a sen bx — b co s b x J + C
a rc ta n (V x + 1) d x 
ln (V x + V i + x ) dx 
se n 2( I n x ) dx
a 2 + b 2
R. (x + 2 )a rc ta n V x + 1 - V x + 1 + C 
R. {x + ln (V x + V x + 1) — ~ V x 2 + x + C
R. x se n 2 ( ln x ) - - [x se n (2 ln x ) - 2 x eos (2 In x ) ] + C
^gS en x C 0 S 4 X _ ^
C O SJX
d x
R. e sen x - - [see x tan x + ln | secx + tan x |] + C
( x 2 - se n 2x )
-dx R. x ( c s c x - c o t x ) + C
x - sen x eos x + x eos x - sen x 
(a rcco s x - ln x) d x R. x á rceos x - V 1 - x 2 — x ( In x - 1) + C
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29. S i / (x ) = —a / ( x ) y g " ( x ) = b g(x), donde a y b son constantes, hallar 
la integral:
TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
j f M g " ( x ) dx
’• /
30. I 4 x 3 a rc sen — dx
x a rctan x 
31. I ~~7Z-----T^rdxí
’-P 
I
35. I
(1 + x 2) 4
x 4 — x a rctan x
32. | — — -------— — dx
(1 + x2)2
, a rc se n V x
33. | ------ —— dx
V x
, 1 /x
■dx
.. r x 2se c 2x
37. I — -------------------^~z^dx
J (tan x - x sei
> /
^ 2cai.2,
(tan x - x se c 2x ) 2 ' 
1
dx
arcsen 
39 1 ---------- *x3
41. j arctan^ jVx - 1 dx
43.
/ senh" ‘J r -d x
(e 2* - x 2) ( x - 1)
45. J -------- d x
x 2ex
se n x + 1
(x + c o s x ) 2
a ln (x + a + V x 2 + 2 a x ) 
(x + a ) 2
a + b l f ( x )g ' ( x ) - f ' ( x ) g ( x ) } + C
-yx 2 - 1 + c
/
34. eos x e x dx
36.
38.
:eos x d xJ x e x i 
J x a rctan V x 2 - 1 d x
• /
’■ /
c o sh 2x d x
(x senh x - c o s h x ) 2
ln (2 + Vx)
42. | — ' ' ' dx
Vx
44. I (x sen x + eos x ) ( x 2 - c o s2x ) d x
f x c o s x
J (x - 
■ / 
f
• J - = = [ l n ( l + X ) * - ln ( l - x ) * ]
46. J co sh 3 x eos 2 x dx
í * 5 / l+ * \
48. I : In ( --------Jd x
J V I - x 2 Vi - x /
d x
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1.5.1 Integrales de algunas funciones que contienen un trinom io cuadrado 
de la form a: /
d x f dxI
INTEGRAL INDEFINIDA
1.5 T É C N IC A S D E IN T E G R A C IÓ N
I. í — 5— --------- II. í —
J p x 2 + qx + r J j rp x 2 + qx + r J j p x 2 + qx + r
n ] [ (ax + b)dx f ( ax 4- b)dx
J p x 2 + qx + r J J p x 2 + qx + r
En los casos ( I) y (II), es suficiente completar cuadrados en el trinom io y aplicar 
las fórm ulas que correspondan: (23), (24), (25) ó (26).
En los casos ( I I I ) y ( IV ) se usa el siguiente artificio:
a aq
ax + b = — (2 px + q) — — + b
2 p 2 p
La expresión2 p x + q es la derivada del trinom io cuadrado. Entonces
(ax + b ) d x a f (2p x 4- q ) d x ( a q \ f dxr (ax 4- b)dx a C (2px + q)dx / aq\ f
J p x 2 + qx + r 2p j p x 2 + qx + r V 2 p) ) ;p x 2 + qx + r
a / a q \
= —— ln [p x ¿ + qx + r| + I b - — 1A
2 p V 2 p)
Por otro lado,
(ax + b ) d x a f ( 2px + q ) d x / a q \ f dxI' (ax + b) dx __ a f (2px + q)dx ^ ^ aq ̂ f 
J yjpx2 + qx + r J J p x 2 + qx + r ' 2p / J J p x 2 + qx + :
a /— -̂-------- ( acl\
= - V p x 2 4- qx + r 4- \ b - — j B
p \ 2 p)
I ,as integrales (¿4) y (B) son de los casos I y II, respectivamente.
E jem p lo 37. Calcule las siguientes integrales:
3 d x f dxf 3 d x f
J 4 x z 4- 4x - 3 J x 2 - 2x 4- 10
f 2 dx í 5 dx
J \ l x 2 4- 6x 4- 18 ̂ i V — x 2 — 8x — 12
So lu c ión
Com pletando el cuadrado en cada trinom io y aplicando las fórm ulas de 
m ig ra c ión , tenemos
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f 3 dx 3 r 
J 4 x 2 + 4 x - 3 ~ 2 J
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
2 x - l ¡3 dx 3 f 2 dx 3= l̂n
(2x + l ) 2 - 4 2x + 3
+ C
f dx f dx 1 ( x - l \
■) J x 2 - 2x + 10 J ( x - l ) 2 + 9 “ 3 arCtan( _ 3~ J + C
( 2 dx r dx , ,--------------------,
c) 7 f ■ ¿ . T i = 2 1 t =~ = 2 ln * + 3 + V x 2 + 6x + 18 + CJ V x 2 + 6x + 18 J J ( x + 3 ) 2 + 9 L J
„ f 5 d x r d x /x + 4 \
d) I 7 ' 0 ~ „ „ = 5 — — ■ = = 5 arcsen ( — -— ) + C
i V - x 2 - 8x — 12 J ^ 4 - (x + 4 ) 2 v 2 )
E je m p lo 38. Calcule las siguientes integrales:
f (3 x - 5 )d x r (1 - 4 x )d x
J x2 + 6x + 18 J V9x2 + 6 x ^ 1
c) í 2 ~ ‘ i x d ) ( - ( i i i í W í
J V x 2 + lO x + 21 J x ( x + 3)
So lu c ión
Com pletando cuadrado en cada trinom io y usando el artificio indicado, se tiene
3 3
a) 3 x — 5 = — (2 x + 6 ) — 9 — 5 = — (2 x + 6 ) — 14. Entonces
f (3 x — 5 )dx _ 3 r (2 x + 6 )d x f dx
J x 2 + 6x + 18 2 J x 2 + 6x + 18 1 4 J ( x + 3 ) 2 + 9
3 , / , 14 /x + 3 \
= 2 (x + 6x + 18 ) — — arctan — -— J + C
4 4 2 7
b) 1 — 4 x = — — (1 8 x + 6 ) + l + — = — - (1 8 x + 6 ) + — . Luego,
f Cl ~ 4 x )d x _ _ 2 [ (1 8 x + 6 )d x ^ 7 1 f 3 dx 
J V 9 x 2 + 6 x - 3 9 J V 9 x 2 + 6x - 3 + 3 3 J y/ ( 3x + l ) 2 - 4
4 : 7 ----------------------------------------------------
= — - V 9 x 2 + 6x - 3 + - l n 3 x + 1 + V 9 x 2 + 6x - 3 + C y y i i
1 1
c) 2 — x = — — (2 x + 10) + 2 + 5 = — - (2 x + 10 ) + 7. Entonces
(2 - x )d x 1 f (2x + 10 )d x f dxf __ ( 2 — x)dx _ i r (2x + 10)dx f
J Vx2 + lO x + 21 ~ 2 j Vx2 + lO x + 21 + 7 i 'V x 2 + lO x + 21 J V ( x + 5 )2 - 4 
= - V x 2 + 10x + 21 + 7 ln Ix + 5 + V x 2 + 10x + 2 l| + C
30
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d)
INTEGRAL INDEFINIDA
(4 4- 5x ) 5 f 2x 4- 3 7 f dxf (4 4- 5 x ) 5 f 2x 4- 3 7 f
J x (x + 3 ) dX 2 j x 2 + 3 x dX 2 J í 3V 9 
\ x + 2) 4
5 7 i x
= - ln | x 2 + 3x\ — - l n
2 6 I * 4- 3 '
E je m p lo 39. Ca lcu le las siguientes integrales:
 ̂ f ( 3 e 2x - 4 e x) ^ ^ ^ (senh x + 3 coshx) ^
J V 4 e * — e x — 3 J coshx(6 senh2x 4- senh 2x + 5)
So lu c ión
a) I
( 3 e 2x - 4 e x) f (3ex - 4 )e *d x
v '4 e * - e * - 3 J V 4 e * - e 2* - 3 
S i se hace t = e x , entonces d t = e x d x . Luego,
f ( 3 1 - 4 ) d t 3 f (4 - 2 t ) d t f d t
l =
j- ( 3 1 - 4 ) d t _ 3 I" (4 — 2 t ) d t + ̂ [ d t
J V 4 t - t 2 - 3 2 j V 4 t - t 2 - 3 J yjl - (t - 2 ) 2
= - 3 V 4 í - t 2 — 3 + 2 arcsen(t — 2) + C
= —3yj4ex — e 2* — 3 4- 2 a rcsen (e * — 2) 4- C
r (senh x + 3 cosh x ) dx 
 ̂ ^ J c o s h x (6 se nh 2x 4 -senh 2x 4 -5)
= /:
(senh x + 3 c o sh x ) dx
cosh x (6 se n h 2x 4- 2 senh x cosh x 4- 5)
D iv id iendo num erador y denom inador entre c o sh 3x , se tiene
J
= J
(tanh x 4- 3) sech2x dx
6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 sech2x
(tanh x 4- 3) sech2x dx
J 6 tanh2x 4- 2 tanh x 4- 5 (1 — tanh2x )
A h o ra bien, si t = tanh x , entonces d t = se ch 2x dx. Po r consiguiente.
r (t 4- 3) d t _ 1 f (2t + 2) d t n f d t
1 ~ J t 2 + 2 t+ 5 ~ 2J t 2 + 2 t + 5 + 2 J (t 4- l ) 2 4- 4
1 , , /tanh x + 1\
- ln | ta n h 2x 4- 2 ta n h x 4- 5| 4- arctan ^------ --------J 4- C
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Recordem os las siguientes identidades:
1. sen2u + cos2u = 1 2. sec2u _ tan2u = 1
3. csc2u - cot2u = 1 4 sen2u _ 1 ~ cos 2u
2
r , 1 + cos 2 u
5. cos2u = -------------------- 6 cosh2u _ senh2u = 1
7. sech2u + tanh2u = 1 8. coth2u _ csch2u = 1
9. senh2u = ~ 1 10 cosh2u = cosh 2 u + l
¿ 2
Estas identidades son m uy importantes en los artificios para resolver ciertos tipos 
de integrales de funciones trigonométricas e hiperbólicas.
TÓPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
! '5‘2 rH IP E R B Ó U C A ES ALGUNAS FUNCI° NES T R IG O N O M É TR IC A S
I. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J se nmx cosnx dx y j se n h mx e o sh n* dx.
Se consideran 2 casos:
CASO 1: Uno de los exponentes m ó n e s un entero im par positivo.
0 S i m es impar positivo, se factoriza sen x dx (o se n h * d j ) y se expresa los 
senos o senos hiperbólicos) restantes en función de cosenos (o cosenos 
h iperbólicos) usando la identidad
se n 2* = 1 — e o s2* (ó se n h 2* = c o sh 2* - 1)
ii) S. n es impar positivo, se procede de manera sim ilar, es decir, se factoriza 
eos * dx (o co sh x dx) y se expresa los cosenos (ó cosenos h iperbólicos) 
restantes en función de senos (o senos h iperbólicos) usando la identidad.
e o s2* = 1 - s e n 2* (o c o sh 2* = 1 + s e n h 2* )
Ejemplo 40 . Calcu le las integrales
a) I se n 3* eos4* dx b) J senh 5* V ^ i h 7 dx
Solución
a) / = J se n 3* eos4* dx = J sen2* eos4* (sen * dx)
= - cos2*)cos4* (sen * dx)
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INTEGRAL INDEFINIDA 
E n la últim a integral, hacem os u = eos x =* du = - s e n x d x . A s í, se tiene
/ = J (1 - ii2) u 4 ( - d u ) = - f Cu4 - u6)d u = - y + y + C
•(5 eos2* - 7) + C
co s5x
35
b) f se n h 5x V ^ i h l d x = J (co sh2x - l ) 2(cosh x ? ' 2 (senh x dx)
= J (co sh9/2x - 2 co sh 5/2x + co sh 1/zx )(se n h x dx)
= J L c o s h 11/2x - ~ co sh7/2x + \ co sh3/2x + C
11 7 3
CASO 2 : Ambos exponentes m y n son pares y m ayores o iguales a cero.
En este caso, se usan las identidades:
1 - eos 2 x , 1 + eos 2 x
se n 2x = -------^------- y C° = -------2-------
/ eosh 2 x - 1 . , co sh 2 x +
í ó se n h 2x ------- ------ y co sh x = ----- - J
A l efectuar las operaciones, se obtienen térm inos que contienen potencias pares e 
impares de eos 2 x (ó co sh 2 x ). L o s térm inos que tienen las potencias impares se 
integran teniendo en cuenta el caso 1. L o s térm inos que tienen las potencias pares 
se reducen de nuevo usando sucesivamente las identidades indicadas.
Ejemplo 41. Ca lcu le las integrales:
a) J se n h 4 3 x dx b) f se n 2x c o s4x d x
Solución
a, f senh-3, ¿ r = / ( E S Í J p i ) 2 dx = i J (c o Sh>6* - 2 cosh 6 * + 1) dx
= 1 f ( £ £ í < y í l í l _ 2 c0 sh 6 , + l ) d ,
= ^ | (cosh 1 2 x - 4 cosh 6x 4- 3 ) dx
= i f — senh 1 2 x - ^ s e n h 6 x + 3 x ) + C 
8 \12 3 >
33
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
. 2u f 4 , f / I - c o s 2 x \ /I 4-cos2x\
b) J sen-x cos4x dx = J ( ------- ------- j ( -------------- J dx
= - J (1 + eos 2x - cos22x - cos32 x) dx
1 f / 14- cos4x\ 1 [
- g J ^1 4- eos 2 x ----------------- j dx - - I (1 - sen22 x)(cos 2x dx)
= ¿ J (j + C0S 2X ~ \ C0S 4X) d X ~ l 6 j <'1 ~ sen22x)(2 cos 2x dx)
1/x 1 ̂ 1 \ 1 / 1 \
= 8 (2 + 2 SGn 2* ~ 8 Sen 4X) ~ T 6 [ Sen 2X ~ 3 sen32x) + C
1 ( sen 4x sen 32 x \
= 16{ X — 4- + — ) + C
II. IN T E G R A L E S D E L A F O R M A : J tanmx secnx d x , j co tmx c sc nx d x ,
J tan h mx se chnx dx y J co thmx cschnx dx.
Se consideran 2casos: m entero positivo impar y n entero positivo par.
C A S O 1. S i m es un entero im p a r positivo, se factoriza t a n x s e c x d x 
(ó c o t x c s c x d x ó tanh x sech x dx ó coth x csch x dx) y se expresa las 
tangentes (ó cotangentes ó tangentes hiperbólicas ó cotangentes hiperbólicas) 
restantes en térm inos de s e c x (ó e se x ó s e c h x ó c s c h x ) mediante la 
identidad: ta n 2u = se c 2u - 1 (ó co t2u = c sc 2u - 1 ó ta n h 2u = 1 - se ch 2u 
ó co th2u = 1 4- c sch 2u).
E je m p lo 42. Calcu le las siguientes integrales: 
f tan3x r
3) J : dx b) J cotSxdx
c) J tanh3x V se c h x dx d) j cothsx csch3x dx
So lu c ión
f tan3x f tan2x r sec2x - 1
3) J ^ c dx = J i ^ (tan* Sec* dx) = J - ^ i^ ( t a n x s e c x d x )
= j (sec~3x - sec~5x ) (tan x sec x dx)
(si u = s e c x , du = s e c x tan x d x)
1 -9 1 1 ,
= - - s e c x 4- - s e c 4x 4-C = - c o s 2x (c o s 2x - 2 ) 4-C2 4 4
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f f C0 t4X ,
b) cot 5x d x = -------- ( c o t x c s c x d x )
J J CSC X
INTEGRAL INDEFINIDA
f (csc2x — l ) 2
= -------------------(cot x csc x dx)
J c scx
= - í (csc3x - 2 c scx 4-------- ) ( - c o t x e scx dx )
J cscx
c4x \
--------csc2x + ln|cscx| I + k
f , ,--------- f tanh2x
c) tanh3x v s e c h x d x = ,........: (tanh x sech x x a x )
J J V se c h x
1 — sech2xf 1 - se c rrx 
= — ^ = = _ (tanh x sech x dx)
J V se c h x
= - J (sech~1/2x — sech3/,2x ) (— tanh x sech x dx) 
= — ^2V se c h x — - s e c h 5/2x j + C
d) j coth5x csch3x d x = J coth4x csch2x(co th x c sc h x ) dx
= J (1 + csch2x ) 2 csch x (coth x csch x d x )
= - J (c sch x + 2 csch3x + csch5x ) ( - c o t h x c sc h x d x )
n i i \
= — I - cschzx + - csch4x + - csch6x 1 + C 
\2 2 6 /
CASO 2. Si n es un entero p ar positivo, se factoriza se c2x d x (ó c sc 2x d x ó 
se ch2x d x ó c sch 2x d x ) y el resto de las secantes (ó cosecantes ó secantes 
hiperbólicas ó cosecantes hiperbólicas) se transforman en térm inos de 
tan x (ó c o tx ó tanh x ó coth x) usando la identidad se c 2x = 1 + ta n 2x 
(ó c sc 2x = 1 + co t2x ó se ch 2x = 1 - tan h 2x ó c sch 2x = co th 2x - 1 ).
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c) J tanh2x sech4x dx d) j csch6x d x
Solución
a) j tan3/2x s ec4x d x = J tan3/2x s ec2x(sec2x dx)
= j tan3/2x ( l + tan2x ) ( se c 2x dx)
- J (tan3/<2x + tan7/2x )(se c 2x dx)
(si t = tan x , dt = se c 2x dx)
2 2
= - t a n 3/2x + - t a n 5/2x + C
O 7
b) J csc4x dx = J csc2x (c sc 2x dx) = - J (1 -f cot2x ) ( - c s c 2x dx)
(si t = cot x , dt = — csc2x dx)
= - ^cot x + ^ cot3x j + C
c) j tanh2x sech4x d x = / tanh2x ( l - tanh2x )(se c h 2x dx)
= J ( tanh2x - tanh4x )(se c h 2x dx)
1 , 1 
= - t a n h 3x - - t a n h 5x + C
d) J csch6x dx - J (coth2x - l ) 2 (csch2x dx)
= - J (coth4x - 2 co th2x + l ) ( - c s c h 2x dx)
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
Ejem plo 43. Calcule las siguientes integrales:
a) J ta n 3/2x sec4x dx b) j csc4x dx
= - ^ - c o th 5x - - coth3 x + coth x j + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
I I I . I N T E G R A L E S D E L A F O R M A :
J se n (mx) cos(nx) d x , J sen(mx)sen(nx)dx , J eos(mx) cos(nx) d x , 
J senh(mx) co sh (n x ) d x , J senh(mx)senh(nx)dx y 
j co sh (m x ) co sh (n x ) dx.
Para calcular estas integrales se usan las fórmulas:
1
a) sen (mx) eos (nx) = - [sen (m - n)x + sen (m + n)x]
b) se n (m x )se n (n x ) = - [co s(m - n ) x - eos(m + n) x]
c) eos (mx) eos (nx) = - [cos(m - n) x 4- eos (m + n) x]
1
d) se n h (m x ) co sh (n x ) = - [senh (m + n)x + senh (m - n)x]
1
e) se n h (m x ) se n h (n x ) = - [co sh (m + n ) x — eosh(m — n )x ]
1
f) co sh (m x) co sh (n x ) = — [cósh(m + n) x + eosh (m — n)x]
E jem p lo 44. Calcule las siguientes integrales:
a) J sen 2x eos 3 x dx b) j eos 3 x eos 4x dx
c) j senh d) J cosh 4 x senh x d x
So lu c ión
a) J sen 2 x c o s 3 x dx = - J [sen (2 — 3 )x + se n (2 4- 3 )x ]d x
= 2 / ̂ S6n ~ S8n X^ X ~ 2 ( ------ 5-*" C° S * ) +
b) J c o s 3 x c o s 4 x d x = - J [ c o s ( —x ) 4-eos 7 x ]d x = - ^ s e n x 4-- s e n 7 x )
c) J senh 3 x senh 4 x d x = - J [ c o s h 7x — c o sh x jd x
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d) J co sh 4 x se nh x d x = —j [senh 5 * - senh 3 x ] d x
1 / 1 1 \
= 2 \5 C° S ~ 3 C0S 3 x ) + ^
E n este ejemplo, se han usado las identidades: 
s e n h ( - u ) = - s e n h u , s e n ( - u ) = - s e n u 
c o sh (— u ) = c o s h u , c o s ( - u ) = c o su
E je m p lo 45. Ca lcu le las integrales:
y í i ~ . í sen4* + eos4*
a) I se n 3( 3 * ) t a n 3 * d * b) ------ ------------T-dx
J J sen2* — eos2*
f e o s * r
c) ■ ■ dx d) I eos3* sen 3* dx
J V'sen7 (2 *)eos* J
So lu c ión
f f sen43x
a) / = se n 3 ( 3 * ) tan 3 * dx = ------— dx
J J eos 3 *
_ J (1 - co s23 * ) 2
TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
eos 3 *
- dx
b)
= J(sec3x - 2 eos 3* + cos33*)d*
1 2 1 f 
= - ln |s e c 3 x + tan 3*| - - sen 3* + - I (1 - sen23*)(3 eos 3* dx)
1 2 1 / 1 \
= - ln |s e c 3 * + tan 3*| - - sen 3* + - (sen 3* - - s e n 33* + C
j 3 3 V 3 /
1 , 1 1
= - ln |s e c 3 * 4- tan 3*| - - s e n 3* - - s e n 33* + C
■J J 7
f sen4* + eos4* r 4 (2 + 2 cos22*)
----- i ----------- J~ d x = ------------- ñ-------- d xJ sen2* - eos2* J - e o s 2*
- l í ( s e c 2* + eos 2x )d x
1 , 1
= - - r h i (s e e 2 * + tan 2*| - - s e n 2 * + C
4 4
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c) /
INTEGRAL INDEFINIDA
cos * I f cos x dx
- f C0SX H - 1 f
J Y s e n ^ ( 2x T c o s x V 2 7 J V s e n 7 x c o s 8*
Se observa que esta integral no se adapta a n inguno de los tipos estudiados en 
(I). Cuando se presentan estos casos, a veces, es conveniente transform ar a los 
otros casos, es decir, a productos de tangentes y secantes ó cotangentes y 
cosecantes. E n este ejemplo, transform ando a tangentes y secantes (d iv id iendo 
entre e o s5* , numerador y denom inador) se obtiene:
1 f se c4* 1 f 1 + tan2*
' = V l 2 8 J ta n 7/3* = Í V f J ta n 7/3* O 0 " * d * )
1
, . .tan 7/3x + tan 1/3* ) s e c 2* d *
4 V2J v J
= —rrz ( — - co t4/3* + - t a n 2/3* ) + C 
4V2V 4 2 )
f 7 f (1 + eos 4*\
d) } = I cosJ2* sen 3* dx = J ^------------- J eos 2* sen 3* dx
4 / ( c „ s 2 x Sen 3 ^ + Í J eos 4*(cos 2* sen 3x )d x
= - J [sen * + sen 5*] dx + - J [eos 4* sen * + eos 4* sen 5x]dx
1 1 1 i r= — — eos * - - eos 5* + - I [ -sen 3* + sen 5* + sen * + sen 9x]dx
\ ( 1 \ 1/1 1 1 \
= - — eos * - - eos 5 * I + - - eos 3* — - eos 5 * - eos * -----eos * + C
4 V 5 / 8 \3 5 9 /
3 1 3 1
= - - eos * + — eos 3* - — eos 5 * - — eos 9* + C
8 24 40 72
E je m p lo 46. Calcule las siguientes integrales:
f f f sen^x
a) j tanh42 * d x b) I seeh3x d x e) I —— dx
, ^
d)
e o s“*
f s e n 43 * f
----- T¿—dx e) ta n ¿ x s e c * d *
J e o s33 * J
Solución
Se observa que n inguna de las integrales se adaptan a los casos estudiados, por lo 
que será necesario efectuar algunas transformaciones. E n efecto, •
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
a) I tanh4 2 x dx = J (1 - sech2x ) 2 dx = J ( 1 - 2 sechz2 x + sech4 2 x) dx
= x — tanh 2x + J (1 — tanh2 2 x) sech2x dx
1 / 1 
= x - tanh 2x + - ( t a n h 2x - - t a n h 3 2x) + C
1 1
= x - - t a n h 2x - - t a n h 32 x + C
¿ O
b) J sech3x dx = J - J l - tanh2* (sech2* dx)
(Si u = tanh x , du = sech2x dx)
= — [tanh x Vl - tanh2x + arcsen(tanh x)j + C 
l r
= - [tanh x sech x + arcsen(tanh x)] + C
f sen2x f r
^ J cös^xdx = J tan2x Sec4* dx = I tan2x^1 + tan2x)(sec2x dx)
= I (tan2* + tan4x)(sec2x dx) = ^tan3x + ^tansx + C 
J 3 5
( sen43x r (1 - cos23x)2 r
3 J cos33x “ J ^ 3 * d x = J (sec 3* ~ 2 sec 3* + cos 3* )= J Vl + tan23x sec23x dx - ^In|sec3x + tan 3x| + ^sen3x
A
1 r
= ~ |tan 3x sec 3x + In|sec 3x + tan 3x|] - A
1 1 1 
= gtan 3x sec 3x - -In|sec 3x + tan 3x| + ^ sen 3x + c
e) I tan2* secx d x = J y / s e c ^ x ^ l ( t a n x s e c x d x )
1 ,
= - | s e c x t a n x - ln|secx + tan x|] + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
dxf dx
l:)riii|)lo 47. Halle la integral J + usando la su st itu c ió n x = 2 tan i
So l ut-ion
( .uno x = 2 tan 0 , dx — 2 s c c 29 d9. Entonces 
d x l f sec29 dB 1
i
f d x I f see 0 dB 1 f
1 f (1 + cos 2 9 ) d 9 1
'i 
)
- i J
1
( a rctan - 4- , ,
16 V 2 4 + x 2
2 1 6 
x 2 x
sen 2 0
+ C = — [0 + sen 0 co s 0 ] + C 
16
4 -C
l’.tra regresar a la variab le orig inal x, en vista de que tan # = - , se construye 
d triángulo
A partir de este triángulo, se obtiene que
sen 0 =
V x 2 + 4
y eos ti = —
V x 2 4- 4
E J E R C I C I O S
Calcule las siguientes integrales indefinidas:
1.
/
+ 2x — 8 dx
R.
9 dx
3.
V 9 x z - 12x + 13
3 dx 
4 x 2 — 1 6x 4 -17
4 — Ix
- [ (x 4- l)Vx2 - « x - 8 - 9 ln |x 4- 1 4- J x 2 4- 2x - 8|J 4- C 
fl. 3 ln [3x - 2 4- V 6 * 2 - 1 2 x T l 3 ] 4- C
fi. -a r c t a n (2 x - 4) 4- C
V x 2 4- 2 x — 8
: dx
ß . - 7 a /x 2 4- 2x - 8 4- 11 ln x 4- 1 4- v x 2 4- 2x - 8 | 4- C
41
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3 + 5*
1 2 * + 13
i u n c u s U t CALCULO - VOLUMHN II
dx
1.
8.
5. f — !
J 9* 2 -
R- — In (9 * 2 - 12 * + 13) + y arctan ( ^ y ~ ) + C
j f (2 — x)dx _______________ ̂ ^
J V —* 2 — 10* — 21 ^ ~ xZ ~ 10 * — 21 + 7arcsen + C
J sen 2 * + 3 c o s *
dx
16 12 tanh * + 5
n * sen 2*
*• 2 ---- i ~ +C
D X 1
R- 2 + ^ se n ( ! 0 * } + C
3 * sen 2 * sen 4 *
*• T — 4~ + — +c
n 2 1
sen * - - s e n 3* + - s e n 5* + C
V 9 + 4 s e n * - co s2*
*■ 2 V s e n 2* T T s e n * T 8 - In | se n * + 2 + x » 7 T 4 l i I 7 T T 8 | + c
[ (5 senh * + 4 cosh x)dx
J cosh * ( 9 senh2* + 6 senh 2* + 5)
R- r ln | 4 tanh2* + 12 tanh *| - — In l- t a n h * + 1 l
16 12 tanh I
9. J se n 2* dx
1 0 . J co sh 25 * dx 
n . / se n 4* dx
12 . / c o s5* dx
, 3 . / co s7* se n 3* d *
„ „ f se n 3*
14. I -----r - d *
J co s4*
co s8*
40
1
3 co s3*
(4 co s2* - 5) + C 
- s e c * + C
15. J se n h 3* dx
16. j se n 2( 3 * ) c o s 43 * dx
17. J se n h 8* co sh 5* dx
18. j tan6* dx
1
R■ - c o s h * ( c o s h 2* — 3 ) + C
* sen 12 * se n 36*
' 16 192 + ~ 1 4 4 ~ + C
1 2 i 
R. - se n h 9* + - s e n h 3* + - s e n h 5* + C
1 1
g tan * - - t a n 3* - tan * + * + c
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INTEGRAL INDEFINIDA
19. J cot5* dx
20. J tanh4* dx
21. J sec4* V cot3* dx
2 2 . J tan5* V e o s 3x dx
23. J tanh6* sech4* dx 
V2 dx
24.
co s3*V s e n 2*
25. J sen 3 * sen 5 * dx
26. I eos 2* eos 7x d x
í 
J 
I
27. J se n 52* co sB2 * dx
28. j se n 3* eos3* dx
29. J (1 4- eos 4 * ) 3/2 dx
30. J cot4(3x)dx
i a x ->x ,
31. | sen4 - cos'1- dx
32. J tan3* dx
33. J tan3(3 * ) s e c 3(3 * )c ¿ *
1 A 1 ,
R. — - c o t 4* + - c o t z* + ln|sen*| + C
R. x — t a n h * - - t a n h 3* + C
R. — 2Vcot * + - V tan3* + C
2 2 
R. -sec5/2* — 4 sec1/2* —-cos3/2x + C
R. - t a n h 7* — - t a n h 9* + C
7 9
R. - V t a n * ( 5 + tan2* ) + C
sen 2* sen 8*
R■ — ------77— + C
4 16
1 1 
R. — sen 5 * + — sen 9 * + C
10 18
1 1 
R. - s e n 6( 2 * ) - - s e n 8( 2 * ) + C
R. - eos ( 2 * ) + - i - e o s 3( 2 * ) + C 
16 48
V 2 V 2 , '
R. — sen 2 * — — sen32 * + C
2 3
1 , 1 
R. — - c o t 33 * + - c o t 3 * + * -I- C 
9 3
* 1 1
R■ TZ ~ To sen 2 * — — sen * + C 
16 32 24
tan2*
R. — ------h ln|cos*| + C
1 1 ,R. — se c53 * - - s e c 33 * + C 
15 9
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1
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
f s c n 3x _____ ,3
' i V ^ dX R' 3V i ¿ n ( - c o s 2x + 3) + C
dx
se n 2x co s4x 2 t a n x + ^ t a n 3x — c o tx + C
36. /
3 7 . f dx 1 3 1
J sen5x c o s 5x ? tan * ^ n̂ l^an x \ ~ ~ c o t 2x — — cot4* 4* C9 ~ 1 ̂“«i«» ai — — —( ̂ ¿ 4
3 8 ’ / v s e n x c o s 3x R-2Vtáñx + C
oq í Sec4*H 1
■ J tan4x R- - cotx - 3 c° t3x + C
40. I S o t x c o s ^ x dx R. 2-sfséñx - ^ s e n 5' 2x + ^ s e n 9' 2x + C
í se n 2(nx) i ^ ^
J co s6(jrx) dx R • “ [3 tan3C^x)+ - t a n s (7rx)J + C
42. J sen x sen 2x sen 3x dx R. ¿ c o s 6 x - A Co s 4 x ^ cos 2x + C
.43. f sen 4x eos 5x dx r cos9x cosx
J 18 2
44. í sen 8x sen 3x dx r sen x _ sen , r
J 22 10
45. J cosh 3x cosh x dx r . i senh 4x + ̂ senh 2x + C
o 4
46. j senh 4x senh x dx R. _ COsh 5x + ^ cosh 3x + C
47. J sen3x eos 3x dx R. l c o s 2 x - ¿ c o s 4 * + ¿ c 0S6x + C
48. f cos2x sen24x d x R x ên i sen 2x sen 6x sen lOx
J ' 4 32 -8 ~ 48 8 Ó ~ + C
49. f senh2x cosh 5x dx r sen ̂^x j_ senh 3x senh 5x
J 90 n tt:—
5 0 . /
dx
28 ' 12 10 +C
2
V se n 3x c o s ^ x R‘ ~ 2 ^ x + 3 t a n x V t l F * + C
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INTEGRAL INDEFINIDA
1.5.3 IN T E G R A C IÓ N P O R S U S T IT U C IÓ N T R I G O N O M É T R I C A
Las integrales de la form a f R ( x , J p x 2 + qx + r ) d x , donde R es una función 
racional de las variables x y J p x 2 + qx + r , se puede sim p lifica r por m edio de 
una sustitución trigonom étrica adecuada.
Com pletando el cuadrado en el trinom io p x 2 + qx + r se obtiene una expresión 
de la form a u 2 + a 2 ó u 2 — a 2 ó a 2 — u 2, donde a es una constante.
I) S i el trinom io tiene la form a a 2 — u 2, mediante la sustitución 
u - a se n 9 , a > 0
se e lim ina el radical, pues V a 2 - u 2 = a eos 9 . Tam bién se tiene que 
d.u = a eos 9 dO
Para regresar a la variable original u, se emplea el triángulo form ado con la
usustitución sen 6 = — (Fig. 1.3 a).
(a)
Fig. 1.3
II) S i el trinom io tiene la form a a 2 + u 2, mediante la sustitución
u - a tan Q , a > 0 
se e lim ina el radical, pues Va2 + u 2 = a sec 9 . Tam bién se tiene que 
du = se c 29 d 8
Para regresar a la variable original u, se utiliza el triángulo form ado con la 
u
su stituc ión tan 9 = - (Fig. 1.3 b). 
a
III) S i él trinom io tiene la form a u2 t - a 2 , mediante la sustitución
u = a sec 6 , a > 0 
se e lim ina el radical, pues Vu2 - a 2 = a tan 6 . Tam bién se tiene 
du = a se c 9 tan 9 d9 
Para expresar la integral orig ina l en térm inos de su variable u, se emplea el
u
t r iá n g u lo e la b o ra d o con se c fi = - (Fig. 1.3 c).
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TOPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
Ejem plo 48. Calcule / = J ^9 - x 2 dx.
Solución
Haciendo ia sustitución * = 3 sen 8 , dx - 3 eos 8 d d y calculando la integral 
trigonométrica que resulta, se tiene
/ = j V 3 2 — x 2 dx — J ̂ p^-^^señ2d 3 eos 9 dd 
= J 9 eos26 dd = - J (1 + eos 29) dd
co s20 .3 eos 6 dd
9 9 ( x xV9 - x2
= - ( 0 4- sen 0 eos 9) + C = - I arcsen-4------- -------
- ( Xy¡9 - x 2 + 9 aresen - ) + C
E je m p lo 4 9 . Calcu le / = /
dx
x 2-J 16+ 9X 2
Solución
Sea 3 x = 4 ta n 0 , dx = - s e c 28 dd. Luego,
í dx _ 4 f 
J x 2V l 6 4- 9 x 2 ~ 3 J
sec2d dd
x 2V l 6 4- 9 x 2 3 J ^ t a n 20 V 1 6 4- 16tan20
3 f secd 3 f c o s í
= — -----T - d d = — -----— d 0
16 J tan2d 16 Jsen2d 16
-C S C 0 4- C
3 V 1 6 4 - 9 x 2 V 1 6 4 -9 X 2 „
. + c = ----------—-------- + c
16 3x 16x
:dx.E je m p lo 50. Ca lcu le / ,
J V x 2 — 9
Solución
Haciendo x = 3 sec 9, dx = 3 sec 9 tan 9 d9 , se obtiene 
27 sec30 . 3 sec d tan d dd
V 9 sec20 — 9
( x J f :
= d x =
J V x 2 — 9 J
= 27 J ( 1 4- tan20 )se c 20 d d = 27 (tan d 4- - t a n 3flj 4-
= 9 v 'x 2 — 9 4- - ( x 2 — 9 )2 4- CO
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I 'li 'i iiplo 51. Halle I = J
INTEGRAL INDEFINIDA
X 3 dx
V x 2 + 2x 4- 5
Solución
i ompletando el cuadrado en el trinom io y 
Imi icndo la sustitución
v I 1 = 2 tan 9 , d x = 2 se cz 9 dd
M' obtiene
x 3 dx f x3 dx
/ V x 2 + 2x + 5 J J ( x + l ) 2 + 4
I (2 tan 0 — l ) 3 2 see20 dd
2 se c 0
= J (2 tan 0 - l ) 3 see 8 dd
(8 tan30 see 6 - 1 2 tan20 see 0 4- 6 tan 6 see 0 - see 0) dd 
H
see30 - 6 see 8 tan 8 + 5 ln |see0 + tan 8 \ - 2 see 8 + C
1 3 t____________________
(xz + 2x + 5 ) 3/2 - - (x + 1)V * 2 + 2x + 5 + 5 In \x + 1 + *Jx2 + 2x + s| - J x ^ T Y T s + C 
( 2 x 2 - 5 x - 5 ^
lije m p lo 52. Halle /
Solución
/
4- 5 ln ¡x + 1 + V * 2 + 2 x + 5| + C 
dx
( 1 + X 4)a/\/T + X 4 - X 2"
se c 20
Si se hace x ¿ = tan 0 => d x = — ;— . d f t .
líntonces
/
dx
- /■
see20 d 0
(1 + x4)VVl + x 4 - x 2 ■> see20 Vsee 0 — tan 0
e o s0 d 0
V sen 0 — se n 20 1 / l T
eos 0 d8
z 2-a rc se n + C
1 1 / 2x 2
= -a re se n (2 sen 0 - 1 ) 4- C = - arcsen - ^ =
2 2 V v i + x 4
1 4-C
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TOPICOS DE CALCULO - VOLUMEN II
12 dx
/;
Ejem plo 53 . Calcule / - , __________________
(2x - l ) / ( 4 x 2 - 4x - 8 ) 3
Solución
Com pletando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustit jc ión
2x - 1 = 3 sec 9, d x = - sec 9 tan 9 d.9
Resulta
/
= / 
- / 
■ /
12 dx
(2x - 1 ) V ( 4x2 — 4x — 8) 3 
12 dx
{2.x — l ) [ ( 2 x — l ) 2 — 9 ]3/2
18 sec 8 tan 9 dd 2 
3 s e c 0 2 7 t a n 30 9
J cot26 d9 = — j (esc29 — 1 ) d 6
2 , 2 / 
= — [—cot 6 — 0] + C = — (■
Ejem plo 54 . Calcule J
Solución
S i se sustituye
/
9 V V 4 x 2 - 4x - 8 
e _:>f dx
2x - 1 \
+ a re sen— -— J + C
( 9 e ~ 2x + 1 ) 3/2'
3e * = tan fl, e = - - s e c 29 d9 , se tiene
= J
e x dx
[ ( 3 e ~x ) 2 + I ] 3/2
r ~ 3 sec29 d 9 \ r
J se c39 3 J eos 9 d9
- - s e n 9 + C
Vi + 9e~2*
+ C
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R|cinp lo 55. Calcule / = I XV * X- d*
J V 2 — x
So luc ión
Racionalizando el integrando, obtenemos
f x \ [ i - x f x ( l ~ x ) r x ( l - x ) d x
J V 2 - x X ~ J V l ^ / 2 ^ X ~ \ V x 2 - 3 x + 2
INTEGRAL INDEFINIDA
Aliora bien, completando el cuadrado en el trinom io y haciendo la sustitución
3 1 1
- = - sec 8, dx = - sec 8 tan 8 d82 2 2
Sust . 2x - 3 = se c 9
c obtiene 2x-3 /
ly / x 1 - 3 x + 2
f x ( l - x ) d x
\ ( y 1
/ Q \
12
r ^ sec 8 + ( l - ^ - i sec ^ sec 6 tan 0 dd
^ tan 8
= - - J (se c 3 8 + 4 se c28 4- 3 sec 8) dd
3 1 r ------------------
= - tan 8 - - ln | s e c 0 + tan 8\ - - y / l + ta n 20 s e c2d dd
4 4 J
3 1
= - t a n 8 - - ln | s e c 0 4- tan 8 | - - ( s e c 8 tan 8 + ln| sec0 4- tan 0\ 4- C
4 o
1 7
= - - t a n 0 (8 4- s e c 0 ) - - ln | s e c 0 4- tan 8\ 4- C
O O
2sJx 2 — 3x 4- 2 7 i ____________
= -----------------------(8 + 2x - 3 ) - - l n \2x - 3 4- 2 j x 2 - 3x 4- 2 4- C
O O ' '
y j — 3x “h 2 7 i ____ i
= ------------ -----------(5 4- 2 x ) - - \ n \ 2 x - 3 4- 2 V * 2 - 3x 4- 2| 4- C
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II 
Observación 7. Si el integrando contiene una expresión de la form a V a 2 — u 
ó V a2 + u 2 ó Vu2 - a2 , a veces una sustitución hiperbólica es más efectiva.
Para V a 2 - u 2 , la sustitución es u = a tanh t.
Para Va2 + u 2 , la sustitución es u = a senh t.
Para Vu2 — a2 , la sustitución es u = acoshí.
En el primer caso, V a2 - u2 = a sech t.
En el segundo caso, 'Ja2 + u 1 = a co sh t.
En el tercer caso, V u 2 - a 2 = a senh t.
E je m p lo 56. Calcule / = J x 2J x 2 + 4 dx.
So lu c ión
Usando la sustitución
x = 2 se nh í , d x = 2 co sh í d t 
tenemos
/ - J x 2y¡x2 + 4 d x = J 4 senh2t 2 cosh t 2 cosh t d t
- 16 J senh2t cosh 2t d t = 4 J senh22 í d t = 2 J (cosh 4 t - l)d £
1
- - s e n h 4 í - 2 t + C = 2 senh tco sh t(sen h 2 t + cosh2t ) - 2 1 + C
x V 4 + x 2 / x 2 4 + x 2 \ x
j _ 2 Se n h -1 - + í:
x V 4 + x 2
4 2
x 2 dx
E jem p lo 5 7 . Calcule / ~ f ■ 
J <V x2 + 4x - 5 
Solución
Completando el cuadrado en el trinomio y haciendo la sustitución 
x + 2 = 3 cosh t , d x = 3 senh i d t
resulta
I r n { __ *2 dx f * 2 d x f (3 cosh t ~ 2 ) 2 3 senh t d t J + 4 * - 5 ~ J / ( * + 2)z - 9 i 3 senh t
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INTEGRAL INDEFINIDA
(3 cosh t - 2 ) 2 dt = J (9 co sh 2í - 12 cosh t + 4 )d t
í
/cosh 2 t + 1 
9 ^-----------------) - 12 co sh t + 4 ) d t
9 17
- c o s h 2 t - 12 c o s h t + — 
2 2
d t
9 17
= - s e n h 2 t - 12 se nh t + — t + C
4 2
9 17
= - senh t c o s h t — 12 senh t + — - t + C
2 2
V x 2 + 4 x - 5 17 ( x 4- 2 \
--------- - --------- (x — 6 ) + — c o sh - ( - J + ^
O b s e r v a c i ó n 8 . Si la int egral t iene la f o r m a I R [ x n ; J a 2 ± x 2) dx ó 
I R ( x n ; J x 2 — a 2) d x , donde n es entero i mpar posi t ivo, es pr e f e r i b l e 
usar ia sustitución z 2 = a 2 ± x 2 ó z 2 = x 2 - a 2.
I.jem plo 58. Ca lcu le las siguientes integrales:
J)
<0
x3 dx f ( x s - x)
b) —
J V.V x 2 - 9 
x 3 dx
« J
Vx2 + 3
x 3 d x 
(3 — x 2) 4
d x
( x 2 + 9 ) 3/2 
So lu c ión
a) U tilizando z 2 = x 2 - 9, 2 z d z = 2 x d x <=> z d z = x dx se tiene
x 3 d x x 4( x d x ) f ( z 2 + 9 ) 2z d zr x (x dx) f
J Vx2 - 9 JV x 2 — 9 J Vx2 — 9
= J (z 4 + 1 8 z 2 + 9 )d z = ^ z 3 + 6 z 3 + 9 z + C
= - ( z 4 + 3 0 z 2 + 4 5 ) + C
V x 2 - 9
( x 4 + 12x - 144) + C
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f ( x 5 - x ) _ r (x * - l ) ( x dx) f [ ( z 2 - 3 ) 2 - ] z d z
J V ^ T 3 J V F T 3 " J z
f z **
= J ( z 4 - 6 z 2 + 8 ) d z = Y - 2 z 3 + 8 z + C
TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
b) Haciendo z 2 = x 2 + 3, z dz = x dx se obtiene
z
= - [ z 4 - 1 0 z 2 + 4 0 ] + C
Vx2 + 3 ,
= ----- ------ ( x 4 - 4 x 2 + 19 ) + C
c) S i se sustituye z 2 = x 2 + 9, z d z = x dx resulta
r x 3 d x _ r x 2(x dx) f ( z 2 - 9 ) ( z d z ) 
J (X2 + 9)3/2 - J ( x 2 + 9)3/2 - J
dz
9 1 ,
= z H ------h C = - (z + 9 ) + C
z z
1
( x 2 + 1 8 ) + C
V x 2 + 9
d) Haciendo z — 3 — x 2, x dx = - - d x se obtiene
f x 5 d x í x 4(x d x ) f (3 - z ) 2( - í d z )
J (3 - x 2)4 ~ J ( 3 - x 2)4 = J i?
1 f / 9 6 1 \
2 J +
1 / 3 3 1 \
“ 2 \ ^ ~ I * + z ) + C
x 4 - 3 x 2 + 3 
~ 2 (3 - x 2) 3 + C
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f x~ dx
J v f ^ F
J * + x 2 dx
j x z \ ¡4 - x z dx
f dx 
J x 2v l + x 2
dx
J ( X 2 -r 1 ) V 1 - X 2 
' x 3 dx
v 2 x 2 + 7 
dx
x 4V x 2 + 3
r (4 x + 5 )d x
J ( x 2 — 2x + 2 ) 3/2
f - 4
I ( X 2
( 2x - 3 )d x
J ( x 2 4- 2 x - 3 ) 3/2
f V x 2 — 4 x
d x
x 4 d x
I 1
(4 - x 2y /z
( x 2 - 2 5 ) 3/2 d x 
x 6
d x
INTEGRAL INDEFINIDA
E JE R C IC IO S
(x ■+■ l)3Vx2 + 2x
r sen x dx 
J Vcos2x + 4cosx 4- 1
1 x /-------- -
R. - - a r c s e n x - - v l - x 2 4 -C
R. - j x V 4 + x2 + ln (x + J 4 + x 2)j 4- C
x V 4 - x 2 
R. 2 a rc sen ----------- -— |x - 2 x j + C
V l + x i 
R . --------------- 4- C
I y[2x ,
R. — a rc ta n l - = = ) + C
1
v f \ V 1 - X 2
V 2 x 2 4- 7 ,
R. — — ------- ( x 2 + 7) + C
V x 2 4- 3 ( x 2 + 3 ) 3/2
R. ---- r--------- -- ---- + C
R.
9x 2 7 x 3
9x - 13
^ _______ : 4~ C
V x 2 - 2 x 4- 2
5 x - 3
4 V x 2 + 2 x - 3 
( x 2 - 4 x ) 3/2
: + C
6 x 3
v s
R.
2 0 (4 - x 2) 5/2 
( x 2 - 2 5 ) s/2
4- C
+ c
1 2 5 x 5
1 V x 2 4- 2x
if. - a r s e n ( * + l ) + i 5 r n 5 j + C
/?. - l n j c o s x + 2 + V c o s 2x + 4 c o s x + l j + £
53
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TÓPICOS DE CÁLCULO - VOLUMEN II
5 /
e x\ ¡e2x - 4 - 2 e 2x( e x + 2 )
15. | — ------------- — "■■■■ ■ ■■ —— — dx
2 { e x + 2 ) 4 e 2x~ - 4
R. —\ n\ex + 2| - V e 2* - 4 + c
_ f 2 x 2 - 4 x 4- 4 
16. j - — dx
J 4 3 + 2x — x 2 R. a resen - (x - 1 )V 3 + 2 x - x 2 + C
17
18.
d x
( x 2 - 2 x + 5 ) 3/2 
( x 2 + 3 x )d x
R.
x - 1
4 V x 2 - 2x + 5
í ( x 2 + 3x
J (x - l W x 2 -(X - l ) V x 2 - 2x + 10
R . V * 2 - 2a: + 10 + 5 In |V *2 - 2x + 10 + x + l| + - ln
V x 2 - 2x + 1 0 - 3
x -