PRACTICA 2do Parcial MAT103

Vista previa del material en texto

Práctica Segundo Parcial
MAT-103
Álgebra Lineal
Universidad Mayor de San Andrés
Facultad de ingenieŕıa
Curso Básico
Curso intensivo de verano
Gestión 2020
Grupo A
Elaborado por: Joel Gastón Nieto Coronel
Problema 1
Sea W el conjunto de todos los (x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 que satisfacen:
2x1 − x2 +
4
3
x3 − x4 = 0
x1 +
2
3
x3 − x5 = 0
9x1 − 3x2 + 6x3 − 3x4 − 3x5 = 0
Encontrar un conjunto finito de vectores que genera W .
Problema 2
Para que valor(es) de α serán linealmente dependientes los vectores:
(1, 2, 3), (2,−1, 4), (3, α, 4)
Demuestre que los vectores (1, a, a2),(1, b, b2),(1, c, c2) son linealmente independientes
si a 6= b, a 6= c y b 6= c.
Problema 3
Hallar los valores de a y de b para que el conjunto C de matrices del espacio vectorial R2×2
sea linealmente independiente:
C =
{[
1 a
2 b
]
,
[
2 −1
3 4
]
,
[
1 −3
2 1
]}
Problema 4
Dado el subespacio W de R2×2 generado por el conjunto:
S =
{[
1 0
−1 2
]
,
[
1 1
0 2
]
,
[
0 1
1 0
]}
Hallar X de modo que B sea base de W .
Hallar X y Y de modo que C sea una base de R2×2.
B =
{[
2 1
−1 4
]
, X
}
;C =
{[
0 −1
−1 0
]
,
[
1 1
0 1
]
, X, Y
}
Problema 5
Hallar el valor de a para que M =
[
1 a
1 1
]
, pertenezca al subespacio generado por las
matrices
[
1 2
−1 −1
]
y
[
0 1
2 2
]
Problema 6
Dados los subespacios S y T en el espacio vectorial P2 definidos por:
S = {ax2 + bx+ c/a+ 3b− 2c = 0}
T = {ax2 + bx+ c/3a+ 2b+ c = 0}
Se pide hallar S∩T , demostrar que también es subespacio de P2, y hallar una base de S∩T .
Problema 7
En R3 se consideran los subespacios:
U = {(x, y, z) ∈ R3/z = 0}
W = L{(0, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 1, 2)}
Hallar una base para U , V , U + V y U ∩ V
Problema 8
Sean los subespacios de R4, S = {(x, y, z, u) ∈ R4/2x− y − 2z − u = 0} y T generado por
el conjunto {(1,−1,−1,−1), (−1, 1,−1,−1), (1,−1,−3,−3), (2,−2,−4,−4)}
Hallar una base y dimensión para S ∩ T
dim(S + T )
Problema 9
En el espacio vectorial W generado por las funciones de la forma f(x) = ax+ bex + csen(x)
se define el siguiente conjunto
C = {(k + 3)x+ ex + 2sen(x), kx+ (k − 1)ex + sen(x), 3(k + 1)x+ kex + (k + 3)sen(x)}
Encontrar el valor de k para que el conjunto C sea linealmentte independiente.
Problema 10
Para las siguientes matrices encontrar una base para el espacio nulo, una base para el espacio
fila y el espacio columna, aśı como sus correspondientes dimensiones. 1 4 5 22 1 3 0
−1 3 2 2


1 4 5 6 9
3 −2 1 4 −1
−1 0 −1 −2 −1
2 3 5 7 8

Problema 11
Sea U =
{
p ∈ P4/
∫ 1
−1p(x) dx = 0
}
.
Encontrar una base de U .
Extender la base del anterior punto para que sea una base de P4.
Encontrar un subespacio W de P4 tal que P4 = U ⊕W
Problema 12
Dados los subespacios S, T de R4 generado por los conjuntos:
S = L{(1, 2,−1,−2), (3, 1, 1, 1), (−1, 0, 1,−1)}
T = L{(2, 5,−6,−5), (−1, 2,−7,−3), (5, 8,−5,−7)}
se pide hallar:
Base y dimensión para S.
Base y dimensión para T .
Base y dimensión para S ∩ T .
Dim(S + T )
Problema 13
Utilizando el producto interior 〈p, q〉 =
∫ 1
0
p(x)q(x) dx y los polinomios en P2, p(x) = x+ 1
y q(x) = x
2 − x+ 1. Encuentre el ángulo entre p(x) y q(x) y la proyección ortogonal de p(x)
sobre q(x).
Problema 14
Encuentre una base ortonormal para el subespacio generado por el conjunto
{(2,−1, 1)T , (1,−2, 3)T }, Utilice el producto interior 〈u, v〉 = uTAv; A =
 1 2 02 5 0
0 0 1

Problema 15
En el espacio vectorial (R2×2,+,R, ·) considerar el siguiente producto interior:〈[
a b
c d
]
,
[
x y
z u
]〉
= ax+ by + cz + du
Calcular el ángulo entre los vectores:
[
1 1
1 1
]
y
[
1 1
0 1
]
El espacio ortogonal a
[
−1 1
−1 1
]
Una base ortonormal para el subespacio anterior.
Problema 16
En el espacio vectorial de R2×2 se define el conjunto:
C =
{[
2 2
−3 3
]
,
[
3 −5
−2 6
]
,
[
5 −3
−5 10
]
,
[
1 −7
1 2
]}
generador de un subespacio. Se pide encontrar una base ortonormal para una de las bases
del subespacio.
Utilice el producto
〈[
a b
c d
]
,
[
x y
z u
]〉
= ax+ 2by + 3cz + 4du
Problema 17
Sea el espacio definido sobre R2×2, con el producto interior 〈A,B〉 = traza(BTA)
Encontrar la distancia entre: A =
[
1 2
3 2
]
y B =
[
2 1
0 −1
]
Verificar la desigualdad del triángulo y desigualdad de Cauchy-Schwarz para los vec-
tores del punto anterior.
Una base ortonormal para el subespacio generado por el conjunto de vectores C:
C =
{[
1 −1
0 2
]
,
[
1 1
1 0
]
,
[
1 2
0 −1
]}
Problema 18
Sea 〈u, v〉 = x1y1 + x1y3 + 2x2y2 + x3y1 + 3x3y3 un producto interior en R3
Hallar una base ortonormal para el plano x− y − 3z = 0
Hallar la proyección del vector u = (−1, 2− 3) sobre el plano.
Problema 19
Sea G el subespacio vectorial de R4 definido en forma impĺıcita como:
G = {(x1, x2, x3, x4) ∈ R4/x3 + x4 = 0, x1 + x2 + x4 = 0}
Hallar una base para G.
Usando el producto escalar estándar, hallar una base y la forma impĺıcita para el
subespacio vectorial G⊥.
Hallar una base ortonormal para G⊥, considerar el producto escalar estándar.
Problema 20
Sea el espacio vectorial (P2,+,R, ·) con el producto interior.
〈p, q〉 =
∫ 1
−1
p(x)q(x) dx
En este espacio vectorial y con este producto interior se tiene la siguiente base ortonormal:
B =
{
1√
2
,
√
3
2
x,
√
5
2
√
2
(3x2 − 1)
}
= {p1, p2, p3}
Expresar los siguientes polinomios como combinaciones lineales de la base ortonormal B:
1 + x+ 4x2
2− 7x2
4 + 3x
Además verificar:
‖p1 + p2 + p3‖2 = ‖p1‖2 + ‖p2‖2 + ‖p3‖2
Recomendaciones
Resolver y presentar como mı́nimo 15 problemas.
Cada solución tiene que estar presentada de la forma mas legible posible con buena
letra y mucho orden.
En la caratula de su práctica colocar grande y claro su nombre junto con la inicial de
su apellido paterno.
El trabajo es individual, por favor no copiarse.
Fecha de entrega es el d́ıa martes 21 de enero,al finalizar la clase de esa fecha.
Nada realmente importa
Cualquiera lo puede ver
Bohemian Rhapsody- Queen