INFORME PENDULO FISICO FINAL

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA
PENDULO FÍSICO
CURSO: Física II - Laboratorio
	
PROFESOR:		 José Teodoro Pachas Salhuana
SECCIÓN:	 “C”
INTEGRANTES:
· LUIS ALBERTO MESTANZA CCOICCA		20142598H
· DIEGO ROMARIO BARRAGAN ARONI		20157008G
2015
PRÓLOGO
En el presente informe de laboratorio se planteó medir experimentalmente los periodos de un péndulo físico (barra) respecto a varios ejes paralelos al eje que pasa por su centro de gravedad para de esa forma realizar una medición indirecta del momento de inercia de la barra respecto al eje que pasa por su centro de gravedad utilizando los periodos tomados en la experiencia al someter a la barra con un ángulo de oscilación pequeño; contrastando además estos cálculos obtenidos y compararlos con lo planteado en el teorema de Steiner.
Teniendo en cuenta lo ya mencionado se procedió con la experiencia la cual consistía en tomar el tiempo de un determinado número de oscilaciones de la barra respecto de un punto indicado tres veces para promediar dicho periodo; así también se midió la longitud (L) entre el punto desde el cual se hacía oscilar la barra hasta el centro de gravedad de la misma; esto para los cálculos que se mostraran posteriormente.
ÍNDICE
Objetivos									4
Representación esquemática						5	
Fundamento Teórico				 			6
Hoja de datos					 			8
					
Cálculos, gráficos y resultados 					9
Conclusiones y recomendaciones					15
		
Bibliografía 									16
OBJETIVOS
· Establecer una relación de similitud o las diferencias entre nuestro
Péndulo físico, a un péndulo simple.
· Comprobar y comparar los datos obtenidos experimentalmente con
los obtenidos al aplicar la teoría estudiada en clase.
 - Aprender a obtener, mediante derivadas, el valor de I (longitud al
C.G.) Para que el periodo sea mínimo.
· Analizar los diferentes periodos de oscilación para una determinada
Distancia L del C.G.
· Se aprenderá a aproximar la posición del C.G en una barra.
· Determinar experimentalmente los momentos de inercia de la barra respecto a su punto de giro, aplicando el Teorema de Steiner.
REPRESENTACIÓN ESQUEMATICA
1. Tomamos las dimensiones de la barra así como su masa (ver figura 1)
Figura 1.Barra metálica en la balanza
2. Apoyamos la barra metálica con el agujero a analizar sobre el soporte (ver figura 2)
Figura 2 .Analizando el movimiento con el agujero deseado
FUNDAMENTO TEÓRICO
PENDULO FÍSICO
Se llama péndulo físico a aquel cuerpo rígido capaz de pivotar a través de un eje horizontal fijo, como se muestra en la figura (a), este al ser desplazado de su posición de equilibrio, figura (b), aparece un torque ejercido por la fuerza de gravedad teniendo como línea de acción el eje horizontal en el que se suspende el cuerpo rígido y con dirección contraria al desplazamiento angular 
, y de esta forma llevar al cuerpo rígido a su posición de equilibrio, posición que no logra obtener debido a la inercia del cuerpo rígido, llevando la así a una nueva posición, donde nuevamente aparece un torque recuperador repitiéndose este movimiento oscilatorio.
En el péndulo simple se cumple las siguientes relaciones 
Dónde:
T: periodo 
Io : momento inercia respecto al eje 
IG: momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)
m : masa 
! : Longitud del centro de gravedad al eje que pasa por O 
En el caso que estudiaremos para la barra usaremos las siguientes terminologías y relaciones:
Dónde:
Ti : periodo experimental
Ii : momento inercia para cada # de hueco 
IG: momento inercia con respecto al centro de gravedad (constante)
m : masa (constante)
!i : longitud del centro de gravedad a cada # de hueco 
b : longitud de la barra (constante)
a : ancho de la barra (constante) 
Momento de Inercia
Dado un eje arbitrario, para un sistema de partículas se define como la suma de los productos entre las masas de las partículas que componen un sistema, y el cuadrado de la distancia r de cada partícula al eje escogido. Representa la inercia de un cuerpo a rotar. Matemáticamente se expresa como:
Para un cuerpo de masa continua (Medio continuo) lo anterior se generaliza como:
El subíndice V de la integral indica que hay que integrar sobre todo el volumen del cuerpo.
Este concepto, desempeña en el movimiento de rotación un papel análogo al de masa inercial en el caso del movimiento rectilíneo y uniforme. (La masa es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en traslación y el Momento de Inercia es la resistencia que presenta un cuerpo a ser acelerado en rotación) Así, por ejemplo, la segunda ley de newton tiene como equivalente para la rotación.
CÁLCULOS Y RESULTADOS
1. Llene la tabla 1 con las siguientes características 
TABLA 1
	# de Hueco
	
l (cm)
	
t1(s)
	
t2 (s)
	
t3 (s)
	# de Oscilaciones
	Período T promedio
	1
	50.5
	33.2
	33.41
	33.3
	20
	1.6651
	2
	46.5
	32.54
	32.52
	32.5
	20
	1.626
	3
	41.5
	32.04
	32.42
	32.32
	20
	1.613
	4
	35.9
	31.95
	32.04
	31.84
	20
	1.5972
	5
	31
	31.89
	31.79
	31.78
	20
	1.591
	6
	25.9
	31.97
	32.01
	31.67
	20
	1.5942
	7
	21
	33.08
	33.16
	33.26
	20
	1.6417
	8
	16
	17.42
	17.54
	17.46
	10
	1.7473
	9
	10.9
	20.43
	20.13
	20.32
	10
	2.0293
	10
	5.9
	26.84
	26.89
	26.87
	10
	2.6867
2. 
a) Grafique T vs l
b) A partir de la ecuación (13.1), con I1 dad por la ecuación (13.2), encuentre el valor de l para que el período sea mínimo
Sabemos por Steiner:
. Si el período es mínimo 
)
Reemplazando L= 1.101m b= 0.038m
 = 0.318m
c) Compare el valor obtenido en (b) con el que obtiene en la gráfica (a)
Al comparar con la gráfica obtenida en (a) con nos damos cuenta que el periodo tiende a 1.596 s
d) ¿Cuál es el período para esa distancia?
Cuando 
Luego hallamos el período 
Dando como resultado
 
e) Para deducir los puntos de oscilación con el mismo periodo trazamos una recta horizontal por cada punto experimental en la gráfica T vs I. Los puntos pedidos serán aquellos que se encuentren en la misma recta.
3. Con el valor de T conocido experimentalmente, encuentre, utilizando la relación (1), el valor de I1 y llene la tabla 2 con las siguientes características. 
TABLA 2
	#
 de hueco
	Eje de Oscilación
(cm)
	(Período)2
( T2)
	Momento de Inercia
(kg.m2)
	L2 (m2)
	1
	50.5
	2.7726
	0.8361
	0.255
	2
	46.5
	2.6439
	0.7449
	0.2162
	3
	41.5
	2.6018
	0.6417
	0.1722
	4
	35.9
	2.5510
	0.5399
	0.1289
	5
	31
	2.5313
	0.4629
	0.0961
	6
	25.9
	2.5415
	0.3949
	0.0671
	7
	21
	2.6952
	0.3409
	0.0441
	8
	16
	3.0531
	0.2975
	0.0256
	9
	10.9
	4.1181
	0.2653
	0.0118
	10
	5.9
	7.2184
	0.2456
	0.0034
4. Haga el grafico I vs L2, y ajústelo por el método de mínimos cuadrados cuando los puntos obtenidos estén muy dispersos
 
5. Del gráfico anterior y por comparación con la ecuación (13.2), determine IG y M
· Ahora de la Ecuación de la gráfica y por comparación con el teorema de Steiner tenemos: 
De la ecuación de la gráfica tenemos:
IL = 2.3471L2 + 0.2375
De la comparación tenemos:
M=2.3471 kg
IG=0.2375 kg.m2
6. Compare el valor de IG obtenido en el paso 5 con el valor de la formula analítica para una barra de longitud L y ancho b . ¿Qué error experimental obtuvo? ¿Qué puede decir acerca de la masa?
· Calculando se tiene de dato la masa de la barra (M=2.3475 kg), su longitud (L=1.101 m) y su ancho (b=0.038 m)
Hallando el porcentaje de error experimental:
· Acerca de la masa notamos que en la ecuación nos da M=2371 kg mientras que en la parte experimental y como dato teníamos M= 23745 kg
7. Halle la longitud del péndulo simple equivalente
· Se sabe:
Para un péndulo simple
Para un péndulo físico
Igualando (para el hueco 4):
8. Demuestre en forma analítica las siguientes relaciones
Si es el momento de inercia del péndulo respecto al eje de suspensión ZZ′ y llamamos a la aceleración angular del mismo, el teorema del momento angular nos permite escribir la ecuación diferencial del movimiento derotación del péndulo:
Que podemos escribir en la forma
Que es una ecuación diferencial de segundo orden, del mismo tipo que la que encontramos para el péndulo simple.
En el caso de que la amplitud angular de las oscilaciones sea pequeña, podemos poner sen sin(θ) ≈ θ y la ecuación [3] adopta la forma
Que corresponde a un movimiento armónico simple.
El periodo de las oscilaciones es
Se asumirá, sin pérdida de generalidad, que en un sistema de coordenadas cartesiano la distancia perpendicular entre los ejes se encuentra a lo largo del eje x y que el centro de masas se encuentra en el origen. El momento de inercia relativo al eje z, que pasa a través del centro de masas, es:
El momento de inercia relativo al nuevo eje, a una distancia perpendicular r a lo largo del eje x del centro de masas, es:
Si desarrollamos el cuadrado, se obtiene:
El primer término es Icm, el segundo término queda como mr2, y el último término se anula, puesto que el origen está en el centro de masas. Así, esta expresión queda como:
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
· El cálculo de momento de inercia para cuerpo que no presenta geometría conocida, es más fácil calcularlo utilizando el péndulo físico.
· En un péndulo físico, cuanto más se acerca el eje de oscilación al centro de gravedad, su periodo disminuye y luego aumenta.
· En un péndulo físico y simple el ángulo de giro debe ser mucho menor a 15 grados, para que sea un M.A.S (movimiento armónico simple) y si es mayor a esta se da un M.A.A (movimiento armónico amortiguado).
· En el experimento se pudo hallar la longitud de un péndulo simple equivalente a la barra metálica, utilizando previamente el periodo experimental.
· En el experimento se pudo poner a prueba las fórmulas de péndulo físico hechas en clase.
· El cálculo hubiese sido más adecuado si no fuera por las imperfecciones de la barra que dificultaba su verdadera medición.
· Los huecos en la barra no eran uniformes, materiales no tan gastados por el uso seria lo adecuado para llevar un buen calculo y por lo tanto sacar mejores conclusiones.
BIBLIOGRAFÍA
· COLES METER Einstein y el nacimiento de la gran ciencia, Editorial GEDISA 2005.
· HALLIDAY, David y RESNICK, Robert .Física .Parte 2 .Editorial CESCA .México 1974.
· SERWAY. Física .Tomo II EDITORIAL McGraw Hill .Tercera Edición .México ,1993.
T vs L
T (s)	50.5	46.5	41.5	35.9	31	25.9	21	16	10.9	5.9	1.6651	1.6259999999999999	1.613	1.5972	1.591	1.5942000000000001	1.6416999999999999	1.7473000000000001	2.0293000000000001	2.6867000000000001	Longitud (cm)
Período (s)
 I vs L2
I	IL = 2.3471L2 + 0.2375
0.255	0.2162	0.17219999999999999	0.12889999999999999	9.6100000000000005E-2	6.7100000000000007E-2	4.41E-2	2.5600000000000001E-2	1.18E-2	3.3999999999999998E-3	0.83609999999999995	0.74490000000000001	0.64170000000000005	0.53990000000000005	0.46289999999999998	0.39489999999999997	0.34089999999999998	0.29749999999999999	0.26529999999999998	0.24560000000000001	Longitud2 (m2) 
Momento de Inercia (I)