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1 MATEMÁTICA MAYA 1Módulo MATEMÁTICA MAYA 2 MATEMÁTICA MAYA Los sistemas de numeración son uno de los grandes descubrimientos de la humanidad. La expresión cuantitativa, al utilizar el valor posicional de la forma en que lo hace, permitió desarrollar muchas ideas. Aquí analizaremos algunas posibilidades y sobre todo comprenderemos de mejor manera la magnificencia de la numeración maya. INTRODUCCIÓN 3 MATEMÁTICA MAYA MATEMÁTICA MAYA, SISTEMA BINARIO Y OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Las letras S, L, O son útiles para escribir las palabras SOL o LOS y ambas tienen significado, lo mismo pasa con la palabra MANILA, si se toman sus letras y se colocan en diferente orden se forma la palabra ANIMAL, que también tiene significado, y así hay otros ejemplos como CASA, SACA, AMOR, ROMA. Los símbolos son útiles para comunicarnos y el orden en que estos se utilizan es importante para lograr entendernos de manera correcta. Esta idea no es diferente para el caso de los sistemas de numeración, en estos el orden y la posición que ocupan los símbolos, que para nuestro caso son los números, también son importantes. 1.1 Base decimal Nuestro sistema de numeración es de base 10, esto significa que se necesitan diez símbolos para representar a todos los números: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Este es el conjunto de los dígitos en la base 10. El valor de cada dígito dependrá de la posición que ocupa en una cifra, por ejemplo: El número 232, en base 10, representa la cantidad doscientos treinta y dos, que significa: 2 centenas, 3 decenas y 2 unidades. Como se puede apreciar, el dígito 2 colocado en las centenas significa 200 unidades, mientras que el otro dígito 2 significa únicamente 2 unidades. También podríamos considerar las 3 decenas como 3 grupos de 10 unidades y 2 centenas como 2 grupos de 100 unidades (o bien 20 grupos de 10 unidades). Esto nos da un procedimiento para escribir el número 232 en base 10. 232 2 100 3 10 2= × + × + Y este proceso sirve para cualquier número, por ejemplo, el 5432. En otras palabras, el número 5432 representa 5 unidades de mil, 4 centenas, 3 decenas y 2 unidades. Otro ejemplo (escribiendo 100 como 210 ), el número 609 se escribe: Es decir que cada número se puede escribir como suma de potencias de 10, por ejemplo, el número 30567 se escribe como expansión de la base 10: A esta expansión se le conoce como la expansión en base 10 del número 30567. Nótese que los exponentes de la base 10 van descendiendo. Módulo 1 4 3 230567 3 10 0 10 5 10 6 10 7= × + × + × + × + 5432 5 1000 4 100 3 10 2= × + × + × + 4 MATEMÁTICA MAYA 1.2 Base binaria Considere el siguiente diagrama, hay 13 puntos en la última casilla a la derecha, el juego consiste en que cada vez que se pueda hacer parejas, se coloca en la siguiente casilla el número de parejas encontradas. Como hay 13 puntos, hay 6 parejas y un punto sobrante, por lo que en la siguiente casilla se colocan 6 puntos y queda uno en la última casilla a la derecha. Cada punto en la casilla siguiente vale el doble del anterior. Esto significa que 13 6 2 1= × + Si se repite el procedimiento, se consigna en la siguiente casilla 3 puntos y no sobra ninguno. De donde se obtiene que 213 3 2 2 0 2 1 3 2 0 2 1= × × + × + = × + × + Por último nos queda la configuración: 5 MATEMÁTICA MAYA De donde se obtiene que 3 213 1 2 2 2 1 2 2 0 2 1 1 2 1 2 0 2 1= × × × + × × + × + = × + × + × + Resulta que el número inicial 13, escrito en base 10, se pueden escribir en términos de los dígitos { }0,1 , específicamente como 1101 A esta expansión se le llama la expansión en base 2 o expansión binaria, que significa que el número 13 en base 10 es equivalente a 1101 en base 2. Para diferenciar las bases, usualmente se utiliza la notación: 10 213 1101= 1.3 Conversión de base 10 Siempre en las expresiones numéricas, la posición es importante. Tendremos a mano la siguiente tabla para poder ayudarnos a llevar a cabo las conversiones de base 10 a una base b determinada: Paso 1: de la cantidad en base 10 que se quiere convertir se identifica la base que se trabajará. CANTIDAD A CONVERTIR Paso 2: se cosigna la cantidad de grupos que se pueden hacer de b elementos y se dejan los que sobran (residuo de dividir la cantidad que se quiere convertir entre b). CANTIDAD DE GRUPOS DE b ELEMENTOS DE LA CASILLA ANTERIOR RESIDUO DE DIVIDIR LA CANTIDAD ENTRE b 6 MATEMÁTICA MAYA Paso 3: se repite el proceso, pero con los que nos quedaron en la siguiente casilla. CANTIDAD DE GRUPOS DE b ELEMENTOS DE LA CASILLA ANTERIOR RESIDUO DE DIVIDIR ENTRE b, NUEVAMENTE RESIDUO DE DIVIDIR LA CANTIDAD ENTRE b El proceso se repite, se detiene hasta que ya no se puedan hacer más grupos de b elemento. Se pueden agregar más cuadros si es necesario. Los números que se obtienen en cada cuadrito representan los dígitos en base b, que solo pueden ser . Por ejemplo, en la base 10, solo se tienen los dígitos {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Mientras que en la base 2 los dígitos son . Ejemplo: el número 42 está escrito en base 10, ¿cuál será su expansión en base 3? Paso 1: se identifica que la base es 3, por lo que el problema es hacer grupos de 3. 42 Paso 2: en 42 se pueden hacer 14 grupos de 3, y no sobra ninguno. Esto es 14 0 42 14 3 0= × + Paso 3: nuevamente se hacen grupos de 3, pero ahora con el 14. En 14 caben 4 grupos de 3 y sobran 2, por lo que se tiene la siguiente casilla: 4 2 0 242 4 3 2 3 0= × + × + b 7 MATEMÁTICA MAYA Paso 4: nuevamente se hacen grupos de 3, pero esta vez con el 4. En 4 cabe solo un grupo de 3 y sobra uno. Entonces: 1 1 2 0 3 242 1 3 1 3 2 3 0= × + × + × + Como ya no se puede seguir haciendo grupos, el proceso se detiene, con lo cual la expansión de 42 en base 3 es la mostrada arriba. 10 342 1120= 1.4 Conversión de cualquier base a base 10 El número 11012 ¿a cuánto equivale en la base 10? Leyendo de derecha a izquierda y recordando la tabla sugerida, se tiene 1 en la casilla de las unidades; más 0 grupos de 2; más 1 grupo de 2 2 4× = ; y por último, 1 grupo de 2 2 2 8× × = . Entonces, 21101 8 4 0 1 13= + + + = ; entonces, 2 101101 1 3= . El número 21111 ¿a cuánto equivale en base 10? De nuevo de derecha a izquierda, 1 unidad; 1 grupo de la base, o sea 2; 1 grupo de la base multiplicado por la base, o sea, 2 2 4× = ; y por último, 1 grupo de la base por la base por la base, o sea, 2 2 2 8× × = . Al final se tiene 21111 8 4 2 1 15= + + + = , por lo tanto, 2 101111 15= . En general, se escribe el dígito y se multiplica por una potencia de la base, de acuerdo a la posición que ocupa el dígito, contada de derecha a izquierda, por ejemplo: el número 42201 , representa al número: 3 2 4 102201 2 4 2 4 0 4 1 128 32 0 1 161= × + × + × + = + + + = Ejercicio corto Ejercicio corto Convertir el número 45, escrito en base 10, a base 7. Respuesta: 10 745 63= Convertir 34, escrito en base 5, a base 4. Respuesta: 5 434 43= 8 MATEMÁTICA MAYA 1.5 Bases mayores de 10 Para trabajar con la base 12 son necesarios 12 dígitos, pero los dígitos usuales solo son 10, es decir que hacen falta 2, por lo que es necesario utilizar algunos signos especiales para representar al 10 y al 11, por ejemplo, es posible utilizar la letra A para representar al 10 y la letra B para representar al 11. Entonces, el conjunto de dígitos de la base 12 es {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B}. Ejemplo Si tenemos 1225 , como siempre, para hacer la conversión, leemos de derecha a izquierda. Recordando nuestra tabla de apoyo, tenemos 5 unidades y 2 grupos de la base, y como esta es 12 tenemos 12 1025 2 12 5 24 5 29= × + = + = . Ejemplo El número 123A representa A unidades (recuerde que A es 10) y 3 grupos de la base (que es 12), o sea, 3 12 36× = . Entonces, 12 103 3 12 36 10 46A A= × + = + = . Ejemplo: 12277 equivale a 7 unidades; 7 grupos de la base (7 grupos de 12), es decir, 7 12 84× = ; y el dígito2 representa dos grupos de 12 12× , es decir, 2 12 12 288× × = . Entonces se tiene 2 12 10227 2 12 7 12 7 288 84 7 379= × + × + = + + = . Ejercicio corto Ejercicio corto Convertir el número 432, escrito en base 5, a base 10. Respuesta: ¿Cuántos y cuáles son los dígitos que se usan en base 5?. Respuesta: se usan 5 dígitos y son {0, 1, 2, 3, 4} 5 10432 117= 3 4 7 12 + 8 9 5 12 1 0 2 0 12 9 MATEMÁTICA MAYA 1.6 Sistema de numeración maya Este sistema de numeración es vigesimal, es decir que es de base 20, por lo que utiliza 20 dígitos para representar todos sus números, estos son los números del 0 al 19. Los mayas no utilizaban los dígitos 0, 1, 2, etc. Para representar sus números, en cambio, utilizaban únicamente 3 signos y sus combinaciones para crear los 20 dígitos necesarios y escribir cualquier número. Estos tres símbolos son: El punto Que representa al número 1 La barra Que representa al número 5 El cero Que representaba al número 0 Estos tres símbolos se combinan para formar los 20 dígitos que utiliza el sistema de numeración maya, o de base 20, que son los siguientes: Otra regla importante es que en lugar de escribir los dígitos de derecha a izquierda, se escriben de abajo hacia arriba respetando siempre el valor posicional, de manera que la primera posición de abajo hacia arriba representa unidades; la segunda posición, los grupos de la base; la tercera posición, los grupos de la base por la base; y así sucesivamente. Ejemplo Convertir el número mostrado a base 10. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 10 MATEMÁTICA MAYA La idea es la misma que con las casillas horizontales y cualquier base, solo que los símbolos se escriben de forma distinta. Note que hay dos casillas, por lo que la primera casilla (de abajo hacia arriba) representa 6 unidades, mientras que la segunda representa 7 grupos de 20 (porque 20 es la base). Así, el número es Ejemplo Convertir el número mostrado a base 10. En la casilla de abajo hay 15 unidades, mientras que en la segunda casilla hay 3, que representan 3 grupos de 20, entonces el número escrito en base 10 es Ejemplo ¿Cuál es la escritura en base 20 del número 101333 ? Se procede igual que con cualquier base, se hacen grupos de 20. En 1333 hay 66 grupos de 20 y sobran 13, por lo que 101333 66 20 13= × + Luego, se repite el proceso con 66. En 66 hay 3 grupos de 20, sobran 6, por lo tanto, 2 101333 3 20 6 20 13= × + × + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 7 20 6 146× + = 3 20 15 75× + = 11 MATEMÁTICA MAYA Entonces, el número 101333 se escribe en numeración maya como: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Convertir el número 4032, escrito en base 10, a número maya. Ejercicio corto 12 MATEMÁTICA MAYA Ha desarrollado ya un concepto claro de lo que significan los sistemas numéricos. Realice bien su autoevaluación y luego pase al siguiente módulo. Mucha suerte. Conclusiones 13 MATEMÁTICA MAYA La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna responsabilidad al respecto. Año 2019. Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Olmedo Abihail España Calderón Director General de Docencia DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autor M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón Producción académica M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina Lic. Erick Girón Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez Corrección de estilo Lcda. María Mazariegos 1 LÓGICA MATEMÁTICA LÓGICA MATEMÁTICA 2Módulo 123456789 0 2 LÓGICA MATEMÁTICA Entre las funciones más importantes de la mente está el desarrollo del pensamiento, y este tiene siempre una actividad operativa que ayuda a tomar decisiones apropiadas para actuar en cualquier circunstancia de la vida. Esta actividad implica el uso de la lógica, cuyos procesos dependen grandemente de la lengua materna. En este módulo aprenderemos algunas de las reglas necesarias para comprender los procesos de pensamiento. INTRODUCCIÓN 3 LÓGICA MATEMÁTICAMódulo 2 Uno de los grandes logros de la humanidad en su evolución a lo largo del tiempo es el lenguaje. No hay espacio geográfico en el mundo donde los grupos sociales que lo habitan no tengan un idioma mediante el cual se comuniquen para expresarse en todas las esferas de la relación humana. Estos idiomas nos permiten comunicar nuestras necesidades, nuestros pensamientos, nuestras ideas, nuestros sentimientos, nuestras pasiones, angustias, entre otros. Lo interesante es que esa forma de comunicarnos tiene una organización interna que todos aceptamos y que nos permite reconocer una “lógica” que garantiza una comunicación más fluida y eficaz. La matemática es un idioma mediante el cual podemos modelar el fenómeno que nos interesa estudiar para entenderlo mejor y hacerlo accesible y comprensible a otros, ya que es un lenguaje reconocido universalmente. 2.1 Proposición En el sentido matemático, una proposición es todo enunciado del cual se sabe con certeza si es falso o verdadero. Por ejemplo, la expresión La luna es de queso es una proposición falsa; Guatemala es un país centroamericano es una proposición verdadera; Mañana va a llover es una proposición incierta pues no tenemos los elementos para asegurar su veracidad o su falsedad. La primera ley de Newton es la ley de la inercia es una proposición verdadera; Cristóbal Colon fue el primero en darle la vuelta al mundo en avión es una proposición falsa. La ecuación es una proposición incierta hasta que se proponga el valor de x y se determine si es falsa o verdadera. Para cada proposición se establece el valor de verdad, el cual es una asignación única, que puede ser: V para indicar que la proposición es verdadera y F para indicar que la proposición es falsa. El valor de verdad de la proposición “La tierra es el centro de nuestro sistema planetario” es falso, por lo que se le asigna F. El valor de verdad de la proposición “La capital de la República de Guatemala es Guatemala” es verdadero, por lo que se le asigna V. Este tipo de proposiciones se llaman proposiciones simples. Es decir, aquellas que no están conformadas por la unión de proposiciones más pequeñas. Cuando se combinan dos o más proposiciones simples a través de conectivos lógicos se tiene una proposición compuesta. LÓGICA MATEMÁTICA 4 LÓGICA MATEMÁTICA Ejemplo Julio Verne escribió 20,000 leguas de viaje submarino y Julio Cortázar escribió Mulata de tal. Julio Verne escribió 20,000 leguas de viaje submarino tiene valor de verdad Verdadero. Julio Cortázar escribió Mulata de tal, tiene valor de verdad Falso. En este caso, una parte es Verdadera, pero la otra es Falsa, por lo tanto, se deben tener reglas claras para tomar la decisión respecto del valor de verdad de la proposición compuesta. Para representar las proposiciones simples, usualmente se utilizan las letras p, q, r, s, t. Para formar una proposición compuesta, se utilizan conectivos lógicos. Lasiguiente tabla representa los conectivos, su simbología y su significado. Nombre Símbolo Significado Negación ~ Cambia el valor de verdad de una proposición. Ejemplo p = Hoy es lunes. Verdadero. ~ p = Hoy no es lunes. Falso. Conjunción ∧ Se representa con “y”. La proposición compuesta es verdadera solo en el caso de que ambas sean verdaderas. Ejemplo p = Daniel está comiendo. Verdadero. q = Daniel está caminando. Falso. ∧p q = Daniel está comiendo y caminando. Falso. Disyunción inclusiva ∨ Se representa con “o”. La proposición compuesta es verdadera cuando al menos una de las dos proposiciones es verdadera. Ejemplo p = Daniel está comiendo. Verdadero. q = Daniel está caminando. Falso. ∨p q = Daniel está comiendo o caminando. Verdadero. 5 LÓGICA MATEMÁTICA Disyunción exclusiva ∨ Se representa con “o … o”. La proposición es verdadera si las dos proposiciones tienen valor de verdad distinto. Ejemplo: p = Daniel está comiendo. Verdadero. q = Daniel está caminando. Falso. p ∨ q = O Daniel está comiendo o está caminando. Verdadero. Implicación o condicional ⇒ Se representa con “Si… entonces”. La proposición es falsa en el único caso en que la primera proposición es verdadera y la segunda, falsa. Ejemplo p = Me pagan hoy. Verdadero. q = Vamos al cine. Falso. ⇒p q = Si me pagan hoy, entonces vamos al cine. Falso. Doble condicional ⇔ Se representa con “… si y solo si…”. La proposición es verdadera, únicamente si ambas proposiciones tienen el mismo valor de verdad. Ejemplo p = Me pagan hoy. Verdadero. q = Vamos al cine. Falso. ⇒p q = Me pagan hoy si y solo si vamos al cine. Falso. 6 LÓGICA MATEMÁTICA Todas las reglas descritas en la tabla anterior se pueden resumir en lo que se conoce como tablas de verdad, para cada conectivo se puede elaborar una tabla de todos los posibles casos y combinaciones entre dos proposiciones. Para dos proposiciones (p y q, digamos), solo hay cuatro posibilidades: que ambas sean verdaderas; la primera verdadera y la segunda falsa; la primera falsa y la segunda verdadera; y por último, que ambas sean falsas. Esto se resume en la siguiente tabla. p q V V V F F V F F Entonces, todas las opciones para los operadores son: Negación p ~ p V F F V Conjunción p q ∧p q V V V V F F F V F F F F Disyunción inclusiva p q ∨p q V V V V F V F V V F F F 7 LÓGICA MATEMÁTICA Disyunción exclusiva p q p ∨ q V V F V F V F V V F F F Condicional p q ⇒p q V V V V F F F V V F F V Doble condicional p q ⇔p q V V V V F F F V F F F V Ejemplo Considerar las dos proposiciones. p = José ganó la presidencia. q = José cumplió su promesa. Como se explicó anteriormente solo hay cuatro posibilidades: • José sí ganó la presidencia y José sí cumplió su promesa. • José sí ganó la presidencia y José no cumplió su promesa. • José no ganó la presidencia y José sí cumplió su promesa. • José no ganó la presidencia y José no cumplió su promesa. Si la proposición compuesta es Si José gana la presidencia, entonces, José cumple su promesa. Note que la proposición compuesta es una condicional. Acontinuación se analizan todos los casos. 8 LÓGICA MATEMÁTICA En el primer caso, José ganó la presidencia y cumplió su promesa. José dijo algo verdadero, por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera. En el segundo caso, José ganó la presidencia, pero no cumplió su promesa. José dijo una mentira, por lo tanto, la proposición compuesta es falsa. En el tercer caso, José no ganó la presidencia, pero sí cumplió su promesa. José no dijo mentiras, por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera. En el cuarto caso, José no ganó la presidencia y no cumplió su promesa. José no dijo mentiras, por lo tanto, la proposición compuesta es verdadera. Básicamente se está haciendo uso de la tabla de verdad del condicional, es decir: p q ⇒p q V V V V F F F V V F F V 9 LÓGICA MATEMÁTICA Ha adquirido una herramienta de trabajo que le será útil en la organización de sus argumentos para que no solo sean claros y de fácil comprensión, sino que logren ser convincentes y sus interlocutores puedan comprender mejor su discurso. Conclusiones 10 LÓGICA MATEMÁTICA La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna responsabilidad al respecto. Año 2019. Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Olmedo Abihail España Calderón Director General de Docencia DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autor M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón Producción académica M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina Lic. Erick Girón Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez Corrección de estilo Lcda. María Mazariegos 1 CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTOS NUMÉRICOS 3Módulo 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS Una de las manifiestaciones del desarrollo de la mente humana fue el aparecimiento de sistemas numéricos que le permitieron cuantificar las cosas para entenderlas mejor y ofrecer explicaciones comprensibles para las mayorías. Gracias al concepto de número, la ciencia ha podido enriquecer el conocimiento de nuestro entorno físico y social y ha permitido que la tecnología apoye cada vez más la existencia de la humanidad en nuestro planeta. INTRODUCCIÓN 3 CONJUNTOS NUMÉRICOSMódulo 3 CONJUNTOS NUMÉRICOS Medir se convirtió en una necesidad en algún momento de la historia de la humanidad. Era importante encontrar una forma de expresar una idea abstracta, que fuera comprendida por la mayoría, por ejemplo, el número de habitantes para calcular los impuestos, el número de soldados en el campo de batalla, la cantidad de comida necesaria para satisfacer el hambre, la cantidad de pueblos, etc. La humanidad entendió que necesitaba definir esas ideas y expresar esas cantidades, así que decidieron que no solo era necesario medir, sino tener instrumentos y una manera de expresar esas medida. Es entonces que nace la idea de número. La capacidad de medir permitió expresar muchas ideas cuantificables y entender de mejor manera un fenómeno natural o de cualquier índole. Se generó entonces el lenguaje matemático, reconocido como el lenguaje de la ciencia y de la naturaleza. 3.1 Números naturales En palabras del matemático Leopold Kronecker: “Los números naturales son obra de Dios, todo lo demás es obra del hombre” El conjunto de los números naturales se identifica con la letra . Son los números utilizados con mayor frecuencia, y es común escribirlos así: Los puntos suspensivos indican que el conjunto continúa indefinidamente, es decir que tiene infinitos elementos. También, por razones prácticas, podemos representar los números en una recta numérica para tener una idea gráfica de ellos. En la anterior recta numérica el punto representa el primer número natural, que es cero, y la flecha a la derecha significa que la recta numérica se puede extender hacia la derecha indefinidamente, es decir que tiene infinitos elementos. Observe que los números están todos a una misma distancia y que cadauno de ellos denota la distancia que lo separa de cero. A esta propiedad se le llama valor absoluto del número. 0 1 2 3 4 5 6 4 CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.2 Números enteros Los números enteros se representan con el símbolo , usualmente se representan así: Los puntos suspensivos a la izquierda significan que hay infinitos números antes, usualmente se dice que vienen desde el infinito negativo. Y los puntos suspensivos de la derecha significan que hay infinitos números después, usualmente se dice que van hacia el infinito positivo. Ahora considere un principio fundamental: “Todo número es negativo, positivo o cero”. Este principio es llamado ley de la tricotomía. La distancia de un número hasta cero es siempre un número positivo. Observe que la distancia a cero desde −4 es la misma que desde 4. Esta propiedad se llama valor absoluto de los números, y se refiere a la distancia del número hasta cero, la cual es positiva. Para representar el valor absoluto se utilizan estos símbolos: n . Por ejemplo, 7 7− = , de la misma manera que 7 7= . En la recta numérica, entre cada dos números hay espacios vacíos, es decir que no tienen otro número entero entre ellos, por ejemplo, entre 6 y 7 o entre 3− y 4− . Lo interesante es que sí hay otros números, por ejemplo entre 6 y 7 se encuentra el 6.5 . Esto implica que existen otros conjuntos numéricos aparte de los enteros. Dato curioso Piense La actividad de contar formalmente implica asignar a objetos cualquiera una relación única con los naturales, por ejemplo, a un grupo de personas se le asigna una sola vez un número natural, al primero se le asigna 1, al segundo, 2, etc. ¿Cuántos números naturales existen?. Respuesta: hay infinitos números naturales 5 CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.3 Números racionales Los racionales se representan por la letra y se definen de la siguiente manera: Un número racional esta formado por un par ordenado de números enteros, donde el segundo elemento del par nunca puede ser 0. Básicamente un número racional es la división de dos enteros, siempre que no se divida un número entre cero. Los racionales se expresan como , donde llamaremos numerador al número a y denominador al número b . El número formado por ambos se llama fracción. Se llama fracción propia cuando el numerador es menor que el denominador, por ejemplo, 7 / 9. Se llama fracción impropia cuando el numerador es mayor que el denominador, por ejemplo, 9 / 5 . Se llama fracción mixta cuando hay una combinación de un número entero y una fracción propia, por ejemplo, . Las impropias pueden expresarse como mixtas, todo lo que hay que hacer es dividir, dejar el cociente como la parte entera y el residuo como la fracción propia deseada. Ejemplos es una fracción impropia. Al dividir 12 entre 7, se tiene el cociente 1 y el residuo 5, por lo que 512 1 7 7= . 9 2 es una fracción impropia. Al dividir 9 entre 2, se tiene el cociente 4 y el residuo 1, por lo que 9 14 2 2= . Dada una fracción mixta, para convertirla a una fracción impropia se debe multiplicar el denominador de la fracción con la parte entera, luego, sumarle el numerador de la fracción. Ese procedimiento da como resultado el numerador de la fracción impropia. Ejemplos 64 7 , aquí se multiplica el entero por el denominador de la fracción, en este caso 4 7 28× = , luego se le suma el numerador de la fracción, es decir, 4 7 6 28 6 34× + = + = , con lo cual se tiene 6 344 7 7= . 23 3 se convierte en 3 3 2 9 2 11× + = + = , con lo cual 2 113 3 3= . a) b) a) b) y 6 CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.3.1 Representación de los racionales en la recta numérica Aquí hay algunos ejemplos de las posiciones que los racionales ocupan en la recta numérica: Esto se debe a que los racionales también pueden escribirse como lo que se conoce como números decimales, que consiste únicamente en efectuar la división indicada, así por ejemplo 1 2 se calcula dividiendo 1 entre 2, con lo cual 1 0.500002 = …(con infinitos ceros), mientras que 7 2.33333 − = − … (con infinitos 3). También 9 0.81818111= … (infinitas repeticiones de 81). Suceden aspectos interesantes en el estudio de los conjuntos numéricos, el hecho de que toda fracción positiva o negativa pueda escribirse siempre como un número decimal (que tiene una parte que se repite infinitamente), pero que no todos los números decimales puedan escribirse como fracciones, es decir que existe otro conjunto, aparte del conjunto de los racionales, este se llama conjunto de los números irracionales, por ejemplo, los números 2, 3, ,eπ son números irracionales. Al unir el conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales se obtiene el CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES. − 3 −2 −1 1 2 30 −7/3 1/2 7 CONJUNTOS NUMÉRICOS a) b) a) b) c) a) b) 3.4 Divisibilidad Cuando un número se divide por otro y el resultado es exacto (el resultado es un número entero), es decir, no hay residuo, decimos que existe divisibilidad entre ellos. Formalmente, si a b c÷ = , y c es un número entero, decimos que a es divisible entre b , o bien, b divide a a . Ejemplos 28 es divisible por 7 , porque 28 / 7 4= . 70 es divisible por 10 , porque 70 /10 7= . 38 no es divisible por 5 , porque 38 / 5 7.6= , que no es un número entero. 3.4.1 Criterios de divisibilidad Existen proposiciones que permiten determinar si un número es divisible entre otro. • Todo número entero es divisible por 2 si el dígito de las unidades es par (cero es par). Ejemplos 3 383 857 este número NO es divisible por 2. 5 775 743 630 este número SÍ es divisible por 2. 8 636 este número SÍ es divisible por 2. • Todo número entero es divisible por 3 si la suma de los dígitos que lo conforman es múltiplo de 3. Ejemplos 65 438 333 , la suma de los dígitos que lo componen es 35, y 35 NO es múltiplo de 3, por lo tanto, el número en cuestión NO es múltiplo de 3. 1 221 354 522 , la suma de los dígitos que componen este número es 27, y este SÍ es un múltiplo de 3, por lo tanto, el número en cuestión SÍ es múltiplo de 3. c) 8 CONJUNTOS NUMÉRICOS a) a) b) a) b) • Un número entero es divisible por 4 si el número formado por sus últimos dos dígitos es un número de dos cifras divisible por 4. Ejemplos 546 300 tiene como últimos dos dígitos 00 , los cuales son un número divisible por 4, por lo tanto, el número original es divisible por 4. 582 531 224 tiene como últimos dos dígitos 24 , y 24 es divisible por 4, por lo tanto, el número original también es divisible por 4. 3 552 374 tiene como últimos dígitos 74 , pero 74 NO es divisible por 4, por lo tanto, el número en cuestión NO es divisible por 4. • Un número es divisible por 5 cuando termina en 0 o en 5. Ejemplos 7 3771 20 termina en 0, por lo tanto, el número es divisible por 5. 764 9981 25 termina en 5, por lo tanto, el número es divisible por 5. • Un número entero es divisible por 6 si es divisible por 2 y además por 3. Ejemplos 5463312 es un número par y también es divisible por 3 (por el criterio del 3), entonces SÍ es divisible por 6. 1 332 657 es un número impar, por lo que no es divisible por 2, y, por lo tanto, no es divisible por 6. Note que aunque sí se divide por 3, si no cumple alguno de los dos criterios, no puede ser divisible por 6. • Un número entero es divisible por 7 si al eliminar el dígito de las unidades (dejando el número con una cifra menos) y restar del número obtenido el doble del dígito de las unidades, el resultado es divisible por 7. Ejemplos 784 es divisible por 7, porque cuando se elimina el dígito de las unidades (dejando 78 ) y al restar el doble del dígito de las unidades se obtiene 78 2 4 78 8 70− × = − = , y 70 es divisible por 7. a) b) c) 9 CONJUNTOS NUMÉRICOS b) 10 766 , a este número se le quita el dígito de las unidades y se deja el número 1 076. Luego, se le resta el doble del dígito de las unidades, lo cual resulta en 1 076 12 1 064− = (como no se sabe si es divisible por 7, se aplica nuevamente el proceso, pero ahora con el número 1 064 ). Repitiendo el proceso con 1 064 , se tiene 106 8 98− = (como nuevamente no se sabe si es divisible por 7, se aplica el proceso una vez más). Repitiendo el proceso con 98 , se tiene 9 16 7− = − . Como 7− es divisible por 7 (el signo no afecta la divisibilidad), 98 es divisible por 7, con lo cual 1 064 también es divisible por 7, y finalmente, 10 766 es divisible por 7. 4 562 , a este número se le aplica el mismo proceso. Al número 456 , se le resta el doble de 2, así: 456 4 452− = . Se repite el proceso con 452 . Se opera 45 4 41− = (como no es divisible por 7, se repite el proceso una vez más), el número 41 se vuelve a operar, 4 2 2− = . El resultado claramente no es divisible por 7. Entonces, 41 no es divisible por 7, 452 tampoco y, por último, 4 562 no es divisible por 7. 3.5 Números primos Un número primo es un entero positivo distinto de 1, que únicamente es divisible por sí mismo y por 1. c) Dato curioso Una forma de saber si un número es primo es probar que no pueda dividirse entre ninguno de los primos que le anteceden, por ejemplo, con 29, debería probarse con los primos anteriores, que son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23. Lo cual es mucho trabajo para un número tan pequeño. Otra forma es probar que no pueda dividirse por los primos menores que su raíz cuadrada (aproximada), por ejemplo, el 29 tiene raíz cuadrada entre 5 y 6. Por lo que es suficiente saber si se divide o no entre 2, 3 y 5. Lo cual es mucho más eficiente que el método anterior. 10 CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.5.1 Los factores primos de un número Un número que no es primo (por ejemplo 12) se llama compuesto. El término compuesto se refiere a que este número puede ser escrito como producto de números primos. Por ejemplo: 8 2 2 2; 27 3 3 3; 48 2 2 2 2 3; 1 4 2 7;= × × = × × = × × × × = × 70 2 5 7; 210 2 3 5 7= × × = × × × A este hecho se le conoce como descomposición en números primos, y esta descomposición es única para cada número. Siempre que se necesite descomponer un número en sus factores primos, se puede hacer buscando todos los factores 2 que tenga el número, luego todos los factores 3, luego todos los factores 5, es decir, todos los factores que sean números primos comenzando desde el más pequeño (que es 2), y terminando hasta que el número que quede sea 1. Ejemplos a) Descomponer 160 en factores primos NÚMERO FACTORES PRIMOS 160 2 80 2 40 2 20 2 10 2 5 5 1 Entonces 160 2 2 2 2 2 5= × × × × × , que se puede abreviar con exponentes 5160 2 5= × . b) Descomponer 105 en factores primos NÚMERO FACTORES PRIMOS 105 3 35 5 7 7 1 Entonces 105 3 5 7= × × , que no puede abreviarse con exponentes. 11 CONJUNTOS NUMÉRICOS Mínimo común múltiplo (mcm) Cuando n es divisible por m , se dice también que n es un múltiplo de m . Básicamente, todos los múltiplos de un número n se pueden obtener multiplicando n con los números 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,..., por ejemplo, los múltiplos de 3 son { 0, 3, 0, 3, 6, 9,12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39...}, los múltiplos de 4 son {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44...}. Observe que siempre hay múltiplos comunes para dos números, aparte del cero, que es un múltiplo común para todos los números. En el caso del 3 y 4, los múltiplos comunes son { 0, 12, 24, 36,...} y son infinitos. El primer múltiplo común distinto de cero, que es 12, se conoce como el mínimo común múltiplo de 3 y 4, usualmente abreviado como ( )3,4 12=mcm . En general, para dos números enteros positivos a y b , el mínimo común múltiplo, denotado como , es el múltiplo común más pequeño entre a y b , y distinto de cero. Ejemplos a) El mínimo común múltiplo entre 12 y 15. Los múltiplos de 12 son { 0. 12, 24, 36 48, 60, 72, 84, 96,...}. Los múltiplos de 15 son { 0. 15, 30, 45, 60, 75, 90,...} El múltiplo más pequeño distinto de cero, común a 12 y 15 es 60. Es considerado el teorema más importante de la aritmética y trata sobre números primos. El teorema dice que cualquier número natural mayor que 1 puede escribirse como producto de números primos, y lo más importante es que esta forma de “factorizar” siempre existe y es única para cada número. Por ejemplo, para el número 480, la descomposición en números primos es Teorema fundamental de la aritmética 480 12 CONJUNTOS NUMÉRICOS Una forma más práctica de encontrar el mcm sería la siguiente: tomar las dos cifras y calcular todos los números primos que dividen a cualquiera de las dos. Nota: el signo para este caso 12 -15, no es una resta, solo separa los dos números. 2 2 3 5 1 b) Encontrar el mínimo común múltiplo entre 16 y 24. 2 2 2 2 3 1 c) Encontrar el mínimo común múltiplo entre 25 y 30. 2 3 5 5 1 Al descomponer los números en sus factores primos hasta que quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los factores 2, 2, 2 y 3. Por lo tanto, mcm (16, 24) = 2 × 2 × 2 × 3 = 48. Al descomponer los números en sus factores primos hasta que quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los factores 2, 2, 3 y 5. Por lo tanto, mcm (12,15) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60. Al descomponer los números en sus factores primos hasta que quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los factores 2, 3, 5 y 5. Por lo tanto, mcm (25, 30) = 2 × 3 × 5 × 5 = 150. 16-24 8-12 4-6 2-3 1-3 1-1 12-15 6-15 3-15 1-5 1-1 25-30 25-15 25-5 5-1 1-1 13 CONJUNTOS NUMÉRICOS d) Encontrar el mínimo común múltiplo de 10, 12 y 30. 2 2 3 5 1 Máximo común divisor (MCD) Cuando n es divisible por m , se dice también que m es un divisor de n . A diferencia de los múltiplos, la cantidad de divisores es limitada, por ejemplo, si se considera el conjunto de todos los divisores de 18, este conjunto es {1, 2, 3, 6, 9, 18}. Mientras que el conjunto de todos los divisores de 24 es { 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}. Note que el 1 siempre es un divisor común a cualquier pareja de números. De entre los divisores que son comunes para ambos números, es decir, el conjunto { 1, 2, 3, 6}, se elige el más grande. A este divisor común se le llama máximo común divisor de 24 y 18, que es 6. En general, para dos enteros positivos a y b , el máximo común divisor, denotado como MCD , es el divisor común a a y b , que además es el más grande. Existe un método similar al cálculo del mcm explicado en la sección anterior. Al descomponer los números en sus factores primos hasta que quede la unidad, sin importar si son comunes o no, se obtienen los factores 2, 2, 3 y 5. Por lo tanto, mcm (10,12, 30) = 2 × 2 × 3 × 5 = 60. 10-12-30 5-6-15 5-3-15 5-1-5 1-1-1 14 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejemplos a) Encontrar el máximo común divisor entre 18 y 24. 2 * 2 2 . 3 * 1* b) Encontrar el mcm y el MCD entre 450 y 360. 2 * 2 2 3 * 3 * 5 * 5 1* Se marcaron con asterisco (*) los divisores comunes, el mcm (18, 24) es el producto de todos los factores encontrados, es decir que mcm . Mientras que el MCD de 18 y 24 es el producto de los factores primos comunes únicamente, es decir, solo los que se marcaron con asterisco (*), en este caso es MCD . Al descomponer en factores primos y considerar únicamente los factores repetidos, se tiene que MCD . 18-24 9-12 9 - 6 9 - 3 3 - 1 1 - 1 450-360 225-180 225-90 225-45 75-15 25-5 5-1 1-1 15 CONJUNTOS NUMÉRICOS Hay casos en los que este proceso no genera factores en común, es de recordar que 1 siempre es un factor en común, es decir que siempre 1 aparece al final del proceso generado por este listado, por lo que el MCD es 1. Siempre existe tanto el mcm como el MCD de dos números enteros positivos. El mcm y MCD siempre existen, pero en ocasionessucede que entre dos números no hay factores en común. En estos casos la pareja de números se llama primos relativos, los cuales forman parte de un estudio importante en la teoría de números. En estas parejas, el MCD de los dos números es 1 y el mcm es el producto de los números. Ejemplo, 16 y 9 no tienen factores en común, el MCD es 1 y el mcm es 16×9=144. Haciendo uso del MCD y el mcm, procederemos a realizar operaciones con fracciones. Dato curioso Aunque no es común que aparezca en los textos, el algoritmo más eficiente para calcular el MCD de dos números se llama algoritmo de Euclides y consiste en que MCD . Es decir que consiste en copiar el número menor de los dos e ir restando los números (mayor menos menor) para hacerlos cada vez más pequeños. El proceso termina en solo dos posibles términos: MCD o MCD . Ejemplos MCD . . Algoritmo de Euclides MCD MCDMCD MCD MCD MCD MCD MCD MCD 16 CONJUNTOS NUMÉRICOS 3.6 Multiplicación de fracciones Para multiplicar dos fracciones, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. En el caso en que se pueda simplificar, se hace. Se respetan siempre los signos y el orden. Ejemplos a) Multiplicar 2 / 5 por 3 / 7 . b) Multiplicar 7 / 9− por 3 / 5 . 3.7 División de fracciones Para dividir dos fracciones, primero se invierte la segunda fracción (divisor), cambiando el signo de división por uno de multiplicación. Como se tiene una multiplicación, se multiplica numerador con numerador y denominador con denominador. En el caso en que se pueda simplificar, se hace. Se respetan siempre los signos y el orden. Ejemplos a) Dividir 6 / 7 entre 9 / 8 . 17 CONJUNTOS NUMÉRICOS b) Dividir 7 / 8− entre 9 /16− . c) Dividir 5 / 9 entre 4 / 5 . 3.8 Suma y resta de fracciones Para sumar hay que tener presente que solo se puede sumar si los denominadores son iguales, por ejemplo, hay dos pasteles del mismo tamaño, el primer pastel se divide en 10 pedazos y el segundo en 12 pedazos, una persona recibe un pedazo de cada pastel y surge la duda, ¿qué fracción de pastel se comió la persona?, claramente no se puede comparar ambos pedazos, pues son de distintos tamaños, por lo cual, sumar o restar fracciones no es lo mismo que multiplicar o dividir, en necesario que los denominadores sean del mismo tamaño. Hay 2 posibilidades. • Con denominadores iguales: si ambas fracciones tienen el mismo denominador se opera así: Ejemplos a) Sumar 3 / 7 con 1/ 7 . b) Sumar 2 / 9− , 5 / 9 y 3 / 9− . Cuidado con la tentación de sumar los denominadores. 18 CONJUNTOS NUMÉRICOS • Con denominadores diferentes: debe convertirse primero todas las fracciones a fracciones equivalentes con un común denominador, y luego, proceder como antes. Para convertir las fracciones equivalentes con común denominador, lo que se hace es buscar el mcm de ambos denominadores y luego amplificar las fracciones cuantas veces sea necesario, hasta que el denominador sea el mcm. Ejemplos a) Sumar 1/10 con 1/12 . Primero se calcula el mcm de 10 y 12. 2 2 3 5 1 b) Calcular 3 / 4 2 / 3+ . Primero se calcula el mcm de 4 y 3. 2 2 3 1 El mcm . Luego se convierte a fracciones equivalentes: para hacer llegar el 10 a 60, hay que multiplicarlo por 6, y a 12, por 5. El mcm . Luego se convierte a fracciones equivalentes: para hacer llegar el 4 a 12, hay que multiplicarlo por 3, y a 3, por 4. 10-12 5-6 5-3 5-1 1-1 4-3 2-3 1-3 1-1 19 CONJUNTOS NUMÉRICOS c) Calcular 2 / 9 3 /12 2 / 3+ − . Primero se calcula el mcm de 9, 12 y 3. 2 2 3 3 1 3.9 Jerarquía en las operaciones Cuando se combinan dos o más operaciones entre números reales, es importante reconocer que existe un orden operacional y también un orden en la utilización de los signos de agrupación que se deben respetar. Ambas normas son muy útiles para operar con los números reales. Es común realizar operaciones en un orden incorrecto, por ejemplo, ¿a qué será igual la expresión 3 4 8+ × ? Es tentador realizar las operaciones como se lee en un texto, de izquierda a derecha, de esta forma se obtendría 56. Pero en este caso el orden operacional no es así, y la respuesta correcta es 35. Por eso es importante reconocer el orden correcto al realizar operaciones. Las normas planteadas tienen que ser respetadas siempre en todas las expresiones matemáticas. Esto se conoce como JERARQUÍA DE OPERACIONES. El mcm . Luego se convierte a fracciones equivalentes: para hacer llegar el 4 a 12, hay que multiplicarlo por 3, y a 3, por 4. 9-12-3 9-6-3 9-3-3 3-1-1 1-1-1 )) 20 CONJUNTOS NUMÉRICOS • Cuando se combinan varias operaciones, deben realizarse primero las potencias y raíces; luego, los productos y cocientes; por último, las sumas y restas, a menos que existan signos de agrupación que indiquen lo contrario. • Si aparecen signos de agrupación, los cuales son ( ) , [ ] y {} , se ejecuta primero lo que está dentro de estos signos y una vez despejado, se llevan a cabo las demás operaciones indicadas según la norma anterior. Ejemplos a) Operar Como hay paréntesis, se procede a realizar las operaciones indicadas dentro del paréntesis. 27 5 6 3 1 2+ − ÷ + × Primero Segundo Tercero Realizar potencias y raíces Productos y cocientes Sumas y restas ( )27 5 6 3 3 2 2+ − ÷ + − × 21 CONJUNTOS NUMÉRICOS Como ya no hay paréntesis, se operan primero las potencias y raíces, como indica la regla 1. 7 25 6 3 1 2+ − ÷ + × Como ya no hay potencias y raíces, se operan los productos y cocientes. 7 25 2 2+ − + Quedan únicamente sumas y restas, con lo cual, solo falta operarlas. 7 25 2 2 32.+ − + = b) Operar 5 4 3 6 16 8 3 – 4 2 1+ × ÷ + ÷ × × + Como no hay raíces o potencias, se efectúa primero los productos y cocientes. 5 2 6 – 8 1+ + + Como ya no hay productos y cocientes, se realizan las sumas y restas. 5 2 6 8 1 6.+ + − + = c) Operar Primero los paréntesis. ( ) ( )5 4 3 16 – 9 7 5 – 3+ × + ÷ + 9 3 7 7 5 – 3× + ÷ + 22 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ejercico corto ( )( )5 10 5 2 5 12 8 3 1× − × ÷ + − × + . Respuesta: 105 ¿Cuánto es 2 2 5− × ?. Respuesta: 8− . Al realizar el producto queda 2 2 5 2 10− × = − . Recuerde que los números enteros tienen reglas específicas para suma y resta, en este caso 2 10 8− = − . Piense Como no hay potencias o raíces, se operan los productos y cocientes. 27 1 5 – 3+ + Por último, las sumas y restas. 27 1 5 – 3 30.+ + = 23 CONJUNTOS NUMÉRICOS Ha tenido usted la oportunidad de estar en contacto con los conjuntos numéricos y ha aprendido a operar con ellos. Conocimientos básicos para comprender mejor sus diferentes aplicaciones en cualquier campo de la vida. Conclusiones 24 CONJUNTOS NUMÉRICOS La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna responsabilidad al respecto. Año 2019. Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Olmedo Abihail España Calderón Director General de Docencia DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autor M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón Producción académica M.Sc. Sonia AlejandraRecinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina Lic. Erick Girón Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez Corrección de estilo Lcda. María Mazariegos 1 RAZONES Y PROPORCIONES RAZONES Y PROPORCIONES 4Módulo 2 RAZONES Y PROPORCIONES La proporcionalidad es una manifestación de la comprensión de las medidas y de cómo estas se distribuyen en la misma naturaleza. Es una oportunidad también para comprender los modelos matemáticos mediante los cuales desarrollamos una idea cuantitativa para saber la relación entre causa y efecto. Medite cuidadosamente sobre los ejemplos que aparecen en el módulo y analice qué otras ideas llegan a sus pensamientos para comprender mejor su entorno y la naturaleza misma. INTRODUCCIÓN 3 RAZONES Y PROPORCIONESMódulo 4 RAZONES Y PROPORCIONES En el módulo 3 cuando se estudiaron las fracciones, se explicaron algunas de sus aplicaciones, ahora se considerarán otros usos interesantes. Primero, se define una razón como la relación cuantitativa entre variables expresadas numéricamente. Por ejemplo, si se considera que por cada 7 casas hay 9 automóviles en la ciudad, se representa esta relación como 7/9, que se lee 7 es a 9, se puede concluir que si hay 14 casas, se encontrarán 18 automóviles, o que por cada 21 casas habrá 27 automóviles. Este número brinda la relación de crecimiento entre el número de casas y el de automóviles. A este tipo de comparaciones se les llama razones. La naturaleza tiene muchas manifestaciones proporcionales. La longitud de los brazos de toda persona es proporcional a su estatura. También hay una proporción entre el peso y la estatura de una persona. Si se mide la longitud del perímetro de la cabeza y luego el del puño cerrado también se encontrará que esas medidas son proporcionales. Una proporción matemática es la igualdad entre dos razones, lo que estudiamos como igualdad de fracciones. Si dos razones son iguales, existe proporcionalidad entre las variables que se consideran. Recuerde ,si y solo si= =a c ad bc b d Al cumplirse la igualdad se dice que hay proporcionalidad entre las variables, o bien, que las cantidades son proporcionales. Si hay proporcionalidad entre dos variables, puede suceder que una variable aumente y la otra también, en este caso, se dice que las variables son directamente proporcionales. Pero si una variable aumenta y la otra disminuye, se dice que las variables son inversamente proporcionales. 7/9 7 es a 9 4 RAZONES Y PROPORCIONES Ejemplos a. En un auto que viaja a cierta velocidad se cumple lo siguiente: si se aumenta la velocidad actual, se disminuye el tiempo en llegar al destino. Si se disminuye la velocidad actual, se aumenta el tiempo de llegada. Aquí la relación entre las variables tiempo y velocidad es inversamente proporcional. b. Se compran libros a un precio fijo. Si se aumenta el número de libros (al mismo precio individual), incrementa el valor total a pagar. Si se reduce el número de libros, reduce el precio a pagar. Aquí la relación entre las variables cantidad de libros y total a pagar es directamente proporcional. En la expresión 3 / 4 1 2 /16= , hay proporcionalidad, las fracciones son equivalentes. Como las proporciones son comparaciones entre cantidades cuando se tiene una cantidad desconocida y se sabe que hay proporcionalidad, es posible encontrar la variable faltante. En el caso de que las variables sean inversamente proporcionales, se invierte una razón y con eso se logra la proporcionalidad directa. a. En la proporción 7 9 36 x = , hace falta un valor. Para hallarlo se hace uso de la definición de igualdad de fracciones. Se tiene entonces que ( )9 7 36x= , con lo cual 9 252x= . Por lo tanto, 252 / 9 28x = = . b. En la proporción 8 35 42x = , el valor de x se calcula como ( )8 42 35x= , de donde 336 35x= , entonces 336 / 35 x= , y finalmente 9.6x = . c. Un chorro de agua permanece abierto 24 horas y en ese tiempo vierte 5000 litros de agua. ¿Cuántos litros de agua verterá si permanece abierto 30 horas? Solución: se nota que las variables son el tiempo que permanece abierto el chorro y la cantidad de agua, y que estas están en proporción directa, por lo que el planteamiento del problema se resume en 24 es a 30 , como 5000 es a x , donde x es la cantidad desconocida de agua. Esto se escribe en fracciones como 24 5000 30 x = De donde 6250x = , entonces en 30 horas, el chorro verterá 6250 litros de agua. 5 RAZONES Y PROPORCIONES d. Si 32 ejemplares de un texto cuestan Q 485.72, ¿Cuánto costarán 45 ejemplares del mismo texto? Solución: esta proporción es directa, por lo que la igualdad de fracciones es 32 485.72 45 x = De donde ( )32 45 485.72x = , con lo cual 683.04x = es lo que se debe pagar por los 45 libros. e. Se sabe que 24 trabajadores construyen una barda en 18 días, pero no se logró contratar a todos y solo se tiene a 12 personas. ¿Cuántos días tardarán los 12 trabajadores para construir la barda? Solución: las cantidades que deben compararse son los días tardados y el número de trabajadores. Note que si la cantidad de personas disminuyó, la cantidad de días debe aumentar, es decir que las cantidades están en relación inversa, por lo que una de las dos razones 24 /12 o 18 / x se debe invertir, y la igualdad quedaría 24 12 18 x = Con lo cual, al calcular x , se obtiene , que representa los días que deben trabajar para construir el muro. 6 RAZONES Y PROPORCIONES Toda razón es un cociente (fracción) entre dos cantidades, pero además, toda fracción puede expresarse como un número decimal y como un porcentaje, a esta fracción se le conoce como constante de proporcionalidad, por ejemplo, si la razón entre dos variables es 3/4, entonces su constante de proporcionalidad es 0.75, esta constante de proporcionalidad es práctica para realizar cálculos. Por ejemplo, la fuerza de atracción en la luna (gravedad) es 1/6 del valor de la gravedad de la tierra, entonces la constante de proporcionalidad es de 0.17 (valor aproximado a dos decimales). Entonces, si alguien pesa en la tierra 285 libras, en la luna pesaría ( )0.17 185 31.45= . Por lo tanto, el peso de esta persona en la luna es aproximadamente de 31.45 libras. A veces es útil escribir la fracción como un porcentaje, esto es, escribir la parte decimal y multiplicarla por 100, luego, colocarle el símbolo de porcentaje ( % ). Por ejemplo, 3 / 4 0.75= , y esto a su vez es 0.75 75%= . De la misma manera, para convertir un porcentaje a número decimal, únicamente se divide entre 100, por ejemplo, el número 37% equivale a 0.37, esta conversión es muy útil en el cálculo de porcentajes. Por ejemplo, si se desea encontrar el 82% de 225.48, lo que se hace es multiplicar la cantidad dada por el decimal correspondiente al porcentaje, es decir, ( )( )0.82 225.48 184.89= aproximadamente. Entonces, el 82% de 225.48 es 184.89 . 7 RAZONES Y PROPORCIONES Ha aprendido en esta experiencia el significado clásico de la proporción. Utilice este conocimiento para tomar decisiones apropiadas cuando estas tengan que ver con aspectos que puedan expresarse cuantitativamente, como los impuestos, los intereses sobre cuentas, lo que significa una deuda, las tarjetas de crédito, la proporcionalidad de crecimiento poblacional y otros temas. Conclusiones 8 RAZONES Y PROPORCIONES La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna responsabilidad al respecto. Año 2019. Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacionalde Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Olmedo Abihail España Calderón Director General de Docencia DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autor M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón Producción académica M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina Lic. Erick Girón Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez Corrección de estilo Lcda. María Mazariegos 1 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA 5Módulo 2 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Uno de los logros matemáticos es la posibilidad de establecer generalizaciones para aspectos en principio particulares. Para ello fue necesario construir un idioma utilizando símbolos naturales como el alfabeto. Este nuevo lenguaje se usa para establecer símbolos generales y expresar ideas que van a cumplirse siempre, por ejemplo, el teorema de Pitágoras, que algebraicamente acepta la expresión a2+b2=c2. La terminología que aprenderá ahora ampliará su capacidad de expresión matemática para poder entender mejor el mundo. INTRODUCCIÓN 3 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICAMódulo 5 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA En los módulos anteriores se utilizaron únicamente números, esta vez se hará uso de símbolos que representen cantidades desconocidas. Por ejemplo, la oración: El estudiante vendrá el próximo viernes, no puede determinarse si es verdadera o falsa, pues ¿quién es el estudiante?, este fragmento de El estudiante… puede sustituirse por un nombre que haga verdadera o falsa la expresión. Otro ejemplo es en la expresión a b c+ = , que tiene un conjunto infinito de valores para las cuales es verdadera, como 3 4 7+ = . En esta unidad se introducirá la terminología apropiada de símbolos que permitan representar ideas y conceptos para resolver problemas, por ejemplo, ¿qué números multiplicados entre sí dan como resultado 42?, esto se puede escribir con dos números desconocidos o variables, que se pueden denotar con x e y , con lo cual la respuesta a la pregunta se escribe como 42=xy . Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números, letras que representan números cualesquiera y signos matemáticos que indican operaciones entre los números (suma, resta, multiplicación, etc.), por ejemplo: 2 73 2 3, 5 4 zx x x ++ − + Un término es una expresión algebraica que solo contiene productos y cocientes (es decir, no aparecen sumas o restas exteriormente). Por ejemplo: 2 13 2xy x x + − Es una expresión algebraica que consta de tres términos, los cuales son: 2 13 , 2 , xy x x − Las expresiones algebraicas se separan en términos, con los signos " " + o " "− . Si una expresión tiene un solo término, se llama MONOMIO; si tiene dos términos, BINOMIO; si tiene tres términos, TRINOMIO; etc. En general, si tiene más de un término se llama POLINOMIO. a) b) 4 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Por ejemplo, las expresiones 2 2 3 2 2 4 7 234 , 23 , 9 , , , 3 2 8 + abc mnxy mnk x m k a b bc mn , 5 33 7m o 22dr , son todas monomios, pues contienen un solo término, es decir que no hay separaciones mediante los signos " " + o " "− . Ahora bien, los términos se llaman binomios, pues tienen solo una separación. Las expresiones algebraicas representan de forma general alguna situación concreta, por ejemplo: a) Un número aumentado en cuatro unidades……………………………………………….… 4x + b) Un número disminuido en 7 unidades……………………………………………….………… 7m − c) La séptima parte de un número aumentado en 5 unidades… …………………… ( )1/ 7 5d + d) El triple de la distancia recorrida más 8 unidades……………………………………..……3 8d + e) Catorce menos el triple de un número…………………………………………………………14 3n− 5.1 Valor numérico de una expresión algebraica Cuando se le asignan valores a las variables, se calcula el valor numérico asociado a la expresión algebraica. Consiste en sustituir los valores de las variables y calcular. Así, por ejemplo, al evaluar la expresión 2 3+ −a b c cuando 5=a , 2= −b y 1=c . Se sustituyen los valores de , ,a b c en la expresión algebraica. ( ) ( ) ( )2 5 3 2 1 10 6 1 3+ − − = − − = Encontrar el valor numérico de la expresión 2 32m mn k+ − , si 3m = − , 0n = , 4k = . ( ) ( )( ) ( )2 32 32 3 2 3 0 4 9 0 64 55m mn k+ − = − + − − = + − =− a) b) 5 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA 5.2 Términos semejantes Dados dos monomios, se dice que son semejantes si las partes literales de las dos expresiones algebraicas son iguales. Ejemplos a) Las expresiones algebraicas 4x y 9x tienen la misma parte literal, por lo que son términos semejantes. b) Las expresiones algebraicas 3abe y 5− aeb , tienen la misma parte literal (aunque el orden cambie), por lo que son términos semejantes. c) Las expresiones algebraicas 25m kc y −7mkc, no tienen la misma parte literal, pues m no tiene el mismo exponente en ambas expresiones, por lo que NO son términos semejantes. d) Las expresiones 38− mn y 3–8m n , no tienen la misma parte literal, pues los exponentes no son los mismos para cada letra, por lo que NO son términos semejantes. 5.3 Sumas y restas de expresiones algebraicas Para sumar y restar expresiones algebraicas, únicamente se reducen los términos que sí sean semejantes, mientras que los que no son semejantes, no se pueden reducir. Ejemplos a) Sumar ( )2 25 2 ab ab b− + , con ( )2 23 5ab ab b− + + . 2 25 2ab ab b− + 2 23 5 ab ab b− + + 2 2 2 3 2ab ab b= + + + 6 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA b) De ( )2 23 9 8 9xy x y y+ − − , restar ( )2 215 3 7 9xy x y y z+ − + − . 2 23 9 8 9xy x y y+ − − ( ) 2 23 7 9 15xy x y y z− − + − + Que es lo mismo que cambiar signos a toda la expresión de abajo. 2 23 9 8 9xy x y y+ − − 2 23 7 9 15xy x y y z− + − + − 2 1 6 17 16x y y z− + − 5.4 Productos y cocientes En este caso no es necesario trabajar con términos semejantes. Primero se deben tener reglas claras sobre operar con exponentes, a esto se le llama reglas o leyes de potenciación. LEYES DE POTENCIACIÓN EJEMPLO *a b a bx x x += Productos de potencias de igual base, se copia la base y se suman los exponentes. ( )( )3 5 3 5 8z z z z+= = a b a bx x x −÷ = División de potencias de igual base, se copia la base y se restan los exponentes. ( )5 15 1 5 1 6y y y y y− −− +÷ = = = 0 1x = Todo número distinto de cero, al elevarlo a la potencia cero, es igual a uno. 025 1= ( ) *a a bxy x x= Potencia de un producto, se separa la potencia en cada término del producto. ( )4 4 4 42 2 16a a a= = ( ) *ba a bx x= Potencia de otra potencia, se copia la base y se multiplican los exponentes. ( ) ( )( )2 2 22 4z z z− − −= = + 7 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Utilizando estas leyes, el producto y el cociente consisten únicamente en multiplicar o dividir los coeficientes de cada término y la parte literal. Ejemplos a. Multiplicar 23x yz con 3 14x y−− . b. Dividir 235a b− entre 2 25a bc− −− . ( ) ( ) 2 2 2 21 1 2 2 0 2 4 2 2 2 35 7 7 7 . 5 a b a b c a b c a c a bc − − − −− + − − − = = = − 5.5 Polinomios Un polinomio en la variable x , denotado como ( )p x , es una suma de términos con parte literal nx , para n +∈ . ( ) 1 2 2 1 2 2 1 0 n n n n n np x a x a x a x a x a x a − − − −= + + +…+ + + con El grado del polinomio está dado por el exponente más grande de la variable x . Ejemplos El polinomio ( ) 3 22 5p x x x x= + + − , es un polinomio en la variable x , y es de grado 3. El polinomio( ) 25 10 8q y y y= − + − , es un polinomio en la variable y , y es de grado 2. El polinomio ( ) 6 1r t t= − , es un polinomio en la variable t , y es de grado 6. La expresión 35 2 4x x− + + , tiene un exponente negativo, por lo que no es un polinomio. La expresión 2 4 1 x x + − , tiene una variable en el denominador, por lo que no es un polinomio. a) b) c) d) e) 8 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Es común ordenar los polinomios de forma descendente empezando siempre con el monomio de mayor grado, por ejemplo, el polinomio ( ) 3 5 66 2 3 8p x x x x x= + − + − se ordena y queda ( ) 6 5 33 2 6 8p x x x x x= − + + + − 5.6 Operaciones con polinomios Sumas y restas: las sumas y restas de polinomios se realizan agrupando los términos semejantes y sumando o restando los coeficientes, respectivamente. Ejemplos Si ( ) 3 28 3 2 4p x x x x= + − + ( ) 3 27 12 10q x x x= + − a) Si se desea calcular la suma p q+ , entonces se debe colocar cada término semejante uno debajo del otro, realizar la operación aritmética indicada entre sus coeficientes y copiar la variable junto con su exponente (regla de sumas y restas de expresiones algebraicas). ( )p x = 38x 23x+ 2x− 4+ ( )q x = 37x 212x+ 10− p q+ = 315x 215x+ 2x− 6− b) Mientras que p q− , se debe cambiar los signos de ( )q x , y proceder igual que el ejemplo anterior ( )p x = 38x 23x+ 2x− 4+ ( )q x− = 37x− 212x− 10+ 3x 29x− 2x− f) 6+ 9 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA 5.6.1 Producto Para multiplicar dos polinomios se recurre a la propiedad distributiva del producto respecto a la suma. Ejemplo Sea ( ) 4 2p x x= + ( ) 5 3q x x= − El producto ( ) ( )*p x q x es ( )( ) ( ) ( )4 2 5 3 4 5 3 2 5 3pq x x x x x= + − = − + − 2 220 12 10 6 20 2 6x x x= − + − = − −x x Otra manera de expandir el mismo producto es de forma vertical, semejante a la utilizada para multiplicar números enteros. ( )p x = 4x 2+ ( )q x = 5x 3− 220x 10x+ 12x− 6− pq = 220x 2x− 6− ( ) ( ) 220 2 6= − −p x * q x x x En donde también se aplica la propiedad distributiva, y los monomios se colocan uno debajo del otro según sean términos semejantes y se realizan las operaciones aritméticas indicadas. Multiplicar Resultados Sumar 10 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA El producto ( )( )2 22 3 1 5 2x x x x+ + − + . ( )p x = 22x +3 x 1+ ( )q x = 2x 5x− 2+ 42x 33x+ 2x+ 310x− 215x− 5x− 6x+ 2+ pq = 42x 37x− 210x− x+ 2+ ( ) ( ) 4 3 22 7 10 2= − − + +p x * q x x x x x 5.6.2 División Para dividir polinomios el caso más sencillo es la división de un polinomio entre un monomio, para ello, cada término del polinomio se dividirá entre el monomio, utilizando la regla del cociente. Ejemplo a) Dividir 3 26 3 9x x x− + entre x . 3 2 3 2 26 3 9 6 3 9 6 3 9x x x x x x x x x x x x − + = − + = − + Se dividen los coeficientes entre sí y se aplica la ley de exponentes para la parte literal. Cuando se divide un polinomio con otro polinomio se debe seguir el siguiente algoritmo, conocido como división larga. Multiplicar Resultados Sumar 24x 11 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Si 1p y 2p son polinomios y si 2 0p ≠ , entonces existen polinomios únicos 3p y 4p , tales que 1 2 3 4*p p p p= + Donde el grado de 4p es menor que el grado de 2p , 3p se conoce como el cociente y 4p el residuo. Ejemplo Realizar la siguiente división: 3 23 4 8 3 x x x x + − + + Se realiza como un análogo del algoritmo para dividir números enteros. Se reescribe la división: 3x + 3 23 4 8x x x+ − + Si el grado del polinomio del dividendo es mayor o igual al grado del divisor, es posible obtener un cociente distinto de cero. En este caso, el dividendo tiene grado 3 y el divisor 1. Se busca un monomio que multiplicado por 3x + tenga como coeficiente principal 34x , en este caso 24x cumple. Otra forma de verlo es hacer la división 3 24 4x x x = . 24x x 3+ 34x 25x+ x− 8+ 3(4x− 212 )x+ 12 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Se multiplica el monomio con el divisor, al resultado se le cambia de signos y se reduce con los términos semejantes. 24x x 3+ 34x 25x+ x− 8+ 34x− 212x− 27x− x− Se redujeron los términos semejantes, y el resultado es un polinomio de menor grado. Como el polinomio resultante es de grado mayor o igual al divisor, se repite el proceso. Ahora 27 7x x x − = − , con lo cual x 3+ 34x 25x+ x− 8+ 34x− 212x− 27x− x− 27x+ 21x+ 20x+ 8+ 7x−24x 13 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Por último 20 20x x + = . 24x x 3+ 34x 25x+ x− 8+ 34x− 212x− 27x− x− 27x+ 21x+ 20x+ 8+ 20x− 60− 52− Note que el algoritmo se detiene, pues el grado del polinomio resultante es menor que el grado del divisor. Por lo tanto: 3 2 23 4 8 524 7 20 3 3 x x x x x x x + − + − = − + + + + Que equivalentemente es ( )( ) 3 2 23 4 8 4 7 20 3 52x x x x+ − + = − + + −x x Donde claramente se tiene el cociente 24 7 20x x− + y el residuo 52− . 7x− 20 20x x + = 14 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA Ahora estamos listos para dar los siguientes pasos y no solo aprender más y mejor, sino entender nuestro entorno natural de mejor manera. Conclusiones 15 TERMINOLOGÍA ALGEBRAICA La actualidad, exactitud, obligaciones de derechos de autor, integridad o calidad del contenido (texto, gráficos, links, acotaciones, comentarios, etc.) del presente material es responsabilidad exclusiva de su(s) autor(es). La División de Educación a Distancia en Entornos Virtuales de la Dirección General de Docencia no asume ninguna responsabilidad al respecto. Año 2019. Los contenidos de esta obra están sujetos a la licencia Reconocimiento-No Comercial-Sin Obra Derivada 4.0 Internacional de Creative Commons, por lo que se permite la copia, distribución y comunicación pública siempre y cuando se cite al autor o autores de la misma, pero no se pueden hacer usos comerciales ni obra derivada. Para ver una copia de esta licencia, visite http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/. UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA Autoridades M.Sc. Ing. Murphy Olympo Paiz Recinos Rector Arq. Carlos Enrique Valladares Cerezo Secretario General Dr. Olmedo Abihail España Calderón Director General de Docencia DIVISIÓN DE EDUCACIÓN A DISTANCIA EN ENTORNOS VIRTUALES DIRECCIÓN GENERAL DE DOCENCIA Autor M.A. Bayardo Arturo Mejía Monzón Producción académica M.Sc. Sonia Alejandra Recinos Fernández Lcda. Madelline Cárcamo Lic. Carlos Alberto Piñeiro Estrada Lic. Ronald Oliverio Chubay Gallina Lic. Erick Girón Diagramación e ilustración Lic. Edgar Armando Morales Cortez Corrección de estilo Lcda. María Mazariegos 1 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS 6Módulo 2 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS En este módulo aprenderemos a resolver algunas expresiones especiales que nos ayudan a encontrar soluciones para muchos problemas. Llamaremos ecuaciones lineales a todas aquellas cuyas variables tengan exponente 1, y a las que tengan como exponente 2, las llamaremos ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. No olvide que si quiere aprender, es necesario hacer muchos ejercicios, más tarde veremos que saber solucionar ecuaciones nos ayudará a resolver cierto tipo de problemas. INTRODUCCIÓN 3 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICASMódulo 6 Cuando dos expresiones algebraicas se relacionan con el símbolo de la igualdad (=) se crea otra expresión algebraica que puede ser una identidad. Si la expresión es cierta para todo valor que se le dé a las variables, por ejemplo, la expresión 2+ =x x x , es cierta para cualquier valor de que se utilice, mientras que la expresión 2 3 11+ =x , solo es una expresiónverdadera cuando 4=x . A las expresiones que solo son ciertas para un determinado conjunto de valores, se les denomina ecuaciones. De acuerdo con la forma que tienen las ecuaciones, se clasifican, por ejemplo, en ecuaciones polinomiales, exponenciales, logarítmicas, trigonométricas, etc. En las ecuaciones es importante identificar el miembro izquierdo de la igualdad, como la expresión algebraica que está en el lado izquierdo del signo igual, y el miembro derecho, como la expresión algebraica que está en el lado derecho del signo igual. En el ejemplo anterior: 2 3 11+ =x El miembro izquierdo es 2 3+x , mientras que el derecho es 11 . 6.1 Ecuaciones lineales o ecuaciones de primer grado Se denominan ecuaciones lineales a las ecuaciones de tipo polinomial de grado uno. Para resolver este tipo de ecuaciones se utilizan dos reglas únicamente: ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Ecuación lineal REGLA 1 Se puede sumar (o restar) una misma expresión en ambos miembros de la ecuación. REGLA 2 Se puede multiplicar (o dividir) una misma expresión no nula en ambos miembros de la ecuación. 4 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Ejemplos a) Resolver la ecuación 2 3 11+ =x . Primero se busca que todos los términos con la variable x estén en un solo miembro de la ecuación y todos los términos que sean números únicamente en el otro miembro. Para ello se deben utilizar las dos reglas en un orden apropiado. Los pasos a realizar serían: 1. En el miembro izquierdo 2 3+x , hay un término con variable y otro que es un número únicamente, por lo que hay que transponer el número al miembro derecho, para lo cual se puede agregar -3 en los dos miembros de la ecuación (regla 1). 2 3 3 11 3+ − = −x Lo cual deja 2 8=x 2. Se tiene que en el miembro izquierdo de esta nueva ecuación la variable está multiplicada por 2, por lo que hay que dividir ambos miembros entre 2 (regla 2). Con lo cual 4.=x b) Resolver la ecuación ( )3 4 5 2− = +x x . Pasos a seguir: 1. Expandir el producto para tener todos los términos. 2. Dejar en un solo miembro los términos con x y en el otro los independientes. 3 4 5 10− = +x x 3 4 5 5 10 5− − = + −x x x x 5 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Esta primera aplicación de la regla 1 elimina en el miembro derecho el término que tiene variable y al reducir términos semejantes en el miembro izquierdo queda: 2 4 10− − =x Se repite la regla 1, ahora con los números. 2 4 4 10 4− − + = +x Con lo cual la ecuación se convierte en: 3. Se utiliza la segunda regla, y se divide entre 2− . 2 14 2 2 − = − − x Con lo cual la respuesta es: c) El doble de un número desconocido, aumentado en 18 unidades, deja como resultado 38, ¿cuál es el número? Es posible tratar de adivinar por ensayo y error o intuir la solución, pero lo más seguro es plantear una ecuación que modele el problema y lo resuelva. Considere la siguiente tabla. Enunciado Expresión matemática Número desconocido x El doble del número 2x Aumentar en 18 unidades 18+ Uniendo todos los datos, se tiene que el doble de un número desconocido aumentado en 18 unidades se escribe como 2 18+x , y dejar como resultado 38 consiste en igualar las dos expresiones. Esto deja la ecuación: 2 18 38+ =x 2 14− =x 7= −x 6 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Que se resuelve como 2 18 18 38 18+ − = −x 2 20=x 2 20 2 2 = x Con lo cual 10=x d) En la actualidad la edad de Luis es el triple de la de Pedro y dentro de 10 años será el doble. ¿Cuantos años tienen ambos en la actualidad? Enunciado Expresión matemática Edad actual de Pedro x Edad actual de Luis 3x Edad de Pedro dentro de 10 años 10+x El doble de la edad de Pedro en 10 años ( )2 10+x Edad de Luis dentro de 10 años 3 10+x Con estos datos se modela la expresión “Dentro de 10 años la edad de Luis será el doble de la edad de Pedro”. Esto deja la ecuación: ( )3 10 2 10+ = +x x Que se resuelve así: 3 10 2 20+ = +x x 3 10 2 2 20 2+ − = + −x x x x 10 20+ =x 10 10 20 10+ − = −x 10=x 7 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Por lo que la edad actual de Pedro es de 10 años, entonces la edad de Luis es de 30 años. Es fácil ver que se cumplen las condiciones del enunciado, pues en 10 años, las edades van a ser 20 años para Pedro y 40 años para Luis, que es el doble de la edad de Pedro. e) En un número de dos dígitos, el digito de las decenas es 3 unidades menor que el de las unidades. Si el número excede en seis al cuádruplo de la suma de sus dígitos, encontrar el número. Se debe elegir una variable, en este caso es un número de dos dígitos, pero hay que tener cuidado de escribir bien el número de dos cifras, si se escribe nm como el número de dos cifras, se puede entender como el producto de dos números n y m . La forma correcta es escribir nm , donde la barra indica que los números son dígitos (o que es periódico si fueran decimales). Otra forma de escribir un número de dos cifras nm es como 10 +n m , pues así queda claro que el dígito n se está multiplicando por 10 para ser decena. Enunciado Expresión matemática Dígito de las unidades x Dígito de las decenas 3−x Número desconocido de dos dígitos ( )10 3− +x x Suma de dígitos del número ( )3− +x x Cuádruplo de la suma de dígitos ( )( )4 3− +x x Con lo cual la ecuación queda planteada como: ( ) ( )10 3 4 3 6− + = − + +x x x x Luego se resuelve: 10 30 4 12 4 6− + = − + +x x x x 11 30 8 6− = −x x 11 8 6 30− = − +x x 3 24=x 8=x 3 5− =x Entonces el número es 58. 8 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS f) La diferencia entre dos números es 8. El doble del mayor, aumentado en 2 unidades, se divide entre el menor, y como resultado se obtiene 5 exactos. ¿Cuál es el número mayor y cuál es el menor? Eligiendo al mayor como la variable se tiene: Enunciado Expresión matemática Número mayor x Número menor 8−x El doble del mayor aumentado en 2 2 2+x Se divide el doble del mayor aumentado en 2 unidades, con el menor, y se e igualándolo a 5: 2 2 5 8 + = − x x En este caso se tiene que no es posible transponer los número al miembro derecho, pues hay una división antes, por lo que primero se multiplica por ( )8−x . ( ) ( )2 2 8 5 8 8 + − = − − x x x x ( )2 2 5 8+ = −x x 2 2 5 40+ = −x x 2 5 40 2− = − −x x 3 42− = −x 14=x Por lo que el menor es 14 8 6− = 9 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Fórmula cuadrática 6.2 Ecuaciones cuadráticas de segundo grado Una ecuación cuadrática es una ecuación polinomial de segundo grado. Donde los números , ,a b c son conocidos. Ejemplos de estas ecuaciones son: 2 2 223 2 0, 3 2 2 , 7 1 0 5 + − = − = + − =x x m m k k Existen diversos métodos para resolverlas, en este módulo se utilizará la fórmula general de segundo grado. Esto es: 2 4 2 − ± − = b b acx a Ejemplos a) Resolver 2 8 9 0− − =x x . Primero se identifican las variables , ,a b c , que son 1=a (coeficiente del término cuadrático), 8= −b (coeficiente del término lineal) y 9= −c (término independiente), luego se calcula el valor numérico, sustituyendo los valores en la fórmula y entonces se tiene: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 28 8 4 1 9 2 1 − − ± − − − =x 8 64 36 2 ± + =x 8 100 2 ± =x 8 10 2 ± =x Ecuación cuadrática 10 ECUACIONES E INECUACIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS Esta última expresión se divide en dos soluciones, una usando el signo positivo y otra usando el signo negativo. Entonces: 1 2 8 10 18 8 10 29 & 1 2 2 2 2 + − − = = = = = = −x x b) Resolver la ecuación 23 2 1− =n n . Hay que fijarse en que la ecuación no está igualada a cero, por lo que no está en la forma estándar, primero hay que llevarla a esa forma. Entonces: 23 2 1 0− − =n n De donde
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