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SOLUCIONARIO INCOPERA CALOR
Leslie Izurieta
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
FRANK P. INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR – CUARTAFRANK P. INCROPERA – FUNDAMENTOS DE TRANSFERENCIA DE CALOR – CUARTA
EDICION – CAPITULO 3 – CONDUCCION UNIDIMENSIONAL DE ESTADO ESTABLEEDICION – CAPITULO 3 – CONDUCCION UNIDIMENSIONAL DE ESTADO ESTABLE
PROBLEMA 3.1PROBLEMA 3.1
Considere la pared plana de la figura Considere la pared plana de la figura 3.1, que separa los 3.1, que separa los fluidos caliente y frio a temperaturasfluidos caliente y frio a temperaturas ,,
yy ,,, respectivamente, respectivamente. Con el . Con el uso de balances de energía como uso de balances de energía como condiciones de frontera encondiciones de frontera en == 00 y y == (véase la ecuación 2.27), obtenga (véase la ecuación 2.27), obtenga la distribución de temperatura dentro de la paredla distribución de temperatura dentro de la pared
y el flujo de calor en y el flujo de calor en términos detérminos de ,,,, ,,,,ℎℎ,, ℎℎ,, y y ..
SOLUCION 3.1SOLUCION 3.1
Esquema:Esquema:
Suposiciones:Suposiciones:
a)a) Condición de estado estable.Condición de estado estable.
b)b) Propiedades constantes.Propiedades constantes.
Análisis:Análisis:
De la ecuación (2.17)De la ecuación (2.17) == 00
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
Se obtiene:Se obtiene:
(()) == (()) ++
Para obtenerPara obtener y y , aplicamos las condiciones de frontera: (Ecu. 2.27), aplicamos las condiciones de frontera: (Ecu. 2.27)
∗∗ == == ℎ ℎ ==
→→ .. == ℎ ℎ.. ℎℎ …… . .…… . . ((11)) →→ == ++ ℎℎ .. ………. . (2)………. . (2)
∗∗ == == ℎ ℎ== → → == ℎ ℎ.. ++ ……….(3)……….(3)
De (1) y (3):De (1) y (3):
ℎℎ.. ℎℎ == ℎ ℎ.. ++
ReemplazandReemplazando o (2):(2):
ℎℎ.. ++ ℎ ℎ == ℎ ℎ.... ++ ++ ℎℎ .. ((ℎℎ ++ ℎ ℎ))
→ → == ℎℎ ℎℎ.. ++ 11 ++ ℎℎℎℎ
∴ ∴ (()) == ℎℎ ℎℎ.. ++ 11 ++ ℎℎℎℎ ..
ℎℎ ++ ++ == 11ℎℎ ++ 11ℎℎ ++ 11 ..
++ 11ℎℎ ++
•• Para hallar el calor:Para hallar el calor:
== ,, ,,1/1/ℎℎ == ,, ,,//.. == ,, ,,1/1/ℎℎ
,, ,, == ℎℎ
,, ,, == //..
,, ,, == ℎℎ
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
,, ,, == == 11ℎℎ ++ ++ 11ℎℎ
→ → ″″ == == ,, ,, 11ℎℎ ++ ++ 11ℎℎ
PROBLEMA 3.2PROBLEMA 3.2
La ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de aire caliente sobre suLa ventana posterior de un automóvil se desempeña mediante el paso de aire caliente sobre su
superficie interna.superficie interna.
(a)(a) Si el aire caliente está aSi el aire caliente está a ,, == 40℃ 40℃ y el coeficiente de convección correspondiente es y el coeficiente de convección correspondiente esℎℎ == 3300 /m/m.. , ¿cuáles son las temperaturas de las superficies interna y externa de la, ¿cuáles son las temperaturas de las superficies interna y externa de la
ventana de vidrio de 4 mm de espesor, si la temperatura del aire ambiente del exterior esventana de vidrio de 4 mm de espesor, si la temperatura del aire ambiente del exterior es,, == 10℃ 10℃ y el coeficiente de convección asociado es y el coeficiente de convección asociado es ℎℎ == 6565 mm.. ⁄⁄ ??
(b)(b) En la práctica,En la práctica, ,, y y ℎℎ varían de acuerdo con las condiciones del clima y la velocidad del varían de acuerdo con las condiciones del clima y la velocidad del
automóvil. Para valores deautomóvil. Para valores de ℎℎ == 2,65 y 2,65 y 101000 mm.. ⁄⁄ , calcule y trace las te, calcule y trace las temperaturas demperaturas de
las superficies interna y externa como función delas superficies interna y externa como función de ,, para para 3030 ≤ ≤ ,, ≤ ≤ 0℃0℃..
SOLUCION 3.2SOLUCION 3.2
Esquema:Esquema:
Dónde:Dónde:
Vidrio:Vidrio: == 11..44 mm⁄⁄ ..
== 40℃ 40℃
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
ℎℎ == 3030 mm⁄⁄ .. == 0.0.00004 m4 m
== 10℃ 10℃ℎℎ == 6655 mm⁄⁄ ..
Suposiciones:Suposiciones:
a)a) Condición de estado estable.Condición de estado estable.
b)b) Propiedades constantes.Propiedades constantes.
Análisis:Análisis:
(a)(a) Según el problema anterior, se tiene:Según el problema anterior, se tiene:
(()) == ℎℎ ℎℎ.. ++ 11 ++ ℎ ℎℎℎ ..
ℎℎ ++ …….(1)…….(1)
Reemplazando:Reemplazando:
(()) == 65(65(1010 40)40)
6655 ×× 00..000044 ++ 11..44 11 ++ 6565
3030
.. 1.41.43030 ++ ++ 4040
ParaPara == 00::
→ → ((==)) == 7.7.68℃68℃ ==
ParaPara == 0.0.00004m4m
→ → ((==..)) == 4.4.9℃9℃ ==
(b)(b) Usamos la ecuación (1)Usamos la ecuación (1)
•• ParaPara ℎℎ == 22 mm⁄⁄ .. ::
(()) == 1.1.33332211 4040.. 1.41.43030 ++ ++ 4040 == 00 →→ (()) == 0.0.060621216666 4040 ++ 4040 == →→ (()) == 0.0.060674749696 4040 ++ 4040
•• ParaPara ℎℎ == 6655 mm⁄⁄ .. == 00 →→ (()) == 0.0.646463630707 4040 ++ 4040
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
== →→ (()) == 0.0.707017170505 4040 ++ 4040
•• ParaPara ℎℎ == 110000 mm⁄⁄ ..
(()) == 1515.4.4636399 4040.. 1.41.43030 ++ ++ 4040 == 00 →→ (()) == 0.0.727216164949 4040 ++ 4040 == →→ (()) == 0.0.787835350505 4040 ++ 4040
PROBLEMA 3.3PROBLEMA 3.3
La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga-La ventana trasera de un automóvil se desempaña uniendo un elemento de calentamiento delga-
do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento,do de tipo película transparente a su superficie interior. Al calentar eléctricamente este elemento,
se establece un flujo de calor uniforme en la se establece un flujo de calor uniforme en la superficie interna.superficie interna.
(a)(a) Para una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere porPara una ventana de vidrio de 4 mm, determine la potencia eléctrica que se requiere por
unidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna deunidad de área de la ventana para mantener una temperatura en la superficie interna de
1515℃℃ cuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección soncuando la temperatura del aire interior y el coeficiente de convección son ,, ==25℃25℃ y y ℎℎ == 1010 mm.. ⁄⁄ , mientras la temperatura del aire exterior (ambiente) y el coefi-, mientras la temperatura del aire exterior (ambiente)y el coefi-
ciente de convección sonciente de convección son ,, == 10℃ 10℃ y y ℎℎ == 6565 mm.. ⁄⁄ ..
(b)(b) En la práctica,En la práctica, ,, y y ℎℎ varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del varían de acuerdo con las condiciones climáticas y la velocidad del
automóvil. Para valores deautomóvil. Para valores de ℎℎ == 2,202,20,, 65 65 y 1y 10000 mm.. ⁄⁄ , determine y elabore una gráfica, determine y elabore una gráfica
del requerimiento de potencia eléctrica como función dedel requerimiento de potencia eléctrica como función de ,, para para 3030 ≤ ≤ ,, ≤ 0℃≤ 0℃. De. De
sus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valoressus resultados, ¿qué concluye acerca de la necesidad de operar el calentador con valores
bajos debajos de ℎℎ? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de? ¿Cómo resulta afectada esta conclusión por el valor de ,,? Si? Si ℎℎ ∝ ∝ , don-, don-
dede es la velocidad del vehiculo y es la velocidad del vehiculo y es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad es un exponente positivo, ¿Cómo afecta la velocidad
del auto a la del auto a la necesidad de la operación del calentador?necesidad de la operación del calentador?
SOLUCION 3.3SOLUCION 3.3
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
Esquema:Esquema:
Suposiciones:Suposiciones:
a)a) Estado estable.Estado estable.
b)b) No hay generación interna.No hay generación interna.
Análisis:Análisis:
Como el material a usar es vComo el material a usar es vidrio de tablas obtenemos queidrio de tablas obtenemos que vv == 11..44 mm⁄⁄ ..
(a)(a)
•• Del balance energético, superficie externa:Del balance energético, superficie externa:
″″ == ″″ == ( (,,))″″
•• Del balance general:Del balance general:
″″ ++ ″″ == ″″
→→ ,,
((1/1/ℎℎ)) ++ ″″ == ,, 11ℎℎ ++ vv … … . . ( 1 )… … . . ( 1 )
→→ ((2525 1515)) 11
1/101/10 ..
++ ″″ == ((1515 ((10)10))) 11
6565 .. ++
0.004 m0.004 m
1.41.4 .. → → ″″ == 13137070.5.5 mm⁄⁄ 100100 mm⁄⁄ == 1122770.0.55 mm⁄⁄
(b)(b) De la ecuación (1):De la ecuación (1):
100100 mm⁄⁄ ++ ″″ == 1515 ,,ℎℎ−− ++ 22..885577 ×× 1100−−
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Fundamentos de Transferencia de Calor
→ ″ = 15 ,ℎ− + 2.857 × 10− 100
• Para ℎ = 2 m⁄ .→ ″ = 1.98815 , 100
• Para ℎ = 20 m⁄ .→ ″ = 18.91915 , 100
• Para ℎ = 65 m⁄ .→ ″ = 54.81915 , 100
• Para ℎ = 100 m⁄ .→ ″ = 77.77815 , 100
PROBLEMA 3.4
En un proceso de fabricación se unirá una película transparente a un sustrato como se muestra en
el diagrama. Para curar la unión a una temperatura , se utiliza una fuente radiante que propor-
ciona un flujo de calor ″( m⁄ ), la totalidad del cual es absorbido en la superficie unida. La par-
te posterior del sustrato se mantiene a mientras la superficie libre de la película se expone al
aire a y a un coeficiente de transferencia de calor por convección ℎ.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) Muestre el circuito térmico que represente la situación de transferencia de calor de estado
estable. Asegúrese de etiquetar todos los elementos, nodos y flujos de calor. Déjelo en
forma simbólica.
(b) Suponga las siguientes condiciones: = 20℃, ℎ = 50 m. ⁄ y = 30℃. Calcule el
flujo de calor ″ que se requiere para mantener la superficie unida a = 60℃.
(c) Calcule y trace el flujo de calor que se requiere como función del espesor de la película pa-
ra 0 ≤ ≤ 1 mm.
(d) Si la película no es transparente y la totalidad del flujo de calor radiante se absorbe en su
superficie superior, determine el flujo de calor que se requiere para lograr la unión. Elabore
una gráfica de sus resultados como función de para 0 ≤ ≤ 1 mm.
SOLUCION 3.4
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Propiedades constantes.
Análisis:
(a)
(b) Se sabe: = 20℃ , ℎ = 50 m⁄ . , = 30℃ , = 60℃
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Por balance energético:
″ + ″ = ″
→ 1ℎ + +
=
″
→ ″ = (60 30)0.001 m × 0.05 m⁄ . + (60 20)50 − + 0.00025m 0.025 .″ = 2833.3 m⁄
(c) ″:
″ = 1500 + 400.02 + 40.
(d) Se tiene lo siguiente:
Del balance de energía:
″ = ″ + ″
Dónde:
″ = ″ = ″
″ = . ( ) = 0.05 m⁄ . 0.001 m × (60℃ 30℃) = 1500 m⁄
→ ″ = 1500 = ( ) = 0.025 m⁄ . 0.00025 m ( )
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 75℃
→ En general:
= 1500. + = 60000. + 60
Del balance:
″ = ″ + ″″ = ℎ( ) + 1500″ = 5060000. + 60 20℃ + 1500
→ ″ = 3 × 1 0. + 3500 ; en (m) ″ en
PROBLEMA 3.5
Se consideran cobre y acero inoxidable (AISI 304) como material para las paredes de tobera de un
cohete enfriada por líquido. El exterior enfriado de la pared se mantiene a 150℃, mientras que los
gases de combustión dentro de la tobera están a 2750℃. El coeficiente de transferencia de calor
del lado del gas es ℎ = 2 × 1 0 m. ⁄ y el radio de la tobera es mucho mayor que el espesor
de la pared. Limitaciones técnicas indican que la temperatura del cobre y la del acero no exceden
540℃ y 980℃, respectivamente. ¿Cuál es el espesor máximo de la pared que se podría emplear
para cada uno de los dos materiales? Si la tobera se construye con el espesor máximo de pared,
¿cuál material se preferiría?
SOLUCION 3.5
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) No hay generación de energía.
Análisis:
Para el uso del cobre: b = 401 m⁄ .
Para el uso del SS (AISI 304) AISI = 14.9 m⁄ .
• Se cumple:
″ = ″
- Para el cobre:
= 540℃ → 2 × 1 0 . × (2750 540)K = (540 150)
2 × 1 0. (2750 540) = 401 (540 150) = 0.003538 m
- Para el acero inoxidable (SS) AISI 304:
= 980℃ → 2 × 1 0(2750 980) = 14.9 (980 150) = 0.000349 m
Si se construye con el espesor máximo se usará el cobre.
PROBLEMA 3.6
Una técnica para medir coeficientes de transferencia de calor implica adherir una superficie de
una hoja metálica delgada a un material aislante y exponer la otra superficie a las condiciones de
corriente del fluido de interés.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Al hacer pasar una corriente eléctrica a través de la hoja, se disipa calor de manera uniforme den-
tro de la hoja y se infiere el flujo correspondiente, é″ , a partir de las mediciones de voltaje y co-
rriente relacionadas. Si se conocen el espesor del aislante y la conductividad térmica , y se mi-
den las temperaturas del fluido, hoja y aislante (, , ), es posible determinar el coeficiente de
convección. Considere condiciones para las que = = 25℃, é″ = 2000 m⁄ , =
10 mm,y = 0.040 m. ⁄ .
(a) Con el flujo de agua sobre la superficie, la medición de la temperatura de la hoja da = 27℃. Determine el coeficiente de convección. ¿Qué error se cometería al suponer
que toda la potencia disipada se transmite al agua por convección?
(b) Si, en su lugar, fluye aire sobre la superficie y la medición de temperatura da = 125℃,
¿cuál es el coeficiente de convección? La hoja tiene una emisividad de0.15 y se expone a
alrededores a 25℃. ¿Qué error se cometería al suponer que toda la potencia que se disipa
se transfiere al aire por convección?
(c) Normalmente, los indicadores de flujo de calor se operan a temperatura fija (), en cuyo
caso la disipación de potencia proporciona una medida directa del coeficiente de convec-
ción. Para = 27℃, grafique é″ como función de ℎ para 10 ≤ ℎ ≤ 1000 . ⁄ .
¿Qué efecto tiene ℎ sobre el error asociado con que no se tome en cuenta la conducción a
través del aislante?
SOLUCION 3.6
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) No hay generación de energía.
Análisis:
(a) Para = 27℃″ = ″ + ″
2000
= 27 251/ℎ + 27 25/
→ 2000 = 2ℎ + 2
0.01/0.04
→ ℎ = 996 .
• Si todo el ″ = ″→ 2000 = ℎ( ) = (27 25)→ ℎ = 1000 m⁄
Por tanto el error sería:
|996 1000|
996
× 100% = 0.4% de error
(b) Para = 125℃ ; Por balance energía:″ = ″ + ″ + ″
2000
= / + ℎ( ) + . .
2000 =
(125 25)
0.01/0.04
+ ℎ(125 25) + 0.15 × 5.67 × 10−(398 298)
→ ℎ = 14.5 .
• Si todo el: ″ = ″
2000 m⁄ = ℎ( ) = ℎ(125 25)→ ℎ = 20 m⁄ .
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Por tanto el error será:
20 14.5
14.5
= 37.9% ó 0.379
(c) Para = 27℃
* La energía perdida por radiación es casi insignificante comparada a la pérdida por conducción y
convección. Por el balance energético:
″ = ″ + ″
″ = / + ℎ( ) = (27 25)0.01/0.04 + ℎ(27 25)
→ ″ = 2ℎ + 8
Gráfico: función lineal.
• Para el caso ″ = 1000 m⁄ → ℎ = 496 m⁄ . ∧ si se considera solo convec-
ción: ℎ = 500 m⁄ . el error será: 0.8%
→ A medida que aumenta el valor de ℎ el error disminuye.
PROBLEMA 3.7
Lo helado de la brisa, que se experimenta en un día frio y con viento, se relaciona con el incremen-
to de la transferencia de calor de la piel humana expuesta a la atmósfera circundante. Considere
una capa de tejido adiposo de 3 mm de espesor y cuya superficie interior se mantiene a una tem-
peratura de 36℃. En un día calmado el coeficiente de transferencia de calor por convección a la
superficie externa es 25 m. ⁄ , pero con vientos de 30 km/h alcanza 65 m. ⁄ . En ambos
casos, la temperatura del aire del ambiente es 15℃.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) ¿Cuál es la pérdida de calor por unidad de área de la piel que se produce de un día calmado
a un día con viento?
(b) ¿Cuál será la temperatura de la superficie externa de la piel en el día calmado? ¿Cuál en el
día con viento?
(c) ¿Qué temperatura debería tener el aire en el día calmado para producir la misma pérdida
de calor que ocurre con una temperatura del aire de 15℃ en el día con viento?
SOLUCION 3.7
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) No hay generación de energía.
Análisis:
(a) Para la transferencia de calor de las ecuaciones 3.11 y 3.12 (libro)
= + 1ℎ →
= + 1ℎ (por unidad de área) … … … … . . ( 1 )
• Para un día calmado (ℎ = 25 m⁄ . ):
/ = 3 6 + 1 50.003
0.2
+
1
25
= 927.27 m⁄
• Para un día con viento (ℎ = 65 m⁄ . ):
/ = 3 6 + 1 50.003
0.2
+
1
65
= 1678.48 m⁄
Hay una mayor pérdida de calor en un día con viento.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
″v″ = 0.553
(b) Para el cálculo de :
• Día calmado (ℎ = 25 m⁄ .):
/ = ℎ[ ] → = /ℎ +
= 927.2725 15 = 22.09℃
• Día con viento (ℎ = 65 m⁄ .)
= /ℎ + = 1678.4865 15 = 10.82℃
(c) Para el día con viento:
/ = 1678.48 m⁄ a = 15℃
Para el día calmado:
/ = + 1ℎ = 1678.48 m
⁄
36
0.003
0.2
+
1
25
= 1678.48
→ = 56.31℃
PROBLEMA 3.8
Considere el transistor montado en superficie que se ilustra en el problema 1.51. Construya el cir-
cuito térmico, escriba una expresión para una temperatura de caja y evalúe para dos situa-
ciones, una en la que el hueco está lleno de aire estancado y otra en la que está lleno de una pasta
conductora.
SOLUCION 3.8
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Análisis:
Por el balance energético en la caja del transistor; se realiza el análisis mediante uso de un circuito
térmico:
Dónde:
= distancia del hueco
= 25 m⁄ . (Para el alambre)
= 0.0263 m⁄ . (Aire en el hueco)
= 0.12 m⁄ . (Pasta en el hueco)
ℎ = 50 m⁄ .
Del circuito:
• Para; aire en el hueco:
+ + + + +
→ = 1 ℎ. ⁄ + . ⁄ + . ⁄ + . ⁄ + . ⁄ …….(1)
= ℎ. . + [ . ⁄ + 3( . ⁄ )] + ℎ. + . + 3. . ………(2)
Dónde:
= = 32 × 10− m =25×10− m =4×1 0− m
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 0.2 × 10− m
= 150 × 10− = 20℃ = 35℃→ = 47.04℃
• Para pasta en el hueco: Se obtendrá la misma ecuación de (1) y (2), selo existirá el cambio
de por (pasta).
= ℎ. . + [ . ⁄ + 3 . ⁄ ] + ℎ. + . + 3. .
con = 0.12 . = 39.92℃
PROBLEMA 3.9
Una placa de acero de 1 m de largo ( = 50 m.⁄ ) está bien aislada en sus lados, mientras que
la superficie superior está a 100℃ y la superficie inferior se enfría por convección mediante un
fluido a 20℃. En condiciones de estado estable sin generación, un termopar en el punto medio de
la placa revela una temperatura de 85℃.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
¿Cuál es el valor del coeficiente de transferencia de calor por convección en la superficie inferior?
SOLUCION 3.9
Esquema:
Suposición:
a) Estado estable.
b) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Para la superficie de control en el punto medio: ( = 85℃), se tiene el siguiente balance:
̇ = ̇″ = ″
→ 2⁄ =
2⁄ + 1ℎ
→ ℎ = 2⁄ . 2⁄
−
ℎ = 0.5
50
85 20
100 85 0.550−
ℎ = 30 .
PROBLEMA 3.10
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Una ventana térmica de vidrio consiste en dos piezas de vidrio de 7 mm de espesor que encierran
un espacio de aire de 7 mm de espesor. La ventana separa el aire del cuarto a 20 ℃ del aire am-
biente del exterior a 10℃. El coeficiente de convección asociado con la superficie interna (lado
del cuarto) es 10 m. ⁄ .
(a) Si el coeficiente de convección asociado con el aire exterior (ambiente) es ℎ =
80 m. ⁄ , ¿cuál es la pérdida de calor a través de una ventana que tiene 0.8 m de largo
por 0.5 m de ancho? No tome en cuenta la radiación, y suponga que el aire encerrado en-
tre las hojas de vidrio está estancado.
(b) Calcule y trace el efecto de ℎ sobre la pérdida de calor para 10 ≤ ℎ ≤ 100 m. ⁄ .
Repita este cálculo para una construcción de tres vidrios en la que se agrega un tercer vi-
drio y un segundo espacio de aire de espesor equivalente.
SOLUCION 3.10
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) No hay generación de energía interna.
Análisis:
De las tablas A.3:
v = 1.4 m⁄ . (300K) = 0.0243 (273K)
(a) Pérdida de calor:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 1ℎ + v + + v + 1ℎ 1
Dónde:
= 0.007 m
= 0.8 × 0.5 = 0.4m
ℎ = 80 m⁄ .
= 20 (10) 1
10
+
2 × 0.007
1.4
+
0.007
0.0243
+
1
80
1
0.4
= 29.22
(b) Para: = (ℎ)
• De la primera ecuación: (1er caso)
= [20 (10)]0.4 1
10
+
2 × 0.007
1.4
+
0.007
0.0243
+
1ℎ
→ = 12. ℎ0.379807ℎ + 1
• Para el segundo caso: (2do caso)
= [20 (10)]0.4 1
10
+ 3 ×
0.007
1.4
+ 2 ×
0.007
0.0243
+
1ℎ
→ = 12. ℎ0.69113ℎ + 1
PROBLEMA 3.11
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Fundamentos de Transferencia de Calor
La pared de un colector solar pasivo consiste en un material de cambio de fase (PCM) de espesor
encerrado entre dos superficies estructurales de soporte.
Suponga una condición de estado estable para la que la absorción de radiación solar en una super-
ficie mantiene su temperatura (,) por arriba de la temperatura de fusión del PCM. Las porcio-
nes líquida y sólida del PCM están divididas por una interfaz vertical estrecha. El líquido tiene tem-
peratura del núcleo de y se caracteriza por un flujo recirculante movido por la flotación que
mantiene el mismo coeficiente de convección (ℎ) en sus interfaces con la superficie (, 1) y el
sólido. Considere condiciones para que las que el flujo neto de radiación es ″ = 1000 m⁄ ,
las temperaturas ambientes y los coeficientes de convección son , = , = 20℃ y ℎ = ℎ =
20 m.⁄ , la temperatura y coeficiente de convección del líquido PCM son = 50℃ y ℎ =
10 m.⁄ y la conductividad térmica del sólido PCM es = 0.5 m.⁄ . Evalúe la temperatu-
ra de la superficie, ,. Si el espesor total de PCM es = 0.10 m, ¿cuál es el espesor de la capa
líquida? Calcule la temperatura de la superficie ,.
SOLUCION 3.11
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) No hay generación de energía.
Análisis:
Para realización del problema, tenemos el circuito térmico:
Donde, se hallan los flujos de calor ″( m⁄ ):
″ = , 1/ℎ = , 201/20 = 20, 400……..(1)
″ = , 1/ℎ = , 501/10 = 10, 500……..(2)
También:
″ = , ,1ℎ + 1ℎ + + 1ℎ =
, 20
1
10
+
1
10
+
0.5
+
1
20
=
, 20
0.25 + 2 …….(3)
→ Del balance energético:
= 0 → = → ″ = ″ + ″
De (1) y (2)
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Fundamentos de Transferencia de Calor
→ 1000 = 20, 400 + 10, 500→ , = 63.33℃
Reemplazando en (2):
″ = 10(63.33) 500 = 133.33 m⁄
En (3):
133.33 =
(63.33) 20
0.25 + 2 → = 0.0375 m
• Para ,:
″ = , 1/ℎ = , 201/20 → 133.33 = , 201/20, = 26.67℃
PROBLEMA 3.12
La pared de un edificio es un compuesto que consiste en una capa de 100 mm de ladrillo común,
una capa de 100 mm de fibra de vidrio (forrada con papel, 28 kg/m), una capa de 10 mm de re-
voque de yeso (vermiculita) y una capa de 6 mm de tabla de pino. Si el coeficiente de convección
interior es 10 m. ⁄ y el coeficiente de convección exterior es 70 m. ⁄ , ¿cuál es la resis-
tencia total y el coeficiente global para la transferencia de calor?
SOLUCION 3.12
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Se tiene: De la tabla A.3
1) Ladrillo común = 0.1 m ; = 0.72 m⁄ .
2) Fibra de vidrio ( = 28 kg/m) = 0.1 m ; = 0.038 m⁄ .
3) Yeso = 0.010 m ; = 0.17 m⁄ .
4) Tabla pino = 0.006 m ; = 0.12 m⁄ .
• Para la resistencia total:
= 1 1ℎ + + + + + 1ℎ
= 1 110 + 0.10.72 + 0.10.038 + 0.010.17 + 0.0060.12 + 170 = 2.9935
• De la ecu. 3.19:
= 1U.
→ Coeficiente global de transferencia de calor:
U =
1.
U = (2.9935)− = 0.334 .
PROBLEMA 3.13
La pared compuesta de un horno consiste en tres materiales, dos de los cuales son de conductivi-
dad térmica conocida, = 20 m.⁄ y = 50 m.⁄ , y de espesor conocido, =
0.30 m y = 0.15 m. El tercer material, B, que se intercala entre los materiales A y C, es de es-
pesor conocido, = 0.15 m, pero de conductividad térmica, , desconocida.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
En condiciones de operación de estado estable, las mediciones revelan una temperatura de la su-
perficie externa , = 20℃, una temperatura de la superficie interna , = 600℃, una tempera-
tura del aire del horno = 800℃. Se sabe que el coeficiente de convección interior ℎ es
25 m.⁄ . ¿Cuál es el valor de ?
SOLUCION 3.13
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Conducción unidimensional.
Análisis:
De un balance de energía es = ,
̇ = ̇→ ″ = ″
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Fundamentos de Transferencia de Calor
→ ,
1ℎ =
, , + + = 0.3m ; = 20 m⁄ . = 0.15m ; =? = 0.15m ; = 50 m⁄ .
→ 800 600
1
25
=
600 20
0.3
20
+
0.15 + 0.1550→ = 1.53 m⁄ .
PROBLEMA 3.14
Las paredes exteriores de un edificio son un compuesto que consiste en un tablero de yeso de 10
mm de espesor, espuma de uretano de 50 mm de espesor y 10 mm de madera blanda. En un típi-
co día de invierno las temperaturas del aire exterior e interior son 15℃ y 20℃, respectivamen-
te, con coeficientes de convección externo e interno de 15 m. ⁄ y 5 m. ⁄ , respectiva-
mente.
(a) ¿Cuál es la carga de calentamiento para una sección de 1 m de pared?
(b) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza por una ventana de
vidrio de 3 mm de espesor?
(c) ¿Cuál es la carga de calentamiento si la pared compuesta se reemplaza con una ventana de
doble vidrio que consiste en dos placas de vidrio de 3 mm de espesor separadas por un
hueco de aire estancado de 5 mm de espesor.
SOLUCION 3.14
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) Propiedades constantes.
Análisis:
Para el caso a: Se tiene: yeso-espuma de uretano-madera
De tabal A.3:
Tablero de yeso: = 0.17 m⁄ .
Espuma uretano: = 0.026 m⁄ .
Madera blanda: = 0.12 m⁄ .
(a)
• Para un = 1m
Carga de calentamiento:
= ∆∑
→ = 1ℎ + + + + 1ℎ 1
→ = 20 (15)1
5
+
0.01
0.17
+
0.05
0.026
+
0.01
0.12
+
1
15
1
1
=
35
2.33
= 15
(b) Para el caso b:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 1ℎ + vv + 1ℎ 1 v = 1.4 m⁄ .
→ = 20 (15)1
5
+
0.003
1.4
+
1
15
1
1
=
35
0.269
= 130.2
(c) Para el caso c:
= 1ℎ + vv + + vv + 1ℎ 1
Tabla A.4:
= 0.0263 .
→ = 20 (15)1
5
+
0.003
1.4
+
0.005
0.0263
+
0.003
1.4
+
1
15
1
1
=
35
0.461
= 75.9
PROBLEMA 3.15
Una casa tiene una pared compuesta de madera, aislante de fibra de vidrio y tablero de yeso, co-
mo se indica en el esquema. En un día frío de invierno los coeficientes de transferencia de calor
por convección son ℎ = 60 m. ⁄ y ℎ = 30 m. ⁄ . El área total de la superficie de la
pared es 350 m
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) Determine una expresión simbólica para la resistencia térmica total de la pared, incluyendo
los efectos de convección interior y exterior para las condiciones establecidas.
(b) Determine la pérdida total de calor a través de la pared.
(c) Si el viento soplara de manera violenta, elevando ℎ a 300 m.⁄ , determine el porcen-
taje de aumento en la pérdida de calor.
(d) ¿Cuál es la resistencia controladora que determina la cantidad de flujo de calor a través de
la pared?
SOLUCION 3.15
Suposiciones:
a) Conducción unidimensional.
b) Condición de estado estable.
c) Resistencia de contacto insignificante.
Análisis:De la tabla A.3: (300 K)
• Tablero de yeso: = 0.17 m⁄ .
• Fibra de vidrio (28 kg/m): = 0.038 m⁄ .
• Madera laminada: = 0.12 m⁄ .
(a) La expresión de la resistencia térmica, según Ecu. 3.18:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 1ℎ + + + + 1ℎ … … … … . ( 1 )
(b) Pérdida total de calor:
= ∆ = … … … . . ( 2 )
Sustituyendo valores en (1):
= 130 + 0.010.17 + 0.100.038 + 0.020.12 + 160 1350m = 831 × 10−℃/
En (2):
= 20 (15)
831 × 10− = 4.211 × 10
(c) Si ℎ cambia de 6 → 300 m⁄ . , entonces = 1/ℎ cambia de 4.76 × 10− a
0.95 × 10−℃/
′ = 826 × 10−℃ → ′ = 4.237 × 10
→ % aumento = 4237 4211
4211
.100% = 0.6%
(d) Del valor de : (1)
= 130 × 350 + 0.010.17 × 350 + 0.100.038 × 350 + 0.020.12 × 350 + 160 × 350
= (9 × 52 + 16.8 + 752 + 47.6 + 4.76)10−
→ Se ve que la fibra de vidrio es la resistencia controladora: ⁄ = 752 × 10−℃/
⇒ 752
831
= 90.4% del total de resistencia
PROBLEMA 3.16
Considere la pared compuesta del problema 3.15 bajo condiciones para las que el aire interior aún
se caracteriza por , = 20℃ y ℎ = 30 m. ⁄ . Sin embargo, utilice las condiciones más rea-
listas en las que el aire exterior se caracteriza por una temperatura que varía con el día (tiempo),
de la forma.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
,() = 273 + 5 sen 224 0 ≤ ≤ 12 h
,() = 273 + 11 sen 224 0 ≤ ≤ 12 h
Con ℎ = 60 m. ⁄ . Suponiendo condiciones casi estables para las que es posible no tomar en
cuenta los cambios en el almacenamiento de energía dentro de la pared, estime la pérdida diaria
de calor a través de ésta si el área total de la superficie es 200 m.
SOLUCION 3.16
Esquema:
Suposiciones:
a) Conducción unidimensional.
b) Condición de estado estable.
c) Resistencia de contacto insignificante.
Análisis:
De las tablas (A.3):
• Yeso: = 0.17 m⁄ . , = 0.01 m
• Fibra de vidrio: = 0.038 m⁄ . , = 0.10 m
• Madera: = 0.12 m⁄ . , = 0.02 m
La pérdida de calor será aproximada:
=
Dónde: = 200 m
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 1 . 1ℎ + + + + 1ℎ = 1200 130 + 0.010.17 + 0.100.038 + 0.020.12 + 160
= 0.01454 /
→ = 1 293 273 + 5 sin 224
+ 293 273 + 11 sin 2
24
= 1
0.01454
20 + 5 2
2
cos 2
24
+ 20 + 11 2
2
cos 2
24
= 68.8 240 + 60 (1 1) + 480 240 + 132 (1 + 1) = 68.8{480 38.2 + 84.03}
→ = 36.18 . h = 1.302 × 10J
PROBLEMA 3.17
Considere una pared compuesta que incluye un tablado de madera dura de 8 mm de espesor, tra-
vesaños de 40 mm por 130 mm de madera dura sobre centros de 0.65 m con aislante de fibra de
vidrio (recubierto con papel, 28 kg/m) y una hoja de cartón de yeso (vermiculita) de 12 mm.
¿Cuál es la resistencia térmica asociada con una pared que tiene 2.5 m de altura por 6.5 m de an-
cho (y 10 travesaños, cada uno de 2.5 m de altura)?
SOLUCION 3.17
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Propiedades constantes.
c) Resistencia de contacto insignificante.
Análisis: Propiedades (Tabla A.3):
A. Madera = 0.094 m⁄ .
B. Travesaño = 0.16 m⁄ .
C. Aislante = 0.038 m⁄ .
D. Cartón de yeso = 0.17 m⁄ .
Representando mediante un circuito térmico:
. = 0.0080.094(0.65 × 2.5) = 0.0524/. = 0.130.16(0.04 × 2.5) = 8.125 / . = 0.130.038(0.61 × 2.5) = 2.243 /. = 0.0120.17(0.65 × 2.5) = 0.0434/
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Fundamentos de Transferencia de Calor
• Para resistencia equivalente entre (B) y (C):
1 = 1 + 1
→ = 1 + 1
− ⇒ = (8.125− + 2.243−)− = 1.758 /
• Por la resistencia será: (unitaria)
, = + + = 0.0524 + 1.758 + 0.0434 = 1.854 /
• Para 10 travesaños: se darán 10 veces pero en paralelo:
Por tanto:
= 10 × 1,
−
= 0.1854 /
PROBLEMA 3.18
Las características térmicas de un pequeño refrigerador doméstico se determinan realizando dos
experimentos separados, cada uno con la puerta cerrada y el refrigerador colocado en aire am-
biente a = 25℃. En un caso, un calentador eléctrico se suspende en la cavidad del refrigera-
dor, mientras el refrigerador está desconectado. Con el calentador disipado 20 W, se registra una
temperatura de estado estable de 90℃ dentro de la cavidad. Sin el calentador y con el refrigera-
dor ahora en operación, el segundo experimento implica mantener una temperatura de la cavidad
en estado estable de 5℃ para un intervalo de tiempo fijo y registrar la energía eléctrica que se
requiere para operar el refrigerador. En este experimento, para el que la operación de estado es-
table se mantiene en un periodo de 12 horas, la energía eléctrica de entrada es 125,000 J. Deter-
mine el coeficiente de rendimiento del refrigerador (COP).
SOLUCION 3.18
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Radiación insignificante.
Análisis:
Para el primer caso (a) (desenchufado), se tiene el s iguiente balance energético:
̇ ̇ = 0
→ = 0 → =
Dónde:
= , ,/
→ = , , = , , = 90 2520 3.25 ℃/
• Para el caso (b), el calor transferido del aire exterior hacia el comportamiento es balancea-
do con el calor que pierde el comportamiento al cederlo al refrigerante ( = ). Por
tanto la energía térmica transferida del refrigerador en 12 horas es:
= . ∆ = , , × ∆
→ = (25 5)3.25 (12 hr × 3600 s/hr) = 266000 J
→ El coeficiente de rendimiento del refrigerador:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= = 266000125000 = 2.13
PROBLEMA 3.19
En el diseño de edificios, el requerimiento de conservación de la energía dicta que el área de la
superficie exterior, , se minimice. Este requerimiento implica que, para un espacio de piso
deseado, hay valores óptimos asociados con el número de pisos y con las dimensiones horizonta-
les del edificio. Considere un diseño para el que se establecen el espacio de piso, , y la distancia
vertical entre pisos, .
(a) Si el edificio tiene una sección transversal cuadrada de ancho W en un lado, obtenga una
expresión para el valor de W que minimice la pérdida de calor a los alrededores. La pérdida
de calor se supone que ocurre de las cuatro paredes verticales y de un techo plano. Expre-
se sus resultados en términos de y .
(b) Si = 32,768 m y = 4 m, ¿para qué valores de W y (número de pisos) se minimi-
za la pérdida de calor? Si el coeficiente global de transferencia de calor promedio es = 1 m.⁄ y la diferencia entre las temperaturas del aire ambiente interior y exterior
es 25℃, ¿cuál es la pérdida de calor correspondiente? ¿Cuál es el porcentaje de reducción
en pérdida de calor comparado con un edificio de = 2?
SOLUCION 3.19
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Pérdida de calor insignificante en la base.
Análisis:
(a) Para minimizar el calor perdido (), la superficie exterior ( ) debe ser minimizado. De la
figura:
= + 4 = + 4. .
Dónde: = /
Por tanto:
= + 4 = + 4 .
• Donde el valor óptimo de será correspondiente según: = 2 4 . = 0
→ = 2 . /
(b) Para = 32.768 m∧ = 4 m
→ = (2 × 32.768 × 4)/ = 6.4 m
→ = = 32.768(6.4) = 0.8
Para la pérdida:
= U. . ∆ = (1). (6.4) 4(32.768)(4)6.4 (25)
= 3072
• Para = 2
→ =
/
= 32.768
2
/ = 4.04 m
La pérdida de calor será:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= (1) (4.04) + 4(32.768)(4)
4.04
(25)
= 3647.77
→ Porcentaje de reducción en :
3647.77 3072
3647.77
= 15.8%
PROBLEMA 3.20
Una pared compuesta separa gases de combustión a 2600℃ de un líquido refrigerante a 100℃,
con coeficientes de convección del lado de gas y del líquido de 50 y 1000 m.⁄ . La pared se
compone de una capa de óxido de berilio de 10 mm de espesor en el lado del gas y una placa de
acero inoxidable (AISI 304) de 20 mm de grosor en el lado del líquido. La resistencia de contacto
entre el óxido y el acero es 0.05 m./. ¿Cuál es la pérdida de calor por área unitaria de super-
ficie del compuesto? Dibuje la distribución de temperaturas del gas al l íquido.
SOLUCION 3.20
Esquema:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suposiciones:
a) Transferencia de calor en una dirección.
b) Condición de estado estable.
c) Efectos de radiación insignificantes.
d) Propiedades constantes.
Análisis:
Para las propiedades:
• de tabla A.1:
Acero inoxidable (AISI 304) a � = 1000 K se tiene:
= 25.4 m⁄ .
• de tabla A.2:
Oxido de Berilio: (� = 1500 K)
= 21.5 m⁄ .
(a) para la pérdida de calor por unidad de área (″)
″ = , ,
1ℎ + + + + 1ℎ =
2600 100
1
50
+
0.01
21.5
+
0.05
1
+
0.02
25.4
+
1
1000
= 34600
(b) para la distribución de temperatura, calculamos las temperaturas de superficie en:
• ,:
″ = ℎ, , → , = , ″ℎ = 2600 3460050 = 1908℃
• ,:
″ = , , → , = , .
″ = 1908 (0.01)(34600)21.5 = 1892℃
• ,:
″ = , ,, → , = , ,. ″ = 1892 (0.05)(34600) = 162℃
• ,:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
″ = , , → , = , .
″ = 162 0.02(34600)25.4 = 134.6℃
→ La distribución será:
PROBLEMA 3.21
Dos placas de acero inoxidable de 10 mm de espesor están sujetas a una presión de contacto de 1
bar bajo condiciones de vacío para las que hay una caída general de temperatura de 100 ℃ a lo
largo de las placas. ¿Cuál es la caída de temperatura a través del plano de contacto?
SOLUCION 3.21
Esquema:
Suposiciones:
a) Transferencia de calor unidimensional.
b) Condición de estado estable.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
c) Propiedades constantes.
Análisis:
Para el acero inoxidable: (� ≈ 400 K) : = 16.6 m⁄ . Tabla A.1
• Para 1 bar, de la tabla 3.1, para acero inoxidable obtenemos:
″ = 15 × 10− m. /
Además: = 0.0116.6 = 6.02 × 10−m./
→ ″ = 2 + ″ = 27 × 10−m./ (Resistencia total de contacto)
Para el flujo de calor (″)
″ = ∆″ = 100℃27 × 10−m./ = 3.70 × 10− /m
• Del circuito térmico (figura superior)
″″ = ∆, , = 1 5 × 1 0
−m. /
2 7 × 1 0−m. / = 0.556
→ Por tanto:
∆ = 0.556, , = 0.556(100℃) = 55.6℃
PROBLEMA 3.22
Considere una pared plana compuesta integrada por dos materiales de conductividades térmicas = 0.1 m.⁄ y = 0.04 m.⁄ y espesores = 10 mm y = 20 mm. Se sabe que la
resistencia de contacto en la interfaz entre los dos materiales es 0.30 m. /. El material A está
al lado de un fluido a 200℃ para el que ℎ = 10 m.⁄ , y el material B a un fluido a 40℃ para el
que ℎ = 20 m. ⁄ .
(a) ¿Cuál es la transferencia de calor a través de una pared que tiene 2 m de altura por 2.5 m
de ancho?
(b) Dibuje la distribución de temperaturas.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
SOLUCION 3.22
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable
b) Transferencia de calor unidimensional
c) Propiedades constantes.
Análisis:
(a) Según = 2 m ∧ = 2.5 m ⇒ A = 5 m
Para la resistencia total:
= 1ℎ + +
″ + + 1ℎ
= 11 0 × 5 + 0.010 . 1 × 5 + 0.35 + 0.020.04 × 5 + 12 0 × 5 = 0.21 /
Transferencia de calor:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
→ = , , = 200 4000.21 = 762
(b) Para la distribución de temperaturas: ( como el problema 3.20)
∗ , = , ℎ. = 200 76210×5 = 184.8℃
∗ = , . . = 184.8 (762)(0.01)(0.1)(5) = 169.6℃
∗ = .″ = 169.6℃ (762). (0.3)5 = 123.8℃
∗ , = . . = 123.8 (762)(0.02)(0.04)(5) = 47.6℃
Se obtiene:
PROBLEMA 3.23
El rendimiento de los motores de turbinas de gas se mejora aumentando la tolerancia de las hojas
de las turbinas a los gases calientes que salen del combustor. Un método para lograr altas tempe-
raturas de operación implica la aplicación de un revestimiento de barrera térmica (TBC) para la
superficie externa de una hoja, mientras pasa aire de enfriamiento a través de la hoja. Por lo co-
mún, la hoja está fabricada de una superaleación de alta temperatura, como Inconel ( ≈
25 m.⁄ ), mientras una cerámica, como circonia ( ≈ 1.3 m.⁄ ), se usa como revestimien-
to de barra térmica TBC.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Considere condiciones para las que gases caliente a , = 1700 K y aire de enfriamiento a, = 400 K proporcionana coeficientes de convección de la superficie externa e interna deℎ = 1000 m.⁄ y ℎ = 500 m.⁄ , respectivamente. Si un TBC de circonio de 0.5 mm de
espesor se une a la pares de una hoja de inconel de 5 mm de espesor por medio de un agente de
unión metálico, que proporciona una resistencia térmica entre las interfaces de ,″ =
10−m./, ¿es posible mantener el Inconel a una temperatura que esté por debajo de su va-
lor máximo permisible de 12500 K? Deje de lado los efectos de radiación, y aproxime la hoja de la
turbina como una pared plana. Elabore una gráfica de la distribución de temperaturas con y sin el
TBC. ¿Existe algún límite al espesor de TBC?
SOLUCION 3.23
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Transferencia de calor en una sola dirección.
c) Radiación insignificante.
Análisis:
Calculamos la resistencia total por unidad de área:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
″ = 1ℎ + + ″ + + 1ℎ = 11000 + 0.5 × 10
−
1.3
+ 10− + 5 × 1 0−
25
+
1
500
= 3.69 × 10−.
→ Para el flujo de calor (″):
″ = , ,″ = 13003.69 × 10− = 3.52 × 10/m
• Para las temperaturas de superficie interior y exterior del inconel: ( ∧ )
= , + ″ℎ = 400 + 3.52 × 10
500
= 1104 K
= , + ″ 1ℎ + = 400 + 3.52 × 10 1500 + 5 × 1 0
−
25
= 1174 K
• Sin el TBC; la resistencia por unidad de área, sería:
″ = 1ℎ + + 1ℎ = 3.2 × 10−.
(Flujo de calor ″):
″ = , ,″ = 4.06 × 10/m
Por tanto:
= , + ″ℎ = 400 + 4.06 × 10
500
= 1212 K
= , + ″ 1ℎ + = 400 + 4.06 × 10 1500 + 5 × 1 0
−
25
= 1293 K
→ Distribución de temperaturas:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Además con la ayuda de la unión del TBC de zirconio es posible mantener al inconel bajo su valor
de temperatura máximo permisible de 1250 K
PROBLEMA 3.24
Un chip de silicio se encapsula de modo que, bajo condiciones de estado estable. La totalidad de la
potencia que se disipa se transfiere por convección a una corriente de fluido para el queℎ = 1000 m.⁄ y = 25℃. El chip se separa delfluido mediante una cubierta de placa de
aluminio de 2 mm de espesor, y la resistencia de contacto de la interfaz chip/aluminio es
0.5 × 10−m./.
Si el área de la superficie del chip es 100 mm y la temperatura máxima permisible es 85℃, ¿cuál
es la disipación de potencia máxima permisible en el chip?
SOLUCION 3.24
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
b) Transferencia de calor en una dirección.
c) Chip isotérmico.
Análisis:
• Para el aluminio: ( ≈ 325 K) → A = 238 m⁄ .
• Para una superficie de control en el chip, la conservación de energía será:
̇ ̇ = 0
→ A + ″ + 1ℎ 1 = 0
→ = A + ″ + 1ℎ 1 =
(85 25)0.002
238
+0.5×10− + 1
1000
1
10−
= 5.67
La cual es la disipación de potencia máxima permisible en el chip.
PROBLEMA 3.25
Aproximadamente 10 componentes eléctricos discretos se colocan en un solo circuito integrado
(chip), con disipación de calor eléctrico tan alta como 30,000 m⁄ . El chip, que es muy delgado,
se expone a un líquido dieléctrico en la superficie externa, con ℎ = 1000 m⁄ . y , =20℃, y se une a una tarjeta de circuitos en la superficie interior. La resistencia térmica de contacto
entre el chip y la tarjeta es 10−m. /, y el espesor y conductividad térmica de la tarjeta son = mm y = 1 m⁄ . , respectivamente. LA otra superficie de la tarjeta se expone al aire
del ambiente para el que ℎ = 40 m⁄ . y , = 20℃.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) Dibuje le circuito térmico equivalente que corresponde a las condiciones de estado estable.
En forma de variable etiquete las resistencias, temperaturas y flujos de calor apropiados.
(b) En condiciones de estado estable para las que la disipación de calor del chip es ″ =
30,000 m⁄ , ¿cuál es la temperatura del chip?
(c) El flujo de calor permisible máximo, ″, se determina mediante la restricción de que la
temperatura del chip no debe exceder 85℃. Determine ,″ para las condiciones preceden-
tes. Si se usa aire en lugar del líquido dieléctrico, el coeficiente de convección se reduce en
aproximadamente un orden de magnitud. ¿Cuál es el valor de ,″ paraℎ = 100 m⁄ .? Con enfriamiento de aire, ¿es posible obtener mejoras significativas
con una tarjeta de circuitos de óxido de aluminio y/o mediante una pasta conductora en la
interfaz chip/tarjeta para la que ,″ = 10−m./?
SOLUCION 3.25
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) Resistencia térmica insignificante por parte del chip.
d) Propiedades constantes.
Análisis:
(a) Circuito térmico: ″: Flujo de calor entrada
(b) Aplicando la conservación de energía en la superficie de contacto sobre el chip:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
̇ ̇ = 0→ ″ ″ ″ = 0
→ ″ = ,1ℎ + ″ + +
,
1ℎ
Reemplazando valores: además:
″ =3×1 0 m⁄ , ℎ = 1000 m⁄ . , = 1 m⁄ .″ = 10− m./
→ 3 × 10 = 20 1
40
+
0.005
1
+ 10− + 201
1000
3×10 = (33.2 664 + 1000 20000)→ = 49.03℃
(c) Para hallar el flujo de calor permisible máximo (″) con la temperatura = 85℃
- Para las condiciones precedentes:
,″ = 85 201
40
+
0.005
1
+ 10− +
85 20
1000−
,″ = 67159.4/m
• Para el cálculo de ,″ , para ℎ = 100 m.⁄ (Enfriamiento con aire) ˄ = 85℃
De la ecuación:
,″ = ,1ℎ + + ″ +
,ℎ−
→ Para tarjeta normal: ( = 1 m⁄ .)
,″ = 85 20
40− + 0.005
1
+ ″ +
85 20
100− =
65
0.03 + ″ + 6500
→ Para tarjeta oxido de aluminio, de tabla A.3
Oxido de aluminio (Policristalino) = 32.4 m⁄ .
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Fundamentos de Transferencia de Calor
→ ,″ = 85 20
40− + 0.005
32.4
+ ″ + 6500
• Para valores de ″ = 10−˄ 10−
Se ve en la tabla:
Tarjeta ( .K) ″ (m. ⁄ ) ″( m⁄ )
Tarjeta normal 1
10− 8659
10− 8666
Tarjeta oxido
de Aluminio
32.4
10− 9074
10− 9083
PROBLEMA 3.26
El diagrama muestra una sección cónica construida de aluminio puro. Es de sección transversal
circular con un diámetro = /, donde = 0.5 m/. El extremo pequeño se localiza en = 25 mm y el grande en = 125 mm. Las temperaturas de los extremos son =
600 K y = 400 K, mientras que la superficie lateral está bien aislada.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) Derive una expresión para la distribución de temperaturas () en forma simbólica, supo-
niendo condiciones unidimensionales. Dibuje la distribución de temperaturas.
(b) Calcule la transferencia de calor .
SOLUCION 3.26
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) No hay generación de energía interna.
Análisis:
(a) Para el flujo de calor:
″ = = . → = . = ⎝
4 ⎠ .
→ ″ = 4 .. ………. .(1)
→ 4.. . . =
→ () = 4. . . . ln ………(2)
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Para:
() = = 4. . . . ln → = 4 . ( )ln( ⁄ ) … … … … . ( 3 )
(3) en (1):
() = + ( ) ln( ⁄ )ln( ⁄ )
Gráfica:
(b) Para el cálculo de la transferencia de calor (): en (3) , Además: = 236 m. K⁄ (Ta-
bla A-2)
= 4 . . ( )ln( ⁄ ) = 4 . (0.5). (236). (600 400)ln(25/125)→ = 5755
PROBLEMA 3.27
Un cono truncado sólido tiene sección transversal circular, y su diámetro está relacionado con la
coordenada axial mediante una expresión de la forma = /, donde = 1.0 m−/.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Los lados están bien aislados, mientras la superficie superior del cono en se mantiene a , y la
superficie inferior en se conserva a .
(a) Obtenga una expresión para la distribución de temperaturas ().
(b) ¿Cuál es la transferencia de calor a través del cono si se construye de aluminio puro con = 0.075 m, = 100℃, = 0.225 m y = 20℃?
SOLUCION 3.27
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional en .
c) Propiedades constantes.
Análisis:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
(a) Según la ley de Fourier, donde es la transferencia de calor:
″ = = → = . . = 4 / .
→ 4 . = .
→ 4 . = . → 4 . 12
= ( )
Por tanto:
() = + 2. . . 1 1
Dónde (transferencia de calor) es independiente de .
(b) Para valores:
() = = + 2. . 1 1
→ = . . 2 . − − = (1)
(238)
2
.
20 100
(0.225)− (0.075)−
= 189.2
Dónde = 238 m⁄ . , para Aluminio puro, Tabla A-1 ( = 333 K)
PROBLEMA 3.28
De la figura 2.5 es evidente que, en un amplio rango de temperaturas, la dependencia con respec-
to a la temperatura de la conductividad térmica de muchos sólidos se aproxima mediante una ex-
presión lineal de l forma = + , donde es una constante positiva y es un coeficiente
que puede ser positivo o negativo. Obtenga una expresión para el flujo de calor a través de una
pared plana cuyas superficies interna y externa se mantienen a y , respectivamente. Dibuje
las formas de la distribución de temperaturas correspondientes a > 0, = 0 y < 0.
SOLUCION 3.28
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Fundamentos de Transferencia de CalorEsquema:
Suposiciones:
a) Conducción unidimensional.
b) Condición de estado estable.
c) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Según la ley de Fourier, para el flujo de calor (″):
″ = → ″ = ( + ) ……….(1)→ ″. =
″. = ( + )
→ ″ = 1 ( ) + 2
Cómo se tiene que ″ es constante entonces de (1) se obtiene que:
( + ). = cte
→ Disminuyendo con el aumento de , implica que:
• > 0:
Disminuye ( + ) y aumenta ⁄ con un aumento de .
• = 0:
= → ⁄ = constante.
• < 0:
Aumenta ( + ) y disminuye ⁄ con un aumento de .
Para estos casos la distribución de temperaturas será:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
PROBLEMA 3.29
Considere la pared de un tubo de radios interno y externo y , respectivamente. La conductivi-
dad térmica del cilindro depende de la temperatura y se representa mediante una expresión de la
forma = (1 + ), donde y son constantes. Obtenga una expresión para la transferencia
de calor por unidad de longitud del tubo. ¿Cuál es la resistencia térmica de la pared del tubo?
SOLUCION 3.29
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional (dirección radial).
c) No hay generación de energía.
Análisis:
La ley de Fourier, para dirección radial (Ecu. 3.24):
= . . = . (2)
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Fundamentos de Transferencia de Calor
( ⁄ ) = 2.
Dónde ( ⁄ ): Transferencia de calor por unidad de longitud.
( ⁄ ) = 2. (1 + )
→ ( ⁄ )
2 . = (1 + )
Para la integración:
( ⁄ )
2 = (1 + )
( ⁄ )
2 ln( ⁄ ) = + 2
= ( ) + 2
→ ( ⁄ ) = 2 1 + 2 ( ) . ln( ⁄ )
Para la resistencia térmica de la pared:
= ∆( ⁄ ). = ( )2. . 1 + 2 ( ) . ln( ⁄ )
= ln( ⁄ )
2. . . 1 + 2 ( )
PROBLEMA 3.30
Ciertas mediciones muestran que la conducción de estado estable a través de una pared plana sin
generación de calor produjeron una distribución de temperaturas convexa tal que la temperatura
del punto medio fue ∆ más alta que la esperada para una distribución lineal de temperaturas.
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Suponiendo que la conductividad térmica tiene una dependencia lineal de la temperatura, = (1 + ), donde es una constante, desarrolle una relación para evaluar en términos de∆, y .
SOLUCION 3.30
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Para cualquier ubicación en la pared; según la ley de Fourier:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
″ = (1 + )
Donde ″ (flujo de calor) es constante.⇒ ″. = (1 + ) …………(1)
″ = (1 + )
……….(2)
″ = + 2 + 2 …….(3)
• Realizando la misma integración, pero hasta /2, se obtiene:
″ = 2 / + /2 + 2 ……….(4)
Dónde:
/ = + 2 + ∆ ………(5)
→ Igualando (3) ˄ (4):
+ 2 + 2 = 2/ + /2 2 + 2
→ + 2 = 2/ + / 2
Reemplazando (5):
+ 2 = ( + ) + 2∆ + + 2 + ∆ 2
→ = 2∆
2
+
2
+ ∆
PROBLEMA 3.31
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Use el método de análisis de conducción alternativo para derivar la expresión de la resistencia
térmica de un cilindro hueco de conductividad térmica , radios interno y externo y , respec-
tivamente, y longitud .
SOLUCION 3.31
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional radial.
c) No hay generación de energía interna.
Análisis:
Para el diferencial de volumen (volumen de control), la energía se conserva:
= +
Según la ley de Fourier:
= . . = . (2. )
Tomando a como constante:
→
2. = ()
Como () =
→ = 2. . ( )ln( ⁄ )
Para la resistencia térmica:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= ∆
→ = ( )
2. . . ( )
ln( ⁄ ) =
ln( ⁄ )
2. .
PROBLEMA 3.32
Una tubería de vapor de 0.12 m de diámetro exterior se aísla con una capa de silicato de calcio.
(a) Si el aislante tiene 20 mm de espesor y las superficies interna y externa se mantienen a, = 800 K y , = 490 K, respectivamente, ¿cuál es la pérdida de calor por unidad de
longitud (′) de la tubería?
(b) Deseamos explorar el efecto del espesor de aislante sobre la pérdida de calor ′ y la tem-
peratura de la superficie interna fija a , = 800 K. La superficie externa se expone a un
flujo de aire ( = 25℃) que mantiene un coeficiente de convección de ℎ = 25 m⁄ .
y a grandes alrededores para los que = = 25℃. La emisividad de la superficie de
silicato de calcio es aproximadamente 0.8. Calcule y dibuje la distribución de temperaturas
en el aislante como función de la coordenada radial adimensional ( )/( ), don-
de = 0.06 m y es una variable (0.06 < ≤ 0.20 m). Calcule y dibuje la pérdida de
calor como función del espesor del aislante para 0 ≤ ( ) ≤ 0.14 m.
SOLUCION 3.32
Esquema:
Suposiciones:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional radial.
c) Propiedades constantes.
Análisis:
De tabla A-3: Silicato de calcio: = 0.089 m⁄ . ( = 645 K)
(a) De la ecuación 3.27:
′ = = 2. . , ,ln(/) … … … . . ( 1 )
Pérdida de calor por unidad de longitud para: = 0.08 m , = 490 k
→ ′ = ⁄ = 2. . , ,ln(/) = 2. . (0.089)(800 490)ln(0.08/0.06)→ ⁄ = 602.2
(b) Para la superficie exterior (superficie de control) del balance energético se tiene: (por uni-
dad de longitud).
′ = ′ + ′
→ , ,
ln(/)
2. =
,
1
2. ℎ +
,
1
2. ℎ
Dónde: ℎ = . . , , , por tanto la pérdida de calor será:
′ = 2ℎ, + ℎ, …….(2)
• Para distribución de (), de la ecuación 3.26:
() = , ,ln(/) ln + , …….(3)
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Fundamentos de Transferencia de Calor
r2 (m) r2-r1 (m) Ts2(K) q' (W/m)
0.06001 1E-05 796.59 11436.46
0.08 0.02 353.19 868.08
0.10 0.04 325.12 519.59
0.12 0.06 315.16 390.95
0.14 0.08 310.21 323.09
0.16 0.1 307.30 280.76
0.18 0.12 305.42 251.62
0.20 0.14 304.12 230.20
De (1):
, = , ′ ln( ⁄ )2. ……(4)
De (2) y (4):
, = , ln(/)2. .2ℎ, + ℎ,
Ecuación de donde se obtiene ,
25 ∙ , 298 + 0,8 ∙ 5,67 ∙ 10− ∙ , 298 ∙ r + 0,089 ∙ , 800
ln r 0,06 = 0
Cálculo del calor perdido en función del ,:
q′ = 2 ∙ π ∙ 0,089 ∙ 800 ,
ln/,
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Fundamentos de Transferencia de Calor
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.064 0.1 740.002906
0.068 0.2 683.644299
0.072 0.3 630.507992
0.076 0.4 580.245356
0.08 0.5 532.561453
0.084 0.6 487.20454
0.088 0.7 443.958031
0.092 0.8 402.634237
0.096 0.9 363.069445
0.1 1 325.12
Para la distribución de temperatura:
() = (800 )
ln(
12) ∙
2 + ,
Para: (m) = 0.1 , ,(k ) = 325.12
Para: (m) = 0.14 , ,(k ) = 310.21Web site: www.qukteach.com e-mail: consultas@qukteach.com Pág. 66
Fundamentos de Transferencia de Calor
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.074 0.1 713.622453
0.088 0.2 642.25707
0.102 0.3 581.450265
0.116 0.4 528.476656
0.13 0.5 481.54646
0.144 0.6 439.420894
0.158 0.7 401.206903
0.172 0.8 366.239389
0.186 0.9 334.009674
0.2 1 304.12
r (m) (r-r1)/(r2-r1) Tr (K)
0.06 0 800
0.068 0.1 727.648046
0.076 0.2 663.352824
0.084 0.3 605.498462
0.092 0.4 552.911209
0.1 0.5 504.711538
0.108 0.6 460.223348
0.116 0.7 418.915695
0.124 0.8 380.364
0.132 0.9 344.223409
0.14 1 310.21
Para: (m) = 0.2 , ,(k ) = 304.12
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Fundamentos de Transferencia de Calor
PROBLEMA 3.33
Considere el calentador de agua que se describe en el problema 1.29. Deseamos ahora determinar
la energía necesaria para compensar las pérdidas de calor que ocurren mientras el agua está al-
macenada a la temperatura establecida de 55℃. El tanque cilíndrico de almacenamiento (con ex-
tremos planos) tiene una capacidad de 100 galones, y se usa uretano en espuma para aislar las
paredes laterales y de los extremos del aire ambiental a una temperatura promedio anual de 20 ℃.
La resistencia a la transferencia de calor está dominada por la conducción en el aislante y por la
convección libre en el aire, para el que ℎ ≈ 2 m⁄ . . Si se usa calentamiento por resistencia
eléctrica para compensar las pérdidas y el costo de la potencia eléctrica es $0.08/kWh, para las
que los costos anuales asociados con las pérdidas de calor son menores de $50.
SOLUCION 3.33
Esquema:
Suposiciones:
a) Estado estable.
b) Conducción unidimensional a través de la pared.
c) La resistencia a la conducción está dominado por el aislante.
d) Propiedades constantes.
Análisis:
• Para la espuma de uretano (rígida) a � = 300 K ; = 0.026 m⁄ . (tabla A-3)
Para el cálculo de :
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= 4 ; , = . . + 2 4 = 4 + 2
• Para minimizar las pérdidas de calor, se debe minimizar el área total ( ,) y su valor míni-
mo será en:
, = 0 → 4 + = 0
→ = 4 / → = 4 /
• Además:
, = 8 + > 0
Con esto se comprueba que el anterior hallado corresponde al valor mínimo.
• Para:
= 100 gal × 0.00379 m
gal
= 0.379 m
→ = = 0.784 m
→ La pérdida total de calor a través del aislante y el medio exterior:
= ,
ln( ⁄ )
2. + 1ℎ. 2. +
2,
4
+ 1ℎ.
4
• Asumiendo valores:
= 25mm , = 2⁄ = 0.392 m , = + = 0.417 m
Se obtiene:
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Fundamentos de Transferencia de Calor
= (55 20)
ln(0.417 0.392⁄ )
2(0.026)(0.784) + 1(2). 2(0.417)(0.784)
+
2(55 20)
0.025
(0.026)
4
(0.784) +
1
(2).
4
(0.784)
= 35
(0.483 + 0.243)
+
2(35)
(1.992 + 1.036)
= 48.2 + 23.1 = 71.3
→ La pérdida de energía anual será:
u = (71.3 ). (365 días)(24 h día⁄ ) = 625 h
→ Costo anual por la pérdida de energía:
= 0.08 $ h⁄ (625)h = $50
∴ Por tanto las dimensiones especificadas cumplen con la condición del costo
= 392 mm = 417 mm = 25 mm
PROBLEMA 3.34
Un calentador eléctrico delgado envuelve la superficie externa de un tubo cilíndrico largo cuya
superficie interna se mantiene a una temperatura de 5℃. La pared del tubo tiene radios interno y
externo de 28 y 75 mm, respectivamente, y una conductividad térmica de 10 m⁄ .. La resis-
tencia térmica de contacto entre el calentador y la superficie externa del tubo (por unidad de lon-
gitud de tubo) es ,″ = 0.01 m./. La superficie externa del calentador se expone a un fluido
con = 10℃ y un coeficiente de convección ℎ = 100 m⁄ .. Determine la potencia de
calentamiento por unidad de tubo que se requiere para mantener el calentador a = 25℃.
SOLUCION 3.34
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional.
c) Propiedades constantes.
Análisis:
El circuito térmico será:
Donde ′ es la transferencia de calor por unidad de longitud.
Por balance de energía:
′ = ′ + ′
′ =
ln( ⁄ )
2. + ,′ +
1ℎ
′ = 25 5
ln(75 25⁄ )
2. (10) + 0.01 +
25 (10)
1
(100)(2)(75) × 10−
′ = 728 + 1649
′ = 2377
PROBLEMA 3.35
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Fundamentos de Transferencia de Calor
En el problema anterior, la potencia eléctrica que se requiere para mantener el calentador a = 25℃ depende de la conductividad térmica del material de la pared , la resistencia térmica
de contacto ,′ y el coeficiente de convección ℎ. Calcule y dibuje por separado el efecto de cam-
bios en (1 ≤ ≤ 200 m⁄ . ), ,′ 0 ≤ ,′ ≤ 0.1 m. / y ℎ(10 ≤ ℎ ≤ 1000 m⁄ . )
sobre el requerimiento de potencia total del calentador, así como la transferencia de calor a la
superficie interna del tubo y al fluido.
SOLUCION 3.35
Esquema:
Análisis:
De la ecuación del balance de energía en el problema anterior:
′ = ′ + ′
′ =
ln( ⁄ )
2. + , +
1
2ℎ
Dónde:
′: Requerimiento total del calentador por unidad de longitud.
′ : Transferencia de calor a la superficie interna del tubo (por unidad de longitud).′ : Transferencia de calor al fluido (por unidad de longitud).
1
er
CASO: ′(), ′ () y ′ ():
′ () = 25 5ln(75 25⁄ )
2 + 0.01 =
20 K
0.1749 + 0.01 K
′ () = 1649 /m
′() = 20 K
0.1749 + 0.01 K
+ 1649
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Fundamentos de Transferencia de Calor
k (W/m*K) q'a (W/m) q'b (W/m) q' (W/m)
0 0.00 1649 1649
25 1176.64 1649 2825.64
50 1481.62 1649 3130.62
75 1621.73 1649 3270.73
100 1702.22 1649 3351.22
125 1754.46 1649 3403.46
150 1791.11 1649 3440.11
175 1818.24 1649 3467.24
200 1839.13 1649 3488.13
1er Caso
2
do
CASO:
′ , = 20ln(75 25⁄ )
2(10) + =
20
0.01749 +
′ () = 1649/m
′() = 200.01749 + + 1649
3
er
CASO:
′ (ℎ) = 728/m
′ (ℎ) = 25 (10)[(2(0.075))ℎ]− = 16.485ℎ
′(ℎ) = 728 + 32.97ℎ
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Rtc (m*K/W) q'a (W/m) q'b (W/m) q' (W/m)
0 1143.26 1649 2792.26
0.01 727.44 1649 2376.44
0.02 533.42 1649 2182.42
0.03 421.11 1649 2070.11
0.04 347.86 1649 1996.86
0.05 296.32 1649 1945.32
0.06 258.09 1649 1907.09
0.07 228.59 1649 1877.59
0.08 205.14 1649 1854.14
0.09 186.06 1649 1835.06
0.1 170.22 1649 1819.22
2do Caso
h(W/m^2*K) q'a (W/m) q'b (W/m) q' (W/m)
0 728 0.0 728.0
100 728 1648.5 2376.5
200 728 3297.0 4025.0
300 728 4945.5 5673.5
400 728 6594.0 7322.0
500 728 8242.5 8970.5
600 728 9891.0 10619.0
700 728 11539.5 12267.5
800 728 13188.0 13916.0
900 728 14836.5 15564.5
1000 728 16485.0 17213.0
3er Caso
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Fundamentos de Transferencia de Calor
PROBLEMA 3.36
Uretano ( = 0.026 m⁄ .) se usa para aislar la pared lateral y las partes superior e inferior de
un tanque cilíndrico de agua caliente. El aislante tiene 40 mm de espesor y se intercala entre lámi-
nas de metal de pared delgada. La altura y el diámetro interior del tanque son 2 m y 0.80 m, res-
pectivamente, y el tanque está expuesto al aire del ambiente para el que = 10℃ y ℎ =
10 m⁄ .. Si el agua caliente mantiene la superficie interna a 55℃ y el costo de la energía as-
ciende de a $0.15/kWh, ¿cuál es el costo diario para mantener el agua almacenada?
SOLUCION 3.36
Esquema:
Suposiciones:
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Fundamentos de Transferenciade Calor
a) Condición de estado estable.
b) No hay generación de energía interna.
c) Propiedades constantes.
Análisis:
Para el cálculo de la transferencia de calor a través del uretano:
(Circuito térmico)
→ = ,
ln( ⁄ )
2. + 1ℎ. 2. . +
2, () + 1ℎ.
= 55 10
ln(44 40⁄ )
2(0.026)(2) + 1(10). 2. (0.44)(2) +
2(55 10)
0.04
(0.026). (0.4) + 1(10)(0.4)
= 45
0.3099
+
90
3.2612 = 172.78
→ Para 1 día:
í = (172.78 )(24 h) = 4.147 h
→ Costo diario:
= 4.147 h . $0.15h = $0.622
PROBLEMA 3.37
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Un calentador eléctrico delgado se inserta entre una varilla circular larga y un tubo concéntrico
con radios interior y exterior de 20 y 40 mm. La varilla A tiene una conductividad térmica de = 0.15 m⁄ ., mientras el tubo B tiene una conductividad térmica de = 1.5 m⁄ .; la
superficie externa está sujeta a convección con un fluido de temperatura = 15℃ y el coefi-
ciente de transferencia de calor de 50 m⁄ .. La resistencia térmica de contacto entre las su-
perficies del cilindro y el calentador es insignificante.
(a) Determine la potencia eléctrica por unidad de longitud de los cilindros (/m) que se re-
quieren para mantener la superficie externa del cilindro B a 5℃.
(b) ¿Cuál es la temperatura en el centro del cilindro A?
SOLUCION 3.37
Esquema:
Suposiciones:
a) Conducción unidimensional radial.
b) Condición de estado estable.
c) Calentador con espesor despreciable.
d) Resistencia de contacto entre los cilindros y el calentador despreciables.
e) Propiedades constantes.
Análisis:
(a) Para un balance de energía sobre el sistema, además () = 5℃
(Para todo el sistema).
̇′ ̇ + ̇ = ̇
→ ′ ′ = 0
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Fundamentos de Transferencia de Calor
• Para:
′ = ℎ. 2. ( ), donde = ()→ ′ = ℎ. 2. () = (50). 2(0.040)5 (15)′ = 251.2 /m
→ La cual es la potencia eléctrica por unidad de longitud al mantener a 5℃.
(b) Para el volumen de control en el cilindro A; el cilindro será isotérmico por tanto:() = ()
• Circuito de térmico en el cilindro B:
Dónde:
′ = () ′⁄
• La resistencia será:
′ = ln( ⁄ )2.
(Está dada por unidad de longitud)
→ ′ = ()
ln( ⁄ )
2. → () =
′. ln( ⁄ )
2. + = (251.2). ln(40 20⁄ )2(1.5) + 5
′ = 23.48℃
En el centro:
() = () = 23.48℃
PROBLEMA 3.38
Una larga varilla cilíndrica de 100 mm de radio está hecha de un material de reacción nuclear
( = 0.5 m⁄ .) que genera 24,000 m⁄ de manera uniforme a lo largo de su volumen. Esta
varilla está encapsulada dentro de un tubo que tiene un radio externo de 200 mm y una conducti-
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Fundamentos de Transferencia de Calor
vidad térmica de 4 m⁄ .. La superficie externa está rodeada por un fluido a 100℃, y el coefi-
ciente de convección entre la superficie y el fluido es 20 m⁄ .. Encuentre las temperaturas en
la interfaz entre los dos cilindros y la superficie externa.
SOLUCION 3.38
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional radial.
c) Propiedades constantes.
Análisis:
Para la varilla de material radioactivo, su distribución de temperatura está dada por la ecuación
3.53
() = ̇4 .1
+ ,
Según la ley de Fourier:
= . .
Para la transferencia de calor por unidad de longitud ():
′ = = . 2. .
→ ′ = . 2. ̇4 .1
+ , = . 2. ̇2
→ ′ = ̇ = (0.1 m). (24000 m⁄ ) = 753.6 m⁄
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Fundamentos de Transferencia de Calor
• Para la temperatura ,:
Por balance de energía en la superficie en : ̇ = ̇→ ′ = ′
→ 753.6 = ,
ln( ⁄ )
2 + 1ℎ. 2.
→ , = + 753.6ln( ⁄ )2 + 1ℎ. 2.
, = 100 + 753.6 ln(0.2 0.1⁄ )2(4) + 1(20)2(0.2)
→ , = 150.79℃
• Para un balance en la superficie en :′ = ′, ,
ln( ⁄ )
2 =
,
1ℎ. 2.
→ 150.79 ,
ln(0.2 0.1⁄ )
2(4) =
, 100
1
(20)2(0.2)
→ , = 129.9℃
PROBLEMA 3.39
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Fundamentos de Transferencia de Calor
Un recubrimiento espacial, que se aplica a la superficie interior de un tubo de plástico, se cura
colocando una fuente de calor por radiación cilíndrica dentro del tubo. El espacio entre el tubo y la
fuente se vacía, y la fuente entrega un flujo de calor uniforme ″, que se absorbe en la superficie
interna del tubo. La superficie externa del tubo se mantiene a una temperatura uniforme, ,.
Desarrolle una expresión para la distribución de temperaturas () en la pared del tubo en térmi-
nos de ″, ,, , y . Si los radios interior y exterior del tubo son = 25 mm y = 38 mm,
¿cuál es la potencia que se quiere por unidad de longitud de la fuente de radiación para mantener
la superficie interna a , = 25℃? La conductividad de la pared del tubo es = 10 m⁄ ..
SOLUCION 3.39
Esquema:
Suposiciones:
a) Condición de estado estable.
b) Conducción unidimensional radial.
Análisis:
A partir de la ecuación 3.25:
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
(()) == .. lnln ++ ………(1)………(1)
•• Condiciones de frontera:Condiciones de frontera:
== == ″″ … … … . . ( 2 )… … … . . ( 2 )(()) == ,, ………(3)………(3)
De (2):De (2):
((.. lnln ++ )) == == ″″
⇒⇒ == == ″″
== ″″..
En (1):En (1):
(()) == ″″.. lnln ++
Usando (3):Usando (3):
(()) == ,, == ″″.. lnln(()) ++ ⇒⇒ == ,, ++ ″″.. .. lnln
⇒ ⇒ (()) == ″″.. lnln ++ ″″.. .. lnln ++ ,,
⇒ ⇒ (()) == ″″.. lnln ++ ,,
•• Con los datos:Con los datos:
== 225 5 mmmm == 338 8 mmmm,, == 25℃ 25℃ == 1010 mm⁄⁄ ..
ReemplazandReemplazando en la o en la ecuación de distribución de la temperatura.ecuación de distribución de la temperatura.
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Fundamentos de Transferencia de CalorFundamentos de Transferencia de Calor
25℃25℃ == ″″.. ((0.025 m0.025 m))
1010 mm⁄⁄ .. .. lnln 0.025 m0.025 m0.038 m0.038 m ++ ,,
2255 == 11..004466 ×× 1100−−″″ ++ ,,
→→ ″″ == 2525 ,,11..004466 ×× 1100−− == 232388882.82.866 95955.5.3131 ×× ,, … … … . ( I )… … … . ( I )
Se sabe:Se sabe:
′′ == == .. 22
→→ ′′ == == .. 22 ″″.. .. == 22″″..
Potencia por unidad de longitud:Potencia por unidad de longitud:
→→ ′′ == 2.2. ((0.0250.025))23882.23882.8686 95955.5.3131 ×× ,,′′ == 37374949.6.611 14149.9.9898 ×× ,,
Para la resolución de la potencia es necesario el Para la resolución de la potencia es necesario el valor numérico de la temperatura constante de lavalor numérico de la temperatura constante de la
superficie exterior.superficie exterior.
PROBLEMA 3.40PROBLEMA 3.40
Considere un cilindro hueco largo de cConsidere un cilindro hueco largo de conductividad térmicaonductividad térmica con radios con radios interior y exteriorinterior y exterior y y ,,
respectivamente. La temperatura de la superficie interna se mantiene arespectivamente. La temperatura de la superficie
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