Ejemplos Criterio de la Segunda Derivada Parcial

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DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
1 
 
 
 
 
 
Ejemplos: 
Criterio de la Segunda 
Derivada Parcial 
 
Ejercítate en el uso del criterio de la segunda derivada 
parcial. 
Prepárate para el esfuerzo 
COMPESP N° 01 
Aplica el criterio de la 
segunda derivada parcial 
para resolver problemas de 
Optimización Multivariable. 
ACTIVIDAD N° 01 
 
Estudie la siguiente información sobre 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
2 
¡Un desafío para ti! 
En este archivo, podrás seguir los pasos en dos ejemplos para 
determinar máximos y mínimos de funciones multivariables. 
En aplicaciones modernas, la mayoría de los pasos 
involucrados para resolver este tipo de problemas se realizan 
en computadora. Sin embargo, la única manera de probar 
que realmente entiendes cómo se usa el criterio de la 
segunda derivada parcial es que lo resuelvas completo por ti 
mismo, al menos una vez. 
Después de todo, puede ser que algún día necesites escribir el 
programa para decirle a una computadora cómo hacerlo, lo 
que requiere saber todos los pasos involucrados. Además, es 
una buena manera de volverte más hábil con las derivadas 
parciales. 
 
¡Un gran reto para ti! 
Trata de entender y ejercitar la capacidad de análisis, 
siguiendo la lectura y explicación del desarrollo de los dos 
ejemplos siguientes sobre optimización multivariable, y así 
poner a prueba tu propia iniciativa y actitud motivadora. 
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3 
El criterio de la segunda derivada parcial 
(como referencia) 
 
Empieza por encontrar un punto ( )0 0,x y donde ambas 
derivadas parciales de f sean 0 . 
( )
( )
0 0
0 0
, 0
, 0
x
y
f x y
f x y
=
= 
El criterio de las segunda derivada parcial nos dice cómo 
determinar si ( )0 0,x y es un máximo o mínimo local, o un 
punto silla. Iniciamos calculando: 
( ) ( ) ( ) ( )20 0 0 0 0 0 0 0, , , ,xx yy xyH x y f x y f x y f x y= − 
donde xxf , yyf y xyf son las segundas derivadas parciales 
de f 
1. Si 0H  , entonces f no tiene ni mínimo ni máximo en 
( )0 0,x y , en cambio tiene un punto silla. 
 
 
 
[Imagen: Punto Silla] 
https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/applications-of-multivariable-derivatives/optimizing-multivariable-functions/a/g/a/second-derivative-test-derivation-two-variables
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4 
 
PUNTO SILLA 
 
➢ Si 0H  , entonces f definitivamente tiene un máximo o 
mínimo en ( )0 0,x y y debemos fijarnos en el signo 
de ( )0 0,xxf x y para averiguar cuál de los dos es. 
a) Si ( )0 0, 0xxf x y  , entonces f tiene un mínimo local. 
 
 
[Imagen: Mínimo Local] 
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5 
 
MÍNIMO LOCAL 
 
 
b) Si ( )0 0, 0xxf x y  , entonces f tiene un máximo local. 
 
 
 
 
 
[Imagen: Máximo Local] 
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6 
 
MÁXIMO LOCAL 
 
2. Si 0H = , al considerar solo las segundas derivadas no 
podemos decir si f tiene un mínimo o un máximo local. 
 
 
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7 
Ejemplo 1 ¡Todos los puntos críticos! 
 
Problema Encuentre todos los puntos críticos (también 
llamados puntos estacionarios) de la función: 
( ) 4 2 2, 4f x y x x y= − + 
y determina para cada uno de ellos si es un máximo local, un 
mínimo local, o un punto silla. 
Paso 1 Encuentra todos los puntos críticos 
Los puntos críticos son todos los pares ( )0 0,x y donde ambas 
derivadas parciales son iguales a 0 . Primero calculamos cada 
derivada parcial 
( ) ( )
( ) ( )
4 2 2 3
4 2 2
, 4 4 8
, 4 2
x
y
f x y x x y x x
x
f x y x x y y

= − + = −


= − + =

 
Después, encuentra todos los puntos ( )0 0,x y donde ambas 
derivadas parciales son 0 , que equivale a resolver el sistema 
de ecuaciones: 
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8 
34 8 0
2 0
x x
y
− =
=
 
¿Cuáles pares de puntos satisface el sistema de ecuaciones? 
 
Hemos sido afortunados, pues la primera ecuación solo 
involucra a x , y la segunda ecuación solo a y , así que en este 
caso resolver el sistema significa determinar cada punto por 
separado. 
 
La primera ecuación se factoriza como 
( )3 24 8 0 4 2 0x x x x− =  − = 
así que sus raíces son 0, 2 2x x y x= = = − 
La segunda ecuación solo tiene la solución 0y = . 
Por lo tanto, los puntos críticos son: 
( ) ( ) ( )0,0 , 2,0 2,0y − 
Paso 2 Aplica el criterio de la segunda 
derivada parcial 
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9 
Para empezar, encuentra las tres derivadas parciales de 
segundo orden de ( )
4 2 2, 4f x y x x y= − + . 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
4 2 2 3 2
4 2 2
4 2 2
, 4 4 8 12 8
, 4 2 2
, 4 2 2
xx
yy
xy
f x y x x y x x x
x x x
f x y x x y y
y y y
f x y x x y y
y x y
  
= − + = − = −
  
  
= − + = =
  
  
= − + = =
  
 
La expresión que nos importa para poder aplicar el criterio de 
la segunda derivada es: 
( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,xx yy xyH x y f x y f x y f x y= − 
Si sustituimos las segundas derivadas que calculamos, ¿cómo 
se ve esta expresión (como función de x y y )? 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 2
2
, , , , 12 8 2 0
24 16
xx yy xyH x y f x y f x y f x y x
x
= − = − −
= −
 
Para aplicar el criterio de la segunda derivada, evaluamos la 
expresión en cada punto crítico y determinamos si es positiva 
o negativa. 
Paso 3 ( ) ( ), 0,0x y =Punto crítico 1 
En ( )0,0 , el valor de la expresión es: 
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10 
( ) ( )
220,0 24 16 24 0 16 16 0H x= − = − = −  
Es negativa, así que el criterio de la segunda derivada parcial 
nos dice que ( )0,0 es un punto silla. 
 
Punto crítico 2 ( ) ( ), 2,0x y = 
En ( )2,0 , el valor de la expresión es: 
( ) ( )
2
22,0 24 16 24 2 16 32 0H x= − = − =  
 
que es positivo. También, 
( ) ( )
2
2,0 12 2 8
16 0
xxf = −
= 
 
Por lo tanto, el punto ( )2,0 nos da un mínimo. 
Punto crítico 3 ( ) ( ), 2,0x y = − 
Podríamos sustituir el punto ( )2,0− igual que hicimos con los 
otros puntos críticos, pero también podríamos observar que la 
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función ( )
4 2 2, 4f x y x x y= − + es simétrica, en el sentido 
que reemplazar x por x− producirá la misma expresión: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
4 2 4 22 2, 4 4 ,f x y x x y x x y f x y− = − − − + = − + = 
Por lo tanto, el punto ( )2,0− tendrá exactamente el mismo 
comportamiento que ( )2,0− . 
 
[Video: Animación de la Gráfica 
( ) 4 2 2, 4f x y x x y= − + ] 
 
mientras rota, donde los dos mínimos locales se ven 
claramente, y podemos ver que el origen es ciertamente un 
punto silla. 
 
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12 
 
 
Ejemplo 2 Un problema más intrincado 
 
No endulcemos las cosas; los problemas de optimización 
pueden ser largos, muy largos. 
Problema Encuentra todos los puntos críticos (también 
llamados puntos estacionarios) de la función: 
( ) 2 2 2 2,f x y x y y x x y= − − − 
https://www.youtube.com/embed/nLVKba4BPK8?feature=oembed
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y determina para cada uno de ellos si es un máximo local, un 
mínimo local, o un punto silla. 
Paso 1 Encuentra todos los puntos críticos 
Necesitamos encontrar los puntos donde ambas derivadas 
parciales son cero, así que empezamos por calcular las 
derivadas parciales de ( )
2 2 2 2,f x y x y y x x y= − − − 
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
, 2 2
, 2 2
x
y
f x y x y y x x y xy y x
x
f x y x y y x x y x yx y

= − − − = − −


= − − − = − −

 
Entonces debemos resolver el sistema de ecuaciones 
2
2
2 2 0
2 2 0
xy y x
x yx y
− − =
− − =
 
En el mundo real, cuando te topas con un sistema de 
ecuaciones, es casi seguro que usarás una computadora para 
resolverlo. Sin embargo, para practicar y, para que te des 
cuenta, los problemas de optimización no son siempre tan 
simples, hagamos algo loco y resolvamos el sistema nosotros 
mismos. 
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14 
En general, la manera como podrías emprender esto es algo 
así: 
1. Resuelve una ecuación para obtener y en términos de x 
2. Sustitúyela en la otra expresión para tener una expresión 
solo con x 
3. Despeja x 
4. Sustituye la solución de x en ambas ecuaciones y 
despeja y 
5. Verifica cuáles pares ( ),x y resuelven el sistema 
 
Esto puede ser un verdadero desastre, pues tal vez uses la 
fórmula cuadrática para resolver y tratando a x como una 
constante, y sustituyas esa horrible expresión en otro lado. De 
otro modo, puede que necesites resolver una ecuación de 
grado 4 que, además de ser dificultoso, da por resultado 
varias soluciones a sustituir. 
En este sistema particular, las ecuaciones se notan muy 
simétricas, lo que indica que sumarlas o restarlas puede 
simplificar el problema. Ciertamente, si las sumamos, 
obtenemos 
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15 
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
2
2
2 2
2 2 0 1
2 2 0 2
2 0
2 0
2 0
xy y x
x yx y
x y x y
x y x y x y
x y x y
− − =
− − =
− − − − − − − − −  +
− − + =
+ − − + =
+ − − =
 
 
¿Qué implica esta ecuación respecto a la relación 
entre x y y (expresa cada respuesta como 
una ecuación que involucre las variables x y y )? 
( )( )2 0 0 2 0
2
x y x y x y x y
x y x y
+ − − =  + =  − − =
 = −  = +
 
 
Cada una de estas posibilidades nos permite escribir x en 
términos de y , que a su vez nos deja expresar alguna de 
nuestras ecuaciones solamente en términos de y . 
Por ejemplo, si sustituyes la relación x y= − en la primera 
ecuación, 
22 2 0xy y x− − = , puedes obtener una fórmula 
cuadrática en términos de y . ¿Cuáles son las raíces de esta 
expresión? 
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16 
( ) ( )
( )
2 2
2
2 2 0 2 2 0
3 2 0
3 2
2
0
3
xy y x y y y y
y y
y y
y y
− − =  − − − − =
 − + =
 − −
 =  =
 
Ya que todo esto salió de suponer que x y= − , los valores 
correspondientes de x son 0x = y 
2
3
x = − , respectivamente. 
Así, hemos obtenido nuestros primeros dos pares de 
soluciones (puntos críticos): 
( ) ( )
( )
, 0,0
2 2
, ,
3 3
x y
x y
=
 
= − 
 
 
 
Alternativamente, si consideramos el caso 2x y= + , al 
sustituir esta expresión en 
22 2 0xy y x− − = , obtenemos una 
expresión cuadrática en términos únicamente de y . ¿Cuáles 
son las raíces de esta expresión? 
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17 
( ) ( )2 2
2 2
2
2 2 0 2 2 2 2
2 4 2 4
2 4 0
2 4 16
2
1 5
xy y x y y y y
y y y y
y y
y
y
− − =  + − − +
 + − − −
 − − =
 +
 =
 = − 
 
Ya que los encontramos bajo la suposición de que 2x y= + , 
los valores correspondientes de x son 
1 5 2
1 5 1 5
x
x x
= −  +
= +  = −
 
 
Así, tenemos otros dos pares de soluciones (otro par más de 
puntos críticos): 
( ) ( )
( ) ( )
, 1 5, 1 5
, 1 5, 1 5
x y
x y
= + − +
= − − −
 
Ahora ya hemos agotado todas las posibilidades, pues 
inicialmente encontramos que x y= − o bien que 2x y= + , y 
resolvimos completamente las ecuaciones que resultaron de 
cada suposición. 
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Paso 2 Aplica el criterio de la segunda 
derivada parcial 
 
Vaya. Eso fue un montón de trabajo para un solo ejemplo, ¡y 
no vamos ni a la mitad! Ahora tenemos que aplicar el criterio 
de la segunda derivada a cada solución. Primero calculemos 
todas las derivadas parciales de segundo orden de nuestra 
función ( )
2 2 2 2,f x y x y y x x y= − − − 
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
2 2 2 2 2
, 2 2 2 2
, 2 2 2 2
, 2 2 2 2
xx
yy
xy
f x y x y y x x y xy y x y
x x x
f x y x y y x x y x yx y x
y y y
f x y x y y x x y xy y x x y
y x y
  
= − − − = − − = −
  
  
= − − − = − − = − −
  
  
= − − − = − − = −
  
 
 
De acuerdo con el criterio de la segunda derivada, para 
determinar cuál de nuestros puntos críticos es un máximo o 
un mínimo local, tenemos que sustituirlos en la expresión: 
( ) ( ) ( ) ( )2, , , ,xx yy xyH x y f x y f x y f x y= − 
 
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¿Cómo se ve esta expresión cuando sustituimos las segundas 
derivadas? 
( ) ( ) ( ) ( )
2
, 2 2 2 2 2 2
exp
H x y y x x y
resión clave
= − − − − −

 
Ya que solo nos importa el signo de esta expresión, podemos 
dividirla entre 4 para simplificarla un poco. 
( ) ( ) ( ) ( )
2
, 1 1
exp
H x y y x x y
resión clave
= − − − − −

 
Ahora determinamos el signo de esta expresión para cada uno 
de los puntos críticos. 
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
, 0,0
2 2
, ,
3 3
, 1 5, 1 5
, 1 5, 1 5
x y
x y
x y
x y
=
 
= − 
 
= + − +
= − − −
 
Paso 3 ( ) ( ), 0,0x y =Punto crítico 1 
En el punto ( ) ( ), 0,0x y = , el valor de la expresión clave es 
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20 
( ) ( )( ) ( )
2
0,0 0 1 0 1 0 0
1 0
H = − − − − −
= 
 
Por lo tanto, concluimos que ( )0,0 es, o un mínimo local o 
máximo local. Para determinar cuál, determinamos el signo 
de ( ) ( )0,0 2 0 2 2 0xxf = − = −  
Puesto que es negativa, f tiene concavidad negativa en ( )0,0 por 
lo que el punto crítico ( )0,0 es un máximo local. 
Punto crítico 2 
( )
2 2
, ,
3 3
x y
 
= − 
 
 
En el punto ( )
2 2
, ,
3 3
x y
 
= − 
 
, el valor de la expresión clave es 
2
2 2 2 2 2 2
, 1 1
3 3 3 3 3 3
15
0
9
H
        
− = − − − − − − −        
        
= − 
 
Por lo tanto, concluimos que ( )
2 2
, ,
3 3
x y
 
= − 
 
 es un punto 
silla. Ya no es necesario evaluar 
2 2
,
3 3
xxf
 
− 
 
. 
 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
21 
Punto crítico 3 
( ) ( ), 1 5, 1 5x y = + − +
 
En el punto ( ) ( ), 1 5, 1 5x y = + − + , el valor de la expresión 
clave es 
 
 
Por lo tanto, concluimos que ( ) ( ), 1 5, 1 5x y = + − + es un 
punto silla. Ya no es necesario evaluar ( )1 5, 1 5xxf + − + . 
 
Punto crítico 4 
( ) ( ), 1 5, 1 5x y = + − +
 
 
Las cuentas son casi idénticas a las del caso anterior. 
 
[Nos alertamos] 
 
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
1 5, 1 5
1 5 1 1 5 1 1 5 1 5
5 0
H + − + =
     = − + − − + − − + − − +
     
= − 
DERIVADAS PARCIALES CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 
 
 
22 
En un sentidoprofundo, este no es tan solo similar al caso 
anterior, sino equivalente. Esto se debe a que nuestra 
función f tiene cierta simetría; es decir 
( ) ( ), ,f x y f y x= − − 
 
¡Inténtalo tú mismo y ve por qué! 
Al realizar la operación ( ) ( ), ,x y y x→ − − al tercer punto 
crítico ( )1 5, 1 5+ − + , obtenemos el cuarto punto crítico, 
( )1 5, 1 5+ − + , por lo que el comportamiento de la función 
en ambos puntos es idéntico. 
La simetría de esta función se ve claramente en el siguiente 
 
[Video: Animación de la Gráfica 
( ) 2 2 2 2,f x y x y y x x y= − − − ] 
 
rotando, donde puedes ver los tres puntos silla y el máximo 
local en el origen. 
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23 
 
¡Date un buen aplauso! 
Estos son problemas muy largos, y si de hecho lo has entendido 
paso a paso, ¡te mereces una gran felicitación! 
https://www.youtube.com/embed/aZL3pc41wzI?feature=oembed