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INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 1 Integrales Dobles más allá del Volumen Las integrales dobles nos sirven para más que encontrar el volumen bajo gráficas tridimensionales. En este archivo estudiamos otros usos, establecemos una notación más general para éstas y explicamos la "sensación" de usar integrales dobles. Qué vamos a construir COMPESP N° 03 Resuelve problemas de aplicación de las integrales dobles. ACTIVIDAD N° 03 Estudie la siguiente información sobre INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 2 ➢ Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el deseo de cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas. ➢ La notación más general para una integral doble es xyS f dA donde: ➢ xyS es la región de integración ➢ dA significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa dxdy o dydx , a menos que se utilice otro sistema de coordenadas. ➢ ( ),f x y es una función de dos variables. Ejemplo 1 masa de una placa Imagina una placa de metal de 3 metros de base y 2 metros de altura. Nuestro objetivo es encontrar su masa, pero resulta que su densidad no es constante. INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 3 Para poder describir con una función esta densidad variable, comienza por situar la placa en el plano xy : Donde su esquina inferior izquierda está en el origen y su base descansa a lo largo del eje x . Digamos que la densidad de esta placa, en 2/kg m , está dada por la función ( ) ( ), [sin 1]x y x y = + La densidad es igual a la masa por unidad de área, así que puede parecer extraño definirla con una función que toma puntos individuales como valores de entrada. Después de todo, ¿qué significa que un punto como ( )1,2 tenga densidad ( )1,2 ? Si lo prefieres, puedes interpretar esta función como INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 4 la densidad dentro de una pequeña región alrededor de cada punto. Para determinar la masa de la placa, puedes imaginar que la cortas en muchos pedacitos, cada uno un rectángulo, y luego sumas sus masas. Piensa que la base de cada uno de estos pequeños rectángulos es dx y su altura es dy . INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 5 Piensa en un rectángulo específico, tal vez el que contiene el punto ( )1,2 . Puesto que este rectángulo es muy pequeño, su densidad será básicamente igual a la constante ( )1,2 . Mientras más fino cortes la región, y más pequeños sean los rectángulos, más preciso es suponer que la densidad de cada rectángulo es constante. Esto significa que podemos calcular la masa de cada uno de estos rectángulos. Por ejemplo, ( ) ( )1,2 2[sin 1] 2 área pequeñadensidad dxdy dxdy dxdy = + = Para obtener la masa total de la placa, integramos todas estas pequeñas masas. Ya que estamos integrando sobre una región bidimensional, necesitamos una integral doble. Precaución: el orden de integración depende de si expresas el área de cada pequeño rectángulo como dxdy o como dydx . Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes integrales dobles representa la masa de nuestra placa de metal, cuya base es 3 metros y altura es 2 metros? INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 6 ( ) ( ) 3 2 1 0 0 2 3 2 0 0 , , I x y dxdy I x y dxdy = = [Explicación] La segunda opción es correcta. Ya que el término dx está escrito al principio, los límites y la variable de integración dentro de la integral interior deben estar en términos de x . ( ) 2 3 2 0 0 , Esta integral es sólo con respecto a x I x y dx dy= Verificación de conceptos: Si ( ) ( ), [sin 1]x y x y = + , evalúa esta integral doble (si no estás seguro de cómo hacerlo, considera revisar el archivo de introducción a las integrales dobles). [Explicación] https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/g/a/double-integrals INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 7 ( ) ( ) ( ) 2 3 0 0 int int 2 3 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 [sin 1] 1 [ cos ] 1 1 [ cos 3 3 0 ] 2 ( 3) 2 ( 3) 1 2 ( 3)[ ] 2 1 2 ( 3)4 2 4 6 primero calcula la egral erior x x x ydx dy y x x dy y dy ydy ydy y = = + = − − = − − − − = − − − = + = + = + = + Por lo que evidentemente nuestra placa de metal con la función de densidad ( ) ( ), [sin 1]x y x y = + tiene masa 4 6 + Pensar en áreas pequeñas INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 8 [Video: Constantes y rebanadas del volumen bajo ( )sin 1z x y= + + ] Cuando hablamos por primera vez de integrales dobles, fue en el contexto de calcular el volumen bajo una gráfica. El razonamiento fue más o menos así: ➢ Primero corta el volumen en un número infinito de rebanadas. Cada rebanada representa un valor constante para alguna de las variables, por ejemplo, 0.78x = . ➢ Calcula el área de cada una de las rebanadas (esto es lo que hace la integral interior). https://www.youtube.com/embed/nNXfaJEf2gM?feature=oembed INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 9 ➢ Al darle un poco de profundidad, haz que el volumen de cada rebanada sea infinitesimal. Matemáticamente, esto significa multiplicar el área de cada rebanada ya sea por dx o por dy , cualquiera que represente un pequeño paso en la dirección perpendicular a la rebanada. ➢ Integra todos esos volúmenes infinitesimales para obtener el volumen de todo el sólido (esto es lo que hace la integral exterior). Por el contrario, en el ejemplo anterior para encontrar la masa de la placa se ve y se siente distinto. Comenzamos por pensar en áreas pequeñas, luego multiplicamos cada una por una constante (la densidad) e intentamos sumarlas todas en una sola pasada. Por supuesto, ambas perspectivas son equivalentes. Y cuando llegamos a las cuentas, nada es diferente. Siempre acabas con una integral dentro de otra, calculas la integral interior y luego la exterior. Sin embargo, en términos de visualización y comprensión conceptual, construir una integral en términos de áreas pequeñas es distinto de construirla en términos de una integral dentro de otra. Por ejemplo, si piensas en calcular el volumen bajo una gráfica al partir primero tu región en el INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 10 plano xy en áreas pequeñas, puedes imaginar que sumas todos los volúmenes de las pequeñas alturas sobre estas áreas. [Video: Pequeñas columnas de volumen] Notación general para las integrales dobles Cuando pensamos en una integral doble en términos de áreas pequeñas, es común escribirla de forma abstracta así: xyS f dA https://www.youtube.com/embed/uRDSLctChJU?feature=oembed INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 11 xyS representa la región sobre la que integramos. La razón para escribirla de esta forma es que, mientras pones en orden los elementos de la integral o razonas sobre lasintegrales dobles en general, normalmente no quieres molestarte con la definición específica (y potencialmente complicada) de tu región. Cuando llega el momento de calcular la integral, reemplazamos xyS f dA con un par de integrales ordinarias cuyos límites de integración definen la región. Si xyS es un rectángulo, estos límites son constantes: 2 2 1 1 y x y x De forma más general, cuando xyS está definida en términos de algunas curvas en el plano xy , los límites de la integral interior se expresan como funciones de la variable exterior: 2 2 1 1 ( ) ( ) y x y y x y INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 12 (Revisa el archivo anterior para practicar esta idea). dA dA representa un área pequeña, de la misma forma en que, para una integral ordinaria, dx representa una pequeña longitud. Normalmente, imaginarás que cortas la región xyS en pequeñas piezas, y este término representa el área de una de esas piezas. Una vez que te pongas a calcular la integral doble, lo reemplazarás por dxdy o dydx . En otros sistemas coordenados, hay diferentes maneras de seccionar dA , como por ejemplo en coordenadas polares. ( ),f x y ( ),f x y es una función de dos variables. Cuando cortas tu región en muchas piezas pequeñas, cada una representa típicamente un valor que esperas sumar. Tal vez este valor es una pequeña masa, o el volumen pequeño de una columna delgada bajo una gráfica. Espero que puedas expresar esta cantidad pequeña como algo más que el área de tu pequeña pieza. Por ejemplo, la masa https://es.khanacademy.org/math/multivariable-calculus/integrating-multivariable-functions/double-integrals-a/a/g/a/double-integrals-over-non-rectangular-regions INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 13 de una pieza es su densidad por su área; y el volumen de una columna sobre una pieza es la altura de la columna por el área. En estos ejemplos, ( ),f x y representa la densidad o la altura. En general, es la cantidad que debe multiplicarse por el área dA de un pedacito, y habitualmente depende de la posición en el pedacito, expresada en términos de las coordenadas ( ),x y . "¿Qué pasa si no puedo expresar el pequeño valor que quiero sumar como algo multiplicado por dA ?" Bueno, en este caso, las integrales dobles no son la herramienta adecuada. Aunque por ahora no podamos pensar en ejemplos donde esto ocurra... La notación abstracta tiene dos beneficios: ➢ Simplicidad: cuando comienzas a plantear un problema, o si quieres hacer una referencia rápida a la idea de cierta integral doble sin ahondar en los detalles, es bueno ser capaz de escribir algo. También, expresamos muchos de los teoremas y las herramientas que surgen en INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 14 el cálculo multivariable de forma abstracta con esta notación. ➢ Generalidad: escribir tu integral como xyS f dA te da opciones para calcularla. Por ejemplo, en las integrales dobles en coordenadas polares, en donde la forma en que desarrollas dA y la forma en que escribes los límites de integración son distintas que en coordenadas cartesianas. Centro de masa Ejemplo 2 Centro de masa de un semidisco ¿Cuál es el centro de masa de un semidisco? INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 15 Por simplicidad, digamos que el radio del disco es 1, y orientémoslo de tal forma que su diámetro repose a lo largo del eje y . También, supongamos que la densidad del disco es uniforme. Este es un problema muy interesante, ¿no crees? Podrás adivinar que la respuesta es un punto un poco a la izquierda del ( )0.5,0 , pero no es obvio cuál es el punto exacto, ¿o sí? Por la simetría vertical de este semidisco, puedes saber que el centro de masa ( ),x y estará ubicado sobre el eje x . Pues 0y = . En cierto sentido, lo que buscamos el valor promedio en la coordenada x de los puntos en el disco. Verificación de conceptos: si hacemos que H represente el semidisco, y denotamos su área por H , ¿cuál de las siguientes integrales, escritas en forma abstracta, representa x , el valor en x del centro de masa de H ? INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 16 2 1 ) 1 ) 1 H H a x x dA H b x x dA H = = − [Explicación] La primera opción es correcta 1 H x x dA H = Ya que se ha supuesto densidad uniforme, podemos pensar que dA representa un pedacito de masa como antes pensamos que representaba un pedacito de área, esto pues la densidad del semidisco es igual a 1. Puedes interpretar que esta integral dice: "Corta el disco en muchos pedacitos; multiplica la masa (o área) de cada uno por su valor x , y suma lo que obtengas". Al dividir este resultado entre la masa total del semidisco, obtenemos el "valor promedio en x " de los puntos del semidisco, que es la coordenada x del centro de masa. INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 17 Verificación de conceptos: ¿cuál es el área del semidisco H ? ?H = [Explicación] Ya que el semidisco tiene radio 1, el área del disco completo es H = Verificación de conceptos: ¿cuál de las siguientes expresiones es la forma correcta de desarrollar H x dA como una integral calculable? Elige todas las respuestas adecuadas 2 2 2 1 1 1 1 0 1 1 2 0 1 y H x x H I x dA xdxdy I x dA xdydx − − − − − = = = = INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 18 [Explicación] Esta es una pregunta un poco capciosa. Ambas respuestas son correctas. La primera integral muestra cómo se ve la integral doble si piensas en dividir H en bandas horizontales: Encontramos el límite derecho de integración para estas bandas, como función de y , con el teorema de Pitágoras. Para integrar sobre H , primero integramos a lo largo de esta banda con respecto a x (la integral interior) y luego integramos el resultado entre 1− y 1 con respecto a y (la integral exterior), es decir, 21 1 1 0 y xdxdy − − INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 19 La segunda integral muestra cómo se ve la integral doble si piensas en dividir H en bandas verticales: De nuevo, encontramos los límites de integración con el teorema de Pitágoras, pero esta vez los expresamos como funciones de x . Ahora la integral interior es con respecto a y y la integral exterior es con respecto a x , de 0 a 1 2 2 1 1 0 1 x x xdydx − − − Termina el problema: resuelve esta integral y utilízala para encontrar el centro de masa de H . INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 20 Coordenada x del centro de masa: [Explicación] Puedes escoger cualquiera de las integrales de la pregunta anterior, pero creo que la que corresponde a las bandas horizontales es un poco más sencilla. ( ) 2 2 1 1 1 0 int int 1 12 0 1 21 2 1 1 2 1 1 2 0 3 1 0 1 [ ] 2 1 1 2 1 (1 ) 2 (1 ) 1 [ ] 3 2 3 y comienza por evaluar la egral erior y xdx dy x dy y dy y dy y dy y y − − − − − − = = − = − = − = − = ¡No hemos terminado! Para encontrar el centro de masa necesitamos dividir este resultado entre el área total del INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIASFIDEL VERA OBESO 21 semidisco, que es 2 H = . Por lo tanto, la coordenada x del centro de masa del semidisco H es 2 3 4 0.4244 2 3 x = = Tiene sentido que esta sea un poco menor que 0.5, pues la mayor parte de la masa está en la porción izquierda del semidisco. El centro de masa del semidisco unitario H es: ( ) ( ) 4 , ,0 0.4244,0 3 x y = Ejemplo 3 Centro de masa de una región parabólica Halle el centro de masa de la lámina xyR que corresponde a una región parabólica 2: 0 4 RexyR y x gión parabólica − INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 22 donde la densidad en el punto ( ),x y es proporcional a la distancia entre ( ),x y y el eje x . [ver imagen]. Como la lámina es simétrica con respecto al eje y ( , ) ,x y ky k = el centro de masa está en el eje y . Así, 0x = . Para hallar ,y primero calcula la masa de la lámina: INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 23 ( ) ( ) 2 2 2 4 2 0 2 2 4 0 2 2 2 2 2 2 2 4 2 3 5 2 2 [ ] 2 4 2 16 8 2 8 1 [16 ] 2 3 5 64 32 32 2 3 5 256 15 x x m kydydx k y dx k x dx k x x dx k x x x dx k k − − − − − − − = = = − = − + = − + = − + = Después se halla el momento con respecto al eje x ( ) 2 2 2 4 2 0 2 3 4 0 2 2 3 2 2 2 2 4 6 2 3 5 7 2 2 ( ) [ ] 3 4 3 (64 48 12 ) 3 12 1 [64 16 ] 3 5 7 4096 105 x x x M y ky dydx k y dx k x dx k x x x dx k x x x x k − − − − − − − = = = − = − + − = − + − = INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 24 Así, 4096 105 16 256 15 7 xM ky m k = = = Y el centro de masa es ( ) 16 , 0, 7 x y = . [ver imagen] Aunque los momentos xM y yM se pueden interpretar como una medida de la tendencia a girar en torno a los ejes x y el cálculo de los momentos normalmente es un paso intermedio hacia una meta más tangible. El uso de los momentos xM y yM es encontrar el centro de masa. La determinación del centro de masa es útil en muchas aplicaciones, ya que permite tratar una lámina como si su masa se concentrara en un solo punto. Intuitivamente, se puede concebir el centro de masa como el punto de equilibrio de la lámina. Por ejemplo, la lámina del Ejemplo 3 se INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 25 mantendrá en equilibrio sobre la punta de un lápiz colocado en 16 0, 7 , como se muestra en la imagen. Momentos de Inercia Los momentos xM y yM utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y . En cada uno de los casos, el momento es el producto de una masa por una distancia ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan , , xy xy x y S Sdis cia dis ciamasa masa al eje x al eje y M y x y dA M x x y dA = = Ahora se introducirá otro tipo de momento, el segundo momento o momento de inercia de una lámina respecto a una recta. Del mismo modo que la masa es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento rectilíneo, el momento de inercia de una lámina respecto a una recta es una medida de la tendencia de la materia a resistirse a cambios en el movimiento de rotación. INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 26 Por ejemplo, si una partícula de masa m está a una distancia d de una recta fija, su momento de inercia respecto de la recta se define como ( )( ) 22 tanI md masa dis cia= = Igual que ocurre con los momentos de una masa, se puede generalizar este concepto para obtener los momentos de inercia de una lámina de densidad variable respecto de los ejes x y . Estos momentos se denotan por x yI e I , y en cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de la distancia ( ) ( ) ( ) ( )2 2 tan tan , , xy xy x y S S masa masacuadrado de cuadrado de la dis cia la dis cia al eje x al eje y I y x y dA I x x y dA = = A la suma de los momentos x yI e I se le llama momento polar de inercia y se denota por 0I . Nota: En el caso de una lámina en el plano xy , 0I representa el momento de inercia de la lámina con respecto al eje z . El término “momento polar de inercia” se debe a que en el cálculo se utiliza el cuadrado de la distancia polar r . INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 27 ( ) ( ) 2 2 0 2 ( ) , , xy xy S S I x y x y dA r x y dA = + = Ejemplo 4 Momento de inercia de una lámina Halle el momento de inercia respecto del eje x de la lámina del Problema 3. [Explicación] De acuerdo con la definición de momento de inercia, se tiene 2 2 2 4 2 2 0 2 4 4 0 2 2 2 4 6 8 2 3 5 7 9 2 2 ( ) [ ] 4 (256 256 96 16 ) 4 256 96 16 1 [256 ] 4 3 5 7 9 32768 315 x x x I y ky dydx k y dx k x x x x dx k x x x x x k − − − − − − = = = − + − + = − + − + = El momento de inercia I de una lámina en rotación puede utilizarse para medir su energía cinética. Por ejemplo, considera una lámina plana que gira en torno a una recta con INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 28 una velocidad angular de radianes por segundo [ver imagen]. La energía cinética E de la lámina en rotación es 21 2 E I Energía cinética del movimiento giratorio= Por otro lado, la energía cinética E de una masa m que se mueve en línea recta a una velocidad v es 21 2 E Iv Energía cinética del movimiento rectilíneo= Por tanto, la energía cinética de una masa que se mueve en línea recta es proporcional a su masa; pero la energía cinética de una masa que gira en torno a un eje es proporcional a su momento de inercia. INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 29 El radio de giro r de una masa m en rotación con un momento de inercia I se define como de g I r Radio iro m = Si toda la masa se localizara a una distancia r de su eje de giro o eje de rotación, tendría el mismo momento de inercia y, por consiguiente, la misma energía cinética. Por ejemplo, el radio de giro de la lámina del Ejemplo 4 respecto al eje x está dado por 32768 315 128 2.469 256 15 21 xI ky m k = = = Ejemplo 5 radio de giro de una lámina Halle el radio de giro con respecto al eje y de la lámina que corresponde a la región : 0 , 0,xyR y senx x donde la densidad en ( ),x y está dada por ( ),x y x = . INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 30 [Explicación] La región xyR se muestra en la Imagen. Integrando ( ),x y x = sobre la región xyR , se puede determinar que la masa de la región es . El momento de inercia con respecto al eje y es ( ) ( ) 3 0 0 3 0 0 3 0 3 3 0 3 [ ] 3 6 3 6 cos 6 sen x y sen x I x dydx x y dx x sen xdx x sen x x x = = = = − − − = − Por tanto, el radio de giro con respecto al eje y es INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 31 3 2 6 6 1.967 yI x m = − = = − Área de una superficie Use una integral doble para hallar el área de una superficie. Definición de Área de una Superficie En este punto ya se tiene una gran cantidad de conocimientos acercade la región sólida que se encuentra entre una superficie y una región xyR cerrada y limitada o acotada, [ver imagen]. Por ejemplo, se sabe cómo hallar los extremos de f en xyR , el área de la base xyR del sólido, el volumen del sólido y el centroide de la base xyR . INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 32 Ahora se verá cómo hallar el área de la superficie superior del sólido. Más adelante se aprenderá a calcular el centroide del sólido y el área de la superficie lateral. Para empezar, considera una superficie S dada por ( ): , xyS z f x y Superficie definida sobre una región R= definida sobre una región xyR . Suponer que xyR es cerrada y acotada y que f tiene primeras derivadas continuas. Para hallar el área de la superficie, se construye una partición interna de xyR que consiste en n rectángulos donde el área del rectángulo i-ésimo iR es i i iA x y = [ver imagen] INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 33 En cada iR sea ( ),i ix y el punto más próximo al origen. En el punto ( ) ( )( ), , , , ,i i i i i i ix y z x y f x y= de la superficie S , se construye un plano tangente iT . El área de la porción del plano tangente que se encuentra directamente sobre iR es aproximadamente igual al área de la superficie que se encuentra directamente sobre iR . Es decir, i iT S . Por tanto, el área de la superficie de S está dada por 1 1 n n i i i i T S = = Para hallar el área del paralelogramo iT , notar que sus lados están dados por los vectores ( ),i x i i iu x i f x y x k= + INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 34 y ( ),i y i i iv x j f x y y k= + Luego, el área de iT está dada por u v , donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 , 0 , , , ( , , ) i x i i i i y i i i x i i i i y i i i i i i x i i y i i i i j k u v x f x y x y f x y y f x y x y i f x y x y j x y k f x y i f x y j k A = = − − + = − − + Por lo tanto, el área de iT es ( ) ( ) 22 , , 1x i i y i i iu v f x y f x y A = + + El área de la superficie de ( ) ( ) 1 22 1 1 , , 1 n i i n x i i y i i i i S S f x y f x y A = = + + + Esto sugiere la siguiente definición de área de una superficie Definición de Área de una Superficie INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 35 Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada xyR , entonces el área de la superficie S dada por ( ),z f x y= sobre xyR está dada por: Área de una Superficie = ( ) ( ) 22 , , 1 xy xy x i i y i i R R dS f x y f x y dA = + + Para memorizar la integral doble para el área de una superficie, es útil notar su semejanza con la integral de la longitud de arco. Longitud de arco sobre el eje x b a dx Longitud de arco en el plano xy ( ) 2 1 ' b b a a ds f x dx= + Área en el plano xy xyR dA INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 36 Área de una Superficie en 3D ( ) ( ) 22 , , 1 xy xy x i i y i i R R dS f x y f x y dA = + + Igual que las integrales para la longitud de arco, las integrales para el área de una superficie son a menudo muy difíciles de calcular. Sin embargo, en el ejemplo siguiente se muestra un tipo que se evalúa con facilidad. Ejemplo 6 Área de una superficie plana Halla el área de la superficie de la porción del plano ( ), 2z f x y x y= = − − que se encuentra sobre el círculo 2 2 1x y+ en el primer cuadrante [ver imagen] INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 37 [Explicación] Como ( ) ( ), 1 , 1x yf x y f x y= − = − El área de la superficie está dada por ( ) ( ) ( ) ( ) 22 2 2 , , 1 1 1 1 3 3 4 3 4 xy xy xy xy xy x i i y i i R R R R área de R S dS f x y f x y dA dA dA = = + + = − + − + = = = INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 38 Ejemplo 7 Área de una superficie no plana Halla el área de la porción de la superficie ( ) 2, 1z f x y x y= = − − que se encuentra sobre la región triangular cuyos vértices son ( ) ( ) ( )1,0,0 , 0,1,0 0, 1,0 − [ver imagen] Como ( ) ( ), 2 , 1x yf x y x f x y= − = − el área de la superficie está dada por ( ) ( ) 22 2 , , 1 1 4 1 xy xy xy x i i y i i R R R S dS f x y f x y dA x dA = = + + = + + INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 39 Los límites sobre la región triangular : 0,1 , 1,1xyR x y x x − − [ver imagen] Luego ( ) ( ) ( ) 1 1 2 0 1 1 2 1 1 0 1 2 2 0 1 2 2 0 3 2 2 2 2 1 0 2 4 2 4 [ ] [ 1 2 4 1 2 4 ] (2 2 4 2 2 4 ) 2 4 [ 2 4 ln(2 2 4 ) ] 6 1 6 ln(2 6 ) 6 ln 2 2 3 1.618 x x x x S x dydx x y dx x x x x dx x x x dx x x x x x − − − − = + = + = − + − − + = + − + + = + + + + − = + + − − + INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 40 Ejemplo 8 Área de una porción hemisférica Halle el área de la superficie hemisférica ( ) 2 2, 25z f x y x y= = − − que se encuentra sobre el círculo: 2 2 9x y+ [ver imagen] Las primeras derivadas parciales son ( ) ( ) 2 2 2 2 , , 25 25 x y x y f x y f x y x y x y − − = = − − − − y de acuerdo con la fórmula para el área de una superficie, se tiene INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 41 ( ) ( ) 22 2 2 2 2 2 2 2 2 , , 1 1 25 25 5 25 x ydS f x y f x y dA x y dA x y x y dA x y = + + − − = + + − − − − = − − Así, el área de la superficie es 2 2 5 25 xyR dA x y− − En coordenadas polares 2 3 20 0 2 2 3 0 0 2 0 5 25 5 [ 25 ] 5 10 S rdrd r r d d = − = − − = = Resumen Usamos integrales dobles cada vez que tenemos el deseo de cortar una región bidimensional en un número infinito de áreas infinitesimalmente pequeñas, multiplicar cada una por algún valor y luego sumarlas. INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 42 La notación más general para una integral doble es xyS f dA donde: ▪ xyS es la región de integración ▪ dA significa un "fragmento pequeño de área", que típicamente significa dxdy o dydx , a menos que se utilice otro sistema de coordenadas. ▪ ( ),f x y es una función de dos variables. Los momentos xM y yM utilizados en la determinación del centro de masa de una lámina se suelen llamar primeros momentos con respecto a los ejes x y . En cada uno de los casos, el momento es el producto de una masa por una distancia ( ) ( ) ( ) ( ) tan tan , , xy xy x y S Sdis cia dis ciamasa masa al eje x al eje y M y x y dA M x x y dA = = Los segundos momentos o momentos de inercia de una lámina respecto a una recta, se denotan por x yI e I , y en INTEGRACIÓN MULTIVARIABLE CON ENFOQUE POR COMPETENCIAS FIDEL VERA OBESO 43 cada caso el momento es el producto de una masa por el cuadrado de la distancia ( ) ( ) ( ) ( )2 2 tan tan , , xy xy x y S S masa masacuadradode cuadrado de la dis cia la dis cia al eje x al eje y I y x y dA I x x y dA = = A la suma de los momentos x yI e I se le llama momento polar de inercia y se denota por 0I . El radio de giro r de una masa m en rotación con un momento de inercia I se define como de g I r Radio iro m = Si f y sus primeras derivadas parciales son continuas en la región cerrada xyR , entonces el área de la superficie S dada por ( ),z f x y= sobre xyR está dada por: Área de la superficie = ( ) ( ) 22 , , 1 xy xy x i i y i i R R dS f x y f x y dA = + + De aquí en adelante, las integrales dobles estarán inexorablemente atadas a la mayoría de los temas del cálculo multivariable.
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