Capitulo 7

Vista previa del material en texto

Capitulo 7
Sistemas fluido-partícula sólida 
Muchas operaciones de procesado de metales y de materiales implican sistemas en los que se ponen en contacto fluido y partículas o donde el objetivo es separar mezclas de fluido y partículas. Algunos ejemplos típicos de operaciones de contacto fluido-partícula incluyen: alto horno de hierro (cama de sólidos que se mueve lentamente, corriente de gases en movimiento); tostación en cama fluidizada de menas de sulfuros (tanto el sólido como los gases en movimiento); filtración (cama fija de sólidos, fluido en movimiento), y operación de un espesador (sólidos asentándose, fluido básicamente estacionario). 
7.1 Sistemas fluido-partícula aislada 
7.1.1 Movimiento estacionario de partículas en fluidos
Coeficiente de arrastre. 
Aunque bajo ciertas circunstancias es posible calcular el perfil de velocidad alrededor de una partícula sólida de forma regular de la solución de las ecuaciones de Navier-Stokes, ϯ en casos generales quizá es más conveniente evaluar la fuerza que actúa sobre una partícula en movimiento con ayuda de un coeficiente de arrastre empírico, o factor de fricción. 
Cuando una partícula y el fluido en el que se encuentra sumergida se hallan en movimiento relativo entre sí, sobre la partícula se ejerce una fuerza, generalmente llamada la fuerza de arrastre. Esta fuerza de arrastre puede expresarse como 
en donde es el coeficiente adimensional de arrastre (análogo al factor de fricción definido en el capítulo 2 para flujo a través de conductos), es el área transversal de la partícula proyectada sobre un plano perpendicular a la dirección del movimiento y es la velocidad relativa del fluido respecto a la de la partícula, y corresponde a la velocidad en el seno del fluido. 
Experimentalmente se encuentra que el coeficiente de arrastre es una función del número de Reynolds de la partícula, que se define como 
y también es función de la forma de la partícula. 
La figura 7.1.11 muestra una gráfica de una relación determinada experimentalmente entre el La inspección de la figura 7.1.1 muestra que esta gráfica puede dividirse en cuatro regiones diferentes como sigue: 
Figura 7.1.1 Gráfica del coeficiente de arrastre comparado con el número de Reynolds de la partícula para esferas, discos y cilindros; según Lapple y Shepherd1 
i) . Flujo viscoso o zona de Stokes. En esta región el coeficiente de arrastre es linealmente proporcional al inverso del número de la partícula de Reynolds y se puede escribir como 
Sustituyendo de la ecuación (7.1.3) en la ecuación (7.1.1) y al observar que, para una partícula esférica, se tiene 
Esta ecuación se llama la ley de Stokes, en honor a Stokes, quien la derivó analíticamente resolviendo las ecuaciones de Navier-Stokes en 1851. 
ii) . Zona de transición En esta región los datos experimentales pueden representarse mediante la siguiente relación aproximada: 
iii) zona turbulenta o de Newton. En esta región el coeficiente de arrastre es aproximadamente constante e independiente del número de Reynolds. 
iv) Finalmente, en esta región el coeficiente de arrastre cae hasta un valor bastante bajo de 0.09 del cual se eleva lentamente a valores mayores del número de Reynolds. 
La imagen física que corresponde a la dependencia del coeficiente de arrastre sobre el número de Reynolds de la partícula, ilustrada en la figura 7.1.1, se muestra en la figura 7.1.2. Se ve que en la región de la ley de Stokes a) el patrón de líneas de corriente es casi simétrico; el patrón de líneas de corriente se distorsiona progresivamente en la región de transición b) y c). En la región de la ley de Newton d) ocurre la separación con formación de remolinos atrás de la esfera. Finalmente, en la región e) y f) el punto de separación se mueve hacia adelante con la reducción correspondiente de la fuerza de arrastre ejercida sobre la partícula. 
Figura 7.1.2 Líneas de corriente para un fluido que fluye junto a una esfera; a), b) patrón simétrico de líneas de corriente a bajos números de Reynolds; c) distorsión del patrón para número de Reynolds moderado, d) separación en la región de la ley de Newton, e), f) la separación de la capa fronteriza se mueve hacia adelante para números de Reynolds muy grandes 
VELOCIDAD DE CAIDA TERMINAL 
Un uso importante de las expresiones desarrolladas para representar la fuerza de arrastre que actúa sobre las partículas se encuentra en el cálculo de velocidad de caída terminal (o ascenso). 
Si una partícula cae (polvo en aire) o se eleva (inclusiones en acero fundido) dentro de un fluido, se acelerará hasta que la fuerza de gravedad (o algún otro campo de fuerza de cuerpo) que produzca este movimiento, se balancee exactamente con las fuerzas que se resisten al movimiento. Para un fluido estacionario, de este punto en adelante, la partícula se moverá a velocidad constante, denominada velocidad de caída terminal (o de elevación). 
El valor de esta velocidad terminal se obtiene fácilmente igualando la fuerza de cuerpo (generalmente la fuerza de gravedad) la cual actúa sobre la partícula, con la fuerza de arrastre. Así, para la región de flujo reptante (ley de Stokes) se tiene: 
Esto es,
en donde es la densidad de la partícula sólida. 
La expresión equivalente para la región de la ley de Newton es 
Se pueden derivar expresiones similares para las otras regiones. Debe enfatizarse al lector que las ecuaciones que se han desarrollado aquí están limitadas en validez; 
a partículas sólidas esféricas 
a movimiento en estado estacionario 
a movimiento de la partícula en un fluido estacionario (inmóvil) o en un fluido en donde no hay turbulencia y el campo de velocidad es uniforme. 
a partículas individuales que se mueven muy lejos de alguna superficie sólida. 
Las restricciones listadas en a) - d) pueden parecer indeseablemente restrictivas como para que las ecuaciones simples (7.1.8) ó (7.1.9) tengan algún valor práctico. 
En realidad, estas relaciones simples se utilizan ampliamente en el cálculo del comportamiento de un amplio rango de sistemas. En algunos casos estas ecuaciones son aplicables dentro del grado deseado de exactitud; en otros casos su uso puede ser muy equivocado. 
Primero se examinará la aplicación de la ecuación (7.1.8) en un ejemplo simple y se procede luego a tratar las implicaciones de las restricciones listadas como a) - d). 
Ejemplo 7.1.1 Calcule la velocidad terminal de elevación de una partícula de inclusión sólida de 20 µm de diámetro dentro de un fundido inmóvil de acero. 
DATOS: densidad de la partícula de inclusión, ; densidad del acero fundido, ; viscosidad del acero fundido, . Puede considerarse que la partícula de inclusión es esférica. 
SOLUCION; Primero se tratará utilizando la ecuación (7.1.8), o sea 
Se corrobora que la ecuación (7.1.8) es aplicable evaluando el número de Reynolds de la partícula 
El sistema se encuentra en la región de flujo viscoso y así la ecuación (7.1.8) se puede aplicar. 
Ahora se trata de las consecuencias de las restricciones impuestas a la aplicabilidad de las expresiones simples que se desarrollan para la velocidad de caída terminal. 
Se sugiere31 que las expresiones previamente desarrolladas para los coeficientes de arrastre se pueden utilizar para partículas de forma distinta a la esférica si se emplea un factor de corrección. Este factor de corrección no es muy diferente de la unidad si los ejes principales de la partícula son aproximadamente de la misma magnitud. Las ecuaciones desarrolladas aquí son válidas sólo para partículas sólidas. Las burbujas gaseosas pequeñas y gotas líquidas tienden a comportarse como sólidos puesto que los efectos de tensión superficial tienden a hacer su superficie exterior rígida. Para burbujas y gotas mayores, la circulación interior y posiblemente la deformación harán que las predicciones de las velocidades terminales de elevación dadas en esta sección no sean apropiadas. 
a) Partículas sólidas esféricas. 
b) Movimiento no estacionario de las partículas 
Cuando una partícula sólida es aceleradao desacelerada durante su movimiento dentro de un fluido, el enunciado de la segunda ley de Newton (masa por aceleración igual a la suma de las fuerzas que actúan sobre la partícula), toma la forma síguíente4; 
Debe comentarse el significado físico de los términos que aparecen en la ecuación (7.1.10). El término en el lado izquierdo es el producto masa por aceleración. El primer término del lado derecho es la fuerza debida a la gravedad y el segundo término es la fuerza de arrastre que siempre se opone a la dirección del movimiento; de ahí el valor absoluto indicado en una de las velocidades. El tercer término corresponde a la "masa añadida", y da margen al hecho de que no sólo la partícula ha de ser acelerada sino también una porción del fluido que se adhiere a la· partícula. El valor del coeficiente de la masa añadida se toma como 5-7; alternativamente, se supone que depende de la velocidad y aceleración de la partícula. 
El último término en el lado derecho se designa como el "término de historia" y al usarlo se intenta dar margen a la dependencia del arrastre instantáneo con el estado de desarrollo del movimiento del fluido alrededor de la esfera. En la literatura clásica a se le asignó un valor de 6.0 mientras que, en trabajos más recientes, se permitió que variara con la velocidad y la acelaración. Observe que si se despreciara todo excepto los términos segundo y tercero de la ecuación (7.1.10) el problema se reduciría a la evaluación de la velocidad terminal de caída en estado estacionario. 
Existe sin embargo un grupo importante de problemas en donde la trayectoria de una partícula sólida en un fluido se ve dominada por los efectos de aceleración que se describen arriba. 
Estos problemas son de gran importancia práctica en la adición de desoxidantes a baños de acero fundido. La mayoría de los desoxidantes tales como el aluminio o alguna ferroaleación, poseen una densidad mucho menor que la del acero fundido; así, cuando las partículas de desoxidante se arrojan hacia las ollas u otros recipientes conteniendo metal fundido, primero son desaceleradas y luego aceleradas durante su elevación hacia la superficie del metal. Mientras esta trayectoria de las partículas de desoxidante se ve complicada en gran cantidad por otros factores, tales como la disolución parcial, la generación de calor y el movimiento volumínico del fundido, la desaceleración seguida de un cambio en dirección de la velocidad y la subsecuente aceleración de una partícula más ligera arrojada dentro de un fluido pesado permanece como un componente fundamental del problema. Estos problemas, que son de interés práctico considerable en el contacto efectivo de desoxidantes con fundidos de acero fue estudiado por Guthrie y colaboradores9 
c) Efecto del movimiento en el seno del fluido 
Este tipo de problemas han sido estudiados por Szekely y Stanek10 y por Szekely y Asai11 en relación con el movimiento de partículas de inclusión en fundidos que solidifican. Si la partícula se mueve en un campo de flujo turbulento (como es con frecuencia el caso para el movimiento de inclusiones en fundidos agitados), la situación es mucho más complicada. 
En un sentido macroscópico la fuerza de arrastre real que actúa sobre la partícula dependerá del nivel de turbulencia y también del número de Reynolds de la partícula. 
En sentido microscópico, la interacción entre la partícula y el campo de flujo turbulento dependerá de la magnitud relativa de la partícula y los remolinos dentro del sistema. Si la partícula es grande en comparación con la escala de la turbulencia, su movimiento no se afecta considerablemente por las fluctuaciones turbulentas; en el otro extremo, cuando la partícula es pequeña en comparación con el tamaño de los remolinos, ésta actuará como un trazador, siguiendo el movimiento detallado del fluido13. La situación es bastante más complicada en el caso intermedio
d) Efecto de superficies sólidas 
La presencia de superficies sólidas en la vecindad de las partículas que se mueven influye marcadamente en la fuerza de arrastre. El movimiento de una partícula en la vecindad de superficies sólidas puede ser afectado fundamentalmente en dos maneras. Una de éstas se debe al hecho de que los gradientes de velocidad causan un desequilibrio en las fuerzas que actúan sobre la partícula, el resultado será la rotación de esta. El otro efecto es que, al acercarse a una superficie sólida, como se muestra en la figura 7.1.4, se tiene que desplazar fluido. La resistencia viscosa al flujo, indicada en el esquema, causará un incremento aparente en la fuerza de arrastre. 
Figura 7.1.4 Desplazamiento del fluido a medida que una partícula sólida se aproxima a la superficie 
Happel y Brenner14 sugirieron la siguiente relación para representar este incremento en la fuerza de arrastre: 
en donde y son la fuerza de arrastre y la fuerza de arrastre a una gran distancia dé la superficie; es una constante que varía entre de 0.5 a 1.0, dependiendo de la geometría; es la distancia entre el centro de la partícula y la pared. Esta fuerza de arrastre se incrementa a medida que la partícula se aproxima a la pared (o cuando una superficie móvil se aproxima a la partícula) tiene interés práctico en los problemas que se relacionan con el atrapamiento de partículas de inclusión por frentes de solidificación que avanzan15, 16 
A pesar de los factores complicados aquí mencionados, las expresiones simples para la fuerza de arrastre y para la velocidad de caída terminal antes derivadas para condiciones idealizadas, son válidas, son útiles para estimar el comportamiento de partículas sólidas en situaciones más complicadas. 
OPERACION DE UN CICLON 
La figura 7.1.5 muestra un esquema de un separador de ciclón. Se ve que el gas se introduce en un recipiente cilíndrico, tangencialmente (con una velocidad del orden de 30-50 m/s), el gas limpio es extraído a través de una salida central en la parte superior. Los sólidos son empujados hacia afuera (debido a la fuerza centrífuga) contra de las paredes del recipiente y luego se juntan en la base central de la unidad. Las mediciones experimentales hechas en ciclones demuestran que el gas se mueve hacia abajo en un patrón de flujo espiral y luego se eleva para salir a través de la descarga del centro. 
Figura 7.1.5 Separador de ciclón
Se encontró que el componente tangencial de velocidad predomina a lo largo de todo el sistema, excepto por un núcleo central, que posee un diámetro de alrededor 0.4 veces el diámetro de la tubería de salida. 
Una partícula dentro del ciclón está sujeta a dos fuerzas opuestas en dirección radial; la fuerza centrífuga tiende a arrojar la partícula hacia la pared, mientras que la fuerza de arrastre que actúa sobre la partícula tiende a arrastrar la partícula hacia la salida. Estas dos fuerzas dependen tanto del radio de rotación como del tamaño partículas, así partículas de diferente tamaño tenderán a rotar en radios diferentes. Debido a que la fuerza hacia afuera sobre las partículas crece al aumentar la velocidad tangencial ya que la fuerza de arrastre (hacia adentro) aumenta con los componentes radiales, el separador de ciclón debe diseñarse de tal manera que el componente tangencial tienda al máximo y el radial al mínimo. Esto se logra generalmente introduciendo la corriente gaseosa con una elevada velocidad tangencial y haciendo que la altura del separador sea grande
Para una partícula esférica de diámetro , rotando dentro del ciclón a un radio , la aceleración centrífuga es en donde es el componente tangencial de velocidad; tácitamente se supuso que no hay deslizamiento entre la partícula y la corriente de gas.
El arrastre hacia adentro del fluido sobre la partícula produce una aceleración de 
donde es el componente radial de velocidad y se supuso que la partícula es lo suficientemente pequeña para encontrarse en la región de la ley de Stokes. 
Ahora se expresan las propiedades del fluido y las de las partículas en términos de velocidad de caída terminal, definida previamenteen la ecuación (7.1.8), para la región de. la ley de Stokes, o sea 
donde supusimos que , lo cual es razonable para sistemas gas-sólido. 
El radio en el cual rotará la partícula puede calcularse igualando las fuerzas actuantes hacia adentro y hacia afuera; tenemos así 
en donde se ha cancelado la masa de la partícula en ambos lados de esta ecuación y, en el lado derecho, los valores combinados adecuados de se representaron mediante el uso de la velocidad de caída terminal. 
Al reacomodar, se tiene 
Así, mientras mayor sea la velocidad terminal de. caída de la partícula (esto es, partículas grandes y pesadas) mayor será su radio de rotación y más fácil la separación. 
Si se supone que una partícula será separada, siempre que tiende a rotar afuera del núcleo central de radio la velocidad de caída terminal de la partícula más pequeña que será retenida puede encontrarse sustituyendo en la ecuación (7.1.14), o sea, 
en donde es el radio de la tubería de descarga de gas.
La velocidad radial , puede calcularse a partir de 
en donde es la velocidad de entrada en el ducto de entrada, , el área transversal del ducto de entrada y es la altura del ciclón. 
Además, la velocidad tangencial se puede estimar a partir de la siguiente relación semiempírica: 
Al combinar las ecuaciones (7.1.14) - (7.1.17) obtenemos finalmente la relación deseada entre la velocidad de caída terminal de la partícula más pequeña, que el ciclón apenas retiene y las características de operación del sistema de ciclón: 
en donde es el radio del ciclón.
Escrita en términos de la dimensión de la partícula tenemos 
Para ciclones industriales diseñados adecuadamente. este tamaño mínimo es generalmente del orden de 5-10 µm. 
Observe que, en condiciones prácticas, el tamaño mínimo que se puede separar en los ciclones, no lo proporciona una relación del tipo de función discontinua, sino que la eficiencia del ciclón es una curva suave, como la que se ilustra en la figura 7.1.6. Algunas de las partículas más pequeñas se pueden retener en el sistema debido a la aglomeración, mientras que las partículas de mayor radio mínimo teórico podrían perderse debido a los efectos de turbulencia o a que rebotaran en las paredes.
Figura 7.1.6 Curva típica de eficiencia de un ciclón
7 .2. Flujo a través de camas empacadas 
Los sistemas en los que una cama empacada de sólidos se pone en contacto con una corriente móvil de gas, son bastante comunes en la práctica metalúrgica. Si bien uno puede desear establecer una distinción entre situaciones, ya sea que los sólidos estén fijos y así se procesen en un arreglo intermitente (discontinuo), o se muevan lentamente y se procesen continuamente, siendo la rapidez de movimiento de los sólidos siempre mucho menor que la del gas y así el flujo de gas generalmente no se altera por el movimiento de los sólidos. Se tiene, consecuentemente, que el flujo real de gas a través de tales sistemas no depende mucho de si los sólidos están o no en movimiento, de manera que estos dos casos pueden tratarse juntos. 
7.2.1 Flujo fluido a través de camas empacadas uniformes 
Quizá la manera más simple de visualizar una cama empacada es considerar un tubo vertical relleno con partículas de tamaño uniforme, como se muestra en la figura 7 .2 .1.
Esta reunión de partículas representa una geometría bastante compleja, y si bien se han realizado varios estudios interesantes del campo de flujo en reuniones de cama empacada,20-22 para la mayoría de los problemas prácticos, la cama empacada se trata como un continuo y la relación entre presión y rapidez de flujo se determina con ayuda de correlaciones empíricas. Una cama de partículas uniformemente empacada se caracteriza generalmente por los parámetros siguientes: la fracción vacía, el tamaño de partícula y el factor de forma de partícula.
Figura 7.2.1 Esquema de una cama empacada
La fracción vacía se define como:
El tamaño de una partícula no esférica generalmente se expresa en términos del diámetro de volumen equivalente , definido como el diámetro de una esfera, que posee el mismo volumen que la partícula, junto con esfericidad de la partícula , definido como 
Claramente, para esferas . Los valores típicos de esfericidad de materiales que se presentan en la naturaleza varían entre 0.5 y 0.923. La fracción vacía de camas empacadas que contienen partículas de tamaño uniforme tiende a variar entre aproximadamente 0.3 a 0.6. 
 
De las numerosas correlaciones propuestas para relacionar la caída de presión con la rapidez de flujo del gas, quizá la más ampliamente aceptada sea la ecuación de Ergun24. 
donde es la caída de presión, la profundidad de la cama y la velocidad del fluido a través de la columna vacía. Antes de proseguir se verá el uso de la ecuación de Ergun resolviendo un ejemplo simple: 
Ejemplo 7.2.1 Calcule la caída de presión para una cama empacada a escala de laboratorio, a través de la cual se hace pasar aire, con las condiciones siguientes; 
Diámetro de columna, 0.2 m , 0.45 
altura de columna, 1.5 m rate vol. De flujo de gas 0.04 m3/s 
diámetro de partícula, 0.01 m µ del aire 1.85*10-5 kg/ms 
 0.85 del aire 1.21 kg/m3 
 
SOLUCION: La velocidad lineal está dada como 
 Luego, utilizando la ecuación (7.2.3) tenernos 
De acuerdo esto tenemos: 
Se ve además que, para este ejemplo, predomina el término inercial, el segundo término en la ecuación de Ergun. 
La inspección de la ecuación (7.2.3) muestra que para bajas velocidades de flujo predomina el término viscoso, mientras que, a elevadas velocidades del fluido, la caída de presión es proporcional al cuadrado de la velocidad de la velocidad del fluido y así el termino inercial es dominante.