TOFYFM-1F (1)

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1 FLUIDOS
 1.1 LOS ÁTOMOS Y LA COMPOSICIÓN DE LA MATERIA
 Los átomos son los bloques elementales que constituyen la materia, a pesar de que
ellos mismos son partículas compuestas. La palabra ÁTOMO proviene del griego
átomos que significa “indivisible”. El diámetro de un átomo es de 10−10 𝑚 = 0.1 𝑛𝑚.
Esta distancia a menudo se le denomina como un Angstrom o “Å”.
 El átomo más simple es el de hidrógeno, compuesto por un protón y un electrón.
Considere el número de átomos en 12 g del isótopo más común de carbono 12𝐶, donde 12
representa la masa atómica, esto es, el número total de protones (seis) más neutrones
(seis) en el núcleo de carbono. Este número de átomos se ha medido y resulta ser 6.022 x
1023, el cual se llama número de Avogadro,𝑁𝐴:
 𝑁𝐴 = 6.022 × 10
23
 Un mol de cualquier sustancia contiene 𝑁𝐴 = 6.022 × 10
23 átomos o moléculas,
debido a que las masas de los protones y los neutrones son casi iguales y la masa de
cualquiera de ellos es mucho mayor que la del electrón, la masa de 1 mol de una
sustancia en gramos está dada por el número de masa atómica.
 Por ejemplo agua 𝐻2𝑂 , masa atómica del hidrógeno (1), masa atómica del oxigeno (16),
por lo tanto la masa atómica del agua es 18, lo que quiere decir que 18 g de agua
contienen 6.022 × 1023 moleculas.
 1.2 ESTADOS DE LA MATERIA
 La materia existe básicamente en tres estados: gas, líquido y sólido, debido a las
estructuras electrónicas de los átomos y moléculas.
 Un gas es un sistema en el cual cada átomo o molécula colisiona con otro átomo o
molécula o con la pared de algún recipiente. El gas puede ser tratado como fluido por
que puede fluir y ejercer presión en el recipiente. Los gases son compresibles, lo que
significa que se puede cambiar el volumen del recipiente y el gas seguirá llenando el
volumen, a pesar de que la presión que ejerce sobre las paredes cambiará.
 En contraste con los gases, la mayoría de los líquidos son prácticamente incompresibles y
también se les considera fluidos.
 Un sólido no requiere un recipiente, define su propia forma, también tienden a ser
incompresibles, sin embargo los sólidos pueden comprimirse y deformarse ligeramente.
 1.3 TENSIÓN, COMPRESIÓN Y CORTE
 1.3.1 ELASTICIDAD DE LOS SÓLIDOS
 Muchos sólidos están compuestos de átomos dispuestos en una retícula cristalina
tridimensional en la cual los átomos tienen una distancia de equilibrio bien definida con
respecto a sus vecinos. Los átomos en un sólido se mantienen en su sitio por fuerzas
interatómicas que pueden modelarse como resortes. La retícula es muy rígida, lo cual
implica que los resortes imaginarios son muy rígidos.
 Todos los objetos rígidos son un poco elásticos, comprimirlo, tirar de él o torcerlo, puede
deformar un objeto rígido. Sí un objeto se deforma un poco, regresará a su forma anterior
en cuanto la fuerza deformadora cese. Sí el objeto rígido se deforma más allá del punto
llamado límite elástico, el objeto no regresará a su forma original y sí se deforma
mucho más allá del límite elástico, el objeto se romperá.
 1.3.2 ESFUERZO Y DEFORMACIÓN
 Las deformaciones de los sólidos se clasifican comúnmente en tres tipos:
estiramientos (tensión), compresión y corte (esfuerzo cortante) lo que
tienen en común estas tres deformaciones es que un esfuerzo, o fuerza deformante por
unidad de área, produce una deformación (o deformación unitaria). El
estiramiento, o tensión, se asocia con esfuerzo en tensión (o tracción). La compresión
puede producirse por esfuerzo hidrostático.
 El corte es producido por un esfuerzo cortante, también llamado esfuerzo desviatorio.
 A pesar de que el esfuerzo y la deformación toman diferentes formas para los tres tipos
de deformación, están relacionados linealmente a través de una constante llamada
módulo de elasticidad:
 esfuerzo = módulo de elasticidad x deformación
 Esta relación empírica se aplica en tanto no se exceda el límite elástico del material.
 En el caso de la tensión, se aplica una fuerza F a los extremos opuestos de un objeto de
longitud L y el objeto se estira hasta una nueva longitud, L + ΔL. El esfuerzo de
estiramiento o tensión se define como la fuerza, F, por unidad de área, A, aplicada al
extremo de un objeto. La deformación unitaria se define cómo el cambio fraccional de la
longitud del objeto, ΔL/L. La relación entre el esfuerzo y la deformación hasta llegar al
límite elástico es entonces:

𝐹
𝐴
= 𝑌
∆𝐿
𝐿
,
 Donde Y se llama módulo de Young y depende sólo del tipo de material.
 La compresión puede tratarse de manera similar al estiramiento, dentro del límite
elástico, aunque muchos materiales pueden tener diferentes puntos de ruptura para
estiramientos y compresiones.
 En el caso de la compresión volumétrica, supongamos un objeto sumergido en un
líquido, la deformación unitaria resultante es el cambio fraccional en el volumen del
objeto ΔV/V. El módulo de elasticidad en este caso es el módulo volumétrico, B y
podemos escribir la compresión volumétrica como:

𝐹
𝐴
= 𝐵
∆𝑉
𝑉
 Para el caso de esfuerzo cortante, es también una fuerza por unidad de área. Sin
embargo, para el corte, la fuerza es paralela al área perpendicular a ésta. Para el corte, el
esfuerzo está dado por la fuerza por unidad de área, F/A, ejercida en el extremo del
objeto. La deformación resultante está dada por la deflexión fraccional del objeto, Δx/L.
El esfuerzo se relaciona con deformación unitaria a través del módulo de corte (o
módulo de rígidez) G:

𝐹
𝐴
= 𝐺
∆𝑥
𝐿
.
 ACTIVIDAD 1.3a: buscar valores demódulo de Young para 10 sustancias.
 ACTIVIDAD 1.3b: buscar valores demódulo volumétrico para 10 sustancias.
 ACTIVIDAD 1.3c: buscar valores demódulo de corte para 10 sustancias
 30 minutos.
 1.4 PRESIÓN
 Se definirán fluidos como aquellas sustancias que se deforman al mínimo esfuerzo
cortante y cuando este cesa, el fluido deja de deformarse:
 La presión, p, es la fuerza por unidad de área:
 𝑝 =
𝐹
𝐴
 La presión es una cantidad escalar, la unidad de presión en el SI (Sistema Internacional)
es 𝑁𝑚−2, el cual se llama Pascal, abreviado como Pa:
 1 𝑃𝑎 ≡
1𝑁
1𝑚2
=
𝑘𝑔
𝑚𝑠2
La presión media de la atmósfera terrestre a nivel del mar es 1 atm. (ACTIVIDAD 1.4:
Encuentre todas las unidades de presión y su equivalencia entre ellas, anotelas en
un tabla 20 minutos).
 1.4.1 RELACIÓN ENTRE PRESIÓN Y PROFUNDIDAD
 Considere un tanque de agua abierto a la atmósfera terrestre e imagine un cubo de agua
dentro de este. Suponga que la superficie de la parte superior del cubo es horizontal y
está a una profundidad 𝑦1 y que la superficie inferior del cubo es horizontal y está a una
profundidad 𝑦2. Los otros lados del cubo se encuentran orientados de modo vertical. La
presión del agua que actúa sobre el cubo produce fuerzas.
 Sin embargo de acuerdo con la primera ley de Newton, no debe haber ninguna fuerza
neta actuando sobre este cubo fijo en el agua. Las fuerzas que actúan sobre los lados
inferior y superior también deben sumar cero:
 𝐹2 − 𝐹1 −𝑚𝑔 = 0,
 donde 𝐹1 es la fuerza descendente en la parte superior del cubo, 𝐹2 es la fuerza
ascendente en la parte inferior del cubo y𝑚𝑔 es el peso del cubo de agua. La presión a la
profundidad 𝑦1 es 𝑝1, y la presión a la profundidad 𝑦2 es 𝑝2. y
𝑦1
𝑦2
𝐹1 𝑚𝑔
𝐹2
Podemos escribir las fuerzas a esas profundidades en términos de las presiones,
suponiendo que el área de las superficies superior e inferior del cubo es A:
𝐹1 = 𝑝1𝐴
𝐹2 = 𝑝2𝐴
También podemos expresar la masa, m, del agua en términos de la densidad del agua, ρ,
suponiendo que es constante y el volumen, V, del cubo, 𝑚 = 𝜌𝑉. Al sustituir 𝐹1 , 𝐹2 y m
en 𝐹2 − 𝐹1 −𝑚𝑔 = 0, tenemos:
 𝑝2𝐴 − 𝑝1𝐴 − 𝜌𝑉𝑔 = 0.
 Al reacomodar esta ecuación y sustituir 𝐴(𝑦1 − 𝑦2) por V obtenemos:
 𝑝2𝐴 = 𝑝1𝐴 + 𝜌𝐴 𝑦1 − 𝑦2 𝑔.
 Al dividir entre el área da una expresión para la presión como función dela profundidad
en un líquido de densidad uniforme ρ:
 𝑝2 = 𝑝1 + 𝜌𝑔 𝑦1 − 𝑦2 .
Un problema común involucra la presión como función de la profundidad bajo la superficie
de un líquido. Podemos definir la presión en la superficie del líquido 𝑦1 = 0 como𝑝0 y
la presión a una profundidad dada ℎ 𝑦2 = −ℎ como p. Estas suposiciones conducen a
la siguiente expresión para establecer la presión a una determinada profundidad en un
líquido con densidad uniforme ρ:
𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ.
Note que este resultado requiere la suposición de que ρ es constante lo que implica que el
líquido es incompresible.
 1.4.2 PRESIÓN BAROMÉTRICA Y BARÓMETROS
 La presión p es llamada presión absoluta, lo que significa que incluye la presión del
líquido así como la presión del aire sobre éste. La diferencia entre la presión absoluta y la
presión del aire atmosférico se llama presiónmanométrica.
 𝑝 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
 Un sencillo dispositivo para medir la presión atmosférica es el barómetro de mercurio.
 (video: https://www.youtube.com/watch?v=MpSRjy2AYOU)
 Un manómetro de tubo abierto mide la presión manométrica de un gas.
 Tarea 1.4: Investigar cómo funciona el manómetro
 1.4.3 RELACIÓN DE ALTITUD BAROMÉTRICA DE LOS GASES
 Sí el fluido es un gas no podemos suponer que el fluido tiene densidad constante. Por lo
tanto la ecuación de la presión para un gas tiene un desarrollo diferente. Tomemos una
delgada capa de fluido en una columna de fluido. La diferencia de presión entre las
superficies de la parte superior e inferior es el negativo del peso de la delgada capa de
fluido dividida entre su área:
 ∆𝑝 = −
𝐹
𝐴
= −
𝑚𝑔
𝐴
= −
𝜌𝑉𝑔
𝐴
= −
𝜌 ∆ℎ𝐴 𝑔
𝐴
= −𝜌𝑔∆ℎ.
El signo negativo refleja el hecho de que la presión decrece con el incremento de la altura h,
dado que el peso de una columna de fluido sobre la capa se reducirá. Hasta ahora, no hay
nada diferente de la derivación del fluido incompresible. Sin embargo, para fluidos
compresibles, la densidad es proporcional a la presión:
𝜌
𝜌0
=
𝑝
𝑝0
.
Estrictamente hablando, la relación es cierta sólo para un gas ideal a temperatura
constante, combinando las ecuaciones ∆𝑝 = −𝜌𝑔∆ℎ y
𝜌
𝜌0
=
𝑝
𝑝0
se obtiene:
𝜌 =
𝑝𝜌0
𝑝0
se sustituye en ∆𝑝 = −𝜌𝑔∆ℎ y obtenemos: ∆𝑝 = −
𝑝𝜌0
𝑝0
𝑔∆ℎ
∆𝑝
∆ℎ
= −
𝑔𝜌0
𝑝0
𝑝.
 Tomando el límite cuando ∆ℎ → 0, tenemos
𝑑𝑝
𝑑ℎ
= −
𝑔𝜌0
𝑝0
𝑝
𝑑𝑝
𝑝
= −
𝑔𝜌0
𝑝0
𝑑ℎ
න
𝑝0
𝑝′𝑑𝑝
𝑝
= −
𝑔𝜌0
𝑝0
න
0
ℎ′
𝑑ℎ
ቚ𝑙𝑛𝑝
𝑝0
𝑝′
= −
𝑔𝜌0
𝑝0
ቚℎ
0
ℎ′
𝑙𝑛 𝑝′ − 𝑝0 = −
𝑔𝜌0
𝑝0
ℎ′ − 0 = −
𝑔𝜌0
𝑝0
ℎ′
𝑒𝑙𝑛 𝑝
′−𝑝0 = 𝑒
−
𝑔𝜌0
𝑝0
ℎ′
𝑝 − 𝑝0 = 𝑒
−
𝑔𝜌0
𝑝0
ℎ
𝑝 = 𝑝0 + 𝑒
−
𝑔𝜌0
𝑝0
ℎ
 Éste es un ejemplo de una ecuación diferencial cuya solución es:
 𝑝 ℎ = 𝑝0𝑒
−
ℎ𝑔𝜌0
𝑝0 .
 Esta ecuación es conocida como fórmula de la presión barométrica y relaciona la
presión con la altura en los gases, que es válida a temperatura constante. Utilizando las
ecuaciones
𝜌
𝜌0
=
𝑝
𝑝0
y 𝑝 ℎ = 𝑝0𝑒
−
ℎ𝑔𝜌0
𝑝0 podemos obtener una ecuación para el cambio
de densidad con respecto a la altura:
 𝜌 ℎ = 𝜌0𝑒
−
ℎ𝑔𝜌0
𝑝0
 1.4.4 PRINCIPIO DE PASCAL
 (VER VIDEO: https://www.youtube.com/watch?v=NiwFPeEl6po)
 Sí la presión se ejerce sobre parte de un fluido incompresible, la presión se transmitirá a
todas las partes del fluido sin pérdida. Éste es el principio de Pascal, el cual puede
enunciarse de la siguiente manera:
 Cuando ocurre un cambio en la presión en cualquier punto de un fluido confinado, se 
presenta un cambio igual en la presión en todos los puntos en el fluido
 El principio de Pascal es la base de muchos dispositivos hidráulicos modernos, como los
frenos de los automóviles, grandes maquinas que mueven la tierra y ascensores de carros.
 El principio de Pascal puede demostrarse tomando un cilindro parcialmente lleno de
agua, colocando un pistón encima de la columna de agua y poniendo un peso encima del
pistón. La presión del aire y el peso ejercen una presión, 𝑝0 encima de la columna de
agua. La presión, p, a la profundidad h está dada por: 𝑝 = 𝑝𝑡 + 𝜌𝑔ℎ.
AGUA
PISTÓN
PESO
h
p
𝑝𝑡
 Debido a que el agua puede considerarse incompresible, sí se agrega un segundo peso
encima del pistón, el cambio en la presión, ∆𝑝, a la profundidad h se debe solamente al
cambio de presión, ∆𝑝𝑡 , encima del agua. La densidad del agua no cambia y la
profundidad tampoco, así es que podemos escribir
 ∆𝑝 = ∆𝑝𝑡
AGUA
PISTÓN
PESO
h
p
𝑝𝑡
 Este resultado no depende de h, de tal manera que debe cumplirse para todas las
posiciones en el líquido.
 Ahora considere dos pistones conectados en cilindros llenos con aceite, como se
muestra en la figura. Un pistón tiene un área 𝐴𝑒𝑛𝑡 y el otro pistón un área 𝐴𝑠𝑎𝑙, con
𝐴𝑒𝑛𝑡 < 𝐴𝑠𝑎𝑙.
 Se ejerce una fuerza 𝐹𝑒𝑛𝑡 sobre el primer pistón, produciendo un cambio en la presión
del aceite. Este cambio en la presión se transmite a todos los puntos del aceite,
incluyendo los puntos adyacentes al segundo pistón. Podemos escribir
 ∆𝑝 =
𝐹𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑒𝑛𝑡
=
𝐹𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑠𝑎𝑙
, o
 𝐹𝑠𝑎𝑙 = 𝐹𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑒𝑛𝑡
,
 Debido a que 𝐴𝑠𝑎𝑙 es mayor que 𝐴𝑒𝑛𝑡, 𝐹𝑠𝑎𝑙 es mayor que 𝐹𝑒𝑛𝑡. De esta forma, la fuerza
aplicada al primer pistón se amplifica. Este fenómeno es la base de los dispositivos
hidráulicos que producen grandes fuerzas de salida con pequeñas fuerzas de entrada.
 La cantidad de trabajo efectuada sobre el primer pistón es la misma que la cantidad de
trabajo realizada por el segundo pistón. Para calcular el trabajo total necesitamos
calcular la distancia a través de la cual actúan fuerzas. Para ambos pistones, el volumen,
V, de aceite incompresible que se mueve es el mismo:
 𝑉 = ℎ𝑒𝑛𝑡𝐴𝑒𝑛𝑡 = ℎ𝑠𝑎𝑙𝐴𝑠𝑎𝑙,
 donde ℎ𝑒𝑛𝑡 es la distancia que se mueve el primer pistón y ℎ𝑠𝑎𝑙 la distancia que se
mueve el segundo.
 Podemos ver que
 ℎ𝑠𝑎𝑙 = ℎ𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑠𝑎𝑙
,
 lo cual significa que el segundo pistón se mueve una distancia menor que el primero por
que 𝐴𝑒𝑛𝑡 < 𝐴𝑠𝑎𝑙. Podemos encontrar el trabajo efectuado utilizando el hecho de que el
trabajo es fuerza por distancia y mediante
 las ecuaciones 𝐹𝑠𝑎𝑙 = 𝐹𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑒𝑛𝑡
y ℎ𝑠𝑎𝑙 = ℎ𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑠𝑎𝑙
tenemos:
 𝑊 = 𝐹𝑒𝑛𝑡ℎ𝑒𝑛𝑡 = 𝐹𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑒𝑛𝑡
𝐴𝑠𝑎𝑙
ℎ𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑠𝑎𝑙
𝐴𝑒𝑛𝑡
= 𝐹𝑠𝑎𝑙ℎ𝑠𝑎𝑙.
 De esta manera, este dispositivo hidráulico transmite una fuerza mayor a través de una
distancia menor. Sin embargo, no se ha efectuado ningún trabajo adicional.
 1.5 PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES
 Arquímedes (287-212 a. C.) de Siracusa, Sicilia, fue uno de los más grandes matemáticos
de todos los tiempos (ACTIVIDAD 1.5: Investigar la anécdota de Arquímedes que lo
llevo a desarrollar su principio 10 minutos).
 1.5.1 FUERZA DE FLOTACIÓN (FUERZA DE EMPUJE)
 La figura muestra un cubo de agua dentro de un volumen mayor de agua. El peso del
cubo de agua es soportado por la fuerza que resulta de la diferencia de presión entre
ambas superficies superior e inferior del cubo, como se vio en la ecuación
 𝐹2 − 𝐹1 −𝑚𝑔 = 0, la cual podemos reescribir como
 𝐹2 − 𝐹1 = 𝑚𝑔 = 𝐹𝐵,
 donde 𝐹𝐵 se define como la fuerza de flotación que actúa sobre el cubo de agua.
Para el caso del cubo de agua, la fuerza de flotación es igual al peso del agua. En general,
la fuerza de flotación que actúa sobre el objeto sumergido, está dada por el peso del
fluido desplazado.
𝐹𝐵 = 𝑚𝑓𝑔.
 Ahora, suponemos que el cubo de agua es reemplazado por un cubo de acero. Debido a
que el cubo de acero tiene el mismo volumen y se encuentra a la misma profundidad que
el cubo de agua, la fuerza de flotación sigue igual.
 Sin embargo, el cubo de acero pesa más que el cubo de agua, así es que una componente
neta en “y”, de la fuerza actúa sobre el cubo de acero, dada por
 𝐹𝑛𝑒𝑡𝑎,𝑦 = 𝐹𝐵 −𝑚𝑎𝑐𝑒𝑟𝑜𝑔 < 0.
 Esta fuerza neta descendente hace que el cubo de acero se hunda.
Sí el cubo de agua se reemplaza por un cubo de madera, el peso de cubo de madera es
menor que el del cubo de agua, así que la fuerza neta será ascendente. El cubo de madera
subirá hacia la superficie. Sí un objeto que es menos denso que el agua se coloca en el
agua, flotará. Un objeto de masa 𝑚𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜 se hundirá en el agua hasta que el peso del
agua desplazada iguale el peso del objeto:
 𝐹𝐵 = 𝑚𝑓𝑔 = 𝑚𝑜𝑏𝑗𝑒𝑡𝑜g.
 Un cuerpo en flotación desplaza su propio peso de fluido. Esta afirmación es cierta
independientemente de la cantidad de fluido presente. Para aclarar lo anterior, la figura
siguiente muestra un barco en un dique.
 El inciso a) muestra al barco en una posición baja y el inciso b) en una en una posición
alta. En ambas posiciones, el barco flota, con la misma fracción del barco bajo el nivel
del agua. Lo que importa para la fuerza de flotación no es la cantidad total de agua en el
dique, sino la cantidad de agua desplazada por la porción del barco sumergida bajo el
agua.
 Claramente, en la figura a) queda mucho menos agua en el dique que el volumen que ha
sido desplazado por el barco. Lo único que importa es el peso del agua que estaría donde
el barco está, no el peso del agua que queda todavía en el dique.
 Sí un objeto que tiene una densidad mayor que la del agua se coloca bajo el agua,
experimentará una fuerza de flotación ascendente que es menor a su peso. Entonces, su
peso aparente está dado por
 Peso real – Fuerza de flotación = peso aparente.
 1.6 MOVIMIENTO DE UN FLUIDO IDEAL
 Para considerarse un fluido ideal este debe ser estacionario, laminar,
incompresible, invíscido e irrotacional.
 𝛻 × Ԧ𝑣 =
𝜕
𝜕𝑥
,
𝜕
𝜕𝑦
,
𝜕
𝜕𝑧
× 𝑣𝑥, 𝑣𝑦 , 𝑣𝑧 =
Ƹ𝑖 Ƹ𝑗 ෠𝑘
𝜕
𝜕𝑥
𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑧
𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧
= 0
 1.6.1 LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
 Introduzcamos la ecuación de continuidad. Considere un fluido ideal que fluye con una
velocidad v en un recipiente o tubería con un área de sección transversal A. Entonces ΔV
es el volumen del fluido que fluye a través de la tubería durante el tiempo Δt y está dado
por:
 ∆𝑉 = 𝐴∆𝑥 = 𝐴𝑣∆𝑡
 Podemos escribir el volumen del fluido que pasa por un punto dado en la tubería por
unidad de tiempo como

∆𝑉
∆𝑡
= 𝐴𝑣.
 Ahora consideremos un fluido que fluye en una tubería que tiene un área de sección
transversal que cambia, como se ve en la figura. El fluido está inicialmente fluyendo con
una velocidad 𝑣1 a través de una parte de la tubería con una sección transversal 𝐴1.
Corriente abajo, el fluido fluye con una velocidad 𝑣2 en una parte de la tubería con una
sección transversal 𝐴2. El volumen de fluido ideal que entra en ésta sección de la tubería
por unidad de tiempo debe ser igual al volumen de fluido ideal que sale por unidad de
tiempo por que el fluido es incompresible y la tubería no tiene perdidas. Podemos
expresar el volumen que fluye en la primera parte de la tubería por unidad de tiempo
como

∆𝑉
∆𝑡
= 𝐴1𝑣1
 y el volumen que fluye en la segunda parte de la tubería por unidad de tiempo como

∆𝑉
∆𝑡
= 𝐴2𝑣2
 El volumen de fluido que pasa por cualquier punto de la tubería por unidad de tiempo
debe ser el mismo en todas las partes de la tubería, o de otra suerte, el fluido estaría de
alguna manera creándose o destruyéndose. De esta manera, tenemos
𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2
 Esta ecuación se llama ecuación de continuidad.

𝜕𝜌 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑡
+ 𝑢 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝜌 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑥
+ 𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝜌 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑦
+
w 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝜌 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑧
+ 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑢 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑥
+ 𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑣 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑦
+
𝜌 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
𝜕𝑤 𝑥,𝑦,𝑧,𝑡
𝜕𝑧
= 0
 Se puede expresar la ecuación 𝐴1𝑣1 = 𝐴2𝑣2 como una tasa de flujo volumétrico (gasto o
caudal) constante, 𝑅𝑉:
 𝑅𝑉 = 𝐴𝑣.
 Suponiendo un fluido ideal cuya densidad no cambia, se puede expresar también una
tasa de flujo másico constante, 𝑅𝑚:
 𝑅𝑚 = 𝜌𝐴𝑣
 La unidad de la tasa de flujo másico en el SI es kilogramos por segundo
(𝑘𝑔 𝑠−1).
 Consideremos ahora qué pasa con la presión de un fluido ideal que fluye a
través de una tubería a una tasa constante (ver figura). Aplicando la ecuación de
conservación de energía al fluido ideal que fluye en la parte inferior y la parte
superior de la tubería. En la parte inferior izquierda de la tubería, el flujo que
fluye de densidad constante, ρ, se caracteriza por la presión 𝑝1, la velocidad 𝑣1 y
la elevación 𝑦1. El mismo fluido fluye a través de la región de transición y hacia
la parte superior derecha de la tubería.
 Aquí el flujo se caracteriza por la presión 𝑝2, la velocidad 𝑣2 y la elevación 𝑦2. La
relación entre las presiones y las velocidades en esta situación están dadas por
 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 +
1
2
𝜌𝑣1
2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 +
1
2
𝜌𝑣2
2.
 Otra forma de enunciar la ecuación anterior es
 𝑝 + 𝜌𝑔𝑦 +
1
2
𝜌𝑣2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
 Ésta es la ecuación de Bernoulli.
 Sí no hay flujo, 𝑣 = 0, la ecuación de Bernoulli es equivalente a
 𝑝1 = 𝑝0 + 𝜌𝑔ℎ
 una consecuencia importante de la ecuación de Bernoulli se hace evidente sí y = 0 , lo
que significa que, a elevación constante,
 𝑝 +
1
2
𝜌𝑣2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒.
 Esta ecuación indica que si la velocidad se incrementa la presión disminuye.
 1.6.2 DERIVACIÓN MATEMÁTICA DE LA ECUACIÓN DE BERNOULLI
 (Tarea 1.6.2a)
 El trabajo neto hecho sobre el sistema, W, es igual al cambio en el energía cinética, ΔK,
del fluido que fluye entre las secciones transversales inicial y final de la tubería
siguiente:
 𝑊 = ∆𝐾
 El cambio en la energía cinética está dado por
 ∆𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
2 −
1
2
𝑚𝑣1
2,
 donde Δm es la cantidad de masa que entra por la parte inferior de la tubería y sale por la
parte superior de la tubería en un tiempo Δt. El flujo de masa por unidad de tiempo es la
densidad del fluido por el cambio en el volumen por unidad de tiempo:

∆𝑚
∆𝑡
= 𝜌
∆𝑉
∆𝑡
.
 De esta forma, podemos reescribir la ecuación ∆𝐾 =
1
2
𝑚𝑣2
2 −
1
2
𝑚𝑣1
2 como
∆𝐾 =
1
2
𝜌∆𝑉 𝑣2
2 − 𝑣1
2 .
 El trabajo efectuado por la gravedad sobre el fluido que fluye está dado por
 𝑊𝑔 = −∆𝑚𝑔 𝑦2
2 − 𝑦1
2 ,
 donde el signo negativo surge por que la gravedad está efectuando un trabajo negativo
sobre el fluido cuando 𝑦2 > 𝑦1. También se puede reescribir la ecuación
 𝑊𝑔 = −∆𝑚𝑔 𝑦2
2 − 𝑦1
2 en términos del flujo volumétrico ΔV y la densidad del fluido:
 𝑊𝑔 = −𝜌∆𝑉𝑔 𝑦2
2 − 𝑦1
2 .
 El trabajo efectuado por una fuerza, F, que actúa sobre una distancia, Δx, está dado por
𝑊 = 𝐹∆𝑥, que en este caso puede expresarse como
 𝑊 = 𝐹∆𝑥 = 𝑝𝐴 ∆𝑥 − 𝑝∆𝑉,
 debido a que la fuerza surge de la presión en el fluido. Entonces, podemos expresar el
trabajo efectuado sobre el fluido por la presión que fuerza al fluido a fluir hacia adentro
de la tubería como 𝑝1∆𝑉 y el trabajo efectuado sobre el fluido sale como −𝑝2∆𝑉, que da
el trabajo efectuado como resultado de la presión,
 𝑊𝑝 = 𝑝1 − 𝑝2 ∆𝑉.
 𝑝1∆𝑉 es positiva pues surge del fluido a la izquierda del flujo que ejerce una fuerza
sobre el fluido que entra a la tubería. 𝑝2∆𝑉 es negativa pues surge del fluido a la derecha
del flujo que ejerce una fuerza sobre el fluido que sale de la tubería. Con la ecuación
𝑊 = ∆𝐾 y 𝑊 = 𝑊𝑝 +𝑊𝑔 se obtiene
 𝑝1 − 𝑝2 ∆𝑉 − 𝜌∆𝑉𝑔 𝑦2 − 𝑦1 =
1
2
𝜌∆𝑉(𝑣2
2 − 𝑣1
2),
 La cual puede simplificarse a
 𝑝1 + 𝜌𝑔𝑦1 +
1
2
𝜌𝑣1
2 = 𝑝2 + 𝜌𝑔𝑦2 +
1
2
𝜌𝑣2
2
.
 Ésta es la ecuación de Bernoulli.
 Tarea 1.6.2b Investigar aplicaciones de la ecuación de Bernoulli
 1.7 VISCOSIDAD
 Los fluidos en la realidad no se comportan como fluidos ideales, ya que en cierto grado
tiene cierta propiedad “pegajosa” que se conoce como viscosidad. Para el agua, la
viscosidad es muy baja: para el aceite de motor es mayor y para la glicerina y miel es
mucho mayor.
 Para medir la viscosidad, el procedimiento normal es utilizar dosplacas paralelas de área
A y llenar el espacio de ancho h entre estas con fluido. Entonces una de las placas se
arrastra a través de la otra y se mide la fuerza F que se requiere para hacerlo. El perfil de
velocidades resultante del fluido es lineal. La viscosidad, η, se define como la razón de la
fuerza por unidad de área dividida entre la diferencia de velocidades entre la placa
superior e inferior a través de la distancia entre las placas:
 𝜂 =
ൗ𝐹 𝐴
ൗΔ𝑣 ℎ
=
𝐹ℎ
𝐴Δ𝑣
.
 La unidad de viscosidad representa presión (fuerza por unidad de área) multiplicada por
el tiempo, es decir, pascales segundos (Pa s). Esta unidad también se llama Poiseuille
(Pl).
 Es importante darse cuenta de que la velocidad de cualquier fluido depende fuertemente
de la temperatura.
 La viscosidad de un fluido es importante para determinar cuanto fluido puede fluir a
través de una tubería de radio dado r y longitud l. Gotthilf Heinrich Ludwig Hagen (en
1839) y Jean Louis Marie Poiseuille (en 1840) encontraron independientemente que 𝑅𝑣,
el volumen del fluido que puede fluir por unidad de tiempo, es
 𝑅𝑣 =
𝜋𝑟4Δ𝑝
8𝜂𝑙
.
 Aquí Δp es la diferencia de presión entre los extremos de la tubería. Como se esperaba, el
flujo es inversamente proporcional a la viscosidad e inversamente proporcional a la
longitud de la tubería.
 1.8 TURBULENCIA
 La turbulencia, que es lo que pasa realmente en la naturaleza, el fluido forma vórtices
que se separan y se propagan (calle de Von Karman). Cuando la velocidad del fluido
aumenta, el flujo laminar se vuelve de transición y después turbulento. El criterio para
determinar la turbulencia en un flujo esta dado por el número de Reynolds, Re, el
cuál se define como
 2000 < 𝑅𝑒 =
𝜌ത𝑣𝐿
𝜂
< 4000.
 Los flujos turbulentos se resuelven por medio de modelación numérica, ya que
soluciones analíticas son imposibles de realizar.
 (i) Irregulares: todos los flujos turbulentos son irregulares, aleatorios. Presentan una
distribución aleatoria tridimensional de vorticidad.
 (ii) Disipativos: se necesita una fuente continua de energía para su existencia. Los
esfuerzos cortantes, al realizar trabajo de deformación en el fluido, usan la energía
cinética de la turbulencia para aumentar la energía interna.
 (iii) Difusivos: debido a la rápida mezcla macroscópica de partículas de fluido, los flujos
turbulentos presentan una alta transferencia de propiedades: momentum, calor,
contaminantes, etc.
 (iv) Número de Reynolds grande: los flujos turbulentos siempre ocurren a números de
Reynolds elevados. A menudo, la turbulencia inicia como una inestabilidad en flujos
laminares, las cuales están relacionadas con la interacción de los términos viscosos con
los términos inerciales alineales. Los flujos turbulentos también se caracterizan por altos
niveles de vorticidad. Para describir las estructuras visibles en flujos turbulentos se usa la
ambigua palabra “giros” (eddies).