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18 ÍNDICE GENERAL 3. E l principio de subcontrariedad 1 2 8 4. Contrariedad 1 3 0 5. Subalternación 1 3 1 6. Contradicción 1 3 2 7. E l operador "E ' 1 3 4 8. Calificación normativa de las conductas complejas 136 9. Principio de distribución de la permisión 1 3 8 10. Teorema de distribución de la obligación 1 3 9 11. Teorema de la obligación alternativa 1 4 0 12. Teorema de la permisión conjunta 1 4 2 13. Teorema de la permisión mínima 1 4 3 IX CONDICIONES EXTRASISTEMÁTICAS DE LA LÓGICA DEÓNTICA 1. Concepto 1 4 5 2. L a s leyes de Hume 1 4 8 3. E l principio de prohibición 1 5 3 BIBLIOGRAFÍA 1 5 9 INDICE ALFABÉTICO 1 6 1 INTRODUCCIÓN 1. ¿Lógica? Sí, lógica Quejamos porque la cuenta del restaurante es alta no nos dará ningún resultado: no lograremos convencer al mozo y pasaremos por mezquinos. Pero si encontramos algún error en la suma provoca- remos una consulta y obtendremos, junto con la en- mienda, las correspondientes excusas: tal es el poder de la aritmética, que ni los comerciantes se atreven contra ella. Y la aritmética no es una invención diabólica, ni el arma secreta de la administración impositiva: es, simplemente, un sistema teórico que reconstruye, en abstracto, las relaciones que todos aceptamos entre las cantidades concretas. Dos más dos es igual a cuatro en cualquier tiempo y lu- gar, se trate de dólares, camellos o vueltas en cale- sita; y el conjunto de las relaciones de este tipo, reunidas en una teoría matemática universalmente 2 0 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N y N O R M A admitida, nos permite verificar formalmente l a exactitud de cualquier cálculo. Lo mismo ocurre con la lógica. S i alguien nos endilga un largo discurso sobre un tema que igno- rarnos, nos será difícil formarnos una idea sobre la verdad o la falsedad de cada una de sus afirmacio- nes; pero si entre ellas hay dos que resulten contra- dictorias entre sí, no necesitaremos averiguar más para saber que en esa cháchara hay algo que no funciona bien. A l razonar de este modo habremos utilizado un sistema teórico —la lógica— que reco- pila, generaliza, abstrae y reconstruye en fórmulas las relaciones aceptables entre las proposiciones, aun con total prescindencia de su contenido: es decir, de modo completamente formal. En 6tras palabras, la lógica es un sistema que —entre otras cosas— permite verificar la corrección de los razonamientos. ,Qué es esto de la come-. ción de los razonamientos? L o entenderemos mejor a través de algunos ejemplos, Ejemplo 1: Toda música se compone de sonidos. El tango es música, Por lo tanto, el tango se com- pone de sonidos. Ejemplo 2: Como el cielo es azul y las nubes son blancas, me siento alegre y optimista. Ejemplo. 3: Como todas las cucarachas tienen alas y yo soy una cucaracha, yo tengo alas. A primera vista los dos primeros ejemplos pa- recen muy "razonables", en tanto el tercero parece INTRODUCCIÓN 21 ridículo. Pero si nos quedamos con esta impresión no iremos muy lejos en nuestra capacidad de racio- cinio y seremos fácilmente engañados por una retó- rica falaz. Examinemos los ejemplos uno por uno, con más cuidado. El ejemplo 1 propone dos premisas y una con- clusión. Y cualquiera que lo lea advertirá que la conclusión es una consecuencia necesaria de las pre- misas. E n efecto, podemos no saber gran cosa de música, y podemos ignorar por completo la existen- cia del tango; pero si nos informan que la música se compone de sonidos y que el tango es una forma de música, en esos datos se encuentra contenido, implícitamente, el resultado que aquel razonamien to hace explícito: que el tango se compone de so- nidos. El ejemplo 2 también contiene dos premisas y una conclusión, pero ésta no se desprende necesa- riamente de aquéllas. Puede ocurrir, por cierto, que una persona de talante contemplativo se sienta impulsada a un irresistible optimismo por la mera comprobación del color del cielo y de las nubes; pero también sucede que a veces uno tiene un dolor de muelas, y entonces el cielo y las nubes carecen de toda eficacia como talismanes de buen humor. Y aquí aparece —entonces— un importante dato sobre la lógica: una deducción válida no es la que eventualmente lleva a un resultado verdadero, sino la que necesariamente lleva a un resultado verda- dero siempre que las premisas también lo sean. 2 2 u s c ; l e A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A Esto podrá comprenderse mejor a partir del ejemplo 3 que, contra lo que podría suponerse a primera vista, es absolutamente válido, No, por cierto, porque quienes esto escriben hayan sufrido alguna metamorfosis kafkiana y se dediquen a revo- lotear por las cocinas, sino porque la conclusión se desprende necesariamente de las premisas. E n efecto, si fuera verdad que todas las cucarachas tie- nen alas, y sí fuera exacto que yo pertenezco a tan poco apreciada especie, entonces también sería cier- to que tengo alas. Nótese que no existe otra posi- bilidad lógica: si yo no tengo alas no puedo ser una cucaracha (porque hemos supuesto que todas las cucarachas las tienen); y si no tengo .alas y a pesar de eso sigo siendo una cucaracha, entonces no pue- de ser verdad la hipótesis general sobre el vuelo cu- carachil. D e modo que el ejemplo 3 es una deduc- ción correcta, a pesar de que tanto sus premisas como su conclusión son obviamente falsas. Claro está que aquí puede surgir una reflexión escéptica: si la lógica aprueba un razonamiento se- gún el cual todas las cucarachas tienen alas y yo soy una cucaracha alada, también podría aprobar que los chanchos escriben poemas, y que la infla- ción no existe, y que la lima es una bola de queso Gruyère. Entonces ¿para qué sirve la lógica, si no permite distinguir lo verdadero de lo falso? Esto vale tanto como preguntar para qué sirve la televi- sión, si los programas son tan malos. S i el espec- táculo no nos gusta, haremos bien en apagar el re- INTRODUCCIÓN 23 ceptor, pues no obtendremos de él mayor utilidad. Pero ei día que haya un programa bueno ¿cómo ha- remos para verlo sin un aparato que funcione ade- cuadamente? Del mismo modo, exigir a la lógica que nos en- serie lo verdadero y lo falso es injusto: lo que no han logrado hacer todavía la ciencia y la filosofía no puede conseguirse del mero razonamiento, que es sólo una herramienta intelectual, y no la fuente de la verdad. S i partimos de premisas falsas, nin- guna seguridad tendremos de llegar a conclusiones verdaderas (si lo hacemos, será por casualidad). Pero, si tenemos la fortuna de hallar premisas ver- daderas para alimentar el razonamiento, éste nos proporcionará nuevas y relucientes afirmaciones, tan verdaderas como aquéllas de las que partimos. Es que la lógica, pese a su utilidad, no es omni- potente. Recordemos el ejemplo del principio: el de la cuenta del restaurante. L a aritmética no puede evitar que nos cobren por algún plato más de lo que vale (de otro modo existiría gran deman- da de textos sobre matemáticas); pero ya es algo que nos permita controlar la suma para ver si tam- bién ahí alguien pretende quedarse con nuestro di- nero. 2. Lógica y bloqueo mental, o el valor de la sonrisa "Claro, lógico", solemos decir ( no siempre con propiedad) cuando oímos una afirmación que nos 24 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A INTRODUCCIÓN 2 5 parece sencilla y plausible. Pero cuando el adjeti- yo se vuelve sustantivo y nos hablan de la Lógica, Ea imaginamos con una L mayúscula, alta como un muro en el que nuestra capacidad de comprender se estrellará irremediablemente. Por supuesto, esta predicción casi siempre se confirma. Con ella ocurre lo mismo que con los rumores de la Bolsa: si hacemos correr la voz de que determinada acción va a subir, la gente lo cree, Ia demanda aumenta y el precio efectivamente sube. D e idéntico modo, nuestra concepción de la lógica como un instrumento de tortura (imagen se- mejante a la que solemos tener de las matemáticas) tiende a crear un bloqueo mental que a menudo no nos permite siquiera averiguar si hay algo de cierto detrás de aquellaidea. Lo primero que debe advertirse es que la lógica no es un pasatiempo para chiflados ociosos. Tiene aplicación práctica, y está mucho más cerca de nuestra experiencia cotidiana de lo que suele supo- nerse. Todos sabemos algo de lógica y la usamos constantemente; pero, como el burgués gentilhom- bre de Molière, que hablaba en prosa sin saberlo, estamos tan habituados a ella que no sabemos verla. Si juegan Boca Juniors y River Plate y nos informan que uno de ellos ganó, automáticamente tenemos la certeza de que el otro perdió. S i extraviamos algo junto al Obelisco, no se nos ocurre ir a buscarlo a la sombra de la Torre de los Ingleses. Y, puestos a comprar una ficha para hablar por teléfono, es- peramos que el cajero nos la dé o nos la niegue, pero nos sentimos burlados si nos contesta: "toda- vía me quedan algunas, pero se me terminaron". Todas estas actitudes son aplicaciones de leyes ló- gicas antiguas y muy conocidas, pero que tienen sonoros nombres en latín y se disfrazan con cierto empaque académico cada vez que un texto de lógi- ca nos las propina. La receta para encarar satisfactoriamente el es- tudio de la lógica incluye, pues, dos remedios, que deben administrarse en forma conjunta. E l prime- ro consiste en advertir la importancia de la lógica como exposición de un sistema explícito que nos permite ordenar, controlar y —en caso necesario— reformular la enorme cantidad de razonamientos que de todos modos desarrollamos cada día. Y el segundo, no dejarnos intimidar y tomar la lógica con calma, con buena voluntad y —si es posible— con una pizca de sentido del humor. S i consegui- mos pertrechamos de este modo estaremos en con- diciones de adquirir, sin grave desgarramiento afec- tivo, un instrumento de valor inestimable. Pero para lograr este resultado es indispensable aceptar el desafío intelectual que la lógica nos propone y lamia, por ningún motivo, murmurar para nosotros "esto no lo voy a entender nunca». 28 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A 3. D e qué se trata, o a qué vamos a jugar Formuladas las advertencias preliminares, co- rrespondería mostrar ahora las características con- cretas del estudio que nos proponemos emprender. Pero no es fácil hacer esto con la lógica, que es un sistema de relaciones abstractas; y enumerar los problemas que están o han estado incluidos bajo este título llevaría a una exposición histórica bastan- te larga: en veinticinco siglos de desarrollo, la ló- gica occidental ha recorrido un camino largo y muy variado. Para nuestros fines bastará decir que la lógica busca formular y sistematizar las relaciones admisibles entre las proposiciones, y se preocupa por establecer métodos para decidir si una proposi- ción se desprende o no de otras a través de un razo- namiento válido. Aristóteles trató de cumplir esta tarea a través del mismo lenguaje que usamos todos los días (lla- mado lenguaje natural), al que incorporó vocablos especialmente definidos y aun ciertos símbolos abs- tractos (letras como A o B, por ejemplo, para repre- sentar la estructura de una proposición con sujeto y predicado). Aristóteles emprendió así, proba- blemente, el primer estudio sistemático de la ló- gica formal; y puso en ello tanto genio que aun hoy sus obras sobre el tema se leen con admiración. E l mismo camino siguieron los que vinieron después, y se prolongó a través de la Edad Media y del Rena- IN'ORODUCCIÓN 27 cimiento. Pero en ocasiones el intento chocaba con ciertas dificultades, a pesar del gran desarrollo alcanzado por la lógica aristotélica y medieval; el lenguaje natural contiene una grande y en buena medida inevitable dosis de imprecisión (vaguedad, ambigüedad y otras intoxicaciones semánticas), de modo que, por muy riguroso que fuera el propósito de establecer relaciones unívocas, siempre existía el riesgo de interpretaciones diversas y de aparición de seudoproblemas bajo la forma de disputas verba- les. Aparte de esto el lenguaje natural está com- puesto por palabras que se supone tienen significa- dos concretos; y esta presencia constante de los con- tenidos semánticos tiende a oscurecer la diferencia entre distintos tipos de demostración: "todas las madres tienen sexo femenino'', por ejemplo, es ver- dadera por razones semánticas, ya que la feminei- dad es característica definitoria de "madre"; pero "si llueve y hace frío, llueve" puede demostrarse sin recurso alguno al significado de las palabras "llue- ve" ni "hace frío", ya que su verdad resulta directa- mente de la estructura lógica de la proposición. Esta demostración, así como otros desarrollos mo- dernos de la lógica, corresponde a una etapa en que quedó superado en gran medida el uso del lengua- je natural. Esta etapa comenzó con Leibniz (1646-1716), pero se desarrolló a lo largo del siglo lux en los trabajos de De Morgan (1806-1876), Boole (1815- 1864), Frege (1848-1925) y Peano (1858-1932), 2 8 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A entre otros, hasta. quedar firmemente establecida a principios del siglo xx, cuando Russell y Whitehead publicaron su obra Principia Mathetnatica (1910- 1913). Estos autores aplicaron a la lógica un for- midable instrumento proveniente de las matemáti- cas, campo donde ya había demostrado su utilidad. Este instrumento es el lenguaje formal, en el que símbolos convencionales, distintos de las palabras que conocemos y definidos con rigurosa precisión, según la función que cumplan, pueden combinarse entre sí a través de reglas deliberadamente cons- truidas. Este nuevo desarrollo recibió distintos nombres, que pretendían diferenciarlo de la lógica tradicio- nal: "lógica matemática", "lógica simbólica". A l - gunos lo llaman "lógica formar, a pesar del carácter relevantemente form al del análisis aristotélico. Pero, a medida que pasa el tiempo y la gente se habitúa al manejo de los símbolos (a lo que contri- buye mucho el aprendizaje de la teoría de conjuntos en las escuelas), la importancia de estas denomina- ciones disminuye y todo empieza a llamarse, pura y simplemente, lógica. Esta evolución es concep- tualmente importante, porque ayuda a señalar que Ia nueva lógica no se opone a la antigua, sino que Ia complementa, la enmarca, en parte la corrige y en buena medida la supera, sin que por ello Aris- tóteles deba bajar de su pedestal. Existen hoy muchos temas —tradicionalmente englobados en la lógica— que resultan alcanzados INTRODUCCIÓN 29 poco o nada por el uso actual del lenguaje simbó- lico: el análisis de las funciones del lenguaje, por ejemplo, o la teoría del significado y de la defini- ción, o el estudio de las falacias no formales, o los conceptos relacionados con el razonamiento induc- tivo. Pero nosotros aceptaremos directa e inmedia- tamente el desafío de que hablábamos antes y —sin menospreciar la utilidad de aquellos temas, sobre los que existen excelentes textos— nos lanzaremos al asalto de las fórmulas. Para esto estudiaremos primero las relaciones entre proposiciones (lógica proposicional), para lle- gar luego a las lógicas modales: alética y deóntica. 4. Bueno, pero ¿por qué a mí? El programa que acabamos de enunciar entu- siasmaría, seguramente, a una persona con inclina- ciones matemáticas; pero el caso es que este libro no está dirigido a ingenieros ni a estudiosos de las ciencias exactas. Y entonces el lector —profesional o estudiante de derecho, de sociología, de ciencias políticas o, en fin, de disciplinas tradicionalmente humanísticas— puede sentirse como aquel niño a quien regalaban una moneda por cada cucharada que le daban de un desagradable remedio... y cu-. yos padres rompían la alcancía, cada vez que estaba llena, para comprar otro frasco del mismo remedio. Las ciencias humanísticas se consideran tradicional- 30 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A mente como un refugio contra las matemáticas, a cubierto de la insidiosa infiltración de las fórmulas; y quien las ha elegido para sí con esa esperanza puede sentirse defraudado. Por supuesto, podría observarse que más vale advertir el fraude que ig-norarlo; pero, como quiera que esta reflexión no suena muy estimulante, convendrá hacer algunas aclaraciones sobre el punto. La lógica es una de las disciplinas humanísticas más tradicionales; pero le ha sucedido lo mismo que a la mayoría de las ciencias que, cuanto más se per- feccionan, más se acercan a las matemáticas. Gran parte del progreso científico ha consistido en adver- tir que dos o más conceptos diferentes no eran sino distintos estadios de una misma realidad continua, y en medir la diferencia entre ellos sobre cierta es- cala común. Así es como, por ejemplo, las relacio- nes entre el espacio y el tiempo y entre la mate- ria y la energía han provocado una verdadera revo- lución en la física, con ramificaciones sobre otras disciplinas (incluida la filosofía). Pues bien, las ciencias sociales adolecen desde su origen de la in- suficiencia de sus métodos para aislar los fenóme- nos, compararlos y medirlos. E n la medida en que esto se consigue poco a poco, el lenguaje formal se introduce para abstraer cierta relación o cierto as- pecto de un fenómeno complejo con independencia de su contexto contingente; y una vez hecho esto aparecen las fórmulas para establecer los vínculos hallados entre aquellas abstracciones. D e modo I N T I O D U C C I Ó N 31 que esta suerte de matematización de las ciencias sociales parece una tendencia inevitable, en la que la lógica se presenta como un simple caso particular. j'Y por qué precisamente la lógica? Ante todo porque cualquier sector de la ciencia que emplee el lenguaje y el razonamiento debe someterse a Ia prueba de la validez de su propio método; pero una ciencia que no sólo emplee el lenguaje como herra- mienta sino que además tenga por objeto de estu- dio argumentos que se suponen lógicamente enca- denados —como las ciencias políticas y jurídicas— no puede privarse de analizar la estructura de su propio objeto. Esta circunstancia es particularmente sensible en el caso de los sistemas normativos. E n efecto, en- tre los significados que pueden simbolizarse con el lenguaje hay algunos que nos afectan profundamen- te en nuestros intereses: son las normas, que nos obligan a cumplir ciertas conductas y nos prohíben otras; que limitan el universo de nuestra libertad y —en el caso del derecho— hasta nos amenazan con el embargo, el desalojo, la prisión o la muerte. Y existen personas cuya profesión es razonar sobre Ias normas, inventar y refutar argumentos sobre ellas, describirlas, esgrimirlas y manejarlas. Los abogados —de ellos se trata— no están todos de acuerdo sobre la justicia y la injusticia de cada nor- ma (como no lo están los comerciantes sobre la ren- tabilidad de determinado precio ni los científicos sobre la verdad de ciertas afirmaciones de hecho); 32 LÓGICA, PROPOSICIÓN y N O R M A pero la mayoría de ellos está dispuesta a admitir que existen entre las normas ciertas relaciones formales, y que si una conducta x está prohibida, por ejemplo, sería difícil aceptar simultáneamente que la misnza conducta x es obligatoria; y esto ocurre aun cuando no sepamos en qué consiste dicha conducta, ni si prohibirla es un acto de buen gobierno o una mues- tra de insufrible tiranía. Existe, pues, desde hace aproximadamente me- dio siglo, una lógica formal de las normas, también llamada lógica deóntica o normativa. Este esquema o sistema teórico, a lo largo de sucesivas versiones, permite ejercer un control for- mal sobre el discurso normativo, equivalente al que tenemos sobre los cálculos mediante la aritmética o sobre el discurso en general a través de la lógica proposicional. Como en los otros casos, este instru- mento conceptual no nos otorga un dominio abso- luto sobre los fenómenos a que se refiere (para ello habría que tener poder sobre las premisas como el legislador lo tiene sobre las leyes que dicta); pero al menos nos enseña a extraer conclusiones válidas a partir de las premisas que se nos imponen; y no es poca cosa encontrar así una base común de razo- namiento en una materia como la normativa, tan polémica que la gente mata y muere por ella. Si una lógica deóntica merece, pues, un lugar preeminente en la metodología de la ciencia jurí- dica, conviene también señalar que esa importancia está perdiendo rápidamente su ropaje especulativo INTRODUCCIÓN 33 para hacerse cada vez más práctica y cotidiana. E n materia tecnológica el derecho es el pariente pobre de las demás ciencias, y el jurista maneja aún sis- temas y procedimientos conceptuales que no han variado casi en milenios. Pero, como ya se ha vis- to, asistimos aquí también a un avance incontenible de las matemáticas, de lo que puede ser medido, pesado, contado, calculado y. . . computado. Las normas son información ( en el sentido que a esta palabra atribuye la informática); y las computado- ras han aprendido ya a manejarlas, clasificarlas, re- copilarlas y reproducirlas para facilitar el trabajo de abogados, jueces y legisladores. Incluso se estudia en nuestros días la posibilidad de instituir proce- sos de decisión automática, en los que la solución de un caso surja directamente de la norma, a tra- vés de un mero cálculo lógico. E l aprovechamien- to de estas realidades y perspectivas exige al jurista moderno una precisión de conceptos y una exacti- tud de razonamientos a las que el abogado tradi- cional no está habituado, cuya fuente es la lógica formal y cuyo instrumento es la abstracción conte- nida en las fórmulas. 3. 'Ár t ica. II DE LA PROPOSICIÓN A LA FÓRMULA 1. Concepto de proposición En el uso corriente del lenguaje es común que tomemos como sinónimas expresiones tales como "enunciado" y "proposición". Decimos, por ejem- plo, "este párrafo contiene siete proposiciones" o "no creo en los enunciados de la astrología" y, aun- que de una manera vaga, sabemos qué queremos decir con ello. L a propia gramática española suele usar con el mismo significado los vocablos "propo- sición", "enunciado", "oración" y "aserción". Pero para la lógica algunas de estas denominaciones ad- quieren un sentido más preciso, y se refieren a con- ceptos distintos. Al hablar nos expresamos mediante enunciados; esto es, oraciones como "este es un libro de lógica", "tengo sueño" o "lo que estoy leyendo es tremenda- mente aburrido". Estos conjuntos de palabras son 38 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 37 oraciones porque cumplen con el requisito de ser significativas, de expresar cabalmente una idea. N o ocurre lo mismo, en cambio, con expresiones como "verde el es campo", o "cigarrillo cenicero el el en está". A pesar de estar compuestas por palabras conocidas, su desorden interno (respecto de las re- glas de la construcción castellana) las priva de sig- nificado y con ello les impide constituirse en enun- ciados u oraciones. Supongamos ahora tres enunciados: "hace frío", "il fait froid", "it is cold". Salta a la vista que ellos son diferentes: están compuestos por palabras dis- tintas, y hasta corresponden a diversos idiomas. Pero también advertimos que los tres tienen algo en común: quieren decir lo mismo. Y para esto no hace falta siquiera recurrir a otros lenguajes: "el presidente de Bolivia fue derrocado por el ejército" y "el ejército derrocó al presidente de Bolivia" son también enunciados distintos que quieren decir lo mismo: es decir, tienen idéntico significado. Cuan- do varios enunciados tienen el mismo significado, decimos de ellos que expresan la misma proposición'. Una proposición es, pues, el significado de un 1 También puede ocurrir a la inversa: enunciados idénticos ex- presan proposiciones diferentes. E n efecto, según e l sujeto que Las pronuncie y las circunstancias do tiempo y lugar en que lo haga, las palabras "ahora salgo para allá" pueden significar que José Fernández se dispone a viajar de Mendoza a Córdoba el 15 de febrero de 1979 o que Margarita Farinelli proyecta trasladarse desde la esquina de Co- rrientes y Uruguay hasta Montevideo 528, piso 59, oficina 506, el 23 de octubredc 1981 entre las 18.10 y las 16.25. enunciado declarativo o descriptivo. N o es e l enunciado mismo, que está compuesto por palabras de algún idioma determinado, ordenadas según ciertas reglas gramaticales: es e l contenido del enunciado, que es común a las diversas maneras de decir lo mismo. Y exigimos que el enunciado sea descriptivo para desechar expresamente los otros usos del lenguaje: frases como "icáspital" o "páseme Ia mostaza, por favor'' no expresan proposiciones, en el sentido que aquí damos a este concepto 2. Esto ocurre porque la lógica (al menos, la parte de la lógica que estamos estudiando) se maneja a través de los llamados valores de verdad, que —en un sistema bivalente como el que analizamos— son dos: verdadero y falso (algunos prefieren decirlo de modo más abstracto y utilizan los símbolos 1 y O). Cuando un enunciado hace referencia a ciertos estados de cosas, de tal suerte que sea posible deter- minar si es verdadero o falso, decimos que es un enunciado descriptivo o declarativo, cuya verdad depende de la existencia real del estado de cosas descripto. E l enunciado "está lloviendo", por ejem- plo, es verdadero si en efecto sucede el hecho ex- presado y falso si, por el contrario, el sol brilla en un cielo sin nubes. N o importa en este momento ave- El lenguaje puede usarse en sentido descriptivo ( " l a tierra es redonda"), expresivo ( 'a t i za l " ) , prescriptivo o directivo ("váyase y no vuelva nunca más") y operativo o performativo ("buenos dias, señor jefe"). Sobre este tema pueden consultarse Corrió, Genaro B., Notas sobre derecho y lenguaje, Bs. As., 1965, p. 15 y ss.; y Copi, Irving, In- troducción a la lógica, Bs. As., 1967, p. 34 y siguientes. 38 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 3 9 riguar si es verdadero o falso ( en todo caso, siempre podemos mirar por la ventana o extender el brazo fuera de ella). L o relevante es que, si el enun- ciado puede ser verdadero o falso, entonces es des- criptivo y constituye materia prima para la gran maquinaria lógica. Ta l cosa no ocurre, en princi- pio, con el enunciado "tírese al río": éste expresa una orden que puede ser válida o no, justa o injusta, disparatada o aceptable, pero nunca verdadera ni falsa. Para este tipo de enunciados se ha creado una lógica algo diferente, que más adelante exami- naremos. 2. Variables, conectivas y signos auxiliares. Simbología y notación Como ya sabemos, la lógica (lógica simbólica o matemática) utiliza un lenguaje formal compuesto por símbolos convencionales. Estos símbolos per- miten manejar las proposiciones según las relaciones que tengan entre sí, y sin prestar atención a su con- tenido. E n esto la lógica se parece al álgebra, que hace lo mismo con el cálculo numérico. Suponga- mos, por ejemplo, la siguiente fórmula algebraica: a + b = b + a No nos interesa saber qué número puede asignarse a cada una de las letras minúsculas utilizadas, siem- pre que cada una de ellas tenga en todos los casos —dentro del mismo cálculo— un valor idéntico. Así, si suponemos que a es 4 y que b es 5, la fórmula debería interpretarse de este modo: 4 + 5 = 5 + 4 donde cada letra ha sido reemplazada por el mismo número en todas sus apariciones. Pero, como podemos asignar a "a" y a "b" cual- quier valor que queramos, la fórmula algebraica mencionada en primer término resulta especialmen- te útil para mostrar una relación general, a saber: que si sumamos dos números cualesquiera, el resul- tado será idéntico sin que importe el orden de los sumandos. En la lógica proposicional las letras minúsculas no representan números, sino proposiciones. Se llaman por esto variables proposicionales, ya que podemos asignarles como contenido cualquier pro- posición concreta que deseemos (suponiendo que queramos asignarles alguno, lo que en general no sucede). Este es el nombre más extendido, pero algunos autores las llaman también "letras esquemá- ticas" •o "letras sentenciales". Por costumbre se usan preferentemente las letras p, q, r, s, t, w, z; y cualquiera de ellas puede representar una propo- sición. A su vez, cada variable puede representar cualquier proposición, y aun distintas proposiciones en diferentes contextos: en una demostración, por ejemplo, podernos suponer que "p" simboliza "hace 3 Orayen, Raúl, Verdad, lógica y significado, en revista "Critica". México, 1976, vol. VI I I , p. 14. 40 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A DE L A PROPOSICIÓN A L A FÓRMULA 41 un lindo día", y en otro desarrollo podernos asignar- le el contenido "mi gato tiene bigotes largos". Pero igual que en el álgebra, es indispensable tomar una elemental precaución: dentro de un mismo contex- to, el significado que se asigne a cada variable debe ser siempre idéntico. Ahora bien; en el lenguaje natural solemos vin- cular entre si dos o más enunciados para formar un enunciado más complejo, de tal modo que el valor de verdad del enunciado resultante depende de cierta combinación de los valores de verdad de sin componentes. Así, "no llueve" será verdadero si "llueve" es falso, y viceversa. "Llueve y hace frío" sólo será verdad si es verdad que llueve y también es verdad que hace frío, y será falso aunque llueva, si hace calor, y aunque hiele, si no llueve. Esta función vinculatoria es cumplida en castellano por palabras tales como "y", "o", "si", "aunque", pero", "sin embargo'', "si y sólo sr , "siempre que" y otras; pero no siempre es fácil, dentro de la clá- sica ambigüedad del lenguaje natural, establecer unívocamente el tipo de relación que se busca ex- presar. S i alguien nos dice, por ejemplo, '<esta no- che iré al cine o a comer" no sabemos con seguridad si pretende elegir una de dichas actividades o si también deja abierta la posibilidad de hacer ambas cosas. Para evitar problemas de este tipo y facilitar el cálculo, e l lenguaje formal representa aquellos vínculos mediante signos especiales, que reciben el nombre de conectivas extensional es (conectivas a secas, para los íntimos), signos lógicos, constantes lógicas u operadores. Pero no existe un acuerdo ge- neralizado acerca de cómo representar estos signos. Esto da lugar a la existencia de distintas notaciones, o sistemas gráficos de escritura de la lógica simbóli- ca. L a notación más extendida es la llamada in- glesa o de Russell, en una de cuyas versiones —que usaremos de aquí en adelante— las conectivas prin- cipales se representan mediante los símbolos si- " " " "guientes: "—", ".", v", 0 " , = y 4 Por el modo en que las conectivas afectan a las variables a que se refieren, se las divide en nzonádi- 4 Aunque sea a modo de ilustración, convendrá tener presente que la mencionada no es la única notación "inglesa" existente. Algunos autores reemplazan "---" por "—" o por ",—"; " . " por " A " ; " D " por o "--.5" por "<-->". Hay además una notación completamente distinta, cuyas ventajas consisten en que no recurre a símbolos diferentes de los alfabéticos y que no requiere uso alguno de paréntesis, aparte de ciertas facilidades de cálculo que no vale la pena enumerar aquí. Se trata de la notación polaca, introducida por Lukasiewicz, cuyas equivalencias con la nota- ción inglesa son las siguientes: "Np" equivale a "Kpq" equivale a "p .q " "Apq" equivale a " p V q " "Jpq" equivale a "p q " "Cpq" equivale a "p J q " "Epq" equivale a "p q " No usaremos la notación polaca porque al lado de sus virtudes pre- senta algunas dificultades, sobre todo para el principiante: su lectura es menos intuitiva, y cuando las fórmulas se hacen complicadas es más fácil comprender de un vistazo su estructura general con la notación de Russell, donde las conectivas diadicas se tibican precisamente entrc las variables conectadas. 4 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A DE L A P R O P O S I C I Ó N A L A F Ó R M U L A 4 3 cas y diddicas o binarias. E l signo "—" es moná- dico, porque sólo afecta a una proposición: la repre- sentada por la fórmulade la derecha. Así, la ver- dad de la fórmula "—p" dependerá del valor de verdad de "p" modificado por el operador "—". Las demás conectivas mencionadas se llaman diá- dicas porque afectan a dos proposiciones conjunta- mente: las situadas a derecha e izquierda del signo de que se trate. Por ejemplo, el valor de "p . q" depende del valor de verdad de "p" y del valor de verdad de "q", combinados en la forma indica- da por ".". Por el momento, conviene que resistamos a la tentación de buscar a cada uno de estos signos un equivalente en lenguaje natural. Tales equivalen- cias —aunque existen— no son perfectas ni unívo- cas, debido a la imprecisión del lenguaje natural. Por esto, como luego veremos, trataremos de defi- nir cada signo por su función de verdad y sólo a partir de allí buscaremos las traducciones al cas- tellano. S i hiciéramos al revés, correríamos el ries- go de introducir en el lenguaje formal, por la vía de las definiciones, los mismos inconvenientes se- mánticos que buscamos eliminar. Aparte de las variables y de las conectivas, la lógica cuenta también con símbolos auxiliares, que hacen las veces de signos de puntuación y sirven para separar, en caso necesario, unas fórmulas de otras. Se trata de los paréntesis "( )", los corche- tes "[ ]", las llaves "-{ r y las barras ,tf I r f 3. Concepto de fórmula proposicional Hasta ahora hemos hablado bastante sobre las fórmulas, de modo que resulta oportuno fijar un contenido preciso para esta palabreja. Una fór- mula proposicional es una expresión simbólica que está compuesta exclusivamente por variables pro- posicionales, conectivas o signos lógicos y símbolos auxiliares 5. Esta definición puede tomarnos algo desprevenidos, por lo que convendrá hacer algunas aclaraciones sobre ella. Una fórmula está siempre compuesta, en forma exclusiva, por los signos apuntados, que constitu- yen —por así decirlo— su elenco estable. Ningún actor ajeno a la compañía puede introducirse en la función ("llueve . hace frío"; "llueve y p"; "p . hace frío") pues el resultado no sería una fórmula (sería algo así como mezclar, en una sola frase, palabras de varios idiomas diferentes: "Ich am going au ciné- ma domani por la noche"). Que variables, conectivas y signos auxiliares for- men el elenco estable del teatro lógico no implica que todos ellos deban estar siempre en escena: bas- tará con que haya, por lo menos, una variable. Así, es una fórmula; "—p" y "p , q" también lo son, igual que otras más complicadas como: "(p q ) [ r V (q s ) ] 5 Cfr. Orayen, ob. citada. 44 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y NORMA Por último, no basta que los actores estén en escena para constituir una función teatral: además es necesario que desempeñen su papel según cier- to libreto y de acuerdo con ciertas reglas que defi- nen esa actividad. De l mismo modo, los compo- nentes de una fórmula no pueden estar mezclados al azar: han de respetar las llamadas reglas de for- mación, o normas sintácticas convencionales que ri- gen la estructura simbólica de las fórmulas. Estas reglas pueden enunciarse así: 1) Una variable proposicional es una fórmula.Ej.: «p», acr, «t.". 2) Una fórmula precedida por un operador mo- nádico es una fórmula.Ej., 3) Dos fórmulas encerradas dentro de un par de signos auxiliares y entre las cuales hay un opera- dor diádico (y sólo un operador diádico), consti- tuyen una fórmula. Ej.: , , ( _ p „ — u p q ) ( r v s)]». Las reglas de formación, que en su conjunto pueden considerarse también como una definición de "fórmula", permiten excluir de nuestro lenguaje simbólico todas las expresiones que no se ajusten a ellas. Así, " q — " , "pq", "rs", " (q y q ) " , "(r . ) s" no son fórmulas bien formadas; y puede constituir un interesante ejercicio averiguar cuál es el defecto que aqueja a cada una de tales expresiones. DE L A PROPOSICIÓN A L A FÓRMULA 45 Conviene aquí hacer una aclaración sobre los signos auxiliares. Su función consiste en eliminar ambigüedades: sin ellos, la expresión "—p . q", por ejemplo, podría interpretarse de dos maneras: a) (—p . q), donde el operador monádico afecta sólo a la fórmula "p", o bien b) —(p . q), donde el operador monádico afec- ta a la fórmula "(p . q)". No toda fórmula, sin embargo, plantea semejan- tes ambigüedades; y de allí resulta que puede esta- blecerse una convención práctica: cuando una ex- presión simbólica no es susceptible de interpreta- ciones esquemáticas diversas, es posible eliminar los signos auxiliares innecesarios: por ejemplo, en lu- gar de "(p • q)" puede escribirse "p . cf; pero si la misma fórmula ha de relacionarse a su vez con otra —por ejemplo, en "(p . q) y r"— el uso de paréntesis no puede omitirse. 4. Fórmulas atómicas y fórmulas moleculares Así como el lenguaje natural vincula dos o más enunciados para formar un enunciado complejo, el lenguaje simbólico combina las variables —por me- dio de las conectivas— para constituir fórmulas com- puestas. Por asociación de ideas con el modo en que los átomos de elementos simples constituyen las moléculas de los compuestos químicos, la lógica ha adoptado aquí una nomenclatura con reminiscencias 4 6 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A de la física nuclear. Una fórmula atómica es aque- lla constituida exclusivamente por una variable pro- posicional, no modificada por operador alguno: "p", por ejemplo. Las fórmulas en las que aparece un operador monádico ("—q") o que resultan de una combinación de fórmulas unidas por conectivas diá- dicas ("r y s'', "z w " ) se llaman nwleculares. Toda fórmula molecular es una función de ver- dad de las fórmulas atómicas que la componen: es decir, su verdad o su falsedad dependen de Ia verdad o de la falsedad de las proposiciones representadas por las variables simples. Pero, como hemos visto antes, el modo en que deben combinarse la verdad o la falsedad de los componentes para determinar el valor de verdad de la fórmula molecular depende de las conectivas que aparezcan en la misma fórmu- la. Por esto los operadores resultan ser la clave para desentrañar la estructura interna de una fór- mula. A su estudio, pues, dedicaremos el próximo capítulo. III LAS CONECTIVAS 1. Casos posibles Una proposición describe un estado de cosas, y su verdad depende de que dicho estado de cosas exista en realidad. Frente a cada descripción sim- ple (por ejemplo, "el río está crecido") caben, pues, dos posibilidades: que ella sea verdadera (es decir, que el río haya en verdad aumentado su caudal) o sea falsa (que dicho caudal sea igual o menor que el habitual, lo que implica que no ha crecido). E n símbolos suele usarse la siguiente tabla: V La fórmula atómica que se encuentra encima de la línea horizontal representa la proposición a que nos referimos, y las iniciales "V" y "F" simbolizan los 4 8 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A dos casos posibles que existen para "p": que p sea verdadero y que p sea falso. Algunos autores más inclinados a usar palabras grandilocuentes les lla- man mundos posibles, y dicen que para "p" hay dos mundos (desde el punto de vista especulativo, pu- ramente lógico)): el mundo en que p es verdadero y el mundo en que p es falso. El panorama de los casos posibles se complica cuando la proposición se compone de dos o más descripciones de estados de cosas ("el río está cre- cido, pero contaminado") o, en lenguaje simbólico, cuando se trata de una fórmula molecular compues- ta por dos o más fórmulas atómicas ("p . q"). Cuando la proposición que nos interesa es una com- binación de dos proposiciones que la componen, los casos posibles son cuatro: que ambas proposiciones componentes sean verdaderas, que la primera sea fal- sa y la segunda verdadera, que la primera sea verdadera y la segunda falsa y, por último, que las dos sean falsas: P q V V V V Por qué esta diferencia en el número de casos posibles? Porque a cada variable proposicional co- rresponden dos casos (V y F); y, como una combi- LAS C O N E C T I VA S 4 9 nación de variables debeprever cada uno de los casos de la segunda ( y aun todo esto para cada uno de los casos de la tercera, si la hubiese), existe entre el número de variables y el de casos una relación matemática: a una variable corresponden dos ca- sos; a dos variables, cuatro; a tres variables, ocho; a cuatro variables, dieciséis, etcétera. E l número de casos posibles, pues, es 2n, donde "n" es el número de variables proposicionales presentes en una fórmu- la y la base 2 representa la dualidad de los valores de verdad en la lógica binaria: V y F '• El orden en que aparezcan los casos en la tabla que los contiene no es en sí mismo importante, con tal que la tabla contenga todos los casos y ninguno de ellos resulte repetido. Pero para asegurar el cum- plimiento de estas condiciones se acostumbra a se- guir un orden —conveniente aunque no estricta- mente necesario— en la construcción de la tabla de que se trate. Supongamos que se nos presenta una fórmula que contiene tres variables proposicionales —"(p . q) r " , por ejemplo— y deseamos hacer una lista de los casos posibles para las distintas combi- naciones de verdad y falsedad de sus componentes. Primero estableceremos cuántos casos contendrá nuestra tabla: como en el ejemplo n = 3, el número 6 La lógica más conocida y usada es la binaria o bivalente, que maneja los valores de verdad y falsedad (V y F). Hay, sin embargo, otras lógicas diferentes —con utilidad para fines específicos— que tienen mayor número de valores y permiten, por ejemplo, computar grados de seguridad o de preferencia. 4. L ó g i c a . 50 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y NORMA LAS CONECTIVAS de casos será 2 = = 8. Luego escribiremos, de- bajo de la primera variable que aparezca, una suce- sión de ocho valores de verdad en que "V" y "F" se alternen de a uno por vez. Bajo la segunda varia- ble anotaremos ocho valores de verdad, pero alter- nando "V" y "F" de dos en dos, y por último, a la tercera variable asignaremos valores de verdad al- ternados de cuatro en cuatro. Así obtendremos la siguiente tabla de casos: V V V V V V V V F V V V V Naturalmente, si en la fórmula hubiera una cuarta variable, a ésta correspondería una alterna- ción de ocho en ocho (pues los casos serían dieci- séis); y a una quinta (con treinta y dos casos posi- bles) atribuiríamos valores de verdad alternados de dieciséis en dieciséis, y así en adelante. Al construir una tabla de casos es necesario tener en cuenta que "n" es el número de variables propo- sicionales que aparecen, y no el número de sus apa- riciones u ocurrencias. Las variables repetidas sólo se cuentan una vez: así, a la fórmula "p —p" sólo corresponden dos casos posibles, ya que n = 1. 2. N e g a c i ó n El único operador monádico de la lógica propo- sicional ("—") tiene por función invertir el valor de verdad de la fórmula a que se aplique. Dada, pues, una fórmula "p", podemos comparar su tabla de casos con el resultado que provee esta conecti- va' para cada caso. Construiremos así lo que se llama la tabla de verdad del operador que examina- mos, llamado negación: P I —P V V Como puede observarse, una fórmula verdadera ne- gada es falsa, y una fórmula falsa negada es verda- 7 Algunos autores llaman conectivas a los operadores diádicos, que conectan fórmulas entre sí, pero vacilan en dar ese nombre a la negación que, como operador monadico, sólo afecta a una fórmula. Sin embargo, puede considerarse que tanto la negación cuanto los operadores diádicos vinculan la fórmula en que aparecen con cierta combinación de los valores de verdad de su o sus componentes, por lo que cumplen —en otro sentirlo— el papel de conexiones, E n virtud de esta consideración seguimos aquí In nomenclatura de Benson Ma- tes, Lógica matemática eletnental, Madrid, 1971, p . 60; Elliott Men. delson, Introduction to Mathematical Logic, Princeton, 1968, p. 14; y Rudolf Carnap, Introduction to Symbolic Logic and Its Applications, Nueva York, 1958, /3, 7. 5 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N y N O R M A LAS C O N E C T I VA S 53 den.. L a expresión "—p" se lee "no 1f o "no es el caso que p"; y corresponde normalmente —en el lenguaje natural—. al enunciado de una proposición que incluye la palabra "no". Pero, como ya hemos advertido, esta correspondencia no es perfecta. E n el idioma corriente existen expresiones negativas que no contienen esa palabra: "difícilmente podría estar yo de acuerdo con lo expuesto"; "es inexacto , 4que... ; es mentira que... 3. Conjunción Una fórmula molecular que vincula a sus com- ponentes mediante la conjunción ("p . q") sólo es verdadera si sus dos términos son verdaderos, y es falsa en cualquier otro caso. Así: V V V V P q V La fórmula resultante se lee "p y q", y su tabla de verdad corresponde, aproximadamente, al uso de la mayoría de Ias palabras o expresiones idiomáticas que en el lenguaje natural se clasifican como con- junciones. D e este modo, "p . q" podría interpre- tarse como "llueve y hace frío", o "quise llamarte, pero mi teléfono estaba descompuesto", o "su pro- yecto me parece aceptable, aunque convendría in- troducirle algunos retoques". O aun: "ya sé que Cardei murió; sin embargo, cada día canta mejor". En cada uno de estos ejemplos se afirman dos esta- dos de cosas conjuntamente, por lo que la combina- ción de ambas aserciones resultará verdadera si y sólo si los dos estados de cosas afirmados son reales; es decir, en el primero de los cuatro casos posibles de la tabla de verdad correspondiente. 4. Disyunción ¿Qué afirmo al decir "llueve o hace frío"? Doy por sentado que si llueve no hace frío y que si hace frío no llueve? a c e p t o que pueden ocurrir am- bas cosas? Aquí -el lenguaje, natural nos tiende la habitual trampa de su ambigüedad, y a la lógica corresponde desentrañar su sentido. Supongamos que en el menú fijo de un restau- rante leemos, al final de la lista de platos: "postre o fruta". Entenderemos que la elección de uno ex- cluye la de la otra: podernos elegir postre o podemos elegir fruta, pero no ambas cosas. Imaginemos ahora que una librería hace una oferta "sólo para escribanos o abogados". Com- prenderemos fácilmente que quienes tengan uno de esos títulos gozarán de la oferta; pero también con- sideraremos incluidos entre sus beneficiarios a los profesionales que reúnan las dos condiciones, y nos parecería absurdo que se negara el derecho de ad- 5 4 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A LAS C O N E C T I VA S 55 quirir los libros en oferta a quien haya obtenido am- bos títulos. La ambigüedad consiste, pues, en que la con- junción disyuntiva "o" del lenguaje natural puede entenderse como "una cosa o la otra, pero no am- bas", o bien como "una cosa, la otra o ambas simul- táneamente". Para disolver esta ambigüedad usa- mos a veces la forma "y/o" (expresión que los puns- tas del idioma no recomiendan) para la alternati- va no excluyente. S i una cuenta bancaria está abier- ta a nombre de Juan y/o Pedro, entendemos que Juan y Pedro pueden hacer uso de la cuenta en for- ma conjunta o separada, independiente o simultá- nea, según cada uno prefiera. Existen, pues, dos tipos de disyunción. Una es Ia excluyente, cuya tabla de verdad es: V V V V p # q V V La otra es la disyuncion simple o incluyente, con esta tabla de verdad: V V q p v q V V V V F V F F Ambas disyunciones tienen algo en común, como surge de las tablas de verdad enunciadas: para ser verdaderas exigen que por lo menos uno de sus com- ponentes lo sea. E n otras palabras, son falsas cuan- do sus dos componentes son falsos. L a ómica dife- rencia reside en la solución que cada conectiva prevé para el primero de los casos posibles: aquel en que los dos componentes son verdaderos. Una de las disyunciones lo admite (lo incluye) como caso de verdad de la fórmula compuesta, en tanto la otra lo rechaza (lo excluye) al tomarlo como falso. S i volvemos, pues, a los ejemplos del principio, descu- briremos que la disyunción del menú fijo era exclu- yente, en tanto la de la oferta de la libreríaera in- cluyente. En el lenguaje natural se usa una u otra disyun- ción ( cosa que puede advertirse por el contexto en que ella aparece) según convenga a lo que haya do expresarse; pero en la lógica simbólica es habitual el uso de la disyunción incluyente, en tanto la otra sólo aparece por excepción. Esta preferencia se debe a ciertas particularidades del cálculo lógico, que permite la fácil traducción de la disyunción simple en términos de otras conectivas, mientras la excluyente requiere circunloquios más complejos 8. Nos guiaremos, pues, por este criterio y diremos —en general— que una disyunción es verdadera cuando por lo menos uno de los términos disyuntos S Ver, en el capitulo V. las leyes de De Morgan. 56 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A LAS CONECTIVAS 57 es verdadero (es decir, llamaremos disyunción a secas a la disyunción incluyente). Cuando se trate de la excluyente, la calificaremos como tal y usare- mos el símbolo correspondiente (" " ) . 5. Condicional Tanto la conjunción como las disyunciones son relaciones conmutativas, porque "p q " tiene el mismo valor de verdad que "q . p", "p y q" que q y p" y p q u e "q p " p. Pero en una fór- mula condicional ( "p q " ) esto no ocurre: importa distinguir el orden en que aparecen los componentes. Para esto (y sólo respecto dé esta conectiva), la fórmula que aparece a la izquierda del condicional se llama antecedente y la que aparece a la derecha recibe el nombre de consecuente, Sentado esto, puede definirse el condicional " como la relación que resulta falsa cuando el antecedente es verda- dero y el consecuente falso, y es verdadera en todos los demás casos. D e acuerdo con esta definición, 0 Estas afirmaciones deben entenderse e n e l contexto estricta- mente formal. E n e l lenguaje natural e l orden de los términos no es siempre indiferente: "Vino a visitarme y murió" no es l o mismo que "murió y vino a visitarme", por ejemplo. 10 Muchos autores lo llaman también implicación o implicación material, para distinguirlo de l a implicación formal, o lógica, que examinaremos más adelante ( v e r capítulo I V ) . P a r a evitar confu- siones hemos preferido n o utilizar aquí dicho nombre y reservarlo para la implicación lógica, como lo hace Quine (ver Quine, Willard Van Orman, Los métodos de la lógica, Barcelona, 1969, p. 48 y 72). pues, la tabla de verdad del condicional es la si- guiente: V V V V F iP V V V El uso lógico de esta conectiva se parece mucho al empleo de la palabra "si" en el lenguaje natural: "p q " puede interpretarse, por ejemplo, como "si los metales se calientan, se dilatan", o "si gano a la ruleta podré pagar la cuenta del carnicero". Pero, como en casos anteriores, este signo lógico no puede asociarse lisa y llanamente con una palabra deter- minada. Una fórmula condicional puede interpre- tarse también como "firmaré el contrato siempre que mi socio esté de acuerdo", o "el que mata va preso", o aun "ya no podremos subsistir, Eduviges, a menos que baje el precio del caviar''. Pero cuando empezamos a jugar con los ejem- plos aplicándoles la tabla de verdad del condicional, una dificultad llama de inmediato nuestra atención. Supongamos que hemos interpretado "p q " como "si es de noche, hace frío". Comprendemos fácil- mente los casos primero y tercero de la tabla: si es de noche y hace frío, lo afirmado es cierto; si, en cambio, estamos en una de esas noches de verano en que el termómetro no baja de treinta grados, 58 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A LAS CONECTIVAS 59 nuestro condicional meteorológico resulta claramen- te injustificado. Pero en los casos segundo y cuarto algo parece marchar mal: si el antecedente es falso ( es decir, si no es de noche), ¿cómo puede afirmar- se que sea verdad que si es de noche hace frío? ¿y cómo puede dar lo mismo, para el caso, que haga frío o calor ( es decir, la verdad o falsedad del con- secuente), y que en cualquiera de esos supuestos el condicional resulte verdadero? Esta perplejidad es completamente normal. Casi todos los estudiantes de lógica sienten algo parecido a la rebeldía cuando se topan con ella, hasta tal punto que se le ha dado un nombre que Ia identifica: es llamada la paradoja del condicional. Cuando hemos dado nombre a lo que nos preocupa —y sobre todo un nombre tan sonoro— solemos sentirnos algo más aliviados: nunca es lo mismo sentirse difusamente mal que saber positivamente que uno padece, por ejemplo, una gripe causada por virus del tipo B. Para seguir, pues, con el símil médico, la para- doja del condicional admite dos tratamientos: el quirúrgico y el clínico. El tratamiento quirúrgico es rápido y doloroso: consiste en no explicar nada y recordar que las co- nectivas se definen estipulativamente por sus tablas de verdad, de modo que no hay lugar para debate alguno: la tabla del condicional es ésa y basta. El otro medio de vencer la paradoja —que no es mejor que el primero pero sí más fácilmente acep- table— lleva a mostrar que toda la perplejidad pro- viene de una comprensión incompleta de lo que el condicional significa. En efecto, es preciso distinguir cuidadosamente la fórmula molecular condicional ("p q " , interpre- tada como "si es de noche, hace frío") de sus fórmu- las atómicas componentes ("p" y "q", interpretadas como "es de noche" y "hace frío", respectivamente). El condicional no afirma que es de noche, y tampoco afirma que hace frío: sólo enuncia cierta relación en- tre las dos proposiciones simples, de tal modo que si es de noche, entonces hace frío. L a única manera de demostrar que tal afirmación es falsa consistirá, pues, en verificar que es de noche, pero no hace frío. La oración condicional no dice nada sobre la tem- peratura diurna; y así, si no es de noche, poco importa que haga frío o calor, ya que no habremos afirmado una cosa ni la otra, y nadie podría decir que hemos mentido. En términos más rigurosos puede decirse que la fórmula condicional no afirma su antecedente ni su consecuente: sólo afirma que no es el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; que si el antecedente es verdadero también lo es el consecuente; y que, por lo tanto, si es falso el conse- cuente también lo es el antecedente. Este galimatías es tan conocido —hasta para los que creen no entenderlo— que a menudo se hacen bromas basadas en él. Decimos, por ejemplo: "si 6 0 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A la lógica es sencilla, yo soy japonés", y con esto con- sideramos haber afirmado que la lógica es complica- da. Esto es, en efecto, lo que hicimos; pero exami- nemos el razonamiento paso por paso. Supongamos que "la lógica es sencilla" se simbo- liza con y y "yo soy japonés" con "q''. A l afirmar "si la lógica es sencilla, yo soy japonés", he postulado como verdadera la fórmula p D Pero al mismo tiempo es obvio que yo no soy ja- ponés (si esto no fuera claro para todos, la broma no funcionaría: es de suponer que los japoneses usan la expresión "yo soy santiaguefio"). Es decir que el consecuente es falso. Ahora bien, como nuestra hipótesis consistía en que la fórmula p q es verdad, debemos buscar en la tabla del condicional un caso en que dicho supues- to resulte compatible con la falsedad del consecuen- te. S i lo hacemos, hallaremos que el único caso en que tal cosa ocurre es el cuarto: en él el consecuente es falsa y la fórmula condicional verdadera, pero el antecedente es falso. Resulta de allí que, si es ver- dad que si la lógica es sencilla, yo soy japonés y es falso que yo sea japonés, entonces tiene que ser falso que la lógica sea sencilla. Después de este análisis es probable que la broma resulte menos graciosa; pero, o bien habremos com- prendido la paradoja del condicional, o bien estare- LAS C O N E C T I VA S 61 mos dispuestos a pedir la ciudadanía japonesa con la esperanza de facilitarnos la tarea. Aclarada, pues, su tabla de verdad, podemos ad- vertir que el condicional expresa cierta situación que en los hechos puede darse respecto de dos estadosde cosas: uno cuya descripción simbolizaremos como„p y otro cuya descripción simbolizaremos como "q". Normalmente decimos que el antecedente es condición del consecuente; pero lógicos y filósofos —que hilan más fino— distinguen dos tipos de condi- ción: la necesaria y la suficiente. El hecho p es condición suficiente de q cuando conocer la verdad de "p permite afirmar la verdad de "q". Dado un enunciado condicional que supon- gamos verdadero (por ejemplo, "si el perro mueve la cola, está contento"), la verdad del antecedente es condición suficiente de la verdad del consecuente: si vemos que la cola se agita, podremos afirmar que su canino propietario está 'contento (y lo afirmaremos con la misma confianza con que hayamos aceptado la premisa condicional sobre el significado de dicho movimiento). En cambio, el hecho q es condición necesaria de p si conocer la falsedad de "q" nos permite asegurar la•falsedad de "p". E n el mismo ejemplo, el conse- cuente resulta condición necesaria del antecedente: si sabemos que el perro no está contento podremos afirmar que no mueve la cola aunque el bicho esté a nuestras espaldas. E n efecto, si la moviera estaría contento, y estamos persuadidos de que no lo está. 62 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A Con sujeción, pues, a la verdad del condicional (verdad que depende de su coincidencia con cierta situación empírica), el antecedente es condición su- ficiente del consecuente (basta que el perro mueva la cola para que sepamos que está contento), y el consecuente es condición necesaria del antecedente (es indispensable que el perro esté contento para que mueva la cola). 6. B i cond i c i ona l Hemos dicho antes que en el condicional importa distinguir el orden en que aparecen los componentes de la fórmula, ya que esa constante lógica no es con- mutativa, y por eso distinguimos el antecedente del consecuente. Supongamos ahora un condicional conmutativo, en el que cada término sea a la vez antecedente y consecuente del otro: "[(P q ) • (q p ) ] " Esta combinación de dos condicionales cruzados corresponde a una nueva conectiva, llamada bicon- dicional ", que resulta verdadera si y sólo si sus dos 11. E l bicondicional recibe a menudo el nombre de equivalencia material, o simplemente equivalencia. P o r las mismas razones ex- puestas en e l caso del condicional, hemos preferido reservar este nombre para la equivalencia formal o lógica, que más adelante in- troduciremos (ver capitulo IV ) . L A S C O N E C T I VA S 63 términos tienen el mismo valor de verdad (es de- cir, si son ambos verdaderos o ambos falsos): p Al leer una fórmula bicondicional suele utilizar- se la expresión "si y sólo si-, que algunos lógicos abre- vian como "su". D e este modo, "p q " puede in- terpretarse como "me gusta el asado si y sólo si está bien cocido", de donde resulta que si está bien cocido me agrada y de otro modo no; e, inversamente, que si me gusta está cocido y si no me gusta no lo está. Como puede observarse, esta conectiva es extrema- damente rigurosa: en el caso del ejemplo no admite el supuesto de que el asado me desagrade pese a ha- llarse bien cocido (por ser duro, o estar quemado, o por alguna otra razón). Es decir que cada término es a la vez condición suficiente y necesaria del otro. El lenguaje diario, en cambio, suele dejar cabos suel- tos ( como el condicional simple): cuando afirmo que sólo me gusta el asado bien cocido, no pretendo en general sostener que en cualquier circunstancia un asado que cumpla ese requisito me pone tan ansioso como el perro de Pavlov. El bicondicional, pues, no suele usarse para for- malizar la mayoría de las expresiones del lenguaje natural ( aunque tal cosa puede ocurrir). E n cam- 6 4 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A LAS C O N E C T I VA 3 65 bio, su empleo es bastante común en la formulación de definiciones y de leyes lógicas. El símbolo utilizado para representar esta conec- tiva merece un comentario adicional. Recordare- mos que el símbolo de la disyunción excluyente ("#") es el mismo del bicondicional, pero cruzado —como tachado— por una línea diagonal. Esta semejanza no parece caprichosa, a poco que se com- paren las tablas de verdad de las dos conectivas: ci p q P q V V V V V V Como puede observarse, el bicondicional equi- vale a la negación de la disyunción excluyente (y viceversa), ya que en cada caso en que una conecti- va es verdadera la otra resulta falsa. D e aquí se deduce que podríamos representar la disyunción excluyente de esta manera: - (p - q) E, inversamente, sería posible simbolizar el bicon- dicional así: —(1) q ) Por esto se ha elegido para el bicondicional el símbolo que los matemáticos utilizan para la seme- janza (dos variables unidas por un bicondicional son semejantes en sus valores de verdad), y se usa el mismo símbolo tachado (es decir, negado) para Ja conectiva inversa. Lógica , IV TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA: LA IMPLICACIÓN FORMAL 1. Tautologia Al analizar las tablas de verdad de las conecti- vas hemos observado que la verdad de una fórmu- la molecular depende del valor de verdad que se asigne a cada una de las fórmulas atómicas que la integran: así, por ejemplo, la conjunción es verda- dera cuando sus dos términos son verdaderos y falsa en los demás casos; el condicional es falso cuando el antecedente es verdadero y el consecuente falso, y es verdadero en los otros tres supuestos; y el bicon- dicional es verdadero si sus dos términos tienen el mismo valor de verdad ( V o F), y falso cuando ellos tienen valor distinto. Examinemos ahora la tabla de verdad de la si- guiente fórmula: "p y —p". 6 8 L Ó G I C A , F R : I P O S I C I Ó N Y N O R M A P P V P V V V F F F V V Como la fórmula propuesta sólo contiene una variable ("p"), los casos son 21 = 2. E n el prime- ro p es verdadero y, consiguientemente, —p es falso; en el segundo ocurre a la inversa. Pero, como la disyunción resulta verdadera cuando cualquiera de los términos disyuntos lo es, nuestra fórmula se reve- la como verdadera para todos los casos posibles. Esta comprobación tiene un curioso efecto: el de independizar la verdad de la fórmula de cual- quier averiguación sobre la verdad de p. E n efecto, asignaremos a "p" una interpretación cualquiera: "fumar hace daño", por ejemplo. Así, "--p" deberá traducirse por "fumar no hace darlo" (o, lo que es lo mismo, "no es el caso de que fumar haga daño", o no es verdad que fumar haga daño", o cualquier otra expresión semejante). L a fórmula molecular quedará interpretada como "fumar hace daño o (fu- mar) no hace daño", y resultará verdadera en toda circunstancia. Pero ¿fumar hace realmente daño? Esta pre- gunta tiene importancia médica, social y económica, pero no perturba la placidez de la lógica. Porque, cualquiera sea la opinión que sustenten sobre Ia respuesta correcta, fumadores empedernidos y médicos solícitos, directores de empresas tabacale- ras y activistas de la Liga de la Templanza han de TA U TO L O G Í A , C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 69 estar de acuerdo en que fumar hace daño o no lo hace. Es más, ni siquiera es necesario interpretar la fórmula para conocer su verdad. Como la verdad de p y —p no depende de la de p sino de la estructura lógica de la expresión molecular, tanto da que atri- buyamos a "p" la representación de una u otra pro- posición, o aun que consideremos la variable en su más puro y original estado simbólico: si no nos es preciso conocer la verdad de p tampoco nos hace falta asignarle un significado. Estas fórmulas cuya tabla de verdad arroja valor positivo para todos los casos posibles se llaman tau- tologías. Tienen la ventaja de ser siempre verdade- ras con independencia de su contenido, pero —por esto mismo— tienen también una desventaja: no proporcionan ninguna información sobre el inundo que nos rodea. L a verdad absoluta suele ser trivial; y, salvo cuando se trata de fórmulas muy complica- das, resulta tan sabida que no despierta graninterés. Imaginemos un hombre que pasara la vida enun- ciando únicamente las más solemnes tautologías: "mañana habrá tormenta, o no la habrá", "si un ani- mal tiene cinco patas, tiene seguramente cinco pa- tas"; "la existencia es un río que nos lleva hacia el infinito... o bien es alguna otra cosa". Ta l perso- na no correría jamás el riesgo de afirmar algo falso, pero su charla resultaría tan insulsa que nadie que- rría oírla: ninguna de sus afirmaciones contendría datos empíricos. Y sin embargo, no por ser vacías de contenido 70 LÓGICA, P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A las tautologías son inútiles: en muchos casos su ver- dad formal no es evidente, y se requiere un detenido examen para advertirla. Además, si descubrimos que un enunciado encierra una tautología dejare- mos de inmediato de discutir sobre ella, perderemos interés en Ia averiguación de sus presupuestos empí- ricos ( ya que no los tiene) y —lo que es más impor- tante— podremos utilizarla corno puente para razo- namientos más complejos. Por esto la lógica trata muy especialmente sobre las tautologías, y por esto empleamos hoy máquinas —las computadoras— que son formidables constructoras de relaciones tautoló- gicas: dados un programa y los datos con que se la alimenta, la máquina produce una respuesta que re- sulte formalmente verdadera bajo condición de la verdad de aquellas premisas. 2. Contradicción Las tautologías tienen su contrapartida negati- va. Supongamos la siguiente fórmula: "p . —p". P P • —P V V F F F F V Al construir la tabla de verdad de esta conjun- ción advertimos que para todos sus casos posibles (que son dos) su valor de verdad es F. Esto indica que cualquier proposición con semejante estructura TA U T O L O G Í A , C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 71 lógica ("la luna es redonda, pero no es redonda"; o no es que yo sea racista, pero siempre he sostenido que hay razas insoportables") es falsa en cualquier circunstancia, independientemente de la verdad o la falsedad de p y aun del significado que momentá- neamente atribuyamos a la variable. Una fórmula molecular cuyo valor de verdad es F para todos y cada uno de sus casos posibles se llama contradicción, y, por cierto, tiene tan poco con- tenido empírico como las tautologías: es una false- dad formal. Ha de notarse que —por aplicación de la tabla de verdad de la negación— toda tautología negada se convierte en contradicción, y toda contradicción negada se transmuta en tautología. Así como en el cuento de Stevenson el perverso Mr. Hyde era el otro yo del bondadoso Dr. Jekyll, la tautología y la contradicción pueden transformarse una en otra me- diante una simple operación, pero, como luego vere- mos, una representa el modelo de razonamiento a seguir y la otra una impureza cuya presencia echa por tierra el valor de cualquier demostración. 3. Contingencia Si sustituimos la comparación anterior por un símil ferroviario, podemos afirmar que la tautología y la contradicción son las dos estaciones terminales de una línea con muchos puntos intermedios: entre 7 2 L Ó G I C A , P R O P O S I C I Ó N Y N O R M A el extremo positivo (verdad formal) y el negativo (falsedad formal) hay infinidad de_ fórmulas que re- sultan verdaderas para algunas combinaciones de verdad de sus componentes, y falsas para otras: son Ias fórmulas contingentes. Para decirlo con mayor rigor, una fórmula es con- tingente si y sólo si resulta verdadera por lo menos en uno de sus casos posibles y falsa por lo menos en otro. Cumplidas estas condiciones, poco importa que sean más los casos de verdad que los de falsedad, o viceversa: toda fórmula que no sea tautológica ni contradictoria es contingente. La proposición que se obtiene por interpretación de las variables de una fórmula contingente (por ejemplo, "si se prohibe el uso de la barba y se im- planta la censura cinematográfica, se contribuirá a constituir una sociedad pacífica y virtuosa") no es formalmente falsa ni formalmente verdadera; y, por esto mismo, lejos de ser vacía de contenido, encierra una información sobre la realidad (esto es, describe un estado de cosas). Si la descripción se ajusta a lo que en realidad acontece, la información conte- nida en la proposición será verdadera; si difiere de Ia realidad, será una información falsa. De aquí se desprende que para averiguar la verdad o la false- dad de una proposición contingente (es decir, de una proposición cuya estructura lógica puede sim- bolizarse mediante una fórmula contingente) no basta con analizar su tabla de verdad: es preciso examinar el mundo empírico y buscar en él prue- TAUTOLOGLA, C O N T R A D I C C I Ó N Y C O N T I N G E N C I A 73 bas que verifiquen la proposición o que muestren su falsedad. Desde luego, no existen garantías de que hallemos tales pruebas: las ciencias empíricas, cuya tarea consiste precisamente en investigaciones de este tipo, contienen infinidad de preguntas para Ias que aún no se ha encontrado respuesta conclu- yente. Incidentalmente, lo expuesto nos proporciona un nuevo dato para ubicar a la lógica dentro del panorama del conocimiento humano: ella busca, en- tre otras cosas, descubrir y probar formalmente las tautologías, en tanto las ciencias naturales, por ejem- plo, procuran determinar la verdad de ciertas pro- posiciones contingentes. 4. Implicación formal Recordemos ahora, por un momento, la tabla de verdad del condicional: p V V v v v v V F V V F 1 V F F FUE' V F Como puede observarse, la fórmula "p = q" es con- tingente: corresponde a proposiciones que dicen algo sobre el mundo y cuya verdad depende de que el valor de verdad del antecedente y del cense- 74 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A cuente se combinen en la realidad según una u otras de las maneras enumeradas en la tabla. A menudo usamos el condicional para expresar una relación causal ("si tomo vitamina C estaré a salvo de resfrios"); o las condiciones para tomar una de- cisión ("si apruebo el examen iré a Luján a pie"), o para señalar que un hecho es indicio de otro ("si las luces están apagadas, no hay nadie en casa"); pero ninguno de estos vínculos empíricos es indis- pensable para la verdad del condicional. Esta co- nectiva es poco exigente, y se contenta con una correspondencia de hecho, aunque sea circunstan- cial o casual. "Si tomo café, lloverá mañana" será verdadera si ambas cosas ocurren, aunque entre ellas no exista relación alguna. Es más: también será verdadera si llueve mañana, aunque yo no tome café hoy; y otro tanto si no tomo café, cualesquiera sean las condiciones meteorológicas del día si- guiente. De todos modos, lo que importa destacar es que cualquiera de estos condicionales (u otro semejante que pueda imaginarse) será falso o ver- dadero según exista o no un estado de cosas capaz de verificar el antecedente y hacer falso, al mismo tiempo, el consecuente. Supongamos, en cambio, esta otra fórmula: p ( p y q) Una interpretación adecuada sería, por ejemplo, "si soy abogado, soy abogado o violinista". Nótese que para ser abogado o violinista basta con ser abogado TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 75 y basta también con ser violinista (sin excluir, por cierto, la eventualidad de un letrado aficionado al violín): todo abogado es abogado o violinista (o zapatero, o astronauta); de modo que el condicio- nal de nuestro ejemplo es tal que la afirmación del antecedente nos obliga a afirmar el consecuente ". Para probarlo, construyamos una tabla de verdad en la que "p" corresponda a "soy abogado" y "q" a C( 1 . violinista'': P (p y q) V V F V V V F V VVV FVV V V F F F F Nos encontramos, pues, ante un condicional tau- tológico. En uno de los ejemplos anteriores podía darse el caso de que las luces estuvieran apagadas y hubiese alguien en casa (lo que determinaría la falsedad del condicional material); pero si soy abo- gado no puedo dejar de ser abogado o violinista, de modo que la verdad de este condicional depende de su estructura formal, y no de su correspondencia con la realidadempírica. ¿Por qué hay condicionales tautológicos? L o que ocurre, en verdad, es que el enunciado que apa- 12 Una disyunción es verdadera cuando al menos uno de sus componentes lo es. Po r lo tanto, bajo el supuesto de verdad de p estamos obligados a atribuir verdad a la disyunción que tiene a como uno de sus disyuntos. 76 LÓGICA, PROPOSICIÓN Y N O R M A rece en ellos como consecuente ya está contenido en el antecedente: de allí que, en el supuesto de ver- dad del enunciado más restringido, no podamos ne- gar la proposición cuya verdad exige menos requisi- tos. Ta l es, después de todo, el principio rector de cualquier razonamiento deductivo: si la verdad de Ias premisas nos garantiza la verdad de la conclusión, es porque ésta ya estaba contenida —de un modo u otro— en aquéllas. Tan importante resulta esta relación para la lógi- ca que ha merecido un nombre propio: cuando un enunciado está incluido en otro, de tal manera que Ia verdad de este último garantiza la verdad del an- terior, decimos que media entre ambos una relación de implicación (también llamada implicación for- mal, estricta o lógica). Así, todo enunciado cuya verdad asegura formalmente la verdad de otros enunciados implica a cada uno de éstos, Todo con- dicional formado de manera que el antecedente im- plique al consecuente será tautológico; y, a la inver- sa, todo condicional tautológico indica una relación de implicación entre su antecedente y su conse- cuente. Ha de quedar en claro que no todo condicional encierra una implicación: para ello se requiere que el condicional sea tautológico. Los condicionales contingentes, como ya se ha visto, describen una situación de hecho, por lo que su verdad está sujeta a la realidad de esta misma situación. Pero no es lógicamente posible un estado de cosas en que el TAUTOLOGIA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 77 condicional tautológico o implicación resulte falso: la implicación —vacía de contenido empírico como todas las tautologías— no se refiere a los hechos ni afirma cierta relación entre éstos: simplemente da cuenta de una relación abstracta, puramente lógica, entre proposiciones. U n hecho puede ser causa de otro, pero no puede implicarlo: la implicación formal es un vínculo entre proposiciones, y predicarla de los hechos tendría tan poco sentido como afirmar que el número 17 es yerno del 9, o que el edificio Cavanagh es un submúltiplo de la Casa Rosada. Como la implicación es un caso especial dentro del género de los condicionales, entre sus elemen- tos puede observarse también la relación de condi- ción necesaria y de condición suficiente. E n la fór- mula "p ( p y q)", p es condición suficiente de p v q, ya que garantiza su verdad. Y p y q es con- dición necesaria de p: si p y q no fuera verdadera resultarían falsas tanto p como q (por la tabla de verdad de la disyunción); y entonces el anteceden- te p no podría ser verdadero. Pero, por tratarse de un condicional tautológico, la necesidad o la sufi- ciencia con que antecedente y consecuente son con- diciones uno del otro no son materiales ( es decir, relaciones de hecho, dependientes de la verdad o falsedad de cada uno), sino formales, de naturale- za estrictamente lógica. Así, en la implicación es lógicamente necesario que el consecuente sea ver- dadero si el antecedente lo es, y es lógicamente im- 78 L Ó G I C A , PROPOSICIÓN Y N O R M A posible que el antecedente sea verdadero si el con- secuente no lo es. 5. Equivalencia Cuando por razones lógicas dos proposiciones tienen siempre el mismo valor de verdad, podemos formar con ellas u n bicondicional tautológico. Esto ocurre, por ejemplo, con el enunciado "soy abogado si y sólo si soy abogado", cuya estructura corresponde a la fórmula "p --=-- p" y cuya tabla de verdad es la siguiente: P ' P V V V V F V F Así como todo condicional tautológico expresa una implicación, todo bicondicional tautológico ex- presa una equivalencia. Dos enunciados son equi- valentes cuando media entre ellos una relación tal que la verdad de uno garantiza formalmente la del otro y viceversa, y que la falsedad de uno asegura formalmente la falsedad del otro y viceversa. Del mismo modo que la implicación, la equiva- lencia es una relación entre proposiciones y no un vínculo entre hechos. U n bicondicional contin- gente ("hace frío si y sólo si me visto de azul") pue- de resultar verdadero porque eventualmente sus dos términos tengan en un momento dado el mis- TAUTOLOGÍA, CONTRADICCIÓN Y CONTINGENCIA 7 9 mo valor de verdad; pero es lógicamente imposible Ia existencia de un estado de cosas en que la equi- valencia resulte falsa, por lo que ésta —como cual- quier tautología— se encuentra desvinculada del mundo empírico. Conviene hacer notar que, tal como acontece entre el condicional y el bicondicional, la equiva- lencia es una relación más restringida que la de implicación: cuando dos enunciados son equivalen- tes podemos afirmar que cada uno de ellos implica al otro (ya que la verdad de uno garantiza la ver- dad del restante); pero, si sólo sabemos que un enunciado implica a otro, no podemos sin más ase- gurar que ambos son equivalentes. Como una avenida de doble mano, la equivalencia contiene dos implicaciones de sentido inverso.
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