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MATEMATICA BASICA II
R. FIGUEROA G.
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Eóitomí AMERICA LIMA - PERU
MATEMATICA BASICA 2
VECTORES Y MATRICES
Primera Edición: Marzo 1985
Segunda Edición: Marzo 1988
Reimpresión de la
Segunda Edición: Agosto 1990
Agosto 1992
Agosto 1993
Impreso po r:
EDICIONES E IMPRESIONES GRAFICAS AMERICA S.R.L
Jr. Loreto Nro. 1696 Breña (Lima 5). Telefax 325827
Revisado po r: RICARDO FIGUEROA GARCIA
Egresado de la Universidad Nacional de Ingenería
Facultad de Mecánica
Todos los derechos reservados conforme al Decreto Ley Nro 19437
Queda prohibido la reproducción por cualquier medio, total o
parcialmente, sin permiso escrito del autor.
III
PROLOGO
Dada la acogida que le dispensaron los estudiantes a las edi
ciones preliminares de esta obra, explica la aparición de esta
nueva edición ampliada, en la que se han hecho las modificacio
nes necesarias con el propósito de hacer más asequible su lectu
ra, pues la obra proporciona una excelente preparación para el
estudio de cursos superiores como el Análisis Matemático y sobre
todo, el Algebra Lineal.
El estudiante que ha llegado a este curso ya tiene conocimien
to del Algebra y la Geometría Elemental. En el primer capítulo
se desarrolla la relación que existe entre estos dos grandes cam
pos de la matemática; esto es, el estudio de la técnica de los
vectores. Los sistemas de coordenadas que se utilizan, primero
el bidimensional (plano) se extiende después al tridimensional
(espacio), indicando claramente el camino para generalizar los
conceptos a otras dimensiones, y luego finalizar, haciendo un
breve estudio de los espacios vectoriales.
En el segundo capítulo se hace referencia al estudio de las ma
trices de acuerdo con su dimensión o tamaño y sus aplicaciones a
la solución de ecuaciones lineales.
En el tercer capítulo se expone la teoría de los determinantes,
de particular importancia en la teoría de las matrices y sus nu
merosas aplicaciones.
. Con este libro se tiene la intensión de desarrollar la capaci
dad del estudiante y crear en él hábitos de rutina matemática;
esto es, la exposición teórica es acompañada de numerosos ejem
plos y ejercicios con sus respuestas adjuntas, los cuales, indu
dablemente, ayudarán al estudiante a adquirir destreza y afirmar
el dominio de la materia. Por ello, recomiendo que los ejercicios
propuestos se resuelvan sistemáticamente, toda vez que su solu
ción obedece a un criterio de aprendizaje progresivo.
IV PÁóíogo
Mi reconocimiento a todos los amigos profesores que tuvieron
la gentileza de hacerme llegar sus sugerencias y observaciones a
las ediciones preliminares. Sus críticas constructivas hicieron
posible corregir, mej-orar y ampliar esta nueva edición.
* • Ricardo Figueroa García
CONTENIDO
( g VECTORES
1.1 Introducción. 1.2 Coordenadas Cartesinas
1.3 Vectores en el plano.
1.4 Representación geométrica de un vector.
1.5 Magnitud de un vector. Propiedades.
1.6 Dirección de un vector en R2
1.7 Vector Unitario.
1.8 Adición de Vectores. Propiedades.
1.9 Representación gráfica de la adición de vectores.
1.10 Sustracción de vectores.
1.11 Multiplicación de un escalar por un vector. Representación gráfica.
Propiedades.
1.12 Vectores Paralelos.
1.13 Producto escalar de vectores.
1.14 Vectores ortogonales.
1.15 Angulo formado por dos vectores.
1.16 Descomposición de vectores.
1.17 Proyección Ortogonal.
1.18 Componentes Escalares.
1.19 Area del paralelogramo y del triángulo.
1.20 Descomposición Lineal. 1.21 Independencia Lineal.
1.22 Criterio de Independencia Lineal.
1.23 Regla de comparación de coeficientes.
1.24 Aplicación de ios vectores a la Geometría Elemental.
1.25 Aplicación de los vectores a la Física.
ECUACIONES VECTORIALES DE LA RECTA
1.26 Rectas en el piano.
1.27 Segmentos de recta.
1.28 División de un segmento en una razón dada.
1.29 Puntos que están sobre una recta.
1.30 Pendientes de una recta. Rectas paralelas y ortogonales.
1
4
5
9
1 0 fc
11
13
14
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26
33
34
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108
110
115
120
VI Conten ido
ECUACIONES CARTESIANAS DE LA RECTA
1.31 Forma general de la ecuación de una recta. 128
1.32 Forma Punto-Pendiente. 1 3°
1.33 Forma Pendiente y Ordenada en el origen. 131
1.34 Forma abscisa y ordenada en el origen. 132
1.35 Forma Simétrica. 1^2
RELACIONES ENTRE RECTAS %
1.36 Distancia de un punto a una recta dada. 135
1.37 Intersección de rectas. “U1
1.38 Angulo entre rectas. 149
EL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 159
1.39 VECTORES EN EL ESPACIO 160
1.40 Dirección de un vector en R3. 167
1.41 Vectores Paralelos y Perpendiculares 170
1.42 Proyección Ortogonal. Componentes. 177
1.43 Combinación Lineal. 1.44 Dependencia e Independencia
Lineal. 181
1.45 Base y Coordenadas de un vector en R 3. 182
1.46 EL PRODUCTO VECTORIAL 187
1.47 Propiedades del producto vectorial. 189
1.48 Interpretación geométrica del producto vectorial.t 192
1.49 PRODUCTO MIXTO DE VECTORES. Propiedades e interpreta-
^ ción geométrica. 201
1.50 RECTAS EN EL ESPACIO. 209
1.51 Posiciones relativas de rectas en el espacio^ 212
1.52 Distancia de un punto a una recta. 217
1.53 Distancia entre dos rectas en el espacio. 219
1.54 PLANOS EN EL ESPACIO. 223
1.55 Ecuación vectorial del plano. 224
1.56 Distancia de un punto a uli plano. 229
T.57 Intersección de planos. 233
1.58 Angulo diedro entre dos planos. 1.59 Angulo entre
una recta y un plano. 237
1.60 Proyección ortogonal de una recta sobre un plano. 238
Conu'r.itio yjj
1.61 Intersección de rectas y planos. 241
1.62 Vectoies de n dimensiones. 251
1.63 ESPACIOS VECTORIALES. 253
1.64 Subespacíos vectoriales. 258
1.65 Independencia Lineal. 264
1.66 Bases y dimensiones de un espacio vectorial. 269
1.67 Suma de subespacíos. 276
g MATRICES
2.1 Introducción. 2.2 Definición. 281
2.3 Orden de una matriz. 282
2.4 Tipos de Matrices. 283
2.5 Igualdad de Matrices. 284
2.6 Suma de Matrices. Propiedades. 285
2.7 Diferencia de Matrices. 286
2.8 Producto de un escalar por una matriz. Propiedades. 286
2.9 Multiplicación de Matrices. 289
2.10 Propiedades de la Multiplicación de Matrices. 293
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
2.11 Matriz Simétrica. 305
2.12 Matriz Antisimétrica. 306
2.13 Matriz Identidad. 307
2.14 Matriz Diagonal. 2.15 Matriz Escalar. 309
2.16 Matriz Triangular Superior. 2.17 Matriz Triangular Inferior.
2 18 Matriz Periódica. 310
2.19 Matriz Transpuesta. 314
2.20 Matriz Hermitiana. 316
2.21 MATRIZ INVERSA 317
2.22 Inversa de una Matriz Triangular. 319
2.23 TRANSFORMACIONES ELEMENTALES. 327
Transformación elemental fila. Matriz Escalonada
Matrices Equivalentes. Rango de una Matriz.
Matrices Elementales. INVERSA DE UNA MATRIZ por el método de
VIH Contenido
Gauss-Jordan.
2.24 Sistemas de Ecuaciones Lineales 343
2.25 Rango de un Sistema de Ecuaciones Lineales. 351
2.26 Sistemas Homogéneos de Ecuaciones Lineales. 359
[§) DETERMINANTES
3.1 Definición. 367
3.2 Propiedades. 368
3.3 Existencia de los Determinantes. 375
3.4 Menor de una componentes. 376
3.5 Cofactor de una componente. 377
3.6 Cálculo de determinantes de cualquier orden. 381
3.7 Otras aplicaciones y Propiedades de los determinantes.
3.7.1 Regla de Sarrus. 401
3.7.2 Cálculo de determinantes mediante reducción a la forma escalonada 402
3.7.3 Propiedades Multiplicativas. 412
3.7.4 Rango de una Matriz. * 416
3.7.5 Adjunta de una Matriz. 422
3.7.6 Inversa de una Matriz. 424
3.7.7 Matrices no singulares. 436
3.7.8 Resolución de sistemas de ecuaciones de dos variables. 441
3.7.9 Resolución de sistemas de ecuaciones en tres variables. 442
3.7.10 REGLA DE CRAMER. 443
VECTORES
1.1 INTRODUCCION . Hace muchos años los griegos desarrollaron la
geometría elemental. Crearon una manera siste
aática de analizar las propiedades de los puntos, las rectas, las
triángulos, las circunferencias y otras configuraciones. Todo su
trabajo fue sintetizado en "Los elementos de Euclides" , que han
constituido las bases de la geometría plana y del espacio hasta
nustrosdías. En tiempos recientes, se han agregado otros conjun
tos de axiomas y postulados, cuyo efecto han sido mejorar la es-
tructura lágica, pero, en esencia, la materia ha permanecido idén
tica. En 1637, el filésofo y matemático francés Rene Descartes re
voluciono la matemática de su época al crear la Geometría Analíti
ca introduciendo las coordenadas rectangulares, llamadas también
en su memoria, coordenadas cartesianas; logrando así algebrizar
las ideas geométricas de sus antecesores. LJL-i.á.ea_ua_eate - aátodo
consiste en traducir, nediante.un sistema de coordenadas, los con
ceptos y relaciones geométricos a conceptos y relaciones algebrai
cas, y viceversa. En este capítulo estudiaremos el método anlíti-
co para lo cual precisamos familiarizarnos con el concepto de vec
tor, un instrumento de gran valor en la matemática moderna.
1.2 COORDENADAS RECTANGULARES
En estudios anteriores de matemáticas definimos el producto
♦
cartesiano A*B, de los conjuntos A y B, como el conjunto de todos
los pares ordenados (x,y) en los cuales la p/iimena componente, x ,
es elemento de A y la segunda componente y, es elemento de B.
Por ejemplo, si A={2,3,5} y B={1,3), entonces:
A*B = {(2,1),(2,3),(3*1),(3,3),(5,1),(5,3))
Un conjunto de pares ordenados AxB se puede visualizar como una
red de puntos, tal como se indica en la Figura 1.
Vk.cto/L*ó
Come los pares ordenados de números reales sea elementos del prQ
ducto cartesiano R*R, a este conjunto se le denota por R2, es dg
eir:
R 2 = RxR = {(x,y)/xeR , yeR}
Figura t Figura 2
Obsérvese, en la Figura 2, que cada par ordenado (a,b) en R2
se puede asociar en forma única con un punto P del plano mediante
un sistema de coordenadas rectangulares, al que se llama también
* i*tema de coordenada* canteóia.no.
El asociar a cada par ordenado (a,b) un punto P se lleva a cabo
como sigue:
a) Por un punto que corresponde al número a sobre el eje horizon
tal (eje de abscisas) se traza una recta paralela al eje verti
cal.
b) Por el punto que corresponde al número b sobre el eje vertical
(eje de ordenadas) se traza una recta paralela al eje horizon
tal.
c) Al punto de intersección P de estas rectas se le asocian las
coordenada* (a,b). P se llama "la gráfica de (a,b)lf o simple
mente "el punto (a,b)".
En adelante, a los elementos de R2 los denotaremos con letras
mayúsculas: A,B,C, etc. Por ejemplo: A=(ax,a2), B-(bx,b2).
DEFINICION 1. Dados dos pares ordenados A=(ax,a2) y B=(blfb2) en
R2, la suma de A y B, denotado por A+B, está defi
nido por:
Ve.c£o/ie~¿ 3
A+E = (a i,a2) + (bi,b2) - (ei+bi , a2+b2)
Se puede observar que la adición de dos pares ordenados de núme
ros reales es otro par ordenado de números reales.
Por ejemplo, si A=(2,~5) y B=(2,3)t entonces:
A+B = (2,-5)+(2,3) = (2+2,-5+3) = (4,-2)
DEFINICION 2. Dado un número real r, llamado escalar y el par or
denado A=(ai,a2), se denomina producto del escalar
r por A, al par ordenado:
rA = r(ai,a2) = (ralfra2)
Obsérvese también que rA^R2.
Por ejemplo, si r=-2 y A=(-1,3), entonces:
rA = -2(-1,3) = [(-2)(-l).(-2)(3)] ■ (2,-6)
PROPOSICION 1.1 Dados los pares ordenados A,B,CeR2 y los escala
res r,seR, se cumplen las siguientes propiedades
para la adición de pares ordenados y la multiplicación de escala
res por pares ordenados:
Ai: Si A,BeR2 -+• (A+B)eR2 (Clausura)
A2: Si A,BeR2 -*■ A+B = B+A (Conmutatividad)
Aj: Si A,B,CeR2 (A+B)+C = A+(B+C) (Asociatividad)
A),: 5í0eR2/A+9 = 0+A = A, ¥AeR2 (Elemento identidad para la
adición de pares)
Pi: Si reR y ÁeR2 -► rAeR2
P2: r(A+B) = rA+rB , ¥reR , ¥A,3eR2
P s: (r+s)A = rA+sA , ¥rfseR , ¥AeR2
P*: (rs)A = r(sA) , ¥r,seR , ¥AeR2
P 5: 3UR/1A = A , ¥AeR2
A 5: ¥AeR2, 3l-AeR2/A+(-A) = (-A)+A = 6 (Elemento inverso nara la •
adición de pares)
Se recomienda al lector demostrar cada una de estas propiedades
haciendo uso de las propiedades respectivas de los números reales.
4 Ve.ctosie.4
El conjunto R2 de pares ordenados de números reales, junto con
las operaciones de suma y producto definidas anteriormente recibe
el nombre de e.4pac¿o vectorial tidiaie.nAÍonat sobre el conjunto de
los números reales R y se denota por V2. A los elementos de un es
pació vectorial se les llama vectores; por tanto, podemos afirmar
que el par ordenado (x,y) es un vector.
1.3 VECTORES EN EL PLANO
Un vector en el plano es un par ordenado de números . reales
(x,y), donde x recibe el nombre de primera componente.(coordena
da) e y se llama segunda componente. A los vectores en el plano
se les denota por letras minúsculas o mayúsculas con una flecha
en la parte superior. Por ejemplo: a , í , c , t. , S , etc.
Dado dos vectores en V2: a=(xi,yi) y í=(x2,y2), podemos definir
Xi = x2
i) Si a = t
1 yx = ya
ii) a + S = (xi+x2 , yi+y2)
(Igualdad de vectores)
(Def. 1)
i ü ) ra = (rx i, ry i) (def. 2)
jemplo 1 . Si a=(-2,3) y ?=(4»-1), hallar el vector v=2a+3?.
Solución, v = 2(-2f3) + 3(4,-1)
= (*4,6) + (12,-3)
= (-4+12 , 6-3)
= (8,3)
(Def. 2)
(Def. 1)
Ejemplo 2. Hallar el vector x en la ecuación: 2(-1,2)+3x=(4,-5)
Solución. Supongamos que: x = (xi,x2)
-»■ 2(-1,2) + 3(xi,x2) = (4,-5)
+ (-2,4) + (3xx,3x2) = (4,-5)
-*■ (-2+3xi , 4+3x2) = (4,-5)
Por la igualdad de vectores se tiene:
-2+3xi = 4 «-*• xi=2
4+3x2 = -5 ++ X2=-3
Por tanto, el vector buscado es: x = (2,-3)
(Def. 2)
(Def. 1)
Vectoneó 5
Ejemplo 3. Hallar todos los números reales r y s tales que:
r U , - 6) + s(5,-2) = (7,6)
Solución. (¿r,-6r) + (5s,-2s) = (7,6) (Def. 2)
Ur+5s , -6r-2s) = (7,6) (Def: 1)
Por la igualdad de vectores: 4r+5s = 7
-6r-2 s = 6
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-2 , s=3
1.4 REPRESENTACION GEOMETRICA DE UN VECTOR EN EL PLANO
Geométricamente un vector v=(x,y) se representa en el plano
mediante un segmento de recta dirigido o una flecha. La flecha se
llama vecto/i geomát^iico. Un vector veR2 puede interpretarse como
• ►
una traslación descrita por un par ordenado de números reales
(x,y), la primera componente indica un desplazamiento paralelo al
eje X y la segunda un desplazamiento paralelo al eje Y.
Considerando que una traslación tiene un punto Inicial o de pa/iti
da S del plano, y un punto inat o de llegada en T, cada vector
v=(x,y) tiene un número infinito de representaciones geométricas
en el plano, todas elljté son paralelas, dê igual longitud- e igual
sentido. (Figura 3)y '
La flecha asociada al par (x,y) que tiene un punto inicial en
el origen se denomina /iepne¿entación ondinasiia de (x,y) y se dice
que la flecha o vector tiene posición ordinaria o estandard.
DEFIÍJICIOM 3* VECTOR LOCALIZADO
Un vector localizado en P.a es una pareja de puntos
Pi y P2 que se indican con PiP2 para los cuales Fi es el punto de
partida o inicial y P 2 es el punto de llegada c final (Figura ¿).
Si una flecha tiene coco punto inicial a Piín.yi) y a P2(x2fy2)
*
c o d o punto final, entonces la flecha PiP2 es una representación
geométrica del vector v=(xfy), donde:
(x F y) = (X2-X1 , y 2-y 1 ) (1)
Si consideramos a los puntos Pi y F2como radio vectores entonces,
según la definición 3:
v = PjP2 =
*"*■ ? 2 = + v (2 )
«
Esta ecuación nos permite conocer analíticamente el punto final
P2 del vector v conociendo, desde luego, el punto inicial y las
componentes del vecor v.
DEFINICION 4. VECTOR DE POSICION
Todo vector que tiene posición ordinaria, es decir,
al vector que tiene su punto inicial en el erigen se llama uecioe
de posición o ziadío vector.
Observaciones:
%
1. El vector localizado PxP2 es equivalente al vector de posi
ción v=?2-?i. La ley del parlelograno hace evidente esta equi
valencia. (Figura 5)
2. La notación P(x,y) identifica un punto en el plano y sus coor
denadas (x,y) identifican a un vector o a su representación
Figura ¿ Figura 5
Veciore*
Ejemplo 1
Solución.
Hallar el vector de posición de P 1P 2 si Pi(5»-2) y
P 2(2 ,3). Interpretar geométricamente el resultado.
V = P l P 2
Según la definición 3:
= ?.-?!
= (2,3)-(5,-2)
= (2-5, 3+2)
= (-3,3)
► x
Ejemplo 2. Un vector que va de R(3,5) a S(x,y) representa al mi
mo vectorque va de S(x,y) a T(8,1). Hallar S(x,y).
Solución. Sean: a = R S = 2 - & = (xfy)-(3,5) = (x-3,y-5)
t = ST = f - 3 = (8,1)-(x,y) = (8-x,1-y)
Si a=1> (x-3.y-5) = (8-x, 1-y)
x-3=8-x -*■ x= 1 1 / 2
y-5=1-y y=3
Por tanto, el punto buscado es: S(11/2,3)
Ejemplo 3. En la figura adjunta se tiene:
OP=x3 y OQ=x2y. Si a=S, siendo
£=(y3+19»6+xy2). Hallar el valor de x+y.
Solución. La.s componentes del vector a
son OP y OQ + a=(xs,x2y)
Luego, si a=S
c3 = y 3+19 + x 3-y3=19
x2y = 6+xy2 + x 2y-xy2 =6
( 1 )
( 2 )
Multiplicando por 3 la ecuación (2) y restando de (1) se tiene:
x 3-3x 2y+3xy2-y3 = 1 (x-y) 3=1 , de donde: x=y+1 (3)
Sustituyendo (3) en (1) obtenemos:
y2+y-6=0 y= - 3 ó y=2
Descartamos la segunda alternativa ya que en la figura dada, OP
es negativo. Luego, en (3): x=-3+1=-2
.\ x+y=- 5
ro Ve.ciosi&¿
EJERCICIOS
1. Dados: a=(3,-4), £=(8,-1) y c=(-2,5), hallar el vector v si:
a) v = 3a - 2Í + c Rp. v=(-9,-5)
b) v = ¿a + ^(£-c) Rp. v=(17,-19)
c) v = 2(a-S) + 3c Rp. v =('-16,9)
2. Hallar el vector x en las siguientes ecuaciones:
a) 3(0,-2)+2x-5(1,3) = (-3,-5) * Rp. x=(1 ,-8)
b) (15.-12)+2 (-6,5)+x = ¿(1;-2) Rp. x=(|,-2)
♦
3. En las siguientes relaciones hallar, si existen, todos los
números reales r y s.
a) r(-2,3)-s(8,1 ) = (16,15) Rp. s=-3
b) r(5,1)+s(-3f5) = (-2,8) Rp. r=1/2, s=3/2
c) r(-2, 3) + s(4,-6) = (0,2) Rp. ^r,s
4. Dados los vectores a=(3x-5,x-2y+2) y í=(x-y-2,3-2y), hallar
x e y de modo que: 3a=4b Rp. x=5, y=-9/2
5. Si a=(2m-3n,4n-m) y £=(2,-3), hallar los valores de m y n
que hacen que: a=5^. Rp. m=-1, n=-4
6. SI vector v=(3,2) es el vector de posición del segmento AB,
cuyo punto medie es C(3,1). Hallar las coordenadas de los
extremos del segmento A3. Rp. A(3/2,0), B(9/2,2)
7- Sean los puntos ?(5/2,5), QO/3,13/4), R(-l6/5,7/2) y S(x,y)
Si PQ y RS representan al mismo vector, calcular el valor de
30x+80y Rp. -21
8. Sea v=(7,-ó) el vector de posición del segmento AB y C(-|,3)
el punto de trisección más cercano de B, de dicho segmento.
Hallar las coordenadas de A y B. Rp. A(-3,7), B(4,1)
9. Sean A(a,-2), ‘B(2,4)„ C(8,-3) y D= (x,y)/y=2x+1 . Si AB=GI))
hallar el valor de a-x. Rp. 8
10. En la figura adjunta se tiene:
0P=x3 y 0Q=6-x
Hallar a, si $=(9xy-y3,y) y a=t.
VectoneA o/
1.5 MAGNITUD DE UN VECTOR
Para cada vector veR2, v=(x,y), existe un escalar o número
llamado nonma, módulo o magnitud de v, denotado por ||v||, tal
que:
= /x 2+y 2
La fórmula (3) es coincidente con la
noción intuitiva de longitud de un
segmento derivada del Teorema de Fi-
tágoras. La Figura 6 ilustra esta pro
piedad.
(3)
(x.y)
Figura 6
Ejemplo 1. Hallar la magnitud del vector de extremos A(1,3)
B(-2,7).
Solución. Si v es el vector que va de A a B, entcnces:
v = AB = 5-í = (-2+1f 7 - 3 ) = ( - 3 , 4 )
Luego, según ( 3 ) : | | v | | = / ( - 3 ) 2+ ( 4 ) 2 = 5
PROPIEDADES DE LA NORMA DE UN VECTOR EN R2.
Nií ¥acR2 , ||a||>0 . n
N2: ||a||=0 a = 0 f )
N 32 ¥teR , ¥aeR2, ||ra|| = |r|||a||
N*: ¥a,í>eR2, | |a+í| | ^||a|| + | |1>| | (Desigualdad triang.)
Demostración de Ni:
En efecto, si a=(x,y) -*■ ||a| | = /x2+y2
Si x^O e y^O + ||a|| ¿ 0.
Sabemos que si existe la raiz cuadrada de un número, esta
es positiva, por lo tanto, ||a||>0.
Demostración de N 2:
(-0 Si a=6 a=(0,0) -► | |a| | = /O^+O2 = 0
(«-) Si ||a||=0 # ||a|| = /x2+y2 = 0 . La igualdad es váli
si x=y=0, esto es, a=(0,0)=0. ||a| | = 0 «-*■ a=0
10 Vcctc
Demostración de N$:
En efecto, si a=(x,y) * ra=(rx,ry)
y ||ra|| = /(rx)2+(ry) 2 * /r2(x2+y2) = /r2 /x2+y2
Por consiguiente i ||ra|| * |r|.||a||
1.6 DILECCION DE UN VECTOR EN R2.
A cada vector no nulo, v=(x,y)eR2, le corresponde una direc
ción dada por la medida del ángulo a (ángulo de dirección de v),
que forma el vector con el semieje positivo de les X, para el
cual:
Sena =
1 1*11 /x2*y
<*)
Cosa =
11*11 /x*+y
y 0o i m(o) í 360°.
De las ecuaciones (¿) se sigue que:
v = (x,y ) = ||v||(Cosa,Sena) (5)
Por tanto, un vector queda determinadc por su magnitud y su di
rección.
Observación. La dirección m(a) del vectcr v se obtiene de la ma
ñera siguiente:
Mediante un ángulo de referencia ai y haciendo uso de una tabla
de valores se halla el valor de <xx con C°<s(ai)<90° para el cual
Si x>C
x<0
x<0
x>0
P
P
y>0
y>0
y <0
y<0
Tgai = ¡*¡ , x/C
a(a) = m(ai)
m(a) * 180°-ic(ai)
m(a) = 18C°+m(ax)
m(a) * 360°-o(ai)
(Cuadrante I)
(Cuadrante II)
(Cuadrante III)
(Cuadrante IV)
Desde luego, si x~0 pero y¿0, entonces m(a)=9C° ó m(a)»27C° res
pectivamente para y>0 ó y<0.
Ejemplo 2. Hallar la magnitud y dirección del vector v=(-3,¿).
Ve c.to/Le¿ 11
Solución, Según (3)» la magnitud del
vector v es:
llvll = Á - 3 ) 2 + U ) 2 = 5
Por las ecuaciones (4) la dirección
del vector está dada por:
Sena = 4o
Dado que Sena>0 y Ccsa<0, entonces a está en el II cuadrante
Angulo de referencia: Tgai = \~^\ - ^ ai = 5308*
Por tanto: m(a) = 180°-53o8' = 126°52*
Ejemplo 3. Expresar el vector v=(3,-3/3) en términos de
nitud y de su ángulo de dirección.
su mag
Solución. Según (3): ||v|| = /(3)2+(-3/3) 2 = 6
y por las ecuaciones (¿):
/"3 iSena = — ^ y Cosa = -g
Como Sena<0 y Cosa>0, entonces a está
situado en el IV cuadrante.
Angulo de referencia: Tgai = |̂ | = /3
de donde: m(ai)=60° + m(a)=360o-60°=300°
Por tanto, según la ecuación (5):
v = 6(Cos300°,Sen300°)
1.7 VECTOR UNITARiO
un
Dado
vector
un vector no nulo v=(xry), llamamos vecto/i uniianio a
u que tiene la misma dirección de v para el cual:
x % y
o bien:
■+u =
-+•
V
-y
V
= ( ■yv
u = (Cosa , Sena)
) (6)
(7)
Ejemplo 4 Hallsr un vector unitario que tiene la misma
ción y sentido del vector v=(-3»/7)
direc-
SoluciÓn. Según (3): l|v|| = /(-3)2+(/7) 2 = 4
12 Vcctosie.*
* _ (-3,/7) _ ¡ 3y por (6 ;: u ------j-------( - 7 , - 7 )
Ejemplo 5. Hallar un vector de modulo 10, que tenga la misma
dirección y sentido opuesto al vector que va de
SU, 2) a T(1,6).
Soíucíin. Sea v=ST=$-§=(1-4,6-2) = (-3. ¿)
Un vector unitario en I b. dirección de v es:
~ . Luego, el vector tuscado es: v = -||v||u
v = ( 6 , - 8 )
EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 el i, se dan las coordenadas de los
puntos A y B. Expresar cada vector v=AB en términos de su
magnitud y de su ángulo de dirección.
1. A (.-3,1) , 3(-5,6)
2 . A(/l2,-3) , B(/27,-¿)
3. A(5/3,4) , B(/4?,5)
A. A(3/5>-/i5) » B(/2Ó,-/60)
R. v=2/2(Cos135°,Sen135°)
R. v=2(Cos330°,Sen330°)
R. v=2(Cos150°,Sen150°)
R. v=2/3(Cos2A0°,Sen240°)
5. Hallar un vector v cuya magnitud es igual a la del vector
. .
a-“(4.,-3) y cuya dirección es la misma que la del vector
t - ( 1 l / 5 ) - Hp. ? . ( | . ^ 2 )
6. Hallar un vector de modulo 10 que forma un ángulo de 37°
con el eje X positivo. (Sug. Cos37°=4/4) Rp, v=(8,±6)
7. Hallar un vector de módulo 15 que forma un ángulo de 53°
con el eje Y positivo. (Sug. Cos53°=3/5) Rp. v=(-12,9)
S.jj^Hallar un vector que tenga la misma magnitud del vector que
* va de A(-2,3) a B(-5»4) y que tenga el sentido opuesto al
vector que va de S(9.-1) a T(12,-7). Rp. v*/5(-1,2)
9".?-Hallar un vector v de longitud 6/3 y que tiene la misma di
rección de un vector que forma un ángulo de 30° con el sen
tido positivo del eje X. Rp. v = (9,t3v^3)
V e.ci.o/ie.6 13
OPERACIONES VECTORIALES
1.8 ADICION DE VECTORES EN EL PLANO
Dados dos vectores a y $ en R2 tal que a=(xi,yi) y
$=(x2,y2), definimos la adición del modo siguiente:
a+S = (xi,yi)+(x2,y2) = (xi+x2,yi+y2)
Por ejemplo, si a=(5,-7) y $=(-3,2), entonces:
a+$ = (5-3.-7+2)
= (2,-5)
PROPIEDADES DE LA ADICION VECTORIAL. Si a,í> y c son vectores
en R2, entonces se cum
plen las siguientes propiedades:
Ai: (a+b)eR2 Clausura
A2: a + í = í + a Conmutatividad
A a: (a + í) + c = a + (S + c) Asociatividad
A*: 30eR2 , ¥aeR2/a+0=9+a = a Elemento neutro para la adición
A$: VaeR2 , 3 (-a)eR2/a+(-a)=(-a)+a = 0 Opuesto de un vector
Demostración de Ai:
En efecto, si a=(xi,yi) y Í=(x2,y2), entonces:
a + .% = (xi+x2, yi+'y2) (Def. 1)
Puesto que la adición es cerrada en R
-► (xi+x2)eR y (yi+y2)eR
Por tanto: (xi+x2,yi+y2)eR2 (a+b)eR2
%
Demostración de A2: Consta de dos partes: Existenciay Unicidad.
Existencia. Si a=(x¡,yi), se tiene:
a + 0= (xifyi)+(0,0) = (xi+0,yi+0) = (xi,yi) = a
Análogamente: 0 + a = a
Unicidad. Sea 9i otro elemento de R2 que también cumple
a + 6i = 6 1 + a = a
Esta igualdad es cierta ¥aeR2, en particular si a=9, entonces:
u Ve.cio/te.4
6 + 0i = 0i + 0 - 0
Análogamente, haciendo a=6i en Ai» se tiene que:
0i + 0 = 0 + 0i = 0a
Por lo que las dos igualdades anteriores prueban que
0 i = 0
Se deja al lector demostrar las propiedades A2, A 3 y As haciendo
uso de las propiedades que cumple la adición en R.
1.9 REPRESENTACION GRAFICA DE LA ADICION DE VECTORES EN EL PLANO
Dados a y íeR2, la flecha que representa a la suma í+íl se
obtiene de la manera siguiente:
Representamos una traslación a lo largo de una flecha cualquiera
que represente al vector a=(xi,yj) seguida de una traslación del
punto final de esta flecha a lo largo de la flecha que represen
ta al vector Í=(x2»y2)* La traslación total correspondiente al
vector a+t, es una flecha que tiene como punto inicial el del
vector a y como punto final el del vector í. (Figura 7)
En esta construcción los vectores a y b son lados adyacentes de
un paralelogramo y la suma a+b es la diagonal correspondiente.
La obtención de la suma de vectores siguiendo este procedimiento
recibe el nombre de te.y det payiate.togA.amo, que se ilustra en el
siguiente ejemplo.
V&ctonc* 15
Ejemplo 1. Dados los vectores a = (-1,4-) y S=(3»2), hallar a+S y
*
construir una gráfica que
nes ordinarias correspondientes a los
Solución. Por definición:
a+? = (-1+3,4+2)
= (2 , 6)
Observemos que la flecha que va de S
a T representa al vector a y la fle
cha que va de R a T representa a 1>.
(Por segmentos de paralelas)
DEFINICION 5. NEGATIVO DE UN VECTOR EN R2
Si aeR2, tal que'a=(x,y), se denomina negativo o
inverso aditivo de a al vector:
-a = (-x,-y)
Por ejemplo, el negativo del vector
a=(-3,2 ) es -a=(3,-2 )
Observación. Dado el vector aeR2,
su negativo -aeR2 es
colineal, de la misma magnitud; es
to es: |-a|=|a|, pero de sentido o
puesto que el vector a.
muestre las representacio-
vectores.
1.10 SUSTRACCION DE VECTORES
Dados dos vectores a,SeR2, tal que a=(xx,yi) y í=(x2,y2),
definimos la diferencia a-í> del modo siguiente:
a - í = a + (-Í) = (xi,y i) + (-x2,-y2)
a - í> = (xx-x2,yi-y2) (8)
Ejemplo 2, Si a=(4,2) y S=(-3>3)> hallar la diferencia a-S y tra
zar una gráfica que muestre la representación ordina
ria de los tres vectores.
óvluci&n. Por definición: a-í = (U, 2)-(-3»3) = (á,2)+(3,-3)
= U+3,2-3) •= (7,-1)
16 Vecto/ie¿
La representación ordinaria de cada uno de ios vectores se
muestran en la Figura 8. Debemos destacar que, el inverso aditi
vo de (-3,3) es (3,-3) (negativo del vector í¡), que es colineal
y de la misma magnitud que (-3»3) pero de sentido opuesto.
La representación geométrica de a-S puede obtenerse aplicando
la regla del paralelogramo a la suma a+(-?>). La Figura 9 nos mu
estra otra manara de representar la diferencia a-^.
/■
y
(-3 ,3 )
X
- J L ' 2 )
\S
0
■ V a_D -''i7--1)-os ^
(3 ,-3 )
Figura 8 Figura 9
Observaciones:
1 Si a, SeR2, entonces la diferencia a-S satisface la condición
í+(a-b)«S, lo que explica porque algunas veces se dice que la
diferencia a*S ®^_el^vector^ que v.a de $ â a.
2. El vector diferencia une los puntos finales de los vectores
S y a (Figura 9)-
3* Si a, ícR2, son vectores no nulos, entonces a-S ¿ S-a
Ejemplo 3. Sea x un vector tal que (3,-i)=x+(1,-6). Si
(3,-2 )=tx+r(-1 ,1 ), hallar el valor de 3r+6t.
ScCución. En la primera ecuación se tiene:
(3,-¿)-(1,-6) = x + (1,-6) - (1,-6)
+ (3-1,-4.+6) = x + 0
+ (2 ,2 ) = x
Luego, si (3,-2) = t(2,2)+r(-2 ,1 )
Por igualdad de vectores: 3=2t+2r
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-5/3 y t=-l/6
•\ 3r+6t = - 6
+ (3,-2) = (2t+2r,2t+r)
y -2=2t+r
(AJ
Vcctoneó 17
\
Ejemplo 4. Dados: a=(-2,2), ?>=(3,-2) y c=(-1,l), resolver la e-
cuación: 3a - 2 [3(t>-2c) + 2aJ + 3x = 2c + x.
Solución* Restando 2c+x a cada extremo de la ecuación dada
tiene: 3a-6(S-2c)-4a+3x-(2c+x) = (2e+x)-(2c+x)
-a-6l>+1 2 c+3x-2c-x = 0
de donde: 2x = a+6Í-10c = (-2,2) + 6(3»-2)- 10(-1,1)
= (-2+18+10 , 2-72-10)
= (26,-20)
x = (13,-10)
se
• •
Ejemplo 5. Mediante segmentos orientados demostrar la propieaad
Aa: (a+S)+c = a+(S+c).
1
De.mc¿¿/iación, En efecto, sean los segmentos orientadas:
PT = a , TS = S , SR = o
Por la interpretación gráfica de la
suma de vectores se tiene:
En el APTS: P S = P T + TS = a + í>
En el ATSR: TR = TS + SR=í¡ + c
En el ¿PSR: PR = PS + SR
-*■ x = (a + S) + c (1 )
En el APTR: PR = PT + TR
PR = x
x = a + (S + c) (2 )
Por tanto, de (1) y (2) se sigue que: (a+í) + c = a+*($+c)
Ejemplo 6. Sean a=(-2,3) y í=(4-,-3). Un segmento dirigido, que
2“* 1 ̂representa a (•ja--gb) tiene por punto inicial
S(5,-3/2); hallar el punto final.
Solución, Sea T(x,y) el punto final del segmento ST.
Entonces:
Si ST = |a - g1> -►
(x-5.y + 4) = (-2,í)
Í-S = §(-2,3) - gU,-3)
{x-5 = - 2 -► y+3/2 = 5/2 x=3 = 1Por tanto, el punto final es: T(3»1)
18 !/ecto*.e.¿
Ejemplo 7. Se tiene: 2(2,-3)+c = (3,-5)+(a,7) y c está sobre la
recta L:y=x+2. Si A(3.5) y B(-2.6), hallar el punto
P tal que PC = -AB.
Solución, Si ceL + e=(x,x+2)
- 2(2,-3) + (x,x+2) = (3» "5) + (a+7>
{x = a- 1x+2 = 8 x=6Luego, c=(6,8) . Si P(xi,yi) y PC=-AB
(6-xi,8-yi) = (5.-1) '*“*■
p(i,9)
-► c-P = -(B-A) = A
6-xi = 5 * xi=1
8-y i = -1 -*■ y =9
-B
Ejemplo 8
ma de ?>+c*
Los vectores a,S y ceR2, cumplen que: a+2Í=c y
a-3Í=2c. Siendo a un vector unitario, hallar la ñor
Solución• De las ecuaciones dadas se tiene
Luego, c-2Í¡ - 2c+3Í = -5$
Sustituyendo en (1) obtenemos: % ~ - -̂ a
ií+cii = 4 ii¡nEntonces: í>+c = -̂ a
Como a es un vector unitario = 1
a = c-2$
a = 2c+3Í
• * |í+c
( 1 )
(2)
¿7
Ejemplo 9. En la figura adjutíta se tiene:
. 5OM = |x y 0L=27/2
Si a=(2x3» lx2+4y2) y $=(^xy2, - -|xy), hallar
x-y de modo que: 2s = (-j)a-2 o.
Solución• Las componentes de s son OM y ÓL + s 27
* x
Luego: 2(|x,¿|) = ^(2x3, ¿x2U y 2) - 2 (^xy 2, - -|xy)
<5x,27) = (|x9- |xy2, j x 2+ j y 2+ |xy)
5x = |x3 - ycyz
27 = -|x2 + *|xy + -|y2
Ve.cto/ie.4> 19
if = (x+y) (x-y)
= (x+y)z + (x+y) = ¿
( 1 )
(2 )
Sustituyendo (2) en (1) se tiene: ¿(x-y) = 122
x-y = |
B
Ejemplo 10. Sea el exágono regular.de lado a,
mostrado en la figura. Al sumar
BA, AC, DC y AE se obtiene un vector s; hallar
la norma de s.
Solución• Por geometría elemental sabemos
que Jl$=r=a y ¿ 3=r/3* entonces:
| |AC | |=||AE||=a/J , por ser lados de un
triángulo equilátero.
Trasladamos los vectores indicados a un
sistema bidimensional con origen en A cu
yo eje X siga la dirección de AD, y apli
cando la ecuación (5) tenemos:
BÁ = | 1BA | | (Cos240o,Sen2¿0o) = aí-j,*^)
AC = | 1 AC | | (Cos30°,Sen30°) = a/5(^ , = a<f ' ̂
DC = ||DC||(Cos120°,Sen120°) = a(- ~ , )
¿1 = | |ÁE| |(Cos330°,Sen330°) = a/5(¡^| ,-\) = a(| , - & )
Luego, s = BA + AC + DC + AE = (2a,0)
.% Ilíll - 2a
Ejemplo 11. En la figura adjunta se tiene:
I I a I I =3. M$||=2 ||c||=2/ÍÓ ,
Tga=l/3 y Tg8=3. Hallar el valor de m de mo
do que:
■* J_ oí *ma + 3b = nc
Solución, Si Tga=1/3 + Sena=1//Í0 y Cosd=3/*/T0
Tg6=3 SenB=3//10 y CosB=1//Í0
Un vector unitario en el sentido de a es (1,0) a=3(1,0)
2C V e.ct.OA*ró
S = | |S| | (-Cosa,-Sena) = 2/TÜ(-3//T?J,-1//Tü) = (-6,-2)
c = 11 c| | (CosB.Senfí) = /Tü( 1//TÜ*, 3//TU) = (1,3)
Entonces, si m(3#0) + 3(-6,2 ) * n(l,3)
Sustituyendo en (1) obtenemos: m-16/3
3m - 18 = n (1)
0 - 6 * 3n -► n=-2
Ejemplo 12- En el gráfico se presenta una
pirámide regular cuyas aristas
laterales miden 2a. Si el lado de la base
cuadrada mide a, calcular: | |?i + falJ.
Solución.. En el plano BVD se tiene:
fi = BP + PV
? 2 = D P + P V = - P D + P V = - 3 P + P V
Luego: + f* = 2PV -► ||?i + ?a|I = 2| |PV||
- 1 I?» + f.l I - 2h = 2 A z I y T ^ y
de donde: | |?i + ?2 || - a/TZ
Ejemplo 13. La figura adjunta es un tetrao
dro regular de arista a, M es
ci -unto medio de AC- Si s=vi+V2+V3+v*, ha
llar la norma de s.
Solución. En el ABVC: CB = v* + v2
En el AAVM: AM= vj + íj
Efectuando la suma se tiene: s = C B + A M = C B + M C = M B
*** I I a I | = | | MB | I (Altura de un triángulo equilátero de lado a)
- I l s i l =
Ejemplo 1̂ . En el triángulo ABC, M es un
punto de ÁC tal que ÁM = ^MC
Si la norma del vector BM es 2, hallar la
norma del vector: v = 2BÁ + 3BC.
»
Solución. En el AAMB: BÁ=BM-ÁM = BM - |mc
En el ABMC: BC = BM + MC
21
Luego: v = 2(BM - ^MC) + 3(BM + MC), de donde: v = 5BM
/. I Ivf | = 51 | BMI I = 10 '
Ejemplo 15. En la figura adjunta, el trián
gulo OAB es isósceles con 0A=AB
y PH es perpendicular a 0B y mide 6 unidades
Si I IAQI |=21 |QB||, hallar | |PQ| |.
Solución, Sea 0H=x + P(x,6)
AOMA * AOHP AMPH
OM
OH
8
z
2
x
(1 . 6) PA = Í-? = (2 ,8)-(|,6) = (^.2 )Luego: P(^
Además: AB = í-t = U , 0 ) - ( 2 , 8 ) = ( 2 , - 8 )
Si I|AQI|=2||QB|| - ÁQ = |ÁB = |(2,-8)
En la figura: PQ = PÁ + AQ = ( ^ , 2 ) + | ( 2 , - 8 ) = -g(11f -20)
I iPQl I = 4 /(11) 2 + (-2C) 2 - 1 /521
Ejemplo 16. La figura es un prisma rectan
gular- de altura 3h y sus bases
son triángulos equiláteros de lado 2h. P es
punto medio de AB, Q es punto medio de FE ;
hallar la norma de PQ.
Solución, Si por P trazamos PM||BC, entonces:
I |PM|| = 1 \ |BC|| = h
Por el teorema de Pitágoras: ||PQ||a= I|PM| | 2 +| |MO | |
+ I | PQ | | 2 = h2+(3h) 2 = 10h2 II PQ I I =’ h/TO
Ejemplo 17. En la figura adjunta, si P
es tal que el área del trián
guio APC es el doble del área del trián
gulo CPB; hallar ||CP||.
Solución, Por geometría elemental sabe
mos que:. a(AAPC) _ AP x PC _ AP _
a(ACPB) PB x PC PB
22 Victo**.*
de donde: AP * 2PB £ - 1 = 2 (S - £)
♦ (xU.y-2) = 2(2-*, 10-y) x+4 ® 2(2-x)
y-2 = 2(10-y)
x=0
y=22/3
Entonces: CP * * (0,-2— )-(2,2) * ^(-3,8)
Por consiguientes 11CP11 = ^ /(-3)2+8a 3 ^ /73
Ejemplo 18. Si ABCDEF es un exágono regular
cuyo lado aide a unidades, cal
cular el valor de: | |*jAE + ^5f ||.
Solución* Trasladando los vectores a un sis
tema cartesiano de origen A y eje
X sobre AD, tenenos:
ÁÉ = | |1É| |(Co8330°,Sen330°) = - ■£)
.* F _ = §(3,-/3)
CF == ||C?||(Cos2A0o .Sen2AQ°) = 2a(--|, - ̂ )
- CF = a(-1,-/3)
Luego: -^AE + ^CF = ^(3,-/3) + ^a(-1,-/5) = -g( - 1, - 5/3)
5/3)2 = | /T3
Ejemplo 19. En el rombo de diagonales D
y d tal como se indica en
la figura, hallar la norma del vector: p <
V - V j + V 2 + V , + V %
donde los vectores v 1,va, v 3 y llegan j
a los puntos medios de los lados del rom I
bo. k
Solución. Considerando un sistema cartesiano con sus ejes X e 1
sobre las diagonales PR y SQ, respectivamente, teñe-
Rí - ? - í «mos: vi =
v i
I
PQ
v«
' - i ’ - f r K
Vzc tone.* 23
v = QH = Í - $ . /D d\- ^ ’~ v
Luego: v * Vi + V 2 V 3 -»•Vi,
• t
- (o ,
= (0,-d)
-)2 « i
i t V 1 I = d
- f a,
EJERCICIOS
« ^ ^ 4a 2En los ejercicios del 1 al $, si a,o y c son vectores en E ,
demuestre la validez de cada afirmación.
1. a + S = í + a (Propiedad conmutativa: A2)
2. a + (-a) = (-a) + a = 0 (Inverso aditivo: A$)
3. Si a + í = c a = c - í>
l, Si a + S = S ->- a = 6 (Unicidad del‘idéntico aditivo)
5. Si a + í = 0 +■ a = (Unicidad del inverso aditivo)
6. Mediante segmentos orientados demuestre la oropiedad k2i
a+S = % + t .
7. Dado el triángulo ABC, demostrar que: AB + BC + CA = 6.
(Sug. Usar la def.3: AB=§-Í)
8. Dados los vectores a=(5»2), 1>=(-3»A) y c=(7,¿); resolver la
ecuación: 2x tpa - 3% = 4c. Rp. x=(-3>9)
9. Sea x un vector en R2 tal que: (-5,2)=2x+(1,-8).
Si (-5»3)=tx+r(2,-1), hallar el valor de 2t+r. Rp. -2
10. Dados los puntos A(5,1)> B(-2,3), C(-3»-2) y D(1,-4); deter
minar el punto X(x,y) de modo que: 3AB-XD = 3AX - ^CD + BC.
Rp. X (-2,17/2)
11. Se tiene 2 [(5,-1)+?J =3(1 ,3)-(-1, a). Si A(2,3), B(3,-1) y el
punto final del vector c, en posición ordinaria, está sobre
el conjunto P={(x,y)/y=x2-1); hallar las coordenadas de un
punto P tal que: AP+2PC=AB. Rp. p(-9,9)
12. En el exágono regular ABCDEF, de lado a,
hallar la norma de s, sabiendo que:
s = §(AD + ¿DE) + ^EB. Rp. -2a
Ve.ctoA.A-6
Siendo a=(5,-2), í=(2,-5) y c-(
tario en la dirección y sentido
3,1 ), hallar un vector uni
de v=2a-3Í+4c.
♦ / 8 15Rp. U = (- , 17 )
La base de la pirámide regular de la fi
gura es un exágono regular de lado a.
Si VÁ=VB=VC=VD=VÍ=VF=bF hallar la norma
de s, si s = VÁ+VB+VC+VD+VÉ+VF.
Rp. 6»/b2-a2
Dados los vectores a=(-5#2) y 1>=(3»-¿}f hallar un vector u
nitario de sentido opuesto al vector a^í. Rp, u=(</5»-3/5)
En la figura adjunta, P es un punto tal
que el triángulo de área Ai es tres ve
ces el área del triángulo de área A2.
Hallar la norma del vector v.
Rp. ¿ /T 7
0 , 8 )
( - 6 , 0 )
Los vectores a,1¡ y c en R2, cumplen que: 2a-3Í=c y 3a-2Í=5c
Siendo a un vector unitario, calcular la norma de b-c.
Rp. 2/13
Se ¿lene un prisma rectangular de altura
2h y cuyas bases son triángulos equiláte
ros de lado h. Si A y B son puntos medios
de PQ y RS respectivamente, hallar ||AB||
Rp. | /T7
En la figura adjunta, OABC es un cuadra
do* P#Q»R y S son puntos medios de I0 3
lados OA,AB,BC y CD respectivamente. Ha
llar ||ST + BH|| si T es punto medio de
PQ y H es punto medio de QR. Rp; 2/2
Sean a y t vectores en R2 tales que í> es el opuesto de a.
Si í> tiene el mismo sentido que el vector c=(-1/3,1/4) y la
norma de a es 5, hallar el vector x=2S+a. Rp. x={-¿,3)
Vectoee* 25
1.11 MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
Dado un vector v=(x,y)eR2 y un escalar reR, el producto
del escalar por el vector es otro vector rv para el cual:
rv = r(x,y) = (rx,ry)
La magnitud de rv es ||rv¡|= |r|||v||
que la de v, aunque su sentido puede
vectores v y rv son paralelos.
y su dirección es la misma
ser opuesto, es decir, los
Nota. Al vector rv se denomina máítipío e¿ca¿ae de v.
REPRESENTACION GRAFICA. Según que r sea positivo o negativo la
/gráfica de rv puede ser:
*■ x
r>0 r<0
PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE UN ESCALAR POR UN VECTOR
SÍ a y 5 son vectores en R2 y r,seR (escalares), se cumplen
las siguientes propiedades:
Mi: raeR Clausura
M2: (rs)a := r (sa) Asociatividad
M 3: la = a Neutro multiplicativo
M* : •f .ra = 0 ++ r = 0 ó a = 9 Cero multiplicativo
M 5: - la = ■-a Inverso aditivo
M 6 : r(a+£) += ra + rS Distribuidad respecto a
la adición de vectores.
(r+s) a += ra +■ +sa Distribuidad respecto a
la adición de escalares
M 7: llrall = Ir |.Ma|| Magnitud respecto a múl
tiplos escalares.
26 Vecto/ie.¿
Demostración de Mc:
i) Si reR y a,$eR2, tal que a=(xi,yi) y $=(x2,y2), demostrare-
d o s que:
r(a + $) = ra + r$
En efecto: r(a+$) *. r[(x1 ?yx) + (x2,y2)3
= r(xi+x2 , yi+y2)
= [r{xi+x2) , r(yi+y2)J
= (rxi+rx2 # ryi+ry2)
= (rxx # ryx) + (rx2 t ry2)
« r(xx , yx) + r(x2 , y2)
= ra + r$
ü ) Si r,seR y aeR2, tal que a=(xxtyx) demostraremos que:
ra + sa = (r+s)a
En efecto: ra + sa = r(xi,yi) + s(xx,yi)
= (rxx » ryx) + (sxx » syx)
= (rxx + sxx » ryx + syx)
= [(r+s)xx , (r+s)yx3
* (r+s)(xx , yi)
= (r+s)a
1.12 VECTORES PARALELOS
Dos vectores a y $, no nulos, son paralelos o proporciona
les si y solo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro,
es decir:
a | |b a = rb , -VreR (9)
Observaciones:
1. Si r>0 y $7*0 -*■ a y r$ tienen la misma dirección y sentido.
Si r<0 y $7*0 ■* a y r$ tienen la misma dirección y sentidos
opuestos.
$ O
a - r$ a = r$
r>0 r<0
VeotcACM 21
2. Es conveniente establecer que el vector nulo 3 es paralelo a
todo vector, esto es:
0 | | a ó a||G , VaeR2
En efecto, si 0||a -+ 0 = ra = Oa (OeR)
3- Todo vector es paralelo a si mismo.
En efecto, si 1eR -+■ a = 1a , por lo que: aj|a , VaeR2
Ejemplo 1. Determinar si los vectores dados son paralelos.
1 ) S=U,- 1 ) , $=(-1 2 ,3)
2 ) $=(3,-6) , $=(1 ,2 )
Solución. 1) Si a i J $ ->• U , - 1 )=r (-12, 3) r=-l/3
[-1 = 3r - r=-1/3
Cono r es único y r<0, a y $ son paralelos, tienen la misma
dirección y sentidos opuestos.
2) Si a|¡$ - (3.-6)=r(1,2) [ 3 = r r=3
-6=r -*■ r=- 3
Como r no es único ■+• aJsfí, es decir, no existe ningún reR que
cumple (3,-6)=r(1 ,2 ), pues esto implicaría que 3=r=-3» lo que
es imposible.
Ejemplo 2. Demostrar que si a.SeR2 son vectores paralelosy o¿6
entonces existe un escalar r para el cual se ¿lene:
a = rí¡ >"
de.moMtAao.L6n. En efecto, sean a=(xi,yi) y Í=(x2,y2)> y sean ai
y a2 los ángulos de dirección de a y d respectiva
mente. Según las ecuaciones (4) se tiene:
Senai = — — , Cosai = Xl
I ! a * '
ya . X2Sena2 = — ~=— , Cosa2 =
b| I Mb
Como por hipótesis a es paralelo a S, entonces:
m(aj) = in(a2) ó m(ai) = m(a2) ± 180°
28 Vecione.4
de donde se deduce que: X\ ^ I ̂ I xt » y i ~ ^ ̂ y 2
ii^ii + -Ubi!
Por hipótesis ||Í|1^0t por lo que j ¡ es un nóaero real r,
' Ü l ‘
entonces: xj = rx2 » yj - ry2
Luego: (xi.yi) * r(x2iy2); o sea: a = r£
»
Ejemplo 3. Demostrar que si: a||í « £j|c y + allc*
Dcmo^ÍJLac¿6nP En efecto, si a¿8 y £¿0 . entonces:
i) a| |S a = rS /reR
ii) S||c *► t = se /seR
Luego, a = r£ = r(sc) = (rs)c + a||c
Ejemplo Demostrar que si 3=$+c y í| |a, entonces:
3 1 |a ++ c||a
í)e.mc¿t/iu$Í6n. (-►) Supongamos que 3||a -*■ 5reR/ a=ra
Pero por hipótesis: S[ |a 3seR/ í=sa
Luego, si c=*3-Í=ra-sa=(r-s)a ■+• c||a
(*■) Análogamente, supongamos que: c||a -*■ 3tcR/ c=ta
Pero por hipótesis t||a * 3aeR/ £=sa
Luego, si 3=£+c=sa+ta=(s+t)a -*• 3|¡a
%
*
Ejemplo 5. Si a=(1-2o,1) y £=(-7,ta+2), determinar los valores
de m, de moso que a sea paralelo s S.
Solución, Si a| fí ■** 3reR/ a = r£
*> (1-2m, 1) = r(-7,n+2) (D
[l=r(c+2 ) (2 )
Al dividir (1) entre (2) obtenemos: 2h2 + 3!d-9=0
de donde: m= - 3 ó m=3/ 2
-4
Ejemplo 6, Si a=(1,18) lo expresamos como a=x+y, donde x||£ e
y||c» Si £=(-1,4.) y c^(2a,3m), hallar el vector x.
Solución, Si x||£ x = r(-1 .4,)
y ||c + y = s(2m,3m) = sm(2,3) = t(2,3)
Vectone* 29
Luego, si a=x+y ♦ (1,18)=r(-1,¿)+t(2,3) ^1="r+2t 1 (D
( 2 )
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) obtenemos: r=3 y t=2
$ = ( - 3 . 1 2 )
Ejemplo 7. Se tiene que: a=(m,2m)f a-í=(2m,p), S||a y la norma
de a-í> es 20. Hallar la norma de í.
Solución., Si í||a ->■ $ = ra = r(m,2m) = mr(1,2) (1)
a-í = (2m,r) (m,2m)-mr(l,2 ) = (2m,p)
-*■ (m-mr,2m-2 ) = (2m,p)
Por igualdad de vectores: m-rm = 2m f de donde: r=-1
Luego, en (1): í = -m(1,2) + ||í|| = m/J (2)
Además: a-í = (m,2ro)+m(1,2) » 2m(1,2) ||a-b|| = 2m/3
Si ||a-í||=20 2m/5 = 20 m=2/5 . Finalmente en (2):
lltll- 10
Ejemplo 8. El vector a=(3,0) se descompone en dos vectores í> y
í paralelos a los vectores (2rt - -jr) y (p,-3p) reja
pectivamente, donde r^O y p^O. Hallar la longitud de í y í.
Solución. Si í||(2r,--|r) + í = ^(4,-3) = s(4,-3)
c| | (p,-3p) + c = p(1,-3)
Si t = t + c - (3,0) = sU,-3)+p(1.-3> -► | 3=‘4s+P
t0=-3s-3p
Resolviendo el sistema obtenemos: s=1 y p=-1
Luego: í = (4,-3) * l|í|I = /(4)2+(-3)a = 5
c = -(1-3) = (-1,3) - ilcM = /(~l)2+(3) 2 = /Tü
Ejemplo 9. Dados los vectores a=(2a,2), o=(6,n), c=(c,3n). Si
a||í||c, calcular el valor de an+c.
Solución. Si a|\t a = tí -► (2a,2) = t(6,n) -*-*■ X ^ a ~ ^
[ 2 = tn
Eliminando t del sistema obtenemos: an=6
Si í||e •+ í = re -»* (6,n) =r (c, 3n) (6=rc) (n=3rn)
de donde: r=1/3 y c=18. Por tanto: an+c = 24
Ve.ctcAe.4
Ejemplo 10. Si o=(/5,-/2ü) y c=(/TZ,/5); hallar | | v i | |. | | v2 | |,
siendo vi||í, v2||c y vi+v2=(-7,4).
Solución. Si Vj||í + Vj - s(/5,-2/5) - s/5(1»-2) = t(lf
v2 ||c -> v2 = k(2/3,/3) = k/3(2,l) = r(2,l)
- 2 )
ntonces, si: t(1,-2) + r(1,2) = (-7,4-) Jt+2r = -7
[-2t+r = í
Resolviendo el sistema obtenemos: r=-3 y t=-2
Luego: va = -2(1,-2) | I vi | | = ¡ -2 |/{1) 2 + (-2) 2 = 2/5
V* = - 3 ( 2 , 1 ) - I | v a I I = 3 / ( 2 ) 2 + (1) 2 = 3/5
04 0 Vi V 2 = 30
Ejemplo 11, La figura adjunta es un octaedro
regular de arista a en donde ac
túan los vectores vj , v2 , v 3 , vi* y v5. Ha-
llar | ) s | | si, s = vi + v2 +
Solución, Los vectores v¡ y v 3 son paralelos
y de sentido opuesto" + v¡ = -v3
Además: OA = n+vs + s - v2 + OA = AB
v 3 ,
, **■ , ■* v 3 + Vi* + v 5 •
4 4 11*11 = |¡Á3¡I = a
En la figura se tiene un exágono
regular cuyo lado nide a . Si
= I ! ? 3 I M I M M I Í S | | = a, hallar
b = f, * t 2 + ?, + f + * 5 *
Ejemplo 12.
| | s | |, donde:
Solución. Fi=r i* y í2=í 3 por ser paralelos y
de la cisma magnitud, dirección y
sentido. Entonces: s = 2?i + 2Í2 + f5
Trasladando estos vectores a un sistema de
ejes rectangulares se tiene:
?i = ¿(Cos90°,Sen90°) = a(0,1)
?2 = a{Cos60°, StíJibG0) - a(^ ,
f s = a(Cosí 80°,Sen180°) = a(-1,0)
Luego, 1 = 2a(0,1)+a(1,/3)+a(-1,0) = a(0,2+/3) * |!s||=a(2+/5)
r
i
Ve.ct 31
E J E R C I C I O S
1. Demostrar que: a||c , í| |c y c?¿0 a||t
2. Demostrar que para vectores no nulos a, ai , t • ti :
a| |ai f t||ti y a||t + ai||ti
3- Demostrar que si a y í tienen la misma dirección entonces:
lia + t|| = l|a|| + ||t||
4* Si £=(2,2m-3) y t=(1-m,-5)» determinar los valores de m de
modo que a sea paralelo a t. Rp. m=-1 ó m=7/2
5* Si a=(m, 5) + (3» 3) > t=4-(-m,-3)-2( 1,2) y aj |t; determinar el va
lor de c. Rp. m=2
6. Dadcs los vectores a=(a,3m) y t=(-2m,b). Hallar.a+b de modo
que a+S=(8,-¿) y sea a||t. Rp. 5
7. Sean los vectores a y í; a=(af2a), a-S=(2a,p), S||a y la ñor
ira de a-t e3 /112. Hallar ||t||. Rp. 2/7
8. El vector a=(xpy) es paralelo al vector t=(2,4-)# tal que:
u = , — *̂) es un vector unitario paralelo a ambos. Hallar
✓3 /5
el vector a. Rp. a=(±1,+2)
Sean a y í dos vectores en R2, tales que t es el inverso adi
tlvo de a. Si t tiene el mismo sentido que el vector
c=(-1/3»1/4) y ||a||=5f hallar x=a+2t. Rp. x=(-4,3)
10. Hallar la norma de la suma de los vectores unitarios u y v ,
si u||a y v|¡t sabiendo que a=U,-3) y t=(-5,0). Rp. /7Ü/5
11. Los vectores a y t son tales que a es del mismo sentido que
b, - 4 — = ( - ^ , y £=(1.3). Hallar 2x - Rp. 1
Maii m *05 2
9.
12. En la figura adjunta tenemos un cubo y como
,!techo” una pirámide regular, todos de aris
+ a a. Si s = DE + H + KC + HC + FG, hallar B
la norma de s. Rp. a
G
»«A
32
13. £1 vector e*(2,-1) es expresado coao c=a+$, donde los vecto
res a y t son paralelos a xs(3v»4i) e y=(-3n»-n), respectiva
nenie, siendo n/0 y n¿0. Hallar a-$. Rp- -¿(48,31)
14. En la figura adjunta, sea 0 la inter
sección de las diagonales de un cua
drado ABCD. Si 0 es el baricentro del
triángulo Isósceles APD con ||i£||=
I |FÉ>I |. Hallar Ifij.
Rp. HQ-(1/2,-3/2)
15* Dados los vórtices consecutivos de un paralelogramo A(7,-1),
B{-3*1) y C(-5.5). Determinar el cuarto vórtice D y la longi
tud de la diagonal BD- Rp. D (5* 3) » 2/T7
16* La figura aostrada es un paralelogramo
rectangular donde ||£E*|i=¿a, i |AF| | =3a
||AGjJx6a* Hallar ||s|| si:
s * XB + 0G + ÁB *AF
Rp. 13a
17. Si a*(a,b) y $*(1/2,-4/3) son dos vectores en R2. Hallar a+t
si II• Il=(l/3)/73 y si a y $ tienen sentidos opuestos.
Rp. 5/3
18. En la figura ABCD es un cuadrado de
lado 3a y A ,B ,C ,D I es un cuadrado
de lado a, si |(D rD 1 1 h a l l a r B rQ.
Rp. B*Q = ^(a,-a)
19. La figura representa un prlssa super
puesto a un cubo, si todas las aris
tas son de longitud a y si:
s = fe + cb + Iba + Im ♦ Igc
Hallar el valor de ||s||2.
Rp. + /5)a
t/ec¿osie¿ 33
1.13 PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
Dados los vectores a=(ai,a2) y í>=(bi,b2)» el producto esca
lar o interno de a y í se denota por a.í, y se define por:
a • S = (fli>32)*(bi,b2) — 3 i b i + a 2b ( 1 0 )
Observaciones:
i) El producto escalar de vectores es una operación cuyo resul
tado es un escalar y no un vector.
ü ) Si t,$eRn, entonces:
Í.S = aibx + a2b2 +
n
+ a^b = 2- a, b. n n i i
PROPIEDADES DEL PRODUCTO ESCALAR. Si a,1> y c son vectores en R2
y reR es un escalar, entonces
se cumplen las siguientes propiedades:
Ei: a.S = í.a
E2: r(a.í) = (ra).S
E 3: c.(a+c; - c.a + c.b
Conmutatividad
Asociatividad escalar
(a+S).
-»■En: a.a =
c = a.c +
a | | 2*0
S.c
Distribuidad
Magnitud respecto al producto escal.
Es: a.a = 0
INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO ESCALAR EN R2
Sean a y $ dos vectores y a-S (el vector que va de B a A). Si a
es perpendicular a í, ocurre que la representación geométrica de
los vectores a,S y a-í es un triángulo rectángulo, para los cua
les, por aplicación del teorema de Pitágoras se tiene que:
i - t \ z _ a + i i t i
+■
(a-S).(a-É) = ||S||2 + ||S||2 (En)
a.a - a.í¡ - í.a+ Í.S = ||a||2 +||í||2 (Eq)
||S|I2- 2S t + ||í||2 * ||S||a+||t||a (En)
de donde: -2a.S = 0 -*-*■ a.S = 0
Como hemos establecido la condición de perpen
dicularidad para a y entonces podemos dar
B
3 k Ve.cto/ie.4
la siguiente definición.
1.14 VECTORES O R T O G O N A L E S Dos vectores a y ? son ortogonales
si y sólo si a.?=0.
Si es el caso que a y ? son ambos no nulos, entonces se dice que
los vectores son perpendiculares y anotaremos:
a ± a. b = 0 (XI )
Por ejemplo, si a=(l/2,-3) y ?=(-2.-1/3)>
a.? = (1/2)(-2) + (-3)(-1/3)
Como a y ? no son nulos, entonces: al?.
entonces según (1 0)
= - 1 + 1 = 0
DEFINICION 6. Para cada vector a=(ai,a2)eR2, definimos un co
rrespondiente vector e^eR2, que se lee o/itogonat
a a, mediante:
= ( - a 21 e i ) (13)
Gráficamente el vector ax se obtiene
haciendo rotar el vector a-,-sobre su
punto inicial, un ángulo de 90° en di
rección contraria a las agujas del re
l o j .
Se verifica luego que si a xa*1, enton
+ + i Aces a.a =0,
En efecto, í -x -
ai
a,ax = (aiiaa).(-a2,ai)
= - a i a2 + a2 a i = 0
-a2 a i
• • a x a
PROPOSICION 1.2 (Desigualdad de Cauchy-Schwartz) Sean a y ? ve¿
tores en R2, entonces se cumple:
i ) | S . Í | « l l a l l | | t | |
ii> = ||a|| !¡S|| ~ a||S
Demo.i¿/iaci6n. i) Si a=0 o í=0, entonces se. nota claramente que
la proposición es válida.
Supongamos que a/0 y ?/0 y consideremos la función para un núme
ro reR:
f(r) = ||a+r? | | 2 = (a+r?).(a+r?) (1 )
y ocurre que f(r) ^ Ó , VreR
Ve.cio/ie.4 35
Desarrollando (1) nos dá el polinomio de segundo grado:
f (r) = (S.S)r^+2 (a,S)r + (a.a)
Completando cuadrados se tiene:
f ( p ) = r + - ^ í 1 2 ! - 4 4 1 - 2 +
L (S.S) ( i . i H ( t . S )
= (Í í) (r + Ü - V + (a.a)(t.t)-(a.t) 2V t.t) t.t
Si hacemos r0 = ~ | 4 - f(r0> = (a-t) ( ^ )-(a,S)2
b.b b.b
f •
Como f(r0) £ 0 y b.S = | |S||2>0, esto implica que:
(a. a) (í .Í)-(a.Í) 2i0 ( a . t ) z 4 (a.a)(Í.Í)
- |£.i|2 ^ | | £ | H I Í | |
la.Sl « \\t\\ llíll
( 2 )
• •
ii) Demostraremos que: la.íi] = l|a|| 11^11 **"* *I|Í• •
(♦) Si !||i - |S.Í| = ||S|I lltll
t
En efecto, si a||S a=rí¡
Luego: |a.Í| = |(rÍ).S| = |r(Í.t>)! = |ri||o| | 2
= |r|||Í||||Í|| = |írí||]|í||
/. is.ü = iiaii iiíii
(<-) Si lS.il = Mil II lili - ílli
En efecto, si |a.S| = | |a| | M Ü | - (t.t) 2 = |\t\ \ 2 [ |S| | 2
(a.Í)2=(a.a)(Í.Í)
Sustituyendo en (2) ocurre que: f(rc)=|a+roS|=0
a + r0Í = a - (-^3)í> = 0 a = r?>
b.b
Por tanto: a||S
PROPOSICION 1.3 (Desigualdad triangular). Sean a y t vectores
en R2, entonces: ||a+Í|| ^ ||a||+||Í||
Más aún: ||atÍ||= ||a||+ I|S|| si y solo si un vector es un múlti
pío escalar no negativo del otro.
Demo¿t/iac¿6n. En efecto: | |a+o| | 2=.(a+í>) . (a+S)
= | | a | ¡ 2+ 2 a . Í + | |Í|| 2
36 Ve.ctOA.e.4
- I |a+í>l 12 « 1|S||2 + 2\t.t\ + ||S||2
Por la desigualdad de Schwartz, se tiene que:
-> ||t+í|l2 .< Ilall2 + 2 1 |a| | ||t|| + ||£||2
• ♦
t I I + l l í l l ) 2
llí+tll 4 11*11 + I|*|I
Ejemplo 1. Demostrar que: ||a+í>||2 - ||a||2 + ||?||2 + 2a.í
De.mo¿t/iac¿&n. En efecto: ||a+?||2 = (a+í>).(a+S) (EO
= a.(a+S) + Íu(a+S) (E3)
= a.a + a,15 + ÍS.a + S.S (Es)
= a.a + t.t + 2a.t (Ei y Ea)
/. n t + s n 2 - iiaii2 + n t n 2 + 21.% (e^)
Ejemplo 2. Demostrar que a+S y a-l> son ortogonales si y sólo s
I I S I H I S I I .
De.moót/iac¿6n, Demostraremos primero la ortogonalidad.
En efecto, por hipótesis:
I I Í I M I Í I I + llall2 = ||í||2
t i l 2 - l l í l l 2 = 0
+ (a+S).(a-í>) = 0
Por tanto, según (11), a+í> y a-S son ortogonales.
Ahora demostraremos la igualdad de las magnitudes.
En efecto, por hipótesis, a+í y a-í son ortogonales
+ (a+í).(a-í) = 0
•+• a.a - a.í + í.a - S.íi = 0
- Hall2 - llfcll* * D ■* Hall2 = lltll2
Por tanto: ||a||=||t||
Ejemplo 3. Demostrar que: (a+í)"1 = aA + í)i
De.mo4¿siac¿6n. En efecto, sean: a=(ax,a2) y í=(bi,b2)
+ a + ? = (ai+bi,a2+b2)
(a + £)x = (-a2-b2f ai+bi)
Ve.ctCA.e.4 37
- (-a2,ax) + (-b2,bx)
( í + ? ) x = s a ; i x
Ejemplo 4. Demostrar que si el vector v=($a.c)a-(a^.cjS es para
lelo al vector c.
De.mo4ttA.ad6n. En efecto, sean a=(ai,a2)» í=(bx,b2) y c=(cj,c2)
vectores en R2,
/
(Sa.c)a = [(-b2,bi).(ci,c2)J (ai,a2)
= (-b2ci+bic2)(ai,a2)
= (-aib2ci + aibic2 > -a2b2cx + a2bxc2)
(aa .c)1> = [(-a2,ax),(cx,C2 )j(bi,b2)
= (-a2cx+axc2)(bx,b2)
~ (-a2bxci + axbxc2 , -a2b2Cx t axb2c2)
Restando (1)-(2) obtenemos:
v = (a2bxcx*axb2cx . a2bxc2-axb2c2)
= [(a2bx-axb2)cx , (a2bx-axb2)e2]
= ,(a2bx-aib2)(cx»c2)
El coeficiente de c es un escalar, por tanto:
•¥ i i +v = .re ■»* v e
( D
( 2 )
/
Ejemplo 5, Demostrar por métodos vectoriales, que un triángulo
inscribo en un semicírculo es un triángulo rectángu
lo.
De.mo¿t/iad6n. Supongamos el ABCA inscrito
en el semicírculo cuyo cen
tro es el origen y cuyo radio es j|í¡||.
Según la figura debemos probar que BC-LCA.
En efecto, BC.CA = (?-a).(S+a)
= Í>.S + S.a - a.ti - a.a B _a
= Il$lI2-Il a j | 2
Pero ||S||=||a|| per ser radios del semicírculo.
Por tanto: BC.CA = 0 BCJ.CA
Ejemplo 6 Resolver la ecuación: 2 [(1/2 ,6) + í 1 -
si í = ( 1,0) y j = ( 0 , 1) .
o - i - 2x
Soludón. 2[(l/2,6) + (1,0)“ - (xj,x2)] = (0,1)X - 2(xx,x2)
38 Vedo'ieA
(1,2) + (0,2) - 2( x i ,x 2 ) = (-1,0) - 2(- x 2 ,x i )
(2,1¿) = 2( x i ,x 2 ) - 2 ( - x j ,x i )
1 = Xi + x 2
(1,7) = (x1+x2,x2-xi) *-*■
7 = X 2 - Xl
de donde obtenemos: xi=-3 y x2=4 -► x = (-3,4)
Ejemplo 7. Sean a.íeR2, demostrar que si 2ax-S = 2Í>x-a, enton
ces a+í> es ortogonal a a-íi.
De.mo¿tA.ac.¿6n. En efecto, si 2ax-í>=2$x-a + a-í) = 2(íx-a1) (1)
Aplicando el ortogonal a ambos miembros de (1) y
haciendo uso de las propiedades: (a+ÍS)“ = ax+í>x
(ax)x = -a
se tiene: (a-í)J* = 2 (SJ_-a")"
+ ax-íx = 2 (-í + a) -+ ¿(a-í) = 2 (ax-$x) (2 )
Sumando (1) y (2) obtenemos: 5(a- í>) =0 *> a-í=0
Luego, (a+í>). (a-1>) = (a+í).0 = 0
Por tanto, según (11): (a+í) J_ (a-t>)
Ejemplo 8, Hallar la norma del vector í=(-3m,m), sabiendo que
ha sido descompuesto en el vector a=(-5,3) y en otro
vector paralelo al vector c=(1 ,1 ).
Solución. Si S=m(-3,1) + | |í|| = |m |/(-3) *+■( 1) 2 = |m|/TÜ (1)
y si: í>=a+rc m(-3,l) = (-5, 3)+r( 1 ,1 )
Multiplicando cada extremo, escalarmente por (1»1)“L, se tiene:
m(-3,1).(-1,1) = (-5,3).(-1,1) + r( 1,1). (-1,1)
-*• m(3+l) = (5+3) + r(0) , de donde: m=2
Por tanto, en (1) se tiene: ||í|| = 2/TÜ
Ejemplo 9. Si a y b son vectores unitarios y paralelos, hallar
la norma de ax+b.
Solución, Sabemos que si: a||í + a = rí
o bien: a||b ax.b = 0
Entonces: ||ax+b | | 2 = |\t¿||2+2ax.b + ||b| | 2
= (1) + 2 (0) + (1)
H a M l l = / 5
V c c io s ie .4 39
Ejemplo 10. Si a=(-6,15), í¡=(-2,9) y c=(-2ra,3m) y se sabe que:
x+y=a, Í\\t e y||c. Hallar x.y-*-.
Solución, Si x||í> **■ x = tí> -*■ x = t(-2»9) (1)
y II c + y = se + y = sm(-2,3) = r(-2,3) (2 )
Luego, si: t(-2,9)+r(-2,3) = (-6,15) - ( ' 2 t - 2 r = - 6 * t + r = 3
[9t+3r=15 + 3t+r=5
Resolviendo el sistema obtenemos: t=1 y r=2
Sustituyendo en (1) y (2): x=(-2,9) » y=(-4»6)
■\ x.yx = (-2,9) - (-6,-4) = 12-36 = -24
Ejemplo 11. Si a, í y a+í son vectores unitarios, hallar la ñor
ma del vector a-S.
Solución, Si el vector a+S es unitario ||a+í>|| = 1
+ ||a+£l| 2=1 - | | a | | z+2a.S+ I I I 2=1
-»■ 1 + 2a. í¡ + 1 = 1 a.í> = - 1 / 2
Luego: \\t-$\\2 = ||a| | 2 - 2a.S + \\t\ \ 2 = 1-2(-1/2)+1 = 3
a-í¡|| = / 3
Ejemplo 12. Si a+í>+c=0 y ||a||-2, ||í>II=5f ||c||=8; hallar a.?>
Solución, Si a+£+c=0 a+S = -c ||a+í> | | 2 = ||-c| | 2
- i|a|í2+2a.í+|\%\\2 = ||c| I2
-*■ 4 + 2a.í + 25 = 64
de donde: a.í> = 3 5 / 2
Ejemplo 13. Si a=(l,x), S=(2x,x) y c=(2x , - 1 ) , donde x es un nú-
«
mero real; hallar la suma de los elementos del con
junto M = {(x,y)/(a-c).b = a.c-1}.
Solución, Tenemos: a-c = (1,x)-(2x,-1) = (1-2x,x+1)
* M = { (x,y)/(l-2x,x+1). (2x,x) = (1,x). (2x,-1)-1}
= {(x,y)/2x-4x 2+x2+x = 2x-x-1 }
= {(x,y)/3xz-2x-1 =0}
Por tanto, si M = (xi,x2} Xi+X2=2 / 3
40 Ve.ctone.4
Ejemplo y(. Dado el vector í=(2,3) y la función f:R2-"R/f(p)=p.í>
El vector a es tal que f(a)=-1ó y a||c=(1,2). Calcu
lar la norma de a.
Solución. Si f(p)=p.S + f(a) = a.í = -16
a||c -► a =r c = r ( 1 ,2 ) (1 )
Entonces: a.íi = r(1,2).(2,3) -16 - r(2+6) **• r=-2
Luego, en (1): a = -2(1,2) \\t\\ = I-2 I/T+I = 2/5
Ejemplo 15. Sea el cuadrilátero PQRS.
Sean: a=PQ , S=QR , c=RS y
3=Sf. Hallar c.3 si se sabe que:
l|a+S||=7 . I|c||=3 y I |3||=5.
Solución. De la figura obtenemos:
S = a+S+c - | |3-c || = | |a+í | |=7
Elevando al cua.drado: | |31 | 2-2<l. c+| | c | | 2 = 49
+ 25 - 2c.3 + 9 = 49
de donde: c.3 =-7.5
Ejemplo 16. En la figura A , G y E son
puntos correspondientes a
vórtices de un triángulo equilátero ins
crito y los segmentos AB , GD y EF son
tangentes a la circunferencia tales que
MÁB||=3 , ||CD||=4, ¡|ÉF||=5. Hallar
s.u, si s = AB+CD+fF y u = (2,2/5).'
Solución. Traslados los segmentos AB,
CD y EF sobre un sistema car
tesiano de modo que sus puntos inicia
les cóincidan con el origen. Entonces?
AB = ||ÁB|!(CosO°fSenO°) = 3(1,0)
EF = | |ÉF| |(Cos120o,Sen120°) = 5(-¿/f)
CD = | |CD| |(Cos2A0°,Sen2A0o) = ¿(-1,-^2)
Luego: s = (3,0) + (-|,^2) + (-2,-2/3)
Por consiguiente: s.u = •|(-3,/5).2(1,/5) = -3+3 = 0
Ve.cto/ie.á
Ejemplo 17. En la figura, m(^ABC)=90° y
||OB||=3 . Hallar x si:
x = OB.ÓC + OÁ.OB - OÁ.OC
Solución. x = OB. (OB+BC)+OÁ.OB-OÁ. (OB+BG)
-► x = ||OB||J+OB.BC+OA.OB-OÁ.OB-OÁ.BC
= I |OB"l I a+BC (OB-OÁ) = I |OB| |2+bc.ab
Pero: BCxAB -*■ BC.AB = 0
• x = I IOB112 = (3) 2 = 9• #
Ejemplo 18. Dados a=(m,3p) y í>=(-2p,n). Hallar el valor de
de modo que: a+í>=(8,-4) y a.S=0 .
Solución, Si (m»3p) + (-2p,n) = (8»-4.) ^ fm-2p=8 + m=2p+8
L3p+n=-4 + n=-3p-¿
Además: (m, 3p) • (-n,-2p)=0 -mn~6p2=0 mn = -6p2
Sustituyendo (1) y (2) en (3) se tiene: (2p+8) (-3p-¿)=-6p2
de donde: p=-1 , luego» en (1 ) y (2) obtenemos: m=6 y n= - 1
• m+n _ c• • “"L” " * “ )
(D
(2 )
(3)
Ejemplo Un triángulo DBF se encuentra
sobre un plano inclinado como
se muestra en la figura adjunta. Hallar el
vector DF.
Solución, Tenemos: DF = DE + EF
I | OA | j = / 0 2 ) 2+(5) 2 = 13
Un vector unitario en el sentido de OA es: u = j^^
Entonces: DE = 3u = ! EF = 2u'L = 2 ( = (*T§»T3>
DF = + (-j§, = (2,3)
Ejemplo ZJd
a.í¡ + S. c +
Dados tres vectores unitarios a , í y c que satiafa
. cen la condición a+í+c=0, calcular el valor de:
•*a. c •
Solución, Si a+í+c^Q c lla+ÍH = M-íll
Ve ctojie.4
a
Elevando al cuadrado ambos miembros se tiene:
̂ 2 + 2a.t + ||í| | 2 = I |c ||2 — 1+2a.í+1=1
Análogamente se obtiene: S.
* a
•>a.% = -1 / 2
c = - 1 / 2 t a. c
*,í> + í.c + a. c = -3/2
= - 1/2
Ejemplo En la figura adjunta, los
triángulos OCB, PBS y RST
son todos ellos semejantes. Hallar RT
si P y R son puntos medios de OB y PS
respectivamente.
Solución. La figura muestra tres trián
gulos rectángulos isósceles,
en donde: ||0B||=4/5 y ||PS||= /(2/2)2+(2/5) 2 = 4
Un vector unitario en el sentido de OB es: u = - ^ = ^?(1,1)
4/2 2
Entonces: PB = 2/5u = 2(1,1) ; BS = 2/Ju1 = 2(-1,l) = (-2,2)
Luego: PS = PB + BS = (2,2) + (-2,2) = (0,4)
Un vector unitario en el sentido de PS es: v = -
Entonces: RS = 2v = (0,2) y SÍ = 2v-*- = (-2,0)
RT = RS + ST = (-2,2)
= (0 , 1 )
E j e mp 1 < V 2. Sea ABCD un rectángulo, una de cuyas diagonales tie
ne por extremos A=(-6,1) y C=(-2,8). Si los lados
de mayor longitud tienen el mismo sentido del vector a=(2,1 ); ha
llar los vértices B y D.
_ 4y
Solución. AC = C-A = (-2, 8)-(-6,1 ) = U, 7)
Si ÁB||a + AB = r(2,1)
BC | |a ->• BC = t (-1,2)
Como AC = AB + BC
+ (4,7) = r(2,1) + t(-1,2)%
De donde obtenemos: r=3 y t=2
Por tanto: ÁB=3(2,1 ) = ( 6 , 3) -*• B = J+ÁB = ( 6 ,3 ) + (-6,1) = (0,4)
BC = AD = 2(-1,2) = (-2,4) ■* D = Í+AD = (-6, 1) + (-2, 4) = (-8.5)
Vccto*ie¿ o
E J E R C I C I O S
Sean a y í vectores en R2. Utilizando las propiedades del
producto escalar, demostrar:
<
a) ||a+Í| | 2 - || a-Í| | 2 = ¿a.Í
b) M Í + Ü I 2 + ||Í-Í|I2 = 2 ( | |a| |2+| |S| |2)
Demostrar que los vectores a y Í en R2 son ortogonales, si y
solo si:
I |a+Í| ! 2 - ||S| | 2 + M Ü I 2
Dados los vectores a y ? , demostrar que:
a) (a*L)'t = -a c) a^-í*1, = a.Í
b) ax.Í = -a.Í-1- d)
Dados los vectores a y ? , demostrar que:
a) a.Í = -||a|| ||Í|i M a y ? tienen sentidos opuestos
b) | |a+Í| | = | |a| | + | |Í| | a y Í tienen el mismo sentido
Deducir de la desigualdad triangular que si a y Í están en
R2, entonces:
Mal M |S| I | « IIS+ÍII « I |a| 1 + 1 |S| I
(Sug. Escribir: a=Í-(a-Í), y aplicar la Proposición 1.3)
Demostrar que si a y ? son vectores paralelos en R2, enton
ces: |a.Í| = | |a| | | |Í| |
Si a y ? son vectores en R2, demostrar que:
a) .< \\t\\ Míll
b) |i.i^| = Mili Mili ~
Demostrar mediante un contrejemplo que a.Í=Í.c no implica ni
que b=c, ni que a=0.
Siendo a=(2,-3), Í=(-2,1) y c=(3,2), hallar un vector unita
rio ortogonal al vector v=5a-3(Í+c). Rp. ^=(§5*2 3)
Si a=(¿m,m-3) y b=2,m+3), determinar los valores de m tales
que a sea perpendicular a b. Rp. m=1 o m=-9
Ve.c,to*.e.¿
11. Expresar en la forma v=xí+yj el vector cuya longitud es 3/5
y es ortogonal al vector w=2a-3Í+5c, siendo a=(-1 ,2 ),
í>=(3,-5), c=(3,-4). Rp* v=3i-6j ó v=-3i+6j
12. Sean los, vectores a=(m2-3»m-1), í>-(4/m2,4/m), donde m^O es
un número real positivo. Si a y í> son ortogonales, hallar el
vector v=9Í>-4a. Rp* v=(19»22)
13. Si t=(1,0) y }=(0,1) resolver para x:
a) 3[íJ-+x-U/3,2)] = (9.-11 ̂ x M j Rp." £=(5,-1)
b) ( 6 , 12) + 3 [ ( -2 ,1 /3 )-2 3 '+ 3 Ía +x] = '^í+a^-í-1 Rp. $=(-1,-5)
c) 3(-2, -3)J" + ^¡x+Í-l-(3,-1)]'L = (5,2)1 -2xx Rp. x=(5,4)
14- Sean a y % dos vectores en R2. Si a es unitario y se cumple
que a.í=9/4 y a.(S+J)=3. hallar a. Rp. a= (±/7/4. 3/4)
15. Sean los vectores a=(x,x+4), $=(5x-5>x-4)• Si x>0 y a.í>=-10,♦ . w
hallar ||a+t>||. Rp. 5
16. Sean los vectores a, í y c tales que: ||a||=/Z5, \\t\\*3/2 y
í.c=12. Si a=í-c, hallar ||c||. Rp. 4/2
17. Sean los vectores a, $ y c tales que: a= í+c, |I a||=5, ||í||=
2/5 y £.c=10. Hallar ||c||. Rp. 5
18. Si a=(2,x), í=(x,-2x) y c=(x-2,x +1), donde x>0 y si (a+í).c=
a.í+1, hallar el vector v=a+í-t-c. Rp, v=(5,1)
19. Si a+S-c=0 y ||a||=2 , | |í| | =4/5, |!c| |=8; calcular a. c
Rp. 10
20. Sea el rectángulo ABCD de área 48u2 y cuyes dos vértices con
secutivos son A=(-2,5) y B=(2,1). Si la diagonal AC tiene el
mismo sentido del vector v=(5,1 ), hallar los vértices C y D.
Rp. C=(8,7), D=(4»11)
21. Si aaR y u=(a-2,5-3a) es un vector unitario, hallar el valor
de: j|a(u+2uA)+2ux||. Rp. 5 6 z/Tü
22. Sean a,í>eR2, ambos unitarios, demostrar que: | |*ga + -=jí|| < 1
k.
I ' c c í C A f á 15
RELACIONES ENTRE VECTORES
1.15 ANGULO FORMADO POR DOS VECTORES
Sean a y b dos vectores no nulos que tienen el eíscjo ori
gen y sea 6 el menor de los ángulos positivos formado per dichos
vectores, que satisface: 0 ̂ 6 ^ tt.
Los vectores a, S y la diferencia a-S
forman un triangulo cuyos lados miden
! I a I I. I!$ll y I ¡a-t>| !. (Figura 10)
Por la ley de los cosenos se tiene:
||a-$l|J=||a||2+||$||2-2¡|£||||£||Cos6
Desarrollando el cuadrado del primer
miembro obtenemos:
I |a-í>| |2=| | a | j.2+| ! S | |2-2a.í
Comparando ambas ecuaciones se deduce que:
Figura 10
«+■ +a.b = |)a|| ||b||Cos9
de donde:
Cos0 =
** t a. b
I ¡a | i ||S||
(1 2 )
(13)
Ejemplo 1, Hallar el valor del ángulo que forma el vector a que
va de A(¿>5) a S(6,¿)t con el vector S que va de
C(-3,1) a D(-2,-2).
Solución. a = AB = (6,4.)-(¿,5) = (2,-1) a = /5
Luego, según (13):
t = CD = (-2,-2)-(-3*1) = (1.
Cose = .Ü-M-lLiLV
(/3)(/T0)
3) -
= 1 1 1
5/2
o = / 1 0
• • e = 15o
Ejemplo 2. Hallar la norma del vector 3, sabiendo que a y ? for
man un ángulo de 60°, a = a+í>, ||a| | = 3 y ||?ll = 5.
Solución. Si a = a+S | |3| | = | |a+S| |
¿6 \¿e.c¿c/ieó
w%
Elevando al cua' se tiene: l|a| | 2 “ ||a|l2+2a.D + |lí| | 2
Según la ecuación (12): ||c¡ | | 2 = | | a | | 2+2 | | a | | | |í | |Cos60 +||o| | 2
= 9 + 2(3)(5)(1 /2) + 25 = 19
I|2 |l = 7
Ejemplo 3. Calcular a.Í) donde a y í son
vectores de la figura adjunta
para los cuales: | |a| ¡=4- y | |í| ]=2/3*
Solución, Si 0 es el- ángulo que forman
ambos vectores, entonces:
6 = 9C°-(12°+18o) = 60°
Luego, según (12): a.Í = ||a|| | |í||CosB
a.Í = i/3
Ejemplo ¿í. Los vectoresa y b forman un ángulo de tt/6 radianes.
Sabiendo que i|a||=/3 y ||í||=1, hallar el ángulo q*
forman los vectores u=a+í y v=a-í.
Solución, Según la ecuación (12) tenemos:
t.t = ! ! a | | ||S| |Cos (tt/6) = (/I)d)(/3/2 )= 3/ 2
u.v = ¡jú||||v||Cos6
(a+í),(a-í) = | (a+o| j | |a-í| |Cos6
- Ila||2-I!í|¡2= (/ÍTaj \>+2t.U\ |í| |2)(4|S| |2-2?.S+| |S| i2)Cos8
+ (✓l)2-(1) 2 = (/(/5)2+2(3/2) + (1)2)(/(/1)j-2(3/2) + (-!)2)Cos9
de donde: CosQ = 2/fl ■* Q - arcCos(2//7)
Ejemplo 5. Los vectores a, í y c forman dos a dos un ángulo de
60°, sabiendo que |¡ajj=4.f [jí| |=2 y |¡c||=6, deter
minar el módulo del vector v=a+ítc.
Solución. Si v=a+í+c + ||v|| = ||a+í+ej|
Elevando al cuadrado se tiene:
ilv||2= I|Í||2+|íÍ||2+||Í||2+2Í.Í+2Í.Í+2Í.Í
= I¡ & I!2+l1^1 l2+l I o Il2 + 2 (||a|¡||í|| + |J a||||c||+| |S|¡||c¡|)
Gos60°.
\ Ve.cto4.ej>
||v|¡2= 16+4+36 + 2(4*2 + 4x6 + 2x6) (1/2) = 100
/- IIv|| = 10
Ejemplo 6. Los vectores a y í tienen igual longitud y forman un
ángulo de 60°. Si la longitud de a+£ es 4 unidades
mayor que la longitud de uno de ellos, hallar la longitud de a.
Solución. Tenemos: a.£ * | |a| | | |£| |Cos60° -*■ 2a.£ = | |a|
IIS+ÍII = 4 + Hall
Elevando al cuadrado: ||a||2+2a.£+||£|i2 = 16+8||a|I+||a||2
Como ||a||=||£|| IIa||2-4||a||-8=0
/. | |a| | = 2+2 / 3
||a|| = 2 ± /Z+8
Ejemplo 7. Si el vector a=(-/3,/55) gira 45° en el sentido hora
rio se determina el vector £=(x,y). Hallar x+y.
Solución. Si ll£||=|l*ll /x2+y2 * /8+50
+ xa+y2 = 58 (1)
Cos45 = a.£
lalllltll
{1 = (-2/?, 5/2). (x,y)
2 (/5H)(/5§)
1de donde: 2x-5y+29=0 *► y = *^(2x+29) (2)
Sustituyendo (2) en (1) obtenemos:
x 2+4x-21=0 ^ x=-7 o x=3
Elegimos x=3 por cuanto el lado terminal de £ está en el primer
cuadrante. Luego, en (2) se tiene: y=7
x+y = 10
Ejemplo 8. Los vectores a y £ forman entre si un ángulo de 45°
y la norma de a es /J5. Hallar Il£||f sabiendo que
a-£ es perpendicular al vector a.
Solución. Si (a-£) 1 a (a-£).a = 0
-► a.a - a.£ = 0 -► ||a||2 = a.£
- I |a| |2 = M a l M l£| |Cos30°
4/3 = ||£||(/3/2)
11*11 « a
\V¿8 Vecic/ic¿
lo 9. En el cuadrado adjunto, el lado
mide a unidades. Hallar el valor
del ángulo 0, si P y T son puntos que trise
can los lados del cuadrado.
Solución* %Como P y T trisecan a los lados
del cuadrado, entonces: q
0P=(a,a/3) y 0T=(a/3,a)
Luego: ||0P|| = ||0T||
Si Cos0 *
OP.OT = (a,|)
OP.OT
OP | | I IOT | |
= /a2+(a/3)2 = | /T0
(fia) = ± a 2 + -ja2 = | a 2
+ Cose = (2/3')&2 -
(■| /TCJ)2
3
5
0 * arcCos(3/5)
Ejemplo 10. Sean a y ? vectores unitarios en R2. Demostrar que
la suma es un vector unitario si y sálo si el ángu
lo formado por dichos vectores es de 120°.
De.mo¿tsiación, i) Primero demostraremos que ||a+S||=1
En efecto, supongamos que 0=120° es el ángulo
formado por a y ? . Entonces:
l l í + í l 2 _
I a+£|
= 1
= 1
iaii2+ i m i 2+2s.$
sII 2+ Il^lI2 +2 ||a||||í||Cos0
+ 1 + 2 ( 1 ) ( l ) ( - 1 / 2 ) = 1
ii) Demostraremos que a y ? forman un ángulo de 120°.
En efecto, por hipótesis: ||a||=||?||=||a+S||= 1
Luego, si ||a+b| | 2 = 1 * ||a||2+||t||2+2a.£ = 1
* 1 + 1 + 2 ||a||||?||Cos9 = 1
de donde: Cos0 = -1/2 -*■ 0 = 120°
Ejemplo’ 11. Hallar el valor de r= | ] a - |, si | | a | | =1,
II?!I=2 y el ángulo entre a y S es 60°.
Solución* Tenemos: a.S = |\t\|||t||Cos60° = (1)(2)(1/2) = 1
y c .c to n e .4 49
r = 4 1 |2a+í| | r2 = *̂ (4| |a| | 2 + 4a.1)+ | |?>| | 2) -i i i i ^ _ ( i i i #** i i * ^ ; g i z r\ i i ~ i í ^
/. r = 2/5/3
Ejemplo 12. Sean a, t> y c vectores en R2. Suponer que ||a||=1 »
|]í||=1 y llc||=4. Si | | a-í+c | | = | | a+2?+cl | y el án
gulo entre a y í mide tt/4; hallar el coseno del ángulo entre los
vectores í y c.
Solución. Tenemos: a.S = | |a| lililí Cos(tt/4) = (1) (1) =
||a-í+c||2 = ||a+2Í+c||2
- j |a| | 2 + J |í¡ |2+| | c | | 2+2 (-a.í+a. c-íi. c) = |\t | | 2U | 11 i I 2+ I\c H 2 +
2 (2 a. í>+a. c+2Í>. c)
de donde: j\%||2+2a,í+2S.c = 0
* 1 + 2(/5/2) + 2 |\% | | | | c | | CosB ++ Cose = - 1
Ejemplo 13. Por métodos vectoriales, determinar los cosenos de
los ángulos formados por las aristas y las diagona
les de un paralelepípedo rectangular.
Solución, Sean a, S y c las aristas y 5
una de las diagonales del pa
ralelepípedo rectangular; además, sean:
a=m°(d,a) , B=m°(d,b) , y=m°(d,c)
En la figura: 2 = v+c = a+í+c
.í + T T - M ™ 2•td.a » a.a + a a. c = +a
í.t = í.t + í.í + t.t = iltll2
3.3 = 3.3 + S.3 + 3.3 = llcll2
Entonces: Cosa « .3 i |a| |
Hall I |3| | í |a| | | | t | |
Cosg = iiíii
iiíii lian iiíii lian
Cosy » c.3 lian
llcll I|3 || |icl| ||3||
I
50 Ve,c£one.¿
Ejemplo 14. En la figura OACB es un para
lelogramo. Si OC=(5,3), BA=
(-3»9) y a el ángulo determinado por OA y
OB hallar el coseno de a.
So ¿ación. Si BA=(-3.9)
<5c = OÁ + AC
í-§=(-3,9) (1)
pero ÁC=QB
■ Í+S=(5,3) (2 )Entonces: OC = OA + OB
De (1) y (2) obtenemos: í=(1,6) y í¡=(4,-3)
-*• Sx=(3a)
Í.SXCosa = (1,6). (3U) = 3+2 ¿ 27
l l í l l I |SX | | ( /H 3 S ) (/5+T&) 5 /57 5/57
Ejemplo 15. En el paralelogramo ABCD se
tiene: ||AB||=6, ||AD||=4 ,
m(^A)=60°; M es punto medio del lado AB
y N es punto medio del lado BC. Hallar
Cos0f sabiendo que: ||a||=6 y ||?II=4/T3*
Solución. AD = 4(Cos60°f Sen60°) = 2(1,/3)
AB = 6(CosO°fSenO°) = 6(1,0)
Luego: ffi = |íB = 3(1,0) y i = ^ÁD = (1,/3)
DM = AM-AD = 3(1,0)-2(1,/3) = (1,-/3)
Pero: a = rDM | |a| | =r| |DM~( | + 6 = r/í + 3 , de donde: r=3
A a=3(1,-/5)
Análogamente: AÑ = AB+BÑ = 6 ( 1,0) +(1 , /3) = (7,/J)
Si í>=tAN -► |\t\|=t| |AÑ| | U/Tí = t/4.9+3 , de donde: t=2
t = 2(7,/3)
Por tanto: Cos0 = --------- = 3(1, -/3) »2(7_,/3) _ _ 1
l|a|| ||í|| (3/1+3)(2/49+3) /T3
Ejemplo 16. En un AABC se tiene: AC=(-2,4) y AB=(3,-1). Hallar
el ángulo que forma el vector BC con el vector í*1.
Solución. Tenemos: í-í=(-2,4) y §-í=(3,-1) 7
Restando se tiene: í-$=(-5,5) + BC=5(-1,1)
Cose = I p j X = 5(-1.1).(0.1) = _1 , e=i5°
| |BC | | 5/2 /2
D
a
Ve.ctoA.e¿ 51
E J E R C I C I O S
1 . ♦si a
3.
6 .
Hallar la medida del ángulo entre los vectores a y
va de A(2,5) a B U , 4) y t va de C<3,-2) a D(2.1).
Rp. 6=135°
Si ABC es un triángulo y AC=(¿,1), AB=(-á,-3)# hallar el co
seno del ángulo que forma el vector BC con el vector unita
rio J=(0,1). Rp. Cos6=/3/5
En un triángulo ABC se tiene: AB=(2/5,2/2) y AC=(/5,-/2). De
terminar la medida del- ángulo formado por BC y el semieje po
sitivo de las abscisas. Rp. 0=120
En un plano cartesiano, los puntos A(r,s), B(na+r,nb+s) y
C{-nb+r,ma+s) son diferentes del origen y m¿0 9 n^O. Hallar
la medida del ángulo formado por los vectores AB~y AC.
Rp. 0=90*
Hallar el ángulo que forman el vector a que va de A(-1,3) a
B(6,4) con fl vector Í! que va de C(5»-1) a D(2,-5).
Rp. 0=135'
Calcular a.í» , donde a y í son los
vectores de la figura adjunta, pa
ra los cualesr ||a||=8 y ||$||=/75
Rp» -4.8
7. Calcular ||a+í|| sabiendo que a y í forman un ángulo de 150°
y que: ||a||=/Z5 y ||í||=6 Rp. 2/3
8. Sean a, { y c vectores diferentes de cero, y supuesto que el
ángulo entre a y c es igual al ángulo entre b y c; para que
valor de t es el vector c perpendicular al vector:
<5 = llalla + tS. Rp. t=-||a||
9. Los vectores a y b forman un ángulo de 60°, sabiendo que
llall = 5f 11*6| | =8, determinar: ||a+í|| y ||a-í||.
Rp. /Í29 y 7
52 V c d o s iC A
10. Los vectores a y o forsan un ángulo de
Ua|Í.= 3 y l!?ll-5. determinar: ||a*c|[
120 , sabiondo que
y I ( & - ? l ¡ .
Rp. /T5 i» nt
1 1 . Qué condición deben satisfacer los vectores a y £ para que
el vector a+S bisecte al ángulo formado oor los vectores a >
%. 1 Rp. Ilílhlltll
12. El vector a=(x,y) se obtiene girando al vector t-(-2,4) 60°
en el sentido horario. Hallar el vector a.
Rp. a=(2/3-1,2+/5)
13- Si ||a||=a y ||í>|Í=b, demostrar que ol vector c
ca el ángulo formado por a y í,
•f,,aotba
a+V bise
U.
15.
16.
Sean a y ? dos vectores no nulos tales que ||a||=¡|?|¡=m. Si
el ángulo entre a y $ es ir/3 radianes, y la norma de su dife
rencia es 2-m; hallar m. Rp. m=1
Tres vectores a, í y ceR2 satisfacen las siguientes propieda
des: ||a||=||c||=?» ll?II=1 y I|a-?+e||=[(a+í+c||. Si elán
gulo que forman a y í es n/8, hallar el que forman ? y c.
Rp. 7tt/8
Dados tres vectores no nulos en R2: a, í y c. Supuesto que
el ángulo que forman a y c es igual al que forman b y c. De
mostrar que c es ortogonal al vector ||?| |a-||a||?.
17. Los vectores a y ? forman
dulo de a es 6. Hallar el
a un ángulo de 30°.
entre si un ángulo de 60° y el rao-
modulo de b para que a-D forme coi
u L ' •
18. En el paralelogramo AECD se tiene:
l|ÁB||=3, l|ÁD||=6. n{^A)=60°, F y
Q son puntos de trisección de los
lado3 AB y BC respectivamente, ría-
llar Cos0 sabiendo que ¡|a|¡=¿/7 y
l | í | | = 3 / Í 9 .
Rp. Cosg = ^
/133
Vecton.es 53
1.16 DESCOMPOSICION DE VECTORES
Sean los vectores no paralelos a y í) en R2. Si dese un pun
to de vista gráfico un vector v del plano podemos expresarlo co
mo una suma de componentes vectoriales ra y tí), que son múltiplos
escalares de a y í, entonces se dice que se ha efectuado una des
composición del vector v en sus componentes paralelos a los vec
tores a y í (Figura 11).
También se dice que v puede expresarse como una combinación li
neal de los vectores a y í, los cuales reciben el nombre de ba
ses del conjunto de vectores veR2.
Podemos afirmar entonces que todo vector veR2 se puede expresar
como una suma de múltiplos escalares de vectores unitarios orto
gonales: í=(1,0) y j=(0,1)
En efecto: v (x,y) = (x,0) + (0,y)
= x (1,0) + y(0,1)
de donde:
v XI + yj
Expresión en la cual, los escalares x e y se llaman componentes
escaian.es de v paralelas a í y j. Los vectores xi e yj son las
componentes vectoriales de v paralelas a i y J (Figura 12)*
Figura 12
1.17 COMBINACION LINEAL
Todo vector acR2, puede expresarse mediante una y sólo una
combinación lineal de un par dado de vectores unitarios ortogona
les u y ux. Es decir, existe una y sólo una pareja de escalares
Ve.cto/i&¿
s y t tales que:
(1*>
Al
se
multiplicar escalarmente por u
tiene: — s.̂
u. a = su.u + ta^u^ = s||u||2+ 0
de donde: «►u, a = s ( 1 )
Al multiplicar (14) por ux, se tie
= 0 +t| |uA| |
(2 )
ux .a = sux.u + t
de donde: u ♦ a = t Figura 13
Por sustitución de (1) y (2) en (14) obtenemos
a = (u. a)u + (u~. aju4- (15)
También podemos afirmar que el vector a se puede expresar como
una suma de múltiplos escalares de vectores ortogonales no nulos
que no sean unitarios.
En efecto, si u = t
iíi
±y u = U‘ u
entonces por (1 5 ) se tiene:
a = (— I - .í)
Vllbll /
u
t
+u
lili
( - J i . s
V llbii ■
i
que equivale a:
= (-Si
M l b
U \t + ( _ L Ü \ s
Ibll
(16)
/Ejemplo 1. Dados los vectores a=(-2,2) y D=(3,1)f expresar a
roo una combinación lineal de í y í¡x.
Si b= (3,1) + í1 = (-1,3) y | | í> | | =/To
Haciendo uso de la ecuación (16) se tiene:
j"(-2,2).(3,1)
co
Solución,
«*•a =
10
j (3» 1) + ( - 1 , 3 )
- 6+2 2+6
Verificación:
= (:t Tj£)(3.1) + (-1,3)
= - §(3,0 + §(-1,3)
i = r- k . 1 ) + / i J2 ,
a ( 5* V + { 5’̂ ’ = ( - 2 , 2 )
Ve.c£osie.¿ 55
1.17 PROYECCION ORTOGONAL
Sean a y £ dos vectores y £ no nulo. La proyección ortogo
nal o componente vectorial de a sobre £, denotada por Proy-ga, es
el vector:
ProygS = í - % ^ - ) 6 , UQ
b ' I|S||2'
(17)
Si aplicamos (17) a (16). obtenemos:
a » Proyga + Proygxa (18)
Geométricamente esta definición significa que se puede construir
un triángulo rectángulo cuya hipotenusa sea el vector a y cuyos
catetos contienen a los vectores Proy^a y Proy^j-a.
Propiedades. i) Proy*(a+S) = Proy+a + Proy+Sc * c J c
ii) Proyg(rí) = rProyga
Observación. Los vectores £ y Proy-ga son paralelos de tal modo
que si el ángirlo 0 entre a y £ es agudo entonces £
y Proy^a tienen la misma dirección y sentido (Fig. U), en tanto
que si 0 es obtuso entonces £ y Proy^a tienen la misma dirección
y sentido opuestos. (Fig. 15)
Ejemplo 2. Si a=(l2f5) y b=(-3*4)f hallar Proy^a.
¿oíuclÓn. Según (17) se tiene:
Prov+a = <12.5M-3.¿) = . J6
b (/9+16)2 25
56 l/ecto/ie.̂
Vemos que Proy^a y s son paralelos y tienen sentidos opuestos en
este caso»
1.19 COMPONENTES ESCALARES
* £ +Al número a* se denomina com.pone.nte. encalan de a en la
nti
dirección de £, siendo b no nulo, y se denota por:
Compía = ----- (19)
Pb | | S “(■** í \ £)— x— * se puede establecer la réla-*1 |b| |/| | b | |ción siguiente entre proyección (un vector) y componente (un nú
mero). £
Proyía = (Compía)— 5— (20)yb b. 1 ^ 1 ,
Si Comp-fca>0, entonces la Proy^a tiene el mismo sentido de b, del
mismo modo, si Comp£a<0 entonces la Proy^a tiene sentido opuesto
a £. (Fig. 15)
Por lo que, podemos afirmar que la componente escalar de un vec
tor es la longitud dirigida u orientada del vector. Esto es, si
— p— es un vector unitario, 1¿ ecuación (20) se puede escribir: I I d | |
Compga = ±|JProy^a|| (21)
Nota. El signo sé'debe elegir según que £ y Proy^a tengan o no
el mismo sentido. Para los vectores de la Figura 15 se to
ma: Compra = -||Proy£a||.
Propiedades, i) Comp*(a+b) = Compra + Comp+bc c c
ii) Comp^(ra) = rCompga
Ejemplo 3, Hallar la proyección ortogonal y la componente esca
lar del vector a=(-3»-4) sobre el vector £=(4.,-2)
Solución, Si £=(¿,-2) ■+■ ||£||=/20, luego según (17) se tiene:
r„ n t .
V cc tO A C A 57
Obtenemos la componente aplicando (19)» esto es:
Comp-ía = (-3,-4).U,.-2) b ^12±8 = . 2/5
b /50 2/5 5
Cono la Comp^a<0, la Proy^a y S tienen sentidos opuestos.
Calculando la longitud de la proyección:
| |Proy^| | = /(-4/5)2+(2/5)2 = ^
observamos que: Compra = -||Próy-£a||
Ejemplo 4. Hallar las componentes escalares de a=(-2,2) que son
paralelas' a los vectores í¡=(3»1) y t> .
Solución, Si ?=(3»1) ||S||=/TÜ y Si=(-1,3)
De la ecuación (16): a = ( -a-¿— )— -— + ( a*^ )— ^—
' i i í í .n i í i i M i í i r i i í i i
Entonces: t - [l=MLálúl\ + f(-2,2).(-1.3)T _|i_'
L /Tü J ||t|| L /TO J ||t||
= + ( _ L \ _ Ü -
V /Tü/||í|| ' /Tü'||S||
De donde: Compra = --— y Competa = ®
/TÜ /Tü
Ejemplo $, Los lados de un triángulo son los vectores a, í y
a-S. Si ||a||=5» Il^il=3 y Compía=-5/2» hallar la
longitud del lado a-b.
Solución, Si Compra = -5/2 *► - ™ — ~ ~ o ñ*^ ~ -15/2
1 i i í i 1 2
Luego: ||a-S||2= ||a||2-2a.S+ ||íi|l2
= (5)2 - 2(-15/2) + (3)2 = 49
Ilí-íll = 7
Ejemplo A Los lados de un triángulo son los vectores a, S y
a+S. Si ||a||=5» I!Í|1=2/2 y |)a+í||=/53; hallar el
valor de 2Comp^a-Comp-j(a+í) •
Solución, Si ||a+b||=/53 ||a||2 + 2a.í + ||b||2 = 53
-*• (5) 2+2a. b+ (2/2)2 = 53 + a.t=10
Luego: 2 0 0 ^ =■ 2( j ^ ¡ ) = Z{^ = ^
CoBp-(att) = i i í l l J = I1*11*■♦■!=* = 25+10 . ?
11*11 5 5
/. 2Conp-ga - Compj(a+í) = 5/3-7
Ejemplo J\ Si a+$+c+3=0 , ||a+S|I=a, Ilc||=by ||3||=c. Hallar
Comp^S .
Solución. Tensaos: a+í * -(c+3) ! |a+í| | = | |c+3| | a=||e+3||
Elevando al cuadrados a2 = ||c||2+2c.3+||3||2
Entonces: a2 * b2 + 2c.3 + b 2, de donde; c.3 = ^(a2-b2-c2)
Luego: Comp+3 = = -wr(a2-b2-c2)
c M o l í 2 b
Ejemplo 8. Si el vector í> forma un ángulo de 30° con el semieje
positivo de las X, 11^11=2, Comp£a=-2 y Comp|aa=2/3.
Hallar el vector a.
Solución. t = I|S||(eos30°fSen30°) = (/3,1)
Según la ecuación (18): a = Proy-^a + P roy^a
♦ a = ( C o o p t a ) + ( C o m p £ J . a ) - l — = + (2/5)
II°II u ||b||
t = (-/5,-1)+(-/5,3).= (-2/5,2)
*
Ejemplo 9. Si a=(-2,/T2) y b=(-3»/3), hallar el ángulo formado
por los vectores a y Proygi-a.
Solución. Sea: c = Proy^xa = l -a *^— \$x
b M l í t l l * /
AM AA A É A te f (-2,/Í2).(-/5.-3)1/ . /5, 3». « T V
58 Vcctonc./»
Sean: u||a y v||c + u=(-1,/5) y v=(1,/3)
El ángulo que forman u y v es el mismo que forman a y c.
■*
Luego: Cos0 = ----v « (~^ > ( . 1 »/3) B J.
Ilull ||v|| (/T+3)(/Í+3) 2
Vecto/iej 59
Ejemplo 10. Si Proy£a=(-2, 8) , Proy^i-a= {4,1) y í=a+a'L# hallar la
Solución»
norma de S.
Si a =
Luego:
Proy^a + Proy^a
t = (2,9)+(-9*2) = (-7,11)
- a = (-2,8)+(4,1) = (2,9)
• • ||S|| = /170
Ejeirplo 11. Dado el vector a=(-4,2) y Proy£ia=(-3»3)» supuesto
que Compra es positivo, hallar Compra.
Solución» Si a = Proy-ga + Proy^xa
(-¿,2) = Proy^a + (-3*3)
de donde: Proy^a = (-1,-1)
Según (21): Compra = i||Proy+aj|
-*• Compra = ± /(-1) 2 +(-1)2 = ±/5
En la figura se observa que $ y Proyga
tienen sentidos opuestos, por tanto:
y '
''1-3,3)
♦ / \ a ^ X
\
*#
/
/
/
/
\ y \y 0
4Comp^a = -/2
Ejemplo 12. En la gráfica adjunta, c es un
vector unitario tal que:
Cotga = 3/?. Si á+v=ax, hallar Compre.
Solución» Dado Cotga=3/3 y a en el IV cua
drante, entonces:
1Sena =_ — - y Cosa =
2/7 2/7
Luego, si c=(Cosa,Sena) -*■ c - *^r(3^3t-l)
Sen75° = Sen(¿5°+30°) = SeiU5°Cos30o+Sen30oCo8¿5o = ¡̂ (1+*'3)
Cos75° = Cos(¿5°+30°) = Cos¿5oCos30o-SerU5oSen30o - ^|(/3-1)
+ a = | |a| |(Cos75°,Sen75°) = |a| | (/3-1,1+^3) = r(/3-1 ,•'1+1)
Luego: v = a -a = r(-/3-1*^3-1)-r(/3-1,/3+1) * 2r(-/3,-l)
- - T Z (3 /3 . - 1 ) .2 r ( - /3 . - l ) 2/7por tantc: Compre
2r/3+1
60 Ve,ctojte-á
I
Ejemplo 13. Dado el exágono regular de lado
a, hallar la proyección ortogo
nal de FC sobre BE.
Solución. FC = ||FC||(Cos60°,Sen60°)
= 2a(1/2,/5/2) = a(1,/5)
BE | | (Cos300°,Sen300°) = 2a(-l , - Q )
& ®
BE =
BE = a( 1,-/5)
Luego: ProyggFC = FC^BE, gj. s a(1^/3.),al 1.-/3)a(1|./5)
|BE||2 a2(/T+3)2
*. ProyggFC = -§(1,-/3)
Ejemplo 14, Un avión vuela en* sentido del
vector a. La velocidad del
viento es de 50 Km/m en sentido del vector
v. Hallar el duplo de la componente de la
velocidad del viento en la dirección del a
vión.
► x
a = | Ja| |(Cos¿5°.SeiU5°) = | |i| 1^(1,1)
v = | |v|i(Cos120o,Sen120o) = 50 ( §,4¡) = 25Í-1./J)
Luego: Gomp-^v = — •a
I I S I I |S|
_ 25/?
2Comp-*v * 25/2(/J-1)
Ejemplo 15. Dados los puntos A(-1,3)» 5(5.6) y C(7,5)í si P di
vide al segmento AB en la razón ÁF:PB=2, hallar la
proyección del vector AP sobre el vector BC.
Solución* Sea el punto P{x,y). Si APPB
(x+1,y-3) = 2(5-x.6-y)
= 2 AP = 2PB
x+1=10-2x + x=3
y-3=12-2y y = 5
Luego: F(3*5) AP - (3,5)-(-1.3) = (4.2)
BC = (7, 5)-(5* 6) = (2,-1)
I
61
Entonces: Proy-r^AP = f ' )gQ = ?-I* í_» 7^1 (2,-1)
BC \ I iRñ 1 I2/ (/¿Tí)2I |BC| \ 2!
Proy-^Á? = -̂ (2, - T )
Ejemplo L6. En-la figura adjunta se tiene:
a| 1=2, t . W 5| |£| |. Sea 5
tal que íx+u=S y a el ángulo entre a y í,
Hallar Proy+a.
Solución, a = ||á||(Cos60°,Sen60°) = (1,/3)
Si a.í = ||a||||S|(Cosa
+ /2j|í¡|| = ||al|||S||Cosa» de donde: Cosa =
Luego: t = ||S||(Cos105°, Sen105°) = ií^ii (/ 2 -/5,/ 2 +/5)
/2 , -o
~2 * a=¿5
Si Sx+Í=£ - U = $-Sx = -ü|U(/5,/5) = r(/5,/b)
Por tanto: Proy+a =( — — )u = . r(/?,/5)
U Mlull*/ r2 (/2+6)2
Ejemplo J/. En el paralelogramo de la
figura se tiene: DE = EC,
m(^BAD)=60°. La altura relativa a la ba
se ÍD es h. S i $ = A l F + Á E - B D y ? =
Eroy^pM, hallar ||?|| en función de h.
Solución. Tenemos: S = AB + AE - BD
Pero: AE = AE + DE . BD = AD - AB
M = AB + (AD + DE) - (AD - AB) = 2AB + DE =
||f|| = N P r o y ^ H = M. AD
IIÁDll
¿f AB.AD
2'I|Á5||
i Ha bII H a d II CoséO
- I}ÁB|I
de donde: | |?| | = -t | |AB| |
En el ADBC: h = ||DC||Sen60° = ||AB||Sen60° + J J AB|¡ =
■ * . I l ? l l = | ( ^ h ) = h
62 Ve.ctox.e.¿
Ejemplo 18. Sea el cuadrilátero ABCD tal que M(-2,4) y N(4»2)
son puntos medios de los lados AB y BC respectiva
mente; DM es paralelo al vector a=(1,4-)» CM es paralelo al vec-
tor ?=(-3>2) y Proy¿|DÑ = ^|(3,2). Hallar los vértices del cua-
drilátero.
Solución. Dado que ÍB||Proy^DN ,
entonces: AB = r(3»2)
Si DM | |a + DM=t(1,4) + ft-5=t<1,4)
+ 3 = (-2. 4-)-t( 1. 4-) (1) A
DÑ = ft-S = U,2)-(-2,4)+t(1,4)
= (6+t,-2+4t)
4 D _ñw / DÑ.ÁB \Luego, si: Proy^DN = (77= ^ ) AB
► 14(3,2) = ■(6+t>~2+.¿t^ rP » 2.). r(3, 2)
13 r2(/9Ü ) 2
le donde obtenemos: t=2 . Sustituyendo en (1): D=(-4>-4)
Como M es punto medio de AB *► AB=2MB
o sea: r(3,2) = 2(S-Í) -► S = 3r- i, 2r+8) (2)
CM||Í + fi-í = s(-3» 2) + 5 = (-2,4)-s(-3»2) = (-2+3s,A-2s) (3)
N es punto medio de BC S + S)
Entonces: 2(4-,2) = ^(3r-4,2r+8) + (-2+3s, 4--2s)
(16, 8) = (3r+6s-8,2r-4.s+l6) 16 = 3r+6s-8 + 3r+6s = 24-
8 = 2r-4s+l6 r-2s = -4-
Resolviendo el sistema obtenemos: r=2 y s=3
Luego, en (2) y (3)* tenemos: S=(1,6) y £=(7,-2)
ÁB=2(3,2) ♦ $-í=(6,1) - í=(1,6)-(6 ,¿)=(-5,2)
Ejemplo 19* La figura adjunta es un tra 'a
pecio rectángulo en donde: ! .I f |
a=(5,12) y c=(-2,3). Hallar su área. . , |S
Solución. ||a|| = /52+122 = 13
%
| |S| | = Comp-KLc =
*► ** ic. a
la
-ya
_ (-2,3).(-12,5) _
13
| |£| | = Compre = —c * a = -C~2» 3). (5,12) 2
3 II a|| 13
Ve.ct csie.¿ 6
lltll = llSlI-llSll = 1 3 - 2 = 11
Area del trapecio: S = ¿( | |a| | + ||S||)||í| | = ¿(13+11)3 = 36u2
Ejemplo 20. Sean afSeR2-{6) y r^O. Establecer el valor de ver
dad de las siguientes afirmaciones:
a) Proy^ia = Proy+j.o ■+ t=t
b) Proy+(?roy^a) = ?roy£(Proy+t) -+ a||t“ ó ||a||=||t||
c) |Comp*(t'L+í>) | « | \t \ |
d) Si r>0 Compra = -Comprati
íx | |Proy+xS9»
e) Proyr^(ra) = Proy^a
Solución, a) Si Proy^ia = Proy^ií
Pero como: Proy+ií| |a'L
Por tanto, la afirmación es 4ai¿a
b) Si Proy^(Proy^a) = Proy^(Proyjí) , entonces
& \ \
+ JLa t||t
F(?roy+$).t
L I M I 1 -
r (a. ti) (S. a) ~|g _ í" (ti. a) (a. ti)
L | l S | I 2 [ | a | | 2J " L S||S||*l|Í||a-
La igualdad (1) se verifica si y sólo
a.S = 0 -*■ a J. t -*• a||t~
a.S ¿ 0 , en (1) se tiene: a=S ■*
Luego, la afirmación es ue.iidade.ua.
S.(Sa+S )
( 1 )
si:
l l a l H I Í I I
c) |Compt(aA+o )| £ Mt||
ilSll
llíll
a. a + a.b iitii
*a
d)
lltll
M * lltll lltll
La afirmación es uc/idade.na porque se trata de la disigualdad
de Cauchy-Schwartz.
-Comp t(P) = - i 4 j J í = -
rb llrbll
. $
IIÜI
ra . b
I lb| I
Dado que: r>0 •+ |r|=r -*■ -Comp^ía1) = -
6¿ Ve.dc/ie. a
Pero: = -t.fr y ||í¡|-||tA||
Entonces: -Compr^(aJ') = = Compra
Luego, la afirmación es i>e.sidade.A.a»-
.) Pro,tt(rI) ■ ■ * - «
La igualdad se cumple solo cuando r=1, por tanto, la afirma
ción es ¿ol¿a.
Ejemplo 21, Sean los vectores S=(k,-2) y fc=(2k,k+2), donde keR
Hallar los valores de k de modo que Proy^a y £ ten
gan sentidos opuestos.
Solución. Si Proy^a y o tienen sentidos opuestoa **• Comp^a<0,
; < o ; pero como ||S||>0 •*- a.$<0
iitn
(k,-2).(2k,k+2)<0 2k*-2(k+2)<0 «-«■ k2-k-2<0
(k+1)(k-2)<0 -w (k+1<0a k-2>0)v (k+1>0a k-2<0)
— ► (k<-1a k>2) v (k>-1 a k<2)
—*• ( 4> ) * (-l<k<2) •*+ ke<-1,2>
o sea
Ejemplo 22. En la figura:
TP||ÓX, | | OP||=8 M
Si OT=mOP+nOP, hallar m.n
Solución» ÓP=||OP||(Cos30°,Sen30°)=(¿/5,4)
Componentes de OT: y=x ®
Pero: y = ordenada de OP = 4 ** OT=(4,4)
Luego: (4,4) = m(4/3,4) + n(-4,4/3)
(1,1) = m(/3,1) + n(-1,/5) f 1 = /Jm - n
\l = m + /Jn
Resolviendo el sistema obtenemos: m = 4(/3+l) , n = 4(/I-l)4 4
•\ m.n = 1/8
Ejemplo 23. Se tiene los vectores a y í
con J | a | | =2/3. Si $=sa+taJ‘,
calcular el valor de s+t.
Solución. a = ||a||(Cos60°,Sen60°)
VectoA.e¿ 6 5
- t = 2/5(1/2,/3/2) = (/3t 3)
Ordenada de í = Ordenada de a ♦ y = 3 - -x ?>=(-3f3)
Si % = sa + ta*L -*■ (-3t3) = s(/5f3) + t(-3»/3)
Usaremos un método mas directo para calcular s y t.
Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (-3*/5) •
(-3.3M-/5.-3) = s(/5#3).{-/5»-3) + t(0)
-*■ 3/5 - 9 = s(-3-9) » <3e donde: s =
Multiplicamos escalarmente la ecuación (1) por (/3.3)i s
í-3.3).(-3,/5) = s{0) + t(-3f/3M-3./3)
-► 9 - 3/5 - t(9-3) * de donde: t = 4(3+/?)4
.*. s+t *= ^
( 1 )
E J E R C I C I O S
1. Dados los vectores a y £ en R2, demostrar que:
| | a | | 2£ = (a.S)a + (a\S)a“
2. Si a y í son dos vectores en R2, demostrar que:
||a||2||í||2 = <£.£)2 + (£A.£)2
3. Demostrar que: a) Proy-*(£-c) = Proy+£ - Proy-*c& & &
b) Proy+(r£) = rProy-*-£& &
Sean los vectores a y S lados de un paralelogramo. Si ||a|| =6
||a|| =2||£|| y Comp^a=10/3» hallar la longitud de la diago
nal a-í>. Rp. 5
5. Dados los vectores a=(/3f-l) y £=(3f/3)» hallar:
2(Proy*ga + Proy+£) Rp. (3+/3*1-/5)
6. Sean a y í dos vectores tales que: a=(5»-2), Comp+£=-58 y
||£||=29* Hallar Compra. Rp. -
7. Si a es un vector del mismo sentido que $=(1,2), tal que:
l|a||=50 y ||£¡|=29* Hallar Compra. Rp. -¿0
8. Los lados de un triangulo son los vectores a, í y S-a. Si
| |a | |=6, | |í | |=2 y ||Í-a||=5; hallar Comp^a-Com^S. Rp- 5/2
9. Los lados de un tri4n6ul° son l°s vectores a, í y a-í, si
| la | 1=10,. | | o | | =6 y Comp£a=-5. Hallar la longitud de a-S.
Rp. 14-
10. Los lados de un triángulo son a,í y a+o, tales que ||a||=8
||?||=6 y | |a+í¡| |=/5S. , Hallar: Comp^(a+í)-3Comp^(a-S).
Rp. 32
11. Si | | a-o | | =4» 11^11^3 y Comp£(a-£)=22/3* hallar la norma de
Rp. /£$
66 i/e.cio/ie¿
a*
12. Si 5=a+S+c, | |a|| =p, ||ÍM=q. ||c||=r, a.S=pq, a.c=pr y
Comp£c=r; hallar la norma de c¡. ' Rp. p+q+r
13- Si a+í+c=0, , ||a||=a, ||í>||=b, ||c||=c. Hallar Compra.
Rp. ^¡(c2-a2-b2)
14. Si Proy^a=(2,-5)» Proy^xa=(«3,2) y í=2a+ai. Hallar ||í||.
Rp. 5/5
15. Sea (|a||=/55, | | a+í| | =/l64» Comp-+(a+í) = — Hallar3 ti ▼ i 1
Comp^(a-í>). Rp . 12/5
16. Si a=(5*-2) y Proy£ia=(i, 1); hallar Compra sabiendo que
Compra es positivo. Rp. /To
17. Hallar el ángulo formado por los vectores a y Proy^i-a, si
a=(1,2) y Í=(1,3). Rp. 45°
18. Los vectores a y í de longitudes 2 y 3 respectivamente, for
man ángulos de- medidas a y 8 con el vector c=(1,1). Siendo
0 <a<90 y 6<180°, Hallar [ |Proy^(a+S) | | en términos de ce
v
y'&■ Rp. 12Cosa+3Cos6|
19. Si a=3( j j j+4.("j j'|“ ̂ j y Comp+i$=2, hallar |aA.í|. Rp. 10
20. Hallar el vector t sabiendo que: \\t\\=2/2, a=(-4,2), Compás
es positivo y Proy£lS=(-3,3). Rp. (-2,-2)
A
V e c to s i4 ¿ 67
21. Dado el exágono regular ABCDEF de la
figura, cuyo lado mide 10 unidades y
el vector M=BD+FC+BC; hallar:
I |Proŷ j,M| |. Rp. 2 5
22. En el paralelogramo ABCD, m(^BAD)=60°
||AB|Í=a, ||AD||=2a, donde aeR-{0}.
Si p=| |Proy^AC| | y q* | |Proy^AC i |,
hallar p+q. Rp.,^a
23. Sabiendo que: Proy+(a,b)=(1,2) y Proyf(x,y)=(-4,-8), hallara &
Proy+(4a-x,4b-y).& Rp. (8,16)
24. Sea ABCD un rectángulo tal que 2AB=AD
y ||AB | | =a? sean E y F puntos medios
de los lados BC y DC, respectivamente
Si M = AE+AC+AF, hallar el valor de:
Coap^M+Co.^M . Rp. (25/2)a
25. Dado el exágono regular de lado a, en
donde G y H son puntos medios de BC y
DE respectivamente; hallar ||x|), si:
x = Proy^(5AG)+Prcy^,(9AH). Rp. . 10a
26. En la figura: a, ? y c son tres vecto
res de R2 tales que ? es unitario, c
es ortogonal a a y a.?=||a||(/3/2).
Hallar Compra . Rp. /3/2c
27. En el rectángulo de la figura:
H, P y Q son puntos medios. AB=4FB,
0C=4a* 0A=a. Si v=HF+AF+QC, hallar:
CompjgV + Comp^gV.
Rp- 2q (26/5+53)a
28. En la figura: ||a||=8, ||?||=6 y
||a+?||=/FB. Hallar:
Comp+(a+?)-3Comp^(a-?). Rp. 32
68 Ve.cto/ie.¿
29
30
En un trapecio ABCD, los lados paralelos AB y CD miden
unidades respectivamente. Si M es punto medio de AB, N
punto medio de BC y MN=mAB+nAD, hallar m-n. Rp.
y 4En la figura se tiene los vectores
a y 5, con ||a|| = 4. Si í=sa+ta , ha
llar el valor de s+t. Rp. 1/2
9 y 3
es
-1/3
31. En la figura: a=30
|(0M||=12, si 0Ñ=m0M+n0M-\ hallar
el valor de m+n. Rp. -g(3+/3)
32. Dados los vectores que se muestran
en la figura, hallar n+/Jm sabien
do que: ma+nax = c , siendo ’a un vec
tor unitario y ||c||=8 Rp. 8/3
33. En la figura se tiene los vectores
a, ^ y c, donde ||a[|=2/3. Si
c = ma + nS, hallar m-n. Rp, /3/3
34. En la figura el AABC es equilátero,
CH es altura. Si CH=(2,4-) y v=(/3#1)
“ Rp. 4/3/3hallar Comp^CA.
35. En la figura se tiene:
a(AOAB)=10u2 y ||í||=4.
Si Proy£ia=(x,y), hallar 4/3xy.
Rp. -75
36. En la' figura: AB||0Y y ||0A||=4.
Si 0B=m0A+n0A'Ly hallar el valor de
m-n. Rp. ¿(3-/3)
Vc c í o a z a 69
1.20 AREA DEL PARALELOGRAMO Y DEL TRIANGULO
Haciendo uso de la proyección ortogonal de un vector sobre
otro, estamos en condiciones de hacer otra interpretación geomé
trica del producto escalar.
Para el efecto consideremos el para
lelogramo de lados a y S (Fig. 16).
Llamemos ||c|| a la altura, que se
obtiene mediante la proyección orto
gonal de a sobre í , de modo que:
t.t1I |c|1 = 1|Proy£La|| = |Conp^xa| =
¡t1
Recordando que el área del paralelo
gramo es igual al producto de su ba
se por la altura, se tiene:
Figura 16
s = llíllllell = ||í|| . t 1 , pero | |í| | = | |ÍA | | + S=|a.í'L
Por lo que, podemos dar la siguienete:
*
DEFINICION 7. El área (S) de un paralelogramo, cuyos lados son
los vectores a y í>, es igual al producto escalar
de uno de ellos por el ortogonal del otro. Esto es:
= I a x. 6S = a. d ( 22 )
En particular, el área del triángulo (Si) cuyos lados consecuti
vos son los vectores a y ? está dado por:
= (23)
Ejemplo 1. Sean A(-3»1)» B(7,-1) y C(5»3) tres vértices consecu
tivos de un paralelogramo. Hallar su área.
Solución, Tomemos el vértice B como & D
punto inicial de los vec
tores a y ? , Entonces:
a* = BA = (-3»1)-(7,-l)
t = BC = (5,3)-(7,-1)
Luego: S = |a.D
= (-1 0,2 )
(-2,4)
(-10,2).(-4,-2)
70 Ve.cto/ie.¿
Ejemplo 2.
Solución*
Hallar el área del triángulo de vértices A(-8,
B(-4,-6) y C(-1,5)•
Tomando el vértice A como punto
inicial de los vectores a y t>,
- 2 ),
se tiene: a = AC = (-1»5)-(-8,-2) = (7,7)
t = Ái = (-4,-6)-(-8,-2) = U,-2)
Por tanto, según la ecuación (23):
s = 4i(7,7)-(4,4)I = ¿|28+28| = 28u2
Ejemplo 3. Hallar el área del paralelogramo sabiendo que sus
diagonales están contenidos en los vectores u=(3»3)
y v~(5,~1).
Solución♦ En el AABD: 'a = S + v (1)
En el AADC: ú =¡ a + í (2)
De (O y (2) obtenemos: a = ^(u + v)
í> = *|(u - v)
Luego: a=(4,1) y $=(-1,2) $a =(-2,-1)
Si S = la.t*1! S = |(^,1). (-2, -1)| = |-8-l| = 9u2
PC
Ejemplo 4. Se dan los puntos A(3*-2), B(-3,2) y C(2,7). Si P di
vide al segmento BC en la razón = % ; hallar el á
rea del triángulo APC.
Solución, Supongamos que P=(x,y)
Si 3BP = 2PC
Entonces: 3(x+3,y-2) = 2(2-x,7-y)
Luego: a
t
3x+9 =- 4-2x * x=-1
3y-6 = 14-2y + y=4
AP = (-1.4)-(3,-2) = (-4,6)
AC = (2,7)-(3,-2) = (-1,9) íX=(-9,-1)
Por tanto: S = ¿la.í-1! = ¿|(-4.6).(-9,-1)| = 15u
l'e.c¿o.i£.¿ 71
Ejemplo Sean los puntos A(3,5). B(k,2) y C(5*1). Hallar los
valores de k de modo que dichos puntos sean vértices
de un triángulo de área 11u2.
Solución* Tomando A como punte inicial tenemos: B(k,2)
a = AB = (V,2)-(3.5) = (k-3.-3)
t> = AC = (5,l)-(3,5) = (2,-A)
S = a.í'11 + 11 = i|(k-3.-3).U.2)|
de donde: |2k-9|=11 2k-9=11 6 2k-9=-11
k=10 6 k=-1
Ejemplo 0* Los vértices de un triángulo son A(2,-1), B(¿,2) y
CeL={ (x,y)/y=x-2K Si su área es 5u2, hallar la suma
de las ordenadas de todos los posibles valores del vértice C.
Solución. Si C(x,y)eL -+■ C(x,x-2)
Sean: a = AC = S-í = (x-2,x-1)
y í> = AB = 5-í = (2.3)
S = ^ | a . b A| + 5 = (x-2).(-3,2)|
de donde: |l-x|=10 4-x=10 ó l-x=-10
x=-6 ó x=14
Luego, hay dos soluciones: C{-6,-8) ó C(14f12)
Por tanto, la suma de las ordenadas es: yi+y2s¿
Ejemplo yi En la figura:
OACB es un paralelogramo. Si
OC=(5,3) y BA=(-1,5)* hallar el área del
triángulo OAB.
Solución, Sean: 0A=a y 0B=S
En el AOBA: a = % + BA
En el AOAC: 0C = a + $
Del sistema de ecuaciones obtenemos: a = •JÍ0C4BA), í = tj(OC-BA)
Luego: S=(2,¿) y í=(3,-1) + ÍA=(1.3)
Si S = ^la.í-1! + a(AOAB) = \ | (2, ¿). (1, 3) I = 7--1
72 Va c í o/
Ejemplo i. Hallar el área del polígono de vértices en A{-2,3).
B(2,7)i C (8,2), D(6,-2) y E(2,-5).
Solución. Dividamos el polígono en tres triángulos de áreas Si,
S2 y S3. Tomando el vértice A como punto inicial de
los vectores a, í>, c y 3, se tienec
a = AB = (2,7)-(-2,3) = U,¿)
í = AC = (8,2)-(-2,3) = (10,-1)
c = AD = (6,-2)-(-2,3) = (8,-5)
3 = AE = (2,- 5)-(-2,3) = U . - 8) A
51 = a.í1 | = -J|(i,¿).(1,10)| = 22uz
9 4
52 = ^Ic.^l = i|(8,-5). (1,10) | = 21u2
5 3 = = i|(8,-5).(8,A)| = '22uz
.. S = Si + S2 + S3 =,65u*
Ejemplo 9. En la figura:
a(¿0AB)=10 , ||a||=5. Si
bs(pfq), hallar el valor de /Jq+p.
So¿uc¿6n. a = ||a||(Cos30°,Sen30°)
* a = |(/3,1)
a(A0AB) = 10 ■* -Í| a-*-.S| = 10 ~ |(-1 ,/3). (p,q) = 10
++ -p - + /3q = 8 * (1)
t = | |S| | (Cos60°,Sen60°) (p,q) =
Por igualdad de las primeras componentes se tiene que:
P = 2 /P2+C12 ^ q = /3p (2 )
Resolviendo (1) y (2> obtenemos: p=¿ y q=¿/3
•\ /5q+p = 16
Ejemplo 10, La-figura es un trapecio
"isósceles, en donde:1
a=(l»3) y Í>=(5,-1). Hallar su área.
A F E D
Vcctone.4 73
Solución* Sean: c = CE = ProytxS , S x=a(BCEF) y S 2=a(ACED)CX
= ( . ' ' } - 5> ~1}] (-3, T) = |(3.-1) V a** 2 L 10 J 5
851 = | a . c x | = | ( ( 1 , 3 ) . ( 1 , 3 ) l = 16u2
52 = ^iS.c'l = (|)(|)|(5.-1). ( 1 . 3 ) 1 =
16
I u2
*. S =SX+2S2 = 16 + — = 19.2u*
Ejemplo 11. En el triángulo isósceles ABC,
hallar: ||PQ| | + ||PS||, si el
área del AABC es U u a y | | AB | | = | |BC | I
Solución. Sean: Sx=a(AAPB) y S2=a(ABPC)
s 2 _ -| I BC | IX I IFS I I _ I IPSII
Si ||AB||x ||p q || IIp q II
Sí + Si . 11PQ!l + l|PS|I
S í I |PQ|I
U = JJJPS| | + | |PQl I
Si I1PQII
Pero: Si = i(||ÁB||x||PQ||) = 4 U x ||p q ||) = 2||PQ||
Luego:
2
U
2 1IPQI I
= jJPSjJ^JJPQjJf de donde; J|PS||+||PQ||=7
I I PQ 11
P L l r * )
Ejemplo 12. En la figura:
M=(0,4), N=(5f 3 ) 9 ?*(2.-2)
y Q(-3,-l) son puntos medios de los la
dos de un trapecio ABCD. Hallar su área
sabiendo que ||AB||=2/5. 0 ^ 2 i)
Solución* Por geometría elemental sabe
reos que: QN| IAB [ |DC. D
Luego, si: QÑ = N-Q = (5,3)-(-3.-1)*(3,U ) _
Entonces, un vector unitario en la dirección de AM||(2,1) es
+ AM = ||ÁM||Í = /? iiill = (2,1)
/5
■* M-A = (2,1) ~ A-(0,4.)-(2,1) = (-2,3)
■¥u •
IIÁHll
M = -̂ (A+B) -<■ B=2M-A = 2(0.¿)-(-2,3) = (2,5)
N = |(B+C) + C=2K-B = 2(5.3)-(2,5) = (8.1)
Vectoneó
? = 7j(C + D) D=2P-C = 2(2,-2)-(8,1) = (-¿,-5)
Entonces: AB=(2,5)-(-2,3)=(4,2) ¡ A C - (8,1)-(-2,3)-(10,-2)
DÁ=(-2,3)-(-¿,-5)=(2,8)
S = a(ADAC)+a(AABC) = ■l|DA.IC't| + ^|ÁB.ÁCX|
= ^|(2,8).(2,10)| + i|(4,2).(2,10)¡ = 56u2
Ejemplo 13. Tres vértices consecutivos de un rectángulo ABCD
son A={- 8,4), B=(2,-2) y C=(5,3). Si PeÁB, QcCD,
ReAD, PQ||a=(7,6) y PQ+PR=(5/3,31/3); hallar si vértice D, los
puntos P, Q y R, y el área del cuadrilátero PRDQ.
Solución. Tenemos: EA=(-8,4)-(2,-2)=2(-5, 3)
Pero: CD=BA
-4- d =C+BÁ=(5,3)+2(-5,3) = (-5,9)
Si PQ M a -* PQ = r( 7, 6)
->• Q-P = rí'J^) (1)
¿P = tBÁ - P = A + tBÁ
^ P = {-8,i) + t(-5» 3) (2)
DQ = sCD -*• Q = D + s(-5,3)
-*• Q = (-5,9) + s(-5,3) (3)
Restando (3)-(2) obtenemos:
Q-P - (3,5) + (s-t) (-5,3)
Luego, en (1): i ( 2 ,-2 )
r(7,6)=(3,5)+(s-t)(-5,3) r(7,6)+(s-t)(5,-3)=(3,5)
Multiplicando escalarmente por (5,-3)X y luego por (7,6)x se tie
ne respectivamente: r=2/3 y s-t=-1/3
Si PQ+PR = (J,^) FR = (J.-U) . | (7>6) = (_3>1|)
R-P = (-3,^) U)
Pero: AR=kAD -*■ R = A+kAD = (-8, 4)+k(3,5) (5)
Restando (5)-(2) se tiene: R-P = k(3,5)-t(-5,3) = (-3,19/3)
de donde obtenemos: k = 2/3 y t=-1 -*■ s=-1-1/3=-4/3
Por tanto: P = (-8,¿)-1(-5,3) = (-3,1)
Q = (-5,9) - |(-5,3) = (|,5) R = (-8, A) + |(3.5)
Area del cuadrilátero: a(PRDQ) = a(¿FRD) + a(¿PQD)
( - 6 , ^ | )
Ve.ctoAe,¿ 75
a(PRDQ) = ■i|PR.PDJ’| + ^PI^PD4-!
= - l̂ (~3 .-1§ ) . ( - 8 . - 2 ) | + | | ( J ^ , A ) . ( - 8 , - 2 ) | = 8 5 /3 u2
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al A, hallar el área del triángulo
cuyos vértices son los puntos dhdos:
1. A(-5.0) , B(1,3) , C(-3.-2) • Rp. S=9u2
2. A(-3.4) , B(6,2) , C(A,-3) Rp. S=2A.5u2
3. A(2,-3) , B(A,2) , C(-5.-2) Rp. S=10.5uz
A. A(-1,2) , B(3,5) . C(5,1) Rp. S=11u2
En los ejercicios del 5 al 8 se dan tres vértices consecuti
vos de un paralelogramo, hallar las coordenadas del cuarto
vértice y el área de cada paralelogramo.
5. A(A,-5) , B(-2,3) , C(-3.1) Rp. D(3,-5), S=20u2
6. A(-1, -2) , B(0,1) , C(-3.2) Rp. D(-A,-1). S=10u2
7. A(-1,-5) . B(2,1) , C(1,5) Rp. D(-2,-1), S=10u2
8. A(2,A) ,*B(6,2) , C(8,6) Rp. D(A,8), S-2Cu2
En los ejercicios del 9 al 12, hallar el área del paralelo-
gramo cuyas diagonales _son los* vectores dados:
9. u = (-2,3) , v = (6,-1) Rp. S=8u2
10. u = (5,-A) , v = (-1,-8) Rp. ¿-.'..íV-
11. u = (11,-1) , v = (-2,A) Rp. S=21u2
12. u = (2,10) , v = (5.-2) , Rp. S=27u2
En los ejercicios del 13 al 15» hallar el área de los pclígo
nos cuyas coordenadas de sus vértices son:
13. A(2» 5) , B(7,1) , C(3,-¿) y D(-2,3) Rp. S=39.5u*
U. 4(1,5). B(-2,A), C(-3,-1)i D(2,-3) y E(5,1) Rp. S=A0u2
76 V ¿ c to / ie .4
15. A(-5»-2), B(-2,5)• C(2,7), D(5,1) y E(2,-4) Rp. S=66u2
16. Dados los puntos A(2,-1), B(-2,3) y C (4-* 3 J • Si P(x,y) divide
al segmento BC en la razón BP:PC=-2:5r hallar el área del
triángulo PGB. Rp. S=10u2
17. Dados los puntos A(-3»-5)* B(3.1) y C(2,5). Si P(x,y) es el
punjto de trisección, más cercano de A, del segmento AB,' cal
cular el área del triángulo PCB. Rp. S=10u2
18. Los vórtices de un triángulo son A(3,-1), B(1,k) y C(5>2).
Hallar la ordenada del vórtice B sabiendo que el* área del
triángulo es de 6u2. Rp, k=2 ó k=-10
19. En la figura:
OABC es un paralelogramo. Si 0B=(1,6) A
y AC=(9»-2), hallar el área del trian
guio ABC. Rp. S=14-U2
20. Los vértices de un triángulo son A(3*-5)» B(2,5) y C pertene
ce a L={(x,y)/y=-2x}. Si su área es de 3-5u2, hallar las co-
. ordenadas del vértice C. Rp. C(4,-8) ó C(9/4*-9/2)
21. En la figura:
a(A0AB) = 15u2 y ||a||=10. Si í>=(m,n)
hallar el valor de: 3m+n. Rp, 0
22, Los vértices de un triángulo son A(x,y), B(4-* 3) y C(-2,6).
Si el área del triángulo es de 9u2 y AeL={(x,y)/x-2y=4), ha
llar las coordenadas del vértice A. Rp. A(10,3) ó A(¿,0)
23. En la figura:
a(A0AB)=12u2, ||S||=2/2. Si
Proy£La=(x,y),'hallar el valor de:
x*y. Rp. -36
Vecto/ie¿ 77
1.21 DEPENDENCIA LINEAL
Se dice que des vectores a y SeR2, son Linea¿mente depen
díante.* si uno de ellos es múltiplo escalar del otro; es decir,
si a=rí ó £=ra para un escalar r.
En consecuencia, a y ? son linealmente dependientes precisamente
cuando a y ? son colineales. (Fig. 17)
+ -*■a b
Figura 17
(Vectores linealmente dependientes)
1.22 INDEPENDENCIA LINEAL
Se dice que dos vectores a y ÍeR2, son ¿¿ne.aime.nte. indepen
diente¿ si y sólo si a y % no son linealmente dependientes , es
to es, cuando los vectores a y í no son colineales. (Fig. 18).
(Vectores linealmente independientes)
1.23 CRITERIO DE INDEPENDENCIA LINEAL
Dos vectores a y táp2. son linealmente independientes si
se verifican las condiciones' siguientes:
Si: sa + tS - 0 + *s=0 y t=0 (24)
PROPOSICION 1.4 Dos vectores a y ? son linealmente independien
tes si y sólo si aj/fS.
• é
Demoótnaclón, (-**) Demostraremos primero que si aj/|̂ entonces a
y í> son linealmente independientes.
En efecto, supongamos que aj/fti y que sa+tíj=0.
Al dividir arabos miembros de esta igualdad entre s ó t, se tiene
78 V c c io / i e . 4
a = -(J)S 6 t = -(f)a
Esto es: a = r? ó ? = ka
Por lo que: a| |?
(a y ? son linealmente dependientes) lo que contradice la hl
pótesis.
En consecuencia, a y ? son linealmente independientes*
(-*-) Demostraremos que si a y ? son linealmente independientes en
tonces: aj/|?.
En efecto, supongamos que a||?, aj¿0 y ?^6 3r¿C/a = r?
lo que significa que: a + (-r)? = 0-
Se ha logrado una combinación lineal de a y ? igual a 6 con
coeficientes 1 y -r que son diferentes de cero, lo cual con
tradice la condición (24)* Esto significa que a y ? son li
nealmente dependientes, lo que contradice nuevamente la hipó
tesis.
En consecuencia: a^f?.
1.23 REGLA DE COMPARACION DE COEFICIENTES
Sean a y ? vectores linealmente independientes para los«
cuales se cumple:
sa + t? = ma + nS
y que se puede expresar como:
(s-m)a + (t-n)? = 0
Según la ecuación (2¿) ocurre que: s-m=0 y t-n=0, esto es:
s=m y t=n, por lo que podemos afirmar que:
Si a y ? son linealmente independientes, y si:
sa + t? = ma + n? fs = m (25)
Ejemplo 1. Hallar los valores de k para que los vectores: *
a=(-7,k+2) y $=(1-2k,1) sean linealmente independien
tes.
Solución* Sabemos que dos vectores a y ? son linealmente depen
dientes a||? , o bien: a.?J'=0
Entonces: (-7,k+2). (-1,1-2k)=0 7+(k+2)(1-2k)=0
I
V e .c to s ic ¿ 79
de donde: 2k2+3k-9=0
Luego, a y { son linealmente
k¿3/2, esto es:*
keR-{-3» 3/2}
k=-3 ó k=3/2
independientes si y solo si: k¿-3 y
Ejemplo 2. Sean a y í vectores linealmente independientes. Para
que valores de k tendremos que c=3a-2Í y 3=ka+¿í son
linealmente independientes.
Solución, Debemos hallar números s y t, que no sean simultánea
mente cero, de modo que:
s(3a-2t)+t(ka+¿S)=6 (3s+t)a + Ut-2s)í¡ = 6
Por la ecuación (24.)* la independencia lineal de a y í implica
que: 3s+kt=0 y 4-t-2s=0
De la segunda ecuación se tiene: s=2t, y en la primera ecuación
implica que:
6k+kt=0 + t(6+k)=0 +•*> t=0 ó k=-6
Pero como t y s no son ambos cero, entonces los vectores c y 3
son linealmenteindependientes si k=-6.
PROPOSICION 1.5 (Teorema de las Bases). Si a y í> son vectores
linealmente independientes del plano, entonces
a y í forman una base de los vectores del plano.
De.mo¿¿naci6n, Sean a=OQ, í=OR y c=OP
Por hipótesis a y í son
linealmente independientes, entonces
OQ y OR no son colineales. Por P trace
mos paralelas a OQ y OR de modo que in
tercepten a sus prolongaciones en M y
N respectivamente (Figura 19).
Luego se tiene: 0N=sa y OM=tí>
Pero como OP=ON+NP=ON+OM, entonces: Figura 19
c = sa + tí
lo que nos permite afirmar que c se representa como una única
combinación lineal de a y í y genera el espacio vectorial R2*
En síntesis podemos decir que, dado dos vectores a y í en R2, en
tonces: — a,t> es una base del espacio R2.
La demostración anteriornos sugiere 3a siguiente definición.
80 Vectone*
DEFINICION 7. Dos vectores a y í constituyen una de los
vectores del plano -si, todo jvector c del plano se
puede expresar de manera única como una combinación lineal dê a
y S. Es decir;
a y S generan a R2 AAceR2, 3s,teR/ c=sa+tb
En efecto, al multiplicar la última igualdad por a* y Sx ocurre
que: a^.c = t(aA.S) + t =
a . b
fr.t = sí^.a) + s =
D • a
¿■i ~?k . / t
Por tanto: a ( £_¿°)S + ( )S (26)
'S\a' 'aA.b’
Observaciones. (1) Un vector no nulo se puede expresar no sola-
. mente como una combinación lineal de dos vec
tores ortogonales a y ax, sino que ax se puede reemplazar
pbr^íUalquier otro vector que cumpla la condición de no ser
paralelo a a.
(2) Los números s y t de la ecuación (26) se denominan cooA.de.na~
* da¿ del vector c en la base £={a#í>).
La notación (26), se denomina, además, descomposición del
vector c según la base 5={a,í>).
(3) A manera de una generalización podemos decir que:
Un conjunto de vectores {ai,a2,a3, a } de un espacio
IXvectorial R es una base para este espacio vectorial si se
cumplen las condiciones siguientes:
\ + + + +
a) ai,&2»a3, . . . . , son linealmente independientes.
b) ai,a2,a3, , ...,a generan el espacio vectorial Rn.
Si el vector a es una combinación lineal de los vectores ai,
a2> ....,a , con coeficientes Aj,A2# , es decir:n . n
^ n
a = 21 A, S,
k=1
entonces'cada coordenada X^a) del vector a es igual a la su
ma de los productos de los coeficientes Ai,X2,...,An> por
las coordenadas homónimas'de los vectores ai,a2,*..,a •n
Vectores 81
- n
Este es: Xi(a) = ^ * *i=1»2,3
1
orFlíHCON 8. Se denomina proyección del vector c sobre el vec-
tor a según la dirección í> al vector:
Proy( W = ( | k f ) ' (27)
Aplicando esta definición a la ecuación (26), ocurre que:
0
° = Proy(a,S)? * Proy(S,a)J (?8)
Ejemplo 3. Expresar el vector c=(4,-5) como combinación lir.e&l
de los vectores a=(-2,3) y í>=(3*-1).
Solución. Hallemos las coordenadas (s,t) de c seguí; la base
{a,í}. Aplicando (26) se tiene:
3 = = (1.3). (4,-5) = _ II . t = = (-3.-2). (4,-5) = 2
(1,3).(-2,3) 7 ’ r . í (-3,-2). (3. -1)
c = - -^(-2,3) + f(3,-1)
Ejemplo Si c=(4,-5)t a=(-2,3) y Í=(3»-1), hallar Prcy^ ¿¡je
y Proy^ a)^' ^ verificar la ecuación (28)
Solución. Utilizando los resultados del ejemplo anterior se tie
ne: Proy(|,$)= = - :4(-2.3) y P r o y ^ + jC = f(3,-1)
En consecuencia: c =--^(-2,3) + ^(3*-1) = (4>-5)
Ejemplo 5, Sean a y í> vectores linealmente independientes y co
mo tal, susceptibles de formar una base. Demostrar
que c=3a+2b y S=2a-5Í> también forman una base.
Demostración. En efecto, verificaremos que c y d son linealmen
te independientes, aplicando (21).
Si se + tí = 6 s(3a-2Í) + t(2a-5b) = 9
+ (3s-2t)a + (2s-5t)b = 9
Pero por hipótesis, a y $ son linealmente independientes; luego,
82 V*.ctOAj€¿
aplicando de nuevo (2 £) se tiene: 3 s+2 t=0 y 23-5t=Q_
La resolución del sistema nos da: s=t=0
Por tanto, c y í son linealmente independientes.
Ejemplo 6. Fijado el vector c en B , entonces c es expresable
en forma única, cono la conbinación lineal de los
siguientes pares de vectores:
(1 ) a = ( -3 .2 ) y í » ( - 2 , 3 ) (3 ) t = ( 3 /5 ,1 ) y í = ( - 1 , 5 / 3 )
( 2 ) a = (2 /3 » 1 /5 ) y í = ( - 1 , - 3 / 1 0 ) U ) t = { / % f 3 , U 3 ) y í= (3/2,3> ''2)
Establecer el valor de verdad de cada afirmación.
Solución, Sábenos que: ¥ceR2, 3s,teR/ c*sa+t$
Verenos entonces si cada par de vectores dados son
paralelos.
-3/2
2 /3
(1) a = rí ♦ (-3,2) = r(-2,3) ■*+ í’*"'2* * T
l, 2-3r *• r*
Luego, ^IreR tal que a-rí ■ + ' •'* Es verdadera
(2) a = rí + (|,̂ ) = r(-1 ,-^) ♦+ £ 2/3 = -r * r=-2/3
1/5 = (-3/10)r - r=-2/3
Luego, 3frcR tal que a=rí¡ + a| |S /. Es falsa
(3 ) a = rí + (4,1) = r ( - 1 , 4 ) / 3 /5 = " r * r 3/5
5 J U = ( 5 /3 ) r - r = 3 /5
•%
Luego, 0!reR tal que a=ro + aj-jt Es verdadera
U ) a.t* = (/Z/3.¿/3).(-3/2,3/2) = -2 + 2 = 0
Si a.ía=0 a||í Es falsa.
Ejemplo 7. Sean {ax,a2}# {?x,í2} bases de R2 y a=2tx-3S2. Si
ax=tx-2 Í a, aa=3Íj+(1 /2 )S2 y a=max+na2, hallar el
lor de m-n.
Solución. Si ax=tx-2Í2 íi=aií2Í¡* (1 )
a* = 3 (ax+2 $2) + 5 ^ 2 * de donde: t>2 = 'TJ* 1 + T§®a
Sustituyendo en (1 ) obtenemos: Sj = jlaj + ^ a 2
Entonces: t = 2(T^ l + + -S*,) = 2 0 ^ + _ 2?j
Ví
Vc.ciosie.4 83
Luego, si a = mai + na2 m-n =
Ejemplo 8. Halle las fórmulas del cambio de base, siendo
ui=vi“Vj» U2=3vi-5v2* y determine las coordenadas
del vector u respecto de la base B'=(vi,v2), si respecto de la
base B=(ui»u2) son (2 ,-1 ),
Solución. Resolviendo el sistema de ecuaciones para vi y v2 ob-
5-»- 1 + 3**- l -►
tenemos: vi - 2Ul “ 2U2 • Vz = 2Ul " 2Uz
Si (2,-1) son las coordenadas de u respecto de la base B={ui,u2)
entonces: u = 2ui-u2.
Sean (s,t) las coordenadas de u respecto de B i-(vi,V2)
•+• + .5-*- 1 v / 3+ 1 -► \
+ u = svi + tv2 = $\2Ul “ 2U2' + '2Ul " 2U2'
-*• 2ui - í¡2 = ^(5s+3t)ui - -j(s+t)u2
Según (24): 2 = -|(5s+3t) + 5s+3t=4
1 = -j(s+t) + s+t=2
De donde obtenemos: s=-1 y t=3. Luego, (-1,3) son las cocrdena-
das ae u respecto de la base B T.
4
Ejemplo 9. El vector p=(-5»2) se descompone en px|jx y paII y*
El vector q=(2,1/2) se descompone en qillx y qally.
Si x=(2,1) e y=(-2,-5); hallar el valor de (pi+qi).(ü2+q2).
Se íución. Sea: p = mx +■ ny
+ (-5.2) = m(2,1)+n(-2,-3) ^ í ' 5 = 2m"2n
I. 2 = m-3n
de donde: n=-19/4 y n=-9/i pi = -¿¿(2 ,1 ) y p2 =-¿(-2,-3)
Si q = rx+ty * (2,1/2) = r(2,1)+t(-2,-3) ** i 2 = 2r~2t
l 1/2 = r-3t
'¥
de donde: r=5/4 y t=1 / 4 -*■ qi = *|(2,1 ) y ° 2 = ^(-2,-3)
Por tanto: (pi+qi).(p2+q2) = (-5 ) (-2) (2,1). (-2,-3) = 7(-¿-3)
= -¿9
84- Vedo*ie.4
Ejemplo 10. En el triangulo ABC se tiene:
ÁM:MC=3:4- Si BM=rBÁ+tBC, ha
llar el valor de r+t.
Solución, En el AABM:
BM = ÁM-ÁB = |MC
de donde: -̂ BM = -̂ BC + BA
(-BA) = -|(BC-BM) + BA
BM = ^BC + ^BA
Si BM = rBA + tBC r=4/7 y t=3/7 r+t=1
Ejemplo 11. En la figura se tiene el para
lelogramo ABCD. Si P es punto
medio de CB, QD=7QB y si PQ se escribe co-
mo una combinación lineal de DC y AD, cal
cular la suma de los escalares.
Solución, Sea PQ = sDC + tAD (D
D
En el AQBP: PQ = PB-QB , pero: PB = ^CB , QB
1^; 1 1/7-Entonces: PQ = ^CB - *̂ QD = ¿(-AD) - ¿(¿BD) =
= ~ÁD + |(ÁB-ÁD) = 45C - |aD
Según (1) sDC + tAD = -lüC - JaD s=1/8 y t=-5/8
s + t = -1/2
Ejemplo 12. En el paralelogramó de la
1 1DP = ¿DC.gura: AE = -jAC ,
Si EF=aA3+nAD, hallar el valor de n-m.
Solución, En el cuadrilátero ADFE:.
EF = EA + AD + DF = -AE + AD + ^DC jAG + AD + »AB
= - -¿(AB + BC) + AD + |AB
EF = "̂ AB + "̂ AD - mAB + nADComo BC * AD n=1/4 y n=3/4-
/. n-m = 1/2
VZC¿0SLC4
+
Ejemplo 13. En el triángulo ABC, las Ion
• ____
gitudes de los segmentos BD
y DC son 3 y 5 respectivamente.
Si ÁD=nAB+nAC» hallar el valor de m+n.
Solución. En el AABD: AD = AS + BD
♦ Id « íb + | bc = Ib + |(ác-a b) = |ab + |ác
Luego, si: mAB + nlc = | a§ + |¿C •<-+(“ = 5/8
8 8 Ib = 3/8
•*. m+n = 1
Ejemplo 1A. Se tiene el cuadrilátero ABCD.
Sabiendo que AE = *jAB y F y G
son puntos de trisección de CD y M es pun
to medio de EF. Al expresar AM como una com
binación lineal de AB» BC y CD» hallar la
suma de todos los escalares.
Solución. Sea: AM = mAB + nBC + rCD
En el AAEM: AH = H + ÉM = -jAB + ̂ EF
= -jAB + |(ÉB + BC +CF)
= -lÁB + |(|ÁB + BC + -jCD)
Luego, si: mAB + nBC + rCD = 4jAB + ^BC + -gCD
♦ (m-2/3)AB + (n-1/2)BC + (r-1/6)CD = 6
Como AB» BC y CD son linealmente independientes» entonces:
m-2/3=0 , n-1/2=0 . r-1/6=0 <-»• m=2/3 * n=1/2 » r=1/6
.*• m+n+r ~ kl 3
Ejemplo 15. En el paralelogramo adjunto»
P y Q son puntos medios de BC
y AB respectivamente RD=3AR. Si RC se ex
presa como una combinación lineal de PQ y
PA» hallar el producto de los escalares.
Scíuc¿6r. Sea RC = m?Q + nPA
86 Ve.c.i.o/iA-6
En el ARDC: RC * RD + DC = -|aD + DC = -|bC + AB
= -|(2BP) + 2AQ = |(QP - QB) + 2AQ
= 4(QP - ÁQ) + 2ÁQ = -|0P + 4ÁQ
= 2|PQ + ^(PQ - PA) = -PQ - ■jPA
Luego, sis mPQ + nPA = -PQ - ■jPA m=-1 y n=-1/2
/. mn = 1/2
Ejemplo 16. Sea ABCD un paralelograno, M un punto sobre el lado
BC. Si el área del AABM es igual a la mitad del á-
rea del cuadrilátero AMCD y AM=sDC+tADf hallar el valor de s+3t.
Soíuciin. Si a (AMCD) = 2a(AABM) B M C
+ a(ABCD) = 3a(AABM)
Entonces: (BC*)h = -|(BM)h ■*-*• BM =
1
■Luego: AM =■ AB'+ BM = DC + ¿BC
ói sDC + tAD = DC + |ÁD
s+3t = 3
Ejemplo 17. En el paralelogramo ABCD
_ 1cumple: M = - ^ y
Si M=mAD-nAE, probar que: M =* AB
De.mo¿ÍA.ac¿6n» En efecto:
AP
AC
se
X
m
B
AB = AC-BC = AC-AD = AC-(AE+ED) = AC-AE-ED
Pero: AC = mÁD y ÉD = (n-1)ÁE
Entonces: ÁB = mAP-AE-(n-1)AE * mÁP-AE-nAÉ+Ál
AB = mAP - nAE = M
Ejemplo 18. En la figura: ABC es un trián
gulo equilátero. Si AB=nAC-iafíB
donde H es el ortocentro* hallar el valor
. . 1 . 1
if edo/íes 87
Solución. Si AC = AB + BC + AB - AC - BC (D
En el ABDC: BC = DC - DB = ¿AC - DE
Como el AABC es equilátero, el punto H es también baricentro,
entonces: HB = *jDB DB = -¿HB . Luego: BC = - 4HB
Sustituyendo en (1): AB = AC - -jAC + -?HB2 ¿AC + |HB
Si nAC - mHB = ^AC + |hb m *
• • i ♦ im n
PM | |-AN X
Ejemplo 19. En un triángulo ABC, M=(-1,6) y N=(7,1) son puntos
medios de los lados AB y BC respectivamente. AB es
paralelo al vector a=(2,*l) y Proy^AB = 1). Hallar los ver
tices del. triángulo.
Solución. Sí AQ = Proy^jjAB =
♦ / *»* AÑ|
Per M, punto medio de AB, trazamos
- PM = t(1.4) _ A-
Como P es punto medie de AQ, er.ton
ces: ÁP = lÁQ = yf(4,-1)
En el AAPM: ÁM = AP + FÍÍ
- r(2,1) = |¿(4.,-1) + t(1,4)
Multiplicando escalarmente ambos
extremos por se tiene:
r(2,1).(-4.,1) = j^(4,-1). (-4,1) , de donde: r=2
luego: AM = 2(2,1) •» A = M-U.2) = (-1.6)-{4-, 2) = (-5,4)
88 Ve,c£oA*e¿
EJERCICIOS
En los ejercicios del 1 al sean a y í vectores linealmen
te independientes. Para qué valores de k tendremos que c'y 3
son linealmente independientes?
1. c = 3a + (k+3)t> , 3 = (k-4)a - 4$ Rp. k=0, k=1
2 . c = a - 2% , 5 = 3a + kí Rp. k=-6
3. c = (k+1 )a + t , 3 = 4-a + (k+1)S Rp. k=1, k=-3
A. c = 2a + (k+2)t , 3 = 3a + (k-1)í Rp. k=7/2
5. Si a y Í forman una base en R2, demostrar que los vectores:
c=5a-2Í) y 3=3a+4-í también forman una base en R2.
6. Hallar los valores de k para que los vectores dados sean li
nealmente independientes.
a) a = (k-5.A) , $ = (2k.-1) Rp. keR-{5/9)
b) a = (2,2k-3), t = (1-k,-5) Rp. keR-{-1,7/2}
7. Fijado el vector c en R2, entonces c es expresable y en for
ma única, como una combinación lineal de los siguientes pa
res de vectores:
(1) a=(-5,1 0) , í=(3,-6) (3) 3=(/5/2,-6), t=(-5/i, 5/5/2)
(2) a=(2,4) . £=(-1/2,-1) U) a=(3,-1/2), £=(-12,-2)
Establecer el valor de verdad de cada afirmación. Rp. FFFV
8. Dados los vectores: a=(1,2), b=(-1,2), c=(1,1), 3=(2,-¿) y
e=(-3» 6). Cuántas bases de R2se pueden obtener con ellos?
Rp ¿. 7
9. Hallar las coordenadas del vector a=(1,2) respecto de la ba
se B={(2,-1), (-1, 1)}, (3,5)
10. Sea íui.u.) una base de R2, ui=(1,3), ua=(-5,1). Si a=(-2,6)
y si a=rui+tu2, entonces:
(1 ) CompSi3=r (2 ) r+t=5/2 (3)
Establecer el valor de vendad de cada afirmación. Rp. FVF
Ve.cto/iz¿ 89
11. Halle las coordenadas del vector a=(1,3) de Ra respecto de
la base B={(-2,1),(1,2)}. Rp- (1/5,7/5)
12 .
13.
Sean a, ceR2, entonces:
(1) (a,t>} linealmente independientes •* {a,í} gebera R2
(2) {a,í} y {í,c} bases de R2 {a,c} base de R2
(3) a| |í¡ y S-Lc a, í y c son vectores linealmente ind.
(4.) {a,t>,c} generadores de R2 ♦ {a,$»c} base de R2.
Determinar el- valor de verdad de cada afirmación. Rp. VFFF
Si {a,?>,c}cr R2 son vectores no nulos, se afirma:
(1) Si {a,S} es base de R2 {Proy^a,Proy^í} es base de R2
(2) {a,í¡,cj es linealnente dependiente.
(3) {a,S} es base de R2 -► a ± í
Determinar el valor de verdad de cada afirmación. Rp. FVF
U. Sean a, í> y c tres vectores de R2» se afirma:
^ ^ ^
(1) {a,o»c} es linealmente dependiente.
(2) Necesariamente a||15 , í¡||c ó a | | c
(3) Si cíeR2 : «-»- 3r,s,teR/ 3=ra+sí+tc
Determinar el valor de verdad de cada afirmación Rp. VFF
15. Halle las. formulas del cambio de base, siendo U i=3vi+V2*
U2=4v i-3v 2, y determine las coordenadas del vector u respec-
no de la base B'^ív^v*} si respecto de la base B={ui,u2}son
(3,-2) Rp. (1*9)
16. En la figura se tiene: Tga=5/12, el
vector a se expresa como a=u+v, don
de u y v son paralelos a los rayos
OX y 02 respectivamente. Si ||a||=26
hallar el valor de ||u||+||v||.
Rp. 4-4-+10/5
17. En el paralelogramo de la figura:
It=SC y FD = -|aF. Si EF=nÁD+nCD,
hallar el valor de m+n. Rp. 4/5
*- x
90 Ve.c¿o*&¿
18. En la figura:
ABCD es un paralelogramo, P punto medio
de CD, E punto medio de BD. Si CB se ex
presa como una combinación lineal de AP
y AE, hallar el producto de los escala
res. Rp. -A
19. Sean A i,A2» •...»An* n puntos de R2. Si 0Ai+0A2+....+0An se
pone en combinación lineal de OA*, A2A2, A2A*, ...., Aq -]An»
20.
hallar la suma de los escalares.
En el cuadrilátero de la figura:
E es punto medio de AD» F y G son pun
tos de trisección de BC y M es punto
medio de EF. Si AM=aAD+bAB+cBC, deter
minar el valor de a+b+3c. Rp. 5/A
21. En la figura:
ABCD es un paralelogramo, PC=3BP. Si
hallar: m-n. Rp. 9/8
22. En el paralelogramo ABCD: BC=4BE y F
es punto medio de AC. Si EF=mAC+nAB,
hallar el valor de m-n. Rp. 1
23.
24.
En la figura:
ABCD es un paralelogramo donde AD=3AF
y ED=5BE. Hallar los valores de m y n
si EF=mAD+nAB. Rp. m=1/6, n=-5/6
Si M y N son puntos de trisección del
lado BC del ¿ABC y AÑ=mAC+nAB, hallar
el valor de: — - — .b n Rp. 3/2
Rp. §(n+1)
25» En el ¿ABC se tiene que AD y CE son
medianas y PH||BA. Hallar m y n tales
que: AF=mPM+nBC. Rp. m=-2¿ n=1/3
B P
B
,
Ve.cto/ie.4 91
1.25 APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA GEOMETRIA ELEMENTAL
Las relaciones establecidas para los vectores en R consti
tuyen instrumentos de singular importancia para el tratamiento
de ciertos conceptos de la Geometría Elemental. Algunas veces u-
na apropiada aplicación de métodos vectoriales facilitará la in
terpretación y demostración de proposiciones geométricas.
Se debe destacar, sin embargo, que a veces es necesario el uso
de las coordenadas cartesianas para facilitar las demostraciones
El empleo de un sistema rectangular es arbitrario en lo que y se
refiere a la orientación y colocación de los ejes coordenados y
esta selección no hace perder generalidad al teorema.
Es oportuno resaltar que cuando se usan métodos vectoriales pa
ra la demostración de teoremas, no es importante ubicar la figu
ra en una determinada posición en el sistema coordenado; sin em
bargo es recomendable tener en Consideración el uso de un vérti-
(oe cualquiera como origen de los vectores (Figura 20), en otros
casos, el vector de posición de cada vértice o punto fundamental
de cada figura geométrica. (FigUra 21)
Figura 20 Figura 21
Los ejemplos siguientes darán una mejor ilustración de lo que se
sugiere.
Ejemplo 1, Demostrar que las diagonales de un paralelogramo se
bisecan mutuamente.
D&mo¿¿/iaci6n, Sea ABCD un paralelogramo,
M punto medio de la diagonal AC
N punto medio de la diagonal BD
t
92 Vectosie.¿
Entonces: AM =
de dmodo qud:
Análogamente se
^AC
1m = ^(c+a)
tiene: n = ^(S+c)
B
Por ser ABCD un paralelogramo: DC=AB
+ 3-3 = í-3
Sumando (3+a) a ambos extremos de esta igualdad, se'tiene:
c-cí+(5+a) = 1>-a+(3+a) c+a = S+S ** ^(c+a) = (̂ÍS+cí)Por tanto: m = n • esto es:
*Ejemplo 2. Demostrar que el segmento de recta que une los pun
tos medios de los lados de un triángulo es paralelo
al tercer lado, y su longitud es la mitad de la longitud del ter
cer lado.
De.mo¿t/iac¿6n, En efecto, sea el AABC,
modo que: AB=2AM
«Entonces: í-a = 2(m-á)
de
* = ht+t)m
Análogamente: BC=2BN **■ n = ^(S+c)
Pero MN = n-m = ^(í+c)
Luego: MN = ^AC
Por tanto: MK||AC y
¿(S+t) = |(3-3)
|MN|| = 1\|AC||
Ejemplo 3. Demostrar que los puntos medios de los lados de un
cuadrilátero son los vértices de un paralelogramo.
De.mo¿ÍJLac.¿&n. En efecto, sea el cuadrilátero ABCP, en donde:
AM = ¿AB m = J(í+S)
BN = ¿BC + 3 = ¿(í+c)
MN = S-í = 1(t+í) . 1(|+S) = t(S_S) (1v
Asi mismo AS = -l(AD) + s 4(3+3)
CT = i(CD) * í = 4(34)
ST = í-s = 4(c+3) - ¿(3+3) = o(c-a) ( 2 )
Vectc/ic.¿
De las ecuaciones (1) y (2) se deduce que: MÑ = ST
Análogamente se demuestra que: M3 = NT
Por tanto, MNTS es un paralelograac.
Ejemplo k. Demostrar que las diagonales de un rombo son perpen
diculares.
De.mo.tt'iacitn, En efecto, sea el rombo ABCD.
ÁC = ÍB + BC (1)
E B = B C + C D = B C - D C
*Perc ÜC=AB (Fcr ser lados opuesto del rombo)
Entonces: BD = BC - AB (2)
Multiplicando escalarmente las ecuaciones
(1) y 12) se tiene:
ÁC.BD = (BC+AB).(BC-AB)
+ ÁC.BD = ||BC||2-||AB!¡2, perc: |¡3C||=¡|ÁB||
Per tanto: AC.BD * 0 AC J. BD
Ejemplo 5. Demostrar que las medianas de un triángulo se cortan
en un punto cuya distancia a cada vértice es los dos
tercios de la distancia que separa a la mediana de dicho vértice
Demc :¿A.ac¿¿n. Sea el AABC, las medianas
AM, BN y CP, y G el bari
centro del triangule. Entonces:
AM = m-a - ̂ (S+c) - a = ^(t+c-2a)
BÑ - n-t = -l(a+c) - t = ¿(a+c-2Í)
CP =■ p-c = ̂ (a+S) - c = ^(a+?-2c)
La expresión vectorial que define al baricentro para cada media
na es:
g - a + rAM = a + -^(?+c-2a)
g = í + sBN = í + ■j{a+c-2Í)
g = c + tCP = c -i í(a+S-2c)
(1)
( 2 )
(3)
Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene
9¿ Ve cto/ie*
a + f(í+c-2a) = t + f(í+c-2Í)
-*• (2-2r-s)a + (r+2s-2)í + (r-s)c = 0
Como a, b y c son linealmente independientes, entonces:
2-2r-s=0 , r+2s-2=0 , r-s=0
de donde obtenemos: r=s=2/3
Análogamente, de las ecuaciones (1) y (3) se tiene: r=t=2/3
Por tanto, las medianas se interceptan en el punto G a 2/3 de AM
BÑ y CP.
Observación* Si sustituimos los valores de r, s ó t en las ecua
ciones (1), (2) ó (3)» respectivamente, se obtiene
la ecuación vectorial que define el baricentro de un triángulo,
I = £ + (1) (Z)
Ejemplo 6 Demostrar que las tres alturas de un triángulo se in
terceptan en un punto llamado ortocentro.
Demo&tJiacitn* En el AABC trazamos las alturas correspondientes
* a los lados AB y BC. Unimos el punto 0 de inter
sección con el vórtice B. Para demostrar la proposición bastará
probar que 0B j_AC, o sea que:
h£.% = 0 B
^ ^ ^ AEn efecto, siendo ¿1.BC y c-LAB, entonces:
a.BC = a.(c-t>) = 0
c. AB = c. (í>-a) = 0
Sumando (1) y (2) se tiene:
(D
(2 )
+■ ■+ a. c - a.í + c.í - c.a = 0 -> (c-a).S = 0
AC.Í = 0
Por tanto: AC-L OB
Ejemplo 7. Demostrar que las mediatrices de los lados de un tri
ángulo se cortan en un punto llamado excentro.
‘üem.o¿i.Jiac¿6n, En el AABC trazamos las mediatrices correspondisn
tes a los lados AB y BC, las cuales se intercep
tan en 0, Unimos 0 con P, punto, medio de AC. Demostraremos que:
OPXAC, o sea que: OP.AC = 0
En efecto, por definición de mediatriz: 0Ñ.BC=0 y 0M.AB=0
Vedo/te* 95
En el AGMP: ÓP = OM + MP
+ CP.ÁB = ÓM.ÁB + MP.AB = MP.AB (1)
En el AOHP: OP = OÑ - PÑ
+ OP.BC = OÑ.BC - PÑ.3C = -PÑ.BC (2)
Sumando (1) y (2) se tiene:
OF.(AB + BC) = MP.AB - PÑ.BC
* OP.AC = MP.AB - PÑ.BC
Según la proposición del ejemplo 2:
MP = -jBC , PN = ^AB , entonces: OP.AC = ^nu.an - 2Aií*
OP.AC = 0
Ejemplo 8. Demostrar que tres puntos, uno en cada lado de un A,
son colineales si y sólo si el producto de las razo
nes algebraicas en que dividen a los lados respectivos es igual
a la unidad (Teorema de Menelao).
De.mo¿¿Jiac¿6/i. Sea el AABC y los puntos M, N y P los que dividen
a los lados ÁB, BC y AC en las razones m, n y r
respectivamente. Siendo AB, BC y CA linealmente independientes,
entonces: AB + BC + CA = 9 (1) B
Si ÁM = nMB * AB = S±J¿M (2)m
BÑ = nÑC + BC = ~-*BÑ = 2±J(ÁÑ-AB)
BC = £ÍÍ(ÁÑ - — 1ÁM) (3)n m
CP = rAP + ÁP-AC = rAP
+ CÁ = (r-1)AP U)
Sustituyendo, (2), (3) y (4) en (1) se tiene:
(S^)ÁM + (2^)(ÁÑ - ^ Á M ) + (r-1)AÍP = 9
■v - -5±J)am + (— )AÑ + (r-1)AP = 0m m n
Dado que AM, AN y AP son vectores linealmente independientes, en
tonces: - — ) = 0 , — = 0 , r-1=0ut ID D.
de donde obtenemos: m=-1 , n=-1 , r=1
mnr = 1
1
96 Vectores
Ejemplo 9. ABC y A'B'C1 son dos triángulos y G y G! son sus ba
ricentros. Demostrar que: AAT+BB1+CCT=3GG1.
Demostración. En efecto:
AA1 = a* - a
BB» = í>' - ?>
CC> = c' - c
Sumando se tiene:
AÁ'+BB'+CC' = (a'+t'+c')-(a+t+c)
Según la observación hecha en el
ejemplo 5: a+í+c=3g y a*+í>*+c1 =3gf
AA1+BB * +CC1 = 3g1 -3g = 3 ( g * - g )Entonces:
AA1+BB1+CC1 = 3GG1
Ejemplo 10. Demostrar que en un tetraedro, las líneas que unen
los puntos medios de los lados opuestos se bisecan
mutuamente.
Demostración. En efecto, sea el tetraedro 0A3C,
Sean PQ y RT dos líneas que unen los puntos me
dios de dos lados opuestos. Tomando el vértice 0 como origen, la
expresión vectorial que define el
punto medio M de PQ es:
m = ^(OP+OQ) = ^[^(OM+OB) + |oc]
1m = -¿(0A+0B+0C) (1 )
Asi mismo, para el punto medio N de RT
n = ^(0R+0T) = |[i(ÓB+ÓC) + |oÁ] 0
1n = ^(OA+OB+OC) (2 )
Por tanto, de (1) y (2) se deduce que: m = n ■+■ M = N
Ejemplo 11, Si A, B, C y D son vórtices de un cuadrilátero, de
mostrar que: AB+ÁD+CB+CD=^PQ, donde P y Q son pun
tos medios de las diagonales AC y BÍ).
Demostración. En efecto, en la figura se tiene:
PQ = PA + AB + BQ
l 'c c to / ie .4 97
FQ = PA + AD + DQ
PQ = PC + CB + BQ
PQ = PC + CD + DQ B
Sumando ordenadamente se tiene:
¿PQ = ÁB+AD+CB+CD+2(PÁ+PC)+2(8Q+DQ)
Pero: FC=-PÁ y DQ=-BQ A D
AB + AD + CB + CD = ¿PQ
Ejemplo 12. Demostrar que la suma de los cuadrados de las diago
nales de un paralelogramo es igual a la suma de los
cuadrados de sus lados.
dcmo¿¿.\aci¿n. Sea el paralelogramo ABCD
Si BD=ÁD-ÁB + | |BD | | = I | AD-AB||
+ | ¡ BD | |2=| | ÁD ) |2+| | AB | |2-2ÁD.AB
Asi mismo: AC=AD+DC=BC+DC
+ | IAC|¡2=| |BC||2+||DC||2+2BC.DC
Sumando (1) y (2) se tiene: A ;D
||b d ||2+||a c ||2=||a d ||2+|!a b ||2+||b c ||2+||d c ||2+2(b c .d c -a d .a b )
pero como: AB=DC y AD=BC, se tiene:
1 1 b d 1 1 2 + 1 1 a c J | 2 = | | a d ¡ ! 2 + | | a b í | 2 + | J b c | | 2 + ! ¡ d c | ! 2
B C
EJERCICIOS
1. Demostrar que las diagonales de un rectángulo son de la mis
ma longitud.
2. Demostrar que las diagonales de un cuadrado son perpendicula
res.
3. Demostrar que el punto medio de la hipotenusa de un triángu
lo rectángulo equidista de los tres vértices del triángulo.
i. Demostrar que las diagonales de un trapecio y la recta que u
ne los puntos medios de los lados paralelos, se cortan en un
mismo punto.
98 Vcc£o/ie¿
5. Demostrar que el segmento de recta que une los puntos medios
de los lados no paralelos de un trapecio es paralelo a la3
bases, y su longitud es igual a la mitad de la suma de las
longitudes de las bases.
6. Demostrar que las medianas de los lados iguales de un trián
gulo isósceles son de la misma longitud.
7. Demostrar que si las rectas que contienen a dos lados opues
tos de un cuadrilátero se interceptan en un punto S, y las
rectas que contienen a los otros dos lados del cuadrilátero
se interceptan en un punto T, entonces el punto medio del
segmento ST es colineal con los puntos medios de las diagona
les del cuadrilátero. (Sug. Coloque el origen en uno de los
vórtices del cuadrilátero).
8. Demostrar que los puntos medios de dos lados opuestos de un
cuadrilátero y los puntos medios de sus diagonales son vertí
ces de un paralelogramo.
9. Demostrar que la suma de los cuadrados de las distancias de
un punto cualquiera del plano a dos vórtices opuestos de-un
rectángulo es igual a la suma de loscuadrados de las distan
cias del punto a los otros dos vórtices.
10. Demostrar la igualdad vectorial: OA+CB+ÓC=OP+OQ+OR, siendo 0
un punto cualquiera interior al triángulo ABC y F, Q y R los
puntos medios de los lados A3, BC y CA, respectivamente.
11. Demostrar que la suma de los cuadrados de los lados de cual
quier cuadrilátero excede a la suma de los cuadrados de las
diagonales en cuatro veces el cuadrado de la línea que une
los puntos medios de las diagonales*
12. a, c y 3 son vectores que unen 0 con A, B, C y D. Si se
verifica que: (í-a)=2(3-c), demostrar que el punto de inter
sección de las líneas que unen A con C y B con D, triseca es
tas líneas.
V e .c tc n e .4 99
1.26 APLICACIONES DE LOS VECTORES A LA FISICA
El empleo de vectores en la física es frecuente, la fuerza
la aceleración y la velocidad se representan mediante vectores
en las que la dirección del vector está dada por la dirección de
la cantidad física, en tanto que la magnitud del vector es igual
a la magnitud física, en las unidades apropiadas.
Cuando se trabaja con velocidades debemos tener en cuenta que,
en un movimiento que es la composición de varios movimientos, el
vector de velocidad es la suma vectorial de los vectores de velo
cidad de cada movimiento.
Otra aplicación se refiere a las fuerzas que actúan sobre una
partícula en el espacio; en este caso, a las diversas fuerzas c 1
actúan sobre una partícula se representa mediante vectores:f i,?z
Fj, ...., ? , entonces la segunda ley de Newton, establece que
el movimiento de una partícula está descrita por la ecuación veo
torial:
uia = ? i + ?2 + ^3 + fi , ¿ 3 » n
donde m es la masa de la partícula y a la aceleración. En esta e
cuación la masa m es un escalar, en tanto que la aceleración a
es un vector.
Si es el caso de que la partícula está en reposo la suma de les
vectores de las fuerzas es cero, esto es:
Los ejemplos que siguen a continuación pondrá en evidencia rela
ciones importantes en el estudio de ciertos fenómenos físicos.
Ejemplo 1. Un hombre salta desde un automóvil en marcha de mang
ra que, el coche hubiese estado quieto, su velocidad
habría tenido magnitud 10km/h y habría formado un ángulo de 60°
con la dirección al frente del automóvil. Si el coche avanza a
30 km/h, con que velocidad sale el hombre del automóvil?
Solución, Sea v*, el vector de velocidad del coche y V2, el vec
tor de velocidad que le correspondería al hombre si
el coche hubiese estado quieto.
Entonces la velocidad real del hombre es: v = vi + v2
100 Ve.ctO/LC.4
Luego: Vi = 30(Cos0°,SenO0) = 30(1,0)
v2 = 10(Cos2¿0°,Sen2¿0°) = 5(1,-/3)
Por tanto, v = 30(1,0)+5(1»-/3) = 5(7,-/3)
es el vector velocidad que se desea tener
y cuya magnitud es:
|IVI| = 5/49+3 = 10/T3 km/h
Ejemplo 2, Un aeroplano vuela hacia el noreste con una veloci
dad de ¿00 millas/h y el viento sopla hacia el sures
te a una velocidad de 100 millas/h. Cuál es la velocidad resul
tante del aeroplano, con respecto a la tierra, y que curso debe
seguir el piloto.
Solución, Sea vi el vector velocidad del
aeroplano y V2 el vector velo
cidad del viento.
Luego, el vector velocidad resultante del
aeroplano con respecto a la tierra es:
v = Vi + V2
Si: vi = 400(Cos45°,Sen45°) = 200/2(1,1)
y v2 = 100(Cos315°,Sen315°) = 50/2(1,-l)
Entonces: v = 50/2(4+1,4-1) = 50/2(5,3)
+
La dirección de la velocidad es: u = — i-
l l í l
o sea: Cosa * — — = 0.857 -► a = 31°
/5Z
En consecuencia, el vector velocidad resultante forma un ángulo
con la dirección Este de 31°, esto es, su dirección y sentido re
sultán definidos por: Este 31° Norte, curso que debe seguir el
piloto.
Ejemplo 3. Una avioneta pequeña vuela a 150 km/h si hay quietud
en el aire, cuando hay viento de 25 km/h que sopla
desde el suroeste. Que curso tendrá que seguir el piloto y que
tiempo tardará en llegar a su destino, situado a 200 km al norte
Solución, Sea-Vj el vector velocidad de la avioneta y v2 el veq
«tor velocidad del viento.
_ = (5>3)
I m
Ve. ctoA.e.4 101
Entonces: Vi = 150(0,1) = 25(0,6)
Vj = 25(Cos45°,Sen45°) = ^|(/2,/5)
La velocidad resultante es:
v = Vj + Vj = ^|(/2 ,1 2+/S)
y su dirección: Tga = 12+/? _ 9 ^ 6
/?
^ a = 63°U'
Entonces: 90o-63O14' e 6°46'
Luego, el curso que debe seguir el piloto es: Norte 6o ¿6 1 Oeste.
| |v| | = (25/2)/(/5)2+ (12+/2) 2 = 25/37+6/2 = 25(6.7)
El tiempo que tardará en llegar a su destino es:
é 200 8 - ̂,t = ■■ = ■■ ■■ —— * — = 1 . 2 horas
I Iv| | 25(6.7) 6.7
Ejemplo Un auromóvil recorre 3 km haci
hacia el noreste. Representar
miento resultante del recorrido.
Solución. AP=a representa el desplaza
miento de 3 km hacia el norte
PQ=Í representa el desplazamiento de 5km
hacia el noreste.
AQ=c representa el desplazamiento resul
tante del recorrido, o sea: c=a+1>.
Las componentes de cada vector son:
a = 3(Cos90°>Sen90°) = 3(0,1) = (0,3)
$ = 5(Cos45°,Sen45°) = |(/2 ,/S)
c - (|/2,3 + |/2 ) = 5 (5/2 ,6+5</2)
+ llell = 5 /(5/2) 2 + (6+5/2) 2 = /3-Í+15/2 = 7.43 km
Para hallar la dirección aplicamos: Tga = ^ = 1.846
5/2
de donde: a=6l°35t. Luego, la dirección y sentido del vector c
queda definido por: Este 61°35f Norte
a el norte y luego 5km
y hallar el desplaza-
N
102 Ve.ctosie.4
Ejemplo 5. Sobre un sólido puntual en P
actúan tres fuerzas coplana-
res que se muestra en la figura. Hallar
la fuerza necesaria que se debe aplicar
en P para mantener en reposo al sólido.
Solución. íi = 200(Cos30°,Sen30°) •«-
+ 81 = i o o ( / 5 , D
82 = 150(Cos0°,Sen0°) = 150(1,0)
8, = 100(Cos270°,Sen270°) = 100(0,-1)
La resultante es la suma de estas fuerzas, esto es:
8 = + f2 + fi = 50(3+2/3,0) I|8|1=50(3+2/3) = 323 kg
Como se puede observar, el sentido de 8 es el mismo de 82; luego
la fuerza que se debe aplicar al sólido puntual para mantenerlo
en reposo es -S, es decir, el vector opuesto a la resultante o a
t x .
Ejemplo 6. Un sólido de 100 kg de peso
está suspendido por el cen
tro mediante una cuerda, tal como se in
dica en la figura. Hallar la tensión í
en la cuerda.
So¿uci6n% Sea: ||íj||=||í2II= I|íI
f 1=I|*|i(Cos30°,Sen30°)
+ *1 = I 1*1 K / 5 / 2 , 1 / 2 )
í2 = I I?I |(Cos150°,Sen150°) = | |* | | (-
w = 100(Cos270°,Sen270°) = 100(0,-1)
Pero, en la figura: *i + $2 = -w
- I I*II(/3/2,1/2) + ||*||(-/3/2.1/2) = -100(0,-1)
11*11(0,1) = 100(0,1) 11*11=100 kg
Ejemplo 7, Se da el siguiente sistema de fuerzas: ?: de 50 kg
que actúa de A(1,5) a B(-3»S) y 82 de 65 kg que ac
túa de C(-3>-5) a D(2,7). Hallar la resultante 8 del sistema y
el trabajo realizado por 8 al desplazarse de P(¿,3) a Q(9>5).
S
t
Ve.ctonc¿ 103
Solución,
Luego, si:
AB
CD
fl
(-3,8)- (1, 5) = (-4,3)
(2,7)-(-3,-5) = (5,12)
rAB * ¡|fi||=r||AB|
IIAB|| = 5
+ IICD||=13
50=r(5) r=10
Entonces:
?2 = tCD + ||?2||=t||CD|| -fc 65=t(l3) ■<- t=5.
?i=10(-4.3) y ?2=5(5,12)
Por tanto: S = ? x + ?2 = (-15,90) = 15(-1,6)
El trabajo realizado por una fuerza f al recorrer un espacio s
está definido por la ecuacián: w = í.s (escalar)
Luego, si: s = PQ = (9,5)-(4,3) = (5,2)
+ w = 15(-1,-6). (5,2) = 105 unidades de trabajo
Ejemplo 8, Sobre un cuerpo que descansa
en un plano inclinado, actúan
tres fuerzas: la gravedad, G, una fuerza
N de reacción que es perpendicular al pía
no y una fuerza F de fricción que se diri
ge hacia arriba en la dirección del plano
Se define coeficiente de fricción u, como+
la razón de I|f || a I|n || cuando el ángulo tp de inclinación es
tal que el cuerpo está a punto de deslizarse. Demostrar que:
u = Tgip.
Solución, Usando una base ortogonal i,
del plano, se tiene:
con i eñ la dirección
$
Sil(Cos90o,Sen90°) = ||n ||(0,1)
If I|(Cos180°,Sen180°)=||f ||(-1,0)
ISII [cos(270+^),Sen(2-70o+\p)l
= I IGI | (Sen*P,-Cos*P)
Estando el cuerpo en repeso, entonces
según la 2da ley de Newton, se tiene:
+N+F+G = 0 llN||(0,1) + IIf IIC-1,0) = -| |S| | (SemP,-CosiP)
Fl
N
SeniP
Coŝ P
Dividiendo estas igualdades obtenemos: f |F| | _ Seniii
« •
I |N| Cosip
104
Ejemplo 9- Un cuerpo de 500 Ib de peso está
suspendido cono se indica en la
figura. Determinar cada una de lasfuerzas q.
se ejercen sobre el punto C.
Solución* Sean S, í y 5 las fuerzas que ac
túan* en el punto C.
- W = 500(Cos270°,Sen270°) = 500(0,-1)
í = ||?||(Cos150°,Sen150°) = I|í¡|(-^|,^)
5 = | |5 I I (Cos0°,Sen0°) - l ¡511(1.0)
Estando las fuerzas en equilibrio, la segun
da ley de Newton establece que:5 + í + 5 = e
500(0,-1) + | |í||(-/J/2,1/2) + ||5|!(1,0) = 6
-^llíl
1IÍIK-/3/2.1/2) + 11511(1,0) = 500(0,1) ♦ \ 1
’jl |T|
de donde: ||í||=1000lb y ||5|I=500/5 Ib
+ H5l |=o
500
E J E R C I C I O S
1. ün avión recorre 200 km 'hacia el oeste y luego 150 km oeste
60° norte. Hallar el desplazamiento resultante, gráfica y a-
nalíticaraente. Rp. 304-1 km. Oeste 25°171 Norte
2. A que distancia y en que dirección del punto de partida se
encuentra una persona que recorre 20m hacia el Este 30° Sur;
50m hacia el Oeste; 40m hacia el Noreste, y 30m hacia el Oes
te 60° Sur. Rp. 20.9m, Oeste 21°39' Sur
3. ün hombre que se dirigí-- hacia el Sur a 15 km/h observa que
el viento sopla del Oeste, Aumenta su velocidad a 25 km/h y
le parece que el viento sopla del Suroeste. Determinar la ve
locidad del viente así como su dirección y sentido.
Rp. 18 km/h, Oeste 56.° 10* Norte
\n
\
VectoAe* 105
i. Dos ciudades A y B están situadas una frente a la otra en
las dos orillas de un río de 8 km de ancho, siendo la veloci
dad del agua de i km/h. Un hombre en A quiere ir a la ciudad
C que se encuentra a 6 km aguas arriba de B y en la misma ri
bera. Si la embarcación que utiliza tiene una velocidad máxi
ma de 10 km/h y desea llegar a C en el menor tiempo posiblfe,
qué dirección debe tomar y cuánto tiempo emplea en conseguir
su propósito. Bp. Debe seguir una trayectoria rectilínea
formando un ángulo de 34°28l con la dirección de la corrien
te. t=1h25m-
Un río tiene 500m de ancho y fluye a una velocidad de U km/h
Un hombre puede remar a una velocidad de 3 km/h. Si parte de
un punto A y rema hacia la orilla opuesta, cuál es el punto
más lejano río arriba que puede alcanzar en la orilla opues
ta. En qué dirección deberá navegar? Rp. (2000/3)m, 36°52!
6. Hallar la resultante de los siguientes desplazamientos: 10m
hacia el Noroeste; 20m hacia el Este 30° Norte; 35m hacia el
Sur. Rp. 20.65m, Este 60o15* Sur
7. Dos fuerzas de magnitudes 8 y 10 kg actúan sobre una partícu
la a un ángulo de 45°* Hallar la dirección y la magnitud de
la resultante. Rp. 19°51l, 16.6 kg
8. Un peso de 100 kg está suspendido de y
una cuerda flexible de 5m que une a
dos soportes separados entre si 2m.
Determinar las fuerzas resultantes en
cada soporte .si el sistema coordenado
se escoge como se muestra en la figu- q
ra. Rp. ? i=50(2//5T,1), í2=50(-2//2T,1) 0
9. Dado el siguiente sistema de fuerzas: de 70 kg que actúa
de A(2,3) a B(5»-1) y ?2 de 357 kg, que actúa de C(3»-9) a
D(-5»6). Hallar la resultante S del sistema y el trabajo rea
lisado por $ al desplazarse de F(5»-l) a Q(9»1).
Rp. S=7(-18,37), w=1¿ unidades
106 V e .c .i.o jie .4
10. Un peso de 250 kg descansa en un pía
no con inclinación de 30° relativa a
la horizontal. En él actúan una fuer
za con una magnitud de 200 kg que
se dirige hacia arriba a lo largo de
una recta que forera un ángulo de 20°
con el plano; la fuerza gravitado-
nal que actúa hacia abajo; una fuerza de reacción que
actúa perpendicularmente con respecto al plano y una fuerza
f * que actúa hacia abajo en la dirección del plano. Hallar
?a y f - Rp. ?2 = U8(0,1), f i*=63(- 1» 0)
11
12
13
U
Un barril está sostenido sobre un plano inclinado
fuerza ?i que actúa paralelamente al
plano y por otra fuerza que actúa
perpendicularmente a él. Si el peso
del barril es de 300 kg (5) y el pl§
no forma un ángulo d§._30° con la ho
rizontal, hallar: ||?illy ||?aII•
Rp. 150 kg; 150/5 kg
Un cuerpo de 5,4-0 kg de peso está sus
pendido como se indica en la figura.
Determinar la tensión en cada una de
las cuerdas CÁ y CB, si ct=30°.
Rp. 360/5 kg, 180/5 kg
l
1
Se levanta un cuerpo de 200 kg de pe
so a velocidad constante, como se in
dica en la figura. Determinar cada u
na de las fuerzas ejercidas sobre el
punto C, si o=30° y 6=45°
Rp. 245(/3+1) kg; 200(/3+1) kg /yí/y)///}/*///////////
Un peso de 100 kg está suspendido de
alambres como se indica en la figura.
La distancia AB es 20 pies, AC es 10
pies y CB=10/5 pies. Qué fuerzas ejer
cen AC y BC sobre el nudo C?.
Ve.ctoA.é.4
E c u a c i o n e s V e c t o r i a l e s de la R e c t a
1.26 RECTAS EN EL PLANO
Al hacer el estudio de puntos del plano y su relación con
los vectores resulta útil denotar al vector que va del origen a
un punto A del plano mediante la letra mayúscula t o minúcula a,
con una flecha en la parte superior.
Es bien conocido que dos puntos definen una recta. Veremos co
mo se puede emplear este hecho para obtener la ecuación vectori
al de una recta L. En la Figura 22 se muestra la recta L, que
contiene a los puntos Pi(xi,yi) y ¥z(*2 »y2 )t junto con los vecto
res de posición fi=(xi,yi) y ? 2=(x2»y2)* Kotese que el vector a=
?2-?x tiene una representación geométrica que está sobre L y que
por lo tanto es paralelo a dicha recta.
Figura 22 Figura 23
En la Figura 23 se muestra la misma configuración, excepto que
se ha añadido al punto genérico P(x,y) sobre la recta L y se ha
trazado el vector correspondiente ?=(x,y). Si P está sobre L, el
vector P-Pi es paralelo al vector a=p2-Pi, entonces podemos es
cribir:
P - Pl = t{?2 - ?l)
o bi en:
L: ? = teR (29)
108 Vectone*
El conjunto de puntos que están sobre L se puede especificar me
diante:
L = {?eR2/ ?=?i+ta , teR} (30)
El escalar t es llamado panámetno, por ello a la ecuación (23)
se le llama, ecuación panamLtfiica vectorial o/idinania de la rec
ta que pasa por Pi y P2.
E3EMPL0 1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta
L que pasa por Pi(-3.1) y P2(1»4). Trácese un diagra
ma.
Soíuctón. Tenemos: ?i=(-3»1) y ?2=(1»4)
-+ ?2"^l = (1 * (*3,1 )
- (¿-3)
Según (28), la ecuación paramétrica vec
torial de L es:
— ------- P=(-3,l)+tU,3), teR
1.27 SEGMENTOS DE RECTA
Si el conjunto de valores permitidos de t se restringe a
un intervalo cerrado (t/a$t<b), entonces la gráfica de la ecua
ción (29) es un ¿egmento de. necta.
En particular si t=0, entonces p2=Pi
y P(x,y)=Pi(xi,yi). Si t=1, entonces
P=P2 y P(x,y)=P2(x2iy2). Por tanto,
como se indica en la Figura 24, a me
dida que t recorre el intervalo 0£t^1,
el punto P(x,y) recorre el segmento
de recta desde Pi(xi,yi) hasta P2(x2,
y2), de modo que el segmento de recta
P 1P2 queda definida por la ecuación:
Figura 24.
PiP2={PeR2/ ?=Pi+t(?2-?i), 0$t$l} (31)
Los demás puntos de la recta corresponden a valores de t tales
que: t<0 y t>1.
Se puede emplear la ecuación (29) para calcular las coordenadas
de un punto P que está sobre el segmento PiP2 y que.estaba una
distancia r dada de Pi sobre la medida del segmento PiPí» esto
es:
? = ?i+r(?2-?i), O^t^l (32)
EJEMPLO 2.
Solución.
de donde:
EJEMPLO 3.
P2U,1).
Solución,
del segmento P 1P2# entonces los puntos de este segmento están da
dos por:
? = (-3. 7)+r(7, -6), p e [0,1]
Para el punto S, r=1/3 o ■■■■ ■o ■■ ..... .
- S T P2
-*■ s = (-3,7) + -3(7,-6) = (-|,5)
Para el punto T: r=2/3
-*• T = (-3,7) + |(7,-6) = (-5,3)
EJEMPLO 4» Demo-strar que los puntos: -jPi + -jP2 y ■jP 1 + ^ 2 tri
secan al segmento P 1P 2*
4
De.rn.oAt/iaci6n.. En efecto, por definición:
P í a = {P=Px+r(P2-P 1)/ re[0,l]> (a)
Supongamos que: S = x + ~?2 y T = l + ~P2
Luego: S = P x + jp2 - ip, = P, + ^ - P J . je[0,l]
T - P* + § P 2 - §Pl = Pi + |(P2.Pl) . |e[0,i]
Entonces, por (a), S y T pertenecen al segmento PiPa.
Vecto/icó 109
Hallar las coordenadas del punto medio del segmento
que une Pi(5,-3) y P*(3,1).
Si M es punto medio de P*P2* se tomará r=1/2 en la e-
cuación (32). Entonces:
fi=(á»-1). Por tanto: M(4»-1)
Hallar las coordenadas de los puntos de trisección
del segmento de recta cuyos extremos son Pj(-3»7) y
U *
9
P2-Pi=U,D-(-3,7) = (7,-6)
Supongamos que S y T sean los puntos de trisección
110 Vecto*ie.¿
Entonces:d(Pi,5) = |S-Pi| = -j|p2-Pil
d(Pi,T) = |T-P1 1 = 3 IP2-P1 I
Por consiguiente, S y T trisecan al segmento PiP2 *
I* § ip.2-p i I -----------H
o ■■ O i O "O
Px s T P2
I— 3 IP2-P1 I — *j
Observación. Si se escribe la ecuación (29) en términos del pa-
t rámetro t y de las coordenadas de Px, P2 y P tene
mos:
L: (x,y) = (xlfyx) + t [(x2, y2)-(x x * y 1 )]
= (xi,yi) + t(x2-xx , y2-yx)
= [xx+t(x2-xx) , yx+t(y2-yx)]
Esta ecuación vectorial equivale a las ecuaciones:
f X = X x + t ( x 2-Xx)
L :¿ , teR (33)
ly = yi^t(y2-yx)
Estas ecuaciones reciben el nombre de sistema de ecuaciones pasta
m¿tnicas cartesianas de la recta que pasa por Pi y P2.
E3EMPL0 5. Obtener el sistema de ecuacione.s paramétricas carte
sianas de la recta que pasa por los puntos Px(-2,3)
y Pi(5,1).
Solución. Según la ecuación (33): x=-2+t(5+2) , y=3+t(1-3)
Íx = -2+7ty = 3-2t
%
1.29 DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
Consideremos P como un punto cualquiera sobre la recta L
que pasa por los puntos ?x y P2 y que divide al segmento PTF2 en
la razón ~ , esto es:
Vccto/ie.4
>
1 1 1
Entonces, la ecuación vectorial que define al punto P es
Qmimn ■■■— — — mQ— ...Pi m P n Pi
En efecto, de (1): P,P = (f)PP2
= (f)(PiPi - PrP)
de donde: (m+n)Pi? = mP^Pa + (m+n)(?-?i) = m (?2
(m+n)? - (m+n)fi =
?i)
mf 2
j* = J L ? X + -JL?2 , m¿-nm+n m+n (3*)
Observaciones. (1) Si id y n tienen el mismo signo, es decir, —>0
entonces P es interior al segmento PiP2*
m(2) Si ra y n tienen signos diferentes, esto es: ^0, entonces el
punto .P es exterior al segmento PiP2, y ocurre que:
. a) Si l” !^» entonces P estará más cerca de T\,
b) Si entonces P estará más cerca de P2.
E3EMPL0 6* Dados los puntos Pi(-3,3) y p2(2,8), hallar el punto
P que divide al segmento P 1P2 en la ra2pn 2:3*
Solución, Tenemos: — = 4n 3
-*■ m=2 , n=3 , m+n=5
Como la razón es positiva, el punto P
estará en el interior de P*P2*
Luego, según (34): ? = -|?i + j
* P = |(-3,3) + §(2,8) = (-1,5).
X
EJEMPLO 7. .Dados los puntos Pi(3,-1) y P i O ^ ) , hallar el
P que divide al segmento PjP2 en la razón (-3)
punte
2.
Solución, « ' / mAquí: - = m=-3, n=2 , m+n=-1
1 1 2 Ve.cto/ie¿
Siendo la razón negativa y
entonces P es exterior al segmento
P 2P 2 y está más cerca de P 2 *
Según ( 3 4 ) : P c ,7 y ( 3 í -1) + 3^f(1*2)
= -2 (3 » -1 ) + 3 (1 ,2 )
= (-3*8)
EJEMPLO 8. Si P 1 (-2,4) y P2(2,6), hallar las coordenadas de P
que divide al segmento P 1P2 en la razón 3:(-5).
Solución, Tenemos: n _ -5 ~ 5
m=3, n=-5* ra+n=-2
Siendo la razón negativa y |*-||<1,
el punto P es exterior al segmento
PiP¿ y está más cerca de Pj»
Según (34): P = f|(-2,4) + t |(2,6)
= 5(— 1»2) - 3(1,3)
= ( - 8 , 1 )
EJEMPLO 9. Un triángulo tiene por vértices A(-2,-3)* B(2,8) y
C(5,2). Por el punto D(l6/5»28/5) que pertenece al
lado BC se traza una paralela a AB que corta al lado AC en el
punto E. Hallar las coordenadas de E.
Solución, BDDC
m
n
de donde:
Supongamos que:
+ m(?-í) = n(?-f)
> nfl _ _/ 6 . 12,m v 5» ~ n' 5' 5'
3m (1f-2) = 2n(1,-2) - j; = §
Como DE|Ib a , entoncep E divide a AC en
la misma razón, esto es: AE:EC = 2:3
Luego, según la ecuación (34) se tiene
É = (¡7ñ)X + = |(-2*-3) + |(5,2) = (L-1)
EU/5,-1)
Ve.ciojte.-A 113
E J E R C I C I O S
1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial y el sistema de e-
cuaciones paramétricas cartesianas de la recta que contiene
a los puntos dados Pr y P2*
a) Pi(4»-2) , P2U , 3)
b) Pi(-7.2) , ?2(-3,-D
c) Pi(2a,b) , P2(3a.2b)
Rp. L:P=U,-2)+t(0.5)
Rp. L:P=(-7,2)+t(4»-3)
Rp. L:P=(2a,b)+t(a,b)
2. Hallar las coordenadas de los puntos de trisección del seg
mento cuyos extremos son los puntos dados Pj y p2.
a) Pi(-3,6) , ? 2(12,-15)
b) Pj(3.-4) . P 2 (-9.2)
o) Pi(-3»7) , P 2 U,1)
Rp. S (2,-1) , T(7,-8)
Rp. S{-1,-2), T(-5.0)
Rp- S(- |,5) . T(-5.3>
3. Hallar la ecuación vectorial del segmento que une a Pi(2,5)
con el punto medio del segmento cuyos extremos son A(5,1) y
B( 7,-3). Rp. P=(2,5)+tU,-6), tetO.V
i. Hallar la ecuación vectorial del segmento que une el punto
medio del segmento cuyos extremos son A(-5»2) y B(1»6) con
el punto que está a 1/3 de la distancia que separa a R(-2,6]
y T(1,9). Rp. P=(-2,4)+t(1,3), te[0,1]
5. Obtener la ecuación paramátrica vectorial del segmento que
une al punto que está a 2/3 de la distancia que separa a los
puntos A(8,-2) y B(2,7) con el punto que está a una cuarta
parte de la distancia que separa a los puntos C(1f6) y D(9,
1°)- RP* P*U,A)+t(-1,3), te[0,l]
6. Demostrar que las coordenadas (x,y) y (x'^y1) de los puntos
que trisecan el segmento de extremos Piíx^yj) y P2(x2fy2)
están dadas por:
x =_ 2xi+x • = Í1+2XZ t y , = yt+2y2
1 H V*,CÍO*£.é
7. Si Pi(-3.8) y P2(12,-32), .hallar los puntos que dividen al
segmento PiPa en cinco partes Iguales.
Rp. (0,0), (3.-8), (6,-16), (9.“24)
8. Dados los puntos P x(3.-2) y P*(-7,8), hallar el punto P que
divide al segmento PxPa en la razón 2:3. Rp- P(-3,4)
9. Dados los puntos*Px(-^,6) y P*(1,5). hallar el punto P que
divide al segmento P"¡P2 en la razón (-2):1. Rp. P(9.4)
10. Si P x(2,-3) y Pa(5»-7). hallar las coordenadas del punto P
que divide al segmento PXP2 en la razón 3:(-4). Rp. P(-7,9)
11. El segmento de extremos A(-2,-4)* y B(1,0) es dividido por P
Q en las razones (-3)¡2 y (-2):3 respectivamente. Hallar la
norma de QP. 1 Rp. 25
12. Un triángulo tiene por vórtices A(-1»-3), B(3»5) y C(5,-1).
Por el punto E(l5/4.11/4) del lado BC se traza una paralela
a AC que corta al lado AB en el punto D. Hallar las coorde
nadas del punto D. Rp. D(3/2,2)
13* Los vórtices de un cuadrilátero son A(-4.6), B(-2,-1),C(8f0)
y D(6,11). Hallar la razón m:n=BP:PD en que la diagonal AC
divide a BD, donde P es el punto de intersección de las dia
gonales. Rp. 3/5
9
14. En un triángulo ABC, el punto P(4/5,5) divide al segmento AB
en la razón AP:PB=2:3- El punto Q(27/5,22/5) divide al seg-
ento BC en la razón BQ:QC=2:3. El punto R(l4/5,3/5) divide
al segmento AC en la razón Añ:RC=3:2. Hallar los vórtices
del triángulo. fip. A(-2,3), B(5,8), C(6,-1)
15. Sean A(-2,5) y B(l,-2) los extremos del segmento AB y P(x,y)
un punto que resulta de prolongar AB por B. Si BP=4ÁB, deter
minar las coordenadas de P. Rp, P(13,-3G)
16. Dos vórtices de un triángulo ABC son A(2,1) y B(5,3). Hallar
las coordenadas del tercer vórtice si la intersección de las
medianas es G(3,4). Rp. C(2,8)
m
1.29 PUNTOS QUE ESTAN SOBRE UNA RECTA
Anteriormente vimos que la ecuación vectorial, o que el
sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas, de una recta L
queda determinada si se conocen las coordenadas de dos puntos de
L* Esta ecuaciones también se pueden determinar si se conocen un
punto de L y un vector. de dirección
En efecto, sea la recta L que pasa
por el punto Pi(xi,yi) y que es pa
• ralela al vector no nulo a-(h,k).
(Figura 25). Ahora bien, un punto
cualquiera P(x,y) está sobre L si
y sólo si el vector es parale
lo al vector a, esto es:
? - ?i = ta
o bien:
L : ? = ?i+ta (35)
La ecuación (35) recibe el nombre de ecuación paranAtrica- vecto
rial ordinaria de la recta que pasa por P, y es paralela al vec
tor a. Puesto que la ecuación (35)se puede escribir de la forma:
«
L: (x,y) = (xi,yj)+t(h,k) , teR
el sistema de ecuaciones paramétricas cartesianas correspondien
tes de L es:
{x = x j + th , teR (36)
y = yi+tk
E3EMPL0 1. Hallar la ecuación vectorial y el sistema de ecuacio
nes paramétricas cartesianas de la recta que pasa
por P 1(2,¿) y es paralela al vector que va de S(3»-1) a T(-1,4).
Solución, Sea a = ST = f-S
* (-ia)-(3,-l) = (-¿,5)
Según (35) la ecuación vectorial de la
recta es, L: P=(2,¿)+t{-/,5), teR
y por (36), L: / x = 2"4t , ttA
ly = 4+5t
Vectores ̂ 115
de L.
1 1 6 Ve.c.t 0Ae4
EJEMPLO 2. Identificar a la recta L: i ~ , tcP.. /x = -1 + 5*
[y = 2-3*
Solución, Por inspección: L: (x,y) = (-1+5t,2-3t), te?.
= (-1,2)+t(5f-3)* teR
Entonces, L es la recta que pasa por (-1,2) y es paralela al vec
tor a=(5,-3).
EJEMPLO 3. Determinar si el punto S(3,-1) está o no sobre la lí
nea recta que pasa por Pi(2,-5) y esparalela al vec
tor a=(1,2).
Solución* La ecuación vectorial de la recta es,
L: P=(2,-5)+t(1,2), tcR
Si S(3>-1)cL + (3.-1) - (2,-5)+t(1,2) (a)
(3.-1) « (2+t,-5+2t) «•+ f 3s2+t + t=1
V-1=-5+2t + t=
Puesto que 1/2, no existe un número real t para el cual se cum
ple la ecuación (a), por lo que el punto S(3*-1) no está sobre L
Existe otra manera más sencilla para llegar a esta conclusión y
es coso sigue:
Si a es el vector de dirección de una recta L que contiene al
punto Fj, entonces un punto P está sobre L si y sólo si es
paralelo al vector a.
Recoráeaos que dos vectores a y b son paralelos si y solo si:
a.S^sO. Estos resultados se pueden combinar para obtener el si
guiente enunciado y determinar si un punto P(x,y) está sobre una
recta L. *
DEFINICION 9. Si a es un vector de dirección de la recta L que
contiene al punto Pi, entonces un punto P está se
bre L si y sólo si:
( ^ i ) . a ‘ = 0 (37)
4 .
En efecto, cono a x a * a"1 x. L ^ a
luego, ?eL ++ | |a
** (P-f1) x a i
■*"v (f-^lha1 = 0
Si designemos aJ=n (vector norsnal).
Vecto*teé 117
la ecuación vectorial de la recta L se puede escribir
L: n. ( M i ) = 0 (39)
Expresión que se conoce cono la ecuación no/una l de la recta L.
E3EMPL0 4. Determinar si los puntos S(8,5) y T(-2,2) están so
bre la recta L:P=(4,-1)+t(2,3).
¿o£uc¿¿n. Por inspección: Pi=(4#-1) y a=(2,3) -** aJ>=(-3,2)
Para el punto S: $-?i=(8, 5)-(4.» -1) = ( 4, 6)
Entonces: (S-fxJ.a** (4,6).(-3*2) = -12+12 = 0
Por tanto, (§-?i)||a y luego el punto S está sobre la recta L.
Para el punto T: f-fi=(-2,2)-(4»-1)=(-6,3)
Entonces: (f-?!).aA = (-6,3). (-3.2) = 18+6 = 24 yí 0
Luego (í-?i)||a, por tanto, el punto T no está sobre la recta L
EJEMPLO 5. Hallar la ecuación normal de la recta L
Solución. La ecuación vectorial de la recta dada es:
L: F=(l,2)+t(3»-4) , teR
Si a=(3,-4)||L aA=n=(4»3) es el vector normal a L.
Luego, según (38): L: (4. 3).[(x,y)-(1,2)]*0
L: (4,3).(x-1,y-2)*0
Observación. Si el vector de dirección a, en la ecuación
P = Pi + ta
es un vector unitario, entonces para
cualquier punto P sobre la gráfica de
L, |t( es la distancia que separa Pi
db P. (Figura 26)
En efecto:
d(Pi.P) = M M x l l = | | ta | | = |t| Figura 26
EJEMPLO 6. Dada la recta L:P—( —1»6)+t(1»4)» obtener las coorde
nadas de los puntos de L que están a 2/V? unidades
de distancia del punto S(1,14).
Solución, En primer lugar veamos si S(1,14) está sobre L
118 Ve.cto/ie./>
En efecto,
3-?i = (1 ,U)-(-1 ,6) = (2,8) - (t-í j).^ = (2,8).(-4,1) = o
Luego, el punto S está sobre L.
Ahora, un vector unitario en la dirección de a es: u = ^ -/T7
Como SeL, otra ecuación de L es: ? = (1,4) + M ~ ~ * ~ ~ )
V/T7 s n f
Se desea hallar las coordenadas de los puntos P(x,y) tales que
111 = 2/T7 «-*■ t=2/T7 ó t»-2/T7
Para t=2/T7 - (xi.yi) = (1,U) + 2/17Í — , -i-) = (3,22)
V T 7 / T V
Para t=-2/T7 + (x2,y2) = (1,U) - 2/T7Í— , — ) = (-1,6)
' /T7 /T7 7
Por tanto, Pi(3»22) y P2 ( - 6) son los puntos buscados.
E3EMPL0 7. Una recta L pasa pasa por el punto A(3k,k-2) y es or
togonal al vector v=(3/k,3), k/0 ; hallar los valo
res de k tales que el punto B(5k,k*-6) este sobre L.
Soñación. Sea n=v el vector normal a L.
Según la definición 9* BeL ++ (S-Í).n = 0
Entonces: (2k,ka-k-4) . (3/k, 3) = 0
de donde: k2-k-2=0 «-*- k=-1 ó k=2
«
EOEMPLO 8. Sean los conjuntos:
Li = (P=(-2+3t,3-t)/teR) y L2={(1.3). !>-(1.2)J=0/PeR2}
Demostrar que Li y Lz representan rectas y que Li=L2.
De.mo4¿siaci6a, En efecto* el conjunto Li se puede expresar como.
Li={P=(-2,3)+t(3,-1)/teR), que por definición es
una recta que pasa por Pi(-2,3) y cuyo vector de dirección es
a=(3»-1)•
El conjunto L* es la forma normal de la ecuación de una recta cu
yo punto de paso es Pi(1,2) y cuyo vector de dirección es:
(1, 3)J" = (-3,1) + L2 = {P=(1,2) + s(-3,1), seR)
Vemos que: a = -£ + Lj | |L2
Ahora debemos probar que Lie La y que L¡cLi, para lo cual debe
mos verificar que: P 1EL2 y P2EL1.
Ve.cio4.e4 119
En efecto: si P ieL2 -*• (?2-?l).n2 = (3f-1).0,3) = 3-3 = 0
Luego, (?*-?i)||í -* PjeL2, o sea: L*c L2
Si P2eL* (fj-fa).»! = (-3.1).(1.3) = -3+3 = 0
Luego, (?i-?2)I|a + P2cL i, o sea: L2c L j
Por tanto, si L2C L 2 y L2C L i -*• Li-L2
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 3» diga si el punto S está o no
sobre la recta L cuya ecuación paramétrica vectorial se da.
1. S(2,-1) , L: P=(1.2)+t(-1,3). teR Rp. SeL
2. S(3.2) , L: P=(1,1)+t(2,-3), teR Rp. S¿L
3. S(-1.1) , L: P=(-2,-3)+t(1,i), teR Rp, SeL
En los ejercicios del k al 6, identificar cada uno de los
conjuntos en R2 dado.
i* ((x,y)/x=2t+1, y=-3t+¿, teR)
5. í(x,y)/(1,2) + t{1,1), te [0,1]}
6. ((x,y)/(-2,1).(x+3»y-á)=0)
7. Hallar la ecuación normal de la recta
: j *“3t
I y=1 +
, teR Rp. L:(-5»3Mx,y-U=0
5t
En los ejercicios del 8 al 10, determinar si las ecuaciones
vectoriales dadas corresponden a la nisma recta o no.
8. P=(2,1)+t(3»-1)r P=(2,l)+t(-3,1) Rp. Si
9. P*(-1.-2) + t(-2,á). P=(11 0) + t(1,-2) Rp. No
10. P-(2,3)+t(-1,2) , P=(1,5)+t(2,-4) Rp. Si
11. bna recta L pasa por el punto A(2k-1,3) y es ortogonal al
vector v=(2,k+2); hallar los valores de k tales que B(7k,k-2)
esté sobre L. Rp. k=1 ó k=-8
120 Ve.ctoe.e4
12. Una recta L pasa por el punto S(2k,3) y es paralela al vec
tor v=(3,-¿/k), k^O; hallar los valores de k tales que el
punto pertenezca a L. Hp. k=±¿/3/3
En los ejercicios 13-14-» hallar las coordenadas de los pun
tos Pi y P2 que están sobre la recta cuya ecuación parametri
ca vectorial se da y que están a la distancia dada del punto
S dado.
13. Sobre L:P=(4,-2)+t(1,1), 3/2 unidades de S(4»-2)
Rp. P i (7,1), Pa(1,-5/
14. Sobre L:P=(-3»2)+t(2,-1), 2/5 unidades de S(1,0)
Rp. P i (5»-2), Pa(-3,2)
1.31 PENDIENTE DE UNA RECTA
Por estudios anteriores de matemáticas sabemos que el co
ciente de la altura y la base de un segmento recibe el nombre de
pe.ndie.ntc det ¿egmento. Si designamos esta pendiente por m, se
tendrá entonces que:
_ _ altura
base
Si a=(h,k) es el vector de dirección de una recta L que contiene
al punto Pi(x1,y1), entonces L tiene por ecuación vectorial:
L:P=Pl+t(h,k), tsR
Si hacemos t=1, vemos que las coorde
nadas de otro punto P2(x2,y2) que es
ta sobre L se puede calcular sumando
h y k a las coordenadas respectivas
de Pi, esto es:
X2=xi+h y2=y i+k
Por lo tanto, h y k son la base y al
tura del segmento PiP2, y si h¿0, en
tonces ^ es la pendiente de P 1P2 y de
la recta que lo contiene. (Figura 27)
Por tanto, se define la pendiente de
una /iceta como sigue:
lk=altura
Figura 27
Vectores 121
DEFINICION 10. Si L es una recta tal que uno de sus vectores de
direción es (h,k) con hj¿0, entonces la pendiente
m de la recta L está dada por:
k
• = K
y
De esta definición podemos afirmar que m es la pendiente de una
recta L si y sólo si (1,m), o bien (1,k/h), es un vector de di
rección de L. Esto indica que la ecuación (35) se puede escribir
de la forma:
L: P=P j+t(1,m ), teR (39)
E3EMPL0 1. Calcular la pendiente de la recta L que pasa por los
puntos Pi(5»3) y Pz(2,-6), y obtener la ecuación pa-
ramltrica vectorial de la forma de la ecuación (39) que describa
esta recta.
Solución, El vector de dirección de la recta buscada .es:
a = = (2,-6)-(5,3) = (-3,-9)
Entonces, según la definición 10: m = = 3
Como Pi(5»3)eL, entonces, una ecuación paramltrica vectorial de
L es: L: P=(5,3)+t(1,3), teR
Observaciones. (1) Puesto que un vector de dirección de la rec
ta que pasa por los puntos Pi(xi,yj) y
P2(x2,yz) es:
a = = (x2-xi,y2-yi)
se sigue que de la. definición de pendiente, si xi^x2, enton
ces la pendiente de la recta L está dada por:
„ xiizn,X 2 —X i
(2) Se dice que una recta con un vector de dirección de la forma
> •
(h,0), hj¿0, es una recta horizontal (paralela al eje X) y su
pendiente es: m = ^ = 0.
(3) Si una recta tiene un vector de dirección de la forma (0,k),
kjÉO, se dice que la recta es vertical (paralela al eje Y), y
su pendiente m=h/0 no está definida*
122 Vccíoajca
DEFINICION 11. RECTAS PARALELAS
Dos rectas en el plano, LxsP^Pi+ta, teR ; Ii2tP=Qi+r?,reR, sonparalelas si y sólo si sus vectores de dirección son paralelos.
Esto es:
L 21 IL 2 a I IS
EOEMPLO 2. Determinar si la recta Li que pasa por Px(3r5) y
P2(2,8) es paralela a la recta I»2 que pasa por
Qi(-1»9) y Q2(7»-35). Obtener la ecuación paramétrica vectorial
de cada una.
Solución. El vector de dirección de Li es : !=?2-?i=(2.8)-(3,5)
' -*• £=(-1,3), y el de L2 es: £=$2-$i=(7,-15)-(-1.9)
- t=(8¡?34)=-8(-1,3)
Vemos que: 1>=ra ♦ |a, por tanto: L2 ||Li
Como PieLx **■ P-(3*5)+t(-1,3), teR
QjeL2 + L2S P=(-1,9)+s(-1,3), seR
Observación. Si Li:P=Pi+ta y L25P=P2+rí, entonces Li es coinci
dente con L2» o bien:
* «
L 1 = L2 ++ P2CL1 y a||S
r
E3EMPL0 3. Si Li contiene a Pj(2f-5), L2 contiene a p2(-1f-3) y
Li y L2 tienen ambas al vector a=(3«2 ) como vector
de dirección; coinciden ambas rectas?
yo¿uc¿¿A. Si I»i y tienen el mismo vector de dirección enton
ces son paralelas. Colnclderán si y sólo si Pj y P2j
están sobre ambas rectas. Esto es:
Lj =1*2 9 si (?2 -?i)||a ■*-+ (?2 -?i).a'L = 0
Entonces: [(-2f-3)-(15)].(-2,3) * (-3,2).(-2,3) = 12 i 0
Por tanto, Li y L2 no coinciden, es decir: Li¿L2.
E3EMPL0 Determinar la pendiente de las siguientes rectas pa
ralelas: Li={(xi,yi)+t(2,b)/teR, b>0} y
L2:(3,-2b).[P-(-1,5)]=0.
Solución, Si aj=(2,b) es el vector direccional de + n = |
V e .c t o / L £ .¿ 123
n = (3»-2b) es el vector normal de L2.
Si Li||L2 ■+ ai.n = (2,b).(3,-2b) = 0
-*• 6-2b2=0 ■*-+■ b=/3 ó b=-/3
Por definición de Li, elegimos b=/3
» *
Por tanto, la pendiente de la rectas Lx y L2 es: m -
EJEMPLO 5* Determinar m+n para que las rectas Li={(2,0)+t(m,1)/
teR} y L2={ (“•# 0)+s(-2, n)/seR} sean coincidentes.
Sbiución. Por definición: Li=L2. P2eLi y ai||a2
de donde:
Si ai||a2
Si P2cL j «-»■ =0
m = 1/2
~ (í -2*0). (-1.*) =0
a 1 • a2 =0 -*■ (m, 1) . (-n,
-+ - mn- 2=0
m+n = -7/2
2)=0
-(1/2)n=2 n=-A
EJEMPLO 6. Dadas las rectas Li={(x+1,Ax-1)+t(x2+x,-3x2-2x+1)} y
L2={(2x + 2 , - 2 x +1)+s ( - 2 x 2, 2 x 2+2x ) } . Hallar xeR tal que
sean coincidentes.I*i y L2 no
So ¿u.c¿6n»
Si ai/9
Sean ai=(x2+x,-3x2-2x+1) y a2=(
res de dirección no nulos de Li
Cx(x+1),(-3x+i)(x+1)] ¿ (0,'0)
2x2,2x2+2x)
y 1-2.
-*■ X / -1
los vecto
a2/0 -*• f-2x2,-2x(x+1 )J / (0,0) -*• x / 0
0 sea, no existen Lj y L2 para x=-1 y x=0
Supongamos que L* y L2- sean coincidentes, esto es:
I»i = L2 *-*■ PieL2 y ai||a2
-a2A =0 a ai.a2i'=0
6x+2).(-2x2-2x,-2x 2)=0
x-0 , x=1 , x=-1/5
1/5
Si (Í2-$i).Zt=0 -*■ (x+1,
de.donde: x(x-1)(5x+1)=0
Pero como x/Q -► x=1 p x=
„ , + iSi ai•a2 0 -+ [x(x+1), (-3x+1) (x+1)] . [-2x(x+1), -2 x 2J
de donde: -¿x2 (x+1) (x-1 )=0 x=0 , x=-1 , x=1
x/0 y x/-1 x=1
1 ó'x=-1/5) A (x=1) = x=1
= 0
Pero como
Luego, (x
12¿ Ve.ctoAe.4
Entonces: (-1/5,1) a (1) = O )
Luego# Li y L2 son. coincidentes si x=1.
Por tanto# Li y L2 son no coincidentes si xeR-{-1#0,1}
EJEMPLO 7* Hallar la ecuación normal de la recta L cuyos puntos
equidistan de las rectas Li={(0,l)+t(4,2)/t£ñ} y
L2={(0,-5)+r(¿#2)/reR}*
Sotuci&n. Vemos que ai=a2=2(2»l)
Si a es el vector de dirección de L a=(2,l)
Además si QeL ♦ Q = ¿(Pi+P*) = | ( 0 , - ¿ j = (0,-2)
Luego, la ecuación de la recta buscada es L:ax. (?-(J)=0
L:(-1»2). [p- (0,2)J =0
E3EMPL0 8, Establecer el valor de verdad de las siguientes afir
t naciones:
(1) Existe por lo menos un keR tal que Li={ (2,3) +t(6k#^ -3k)}
sea paralela a la recta L2:x=0
(2) Lts { JC‘*ltt y L2={ (3,-1 ) + s(-2,2)} - L» = L*
ly=l-t
(3) Existe por lo menos un keR para que L2 = { (1,2) +r(k#3)} y L2 =
í (7, 5)+s(l#-^k)} son paralelas.
(¿) Sea Li={Pi+ta> una recta no vertical. Si Qi^Li y L2={Ql+sa}
entonces 1 *0 ^ 2 / <{>
So¿ucién» (1) Dado que L2 es una recta vertical# entonces para
que Lj sea paralela a L2 es necesario que Lj sea
vertical, es decir:
(6k.|-3k)| |(0,1) ~ (6k,¿-3k).(-1,0)=0
-6k+0 = 0 -*• k=0cR
Luego# la afiraación es ve.¿idade.4.a,
(2) Tenemos: Li = {(1#1) + t(1#-1)} y La={(3#-1) + s(-2,2)}
Si Li—L2 (Pa-PiJ.aj1- =0 y ajIJaa
+ (2,-2).( 1 , 1 ) = 2 - 2 = 0
+ a2 = -2( 1 # -1) = ra, - aa||ax
Entonces: Lj=La, luego#, la afirmación es vs.A.dade./ia,
(3) Si L i||L2 mi=m2 ^ =*^k -► k2=-6 + ?fkeR
Ve.ctcA.e.4 125
Entonces L i||L2 y por 2o tanto, la afirmación es ¿alaa.
(4) Como los vectores de dirección de Li y L2 son iguales y el
punto Qi¿L| entonces las rectas son paralelas y no coinci--
dentes. Luego, L i n L 2 = $ff por tanto, la afirmación es
DEFINICION 12. RECTAS QRTOCONALES
Dos rectas en el plano Li:P=Pi+ta, teR y L2:P=Qi+rí, reR, se di
ce que son ortogonales si y sólo si sus vectores de dirección
son ortogonales. Esto es:
L 1 i l 2 a i- b
Si mi y m2 son las pendientes de I»i y L2, entonces, sus vectores
de dirección son de la forma: a=(1,mi) y S=(1,m2).
Luego, si axt> +-*■ (1, m 1 ) . (1, m2 ) =0 -*-*■ 1+mi.m2=0
de donde: mi ó m2 -- —m2 m 1
Entonces, dos rectas no verticales son perpendiculares si y sólo
si la pendiente de una es el n&gativo de.1 A.ecl/?x,oco de la pen
diente de la otra.
EJEMPLO 9. Demostrar que la recta Lique contiene a los puntos
Q(-1,-2) y R(2,2) es perpendicular a la recta L2 que
contiene a los puntos S(-5#7) y T(3*1)*
de.moA>t/iaci6n. En efecto, sea ai el vector de dirección de Li,
entonces: a 1 = QR = = (2,2)-(-1,-2) = (3*4)
Sea a2 el vector de dirección de L2, entonces:
t2 = ST = í-t = (3,1)-(-5,7) = (8,-6)
. Puesto que: aj.a2 = (3» 4.). (8,-6) = 24-24 = O
*► ai± a2 L i i L 2
#
EJEMPLO JO. Sean las rectas Li:P=Pi + ta, teR y L2:P=Qi+rb, reR,
donde a= (4-k»k + 3) y b=(k-3>k+2). Si L lÍ,L2# hallar
el valor de
Soiuciín. Zi L i J. I,? <-+ a . í= 0 + ( ¿-k , k + 3 ) . (k-3, k+2)=0
- U-k)(k-3)+(k+3)(k+2)=0
126 Ve.ctóA.44
de donde: k=1/2. Entonces: a = \ +3)
Luego a - f o . o
t = (5 -3, | +2 )
|(-1.1) = (7.0)
I la - |6|| = 7
| ( - 1 , 1 )
E3EMPL0 11. Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del
segnento RS={(-1.3)+t(6.-2)/te[0, ij }.
Sotución. Para t=0 + R=(-1.3)
t=1 + S=(5,1)
Gomo Pi biseca al segmento RS, entonces
P! = i(R+S) = (2.2)
El vector de dirección de RS es:
t = ( 6, - 2 ) = 2 ( 3, - 1 )
Si LJ.RS - a = £ A * (1,3)
Por tanto, la ecuación vectorial de la mediatriz de ES es:
L:P*(2,2)+t{1,3), teR
E3EMPL0 12. Sean la recta L:P=(1,7)+t(1,m),teR, y la circunfe
rencia C={PeR2/I1?||-1). Determinar el valor de m
sabiendo que L es tangente a C.
Soíucíón. Si G={PeR2/lI?|1=1} * x2+y*=1
Sea T(xj,yi) el punto de tangencia.
Como TeC
Siendo el
xf + y f = i (D
radio perpendicular a L en T,
- PiT.0T = 0 - (xi-1,yi-7).(xi,yi)=0
xf + y !de donde:
Resolviendo (1 ) y (2 )
«-2á _ ~ 7Xj 25 yi * 25
Xi-7yx=0 (2)
obtenemos:
51 ■ <-ffsÍ>
Siendo también L i 0T = 0 m=2¿/7
127
E J E R C I C I O S
En los ejercicios del 1 al 4 determinar si las rectas cuyas
<
ecuaciones vectoriales se dan, son: a) paralelas, b) coinci
dentes, c) perpendiculares, d) oblicuas.
1. Lj:P=(3,-5)+t(2,-3). L2:P=(-1,1)+r(-6,9) Rp. (b)
2 . L l:P=(2,-1)+t(-2,6), L2:P=(0,1)+r(13.-39) Rp. (a)
3. Ll:P=(1,-2)+t(-2,-3). L2:P=(9,2)+r(4,-3) Rp. (d)
Li:P=(4,7)+t(-19,57), L2:P=(3.0)+r(51,17) Rp. (c)
5. Determinar la pendiente de las rectas paralelas
Li-{Pi+t(a,6)/teR, a<0) y :(3a,-2). QP-(2,-1 )3=0. Rp. m=3
6. Determinar a+b para que las rectas L*:P=(-1,0)+t(-a,1) y
l>2 :P=(^, 0)+s(-3» b) sean coincidentes. Rp. -4
7- Hallar la ecuación normal de la recta L cuyos puntos equidis
tan de las rectas Li={(-1,5)+t(3*-6)/teR} y La={(5,-9)+
r(7,-U)/reR}. Rp. L: (2,1) . fP- (2,-2)1=0
8. Sean A(2,3) y B(-4, 7) dos puntos de R2. Cuántas de las sigui
entes expresiones vectoriales representa a la mediatriz del
segmento AB.
a) P=(2t+1,8+3t),teR c) P=(5+2t,14+3t),teR
b) P=(2t-3,4+3t),teR d) P=(2t-1,5+3t), teR
9. Hallar la ecuación vectorial de la mediatriz del segmento:
ÁB = {(-2,3)+t(6,-i), te[0,l]}. Rp. L:P=(1,1)+t(2,3),teR
10. Los extremos de una de las diagonales de un rombo son
S(2,-1) y T(14,3). Hallar la ecuación vectorial que contiene
a la otra diagonal. Rp. L:P=(8,1)+t(-1,3)»teR
11* Determinar m+n para que las rectas L *:P=(-1,2)+t(ra,2),teR y
L2={(¿#0)+r(3#-n)* seR}, sean coincidentes. Rp. 3.8
128 Ve.cto*e.¿12. Si Lx=í(a3+3r-7)+t(1-a2,a)/teR) y La={(a,3a-7)+s{a-5*8-3a)/
seR). Hallar aeN tal que Lj y Lz sean rectas coincidentes.
Rp. a=2
13. Hallar la ecuación vectorial de la recta que pasa por (-3*1)
y es tangente a la circunferencia C={PeR2/||P||=2/2).
Rp. L:P=(-3*l)+t(1,1) ,teR
1¿. Sean A(-3*2), B* C(-1,13) y D los vórtices de un rectángulo,
tal que ÁC es una de las diagonales y AB es ortogonal al vec
tor v=(A,-3). Hallar: a) La ecuación vectorial de la recta
que contiene a BD. b) Proyg^AC.
Rp. a) L={(3*10)+t(2,1)/trR}
b) (6,3)
ECUACIONES CARTESIANAS EN LA RECTA
1.31 FORMA GENERAL DE LA ECUACION DE UNA RECTA
La forma general de la ecuación dé una recta es:
L: Ax+By+C=0 , A2+B*¿Q
En efecto, cualquier vector no nulo que
n=(A,3)
Figura 28
sea perpendicular al vector de dirección
de una recta L es un uec¿o>i noAma¿ a L.
En la Figura 28, se muestra a una recta
L, que contiene al punto Pi(xi,yi), así
como el vector n={A,B), normal a L, don- _ o
de A y BeR, uno de los cuales es difereri I
te de cero.
' Un punto P(x.y) está sobre L si y sólo si
P-Pj es paralelo a L, es decir, si y sólo si P-ri es perpendicu
lar a n. Entonces, una ecuación de L es:
(?-?i).n = 0 + P.n-?i.n = 0 ?.n * ?i.n
Puesto que P=(x.y)# Pi=(xi,yx) y Í=(A,B), la áltina ecuación se
puede escribir de la forma:
(x,y).(A»B) = (xi,yi).(A,B) Ax+By = Axi+Byi
Veci o/ie¿ 129
Toda vez que xi,yi, A y B son constantes, al número Axi+Byi es
también constante, y podemos denotarlo por -C. Se tendrá enton
ces que:
Ax+By+C=0 , A2+B2¿0 « (40)
Dado que la ecuación (4-0) no contiene vectores se le denomina
también, ecuación encalan de L.
Nota. Si n=(A,B) es un vector normal a una recta L, entonces
a=(-B,A) es un vector de dirección de L. Por consiguiente
lavpendiente de L está dada por:
m = -4 , si B¿0 ® %
EOEMPLO 1.- Hallar la ecuación general de la recta que contiene
al punto R(-3#2) y que tiene a a=(l,-2) como vector
de dirección.
Solución• Usaremos dos métodos para resolver el problema:
(1) Dado que a=(1,-2) + n = ax = (2,1)
Si P(x,y) es un punto genérico de la recta L, entonces:
(?-$).n = 0 <-► [(x,y)-(-3,2)].(2,1) = 0
«-*■ (x+3.y-2).(2p1) = 0
de donde: L:2x+y+4=0
(2) Si £=(1,-2) -*■ 2 = 2 ^ = (2,1) = (A.B) -*■ A=2 y B=1
Entonces, en la ecuación (4-0) ¿ L:2x+y+C=0
Si R(-3«2)eL -+ 2(-3) + (2)+C=0 <-+ C=4-
L:2x+y+4-=0
Observaciones. (1) Puesto que los vectores nx=(A,B) y na=(-B,A)
son perpendiculares, y si son respectivamen
te normales a las rectas Lj y Lz» se tiene que las ecuacic-
** ■ Tnes efe la forma
Ax + By + C = 0
-Rx + Ay + k = 0 (41)
donde A2+B2¿0, son ecuaciones generales de dos rectas que
son perpendiculares.
(2) Si n=(A,B) es un vector normal a ur.a recta L, entonces es
también normal a cualquier otra recta paralela a L. Esta pro
130 Vecto*£.4
piedad se indica por las ecuaciones:
' ' Ax + By + C = 0
Ax + By + k = 0 (42)
donde A*+Bl¿0.
EJEMPLO 2, Hallar la ecuación general de la recta que pasa por
S(1»3) y es perpendicular a la recta Lx:2x-5y+7=0.
Solución. Según (4-1)» la ecuación buscada es de la forma
La: 5x+2y+k*0
Si S(l»3)eL» ♦ 5(1)*2(3)+k»0, de donde: k=-11
/. L2:5x+2y-11*0
<é
EJEMPLO 3. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por
S(-6,2) y es paralela a la recta Lx:5x+6y-9=0.
Solución. Según (42)» la ecuación buscada es de la forma
L2:5x+6y+k=0
Si S(-6,2)eL2 ♦ 5(-6)+6(2)+k=0 * de donde: k=18
/• L2:5x+6y+18=0
1» 32 FORMA PUNTO PENDIENTE.
En la Figura 29 se muestra a la
recta L que pasa por el punto dado
Pi(xi»yi)* Si P(x#y) es un punto gen¿
rico de L» entonces un vector direc-
cional de dicha recta es:
a = P - ?» a (x-Xj.y-y,)
Entonces» por la definición 10, la
pendiente n de L está dada por:
B = y"/* Figura 29
X-Xl
de donde obtenemos:
y-yi = m(x-xi) (^3)
EJEMPLO 4. Hallar la ecuación general de la recta que pasa por
punto Pi(1,-3) y cuya pendiente es 2/5.
Veciojie.4 131
Solución, Si hacemos Xi=1, yi=-3 y m=2/5 en la ecuación (¿3) se
obtiene: y-(-3) = -|(x-1) L:2x-3y-11=0
Nota, Si una recta L contiene a los puntos Pi(xi,yi) y P2(x2#y2)
con xi?¿X2» entonces la pendiente m de la recta está dada
por:
Si se sustituye esta expresión de m en la ecuación (4-3) se obtie
ne la ecuación equivalente:
y-yi =
Esta es la ecuación cartesiana de L que pasa por dos puntos da
dos,
E3EMPL0 5, Hallar la ecuación general de la recta que pasa por
los puntos S(-¿,3) y T(-2,-1).
Solución, Si en la ecuación (44-) se sustituye xi, yi por las co
ordenadas del punto S(-4»3)» y a x2 e V* Por las coor
denadas del punto T(-2,-1) obtenemos:
y-3 = zypfíxH) L:2x+y+5=0
1.33 FORMA PENDIENTE Y ORDENADA AL ORIGEN
En la Figura 30 se muestra una
recta L, no vertical, que corta al e
je Y en el punto T(0,b), beR. El nú
mero b se llama la OA.de.nada e.n ei o-
nigen de L. Si se sustituye a xi por
0 y a yi por b en la ecuación (4-3)
se obtiene:
y-b = m(x-O)
y = mx + b (*5)
Si en la ecuación general Ax+By+C = 0t B^O, se despeja a y en fun
ción de x, se tiene: y = - 4c - £ y B B
Si comparamos con (45) resulta que: m=-A/B y b=-C/B
132 Ve.cioA.e.4
EJEMPLO 6. Calcular la pendiente y la ordenada al origen de la
recta cuya ecuación general es L:5x+4y-l6=0.
Solución, Despejando y en función de x se tiene: y = - -̂ x + 4
Por simple inspección: m=~5/4 y b=4.
1.35 FORMA ABSCISA Y ORDENADA AL ORIGEN
En la Figura 30 se muestra una recta, no horizontal, que
intercepta al eje X en el punto S(&,0), aeR, El número a recibe
6l nombre de alsci^a ai onige.n de L*
Si sustituimos las coordenadas de los puntos S(a,0) y T(0#b) en
la ecuación (44.) se obtiene:
y-0 = *^5^(x-a) ■*■+ bx + ay = ab
Dividiendo ambos extremos entre ab resulta:
! ♦ « = !
Esta es la ecuación a&.¿ci¿a y o/tdejiada de la recta L.
EJEMPLO 7, Hallar la ecuación de la recta cuya abscisa y ordena
da al origen suman -1, y que pasa por el punto 3(2,2)
Solución, Sea la recta buscada, L: — + -í = 1a o
Si S(2,2)eL f + f = 1 2a+2b = ab (1)
Como a+fc=-1 + b = -1-a (2)
Resolviendo (1) y (2) obtenemos: ai=-2 ó a2=1 ; bj = 1 ó b2=-2
Por tanto, Lj: -|- + ^ = 1 ó L2: j + = 1
Lj:x-2y+2=0 ó L2:2x-y-2=0
1.36 FORMA SIMETRICA
^ Dada la ecuación paramétrica vectorial de una recta
L: P = Pj + ta , t£R
Las componentes h y k del vector de dirección a=(h,k) recibe el
nombre de númc/io^ dine.done.0 de L»
Ve.ctoA.e4> 133
Sí Pi(xj,yi) es un punto de L, entonces una ecuación paramétrica
vectorial de la recta es:
(x,y) = (xi,yi)+t(h#k), teR
de donde se obtienen las ecuaciones paramétricas cartesianas:
x = xi+th ; y = yi+tk
despejando t de cada una de estas ecuaciones obtenemos:
= t h^o , kjfo (47)
La ecuación (¿7) recibe el nombre de ¿o/ima óimttfilca de la ecua
ción de una recta* ___
En los casos en que h=0 ó k=0, la forma simétrica no es aplica
ble.
EJEMPLO 8* Hallar la ecuación de la recta L, en su forma simé
trica, que pasa por los puntos S(-1,3) y T(4-»-3).
Solución, Un vector de dirección de L es: a=ST
♦ a = U . -3M-1.3) = (5,-6)
Luego, el par de números directores son: h=5 y k=-6
Sustituyendo a x% e yi, en la ecuación (¿7), por las coordenadas
del punto S ó T se tiene:
Se puede verificar que cada una de estas ecuacciones representa
a la misma recta reduciéndolas a su forma general.
Observaciones:
(1) Dada una ecuación general para una recta L, se puede escri
bir una ecuación equivalente en forma simétrica identifican
do un punto Pi(xj#yi) que está sobre la gráfica de L:Ax+By+
C=0, y notando que el vector a=(-B,A) es un vector de direc
ción de la gráfica* Por lo tanto, se tiene que la ecuación
de L en forma simétrica es:
^ = ^ (48)
EJEMPLO 9* Hallar la ecuación en su forma simétrica que sea
134 VcctOAAA
eqivalente a la ecuación L:2x+5y-10=0
Solución* Resolvemos la ecuación 2x+5y-10=0 asignándole un va
lor a x, por ejemplo» x=-5. se obtiene:
*
2(-5)+5y-10=0, de donde: y=4. Luego» Pi(-5.4) es un punto de la
gráfica de la ecuación dada. Como A=2 y B=5t el vector a=(-5#2)
es un vector de dirección de L. Por tanto» la ecuación en su for
ma simétrica es:
(2)
L: x+5 . y-4
Se puede emplearlos números directo
res h y k de una recta L para deter
minar otra forma simétrica en función
de los ángulos directores a y 6- {Fi
gura 31)* En efecto, recordemos que
m=k/h , entonces a se puede determi
nar a través de la ecuación:
Tga
y como a=(h,k)=(-B,A) es el vector de
dirección de la recta L:Ax+By+C=0, en
tonces si B^O» el ángulo de dirección
a está dado por:
o
Figura 31
180
Si en la ecuación (43) sustituimos m = Tga = tendre-® u osa
mos: Sena» *y " yi Óosa^x ~ Xl^
Pero como 8=90-a CosB = Cos(90-a) = Sena
Entonces: Cos8/ \
y " y i * ÍSsa(x"Xl) i. -*~*i _ios a y-y i CosS (49)
EJEMPLO 10# Hallar la ecuación simétrica de la recta que pasa
por S(-5i3). y cuyo ángulo de dirección a. sea 60°.
Solución. Si a=60 *► 8=30°, luego, los cosenos directores de
**
la recta L son: Cosa=1/2 y CosS=/3/2
Sustituyendo las coordenadas de S en la ecuación (49) se tiene:
L: = - y-?
1/2 /5/2
Vcc toJie.4 135
R e l a c i o n e s e n t r e : R e c t a s
1.36 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA DADA
Dada una recta L, cuyo vector de
dirección es a, y dadas las coordenadas
de S y de algún punto Pi sobre L, entón
ces la distancia de S a la recta L, de
notado por d(S,L), es la norma! de la
proyección del vector en la direc
ción de la normal n (Figura 32).*
Esto es:
d(S,L)
d(S,L) = I |Proyj($-?i)
|Comp£(§-?i)
d(S,L) =
Inl
La distancia que separa a S de L no
punto particular Pi sobre L.
En efecto. Tomemos dos puntos Pi y
P2 sobre L. En la Figura 33 se ob*
4
serva que:
Multiplicando escalarmente ambos
extremos por n se tiene.:-
($-?i).n = (?2-?i).n +
• #
0 +■ (£-?2).n
»n = (§-?2 ) ,d
I S I Inll
Figura 32
(50)
depende de la elección de un
Figura 33
EJEMPLO 1. Hallar la distancia que separa al punto S(4,-2) de
i ̂ - 1la recta que pasa por T(5>-3) y cuya pendiente es
Solución• Si m=1/2 -*■ S=(2,l) es el vector de dirección de L.
Luego, n = ax = (-1,2)
El vector que va de S a T es: ST * (5,-3)-(á,-2) « (1,-1)
Luego, según, la ecuación (50):
d ( S , L ) => K 1»-'1M - 1 . 2 ) I . = |-1 -2 _[ _ _ 2
/ 7 ñ /5 /5
Nota. Para calcular una fórmula que peralta hallar la d(S,L)
cuando la ecuación de L está dada en la forma general L:
Ax+By+C=0, se procede de la siguiente manera:
Supongamos que S-(x«,yo) y P»*(xi*yi) ♦ 5-?i=(x0-xi,y0-yi), y
,B). Si sustituimos las componentes de estos vectores en la
ecuación (50) se tiene:
t.1 = í(^o-Xi.y»-yi).(A,B)| _ lAxo-Axt+Byo-Byi
/Al+Bz /A*+B2
IAxp+By o-(Ax i+By i) |
136
i
/a *+b*
Pero Pi(xi,yi)eL ÁXi+Byj+C=*0 **> C = -(Axi+Byi)
d ( S , L ) - j Axp-fBy,+Cj_ (5 1 )
/ÁÜB*
E3EHPL0 2. Hallar la distancia del punto S(-2,5) a la recta L:
5x-12y-8=0.
Solución, Dado que: A=5 y B*-12 **• a=(5,-12). Además: xo=-2,yo=5
Luego, según la fórmula (51):
d(S.L) - l5(-2)-12(5)-8| „ 1-10-60-31 =
/(5)i+(-12)í 13
« _
E3EHPL0 3. Calcular el valor de k tal que el punto P(2,k) sea e
quidistante de las rectas cuyas ecuaciones son.:
Li:x+y-2*0 y La:x-7y+2=0.
Solución, Se debe verificar que: d(P,Li) = d(?,L2)
Entonces, según la ecuación (51) se tiene:
[2 +k- 2 1 = |2-7k+2| ^ J k [ ^ U-7VI
/í+í /l+¿9 /5 5/5
de donde: 5|k| = U-7k| *+ 5k=A-7k ó 5k=-¿+7k
♦♦ k=1/3 6 k=2
Ve.c£os 137
V
EJEMPLO 4. Obtener las ecuaciones de las rectas que son parale
las a la recta L: 3x-4-y+10=0 y que están a 5 unidades
de distancia de L.
Solución. Según (4-2), las rectas paralelas a L son de la forma
L i: 3x- 4y+k=0 (i)
Como todos los puntos de L equidistan de Lx» podemos elegir un
punto cualquiera de L, dando una solución para 3x-4y+10=0.
For ejemplo, para x = 2 * 3(2)-4y+10=0 -► y=:¿, Luego P(2,4.)eL
Entonces, si d(P,Li) = 5 +* i K -2 A1 .4-Líiil- = 5
/ F T F
de donde: |k-1C¡=25 k-10=25 6 k-10=-25
** k=35 ó k=-15
Sustituyendo en (1) obtenemos las ecuaciones buscadas, esto es:
Li:3x-4y+35-0 ó Lx:3x-4y-15-0
EJEMPLO 5. Hallar el perímetro del triángulo equilátero ABC, si
A(-1,3) y sabiendo que el lado B5 está contenido en
la recta L={(-2,-¿)+t(¿,3)/teR).
Solución. En un triángulo equilátero: h = ¿ =
Perímetro del AABC; 2p = 3& 2p = 2/3h (1)
Pero h = d(A,L) = I (í-?i.).n|
¡|n||
en donde: í=(-1,3)> ? í=(-2,-4.)
♦ t-íi = (-1, 3)-(-2.-4.) = (1,7)
S = F = (-3,i) - I|n||=5
Entonces: h . = 5
5
Luego, en (1), el perímetro es: 2p=10/3
EJEMPLO 6. Los puntos A(xiryx) y B(x2»yi) sobre la recta L:5x-
12yt15=0, distan 3 unidades de la recta Lj:
(3r¿).[(x,y)-(0,3)1=0. Hallar xj+x*.
Solución. En Lx tenemos: n*(3,A) y Px(0,3)
Si S(x,y)eL + d(S,L)=3
o sea: KS-P,).Sj = I (x.y-3_). (3, O i = 3
IISII 5
138 V e d o Ae.¿
de donde: l3*Hy-*12| = 15 -*-+ 3xHy-12=15 ó 3x+4y-12=-15
3xi+4yi=27 ó 3x2+¿y2=-3 (i)
Pero AeL y BeL , entonces: + 5xi-12yi=-15 <5 5x2-12y2=-1 5 (2)
Eliminando yi e y2 del sistema de ecuaciones (1) y (2) obtenemos
xi=33/7 y x2=-12/7 + x2+x2 = 3
E3EMPL0 7. Las rectas Lt y 1*2 son paralelas, siendo a el ángulo
de inclinación. Si. Li pasa por Pi(a,b) y L2 pasa por
Pi(h,k), hallar la distancia entre las rectas en términos de a y
los puntos dados, si L i^L2,
Solución. La pendiente de ambas rectas es m = Tga = Sena
Luego, el vector de direc
ción de ambas rectas es a=(Cosot,Sena)
y el vector normal es: n=(-Sena,Cosa)
El vector que va de Pi a P2 os;
v = ? 2-?x = (h-a,k-b)
Entonces: d(Li,L2) = ¡Comp*v[ " [^j
d(Li,La) - 1(b-a,k-b).(-Sena,Cosa)1
/Sen2ct+Cos2a
= I- (h-a)Sena + (k-bJCosaj^ | (a-h)Sena + (k-b)Cosa|
Cosa
E3EMPL0 8. Sea el ¿OAB. Si 0A=10,
Li:P=t(¿,3),teR; L2 es
una recta que pasa por S(2,5) y tie
ne la misma pendiente que Lj? calcu
lar el área del triángulo OAB.
Solución. Siendo Li||L2, la altura
del ¿OAB es la d(Li,L2).
Entonces: h - |Comp+OSl - l°S"n l = i(2,5).(-3» 4) l _ JU
\\n\¡ ¡ 5
a(ACA3) = 1(10) f-lé) = U u 2
EOEHPLO 9. Hallar el punto simétrico al punto Q(-2,-9) respecto
de la recta L:P=U,6)+t(5,-2),teR.
VecioA.e.4 139
Solución. Si a=(5f-2) n=(2,5)
Un vector unitario en la di
rección de la normal es:
n (2,5)
Sil /59
Sea v=QP =(¿l6)-(-2t-9)=(6t15)=3(2,5)
d(Q,L) = -\y*n-L - l3(2,5)»(2f5) | = 3 /5 7
u =
n | | /27
Si 5? = ?-<$ + ? = ¡5 + QP
(6/27)
de donde: P-(10,21)
E3EMPL0 10. Una persona tiene que ir desde un punto A(1,5) has
ta un punto 8(11,5) pero pasando por un río para sa
car agua- Si la orilla del río se encuentra en la recta L:
P=(-2,á)+t(2,-1), teR; ubicar un punto T en la orilla del río de
modo que dicha persona recorra la mínima distancia.
Solución, Como los puntos A y B están situados a un mismo lado
de la recta L, se halla
el punto B 1, simétrico de B respe£ y. i
to de la recta L.
£3 evidente que la suma:
AT + TB = AT + TB1 es mínima, donde
Te(Ln AB1)
La ecuación cartesiana de la recta
dada es L:x+2y-6=0 + n-(1,2)
Un vector unitario en la dirección
de n es: u = n+■n
= (1.2)
/5
d(B.l) = Ü .(11)+2(5)- ^ L = 1 5 = 3/5
/T+7 /5
Si B7! = 13-B' + B' = B-B7! = B - 2d(B,L)u
- B' = (11,5) - (6/5) Ü l Í I = (5,-7)
/5
Ecuación de ÁB': y-5 = " ¿I ̂ (x- 1) ÁB':3x+y-8=0
(x+2y-6=0) n(3x+y-8=0) = T(2,2)
I
no Vectosie.4 F•
EJERCICIOS
1. Desde el punto P(1,2) se trazan dos lados de un triángulo e-
quilátero cuya base se halla en la recta L:P=(0,1)+t(-3*1).
teR, Hallar el perímetro de dicho triángulo. Rp. 4/30/5
2. Si L x:2x-5y+7=0, L2:P=(1,3)+t(-1,4),teR; L 3={P/(x-2,y+1).
(-3,1)=0}, y si d i=d(0,L x), d2=d(0,L2) y ds=d(0,L3); hallar
el valor de d"i2 + d22+d"i2• Rp. 8/7
3. Hallar el valor de k tal que el punto P(k,4) sea equidistas
♦
te de las rectas Li': 13x-9y-10 = 0 y L2:x+3y-6=0.
Rp. k=19/2 6 k=8/9
4. La distancia del punto P(7,1) a la recta L={ (2,1 )+ta/teR} es
/2. Hallar la pendiente de L, sabiendo que es positiva.
Rp. m=1/2
5. Sea k un número real diferente de cero, P i(2,1) un punto y
Lj:k2x+(k+1)y+3=0, L2: ^x-2ky+7=0, rectas ortogonales. Ha
llar d(PlfLi).d(Pi,L2). Rp. 12.8
6. Sean las rectas Li:2x+3y+4=0 y L2:3x+4y-6=0. Hallar los pun
tos de Li que disten 2 unidades de L2.
Rp. P x(64,-44), PaUt-á)
7. Hallar las ecuaciones de las rectas paralelas a L:
(3» 4). [P-(3,-1)] =0. Rp. Li:3x+¿y+5=0, L2:3x+4y-15=0
8. Hallar el simétrico del punto Q(4»8) con respecto de lareg
ta L:x-y+2=0. Rp. P(6,6)
9. Sea ABC un triángulo isósceles de lados iguales AC y BC. Si
A(5»2), B(13>8), L={P1+ta/teR} contiene a los puntos medio s
de los lados AC y BC, ||AC||=5/3; hallar la distancia de
Pi(-12,-9/2) a la recta que contiene al lado BC del triángu
lo- Rp. 10/5
V&C¿0/1&4 141
1.37 INTERSECCION DE RECTAS
Sabemos que si Li y L2 son rectas no paralelas en R 2, en
tonces si intersectan en uno y solamente un punto.
En efecto, sean las rectas no para
lelas: Lx={Pi+ta/teR} y
I*2a(Qi+sí/seR}
Si Li y L2 no son paralelas impli
can que a y í no son paralelos.
Entonces existen números t y s ta
les que: ^
QiPx = QiP + PPj Figura 34
o sea:
P i-Q i = sí + ta + Pi-ta = Qi+stí
Por tanto, el punto P = Px-ta = Qx+sí pertenece tanto a Lj como
a L2, y es el punto de intersección de Lx y L2.
EJEMPLO 1. Hallar la intersección de las rectas Lx={{2,-3)+
t(4,-2)/t£R} y L2*{(-2,1)+s(-1,-2)/seR}.
Solución. Primero verifiquemos que: LjJ^fLj
Como (4,-2)\(-1,-2) = (2,4). (-1,-2) = -20¿0 LiJ/ÍLz
Luego, 3t,seR/P=(2,-3)+t(4.-2) = (-2,1)+s(-1,-2) (1)
o sea:
t(4.-2)-s(-1,-2) = (-4,4) (2)
Para eliminar s, tomemos el producto escalar de la ecuación (2)
con el vector (-1»-2)*=(2,-1), para obtener:
t(4,-2).(2,-1)-s(0) = (-4,4).(2,-1) , de donde: t= - |
Sustituyendo en (1): P = (2,-3) - 1(4.-2) = (-14,.. ¿)
Para comprobar este resultado, eliminemos t, multiplicando e
lamente la ecuación (2) por (4>-2)x=(2,4)
t(0) - s(-1,-2).(2,4) - (-4,4).(2,4) s=4/5
Luego, en (1): P = (-2,1) + |(-1,-2) = (-^,--1)
1 4 2 V e . d o A . e . 4,
E3EMPL0 2. Hallar la intersección de la recta Li que pasa por
los puntos (3» 7) y (9,10) y la recta que pasa por
(2,-1) y (11.8).
Solución. Los vectores de dirección de Li y L2 son respectiva
mente: a=(9»10)-(3#7)=(6,3)=3(2,1)
í=(11,8)-(2,-1)=(9,9)=9(1»1)
Como (3.7)eL, Lj={(3,7)+t(2.1)/teR}
(2,-1 )cl«í L 2={(2,-1) + s(1,1)/seR}
Por inspección vemos que Ljj/fLj 3t,seR, tal que:
P * (3> 7)+t(2,1) = (2,-1) + s(1,1) (1)
de donde: t(2,1 )-s( 1,1) = (-1,-8) *-*■ (2t-s,t-s) = (-1,-8)
Por igualdad de vectores: 2t-s=-1 y t-s=-8
Resolviendo el sistema obtenemos: t=7 y s=15
Sustituyendo ambos valores en (1) se tiene finalmente:
P = <3.7) + 7(2,l) = (17, 14)
P = (2,-l) + 15(1» 1) * (17, 14)
E3EMPL0 3. Hallar el punto de intersección de las rectas de e-
cuaciones Lj:x+3y=7 y L2:2x+y=-1.
Solución. Por simple inspección vemos que LiJ/fL*.
Luego, la ecuación vectorial equivalente al sistema
dado es:
(x+3y,2x+y) = (7,-1) x (1,2) + y(3.1) = (7,-1)
Esta ecuación se puede resolver empleando el método descrito en
el ejemplo 1. Es decir, se elimina y multiplicando ambos miem
bros de la ecuación por (3,1 )“ = (-1, 3).
- x (1,2).(-1,3) = (7,-1).(-1,3)
x(-1+6) = (-7-3) , de donde: x = -2
Ahora, para eliminar x multiplicamos escalarmente por:
0.2)*«(-2,1)
* y(3,1).(-2,1) = (7,-1).(-2,1 )
+ y(-6+1) = (-14-1) , de donde: y=3
Por tanto, el punto de intersección es: P(-2,3)
Los ejemplos anteriores ilustran 3 de los muchos métodos que e-
xisten para hallar la intersección de dos rectas en el plano.
Ve.ctúA.e.¿ 143
EJEMPLO 4. Si Lx es la recta que pasa por (4» 2) y es perpendi
cular al vector v=(5,3) y La es la recta que pasa
por (-1 ,-1 ) es paralela a la recta Ls:10x-6y=3, hallar L i n L 2«.
Solución. Si Lj x v=( 5, 3) + Li=í(4*2)+t(-3. 5)/teH) -
L2| |Lj m2 = 03 = , luego, b=(3,5) es un
vector de dirección de L2# entonces: L2 = {(-1,-1)+r(3»5)/reR}.
Como Lx^ L 2 - at.reR/ P = (4,2)+t(-3,5) * (-1,-D+r(3.5) (O
* t(-3* 5)-r(3, 5) = (-5,-3)
Multiplicando escalarmente por (3,5)J"=(-5,3) se tiene:
t(-3.5).<-5,3) = (- 5,-3) - (-5, 3)
+ t(15+15) = (25-9) t=8/15
Sustituyendo en (1): P = (4,2) + *^(-3,5) x (’̂ f'^)
EJEMPLO 5. Dadas las rectas Li={(1,4>+t(2,1)/teR), L2={(-2,1)+
s{1,-2)/seR} y L|={p(-3,2)/peR}. Determinar el va
lor de verdad de las siguientes afirmaciones.
(D LillL* (3) (-3,2)c(Li fl La)
(2) Li x La (4) (-3,2)e(Lln L í)
Solución. (1) Si L 1 IÍL3 ■* axila»* o bien: ax.aj=0
- (2,1).(-2,-3) = -4-3 = -7^0 - Lx>fL,
Luego, la afirmación es FALSA
(2) Si L 1 J.L2 ai.a2-0
-+ (2,1).(1,-2) = 2-2 = 0 . Entonces: L i X L 2
La afirmación es VERDADERA.
(3) Si (-3,2)e(LxH L2) + 3t,seR, tal que:
(-3,2) = (1,4)+t(2,1) y (-3,2) = (-2,0)+s (1,-2)
+ -2 (2,1 ) = t(2 ,1 ) y -(1 ,-2 ) = 8(1 ,-2 )
de donde: t=-2eR y s=-1¿R, luego: (-3,2)e(Lj fl t2)
La afirmación es VERDADERA.
(4) Si (-3,2)e(Li 0 L3) + 3t,peR, tal que;
(-3,2) = (1,4)+t(2f1) y (-3,2) = p(-3,2)
de donde: t=-2eR y p=1eR, luego: (-3,2)e(LiO L$)
La afirmación es VERDADERA.
144 V&c¿osie.4
EJEMPLO 6. Sean las rectas Li:P=(1,2)+t(1,-2),teR; L2:P=(a,2a)
s£, seR. Si L2-l L i y (L2í}Lx)n(Eje Y)¿3>, hallar a.
Solución, SÍ L2-LLx L2:P=(a,2a)+s(2»1), seR
En L2: (x, y) = (1,2)+t(1,-2) fx 1 + t
b = 2-2t
Si x=0 + t=-1 f luego: y = 2+2 = 4
Por tanto, Lx intercepta al eje I en el punto P(0,¿)
Dado que: (L2 0 Li)0 (Eje Y) ¿ P(0,4)eL2
o sea: (0,4) = (a,2a) + s(2,1)
Multiplicando escalarmente por (2*1)x=(-1,2) se tiene:
(0,4).(-1,2) = (a,2a).(-1,2)
-* 0 + 8 = -a + 4& » de donde: a~8/3
EJEMPLO 7. Se tiene la recta Lx:x+2y=1ó
y la recta L2 que es perpen
dicular a Lx y que corta al eje X en el
punto A(1,0). Hallar el área del AABC.
Solución. Según (41), la ecuación de L2
es de la forma.L2:2x-y+k=0
Si A (1,0) eL2 2(1)-0+k=0 -► k=-2
/. L2:2x-y-2=0
En Lx, si y=0 -*• x =16 -*■ C(l6,0)
LiflLa = (x+2y=l6) 0 (2x-y=2) = B(4,6)
Luego: ÁB = S-í = (3,6) y BC = 5-S = (12,-6)
/. a(AABC) = ¡|(AB).(BC1) = \{3.6).(6,12) = tfu2
EJEMPLO 8. I Sean las rectas Lx:P=(T,-2)+t(2»1),teR ;
■ L2:(2,1)#[P-(2,1)j=0. Hallar el área del triángulo
que determinan estas rectas y el eje Y.
Solución. En L2, n=(2,1) •* a2=(-1,2)
Entonces: L2:P=(2,1)+r(-1,2)
Si Be{LxnL2) **• 3t,reR, tal que:
(l,-2)+t(2,1) = (2,1)+r(-1,2)
o sea: t(2,1)-r(-1,2) = (1,3)
Multiplicando escalarmente por (-1,2)±
se tiene: t(2,1).(2,l) = (1,3).(2,1)
VcrtoA€ó U 5
de donde: t= 1 B=(1.-2)+(2,1)=(3,-1)
Interceptando Li y L2 con el eje 1 obtenemos: A(0,--|) yX(0,5)
Luego: ÁB= (3. -1)- (0. - 5/2)= (3.3/2) y BC=(0,5)-(3.-1)=(-3.6)
a(AABC) = (BC) . (ÁB-1) | = \ | (-3,6). ( - 3 ) | = 45/4 u1
EJEMPLO 9. Rallar el área de] triángulo determinado por las res
tas Li» L 2 y Lj» sabiendo que Lj pasa por el punto
(1 *4) y es ortogonal al vector (3» 5)» La pasa por el punto (6*1)
y es paralela a la recta L:5x-2y-3=0, Lj pasa por el punto (8,6)
y es perpendicular a ur.a recta de pendiente -7/2.
Sclucíén, Las ecuaciones parairétricas
de las tres rectas son:
I.*:Ml,4)+t(-5»3) , L2:P=(6,l)tr(2,5)
y L?:P=(8,6)+s(7,2)
Si /ffiiinLa) -*• 3r»teR, tal que:
(t, 4)4t(- 5, 3) = (6,1 )+r (2, 5)
t(-5, 3)-r(2, 5) = (5,-3)
de donde: t=-1 y r-0 -*■ A=(6,1)
Si fr(Linli) + 3t,s£R/ (l,4) + t(-5,5) = (8,6) + s(7»2)
+ o(o,3}-s(7,2) = (7,2) , de donde: t=0 y s=-1 ♦ B=(1,1)
Si Cc(L2 ÍT1 3) -► 3r,seR/ (6,1 )4r(2, <) = (8, 6) + s( 7, 2)
+ r(2,5)-s(7,2) = (2,5) # de donde: r=1 y s=0 C=(8,6)
Luego: AB=(1, ¿)-(6,1) = (-5,3) y AC=(8,6)-(6,1) = (2,5)
a(AAEC) = ^lAB.ÁC^h ||(-5.3).(-5.2)| = 15.5u*
EJEMPLO 10. Dadas las rectas Li=í(3#6) + t(1,2)/teR), La={(0,3)+
s( 1» - 1 )/seR) . Hallar la ecuación, vectorial de la
recta que pasa por (Li 0 L2) y que forma con los ejes coordenados
positivos un triángulo de área 4 u2.
Solución* Si Pie(Li n L2) ■* 3trscR/
(3* 6)+t.(1, 2) = (0,3) + s (1,-1)
- t(1,2) -s(1,-1) - (-3,-3)
de donde: t---2 y s=1 ■* P j = (1,2)
Sea la recta buscada, L: ~ c 1 (1)
Si Pi (1,2)eL - ^ + 1 = 1 (2)
U 6 Ve.cioA.e.¿
Pero: a(AAOB) = 4|ab| |ab| = 8 ab=8 /o
8 (3)
a=2 y b=4
2 • ¿ _ ' L:2x+y-l=0
Por tanto, según (39): L={(1,2)+r(V,-2)/reR)
Como a y b son positivos -*■ ab
Resolviendo (2) y (3) obtenemos
Luego, en(1): $ + ^r= 1
ab=-8
m=-2
E3EHPL0 11. Sea P un punto que divide al segmento AB en la ra
zón (-3):1 t donde A=(3»2) y B=(9,6). Si por P pasa
una recta Li con pendiente 3/2, otra recta L 2 pasa por A, tal q*
la d(Q,L) = 10/V3» donde QeCLjOLa) y L es la recta que contiene
al segmento AB. Hallar:
a) La intersección de Li y L2.
b) Las ecuaciones vectoriales de Li y L2.
Nota. Qse encuentra debajo de la recta L.
Solución, a) Si — = ■+• m = -3 y n= 1
n
m+n
m
mtnB
+ P = -5 O . 2 ) + |(9.6) = (1 2 ,8)
Luego, Li={(12,8)+t(2,3)/teR)
Li: 3x-2y-20*=0
ÁB = í-1 = (9,6)-(3,2) = 2(3.2)
Como Li|AB + L={(3,2) + s(3,2)} L
-► L:2x-3y=0
Si d(Q,L) = 10/íl -► ■-!?■*'̂ l = 10/T3
/T3 Q
- 12x-3y I = 1 30 ■*•+ 2x-3y=130 ó 2x-3y=-130
QeL i + Qe(3x-2y-20=0) n (2x-3y=130) ■> Q=(-40,-70)
* Qe(3x-2y-20=0) n (2x-3y=-130) + Q=(6¿,86)
Según la nota, Q se encuentra debajo de L + Q=(-40,-70)e(Lip L2)
b) La ecuación de Li fue hallada en la parte (a).
El vector de dirección de L2 es: S=QA=(3,2 )-(-40,
L2:P=(3,2)+r(43. 72), reR
-70)=(43.72)
E3EHPL0 12. Cada la recta Li:2x+3y-6=0, hallar la ecuación ñor
mal de la recta L que es paralela a L 2 y forma con
esta y los ejes coordenados un trapecio de área igual a 9u2.
Solución* Interceptando Li con los
ejes coordenados obtene
mos: A(0,2) y B(3»0).
Entonces: a(AAOB) = ^(2)(3) = 3uJ
Una recta paralela a Li es de la for
sa L:2x+3y+k=0, cuyos interceptos
con los ejes coordenados son:
C(-k/2,0) y D(0,-k/3)
Si a(ABCD) = a(AD0C)-a(AA0B) + 9 " 3 . _
de donde: k2=144 k=12 ó k=-12 t
Gomo las coordenadas de C y B son positivas *► k=-12
Luego: C(6,0) y D(0,¿). ,
Si n=(2,3) es un vector normal a L y D(0,4)eL, s u ecuácián nor
mal es:
L = {PeR2/(2, 3). [P- (0, ¿}]=0) -*■ L:(2,3).(x,y-A)=0
E J € RC I C I OS
1. Sean Lx y L2 dos rectas ortogonales tales que L x pasa por
(3*2) y (2,5) y La pasa por (2,1). Hallar la intersección
de ambas rectas. * Rp. P(10/5»7/5)
2. Sean las rectas Li :P=(1,0) + s(2,1)f seR; La:P={a,2a)+tb, teR.
Sí Lii. hz y Li n Lj 0 (Eje Y) / ó; hallar el valor de a.
Rp. a--1/8
3* Hallar la ecuación de la recta L que pasa por la intersec
ción de las rectas Lx = ( (3.2). [P-(0,2))=0) , La :P= (1,0) + t (6, 2}
teR, sabiendo que L||i. Rp. L={ (0,1). [P-(H/11,1/11)3=0}
Dadas las rectas Lj = jyljr* ' : 3).[P-(0,3)l=0 y
L 3=(a,b)+tj, teR. Hallar la ecuación de la recta que pasa
por Li H L2 y sea perpendicular a L*. Rp. L:i. [P-(-3»2)l=0
¥e.c 1 ^ 7
US V C C Í 04. Z 4 R, 7 *
5. Si L2:(5,3). fP-(0,10)]=0, hallar la ecuación de una recta Li
tal que (7,0)eLi y {(4,k)}=Lin L2.
Rp. L l:P=(7,0)+t(9,-10),teR
6. Las rectas L 1 :P=(10,20)+t(1,a),teR; La:P=(10,20)+r(1,-a),reR
intersectan al eje X en los puntos A y B respectivamente. Si
la distancia entre A y B es 30, hallar la distancia del pun
to A a la recta L . Rp. 24.
7. Hallar el perímetro del triángulo determinado por las rectas
Li:P=(5,4)+t(-3,-4),teR; L2:Q=(5,o)+s(0,4),seR y el eje X.
Rp. 12
8. Hallar el punto de la recta L:P= (-2,0) + t(4, 3) que está más
cercano al punto Q(3* 5)• Rp- (18/5,21/5)
f
9. Una de las diagonales de un rombo está contenida en la recta
Li={(a-1,5a-6)+t(a-3,1)/teR} y uno de los lados del mismo es
tá contenido en la recta L2 = {(-4a,a-2) + s(3a,a+1)/seR). Si
*
a>0 y P(3a+1,6a) es el punto de intersección de las diagona
les del rombo, hallar los vértices y el área del rombo.
Rp. (-4*7), (6,31), (30,¿1), (20,17); S=476u2
10. S?a la -renta L* :P- (1, 3) rz(2,-6), teR que forma con los ejes
coordenados un triángulo de área Ai. Si L2 es una recta tal
que Li | |L2 y forma con los ejes un triángulo de área A2 tal
que Ai=4A2; hallar la ecuación de Li.
Rp. Li={(1,0)+r(-1,3)/reR}
11. Hallar la ecuación normal de la recta L2 de pendiente entera
negativa, que no pase por el tercer cuadrante; sabiendo ade
mas, que: L3J-L1 en A, Be(L2 n L 3), Ce(Lif)L2), la abscisa de
A es 3, Li:3x-y-5=0, ||BC||=5/10 y a(AABC)=60u2.
Rp. L2:(3,1).ÍP-(12,1)]=0
12. Sea L una recta que pasa por la intersección de Li:x+2y-1=0
y L2:5x-3y-18=0, y que forma con los ejes coordenados un
triangulo de area igual a 6u2. Halle la ecuación de L en su
forma simétrica. Rp. l ; x + y - -j
-6+6/2 2+2 /2
Vec to*ie.¿ U 9
1.39 ANGULO ENTRE DOS RECTAS
Si dos rectas se cortan, designemos por L2 la recta con ma
yor inclinación ct2» y por Li la recta de menor inclinación ai,En
tonces el ángulo 0 entre las rectas se define por:
0 = a* - ai
Figura 35 Figura 36
Así, la Figura 35» muestra un caso en que el ángulo 0 de Lj y L2
es agudo, y la Figura 36, un caso en que el ángulo 0 es obtuso.
Nota 1. A la recta de menor inclinación Li, se le denomina rec
ta inicial porque a partir de ella se mide, en sentido
antihorario, el ángulo 0 . A la recta de mayor inclinación L2*
se le llama recta final, porque alli termina la medida del ángu
lo 0.
Si mi y m2 -son las pendientes de Li y L2» entonces por defini
ción :
mi=Tgai y ma=Tga2
En la figura 35 se observa claramente que: 0=a2-cei
Aplicando tangentes se tiene:
Tge = Tg(a2-Oi) =
1+Tgai.Tgot2
Tg6 = ~ m » (52)
1 + m j•
Si Tg6>0 ■+■ 0 es agudo, o sea: 0e<O°,9O°>
Tg0=O + 0 = 0 ° + L i||L2 (mi=m2)
v c c z c j i c í
Si Tg9<0 + 0 es obtusc, c sea: 9e<90°,180°>
1*gQ=cD -*• 0=90° ■+■ Li La (mi»ni2 - -1)
Nota 2. Para aplicar la formula (52) y evitar confusiones, es
necesario trazar las gráficas de Li y L2« Sin embargo,
en la Figura 36, se observa que:
0=tt-0 -► TgB * Tg(Tr-0) = -Tg0
Es decir, las tangentes de los ángulos suplementarios que forman
dos rectas Li y L 2, son iguales pero difieren en signo.
Esta propiedad se puede emplear para billar el ángulo 0 entre Li
y L2 sin necesidad de trazar sus gráficas, haciendo uso de la
fórmula:
Tg0 = I ma ~ mA | = | \.m*A (53)
11 + ll + mx«m2l
E3EHPL0 1. Hallar las ecuaciones de las rectas que pasan por
P(2,-1 ) y forman cada una un ángulo de ¿5° con la
recta L:2x-3y+7=0.
Solución. Sean mi y 8I2 las pendientes
de las rectas buscadas.
Si L:2x-3y+7=0 -► m*2/3
Según la fórmula (53) se tiene:
Tg¿5° « m-2/3 - |3b -2
1 +|m * 3+2m
de donde¡• |3m-2| = |3+2m|
3m-2=3+2m ó 3m-2=:-3-2m ffl2s5 ó
Por tanto, las ecuaciones requeridas son:
y+1 =- --^(x-2 ) <5 y+1 = 5(x-2 )
«-*■ Li:x+5y+3=0 ó L 2í5x-y-11=0
Observaciones.
(1) La fórmula (52) nos permite hallar el ángulo agudo o el obtu
so entre Lx y L2 en términos de sus respectivas pendientes.
Análogamente, si Li={Pi+tá) y L2={Qi+sí}, son las ecuaciones
vectoriales de dos rectas no verticales, entonces el ángulo
Vedo*te¿ 151
( 2 )
(3)
formado por Li y L2 es el ángulo formado por sus vectores de
dirección a y í respectivamente, y se determina mediante la
formula:
Cos6 = a.S
Hall ||S||
s í á.S>o
a.í<0
Cose > o
Cose < o
0 es agudo
8 es obtuso
Si a y í son dos vectores de igual magnitud, es decir:
||a||=||£¡[ y a/-?, entonces el vector suma a+S divide al án
guio e formado por a y í en dos partes iguales, esto es, a+1>
sigue la dirección de la bisectriz de a y %•
En efecto:
~ _ _ a. (a+í>)Cosoti =
l la || 1|a+í||
I | a | I2+a.£
.llSll l l í+ í l l
1IÍI H + a.t
l l t l l 1|a+í||
í .
llíl
= Cosaj
a* * <*2
l|S+t||
Si a y í son dos vectores no necesariamente de igual magni
tud y no paralelos, entonces el
vector suma u+v sigue la direc
ción de la bisectriz del ángulo
formado por a y t, donde:
t + %v =u =
ll«ll ' lltll
son vectores unitarios en las di
recciones de a y % respectivamen
te.
E3EMPL0 2. Los vértices de un triángulo son A(9t12), B(¿,2) y
C(1,6). Hallar la ecuación de la bisectriz del ángu
lo interior ACB del triángulo.
Solución. Tenemos: CB = B-C = (¿,2)-(1,6) = (3*-á)
152 V e c to * e .¿
CA = Í-? = (9.12)-(1,6) = (8,6)
i»
Los vectores unitarios en las direccio
nes de CB y CA son respectivamente:
5 = (3,-¿) ♦ = U, 3)
5 5
Un vector en la dirección de la bisec-^
triz buscada es:
a = u+v = -^(7,-1)
Luego, la ecuación de la bisectriz es, L:P=(1,6)+t(7»-l),teR
E3EMPL0 3* Los puntos P(6,3), Q(10,6) y R(-6,8) son vértices de
un triángulo. Determinar la ecuación de la recta L
que es perpendicular a la bisectriz del ángulo QPR y que contie
ne al punto Q<
Solución, FQ = = (4,3)
PR = = (-12,5)
Los vectores unitarios en las direc
ciones de PQ y PR son, respectivamep
te: S -lAtlI y $ =
5 13
Entonces# los vectores de dirección
de Lj y L2 son:
**■, + ■> +ai * u+v y a2 = u-v
Como Li -LL2 y L J- Li * L| |L2
Por tanto, la ecuación de la recta L que pasa por Q es:
L:P=( 10, 6)+raa = (10, 6)+r[(¿,J)-(--H^)]
,\ L:P=(10,6)+t(8,1),teR
EJEMPLO A. La bisectriz del ángulo agudo que forman el eje X y
la recta L:P=(0,2)+t(-2,1) determina sobre el primer
cuadrante un triángulo cuya área se pide calcular.
Solución. Interceptando L:P=(-2t,2+t) con el eje X se tiene:
Si y=0 2+t=0 t=-2. Luego: B=U,0)
Un vector unitario en la dirección del eje X es v=(1,0), y en la
dirección de la recta L es u=(-2,1)//5.
KccÍOíU4 153
ai
Luego, un vector en la dirección de la bisectriz Lj es:
= u - v = . ( n o )
/5
+ ai = — (-2-/5. 1)
✓5
Entonces: L»:P=(4-»0)+r(-2-/3,1),reR ***
Interceptando con el eje Y se tiene:
Si x=0 0=*+r(-2-/5) ♦ r=¿(/5-2)
* y=0U(/5-2)(1)»4/5-'8 — C(0,V?-E
UK4/5-8) = 8(/5-2)u *
E3EMPL0 5. Demostrar que si las rectas paralelas Li y La son in
terceptadas por una secante L, entonces los ángulos
alternos internos son congruentes* ♦
Demo¿¿Aac¿6n. Debemos probar que a=8
En efecto:
Supongamos que los vectores de dirección
de L, Li y La» son respectivamente: a,ai
y a2. Si L 1 IIL2 * ai » raí (r>0)
Como a es el ángulo formado por a y ai,
entonces: Cosa = a.ai _ a*(ra2)
H a l l | | i i l l ||S|| r l l a a l l I [a | | | |S2 | I
Sea 6 el
Cos8 =
anguio formado por los vectores -a y
( - a ) . ( - a » ) , a . a , . C o g a
l ! a | | | | a , | | ||2|| ||S2 |j
-a2
0*8
C3EMPL0 6. Los vórtices de un triángulo son los puntos y G,
tales que ¡ | í - S j | = a f ||A-C|¡=2a. Hallar la ecuación
de la recta que contiene a la bisectriz interior del triángulo
correspondiente al ángulo A.
Solución. Sean: u = AB B-í $-1
V -
AC
llABlI H S - Il l
_ Z-í Z-t
a
I I A C | | I I C - A l l 2a
k a=u4v * 2a1 ( C + 2 S - 3 Í ) L:P=A+t(í+2Í-3A)
154 i ^ e c i o A c ^
E3EMPL0 7. Hallar las ecuaciones de las bisectrices de los ángu
los formados por las rectas Li:x+y-3=0 y L2:2x-y+6=0
y demostrar que son perpendiculares.
Solución• Sea Li A L: c Q(-1»4)
Si n 1= (1 * 1) ♦ aj=(-1P1)
Í2=(2,-1) - a*=(1#2>
Entonces, los vectores unitarios en
las direcciones de Li y L2 son res
pectivamente:
S = lili)
✓? /5
Luego, los vectores que siguen las
direcciones de las bisectrices son:
as = u+v = — í— (</2-/5,/5+2/5) ;
/Tff
= u-v = _L(-/2-/5./5-2/2)
/T ü
Por tanto, si L3:P=Q+ta3 + L3:P=(-1,¿)+t(/?-/?,/3+2/5),teR
Li,:P=Q+sa» + U:P=(-1,¿) + s(-/2-/5,/3-2/2), seR
Son las ecuaciones vectoriales de las dos bisectrices. Para de
mostrar que son perpendiculares, bastará probar que: a3.ai,=0
En efecto: aj.a* = (/2-/5, Z5+2/2). (-/2-/5, Z5-2/5)
= - (2- 5) + (5-8) =3-3 = 0 + L,iL.
E0EMPL0 8.
que sea el
el eje X.
Hallar la ecuación de la recta de pendiente negativa
que pase por Q(2,1) y forma con el eje Y un ángulo
doble del ángulo formado por la recta Lj:3x-4y-12=0 y
Solución. Si mi=Tgot=3/¿ Cosa=4/5
Como Cos2a = 2Cos2a-1
- Cos2a = 2(¿|)-1 = ^
Sea u=(ui,ua) un vector unitario en
la dirección de la recta L.
Si | |u| ) = 1 + u2 + u| = (-,)
Un vector unitario en la dirección
del eje Y es (0,1)
u.(0, 1)Entonces: Cos2a *
IIu|| ||(0, 1)!|
7
2g = (ui.uz).(0,1)
Ve.cto4.e4 155
de donde: ui=7/25
Sustituyendo en (1):
Cono la pendiente de
Si e es el vector de
entonces:
(— ) 2
k25J + uf = 1 u 2 = ±21/25
la recta L es negativa elegimos: u2
dirección de Lf paralelo a u=(7/25,
L:P=(2,1)+t(7,-24).teR
-24/25
24/25).
EOEMPLO 9. El ángulo $ entre las rectas L x:P=A+taF teR y L2:
P=C+s£, seR, mide 45°. Si {B}eLxnL2 estando B en
segundo cuadrante, C=(0,5), AB+BC=(1,7), y la pendiente de Lx
-3» hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
Solución. Siendo AeLx -*• AB||mx
o sea: AB=r(1,-3)
Si ÁB+BC=(1,7) + ÁB+(S-§)=(1,7)
- AB-S=(1,7)-(0,5)=(1»2)
Multiplicando escalarmente por (1»-3)X
se tiene:
ÁB.(3»1)-(b|,b2).(3.1) = (1.2).(3,1)
0 - 3bi-b2 = 3+2 > 3bi+b2=-5 (1)
el
es
o _ m2-mx
+mi*m2Tg45° = 1
b2-5 _ 1
oi-O " 2
+ 1 = “ 2 = * 1 / 2
de donde: bi+2b2=10 (2)
Resolviendo (1) y (2) obtenemos: bj=-4 y b2 = 7 -*■ B(-4.7)
Si ÁB=(-3,9) = 3(-1,3) y 5C=(4,-2)=2(2,-1), entonces, los vectores
unitarios en las direcciones de Lj y L2 son respectivamente:
i =
/Tü
* = (2.-1) + = _ L ( _ 1+2/2,3-/S)
/5 /Tü
es el vector que sigue la dirección de la bisectriz; por tanto,
su ecuación es: L:P=(-4,7)+t(-1+2/5,3-/5),teR
E3EMPL0 10.
x-y-1=0 y L
Hallar la ecuación de la recta que pasa por Q(5,3)
y forma un triángulo isósceles con las rectas L jí
x-7y-1-0.
Solución. Seam m , mi=1 y m2=1/7 las pendientes da las rectas
L, Lx y L2 respectivamente.
Caso 1. Los lados iguales se encuentran en Lx y L2
156 VecÍOA.4.4
TgA = TgB - ,==8^
a - 1
1+a
de donde: 2m2+3o-2*G
Hay dos soluciones:
L:P=(5,3)+t(1,-2),
-2 ó B=
teR
5 L:P=(5* 3)+s(2,1), seR
Caso 2. Los lados iguales se encuentran en L 1 y L2
+ TgA* * TgC a-a i _ a i— id TTffl *®i 1'+m i* n 2
a - 1
7Tñ *
1-1/7
1+1/7 m=7
Hay una solución: L f:P=(5,3)+r(1*7), reR
Caso 3. Los lados iguales se encuentran en L" y Lx
+ TgG* = TgC
Hay una solución: L":P
1+(1/7)n
(5,3)+p(31»
1+(1/7)
17), peR
m=-17/31
E3EMPL0 11. Sea Lx:P=Q+t(7,1),teR, Q(1,-1)e(Lxn Lan L), A(8,0)e
*
Lx, d(A,L)=s/TO; L es bisectriz del ángulo formado
por Lx y L2» siendo su pendiente aenor que la de Li. Hallar las
ecuaciones vectoriales de L y L2*
Solución. QA=A-Q=(8,0)-(1,-1)=(7,1)
♦ IIQÁIl=/5ff y 11AB[ |=/TET
En el AQBA, por el teorema de Pitágo
ras: |IQBI|*=(/5ff)*-(/ÍÓ)2 = 40
+ llQBf1=2/10
Sea u un vector unitario en la direg
ción de la bisectriz L.
Si QA = QB + BÁ + (7,1) = IIq b I|u + ||BÍ||u a
+ (7,1) = 2/10(ux, u 2)+ /TOÍ-Uj . U x)
7 = 2/TOux - /ÍOua
1 = 2/1Ou2 + /TOux
Luego, la pendiente de la bisectriz es: m=-1/3
de donde: u =í - (3.-D
VtctOA.€¿ ¿ 157
En el AQBC: Tga = ~ ->• "'V, = -► J¿ J /J h ±L-. = 4
1+b.bj 2/Tü 1+(-1/3)n,
de donde: n2=-1
Por tanto, las ecuaciones buscadas son:
L:P=(1,-1)+t(3.-1),teR ; L2:P=(1.-l)+s(1t-1),seR
E J E R C I C I O S
1. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen de
coordenadas y es paralela a la bisectriz del ángulo que for
man los vectores a=(3,4) y £=(4,-3)* Rp- L={ (-1/5.7/5)«P30}
2. Si L es la bisectriz del ángulo for
mado por los vectores a y í, cuántos
de los siguientes puntos pertenecen
a la recta L?
a) (1/2,3/2) c) (-5/3.-5)
b) (-1,-2) d) (2/3.2)
Rp. 3
3. Las rectas Li:P=Pi+ta, teR, Lj:£. (P-P2)=0, se cortan en P*.
Hallar el ángulo entre Li y L2 sabiendo que:
(P,.Po)-(Pi-Po)-(Pi.*P2)=l|PollI. y P«yPi¿P2. Rp. 90°
4. Sea el AOAB, recto en A. Si 0 coincide con el origen de coor
denadas y 0A está sobre el eje X; hallar la ecuación de la
bisectriz del ángulo 0, sabiendo que divide al lado opuesto
BA en dos segmentos de 10cm y 8cm. Rp. L:P=t(3.l). teR
5. Los puntos P(2,4), Q(8,6) y R(4,S) son vértices de un trián
gulo. Hallar la recta que es perpendicular a la bisectriz
del ángulo PQR y que pasa por R.
Rp. L:P=(A,8)+t(1-/2,-3-2/2)
6. Sean las rectas L i :P= (1, - 1) + t(7,1), teR y La:(1.-1). [P-{2,1)J
=0. Hallar la recta L que tiene pendiente positiva, pasa por
Q(0,-2) y forma con Li y L? un triángulo isósceles cuyos la
dos congruentes están sobre Lj y L 2. Rp. L:P= (0,-2)4t{2»l)
158 ve.c£ o>t*4
7. Dada3 las rectas Lx:P*Px+ta y La:P=Qi+s$, no paralelas, de
mostrar que las rectas bisectrices de los ángulos que fcrmañ
L l y Lj son ortogonales.
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el origen y es
paralela a la recta bisectriz, de menor pendiente, del ángu
lo que forman las rectas Li:P=(1,1)+t(3#4)»teR y La:F-(2,-1)
+s(á,3)*aeR. Pp* L:P=t(-1,1),teR
m
9. Los vórtices de un triángulo ABC son A(-6,-2), 5(6,1) y
C(2,¿). Se traza la bisectriz del ángulo exterior correspon
diente al ángulo interno ACB; la bisectriz anterior corta a
la prolongación del lado AB en el punto Q. Hallar las coorde
nadas del punto Q. Rp. Q(18,4)
10. Hallar la ecuación de una recta que pasa por el punto
Q(-2,3) y sea perpendicular a la bisectriz interior del A de
vórtices A(0,0), B(¿,8), 0(6,2), relativa al vórtice B.
Rp. L:P=(-2,3)+t(3+2/2,1-/2),teR
11. Un rayo parte del punto A=(-5,-2) en dirección del vector
(2,3) y se refleja en ün espejo plano sobre el eje X enB y
luego sobre el eje X en C. Cuál es la abscisa.del punto S si
S=B+C+D? donde D está sobre el último rayo reflejado y tiene
ordenada -10. Rp. -35/3
*
12. Las rectas Li y La se interceptan en el punto C formando un
ángulo 0, tal que Tg9=1/2. Si C es un punto en el cuarto cua
drante, B=(0,4)» AC+3C=(2,-10) y la pendiente de L* es -1;
hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del ángulo 0.
Rp. L:P=U,-8)+t(1+/7,-/S-/5),teR
13. Dadas las rectas La:7x-y-6=0 y La:x-y+2=0, hallar la ecua
ción de la recta L, de pendiente positiva, que pasa por el
punto A(5»-2) y forma con Li y La un triángulo isósceles cu
yos lados iguales se encuentran en L 1 y L2» respectivamente.
Rp. L:P=(5»-2)+t(1,2), teR
Ve.cto/ie.4 159
E L E S P A C I O T R I D I M E N S I O N A L
En la sección 1.2 definimos el producto cartesiano A*B de los
conjuntos A y B de la siguiente manera:
A*B » {(x»y)/xeR , ysR}
Si aplicamos una definición similar al producto cartesiano AxBxC
de los conjuntos A, B y C, entonces:
Axfixc - ((x,y»z)/xeR, yeR» zsR)
Donde el símbolo (x,y,z) representa una terna ordenada.
Como las ternas ordenadas de números reales son elementos del
producto cartesiano P.xRxR, a este conjunto se le denota por R 3,
es decir:
R 3 = í(x,y,z)/xeR, yeR» zeR}
que determina lo que llamaremos espacio ¿A¿d¿m£n.4Íona¿,
Esto es» queda establecido un sistema
cartesiano de tres dimensiones, cuyos
ejes son las rectas orientadas XX1 (E
je de abscisas), YYr (Eje de ordena
das) y ZZ1 (Cota), que se cortan per
pendicularmente en el punto 0 (Origen
de coordenadas)
Todo plinto en el espacio queda deter
minado por la terna (x,y,z) , donde:
x: es la distancia dirigida del punto
P al plano YOZ.
y: es la distancia dirigida del punto P al plano XOZ
z: es la distancia dirigida del punto P al plano XOY« (Figura 37)
El conjuto R 3 de ternas ordenadas de números reales, junto con
las operaciones de suma y producto definidas en la Proposición
1.1, recibe el nombre de e.¿pac¿o ve.c.to/iía.1 tA¿d¿m&n¿¿ona¿ sobre
el conjunto de números reales R y se denota por Va. A los elemen
tos de V 9 se les llama vectores, luego, la terna (x»y9z) es un
vector.
P(x,y,z)
1•
X»
y
y
y
z
y
Tfl" ' Xi _____________ ✓
Figura 37
160 Vectone*
1.39 VECTORES EN EL ESPACIO
Cada terna de números reales (x,y,z) se puede asedar a li
na traslación en el espacio. Por esta razón se define una terna
ordenada de números reales como un vector tridimensional.
En la Figura 38 se observa un segmento
dirigido AB o vectoe geomAtnico que r§
presenta al vector v=(x,y,z). Este vec
tor geométrico representa a la trasla
ción del punto A(xi»yi»zi) al punto
B(x2,y2,z2). Por tanto una representa
ción geométrica del vector es:
- (x2-xs,y2-yj,z2-zi)
Se dice que el punto A es el punto ini~
clat o punto de pantlda del vector geo
métrico» y que B es su punto ¿¿nal o punto de ¿legada. Si el pun
oo inicial de un vector geométrico es el origen de coordenadas,
entonces se dice que el vector está en su posición ondinanía, y
que es la representación ordinaria del vector correspondiente.
La norma ||v|| de un vector v=(x,y,z) en R9 se define como:
||v|| = ya+z2
La norma de un vector en R 8 se puede interpretar como la longi
tud de cualquiera de sus representaciones geométricas. Por tanto^ *
la norma del vector v=(x,y, z), que se muestra en la Figura 38,
es igual a la longitud de AB, es decir:
Nvll = d(A,B) = /(x2-xl)2+(y2-yi)2+(z2-zi)2
Otras definiciones que se aplican a los vectores de dos dimensio
nes se puede extender directamente a los vectores en tres dimen
siones. En particular, si a=(xj,yi,zi) y í=(x2,y2#z2) son vecto
res en R9 y reR, entonces:
( 1) a
(2) a + % = (xi+x2,yi+y2,zi+z2)
Ve.ctcne.4i 161
(3) a*- í = a + (-í¡)
/ i \ 4 ■f y «(4) a - a = a + (-a;
= (xi-x2fyi-y2,zi-z2)
= (0,0,0) = 9
(5) ra = r(xi, y i, z i) = (rxi,ryi,rzi)
(6) u es un vector unitario u =
|a|
|u| 1 = 1
(7) Producto escalar: a.Í = xix2 + yiy2 + ziz2
» i
Tal como en el caso de R2, un vector en R 3 se puede expresar co-
*mo la suma de componentes vectoriales paralelos a los ejes coor
denados. En R 3, i, j y 5■representan vectores unitarios en las
direcciones de las partes p'ositivas de los ejes X,Y,2 repectiva-
mente. Entonces:
í=(1,0,0) , !=(0,1,0) , Í=(0,0,1)
Todo vector de R3 se puede escribir en una y sólo una forma como
una combinación lineal de í, * y 5. Por ejemplo, para el vector
v=(3,2,-4) se tiene:
í = 3Í+2T-4Í
EJEMPLO 1. Un vector que va de S(x,y,z) a T(5,-4>2) es dos ve
ces el vector que va de R(2,-1,5) a S(x,y,z). Calcu
lar el valor de x+y+z.
Solución, Sean: a = ST = í-5 = (5,-4,2)-(x,y,s)=(5-x,-4-y,2-z)
í = RS = S-£ = (x,y,z)-(2,-1,5)=(x-2,y+1,z-5)
Si a = 2Í
5-x =
-4-y
2-z =
2(x-2)
= 2(y+1)
2(z-5)
x=3
y=-2
z=4
C. xty+z = 5
EJEMPLO 2. Sean A(2,3,-2) y B(6,-3»2). Hallar el punto P que es
j *ta en el segmento de recta que une A con B y a 3/4
de distancia de A a B.
Solución, Si P(x,yfz)eAB A? = (-f)AB 4 4AP = 3AB
4(x-2,y-3iz+2) = 3(4,-6,4)
4x-8=12 + x=5
4y-12=-18 + y=-3/2
4z+8=12 + z=1
162 V&ctc/^e.A
Por tanto, el punto buscado es: P(5
EJEMPLO 3. Demostrar que los puntos A(3»5.2), B(2,3.-1) y C(6,
1,-1) son vértices de un triángulo rectángulo.
De.mo¿¿/iación. En efecto:
ÁB = (2,3,-l)-(3» 5,2) = (-1,-2,-3)
AC = (6,1,-1)-(3,5,2) = (3.-A.-3)
BC = (6,1,-1)-(2,3,-1) = (A,-2,0)
Entonces: |lAB¡| = /1+A+9 = /TI
| |AC|| = /9+1¿+9 = /5I
||BC|| = /16+A+O = /Sü
Como: (/TI)« - (/TZ)*+(/2U)* - | |AC|j 2 = ||ÁB)|2 + | |BC| | 2
Se cumple el Teorema de Pitágoras, por tanto, el AABC es recto
en B.
EJEMPLO 4* Demostrar que los puntos A(-2,-7,7), B(2,-1,3) y
C(¿,2,1) son colineales.
De.mo¿t/iac¿¿n. Bastará probar que: | |AC | |= | |AB | | + | IBC | |
En efecto:
AC = (A.2,1)-(-2,-7,7) = (6,9,-6)
aB = (2,-1,3)-(-2,-7,7) = (A,6,-A) o------------- o--------□,
BC = (A, 2,1)-(2,-1,3) = (2,3,-2)
Entonces: llACl! ” -36+81+36 = 3/T7
' 11 AB i | = /16+36+16 = 2/T7 y ||BC|| = /A+9+A = /T7
Como: 3/T7 = 2/T7 + /T7 + | |ÁC | |= | |ÁB | | + | |BC | |
Por tanto, los puntos A, B y G son colineales*
EJEMPLO 5. Dados los vectores a=(3t-1,-2), $=(2,1,4) y c=7Í-2'
-k , hallar la suma de las componentes del vector :
tal que: a.x=4 , $.x=2 y c.x=4
So¿u.c.iin. Sea el vector x=(x,y,z)
Si a.x = A + (3,-1,-2).(x,y,z)=4 + 3x-y-2z = A
b.x = 2 -*■ (2,1,A).(x,y,z) = 2 + 2x+y+Az = 2
c.x = A + (7,-2,-1). (x,y,z) = A 7x-2y-z = A
* Vactonc¿ 163
Resolviendo el sistema de ecuaciones obtenemos: x=2, y-6, z=-2
/. x+y+ 2 s 6
E3EMPL0 6. Si a=(2t1,-1) y £=(1,-1,2), hallar un vector no nulo
c£Rs, tal que: a.ca£.c=0.
Solución* Sea el vector c=(x,y,a)
Si a.c = 0 -*■ (2,1 ,-1) • (x,y,z)=0 ,-*■ 2x+y-z=0 (1)
íi.c - 0 (1, - 1 f 2) - (x, y, z)*0 + x-y+2a*0 (2)
Sumando (1) y (2) se tiene: z=-3x
Multiplicando (1) por 2 y sumándole (2) obtenemos: y=-5x
Luego, c = (x,y-,z) - (x,-5x,-3x) * x(1,-5.-3)
Hay infinitas soluciones. Un ejemplo, para x=1 se tiene:
c = (1.-5.-3)
E3EMPL0 7. Sea el triángulo de vértices A(-t,2,2), B(4,2f-3) y
C(9,-3,7). Por.el punto D(2,2,-1) del lado A§ se tra
za una paralela al lado AC y que corta al lado BC en E. Hallar
la longitud del segmento 5e .
Solución. Veamos en que ra2Ón divide el
punto D al lado AB.
Sea: = r AD = rDB
- B-t = r(B-B)
* 3(1,0,-1) = 2r(1, 0, -1) - r= 3/2
Siendo DÉ||ÁC + || = |
- 2(1-2) = 3($-É) -«• 5$ = 3U,2.-3)+2(9,-3,7) = (30,0,5)
- E=(6,0,1)
Luego: DS = (6,0,1)-(2,2,-1) = 2(2,-1,1) ♦ ||5ft|=2/5
E3EMPL0 8. En el trapecio ABCD la razón entre la longitud de la
base AD y de la base BC equivale a X. Suponiendo que
AC=a y BD=£, exprésense los vectores ÁB, 55, 55 y 5Á por medio
de a y t
Solución* Si = x - AD = XBC (1)
+ AB + BD = ABC
En el AABC: A3 ^ AC-BC (2)
B
Ve.c£osie.¿
AB = AC - --£ I BD *► AB = 2a'^ B
De (2): BC = AC-AB = a -
1 +A
2Í-S U%
2+A 1+A
En el AACD: CD = AD-AC = ABC - a
V S * + ^ AÍ-aCD = * a ^ CD = 1 + A
1 + A
EJEMPLO 9. Sean dados los vectores a=(1»5*3), í=(6#--2),
c=(0,-5,7) y 2=(-20,27,-35). Se requiere elegir los
números a, 3 y y de tal modo que los vectores aa, 6Í, ye y 2 formen una línea quebrada cerrada, si el origen de cada vector suce
sivo se hace coincidir con el extremo del anterior.
Solución, Si los vectores aa, &Í, ye y 2 constituyen una línea
quebrada cerrada, entonces:
aa + + ye + 3 = 6 <-► a(1,5,3) + 6(6,-4,-2)+y (0,-5,7) = -3 N
o sea: (a+6B , 5a-4B-5Y . 3o-2B+7y ) = (20,-27,35)
*
de donde: a + 66 = 20
5a - AB - 5Y = -27
3a - 26 + 7y = 35
Resolviera el sistema obtenemos: a=2 , 6=3 , y=5
E3EI1PI ' JO. M es el punto de intersección de las medianas del
triángulo ABC, 0 es un punto arbitrario del espacio.
Demuestrece la igualdad: OM = -̂ (OA + 0B + OC).
ación. En efecto, sea D el medio de AC
Entonces: D = *g(A+C)
7or la propiedad de las medianas:
DM = -IdB * M-D = -l(B-D) 0
1 # ** ** * 1 *> 1 / »o sea: M - ^(A+C) = jB - -¿(A+C)
-c áende : ií = -^(A+f+C) «-*• M-0 = \ [(A-0) + (B-0) + (C-O)]✓ J •
V e.c.to/ie.4 165
2.
" 3.
4.
5.
6.
7.
8*
9.
10.
E J E R C I C I O S
a y ? son los vectores de posición de los segmentos PQ y RS.
Si 2a=3Í y P(3.-1,2), Q(x,y,z), R(-2,3,-3) y S(2,5,-5); ha
llar el vector a. Rp. a=(6»3,-3)
El vector v=(-2,2,6) es el vector de posición del segmento
AB, cuyo punto medio es M(-4»3»1). Hallar las coordenadas de
los extremos del segmento AB. Rp. A(-3*2,-2), B(-5,4,4)
Sea v=(3,-6,1) el vector de posición del segmento AB y sea
C(6,-1,2) el punto de trisección, más cercano de A, de dicho
segmento, hallar las coordenadas de A y B.
Rp. A (5,1 * 1) y B(8,-5,2)
Sean A(2,-1,3), B(-4,5.0), C(4.-1,3) y D(4.4,-7). El punto P
está a 2/3 de distancia de A a B y el punto Q está a 3/5 de
distancia de C a D. Calcular las componentes del vector v q 1
va de P a Q. Rp. v=(6,-1,-4)
Demostrar que los puntos A(6,3»4)> B(2,1,-2) y C ( 4 f - 1 » 1 0 )
son vértices de un triángulo isósceles.
Demostrar que los puntos A(2,0,-1), B(3»2,-2) y C(5,6,-4)
son colineales.
Demostrar que los puntos A(2,0,-1), B(1,2,1) y C(6,-1,2) son
vértices de un triángulo rectángulo.
Si a=(3#5,-1), í“(6,-2,3) y c=(-3*2,0), hallar el vector x
que satisfaga la ecuación: 3x+6a-5c=8Í. Rp. x=(5.-12,10)
Sean £={2,-1,5), £=(-1,-2,3) y £=(1,-1 ,1) tres vectores en
R a, hallar un vector unitario en la dirección del vector:
v = a-í+c. Rp. u =
Dados los vectores a=(5,-2,1), t>=(6,1,-4) y c=(1,2,1), calcu
lar el producto de las componentes de un vector x» tal que:
a.x=3 , t>.x=62 , c.x=15 Rp. -240
y
166 l'e.ctoA.e.4
s911. Si a=(3,3,-l) y b=(-1,-2,4)» hallar un vector no nulo ceR
tal que: a.c=S.c=0. (Hay infinitas soluciones)
Rp. Un ejemplo: c=(10,-11,-3)
12. Hállese en el eje de ordenadas el punto M equidistante de
los puntos A(1,-4»7) y B(5,6,-5). Rp* M(0,1,0)
13* Sean dados los vértices del triángulo A(3,-1»5), B(4»2,-5) y
C(-4,0,3). Hállese la longitud de la mediana trazada desde
el vértice A. Rp* 7
15. Determínense las coordenadas de los extremos de un segmento
que está dividido en partes iguales mediante los puntos:
C(2,0,2) y D(5»-2,0). Rp. (-1,2,4) y (8,-4,-2)
16. Si a+í+c=0, ||a||=3, ||$M=4 y l | c | | = 6, hallar el valor de:
a.(2t-a). Rp* 2
17. Sabiendo que: ||a||=3, I|í|1=1» ||c||=4 y a+S+c=6, calcular
la suma a. t+t •c+a.c Rp. -13
18. Dado: ||&||=11, ¡|í||=23 y ||a-b||=30, hallar ||a+$||.
Rp. 20
19. Dadas tres fuerzas: f j= (3, - i. 2), í2=(2, 3,-5) y í 3=(-3,-2, 4.),
aplicadas a un punto, calcular el trabajo realizado por la
resultante de estas fuerzas si el punto de aplicación se des
_ plaza en su movimiento rectilíneo de la posición A(5,3,-7) a
la posición B(4,-1,-4). (Sug. Trabajo: W=!.e , e=ÁB)
Rp. W=13
20. En un espacio están dados los triángulos ABC y A 1B 1C1. M y
M ¡ son los puntos de intersección de las medianas. Expresar
el vector KM* mediante los vectores AA!, BB* y CCr.
Rp. (AÍ1 t3B 1+CC 1}
21. En el paralelogramo ABCD se designan: AB=a, AD-o. Expresar
en términos de a y % los vectores MA, KB, KC y MÍ), donde M
es el punto de intersección de las diagonales del paralelo-
gramo. Rp. MA*-MC = ̂ (a+S) ; MB=-MD= ¿(a-t)
Vectcne¿ 167
1.41 DIRECCION DE UN VECTOR EN EL ESPACIO
(x, y,z)
A cada vector no nulo v= (x, y, z) eR 3, le corresponde una di
rección .dada por tres ángulo* de dilección a, 6 y Y» cada
uno de los cuales es el ángulo deter
minado por los ejes positivos del sis
tema tridimensional con el vector v
en posición ordinaria. (Figura 39)-
Los ángulos de dirección se elige de
manera que sus medidas esten compren
didas en el intervalo |0,tt|.
A los cosenos de los ángulos de direc
ción de un vector en R 3, se les llama
co*eno* di/iectone* y vienen dados por
/
Figura 39
Cos a = ->•v
Cos 8 =
v
Cosy =
v| |
( 5 4 )
en donde: ||v|| = /x2+y2+z2 ¿ 0
Elevando al cuadrado y sumando las ecuaciones (54), se tiene:
Cos2a + C o s 28 + Cos2y = 1 ( 5 5 )
La ecuación (55) nos permite afirmar que los cosenos directores
de un vector están intimamente relacionados, por lo que, si se
conocen dos de ellos se puede calcular el valor absoluto del ter
cero. Si Cosa, CosB y Cosy son los cosenos directores de un vec
tor no nulo v=(x,y,z), por las ecuaciones (54) resulta que:
u = (Cosa,CosB,Cosy) = (— ~
Mlv V ¿II i
( 56 )
es el vector unitario que tiene la misma dirección que v.
E3EMPL0 1. Obtener los cosenos directores del vector v que va
de A(2,-2,-1) a B(-4>-5,1). Probar que la suma de
los cuadrados de los cosenos directores del vector es igual a 1
y obtener también un vector unitario en la dirección de v.
Solución. Si v=AB
-*• I I v | | = /36+9+A = 7
168 Ve.cione.¿
Según las ecuaciones (54)* los cosenos director s del vector v
/ o >• ^
son: Cosa = - -tj , CosS = - y » Cosy - ^ '
Entonces: Cos2a + Cos2B + Cos2y = = 1
El vector unitario en la dirección de v, según (56), es:
+ ’ / 6 3 2\
u = ( ' 1* ~ 7* 7'
EJEMPLO 2. Averiguar si el vector veR3 puede tener como ángulos
de dirección: a=60°, 0=4-5° y y=150°.
Solución. Veamos si la ecuación (55) se satisface para estos án
gulos.
Cos260° + Cos245° + Cos2150° = ^ ) Z + ')2 +
4 2 4. 2 ? 1
Por tanto, no existe el vector $ con tales ángulos directores,
EJEMPLO 3. Obtener un vector v si ||v||=14 y tiene sentido con
trario al vector cuya representación geométrica va
de S(3.-5,2) a ?(5,-8,-4).
Solución. Sea a=S! = (5, -8, -4-)-(3, -5,2) = (2,-3,-6)
- I|a|| = /(2)*+(-3)2+(-6)2 = 7
Luego, un vector unitario con sentido opuesto al de a es:
a _ (1,-3,-6)
¡¡Sil
Dado que: v = | |v| |ú -*■ v = (-4,6,12)
EJEMPLO ty. Hállese el vector a que forma con todos ios tres ver
sores básicos ángulos agudos iguales, si ||a||=-2/3.
(Nota. A los vectores unitarios i, j y k se les denominan tam
bién versores básicos)
Solución. Como a=B=Y, entonces según la ecuación (55) se tiene:
3Cos2a = 1 4-+ Cosa = ±/3/3
Dado que a, 8 y y son agudos -► Cosa = /J/3
Si x = | | a I |Cosot -*■ x = 2/3(/I/3) = 2
a = (2,2,2)
V e.ctoste.4 169
E J E R C I C I O S
En los siguientes ejercicios obtener un vector unitario en
la dirección del vector cuya representación geométrica va de
S a T.
a) S(1, -2, 5) , TU, 0,11) Rp. u = -^(3.2,6)
b) S(2,-2,-1) , T(-4.-5.1) Rp. í = ^(6,3,2)
c) S(9, 2, -1) , T(-3, 5, - 5) Rp. u = ̂ (-12,3.-4)
Si para un vector aeRs, Cosat^2/11 y Cos6=-5/11; calcular
Gosy. (Dos soluciones). Rp. ±9/11
Si para un vector aeRs, Cos6=3/10 y Cosy=2/5; calcular el va
lor del ángulo a. Rp. a=30° ó a=150°
Hallar un vector v cuya norma es 1/2 y tiene el mismo senti
do que el vector a=(6,12,4). Rp. v=(3/1¿, 3/7, 1/7)
Hallar el vector v cuya norma es 7/5 y que tiene el sentido
opuesto al vector a=(-2t5»-4)* Rp* v =(21/5,-7, 28/5)
Hállese el vector x que forma con el versor J un ángulo de
60° y con el versor íc, un ángulo de 120°, si ||x||=5/2.
Rp. x==(±5» 5//5,-5//2)
Hállese el vector x, colineal al vector a=(l,-2,-2), que for
ma con el versor j un ángulo agudo y cuya magnitud es 15.
Rp. £=(-5,10,10)
Hállese el vector x, colineal con el vector a=-3Í-6^+2Í, que
forma con el versor £ un ángulo obtuso, y cuya norma es 21.
Rp. x=(9»18,-6)
Un veotor v forma con los ejes X e Y los ángulos de 60° y
120° respectivamente. Hilar sus coordenadas sabiendoque su
magnitud es 2 unidades. Rp. v=(1,-1,/5) ó v =(1,-1,-/5)
1 7 0 Vectone.4
1.41 VECTORES PARALELOS Y PERPENOICULARES
Si a y S son dos vectores no nulos de R 3, entonces el angu
lo que forman se puede especificar
de la misma manera que el ángulo q 1
forman dos vectores en R2.
En la Figura ¿0 se observa que si
los vectores a y $ no son paralelos
entonces los tres vectores a,. £ y
a-£ tienen representaciones geomé
tricas que forman un triángulo. Em
pleando la ley de los cosenos se
puede demostrar que:
Cos0 = a. b
i m i iisii
(56)
EJEMPLO 1. Hallar el ángulo que forman los vectores a=(l,2,l) y
$=(2.1,-1).
Solución* Según la ecuación (56) se
Cos8 = *0 ■ (2,1. -1) =
(/íñ+1)(/¿+l + 1)
/. 0=60°
tiene:
2+2-1
(/5)(/5)
1
2
Observación 1 La ecuación (56) es tarabián válida si los vecto
res a y t son paralelos, puesto que con a=rí se
tiene:
Cos0 * vl.t iiíii
l l r & l f | | t ! | Ir| | | t | | * |r|
Si r>0 *♦* Cos0=1 y si r<0 •+■ Cos0=-1. Entonces los vectores a y £
son Paralelos^si._j sólo si 0-0° ó 6=180°, es decir, si y sólo si
Cos0=±1. Luego, la foroula (56) se puede aplicar para decidir si
dos vectores no nulos son paralelos o no.
EJEMPLO 2. Determinar si los vectores a=(6,-3,-9) y £=(-2,1,3)
son paralelos.
Solución. Método 1. Aplicando la fórmula (56) se tiene:
l'íci CA.Í.Ó 171
r.ose = <6.-3.-9).(-2,l,3) = -12-3-27 =
(/36+9+81)(/¿+1+9) 3/Tl /TZ
Por tanto, a | |í>
Método 2. Escribiendo el vector a de la forma:
t = -3(-2,1,3)
Vemos que: a = -3% , o sea: a=rí¡ + a||?
EJEMPLO 3. Para que valores de a y 6 los vectores a=(-2,3»a' y
t)= (8, - 6 ,2) son colineales?
Solución. Usando el método 2 del ejemplo anterior se tiene:
SI a| jt> ■+ a - rí
'-2 = r8
-► (-2,3,a) = r(B,-6,2) ~ 3 = -6r -*■ r=-2
a = 2r
de donde: a=-k y 8=1
Observación 2. Dos vectores a y % son octogonales o />e.n.p£.nd¿cu~
lañe*, sí y solo si la medida del ángulo compren
dido entre ellos es 90°, esto es, si y sólo si Cos0=O.
De la formula (56) se obtiene inmediatamente que los vectores no
nulos a y S en R 3 son perpendiculares si y sólo si a.S=0.
EJEMPLO 4. Demostrar que el vector v=(2,-1,3) es perpendicular
a los vectores a=(3,0,-2), í>=(1,8,2) y c= (1, - i,-2).
De.nioótsiac¿ón, En efecto, veamos el producto escalar de v ccn a,
í y c.
í.v = (3,0,-2).(2,-1,3) = 6+0-6 = 0
í.v = (1,8,2).(2,-1,3) = 2-8+6 = 0
í.v = (1,-4,-2).(2,-1,3) = 2+4-6 = 0
Por tanto, v es perpendicular a los tres vectores dados.
En este ejemplo se puede observar que ningún par de los tres
vectores a, b y c son paralelos. En
realidad, en Rs, es posible obtener
un número infinito de vectores para
leles, cada uno de los cuales es per
p e n d ic u la r a v . ( F i g u r a 41 ) F i g u r a 41
Vector*4
Esto sugiere que el conjunto de representaciones geométricas de
todos los vectores perpendiculares a v cubre el pino completaren
te*
EJEMPLO 5. Hallar todos los vectores que son perpendiculares al
plano formado por los vectores a=(5*-1,-2) y
b*(2f3»i)»
Solución. Sea v=(x,y,z) uno de los vectores buscados.
Si v í a - (x.y,s).(5'-1.-2)*0 * 5x-y-2z=0 M)
v i t -► (x,y,z).(2,3*4.)*0 + 2x+3y+áz=:0 (2)
Multiplicando (1) por 2 y sumándole (2) se tiene:* y=-12x
MultiDllcando (1) por 3 y sumándole (2) resulta: z=(17/2)x
* >
Entonces: v * (x,-12x, 17/2x) = 7j(2,-24,17)
Por tanto» $=n(2,-2¿,17) » neR-(O), representa al conjunte de
vectores que son perpendiculares a a y £.
EJEMPLO 6, Si a=(2,-1,2), £*(1*2,-2), hallar dos vectores c y 3
en R 3, que satisfacen las condiciones siguientes:
3=3+3 , £.3=o . c|l£.
Solución. Sean: c-(ca»C2»Cj) y 3=(ái,da»da)
Si a = c+3 (2,-1,2) = (ci+dx, C2+d2, ca+ds)
+~~*‘ 2=ci + dx , -1 = c2+d2 , 2=ca^ 3 (1)
b.3 = 0 -► (1.2,-2).(dXpda,da)=0 di+2da-2ds=0 (?)
c¡|£ ♦ c * r£ -► (ci»C2»Cs) = r(1,2»-2)
■*-+ ci=r , Cí=2r , c3=-2r (3)
Sustituyendo (3) en (1) se tiene: dx=2-r , dí=-1-2r , d3=2+2r
Finalmente, sustituyendo en (2) obtenemos: r=-4/9
c = |(-1.-2,2) y 3 = •1(22,-1,10)
EJEMPLO 7. Determinar un vector unitario perpendicular al plano
formado por los vectores a=(2,-6,-3) y £*(4,3,-1).
Solución. Sea c=(x,y,z) el vector perpendicular al plañe forma
do per a y £.
Si a jl c -► a.c = C + (2,-6,-3) • (x,y, z}=0 «-*■ 2x-6y-3z-0
)t CctOAJ*. & 173
Si Í-Lc ♦ í.c = O + (á# 3* -1). (x,y,z)=0 «-► ¿x-3y-z*C
Resolviendo el sistema para x e y resultar x * ^z , y = ~ -ja
Luego: c = ^(3,-2,6) » n(3»-2,6) , ncR-{0)
Por consiguiente: u * — ~— = a (3»-2,6¿ = t -1(3,-2,6)
||e|i ±n/3ñ+3S 7
EJEMPLO 8. El vector v es perpendicular a los vectores a*(t,1»l)
fc=(2,1,-1) y forman con el eje 02 un ángulo obtuso ,
hallar el vector v sabiendo que ||v|-|*/55.
Solución., Sea el vector: v=(x,y,z)
Si aiv + (1,1,1). (x,y,z)=0 ++ x*y+z»0
í x v -► ( 2 f- 1,-1) . (x,y, 2)=0 ++ 2x+y-z=0
Del sistema de ecuaciones obtenemos: y=(-3/2)x , z=(1/2)x
Luego: v = (x#*"|x»^x) * |(2,-3>1)
Si ||v||a/55 l^|/l+9+1 * /55 , de donde: |xf*l ++■ x*l 6 x--4
Como el ángulo y es obtuso + Cosy<0, o sea; z<0
Entonces, en (1), para que z<0, debemos elegir x=-¿
*\ v = (-*,6,-2)
EJEMPLO 9. Dos vectores a*(2,-3, 6) y $=(-1,2,-2) están aplica
dos a un mismo punto* Hallar las coordenadas del vec
' tor c, que tiene la misma dirección de la bisectriz del ángulo
formado por los vectores a y í>, si ||c||=3^í2.
Solución, Sean; u = 7 ~ \ ̂ y v =
dos vectores unitarios en las
direcciones de a y o respectivamente. En
tonces el vector c tiene la misma orien
tación del vector u+v, es decir:
c = r (u+v) = ^(-1, 5. 4) = t(-1, 5, 4), t>0
♦ 11c11 = t/1+25+16 «-*• 3ST£ = t/J2 * t=3
c=(-3,15,12)
174 V e c t o n e *
EJEMPLO 10 Dado el paralelepípedo de
dimensiones: 0A=4, 0B=5 y
0C=3. Hallar el coseno del ángulo foj
^ ^ _ mado por el vector v=5a+fc-c y el vec
tor w-(-1,2, 0), si j|a||=/2, ||b||s5>
el 1=10.
I f C <>)Solución, Haciendo coincidir las aris
tas OA, 0B y 0C con los ejes X, Y, Z, respectivamente,
de un sistema cartesiano tridimensional, se tiene:
AU.0,0) , B(0,5» 0) , C (0,0,3) , D(4,5,0) , E(0,5,3)
Entonces: CA = (4, 0, 0)-(0, 0, 3) = (4.0,-3)
CD = (4,5,0)-(0,0,3) = (4,5,-3)
DE = (0,5» 3)-(A.5» 0) = (-4,0.3)
Un vector unitario en la dirección y sentido de CD es:
u = CD
l l CD I i
a = S||S = (/2)* u -h s.3) = 1(4, 5,-3)
/50 5
Análogamente: b = Nt¡i( DE
I I DE | |
CA
IJ CAII
\ = (io) (é?P»-3) = (8,0,-6)
' 5
Luego: w = 5a+$-c = (4,5,-3)+(-4,0,3)-(8,0,-6) = (-8,5,6)
\ Cos8 = v. w = (-8,5,6).(-1,2,0) _ 18
~ 25I |v| | | |w| | (/64+25+36) (/1+4)
EJEMPLO 31. Los vectores a y % forman un ángulo i|'=30°, sabiendo
que ||a||=/3 y ||b||=1, hallar el ángulo a formado
por los vectores v=a+t> y w=a-í.
&,% + /3 _ a.S _
2 ( /3 ) ( 1 )
Solución, Cos^ =
Si v=at b +
Hall ||t||
2 _
= 3/2
v
v|! = vi
£||2+2t.t+||tN2 = 3 + 2(1) + 1 = 7
Análogamente» si w=a-b, obtenemos:
v.w = (á+t>).{ a-S) = I I a| | 2-i |í I I 2 = 3-1 = 2
v. w _2 +
l i v l l | |w| ! /7
Luegr.: Ceca = a = arcCos(2//7)
Ve,c¿OAe.¿ 175
EJERCICIOS
1. Hallar todos los vectores que son perpendiculares a cada uno
de los vectores a=(1,3*-2) y S=(2,-4»1). Rp. v=(1,1,2)n
2. Hallar los vectores unitarios que son perpendiculares al pía
no determinado por los puntos A(3,-6,4), B(2,1,1) y
C(5»0, -2). Rp. u=±( 1//7Ü") (6, 3» 5)
3. Si a=(3,-1,2) y S=(1,1P-4)i hallar dos vectores c y 3eR3 que
satisface las condiciones siguientes: a=c+3, $.5=0, c||$ .
Rp. c = 3(-1,-1,4), 3 = 3 (5,-1,1)
4. El vector a es perpendicular a los vectores b=(3*2,-l) y c=
(-1,2,2), y forma con el eje 01 un ángulo obtuso. Hallar el
vector a sabiendo que ||a||=10/5* Rp, a=(12,- 10,15)
5. Dados los puntos"A(3t-2,5)» B(2,1,7), C(1,8,-3) y D(4p6,-2),
hallar el ángulo formado por los vectores AB y CD, Rp. 120°
6. Hállese el coseno del ángulo 4» entre, las diagonales AC y BD
de un paralelogramo si están dados tres vértices de él:
A(2,1,3)» B(5,2,-1) y C(-3.3.-3). Rp. 15/7/55
7. Hállese las coordenadas del vector x, que es colineal con el
vector a=(2,1,-1) y satisface la condición a.x=3
Rp, x=(1,1/2,- 1/2)
8. El vector x es perpendicular a los vectores a=(2,3*-1) y $=
(1*-2,3) ysatisface la condición x.(2Í-*tÍ)=-6. Hállese las
coordenadas de x. Rp. x=(-3»3»3)
9. Hallar el ángulo que forman el vector a que va de P(4»-9,3)
a Q(3,-5*2) con el vector í que va de R(2,4,-7) a S(4,-1,-2)
Rp. 150°
10. Para que valores de m los vectores a=(m,-2,1) y Íj=2mí+m3'-4$
son perpendiculares? Rp. m=-1 ó m=2
176 Vectc4.e¿
11. Hallar un vector unitario paralelo al p]anc XY > perpendicu
lar al vector a=(A,-3»1). Rp. u=í 4)(3,¿i0)
12 . Loa vértices de un
C(-1.5.-3). Hallar
del ángulo BAC, si
triángulo son A(-2,3i-1)» B(1,1,5) y
el vector en la dirección de la bisectriz
la norma del vector es 2/3T.
Rp. v={8.4-»2)
El vectcr x es perpendicular
b=(18,-22,-5) y forma co-n el
sus componentes sabiendo que
a los vectores a=(3,2,2 ) y
eje OY un ángulo obtuso. Hallar
||xl!*H. Rp. x=(-£,-6,-12)
U. Dado el paralelepípedo de dimensio
nes: QA=31 0B=4 y 0C=5. Hallar el
ángulo que forman los vectores:
v ’ a-2$+2c+3+e y v=2*+£.
Rp. 6=135°
15.
16.
Dados los vectores a=(3»5p2) y í>=(-4,0,3)f tales que a=c+3,
siendo c paralelo a t> y ortogonal a 3, hallar c y 3.+
Rp. c = 5 5 (24.0.-18). 3 = 5 5 (5 1.5,68)
Sean dados los vértices de un triángulo A(1,0,2), B(1,2,2) y
C{5#4*6), El punto D divide al segmento ÍC en la razón r=l/3.
CE es la mediana trazada desde el vértice C. Hállense las co
ordenadas del punto M» donde se cortan las rectas &D y CE.
Rp. M(11/7,10/7,18/7)
17. Se dan los vértices de un triángulo: A(
y C{3»-2,1). Calcular el ángulo interno
1,-2,4), B(-¿,-2,0)
del vértice B.
Rp. A5'
18. Se dan los vértices de un triángulo: A(3,2,-3), B(5,1,-1) y
C(1,-2,1). Determinar el ángulo externo del vértice A.
Rp. a=arcCos(-4/9)
Vecto/ie.¿ 177
1.43 PROYECCION ORTOGONAL Y COMPONENTES
La definición de proyección ortogonal de un vector sobre
tro vector, es análoga a aquella que se hace para dos vectores
en R2. Esto es, si a y ÍeR3, entonces:
Pro .t
115
5 (57)
Figura 42
En particular consideremos las Figuras 42 y 43, en las que apa
recen las representaciones geométricas de los vectores no nulos
a y o y la Proy^a. Podemos observar lo siguiente:
(1) El vector £ y Proytga son paralelos (colineales).
(2) Cuando el ángulo 9 es agudo, í y Proy^a tienen el mismo sen
tido.
(3) Cuando el ángulo 9 es obtuso, í y Proy^a tienen sentidos o-
puestos.
(4) Si í y Proy^a son ortogonales, entonces Proy-ga = 0, o sea:
axí.
PROPIEDADES.
1. Proy+(a+S) = Proy+ac c
2. Proyg(ra) = rProyga
Pr°yr6* = Pr° y ^
+ Proy+S
DEFINICION 13. La componente de un vector a sobre otro vector £,
denotado por Compra, se expresa mediante su módu
lo > '«I ángulo 8 que forma con el vector £, por la fórmula:
Compra = 1 |a||Cos0
Si aplicamos la ecuación (56) a esta fórmula obtenemos el número
real:
* £Compra = ■ (58)
h ’lSl!
178 Vccto/ie.4
Ahora bien* si escribimos la ecuación (57) de la forma:
? r o y í a = ( F i t i T ) í W j
entonces la proyección ortogonal y la componente están relaciona
das por:
Proy^a = (Compía)^-f— (59)5 b ||5||
En donde podemos observar lo siguiente:
(1) Si Compra > 0, entonces los vectores £ y Proy^a tienen el
---aasmo* sentido.
(2) Si Compra < 0, entonces £ y Proy^a tienen sentidos opuestos.
(3) Si Compra = 0, entonces: £aProy£a, o bien, aJ-£.
(A) Si en la-ecuación (59) tomamos módulos a ambos extremos obte
mos:
||Proy^a|I = (Compra) ++ Compra = *||Proy^a||
Por esta razón a la componente se le define también como la
magnitud dirigida de la proyección.
EJEMPLO 1. Se dan los vectores a=(-2,1,1), £=(1,5,0) y
-2Í. Calcular Comp-t(3a-2£).c
Sciuciin. jt-2% = (-6,3,3)-(2,10,0) = (-8,-7,3)
Luego, aplicando (58) se tiene:
CoBp+(3a-2fc) = (-8>-7»3).U.¿,-2) = -32-28-6 =
c / T 6 + 1 6 + Z 6
E3EMPL0 2. Sean los vectores a=(5,¿, 1), í=(-2,6,3). Hallar el
ortogonal al vector v=(2,1»0) que satisface las con
diciones: a.c=1 y Compre = -2/7.
Ve.ctone.¿ 179
-2
d)
( 2 )
(3)
¿■oéuc/én» Sea c=(x,y,z)
Si ci.v (x, y, z). (2, 1, O )=0 ++ 2x+y=O
a.c = 1 -*• (5, k* 1). (x,y, z) = 1 «-► 5x+4y+z=1
Compre = -2/7 + (-2,6.3). (x,_y, a) _ _ 2 -2x+6y+3z=
b ' /4+3Ó+9 7
Resolviendo (1), (2) y (3) obtenemos: x=1, y=-2, z= 4
c=(1,-2,4)
EJEMPLO 3. Se dan los vértices de un triángulo; A(-1,-2,4),
B(-4»-1»2) y C(-5»6»-4); BD es la altura del triángu
lo trazado por el vértice B. Hállese las coordenadas del punto D
Solución* En el AADB: DB = AB-AD
+ DB = AB - ProyjgAB (1)
AB = (-4.-1.2M-1,-2,4) = (-3,1,-2)
AC = (-5,6,-4)-(-1.-2,4) = 4(-1,2,-2)
ProypjB = Slb V 2> (-1 .2 .-2)
Au ' (/1+4+A)2
= (-1,2,^2)
Luego, en (1): B-D = (-3,1.-2)-(-1f2,-2) = (-2,-1,0)
D = (-4,-1,2)-(-2,-1,0) * (-2,0,2)
EJEMPLO A. Los vértices de un triángulo son A(2,-1,-3), B(1,2,
-4) y C(3;-1»-2). Hallar el vector v que es colineal
a la altura bajada del vértice A al lado opuesto si se sabe, ad£
más, que l|v|¡=2/l~7.
Solución, En el ABHA: AH = BH-BA
** AH = Proyg^BA - BA
BÁ = ( 2 , - 1 , - 3 ) - ( 1 , 2 , - 4) = ( 1 , - 3 . 1 )
BC = ( 3 , - 1 , - 2 ) - ( 1 , 2 , -4) = ( 2 , - 3 , 2 )
_57 _ (1.- 3 , 1 ) . ( 2 . - 3 , 2 )
( 1 )
Proy^BA =
(✓4+9+ 4)2
= ^(2,-3,2)
(2,-3,2)
Luego, en (1): AH = -^(2,-3,2)-(1,-3,1) = ^(3,4,3)
Un vector unitario en la dirección de A.H es: í = <3»*’3)
✓51
Dado que v es colineal con AH -*■ v = | |v | !u
= (2/17) (3fcfe.3¿ = /Z(3f4.3)
/5I
*180 VcctOAe.4
v
E J E R C I C I O S
1. Dados los puntos A(2,3,1), B(5t-9,4) y C(6,-7,2). Sí P divi
de al segmento AB en la razón AF:PB=1:2, hallar la norma de
la proyección AP sobre el vectcr BC, Rp. 3
2. Si a=(4,-2,1) y £=(2,-1,4), hallar la componente del vector
v=3a-2£ sobre el vector w=2a+3£. Rp* 10/3
3. Si a=(2,3,1) y £=(2,1,-3). calcular la proyección del vector
v=3a-2£ sobre el vector i£=£-3a. Rp. (16/5) (1 * 2 , 0)
4. Hallar la componente del vector v = ( 4 * - 3 f 2 ) sobre el eje que
xorua con xoá ejes coordenados ángulos agudos iguales.
Rp. /3
5. Hallar la componente del vector v=(*/5’,-3t-5) sobre el eje q*
forma con los ejes coordenados OX y 02 los ángulos a=45°» y=
60° y con el eje 0T un ángulo agudo B. Rp. -3
6. Se dan los puntos A(3,-4i-2), B(2,5#-2). Hallar la componen
te del vector AB sobre el eje que forma con los ejes coorde
nados CX y 01 los ángulos a=60°, 3=120° y con el eje 0Z un
ángulo obtuso y. Rp. - 5
7. Los vórtices de un triángulo son los puntos A(2,3,-1), B(5,
1»1) y C(6,4»-2). Hallar un vector v que es colineal a la al
tura bajada del vértice B al lado opuesto si se sabe, además
que |Iv||=6. Rp. v={-2,¿,-4)
8. Se dan los vértices dé un triángulo: A(-1,3,4), B(-5,6,-4) y
C(1,2,6); fD es la altura del triángulo trazada por el vérti
ce B. Hallar las coordenadas del punto D. Rp, D(-7,6,-2)
Vectc/ie¿ 181
1.A3 COMBINACION LINEAL DE VECTORES EN R \
Sean los vectores no paralelos y no nulos, a, b y c dados
en un sistema tridimensional.
Si gráficamente un vector v del espa
ció podemos expresarlo como una suma
de componentes vectoriales ra, sS y
te, que son múltiplos escalares de a,
Í y c, entonces se dice que el vector
v se ha expresado como una combina*
cien lineal de los vectores a, í y c,
(Figura 44.). Es decir:
+ + vv = ra + sb + te
Ahora bien, todo vector veR3 se pude expresar como una suma de
múltiplos escalares de versores básicos: í=(1,0,0), j=(0,1,0) y
k=(0,0,1) .
En efecto:
v = (x,y,z) = (x,0,0) + (0,y,0) + (0,0,z)
= x(1,0,0) + y(0,1,0) + z(0,0,1)
= xt + yj + z£
Figura LL
X.kk DCPEN0ENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL DE VECTORES EN R 3
Un sistema de vectores {a,t>,c} se llana linealmente depen
diente, cuando, y sólo cuando, los vectores a, t y c son copíana
es decir, son paralelos o coincidentes a cierto plano. (Fi
gura 45)
Se dice que tres vectores a, í y ceR3, son linealmente indepen
diente*, si y sólo si, a, 5 y c no son linealmente dependientes,
es.o es, cuando dichos vectores no son coplanares (Figura 4.6).
182 Vcct o/ie4
Criterio de independencia lineal. Tres vectores a, b y ceH *
son linealmente independien
tes si se verifican las condiciones siguientes:
ra + sb + te = 0 -► r=0 , s = 0 , t=0
1.45 BASE Y COORDENADAS DE UN VECTOR EN R 3
Un ternaordenada de vectores no coplanares a, { y e lleva
el nombre de (La4>e. en el conjunto de todos los vectores geometri-
/ 4eos. Sabemos que todo vector geométrico v puede ser representado
unívocamente en la forma:
*
v = ra + sí + te (1)
los números r, s y t se denominan coo/ide.n.ada.4 del vector v en la
base £=(a,í,c). Motivo por el cual a la notación (1) se le deno
mina también, descomposición del vector v según la base 8.
E3EMPL0 1. ‘Sea dado la terna de vectores no coplanares ai=(1,-2
0), a2=(1,2,-2) y a3=(3»7,-5)* Calcúlese las coorde-
nadas del vector a=2i-3j+k en la base i?=(ai,a2»a3) y escribir-la
descomposición correspondiente según la base.
Solución* Si ai, a2 y a3 son vectores no coplanares, entonces,
existe r, s y t tal que:
a = raí + sa2 + ta3
+ (2,-3,1) = r(1,-2,0) + s(1,2,-2) + t(3.7,-5)
2 = r + s +3t
++ í -3 = -2r + 2s + 7t
1 = -2s - 5t
Resolviendo el sistema obtenemos: r=2, s=-3 y t=1
Luego, el vector a en la nueva base se escribe como (2,-3,1) o
equivalentemente: a = 2ai-3a2+a3
EJEMPLO 2. En el tetraedro OABC la mediana AM de la arista ABC
se divide por el punto P en la razón AP:PM=3:7. Ha
llar las coordenadas del vector 0P en la base de las aristas 0Af
0B y OC.
VectuncA 1 8 2
Solución* Si ^bl PM 7
AP
AM
_3
1C
En el AOAP, se tiene:
CP = OA + AP OP = OA + rĵ AM (1)
Perct'AM = CM-OA » y come M es punto
medio de BC» entonces:
AM = |(OB + OC) - OÁ
Al sustituir en (1) obtenemos:
OP = OA + T$( I0B
1+ ■jOC - OA) = "̂ jfOA + 2^ ® * 2¡(í̂
Por tanto, las coordenadas de OP en la base £=(0A,0B,0C) son:
(7/10,3/20,3/20)
EJEMPLO 3. Sean dados los vértices de un triángulo A(1,-1,
B(2,1,-3) y C(-5,2,-6). Calcular la longitud de
bisectriz de su ángulo interior en el vértice A»
Solución, Sean u y v los versores de AB
y AC respectivamente.
Como AE||(u+v), entonces: 3t>0, tal que:
3 ) ,
la
AE = t(u+v) = t AB
_ \
AC
| AB AC
( 1 )
for otro lado: AE = AC + CE = AC + rCB
= AC + r(ÁB - AC)
= rÁB + (1-r)ÁC , r>0 (2)
Las ecuaciones (1) y (2) representan en sí dos descomposiciones
del vector AE según la base formada por los vectores AB y AC.
Siendo única la descomposición de un vector según la base, tene
mos :
r =
I ABj
1-r =
Resolviendo el sistema obtenemos:
AC | |
| ABf |. | | ACJ |
AB| | + | I AC|-|
Luego, en (1): AE =-( MAC
MlABll + l AC >
AB + I llABll
V ||AB||+||ÁC II)AC (3)
De los datos del problema hallamos: A3=(1,2,1) -*■ ||A8||=/6
184 VcCÍ.O^C-A
y sustituyendo en (3) obtenemos:
AE = 2(1,2,1) + 4(-6,3.-3) =
4
| |ᣠ11 = |/To
^(-1.3,0)
E3EHPL0 Sean dados los puntos A(2,5»2) y B(14,5»4)í C es el
punto de intersección del plano coordenado OXY con u
na recta trasada por el punto B paralelamente a la recta OA* Ha-
llar las coordenadas del punto C.
Solución. Sea el punto C(x,y,0)
En el AOCB ae tiene:
C B = Ó C + C B = x í + y J + rOÁ
+ (U.5,4) = x(1,0,0)+y(0,1,0)+r(2,5,2)
U = x + 2r
5 = y + 5r
4 * 2r * r=2
de donde: x=10 , y=-5 C(10,-5»0)
É.IFMPLO 5- Se dan los vectores a=(-2,0,1), S=(1,-2,0) y C=(1,1,
1). Hallar la proyección ortogonal del vector a en
el plano de los- vectores % y c.
Solución, Trasladamos los vectores a, b
y c a un origen común, tal co
mo se indica en la figura adjunta.
Sea: v = e (Proyección de a en el pía
no de b y c)
v = rí + te (1)
Como v está en el plano de b y c, enton-
ees: n=a-v sera ortogonal a b y c, esto
es: (a-v).í=0 y (a-v).c=0
a-v = (1,-2,0)-r(l,-2,0)-t(1,1,1) = (1-r-t,-2+2r-t,-t)
* (1-r-t,-2+2r-t,-t) • (1,-2,0)= 0 t-5r-2=0 (2)
-*■ (1-r-t,-2+2r-t,-t) .(1,1,1) = 0 «-► r-3t-1=0 (})
Resolviendo el sistema (2) y (3) obtenemos: r=t=-1/2
tuege, en (1): v = (-1,1/2,-1/2)
V&cta/ie.^ 185
E3CMPL0 6 . Los vectores a, í y c tienen longitudes iguales y
forman dos a dos ángulos iguales. Hallar'las coorde
nadas del vector c, si a=í+J» 1>=J+Í.
Solución, Sea el vector: c=(xPy,z)
Entonces: c.a = (x, y,z).(1,1,0) = x+y
c.S s (x,y,z).(0,1,1) = y+z
a.t = (1,1,0).(0,1,1) = 1
Como a, í y c forman dos a dos ángulos iguales, entonces:
t + + ♦ t . x+y = y+z *► z = x
a.b = c.a « e.b +■ ^
x+y = 1 + y o 1-x
Además: ||c||2= x2+y2+z2 = ||a||2= 2
* 2 = x2+(1-x)2+x2 ++ 3x2-2x-1=0 «-*• xj=1 ó x2=-1/3
y is0 ¿ yzssi/3
»\ c3(1,0,1) ó c=(-1/3.á/3,-1/3)
E J E R C I C I O S
1. Demuéstrese que para cualesquiera vectores dados a. í y c,
los vectores a+í¡, t>+c y c-a son coplanares.
2. Sean dados tres vectores no coplanares a, $ y c. Demuéstrese
que los vectores a+2S-c, 3a-$+c, -a+5^-3c son coplanares.
3. Sean dados tres vectores no coplanares a, í y c. Hallar los
valores de A, para los cuales los vectores Aa+b+cf afAb+c ,
a+b+Ac, son coplanares» Rp. 0.1,2
U, Se dan tres vectores: a=(3»-2,l), í=(-1,1,-2) y c=(2,1,-3)-
Hallar la descomposición del vector 2=(11,-6,5) en la base
¿?=(a.Spc), Rp. 2=2a-3^+c
5, Se dan cuatro vectores a=(2,1,0), £=(1,-1,2). c=(2,2,-1) y
5-(3»7»-7). Hallar la descomposición de cada uno de estos
vectorrs tomando por base los otros tres. Rp. c[=2a-3£*c
* t _ 2? A 1t 1*5 t _ 3t 1t . n
186
6. Fuera del plano del paralelogramo ABCD se ha elegido un pun
to 0, En la base de los vectores 0A, 0B y 0C hállese las co
ordenadas:
a) del vector 0M, donde M es el punto de intersección de las
diagonales del paralelogramo. Rp. (1/2,0,1/2)
b) del vector 0K, donde K es el punto medio del lado AD.
Rp- (1,-1/2,1/2)
7. En el trapecio ABCD se conoce la razón entre las longitudes
de las bases: ^ = A. Hallar las coordenadas del vector CB
en la base formada por los vectores AB y AD. Rp. (1 - p-1)
8. Sean dados los puntos A(1,2,3), B(2,-2,1), C (“3% 0,3) y D(16,
10,18). E es un punto de intersección del plano OAB (0 es el
origen de coordenadas) con una recta trazada por el punto D
paralelamente a la recta 0C. Hallar las coordenadas del pun
to E. (Sug. Desarróllese el vector 0D según una base formada
de los vectores 0A, 0B y 0C). Rp. E(-19,10,-17)
9- Sean dados los vectores ai=(-1,2,0), a2=(3,1»1), a3=(2,0,l)
y a=ai-2a2+(1/3)as. Calcular:
a) llt.ll y las coordenadas del vector -â q del vector a*.
Rp. /5, (-1//5.2//5.0)
b) Cos(ai,J) Rp. 2//5
c) La coordenada x del vector a. Rp. -19/3
10, Sea dada la terna de vectores no coplanares: ai=(1,0,0), a2=
(1,1,0) y as=(1,1,l). Calcular las coordenadas del vector a=
-2Í-S en la base B=(ai,a2»as) y escribir la descomposición
correspondiente según la base. Rp. a=-2ai+a2-a3
11. Se dan los vectores a=(1,-3»0), í>=(1 , -1 ,2 ) y c=(0,1,-2). Ha
llar la proyección ortogonal del vector a en el plano de los
vectores t y c. Rp. (-2,-3/5,6/5)
rtCi* CJLC*
1.46 FL PRODUCTO VECTORIAL
Sean a y í vectores en
2»bj), entonces el producto
s? define como:
VV
F 3, tal que,
vectorial de
a=(ai,aj,a$) y í>=(bx,
axí es el vector que
axt = ( a j b a a b i - a i b j , a (60)
Per ejemplo, si a=(2,-1,3)
y í = ( 3 . 1 . - 1 )
ax=2 , a2=-1 , *a3=3
bis3 • b2=1 , ba=-1
Luego, por la ecuación (60) se tiene:
ax& [l-l)(-1)-(3)(1).(3)(3)-(2}(-1),(2)(1)-(-1)(3)]
(1-3.9+2,2+3)
(-3,11,5)
Observaciones.
A
(1) A diferencia del producto escalar, el producto vectorial de
dos vectores es un vector.
(2) Como resulta complicado memorizar la fórmula (60), recomenda
ios el uso de determinantes de 2do orden y matrice de 2*3;
temas que serán estudiadas en capítulos posteriores. Pero dji
da la utilidad de su empleo para el calculo del producto veg
torial, es conveniente introducir las siguientes ideas:
) a2 a3
)x^ I = a2bs - a3b2
b2 bs
ai as
= - (aib3-a3bi) = asbi - axb
ai a2 i
K | = axb2 - a2bib2 l
b) Formar la matriz de 2x3
a2
b2
donde los elementos de la primera fila son las componen
tes del vector a y los elementos de la segunda fila son
las componentes del vector í.
188 Ve.ctc/ie¿
Entonces, el producto axí queda definido por
axb
a 2 a a a i 3 3 ai a 2
b2 b 3
t
bi b 3
f
b i b 2
( é l )
En la que cada componente es el valor de un determinante de 2do
orden, que- resulta de eliminar en la matriz M la primera, según
da y tercera columnas respectivamente.
Por ejemplo, para los vectores: a=(2,-1,3) y í=(3»1#-1)
Formamos la matriz ■ « ■ [ ? - 0
Luego»según (61) se tiene:
a*í> =
-1 \
1 -11 13 -1
[1-3,-(-2-9).2+3]
(-2,11,5)
-1
1
PROPOSICION 1.6 Si a y b son dos vectores en R a, entonces:
i) £.(axfc) = 0 (axí es ortogonal a a)
ii) b.(£xí) = O (a*í es ortogonal a S)
iii) l|axí||2 = I |s| I 2 I |í>l I 2 - (a.í)2 (Igualdad de Lagrange)
De.tz0¿i*aci6n., i) En efecto, si a=(ai,a2,a3) y t=(bi,fc2,b3)
a.(axí) = ai
a2 a3
- a2
ai a3
+ a3
ai a2
b2 b3 bi b3 bi b2.
a x a2 a 3
ai a2 a3
bi b2 bs
Como el determinante tiene dos filas iguales se sigue que:
a. (a*í>) = 0 a i (a^í)
Análogamente se demuestra que: b.(axí)=0 + b-L(axt-)
iii) &n efecto, elevando al cuadrado la norma del vector defini
do en (60) se tiene:
||axí||2 = (a2b3-a3fc2)2 + (a3bi-aib3)2 + (aib2-a2bi)2 (1)
y del producto interno: a.Í = ajbi+aaba+ajbs , se tiene:
I Is||21jí |¡2-(a.Í)2 = (a*+a|+a2)(bj+bf+bf)-(aibi+a2b2+a3b9)2 (2)
Efectuando las operaciones que aparecen en los segundos miembros
de (1) y (2) comprobaremos que son idénticas, por tanto:
llalli2 = I I a | | 2 | | í ¡ | 2 - (S.S)*
Vcc.toA.e4> 189
EJEMPLO 1. Sean a=(3»1»-2) y í=(4,-1,3); calcular axí y verifi
car que es perpendicular tanto a a como a í.
f~3 1
Solución, Formemos la matriz: M = -2
* « - ( U 1 I - I J I I .12
= [3-2,-(9+8),-3-4]
= (1,-17,-7)
Luego: t.(axí) = (3,1,-2).(1,-17,-7) = 3-17+U = 0
í.(axí) = ( 4 , - 1 , 3 ) . ( 1 , - 1 7 , - 7 ) = 4 + 1 7 - 2 1 = 0
Por tanto, se concluye que a*í es perpendicular a a y a í.
1.47 PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
Si a, í y c son tres vectores en R 3, y reR es un escalar,
entonces:
Pi: ax(í+c) = (axí)+( axc) Distributividad por la izquierda „
p2: (a+í)xc = (axc)+(íxc) Distributividad por la derecha
P 3: r(axí) = ( ra)xí = ax(rí) Asociatividad escalar
Pi*: axí = -(íxa) No coriroutatividad
4
P 5: axe = exa = 6
\ P 6: axa = 0
P 7• ax(íxc) i (axí)xí No asociatividad vectorial
P %: ax(íxc) = (a.c)í - (a.í)c
La demostración de cada una de estas propiedades se deja’para el
lector.
Ve.ctCA.€A
Observaciones.
(1) Una terna ordenada de vectores no coplanares a, í y c se lia
na d e . x e . c h a , si para un observador ubicado dentro del ángulo
sólido formado por dichos vectores» el giro más corto de a a
b y de o a c parece realizarse en el sentido antihorario.(Fi
gura ¿7). En el caso contrario la terna (a,?,c) se denomina
i z a u i e x d a .
(2) La orientación del vector ax$ en relación a las direcciones
de los vectores a y t es la misma & la que corresponde el e-
je Z respecte a los semiejes positivos X e I de un» sistema
cartesiano tridimensional. (Se debe destacar que a y í no
son necesariamente perpendiculares). Por lo que» si en un
sistema derecho se doblan los dedos de la mano derecha de la
dirección de a hacia la dirección de í entonces el pulgar a-
puntará en la dirección de axí¡ (Figura 4-8). .
(3)
Figura ¿L
Sabemos que todo vector veR* se -puede expresar como una suma
de múltiplos escalares de vectores unitarios ortogonales, es
ic es:
v * (x,y,z) * xí + yj + zí
Entonces para dos vectores a«(ai,&a»&») y t=(bifb*,b*)r el
vector a*1> definido en la ecuación (61) se puede escribir de
la forma: *
*2
b2
* t - ® i
b*
Mi ♦
a . “a
b*
t t 6 Z )
Í 'ec í cne.4 191
1
(4) Aplicando la regla de la nano derecha
para les vectores unitarios I, 1 y
se puede ver claramente que: 1____ _
IxJ - í
• U = í í
u t = 1
De otro lado: (íx!)xl * íx! x -(!x£) = -£
y según las propiedades P 5 y P* del producto vectorial:
tx(íxj) - = 9
, Por tanto: (íx!)x! ¿ lx(!x!)
EJEMPLO 2. Simplificar la expresión:
x = tx(!+3c) - Jx(t+{) + íx(t+j+£)
Solución• Según la propiedad Pi se tiene:
x = (íxJ) + (txS)-(JxÍ5-(jx$) + (íxí) + (^xJ) + (tcxí)
+ x = ( í ) + ( - ! ) - ( - £> - ( ! ) + ( ! ) + ( - ! > + ( e)
de donde: x = 2 ($-t)
EJEMPLO 3. Demostrar que:
(axS)xc * ax(Sxc) ■*-*■ íx(cxa) * 6
Demostración. (*) Demostraremos que:
Si (axí)xc = ax(íxc) ■* íx(cxa) = 0
En efecto, haciendo uso de la propiedad 8, se tiene:
(axí)xc = (a,c)í - (íi.c)a
ax(íxc) = (a*c)S - (a.í)c
Al igualar los segundos miembros obtenemos:
(a*t)c - (t*c)a * 8 (í.a)c - (t.c)a * 0
-► tx(cxa) = 0
(+) Demostraremos ahora que: íx(cxa) = 0 + (axt>)xc = ax(íxc)
En efecto,
íx(cxa) = 0 ■* (a.t)c - {t>.c)a - 0
-(S.c)a ■ -(a.S)c
- (t.t)t - (t.S)S = - (a.t)c
-► (axt)xc * ax(txc)
/. (axt)xc =■ flx(txc) *-*■ tx(cxa) = 6
192 ¡/¿e/oxeó
1.49 INTERPRETACION GEOMETRICA DEL PRODUCTO VECTORIAL
La identidad de Lagrange establece que:
|Í||||S||C08«
I l » x 5 | | * = | | « | | * | | b | | * - ( a . b ) *
Si a es el ángulo entre í y t, entonces:
Í.S =
Por tanto:
llalli 2 = l|a||2 ||$!|2-||a||2||$| |*Co8 *a
= I l a I | 2 l | S | | 2 ( 1-Cos2a)
= I|al|2 |(S||*Sen*a
/. llaxíli = l ja | | | |b| |Sena
Pero: h=I|bj|SenoF es la altura del paralelogramo determinado
por los vectores a y S (Figura ¿9).
Luego, si S es el área del paralelogramo, entonces:
S = (base) (altura) * °(| |a| |) ( | |S| |Sena)
( 6 3 )
(64)
Es decir, la magnitud del vector a*í es equivalente al área del
paralelogramo determinado por a y í.
EOEMPLO 4. Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los
puntos P(2,0.-3), Q(1.4.S) y R(7,2,9).
Solución. Sean: a=PR= (7» 2,9) - (2, O,-3)“ (5,2,12)
Í=PQ=(1, ¿ » 5 ) - ( 2 , 0 , - 3 ) = ( - 1 » 4 í 8 )
Haciendo uso de la ecuación (62) se tiene:
2 12
U 8 t -
12
8 | !
5 2
-1 i t
= (16-4.8)1 - (40 + 12)1 + (20+2)$
= 2(-l6,26,11)
+ 11axil I = 2/256+676+121 = 18/T3
Pero: área del triángulo = ■jíárea del paralelogramo)
a(APQR) = 9/T5 u 2
I 'e.cto/ie. 0 193
EJEMPLO 5. Hallar el área del paralelogramo que tiene como
gonales los vectores u=(5,-7,4) y v=(-3,3,0).
Solución, En el AFTQ: a = £ + v (i)
En el APQH: u = a + QR = a + £ _ (2)
Del sistema (1) y (2) obtenemos:
a = ¿(u+v) y £ = ¿(u-v)
Entonces: a=(1,-2,2) y £=(4-,-5.2)
ax£
di a
- 2 2 A 1 2 t 4. 1 - 2-5 2 l - 4 2 J + 4 -5
(-4+10)í - (2-8)J + (-5+8)5
3(2,2,1)
•*. S = ||ax£|| = 3/4U+Í = 9u2
EJEMPLO 6. Los vectores a y £ forman un ángulo cuyo coseno es
2//5» si | |a||=2/5 y ||£|| = 4, hallar la magnitud del
vector (2a-S)x(£+2Í>).
Solución. (2a-í)x(a+2Í) = 2ax(a+2Í) - íx(a+2t>)
= 2a*a + - íxa -2ÍxS
= 2e + ¿axíi + axí> - 26
= 5axí
||(2a-t)x(a+2$)|| = 5||axb|| = 5|i a!!¡|t||Sena
= 5(2/5) UM1//5)
= ¿o
(Pl)
(Pl)
(p «, y P.)
E3EMPL0 7. El
1)
de c es 10/5,
vector c es perpendicular a los vectores a=(2,-3,
y b=(3,1,-2). Hallar sus componentes si la norma
Solución.. Un vector perpendicular al plano formado por a y £ es
n = a*b = 3 1 1 - 1 i -
2 1
3 -1 i +
2 -3
3 1 k
= (3-1)í - (-2-3)1 + (2+9)í = (2,5,11)
Luego, si c = rn *
• 9 c =
!le|I = |r|.|jn
10/5 = |r ¡/4-+25+121
±2(2,5,11)
|r¡ =
EJEMPLO 8. El vector a es perpendicular al eje Y y al vector í
(-3,8, 4), y forma un ángulo obtuso con el eje Z. Ha
llar las componentes de a sabiendo que su norma es 15 unidades.
Solución, Si j=(0,1,0) es el vector unitario en la dirección .
del eje Y, entonces un vector perpendicular a j y al
vector í es:
194 Vc c í o a c ó
+ 1 0 * U U-t, U 1 n q \n = jxb = o / í - _q / J + o « k = (4,0,3)8 4
0 0
-3 4
0 1
-3 8
Luego, si a = rn + llall = |r|.||n|| **■ 15 = | r|/l6+9
= 3 «-+ r = ±3
2Como y es obtuso, entonces: Cosy = ^ \ < 0 + z<0
. a
Por lo que elegimos: r=-3
a = -3(4,0,3) = (-12,0,-9)
EJEMPLO 9. Demostrar que dos vectores no nulos a y 5 en R 3 son
paralelos o colineales, si y sólo si, axí=0.
Dcmo¿tnaciÓn. (-*■) Probaremos que: a| |í axí = 0
En efecto:
Si a||í a = rí
axí = (rí)xí = r(íxí) (Pero según Pfi: íxí=0)
+■ axí a 0
(«*) Probaremos ahora que: axí = 0 ■+ a||í
En efecto:
Si axí = 0 -»• | |axí| | = 0
| |a| |. | |í | ¡Sena = 0
Como a / 0 y í / 0 + Sena = 0 a=0 ó a=v
Sabemos que si a| jí -»• m(^a,í) = 0 ó ti
/. axí = 0 > a| |í
EJEMPLO 9, Los vectores a, í y c satisfacen la condición:
t + í + í = 6
Demostrar que: axí = íxc = cxa , e interpretar geométricamente
el resultado.
Dcmoótnación, En efecto, multiplicando vectorialmente la condi
cion dada por a y luego por í, se tiene:-
Ve.c¿Q'ie.ó 195
■4 . - * ■ 4- 4 . 4 4 4 4 - 4 - 4 4ax(t. + b + c) * a*a1 a*b + axc * ax8
8 + ax"£ - ex a - 8 -*■ a.x*fc = c>:a (1)
(a + t> + c)*S = axí + íx|> + cxS = Qxí
■* axí + 6 - 1¡xc = 0 > axí * íxc (2)
Luego» de (1) y (2) se deduce que:
a*í> = %x% = exa * %
*
Las últimas igualdades indican que el vector le es perpendicular
a les vectores a» % y c; por tanto» éstos son coplanares.
F3EMPL0 JO, Qué podemos establecer para los vectores v.» ai:
■ 4 - 4 -4 4> 4* 4 4- -4axvi = axva * a^vj = .... = axv n
. , . 4 ^ 4 4 4 4 4
Soiuccone Sea: a*vj - * a*vs * •»» * k
donde í es un vector cons
tanto que, per 'definición de produc
to vectorial, es perpendicular a los
, -4 -4 -4 4vectores: v¡, V2» vj, v^. Esto
es, les vectores v^ son coplanares.
Per otro lado,'se debe verificar la
igualdad de los módulos, es decir: /*
||a||||vi I|Senai = ||&||||*2I|Sena? = = i|£||
de donde: ||vi||Senaj = ||v2||Sena2 = = d
Per tanto, podemos afirmar que los extremos finales de los vectq
res están sobre una recta paralela al vector a.
EDCMPLO 11. Se da el siguiente sistema de fuerzas: ?j de 30, leg
que actúa de A(5.-1»-6) a B(i,1,-4.) y úe 56leg q1
actúa de C(6,3,2) a D(8,0,-,i). Hallar:
a) La resultante R del sistema.
b) El momento resultante respecto al punto E(6,-1,-4-)*
SctuUin. AB = (i. 1, -i)- (5.-1» -6) = (-1,2,2)
CD = (8,0,-A)-(6,3»2) = (2,-3.-6)
Luego, ai fi = rÁB ♦ r = ̂ * = -22-= 10
llABM 3
* t¡ = 10(-1,2,2)
196 l 'ec¿o AC4
líal II - = 8?2 = tCD -*■
1ICDI! 7
+ = 8(2,-3.-6)
a) 5 = t i + í a = 2 ( 3 , - 2 , - U )
b) El momento resultante de un vector v
con respecte a un punto E, es otro
vector definido por: fi=1cxv, en donde
J es un vector dirigido de E a un pun
te cualquiera de la línea de acción
de v-
Luegc» desde que íj y no son concurrentes,
de dos momentos, esto es: S = EAxíi + ED*Í 2
EÁxfi = (-1,0,-2)xl0(-1,2,2) = 10(4,4,-2)
Éñxf2 = (2,1,0)x8(2,-3,-6) = 8(-6,1 2,-8)
ft = 4(-2,34,-21)
0
M será la suma
E3EMPL0 12. La figura adjunta es un cubo
Si A(3.-1,2). CU,-1,-5),
F(-3,2,1t) y H(¿»2,2); hallar las coorde
nadas de los demás vértices.
Solución. AC=U,-1,-5)-(3,-1,2) = (1,0,-7)
FH=U,2,2)-(-3,2,l) = (7,0,l)
B
Entonces: ||AC | |= ||FH|| = /1 + 49 = 5/2
Luego, cada arista del cubo mide: A = 5/2//£ = 5
La dirección de las aristas laterales está dada por el vector
= FH*AC = lo - 11 -7
7
1
0
0 k * 50(0,1,0)
Entonces, un vector unitario, normal a las bases del cuba, es
U = (0,1,0)
Por tanto:
FB
HD
EA
OC
5u
5u
5S
5n
B
D
S
G
H+5u
= F+5u = (-3.2,1)+5(0,1,0)
= ( 4 , 2 , 2 ) + ( 0 , 5, 0 )
A - 5 u = ( 3 , - 1 , 1 ) - ( 0 , 5 , 0 ) =
C - 5 Í = (4.-1,- 5 ) - ( 0 , 5 , 0 )
= (-3,7,1)
= (4,7,2)
(3,-6,2)
= (4,-6,-5)
Ve doñeó 197
E3EMPL0 13. Los vectores a, 3, c y 3 están sujetos
ciones: 3x3 = 3x3 $ axc = 3x3
Demostrar que los vectores 3-3 y 3-c son coplanares.
De.moótnac¿6n. Debemos probar que: (3-3)x(3-c) = 0
En efecto:
(3-3)x(3-c) = 3x(3-c) - 3x(3-c)
= 3x3 - axc - 3x3 + c¡xc
= (txt + 3x3) - (3x3 + 3x3)
= (3x3 - 3x3) - (3x3 - 3x3)
De las relaciones dadas: 3x3 = 3x3 ■+
axc = 3x3
Entonces: (3-3)x(3-3) = . 0 - 0 = 0
Por tanto, a-3 y 3-3 son coplanares.
a las rela-
ax3 -
axc
3x3
3x3
= 0
= 9
(Pi)
(P i)
(P*)
E1EMPL0 14. Hallar la distancia del punto P(4»6,-4) a la recta
que pasa por Q(2,2,1) y R(4,3,-1).
Solución. Sean: a=Q? = (4,6;-4)-(2,2,1) = (2,4,-5)
Í=QR = (i,3 ,-1)-(2,2,1) = (2,1,-2)
Según (63): I |í>xa| |= | |í| | | |a| |Sena
_ I I $xaPero: d=||a||Sena d =
iitn
t +fexa = 1 - 2 a 2 -2 t 4. 2 14 -5 1 - 2 -5 J + 2 4
= 3(1,2,2)
I |txa| l = 3/ 1+ m = 9, y MS| l =
d = 13 = 3
E3EMPL0 15. Sean los vectores a, b y c, tales que:
(ax3)x (axc)=a , hallar: (3x3)x(3x3).
Solución, Haciendo uso de la propiedad.8 tenemos:
[(3*3). cj3 - [(3x3).tjc = 3
Como: (3x3)j_3 -*■ [ (3x3). 3j3- [0] = 3 + (3x3).c ='1
Análogamente: (3x3)x(3x3) = [(3x3).c]3 - [(3x3).3jc
= [i]3‘- ro]3
198 Ve.ctoA.4.4
E J E R C I C I O S
1. Simplificar las expresiones:
a) (a+b+c)xc + (a+í¡+c)x?> + (í>-c)xa Rp» 2axí>
b) (2a+S)x(c-a) + (S+c)x(a+S) Rp. axc
c) 2Í.(Jxí) + 3^.(íxí) + (íxj) Rp. 3
2. Hallar el área del triángulo que tiene por vlrtices:
a) A (1,2,3) . B(2,-1,1) y C(-2,1,-1) Rp. 5 /3 u2
b) A(2,-1,1) , B(3.2,-1) y C(-1,3,2) Rp. |/35 u2
3. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales están con
tenidas en los vectores u y v dados:
a) u= (2,-1,3) , v=U,-3f-1) Rp. 5/5 u2
b) u= (3.1»2) , v-d.-2.-6) Rp. 15 u2
4. Hallar un vector v que sea perpendicular al vector a y para
lelo al plano determinado por los vectores í y c.
a) a=(-3,2,5) , Í=U,2,-1) , c=(5,-1.1) Rp. v=(17,-37,25)
b) a=(1,-2, 5) , í=(3,0,-2) , c=(0,2,1) Rp. v=(3.U,5)
*
5. Si | | a| | = | |í | | =5 y m(^atí)=ir/4.; calcular el área de un trián
guio construido sobre los vectores a-2Í y 3a+2Í. Rp. 50/2
6. En un triángulo con los vértices: A(1,-1,2), B(5»-6,2) y
C(1#3»-1)t hállese la altura h=||BD|l. Rp. 5
7. Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los
vectores 2u-v y ¿u-5v, donde u y v son vectores unitarios y
m(^ufv )=tt/4.. Rp. (3/2)/5
8. Hállense las coordenadas del vector x, si es perpendicular
a los vectores a=(4»-2,-3) y í=(0f1,3)» forma con el versor
J un ángulo obtuso y que ||x||=26. Rp. (-6,-24.» 8)
9. Hallar las coordenadas del vector x, si este es perpendicu-
Ve.cto/ie.ó 199
lar a los vectores a=(2,-3,1) y ?=(1,-2,3) y satisface, ade
ras, la condición: x. (?+2j-7Íc) = 10 Rp. (7,5,1)
10. Hallar un vector unitario paralelo al plano XI y perpendicu
lar al vector v=U,-3,1). Rp. ± (̂3,4-.. 0)
11. Si a=(2,1,-3) y ?=(l,-2,1), hallar un vector de módulo 5 p6r
pendicular a los vectores a y ? . Rp. ±
i
12. Si a=(3»m,-3) y ?= (5,-4-, 1 )# hallar el valor de m de modo que
? sea perpendicular al vector (ax?+2a). Rp. m=3
13. Obtener los valores de m y n tales que:
(1,2,m) (1,n,2) = (3,-3,-1) Rp. m=5/3, n=1/3
14-. Determinar el valor de m de modo que los puntos A(2,1,1),
B(4,2,3) y C(-2,m/2,3m/2) sean colineales. Rp. m=-2
15. Demostrar que si a es el ángulo que forman los vectores no
ortogonales a y ? , entonces: Tga = | ax?|
.?
16. Demostrar que: (a*?). (a*?) = (a.a)(?.?)-(a,?)2
17. Dados los vectores a, ?*’ c y ?, demostrar que:
(??<?). (c*3) = (a. c) (?.?)-(a.5) (?. c) (Identidad de Lagrange
18. Sea a=(2,-1,2) y c=(3ȇ,-l). Hallar un vector ? tal que:
ax?=c y a.?=1. Rp. ?=(1,-1,-1)
19. Sea a=(3,-1,2) y c=(-2,4-, 5). Hallar un vector ? tal que:
a*?=c y a.?=5. Rp. ?=(2,1,0)
20. Demostrar que el área del triángulo cuyos vértices son los
extremos de los vectores posición a, ? y c es:
S =.-511 (í-a)x(c-a) I
21. Demostrar que si a, ? y c son vectores tridimensionales que
tienen el mismo punto inicial,.entonces:
(?-a)x(?-a) = (ax?)+(?x?)+(cxa)
200 Ve.ctosLe.4
22. Dado tres puntos A, B y C, hallar el vector normal al plano
determinado por- dichos puntos. Rp* n=íxS+$x5+Sxí
23. Los vectores a y í> son perpendiculares, si ||a||=/J y ||í||=
/Tí?, hallar el valor de: (2a-3Í)x(3a+t¡) Rp. 66
24. Sean a y í vectores tales que: | |a| | = 3# I |Í>I |=26 y | |axS| | =
72. Hallar a.t. (Usar la igualdad de Lagrange). Rp. ±30
25. Sean los vectores a y % tales que: I|a||=/3/4* |‘|í| 1=2 y
m(^a,Í)=2tt/3. Hallar | | (2a+3Í)x(2a-5Í) | | - Rp* 12
26. El vector v es perpendicular a los vectores a=(1,-2,-3) y %=
(-2,2,5) y forma con el eje Y un ángulo obtuso. Si ||v||= 84
hallar las componentes del vector v. Rp. (8,-2,4)
27. Dados los vectores a=(2,»3,4)» í>=(1,1,-1) y c=(2,3»-2); ha
llar el vector v sabiendo que es perpendicular a los vecto
res a y í y que v.c=12. Rp. v=(-2,12,10)
28. El vector'v es perpendicular al eje X y al vector a=(5,-2,3)
y forma un ángulo agudo con el eje Z. Hallar las componentes
del vector v sabiendo que ||v||=/TT7. Rp. v=(0,9»6)
29. Sean dadas tres fuerzas: í 1=(2,-1,-3)» Í*=(3f2,-1) y í 3=(-4,
1,3) aplicadas al punto A(-1,4,2). Determinar la magnitud y
los cosenos directores del momento de la resultante dentales
fuerzas respecto del punto B(2,3»-1).
Rp. /66, 1//66, -4//66>, -7//6T6
30. Hallar la distancia del punto P a la recta que pasa por los
puntos A y B dados.
a) PU.6,-4) , A(2,1,2), B(3,-1,A) Rp. d=3
b) P(3,-1,5) . A(3,-2,A) , B(0,A,6) Rp. d=/JI/7
31. Demostrar las identidades:
a) ax(t)xc) + íix(cxa) + cx(axí) = a
b) (axí)x(cxS) + (axc)x (cíxí>) + (ax5)x(íxc) = q
♦ •
c) (axb)2x(axc)2 - [(axb)x(axc)J2 = a2(a.b.c)2
S
1.íi9 PRODUCTO MIXTO DE VECTORES
Ve.ctQA.e.¿ 201
Se denomina p/ioducío mixto de una terna ordenada de vecto
-► -► + ,t+\res a, b y c al numero real a.(bxc).
En vista de que se verifica la identidad a. (£xc) = (a*í).c; para
el producto mixto a.(^xj) se emplea la notación abreviada (abe)
De este modo:
(abe) = a.($xc) = (ax£).c
3i los vectores a, 5 y c se dan mediante sus coordenadas:
a = (ai,a2,a3) , t = (bi,b2,b3) * c = (ci,c2»c9)
el producto mixto (abe) se determina por*la fórmula:
(abe) = a . (bxc) =
3 i a 2 a 3
b i b 2 b 3
C 1 C 2 C 3
( 6 5 )
PROPIEDADES*'
(1) La permutación cíclica (sentido horario) de.
los vectores a, í y c no cambia la magnitud
del producto mixto, es decir:
(abe) = (bea) = (cab)
de.m.04>tsiac.i6n* En efecto:
%
ai a2 a3 Cl c2 C3
(abe) = bi b2 b3 = (-D * ai a2 a3
ei c2 c3 bi b2 b3
Cl c2 C 3 bi b2 b3
(cab) = ai a2 a3 = (-0 * Cl c2 C 3
• bi b2 b3 ai a2 a3
• [abe) = (sab) zz (bea]
= (cab)
= (bea)
(2) (abe) = a.(Sxc) = (axí).c = (cxa).S*
(3) Si V es el volumen de un paralelepípedo construido sobre los
vectores a, ^ y c, entonces:̂
4, ^
V , si la terna (a, fe, c) es derecha(abe) =
-V, si la terna (a,í,c) es izquierda
202
(¿) Para que tres vectores a* % y c sean coplanares
dependientes), es necesario y suficiente que se
(abe) =■ 0
(linealmente
cumpla:
l V : •
INTERPRETACION GEOMETRICA OEL PR00UCT0 MIXTO
Sea el paralelepípedo de volumen V,
cuyas aristas lo constituyen los vec
tores a, $ y c (Figura 50).
Per geometría elemental sabemos que:
Volumen * (área de la base)(altura)
- V = (l|S*S||)(ll£||)
Pero: £ Proy^a | |£|
(1)
|Comp+a|
i i s n - i y i
uuego , en (1): V = (||íxc||)J
In||
a.(í*c)
T i r a
'1 n=í
Figura 50
EOEMPLO 1. Se dan los vectores a=(1,-1,3), '£=(-2,2,1) y c=(3^
,5). Calcular (abe) y determinar la orientación de
Xas ternas (a,£,c), (£,a,c) y (a,c,í).
Solución., Según la formula (65) tenemos:
-2
1 -1 3 *
(abe) * -2 2 1 = l| 2 1 I -2 5 - (-D 1 l \ + 3
-2 2
3 -2
3 - 2 5
= (10+2) + (-10-3) + 5(4-6)
= -7
Como (abc)<0, la orientación de la terna (a,í,c) es izquierda
(sentido antihorario).
De la figura deducimos que las orientaciones
de las ternas (£>,a,c) y (a,c,í) son derechas.
Se deja al lector comprobar, mediante la fór
muía (65)» que:
(bac) = (acb) = 7
Vedo/te.* 203
EJEMPLO 2. Establecer si los vectores a, ?> y c forman una base
en el conjunto de todos los vectores, si;
a) £=(2, 3,-U . í=(1,-1,3) . c=( 1,9, -11)
b) a=(3,-2,1) , $=(2,1,2) , $=(3,-1,-2)
Solución, Bastará comprobar si los vectores dados no son copla-
nares.
a) (abe) =
2 3 - 1
1 -1 3
1 9-11
= -32 + 1 2 - 10
Como (abc)=0, los vectores a, t¡ y c
to no pueden formar una base.
= 2(11-27) - 3Í-11-3) + (-1)(9+1)
= 0
son coplanares, por tan-
b) (abe) =
3 -2 1
2 1 2
3 -1 -2
* 3(-2+2) - (-2) (-4.-6) + 1 (-2-3)
= 0 - 20 - 5 = -25
Como (abe) ̂0, los vectores a, S y c son linealmente inde
pendientes y, por tanto, susceptibles de formar una base.
EJEMPLO 3 Simplificar la expresión:
x = (a+?), (1>+c)x(c+a)
Solución, x = (a+S). [(t)+c)*c + (S+c)xaJ
= (a+?).[(?xc) + (ex?) + (íxa) + (c^a)]
(a+í).£(íxc) + 0 + (Sxa) + (cxa)J (P6)
a. (?xc)+a. (íxa)+a. (?xa)+S. (?xc)+í?. (Sxa)+Í. (exa)
(Pi)
(P2)
Por la Proposición 1.6: a. (axS)
*► x = a. (?xc) + (exa)
x = 2a. (t*c)
= a. (exa) = í>. (Sxc) = í. (í¡xa)=G
, pero: (abe) = (bea)
EJEMPLO k. Demostrar que: (ax?).(íxj)x(?xa) = (abe)2
Solución, Zxi efecto, supongamos que:
, cxa = r•+•axb = m , bxc « n
m. (nxr) = m. [nx (cxa)J = m. £(n. a)c - (n,c)a J (Pe)
204. Ve.ciosi&¿
m.(nxr) = m.{ [(?xc).a] c - [(íixc).c] a}
= (ax?).{ [a. (t>*c)]c - 0} (Prop. 1.6)
= (ax?). [(abe)] c
= [(abe)] [c.(ax?)] = (abe)(abe)
(ax?).(?x?)x(cxa) = (abe)2
EJEMPLO ‘5. Demostrar que: | (abe) | | | a| [. ||?| |. \ | c J |
En que caso se verificará el signo de igualdad?
De.mo¿ÍA.ac¿ón. En efecto: (abe) = a* (?xc)
Haciendo uso de la propiedád: |a.?| ^ ||a||I|í||
se tiene: |(abc)| ̂ ||a||.||?xc|| (1)
Pero, según (63): M ? xc|| = | 1? 1 '|. | | c | | |Sen (4?» c) |
Como |Sen(^?,c)| 4 1 "*■ ||?xc|| ll?ll-l|c||
Por tanto, en (1): |(abc)| ^ ||a||.||?||.||c||
La igualdad ocurre cuando Sen(4?*c)-1, es decir, cuando la medi
da del ángulo entre ? y c es de 90°, o sea: ílc.
EJEMPLO 6. El vector c es perpendicular a los vectores a y ? ,
el ángulo formado por a y ? es igual a 30°. Sabiendo
que ||a||=6, | |S| |= | |c | | =3» calcular (abe).
Solución, (abe) = (cab) = c.(ax?) -*• |(abc)| ^ | | c | |. | |ax? | |
Dado que: e l b y c í a , entonces:
| (abo) | = ||c|!.|!a|M|S||Sen30°
= (3)(6>(3)(|) = 27
(abe) = ±27
EJEMPLO 7. Demostrar que: c. (a*[ax(ax?)] ) = -||a||2(abc)
De.mo¿t/Lación, En efecto: ax(ax?) = (a.?)a - (a.a)? (P8)
+ ?xgx(Sx?);] = - (í.í)tj
= (a.?)(axa) - ||a||2(ax?) (p3)
= 0 - ||a||2(ax?) (p6)
Vc£.ione¿ 205
Por tanto: c. (a* £ ax(axli)] ) = - | |a||2c.(a*í)
= - | Ia||2a.(S*c)
= -||a||2(abe)
E3EMPL0 8. Dados los vectores» no nulos: a, t, c y neR’; si a.n=
0, í¡.n=0 y c.n=0, demostrar que a, í y- c son lineal-
mente dependientes.
de.mo¿tnación, Bastará probar que (abc)=0
En efecto, (abe) = a.(íxc) (1)
Dado que: %1 n y e l n (í>*c)||n
-+ íixc = rn
Luego, en (1) se tiene: (abe) = a.(rn) = r(a.n)
= r(0) = 0
Por consiguiente» a, 1> y o son linealmente dependientes.
EJEMPLO 9, Los vectores de posición, con respecto al origen, de
los puntos P» Q y R son a=(3,-2,-1) , b=(1,3,4) y c-
(2,1,-2), respectivamente. Hallar la distancia del punto P al
plano GQR.
Solución. En la figura vemos que:
d = jjProy+a | | = |Corap+a|
__ ja.nj _ ja.(S*c)|
¡ i í xo l li |n| |
(1)
t 3 4 1 4 t » 1 31 -2 i - 2 -2 J + 2 1*c =
= 5(-2,2.-1)
a.($*c) = 5 (3 ,-2 ,-1 ).(-2 ,2 ,-1 ) = ~i5
y Ilí*c|| = 5/4+4+1 = 15
Por tanto, en (1): d = J-j?l =15
+ t ***nsbxc
EJEMPLO 10. Hallar el volumen del paralelepípedo que tiene por
aristas los vectores: a=(3,-1,1), £=(2,3,-2) y c=
(1,4.3).
Solución. Según la interpretación geométrica del producto mixto
206 Ve.cio/ie.4
3 -1 1
se tiene: V * (abe) = 2 3 -2 = 3(9+8)+1(6+2)+1(8-3)
1 k 3
= 51 + 8 + 5
/. V = 6 k u 3
EJEMPLO 11. Hallar el volumen del tetraedro cuyas aristas son
los vectores a=(2,1,3)» í=(-3-»0,6) y c=(4., 5,-1).*
Solución, Volumen del tetraedro = -j(base) (altura)
- v = ^ (J | | tx í | | ) ( | |£ | | )
Pero: ||?¡II = I |Proy+a| | = |Compra
v = l l ^ l l )[.!■•. = ¿(abe)
* bxc *
1
2
-3
k
1
0
5
3
6
-1
= z!-84l
V = u u
EJEMPLO 12. Dados los vectores a, ?>•, c y (íeR3, demostrar que*
(a*í).(cx3) = (a. c) (í.cl)-(a.3) (í.o)
axí = nDemojínación. En efecto, supongamos que:
-*■ (axtj).(cxS) = n. (c*3)
Según la permutación cíclica:
(axt).(c*c¡) = 3.(nxc) = -5.(cxn)
= -el. £cx(ax?)J
= -S.[(o.t)a - ( c . a ) í j
= -<3.a)(c.í> + (c.S)(3.t)
= <a.e)(í.3) - (a.3)(í.c)
c
EJEMPLO 13. El volumen de un tetraedro, tres de cuyos vértices
están en los puntos A(2,1,-1), 3(3,0,1), C(2,-1,3),
es V=5u3. Hallar las coordenadas del cuarto vértice D si se sabe
que está en el eje OY.
Ve.ctoA.e.4 207
Solución, Si D está sobre el eje Y D(0,y,0)
Sean: a = ÁB = (3, 0,1)-(2,1, - 1) = (1.-1.2)
t = AC = (2,-1F 3)-(2,1,-1) = (0,-2,4)
c = AD = <0,y,0)-(2,1,-l) = (-2,y-1,l)
Si V = g| (abe)| 5 = 1
1 -1 2
0 - 2 *
-2 y-1 1
de donde: |l-2y| =
30
15
|K-2-4yU)-(-D(0 + 8)+2(0
1-2y=15 ó 1-2y=-15
**"► y.-. - 7 o y = 8
- i ) \
Hay dos soluciones: D(Q,-7,0) ó D(0»8,0)
EJERCICIOS
1. Establecer si los vectores a, b y c forman una base en el
conjunto de todos los vectores» si:
a) a=(2, 3.-1) , '£=■(1.-1, 3) . £=(1,9,-11) Rp. Ko
b) a=(3,-2,1) , S=(2,1,2) , £=(3,-1,-2) Rp. Si
♦
2. Demostrar que para cualesquiera a» ? y c los vectores a-S,
b-c y c-a son coplanares. Cuál es el sentido geométrico de
este hecho?
3. Determinar el valor de k de modo que los cuatro puntos dados
A(1,2»-1), B(0,1,5), C(-1,2,1) y D(k,1,3) estén situados enun plano. Rp. k=2
4. Los vectores de posición, con respectó al origen, de los pun
tos P, Q y R son los vectores a, í y c, respectivamente. Ha
llar la distancia del punto P al plano OQR.
a) a=(3,i,-l) , $=(-5,4,-2) , c=(-6,-7,2) Rp. d=6
b) a=(3»2,4) . %=(2 ,1,-2) . c= (1, 3, 4) Rp. d=2
c) £=(3,-1,-3) , t=(1,0,3) , c=(2,-2,3) Rp. d=3
5. Demostrar las identidades:
a) (a+ti+c). (a-2Í>+2c)x(¿a+í+5c) = 0
b) (a+í) ,íx(a+í>) = -(abe)
c) (a-í). (a-?i-c)x(a+2Í>-c) = 3(abc)
d) ¥a,0, a.íx(c + aa + 6t>) = (abe)
6. Calcular el volumen del tetraedro OABC, si: 0A=3i+4j* 0B=-3j
+?, 0C=2j + 5Íí. Rp- V = 8. 5u3
7. Calcular el volumen del tetraedro con los vértices situados
en los puntos A(2„-3,5), B(0,2,1), C(-2,-2,3) y D(3,2,4).
Rp. V=6u3
8. En un tetraedro con los vértices situados en los puntos:
A(1, 1, 1),^B(2,0,2), C(2,2, 2) y D(3.4,-3), bailar la altura
h= | | DÉ | | . Rp. h=3/2
9. Dados los vértices de un tetraedro: A(2,3f1)» B(4*1>-2),
C(6,3»7) y D(-5#-4f8)f hallar la longitud de su altura baja
da desde el vértice D. Rp. h=11
10. Dados los vértices de un tetraedro: A(2,-1,1), B(5,5»4)»
C(m,2,-1) y D(4,1,m); hallar el valor de ra sabiendo que su
volumen es de 3u3. Rp. m=3 o ra=5/2
11. Si los vectores a, o y e son las aristas de un paralelepípe
do, hallar su volumen, si a=6j-4ic, £=(¿,-2,1) y c=4Í+3j-4?.
Rp. V = 80 u3
12. Dados los puntos P(2,1,3), Q(T,2,1), R(-1f-2,-2) y S(1,-4,0)
hallar la mínima distancia entre las rectas PQ y RS.
Rp. d=3/2 u
^ a , ^
13. Si en los vectores a, b y c se verifica la ley asociativa pa
ra el producto vectorial, demostrar que los vectores a*í), a
y b*c son linealmente dependientes.
14. Hallar el volumen del tetraedro cuyos vértices son los pun-
toa A (1,0,1), B(3>11 0), C(-1,0,-5) y D(-1,-1,- 10). Rp. ¿u3
208 Ve.ctoA.e.A
\
Ve.ctOA.e.0 209
1.52 RECTAS EN EL ESPACIO
i
Sea L una recta en R 3 tal que
contiene un punto dado Pi(xifyi,zi)
y que es paralela a las representa
ciones de un vector dado a=(a,b,c).
(Figura 51). Entonces la recta L es
el conjunto de puntos P(x,y,z) ta
les que PiP es paralelo al vector a.
Esto es,
— ^PeL PiP = ta
?-?, = ta
? = ?! + ta teR
Figura 51
( 6 6 )
es una ecuación paramétrica vectorial de L, Entonces L se puede
escribir como:
L = {?eR3/ ?=?i+ta, teR}
E0EMPL0 1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta
L que pasa por los puntos S(2,3,-1) y T(5>-3»1).
Solución, Un vector coincidente con ST es:
t = ST = (5#-3«1)-(2,3.-1) = (3,-6,2)
Como S está'sobre la recta LF entonces según (66), su ecuación
paramétrica vectorial es:
L:P=(2,3,-1)+t(3,-6,2), teR
Obsevación. Tal como en el caso de vectores en R2, si se res
tringe el dominio de t, en la ecuación (66), a un
intervalo cerrado, entonces la gráfica de la ecuación es un seg
mento de necta.
En particular, si 0£t£1, entonces la
gráfica es el segmento ST.
Se puede identificar a los puntos que
están a una distancia dada de S sobre
T eligiendo‘aproximadamente el paráme
tro t.
210 Ve d o n e s
EJEMPLO 2, Obtener las coordenadas de los puntos que trisecan
al segmento de extremos S(-6,1,5) y T(3,13,-1).
Solución, El vector de dirección de la recta que pasa por S y T
es: a = í-3 = (3.13,-1)-(-6,1,5) = (9,12,-6)
Luego, la ecuación paramétrica vectorial del segmento ST es:
ST: P=(-6,1,3)+t(9,12,-6), te|0,1|
Para obtener los puntos de trisección B y C hacemos: t=1/3 y t=
2/3.
Para t=1/3 + B = (-6,1,3) + *^(9,12,-6) = ( — 3* 5» 3)
Para t=2/3 + C = (-6,1,3) + §(9,12,-6) = (0,9,1)
(2) Si en la ecuación (66) escribimos los vectores ?, y a en
función de sus componentes, entonces:
(x,y,z) = (xi,yi,zi) + t(a,b,c)
o bien:
(x,y,z) = (xi+ta , yi+tb , Zi+tc)
que equivale a las tres ecuaciones cartesianas:
x s xi+ta , y = yi+tb , z = zj+tc
Estas tres ecuaciones reciben el nombre de ecuaciones panam¿t/LÍ-
cas cartesianas de la recta L,
Si despejamos t en cada una de estas ecuaciones obtenemos:
x-xi _ y-yi _ z-z!
~ — “ "5— ~ ~c~“ (67)
Las ecuaciones (67) reciben el nombre de ecuaciones sim¿tnicas
de la recta L. Los términos a, b y c son los números directores
de L, ya que son las componentes de un vector de dirección de L.
Si una recta es paralela a un plano, entonces uno de sus números
dierectores es 0. Por lo tanto, no tiene ecuaciones simétricas
de la forma (67), puesto que uno de los denominadores sería cero
Por ejemplo, si una recta L es paralela al plano XY, pero no a
los ejes X e Y (Figura 52), entonces tiene un vector direccional
de la forma (a,b,0), donde a/0 y b/0. Aunque L no tiene ecuacio
nes de la forma (67), si contiene al punto Pi(xi,yi,zi) se puede
Vccioncó 2 11
determinar mediante las ecuaciones:
= Z=Z1
Si una recta es paralela a uno de los ejes coordenados, entonces
dos de sus números directores son 0, y en lugar de las ecu^xo-
nes simétricas se tiene simplemente las ecuaciones que expresan
las dos coordenadas constantes de cada punto sobre la recta. Así
si la recta L, que es paralela al eje Z, pasa por Pi(xi,yj,2 i)
queda especificada por las ecuaciones:
x=xi , y=yi
La recta L interseca al plano XY en el punto S(xlfyi,0) como se
indica en la Figura 53.
E0EMPL0 3. Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa
por los puntos S(2,1,-¿) y T(5*3»-1).
Solución, El vector de dirección de la recta L es:
a = SÍ = (5,3.-1)-(2,1.-4) = (3,2,3)
Como SeL, entonces la ecuación simétrica de la recta es:
t ■ Zz£ - y-1 = l. 3 3
E3EMPL0 4. Hallar la ecuación simétrica de la recta L que pasa
por S(1,-3>4) y es paralela a la recta Li = {(-3>7,5)+
t(2,-1,0)/teR}.
Solución, Los números directores de Li son: a=2, b=-1 y c*0.
212 Ve.ctone¿
Entonces, según (67), la ecuación de la recta buscada es:
L: H T = - ^ ¿ ’ 2=4
1.53 POSICIONES RELATIVAS DE RECTAS EN EL ESPACIO
DEFINICION 13. Paralelismo de Rectas.
Dos rectas Lx={P=P i+ta/teR} y L2={P=Qi + r£/
reR) , se dice que son paralelas si los vectores de dirección a
y S son paralelos. Esto es:
L11| I* 2 a | | $
Observación 1. Si dos rectas Li y L2 en el espacio son parale
las, entonces, o son coincidentes (Li=L2) o no
se interceptan (Lin L¡í= <t>).
E3EMPL0 5. Dadas las rectas Lx = {(2,-1,2) + t(2,1,-3)}, L2=((0,2,
3)+s(-¿,-2,6)} y L 3={(6,1,-¿)+r(6,3,-9)}. Establecer
si son paralelas o coincidentes.
Solución. Los vectores de dirección de las rectas dadas son:
ai=(2,1,-3) . a2=-2(2,1,-3) , a3=3(2,1,-3)
Por simple inspección: ax| lillas + L 1 1 | La I IL 3
Veamos si P2(0,2,3)eL2 pertenece también a Lx. Para ello traza
mos el vector v=?2-?1=(0,2,3)-(2,-1,2)=(-2,3»1) ¿ (2,1,-3)
Luego, o sea P2ÍÍL1, por tanto, Lx y L2 no son coinciden
tes (Lx n L2 = <i>).
Veamos ahora si P 3eL3 pertenece también a Lx-
Trazamos el vector: v=?3-?x=(6,1,-¿)-(2,-1,2)=2(2,1,-3)
Como v||ax Lx y L 3 son rectas coincidentes, es decir: Lx=L3
y Lx 0 L3={P3}.
Observación 2. Si dos rectas Lj y L2 en el espacio no son para
lelas entonces, o son concurrentes (L1n L 2 ¿ <J>)
o se cruzan en el espacio (L1f|L2 = <i>)
Dadas las rectas no paralelas: Lx=ÍPí + ta/teR) y L2 = {Qi + sÍ)/seR} y
trazado el vector c=Qx-Pi, entonces para reconocer si estas rec
tas son concurrentes o se cruzan en el espacio, se sigue el si-
i
Ve.cto/i&A 213
guíente criterio:
a) Li y L 2 son concurrentes (abe) = 0
b) Li y L 2 se cruzan en el espacio (abe) i 0
EOEMPLO 6. Dadas las rectas = 3 = > I-2={ (-3,-2, 6) +
t(2,3#-4)} y Ls:x=s+5» y=-4s-1 , z=s-4 : establecer
cuales son concurrentes o cuales se cruzan en el espacio. En el
caso de que sean concurrentes, hallar el punto de intersección.
Solución. Tenemos: Li
La
Para L* y L2: ai=(1»3;
{(--4.0,3)+r(1,3,-1)}
(5,-1,-¿) + s(1,--4.1)}
1) , &2=(2,3,-U)
(-3,-2,6)-(-4,0,3)=(1, -2,3)
+ (aia2c j) =
1 3 -1
2 3 - 4
1 - 2 3
= -22 0
Luego, Li y L2 se cruzan en el espacio.
Para Lj y L3: aJ={1,3>-l) y £ 3=(1,-4,D
»?*-?! = (5,-1,- 4 M - 4 , 0,3) = (9,-1,-7)
♦ daS.ía) =
1 3 -1
1 - 4 1
9 -1 -7
Luego, Lx y L 3 se cruzan en el espacio.
Para L¿ y La: a2=(2,3,-4) y £3 = (1,-4»D
c3 = ? 3-?a = (5,-1,-4)-í-3^2t6) = (8,1,-10)
(a2asC3) =
2 3
1 -4
8 1
--4
1
-10= 0
Luego, L2 y L3 son rectas concurrentes.
Si Pe(L20 L 3) -+■ at,seR tales que:
(x,y,z) = (-3,-2,6)+t(2,3»-4) = (5,-1, 4) + s(1,- 4,1)
2t-s = 8
o sea: (2t- s, 3t+4s-4t- s) = (8,1,-10) '«-* ^3t+4s = 1
[4t+s = 10
2 U Ve.c.to/ie.4
Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenemos: t=3 y s=-2
Luego: (x,y,z) = (-3,-2,6)+2(2,3,-4) P(3.7.-6)
DEFINICION 14. Perpendicularidad de Rectas.
v Dos rectas Li={Pi=ta} y L2={Qi+s$} se dicen que
son perpendiculares silo son sus vectores de dirección, est es
- VLiXL
E3EMPL0 7. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el pun
to Pi(3»1»2) y es perpendicular a la rectas Lx={(1,0
,2)+r(1,-2,2)} y L2 = {(2,6,-3)+r(3,0,-1)}.
Solución, Sean: ai=(1,-2,2) y a2=(3»0,-1)
Dado que: Lili *► alai y L X L 2 + a x a 2
Entonces, por definición de producto vectorial, el vector a será
perpendicular al plano formado por aj y a2.
+ a = ai*a2 = -2
k
2
0 -1
= 2 Í + 7j - 6$
Luego, la ecuación buscada es: L:P=(3>1 *2)+t(2,7,-6), teR
EOEMPLO 8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
S(2,-1,1) y es perpendicular en el punto de inters^s
50 ¿ación. Sea ÍPi}e(LnL2) y ai=(2,0,-l)
Si PicLi -*• Pj= (1 +2r, -3, 2-r)
El vector de dirección de L es:
a = tSPx (1)
Fero: SPi = (1+2r,-3,2-r)-(2,-1,1)
= (2r-1,-2,1-r)
51 LnLi -*■ SPi.ai = 0
+ (2r-1,-2,1-r).(2,0,-T) = 0 , de donde: r=3/5
Luego: SPi = (| - 1 , -2 , 1 - 1) = 3 (1 ,- 1 0 , 2 )
Entonces en (1): t = | ( 1 , - 1 0 , 2 ) - L={(2,-1,1) + s(1,- 10,2)/seRÍ
V CCtOAC* 215
E3EMPL0 9 . Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto
S(1,-4,6) y es perpendicular» en el espacio, a la lí
nea recta Li={(3,2,-1)+r(1,-1,2)/reR).
Solución. Sean Pi(3,2,-1), ai=(1,-1,2)
y v = S?i
+ v = (3,2f-1)-(1,-4,6) = (2,6,-7)
Un vector perpendicular al plano forma
do por los vectores v y ai es:
í
-7
2
+ •>ni = v*ai =
't -fi J
2 6
1 -1
Un vector perpendicular al plano forma
do por ai y ni es:
n 2 = ai*ni =
1
1
5
J
-1
-11
£
2
- 8
= 6(5,3,-D
Pero como n¿ es paralelo a la recta L -► a = (5, 3,-1)
L = {(1,-4,6)+t(5,3,-1),teR)
EJEMPLO 10. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por la in
tersección de las rectas Li={(5,-3,1)+t(3,-4*7)/teR}
y L2={ (4-f 2,-*5).+r(2,1,-3)/reR) y es perpendicular al plano forma
do por Li y L2 .
Solución, Si Pi£(LinL2) * 3t,reR tales que:
(^i.yi.zi) = (5,-3,1)+t(3,-4,7) = (4,2,-9)+r(2,1,-3)
o sea: (3t-2r,-¿t-r, 7t+3r) « (-1, 5,-10)
3t-2r
- 4-t-r
7t+3r
-1
5
-10
Resolviendo las dos primeras ecuaciones obtenemos:
Entonces: Pi = (5,-3,1)-(3,-4,7) = (2,1,-6)
Si a es el vector de dirección de L + a = ai*a2
t = r = -1
* a =
->■1
3
2
+
j
i
1
t
7
-3
= (5,23,11) /. L={(2,1,-6)+s(5,23,11)/seR}
216 Ve.CÍ,0A£,4
E3EMPL0 11. Sean las rectas Li={(3,4,0)+r(1,2,-1)/reR} y L2 =
{ (1,1,1) + s(1,0,2)/seR). Hallar la ecuación de una
recta que corta a Li en A, a L2 ©d B y al eje X en C, de nodo q T
ÁB=BC.
Solución, Si AeLj * A(3+r, 4+r»-r)
BeL2 + B (1 + s, 1 * 1+2s)
Ce(Eje X) + C(x,0,0)
Dado que: AB=BC + B es punto medio de AC
i
o sea: 3+r+x = 2(1+s) + r-2s+x = -1
4+2r+0 =2(1) r = -1
-r+0 = 2(1+2s) **• s = -1/4
Luego, A=(2,2,1) y B=(3/4,1,1/2)
— 3 1 1El vector de dirección de L es: a=BA = (2,2,1)-(■£, 1 *^(5,4, 2)
/. L={(2,2,1)+t(5» 4» 2),teR}
E3EMPL0 12. Dados loá vértices de un triángulo A(3,-1,-1), B(1,
2,-7) y C(-5,14»-3). Hallar las ecuaciones simétri
cas de la bisectriz del ángulo interno del vértice B.
Solución. BA = (3,-1,-1)-(1,2,- 7) = (2,-3,6)
BC = (-5.14.-3)-(1,2,-7) = (-6,12,4) A
Los vectores unitarios en las direccio
nes de BA y BC son, respectivamente:
* = (2»-3»6) = (2,-3,6)
/4+9+36 7
( - 6 , 12, 4) _ ( - 3, 6 , 2 ).v =
/36+144+16 7
Entonces, un vector en la dirección de
la bisectriz BD es: í = u+v = - -^(1,-3,-8)
Luego, los números directores de la bisectriz BD son: 1,-3 y -8
Si B(1,2,~7) pertenece a la bisectriz, entonces sus ecuaciones
simétricas son:
E3EMPL0 13. Una recta Li pasa por los puntos A(2,1,1) y B(6,4,1)
y otra recta L2 pasa por C(1,3»-1) y D(3,0,5). Si L
es una recta que pasa por P(1,3»-1) formando un mismo ángulo con
Ve cto/ie¿ 217
Li y L2 tal que los vectores de dirección de las rectas L, Li y
hz son linealmente dependientes, hallar la ecuación de L.
Solución, Las direcciones de las rectas L* y L2 son:
b = AB = (6, 4-, 1)-(2,1,1) = (4.3,0)
c = CD = (3.0,5)-(1.3,-1) = (2,-3.6)
Entonces: L»={(2,1,1)+r(4,3,0)} y L2={(1,3,-1) + s(2,-3,6)}
Como LiJ/fl.21 veamos si son concurrentes o se cruzan en el espa
cio. Sea: cí=AC = (1, 3,-1)-(2,1,1) = (-1,2,-2)
(bcd) =
4 3 0
2 - 3 6
1 2 - 2
= -30 jt 0 , luego, L 2 y L2 se cruzan
Dado que los vectores de dirección de
L, Li y 1>2 son coplanares (linealmen
te dependientes), :trazamos éstos so
bre un plano de modo que sus puntos i
niciales coincidan con P. Además como
L forma ángulos iguales con Li y L2>
su vector de dirección es bisectriz
del ángulo entre í> y c o entre í y -c.
% .a = c
a - %
+c
= (4,3,0) + (2,-3,6) 35(19,3.-15)
c _ (4,3,0)
líl
+c
Í.2,T3’6) = 3 5 (7, 18,15)
• • L={(1»3>-1)+t(19f3»-15)#teR} ó L={(1,3,-1)+t(7,18,15)}
1.54 DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a
ne como la longitud del segmento
perpendicular a la recta que va
de la recta al punto.
Sea la recta L de ecuación:
L = .{P=T+ta, tsR)
Obsérvese en la Figura 5U que la
d(S.T) =* ||5-f|| = | |vI I
una recta en el espacio se defi-
S
218 VcctOAAA
Entonces, se sigue que: d(S,L) - ||v||Sena
Pero, según (63): -> ->• a*v +a .||v||Sena
d(S,L) * axv
|S|
( $ 6 )
EJEMPLO 14. Hallar la distancia del punto S(1,-1,2) a la recta
T . X j aL ‘ 2 -1 3
Solución• Por inspección, un punto de L es T(3,2,-3) y su vec-
a*v
Luego:
tor de dirección es a=(2,-1,3)* Entonces,
T a S es:
v = TS = (1,-1,2)-(3,2,-3) = (-2,-3,5)
i 1 í
2 - 1 3 * 4(1.-4,-2)
-2 -3 5
a*v| | = 4^1 + 16+4 = 4^21 , | |a| | = /4+1+9
, en (66): d(S,L) = = 2/5
/ n
= /14
EJEMPLO 15. Hallar la distancia del punto S(5t-3»-4) a la recta
L:y+4=0 , x+z=3.
Solución* Vemos que la recta L está definida por la intersec
ción de dos planos.
„ x. _ z-3
: t - r r * y=-4
Per inspección, un punto sobre L es T(0,-4,3) y un vector de di
rección es a=(1,0,->).
Si v = TS -»• V * (5,-3,-A)- (0, -4» 3) = (5,1,-7)
+ ¿ *1 J K
1 0 - 1
5 1 -7
Luego: | |a*v| | = /T+4+1 = /5 , | |a| | = /T7T = /2
Por tanto, según (66): d(S,L) = /J
Vzcto/ie.4 219
1.55 DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS EN EL ESPACIO
Sean Xas rectas no paralelas:
Li = {Si+tai} y L2 = {S2+ra2}
Construimos dos planos paralelos JIi
y H2 que contengan a Li y L2 respec
tivamente. Como la normal n a ambos
planos, es perpendicular a los vec
tores de dirección de Li y L2,
+ d(Li,L2) = |Comp+v|
en donde: v = SiS2 = S2-Si
n = ai><a2
d (L i, L 2) = v. n
Figura 55
n
| ($2-?i)♦(aiXa2)
!|íi*íall
( 6 7 )
E3EMPL0 16. Calcular la distancia entre las rectas:
T . x-1 y _ z-5 1r T . x y+1 , z-4-
Li: - y - i - — y Li- 2 - -TT - ~
Soíuci&n. Por inspección: Si(1,0,5) y ai=(3,¿»-l)
S2(0,-l,4) y aa=(2,-1,1)
- Í*-Si = (-1,-1,-1)
+1 J i
ai*a2 = 3 k -1
2 f 1
= (3,-5,-11)
Luego, según (67): d(Lj,L2) = ̂ *~1 *~1^'(3,~5,~11^
✓9+25+121
= 13
/Í35
E3EMPL0 17. Hallar la distancia entre las rectas:
Li={ (2,-1,6)+ t (2,-1, -5)/teR) y L2 : ^ = 1 F
Soiucíón, Por inspección: Si(2,-1,6) y ai=(2,-1,-5)
S2(5,-2,0) y a2=(-<4,2,10)=-2(2,-1,-5)
Como a2=rai - L2||Li; luego, no es posible calcúlar d(Li,L2)
por la fórmula (67), ya que aixa2=0
Entonces: díL'^Lj) = d(S2,Lx) = d(Sa,L2)
220 Ve.ctofte.-6
Según (66): d(S2,Li) = ̂!?V T p
ajxv =
ai
v = (5,-2,0)-(2,-1,6) = (3,-1,-6)
í 1 i
2 - 1 -5
3 -1 -6
... d(Li,Ii2) - il(1,-3,l)H /TT
ai
I|(3,-1,-6)|| /IB
E3EMPL0 18. Dadas las rectas Li:. x+6 _ y-1 _ z+1 . J < z l = 12 i ■ -i y L2= 1 - 2
z=2, que se cruzan en el espacio; determinar un pun
$
to AeLi y otro punto BeL2, tales que la distancia de A a B sea
mínima, asi como la recta que los contiene*
Solución* Tenemos: Li={(-6,1,-1)+r(2,1,-1)}
j
L2={(3,0,2)+s(1,2,0)}
Trazamos la recta L perpendicular a
Li y a La, cuyo vector de dirección
es a=ai*a2
t +3 5
♦ a ^ 1 -1 = (2,-1,3)1 2 0
Entonces: L = ÍA+t(2,-1, 3)}
t
Como Be(LnL2) •> B = A + t(2,-1,3)
* B = (3,0.2)+s(1,2,0)
AeLx + A = (-6.1,-1)+r(2.1,-1)
Sustituyendo {2> y (3) en (1) se tiene:
(3,0,2)+s(1,2,0) = (-6,1,-1)+r(2,1,-1)+t(2,-1,3)
+ (s-2r-2t,2s-r+t,r-3t) = (-9,1,-3}
s-2r-2t = -9
2s-r+t = 1
r-3t = -3
Resolviendo el sistema obtenemos: r=3 , s=1 , t
A = (-6,1,-1) + 3(2,1,-1) = ( )
B = (3,0,2)+(1,2,0)"= (A,2,2)
L = {(0,¿,-4)+t(2,-1,3),teR)
=2
Ve.ctosie.¿ 221
EJEMPLO 19. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el pun
to P(1»-3*-4) y corta al eje X, sabiendo que la dis
tancia del origen de coordenadas a dicha recta es 5 unidades.
Solución* Sean: A(x,0,0) , v=PG=(-1,3,4)
+ axv =
+
a = PA = (x-1.3
t I t
x-1 3 4 S x(0, -4, 3)
- 1 3 4
= |x |/o+16+9 >»II
- JIaítJ L « = 5
||a|| = /(x-1)2+9+16
J lll I /x¿-2x+26 f de donde: x=13
L*{(1,-3.-4)+t(12,3.4).teR}
EJERCICIOS
1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta que pa
sa por los puntos S(1,-2,-3) y T(2,-3»2).
Rp. L={(1;-2,-3)+t(1,-1.5).teR)
2. Hallar lás coordenadas de los puntos de: trisección del seg
mento cuyos extremos son S(6,0,-3) y T(-6,9,-12).
Rp. A(2,3,-6), B(-2,6,-9)
3- Hallar las coordenadas de los puntos que dividen en 4 partes
iguales al segmento de extremos A(-1,2,1) y B(7,6,-11).
Rp. O , 3,-2), (3,4,-5), (5,5,-8)
4. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (3,0,-1)
y es perpendicular, en su punto de intersección con la recta
Li={(2,3,2)+t(2,-1,0),teR). Rp. L={(3,0,-1)+r(1,2,3),rcñ
5. Hallar la ecuación de la recta que pasa por S(1,-3»2) y es
perpendicular a' la recta Li:P=(4,-1,3)+r(1,2,-1),reR.
Rp. L={(1,-3.2)+t(1,0,1),teR
6. Hallar el punto simétrico de P=(3,2,1), respecto de la recta
!■-{( 1.2,1)+t(2,3,2/3)}. Rp. Q = 74, 25+16/3)
222 Ve.cioA.e.4
7. Hallar la ecuación de la recta que pasa por la intersección
de las rectas Li={(-1»4.,-3)+r(5»-2,2)} y L 2={(-2,4,13)+s(3,
-1 ,-10)} y es perpendicular al plano formado por L 1 y L2.
Rp. L={(4» 2,-7)+t(22, 56,1),teR}
8. Hallar la ecuación de la recta que pasa por P(0,1,1) y corta
a las rectas L*: y L2={(1 ,-2,0)+s(1,2,1),seR}.
Rp. L=((0,1,l)+t(1,0,l),teR} ó L={(G,1,l)+t(3»-4.»-1)}
l
1 y+2 5-29. Dadas las rectas que se cruzan Li: —t¡- - ¿-j- = —y y L 2:x=-2,
= pp. Hallar la ecuación de la recta que pasa por S(-1,
-2,1 ) y es perpendicular a Lj (en el espacio) y corta a L2.
Rp. L={(-1,-2,G)+t(-1,6,4),teR}
10. Dadas las rectas Li={(2,-1,3)+r{1,0,-2),reR} , L 2={(3,0,-2) +
s(0,2,1),seR} y L a={(3,2,0)+t(0,3,1),teR}. Hallar la ecua
ción de la recta que corta a L*» L2 y La en los puntos A, B
y C respectivamente, de modo que B sea el punto de trisec
ción, más cercano de C, del segmento AB.
Rp. L={(3,-1,1)+t(0,13,3),teR}
11. Hallar la distancia del punto S(3»-1»5) a la recta que pasa
*
por los puntos A(3»-2^4) y B(0,4,6). Rp. /3Z/7
12. Hallar la distancia del punto S(-1»2,3) a la recta
B={(7,-3»0)+t{6,-2,3),teR}. - Rp. 7
13- Hallar la distancia entre las rectas Lj={(1,2,-2)+t(0, 4., 2)}
y L2:x+4=0, y+z=6. Rp. 5
14-. Hallar la distancia entre las rectas L2: = .5^6 f y=¿ t y
L2:x+1=y-2-z. Rp. 4 /5
15. Hallar la distancia entre las rectas L*: -^2 = y*3 = z-7-7 21 M J
L2=í(4» ~1,5)+t(1,-3,-1), teR}. Rp. /TJ
16. Dados los vértices de un triángulo A(2,-1,-3), B(5,2,-7) y
C(-7,11,6), hallar la ecuación vectorial de la bisectriz del
ángulo externo del vértice A. Rp. L:P=(2,-1,-3)+t(6,-1,-7)
Vectora* 223
1.56 PLANOS EN EL ESPACIO
Si H es un plano y S un punto
sobre II, y si n es un vector no nulo• i *
cuya representación geométrica'$s or
togonal a II, entonces:
P(x,y,z)eII «-*• (?-£). n N= 0 (68)
Por lo tanto» la ecuación (68) es u-
na ecuación del plano II.
Puesto que el producto escalar de dos vectores es un escalar, se
puede emplear la ecuación (68) para obtener la ecuación cartesia
na de un plano.
En efecto, supongamos que S=(xx,yx,zi) y n=(A,B,C)
Entonces, si: ?.n - §.n = 0
-*■ (x, y, z). (A, B, C) - (x i, y i, z x) • (A,B,C) = 0
+ Ax + By + Cz -(Axx+Byi+Czi) = 0
Haciendo: D =— (Axi+Byx+Cz i) obtenemos:
II: Ax + By + Cz + D = 0 (69)
Esta ecuación se denomina ecuación ge.ne.fLat del piano•
E3EMPL0 1. Hallar la ecuación cartesiana del plano que pasa por
S(2,-1,*) y cuyo vector normal es n=(2,3i-1)*
Solución. Sea P(x,y,z) un punto cualquiera del plano. Entonces,
de la ecuación (68) se tiene: ?.n = S.n
+ (x,y,z).(2,3»-1) = (2,-1,*).(2,3.-1)
de donde: II:2x+3y-z+3=0
Se puede obtener la ecuación cartesiana de un plano si se cono
cen las coordenadas de tres puntos no colineales que están sobre
dicho plano.
E3EMPL0 2. Obtener la ecuación general del plano que pasa por
los puntos R(3,2,1), S(1,3,2) y T(1,-2,3).
, »
Solución, Sea:’ a = RS = (1,3»2)-(3,2,1) = (-2,1,1)
í> = RT = (1,-2,3)-(3,2,0 = (-2, -4,2)
224 I/4.CÍ0A4J
Entonces: n = a*$ es el vector normal
al plano determinado por los tres pun
tos dados.
o sea: n =
x J
- 2 1
-2 -4
= 2(3*1 * 5)
Sin perder generalidad tomamos n=(3*1»5)
Si P(x,y,z)eII •«-*■ (?-&).n = 0 ++ f.n = $.n
(x,y.*).(3¿1.5) * <3>2*1).(3,1,5)
de donde: n: 3x+y+5z-1-6=0
1.57 ECUACION VECTORIAL DE UN PLANO
Sea el plano II que pasa por el
punto P i (x i,y i»z i) y que contiene a /
los vectores no paralelos &=(ai»ai»as) /
y í=(bi, b2* bs) - Un vector, v = PiP / Pi
cualquiera del plano H se puede es* /
cribir como una combinación lineal de
un vector en la dirección de a y otro
en la dirección de b. Esto es:
Si P(x,y,z)eH 3a,6eR tales que:
PiP = aa + BÍ> Figura 57
P - P i = o a + 6 Í
+ P = Pi + aa + BÍ¡
Queda entonces definido la ecuación vectorial del plano II, como
el conjunto de puntos:-
J I s f P / P s P j + aa + BS, a, BeR) (70)
Observaciones
(1) Como los vectores a y í determinan el plano II, la normal a
dicho plano está dada por: n = axti.
(2) Si en la ecuación (70) sustituimos las coordenadas de lofi
vectores ?, ? lf a y í, obtenemos:
Vcctonc* 225
x = x x + aai+Bbi
y = yi + oa2 + gb2
z = Z i + a a 8 + Bb3
(71)
Las ecuaciones (71) son definidas como las ccuacione.* paramé.
±A.ic.a¿ del plano,
(3) Partiendo de las ecuaciones (68),' (69) y (70) podemos obte
ner las ecuaciones normal, general y vectorial, respectiva
mente, de los planos coordenados:
a) Plano XY. Aquí tenemos: n=J=(0,0,l)
a=í , y Pi=(0,0,0)
La ecuación normal es:
(?-?i).n=0 ++■ (x,y, z). (0,0,1 )=0
La ecuación general es: z=0
La ecuación vectorial es:
U={P/P=a(1,0,0)+B(0,1,0)}
b) Plano XZ. Tenemos: n=*=(0,1,0)
a=í , y Pi=(0,0,0)
La ecuación normal es:
(?-?i) ,n=0 (x,y,z).(0,1,0)=0
La ecuación general es: y=0
La ecuación vectorial es:
H = ÍP/P = a(1,0,0)+B(0,0,1)}
c) Plano YZ. Tenemos: n=í=(1,0,0)
a=J , y Pi=(0,0,0)
La ecuación normal es:
(?-?i).n=0 -*-*■ (x, y, z). (1»0,0)=0
La ecuación general es: x=0
La ecuación vectorial es:
JI = (P/P = ot(0,1f0)+B(0,0,1))
EJEMPLO 3. Hallar la ecuación parametrica vectorial del plano
que contiene a los vectores a=(-1,2,3)* í=(4>--3*5)
y pasa por el punto Pi(1,0,2).
Solución, Según (70), la ecuación del plano es:
n={P/P=(1,0f 2)+a(-1,2,3) + BU,-3» 5),af BfcR}
226 Veciosie¿
E3EMPL0 4. Hallar las ecuaciones paramétricas del plano que pa
sa por los puntos R(2,1,3)» S(-1,-2,¿) y T(4,2,1).
Solución. Sean: a=RS=( - 1 , - 2 » 4)~(2#1,3 )=(*3»-3, 1)
£=RT=U,2,D-(2.1,3)=(2,1,-2)
Si R(2,1,3)cH + 3a,SeR tales que:
P = (2,1,3)+a(-3»-3> 1)+B(2,1,-2)
Por simple inspección, las ecuaciones paramétricas del plano son
x = 2-3a+2B , y = 1-3a+B , z = 3+ot-2B
DEFINICION 16. Una recta L es pana.le.la a un plano II si y sólo
si un vector de dirección de L es perpendicular
a un vector normal a H.'(La recta L puede o no estar contenida
en TI). Una recta L es penpendiculan a un plano JI, si y sólo si
un vector de dirección de L es paralelo a un vector normal a II.
Por tanto, si a es un vector de dirección de L y n es el vector
normal al plano II, entonces:
i) L | |JI •*■+ a. n = 0
ii) LX TI ++ axíí = 6
DEFINICION 17. Dos planos son paralelos o perpendiculares si y
sólo si sus respectivas normales son paralelos o
perpendiculares. Es decir, si IIi es unplano con normal ni y JI2
es un plano con normal n2, entonces:
i) JI i ü 2 nixn'? = 0
Ü ) JIj-LHj = 0
EJEMPLO 5. Para que valor de m la recta L: 3 m -2
paralela al plano H:x-3y+6z+7=0.
Solución. Por simple inspección: a=(3,m,-2) y n=(1,-3,6)
Luego, si L| |n +•+ a.n = 0
(3,m,-2).(1,-3,6) = 0
de donde: m=-3
EJEMPLO 6. Para que valores de a y b, la recta L: = y+1 _a /z-5
* es perpendicular al plano H:3x-2y+bz+1=0.
es
Ve.ctoA.e.¿ 227
axn = 0
Solución* Por inspección: a=(a»4,-3) y n=(3t-2fb)
Si L1H
t
a 4 . - 3
3 -2 b
a*n =
■fi J
= ÍUb-6)-í(ab+9)+í(-2a-12) = (0,0,0)
(4b-6,-ab-9,-2a-12) = (0,0,0)
’4b-6 = 0 + b=3/2
-ab-9=0
-2a-12=0 a=-6
EJEMPLO 7. Las ecuaciones de las intersecciones del plano II
el plano 21 y el plano ÍZ son las rectas Lj:2x-y
z=0, y L2:y+3z+7=0, x=0, respectivamente. Hallar la ecuación
plano JI.
Solución, Tenemos: Lj: ■ , z=0 ; L2:
■* ai = (1,2,0) y a2=(0,-3, 1)
í
1 2 0
0 -3 1
con
7=0
del
Luego: n = aixa2 =
i *hJ
IJn punto de Li es Pi(0,-7,C), entonces, si P(x,yFz)eH -*-*•
(?-?i).n = 0 (x,y+7,z). (2,-1,-3)=0 <-*- n:2x-y-3z-7=0
EJEMPLO 8. Obtener la ecuación del plano que contiene al punto
Solución, Por inspección:
P a=(-2,5,0) y a=(1,-1,6)
Sea: v = SP S = ? X- S
-*• V = (-2, 5,0)- (3,-2,1) = (-5,7,
Cccc a y v están sobre el plano JI,
- 1 )
■+ n =
•
•
ii -► -»■v*a-► + -►i •J k
5 7 -1
1 -1 6
= (41,29,-2)
Si PieH + (f-?i).í * 0 -M- (x+2,y-5,2).(¿1,29,-2)
de donde: JI: ¿1x+29y-2z-63=0
= 0
228 Ve.cto/ie.4
. EJERCICIOS .
1. Dados los pantos M(3,-1.2) y RU,-2,-1), hallar la ecuación
del plano que pasa por M y es perpendicular al vector MR.
Rp. x-y-3z+2=0
2. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S(3,l(-5)
y es paralelo a los vectores a=(3»1r“l) y b=(1 ,-2 ,l).
Rp. x+ly+7z+1ó=0
3. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos N(3»-1>
2), RU,-1,-1) y S(2,0,2). Rp. 3x+3y+z-8=0
4. Hallar la ecuación del plano que contiene a las rectas concu
x- 1 y+3 z , y- , y+3 zrrentes Li: — g- = ¿¡~ * L25 _-j = 5^ - ^ 2 #
Rp. 43x+3y-Uz-31=0
5. Las ecuaciones de las intersecciones del plano JI con el pla
no XY y el plano Y2 son x-¿y=12, z=0 ; 2y+5z=-6, x=0, respec
tivamente. Hallar la ecuación del plaño JI. Rp. x-4y-13z-12-0
6. Determinar para qué valores de a y b, los planos II * :2x+ay+3z
-9=0 y JI2 :bx-6y-6z+2=0 son paralelos. Rp. a=3 t b=-4-
7. Determinar para que valor de m los planos JIl:3x-5y+n2-3=0 y
R2:x+3y+2z+5=0 son perpendiculares. Rp. m=6
S.. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto S(2,-1,1)
y es perpendicular a los planos JIi:2x-z + 1=0 y JI2:y=0.
Rp. x+2z-l=0
9. Para qué valores de a y b la recta L:x=3+4t, y=1-4t, z=-3+t,
está contenida en el plano II :ax+2y-¿z+b=0 Rp. a=3 , b=-23
10. Para qué valores de A y B el plano ü:Ax+By+3z-5=0 es perpen-
4
dicular a la recta L:x=3+2t, y=5-3t» z=-2-2t,
Rp. A=-3 , B=9/2
11. Hallar la ecuación del plano que pasa por el origen de coor
denadas y es perpendicular a los planos 2x-y+3z=1 y x+2y+z=0
Rp. 7x-y-5z=0
Ve.cto/ie.¿ 229
1.58 DISTANCIA DE UN PUNTO A UN PLANO
Sea S un punto del espacio y II
un plano. Si T es cualquier punto so
bre JI, y n es un vector normal a II,
entonces la distancia que separa a S
de JI es igual a la componente del vec
tor sobre la normal n. Esto es
d(S,ÍI) = Comp+v = | (5-f).n|
i?
(72)
Figura 58
En la Figura 58 se ilustra el hecho
de que la d(S,II) no depende de la elección del punto específico
T sobre II. La componente de v paralela a n es la misma para to-?
dos los puntos T sobre U. Es decir, para cualquier otro punto Ti
se tiene:
|Comp+(2-f)| = |Comp>(5-í i)|n
Para obtener una expresión cartesiana de la distancia de S al
plano H :Ax+By+Cz+D=0, consideremos los puntos S(xj(yi,zi), T(x2,
+ *
y 2 tzi) y n=(A,B,C) una normal al plano II. Entonces, según (72)
se tiene:
díñ II) - lS.n-^.n| _ l(xi,yi,zi).(A,B,C)-(x2,y2,z2).(A,B,C)|
Sil /A2+B2+C2
_ I Axi+Byi-t-Cz i-(Ax2+Bya+Cz2 ) I
/A2+Ba+C*~
Pero T(x2,y2,Z2)eH Ax2+By2+Cz2+D=0 + D = -(Ax2+By2+Cz2)
d ( S , n ) - I A* i+By í+Cz i+D [
/ a 2+b 2+c 2
(73)
Si en la formula (73) sustituimos las coordenadas de T por las
del origen, obtenemos:
Dd(0,JI) =
/A2 +B 2+C 2
(74)
que es la fórmula para calcular la distancia del origen a un pía
no. Valiéndose de la fórmula (74) podemos calcular la distancia
cartesiana entre dos planos paralelos.
En efecto, sean los planos paralelos; II i :Ax+By+Cz+Dj = 0 y
230 V e c i c s i c *
lD i 1____ . A(r\ t\-\ - ________I.D
H 2: Ax+By+Cz + D2 = 0
Según (74.): ¿(O.Ih) = . |u‘l. ; d(0,Jl2) = ________
/A2+B2+C2 /A2+B2+C2
Entonces: d(II2,112) =d(0,JI2)-d(0, J11 ) ó d(n1 ,n2)=d(0,n1 )-d(0,n2)
d(n, .n , ) = lD2 -Dil (75)
/a2+b2+cj
EJEMPLO 1. Hallar la distancia del punto S(5,-2,3) al plano
Jí = { (2,-1,6)+t(1,0,3)+s(2,-2,3)/t,seR}.
SoCución. Por inspección, un punto sobre H es T(2,-1,6) y dos
vectores sobre 11 son:
t -t f
1 J k
+ n = a* 0 = 1 0 3 = (6,3,
2 - 2 3
Un vector que va de T a S es: v=
Luego, según (72): d(S,IJ) = ■ I t6 > 3.» T 2) - (3_, L = 21 3
/36+9+A 7
EJEMPLO . Dados los planos paralelos II *: 2x-3y+6z-1 ¿=0 y JI2:4x-
óy+12z+2 1=0; determinar si el punto P(3»-2,5) está
entre _ s planos.
StCuc 'r. El punto P estará entre los planos y IIj si su dis
tancia a cada plano es menor que la distancia entre
ambos planos. Luego, haciendo uso de las fórmulas (73) y (75) te
nenosr/^dlKnJ = [ 2 (3)-3(-2) + 6( 5 M 4 j = 28 = ^
/A+9+36 '
= K(3)-6(-2)t12j5)l2li = 7. 5
/16+36+U1 4
i ara aplicar (75) debemos multiplicar la ecuación de Jl i por 2.
, . J I M j I I U . 4 2 . 3.5
/16+36+U1 u
' ::.c d(?, 7 j) > d(jTi,J12) y á(? «Ha) > <3(JI1 »II2) » el punto P no
. en'.o los planos IT 1 y JI2.
VeCÍOA.6.4 231
E3EMPL0 3. Si la base de un tetraedro es un triángulo cuyos ver
tices son R(1,3»-3)> S(2,2,-1) y T(3,4.,-2); hallar
la longitud de la altura del tetraedro desde el vértice D(2,9»-
2) a la base.
Solución. Sean: a = RT = (2,1,1)
í> = RS = (1,-1,2)
El vector normal a la base del plano es:
t
D
n = axí =
1
= (3» -3» -3)2 1 1
1 -1 2
Un vector que va de R a D es v=S-5^
- v = (1,6,1)
Luego, según (72): h = -ülili = -Lí?» ~3, ~3 ̂• (1 ’ 6> lü- = 2/5
“ n| I Z9+9+9
E3EMPL0 4. Obtener la ecuación del plano que es paralelo al pía
no JI i: 3x-2y+6s=9, y que está a 7 unidades del origen
Solución. La familia de planos paralelos
JI:3x-2y+6z+k=0 (1)
Ikl
a JI i es
Si d(0,Jl)=7, entonces según (1A): * 7
/9+4+16
de donde:
Luego, en
|k|=49 <--*■ k=49 ó k=-¿9 *
(1): Jt:3x-2y+6z±49=0
E3EMPL0 5. Hallar la ecuación vectorial de la recta que se en
cuentra entre los planos nx :x-2y-2z=12 y Jl2:x-2y-2z=
6. ^
Solución. Un plano JI paralelo a Jli y JÍ2» y entre ambos, tiene
la forma: Jl:x-2y-2z = k , ¥ke<6,12>
Evidentemente una recta L que se encuentra entre Hi y Ha debe es
tar sobre el plano II. Entonces tomamos dos puntos AeJI y Bell por
donde pasará la recta L. Si x=k', y=-k , z=k *>• A=(k,-k,k)
x=3k, y=k, z=0 -*• B=(3k,k,0)
La dirección de la recta es: a = A3 = (2k,2k,-k)
L:P=A+ta ,teR
<-+ L:P=(k,-k,k)+t(2k, 2k,-k), teR, ke<6,12>
232 Ve.c.toA.e.4
EJERCICIOS
1. Hallar la distancia del punto S al plano H dados,
a) SU.-1.5) , lW(1,-3,1)+t(2,1,-2) + s(1,3,¿)} Rp. 2
b) S(4,2,-3) , 7!={(1-5a-6B,-2+40+78,1-2a+26), o, BeR} Rp. 6
c) S(9,3,-5) , n:2x+3y-6z-15=0 Rp. 6
2, Hallar la distancia entre los planos paralelos dados*
a) JIi:2x-y+2z + 9*0 f JI2.: 4x-2y+4z-21=0 Rp, 6,5
b) IIií6x-18y-9?=28 , H2:4x-12y-6z-7=0 Rp* 5/6
3, Dos caras de un cubo éstán en los planos 2x-2y+z-1=0 y 2x-2y
+z+5=0. Hallar el volumen de este cubo. Rp. 8u3
4. Si la base de un tetraedro es un triángulo de vértices R(1,-
2,1), S(-4f2,-1) y T(-5,5,3); hallar la longitud de la altu»
ra del tetraedro trazada desde el vértice D(4>2,-3) a la ba
se. Rp. 6
5* Hallar la ecunqión del plano que es paralelo al plano n^sx-
3y+5z=8 y ique fstá a 3 unidades del origen.
Rp. II :x-3y+5z± 3/35=0
6. Hallar las ecuaciones de los planos paralelos al plano 2x-2y
-z-3=0, que están a la distancia 5 unidades de el.
Rp. 2x-2y-z±18=0
7. Hallar_JLas ecuaciones delos planos que dividen por la mitad
lpa ángulos diedros formados por los planos concurrentes: 2x
-y+5z+3=0 y 2x-10y+4z-2=0. Rp. 3x-6y+7z+2=0, x+4y+3z+4=0
8. Hallar la distancia del punto P(-1,1>-2) al plano que pasa
por los puntos R(1,-1,1), S(-2,1,3) y T(4,-5,2). Rp. 4
9. Hallar un punto simétrico de P(36,20,-17) respecto del plano
formado por las rectas Li:F=(1,2,3)+t(0,4,3),teR y L2:P=(1,-
2,0) + s(3,0, -4),'seR . Rp. Q=(-28,- 16,31)
4
VectoneA 233
1.59 INTERSECCIONES DE PLANOS
Dos planos cuyos vectores normales no son paralelos se in
tersecan en una recta. Esta recta recibe el nombre de aceta de
¿ntea^ección de do¿ píanos*
Si ni es una normal al plano Hi y n2
es una normal al plano Ií2, y si H i y
n2 se intersecan en una recta L, en
tonces a=ni*n2 es un vector de direc
ción de L (Figura 59).
Si se desea determinar a L, entonces
deben obtenerse las coordenadas de al
menos un punto S sobre L. Puesto que
L está sobre JIx y sobre JI2, un punto
S tal debe estar en ambos planos.
Conociendo las coordenadas de S(xi,yi,zi) y si P(x,y,z) represen
ta un punto cualquiera de L en el espacio, entonces:
L :P=S + t(njxn2), teR
es una ecuación paramétrica vectorial de L.
E3EMPL0 1. Hallar la ecuación paramétrica vectorial de la recta
L de intersección de los planos JIi:x-2y+z=0 y I¡2:3x+
y+2z-7=0.
Solución, Por inspección? ni=(l,-2,l) y n2=(3>1»2) son vectores
normales a los dos planos. Entonces un vector de di
rección de la recta de intersección es:
a = ni*n2 -
1 +J í
1 -2 1 = (-5,1,7)
3 1 2
Como la coordenada z de a no es cero, L no es paralela al plano
XY, y se puede sustituir a z por cero en las ecuaciones de los
planos para obtener el punto S de intersección de L y el plano
XY. Luego, si z=0 ++ (x-2y=0) 0 (3x+y=7) = S(2,1,0)
Por tanto, la ecuación paramétrica vectorial de L es:
L:P=(2,1,0)+t(-5»1» 7), teR
234 Vectone*
Observaciones. (1) La intersección de un plano II en el espacio
con uno de los planos coordenados recibe el
nombre de t/iaza de II en ese plano coordenado. Frecuentemente se
puede emplear las trazas de un plano
para facilitar el trazado de su grá
fica. En la Figura 60 se muestra la
parte de un plano, con ecuación:
JI:2x+¿y+3z-12=0 (1)
que está en el primer octante.
La traza del plano JI en el plano XY
se obtiene haciendo z=0 en (1). Esto
es:
2x+4y=12 -*■ x+2y=6
Haciendo x=0 en (1) obtenemos la e-
cuación de la traza en IZ, o sea:
4y+3z=12
Finalmente, haciendo y=0 en (1) obtenemos la ecuación de la tra
za XZ; 2x+3z=12
(2) Si en la ecuación del plano JI: Ax+By+Cz+D=0 ninguno de los co
eficientes A, B, C y D es igual a cero, esta ecuación se pue
de transformar a la forma:
= i (76)
en donde: a=-D/A, b=-D/B y c=-D/C son las magnitudes de los
i
segmentos que el piano II intercepta en los ejes X, Y y Z res
pectivamente. La ecjuación (76) se llama ecuación ¿egmentanic
o ^imÁtnica del plano.Ljn
E3EMPL0 2. Hallar la ecuación del plano II que es paralelo al
plano cuyas intersecciones con los ejes X, Y y Z son
3» -1 y 2 respectivamente, y que pasa por el punto S(5,-8,3).
Solución, Según (76), la ecuación del plano con a=3, b=-1 y c=2
es, Hi: ^ + -̂ = 1 -*-*■ Hi:2x-6y+3z-6=0
Si II | | JI i -JI:2x-6y+3z+k=0
Si S(5»-8,3)eII 2($)-6(-8) + 3(3)+k=0 , de donde: k=-67
Jl:2x-r6y+3z-67=0
Ve.cto/ie.4 235
EJEMPLO 3. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos
y T(-13#2,-10) y que intercepta a los e-
jes X y Z segmentos de igual longitud y diferente de cero.
Sotuc¿6n» Si |a | = | c | a=c ó a=-c
Para a=c, la ecuación del plano es "f + ^ + a = 1
si S(-1 .*,-I)cn - - 1 + i - 1 = 1 - 1 . § = 1 (1 )
*
T ( - 13 , 2 , - 10)en - - 21 + | . Ifí = 1 _ 2 _ 2¿ = 1 (2)
Resolviendo (1) y (2) obtenemos: a=-44 y b=88/21
/. II:2x~21y+2z+88=0
Para a=-c, la ecuación del plano es: JI: — + •? - — = 1 (8)a b a
Si S(-1,4, -1)eJI | “ s 1 » de donde: b=4a b a
T(-13*2,-10)eH + "5 + ~̂ a ~ ̂ úonde: a=“^
Sustituyendo en (8) se tiene, II:2x-3y-2z+12=0
1,58 FAMILIA DE PLANOS QUE PASAN'POR LA INTERSECCION DE DOS
PLANOS.
Dados dos planos no paralelos II i :A ix+B zy-fG istDi=0 y
II2:A2x+B2y+C2z+D2=0, la ecuación de la familia de planos que pa
san por (HiH n2) esta dada por la ecuación:
ALx+B iy+CiZ+D i + k(A2x+B2y+C2z+D2)=0 (77)
i
dcnde k se denomina, pj./LÁm.e.tx.Q de la familia.
«
EJEMPLO 4-. Hallar la ecuación del plano que pasa por la recta
de intersección de los planos II1 : 5x-2y-z-3=0, ü2:xr
3y-2z+5=0 y es paralelo al vector v=(5»-1#3).
úo£uc¿<5ft. Según (77), el haz de planos está dado por:
5x-2y-z-3+k(x+3y-2z + 5)=0 (1)
o sea: (5+k)x+(3k-2)y-(1+2k)z-3+5k=0 n= (5+k, 3k-2, - 1-2k)
Como el plano buscado es paralelo al vector v=(5,-1,3), entonces
n.v = 0 ++ 5(5+k)-1(3k-2)+3(-1-2k)=0 , de donde: k=6
Sustituyendo en (1) obtenemos: JI:11x+l6y-13z+27=0
236 Vcctone.4
E3EMPL0 5. Hallar la ecuación del plano que pertenece.<al haz de
planos II :x-3y+7z+36+k(2x+y-z-15)=0 , cuya distancia
al origen de coordenadas es igual a 3.
Solución. De la familia dada se tiene:
n:(1+2k)x+(k-3)y+(7-k)z+36-15k=0
Según (74), si d(0,II)=3 I36-15kI
/(1+2k)2+(k-3)2+(7-k)2
= 3
|l2-5k| = /(1+2k)2+(k-3)2+(7-k)2
de donde: 19k2-1(Hk+85=0 k=1 ó k=85/l9
Sustituyendo en la ecuación del haz de planos obtenemos
Hi:3x-2y+6z+21=0 ó n2:189x+28y+48z-591=0
✓
E3EMPL0 6. A ve rl el plano H:4x-8y+17z-8=0 pertenece a.la
familia de planos: 5x-y+4z-1+k(2x+2y-3z+2)=0.
Solución, Supongamos que: JIj + 1c(IT^) = 0
Entonces por inspección: n=(4»-8,17) » ni=(5,-1,4) y
n 2=(2,2»-3).
El vector de dirección de la recta de intersección de JIj y ü2 es
í J *
5 - 1 4
2 2 - 3
a = n i*n2 = = (-5,23,12)
El vector de dirección de la recta de intersección de II y Jli es:
X J ,í
ax = n x m = 4 -8 17 = (-15,69,36) = 3(-5,23,12)
5 -1 i
El vector de dirección de la recta de intersección de IT y JI2 es
->■ -+• a2 = nxn2 =
1
4
2
+J £
-8 17
2 -3
= (-10,46,24) = 2(-5,23,12)
Como a | | a 1 1 | a 2, el plano H pertenece al haz de planos nx+kíl2=0
Ve.ctosi&¿
1.61 ANGULO DIEDRO ENTRE DOS PLANOS
El ángulo diedro O°<0<18O°, que
forman dos planos orientados:
Hi:Aix+Biy+Ciz+Di=0
II i :A2X+B2y+C2Z+D2=0
se define como el ángulo que forman
las normales a ambos planos (Figura
61). Entonces» si ni=(Ai,Bi,Ci) y
n2s(A2»B2»C2)» se tiene:
cose = n 2 Figura 61
EJEMPLO 7. Hallar el coseno del ángulo diedro que forman lo
planos IIi:4.x+2y-6z+3=0 y JI2:2x-y+3z+5=0.
Solución* Por inspeccionén¡=(i,2,-6) y n2=(2,-1,3)
Cose »_ (2,-6).(2,-1,3) = 8-2-18
/1 6 U + 3 6 /¿+1 + 9 /5 6 / U
.\ Cose = -3/7
1.62 ANGULO ENTRE UNA RECTA Y UN PLANO
Dados una recta L:P=Pi+ta y un plano
II de normal n, se define el ángulo entre L
y H al complemento del ángulo que forma el
vector de dirección de L con la normal al
plano n.
En efecto, en la Figura 62, se observa cía
ramente que: a=90°-B
Sena = Cos6 = a. n -»■n
Figura 62
EJEMPLO 8. Hallar el ángulo que forma la recta L: íx+y+zZ1=C
con el plano coordenado XOI.
Solución. Un vector de dirección de la recta L es:
a = n i x n ¡ = (2 ,1 , - 1 ) x ( 1 , 1 , 1 ) = (2,-3,1)
238 Ve.cto*.e.A
Para el plano XOX: n=£=(0»0,l)
+ Senai = (¡j,-3.1).(0.0.1)
(/TZ)(/T)
ai = arcSen(1//TZ
1
/ T í
1.63 PROYECCION ORTOGONAL DE UNA RECTA SOBRE UN PLANO
Se denomina proyección ortogo
nal de una recta L:P=Pi+ta, sobre un
plano II, de normal n, a la intersec
ción del plano II con el plano II i, de
ecuación Hj={P/P=Pi+aa+8n}, el cual
es perpendicular al plano II. (Figura
63)
Figura 63
E0EMPL0 9
Solución,
Hallar las ecuaciones de la proyección de la recta
^x+2z-2-0~^~^ * sobre explano II:2x-y+z-1=0.
Por inspección: ni=(5,—-4'¿*-2)l n2=(1,0,2), n=(2,-1»l)
Un vector de dirección de lalrecta L es:
a = ni><n2
*i
5
1
*
3
-4
0
£
-2
2
= -4(2*3,-1)
La normal
+ni axn
del plano Hi
í I 5
2 3 * 1
2 -1 1
formado por a y n es
= (2,-4,-8)
Luego, la ecuación dél plano Ha es: 2x-4y-8z+D=0
Elegimos un punto cualquiera de L, tal como Pi(0,-7/4,1)
Si PieHi 2(aj-4(-7/4)-8(D+D=0 , de donde: D=1
/. II i :2x-4y-8z+1=0
Como Lic(n n Hj), entonces las ecuaciones de laproyección de L
sobre el plano II son: L x: í 85+l=0
1 \2x-y+z-1=0
cierne* 239
E J E R C I C IOS
Obtener una ecuación paramétrica vectorial de la recta de in
terseccíón de los pares de planos cuyas ecuaciones se dan.
a) üj:2x+3y-2=0 . n2:y-3zU=0 Rp. P=(1,0,-¿)+t(-9,6.2)
b) n x:3x+y-z-6=0 , n2:¿x-2y-3z+2=0 Rp. P=(1,3,0)+t(-t,1,-2)
/
c) ni:x+y+3»*1*0 » IIa:2x-3y+2-7*0 Rp. P = ( 2 , 1,-1)
Hallar la ecuación del plano que es paralelo al plano cuyas
intersecciones con los ejes í, I y Z son -1, 3 y 5 respecti
vamente, y que pasa por S(0»1,-1). Rp. 15x-5y-32+2=0
Hallar el volumen de la pirámide limitada por el plano ü;2x-
3y+6z-12=0 y por los planos coordenados. (Sug. V=1/6(|abc|).
Rp. V=8u*
Hallar la ecuación del plano que intercepta al eje 0Z el seg
mentó c=-5 y es perpendicular al vector v=(-i,1,3)-
Rp. 2x-y-32-15=0
Hallar la ecuación del plano que es perpendicular al plano
2x-2y + 4.z-5=C y que intercepta en los ejes coordenados OX y
OY los segmentos a=-2 y b=2/3* Rp» x-3y-2z+2=0
Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos
3x-4y+z+6+k(2x-3y+3+2)ií0 y equidistante de los puntos
S(3*-á*-6),y T(1,2,2). Rp. x-2y+z-2=0, x-5y+¿z-20=0
Hallar la ecuación del plano que pertenece al haz de planos
10x-8y-15z+56+k(^x+y+3z-l)=0, cuya distancia al punto C(3,-2,
-3) es igual a 7. Rp. 2x-3y-6z+19=0
Determinar los valores de m y n para que el plano 5x+my+4.z+n
=0 pertenezca al haz de planos: 3x-7y+z-3+k(x-9y-2z+5)=0.
Rp. np»-5# n=-11
Averiguar si el plano Jl:5x-9y-2z+12*0 pertenece al haz de
planos 2x-3y+z-5+k(x-2y-z-7)»0. Rp. No pertenece
240 Ve cioAe-ó
10. Averiguar si el punto M(3,2,-1) está situado en el ángulo a-
gudo u obtuso formado por los planos x-2y+3z-5=0 y 4x-3y+2z
+5=0. Rp. M está situado dentro del ángulo obtuso
11. Hallar la ecuación del plano que divide por la mitad el ángu
lo diedro formado por los planos 2x-y+2z-3=0 y 3x+2y-6s-1=0,
en que está situado el punto M(1,2,-3). Rp. 23x-y-4z-24=0
i
12. Averiguar para que valor de D la recta L: ^3x-2^+2z-6=0
corta: a) el eje X , b) el eje Y , c) el eje Z.'
Rp. a) -A* b) 9* c) 3
13. Hallar en el haz: 2x-3y+z-3+k(x+3y+2z+1)=0 un plano que: a)
sea paralelo al eje 0X , b) sea paralelo al eje 0Z.
Rp. a) 9y+3z+5=0» b) 3x-9y-7=0
14. Hallar la ecuación del plano que pertenece, al haz de planos
4x+13y-2z-60+k(4x+3y+3z-30)=0 y recorta del ángulo coordena
do OXY un triángulo de área igual a 6u2.
Rp. 4x-3y+6z-12=0, 12x-49y+6z+21=0
15. iTallar las ecuaciones de. las proyecciones de la recta
L: {Jx-3y+2z-2=0 * sobre e3- plano' n:x+2y+3z-5=0.
Rd L • í^-8y+5z-3=0 Hp# L * tx+2y+3z-5=0
16. Hallar las ecuaciones de las proyecciones de la recta
t . /x+2y-3z-5=0 v t t ^b. < 2x-y+z+2=0 * sobre los planos coordenados.
Rt> /7x-y+1=0 /5x-z-1=0 Í5y-7z-12=0
\ z=0 * 1 y=0 ’ \ x=0
17. Se dan el plano JI:x+y-z + 1 = 0 y la recta L: x=1, % = ,C I con
la particularidad de que LeJI (compruébese). Se pide:
a) calcular el Sen(*fRrL) y las cQordenadas del punto de in
tersección de la recta con el plano. Rp. M(1,-6,-4)
b) escribir la ecuación de un plano que pase por la recta L
y es perpendicular al plano n. Rp. 3x-y+2z-1=0
c) escribir las ecuaciones de la proyección de la recta L so
bre el plano II. Rp. Ll. (*+y-* + 1“0 „l 3x-y+2z-1=0
Ve.ctone.4 2 ¿ 1
1.64 INTERSECCION DE RECTAS Y PLANOS
Dados una recta L y un plano II en el espacio hay tres posi
bles configuraciones (Figura 6¿), o bien la recta es paralela al
plano pero no interseca, o bien es paralela pero está completa
mente contenida en el plano, o bien interseca al plano en un só
lo punto.
Los siguientes ejemplos ilustran como obtener la intersección de
una recta L con un plano II.
EJEMPLO 1. Hallar las coordenadas del punto S. de intersección
Solución• Por inspección, las ecuaciones paramltricas de la rec
ta son: x=1+t , y=-2+2t , z=3+4t
Si SeL -► S=0+t,-2+2t,3+¿t) (1)
y como Sell *»■ (l+t)+4(-2+2t)-(3+4-t)+5-0 , de donde: t=1
Luego, en (1), obtenemos: :(LfiH) = S(2,0,7)
EJEMPLO 2. Hallar la intersección de la recta L:P=(-5»1,3)+r(2,
-2,3),reR con el plano JI:P=(1,3,-2)+a(1,-2,3) + 6(2,1,
-2), a,6eR-
Solución. El vector normal al plano es:
n = (1,-2,3)*(2,1,-2) = (1,8,5)
Si P(x,y,z)eII (P-?i).n = 0 ■*-+■ f.n = Pj.n
+ (x,y,z).(1,8,5) = (2,3,-2).(1,8,5)
de donde: H:x+8y+5z-13=:0
Si SeL *► 3reR tal que: S=(-5+2r,1-2r,3+3r) (1)
Como Sen -»■ (-5+2r)+8(1-2r)+5(3+3r)-15=0, de donde: r=-3
V
Luego, en (1), se tiene: (LO II) = S(-11,7#-6)
2U 2 Ve.ctoA.e.4
Veamos ahora, algunos ejemplos de problemas mixtos.relativos a
la ecuación del plano y a las ecuaciones de la recta.
EJEMPLO 3. Hallar la ecuación del plano que pasa por el punto
S(1,-2,1) y es perpendicular a la recta
t . fx-2y+z-3=0
\x+y-z+2=0
Solución, El vector de dirección de la
recta L es la normal al plano
buscado, esto es:
t í i
1 - 2 1
1 1 -1
a = n = n 1x112 =
Si P(x,y,z)eH (?-S)/ n=0 * ? . n = n
(x,y,z).(1,2,3) = (1,
II:x+2y+3z=0
EJEMPLO 4. Hallar la proyección del punto S(2,-1,3) sobre la
recta L:x=3t, y=5t-7, z=2t+2.
Solución. La proyección de S sobre la
recta L es el pie de la per
pendicular bajada de S sobre dicha rec
ta, y se encuentra en la intersección
de la recta con el plano que contiene
al punto S y es perpendicular a L. Es
to es, si P(x,y,z)eII -► (?-$).n=0* ?.n = 3.a
donde n es el vector de dirección de L,
o sea: n=(3.5.2)
+ (x,y, z). (3» 5.2) = (2,-1,3). (3.5,2) «-»- II:3x+5y+2z-7=0
Si QcL + ateR. tal que: Q= (3t,.5t-7,2t+2). (1)
Pero Qen -► 3(3t) + 5(5t-7)+2(2t+2)-7=0 de donde: t=1
Sustituyendo en (1) obtenemos:
QÍ3.-2,1)
V e .c toJ ie .4 2 A 3
E3EMPL0 5« Hallar el punto Q simétrico al punto S(¿»1»6) respec
to de la recta L: |2x+y-2z+3=0
Sctución. El vector de dirección de L es
* * £
-4
-2
a =
+Jí
1 -1
2 1
= 3(2,-2»1)
Para hallar un punto PjeL, hacemos 2=0
en el sistema y obtenemos:
(x-y+12=0)n (2x+y+3-0) = Pi(-5,7,0)
Luego: L:x=-5+2t , y=7-2t , z=t
Si MeL + 3teR tal que: M=(-5+2t,7-2t,t) (1)
La ecuaciáti del plano II que contiene al punto S y es perpendicu
lar a L es: (?*-§).a=0 ?.a = S.a
(x,y, z). (2,-2,1) = U, 1,6). (2,-2,1)
II:2x-2y+z- 12=0
Como MeJI + 2(-5+2t)-2(7-2t)+t = 0, de donde: t=A
Sustituyendo en (1) obtenemos: M(3,-1»4)
Dado que M equidista de S y Q M = ^(Q+S)
**■ 2(3«-1.4.) = (x+4,y+1,z+6) «-*• x=2 , y=-3 , z=2
/. Q(2,-3»2)
E3 EMPL0 6. Hallar la ecuación del plano que contiene a los pun
tos S ( 3 f 0 , 2 ) y T(4,1,-1) y que es paralelo a la rec
ta t . / x-2y+z-2=0
xa \ 2x+3y-2z-3=0
Solución.
a = nixn2 =
Sea y=ST=U,1,-1)-(3,0,2) = (1,1,-3)
El vector de dirección de L es:
I I
1 -2
a
k
1
3 -2
= (2,4,7)
tonces la normal al plano H es:
Sell + (£-§).n=0 ?.n=§.n
(x,y,z).(19,-10,3) = (3,0,2).(19,-10,3)
n:19x-10y+3z-63=0
Ve clo/ie¿
EJEMPLO 7. Hallar en el plano II:2x-3y+3z-17=0 un punto P de mo
do que la suma de sus distancias a los puntos A(3,-4
,7) y B(-5»-1¿, 17) sea mínima.
Solución, El ounto P buscado seA
halla en la intersec
ción del plano JI con la recta q'
pasa por los puntos B y A 1, sime
trico de A respecto al plano II.
La recta que pasa por A, perpen
dicular al plano TI, tiene por e-
cuación:
Li:?=(3,-¿,7)+r(2,-3,3), reR
Si QeLi + 3rsR tal que: Q=(3+2r, - 3r,7+3r)
Pero QeJI + 2 (3+2r) - 3 (- U- 3r) + 3 ( 7+3r) - 17=0 ,
Luego, en (1): Q=(1,-1,4)
Además, Q equidista de A y A 1 •* Q = ^(A+Ar)
A' = 2Q-A = 2(1,-1,4)-(3,-4,7) = (-1,2,1)
Un vector de dirección de la recta que pasa por B y A ! es:
v = BA* = (-1,2, 1)-(-3,-U,17) = f(1,¿,-4)
Entonces su ecuación es L2:P =(- 1,2,1)+t(1,i,-U),teR
Si FeL2 -*■ 3tsR tal que: P= (-1 +t, 2 + 4t, 1 -it) (2)
también PeJI 2 (-1+t) - 3 (2+U)+ 3 (1-¿t)-1 7=0 , de donde: t=-1
Finalmente en (2), obtenemos: P=(-2,-2,5)
(D
de donde r=- 1
EJEMPLO 6. La posición inicial del punto M(x,y,z), en un movi
miento uniforme rectilíneo en dirección del vector
s=(-2,2,1), es M0(15,-24,-16): la velocidad es v=12. Tras verifi
car que la trayectoria del punto M corta al plano II: 3x+¿y+7z=17,
hallar: a) el punto P de su intersección, b) la longitud del seg
mentó M0P, c)el tiempo que se necesita para que el punto' M haga
el recorrido desde Mo hasta P.
Solución, a) La ecuación vectorial de
la trayectoria es:
L={ 05,-2¿,-l6)+t(-2, 2, 1),teR)
Si PeL + P=(15-2í ,-2¿+2t,-16+t) (1)
Pen -► 3(15-2t) + 4-(-2¿+2t) + 7(-16+t) = 17
de donde: t=20eR
Ve ctone¿ 245
Entonces L corta a H. Luego, en (1): P= (-25»16, 4)
b) K0P = (-25,16, -(15,-24,-16) = 20(-2,2,D
Espacio recorrido: e = ||M0?|| = 20/4+4+1 = 60
c) Tiempo: ^ = y = T5 = ̂unidades de tiempo.
E3EMPL0 9. Un rayo luminoso parte del punto A(-3,8,5) y sigue
la dirección de la recta Li=í(1,0,1)+t(-1,2,1),teR}•
llega al espejo dado por el plano Ií:x+y+z=4. Hallar la ecuación/vectorial del rayo reflejado.
Solución. Ecuación del rayo luminoso
L2={(-3,8,5)+r(-1,2,1),reR)
Si {S)£L + S = (-3-r,8+2r» 5+r)
Pero {SjelT (-3-r) + (8+2r) + (5+r) = 4
de donde: r=-3 ■*’ S=(0,2,2)
La ecuación de la recta que pasa por A,
perpendicular al plano TI, es:
I*3={(-3»8,5) + s {1,1,1), seR}
Si (B}eL + B=(-3+s,8+s,5+s)
ÍB}en -v (-3+s) + (8+s) + (5+s) = 4
de donde: s=-2 ■+■ B=(-5,6,3)
B equidista de A y C + B = ¿(A+C) C=2B-A
-► C=2(-5»6,3)-(-3, 8, 5)-(-7,4,1)
Dirección del rayo reflejado: v = CS = (0,2,2)-(-7,4»1) = (7,
Por tanto, su ecuación es: L={(0,2,2)+t(7,-2,1),teR) .
-2 , 1)
E3EMPL0 10. Hallar la ecuación cartesiana del plano que. pasa
por el punto S(1»4»-2) y dista una unidad de la rec
ta L={(2,6,5)+t(2,-4,0),teR)-
Solución. Sea la ecuación del plano
* H:x+By+Cz+D=0 (1)
Si d(L,Il) = 1 = 1 + |a. v | = | |n | I
| |S|| '■
v = ST = (2,6,5)-(1,*.-2) = (1,2,7)
n = (1,B,C)
Entonces: |(1,B,C).(1,2,7)|=/l+32+C2
Siendo L X n (2,*4,0).(1»S,C)=0 '*-*■ 2-éB-C + B=1/2
De la ecuación anterior obtenemos: |1+2B+7C| = /1+B*+C2
Sustituyendo el valor de B resulta: 192Ca+112C+11=0
C 1/8 ó C 2=-1l/24
Si (SJeH ♦ 1+¿B-2C+D*0
Luego, para B®1/2 y Ci=- 1 / 8 ♦ Di=-13/4
para B=l/2 y C i=-11/2¿ ♦ D a*-¿7/12
En consecuencia, sustituyendo en (1) obtenemos:
fIj:8x+4.y-z-26=0 ó n 2 :2^x+12y-11z-94=0
(*) Nota. En ocasiones en que se hace uso de la ecuación gene
ral del plano ü:Ax+By+Cz+D=0, es aconsejable conside
rar como la unidad a cualquiera de los coeficientes A, B, C o D
de preferencia A, con esto se logra eliminar una incógnita y fa
cilitar todas las operaciones realizables.
E3EHPL0 11. Hallar la ecuación del plano que pasa a través de
la recta L*{(1,8,1}+t(1,-3,1)•teR} y forma un ángu
lo de 60° con el plano H*:2x-y+a*7.
Solución. Sea el plano Il:a+By+Cz+D=0 (1)
cuya normal es n=(1,B,C)
Si (Lien + (1,8f1)eIT + 1+8B+C+D=0 (2)
{LíeJI -*• a.n=0 ♦ (1,-3.1).{1,B,C)=0
+ 1-3B+C=0 ♦ C=3B-1 (3)
Sustituyendo (3) en (2) se tiene: D=-11B (¿)
Un vector normal al plano IIx es ni= (2,-1,1)
-» •>
Si II y IIi forman un ángulo de 60° -► Cos60° = ____Drn i____
llSn l lSil l
O sea: = (j»B,C).(2,-1.1) + 2(2.b +c ) = (/S)(/l+B**C*)
¿ /1+B2+CV4+1+1
Sustituyendo el valor de (3) se tiene:
2(2-B+3B-1) * (/5)(/l+Bl+(3B-1)2, de donde: 11B2-13B+2=0
Bj=1 6 Ba=2/11
Luego, en (3) y (4) obtenemos: Cj=2 ó C2=-5/11
Di=-11 ó Da=-2
Finalmente, en (1), las ecuaciones de los planos buscados son:
Ui:x+y+2z-1=0 ó Ha:l1x+2y-5z-22=0
Vcctone¿ 247
EOEMPLO 12 Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1,3»0)
y B(4»0f0) y hace un ángulo de 30° con el plano IXi
x+y+z-1=0.
Solución. Sea el plano buscado, H:x+By+Cz+D=0
cuya normal es: n=(1,B,C)
Si {A}eH -+ 1+3B+D=0
{Bjell -*■ 4+D=0 + D=-4» luego en (2): B=1
La normal al plano IT i es ni=(1,1,1)
Cos30 = n.ni
s u Sil
/J = (1.B.0). (1,1,1)
2 /1+B2+C2 /1+1+1
1
(1 )
(2 )
Para B=1 obtenemos: 5C2-l6C+2=0 *-*■ C = ^(8+3/6)
Por tanto, en (1), las ecuaciones de los planos son
*
H:5x+5y+(8±3/5)z-20=0
EOEMPLO 13, Dado el plano ü:x-2y+3z*0 y la recta L*:
y=-1; hallar la ecuación de la recta que pasa
A(0,2,-1), es paralelo al plano JI y corta a la recta L^,
Solución. Por inspección: n=(l,-2,3)
y Li={(-4»-1*5)+r(4»0,-3)* reR}
Si {P i) eL i + Pi=(-4+4r,-1,5-3r) n *
El vector de dirección de L es
t = Á?"i= (-4+4r,-1,5-3r)-(0,2,-O
= (-4+4r, -3,6-3r) (1)
Como L| |H *♦* a.n=0
(-4+4r,-3» 6-3r). (1,-2, 3)=0 , de donde: r=4
Luego, en (1): a=(12,-3,t 6)=3(4,-1,-2)
/. L = {(0,2,-1)+t(4*- 1» *2),teR)
x+4 _ 8 - z
4 ~ 3 ’
por
EOEMPLO 14. Hallar la ecuación cartesiana de un plano que con
tenga a la recta L={(1,2, - 3)+t(1,-4»2),t£R} y se en
cuentra a una distancia de 8//4T unidades del punto T(2,*4»-5)*
Solución, Sea el plano II :x+By+Cz+D=0
SI {Lien
{L}en
n=(1,B,C)
- ( t , 2 , - 3 ) c n 1+2B-3C+D=0
(1)
( 2 )
(1, - 4, 2).(1,B,C)=0 , de donde: B = 4(1+20)4 (3)
248 Ve.ctc/ie.¿
Sustituyendo (3) en (2) resulta: D - ^(4C-3) (4-)
Si , - S . , !2-t3-;C4D|
/JT / i+b 2+c 2 /TT
Sustituyendo los valores de (3) y (A) obtenemos:
100C2+36C-11=0 Ci=1/6 ó C2=-11/30
Si Ca=1/6 + 3 i=1/3 y Di=-7/6
C2=-11/30 * B2=1/15 y D2=-67/30
|
Luego, en (i), las ecuaciones de los planos buscados son:
II i: 6x+2y+s-7=0 ó n2:30x+2y-11z-67=0
EJEMPLO 15. Hallar las ecuaciones parametricas de la recta que
es paralela a los planos IIi:3x+12y-3z-5=0 y II2:3x-
4y+9z+7=0, y que corta a las rectas:
t . x+5 _ y-3 _ z+1 T . x-3 _ y+1 _ z-2 T 9 L2‘ ~ - 3 - —
*
Solución, Por inspección, las normales a los planos dados son:
£ i = (3,12,-3)=30,4,-1) y na=(3.-4.9)
y las ecuaciones vectoriales de las rectas dadas son:
Li={(-5,3,-1)+r(2,-4,3).reR}
L2={(3,-1,2)+s(-2,3,4),seR}
Sea L:?=?i+ta, teR , la ecuación vectorial de la recta buscada,
donde: a=(a,b,c)
Dado que: L||JIi + a.ni=0 > a+4b-c=0
L| jJI2 + a.n2=0 + 3a-4b+9c=0
Resolviendo el sistema para a y b obtenemos: a=-2c y b=(3/4)c
Luego: a = (-2c,|e,c) = - -|( 8, - 3, - i)
Sin perder generalidad, podemos elegir: a=(8,-3,-/)
Si PicfUlj) + PjeLi + Pi = (-5+2r,3-/r,-1+3r)
P2e{L n L2) P2eL2 -► P2=(3-2s,-1+3s,2+¿s)
Como PjPz | |a + P2-Pi = ka
"■ (8-2s-2r,-Z+3s+4r, 3+!s-3r) = k(8,-3,-4)
8-2s-2r = 8k s+r+4-k = K
-4+3s+4r = -3k + 3s+4r+3k k
3+¿s-3r = -¿k -»• 4s-3r+4k = -3
de donde obtenemos: r=1 , s=-1 -+ Pi=(-3,-1,2)
L:P=(-3,-l,2)+t(8,-3,-l) -*-*■ x=-8t-3, y=-3t-1, ¡s=-4t+2
Ve ctoxe.4
l J E R C I CI OS
1 Rallar la ecuación del plano que pasa por S(1,1,1) y es per
pendicular a la recta L: £^+2y+22=c 4x+3y-5z-2=0
2. Hallar el punto Q que es simétrico al punto S(2,-5f7) respec
to de la recta que pasa por los puntos A(5»4«6) y B(-2,-17,-
1). Rp. Q=U.1.-3
3. Hallar la ecuación del plano que contiene a los puntos S(1,2
*3) y T(3>-1*0) y que es paralela a la recta de intersección
de los planos x+y+z=3 y x+2y-3z+5=0. Rp. 9x + 13y-7z-14s=0
Obtener la ecuación cartesiana del plano que contiene al pun
to S(-6,1,-3) y que es perpendicular a la recta cuyos cose
nos directores son todos iguales. Rp. x+y+z+8=0
5. üna recta L que contiene al punto S(2,-5»8) es perpendicular
al plano IT:x-2y+3z-8=0. Hallar las coordenadas del punto de
intersección de L y H. Rp. (0,-1,2)
6. Hallar las coordenadas del punto de intersección del plano
II:2x+y+2»6 y la recta que pasa por el origen y que es perpen
dicular a H. Rp. (2,1,1)
7. Hallar la proyección del punto S(5>2,-1) sobre al plano JI:2x
-y+3z+23=0. Rp. Q(1,4-1-7)
8. Hallar el punto Q que es simétrico al punto S(1,3»-4) respec
to del plano II:3x+y-2z=0. Rp. Q(-5»1»0)
9. Hallar en el plano XOX un punto P de modo que la suma de sus
distancias a los puntos A(-1,2,5) y B(11,-16,10) sea mínima.
Rp. P ( 3 f-4#0)
10. Hallar en el plano JI:2x+3y-4z-15=0 un punto P de modo que la
diferencia de sus distancias a los puntos A(5,2,-7) y B(7,-
25.10) sea máxima. Rp. P{-1*3*-2)
11. Hallar .la ecuación del plano que pasa por L:
y es perpendicular al plano 3x+2y-z-5sO. Rp. x-8y-13z+9=0
Ve ciosieó
12. Demostrar que la ecuación del plano que pasa por la recta
L:x=xo+at, ysyo+bt, z=zo+ct, y es perpendicular al plano
Hx:Ax+By+Cz+D=0 se puede representar en la forma:x-xo y-y© 2“ z o
a b c = 0
A B C
13. La posición inicial del punto M(x,y,z)f en un movimiento uni
forme rectilíneo, es Mo(28,-30,-27); la velocidad es v=12.5
y la dirección es la de la perpendicular bajada del punto M0
al plano II: 15x-l6y- 12z+26*0. Hallar las ecuaciones del movimiento del punto M y determinar: a) el punto de intersección
de su trayectoria con este plano, b) el tiempo que se necesi
4
ta para que el punto M haga el recorrido desde M 0 hasta P,
c) La longitud del segmento M0P. Rp- x-28-7.5t, y=-30+8t,
Zs_27+6t» a)P(-2,2,-3), b)desde ti=0 hasta t2=4.* c) MoP=50
H. Sean las rectas Lx={(-1t3,3)+r(0,-1,1),seR}. L2={(-1,3,1)+
r(1*-1#1)»reR} y L una tercera recta que corta a L x y L2, or
togonalmente. Si IIx es el plano que determina Lx y L, y II2
es el plano que determina L2 y L; hallar el coseno del ángu
lo que forman IIx y II2. Rp. /S/3
15. Hallar la ecuación del plano perpendicular al plano z=2, que
contenga al punto Px(1,-3,4.) y haga un ángulo de 60° con el
plano II :2x-/5y+3z-5=0. Rp. x-1=0, x-¿/3y- (1 + 12/5) =0
16. Hallar la ecuación del plano que pasa por T(2f-1,0) y forma
un ángulo de 30° con el eje X. Rp. x±/Jy-(2±/?)=0
17. Hallar la ecuación del plano que pasa por A(1,3»0) y B(¿,0,0)
y hace un ángulo de 30° con el plano x+y+z-1=0.
Rp. 5x+5y+(8±3/5)z-20=0
18. Hallar las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por el
punto M0(3»-2f-¿) paralelamente al plano ü:3x-2y-3z-7=0 y q*
corta a la recta L u = jr+2 = _z+̂
Ve trióte* 25*
1.62 VECTORES CK n DIMENSIONES
A’ estudiar el espacie de dos y tres disensiones, notamo's
que tanto los vectores coso los puntos se representan analítica
mente mediante pare3 y ternas ordenadas de números reales respec
tivamente. Para los vectores, los números son las componentes, y
para los puntos son las coordenada*. Por tantp, aun cuando en
términos geométricos los puntos y les vectores en R* y R* son di
ferentes clases de objetos, analíticamente forman la misma clase
es decir, pares y ternas ordenadas de números reales.
Dado que las n-adas ordenadas son. una generalización de los pa-
res y terna3 ordenadas de números reales, podemos pensar las fi
adas ordenadas como' una generalización del concepto de punto o
como una generalización del concepto de vector.
DEFINICION 18. Un vector de n dimensiones se define como una fi
ada ordenada de* números realasF es decir, un a-
rreglo ordenado de números reales (a2.a2, • • •,aQ>. El i-ésimo nú
mero se denomina la i-ésima componente del vector. Al conjunto
de de'todas las n-adas ordenadas se le denomina espacio contesta
no de n dimensiones y se denota mediante Rn.
Dado dos vectores en Rn : as(a2,a2,•••,a ) y í>=(bi,b2,•••»bQ), en
tonces:i
(ai * b2a2 * b2
a = bn n
La suma a+í se define como
a+t = (ai+b2,a2+b2,
y si r es un escalar, el*múltlplo escalar se define como:
ra = (rai#r®2 ra^}
El vector cero en Rn se define como el vector:
8 * (0,0,0,..*,0)
PROPIEDADES. Si a, $ y e son vectores en Rn, y s y teR son esca
lares, entonces:
252 V e .c to / ie .0
Ai
A 2
As
As
Pi
Pz
Pa
P*
Si aeRn y $eRn + (a+S)eRn Cerradura
a + í> = S+a Conmutstividad
a+(b+c) = (a+S)+e Asociatividad
a+0 = 0+a = a Elemento neutro
a+(-a) = a-a = 9 Inverso aditivo
s(ta) = (st)a
B(a+Í) = sa + sb
(s+t)a = sa + ta
1a * a
DEFINICION 19. Si a= (a ít a2».... * an) y S= (bi» b2»..., bn) son vecto
res en Rn» entonces el producto e^catazL a.*6 se
define como:
a.S = aibi + a2b2 + .... + a^b^f u n
n
a
■ A bi 1 = 1 *
PROPIEDADES. Si a, í y c son vectores en Rn y tsR, un escalar»
-* - entonces:
Ex: a.t¡ = í.
E2 : (a+í).a = a.c 4* S.c
E 3: t(a.o) = (ta}.$ = a.(tí)
Ei,: a.a = ||a||250. Además: a.a=0 ++ a=8
Por analogía con las fórmulas conocidas para R2 y R3, la norma o
longitud de un véctor a=(aifa2,...,an ) en R se defina como:
I|a|| = /af + a2 + ... + a2
n
aIi— 1
EOEMPLO 1. Sean: a=(6,0,-1, 3), (7,l,-3,-2) y c=(5,8,0,-7), de
terminar el vector x que satisface: _7x + c = 2a-$+x.
Sctución, Restando c+x a cada miembro de la ecuación dada tene
mos: (7x+c)-(c+x) = (2t-í+x)-(c+x)
(7x-x) + (c-c) = 2a-t>-c+(x-x) (A3)
Ve.ctoA.e¿ 253
EJEMPLO 2
Solución,
6x + 0 = 3a-t>-c+0 (As)
+ 6x = 3a-í-c (A%)
- 3(6,0,-1,3)-(7, 4.,-3*-2)-(5,8,0,-7)
* (18,C,-3*9) + (-7,-¿,3,2) + (-5*-8,0,7)
= (6,-12,0,18) = 6(1,-2,0,3)
/. x= (1,-2,0,3)
Sean a y % vectores en Rn tales que: ||a||=¿, a.í=-6
y l|í|i=5* Rallar el valor de x=(3a+2Í).(2a-3Í).
x = (3&+2Í>) .2a - (3a+2$).3t¡
= 6a.a + lí.a - 9a.% - 6Í.Í
= 6||a||2 + ¿a.Í - 9a.S - 6||í||2
= 6||a||2 - 5S.í - 6||í||2
= 6 U ) 2 - 5(-6) - 6(5)2 = 96+30-150
x=-24
(2*)
(S2 )
(Ei y E„)
1.63 Es p a c i o s V e c t o r i a l e s
Sea K={a,í3,Y. ... «rf s,t,...} un cuerpo cuyos elementos
llamaremos escalares y cuyas leyes de composición llamaremos a-
dición y multiplicación.
Se dice que un conjunto no vacío V={a»í,c, ... ,u,v,w} tiene es
tructura de espacio vectorial sobre el cuerpo K, si está provis
to de dos operaciones: una intenna llamada adición (+) que pro
vee a V de estructura de grupo conmutativo, se denota:
(a,í) +
y posee las siguientes propiedades:
Ai: Si acV y SeV -*• (a+í)eV
A2: ¥a,íeV: a+í = í+a
Así +ta,í»ccV: (a+í)+c = a+(í+c)
a+s
Cerradura
Conmutatividad
Asociatividad
A*,: VaeV, a(-a) tal que: a+(-a) = (-a)+a = 0
(Existencia del elemento opuesto aditivo de. a)
A$: 36eV tal que ¥aeV: 6+a = a+6 = a Elemento neutro 8
254 v± cío/ie.4>
'r una ejcte.nna llamada nuttlpticación. pon un z^caían, cuyo conjun
to d© operaciones es el conjunto R, que se denota:
(X,a) ♦ Xa
y que satisface las siguientes propiedades:
Mi: Si reK y aeV ♦ raeV Cerradura
M2: ¥r,seK y ¥aeV: r(sa) = (rs)a
Ms: ¥r,seK y ¥aeV: (r+s)a = ra + sa
Mi»: ¥reK y ¥a,SeV: r(a+$) » ra + rS
M5: Si 1 es el elemento neutro para la multiplicación en K, en*
tonces ¥aeV: 1a = a
* m*
Observación. El espacio vectorial V se denomina si en V-
la operación de multiplicación de vectores por un
número viene definido sólo por los números reales R, y complejo,
si dicha operación está definida por los números complejos C.
Cuando no haya necesidad de referirnos a alguno de ellos en par
ticular, hablaremos simplemente del cuerpo K, K es entonces R o
C.
Ejemplos de Espacios Vectoriales.
(1) El conjunto R es un espacio vectorial sobre el cuerpo Qt .
cuando en R se considere la ley de composición adición como
operación interna y la multiplicación de un racional por un
real como ley de composición externa.
(2) El conjunto de polinomios con coeficientes reales de grado
menor o igual a 3 es un espacio vectorial sobre el cuerpo R
de los reales.
En efecto, si P(x) = a0+ajX+aj^+ajX*
Q(x) * b0 + b1x+b2x2+b3x 3
basta definir las siguientes leyes de composición:
Adición de polinomias:
A jí P(x )+Q(x ) = (a0+alx+a1x2+a3x3) + (b0+bxx+b2x2+b*xs)
= (a0+b0)+(a1+b1 )x+(a2+b2)x2+(a3+bj)x1
Multiplicación de un polinomio por un número real:
Mi: AP(x) = A(ao+aix+a2xI+a,x3) = AaB+Aaix+Aa2xl+Aaix*
Vecic/te¿ 255
(2) El conjunto Rn (n>1) de todos los vectores de n componentes
xs(x i,x 2, • • •, x ), x^dí, es un espacio vectorial*
En efecto:
La suma (xi,x2.... xn)+(yi,y2,...,yn)=(xi+yi,X2+y2,..,xn+yn )
El elemento cero 0=(O,O,..,O)
El opuesto de x es -x=(-xi,-X2,* -•*-x^ )
* nEl producto de un escalar XeR sobre un elemento de x de R
está definida por:
Xx ® X(xi,x2,•••, x ) = (Xxi,Xxs,..•,Xx_)n n
La verificación de Ai,».,As y Mi,..,Ms» hacen ver fácilmente
que Rn es un espacio vectorial real*
(¿) Sea II cualquier plano que pasa por el origen en R3. Mostrar
que los puntoá de II forman un espacio vectorial bajo las ope
raciones ordinarias para vectores en R 3, adición y multipli
cación por escalares.
Demoói/iacíón• En efecto» se sabe que R3 es un espacio vectorial
bajo las operaciones de adición y multiplicación
pfcr escalares. Las propiedades A2, A 3* M2, Ma, M* y Ms se verifi
can para todos los puntos de R 3, y por tanto para todos los pun
tos del plano II. Por consiguiente, sólo es necesario mostrar las
propiedades Aj, A* y Mi.
Dado que el plano II pasa por el origen, su ecuación es de la for
ma: II: Ax+By-tCz = 0
Luego, si P=(xx,ylfzi) y Q=(x2,y2,z2) son puntos de II, entonces:
\x i+By i+C‘z i=0 y Ax2+By2+Cz2=0
Sumando estas dos ecuaciones se tiene:*
A(xi+x2) + B(y i+y2) + 0(2 1+2 2) = 0
Esta igualdad indica que las coordenadas del punto P+Q=(xi+X2,
yi+y2»zi+z2)satisfacen Ai. Esto es:
Pen , Qen (P+Q)eH
Multiplicando la ecuación Axi+By i+Cz i = 0 por -1 resulta:
A(-xi)+B(-yi)+C(-zi)=0
Por tanto, -P=(-xi,-yi,-zi)eII establece Ai*.
Multiplicando la ecuación Axi+ByX+Czi=0 por r se tiene:
A (rx 1 ) +B (ry 1 ) +C (rz 1 ) =0
256
Luego, rP = (rx i, ry i, rz i) ell establece Mi
Por consiguiente, los puntos de II forman un espacio vectorial.
(5) Sea S el conjunto de todos los
puntos (x,y) en R* que pertene
cen al primer cuadrante, es decir,
todos los puntos tales que x>0, y>0.
El conjunto S no es un espacio vec
torial bajo las operaciones ordina
rias de R s, dado que no se satisfa
cen las propiedades A h y Mi*
En efecto, P=(2,l)í:S , pero (-l)P=(-2,-1)¿S
(6) Sea F el conjunto de las funciones reales que están defini
das en la totalidad de la recta real. Si f=f(x) y g=g(x) son
dos de esas funciones y X es un número real, definimos una adi
ción de funciones f+g y el múltiplo escalar Xf según las fórmu
las:
(f+g)(x) = f(x)+g(x)
(Xf)(x) = Af(x) , VxcR
Es decir, el valor de la función f+g en x se obtiene sumando los
valores de f y g en x (Figura 65). Así mismo el valor de Xf en x
es igual a X por el valor de f en x (Figura 66). El conjunto F
es un espacio vectorial bajo estas operaciones.
La función cero. f(x)=0, es la función constante cuya gráfica es
la recta horizontal que pasa por (0,0).
Las condiciones de la definición de espacio vectorial pueden ser
verificadas fácilmente.
Figura 66
*4.ct 0*14.4
E J E R C I C I O S
Coaprobar si los conjuntos siguientes son espacios vectoria
les.
a) El conjunto R 3 de todos les vectores geométricos*
fc) El conjunto PQ de todos los polinomios
P(x) = a *xn~^+ *.*.taixtaon- 1
de grado ^ n-1 con las operaciones de adición de polinc-
míos y multiplicación de los mismos por los números, in
troducidos de un modo natural*
c) El conjunto M w de todas las matrices de dimensión e*o .* m*n
Aclarar si los conjuntos siguientes son espacios vectoriales
a) El conjunto R 1 de todos los vectores geométricos que son
colineales a una recta fija* Rp* Si
b) El conjunto de todos los vectores geométricos que satisfg
cen la condición |x|>a, donde a>0 es un número fijo* Re
c) El conjunto de todas las sucesiones convergentes* Rp* Si
d) El conjunto de todas las sucesiones divergentes. Rp* Kc
e) El conjunto de todos los vectores geométricos que parten
del origen de coordenadas y cuyos extremos se ubican en
una recta fija* Rp. Si, siempre que la recta pase por C.
En los ejercicios siguientes se presentan varios conjuntos
con operaciones de adición y de multiplicación por un esca
lar. Determinar cuáles de estos conjuntos son espacios vectc
rjsles* Para aquellos que no lo sean, diga que propiedades
no se verifican.
El conjunto de todas las ternas de numeres reales (x,y,z)
con las operaciones: (x, y, z) + (x 1 ,y1, z 1 ) = (x+x1 ,y+y1, z-í z1} y
k(x,y,z)=(0,0,0). Rp* No, no se cumple Ms
El conjunto de todos los pares de números reales (x,y) con
las operaciones: (x,y) + (x*,y1) = (x+x1,y*y1) y k(x,y)*(2kx,2ky)
Rp* No, no se cumple M2 y M s
258 V&C.t04C¿
5. El conjunte de todos los pares de números reales de la forma
(x,y), donde x>0 con las operaciones ordinarias en R 2.
Rp. No, no se cumple Ai, y Mi
6. El conjunto de todos los pares de números reales (x,y) cotí
las operaciones: (x,y)+(x*,y »)=(x+x»+1,y+y'+1) y k(x,y)=(kx.
ky). Rp. No, no se cumple M 3 y M*
7. El conjunto de todos los números reales positivos x con las
operaciones x+x^xx* y kx=x . Rp- Si
8. El conjunto de todas las m'atrices de 2x2 de la forma:
con las operaciones matriciales ordinarias.
Rp. No, no se cumple Ai,A*, A 5 y Mi
9. El conjunto de todas las matrices de 2x2 de la forma: ^
con las operaciones matriciales ordinarias. Rp. Si
10. El conjunto de todas las matrices de 2x2 de la forma:
[a+b con las operaciones matriciales ordinarias. R. Si
1.64 SUBESPACIOS VECTORIALES
Con frecuencia, se tiene que un espacio vectorial W está
contenido en otro V, y que la adición y la multiplicación por es
calares del espacio vectorial V se lleva a cabo de manera igual
a la de V. Cuando esto ocurre, se dice que el espacio vectorial
W es />u&£.¿pac¿o del espacio vectorial V.
DEFINICION 20. Si W es un conjunto de uno o más vectores de un
espacio vectorial V sobre K, entonces W es un
subespacio de V si y sólo si se verifican las condiciones sigui
entes:
a) W ¿ es decir, W contiene, por lo menos, un vector.
b) Si aeW y ícW -*■ (a+S)eW
c) Si AeK y aeW **■ (Aa)EW
Decimos entonces que tf es cerrado bajo la adición y cerrado bajo
la multiplicación por un escalar.
S
Observación. Dc.dc un espacio vectorial V, siempre se le puede
considerar como subespacio de si mismo. Por lo tan
te, cada espacio vectorial V contiene siempre los subespacios W 0
y V; a estes espacios se les llama ¿ute.6pacic¿ de V.
Si W es un subespacio de V tal que Wj¿W 0 ó W?¿V, entonces W se lia
ma ¿t¿¿e.¿pacío tic L/iiviai o 4>u&e.¿pacio ptiopio de V. Si W={0}, en
tonces W se llama el ¿u&e.¿pacio cesto.
EOEMPLO I. Sea el conjunto W={(x,y,2)/2x-3y+2z=0). Demostrar q 1
W es un subespacio propio o no trivial de R 3 y que W
corresponde a un plano que pasa por el origen en el espacio tri
dimensional.
De.rn.c4 t/1ac.i6n* En efecto, sea A un escalar y sean a= (x i,y l9 z i) eW
y S=(x2,y2, z2) eW. Entonces:
a) W ¿ <J), porque tiene al menos un
elemento 0=(O,O,O), esto es:
2(C)-3(0)+2{0)=0 «-► 0=0
Luego, 0cW
b) Si aeW -*• 2x x-3y i+2z a=0 (1)
SeW -► 2x2-3y2+2z2=0
+ a+í ? 2(xi+x2)-3(yi+y2)+2(zj+z2)=0
Vemos que tiene la forma de W.
•\ acW y íeW (a+í)eW
c) Multiplicando {1) por A se tiene:
2Axi-3Ayx+2Azi=0
Tiene la forma de W, es decir, Aa v*uelve a estar en W.
Observamos que si en W hacemos: x=3» y-2, z=0
x=0, y=2, z=3
en ambos casos se verifiea la igualdad. Entonces W contiene a u=
(3*2,0) y a v=(0,2,3)» pero no contiene a (1,0,1)eR3. Por lo tan
te, W es un subespacio propio o no trivial de R*.
Coco u no es múltiplo escalar de v, W no puede corresponder a u-
na recta que pase por 0. En consecuencia, W corresponde a un pía
nc lí que pasa por 0.
VecicA.e.ó 259
260 Ve ctonem
DEFINICION 21- Se dice que un vector v es una combinación lineal
de los vectores vi,v2,...»vR, si es posible ex
presarlo en la forma:
v = + X2V2 + ... + *nvn
donde: i=1,2,...n , son escalares.
E3EMPL0 2- Sean los vectores en R 3: a=(3.1»-l) y í>=(-2,1,3). De
mostrar que el vector v=(8,l,-5) es una combinación
lineal de a y Í
Denominación» En efecto, según la definición 21, deben existir
escalares \\ y A* tales que:
v = Aia + A2Í¡
o sea: (8,1,-5) = Ai(3#1»-1) + A2(-2,1,3)
= (3Ai-2A2,Ai+A2t-AJ+3A2)
igualando las componentes correspondientes resulta:
3Aj-2A2=8
A i + A2*1
-Ai+3>2=-5
Resolviendo las dos primeras ecuaciones del sistema obtenemos:
Ai=2 y A2=** 1 • Sustituyendo en la tercera ecuación vemos que se
verifica la igualdad.
/. v = 2a-í
E3EMPL0 3. Determinar si el vector v=(5,-1»4) es una combina
ción lineal de los vectores a=(2,-1,3) y í>=(3.5,-2).
Solución. Según la definición 21, deben existir escalares Ax y
A2 tales que: v * Axa + A2b
o sea: (5,-1,4) = A»(2,-1.3) + A2(3,5,-2)
* (2Aa+3A2,-Ai+5A2t3Ai-2A2)
Igualando componentes: 2Aa+3A2=5
'A 1 + 5A2 =- 1
3A1-2A 2 = ¿
El sistema de ecuaciones es inconsistente, es decir, no existen
Ai y A2 que satisfagan a las tres ecuaciones.
Por lo tanto, v no es una combinación lineal de a y. S.
VectosiCA 261
DEFINICION 22. Si vx, v2, son vectores de un espacio vec
torial V, entonces:
a) El conjunto W de todas las combinaciones lineales de vx,v2,..
,.,v es un subespacio de V.
b) V es el más pequeño de todos los subespacíos que tienen coco
elementos a vi,v2,...,v » es decir, cualquier otro subespacio
de V que tiene a vi,V2,...»vr entre sus elementos, debe conte
ner a W.
El espacio vectorial W generado por un conjunto de vectores S=
{vi, v2,.• •, v } se denota mediante W=g.en(S) o gen{vi,v2,...,v } y
y ee dirá que V es una combinación lineal de los vectores v x,v2f
...,vr o que W está generado por los vectoresSi V=gen(S).entonces se dice que el conjunto S ge.ne.sia a V, y S
se llama un conjunto de gene/iado/ie¿ para V.
Ejemplos.
(1) El conjunto de vectores unitarios en R : S={ex,e2,..•»®n) ge
ñera V.
En efecto: si (1,0,,,,,0)=ei + (ai,0,0,..,0)=aiej
(0,1,0,..0)=e2 (0,a2,0,...0)=a2e2
(0,0,*..,1) = ®q (0,0,0,.., aQ) = ®XX®|X
Sumando estas igualdades resulta:
t \ ^ ^ +\Si,a2,• •.,& ) s aiei+a2e2+ ... + ae^n n n
-** V es una combinación lineal de los vectores ei,e2,.,.,en
/. V=gen(ei,e2,...,en)
(2) Si V es el espacio de polinomios, entonces las potencias de
x, genera a V.
En efecto, puesto que cada polinomio:
P(x)'» a©+aix+a2x2+a2x 3+ ... +a xnn
es una combinación lineal de las potencias de x, el conjunto
{x°,x,x2,x3,...,xn} genera a V.
(3) Para el conjunto S={ (x1,x2#x3,Xil)eR,*/x2=0} sus elementes se
pueden escribir de la siguiente manera:
262 V&cto/L&ó
(x i, O, x 3, Xit) = x i (1 ,0,0,0) +x 3 (O, 0,1 , 0) +x 4 (Of Of 0,1 )
■>
- Xl®l + X 3 e 3 + X * € «»
S = gen{(1 ,0,0,0)»(0f0,1 ,0),(0,0,0,1)}
Los vectores si, e3 y e* constituyen el conjunto de generadores
de S.
.. S = gen(e 1 ,63*61,;
E J E R C I C I O S
1. Representar los vectores de R2 por vectores OP del plano. In
dicar gráficamente los siguientes subconjuntos de R2 y decir
si son o no son subespacios de R2.
a) Todos los vectores tí+2tjV donde t^0.
b) Todos los vectores (1-t)í+(2-2t)j# donde teR
c) Todos los vectores Lntí+Lnt2̂ , donde t>0
d) Todos los vectores Sen(n7r)i+Cos(n7r/2 )j\ donde n=0r±1,±2
2. Representar los vectores de R 3 por los vectores 0P del espa
cio. Indicar gráficamente los subconjuntos siguientes de R 3
y decir si son o no son subespacios de R 3.
a) Todos los vectores tí+tj+t$ , teR Rp. Si
b) Todos los vectores (2+t }í+tj+ti£ , teR Rp. No
c) Todos los vectores Sen2tí+SentCost*+3Sen2t1c, teR Rp. No
3- En cada uno de los subconjuntos siguientes de R1*, determinar
si el subconjunto es un subespacio.
a) T: Todos los vectores x=(xi,X2*xe*x*) tales que xi=x2
b) U: Todos los x tales que xi=x2 y xi+x2+x j+x'*=0
c) W: Todos los x tales que: Xi+X2+xj+xj»<0
4. Utilice la definición 20 paya determinar cuales de los si
guientes conjuntos son subespacios de P 3.
a) Todos los polinomios ao+aix+a2x2+a3x 3 para los cuales ao=
0* ; Rp. Si
b) Todos los polinomios ao+aix+a2xz+a3x 3 para los cuales
90+ai+a2+a3=0. -Rp. si
V£.ct0SlC¿ 26 3
Todos los polinomios ao+aix+a2x2+asxs para los cuales a0,ai,
a2 y a2 son enteros* Rp* No
5) Cuáles de los siguientes vectores son combinación lineal de
a=(1P-1»3) y S=(2,4,0).
a) v=*(3,3,3) b) v=(4,2,6) c) v=(1,5,6)
Rp* a y b
6) Expresar los siguientes vectores.coso combinaciones lineales
de a=(2,1,4), S=(1,-1,3) y «=(3,2.5).
a) v=(5,9,5) b) v=(2,0,6) c) $=(2,2,3)
Rp. a) v=3a-¿í+c, b) v=4a-2c , c) v=
7) Determinar si los vectores dados generan a R3*
a) vi=(2,-1,3) . V2=U.1,2) . v s=(8,-1,8) Rp. No
b) v,=(3,1.¿) , va=(2.-3.5) . v,=(5,-2,9), v„=(1,4,-1) Rp. No'
c) vi=(1,3.3) . v 2=(1,3.4) . v»=(1,4,3), v *=(6,2,1) Rp. Si
8) Determinar cuáles de los siguientes vectores pertenecen al es
pació generado por:. f=Cos2x y g=Sen2x
a) Cos2x b) 3+x2 c) 1 d) Sen2x Rp. a y c
9) Sean vx=(2,1,0,3)» ▼■se3(3»-1* 5#2) y v*3(-1,0,2,1), cuáles de
los siguientes vectores están en -gen{vj,▼a»vs)?
a) (2,3,-7) b) (0,0,0,0) c) (1,1,1,1) d) (-4,6,-13.4)
Rp* a, b y d
10) Hallar la ecuación del plano generado por los vectores a=(1,
1,-1) y £=(2,3,5). Rp. 8x-7y+z=0
11) Determinar si los siguientes polinomios generan a P2.
a) 1+2x-x2 c) 5+4x-x2
b) 3+x2 d) -2+2x-2xa
12) Determinar el conjunto de generadores para los siguientes
conjuntos:
a) T={(xi,x2,xi)eRVx»*2xj). Rp. {(1,0,2),(0,1,0)}
b) S={(xi,xa,x*,x<)eR%/x2=Xi-X3}*
c) 0={(xi,X2»xa,x%)eRVx*=3x2, Xk=2x\}
264- Vectores
1.68 INDEPENDENCIA LINEAL
#
Un conjunto de vectores S={vi,v2,.*.»vfl} de üh espacio vec
torial V se llana tiñera ¿mente de.pe.nd. Izate, si eki3ten los escala
res ai,a2» f no todos ceros, tales que:
aivi + a2v2 + .... + anvn = 6 ^
Si la ecuación (1) tiene una solución, a saber:
« 1=0 , «2=0......'an=^
entonces el conjunto S={vi,v2,..,,v^} se llama linealmente inde
pendiente*
E3EMPL0 1. Demostrar que en el espacio R ' los vectores unitari-
y-<y ^ ^
os ei=(1 ,0,0,...,0), e2=(0,1 ,0,...,0) , e^,
son linealmente independientes (L.i)
n
Demostración* Sn efecto, si ai,a2,...,aR son escalares tales q 1
ajei + a2©2 + .... + a_e * 0n n
-*■ a i (1 , 0^0, . • ., 0)+a2 (0,1 ,0, .., 0) + ....+0^ (0, 0, .. •, 1 ) = 0
+ (ai,0,0,..,0) + (0»a2»0,..,0) + .... + (0, 0,0, .., a ) = (0,0,0,..,0)
+ (ai.tta.ai ) = (0,0,0,...,0)n
++ ai=0 , a2=0 , a3=0 , .... «n=0
Los vectores forman un conjunto L.i en R •
E3EMPL0 2. Determinar si el conjunto de vectores S={vi, v2 * v 3) ,
donde vi=(5,1 ,0,-1 ), v2=(4,-1 ,3,4) y v 3=(2 ,-1,1 ,2 )
es L.d« ó L.i.
Solución* Si ai,ot2ty a3 son escalares tales que:
aivi + a2v2 + a3v3 = 0
- «i (5, 1#0,-1 ) + a2(4i- 1 #3, 4) + a3(2,-1,1,2) = 6
( 5a i + 4 a 2 + 2 o t 3 , a i - a 2 - a 3 > 3 a 2 + a 3 , - a i + 4 a 2 + 2 a 3) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )
5oti + 4a2 + 2a3 = 0 (1 )
ai - a2 - a3 = 0 (2)
3a2 + «3 = 0 (3)
-ai + 4a2 + 2a3 = 0 (4)
VCCÍ.OA.Í.4 ¿65
De la ecuación (3): a3=-3a2 • Si hacemos a2=-t ■* a3=3t
Luego» en (2): a% = a2+as = -t+3t - 2t
{ai»a2.a3} -- f¿t,-t, 3t}
El sistema tiene soluciones_nc triviales» por tanto» v2» v2 y v3
forjan un conjunto linealmente dependiente.
Ei. particular» si t=1, obtenemos:
2vi-v2+3va = 0
TEOREMA. Sea V un espacio vectorial y sea S un subconjunto fini
to de V que tenga más de un elemento. Entonces S es li
neaimente dependiente si y solo si algún veS es una combinación
lineal de los demás*
denominación. En efecto» sea S={vi,vj»..•,vn)
Suponiendo que S es linealmente dependiente» en
tonces:
aivi + a2v2 + . . . . + a v = 6n n
para escalares 0i»a2,•••»aQÍ que no son todos cero.
Si a,¿0 -*■ -a.v. =■ a2vi + a2v2 + ... + a íí i i n n
y dividiendo entre se obtiene:
Por tanto, v^ es una combinación lineal de los vectores:
Vv *.*»V^^^» (i)
Recíprocamente, si v^ es una combinación lineal de (1), entonces
vA - a,vx t ... ♦ V 1 V 1 + < W i + 1 + + V n
Luego:
a 1 *i + ••• + “i V i - 1 - + ai+ 1?i+ 1 + *••• + « V n = 9
y no todos los coeficientes a^, *..,» ^ , ••»«»an son c£
ro. Por consiguiente, el conjunto S={v2,v2»••.»vn) es linealmen
te dependiente.
Observaciones.
(1) Si S={vx»v2)donde v2 y v2 son vectores de V» entonces S es
266 Ve.ctosie.¿
linealmente dependiente si y sólo si un vector de S es múltiplo
escalar del otro.
En efecto» supongamos que S es L.d. Dado que la ecuación vecto
rial ctivi + ct2v2=8 tiene una solución aparte de la trivial, ai=a2=
0, esta ecuación se puede jscribir como:
/ Ü5 \+ * + / CU iVi = O V2 =
En consecuencia, dos vectores en R2 o en R3 son linealmente de-•s
pendientes si y sólo si pertenecen a la misma recta que pasa por
el origen (figura 67).
Figura 67
(2) Si vi, v* y v3 son tres vectores de R 3, entonces el conjunto
Sc{vi,v2»Vg] es L.d* si y sólo si los tres vectores pertene-
al mismo plano que pasa por el origen.-
En efecto, suponiendo que vi es una combinación lineal de v2 y
V 3,_ entonces vj pertenece al espacio generado por v2 y Va,que es
precisamente el plano determinado por ellos dos. Por tanto, Vi,
v2 y vs pertenecen al mismo plano (Figura 68).
Figura 68
V e.ctone.¿ 267
(3) Si vj, V'2 y va son vectores en R 3, tales que: v a = (ai, a2. a9) ,
v2-(bi,b2,b3) y V3=(ci,C2,cs)» entonces el conjunto S={vi,v2,
va) es linealmente dependiente si y sólo si:
(VlV2Vj) =
aj
bi
a2
b2
as
b3
ci c2 c3
Esto ya se demostró anteriormente* Más adelante se general!
zara este resultado para Rn.
E3EMPL0 3. Para qué valores de k los vectores v ( k , -1/2,-1/2),
v2=(-1/2,k,-1/2) y v3=(-1/2,-1/2,k) forman un conj un
to linealmente dependiente en R J.
Solución, Si S={vi,v2,v3} es linealmente dependiente» entonces
^ ^ ^
el producto mixto (viv2v3)=0
1
2
x
2
2
X
2
x
2
1
2
(i)(i)(4)
2k -1 -1
-1 2k -1
-1 -1 2k
de donde: ¿k3-3k-1=0
2k(4-k2- 1 ) + (-2k-1 )-1 (1+2k)=0
(2k+1)2 (k-1 )=0 k=-1/2 ó k=1E3EMPL0 Establecer si los siguientes conjuntos de vectores
no nulos son linealmente dependientes o linealmente
independientes.
a) {c=Proy^a,5=Proy+í,e=Proyjc} , tales que a, íeR3 f no paralelos
b) {axt>,íxc, c*a} * tal que {a,S,c}eR3 es linealmente independ.
'elución.
1a; Si c*Proy*a * eí |S
2=Proy-*S + c
e=Proy+c + * a
3| 1 c
* 1 1 *
c=rí
3= se
e=t2
Vemos que í, c, S y e son paralelos entre si.
Por tanto, {c,ct»e} es un conjunto linealmente dependiente.
>) Dado que {a,í,c} es linealmente independiente, entonces:
268 M«e¿o*e¿
(abe) * (bea) = (cab) ¿ O
Veamos a que es Igual el producto mixto: [(axS)({xc)(cxa)]
f(a*S)(£x?)(íxS)J . (axt) . [(tx?)x(íxS)]
- ÍÍ*%)AÍfat)A]Í - [(S*c).S]t}
.*as (axS).{ [(t¡xe).a]c - [ O }a)
- = [(txc).aj [(a*S).cQ
- « (abe)Cabe) * (abo) 2 ¿ 0
por consiguiente» Íaxít^xc»exa) es un conjunto L.i.
E J E R C I C I O S
1. Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R a son 11-
nealmente independientes?
a) <2,-1*4) . (3.6,2) , (1.10,-4) Rp. L-i-
b) (3»1>D * (2,-1*5) * (4*0,-3) Rp. L-i-
c) (1*3,3) * (0>1*4) * (5*6,3) , (7,2,-1) Rp. L.d.
2. Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores en R* son 11-
nealmente dependientes?
a) (1,2,1,-2), (0,-2,-2,0), (0,2,3,1). (3,0,-3,6) Rp. L.i
b) (3,0,¿,1), (6,2,-1,2), (-1,3,5,1). (-3,7,8,3) Rp. L.i
3. Suponer que í j , v2 y v, son vectores en R* que tienen sus ■
puntos iniciales en el origen. Determinar si los tres vecto
res pertenecen a un mismo plano.
a) Vi=(1,0,-2) , vj=(3,1,2) , v»=(1,-1,0) Rp. Ko
b) vj*(2,-1,4) , v 2=(4,2,3) , vj=(2,7,-6) Rp. Si
i. Suponer que v Jr v2 y v5 son vectores en R3 que tienen sus
puntos iniciales en el origen. Determinar si los tres vecto
res pertenecen a un mismo plano.
a) V!=(3,-6,9) , v2=(2,-¿,6) , v,=(1,1,1) Rp. Ko
b) vi = U,6,8). , í2=(2,3,4) , vj=(-2,-3,-4) Rp. Si
5. F5 ívifvai.*,tv j es un conjunto de vectores L.d. en un espa
ció vectorial V, demostrar que {vj,v2,•..,v + 1̂ también es
V cctoxei 269
3inealmvnie dependiente. donde vr.#i**-*»vn fl0n cualesquiera
otrct vectores en V.
6. rsrs nue valores de k, los siguientes vectores forman un ccn
junto linealmente dependiente en R3.
Vi=i.‘t,?,k). v2=(3»k+1,5). v3=(k+2,6»7). Rp. k=3 6 k=-3±</S
1.66 BASES Y DIMENSIONES OC UN ESPACIO VECTORIAL
_ ^ ^ ^ _Si V es un espacio vectorial y B-mvi#v*p*».»v } es un con
junto finito de vectores en V, entonces se dice que B es una la-
je da V si se cumple las condiciones siguientes:
i) B es linealmente independiente
ii) E genera a V
Observación. El conjunto B es tal que no hay ningún subconjunto
propio de B que genere a V, es decir, si B 1 está
contenido en B sin ser t-cdo E, entonces g6n(B')?£V
E3EMPL0 1. Determinar cl los siguientes conjuntos son bases de
R2. a) {(2,-3).(1.5)í
b) {(1,1),(2,1),(3,2)}
Solución* A simpl*» vista los elementos de B={ (2,-3). (1. 5)} son
vectcres linealmente independientes (no son paralelos)
Además se ve claramente que B genera a R* y que ningún subconjun
te propio de él puede generarle, de lo contrario R2 constaría de
les múltiplos escalares de un solo vector. En consecuencia, B es
ura case de R2.
b) Aquí j o s elementes de B j={(1,1),t2,1),(3,2)} con vectores li
nealmente independientes y vemos también que Bj genera a R2,
pero no es tase de R2, puesto que el subconjunto B[={(1,1).(2
, 1)) genera a R;.
E3FMPLC ?. Sean vi=-(2,-1, 3) , vj*(1,2,1) y v **(0,3#-1)- Determi-
4^ ^ ^ .
car si el conjunto B-ívj,v 2,v »} es una base de R •
Sdución* á ) Si B es L.5* debemos probar que la única soluclún
de: oivi 4 aav2 + a 3v* * 8 (1)
2 7 0
En efecto, ai(2,-1, 3)+a2 (*1» 2,1 )+oa (0, 3»-1) = 6
( 2 a i + a 2 , - c i i + 2 a 2 + 3 o 3 , 3 a 1 + 0 1 2 - 0 3 ) =
2aj + a2 = 0
< -ai + 2a2 + 3aj = 0
3ai + a2 - a3 = 0
(C,0,0)
(2)
(3)
U)
De (2): a2 = -2ai . Si hacemos: a*=t **■ a2=-2t
Sustituyendo en (4): 3t-2t-aj=0 , de donde: 03=-1
Luegc, en (3)¡ -t-lt-t=0 t=0
Entonces el sistema (1) tiene únicamente la solución trivial:
d =0 , a2=0 i a3=0
ror tanto, el conjunto B es linealmente independiente.
ii) Debemos expresar un vector arbitrario (x,y,z) como una combi
nación lineal de los vectores en B, esto es:
Por tanto, para demostrar que B genera a V, es necesario probar
de (x,y,z). Bastará hallar r, s y t en función de x, y, z.
Resolviendo el sistema (5) para r, s y t obtenemos:
Dando valores a a, y, z hallamos una solución para (5), luego, B
la independencia lineal se reduce, en la práctica, a re
solver sistemas de ecuaciones lineales.
(x,y,z) = r(2,-1,3) + s ( 1 . 2 , 1 ) + t(0,3.-1)
= (2r+s,-r+2s+3t,3r+s-t)
(5)
que el sistema (5) tiene una solución para cualquier selección
r = ^(5x-y-3z) , s = -¿x+y+3z , t = ^(7x-y-5z)
genera a R 9.
En consecuencia el conjunto B es una base de R3.
Nota. Obsérvese que el problema de determinar la dependencia o
E3EMPL0 3. Determinar si el conjunto B={vi,V2,vj} es una base
de R 3, donde vi=(2,1,3), v2=(-1,4.,1) y v 3=(8,-5,7)
Solución* i) Debemos probar que B es L.i. escribiendo:
aiíi + a2^2 + a3$ 3 ~ 6
o sea: 0^2,1,3) + a2(-1,¿,1) + a3(8,-5,7) = (0,G,0)
Vc.c.¿osie.¿ 271
2ai - a 2 + 8a3 — O (1)
cix + laz - 5a3 = O (2)
3a i + 0.% + 7a 3 = O (3)
Sumando (1)+(3) se tiene: 5aa+15^3=0 *► 03=-3a*
Haciendo: a3=t -*• a3=-3t
Sustituyendo en (3): -9t+a*+7t=0 + a*=2t
Luego, en (2): -3t+8t-5t=0 0=0
Por tanto, el sistema: aj=-3t, »a=2t y aa^t , admite, aparte de
la trivial, infinitas soluciones.
Así para t=1, obtenemos: ai=-3 » a2=2 , a3=1
/- -3(2,1,3)+2(-1,4,l)+(8,-5,7) = 9
£ 1 conjunto 5 es linealmente dependiente, en consecuencia, no es
una base de R3.
DEFINICION 23. Se llama dimensión de un espacio vectorial V, al
número de elementos que tiene una base cualquie
ra. Así, si el espacio vectorial tiene una base de r elementos ,
se denota:
dim(V)=r
Ejemplos:
a) dim(R2)=2, puesto que í=(1,0), j=(0,1) es base de R2.
b) dio(Rn}=n, puesto que (ei,e2, .... ,en> es una base de Rn .
c) Si Ps es el espacio vectorial de los polinomios del grado no
mayor que 5, entonces (1,x,x2,x3,x%,x5) es una base de Ps y
dim(Ps)=6
d) Si PQ es el espacio vectorial de todos los polinomios, enton
ces dim(P )=® » puesto que í 1 ,x,x2,....,xn) es base de P .n n
EJEMPLO 6. Sea S={ (x,y,z, v)eR Vx-3y=2z+v} . Construir una base
para el espacio solución S y hallar su dimensión.
Solución, De la ecuación dada despejamos cualquiera de las va
riables, por ejemplo: w=x-3y-2z
♦ (x,y,z, v) = (x,y,z,x-3y-2z)
= x(1 ,0,0,l)+y(0,1 ,0,-3)+2 (0,0,1 ,-2 )
Luego, el conjunto B={(1,0,0,1),(0,1,0,-3),(0,0,1,-2)} es una ba
?72 V e.ctonc¿
se del conjunto S y dim(S)=3
E3EMPL0 7. Determinar la dimensión y una base del espacio solu
ción del sistema: 3x i+x 2+x 3+x % = 0
5X|-X2+X3-Xi* = 0
Solución, Sumando ambas ecuaciones se tiene:
8xi+2xs=0 -*■ x j=- 4x i
Si hacemos: xi=t + xs=-4t
Restando la primera de la segunda ecuación resulta:
2 x i -2 x 2-2x%=0 + x 2^x%—t
Si hacemos: x%=s -> x2=t-s
Luego: (xi»x2,x3,xj = (t, t-s, -¿t, s)
= t(1,1.-4,0)+s(0,-1,0,1)
En consecuencia, la base del espacio solución es:
B={(1.1,-¿.0),(0,-1.0,1)} y dim(S)=2
E3EMPL0 8. Determinar la dimensión del conjunto subespacio de
R*. Todos los vectores de la forma S={(a,b,c,d)/d=
a+bF c=a-b)}.
Solución. Tenemos: (a,b,c,d) = (a,b,a-b,a+b)
- = a(l,0»1,l)+b(0,1,-1,l)
Luego, B={(Í T O T Í # y dim(S)=2
E3EMPL0 9. Determinar una base para el subespacio de R 3: el pía
no que contiene a los vectores a=(2,-1,3), í=(1,0,-2)
y pasa por el punto Pi(3.-1,1).
Solución. La normal al plano II es:
i J t
2 - 1 3
1 0 - 2
* (2,7,1)
Si P(x,y,z) es un punto genérico de II, entonces:
(?-?»).n =0 — ?.S =
(x,y,z)•(2,7,1) = (3,-1,1).(2,7,1)
de donde obtenemos: Ü:2x+7y+z=0 -»• z=-2x-7y
Luego: (x,y,z) = (x,y,-2x-7y)
= x(l,0,-2)+y(0,1,-7)
Ve.c.£o/ie.¿ 273
Per tanto, una base para el subespacio de R 3 es:
B={(1» 0,-2),(0,1,-7)}
EJEMPLO 10. Sea F={f(t)=a0+ait+a2e^t/teRf a.eR,i=0,1,2}. Demos-
trar que las funciones: fi(t)=3t- 2 , f2(t)=1-e
f»('t)=2t+e , constituyen una base de F.
De.mo¿£A.acl6n. i) Debemos probar que tl9 f2 y f 3 son linealmenteindependientes» esto es» si:
otifj + a2f2 + otsfa-' = 0' ai=a2=ct3=0
En efecto:
«i (3t-2 ) + oa-(1 -e2t) +a3(2t+e2t) = 0
(“2ai+a2) + (3ói+2a3)t + (-a2+a3)e^' = (0,0,0)
{ -2ai + a2 = 03a % + 2a3 = 0
-a2 + a3= 0
Resolviendo el sistema obtenemos: ai=a2=ct3=0
Por tanto, fi, f2 y fj son linealmente independientes.
ii) Probaremos que fi, f2 y fs generan a F*
En efecto, debemos expresar, un elemento de F en la forma:
f(t) = kfi + rf2 + sf 3
■+. a0+ait+a2e2t = k(3t-2 ) + r(1 -e2t) + s(2t+e2t)
■ = (-2k+r) + (3k+2 s)t + (-r+s)e2t
-2k + r = a0
3k + 2s = ai
-k + s = a2
Resolviendo el sistema obtenemos: k = - -̂ (2ao-ai+2a2)
r = *̂ (3ao+2ai-4a2) , s = ^(3ao+2ai+3a2)
Por tanto, fi, f2 y fa generan al espacio F, y como además son
L.i., el conjunto {fx,f2»fs} constituye una base de F.
EJEMPLO 11. Se da un espacio vectorial generado por los vecto
res X 1 = (2,1,3,1), X2=(1,2,0,1) y X 8=(-1,1,-3,0). De
terminar su base y dimensión.
SoiucíSn, Debemos probar primero que Xj, X2 y X 5 son linealmen
te independientes, esto es, si:
2 1 k Ve.c¿osi&4
(XjXj + 32X2 + 85X3 = 8 (*1 = 0(2=33=0
En efecto,
01(2,1,3,1) + cta (1,2,0,1) + a sM,1,-3,0) = 6
■*-*- ( 2 a i + a 2 - a 3 , o i + 2 a 2 + oi 3 , 3o i - 3 a 2 , a i + a 2 ) = ( 0 , 0 , 0 , 0 )
r
2ai + 32 - a3= 0
oii + 2a2 + 03 = 0
3aa - 3a2 = 0 *► 3i = 32
o 1 + 3 2 = 0
de donde: ai=a2=as=0
Por tanto, Xi, X2 y X 3 son linealmente independientes.
Esto significa que cualquiera de los vectores dados se puede ex
presar como una combinación lineal de los otros dos. Supongamos
entonces que:
X 3 “ rX 1 + tX 2
-*■ (-1,1,-3,0) = r(2 ,1,3,1) + t (1 , 2, 0,1 )
(-1 ,1 ,-3,0) = (2r+t,r+2t,3r,r+t)
de donde, igualando componentes obtenemos: r= -1 y t=1
X 3 = -Xa + X2
Luego, ¿={Xi,X2} es una base del espacio vectorial dado cuya di
mensión es r=2.
E3EMPL0 12. Hallar las coordenadas del vector X=(1,2,1,1) en la
base 5={E 1 ,E2 1E a, E i») , siendo: E 1= (1,1,1,1), E2=(1,1,
-1,-1), E,= (1,-1,1,-1) y E»=(1,-1,-1,1).
Sctuciin, Sea X=x iE 1+X2E2+X sE 3+xi*Ei*, donde (x 1, x 2, x 3, x u) son
las coordenadas del vector X en la base B.
-► (1,2,1,1) = xi(1, 1,1, 1)+x 2 (1, 1,-1,-1)+x3(1,-1,1,-1)+x„(1,-1,
- 1 , 1 )
Xi + X 2 + X j + X ( , = 1
x l + X 2 - X 3 - x H = 2
x 1 “ X 2 + X 3 - x i* = 1
L X i - X 2 - X 3 + X í4 = 1
de donde obtenemos: xi = 5/¿ , x2 = 1/¿ , x 3=-1/¿ , xí* = -1/¿
F:r tanto, ( 5/<4. 1/4, - 1/4.-1/¿) son las coordenadas buscadas.
Ve.ctofie.4t 2 1 5
EJERCICIOS
1. Establecer cuáles de los siguientes conjuntos de vectores
son base de R 3.
a) (3,1.-4) ; (2.5,6) , (1,4,8) Rp. Si
b) (2,-3.1) , (4,1.1) , (0,-7,1) Rp. No
c) (1,6,4) , (2,4,-1) . (-1.2,5) Rp. No
2. Cuáles de los siguientes conjuntos de vectores son base de P
a) 4+6x +x 2 , -1 + 4 x + 2 x 2 , 5 + 2 x -x 2
b) 1+x+x2 , x + x 2 , x 2
c) -4 + x + 3 x 2 , 6+5x+2x2 , 8+4x+x2
Rp. No
Rp. Si
Rp. Si
3. En los ejercicios siguientes, determinar la dimensión y una
i
base del espacio solución del sistema dado.
a) 2x 1+x2+3x 3=0
xi+2x 2 =0
X2+Xa=0
b) x i * 3x 2 tx 3 = 0
2xi-6x2+2xs= 0
3x i -9x 2+3x s = 0
c) 2Xi+X2-X3 + 3Xi, = 0
3xi-Xi+X3-2xj, = 0
Rp. B={(0,0,0)}
dim(S)=0
Rp. B={(3,1,0),(-1,0,1)}
dim(S)=2
Rp. B={(1,13»0,-5)»(0,1,1,0))
dim(S)=2
4.. Determinar la dimensión de cada uno de los siguientes subes-
pecios de R 1*.
*
a) Todos los vectores de la forma: (a,b,c,d), donde a+b=c+d
Rp. 3
b) Todos los vectores de la forma (a,b,c,d), donde:
2a+b-c=0 » 3a-b+d=Q • Rp. 2
c) Todos los vectores de la forma (a,b,c,d), donde:
d=2a-b y c=a+2b Rp, 2
. Determinar una base para el siguiente subespacio de R a: un
plano que pasa por los puntos Pi(2,1,-1) y P2(4,2,-2) y es
paralelo a la recta L:P=(3,0,1)+t(3»2»1),teR.
276 ^ec¿o/t£4
1.67 SUMA DE SUBESPACIOS
Si U y W son subespacios de un espacio vectorial V hay dos
operaciones que se pueden efectuar con U y W para obtener nuevos
espacios:
a) La intersección* que se denota: On W = {x / xeU * xeW}
b) La suma, que se denota: U+W = {u+v/ueU , veW)
Ambos son subespacios de V,
El subespacio U+W contiene tanto a U como a W, es decir*
U<= (U+W) y Wc (U+W)
Además si 2 es también subespacio de V que contenga tanto a U co
rao a W, entonces Z también contiene a (U+W)* esto es: (U+W)cZ.
Por tanto, U+W es el menor de los subespacios de V que contienen
tanto a U como a W*
En efecto» supongamos que: vie(U+W) y v2e(U+W), entonces existe
u lfuacU y wi,w2eW tales que:
vj = ui+vi y v2 = U 2 +w2
De las propieaades ae la adición de vectores» se desprende que:
V i + V 2 = ( U l + W i ) + ( U 2+W2 )
= (Ui+U2 )+(Wj+V2 )
Dado que U y W son subespacios» entonces: (ui+U2)eÜ y (wj+W2)eW*
En consecuencia: (vi+v2)e(U+W), es decir, U+W es cerrado con la
adición.
Además, si a es un escalar» entonces:
avx * o(ui+wj) = aux + awi
Puesto que U y W son subespacios -► auicU y awieW. Por lo tanto
avje{U+W}f esto es, {U+W} es cerrado con la multiplicación por
escalares. Entonces tenemos que (U+W) es subespacio de V.
Si Z es un subespacio de V que contiene tanto a U como a W y co
mo tal, cerrado bajo la adición, entonces debe contener a todas
las sumas de la forma u+v, donde ueü y weW. En consecuencia Z
contiene al conjunto {Ü+W}, es decir, {U+W}c Z.
La siguiente proposición muestra como puede expresarse una ba
se para U+W en términos de una base para U y una base para W. De
bemos tener presente que si U y W son subespacios, la parte co
mún de estos subespacios, UnW, es también un subespacio.
Va C¿0A4-ó 277
PROPOSICION 1.7 Sean U y W subespacios del espacio vectorial de
dimensión finita V. Sea B una base para Un W.
Si Bi es una extensión de B que es una base de U y B2 es una ex
tensión de B que es una base para W, entonces Bjü B2 es una base
para U+W. En particular si U+W=6, y Bj es una base para U y B2 u
na base Para W, entonces B i U B 2 es una base para U+W.
D&mo¿¿Aac¿6n* i) Debemos probar que: U+W = gen(BiUB2)
En efecto, puesto que U=gen(Bi) y W=gen(B2)
se deduce inmediatamente que:
U+W = gen(Bi ü B2) (1)
ii) Debemos probar que B i U B 2 es linealmente independiente.
En efecto, sean:
B i = {xi,
B 2 = (xi,
• • t f>xn'x n+1-
y y ti v ?t)* n,x n+V • • * ,xsj
Supongamos que:
aix»+ • • •+anxn+an+1xh+1 + .. +alx!+a2l nr r n+1 n+1 + ...+a"x” = 0 s s (2)
Puesto que Bi es L.i., es suficiente demostrar que todos los coe
ficientes: a” + ̂ ......fa” son cero. Para probar esto, sea:
x = a” Mn+1xn+1 + ... + a"xns s (3)
Debe deducirse de (2) que; xegen(Bi)=U
Pero (3) implica que xeW, puesto que ... ,x”)eW. Por tan
to, xe(U o W).
Dado que B es una base para Un W, entonces:
x = aS+1xn+1 + — + a"sx£ = b>x + ••• +bnxn
para coeficientes bi, ... , bR apropiados.
Así: an+1 n+1
Sin embargo, xlf ... »^n*^+1
+ ... + a«x^ - bxx - ... - bnxn = 6
, ... ,xo son L.i., por tanto:
5
an - ... * a” = b* = • • = b = on+1 "s
lo cual se deseaba demostrar.
9
Este resultado puede interpretarse en términos de la dimensión
de los espacios Ü y W. Si dimfUj^k , dim(W) = m y dim(UnW)=n , en
tonces, dado que la unión de las bases Bi y B2 para ü y W respec
278 Ve ctoeea
tivamente, es una base para U+W, se observa que:
*
dio(U+V) » k*m-n
Corolario• Si 0 y V son subespaeios del espacio vectorial de di
nensiÓn finita V» entonces:
dim(U) + dÍm(W) = dim(UOW) + dim(U+tf)
*
En particular, si U*V-V, entonces:
dia(V) = ditn(U) + dim<W) «-► U O W = {9}
DEFINICION 24, Un espacio vectorial V*es la 4urna di/iecta de los
subespaeios U y W si se cumplen las condiciones:
i) V = U+W
ii) tfntf = {Al
Sn este caso se escribe: V = U © W
Esta definición equivale a decir que todo vector veV puede escri
birse de manera ¿nica como V = U+W, donde: ucU y veW.
E3EWL0 1. Dado los subespaeios en R3: Si={(x i ,x 2,x 3)/2x i-x2-x 3
=0} y Sa*{(xi.xí,x?)/xj-3x2+xj=0}í hallar una base
para Sin S3 y la dim(S3+S2).*
Scluci6n. En S*: 2x3-x2~x3*0 ■* x3=2x3-x2
Luego: (xi,x2,x3) * (xl,x2,2xl-x2)
* Xi(l,0,2)+xa(G.1,-1)
Entonces, una base para S3 es: Bj*{(1,0,2),(0*1,-1)} y dlo(Si)=2
Sn Sa: xi-3xa+x3=0 -► x 3*~x i+3x 2
-*■ (xj,xa*Xj) * (xj,xa,-xi+3x2)
» Xi(1,0,-1)+x2(0,t.3)
Unabase para Sa es: Ba*{(1,0,-1),(0,1,3)} y dim(S2)=2
Para determinar una base para Sxn Sa procedemos del siguiente mo
do: sea xe(SjnS2) *► xeSx y xeS2
Si xtSt + x = Bill,0,2) + a2(0, 1,-1) (1)
xeS2 -► x = 8i(1»0,-1) + 82(0,1 ,3)
Entonces: a3(1,0,2) + aa(0,1,-1) = Bi(1,0,-1) + 6 2(0,1 ,3)
+•+ (a3,a2,2ai-o2) * (6i,62,--6»+362}
cu ~ Bi , a2 = g2 , 2ai-a2 = -Bi+3B2
Sustituyendo el valor de las dos primeras en la tercera ecuación
se tiene: 2aj-a2 = -ai+3a2 + 3ai=4a2 -«-*■ a2 = -|aa
Sustituyendo en (1): x = ai(1,0,2) + *|ai(0,1,-l)
+ x = ot i (1
Luego» una base para S * n S 2 es: B3={(1»^,-|)} y dim(S* n S2) = 1
/. dim(Si+S2)- = dim(Si)+dim(S2)-dim(Si0 S2) = 2+2-1 = 3
EOEMPLO 2- Dado los subespacios de R3: Si={(xifX 2iX3)/xi+2xa-x3
=0} y S2=((xi,X2.X3)/xi-x2+x3=0}. Determinar si
R3=Si © S 2.
Solución. Para determinar si R s es la suma directa de Si y Sa
debemos probar que. Si n S¿-={ (0,0,0)}
Sea xe(Sj nSj) *► xeSi y xeS2
Si xeSi x i+2x 2-X3=0 (1)
xeS2 *■ xi-x2+X3=0 (2)
Sumando (1) y (2) se tiene: 2xi+x2=0 -*• x 2=-2x i
Haciendo: xi=t ->• x2=-2t
Sustituyendo en (2): t+2t+X3=0 -*• x3=-3t
Luego, x =. (xi,x2lx 3) = (t,-2t,-3t)- = t(l,-2,-3)
Dado que teR, el vector x no se reduce únicamente a (0,0,0), en
consecuencia R 3 no es la suma directa de Si con S2, esto es:
R 3- ¿ Si © S2
E3EMPL0 3* Dados los vectores en R1*: u=(2,1,1,0), v=(1#3»2,-1),
2=(1 ,1 ,-2,2) y v=(0,1,-1,2); si S=gen(u,v) y T=gen(z
,w), hallar una base y la dimensión para Sn T. y S+T.
VcctoncA 279
Solución, Sea xe(SflT) xeS y xeT
o sea: x = aiu + a2v y x = 8iz + 82w
( 2 , 1 , 1 , 0 ) + ce2 ( l , 3 , 2 , - l ) = 6 1 ( 1 » 1 , - 2 , 2 ) + M O . 1 , - 1 , 2 )
2a i + a2 = Si (1 )
ati + 3a 2 = 8i + 82 (2 )
a i + 2a2 = “ 23 1 - 62 ( 3 )
- a2 = 26i + 282 U)
Restando (2)-(l) se.tiene: -ai + 2a2 = 82
Sumando (3)+(¿) obtenemos: ai + a2 = 82
ai + 2a2 = a2+ a2 a2 =2a2
Luego: x = ai(2,1,1,0) + 2a i(1,3,2,-1) = ai(4*7»5»-2)
Por tanto, una base para S n T ea Bx = {(4*7,5»-2)} y dim(S0T)-1
Para hallar S+T debemos probar que u,v,z y w son L.i.» es decir,
deben existir escalares ai, a2, ota y ai» tales que:
otju + Q2V + a3z + at|V - 9 ai=a2=ct3=a«,=0
- a x ( 2 , 1 , 1 , )+a2 ( 1 # 3 f 2 f - 1 ) + a 3 ( 1 , 1 * - 2 #2 ) + a % ( 0 , 1 f “ 1 #2 ) = ( 0 , 0, 0, 0)
2ax- + a 2 + a 3 -• = 0 (1)
a i + 3a2 + a 3 + a* = 0 (2)
a i + 2a2 ~ 2 a 3 - a% = 0 ( 3 )
a 2 + 2 a 3 + 2a** = 0 ( A )
Sumando (3)+(4)s «i + a2 + a*, = 0 (5)
Restando (l)-(2 ): ai - 2a2 - ai, = 0 (6)
Sumando (5) +(6): 2ai - a2: = 0 *** a2=2ai
Sustituyendo en (1) y (5) se tiene: 2ax+2ax+a3=0 +
ax+2ai + aH=0 -*■
Vemos que u, v, z y w son L.d., pero si hacemos aj=0,
a2 = a3 = a* = 0 , esto es, v, z y w son L.i.
•\ S+T = gen(v,z,wj
dim(S+T) = dim(S)+dim(T)-dim(S0 T) = 2+2-1 = 3
e j e r c i c i o s
1. Dado los subespacios de R 3: Si={(xi,x2,x3)/xi-2x2+x3=0} y
S2={(Xl t x2, x3 )/xi+x2-2x-3=0} , hallar- una base para S i n S 2y la
dim(Sx+S2). Hp* B={(1,1,1)}, dim(Sx+S2) = 3 *
2. Sea U=gen{(2,0,1),(-3»1»0)}, Hallar dos subespacios Wx y V 2
tales que R3=H © Wi=U © W 2 y ■deducir que: U © W i = U ® W 2 no
implica que Wx=W2.
3. Dados los vectores en R*1: u=(1,2,-1,0), v =(1 , -1,2,1), z=(0,1
#-2,1), w=(2,-1,0,1); si S=gen(u,v) y T=gen(z,w), hallar una
base y la dimensión para Sf]T y S+T.
Rp. B={(A,-1 ,5,3)}, S+T=gen(u,v,w), dim(S+T)=3
230 l/e.ctosi&’ó
a3=-4-ax
aef=-3ax
entonces:
2 * 1
M A T R I C E S
if.J INTRODUCCION
La resolución de sistemas de. ecuaciones lineales mediante
las técnicas usuales de sustitución y de multiplicación y suma,
se dificulta en la medida en que aumenta el número de variables
y se complica aún más, si es el caso que el número de variables
difiere del número de ecuaciones que conforman el sistema. Dado
que el conjunto solución de un sistema se obtiene operando los
coeficientes y las constantes numéricas, sin necesidad de reite
rar la escritura de las variables, podemos señalar que el esta
blecimiento de ciertas relaciones aplicables a conjuntos numéri
• «
eos facilitará considerablemente el proceso. En tal sentido el
estudio de las matrices, como un concepto del álgebra lineal,
nos ofrece la alternativa de resolver los. sistemas lineales apli
cando las técnicas que se describen en este capítulo.
2.2 DEFINICION. Una matriz es un-arreglo rectangular de núme
ros reales ordenados en filas o columnas.
Son ejemplos de matrices los siguientes arreglos:
~2 1 7T 2a
0 -1 /5 , I SenB,CosB,TgB 1 , -b
1 2 10-
i— -i 3c
Notación. Las matrices se denotan con letras mayúsculas, tal co
mo A, 6, C, •••,etc.
El conjunto de elementos o componentes de una matriz se encierra
entre paréntesis o corchetes y en los casos en que no se use nú-
ros reales específicos, se denotan con letras minúsculas subindi
cadas: aij f Dij ij
es decir:
282 ftaÍA.ic.e.4
* • N ]
ai i ai2
S.2X &22
ain
a2n
am i ajQ2 amn -
Los subíndices de un elemento indican^ el primero la fila en la
que está la componente y el segundo la columna correspondiente;
así, el elemento as2 ocupa la tercera fila y la segunda columna.
s
En general, el elementó a^^ ocupa la intersección de la i-ésima
fila y la j-ésima columna.
Nota. Se debe destacar que una matriz es un arreglo y como tal
no tiene un valor numérico.
2.3 ORDEN DE UNA MATRIZ
El orden o dimensión de una matriz está dado por el produc
to indicado m*n, donde m indica el número de filas y n el número
_ ____
Por ejemplo:
es una matriz de orden 2x3
es una matriz de orden 2x2b - D u
El conjunto de matrices de orden mxn» con coeficientes en K (K
puede ser R o C), se denotará K®Xn , es decir:
K“xn = U/A-Cay].^}
Así, en loe ejemplos anteriores: AeK^x^ , BeK^x^
EJEMPLO 1. Escribir explícitamente la matriz
*) * * O i j ] ^ 2*3/ * u • 2i-J
b) B . b * min(i,j)
Raí**ce¿
c) C = [c^jeK2**/ cij=i2+j
Solución * Escribiremos las componentes de cada matriz según el
ordena de la matriz y la definición dada*
a) all=2(-:)-‘! = 1
a* i=2(‘2)-1=3
a»»=2(1)-2=0
ai2=2(2)-2=2
ai,=2(1)-3=-l
a*,=2(2)-3)=1
0 -
2 !]
t) fcn-Dxn(1,1)
b2 i=min(2 , 1 )
b3i=min(3f1)
1
1
1
bj 2=min(1*2) = 1
bai=oin(2,2)=2
bs2=inín(3>2)=2
9
9
9
♦ • B
1
2
c) C j i * 1 4+1*?
cal=22+1=5
cia=1í+2=3
caa=22+2=6
cia=12+3=¿
ca,=22+3=7
2
5
3
6
U
7 i
bjj=min(1t3)SI1
b2 $=ain(2,3)=2
b3s*min(3.3)=3
9
9
Ci%»12 +4=5
c2**22+4**8
2.4 TIPOS DE MATRICES
a) Matriz Rectangular. La matriz de orden m n, con m^n, r§
cibe el nombre de matriz rectangu
lar. Por ejemplo:
A = £ 2 q aJ 63 Una ma**r*z rectangular de orden 2x3
b) Matriz Fila. La matriz de orden 1xn se denomina matriz fila
o vector fila* Por ejemplo:
A - (2.-3 1 5) es una matriz o vector fila de orden 1x4
0
c) Matriz Columna.
jemplo, A »
2
I
7
La matriz de m filas y. una columna recibe el
nombre de matriz columna de orden,mx1, Por e
es una matriz columna de orden 3*1
d) Matriz Cero. Una matriz cuyos elementos son todos nulos» es
decir, a^=0, ¥i»j » recibe el nombre de matriz
284 fíatricz*
cero o nula. Por ejemplo:
® x £o 0 oj es una ma*r*x cero de orden 2*3
e) Matriz Cuadrada. La matriz que tiene el mismo número de fi
las y columnas se llama matriz cuadrada. U
na matriz cuadrada con n filas y n columnas se llama también
matriz de orden n, y al conjunto de matrices cuadradas se le
denota por Kn. Por ejemplo:
A *
ajj aja ai»-*
*21 *22 *23
ají aaa ajr
es una matriz de orden 3 (AeKO
Observaciones. (1) En una matriz cuadrada, la diagonal princi
pal es una línea formada por los elementos:
*11» *22» *39» * * _«. - nn
(2) La suma de los elementos de la diagonal principal de una ma
triz cuadrada A se llama traza de la matriz A.
2.5 IGUALDAD DE MATRICES
Se dice que dos matrices A y B son iguales si son del mismo
orden y sus componentes correspondientes son iguales, es decir,
si las matrices son idénticas. Esto es:
íaijÍ»*„ = ~ aij = bij * « . J (1)
Si A no es igual a B se denota: A 4 B
EJEMPLO 2. Dadas las matrices A= fa^jcK^^/a^ . = 2*-(-1) ̂ y
B = [^3x-y 3 J * ^a^ ar ^os valores de x e y de modo
que A=B.
Solución. Determinemoslos elementos de la matriz A.
* i i * 2 , - ( - 1 ) 1 *2 + 1«3 . a 12=2 M - t ) * = r 2- 1 = 1
a 21= 2 2- ( - 1 0 = 4 + 1 = 5 , * z 2- 2 2- ( - 1 } 2= 4- 1=3
L" ío- ‘“ * * [ l J j - f * : ? 11 - * (3,.,.5>
ftat-nice^ó 285
Resolviendo el sistema obtenemos: x*1» y*-2
2.6 SUMA DE MATRICES
Dadas dos matrices A=[a¿j]mXn y ®= t^jlBXn» se ^^aoa SUBa '
de A y B a otra matriz clue:
c^j = sî j + b^j $ ¥i»j £{ 1» 2»3» •■• •»n}
Esto es:
A + B = [a^l ♦ D>4í] = [a^ ♦ C2)
E3EMPL0 3. Dadas las matrices ¿“[^ly 2] * B=[x+Í y
■ D i - 0 •
hallar A+C, sabiendo que A*B*
Solución* Según la ecuación (1) se tiene:
2x+y®6
x+y»2
B ~ ( 2x-1 * 5-y *
l 3-y = x+1 +
Resolviendo el sistema obtenemos: x*4 • y*-2
A+C =l ' *2 l .+
5 2
r - 2 51 , r 7-2 . 2+5] . [5 3]
L A - 1 j L 5 +A 2 - 1 J |_9 U
Nota. La adición de matrices es la ley de composición interna
que hace corresponder a dos matrices» del mismo orden» su
suma. Se denota:
<A»B) -► A+B
PROPIEDADES DE LA ADICION DE MATRICES* Si A, B y C son matrices
del sismo orden» enton
ces se cumplen las siguientes propiedades:
A i : V-AíBeK10 n , (A+B)eKn n Clausura
A 2 : A + B = B + A Conmutatividád
A, : A + ( B + C) =* ( A + B) + C Asociauividad
A%: ¥AeKmXn# 39 „ tal que: A+9=0+A=A Elemento neutro aditivom*n
As: VAEKBXnf 3(-A)eKmXn tal que: A+(-A) * (-A)+A = 6
Elemento Inverso aditivo
286 PlaÍ4.icc¿
Observaciones.
(1) Dos matrices del mismo orden se llaman c o n ¿ O A . m . a l l c ¿ respecto
de la suma algebraica.
(2) Las matrices del mismo orden o conformadles respecto de la
suma algebraica» siguen las mismas leyes de la adición que
sujetan a los elementos que las componen. (Esta caracterís
tica permite demostrar las propiedades de la adición de ma
trices) •
%
2.7 DIFERENCIA DE MATRICES
Dados dos matrices A y B del mismo orden m n, la diferencia
entre A y B es otra matriz C, del mismo orden, tal que:
^ ~ -̂aij^mxn " ~ £.aij " ^ij-^mxn
EOEMPLO A. Si A=|j B=jj] * , hallar A-B.
Solución, A-B = [ ^ ] 5_+5] = y :!__?]
2.8 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN* MATRIZ
Dados una matriz A y un número real k, el producto de k por
A se define por:
fcA = kfajj] = Cka1J] (3)
Oada componente de A se multiplica por el escalar k*
EOEMPLO 5* Si k=-2 y A=£_^ , hallar el producto de k por A
Solución. kA = ¡~-2(-2) ■-*2(2)1 = í ¿
L - 2 ( - 1 ) - 2 ( - 5 ) J L 2 10j
EOEMPLO 6. Calcular la combinación lineal de las matrices:
A=[¡ -i] y B=[-i !]• si x=d+i)A+d-i)B.
Solución. Recordemos que si i=/^T *► i2=-1
Rat4.¿ce.ó 287
+ X * ( 1 + i ) p i i m i - d í 1 ii = p + i i ( i + i ) i + r 1 ( 1 ‘ ° i _ í ]
Li -iJ L-i iJ L i+í -id+i)J L-iO-i) 1-iJ
_ f2+2i- x = p +i i-1] ♦ r 1+1 ui] =,
L m -i+1J L - i - 1 1-iJ L 0 2
EOEMPIO 7. Sean las matrices: A=£j “|J, B=£_2 _|J y C={f{ -3]
Hallar X en la ecuación: i|x(X+A) = 2[x+{2B-C)3+A.
Sotuci&n, Multiplicando por 2 ambos miembros de la ecuación da
da se tiene:
3(X+A) = k [x+(2B-C)l +2A , de donde: X = A-8BUC
Luego» haciendo uso de (3) y (2) se tiene:
■ 0 -11 * ['I6 -51] ♦ [?i - « ] ** !
-12 -17
27 8
E3EMPL0 8* Resolver el sistema de ecuaciones:
X-2Y=A , 2X+3Y=B . X.YeK2*2, donde:
* ■ [í 1 ] » » • [:? ¡]
Soíución, Multiplicando por 3 la primera ecuación y por 2 la se
gunda, se tiene: 3X - 6Y = 3A
U + 6Y = 2B
de donde: X = ^(3A+2B) , Y = i(B-2A)
■ G ? « ] * [ - « i s ] ■ [ i , ¡ ] * * • [ í ; ]
*-** • [-5 3 * t « -f] ■ [-S. ’éj * I ■ [ J l]
PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UNA MATRIZ
Si A y BeKmXn, y p y q son números reales, entonces:
E*: p(qA) = (pq)A Asociatividad escalar
E2: (p+q)A = pA + qA Distributividad pespecto
a la suma de escalares.
E3: p(A+B) = pA + pB Distributividad respecto
a la suma de matrices.
ttxtt*.ÍCAA
E J E R C I C I O S
Escribir explícitamente las siguientes matrices:
a) A = [a'^eK3*2/ a ^ - 1+23
b) B * [b^JeS3*3/ b ^ ^ - j
c) C = [c^Jeí3**/ c^j=oax(l* j)
d) D * [d^JeS**3/ d ^ ^ - í - t ) ^
Sean las ¡aatricea: x - J * y C'=^ - 1 ^ oj*
SI A=B, tallar A+3C-* Bp. AIi
l"2x*1 2 z-tl f3-2y 2
Sean las matrices: A«| x*2 -1 2y f y B=| z+3 -1 z
1 8 x-2zj I z-5L r 6
Si A*B# hallar el valor de xyz* RP-
Si A-[_J ^ J , B*["2 _ i j y C=[]g 5 ] . Resolver la ecuación:
2(X+B) - 3Ca -2(B+X)]+C. Rp. X=["7 ™ ]
Si A=J^"| |J, B=|̂ 2 -|J y C=|”| resolver las siguientes
ecuaciones: a) 3(X-2A)=5(B-C}+2(X-A-B) Rp. X=[f| jí]
b) 3(X-A+B)=2[X-2(B+C)]-(X+C) Rp. X=jf,
Si A= 1 “21 1 4 ,
3 6j
3
-? 1 ¿f. B
8
r 6 3 - 7
y G=i12 5 -6
1-1 U 10J
resolver la e-
T L 7 -1
. X= -6 1 6
L 5 0 4
cuación: 2(X-2C)^3X-C-2(A+2B-X). Rp* 3>i-6 1 6
y
2x2Resolver el siguiente sistema: 2X+3Y=A , 5X-2Y=B , X,YeK
tMt.: j}| j ] , 3-[« -*»| Rp. I.[| :.[-32
ftat/iiceA 289
2.9 MULTIPLICACION DE MATRICES
Cor el propósito de comprender mejor la multiplicación de
dos matrices veamos el siguiente ejemplo,
TJn fabricante de muebles produce tres modelos de escritorios,
que llevan tiradores de metal y chapas especificadas por la si
guiente tabla.
^^^-Jtodelo s
Partes
A B C
N° de tiradores 8 6 4
N° de chapas 3 2 1
Llamaremos a este arreglo, matriz de paA.teA x modetoA.
Si el fabricante recibe pedidos en el mes de Agosto 15 del mo
delo A, 24. del modelo B y 17 del modelo C; y en el mes de setiem
bre: 25 del modelo A, 32 del modelo B y 27 del modelo C,
Los datos quedan descritos en el siguiente cuadro:
Mes
Modelo*"**^
Agosto Setiembre
A 15 25
B 24 32
C 17 27
Llamaremos a este arreglo, matriz de nodeto x aeA.
Si el fabricante desea saber de cuántos tiradores y chapas de
be disponer cada mes para poder atender los pedidos, debe enca
rar el problema del siguiente modo?
Para determinar el número de timadores requeridos en el mes de A
gosto se sumarían el producto de cada elemento de la primera fi
la de la matriz pa/iteA x rn.ode.to-A por el correspondiente elemento
de la primera columna de la matriz utcdeLo x biza, esto es:
8(15) + 6(24) + 4(17) = 332
Para establecer el número de chapas requeridos en el mes de A-
gosto se sumarían el producto de cada elemento de la segunda fi-
290 ftat*ticeó
la de la matriz paete* x modelos por el correspondiente elemento
de la primera columna de la matriz modelo x meó, esto es:
3(15) * 2(24) + 1(17) = 110
En el mes de Setiembre el número de tiradores se obtendría su
mando el producto de cada elemento de la primera fila de la ma
triz paeteó x modelo¿ por el correspondiente elemento de la se
gunda columna de la matriz modelo x me*, esto es:
8(25) + 6(32) + 4(27) = 500
m
X para el número de chapas se sumarían el producto de cada ele
mento de la segunda fila de la matriz paeteó x modelo por el co
rrespondiente elemento de la segunda columna de la matriz modelo
x meó, esto es:
3(25) + 2(32) + 1(27) = 166
Con los resultados obtenidos podemos hacer el siguiente arreglo:
e s
Partes
Agosto Setiembre
N° de tiradores 332 500
K° de chapas 110 166
Haciendo uso de la notación matrici&l, los datos y resultado ob
tenido nos expresará la multiplicación de matrices del siguiente
modo:
Observamos de inmediato que el numero de columnas de la primera
matriz es igual al numero de filas de la segunda» cuando esto o-
curre se dice que las matrices son con^oemalleó pasta la maltipli
caciSn*
Mediante rectángulos que satisfagan la condición de que el lar(
go del primero sea igual al ancho del segundo podemos represen
tar el producto efectuado en la forma siguiente:
. fla¿A¿c4¿ 291
T
m
-L
p =
T
m
±
!•— n — *|
U— n — I
Para facilitar la comprensión del producto realizado delineamos
el siguiente diagrama:
? j-ásima1I columnat
1
1
de B
0----------------- -A
i-ésima fila de A cij elementode A*B
En consecuencia, una forma práctica para efectuar la multiplica
ción de matrices se presenta en el esquema siguiente:
y ̂ fc*>„
-
25
32
27 Z-
500
166
£
DEFINICION 2.1 Si A=[a^jjmXp y ®=D)¿j3pxnf Pr°ducto A*B, en
este orden, es la matriz .0= Cc^j]mXn cuyos elemen
tos se obtienen de los elementos de A y B siguiendo el siguiente
desarrolle:
°ij = ai1b1j + ai2b2j + •••• + aipbpj U)
292 flatA.lce.4Per esta definición cada elemento ij de C es la suma de los pro
ductos formados al multiplicar cada elemento de la i-ésima fila
de A por los elementos correspondientes de B, esto es:
j-ésima columna de B
i-ésima fila de A * i , . . . . . a±p
o bien:
n
ij y; a. b .pTl ^ PJ
, i=1>2,3.
ij
pj
= cij
(5)
Observaciones»
(1) Si AeKm*P y BeK^Xn, las columnas de A y las filas de B son
vectores de ; entonces el elemento de la matriz C es
el producto escalar de la i-ésima fila de A por la j-ésima
columna de B.
(2) El producto AB está definido si el número de columnas de A
es igual número de filas de B. Si el producto AB está defi
nido se dice que A es coa.f.o/im.aLt& con B para la multiplica
ción. No significa esto que B sea necesariamente conformable
con A respecto de la multiplicación, toda vez que BA puede o
no estar definido.
E3EMPLO 1. Si A=íj | l y b -2 U 1
3 hallar: a) AB , b) BA
Solución, Dado que A tiene dos columnas y B dos filas, entonces
A es conformable con B y el producto AB está definido
Empleando el método del producto escalar se tiene:
á) AB =
<2.3).[J] (2.3). [’2] (2.3).[|]
j 1 . 2 ) . [ ¡ ] (1,2).[f]
flatnice.4 293
2(1)+3U)
1(1)+2(4)
2(-2) + 3d) 2(3) + 3(2) "|
1 (-2) +2 (1) K3)+2(2)J
M -1 12
9 0 7
b) En este caso B tiene tres columnas y A dos filas, luego B no
es conformable con A respecto de la multiplicación y por tan
to BA no está definido.
Recordando el desarrollo inicial para establecer la multiplica
ción de matrices, es evidente que el último esquema constituye
un procedimiento muy eficaz para calcular el producto de dos o
más matrices*
ECJEMPLO 2. Si
Solución, Sea E = 2A
i A=|"l Íl. B=(l 1
L 1 oj Lo 1
triz: D=(2A -^B)C
-H
y e j -11 ? ] • >hallar la ma-
-2
3
2 [i I ■ [-362
E =
- ' Ai'
í : ílA
-1
1
-3 ” 9" L ® 12
6 0 2U -6
2 - 5- -2 -7
-6
30
5
2.10 PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACION DE MATRICES
Si A, B y C son matrices“de dimensiones compatibles (con-
formables) respecto de la suma y producto, entonces se tiene:
Asociatividad
Di stributividad
Hjt A(BC) = (AB)C
H2: A(B+C) = AB + BC
(A+B)C = AC + BC
M3: AB ¿ BA
H h: AB = 0 -/► A=0 6 B=0
M 5: AB = AC -/► B=C
M6: 3leKn con la propiedad de que para cualquier AeKn se
No Conmutatividad
294 ñaÍA.iccA
verifica que: AI * IA (I es la matriz identidad)
Üe.mo4tA.ac.¿&n ¿c.* Mi: A(BC) = (AB)C
En efecto:
Sean AeKpX,n . BeK18*” y CcKnXr definidas por:
A-Ca^], B=[bj]cl y C=[ckt]
n
Si BC = [djt] - djt = kZ ( b jk)(ckt)
m
y AB = [eik] ♦. elk = X (a^Ubj*)
En consecuencia, si A(BC) = [fitJ y (AB)C = ígitl. entonces para
cada par de índices i,t se tiene que:
fit'“ $ , íaij)ídjt}. = 5 , íaij)
««
=
m n
H 5 1 L( a i 1 ) ( b . k ) J ( c k t )
j = 1 15 kt
n o
= ¿T-, ^ í ^ i j ^ ^ k ^ ^ k t 5
= ^ / eik)(ckt)
•’* fit = git A(BC) = (AB)C
EOEMPLO 3. Si A, B y C son matrices confortables para la adición
y multiplicación» demostrar que AB+AC =■ A(B+C).
De.mo4ÍA.ac¿6n* En efecto, la demostración requiere que las matri
ces 3 y C sean confornables respecto de la adición
y las matrices A,B y A,C respecto de la multiplicación.
Sean entonces: A=[aikj , B=[bkj] , C=[ckj]
De la hipótesis se sigue que:
fldtnicCJ 295
n n
AB + AC - S i(aikbk;j) + 2 i(aik)(ck;j)
n
k«1 (aik)(bkj + ckj^
= (Caiic^(Cbkj + ckiD'kj
AB + AC = A(B + C)
EJEMPLO 4. Sea la matriz B=f£°f!íISenx cosxj' Si A = B 2 ' hallar el va
lor de a n a zit para x=2tt/3.
R2 = fCosx -Senxl FCosx -Senx"|Solución» A [Senx Cosxj |_Senx Cosxj
|-Cos2x**Sen2x -2SenxCosx
(jSSenxCosx Cos2x-Sen2x
CCos2x -Sen2x~|Sen2x Cos2xJ
Luego: ai ia22=(Cos2x) (Cos2x) = Co s 2(2tt/3) = (-1/2)2 = 1/A
E3EMPL0 5. Dadas las matrices: A de orden m*n, B de orden n*p y
C de orden r*q. Qué condiciones satisfacen p, q y r
para que las matrices sean compatibles (conformables) respecto
de los productos que se indican y cuál es el orden de cada una
de las matrices Siguientes:
a) ABC b) ACB c) A(B+C)
Solución» a) Sea ABC » D m*n
1 1
Bnxp • Cr xq - *>??
J t . t I
El producto AB está definido puesto que el número de columnas
de A es igual al número de filas de B. Luego, para que D esté
definido se debe cumplir que, p=r , entonces:
Número de filas de D = número de filas de A
Número de columnas de D = Número de columnas de C
Por lo tanto» D es una matriz de orden mxq
b) Sea ACB = E » entonces:
296 ña¿A¿C&4
Am*n * Crxq * V p = E??
t *- - - - - - * t —
El producto ACB es conformable ++ n=r y q=n
y el orden de la matriz ACB es ®BXp
c) Sea A(B+C) * F , entonces:
Amxn^Bnxp + Cr*q^ = F??
Para que sea posible la suma B+C se debe cumplir que n-r y
p=q. Luego, si B+C=G -*■ ABxn(Gnxq) = F??
Por tanto» el orden de la matriz F es: m*q
EJEMPLO 6. Dadas las matrices A= -1 3. B
f 3 6 11
«1-1 i 5 • Si
L 2 1 2j
Si E=ABC, hallar: S-eiite*3+eja
Solución. Sea D « AB
D
Si E=DC, entonces cada elemento e^j de la matriz E es el produc
to interno de la Fila i de la matriz D por la columna j de la aa
triz C, esto es:
®ji = d1jcil a (5.6,-6).(3,-1,2) = 15-6-12 = -3
en = d2jci3 * (8.-4.-11 >• í 1» 5.2) = 8+20-22 = 6
® jí = d3jCi2 = (-1,6,3).(6,4,1) = -6+24+3 = 21
S = 24
#
E3EHPL0 7. Sean las matrices:
f 1 - 3 2 ~j fl 4 1 0l f2 1 - 1 -2~\
** 2 1 -3 , B=l2 1 1 1 , C = | 3 -2 -1 -1
-3 -ij b -2 1 2J L2 -5 - 1 oj
Mostrar que AB=AC. Qué puede concluir de esta igualdad?
fl -3 2 ] n 4 1 0*1 r-3 -3 0 1 1
= 2 1 -3 2 1 1 1 = 1 15 0 -5
U -3 -1J L1 -2 1 2j L-3 15 0 -5J
Dcmo4ÍJiac¿¿n. AB
/? ai.n í ce.4 297
.r 1 -3 2 ] f 2 1 - 1 - 2 l j - 3 -3 O l l
AC = 2 1 -3 3 -2 -1 - 1 U 1 1 5 0 - 5
U -3 L 2 -5 -1 o j L-3 15 o -5j
AB = AC
7 a ígraldad nc implica necesariamente que B sea igual a C.
díMPLO 8. Htliar la matriz AcK2*2 tal que: a2'2 = 5 y A2 = £ 7 721 28
Solución, Sea la matriz A
• e a
^ ¿í.fa bl fa bl _ Ta2+bc ab+5b") f 7 71
Le 5J Le 5J “ |.ac+5c bc+25_| " [21 28j
¿e rini.de: &2+be = 7 (1)
*
ab+5e = 7 + b = (2)
ac+5c = 21 n- c = (3)
bc+25 = 28 * bc=3 U)
Sx:pti Luyendo (4.) en (1) se tiene: a2+3=7 -*• a2=4 -*-► a=2 <5 a=-2
En [?.) y (3): Para a=2 + J>»1 , c=3 ; si a=-2 -► b=7/3 , c=7
La legunña alternativa no satisface bc=3» por tanto:
* ■ [ i a
tJEHPl 0 9. La traza de una matriz cuadrada A se define como:
n
Tr(A)= (a..) (Suma de los elementos de la diagonal
i=1
principal). Si A= ^ 2 y B={̂ | , hallar: a) Tr(A+B)
b) Tr(AB) y c) Tr(BA).
ScfuUln. a) A+B = [ ’J }] + [j ^ + Tr(A+B) = 5+i
b) AR =j [J = j^-2^ -1-fj + Tr(AB)=-2+A+8i = 2+81
c) EA »[J 1+iJ ['I a] = [“2+í1 3+Ai] "■ ’rr(BA)=“1Ui+3+Ai=2+8i
1‘cc.imc-E r.brervr.r que: Tr(A4B) =Tr(A)+Tr(B) y Tr(AE)=Tr(BA)
298 fíat* ice**
EJEMPLO 10. Demostrar que; (AA)B = A(AB)
\
De.mo4tnac¿ón* Sea C = AA •** cik = Xaik
a
Luego; (AA)B = CB * |(cik){bkj)
n
- (AA)B *= ZI = A 2Z ^ i k ^ ^ k j 5 =
k=1 1
E3EMPL0 lia Hallar la aatriz P-ABCD, donde:
•[] ;’] • -[! J -01 12 00
2
1
1 * 0
-1 3 P» 0 1 -1"¡
. c= 1 4 -1 , D= 2 1 -2 2
0 0 2 u 0 1 0* 3 1 0
Solución* Tenemos: • ^2x5 * ^5x3 D3x4 3x4
Siendo el producto compatible, efectuamos primero el producto
CD=E, luego BE=F y finalmente AF=P
B
C *
í?
\% 0 1 - 1D 2 1 -2 2
- b 0 1 •oj
r 2 1 0' 4 1 0 0'
1 -1 3 2 -1 6 -3
i 4 -1 8 4 -8 7
0 0 2 2 0 2 0
.3 1 0 5 1 1 -1
1 0 1
0 - 1 2
0
0
4 -1 8
0 -3 123[
01 f4 -1 8
-1 4 2 - 4
- 1J L8 1 l
3
i
* E5* i
= F2x¿
* P
3 * A
EJEMPLO 12. Sean las matrices: A=
O
B 3 - 2 1 0 8 6 - 4
Si P*ABCD, hallar el
valor de la suma: S = 2pi2+p13-2p2s
Solución* Sean los productos: AB=E y CD=F
flat*íce>¿ 299
B 2 -2 10 1 5 6- -4 2
2 -
1 4 # -2J
1 °13 3
A =
w i ] [ 2 6
-10 24
18 14 i ! ] -
3 - 1 0 [ 4 - 6 -3l
1 2 4 10 21 -2» O - 0 6-2 10 10 22
4 1 1 11 3 1
Luego, si P=EF
Pll = eijfi2
Pl* = e1jfi3
pía = e2jfi3
, entonces:
(-1,-10,24,0).(-6,21,10,3) = 36
= (-1,-10,24,0).(-3.-2,22,1) = 551
= (26,18,14.11).(-3,-2,22, 1) = 205
.. S = 2(36)+(55l)-2(205) = 213
= F
C3CMPL0 13. Hallar todas las matiices, conmutativas con la ma
triz A
te 1 0 ̂
= ° 3 1
Lo o 3J
3x3
Soluaén* Sean las matrices BeK tales que:
AB ■ti i at ¡H
b
e
h
BA
c i n 1
f i o 3
íj[0 0
3a+d 3t>+c3c+fl
3d+g 3e+h 3f+i
3g 3h 3i J
3a a+3b b+3c*¡
3d d+3e e+3f
3g g+3b h+3ij
Dado que A
3a+d = 3a
3d+g = 34
3g = 3g
y B son
d=0
g=0
conmutativas ■*- AB=BA ,
3b+e=a+3b + e=a
3e+h-d+3© + h=d=0
3h = g+3h + h=0
luego:
3c+f = b+3c ♦ f=b
3f+i = e+3f + i=e=a
3i * h+3i h=0
En consecuencia: B [a b e * ]0 a b . 0 0 aj donde a,b,ceR
EJEMPLO 14. Si A = ["q l] , aeR, hállese una formula para An y
y luego demostrar su validez por inducción,
2 2aSoCucíón. A2 * a
0 aH:
300 fí atn.iccA
A 3 * AA2 = pa 11 r a2 2al _ Ta3 3a 21
Lo aj Lo a a Lo a3J
. r»n o*”'1]
- A - L o J
Para demostrar, por inducción, que la fórmula es verdadera supon
gamos que: P(n)=An
Entonces, si n=1 -► P(l)=A, en efecto: A1 = M es (V)
»h vJi-na na
hSupongamos que para n=h, P(h) es (V), esto es: A*1 =¡’L
es verdaddero. _
Debemos probar qué para n*h+1# A*1*** * ja i es ^
0 a
En efecto, valiéndonos de la hipótesis inductiva:
AhA = Ah + 1 _ f a h hah"11 fa i] fah+1 (h+t)ahl
.0 ^ J [o l] ■ [ 0 « M ’J
En consecuencia, hemos demostrado que:
P(1) es V A P(h) es V h- p(h+D es V
EJEMPLO 15. Hallar todas las matrices de segundo orden, cuyos
cuadrados son iguales a la matriz nula 3.
Solución, Sean las matrices AeK^x^ tales que: A =
fa b) f a b l . T o ol
Le dj L c dj ' L° 0J
^ I"a2+bc ab+bdl F 0 0 1
Lac+dc bc+d2J Lo oj
de donde: a2+bc = 0
ab+bd = 0 + b(a+d)=0 -*-+■ b=0 ó d=-a
ac+dc = 0 -v c(a+d)=Q ++ c=0 ó d=-a
bc+d2 = 0
Si-en la segunda y tercera ecuación: b=0 y c=0 tendríamos nueva
mente la matriz nula, entonces: d=-a
sí A2=e *►
•• A ~ [c -aj ^°nde a,b, cefí
flaisiice.4 301
m n n m
EJEMPLO 16. Demostrar la propiedad: Z ( Z = [ ( [ a,.)
1=1 j=l j=1 1=1 1J
D£«ô ¿>i(2cÁdn. En efecto, desarrollando la primera sumatoria des
de i=1 hasta i=m, se tiene:
m n n n n n
I ( l a..) = ( [ a1.) + ( l a_.) + ( [ a,.) + . . . + ( [ a .)
1=1 j=l lj J=1 1j 3=1 2j 3=1 3j 3=1 mJ/
= (a11 + a12 + alí+ ... +a^) + (a2i'*'a22^a23^ *•* ^a2n^
+ (®-3 lta32̂ "a3 3* *“• +a3n) ^
+ (am1 + am2 + am3 + --- + ann)
m m ra m .
= 7 a.-, + T a.0 + 7 a-Q + ...... + 7 a*
ifei 11 i=1 12 i=1 13 i=1 in
n m
= i < i aü)3¿1 i=i u
EJEMPLO 17. Demostrar que Tr(AB)=Tr(BA)
de.BiQ4t/iac.ión. En efecto, sean las matrices conformables respec
to de la multiplicación:
V a = |ai3! y Bnxn = |bij 1
de modo que si:
n n
Anxm*Bmxn’ ^nxn * °ij + cii "" k^ aikbki
n n
B .A = D ■* d. . = 7 d,* = 7A iSjimxn nxm mxm ij k=i i* kj kk ¿4 *j
n n n
Luego: Tr (AB) = Tr(C) = £ (c..) = 7 ( 7 a.,b,v)1^1 ilc lic
n n
= Z < Z bkiaik)i=1 k=1 K1 1K
Según la propiedad del ejemplo anterior:
Tr(AB) = I ( l b a . ) = ? (d,,) = Tr(D)
k=1 i=1 k=1 JCJC
Tr (AB) = Tr (BA)
302 ftatA.ice.4
E J E R C I C I O S
1* Calcular los productos:
7.
8.
9.
a) 4
7
3] [-28 93
5 II 38 -126]G 3 Rp
b)
• • í] íti] N Rp.
5
15
25
35
2. Hallar a, b, c y d para que satisfagan la ecuación:
a
1
b
4
0 2
0 1
1 0
0 1
0 6 6
9 8 4 Rp. a=1 , b=6
c=0, d=-2
Si
3 -
2
0
1 a ra ■ [i calcular: x+y+z Rp. 6
Si ta -ti2 1, nj :
1 2
n 1
3 o
0
2
o
0 1 1
11 5 a
7
a 0"j
1 -bj
Hallar el valor de S=a+b+c+d
5. Si A
=D -I]* hallar tal que ■ ■ $ Rp. x
Rp. 0
6. Demostrar que A(B+C) * AB + AC
Hallar una matriz X de orden 2x1 tal que: AX = 3X, donde:
5 1 -2]] • «p.ISRp.
Dada la matriz A ^ |!j , hallar el valor de A2-4A Rp. 5I2
Comprobar que las identidades algebraicas (A+B)2=A2+2AB+B2
(A+B)(A-B)=A2-B2 no son ciertas para las matrices:
s j
303
10. Si A2=B*=[¿ °], AB=[° *2 ) y BA=( - 1 o]' hallar: a> <A+B>2 y
Rp. a) (* J). b) ( j J ]b) (A+B)(A-B)•
11. Sean A■(.
-3 2
15 8j, B=[_^ 7] y f(x,y)=x2 -xy+y2
a) Verificar que A y B conmutan..
b) Evaluar f(A,B). Rp (-
-31 U )
105 A6 J
12. Si A*
1
0
0
1
1
o
1
1
1
hallar la suma de los elementos de A5. R. 28
13. Si A=
-1 -2 -2
1 2 1
-1 -1 0
hallar A Rp. I*
U. Si A»
' 0
-2
0
2
2
0
0
2
2
hallar A10. Rp. 512A
•0 1 <0 0 0 11
15. Sean A= 0 0 1 y B= 1 0 0
11 0 04 ,0 1 01
• hallar AB2. Rp. B
17. Para la matriz A»
1 1
5 2
-2 -1
31
6
-3J
hallar (-A) 1 Rp. 0
18. Si A=
2 1 3.
1 -1 2|, hallar la matriz H-A3-2A2.
1 2 1
Rp. 9A
19. Si A=
1
2
5
2
1
2
1
3
3
B«U
2 5
2 1
3 2
1
3
1
71
i
3 6 0 -6
C=l-1 2 A 5 1 •
A 3 2 3
Demostrar que AB=AC (aunque B¿C).
20. Sean las matrices: A■(? a- - í;
3
8 ; ) » « •
3 7
2 6
1 A
1
1
0
Si P=A3C, hallar la suma: i+pi2+p2 1» Rp. 252
21. Hallar todas las matrices, conmutables con la dada.
„ A.(’ 3 Rp. B= f a 2b )I-3b a+3bJ a*
flatsi¿ce.¿
» * ■ ( ; : J ) RP* B=(-5b a+9b)
22. Si A-
3
-1
O
0
1 -
0
1 o ) ' c=
1
2
1
1
O
o
0
1
y P-A3C, hallar el
valor de la suma: S=pn+p22+P3* Rp
23. Hállense todas las matrices de segundo orden, cuyos cuadra
dos son iguales a la matriz identidad 1%.
»>• ( : - í ] , a.beR» donde aa+bc=1
A. Determinar una formula para cada una de las siguientes poten
cias, y luego demostrarlo por inducción.
a » i ; í ] " neZ Rp
1 na
0 ?!
b) |c°s* . dcZ*
Sena Cosa]
Rp
c)
1 1 11n
0 1 1
0 0 1
neZ Rp
d)
-1
-1
1
n
, nxZ Rp
Cosna -Senna
Senna Cosna
[1 n^n(n+1)l
0 1 n
0 0 1
f1 -n jn(n-3)
0 1 -n
0 0 1
e) Si A~
1
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
1
hallar An. Rp. 2An-1
25. Una Compañia tiene L fábricas, cada una emplea administrado
res, supervisores y trabajadores calificados en la forma si
guiente :
Fab. 1 Fab. 2 Fab. 3 Fab. U
Administrad. 1 2 1 1
Supervisores h 6 3 KTrabajadores 80 96 67 75
Si los administradores ganan $350 a la semana, los superviso
305
res $275 y los trabajadores $200. cuál es la nomina de cada
fábrica? Rp. [$17,450 $21.550 $14.575 $16,450]
MATRICES CUADRADAS ESPECIALES
''.nsideraremos en las secciones siguientes las matrices cua
dradas que presentan ciertas características que las tipifican,
entre otras, destacaremos las siguientes:
2.11 HATRIZ SIMETRICA. Dada una matriz A=(a^^EKn, si ocurre
que Caijl=Iaji]* diremos que A es
una matriz simétrica. Si designamos con A 1 a la matriz y
si es el caso que A=A*. la matriz A es simétrica y también» para
una constante X cualquiera» XA es simétrica
2 2 4 2 2 4.1
Por ejemplo, si A= 2 -6 0 , se tiene que: Al~ 2 -6 0
A 0 84 4 0 8j
Como A=A', entonces A es una matriz simétrica y también
XA = (1/2)A =
Í1
1
1
3
0
es simétrica
PROPOSICION 2.1 Si A es una matriz cuadrada de orden n, la ma
triz A+A* es simétrica.
de.no 4t/iaci6n» Sea la matriz A^ta^jJ, entonces si lla
mamos B=£b^j]:a la matriz A+A* probaremos que B-
es simétrica.
En efecto, el elemento de la fila i y la columna j de A es a
el correspondiente de A1 es a,., por lo tanto:J 1
ij
bij = aij + aji (1)
El elemento de la fila j y columna i de A es a ^ y el correspon
diente de A 1 es de modo que:
bij = aj i + au
De (1) y (2) se sigue que: b^j * b^^
En consecuencia» B=A+A! es una matriz simétrica.
(2 )
306 ñata ice.a
2.12 MATRIZ ANTISIMETRICA. Una matriz cuadrada A= [a¿j] para la
cual A;l = [aj^2 = -A, recibe el nombre
de matriz antLAimÁtaica o h.em.ÍA imÁt/iica*
En una matriz cuadrada A antisimétrica se verifica que:
Vi,j
í 0 2 -3' • 0 -2 3]Por ejemplo, si A= -2 0 -1 ocurre que:. A' = 2 0 1
[ 3 1 Oj i“3 -1 0
Como A'=-A, entonces A es una matriz antisimétrica.
Observación. En una matriz antisimltrica los. elementos de la
diagonal principal deben ser cero.
9
PROPOSICION 2.2 Si A es una matriz cuadrada de orden n-, la ma
* '
triz A-A* es antisimltrica.
de.moAtA.ac.L6a. En efecto, considerando que (A+B)'=A'+B* se tie
ne que:
(A-A*)1 s A 1 -■ (A1)' = A '-A =* -(A-A ')
Por lo tanto. A-A’ es antisimétrica.
0
Í 0 1 -2'
0
r o -1 2
Por ejemplo, si A= -1 0 -3 entonces A' = 1 0 3
2 3 oj -2» -3 0«
0 2 -i' 0 - 2 U ' 0 2 - 4
-2 0 -6 y (A-A')' = 2 0 6 -2 0 -6
k 6 Oj -2 -6 0 * 4 4 6 0
Luego, A-A* -
de donde: (A-A1)' = -(A-A1), por tanto, A-A1 es antisimétrica
PROPOSICION 2.3 Toda matriz cuadrada A se puede descomponer en
la suma de una raatrix simétrica A' = 4(A+A*) ys1otra antisimétrica A = 4(A-A').
(D
DemoAÍAación, En efecto, una matriz A se puede escribir como:
A = A + ¿A' - ¿A' = ^(A+A>) + !(A-A*)
Ahora bien: |(A+A')' = ^(A+A*) y ^(A-A')' = - |(A-A1)
Si escribimos: A3 = ^(A+A1) y Aa = 1(A-A«).Más contenidos de este tema
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