Iniciação à Aritmética (23)

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N SEC. 2.5: O CRIVO DE ERATÓSTENES 37
ternas.
Outro problema muito simples de ser enunciado, mas que ainda
não tem resposta, é a chamada Conjectura de Goldbach.2
O matemático prussiano3 Christian Goldbach, numa carta de 7 de
junho de 1742 endereçada a Leonhard Euler, o maior matemático da
época e um dos maiores matemáticos de todos os tempos, propôs que
se provasse que todo número maior do que 5 é a soma de três primos.
Por exemplo, 6 = 2 + 2 + 2, 7 = 3 + 2 + 2, 8 = 3 + 3 + 2,
9 = 5 + 2 + 2, 10 = 5 + 3 + 2, 11 = 5 + 3 + 3 = 7 + 2 + 2,
12 = 5 + 5 + 2 = 3 + 7 + 2 etc.
Euler respondeu que acreditava nessa conjectura, porém não sabia
demonstrá-la, mas que ela era equivalente a mostrar que todo número
par maior ou igual do que 4 era soma de dois números primos.
Por exemplo, 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 3+7 = 5+5,
12 = 5 + 7 etc.
Pois bem, esta conjectura, até o presente momento, não foi
provada, nem desmentida.
Problema 2.13. Teste a Conjectura de Goldbach e a versão de Euler
para os números de 14 a 40. Você acredita que esta conjectura seja
verdadeira?
2O termo conjectura numa linguagem mais coloquial significa palpite, chute.
3A Prússia tem uma história muito rica dentro do contexto europeu dos séculos
18, 19 e 20, marcado por guerras intermináveis. No tempo de Goldbach a Prússia
era um reino muito pobre, mas que posteriormente tornou-se um potente império
chegando a ocupar grande parte da Europa do Norte. Para saber mais consulte o
seu professor de História.
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38 � CAP. 2: REPRESENTAÇÃO DOS NATURAIS
Um outro problema proposto em 1845 pelo matemático francês
Joseph Bertrand (1822-1900) foi que, dado um número natural n > 3,
sempre existe um número primo p no intervalo (n, 2n−2). Cinco anos
depois, o matemático russo Pafnuti Chebyshev (1821-1894) provou de
modo surpreendentemente elementar, mas não o suficiente para que
o façamos aqui, que a afirmação era verdadeira.
Problema 2.14. Usando a nossa tabela de primos, verifique o Pos-
tulado de Bertrand para n ≤ 125.
Há uma conjectura semelhante ao Postulado de Bertrand, pro-
posta anteriormente pelo matemático francês Adrien-Marie Legendre
(1752-1833), mas que ainda não foi provada nem desmentida, que é a
seguinte:
Dado um número natural n sempre existe um número primo no
intervalo (n2, (n + 1)2).
Problema 2.15. Usando a nossa tabela de primos, verifique a Con-
jectura de Legendre para n ≤ 15.
2.6 Teorema Fundamental da Aritmética
O método do Crivo de Eratóstenes nos mostra que dado um
número natural a, existe um número primo p0 tal que ou a = p0, ou
a é um múltiplo não trivial de p0; isto é, a = p0a1, com 1 < a1 < a.
Se a segunda possibilidade é verificada, segue que existe um
número primo p1, tal que ou a1 = p1, ou a1 = p1a2, onde