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“principal” 2010/4/19 page 17 Estilo OBMEPi i i i i i i i N SEC. 1.6: MULTIPLICAÇÃO 17 Propriedade associativa da multiplicação. Quaisquer que sejam os números naturais a, b e c, temos que a × (b × c) = (a × b) × c. Problema 1.17. Mostre que ser múltiplo é uma relação transitiva, isto é, se c é múltiplo de b e b é múltiplo de a, então c é múltiplo de a. Recorde que definimos a multiplicação nos números naturais através da noção de múltiplo, que em última análise se reduz a ir somando, sucessivamente, a cópias de um mesmo número b. É por- tanto natural esperar que as operações de adição e de multiplicação tenham uma forte relação. Uma dessas relações se dá através da pro- priedade distributiva que passamos a discutir. Propriedade distributiva da multiplicação com relação à adição. Considere dois múltiplos de um mesmo número natural, por exemplo 6 × 12 e 3 × 12, somando esses números obtemos 6 × 12 + 3 × 12 = 6 × 12 + (1 × 12 + 2 × 12) = (6 × 12 + 1 × 12) + 2 × 12 = 7 × 12 + (1 × 12 + 1 × 12) = (7 × 12 + 1 × 12) + 1 × 12 = 8 × 12 + 1 × 12 = 9 × 12 = (6 + 3) × 12. Um procedimento como o acima, mais um argumento de indução “principal” 2010/4/19 page 18 Estilo OBMEPi i i i i i i i 18 � CAP. 1: OS NÚMEROS NATURAIS que não queremos explicitar agora, permitiria mostrar que, em geral, dados números naturais a, b e c, tem-se que (a + b) × c = a × c + b × c. Problema 1.18. Mostre que c × (a + b) = c × a + c × b. Problema 1.19. Mostre que a soma de dois múltiplos de um mesmo número é múltiplo desse número. Propriedade distributiva da multiplicação com relação à sub- tração. Podemos agora mostrar que se a < b, então c × (b − a) = c × b − c × a. De fato, temos que c × a + c × (b − a) = c × [a + (b − a)] = c × b. Assim, pela definição da subtração, temos que c × (b − a) = c × b − c × a. Problema 1.20. Mostre que a diferença de dois múltiplos de um mesmo número, quando faz sentido, é múltiplo desse número.
