Fisica_matematica_ Arfken-168

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 824 — #834
824 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Figura 18.3: Construção da curva de Koch por iterações.
cobrir as faixas. Isso tem como resultado uma dimensão d = − ln(2n/2n+1)/ lnα = 0, 4498 . . . Essa estimativa
grosseira pode ser melhorada levando em conta que a diferença entre a largura entre pares vizinhos de segmentos
é de 1/α (veja a Figura 18.2). A estimativa melhorada, 0,543, é mais próxima de 0,5388. . . Esse exemplo sugere
que, quando o conjunto fractal não tem uma estrutura simples similar a si mesma, então a dimensão de contagem
de caixas depende do método de construção das caixas.
Por fim, passamos para os belos fractais que são surpreendentemente fáceis de gerar e cujas fotos em cores
causam um impacto considerável. Para c = a + ib, complexo, o mapa complexo quadrático correspondente
envolvendo a variável complexa z = x+ iy,
zn+1 = z2
n + c, (18.12)
parece enganadoramente simples, mas o mapa bidimensional equivalente em termos das variáveis reais
xn+1 = x2
n − y2
n + a, yn+1 = 2xnyn + b (18.13)
já revela mais de sua complexidade. Esse mapa forma a base para algumas das lindas fotos multicoloridas
de fractais de Mandelbrot (remetemos o leitor a Mandelbrot (1988) e Peitgen e Richter (1986) nas Leituras
Adicionais), e constatou-se que ele gera formas bastante intrincadas para vários c 6= 0. Por exemplo, o conjunto
de Julia de um mapa zn+1 = F (zn) é definido como o conjunto de todos os seus pontos repulsores fixos ou
periódicos. Assim, ele forma a fronteira entre condições iniciais de um mapa bidimensional iterado que leva a
iterados que divergem e os que continuam dentro de alguma região finita do plano complexo. Para o caso c = 0 e
F (z) = z2, pode-se mostrar que o conjunto de Julia é apenas um cı́rculo em torno da origem do plano complexo.
Ainda assim, basta somar uma constante c 6= 0, e o conjunto de Julia se torna fractal. Por exemplo, para c = −1,
encontramos um colar fractal com um número infinito de laços (veja Devaney (1989) nas Leituras Adicionais).
Enquanto o conjunto de Julia é desenhado no plano complexo, o conjunto de Mandelbrot é construı́do
no espaço paramétrico bidimensional c = (a, b) = a + bi da seguinte maneira. Partindo do valor inicial
z0 = 0 = (0, 0) pesquisamos a Equação (18.12) em busca de valores de parâmetros c, de modo que os {zn}
iterados não divirjam ao∞. Cada cor fora da fronteira fractal do conjunto de Mandelbrot representa um número
dado de iterações m, por exemplo, necessárias para que os zn passem de um valor absoluto (real) especificado
R, |zm| > R > |zm−1|. Para o valor de parâmetro real c = a, o mapa resultante, xn+1 = x2
n + a, é equivalente
ao mapa logı́stico com bifurcações de duplicação de perı́odo (veja a Seção 18.2), à medida que a aumenta no eixo
real dentro do conjunto de Mandelbrot.
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18. MÉTODOS NÃO-LINEARES E CAOS 825
Exercı́cios
18.3.1 Use uma calculadora programável (ou um computador com software BASIC ou FORTRAN ou
simbólico como Mathematica ou Maple) para obter os xi iterados de um 0 < x0 < 1 e f ′µ(xi) para
o mapa logı́stico. Então calcule o expoente de Lyapunov para ciclos de perı́odo 2, 3, . . . do mapa
logı́stico para 2 < µ < 3, 7. Mostre que, para µ < µ∞, o expoente de Lyapunov λ é 0 em pontos
de bifurcação e negativo em todos os outros lugares, enquanto para µ > µ∞ ele é positivo, exceto
em janelas periódicas.
Sugestão: Veja a Figura 9.3 de Hilborn (1994) nas Leituras Adicionais.
18.3.2 Considere o mapa xn+1 = F (xn) com
F (x) =
{
a+ bx, x <1,
c+ dx, x>1,
para b > 0 e d < 0. Mostre que seu expoente de Lyapunov é positivo quando b > 1, d < −1.
Construa um gráfico com algumas iterações no plano (xn+1, xn).
18.4 Equações Diferenciais Não-Lineares
Figura 18.4: Quadro esquemático de uma seção de Poincaré.
Na Seção 18.1 mencionamos equações diferenciais não-lineares (abreviadamente EDNs) como o lugar natural
da Fı́sica para ocorrência de caos, mas continuamos com a mais simples iteração de funções não-lineares de uma
variável (mapas). Aqui abordamos brevemente a área muito mais ampla das EDNs e a complexidade muito maior
no comportamento de suas soluções. Contudo, mapas e sistemas de soluções de EDNs guardam uma estreita
relação entre si. Os últimos muitas vezes podem ser analisados em termos de mapas discretos. Uma prescrição
é denominada seção de Poincaré de um sistema de soluções de EDN. Colocando um plano transversal em uma
trajetória (de uma solução de uma EDN), ela intercepta o plano em uma série de pontos em tempos discretos
crescentes, por exemplo, na Figura 18.4 (x(t1), y(t1)) = (x1, y1), (x2, y2), . . . , que são registrados e analisados
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por meios gráficos ou numéricos em busca de pontos fixos, bifurcações de duplicação de perı́odo, etc. Esse método
é útil quando soluções de EDNs são obtidas por meios numéricos em simulações por computador, de modo que
podemos gerar seções de Poincaré em várias localizações e com orientações diferentes, sendo que análise ulterior
leva a mapas bidimensionais iterados
xn+1 = F1(xn, yn), yn+1 = F2(xn, yn) (18.14)
armazenados pelo computador. Entretanto, nem sempre é fácil extrair as funções Fj por meios analı́ticos ou
gráficos.
Vamos começar com alguns exemplos clássicos de EDNs. No Capı́tulo 9 já discutimos a solução sóliton da EDP
não-linear de Korteweg-de Vries, Equação (9.11).
Exercı́cio
18.4.1 Considere a seção de Poincaré {x > 0, y = ẋ = 0} para o oscilador harmônico atenuado
ẍ+ 2aẋ+ x = 0.
Considere 0 < a�1 e mostre que o mapa é dado por xn+1 = bxn com b < 1. Faça uma estimativa para b.
Equações de Bernoulli e Riccati
Equações de Bernoulli também são não-lineares e têm a forma
y′(x) = p(x)y(x) + q(x)
[
y(x)
]n
, (18.15)
em que p e q são funções reais e n 6= 0, 1 para excluir EDOs lineares de primeira ordem. Se substituirmos
u(x) =
[
y(x)
]1−n
, (18.16)
então a Equação (18.15) se torna uma EDO linear de primeira ordem,
u′ = (1− n)y−ny′ = (1− n)
[
p(x)u(x) + q(x)
]
, (18.17)
que podemos resolver como descrito na Seção 9.2.
Equações de Riccati são quadráticas em y(x):
y′ = p(x)y2 + q(x)y + r(x), (18.18)
em que p 6= 0 para excluir EDOs lineares e r 6= 0 para excluir equações de Bernoulli. Não há nenhum método geral
para resolver equações de Riccati. Contudo, quando se conhece uma solução especial y0(x) da Equação (18.18)
por um palpite ou inspeção, então podemos escrever a solução geral na forma y = y0 + u, sendo que u satisfaz a
equação de Bernoulli
u′ = pu2 + (2py0 + q)u, (18.19)
porque a substituição de y = y0 + u na Equação (18.18) remove r(x) da Equação (18.18).
Exatamente como no caso das equações de Riccati, não há nenhum método geral para obter soluções exatas
de outras EDOs não-lineares. É mais importante desenvolver métodos para achar o comportamento qualitativo
de soluções. No Capı́tulo 9 mencionamos que existem soluções de séries de potências de EDOs, exceto
(possivelmente) em singularidades regulares ou essenciais, que são dadas diretamente por análise local das funções
coeficientes da EDO. Tal análise local também nos fornece o comportamento assintótico de soluções.
Singularidades Fixas e Móveis, Soluções Especiais
Soluções de EDNs também têm tais pontos singulares, independentes das condições iniciais ou de contorno e
denominados singularidades fixas. Além disso, elas podem ter singularidades espontâneas, ou móveis, que
variam com as condições iniciais ou de contorno. Elas complicam a análise (assintótica) de EDNs. Esse ponto
é ilustrado por comparação com a EDO linear
y′ +
y
x− 1
= 0, (18.20)
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18. MÉTODOS NÃO-LINEARES E CAOS 827
que tem a óbvia singularidade regular em x = 1,com a EDN y′ = y2. Ambas têm a mesma solução com condição
inicial y(0) = 1, a saber, y(x) = 1/(1 − x). Todavia, para y(0) = 2, o pólo na solução (óbvia, mas verifique)
y(x) = 2/(1− 2x) da EDN passou para x = 1/2.
Para uma EDO de segunda ordem, temos uma descrição completa (o comportamento assintótico) de suas
soluções quando são conhecidas (as descrições, os comportamentos assintóticos) de duas soluções linearmente
independentes. Para EDNs ainda pode haver soluções especiais cujo comportamento assintótico não pode ser
obtido de duas soluções independentes. Essa é outra propriedade caracterı́stica de EDNs, que ilustramos
novamente por um exemplo. A solução geral da EDN y′′ = yy′/x é dada por
y(x) = 2c1tg(c1 lnx+ c2)− 1, (18.21)
em que ci são constantes de integração. Uma solução especial óbvia (verifique) é y = c3 = constante, que não
pode ser obtida da Equação (18) para qualquer escolha dos parâmetros c1, c2. Note que, usando a substituição
x = et, Y (t) = y(et), de modo que x dy/dx = dY/dt, obtemos a EDO Y ′′ = Y ′(Y + 1). Essa EDO pode ser
integrada uma vez para resultar em Y ′ = 1
2Y
2 +Y + c, com c = 2(c21 + 1/4) uma constante de integração e, mais
uma vez, conforme a Seção 9.2, para levar à solução da Equação (18.21).
Equações Diferenciais Autônomas
Equações diferenciais que não contêm explicitamente a variável independente, e que aqui consideramos que seja o
tempo t, são denominadas autônomas. A EDN de Verhulst ẏ = dy/dt = µy(1− y), que encontramos brevemente
na Seção 18.2 como motivação para o mapa logı́stico, é um caso especial dessa ampla e importante classe de
EDOs.3 Para uma variável dependente y(t), elas podem ser escritas como
ẏ = f(y), (18.22a)
e para diversas variáveis dependentes, como um sistema
ẏi = fi(y1, y2, . . . , yn), i = 1, 2, . . . , n, (18.22b)
com funções suficientemente diferenciáveis f , fi. Uma solução da Equação (18.22b) é uma curva ou trajetória
y(t) para n = 1 e, em geral, uma trajetória (y1(t), y2(t), . . . , yn(t)) em um (assim denominado) espaço de fase n
dimensional. Como já discutimos na Seção 18.1, duas trajetórias não podem se cruzar por causa da unicidade das
soluções de EDOs. Claramente, soluções do sistema algébrico
fi(y1, y2, . . . , yn) = 0 (18.23)
são pontos especiais no espaço de fase, onde a posição do vetor (y1, y2, . . . , yn) não se move na trajetória; eles são
denominados pontos crı́ticos (ou fixos). Acontece que uma análise local de soluções perto de pontos crı́ticos nos
leva a entender o comportamento global das soluções. Primeiro, vamos examinar um exemplo simples.
Para a EDO de Verhulst, f(y) = µy(1 − y) = 0 resulta em y = 0 e y = 1 como os pontos crı́ticos. Para o
mapa logı́stico, y = 0 e y = 1 são pontos repulsores fixos porque df/dy(0) = µ em y = 0 e df/dy(1) = −µ
em y = 1, para µ > 1. Uma análise local perto de y = 0 sugere desprezar o termo y2 e resolver ẏ = µy em seu
lugar. Integrando
∫
dy/y = µt + ln c, temos como resultado a solução y(t) = ceµt, que diverge quando t → ∞,
portanto, y = 0 é um ponto crı́tico repulsor. (Note que para µ < 0 do mapa logı́stico o ponto crı́tico y = 0 seria
atrator, levando a uma solução convergente y ∼ eµt.) De modo semelhante em y = 1,
∫
dy/(1 − y) = µt − ln c
leva a y(t) = 1 − ce−µt → 1, para t → ∞. Por conseguinte, y = 1 é um ponto crı́tico atrator. Como a EDO é
separável, sua solução geral é dada por∫
dy
y(1− y)
=
∫
dy
[
1
y
+
1
1− y
]
= ln
y
1− y
= µt+ ln c.
Por conseguinte, y(t) = ceµt/(1 + ceµt) porque t→∞ converge para 1, confirmando assim a análise local. Esse
exemplo nos motiva a examinar com mais detalhes as propriedades de pontos fixos. Para uma função arbitrária f,
é fácil ver que
3Soluções de equações não-autônomas podem ser muito mais complicadas.
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• em uma dimensão, pontos fixos yi com f(yi) = 0 dividem o eixo y em intervalos dinamicamente separados
porque, dado um valor inicial em um dos intervalos, a trajetória y(t) permanecerá ali, porque ela não pode passar
de qualquer dos pontos fixos em que ẏ = 0.
Se f ′(y0) > 0 no ponto fixo y0 em que f(y0) = 0, então em y0 + ε para ε > 0 suficientemente pequeno,
ẏ = f ′(y0)ε+O(ε2) > 0 em uma vizinhança à direita de y0, portanto a trajetória y(t) continua se movendo para
a direita, afastando-se do ponto fixo y0. À esquerda de y0, ẏ = −f ′(y0)ε+O(ε2) < 0, portanto, aqui, a trajetória
também se afasta do ponto fixo. Por conseguinte,
• um ponto fixo [com f(y0) = 0] em y0 com f ′(y0) > 0, como mostra a Figura 18.5a, repele trajetórias; isto é,
todas as trajetórias se afastam do ponto crı́tico: · · · ← · → · · · ; ele é um repulsor. De modo semelhante, vemos
que
• um ponto fixo em y0 com f ′(y0) < 0, como mostra a Figura 18.5b, atrai trajetórias, isto é, todas as trajetórias
convergem em direção ao ponto crı́tico y0: · · · → · ← · · · ; ele é um sorvedouro ou nó.
Figura 18.5: Pontos fixos: (a) repulsor, (b) sorvedouro.
Agora vamos considerar o caso restante quando f ′(y0) = 0.
Vamos admitir que f ′′(y0) > 0. Então, em y0 + ε à direita do ponto fixo y0, ẏ = f ′′(y0)ε2/2 + O(ε3) > 0,
portanto, ali, a trajetória se afasta do ponto fixo, ao passo que à esquerda ela se aproxima de y0. Em outras palavras,
temos um ponto de sela. Para f ′′(y0) < 0, o sinal de ẏ é invertido, de modo que, mais uma vez se trata de um
ponto de sela que se move à direita de y0 em direção ao ponto fixo e, à esquerda, se afasta dele. Vamos resumir o
comportamento local de trajetórias perto de um tal ponto fixo y0: temos
• um ponto de sela em y0 quando f(y0) = 0, e f ′(y0) = 0, como mostra a Figura 18.6a,b correspondente aos
casos em que (a) f ′′(y0) > 0 e trajetórias de um lado do ponto crı́tico convergem em direção a ele e, do outro
lado, divergem em relação a ele: · · · → · → · · · ; e (b) f ′′(y0) < 0. Aqui, a direção é simplesmente invertida em
comparação com (a). A Figura 18.6(c) mostra os casos em que f ′′(y0) = 0.
Até aqui ignoramos a dependência adicional de f(y) em relação a um ou mais parâmetros, tal como µ para
o mapa logı́stico. Quando um ponto crı́tico mantém suas propriedades em termos qualitativos quando ajustamos
ligeiramente um parâmetro, nós o denominamos estruturalmente estável. Isso é razoável porque, em termos
estruturais, é improvável que ocorram objetos instáveis na realidade, porque ruı́do e outros graus de liberdade
desprezados agem como perturbações sobre o sistema que efetivamente impedem que tais pontos instáveis sejam
observados. Agora vamos examinar pontos fixos a partir dessa perspectiva. Variando ligeiramente tal parâmetro
de controle, deformamos a função f , ou podemos apenas deslocar f um pouco para cima ou para baixo ou para
os lados na Figura 18.5. Isso alterará um pouco a localização y0 do ponto fixo com f(y0) = 0, mas manterá o
sinal de f ′(y0). Assim, sorvedouros e repulsores são estáveis, enquanto um ponto de sela, em geral, não é. Por
exemplo, deslocar f na Figura 18.6a um pouco para baixo cria dois pontos fixos: um é um sorvedouro e o outro,
um repulsor, e remove o ponto de sela. Uma vez que duas condições devem ser satisfeitas em um ponto de sela,
eles são menos comuns e importantes porque são instáveis em relação a variações de parâmetros. Contudo, eles
marcam o contorno entre diferentes tipos de dinâmica e são úteis e significativos para a análise global da dinâmica.
Agora estamos prontos para considerar os casos de número maior de dimensões, que são mais ricos, porém mais
complicados.