Fisica_matematica_ Arfken-172

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 844 — #854
844 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
REGRA DA ADIÇÃO:
P (A ∪B) = P (A) + P (B)− P (A ∩B). (19.3)
Para provar isso, decompomos a união em dois conjuntos mutuamente exclusivos A ∪B = A ∪ (B −B ∩A),
subtraindo a interseção deA eB deB antes de uni-los. Suas probabilidades são P (A), P (B)−P (B∩A), as quais
somamos. Também poderı́amos ter decompostoA∪B = (A−A∩B)∪B, da qual resulta nosso teorema, de modo
semelhante, somando essas probabilidades, P (A∪B) = [P (A)−P (A∩B)]+P (B). Note que A∩B = B ∩A.
(Veja a Figura 19.1.)
Entretanto, às vezes, as regras e definições de probabilidades que discutimos até aqui não são suficientes.
Exemplo 19.1.2 PROBABILIDADE CONDICIONAL
Um exemplo simples consiste em uma caixa de 10 canetas idênticas vermelhas e 20 canetas idênticas azuis,
arranjadas em ordem aleatória, da qual retiramos canetas sucessivamente, isto é, sem devolvê-las à caixa. Suponha
que tiramos primeiro uma caneta vermelha, evento A. Isso acontecerá com probabilidadeA. P (A) = 10/30 = 1/3
se as canetas estiverem totalmente misturadas. Contudo, a probabilidade condicional P (B|A) de tirar uma caneta
azul na próxima rodada, evento B, dependerá do fato de termos tirado uma caneta vermelha na primeira rodada.
Ela é dada por 20/29.Há 10·20 possı́veis pontos amostrais (eventos vermelhos/azuis) em duas rodadas, e a amostra
tem 30 · 29 eventos; portanto, a probabilidade combinada é
P (A,B) =
10
30
20
29
=
10 · 20
30 · 29
=
20
87
.
�
Em geral, a probabilidade combinada P (A,B) de acontecer A e B (nessa ordem) é dada pelo produto entre a
probabilidade de A acontecer, P (A), e a probabilidade de B acontecer se A acontecer, P (B|A):
P (A,B) = P (A)P (B|A). (19.4)
Em outras palavras, a probabilidade condicional P (B|A) é dada pela razão
P (B|A) =
P (A,B)
P (A)
. (19.5)
Se a probabilidade condicional P (B|A) = P (B) for independente de A, então os eventos A e B são denominados
independentes, e a probabilidade combinada
P (A ∩B) = P (A)P (B) (19.6)
é simplesmente o produto de ambas as probabilidades.
Exemplo 19.1.3 TESTES DE APTIDÃO ESCOLAR
Faculdades e universidades confiam nas pontuações alcançadas em habilidades verbais e matemáticas em testes
SAT (Scholastic Aptitude Tests — Testes de Aptidão Escolar), entre outros, para prever se um aluno passará em seus
cursos e se formará. Sabe-se que uma universidade de pesquisa admite principalmente estudantes que alcancem
pontuações combinadas em habilidades verbais e matemáticas acima de 1.400 pontos. A taxa de conclusão de
cursos é de 95%, isto é, 5% desistem ou se transferem para outra escola. Entre os que se formam, 97% têm uma
pontuação SAT maior do que 1.400 pontos, enquanto 80% entre os que desistem têm pontuação SAT abaixo de
1.400. Suponha que um estudante tenha uma nota SAT abaixo de 1.400. Qual é sua possibilidade de concluir o
curso?
Seja A os casos que têm pontuação SAT abaixo de 1.400, B representa os que têm acima de 1.400, eventos
mutuamente exclusivos com P (A) + P (B) = 1, e C os estudantes que se formam. Isto é, queremos saber as
probabilidades condicionais P (C|A) e P (C|B). Para aplicar a Equação (19.5), precisamos de P (A) e P (B). Há
3% dos estudantes com pontuação abaixo de 1.400 entre os que se formam (95%) e 80% dos 5% que não se
formam, portanto,
P (A) = 0, 03 · 0, 95 +
4
5
0, 05 = 0, 0685, P (B) = 0, 97 · 0, 95 +
0, 05
5
= 0, 9315,
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19. PROBABILIDADE 845
e também
P (C ∩A) = 0, 03 · 0, 95 = 0, 0285 e P (C ∩B) = 0, 97 · 0, 95 = 0, 9215.
Aqui, as probabilidades combinadas P (C,A) = P (C ∩ A), P (C,B) = P (C ∩ B), já que C e A (e C e B) são
partes do mesmo espaço amostral. Por conseguinte,
P (C|A) =
P (C ∩A)
P (A)
=
0, 0285
0, 0685
∼ 41, 6%,
P (C|B) =
P (C ∩B)
P (B)
=
0, 9215
0, 9315
∼ 98, 9%,
isto é, a probabilidade de um estudante com menos de 1.400 pontos se formar nessa universidade em particular é
um pouco menor que 42%. �
Como um corolário da definição de uma probabilidade condicional, Equação (19.5), comparamos P (A|B) =
P (A ∩B)/P (B) e P (B|A) = P (A ∩B)/P (A), que leva ao seguinte teorema.
TEOREMA DE BAYES:
P (A|B) =
P (A)
P (B)
P (B|A). (19.7)
Essa expressão pode ser generalizada para o seguinte.
TEOREMA: Se os eventos aleatórios Ai com probabilidades P (Ai) > 0 forem mutuamente exclusivos e sua
união representar a amostra inteira S, então um evento aleatório arbitrário B ⊂ S tem a probabilidade
P (B) =
n∑
i=1
P (Ai)P (B|Ai). (19.8)
Essa lei de decomposição lembra a expansão de um vetor em uma base de vetores unitários que definem as
componentes do vetor. Essa relação resulta da óbvia decomposição B =
⋃
i(B ∩ Ai), Figura 19.2, que implica
P (B) =
∑
i P (B ∩ Ai) para as probabilidades porque as componentes B ∩ Ai são mutuamente exclusivas. Para
cada i, sabemos pela Equação (19.5) que P (B ∩Ai) = P (Ai)P (B|Ai), o que prova o teorema.
Contagem de Permutações e Combinações
Contar partı́culas em amostras pode nos ajudar a achar probabilidades, como na Mecânica Estatı́stica.
Se tivermos n moléculas diferentes, vamos perguntar de quantos modos podemos arranjá-las em uma fila, isto
é, permutá-las. Esse número é definido como o número de suas permutações. Assim, por definição, a ordem
importa nas permutações. Há n chances de pegar a primeira molécula, n− 1 de pegar a segunda, etc. No total há
n! permutações de n moléculas ou objetos diferentes.
Figura 19.2: A área sombreadaB é composta de subconjuntos mutuamente exclusivos deB que pertencem também
a A1, A2, A3, em que os Ai são mutuamente exclusivos.
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846 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Generalizando isso, suponha que haja n pessoas mas somente k < n cadeiras para acomodá-las. De quantas
maneiras podemos sentar k pessoas nas cadeiras? Contando como antes, obtemos
n(n− 1) · · · (n− k + 1) =
n!
(n− k)!
para o número de permutações de n objetos diferentes, k por vez.
Agora consideramos o número de combinações de objetos quando sua ordem é irrelevante por definição.
Por exemplo, três letras a, b, c podem ser combinadas duas letras por vez, de 3 = 3!
2! modos: ab, ac, bc. Se as
letras puderem ser repetidas, então adicionamos os pares a aa, bb, cc e teremos seis combinações. Assim, uma
combinação de partı́culas diferentes é diferente de uma permutação no sentido de que sua ordem não importa.
Combinações ocorrem com repetição (o modo que o matemático tem para tratar objetos indistinguı́veis) e sem
repetição, quando não há dois conjuntos que contenham as mesmas partı́culas.
O número de diferentes combinações de n partı́culas, n partı́culas, k por vez e sem repetições é dado pelo
coeficiente binomial
n(n− 1) · · · (n− k + 1)
k!
=
(n
k
)
.
Se for permitida a repetição, o número é (
n+ k − 1
k
)
.
No número n!/(n−k)! de permutações de n partı́culas, k por vez, temos de dividir pelo número k! de permutações
dos grupos de k partı́culas porque sua ordem não importa em uma combinação. Isso prova nossa primeira
afirmação. A segunda é demonstrada por indução matemática.
Em Mecânica Estatı́stica, perguntamos de quantos modos podemos colocar n partı́culas dentro de k caixas,
de modo que haja ni partı́culas (distinguı́veis) na i-ésima caixa, sem considerar a ordem em cada caixa, com∑k
i=1 ni = n. Contando como antes, há n chances de selecionar a primeira partı́cula, n− 1 para pegar a segunda,
etc., mas as n1! permutações dentro da primeira caixa são descontadas e n2! permutações dentro da segunda caixa
são desconsideradas, etc. Portanto, o número de combinações é
n!
n1!n2! · · ·nk!
, n1 + n2 + · · ·+ nk = n.
Em Mecânica Estatı́stica, partı́culas que obedecem à estatı́stica de:
• Maxwell-Boltzmann (MB) são distinguı́veis, sem restrição a seu número em cada estado;
• Bose-Einstein (BE) são indistinguı́veis, sem nenhumarestrição ao número de partı́culas em cada estado
quântico;
• Fermi-Dirac (FD) são indistinguı́veis, com no máximo uma partı́cula por estado.
Por exemplo, colocando essas três partı́culas em quatro caixas, há 43 arranjos igualmente possı́veis para o caso
MB, porque cada partı́cula pode ser colocada em qualquer caixa de quatro modos, o que dá um total de 43 chances.
Para a estatı́stica BE, o número de combinações com repetições é
(
3+4−1
3
)
=
(
6
3
)
para o caso Bose-Einstein. Para
a estatı́stica FD, é
(
3+1
3
)
=
(
4
3
)
. De modo mais geral, para estatı́stica MB o número de arranjos distintos de n
partı́culas entre k estados (caixas) é kn, para estatı́stica BE é
(
n+k−1
n
)
e para estatı́stica FD é
(
k
n
)
.
Exercı́cios
19.1.1 Uma carta é retirada de um baralho embaralhado. (a) Qual é a probabilidade de ela ser preta, (b) um
nove vermelho ou (c) uma rainha de espadas?
19.1.2 Ache a probabilidade de tirar dois reis de um baralho embaralhado (a) se a primeira carta for
devolvida ao baralho antes de tirar a segunda, e (b) se a primeira carta não for devolvida ao baralho
após ser tirada.
19.1.3 Quando são jogados dois dados, qual é a probabilidade de (a) sair um número menor do que 4 ou
(b) um número maior ou igual a 4, porém menor do que 6?
19.1.4 Jogando três dados não-viciados, qual é a probabilidade de obter seis pontos?
19.1.5 Determine a probabilidade P (A ∩B ∩ C) em termos de P (A), P (B), P (C) etc.
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19. PROBABILIDADE 847
19.1.6 Determine diretamente ou por indução matemática a probabilidade de uma distribuição de N
partı́culas (Maxwell-Boltzmann) em k caixas com N1 na caixa 1, N2 na caixa 2, . . . , Nk na k-
ésima caixa para quaisquer números Nj ≥ 1, com N1 +N2 + · · ·+Nk = N , k < N. Repita essa
mesma operação para partı́culas de Fermi-Dirac e de Bose-Einstein.
19.1.7 Mostre que
P (A∪B ∪C) = P (A) +P (B) +P (C)−P (A∩B)−P (A∩C)−P (B ∩C) +P (A∩B ∩C).
19.1.8 Determine a probabilidade de um inteiro positivo n ≤ 100 ser divisı́vel por um número primo
p ≤ 100. Verifique seu resultado para p = 3, 5, 7.
19.1.9 Ponha duas partı́culas que obedecem à estatı́stica de Maxwell-Boltzmann (Fermi-Dirac ou Bose–
Einstein) em três caixas. Há quantos modos em cada caso?
19.2 Variáveis Aleatórias
Cada vez que lançamos um dado, damos à tentativa um número i = 1, 2, . . . e observamos o ponto xi = 1 ou 2, 3,
4, 5, 6, com probabilidade 1/6. Se i denotar o número da tentativa, então xi é uma variável aleatória discreta que
assume valores discretos de 1 a 6, com uma probabilidade definida P (xi) = 1/6.
Exemplo 19.2.1 VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA
Se lançarmos dois dados e registrarmos a soma dos pontos mostrada em cada tentativa, então esta soma
também é uma variável aleatória discreta, que assume o valor 2 quando ambos os dados mostram 1 com
probabilidade (1/6)2; o valor 3, quando um dado tem 1 e o outro 2, por conseguinte, com probabilidade
(1/6)2 + (1/6)2 = 1/18; o valor 4, quando ambos os dados têm 2 ou um deles tem 1 e o outro 3, portanto, com
probabilidade (1/6)2 + (1/6)2 + (1/6)2 = 1/12; o valor 5, com probabilidade 4(1/6)2 = 1/9; o valor 6, com
probabilidade 5/36; o valor 7, com a probabilidade máxima, 6(1/6)2 = 1/6; até o valor 12, quando ambos os
dados mostram 6, pontos com probabilidade (1/6)2. Essa distribuição de probabilidade é simétrica em torno de 7.
Essa simetria é óbvia pela Figura 19.3 e se torna visı́vel em termos algébricos quando escrevemos as partes lineares
ascendentes e descendentes como
Figura 19.3: Distribuição de probabilidade P (x) da soma de pontos quando são lançados dois dados.
P (x) =
x− 1
36
=
6− (7− x)
36
, x = 2, 3, . . . , 7,
P (x) =
13− x
36
=
6 + (7− x)
36
, x = 7, 8, . . . , 12.
�
Então, resumindo:
• Os diferentes valores xi que uma variável aleatória X assume denotam e distinguem os eventos no espaço
amostral de um experimento; cada evento ocorre por acaso com a probabilidade P (X = xi) = pi ≥ 0, que é
uma função da variável aleatória X. Uma variável aleatória X(ei) = xi é definida no espaço amostral, isto é,
para os eventos ei ∈ S.
“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 848 — #858
848 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
• Definimos a densidade de probabilidade f(x) de uma variável aleatória contı́nua X como
P (x ≤ X ≤ x+ dx) = f(x) dx , (19.9)
isto é, f(x) dx é a probabilidade de X se encontrar no intervalo x ≤ X ≤ x+ dx. Para f(x) ser uma densidade
de probabilidade, ela tem de satisfazer f(x) ≥ 0 e
∫
f(x) dx = 1. A generalização para distribuições de
probabilidade que dependem de diversas variáveis aleatórias é direta. Há inúmeros exemplos na Fı́sica Quântica.
Exemplo 19.2.2 VARIÁVEL ALEATÓRIA CONTÍNUA: ÁTOMO DE HIDROGÊNIO
A Mecânica Quântica dá a probabilidade |ψ|2 d3r de encontrar um elétron 1s em um átomo de hidrogênio em
volume3 d3r, em que ψ = Ne−r/a é a função de onda que é normalizada para
1 =
∫
|ψ|2 dV = 4πN2
∫ ∞
0
e−2r/ar2 dr = πa3N2, dV = r2 dr d cos θ dϕ ,
sendo o elemento de volume e a o raio de Bohr. Achamos a integral radial por integração repetida por partes ou
elevando-a para a função gama∫ ∞
0
e−2r/ar2 dr =
(
a
2
)3 ∫ ∞
0
e−xx2 dx =
a3
8
Γ(3) =
a3
4
.
Aqui, todos os pontos no espaço constituem a amostra e representam três variáveis aleatórias, mas a densidade de
probabilidade |ψ|2 nesse caso depende somente da variável radial por causa da simetria esférica do estado 1s.
Uma medida para o tamanho do átomo H é dada pela distância radial média entre o elétron e o próton no centro,
o que em Mecânica Quântica é denominado valor esperado:
〈1s|r|1s〉 =
∫
r|ψ|2 dV = 4πN2
∫ ∞
0
re−2r/ar2 dr =
3
2
a.
Em breve definiremos esse conceito para distribuições de probabilidade arbitrárias. �
• Uma variável aleatória que assume somente valores discretos x1, x2, . . . , xn com probabilidades p1, p2, . . . , pn,
respectivamente, é denominada variável aleatória discreta, portanto
∑
i pi = 1. Se um “experimento” ou
tentativa for realizada, algum resultado deve ocorrer, com probabilidade unitária.
• Se os valores compreenderem uma faixa contı́nua de valores a ≤ x ≤ b, então estamos tratando com uma
variável aleatória contı́nua, cuja distribuição de probabilidade pode ser ou não uma função também contı́nua.
Quando medimos uma quantidade x n vezes, obtendo os valores xj , definimos o valor médio
x̄ =
1
n
n∑
j=1
xj (19.10)
das tentativas, também denominado média ou valor esperado. Essa fórmula admite que cada valor observado
xi é igualmente provável e ocorre com probabilidade 1/n. Essa conexão é a ligação fundamental entre dados
experimentais e a teoria da probabilidade. Essa observação e a experiência prática sugerem definir o valor médio
para uma variável aleatória discreta X como
〈X〉 ≡
∑
i
xipi , (19.11)
e para uma variável aleatória contı́nua caracterizada por densidade de probabilidade f(x) como
〈X〉 =
∫
xf(x) dx. (19.12)
Essas médias são lineares. Outras notações existentes na literatura são X̄ e E(X).
A utilização da média aritmética x̄ de n medidas como o valor médio é sugerida pela simplicidade e pura
experiência, admitindo, mais uma vez, igual probabilidade para cada xi. Mas por que não consideramos a média
geométrica
xg = (x1 · x2 · · · · · xn)1/n (19.13)
3Note que |ψ|24πr2 dr dá a probabilidade para o elétron ser encontrado entre r e r + dr, em qualquer ângulo.