Fisica_matematica_ Arfken-129

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 629 — #639
13. MAIS FUNÇÕES ESPECIAIS 629
com M = 1
2 (N1 +N2 +N3 +N4). O expoente de 2 é N1 + ν2 + ν3 = M . Por conseguinte, para m = 4 Im, a
fórmula resulta em
I4 =
√
π2N1N1!
∑
ν2≥0
(
N3
ν2
)(
N4
ν3
)(
N2
ν2
)(
N2 − 2ν2 +N3
ν3
)
ν2!2ν2ν3!2ν3
=
∑
ν2≥0
√
π2MN1!N2!N3!N4!(N2 − 2ν2 +N3)!
ν2!ν3!(N2 − ν2)!(N3 − ν2)!(N4 − ν3)!(N2 +N3 − 2ν2 − ν3)!
=
∑
ν2≥0
√
π2MN1!N2!N3!N4!(N2 +N3 − 2ν2)!
(N2 − ν2)!(N3 − ν2)!(N4 − ν3)!ν2!ν3!(N2 +N3 − 2ν2 − ν3)!
=
∑
ν2≥0
√
π2MN1!N2!N3!N4!(N2 +N3 − 2ν2)!
ν2!(M −N1 − ν2)!(N3 − ν2)!(N2 − ν2)!(M −N2 −N3 + ν2)!(M −N4 − ν2)!
.
Na última expressão substituı́mos ν3 e usamos
N4 − ν3 = (N1 −N2 −N3 +N4) + ν2 = M −N2 −N3 + ν2,
N2 +N3 − 2ν2 − ν3 =
N1 +N2 +N3 −N4
2
− ν2 = M −N4 − ν2.
O limite superior é ν2 ≤ mı́n(N2, N3,M − N1,M − N4) e o limite inferior é ν2 ≥ máx(0, N2 + N3 −M).
Se fizermos a permutação N2 ↔ N4, ν2 → ν, então nosso resultado anterior I4 é obtido com limite superior
ν ≤ mı́n(N4,M − N1) = 1
2 (N2 + N3 + N4 − N1) e limite inferior ν ≥ máx(0, N3 + N4 −M) = 0 porque
N3 +N4 −N1 −N2 ≤ 0 para N1 ≥ N2 ≥ N3 ≥ N4 ≥ 0. �
A fórmula de produto de polinômios de Hermite também se aplica a produtos de funções de onda de oscilador
harmônico simples,
∫∞
−∞ e−mx
2/2HN1(x) · · ·HNm(x) dx, com uma diferente função exponencial de peso. Para
avaliar tais integrais usamos a identidade generalizada de Feldheim para HN2 · · ·HNm em conjunção com a
integral (veja Gradshteyn e Ryzhik, em Leituras Adicionais),∫ ∞
−∞
e−a
2x2
Hm(x)Hn(x) dx =
1
2
(
2
a
)m+n+1(
1− a2
)(m+n)/2Γ
(
m+ n+ 1
2
)
· 2F1
(
−m,−n;
1−m− n
2
;
a2
2(a2 − 1)
)
,
em vez da integral de ortogonalidade padrão para o produto remanescente de dois polinômios de Hermite. Aqui, a
função hipergeométrica é a soma finita
2F1
(
−m,−n;
1−m− n
2
;
a2
2(a2 − 1)
)
=
mı́n(m,n)−1∑
ν=0
(−m)ν(−n)ν
ν!( 1−m−n
2 )ν
(
a2
2(a2 − 1)
)ν
com (−m)ν = (−m)(1 −m) · · · (ν − 1 −m) e (−m)0 ≡ 1. Isso dá um resultado similar a Im um pouco mais
complicado.
O potencial do oscilador também é bastante empregado em cálculos de modelos a quarks de estrutura nuclear
(modelo da camada nuclear) de hádrons e da força nuclear.
Há uma segunda solução independente da Equação (13.13). Essa função de Hermite da segunda espécie é uma
série infinita (Seções 9.5 e 9.6) e não tem nenhum interesse fı́sico, ao menos até agora.
Exercı́cios
13.1.1 Admita que sabemos que os polinômios de Hermite são soluções da equação diferencial (13.13).
Por isso, a relação de recorrência, Equação (13.3), e os valores de Hn(0) também são conhecidos.
(a) Suponha a existência de uma função geradora
g(x, t) =
∞∑
n=0
Hn(x)tn
n!
.
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630 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
(b) Diferencie g(x, t) em relação a x, usando a relação de recorrência; desenvolva uma EDP de
primeira ordem para g(x, t).
(c) Integre em relação a x, mantendo t fixo.
(d) Avalie g(0, t) usando a Equação (13.5). Por fim, mostre que
g(x, t) = exp
(
−t2 + 2tx
)
.
13.1.2 Ao desenvolver as propriedades dos polinômios de Hermite, parta de vários pontos diferentes, como
1. EDO de Hermite, Equação (13.13),
2. Fórmula de Rodrigues, Equação (13.7),
3. Representação integral, Equação (13.8),
4. Função geradora, Equação (13.1),
5. Construção de Gram-Schmidt de um conjunto completo de polinômios ortogonais sobre
(−∞,∞) com um fator de peso de exp(−x2), Seção 10.3.
Explique como você pode ir de qualquer um desses pontos de partida para todos os outros pontos.
13.1.3 Prove que (
2x− d
dx
)n
1 = Hn(x).
Sugestão: Verifique o primeiro par de exemplos e então use indução matemática.
13.1.4 Prove que ∣∣Hn(x)
∣∣ ≤ ∣∣Hn(ix)
∣∣.
13.1.5 Reescreva a forma de série de Hn(x), como uma série de potências ascendentes.
Resposta: H2n(x) = (−1)n
n∑
s=0
(−1)2s(2x)2s
(2n)!
(2s)!(n− s)!
,
H2n+1(x) = (−1)n
n∑
s=0
(−1)s(2x)2s+1 (2n+ 1)!
(2s+ 1)!(n− s)!
.
13.1.6 (a) Expanda x2r em uma série de polinômios de Hermite de ordem par.
(b) Expanda x2r+1 em uma série de polinômios de Hermite de ordem ı́mpar.
Resposta: (a) x2r =
(2r)!
22r
r∑
n=0
H2n(x)
(2n)!(r − n)!
(b) x2r+1 =
(2r + 1)!
22r+1
r∑
n=0
H2n+1(x)
(2n+ 1)!(r − n)!
, r = 0, 1, 2, . . .
Sugestão: Use a representação de Rodrigues e integre por partes.
13.1.7 Mostre que
(a)
∫ ∞
−∞
Hn(x) exp
[
−x
2
2
]
dx =
{
2πn!/(n/2)!, n par
0, n ı́mpar.
(b)
∫ ∞
−∞
xHn(x) exp
[
−x
2
2
]
dx =
0, n par
2π
(n+ 1)!
((n+ 1)/2)!
, n ı́mpar.
13.1.8 Mostre que ∫ ∞
−∞
xme−x
2
Hn(x) dx = 0 para m um inteiro, 0 ≤ m ≤ n− 1.
13.1.9 A probabilidade de transição entre dois estados de oscilador m e n depende de∫ ∞
−∞
xe−x
2
Hn(x)Hm(x) dx.
Mostre que essa integral é igual a π1/22n−1n!δm,n−1 + π1/22n(n + 1)!δm,n+1. Esse resultado
mostra que tais transições podem ocorrer somente entre estados de nı́veis de energia adjacentes,
m = n± 1.
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13. MAIS FUNÇÕES ESPECIAIS 631
Sugestão: Multiplique a função geradora (Equação (13.1)) por si mesma usando dois conjuntos
diferentes de variáveis (x, s) e (x, t). Alternativamente, o fator x pode ser eliminado pela relação
de recorrência, Equação (13.2).
13.1.10 Mostre que ∫ ∞
−∞
x2e−x
2
Hn(x)Hn(x) dx = π1/22nn!
(
n+
1
2
)
.
Essa integral ocorre no cálculo do deslocamento médio quadrático de nosso oscilador quântico.
Sugestão: Use a relação de recorrência, Equação (13.2) e a integral de ortogonalidade
13.1.11 Avalie ∫ ∞
−∞
x2e−x
2
Hn(x)Hm(x) dx
em termos de n e m e das funções delta de Kronecker adequadas.
Resposta: 2n−1π1/2(2n+ 1)n!δnm + 2nπ1/2(n+ 2)!δn+2,m + 2n−2π1/2n!δn−2,m.
13.1.12 Mostre que ∫ ∞
−∞
xre−x
2
Hn(x)Hn+p(x) dx =
{
0, p > r
2nπ1/2(n+ r)!, p = r,
com n, p e r inteiros não-negativos.
Sugestão: Use a relação de recorrência, Equação (13.2), p vezes.
13.1.13 (a) Usando a fórmula integral de Cauchy, desenvolva uma representação integral deHn(x) baseada
na Equação (13.1) com o contorno circundando o ponto z = −x.
Resposta: Hn(x) =
n!
2πi
ex
2
∮
e−z
2
(z + x)n+1
dz.
(b) Mostre por substituição direta que esse resultado satisfaz a equação de Hermite.
13.1.14 Com
ψn(x) = e−x
2/2 Hn(x)
(2nn!π1/2)1/2
,
verifique que
ânψn(x) =
1√
2
(
x+
d
dx
)
ψn(x) = n1/2ψn−1(x),
â†nψn(x) =
1√
2
(
x− d
dx
)
ψn(x) = (n+ 1)1/2ψn+1(x).
Nota: A abordagem usual de operador da Mecânica Quântica estabelece essas propriedades de
elevação e redução antes da forma de ψn(x) ser conhecida.
13.1.15 (a) Verifique a identidade do operador
x− d
dx
= − exp
[
x2
2
]
d
dx
exp
[
−x
2
2
]
.
(b) A função de onda de oscilador harmônico simples normalizada é
ψn(x) =
(
π1/22nn!
)−1/2 exp
[
−x
2
2
]
Hn(x).
Mostre que essa expressão pode ser escrita como
ψn(x) =
(
π1/22nn!
)−1/2
(
x− d
dx
)n
exp
[
−x
2
2
]
.
Nota: Isso corresponde a aplicar n vezes o operador de elevação do Exercı́cio 13.1.14.
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632 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
13.1.16 (a) Mostre que a hamiltoniana de oscilador simples (da Equação (13.38) pode ser escrita como
H = −1
2
d2
dx2
+
1
2
x2 =
1
2
(
â↠+ â†â
)
.
Sugestão: Expresse E em unidades de ~ω.
(b) Usando a formulação de operador de criação-aniquilação da parte (a), mostre que
Hψ(x) =
(
n+
1
2
)
ψ(x).
Isso significa que os autovalores de energia são E = (n + 1
2 )(~ω), de acordo com a
Equação (13.40).
13.1.17 Escreva um programa para gerar os coeficientes as, na forma polinomial do polinômio de Hermite
Hn(x) =
∑n
s=0 asx
s.
13.1.18 A função f(x) é expandida em uma série de Hermite
f(x) =
∞∑
n=0
anHn(x).
Pela ortogonalidade e normalização dos polinômios de Hermite, o coeficiente an é dado por
an =
1
2nπ1/2n!
∫ ∞
−∞
f(x)Hn(x)e−x
2
dx.
Determine os coeficientes de Hermite an pela quadratura de Gauss-Hermite para f(x) = x8.
Compare os coeficientes que encontrou com AMS-55, Tabela22.12 (referência dada na nota de
pé de página 4 no Capı́tulo 5 ou em Referências Gerais no final do livro).
13.1.19 (a) Por analogia com o Exercı́cio 12.2.13, estabeleça a matriz de coeficientes pares de polinômios
de Hermite que transformarão uma série de Hermite par em uma série de potências pares:
B =

1 −2 12 · · ·
0 4 −48 · · ·
0 0 16 · · ·
...
...
... · · ·
 .
Estenda B para manipular uma série polinomial até H8(x).
(b) Inverta sua matriz para obter A, que transformará uma série de potências pares (até x8) em uma
série de polinômios pares de Hermite. Compare os elementos de A com os listados em AMS-55
(Tabela 22.12, em Referências Gerais no final do livro).
(c) Por fim, usando multiplicação de matrizes, determine a série de Hermite equivalente a f(x) =
x8.
13.1.20 Escreva uma sub-rotina para transformar uma série finita de potências,
∑N
n=0 anx
n, em uma série
de Hermite,
∑N
n=0 bnHn(x). Use a relação de recorrência, Equação (13.2).
Nota: Exercı́cios 13.1.19 e 13.1.20 são mais rápidos e mais precisos do que a quadratura de Gauss,
Exercı́cio 13.1.18, se f(x) estiver disponı́vel como uma série de potências.
13.1.21 Escreva uma sub-rotina para avaliar elementos de matriz do polinômio de Hermite da forma
Mpqr =
∫ ∞
−∞
Hp(x)Hq(x)xre−x
2
dx,
usando a quadratura de Gauss-Hermite de 10 pontos (para p+ q + r ≤ 19). Inclua uma verificação
de paridade e iguale a zero as integrais com integrando de paridade ı́mpar. Além disso, verifique
se r está no intervalo |p − q| ≤ r. Caso contrário, Mpqr = 0. Compare seus resultados com casos
especı́ficos listados nos Exercı́cios 13.1.9, 13.1.10, 13.1.11 e 13.1.12.
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13. MAIS FUNÇÕES ESPECIAIS 633
13.1.22 Calcule e tabule as funções de onda normalizadas do oscilador linear
ψn(x) = 2−n/2π−1/4(n!)−1/2Hn(x) exp
(
−x
2
2
)
, para x = 0, 0(0, 1)5, 0
e n = 0(1)5. Se dispuser de uma rotina de montagem de gráficos, faça um gráfico com seus
resultados.
13.1.23 Avalie
∫∞
−∞ e−2x2
HN1(x) · · ·HN4(x) dx em forma fechada.
Sugestão:
∫∞
−∞e
−2x2
HN1(x)HN2(x)HN3(x) dx = 1
π2(N1+N2+N3−1)/2 · Γ(s − N1)Γ(s − N2)
· Γ(s − N3), s = (N1 + N2 + N3 + 1)/2 ou
∫∞
−∞ e−2x2
HN1(x)HN2(x) dx =
(−1)(N1+N2−1)/22(N1+N2−1)/2 ·Γ((N1 +N2 + 1)/2) podem ser úteis. Prove essas fórmulas (veja
Gradshteyn e Ryzhik, n0 7.375, em Leituras Adicionais).
13.2 Funções de Laguerre
Equação Diferencial — Polinômios de Laguerre
Se começarmos com a função geradora adequada, é possı́vel desenvolver os polinômios de Laguerre por analogia
com os polinômios de Hermite. Uma alternativa seria desenvolver uma solução de série pelos métodos da Seção
9.5. Em vez disso, vamos ilustrar uma técnica diferente começando com a EDO de Laguerre e obtendo uma solução
na forma de uma integral, de contorno, como fizemos com a representação integral, para a função modificada de
Bessel Kν(x) (Seção 11.6). Partindo dessa representação integral, será derivada uma função geradora.
A EDO de Laguerre (que deriva da EDO radial da EDP de Schrödinger para o átomo de hidrogênio) é
xy′′(x) + (1− x)y′(x) + ny(x) = 0. (13.52)
Tentaremos representar y, ou melhor, yn, uma vez que y dependerá do parâmetro n, um inteiro não-negativo, pela
integral de contorno
yn(x) =
1
2πi
∮
e−xz/(1−z)
(1− z)zn+1
dz (13.53a)
e demonstrar que ela satisfaz a EDO de Laguerre. O contorno inclui a origem mas não circunda o ponto z = 1.
Diferenciando a exponencial na Equação (13.53a), obtemos
y′n(x) = − 1
2πi
∮
e−xz/(1−z)
(1− z)2zn
dz, (13.53b)
y′′n(x) =
1
2πi
∮
e−xz/(1−z)
(1− z)3zn−1
dz. (13.53c)
Substituindo no lado esquerdo da Equação (13.52), obtemos
1
2πi
∮ [
x
(1− z)3zn−1
− 1− x
(1− z)2zn
+
n
(1− z)zn+1
]
e−xz/(1−z) dz,
que é igual a
− 1
2πi
∮
d
dz
[
e−xz/(1−z)
(1− z)zn
]
dz. (13.54)
Se integrarmos nossa diferencial exata ao redor de um contorno fechado (Figura 13.3), a integral desaparecerá,
verificando, desse modo, que yn(x) (Equação (13.53a)) é uma solução da equação de Laguerre.
Tornou-se costumeiro definir Ln(x), o polinômio de Laguerre (Figura 13.4), por5
Ln(x) =
1
2πi
∮
e−xz/(1−z)
(1− z)zn+1
dz. (13.55)
5Há outras definições deLn(x) em uso. Aqui, as definições do polinômio de LaguerreLn(x) e do polinômio associado de LaguerreLk
n(x)
estão de acordo com AMS-55, Capı́tulo 22. (A referência completa é dada na nota de rodapé 4 do Capı́tulo 5 ou em Referências Gerais no final
do livro.)