Fisica_matematica_ Arfken-64

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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 304 — #314
304 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Leituras Adicionais
O tópico da série infinita é tratado em muitos textos de cálculo avançado.
Bender, C. M., e S. Orszag, Advanced Mathematical Methods for Scientists and Engineers. Nova York: McGraw-
Hill (1978). Recomendado, em particular, para métodos de aceleração de convergência.
Davis, H. T., Tables of Higher Mathematical Functions. Bloomington, IN: Principia Press (1935). O volume II
contém informação extensiva sobre números e polinômios de Bernoulli.
Dingle, R. B., Asymptotic Expansions: Their Derivation and Interpretation. Nova York: Academic Press (1973).
Galambos, J., Representations of Real Numbers by Infinite Series. Berlim: Springer (1976).
Gradshteyn, I. S., e I. M. Ryzhik, Table of Integrals, Series and Products. 6a ed. corrigida e ampliada preparada
por Alan Jeffrey. Nova York: Academic Press (2000).
Hamming, R. W., Numerical Methods for Scientists and Engineers. Reimpressão, Nova tiragem, Nova York: Dover
(1987).
Hansen, E., A Table of Series and Products. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall (1975). Uma impressionante
compilação de séries e produtos.
Hardy, G. H., Divergent Series. Oxford: Clarendon Press (1956), 2a. ed., Chelsea (1992). A obra-padrão, definitiva,
sobre métodos de tratamento de séries divergentes. Hardy inclui relatos instrutivos sobre o desenvolvimento
gradual dos conceitos de convergência e divergência.
Jeffrey, A., Handbook of Mathematical Formulas and Integrals. San Diego: Academic Press (1995).
Knopp, K., Theory and Application of Infinite Series. Londres: Blackie and Son (2a. ed.); Nova York: Hafner
(1971). Nova tiragem: A. K. Peters Classics (1997). Essa é uma obra completa, abrangente e autorizada sobre
séries e produtos infinitos. Neste livro são encontradas provas para quase todas as afirmações não-provadas do
Capı́tulo 5.
Mangulis, V., Handbook of Series for Scientists and Engineers. Nova York: Academic Press (1965). É uma
coletânea de séries muito conveniente e instrutiva. Inclui funções algébricas, séries de Fourier e séries das
funções especiais: Bessel, Legendre, e assim por diante.
Olver, F. W. J., Asymptotics and Special Functions. Nova York: Academic Press (1974). Um desenvolvimento
detalhado e de fácil leitura da teoria assintótica. É dada considerável atenção aos limites de erros para utilização
em computação.
Rainville, E. D., Infinite Series. Nova York, Macmillan (1967). Um relato útil e de fácil leitura de constantes e
funções de séries.
Sokolnikoff, I. S., e R. M. Redheffer, Mathematics of Physics and Modern Engineering, 2a ed., Nova York;
McGraw-Hill (1966). Um longo Capı́tulo 2 (101 páginas) apresenta séries infinitas de uma forma completa,
porém de leitura muito fácil. São incluı́das extensões para as soluções de equações diferenciais, séries complexas
e para séries de Fourier.
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Funções de uma Variável Complexa I
Propriedades Analı́ticas, Mapeamento
Os números imaginários são um vôo maravilhoso do espı́rito divino;
são quase um anfı́bio entre ser e não ser.
GOTTFRIED WILHELM VON LEIBNIZ, 1702
Agora passamos ao estudo de uma variável complexa. Nessa área desenvolveremos algumas das ferramentas
mais poderosas e de utilização mais ampla em toda a análise. Para mostrar, ao menos parcialmente, por que
variáveis complexas são importantes, mencionamos brevemente diversas áreas de aplicação.
1. Para muitos pares de funções u e v, u e v satisfazem a equação de Laplace
∇2ψ =
∂2ψ(x, y)
∂x2
+
∂2ψ(x, y)
∂y2
= 0.
Por conseguinte, qualquer delas, u ou v, pode ser usada para descrever um potencial eletrostático bidimensional.
A outra função, que dá uma famı́lia de curvas ortogonais às da primeira função, pode então ser usada para
descrever o campo elétrico E. Uma situação semelhante ocorre na hidrodinâmica de um fluido ideal em movimento
irrotacional. A função u poderia descrever o potencial de velocidade, enquanto a função v seria então a função
corrente.
Em muitos casos nos quais as funções u e v são desconhecidas, mapeamento ou transformação no plano
complexo nos permite criar um sistema de coordenadas ajustado ao problema particular.
2. No Capı́tulo 9 veremos que as equações diferenciais de segunda ordem de interesse para a fı́sica podem ser
resolvidas por séries de potências. Essas mesmas séries podem ser usadas no plano complexo para substituir x pela
variável complexa z. A dependência da solução f(z) em um dado z0 do comportamento de f(z) em outro lugar
nos dá uma idéia melhor do comportamento de nossa solução e uma poderosa ferramenta (continuação analı́tica)
para ampliar a região na qual a solução é válida.
3. A mudança de um parâmetro k de real para imaginário, k → ik, transforma a equação de Helmholtz na
equação de difusão. A mesma mudança transforma as soluções da equação de Helmholtz (funções de Bessel e
funções esféricas de Bessel) nas soluções da equação de difusão (funções de Bessel modificadas e funções de
Bessel esféricas modificadas).
4. Integrais no plano complexo têm uma ampla variedade de aplicações úteis:
• Avaliação de integrais definidas;
• Inversão de séries de potências;
• Formação de produtos infinitos;
• Obtenção de soluções de equações diferenciais para grandes valores da variável (soluções assintóticas);
• Investigação da estabilidade de sistemas potencialmente oscilantes;
• Inversão de transformadas integrais.
5. Muitas quantidades fı́sicas que originalmente eram reais tornam-se complexas, assim como uma teoria fı́sica
simples torna-se geral. O ı́ndice de refração real da luz torna-se uma quantidade complexa quando é incluı́da a
absorção. A energia real associada com um nı́vel de energia torna-se complexa quando o tempo finito de vida do
nı́vel é considerado.
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306 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
6.1 Álgebra Complexa
Um número complexo nada mais é do que um par ordenado de dois números reais, (a, b). De modo semelhante,
uma variável complexa é um par ordenado de duas variáveis reais,1
z ≡ (x, y). (6.1)
A ordem é significativa. Em geral (a, b) não é igual a (b, a) e (x, y) não é igual a (y, x). Como sempre, continuamos
a escrever um numero real (x, 0) simplesmente como x, e denominamos i ≡ (0, 1) a unidade imaginária.
Toda a nossa análise de variável complexa pode ser desenvolvida em termos de pares ordenados de números
(a, b), variáveis (x, y) e funções (u(x, y), v(x, y)).
Agora, definimos adição de números complexos em termos de suas componentes cartesianas como
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2), (6.2a)
isto é, adição vetorial bidimensional. No Capı́tulo 1, os pontos no plano xy são identificados com o vetor de
deslocamento bidimensional r = x̂x + ŷy. O resultado disso é que vetores bidimensionais análogos podem ser
desenvolvidos para grande parte de nossa análise complexa. O Exercı́cio 6.1.2 é um exemplo simples; o teorema
da Cauchy, Seção 6.3, é outro.
Multiplicação de números complexos é definida como
z1z2 = (x1, y1) · (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1). (6.2b)
Usando a Equação (6.2b), verificamos que i2 = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0) = −1, portanto, também podemos
identificar i =
√
−1, como sempre, e então reescrever a Equação (6.1) como
z = (x, y) = (x, 0) + (0, y) = x+ (0, 1) · (y, 0) = x+ iy. (6.2c)
É claro que o i não é necessário aqui, mas é conveniente. Ele serve para manter pares em ordem — parecido com
os vetores unitários do Capı́tulo 1.2
Permanência da Forma Algébrica
Todas as nossas funções elementares, ez, sen z, e assim por diante, podem ser estendidas para o plano complexo
(compare com o Exercı́cio 6.1.9). Por exemplo, elas podem ser definidas por expansões de série de potências, tal
como
ez = 1 +
z
1!
+
z2
2!+ · · · =
∞∑
n=0
zn
n!
(6.3)
para a exponencial. Tais definições estão de acordo com as definições de variável real ao longo do eixo x real
e estendem as funções reais correspondentes para o plano complexo. Esse resultado costuma ser chamado de
permanência da forma algébrica claro.
É conveniente empregar uma representação gráfica da variável complexa. Plotando x— a parte real de z—
como a abscissa e y— a parte imaginária de z— como a ordenada, temos o plano complexo, ou plano de Argand,
mostrado na Figura 6.1. Se atribuirmos valores especı́ficos a x e y, então z corresponde a um ponto (x, y) no plano.
Em termos da ordenação mencionada antes, é óbvio que o ponto (x, y) não coincide com o ponto (y, x) exceto no
caso especial de x = y. Além do mais, podemos escrever, pela Figura 6.1,
x = r cos θ, y = rsen θ (6.4a)
e
z = r(cos θ + isen θ). (6.4b)
1É exatamente assim que um computador executa aritmética complexa.
2A álgebra de números complexos, (a, b), é isomórfica com a álgebra de matrizes da forma„
a b
−b a
«
(compare com o Exercı́cio 3.2.4).
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6. FUNÇÕES DE UMA VARIÁVEL COMPLEXA I 307
Figura 6.1: Plano complexo — diagrama de Argand.
Usando um resultado sugerido (mas não provado com rigor) 3 pela Seção 5.6 e o Exercı́cio 5.6.1, temos a útil
representação polar
z = r(cos θ + isenθ) = reiθ. (6.4c)
Para provar essa identidade, usamos i3 = −i, i4 = 1, . . . na expansão de Taylor das funções exponenciais e
trigonométricas e separamos potências pares e ı́mpares em
eiθ =
∞∑
n=0
(iθ)n
n!
=
∞∑
ν=0
(iθ)2ν
(2ν)!
+
∞∑
ν=0
(iθ)2ν+1
(2ν + 1)!
=
∞∑
ν=0
(−1)ν
θ2ν
(2ν)!
+ i
∞∑
ν=0
(−1)ν
θ2ν+1
(2ν + 1)!
= cos θ + isen θ.
Para os valores especiais θ = π/2 e θ = π, obtemos
eiπ/2 = cos
π
2
+ isen
π
2
= i, eiπ = cos(π) = −1,
conexões intrigantes entre e, i e π.Além do mais, a função exponencial eiθ é periódica com perı́odo 2π, exatamente
como sen θ e cos θ.
Nessa representação r é denominado módulo ou grandeza de z (r = |z| = (x2 + y2)1/2) e o ângulo
θ (tg−1(y/x)) é denominado o argumento ou fase de z. (Note que a função arco tangente tg−1(y/x) tem
infinitamente muitos ramos.)
A escolha de representação polar, Equação (6.4c), ou representação cartesiana, Equações (6.1) e (6.2c), é uma
questão de conveniência. Adição e subtração de variáveis complexas são mais fáceis na representação cartesiana,
Equação (6.2a). Multiplicação, divisão, potências e raı́zes são mais fáceis de tratar em forma polar, Equação (6.4c).
Seja analı́tica ou graficamente, usando a analogia com vetores, podemos mostrar que o módulo da soma de dois
números complexos não é maior do que a soma dos módulos e não é menor do que a diferença, Exercı́cio 6.1.3,
|z1| − |z2| ≤ |z1 + z2| ≤ |z1|+ |z2|. (6.5)
Por causa da analogia vetorial, essas desigualdades são denominadas triangulares.
Usando a forma polar, Equação (6.4c), constatamos que a grandeza de um produto é o produto das grandezas:
|z1 · z2| = |z1| · |z2|. (6.6)
Além disso,
arg(z1 · z2) = arg z1 + arg z2. (6.7)
3Em termos estritos, o Capı́tulo 5 limitou-se às variáveis reais. O desenvolvimento de expansões de séries de potências para funções
complexas é retomado na Seção 6.5 (expansão de Laurent).
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308 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Por meio de nossa variável complexa z, podemos construir funções complexas f(z) ou w(z). Então, essas
funções complexas podem ser resolvidas para partes real e imaginária,
w(z) = u(x, y) + iv(x, y), (6.8)
nas quais as funções separadas u(x, y) e v(x, y) são reais puras. Por exemplo, se f(z) = z2, temos
f(z) = (x+ iy)2 =
(
x2 − y2
)
+ i2xy.
A parte real de uma função f(z) será representada por <f(z), ao passo que a parte imaginária será representada
por =f(z). Na Equação (6.8)
<w(z) = Re(w) = u(x, y), =w(z) = Im(w) = v(x, y).
A relação entre a variável independente z e a variável dependente w talvez seja mais bem retratada como uma
operação de mapeamento. Um z = x+ iy dado significa um ponto no plano z. Então, o valor complexo de w(z) é
um ponto no plano w. Pontos no plano z são mapeados nos pontos no plano w e curvas no plano z são mapeadas
curvas no plano w, como indicado na Figura 6.2.
Figura 6.2: A função w(z) = u(x, y) + iv(x, y) mapeia pontos no plano xy para pontos no plano uv.
Conjugação Complexa
Em todas essas etapas, número complexo, variável complexa e função complexa, a operação de substituição de i
por –i é denominada “tomar o complexo conjugado”. O complexo conjugado de z é denotado por z∗, em que4
z∗ = x− iy. (6.9)
A variável complexa z e seu complexo conjugado z∗ são imagens especulares uma da outra refletidas no eixo
x, isto é, inversão do eixo y (compare com a Figura 6.3). O produto zz∗ leva a
Figura 6.3: Pontos complexos conjugados.
4O complexo conjugado costuma ser denotado por z̄ na literatura matemática.