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“livro” — 2007/8/1 — 15:06 — page 44 — #54
44 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Integrais de Superfı́cie
Integrais de superfı́cie aparecem nas mesmas formas que integrais de linha, sendo o elemento de área também
um vetor, dσ.20 Esse elemento de área costuma ser escrito ndA, no qual n é um vetor unitário (normal) para
indicar a direção positiva.21 Há duas convenções para escolher a direção positiva. Na primeira, se a superfı́cie
for uma superfı́cie fechada, concordamos em tomar a direção normal para fora como positiva. Na segunda, se a
superfı́cie for uma superfı́cie aberta, a normal positiva depende da direção na qual o perı́metro da superfı́cie aberta
é percorrido. Se os dedos da mão direita forem colocados na direção do percurso ao redor do perı́metro, a normal
positiva será indicada pelo polegar da mão direita. Como ilustração, o cı́rculo no plano xy (Figura 1.26) mapeado
de x para y para −x para −y e de volta para x terá sua normal positiva paralela ao eixo z positivo (para o sistema
de coordenadas dextrogiras).
Figura 1.26: Regra da mão direita para a normal positiva.
Análogas às integrais de linha, Equações (1.92a) a (1.92c), as integrais de superfı́cie podem aparecer nas formas∫
ϕdσ,
∫
V · dσ,
∫
V × dσ.
Mais uma vez, o produto escalar é, de longe, a forma mais comumente encontrada. A integral de superfı́cie
∫
V·dσ
pode ser interpretada como um escoamento ou fluxo através da superfı́cie dada. E isso foi o que realmente fizemos
na Seção 1.7 para obter a significância do termo de divergência. Essa identificação reaparece na Seção 1.11 como
teorema de Gauss. Note que, em termos fı́sicos, bem como pelo produto escalar, as componentes tangenciais da
velocidade nada contribuem para o fluxo através da superfı́cie.
Integrais de Volume
Integrais de volume são um tanto mais simples, porque o elemento de volume dτ é uma quantidade escalar. 22
Temos ∫
V
V dτ = x̂
∫
V
Vx dτ + ŷ
∫
V
Vy dτ + ẑ
∫
V
Vz dτ , (1.96)
novamente reduzindo a integral vetorial a uma soma vetorial de integrais escalares.
Definições Integrais de Gradiente, Divergência e Rotacional
Uma aplicação interessante e significativa de nossas integrais de superfı́cie e volume é sua utilização no
desenvolvimento de definições alternativas de nossas relações diferenciais. Encontramos
∇ϕ = limR
dτ→0
∫
ϕdσ∫
dτ
, (1.97)
∇ ·V = limR
dτ→0
∫
V · dσ∫
dτ
, (1.98)
∇×V = limR
dτ→0
∫
dσ ×V∫
dτ
. (1.99)
20Lembre-se de que na Seção 1.4 a área (de um paralelogramo) é representada por um vetor de produto externo.
21Embora n sempre tenha comprimento unitário, sua direção pode perfeitamente ser uma função da posição.
22Os sı́mbolos d3r e d3x costumam ser usados para denotar um elemento de volume em espaço de coordenadas (xyz ou x1x2x3).
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1. ANÁLISE VETORIAL 45
Nessas três equações,
∫
dτ é o volume de uma pequena região do espaço e dσ é o elemento de área vetorial desse
volume. A identificação da Equação (1.98) como a divergência de V foi realizada na Seção 1.7. Aqui, mostramos
que a Equação (1.97) é consistente com nossa definição anterior de ∇ϕ (Equação (1.60)). Por simplicidade,
escolhemos dτ como o volume diferencial dx dy dz (Figura 1.27). Desta vez, colocamos a origem no centro
geométrico de nosso elemento de volume. A integral de área leva a seis integrais, uma para cada uma das seis faces.
Lembrando que dσ aponta para fora, dσ · x̂ = −|dσ| para a superfı́cie EFHG e +|dσ| para a superfı́cieABDC ,
temos
Figura 1.27: Paralelepı́pedo retangular diferencial (origem no centro).
∫
ϕdσ = −x̂
∫
EFHG
(
ϕ− ∂ϕ
∂x
dx
2
)
dy dz + x̂
∫
ABDC
(
ϕ+
∂ϕ
∂x
dx
2
)
dy dz
− ŷ
∫
AEGC
(
ϕ− ∂ϕ
∂y
dy
2
)
dx dz + ŷ
∫
BFHD
(
ϕ+
∂ϕ
∂y
dy
2
)
dx dz
− ẑ
∫
ABFE
(
ϕ− ∂ϕ
∂z
dz
2
)
dx dy + ẑ
∫
CDHG
(
ϕ+
∂ϕ
∂z
dz
2
)
dx dy.
Usando as variações totais, avaliamos cada integrando na origem com uma correção incluı́da para corrigir o
deslocamento (±dx/2, etc.) do centro da face em relação à origem. Tendo escolhido o volume total como de
tamanho diferencial (
∫
dτ = dx dy dz), abandonamos os sinais de integral no lado direito e obtemos∫
ϕdσ =
(
x̂
∂ϕ
∂x
+ ŷ
∂ϕ
∂y
+ ẑ
∂ϕ
∂z
)
dx dy dz. (1.100)
Dividindo por ∫
dτ = dx dy dz,
verificamos a Equação (1.97).
Essa verificação foi supersimplificada ao ignorar outros termos de correção além das derivadas de primeira
ordem. Esses termos adicionais, que são introduzidos na Seção 5.6, quando é desenvolvida a expansão de Taylor,
desaparecem no limite ∫
dτ → 0 (dx→ 0, dy → 0, dz → 0).
Essa, é claro, é a razão para especificar que esse limite fosse tomado nas Equações (1.97), (1.98) e (1.99) . A
verificação da Equação (1.99) segue exatamente essas mesmas linhas, utilizando um volume diferencial dx dy dz.
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46 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Exercı́cios
1.10.1 O campo de força que age sobre um oscilador linear bidimensional pode ser descrito por
F = −x̂kx− ŷky.
Compare o trabalho realizado movimentando-se contra esse campo de força entre (1, 1) a (4, 4)
pelos seguintes trajetos em linha reta:
(a) (1, 1)→ (4, 1)→ (4, 4)
(b) (1, 1)→ (1, 4)→ (4, 4)
(c) (1, 1)→ (4, 4) ao longo de x = y.
Isso significa avaliar
−
∫ (4,4)
(1,1)
F · dr
ao longo de cada trajeto.
1.10.2 Ache o trabalho realizado para percorrer um cı́rculo unitário no plano xy:
(a) no sentido anti-horário de 0 a π,
(b) no sentido horário de 0 a −π, realizando trabalho contra um campo de força dado por
F =
−x̂y
x2 + y2
+
ŷx
x2 + y2
.
Note que o trabalho realizado depende do trajeto.
1.10.3 Calcule o trabalho que você realiza para ir de um ponto (1, 1) a um ponto (3, 3). A força que você
exerce é dada por
F = x̂(x− y) + ŷ(x+ y).
Especifique claramente o trajeto que escolheu. Note que esse campo de força é não-conservativo.
1.10.4 Avalie
∮
r · dr.
Nota: O sı́mbolo
∮
significa que o trajeto de integração é um circuito fechado.
1.10.5 Avalie
1
3
∫
s
r · dσ
sobre o cubo unitário definido pelo ponto (0, 0, 0) e as interceptações unitárias sobre os eixos x, y
e z positivos. Note que (a) r · dσ é zero para três das superfı́cies e (b) cada uma das três superfı́cies
restantes contribui com a mesma quantidade para a integral.
1.10.6 Mostre, por expansão da integral de superfı́cie, que
limR
dτ→0
∫
s
dσ ×V∫
dτ
= ∇×V.
Sugestão: Escolha o volume
∫
dτ como um volume diferencial dx dy dz.
1.11 Teorema de Gauss
Aqui derivamos uma relação útil entre uma integral de superfı́cie de um vetor e a integral de volume da divergência
daquele vetor. Vamos admitir que o vetor V e suas derivadas de primeira ordem sejam contı́nuos sobre a região
simplesmente conectada (que não tem orifı́cio, tal como o de uma rosquinha) de interesse. Então, o teorema de
Gauss afirma que
{
∂V
V · dσ =
∫∫∫
V
∇ ·V dτ . (1.101a)
Traduzindo em palavras, a integral de superfı́cie de um vetor sobre uma superfı́cie fechada é igual à integral de
volume da divergência daquele vetor integrada sobre o volume incluı́do pela superfı́cie.
Imagine que o volume V seja subdividido em um número arbitrariamente grande de pequeninos paralelepı́pedos
(diferenciais). Para cada paralelepı́pedo ∑
seis superfı́cies
V · dσ = ∇ ·V dτ , (1.101b)
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1. ANÁLISE VETORIAL 47
Figura 1.28: Cancelamento exato de dσ sobre superfı́cies interiores. Nenhum cancelamento sobre a superfı́cie
exterior.
pela análise da Seção 1.7, Equação (1.66), substituindo ρv por V. O somatório é executado sobre as seis faces do
paralelepı́pedo. Fazendo o somatório para todos os paralelepı́pedos, constatamos que os termos V ·dσ se cancelam
(aos pares) para todas as faces interiores; somente as contribuições das superfı́cies exteriores (Figura 1.28)
sobrevivem. Análogo à definição de uma integral de Riemann como o limite de uma soma, tomamos o limite no
qual o número de paralelepı́pedosse aproxima do infinito (→ ∞) e as dimensões de cada um se aproximam de
zero(→ 0): ∑
superfı́cies exteriores
V · dσ
��
=
∑
volumes
∇ ·V dτ
��∫
S
V · dσ =
∫
V
∇ ·V dτ .
O resultado é a Equação (1.101a), o teorema de Gauss.
De um ponto de vista fı́sico, a Equação (1.66) determinou ∇ ·V como o fluxo lı́quido de saı́da de fluido por
unidade de volume. A integral de volume então dá o fluxo de saı́da lı́quido total. Mas a integral de superfı́cie∫
V · dσ é apenas outra maneira de expressar essa mesma quantidade, que é a igualdade, o teorema de Gauss.
Teorema de Green
Um corolário do teorema de Gauss freqüentemente usado é uma relação conhecida como teorema de Green. Se u
e v são duas funções escalares, temos as identidades
∇ · (u∇v) = u∇ ·∇v + (∇u) · (∇v), (1.102)
∇ · (v∇u) = v∇ ·∇u+ (∇v) · (∇u). (1.103)
Subtraindo a Equação (1.103) da Equação (1.102), integrando sobre um volume (u, v e suas derivadas, admitidas
como contı́nuas) e aplicando a Equação (1.101a) (teorema de Gauss), obtemos
∫∫∫
V
(u∇ ·∇v − v∇ ·∇u) dτ =
{
∂V
(u∇v − v∇u) · dσ. (1.104)
Esse é o teorema de Green. Nós o utilizamos para desenvolver funções de Green no Capı́tulo 9. Uma forma
alternativa do teorema de Green, derivada apenas da Equação (1.102) , é
{
∂V
u∇v · dσ =
∫∫∫
V
u∇ ·∇v dτ +
∫∫∫
V
∇u ·∇v dτ . (1.105)
Essa é a forma do teorema de Green usada na Seção 1.16.
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48 Fı́sica Matemática Arfken •Weber
Formas alternativas do Teorema de Gauss
Embora a Equação (1.101a) envolvendo a divergência seja, de longe, a forma mais importante do teorema de
Gauss, integrais de volume envolvendo o gradiente e o rotacional também podem aparecer. Suponha
V(x, y, z) = V (x, y, z)a, (1.106)
no qual a é um vetor de módulo constante e direção constante, porém arbitrária. (Você escolhe a direção, porém,
tão logo a escolha, conserve-a fixa.) A Equação (1.101a) torna-se
a ·
{
∂V
V dσ =
∫∫∫
V
∇ · aV dτ = a ·
∫∫∫
V
∇V dτ (1.107)
pela Equação (1.67b). Essa expressão pode ser reescrita como
a ·
[{
∂V
V dσ −
∫∫∫
V
∇V dτ
]
= 0. (1.108)
Visto que |a| 6= 0 e sua direção são arbitrários, significando que o co-seno do ângulo incluı́do nem sempre pode
desaparecer, os termos entre colchetes devem ser zero.23 O resultado é
{
∂V
V dσ =
∫∫∫
V
∇V dτ. (1.109)
De maneira semelhante, usando V = a×P no qual a é um vetor constante, podemos mostrar
{
∂V
dσ ×P =
∫∫∫
V
∇×P dτ . (1.110)
Essas duas últimas formas do teorema de Gauss são usadas na forma vetorial da teoria da difração de Kirchoff.
Elas também podem ser usadas para verificar as Equações (1.97) e (1.99). O teorema de Gauss também pode ser
estendido para tensores (veja a Seção 2.11).
Exercı́cios
1.11.1 Usando o teorema de Gauss, prove que
{
S
dσ = 0
Se S = ∂V for uma superfı́cie fechada.
1.11.2 Mostre que
1
3
{
S
r · dσ = V,
em que V é o volume contido pela superfı́cie fechada S = ∂V .
Nota: Essa é uma generalização do Exercı́cio 1.10.5.
1.11.3 Se B = ∇×A, mostre que {
S
B · dσ = 0
para qualquer superfı́cie fechada S.
1.11.4 Sobre algum volume V seja ψ uma solução da equação de Laplace (com as derivadas aparecendo
como contı́nuas). Prove que a integral sobre qualquer superfı́cie fechada em V da derivada normal
de ψ (∂ψ/∂n ou ∇ψ · n) será zero.
1.11.5 Por analogia com a definição integral de gradiente, divergência e rotacional da Seção 1.10, mostre
que
∇2ϕ = limR
dτ→0
∫
∇ϕ · dσ∫
dτ
.
23Essa exploração da natureza arbitrária de uma parte de um problema é uma técnica valiosa e muito utilizada. O vetor arbitrário é usado
novamente nas Seções 1.12 e 1.13. Outros exemplos aparecem na Seção 1.14 (integrandos igualados) e na Seção 2.8, sobre regra do quociente.