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CAPÍTULO 6. Álgebra e Análise Tensoriais 329
P
Q
R
S
δqi
dqi
viQ
viSQviSR
viR
viP
C2
C1
Figura 6.14: O deslocamento paralelo do vetor v
do ponto P ao ponto S ao longo de dois cami-
nhos distintos resulta em diferentes valores para a
componente vi.
Considera-se agora o transporte paralelo de um
campo vetorial v = viei ao longo de ambos os ca-
minhos C1 e C2 da figura 6.13. Este transporte está
ilustrado agora na figura 6.14. O campo vetorial é
suposto estar definido no ponto P , onde suas com-
ponentes possuem valores iguais a
{
viP
}
, e estes
componentes são transportados até o ponto S ao
longo de dois caminhos distintos:
C1 : Realiza-se o transporte paralelo de v de P até
Q com um deslocamento
{
dqi
}
, resultando então
nas componentes
{
viQ
}
. Em seguida, realiza-se o
transporte paralelo do mesmo vetor de Q até S com
o deslocamento
{
δqi
}
, resultando nos valores finais{
viSQ
}
para as componentes de v.
C2 : Desloca-se v paralelamente de P a R por
{
δqi
}
.
Em seguida, desloca-se o mesmo de R a S por{
dqi
}
, resultando as componentes
{
viSR
}
.
As componentes
{
viSQ
}
e
{
viSR
}
são idênticas
ou distintas entre si? Em geral, para um espaço
curvo, viSQ 6= viSR e a razão para tanto pode ser en-
tendida calculando as variações da i-ésima compo-
nente de v ao longo dos dois caminhos distintos.
Ao longo do transporte paralelo P → Q, a refe-
rida componente resulta com o valor
viQ = viP + dviP ,
onde dviP é a variação de vi no referido deslocamento. De acordo com (6.63b), para um desloca-
mento suficientemente pequeno,
dviP = −Γijk(P )v
j
P dq
k,
onde
{
Γijk(P )
}
são os valores assumidos pelos símbolos de Christoffel no ponto P . Ou seja,
viQ = viP − Γijk(P )v
j
P dq
k.
A componente viQ é agora transportada ao ponto S, assumindo o valor viSQ no mesmo, a qual
é dada por
viSQ = viQ + δviQ = viQ − Γijk(Q)v
j
Qδq
k,
onde agora
{
Γijk(Q)
}
são os símbolos de Christoffel em Q. Como estes são funções das coorde-
nadas
{
qi
}
, pode-se escrever, para dqi pequeno o suficiente,
Γijk = Γijk
({
qi
})
=⇒ Γijk(Q) = Γijk(P ) +
∂Γijk
∂q`
∣∣∣∣∣
P
dq` ≡ Γijk(P ) + Γijk,`dq
`,
sendo Γijk,` ≡ ∂Γijk/∂q
` em P . Então, a componente viSQ acima pode ser escrita como
viSQ = viP − Γijk(P )v
j
P dq
k −
(
Γijk(P ) + Γijk,`dq
`
)(
vjP − Γjmn(P )v
m
P dq
n
)
δqk
= viP − Γijk(P )v
j
P dq
k − Γijk(P )v
j
P δq
k − Γijk,`v
j
P δq
kdq` + Γijk(P )Γ
j
mn(P )v
m
P δq
kdqn + O
[(
dqi
)3]
= vi − Γijkv
jdqk − Γijkv
jδqk − Γijk,`v
jδqkdq` + ΓijkΓjmnv
mδqkdqn + O
[(
dqi
)3]
.
Na última expressão, o índice “P ” foi removido porque todas as quantidades no lado direito são
calculadas neste ponto.
Realizando agora o mesmo procedimento para o transporte P → R→ S, resulta
viSR = vi − Γijkv
jδqk − Γijkv
jdqk − Γijk,`v
jdqkδq` + ΓijkΓjmnv
mdqkδqn + O
[(
dqi
)3]
.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
330 6.14. Os tensores de Riemann, Ricci e Einstein
Portanto, a diferença na i-ésima componente de v no ponto S, para dois caminhos arbitrários e
distintos partindo de P , é igual a
viSR − viSQ = Γijk,`v
jδqkdq` − Γijk,`v
jdqkδq` + ΓijkΓjmnv
mdqkδqn − ΓijkΓjmnv
mδqkdqn,
onde foram mantidos somente os termos até segunda ordem em dqi.
A diferença acima pode ser escrita como
viSR − viSQ = Rij`kv
jdqkδq`, (6.66a)
onde
Rijk` ≡ Γijk,` − Γij`,k + Γim`Γ
m
jk − ΓimkΓmj` (6.66b)
é o tensor de curvatura de Riemann-Christoffel misto ou do segundo tipo. Como vi, dqk e
δq` em (6.66a) são todos componentes de vetores, pela regra do quociente as quantidades
{
Rijk`
}
realmente compõe um tensor de posto quatro. Uma outra maneira de se escrever (6.66b) é na
forma de determinantes,
Rijk` =
∣∣∣∣∣∣∣∣
∂
∂q`
∂
∂qk
Γij` Γijk
∣∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
Γim` Γimk
Γmj` Γmjk
∣∣∣∣∣∣ . (6.66c)
Observa-se que o tensor de curvatura independe do campo v; este depende somente do tensor
de métrica e de suas derivadas, ou seja, é uma função somente da geometria do espaço curvo.
Para que o valor de viS independa do caminho adotado a partir de P , é necessário que Rijk` = 0,
uma vez que o campo v é arbitrário. Em um espaço Euclideano, sempre é possível encontrar um
sistema de coordenadas (Cartesiano, por exemplo), onde Γijk = 0. Neste sistema de coordenadas,
o tensor de curvatura é identicamente nulo. Pode-se mostrar que o mesmo ocorre para qualquer
outro sistema de coordenadas neste espaço.
Através do tensor de curvatura, é possível atribuir significado ao termo espaço plano ou
Euclideano, como sendo aquele onde o tensor de Riemann-Christoffel é identicamente nulo em
todos os pontos deste espaço. Se esta condição não for satisfeita, o espaço é curvo ou não
Euclideano. Este resultado é de fundamental importância para a dinâmica de sistemas físicos
em espaços curvos, descritos por teorias tais como a Relatividade Geral.
Se ao invés das componentes contravariantes de v fossem realizados os transportes paralelos
das componentes covariantes {vi} entre os pontos P e S da figura 6.14, pode-se mostrar, com o
emprego de (6.64b), que a diferença entre os valores de viS obtidos nos dois caminhos distintos
seria igual a
viSR − viSQ = −Rji`kvjdq
kδq`.
Estes resultados mostram que o deslocamento paralelo de um vetor e, em geral, de um
tensor, entre dois pontos de um espaço Riemanniano depende do caminho escolhido. Segue
disto que se um tensor é deslocado paralelamente ao longo de uma curva fechada formada por
geodésicas, ao retornar ao ponto de partida os seus componentes não irão possuir em geral os
mesmos valores que possuiam originalmente. Este fato, característico de espaços curvos, tem
consequências importantes para a física acerca do conceito de campos conservativos em espaços
Riemannianos curvos.
Um tensor associado a Rijk` é
Rijk` = gimR
m
jk`, (6.67a)
denominado o tensor de curvatura de Riemann-Christoffel covariante ou do primeiro tipo.
Não é difícil verificar que este tensor pode ser escrito como
Rijk` = [jk, i],` − [j`, i],k + [ik,m] Γmj` − [i`,m] Γmjk (6.67b)
= [jk, i],` − [j`, i],k + gmn ([ik,m] [j`, n]− [i`,m] [jk, n]) (6.67c)
=
∣∣∣∣∣∣∣
∂
∂q`
∂
∂qk
[j`, i] [jk, i]
∣∣∣∣∣∣∣+
∣∣∣∣∣∣
[ik,m] [i`,m]
Γmjk Γmj`
∣∣∣∣∣∣ (6.67d)
=
∣∣∣∣∣∣∣
∂
∂q`
∂
∂qk
[j`, i] [jk, i]
∣∣∣∣∣∣∣+ gmn
∣∣∣∣∣∣
[ik,m] [i`,m]
[jk, n] [j`, n]
∣∣∣∣∣∣ . (6.67e)
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022