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CAPÍTULO 6. Álgebra e Análise Tensoriais 341
definidos como uma quádrupla de números que pode ser representada de diferentes maneiras
como: (
x0, x1, x2, x3
)
= ({xµ}) =
(
x0,
{
xi
})
= (ct, r) , onde µ = 0, . . . , 3 e i = 1, . . . , 3.
No espaço M4 está suposta a validade de uma transformação xµ → x′µ que leva as coordena-
das {xµ} a novas coordenadas
x′µ = x′µ ({xν}) , (µ = 0, . . . , 3) ,
de acordo com a transformação de Lorentz (6.81). Esta transformação pode ser escrita de uma
forma compacta como
x′µ = Λµνx
ν , (6.82a)
sendo que Λµν é denominada a matriz de transformação de Lorentz. Obviamente, é válida
também a transformação inversa
xµ =
(
Λ−1
)µ
ν
x′ν , (6.82b)
onde
Λµα
(
Λ−1
)α
ν
= δµν , sendo [δµν ] =
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
a delta de Kronecker escrita na forma de um tensor de posto 2 misto. Comparando (6.82a,b)
com (6.81), conclui-se que
Λ0
0 = γ
(
Λ−1
)0
0
= γ
Λ0
i = Λi0 = −γβi
(
Λ−1
)0
i
=
(
Λ−1
)i
0
= γβi
Λij = δij + (γ − 1)
βiβj
β2
(
Λ−1
)i
j
= δij + (γ − 1)
βiβj
β2
.
(6.82c)
Ou, na forma matricial,
Λ ≡
γ −γβ1 −γβ2 −γβ3
−γβ1 1 + (γ − 1)
β2
1
β2 (γ − 1) β1β2
β2 (γ − 1) β1β3
β2
−γβ2 (γ − 1) β1β2
β2 1 + (γ − 1)
β2
2
β2 (γ − 1) β2β3
β2
−γβ3 (γ − 1) β1β3
β2 (γ − 1) β2β3
β2 1 + (γ − 1)
β2
3
β2
(6.82d)
Λ−1 ≡
γ γβ1 γβ2 γβ3
γβ1 1 + (γ − 1)
β2
1
β2 (γ − 1) β1β2
β2 (γ − 1) β1β3
β2
γβ2 (γ − 1) β1β2
β2 1 + (γ − 1)
β2
2
β2 (γ − 1) β2β3
β2
γβ3 (γ − 1) β1β3
β2 (γ − 1) β2β3
β2 1 + (γ − 1)
β2
3
β2
. (6.82e)
De acordo com os postulados da relatividade, dados dois referenciais inerciais K e K ′, dois
eventos quaisquer sempre ocorrem com separações espaço-temporais dadas respectivamente
por {dxµ} e {dx′µ}, de tal forma que a quantidade
ds2 .
=
(
dx0
)2 − (dx1
)2 − (dx2
)2 − (dx3
)2
= ds′2 ≡
(
dx′0
)2 − (dx′1)2 − (dx′2)2 − (dx′3)2 (6.83a)
permanece sempre invariante frente a uma transformação de Lorentz.
A quantidade ds2 definida em (6.83a) é denominada um intervalo infinitesimal entre even-
tos no espaço-tempo de Minkowski, ou, simplesmente, a métrica de Minkowski. Nota-se que
ds2 não é positivo-definido, pois em princípio sempre é possível encontrar uma transformação
tal que ds2 < 0.21
Desta maneira, é possível definir o tensor de métrica do M4 a partir do intervalo ds2, de tal
forma que
ds2 = gµνdx
µdxν , (6.83b)
21Porém, esta transformação, denominada tipo-espaço, viola a causalidade implícita nos postulados da relatividade.
As outras transformações possíveis são tipo-tempo, para a qual ds2 > 0 e tipo-luz, para a qual ds2 = 0 (para xµ 6= 0).
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
342 6.15. Aplicações físicas
onde
g =
1 0 0 0
0−1 0 0
0 0 −1 0
0 0 0 −1
, sendo que g = det (g) = −1. (6.83c)
O tensor de métrica (6.83b,c) mostra que o espaçoM4 é plano; porém, de acordo com a defini-
ção 6.9, é um tipo de espaço pseudo-Riemanniano, os quais são assim denominados justamente
por apresentarem sua métrica dada por expressões como (6.83a). Em tais espaços, é comum
caracterizar-se o tensor de métrica também por sua assinatura, a qual é o conjunto de números
indicando a quantidade de autovalores positivos, negativos e nulos do tensor de métrica. No
caso do M4, a assinatura do tensor de métrica é indicada por {+,−,−,−}.
Propriedades matemáticas do tensor de métrica do M4:
1. gµν = gνµ (simétrico).
2. gµν = gµν (forma contravariante).
3. gµαgαν = gµν = δµν (forma mista).
4. Tr (g) = −2.
Não será realizada aqui uma discussão ampla das consequências físicas das transformações
de Lorentz e dos postulados da relatividade. Discussões a respeito do conceito de simultanei-
dade, contração espacial, adição de velocidades e cone de luz são referidas a textos específicos
sobre relatividade. O único conceito relevante para a presente discussão é do tempo próprio.
Considera-se uma partícula com velocidade instantânea u (t) em relação ao referencial K.
Em um intervalo de tempo dt, sua posição muda por dr = udt. De (6.83a), o elemento de arco no
espaço-tempo percorrido pela partícula é
ds2 = c2dt2 − |dr|2 = c2dt2
(
1− β2
u
)
em K,
sendo βu = u/c o fator beta da velocidade instantânea da partícula em K.
Dado agora o referencial K ′ onde a partícula está instantaneamente em repouso, como dr′ = 0
em K ′, a partícula percorre o elemento de arco ds′2 somente ao longo da coordenada temporal,
ou seja,
ds′2 = c2dt′2 ≡ c2dτ2 em K ′.
Como este elemento de arco é um invariante frente a transformação de Lorentz, isto é, ds′2 = ds2,
isto implica que
dτ =
√
1− β2
u (t)dt =
dt
γu (t)
, sendo γu (t) =
(
1− β2
u (t)
)−1/2
.
A outra implicação é que a quantidade dτ também é um invariante de Lorentz. Esta quantidade é
o elemento de tempo próprio da partícula, ou seja, o intervalo infinitesimal de tempo mensurado
no referencial instantaneamente em repouso com a mesma.
Se for possível resolver a equação de movimento da partícula no referencial K entre os ins-
tantes t1 e t2, então o intervalo de tempo próprio transcorrido no referencial em repouso com a
partícula será dado por
∆τ =
ˆ t2
t1
dt
γu (t)
.
Este resultado mostra também que ∆τ 6 ∆t = t2 − t1, uma vez que γu > 1 sempre. Ou seja,
em qualquer referencial, o intervalo de tempo medido para um determinado processo físico será
sempre maior ou igual que o tempo transcorrido no referencial em repouso com a partícula. Este
fenômeno é denominado de dilatação temporal.
Dado o tensor de métrica na teoria da relatividade restrita, pode-se agora definir os seguintes
objetos que compõe o espaço-tempo de Minkowski:
Tensores de posto zero. Também denominados escalares ou invariantes de Lorentz.
Tensores de posto um. Também denominados quadrivetores. Como os componentes de um
quadrivetor podem estar na forma contravariante ou covariante, será empregada uma no-
tação própria que indica explicitamente qual é a forma dos mesmos.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022