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CAPÍTULO 6. Álgebra e Análise Tensoriais 353 referencial podem ter qualquer orientação arbitrária, sem que isso comprometa a generalidade da equação de movimento. Observando que a terceira equação de movimento é d2θ dτ2 + 2 r dr dτ dθ dτ − sen θ cos θ ( dϕ dτ )2 = 0, se a partícula estiver no plano θ = π/2 em um determinado instante próprio τ0, pode-se desen- volver θ (τ) em torno de τ0 como θ (τ) = π 2 + dθ dτ ∣∣∣∣ τ0 (τ − τ0) + 1 2! d2θ dτ2 ∣∣∣∣ τ0 (τ − τ0) 2 + 1 3! dθ dτ ∣∣∣∣ τ0 (τ − τ0) 3 + · · · . Ou seja, dθ dτ = dθ dτ ∣∣∣∣ τ0 + d2θ dτ2 ∣∣∣∣ τ0 (τ − τ0) + 1 2! dθ dτ ∣∣∣∣ τ0 (τ − τ0) 2 + · · · . Se, adicionalmente, dθ/dτ |τ0 = 0, então a equação de movimento mostra que d2θ/dτ2 ∣∣ τ0 = 0. Para se obter d3θ/dτ3 ∣∣ τ0 , deriva-se a equação para θ (τ), resultando então que esta derivada também é nula. Assim, pode-se mostrar que todos os termos na série de Taylor para θ (τ) são nulos exceto o primeiro. Portanto, as equações de movimento na métrica de Schwarzschild admitem uma solução θ (τ) = π/2, exatamente como na teoria Newtoniana da gravitação. As equações de movimento reduzem-se então para µ dx0 dτ = α r2 dϕ dτ = h, d2r dτ2 − µr ( h r2 )2 + 1 2 µµ′ ( α µ )2 − 1 2 µ′ µ ( dr dτ )2 = 0. Agora, o termo (dr/dτ) 2 na equação será modificado a partir da métrica. De (6.92), resulta que µ−1 ( dr dτ )2 = µ ( dx0 dτ )2 − r2 [( dθ dτ )2 + sen2 θ ( dϕ dτ )2 ] − c2 = µ−1α2 − h2 r2 − c2, onde também foi empregada a identidade d` = cdτ . Portanto, d2r dτ2 − µh 2 r3 + 1 2 µ′ h2 r2 + 1 2 µ′c2 = 0, d2r dτ2 − ( 1− 3 2 rG r ) h2 r3 + rGc 2 2r2 = 0, (6.94) uma vez que µ = 1− rG/r. Para identificar finalmente a expressão para o raio gravitacional rG, considera-se primeiro o limite clássico das equações de movimento. Observa-se que dτ = √ µdt = √ 1− rG r dt. O limite clássico é obtido para r � rG, de onde dτ ≈ ( 1− rG 2r ) dt ≈ dt. Neste limite, a equação (6.94) fica d2r dt2 − h2 r3 + rGc 2 2r2 = 0. Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022 354 6.15. Aplicações físicas Esta equação será comparada com as equações de movimento de uma partícula de massa m sob a influência da força gravitacional de uma massa M , de acordo com a lei da gravitação universal de Newton. As equações são as seguintes: r̈ − r ( θ̇2 + sen2 θϕ̇2 ) + 1 m U ′ = 0 θ̈ + 2 r ṙθ̇ − sen θ cos θϕ̇2 = 0 d dt ( r2 sen2 θϕ̇ ) = 0 =⇒ r2 sen2 θϕ̇ = h onde U = −GMm r é a energia potencial gravitacional do sistema composto pelas massas M e m e h é proporcional ao momentum angular (constante). Estas equações admitem uma solução θ = π/2 = cte., em cuja situação a equação radial pode ser escrita r̈ − h2 r3 + GM r2 = 0. Comparando esta equação com (6.94) no limite clássico, obtém-se rG = 2GM c2 . É interessante comparar os raios de Schwarzschild de alguns objetos astronômicos conheci- dos. A tabela 6.3 mostra o valores de rG e também da densidade dos objetos. Observa-se que a Terra tem um raio gravitacional de pouco menos do que 1 cm, ao passo que para o Sol, rG ≈ 3 km. Ou seja, os seus raios gravitacionais são muito menores que os seus tamanhos. Contudo, um objeto suficientemente denso pode ser um raio de Schwarzschild maior que o seu tamanho. Se o raio do objeto é r = 3 √ 3M 4πρ , sendo ρ sua densidade, então rG > r se ρ > 3c6 32πG3M2 . Isto é o que ocorre com um Buraco Negro. DISTORÇÕES DO ESPAÇO-TEMPO NA MÉTRICA DE SCHWARZSCHILD Alguns dos resultados mais conhecidos da métrica de Schwarzschild serão apresentados agora. O espaço-tempo descrito pela métrica (6.92) não é “plano” como o espaço Euclideano, tacitamente assumido na gravitação Newtoniana. Se forem considerados dois pontos infinitesi- malmente próximos na direção radial a partir da massa M , de tal forma que dt = dθ = dϕ, resulta que a extensão do elemento de arco na direção radial resulta dR = ( 1− rG r )−1/2 dr > dr. Ou seja, a distância entre os pontos r1 e r2 (> r1) é obtida pela integração R21 = ˆ r2 r1 ( 1− rG r )−1/2 dr = [√ r (r − rG) + rG ln (√ r + √ r − rG )]r2 r1 > r2 − r1. Tabela 6.3: Raios de Schwarzschild de alguns objetos astronômicos. rG (m) Densidade ( g/cm3 ) Terra 8, 83× 10−3 2, 04× 1027 Sol 2, 95× 103 1, 84× 1016 Via Láctea 2, 08× 1015 (∼ 0, 2a.l.) 3, 72× 10−8 Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 01/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
