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CAPÍTULO 5. Teoria de Representações de Grupos 251
Observa-se que as condições acima são satisfeitas se
η = α∗, γ = −β∗; ou seja, U =
(
α β
−β∗ α∗
)
.
A forma mais geral de uma matriz U ∈ SU(2) ficou reduzida às escolhas de dois números comple-
xos (α e β), os quais ainda estão sujeitos às condições impostas às matrizes do grupo. Por isso,
dos quatro parâmetros reais ainda restantes (as partes reais e imaginárias de α e β) somente três
serão independentes e os valores possíveis que estes podem assumir estão restritos a intervalos
finitos no eixo real, uma vez que o grupo é compacto. Uma forma geral para os três parâmetros
independentes é α = eiξ cos η e β = −eiζ sen η, sendo {ξ, ζ, η} ⊂ R. Assim, a forma mais geral para
a matriz U é
U =
(
eiξ cos η −eiζ sen η
e−iζ sen η e−iξ cos η
)
.
Uma transformação infinitesimal será então obtida a partir da matriz U se
U = I2 +
(
δα δβ
−δβ∗ δα∗
)
=
(
1 + δα δβ
−δβ∗ 1 + δα∗
)
.
Mas, a condição |α|2 + |β|2 = 1 implica que, em primeira ordem nos infinitésimos, 1 + δα + δα∗ =
1 ⇒ δα = −δα∗; ou seja, δα = 1
2 iδa3, (δa3 ∈ R). Portanto, os parâmetros infinitesimais do SU(2)
são {δa1, δa2, δa3} ⊂ R tais que
δβ =
1
2
δa2 +
i
2
δa1, δα =
i
2
δa3.
Com as escolhas feitas, pode-se finalmente escrever, empregando a notação de Einstein de
somas implícitas,
U (δa1, δa2, δa3) = I2 +
(
i
2δa3
i
2δa1 + 1
2δa2
i
2δa1 − 1
2δa2 − i
2δa3
)
= I2 +
i
2
σαδaα,
sendo σ1 =
(
0 1
1 0
)
, σ2 =
(
0−i
i 0
)
, σ3 =
(
1 0
0−1
)
as matrizes de Pauli.
Em termos das matrizes de Pauli, as transformações infinitesimais ficam
x + dx = U (δa1, δa2, δa3) x =⇒ xj + dxj = Ujkxk, (j = 1, 2) =⇒ dxj =
i
2
(σα)jk xkδaα.
Assim, de (5.56b) resulta que
ujα (x1, x2) =
i
2
(σα)jk xk,
(
j=1,2
α=1,2,3
)
e, portanto, de (5.57) resulta que os geradores infinitesimais do SU(2) são
Xα = ujα (x)
∂
∂xj
=
i
2
(σα)jk xk
∂
∂xj
.
É comum afirmar-se que as matrizes de Pauli são os geradores do grupo.
Para determinar as constantes de estrutura, ao invés de partir da definição (5.61), é mais
prático calcular os comutadores dos geradores. Para tanto, nota-se primeiro que as matrizes de
Pauli satisfazem a relação de comutação
[σα, σβ ] = 2iεαβγσγ .
Dessa maneira,
[Xα, Xβ ] = XαXβ −XβXα
= −1
4
(σα)jk (σβ)`m
[
xk
∂
∂xj
(
xm
∂
∂x`
)
− xm
∂
∂x`
(
xk
∂
∂xj
)]
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 06/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
252 5.10. Grupos e álgebras de Lie e suas representações
= −1
4
[
(σα)jk (σβ)`j xk
∂
∂x`
− (σα)j` (σβ)`k xk
∂
∂xj
]
,
[Xα, Xβ ] =
1
4
[σα, σβ ]jk xk
∂
∂xj
.
Ou seja,
[Xα, Xβ ] = εαβγXγ .
Imediatamente, conclui-se que as constantes de estrutura do SU(2) são cγαβ = εαβγ. Observa-
se que a relação de comutação do SU(2) é idêntica à relação do SO(3).
5.10.4 PARAMETRIZAÇÃO DAS TRANSFORMAÇÕES DO GRUPO
Com a definição dos geradores infinitesimais do grupo em (5.57), é possível escrever (5.56e)
como
∂xi
∂aλ
= ψκλ (a)Xκxi, sendo ψκλ (0) = δκλ. (5.65)
Qualquer ponto no espaço de parâmetros do grupo pode ser atingido a partir de um ponto
inicial ao longo de uma reta que conecta esses pontos. Essa reta pode, por sua vez, ser parame-
trizada por relações do tipo
aλ = sλτ, (λ = 1, . . . , r) , (5.66)
sendo τ ∈ R o parâmetro que gera a reta e sλ ∈ R as declividades das projeções da reta sobre
cada coordenada no espaço de parâmetros. Com esta parametrização, o valor τ = 0 gera a
transformação identidade xi = xi (a = 0). Já para τ 6= 0, as componentes xi são transformadas
como
xi (τ) = S (τ)xi (0) , sendo S (0) = 1.
A quantidade S (τ) é um operador parametrizado por τ que atua sobre o valor inicial xi (0) da
coordenada. Inserindo esta expressão em (5.65) obtém-se
dxi
dτ
=
∂xi
∂aλ
daλ
dτ
= sλψκλ (sτ)Xκxi (τ) =⇒ dS
dτ
xi (0) = sλψκλ (sτ)XκS (τ)xi (0) ,
sendo ψκλ (sτ) = ψκλ (s1τ, . . . , srτ); ou seja, o operador S (τ) satisfaz
dS
dτ
= sλψκλ (sτ)XκS (τ) .
Então, em τ = 0,
dS
dτ
∣∣∣∣
τ=0
= sκXκ.
Com os resultados recém obtidos, conclui-se que o operador S (τ) pode ser formalmente
desenvolvido em uma série de potências de τ como
S (τ) = S (0) + τ
dS
dτ
∣∣∣∣
τ=0
+O
(
τ2
)
=⇒ S (τ) = 1 + τsκXκ + · · · . (5.67a)
Portanto, a transformação infinitesimal sobre xi pode ser formalmente escrita como
xi (τ) = (1 + τsκXκ + · · · )xi (0) . (5.67b)
Ou seja, o operador sκXκ também gera a transformação sobre xi, parametrizada por τ . Por outro
lado, os mesmos resultados permitem concluir que
sκXκ = lim
τ→0
S (τ)− 1
τ
. (5.67c)
Ou seja, o operador S (τ) determina o gerador sκXκ.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 06/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
5 Teoria de Representações de Grupos
5.10 Grupos e álgebras de Lie e suas representações
5.10.4 Parametrização das transformações do grupo