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CAPÍTULO 5. Teoria de Representações de Grupos 169
Esta definição é completamente geral, por não pressupor que o grupo tenha uma dimensão
finita, ou que sua ordem seja finita. A definição a seguir é mais restritiva, porém mais adequada,
uma vez que as representações de interesse aplicam-se a esses grupos em particular e serão
realizadas por intermédio de matrizes.
Definição 5.3 (Representação de grupo (dimensão finita)). Dado o grupo G = {G; ∗} e um sub-
grupo D (G) ⊆ GL (n,K), uma representação do grupo G é um homomorfismo de G para GL (n,K),
i. e.,
ρ : G 7−→ GL (n,K) ,
tal que:
1. Para cada elemento g ∈ G existe uma única matriz D (g) ∈ D (G), a qual é a imagem de g sob
o homomorfismo.
2. Para todos g1, g2 ∈ G, com suas respectivas imagens D (g1) , D (g2) ∈ D (G),
D (g1 ∗ g2) = D (g1)D (g2) . (5.1)
O grupo D (G) ⊆ GL (n,K) é a imagem do homomorfismo, i. e., o conjunto de todas as matrizes
D (g) , ∀g ∈ G.
O espaço vetorial sobre o corpo K no qual as matrizes D ∈ GL (n,K) estão contidas é o espaço
de representação e n, a ordem de D, é denominado a dimensão da representação. Se Dij (g) é
o elemento da matriz D (g) na i-ésima linha e na j-ésima coluna, então a multiplicação matricial
em (5.1) implica em
Dij (g1 ∗ g2) =
n∑
k=1
Dik (g1)Dkj (g2) , (i, j = 1, . . . , n) . (5.2)
Todas as propriedades de um homomorfismo que foram discutidas na seção 3.6 continuam
sendo válidas para uma representação; em particular, as coincidências entre os elementos iden-
tidade e inverso entre os dois grupos, consequências diretas da definição de homomorfismo.
É necessário enfatizar também que a dimensão da representação (a ordem n das matrizes)
não corresponde necessariamente à ordem de G ou à sua dimensão, caso este seja um grupo
contínuo. Portanto, em princípio é possível estabelecer homomorfismos entre G e GL (n,K) para
todos n > 1. Assim, em geral existe mais de uma representação, em diferentes ordens, para
o mesmo grupo. Distintas representações do mesmo grupo G serão distinguidas pelo índice
superescrito (µ), onde µ = 1, 2, . . . ,m, sendo m o número de diferentes representações de G.
Sendo também nµ ou [µ] a dimensão da µ-ésima representação, então esta será identificada por
D(µ) (G) ⊆ GL (nµ,K) , (µ = 1, 2, . . . ,m) ,
enquanto que a imagem de g ∈ G nesta particular representação será identificada por
D(µ) (g) ∈ D(µ) (G) .
Nas seções a seguir serão apresentadas algumas técnicas usuais para se determinar o homo-
morfismo ρ : G 7→ GL (n,K), ou em outras palavras, para se obter as matrizes D (G) ⊂ GL (n,K).
5.1.1 VETORES E FUNÇÕES DE BASE E REPRESENTAÇÕES REGU-
LARES
Como o grupo GL (n,K) é composto pelas matrizes não singulares de ordem n pertencentes a
um espaço vetorial V sobre o corpo K, uma maneira prática de se estabelecer a representação
consiste no emprego de vetores de base2 pertencentes a V e adequadamente escolhidos. Um
vetor de base pode ser escrito como uma matriz coluna u =
(
u1 u2 . . . un
)T ∈ V , sendo seus
componentes {ui} (i = 1, . . . , n) denominados as funções de base, as quais possuem as mais
variadas origens (números, coordenadas, rótulos, etc).
2Ressalta-se que um vetor de base não é, necessariamente, um elemento da base do espaço vetorial.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 06/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
170 5.1. Primeiras definições e representações
Uma vez determinados os vetores de base, a representação regular do grupo G = {G; ∗} =
{g1, g2, . . . , gn; ∗} (de ordem n) é construída a partir do homomorfismo
ρ : gG 7−→ D (G) ⊆ GL (n,K) ,
i. e., por todas ações de grupo de G sobre si mesmo.3
Para todos g ∈ G, a matriz D (g) irá executar a mesma ação sobre as funções de base do vetor
u que é realizada pela ação gG, respeitando a condição imposta a um homomorfismo, isto é, a
relação (5.1).
Este mapeamento é implementado fazendo uso dos vetores de base da seguinte maneira.
Escreve-se inicialmente todos os elementos de G na forma de uma matriz linha [G], onde
[G] =
(
g1 g2 · · · gn
)
.
A cada ação de grupo4 de G sobre os elementos de u atribui-se um vetor linha através dos ma-
peamentos: se G 7→ [G], então, para todo gi ∈ G, giG 7→ [giG] =
(
gi ∗ g1 gi ∗ g2 . . . gi ∗ gn
)
. Escrevendo
u = [̃G], segue que a ação de gi sobre G pode ser escrita como uma matriz coluna ui, a qual é o
resultado da ação de uma matriz M (gi) ∈ GL (n,K) sobre u, de acordo com
ui = M (gi) u. (5.3a)
Mas, obviamente, ui = [̃giG], de onde se conclui que
[giG] = [G] M̃ (gi).
O resultado acima sugere que a representação de gi em D (G) deve ser
D (gi) = M̃ (gi), (5.3b)
sendo que as matrizes D (gi) satisfazem a condição de homomorfismo (5.1).
De fato, dados g1, g2, g3 ∈ G tais que g3 = g1 ∗ g2 e a relação (5.3a), as multiplicações sucessivas
u1 = M (g1) u −→ M (g2) u1 = M (g2) M (g1) u
devem resultar em u3 = M (g3) u, sendo M (g3) = M (g2) M (g1), pois isto implica em que D (g3) =
D (g1)D (g2), de acordo com (5.1). O exemplo a seguir exemplifica este processo.
Exemplo 5.1 (Representação regular do grupo S3). Uma representação regular de dimensão
6 para o grupo S3 é obtida a partir da metodologia descrita acima.
Dado o grupo S3 = {I, π2, . . . , π6; ◦}, cujos elementos foram definidos no exemplo 3.2, deseja-se
uma representação do mesmo com o grupo D(4) (S3) ⊂ GL (6,R). Definindo então o vetor de base
u =
(
I π2 . . . π6
)T
, em primeiro lugar, obviamente,
I 7→ M (I) = D(4) (I) = I6, pois I6u = u,
sendo I6 a matriz identidade de ordem 6. Para os demais elementos, a ação de grupo πiS3 pode
ser obtida a partir das linhas da tabela de multiplicação derivada no exercício 3.4. Então, de
acordo com (5.3a),
u2 = M (π2) u ;
π2
I
π4
π3
π6
π5
=
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
I
π2
π3
π4
π5
π6
=⇒ M (π2) =
0 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 1 0
,
u3 = M (π3) u ;
π3
π5
I
π6
π2
π4
=
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
I
π2
π3
π4
π5
π6
=⇒ M (π3) =
0 0 1 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 1 0 0
,
u4 = M (π4) u ;
π4
π6
π2
π5
I
π3
=
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
I
π2
π3
π4
π5
π6
=⇒ M (π4) =
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 0 0
0 0 0 0 1 0
1 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0
,
3Ver definição de grupo com operadores na seção 3.7.2.
4Definição 3.20.
Autor: Rudi Gaelzer – IF/UFRGS Início: 06/2013 Impresso: 8 DE DEZEMBRO DE 2022
1 Sistemas de Coordenadas Curvilíneas Ortogonais
5 Teoria de Representações de Grupos
5.1 Primeiras definições e representações
5.1.1 Vetores e funções de base e representações regulares