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137AULA 9 Tópico 1 A teoria dos determinantes tem origem na segunda metade do século XVII, quando eram estudados processos para resolução de sistemas lineares. Um fato curioso quanto ao ensino de álgebra linear, em particular no que se refere ao ensino de matrizes e determinantes, é que atualmente o estudo das matrizes aparece antes do de determinantes. Todavia, historicamente, os determinantes precederam as matrizes, tendo surgido de forma independente das matrizes. De acordo com Poole (2006, p. 239), “a teoria dos determinantes já estava bem desenvolvida quase dois séculos antes de o estudo de matrizes despertar interesse por si só”. uma breve HIstórIa dos determInantes A história dos determinantes precede a das matrizes. De fato, determinantes foram introduzidos primeiro, de forma independente, por Seki, em 1683, e por Leibniz, em 1693. Em 1748, determinantes apareceram no Tratado sobre álgebra, de Maclaurin, incluindo um tratamento da Regra de Cramer até o caso 4x4. Em 1750, o próprio Cramer provou o caso geral de sua regra, aplicando-a ao ajuste de curvas, e, em 1772, Laplace deu uma prova de seu teorema de expansão. O termo determinante só foi cunhado em 1801, quando utilizado por Gauss. Cauchy foi o primeiro a usar determinantes no sentido moderno, em 1812. Ele foi, de fato, o responsável pelo desenvolvimento de grande parte da teoria inicial de determinantes, incluindo muitos resultados importantes [...]: a regra do produto para determinantes, o polinômio característico e a noção de matriz diagonalizável. Determinantes só ficaram amplamente conhecidos a partir de 1841, quando Jacobi os popularizou, embora no contexto de funções de várias variáveis, que encontramos em um segundo curso de cálculo. (Sylvester, por volta de 1850, chamou de “jacobianos” esses tipos de determinantes - termo utilizado até hoje.) No final do século XIX, a teoria dos determinantes havia se desenvolvido a ponto de livros inteiros serem dedicados a ela, incluindo, em 1867, o livro Uma teoria elementar de determinantes, de Dodgson, e uma coleção monumental de cinco volumes de Thomas Muir, que apareceu no início do século XX. Mesmo que sua história seja fascinante, determinantes hoje têm um interesse mais teórico do que prático. A Regra de Cramer é um método incorrigivelmente ineficaz na resolução de sistemas de equações lineares, enquanto métodos numéricos substituíram todo o uso que antes era feito de determinantes no Fundamentos de Álgebra138 cálculo de autovalores. Os determinantes são, no entanto, empregados para propiciar aos estudantes uma compreensão inicial do polinômio característico. (POOLE, 2006, p. 255) Neste tópico, fizemos uma breve introdução ao estudo dos determinantes, falamos um pouco da sua história e discutimos questões relacionadas ao seu ensino. Nos próximos tópicos, apresentaremos formalmente o significado de determinante de uma matriz quadrada, demonstraremos algumas das propriedades fundamentais dos determinantes e mostraremos aplicações deste importante conceito da Matemática.
