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1.1. Introdução ao raciocínio lógico matemático 5 Definição 1.4 (Hipótese e Tese) Em uma condicional p −→ q, a parte p é denominada hipótese e a parte q é a tese, que muitas vezes são representadas nas formas resumidas H e T, respectivamente. Exemplo 1.9 Seja a condicional: “Se x representa um número inteiro negativo, então −1 · x é positivo.” Então tem-se que: • (H) : x representa um número inteiro negativo; • (T ) : −1 · x é positivo. Outra proposição condicional que pode ser formada a partir de p −→ q é a sua recíproca, dada por: q −→ p, isto é, “Se q então p”. No Exemplo 1.9 a recíproca da proposição apresentada será Se −1 · x é positivo, então x representa um número inteiro negativo. Proposição Bicondicional Quando se faz a junção de uma condicional e a sua recíproca, tem-se a chamada proposição bicondicional, ou simplesmente, bicondicional. Ela é representada por p ←→ q (lê: “p se, e somente se, q”). Vejamos um exemplo: Exemplo 1.10 Considere a proposição: “x é par se, e somente se, x é divisível por 2.” Nela, pode-se considerar as proposições p : x é par, e q : x é divisível por 2. Logo, ela é equivalente a p ←→ q, que pode ser pensada como: • (p −→ q) Se x é par, então x é divisível por 2, e • (q −→ p) Se x é divisível por 2, então x é par. Uma bicondicional p ←→ q terá valor lógico V quando p e q tiverem valores iguais e terá valor lógico F quando os valores lógicos de p e q forem diferentes. A Tabela 3 é a tabela verdade de uma bicondicional. Tabela 3 – Tabela verdade para p ←→ q (p se, e somente se, q). p q p ←→ q V V V V F F F V F F F V Exemplo 1.11 Vejamos alguns exemplos de bicondicionais e seus valores lógicos. a) p : p 3 ∈Q. (F) e q : −1 ∈N. (F). Logo: p ←→ q : p 3 ∈Q se, e somente se, −1 ∈N. (V) 6 Capítulo 1. Introdução às Técnicas de Demonstração b) p : p 5 ∈ I. (V) e q : 1 ∈N. (V). Logo: p ←→ q : p 5 ∈ I se, e somente se, 1 ∈N. (V) c) p : 4 > 1. (V) e q : 7 6= 7. (F). Logo: p ←→ q : 4 > 1 se, e somente se, 7 6= 7. (F ) d) p : p 9 =−3. (F) e q : 8−1 = 7. (V). Logo: p ←→ q : p 9 =−3 se, e somente se, 8−1 = 7. (F ) O símbolo de implicação (=⇒) Considere duas proposições p e q . Diremos que a proposição p implica a proposição q , quando o valor lógico da condicional p −→ q for V , ou seja, quando não ocorrer o caso onde os valores de p e q são V e F , respectivamente. Nesse caso, a notação será: p =⇒ q que também pode ser lida das formas “Se p, então q .” e “p implica q”, como é o caso dos itens a), b) e d) do Exemplo 1.8. O símbolo de equivalência (⇐⇒) Quando o valor lógico da condicional p ←→ q for V , isto é, quando os valores lógicos de p e q forem iguais, diremos que a proposição p é equivalente à proposição q . A notação utilizada será p ⇐⇒ q que pode ser lida como “p, se e somente se, q .” ou “p é equivalente a q”. Os itens a) e b) do Exemplo 1.11 representam proposições equivalentes. Os símbolos de implicação e equivalencia são muito utiliados na representação de diversos tipos de teoremas, como veremos na Seção 1.4, pois nesses casos, sabe-se que os resultados apresentados são verdadeiros, o que confere o valor lógico V às proposi- ções compostas que formam os teoremas. Nesse capítulo, apenas os conceitos e resultados estudados até aqui já darão bom subsídio para o entendimento dos tópicos apresentados nos próximos capítulos, espe- cialmente no que se refere à criação de uma capacidade demonstrativa de resultados matemáticos. Contudo, mais detalhes e resultados sobre Lógica Matemática podem ser obtidos em nossas referências [1, 2, 3, 4].
