Tema 3 - Medidas de localizacaoPDF

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<p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>TENDENCIA CENTRAL: Media, Moda e Mediana</p><p>OUTRAS MEDIDAS DE LOCALIZACAO: Quartís,</p><p>Decís, Percentís (Centis) e outros Quantis</p><p>(Separatrizes)</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Média Aritmética Simples</p><p>Média Aritmética Ponderada</p><p>n</p><p>x</p><p>= X</p><p>i</p><p>f</p><p>f x</p><p>= X</p><p>i</p><p>n</p><p>1 = i</p><p>ii</p><p>n</p><p>1</p><p></p><p></p><p>i</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Média Geométrica Simples</p><p>Média Geométrica Ponderada</p><p>n i</p><p>1</p><p>x =G</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>fi fi</p><p>i</p><p>1</p><p>x =G </p><p></p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Média Harmónica Simples</p><p>Média Harmónica Ponderada</p><p>i1 x</p><p>1</p><p>n</p><p>= H</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>ix</p><p>f</p><p>f</p><p>= H</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Média Harmónica Simples</p><p>Média Harmónica Ponderada</p><p>i1 x</p><p>1</p><p>n</p><p>= H</p><p>n</p><p>i</p><p></p><p>ix</p><p>f</p><p>f</p><p>= H</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p>i</p><p>n</p><p>1</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>i</p><p>i</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Calculo da media para dados simples com base nas</p><p>quantidades de pares de sapatos produzidos pela</p><p>empresa alpha: 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12</p><p>Aritmética:</p><p>Geométrica:</p><p>Harmónica:</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Calculo da media para dados agrupados com base nas</p><p>Notas em Matemática: 1º teste - 6; 2º teste - 7; exame - 8. O</p><p>peso do 1º teste era igual a 3, o do 2º era 2 e do exame era</p><p>igual a 5.</p><p>Aritmética:</p><p>Geométrica:</p><p>Harmónica:</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A média, sendo uma medida de tendência central,</p><p>encontra-se entre o maior e o menor valor</p><p>observado, habitualmente conhecidos por Máximo</p><p>e Mínimo;</p><p>O somatório dos afastamentos entre cada uma das</p><p>variantes individuais e a grandeza média é igual a</p><p>zero;</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Somando ou subtraindo todas as variantes da</p><p>distribuição de frequências ao mesmo número A, a</p><p>grandeza média deve aumentar ou diminuir esse</p><p>número;</p><p>Multiplicando ou dividindo cada um dos valores</p><p>individuais pelo mesmo número A, temos que</p><p>multiplicar ou dividir a grandeza média por esse</p><p>número;</p><p>Multiplicando ou dividindo as frequências pelo</p><p>mesmo número A, a grandeza média não se altera</p><p>(dados agrupados).</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Média Aritmética Média Geométrica Média Harmónica</p><p>Mais Utilizada</p><p>Única recomendada</p><p>para calcular taxa de</p><p>variação</p><p>Aconselhável para</p><p>situações de</p><p>prporcionalidade</p><p>inversa</p><p>Fácil de calcular e</p><p>interpertar Difícil de calcular</p><p>Utiliza toda</p><p>informação</p><p>disponível</p><p>Não é aplicável para</p><p>variáveis que</p><p>assumem valores</p><p>nulos ou negativos</p><p>Não é aplicável para</p><p>variáveis que assumem</p><p>valores nulos</p><p>Influenciada por</p><p>valores extremos</p><p>Menor importância</p><p>dos valores extremos</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Moda e o que se observa com maior frequência</p><p>quando comparada a sua frequência com a dos</p><p>valores contíguos de um conjunto ordenado e tem</p><p>aplicação tanto para variáveis quantitativas, como</p><p>qualitativas.</p><p>As distribuições podem ser amodais ou modais. As</p><p>distribuições modais podem ter um e mais valores</p><p>modais.</p><p>Tomando como base as observações 5, 7, 2, 5, 4 e</p><p>9, é fácil concluir que a Mo = 5, por tratar-se do</p><p>único valor que se repete.</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Tomando como base as observações 5, 7, 2, 5, 4 e</p><p>9, é fácil concluir que a Mo = 5, por tratar-se do</p><p>único valor que se repete.</p><p>Tomando como base as observações 5, 7, 2, 6, 4 e</p><p>9, é fácil concluir que a distribuição é amodal</p><p>porque nenhum valor que se repete.</p><p>Tomando como base as observações 5, 7, 2, 5, 4 e</p><p>7, é fácil concluir que a distribuição é bimodal Mo =</p><p>5 e 7, porque são os dois valores que aparecem</p><p>com maior frequência.</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Moda para dados classificados</p><p>h .</p><p>)f + (f - 2f</p><p>f - f</p><p>+ l = M</p><p>pantmax</p><p>antmax</p><p>io </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Moda para dados agrupados em quadro de</p><p>frequência de variável discreta:</p><p>Notas de 25 alunos</p><p>Xi, Nota do exame 1 2 3 4 5 Total</p><p>fi, Número de alunos 1 5 11 5 3 25</p><p>É fácil notar que a maior frequência é 11 e corresponde aos estudantes com nota 3, ou</p><p>seja a moda é igual a 3 valores.</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Moda para dados agrupados em quadro de</p><p>frequências de variável classificada (Agrupados em</p><p>intervalos de classe):</p><p>Notas de 20 estudantes</p><p>X, Notas 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 Total</p><p>Xi 1 3 5 7 9</p><p>fi, Número de estudantes 2 5 10 2 1 20</p><p>Frequência acumulada 2 7 17 19 20</p><p>As frequências absolutas mostram que a classe modal corresponde ao intervalo de 4 a</p><p>6 valores, usando a fórmula apresentada para o cálculo da moda temos:</p><p>2 .</p><p>)25(20</p><p>5 - 10</p><p>+ 4 = Mo </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>= 4,77</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Mediana para dados simples é o termo de ordem</p><p>dado por (n + 1)/2</p><p>Nº ímpar de observações:</p><p>A = (2, 5, 6, 9, 10, 13, 15); Med = 9</p><p>Nº ímpar de observações:</p><p>B = (0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6), sendo (n+1)/2 =</p><p>(10+1)/2 = 5,5, o nosso valor mediano situa-se entre</p><p>o 5º e 6º termos e obtém-se como (5º termo+ 6º</p><p>termo) / 2 = (2+3)/2 = 2,5.</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Mediana para dados agrupados</p><p>h .</p><p>fai - n/2</p><p>+ li = Me </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>fi</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Mediana para dados agrupados em quadro de</p><p>frequência de variável discreta:</p><p>Faltas de 26 alunos</p><p>xi, Número de faltas 0 1 2 3 4 5 Total</p><p>fi, Número de alunos 7 6 5 4 3 1 26</p><p>Frequência acumulada 7 13 18 22 25 26</p><p>Sendo n/2 = 26/2 = 13, conclui-se que metade dos alunos tiveram quando muito uma</p><p>falta.</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>A Mediana para dados agrupados em quadro de</p><p>frequência de variável classificada (Dados</p><p>agrupados em intervalos de classe):</p><p>Notas de 20 estudantes</p><p>X, Notas 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 Total</p><p>Xi 1 3 5 7 9</p><p>fi, Número de estudantes 2 5 10 2 1 20</p><p>Frequência acumulada 2 7 17 19 20</p><p>Das frequências acumuladas, percebe-se que metade das observações situam-se no</p><p>intervalo de 4 a 6 valores porque n/2 =20/2 = 10, logo:</p><p>6,4 2 .</p><p>10</p><p>7 - 10</p><p>+ 4 = Me </p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Outros Quantis: Quartis, Tercis, Quintis, Decis,</p><p>Percentis</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>1) Pq1=26/4=6,5</p><p>2) Pq2=Pmed=2*26/4=13</p><p>3) Pq3=3*26/4=19,5</p><p>4) Pd3=3*26/10=7,8</p><p>5) Pp35=35*26/100=</p><p>Faltas de 26 alunos</p><p>xi, Número de faltas 0 1 2 3 4 5 Total</p><p>fi, Número de alunos 7 6 5 4 3 1 26</p><p>Frequência acumulada 7 13 18 22 25 26</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>•Pq1=20/4=5</p><p>•Pq2=Pmed=2*20/4=10</p><p>•Pq3=3*20/4=15</p><p>•Pd3=3*20/10=6</p><p>•Pp35=35*20/100=7</p><p>Notas de 20 estudantes</p><p>X, Notas 0 - 2 2 - 4 4 - 6 6 - 8 8 - 10 Total</p><p>Xi 1 3 5 7 9</p><p>fi, Número de estudantes 2 5 10 2 1 20</p><p>Frequência acumulada 2 7 17 19 20</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Quartis: dividem o conjunto de dados ou</p><p>distribuição em 4 partes</p><p>Quaril 1:</p><p>Quartil 2 = Mediana</p><p>Quartil 3:</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Dos dados das notas de 20 estudantes:</p><p>Para o 1º quartil , sendo a posição do quartil</p><p>Para o 3º quartil, sendo a posição do quartil</p><p>i*n/10 = 3*20/10 = 6</p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Decis: dividem o conjunto de dados em 10 partes</p><p>iguais. A posição do decil obtêm-se por i*n/10, onde</p><p>i é o i-ésimo decil.</p><p>O 3º Decil para o exemplo das notas de 20</p><p>estudantes:</p><p>6,32 .</p><p>5</p><p>7 - 20/10*3</p><p>+ 2 = D3</p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p></p><p>MEDIDAS DE LOCALIZACAO</p><p>Percentis: dividem o conjunto de dados em 100</p><p>partes iguais. A posição do percentil é igual a</p><p>i*n/100.</p><p>O Percentil 35 para o exemplo das notas de 20</p><p>estudantes:</p>