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<p>VIDYA 2 VIDYA, V. 28, n. 2, p. 37-45, jul/dez, 2008 Santa Maria, 2009. ISSN 0104-270 X A RESOLUÇÃO DE UM PROBLEMA: SOLUÇÕES ALTERNATIVAS E VARIAÇÕES NA FORMULAÇÃO THE RESOLUTION BY ONE WHOLE QUESTION: ALTERNATIVE SOLUTIONS AND VARIANCES AT THE FORMULATIONS ALCIBIADES GAZZONI* AUGUSTO OST** RESUMO ABSTRACT Neste trabalho, foi utilizado um método proposto In this study, we used a method proposed by por Polya (1978) para a resolução de problemas. Polya (1978) for solving problems. In his book, Em seu livro A arte de resolver problemas, Polya The art of solving problems, Polya (1978) (1978) expõe 0 seu método dividindo-o em quatro outlined his method by dividing it into four etapas: compreensão do problema, construção de steps: understanding the problem, formulate a uma estratégia, execução da estratégia e revisão strategy, strategy implementation and review da solução. Aplicou-se 0 processo proposto por of the solution. We applied the procedure Polya (1978) para a resolução de um problema proposed by Polya (1978) for solving a problem com ênfase na obtenção de soluções alternativas. with an emphasis on obtaining alternative Posteriormente, ao fazer alterações na sua formu- solutions. Later, when making changes in its lação, resolveu-se 0 problema com as condições formulation, resolved the problem with the introduzidas. 0 objetivo da aplicação foi exerci- conditions introduced. The purpose of the tar a metodologia de resolução de problemas e application has been exercise the methodology relacionar diferentes conteúdos e estratégias na of problem solving and relate different ideas and solução do problema selecionado neste trabalho. strategies in solving the problem in this work. Com esta pesquisa, da área da Educação Matemá- With this research, the area of Mathematics tica, conclui-se que aspectos aqui desenvolvidos Education, concluded that aspects developed podem servir como uma contribuição simples para here can serve as a single contribution to the a melhoria do processo de ensino e aprendizagem improvement of teaching and learning of some de alguns conteúdos do ensino básico, bem como content of basic education and to illustrate one ilustrar uma aplicação do conceito de limite. application of the limit. Palavras-chave: Ensino; heurística; resolução de Keywords: Education; heuristics; problem-solving. problemas. * Mestre em Matemática; Professor do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA). ** Acadêmico do Curso de Matemática do Centro Universitário Franciscano (UNIFRA). 37</p><p>INTRODUÇÃO Após, surgiram as ideias de Skinner (1904 1990), que são bastante contrárias às de A atividade de resolver problemas teve seu Graham Wallas. A proposta de Skinner con- início com os filósofos gregos que a praticavam sistia em determinar as ações produtivas e como uma forma de exercitar 0 pensamento fi- reforçá-las. Na verdade, as suas ideias tiveram losófico. Sócrates afirmava que para resolver um importância somente no treinamento de ratos e problema bastava fazer uma sequência lógica de pombos. Em problemas de níveis de dificulda- perguntas. Descartes (1999) contribuiu com de elevados, mostraram-se insuficientes. importantes ideias dizendo que é necessário George Polya (1897-1985) publicou 0 método para raciocinar bem e procurar solu- seu livro How to solve it no ano de 1957, ções nas ciências para descobrir as leis da expondo as suas ideias sobre a heurística natureza, ressaltando, com isso, a importância de resolução de problemas. Polya foi da sistematização. Para ele, só se deve aceita- considerado um dos maiores matemáticos ro que se pode ver ou deduzir com clareza. do século XX. Foi ele 0 primeiro a apresentar Conforme Pereira (2002), após Descartes uma heurística de resolução de problemas surgiram outros pensadores como Graham específica para a matemática. Polya (1978) Wallas (1858-1932) que, em sua obra A arte de dividia 0 processo de resolução de um pensamento, publicada em 1926, apresentou problema em quatro etapas: compreensão 0 seu método dividindo-o em 5 etapas: do problema; construção de uma estratégia preparação (trabalho prévio sobre um problema de resolução; execução da estratégia e que concentra a mente do indivíduo sobre 0 revisão da solução. problema e explora as dimensões do problema), Atualmente, destaca-se Alan Schoenfeld incubação (quando 0 problema é internalizado como matemático que desenvolveu uma heu- na mente subconsciente e nada parece estar a rística para resolução de problemas, dividindo-a acontecer externamente), intimação (a pessoa em quatro categorias de conhecimento ou habi- criativa percebe um de que uma lidades que julga serem necessárias: recursos solução está a caminho), iluminação ou insight (conhecimento de procedimentos e questões (na qual a ideia criativa emerge dos processos matemáticas); heurísticas (estratégias e téc- pré-conscientes e se manifesta na consciência) nicas para resolução de problemas); controle e verificação (quando a ideia é conscientemente (decisões sobre quando e quais recursos usar) verificada, elaborada e em seguida, aplicada). e (saber realmente 0 que está fazen- Em outras publicações, 0 processo de do e para que utilizará 0 resultado). Schoenfeld Graham Wallas é divido em quatro etapas, (1985) ainda ressalta que para resolver um pro- sendo que, a "intimação" é considerada como blema não basta apenas possuir 0 conhecimento um subestágio. As ideias de Graham Wallas sobre alguma heurística para sua resolução, é não tiveram muita aceitação na resolução necessário ter capacidade de resolver proble- de problemas por estarem ligadas a noções mas sobre 0 assunto. vagas de funcionamento da "mente". 38</p><p>VIDYA 2 Neste trabalho, estudou-se algumas heu- Compreender 0 problema rísticas para resolução de problemas e foi 0 autor coloca como algo muito importan- realizada uma aplicação num problema espe- te a compreensão do problema. Ele relata que cífico com 0 objetivo de exercitar a metodo- é uma tolice se tentar responder uma pergunta logia de resolução de problemas e relacionar sem saber qual 0 seu significado. Pode-se per- diferentes conteúdos e estratégias na solução que, já nesta primeira etapa, ele se pre- do problema selecionado. ocupava com uma aprendizagem que pudesse vir a ser significativa. AS HEURÍSTICAS DE RESOLUÇÃO DE PRO- Para compreender melhor 0 problema po- BLEMAS DE GEORGE POLYA demos realizar algumas perguntas como: Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a Polya (1978, p. 65) já afirmava que: condicionante? Também se devem considerar, sob vários pontos de vista, as partes que se Resolver problemas é uma habilidade julgarem importantes no problema. Devemos prática, como nadar, esquiar ou tocar piano: você pode aprendê-la por meio verificar se 0 problema pode ser representado de e [...] se você através de uma figura e se é possível satisfa- quer aprender a nadar você tem de in à água e se você quer se tornar um zer as condições. bom de tem que resolver problemas. Estabelecer um plano Para Polya, deve-se muitas vezes iniciar Ele acreditava na existência da arte da com um plano para a resolução do problema descoberta e que a habilidade de descobrir a partir da seguinte pergunta: Conhece algum e inventar poderiam ser acentuadas por uma problema correlato? bem cuidada aprendizagem. Nela, 0 aluno é Deve-se pensar num possível problema levado a perceber os princípios da descoberta que já foi resolvido com a mesma incógnita, e tem a oportunidade de exercitá-los. ou informação, e que possa vir a ser utilizada. Em seu livro A arte de resolver problemas, Caso não seja encontrado nada que nos ajude, Polya (1978) afirma que 0 modo como se vê 0 devemos verificar se é possível fazer uma re- problema pode sofrer alterações. No princípio, formulação no enunciado. Essa reformulação tem-se uma visão incompleta e complicada, pode levar a um problema auxiliar adequado. mas quando se realizam algumas evoluções, Ao usarmos vários problemas ou teoremas essa percepção começa a mudar e ela ainda conhecidos, realizando diversas modificações será diferente no momento em que se chegar e ensajando problemas auxiliares diferentes, à solução do problema. podemos nos distanciar do problema original. Com a finalidade de agrupar melhor as in- Para voltar podemos realizar a seguinte in- dagações e sugestões, Polya (1978) dividiu 0 dagação: Foram utilizados todos os dados? seu processo de resolução de um problema Foram usados todas as condicionantes? matemático em quatro etapas: 39</p><p>Executar 0 plano dou e analisou a metodologia de resolução 0 plano é apenas um roteiro geral. É preciso de problemas e as contribuições no ensino- ter cer teza de todos os detalhes que estão ali aprendizagem da matemática. Utilizou-se 0 inseridos de modo que não reste nenhuma método proposto por Polya, seguindo-se as dúvida na qual possa estar escondido algum quatro etapas, para a resolução do seguinte erro. A execução do plano é uma tarefa fácil, problema [5]: mas é necessário ter paciência e certeza de Um fabricante produz bolas em dois que cada passo executado está correto. tamanhos, mas dispõe de um único modelo de caixa para transportá-las. Felizmente, essa Revisar a solução caixa acondiciona perfeitamente uma bola Esta é uma etapa muito importante; grande, ou 216 pequenas. Sabendo que, executando-a teremos certeza de que independente do tamanho, as bolas são feitas resolvemos 0 problema de maneira correta, do mesmo material, qual a caixa de bolas que eliminando, assim, algum erro que possa pesará mais? ter ocorrido durante a execução do plano. Para tanto, podemos realizar 0 seguinte RESULTADOS questionamento: É possível verificar 0 resultado? É possível verificar 0 argumento? Utilizando 0 método de Polya para resolução Também será necessário verificar se do problema, poderemos utilizar 0 resultado obtido ou 0 método utilizado em algum outro problema etapa: compreensão do problema. Para isso e se há a possibilidade de encontrarmos a questionou-se: solução utilizando outra estratégia. 0 que 0 problema pede ou qual a incógnita? A obra de Krulik e Reys (1997) igualmen- 0 problema solicita: Qual das caixas pesa- te salienta a importância do uso de estraté- rá mais, a que contém as bolas pequenas ou gias na resolução de problemas e apresenta a bola grande? contribuições de vários estudiosos que dis- Quais são os dados? cutem a eficiência no ensino de matemática Tem-se informação de que uma bola gran- e afirmam que os problemas são, muitas de é acondicionada perfeitamente dentro de vezes, impulsionadores no desenvolvimento uma caixa; noutra caixa, do mesmo tamanho, de tópicos da matemática. cabem 216 bolas pequenas e todas as bolas são e feitas do mesmo material. METODOLOGIA Podemos representar 0 problema através de uma figura? 0 procedimento metodológico utilizado Sim, pois, nesse caso, tem-se 0 seguinte foi do tipo pesquisa bibliográfica, com labor- desenho: dagem qualitativa, por meio da qual se estu- 40</p><p>VIDYA 2 etapa: execução do plano. solução: utilizando proporções. Imaginando-se cada bolinha inscrita em uma caixinha, notou-se que a caixa grande fica dividida em 216 caixinhas imaginárias do mesmo tamanho. Como a razão entre 0 vo- lume da esfera (bola) grande e 0 volume da Figura 1 De acordo com 0 problema teremos uma bola grande ou 216 bolas pequenas dentro caixa cúbica é a mesma que a razão entre 0 de uma caixa. volume da esfera pequena e 0 volume da cai- xinha cúbica imaginária, tem-se: etapa: estabelecimento ou elaboração de um plano. vol.esf.grande = Nessa etapa, encontrou-se a ligação entre vol.caixa.grande os dados e a incógnita do problema. Obser- vol.esf.pequena vou-se a distribuição das bolas pequenas no = interior de uma das caixas, bem como 0 dese- vol.caixa.pequena nho das duas caixas e concluiu-se que: 216 vol.esf.pequena se "A" for a medida das arestas das 216 vol.caixa.pequena caixas, "R" a medida do raio da bola grande e "r" a medida do raio das bolas pequenas, 216vol.esf.pequena então: A = 2R = 2(6r); vol.caixa.grande a caixa grande pode ser dividida em 216 caixas pequenas, cada uma acondicionando Portanto, perfeitamente uma bola pequena. vol.esf.grande 216vol.esf.pequena = Pensando num plano para se resolver 0 vol.caixa.grande vol.caixa.grande problema, percebeu-se que existem pelo me- nos três maneiras distintas de solucioná-lo: daí, vol.esf.grande = 216.vol.esf.pequena utilizando-se proporções (fez-se a compa- Assim, conclui-se que, como todas as bo- ração entre 0 volume das esferas e suas res- las são feitas do mesmo material e possuem 0 pectivas caixas); mesmo volume, então as caixas terão 0 mes- calculando-se 0 volume das esferas gran- mo peso. de e pequena (aplicaram-se as fórmulas do cálculo do volume); solução: usando fórmulas. por semelhança (lembrou-se que duas fi- Aplicando-se a fórmula do volume da esfera, guras ou objetos no espaço são semelhantes calculou-se 0 volume das esferas grande e pe- quando têm a mesma forma e a mesma razão quena, resultando que: entre as medidas lineares correspondentes). 41</p><p>= 4 Também, nessa etapa, questionou-se se é possível utilizar 0 resultado, ou 0 método, 4 para resolver algum outro problema análogo, 3 quando se fazem alterações no enunciado do problema. Pensando nisso, fizeram-se alte- Como todas as bolas são feitas do mesmo rações na formulação do problema inicial e material e possuem 0 mesmo volume, então trocaram-se hipóteses. Após, considerou-se: as caixas terão 0 mesmo peso. "Se as bolas forem ocas, e sendo X a medida da espessura da casca, solução: por semelhança. qual a caixa que pesará mais?" Considerando-se que duas figuras ou objetos "Quem tem maior área de superfície, a no espaço são semelhantes quando têm a mesma bola grande ou as 216 pequenas?" forma e a mesma razão entre as sua medidas Para a resolução da primeira questão, indi- lineares correspondentes, conclui-se que a esfera cou-se 0 volume da "casca" da esfera grande por "vol.cas.esf.gr." e obteve-se: grande é semelhante à esfera pequena na razão 6, pois R = 6.r ou R/r = 6. = Considerando-se também que se dois sóli- dos são semelhantes na razão "K", então seus 4 volumes estão na razão tem-se: 3 vol.esf.grande vol.cas.esf.gr.= vol.esf.pequena 1 vol.esf.grande = vol.esf.grande = 216.vol.esf.pequena e, se "vol.cas.esf.pq." indica 0 volume da cas- ca da esfera pequena, então Como todas as bolas são feitas do mesmo material e possuem 0 mesmo volume, então 216.vol.cas.esf.pq. = as caixas terão 0 mesmo peso. 4 etapa: revisando a solução. Pode-se verificar 0 resultado construindo-se bolas dos dois tamanhos, com material concreto, constatando-se com isso que a conclusão que Logo, comparando-se os volumes encon- se obteve é verdadeira. trados, tem-se que: Ainda, nessa etapa, reviu-se todos os ar- Vol.cas.esf. gr. < 216.Vol.cas.esf.pq. gumentos e as manipulações algébricas feitas concluindo-se que, com a hipótese das esfe- e verificou-se que tudo está correto. ras serem locas, a caixa que pesará mais é a que contém as esferas pequenas. 42</p><p>VIDYA 2 Pode-se responder a segunda pergunta de 4 duas maneiras: - usando-se a fórmula de área da super- = fície da esfera, tem-se: a área da superfície da esfera pequena = a área da superfície da esfera grande = em que indica a superfície da casca da bola pequena. 216.área da superfície da esfera pequena Ainda, indicando-se 0 volume da casca da = bola grande por "vol.cas.b.g.", tem-se: Assim, "superfície da esfera grande <216 = 4 superfície da esfera pequena", 0 que permite concluir que a caixa que pesará mais é a que contém as esferas pequenas; - utilizando a noção de limite: intuitivamente, pode-se imaginar uma su- perfície como uma "placa sólida" de espessu- ra X "infinitamente pequena". Assim, 0 volume dessa placa é Portanto, = em que Vp e Sp são 0 vo- lume e a superfície da placa, respectivamente. em que indica a superfície da casca da Se existe um valor para X, quando bola grande. Logo, tende a zero por valores maiores que zero), = esse valor limite de Sp indicará a superfície S que se quer determinar. Portanto, as 216 bolas pequenas pos- suem uma superfície maior que a superfície r da bola grande. I FORMULAÇÃO GENÉRICA DO PROBLEMA INICIAL Figura 2 - "r" representa 0 raio da esfera e "x" a É sempre possível resolver 0 problema espessura da superfície. ou 0 enunciado ter sentido se trocarmos 0 Logo, indicando-se 0 volume da casca da número 216 por outro número qualquer? bola pequena por "vol.cas.b.p.", Qual a relação que deve existir entre a medi- da da aresta da caixa cúbica e a do diâmetro da = 4 3 - bola (esfera) grande para que 0 enunciado tenha sentido e 0 problema tenha solução? E entre a 43</p><p>medida da aresta da caixa cúbica e a do diâ- forma, eles desenvolverão a sua criatividade metro da bolinha? E entre a medida do diâme- e se tornarão agentes ativos na construção tro da bola grande e 0 da bolinha? de seu conhecimento. De modo geral, para 0 enunciado ter sen- tido e 0 problema ter solução, questiona-se: CONSIDERAÇÕES FINAIS Qual deve ser a medida da aresta da caixa cúbica, se a medida do diâmetro da bolinha for Utilizando-se 0 método proposto por Polya tomada como unidade de comprimento? (1978) constata-se que, com mais facilidade, Quantas bolinhas podem ser acondiciona- organizam-se as ideias e se obtém a solução das perfeitamente nessa caixa? do problema com uma melhor compreensão Como se pode dar uma formulação do que se não tivéssemos seguido seu méto- genérica para esse problema? do. Também é possível encontrar problemas Respondendo-se a essa última pergunta, análogos e tornar mais clara uma estratégia para sua resolução. Certamente esse método não é uma ferramenta milagrosa, mas torna- "Um fabricante produz bolas em se necessário e eficiente seu uso em um gran- dois tamanhos, mas dispõe de um único mo- de número de problemas, principalmente os delo de caixa para transportá-las. Felizmente, que apresentam um maior nível de dificuldade. essa caixa acondiciona perfeitamente uma Polya ressalta que primeiramente temos uma bola grande, ou n3 bolas pequenas (n N*). visão do problema, mas com a aplicação das Sabendo que, independente do tamanho, as etapas, à medida que vamos (re- bolas são feitas do mesmo material, qual a tirando os dados do problema e construindo caixa de bolas que pesará mais?" uma estratégia para sua resolução), a nossa Na generalização do problema, é fácil obser- perspectiva sobre 0 problema altera-se; 0 var que: mesmo acontece quando 0 resolvemos; a aresta da caixa = diâmetro da bola gran- importância de uma heurística. de = diâmetro da bolinha. Daí, 0 estudo e resolução de um problema grande = e vol.esf.pequena = simples, como esse, mostraram que é ne- Portanto, volume da esfera grande cessário um trabalho de persistência e uso volume da esfera pequena. de método para obter e explorar diferentes Assim, como todas as bolas são feitas do soluções. 0 problema oportunizou aplicar mesmo material, conclui-se que as duas cai- conteúdos diferentes, estabelecer relações xas de bolas têm 0 mesmo peso. entre conceitos e exercitar a metodologia de Além dessas, outras variações e outros as- resolução de problemas. Deu-se ênfase na suntos de matemática podem ser sugeridos e exploração de maneiras diferentes de resolução explorados a partir desse problema. do problema proposto e nas alterações feitas alunos podem ser incentivados a pro- nas condicionantes enunciadas no problema, curarem outros problemas e explorarem bem como nas estratégias para a busca de outros assuntos, pois, ao trabalhar dessa soluções alternativas. 44</p><p>VIDYA 2 REFERÊNCIAS DESCARTES, René. Discurso do método. São Paulo: Martins Fontes, 1999. KRULIK, Stephen; REYS, Robert E. A resolu- ção de problemas na matemática escolar. São Paulo: Atual, 1997. PEREIRA, A. L.; RAMOS, A. MATEUS, A. A.; MATIAS, J. B. 0.; CARNEIRO, T. R. A. Problemas matemáticos: caracterização, importância e estratégias de resolução. São Paulo: IME-USP, março de 2002. POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 1978. SCHOENFELD, Alan. Mathematical Problem Solving. New York: Academic Press, 1985. 45</p>
