Apostila Eletromag UFU

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Universidade Federal de Uberlândia - UFU 
Faculdade de Engenharia Elétrica - FEELT 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Apostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos TeóricosApostila de Conceitos Teóricos 
e Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostose Exercícios Propostos 
 
 
 
 
Curso de Graduação 
 
 
 
 
 
Prof. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta GuimarãesProf. Dr. Geraldo Caixeta Guimarães 
 
 
 
Versão 2010 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO i 
 
SUMÁRIO 
 
INTRODUÇÃO GERAL iii 
 
FORMULÁRIO GERAL v 
 
Capítulo I – ANÁLISE VETORIAL 01 
 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 01 
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 01 
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 02 
1.4 – SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS 03 
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 03 
1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 04 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas 05 
1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 06 
 
Capítulo II – LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 09 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 09 
2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 10 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE CARGAS 11 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 12 
2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 13 
 
Capítulo III – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 15 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 15 
3.2 – A LEI DE GAUSS 15 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 15 
3.4 – DIVERGÊNCIA 17 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 18 
3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 19 
 
Capítulo IV – ENERGIA E POTENCIAL 21 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM CAMPO ELÉTRICO 21 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 21 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 21 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 22 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞ com ρL constante 22 
4.4.2 – VAB de um plano ∞ com ρs constante 22 
4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 23 
4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 24 
4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 25 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 25 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 25 
4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 26 
 
Capítulo V – CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 29 
 
5.1 – CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 29 
5.2 – CONTINUIDADE DA CORRENTE 30 
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 30 
5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS 31 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
SSUUMMÁÁRRIIOO ii 
5.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P) 32 
5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS 33 
5.7 – CAPACITÂNCIA 34 
5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 34 
5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 39 
 
Capítulo VI – EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 45 
 
6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 45 
6.1.1 – Equação de Poisson 45 
6.1.2 – Equação de Laplace 45 
6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 46 
6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 46 
6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 50 
6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 51 
6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 54 
 
Capítulo VII – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 59 
 
7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 59 
7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 59 
7.3 – ROTACIONAL 62 
7.4 – TEOREMA DE STOKES 64 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (Φ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B
�
) 64 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 65 
7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 67 
 
Capítulo VIII – FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E 
INDUTÂNCIA 71 
 
8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 71 
8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 71 
8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 72 
8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 72 
8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 73 
8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 73 
8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 74 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 75 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 77 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 77 
8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 80 
 
Capítulo IX – CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 85 
 
9.1 – A LEI DE FARADAY 85 
9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 86 
9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 87 
9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 88 
9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 88 
9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 90 
9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 90 
9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 91 
9.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 94 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 99 
 
Anexo I – SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR SÉRIE INFINITA DE 
POTÊNCIAS 100 
 
Anexo II – CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 102 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iii 
 
 
INTRODUÇÃO GERAL 
 
Importância do Curso de Eletromagnetismo 
Este curso deve ser encarado com bastante seriedade devido sua indiscutível importância 
no currículo de Engenharia. Para facilitar a aprendizagem, ele é iniciado apresentando os 
fundamentos matemáticos necessários para então considerar os aspectos físicos da disciplina. A 
teoria básica dos campos elétricos, da densidade de fluxo elétrico, a Lei de Gauss, os potenciais e 
correntes elétricas, todos da Eletrostática e Eletrodinâmica, são apresentados em seqüência até 
se chegar nas formulações da Equações de Poisson e Laplace. Já dentro do Magnetismo, 
considera-se primeiramente a teoria básica dos campos magnéticos, abordando importantes 
princípios como a Lei de Biot-Savart e a Lei Circuital de Ampère. Vários conceitos do 
Eletromagnetismo são então introduzidos, culminando com o estudo dos campos baseados nas 
equações de Maxwell, o qual justifica as aproximações que conduzem a teoria de circuitos 
elétricos. Todos os conceitos aqui apresentados devem formar a base para a construção de novos 
alicerces de conhecimento, como aqueles relacionados às disciplinas que tratam de máquinas 
elétricas, aterramentos elétricos, linhas de transmissão, propagação de ondas, antenas, etc. 
 
Metodologia Adotada 
• O curso foi esquematizado da forma mais simples possível para ser ministrado através de 
aulas expositivas, com diálogos, discussões, demonstrações, incluindo soluções de exercícios, 
e, sempre que possível, com interpretação e aplicação prática de cada resultado. 
• O conteúdo programático do curso é disposto de tal maneira que os assuntos mais difíceis são 
abordados no seu final, sendo os capítulos colocados numa forma seqüencial e lógica para 
auxiliar a aprendizagem. 
• Além dos livros indicados abaixo foi preparada esta apostila, intitulada Conceitos Teóricos e 
Exercícios Propostos de Eletromagnetismo, a qual tem o objetivo de servir de roteiro de 
aulas teóricas e fonte suplementar de exercícios, reduzindo o tempo utilizado na exposição de 
assuntos e transcrição de enunciados de exercícios no quadro, permitindo assim que mais 
tempo seja dedicado a explicação e aplicação prática de conceitos da disciplina.• Uma outra apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo também foi preparada, 
contendo numerosos exemplos numéricos e literais de cada capítulo do programa, visando 
com isto facilitar o entendimento e a auto-aprendizagem do aluno. 
• Vários recursos didáticos poderão ser empregados no curso como: quadro e giz, 
equipamentos audio-visuais, microcomputador e datashow. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO GGEERRAALL iv 
 
• São também selecionados estudantes monitores com objetivo de: 
� Prestar atendimento aos alunos, auxiliando-os na solução de listas de exercícios, 
� Corrigir as listas de exercícios que forem entregues pelos alunos, 
� Auxiliar o professor na correção de testes aplicados durante o curso, 
� Auxiliar o professor na supervisão da aplicação de provas e/ou testes. 
 
Formas de Avaliação 
• São realizadas 3 provas do tipo sem consulta, com questões abertas ou dissertativas, isto é, 
não são incluídas questões do tipo teste de múltipla escolha. 
• São também aplicados 3 testes rápidos (30 minutos no máximo), distribuídos ao longo do 
período, podendo estes ocorrem de surpresa, a critério do professor. 
• É preparado um total de 9 listas de exercícios, relativas aos 9 capítulos, com 4 exercícios 
cada uma, indicados previamente para cada aluno de acordo com a matéria lecionada nestes 
capítulos, tomando como base o livro texto (referência [1]) e o livro de exercícios adotado 
(referência [2]). Os exercícios são definidos pelo professor de tal maneira que nenhum aluno 
tenha os mesmos quatro exercícios de seu colega. Cada lista deverá ser entregue até no 
máximo uma semana após o encerramento das aulas correspondentes ao capítulo da lista. 
• Para ser aprovado na disciplina, cada aluno deverá cumprir os seguintes requisitos: 
� Freqüência mínima de 75% nas aulas ministradas, a qual é verificada através de 
chamada oral e/ou assinatura de lista de presença em sala de aula; 
� Soma total das notas obtidas nas diversas avaliações igual ou superior a 60 pontos de 
um total de 100 pontos, os quais são distribuídos segundo o quadro abaixo. 
 
TIPO DE AVALIAÇÃO VALOR DATA 
Primeira Prova (Capítulos I a IV) 20 
Segunda Prova (Capítulos V e VI) 20 
Terceira Prova (Capítulos VII a IX) 30 
3 Testes Rápidos (4 pontos cada um) 12 
9 Listas de Exercícios (2 pontos cada uma) 18 
Total = 100 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL v 
 
FORMULÁRIO GERAL 
 
1. DIVERGÊNCIA 
 
 
� CARTESIANAS: 
z
zD
y
yD
x
xD
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=•∇ D
��
 
� CILÍNDRICAS: 
z
zDD1)D(1
∂
∂
+
∂φ
φ∂
ρ
+
∂ρ
ρρ∂
ρ
=•∇ D
��
 
� ESFÉRICAS: 
∂φ
φ∂
θ
+
∂θ
θθ∂
θ
+
∂
∂
=•∇
D
senr
1)D(sen
senr
1
r
)rDr(
r
1 2
2D
��
 
 
 
2. GRADIENTE 
 
 
� CARTESIANAS: zyx
z
V
y
V
x
VV aaa ���
�
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
� CILÍNDRICAS: z
z
VV1VV aaa ���
�
∂
∂
+
∂φ
∂
ρ
+
∂ρ
∂
=∇ φρ 
� ESFÉRICAS: φθ ∂φ
∂
θ
+
∂θ
∂
+
∂
∂
=∇ aaa ���
� V
senr
1V
r
1
r
VV r 
 
 
3. LAPLACIANO 
 
 
� CARTESIANAS: 
�
∇ = + +2
2
2
2
2
2
2V
V
x
V
y
V
z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 
� CILÍNDRICAS: 
�
∇ =





 + +2 2
2
2
2
2
1 1
V
V V V
zρ
∂
∂ρ
ρ∂
∂ρ ρ
∂
∂φ
∂
∂
 
� ESFÉRICAS: 
�
∇ = 




 +





 +2 2
2
2 2 2
2
2
1 1 1
V
r r
r
V
r r
V
r
V∂
∂
∂
∂ θ
∂
∂θ θ
∂
∂θ θ
∂
∂φsen sen sen 
 
 
4. ROTACIONAL 
 
 
� CARTESIANAS: z
xy
y
zx
x
yz
 
y
H
x
H
 
x
H
z
H
 
z
H
y
H
aaaH ���
��








∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
=×∇ 
� CILÍNDRICAS: 
( )
z
zz
 
HH1
 
H
z
H
 
z
HH1
aaaH ���
��








∂φ
∂
−
∂ρ
ρ∂
ρ
+






∂ρ
∂
−
∂
∂
+






∂
∂
−
∂φ
∂
ρ
=×∇ ρφφ
ρ
ρ
φ
 
� ESFÉRICAS: ( ) ( ) ( )
φθθ
φθφ 





∂θ
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂φ
∂
θ
+







∂φ
∂
−
∂θ
θ∂
θ
=×∇ aaaH ���
��
 
H
r
rH
r
1
 
r
rHH
senr
1
r
1
 
HsenH
senr
1 rr
r 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL vi 
5. EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
Forma Pontual Forma Integral 
t∂
∂
−=×∇ BE
�
��
 ∫ ∫ •∂
∂
−=• SBLE d
t
d S
�
�
 
dt
JJDJH
��
�
���
+=
∂
∂
+=×∇ ∫ ∫ •∂
∂
+=• SDLH d
t
Id S
�
�
 
vρ=•∇ D
��
 
dvd
vol vS ∫∫ ρ=• SD
�
 
0=•∇ B
��
 
0dS =•∫ SB
�
 
 
 
6. CONDIÇÕES DE CONTORNO ENTRE 2 MEIOS 
 
Componentes tangenciais: Et1 = Et2 Ht1 – Ht2 = k 
Componentes normais: Dn1 – Dn2 = ρS Bn1 = Bn2 
 
 
7. PERMISSIVIDADE DO ESPAÇO LIVRE 
 
Permissividade elétrica do vácuo: 
pi
≅×=ε
−
−
36
1010854,8
9
12
o [F/m] 
Permeabilidade magnética do vácuo: µ pio = × −4 10 7 [H/m] 
 
 
8. FÓRMULAS IMPORTANTES DO ELETROMAGNETISMO 
 
Lei de Gauss: internaQ=•∫S dSD
�
 
 
Teorema da Divergência: ( )dv d
volS ∫∫ •∇=• DSD
���
 
Equação de Poisson: 
�
∇ = −2V vρ
ε
 
 
Equação de Laplace: 
�
∇ =2 0V 
 
Lei de Biot-Savart: ∫
pi
×
= 2R4
dI RaLH
�
�
 onde dvdSdI JKL
���
== 
 
Lei Circuital de Ampère: 
enlacadaId∫ =• LH
�
 
Teorema de Stokes: ( )∫ ∫ •×∇=• SHLH dd S ��� 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL vii 
9. OUTRAS FÓRMULAS DO ELETROMAGNETISMO 
 
 
PED
���
+ε= o 
EP
��
oeεχ= 
ED
��
ε= 
ε ε ε= r o 
∫ •= volE dv2
1W ED
��
 
t
N
∂
Φ∂
−=fem 
∫ •= LE d
�fem 
( ) SBLBv d
t
d S •∂
∂
−•×= ∫∫
�
�
�fem 
∫ •=Φ S dSB
�
 
I
NL Φ= 
2= I
W2L H 
1
122
12 I
NM Φ= 
( )MHB ��� +µ= o 
HM
��
mχ= 
HB
��
µ= 
µ µ µ= r o 
∫ •= volH dv2
1W HB
��
 
EF
�� QE = 
( )BvF ��� ×= QM 
( )BvEFFF ������ ×+=+= QME 
BLF
�
×= dId 
BSFrT
�
�
×=×= dIdd 
Sm d Id = 
BmT
�
×= dd 
AB
���
×∇= 
( )0=∇−= JH ��� mV 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL viii 
10. FÓRMULAS DE DERIVADAS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; c, a e n são constantes arbitrárias. 
1. [ ] 0a
dx
d
= 
2. [ ] cxc
dx
d
= 
3. [ ] 1nn xncxc
dx
d
−
= 
4. [ ]
x2
1
x
dx
d
= 
5. [ ]
dx
du
un
1
u
dx
d
n 1n
n
−
= 
6. [ ]
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
+=+ 
7. [ ]
dx
du
cuc
dx
d
= 
8. [ ]
dx
du
v
dx
dv
uvu
dx
d
+= 
9. 2v
u
dx
dv
v
dx
du
v
u
dx
d −
=



 
10. [ ]
dx
du
unu
dx
d 1nn −
= 
11. [ ]
dx
du
aaa
dx
d uu ln= 
12. [ ]
dx
dv
uu
dx
du
uvu
dx
d v1vv ln+= − 
13. ( )[ ]
dx
du
du
df
uf
dx
d
= 
14. [ ] ( )1a,0a
dx
du
u
elog
ulog
dx
d a
a ≠≠= 
15. [ ]
dx
du
u
1
u
dx
d
=ln 
16. [ ]
dx
du
ucosusen
dx
d
= 
17. [ ]
dx
du
usenucos
dx
d
−= 
18. [ ]
dx
du
usectgu
dx
d 2
= 
19. [ ]
dx
du
ucosecucotg
dx
d 2
−= 
20. [ ]
dx
du
tguusecusec
dx
d
= 
21.[ ]
dx
du
ucotgucosecucosec
dx
d
−= 
22. [ ]
dx
du
u1
1
uarcsen
dx
d
2
−
= 
23. [ ]
dx
du
u1
1
uarccos
dx
d
2
−
−= 
24. [ ]
dx
du
u1
1
uarctg
dx
d
2+
= 
25. [ ]
dx
du
u1
1
uarccotg
dx
d
2+
−= 
26. [ ]
dx
du
1uu
1
uarcsec
dx
d
2
−
= 
27. [ ]
dx
du
1uu
1
uarccosec
dx
d
2
−
−= 
28. 
dx
du
du
dy
dx
dy
= (Regra de Chain) 
29. dz
z
Fdy
y
Fdx
x
FdF
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
(Diferencial total de )z,y,x(F ) 
30. 
yF
xF
dx
dy0)y,x(F
∂∂
∂∂
−=⇒= 
 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
FORMULÁRIO GERAL ix 
11. FÓRMULAS DE INTEGRAIS # 
 
 
#
 u e v são funções de x; C, a e n são constantes arbitrárias. 
1. ( )[ ] )x(fdxxf
dx
d
=∫ 
2. ( ) Cdxvdxudxvu ++=+ ∫ ∫∫ 
3. Cdxuadxua += ∫∫ 
4. ( )1nC
1n
uduu
1n
n
−≠+
+
=
+
∫ 
5. ∫ += Cu
u
du ln 
6. ∫ += Cedue
uu
 
7. ( )1a,0aC
a
adua
u
u ≠>+=∫ ln
 
8. ∫ +−= Cucosduusen 
9. ∫ += Cusenduucos 
10. CusecCucosduutg +=+−=∫ lnln 
11. CucosecCusenduucotg +−=+=∫ lnln 
12. ∫ ++= Cutgusecduusec ln 
C
42
u
tg +




 pi
+= ln 
13. ∫ ++−= Cucotgucosecduucosec ln 
= C
2
u
tg +




ln 
14. ∫ +−= C4
u2sen
2
uduusen 2 
15. ∫ ++= C4
u2sen
2
uduucos2 
16. ∫ += Cutgduusec
2
 
17. ∫ +−= Cucotgduucosec
2
 
18. ∫ +−= Cuutgduutg
2
 
19. ∫ +−−= Cuucotgduucotg
2
 
20. ∫ += Cusecduutgusec 
21. ∫ +−= Cucosecduucotgucosec 
22. C
a
u
arctg
a
1
au
du
22 +=+
∫ 
23. C
au
au
a2
1
au
du
22 ++
−
=
−
∫ ln 
24. C
ua
ua
a2
1
ua
du
22 ++
+
=
−
∫ ln 
25. C
a
u
arcsen
ua
du
22
+=
−
∫ 
26. C
a
auu
au
du 22
22
+
++
=∫
+
ln 
27. Cauu
au
du 22
22
+−+=
−
∫ ln 
28. C
a
u
arcsec
a
1
auu
du
22
+=
−
∫ 
29. C
u
aua
a
1
auu
du 22
22
+
++
−=
+
∫ ln 
30. C
u
uaa
a
1
uau
du 22
22
+
−+
−=
−
∫ ln 
31. ( ) Cau
u
a
1
au
du
2222/322
+
+
=
+
∫ 
32. 2222 ua
2
uduua −=−∫ 
C
a
u
arcsen
2
a 2
++ 
33. 2222 au
2
uduau ±=±∫ 
Cauu 22 +±+± ln 
34. ∫ ∫−= duvvudvu (Integração por partes) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
 
1.1 – CONCEITOS GERAIS 
 
• Grandeza Escalar – Representada por um 
Ex.: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, 
 
• Grandeza Vetorial – Representada por uma 
Ex.: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc.
 
Atenção: No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
positivo. 
 
• Campo Escalar – Cada ponto
Ex.: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
Notação: Seja yx 22 ++=φ
Se φ = potencial ⇒
Se φ = temperatura 
Se φ = pressão ⇒
 
• Campo Vetorial – Cada ponto
Ex.: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc.
Notação: Seja x a4a3E
��
�
+=
Se E
�
 = campo elétrico 
possuindo módulo igual a 
(também chamados de versores): 
 
Atenção: No curso de Eletromagnetismo adota
que seu módulo pode ser representado por 
 
 
1.2 – O PRODUTO ESCALAR (OU 
 
O produto escalar entre 2 vetores 
 
θ=• cosBABA
����
 (
 
Propriedades do produto escalar
 
(a) ABBA
����
•=• (propriedade comutativa)
(b) 0BA =•
��
 ⇔ A ⊥ B
(c) 22 AAAA ==•
���
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
 
Capítulo I 
 
ANÁLISE VETORIAL 
Representada por um número real, positivo ou negativo.
: Tensão ou potencial, corrente, carga, tempo, massa, volume, temperatura, pressão, etc.
Representada por uma magnitude, direção e sentido.
: Densidade de corrente, velocidade, aceleração, força, torque, etc. 
No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magn
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
Cada ponto da região é representado por um escalar. 
: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc.
100z 2 =+ definindo um campo escalar. 
⇒ temos uma superfície equipotencial esférica.
= temperatura ⇒ temos uma superfície isotérmica esférica.
⇒ temos uma superfície isobárica esférica. 
Cada ponto da região equivale a um vetor. 
: Campo elétrico, campo magnético, campo gravitacional, etc. 
zy a5
�
+ definindo um campo vetorial. 
= campo elétrico ⇒ temos uma região onde o campo elétrico é uniforme, 
possuindo módulo igual a 25E =
�
 e direção fixa definida pelos vetores unitários 
(também chamados de versores): xa
�
, ya
�
 e za
�
. 
No curso de Eletromagnetismo adota-se a seguinte notação para vetores: 
que seu módulo pode ser representado por A
�
 ou A , ou, simplesmente, A.
PRODUTO ESCALAR (OU PRODUTO INTERNO) 
O produto escalar entre 2 vetores A e B é definido como: 
(θ = menor ângulo entre A e B ) 
Propriedades do produto escalar: 
(propriedade comutativa) 
B (o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo)
1 
, positivo ou negativo. 
volume, temperatura, pressão, etc. 
. 
No curso de Eletromagnetismo não será feita distinção entre a magnitude, módulo, 
intensidade e valor absoluto de um vetor. A magnitude de um vetor é um valor sempre 
: Campo de potenciais, campo de temperaturas, campo de pressões, etc. 
temos uma superfície equipotencial esférica. 
temos uma superfície isotérmica esférica. 
onde o campo elétrico é uniforme, 
e direção fixa definida pelos vetores unitários 
se a seguinte notação para vetores: A
�
 ou A , sendo 
, ou, simplesmente, A. 
(o produto escalar entre 2 vetores perpendiculares é nulo) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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(i) Aplicação do produto escalar:
 
A projeção (ou componente) escalar
 
A
ABaBBa .. == ( a = vetor unitário na direção de 
 
A projeção (ou componente) vetorial
( )aaBBa .= ⇒ BBa 


=
 
A projeção escalar (Bx) do vetor 
 
 aBB xx .= ( xa = vetor unitário do eixo 
 
A projeção vetorial ( B x) do vetor 
 ( ) aaBaBB xxxxx .== 
 
(ii) Aplicação do produto escalar
 
O ângulo θ compreendido entre 2 vetores 
 
 
1.3 – O PRODUTO VETORIAL (
 
O produto vetorial entre 2 vetores 
 
naBABA
�
����
θ=× sen
 
 
onde na
�
 = vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores 
(e sentido) é obtida pela regra do saca
 
Propriedades do produto vetorial
 
(a) ABBA
����
×−=× (propriedade não
(b) 0BA =×
��
 ⇔ A // B
(c) 0AA =×
��
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
: obtenção da componente ou projeção de um vetor (ex.: 
numa dada direção (ex.: o vetor A ou o eixo 
escalar do vetor B sobre o vetor A é: 
= vetor unitário na direção de A ) 
vetorial do vetor B sobre A é: 
A
A
A
AB




.
 
B sobre o eixo x é: 
= vetor unitário do eixo x) 
) do vetor B sobre o eixo x é: 
 
Aplicação do produto escalar: obtenção do ângulo compreendido entre 2 vetores quaisquer.
compreendido entre 2 vetores A e B é obtido por: 
A
A .
=θcos
O PRODUTO VETORIAL (OU PRODUTO EXTERNO) 
O produto vetorial entre 2 vetoresA e B é definido como: 
 (θ = menor ângulo entre A e B ) 
vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores 
(e sentido) é obtida pela regra do saca-rolhas (mão direita) indo de A para 
Propriedades do produto vetorial: 
(propriedade não-comutativa) 
B (o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo)
2 
de um vetor (ex.: B ) 
ou o eixo x → ver figuras). 
compreendido entre 2 vetores quaisquer. 
 
B
B.
 
 
vetor unitário (versor) normal ao plano formado pelos vetores A e B , cuja direção 
para B . 
(o produto vetorial entre 2 vetores paralelos é nulo) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
(i) Aplicação do produto vetorial
Obtenção do vetor ou versor normal
por 2 vetores A e B . 
 
BAN
���
×= 
BA
BA
N
N
a n ��
��
�
�
�
×
×
==
 
 
 
 
(ii) Aplicação do produto vetorial
Obtenção da área de um 
vetores A e B . 
 
BaseS ramologparale ×=
S
2
1S logparaletriângulo =
 
 
 
Exercício: Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
misto: 
 
 
( ) CBAvol ��� •×= 
 
sendo A
�
, B
�
 e C
�
paralelepípedo. 
 
 
 
1.4 – SISTEMAS DE COORDENA
 
 
1.4.1 – Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Aplicação do produto vetorial: 
versor normal a um plano formado 
(vetor normal) 
 (versor normal 
Aplicação do produto vetorial: 
de um paralelogramo (ou triângulo) cujos lados são as magnitudes dos 
BAABAltura
����
×=θ=× sen 
BA
2
1
ramolog
��
×= 
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
 
C
�
, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do 
SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS, CILÍNDRICAS E ESFÉRICAS
Representação de um ponto nos 3 sistemas de coordenadas 
 
3 
) cujos lados são as magnitudes dos 
Demonstrar que o volume de um paralelepípedo pode ser obtido através do produto 
, respectivamente, o comprimento, a largura e a altura do 
ÍNDRICAS E ESFÉRICAS 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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1.4.2 – Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas
 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
SISTEMA Cartesiano
Cartesiano 
zz
yy
xx
=
=
=
 
Cilíndrico 
zz
0 )x/y(tan
 yx
1-
22
=
=φ
ρ+=ρ
Esférico 
(
( )=φ
+=θ
++=
 x/ytan
yxtan
 zyxr
1-
221-
222
 
1.4.3 – Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
 
 
 
1.4.4 – Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
 
Coordenadas cartesianas e cilíndricas
 
Nota: O produto escalar entre o vetor unitário 
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário 
esférico ra
�
 (ou θa
� ) e sua projeção no plano 
por esta projeção e o vetor unitário 
 
�
aρ 
�
aφ 
�
a
�
ax •••• cosφφφφ - senφφφφ 
�
ay •••• senφφφφ cosφφφφ 
�
az •••• 0 0 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Transformações entre os 3 sistemas de coordenadas 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas
Cartesiano Cilíndrico 
zz
seny
cosx
=
φρ=
φρ=
 
2
0
pi≤φ≤
≥
 
zz =
φ=φ
ρ=ρ
 
)
pi≤φ≤
pi≤θ≤
≥
20 
0 z
0r 
 
( )
pi≤φ≤φ=φ
pi≤θ≤ρ=θ
≥+ρ=
20 
0 ztan
0r zr
1-
22
Vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas
Coordenadas cartesianas e cilíndricas Coordenadas cartesianas e esféricas
O produto escalar entre o vetor unitário xa
�
 (ou ya
� ) e o vetor unitário 
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário 
) e sua projeção no plano xy, multiplicado pelo coseno do ângulo formado 
or unitário xa
�
 (ou ya
� ). 
 
�
a r 
�
aθ
�
ax •••• senθθθθ cosφφφφ cosθθθθ cos
�
ay •••• senθθθθ senφφφφ cosθθθθ sen
�
az •••• cosθθθθ - sen
�
az 
0 
0 
1 
4 
Quadro das transformações entre os três sistemas de coordenadas 
Esférico 
θ=
φθ=
φθ=
rcosz
sen rseny
cos senrx
 
θ=
φ=φ
θ=ρ
rcosz
senr
 
pi
 
 
φ=φ
θ=θ
= rr
 
 
Produtos escalares entre vetores unitários nos 3 sistemas de coordenadas 
Coordenadas cartesianas e esféricas 
) e o vetor unitário ra
�
 (ou θa
� ) do sistema 
de coordenadas esféricas, é dado pelo coseno do ângulo formado entre o vetor unitário 
, multiplicado pelo coseno do ângulo formado 
θ 
�
aφ 
cosφφφφ - senφφφφ 
senφφφφ cosφφφφ 
senθθθθ 0 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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Exercício: Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas
 
 
1.4.5 – Elementos diferenciais de linha
 
 
Quadro dos elementos 
Sistema Linha
Cartesiano 
x dyadxLd +=
Cilíndrico dL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ +
Esférico θ+= rdadrLd r
 
 
�
a r 
�
aθ 
�
a
�
aρ •••• 
�
aφ •••• 
�
az •••• 
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TTOORRIIAALL 
Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elementos diferenciais de linha, área e volume nos 3 sistemas de coordenadas
 
Quadro dos elementos diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas
Linha (d L ) Área (d S ) 
zy adzady + 
zz
yy
xx
adxdySd
adxdzSd
adydzSd
=
=
=
 
dv
zdL d a d a dz aρ φ= ρ + ρ φ + 
zz addSd
adzdSd
adzdSd
φρρ=
ρ=
φρ=
φφ
ρρ
 
dv
φθ φθ+θ adsenra 
φφ
θθ
θ=
φθ=
φθθ=
ardrdSd
adrdsenrSd
addsenrSd r
2
r
 
dv
�
aφ 
 
 
 
5 
Completar o quadro abaixo relativo ao produto escalar entre vetores unitários dos 
nos 3 sistemas de coordenadas 
 
diferenciais nos 3 sistemas de coordenadas 
Volume (dv) 
dzdydxdv = 
dzdddv φρρ= 
φθθ= ddrdsenrdv 2 
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1.5 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 
1.1) As superfícies que delimitam um volume são definidas por: 
7pi/9, z = 2 e z = 20. Determinar:
a) O volume determinado pela
b) O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
 
 Respostas: a) Volume = 375
 
1.2) Um vetor aaE ��� ++= φρ
plana x y z+ + = 2 . Determinar:
a) o vetor E
�
 no sistema de coordenadas cartesianas;
b) o ângulo θ que o vetor E
�
c) as duas componentes vetoriais de 
 
Respostas: a) x aaE
�
�
+−=
c) ( xN 31 aE �
�
=
 
1.3) Um vetor A
�
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; 
origem de um sistema de coordenadas 
a) coordenadas esféricas no ponto P.
b) coordenadas cartesianas no ponto 
 
Respostas: a) r 10 aA −=
�
; b) 
 
1.4) Dado o vetor yx aaA
��
�
+=
a) As coordenadas esféricas 
b) O ângulo α que A
�
 faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
c) O ângulo β que A� faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
d) O ângulo γ que A
�
 faz com o semi
 
Respostas: a) ;( = 22rP θ
 
1.5) Um vetor A
�
, de móduloigual 8, está situado sobre a linha reta que passa 
 P(r = 10, θ = 30o, φ = 0o) e 
Determinar: 
a) O vetor A
�
 expresso em coordenadas cartesianas;
b) O ângulo que o vetor A
�
c) O módulo da projeção do vetor 
 
Respostas: a) 
 212 aA ,−=
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
As superfícies que delimitam um volume são definidas por: ρ = 5 e ρ 
/9, z = 2 e z = 20. Determinar: 
O volume determinado pelas superfícies em questão, utilizando integração;
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume.
Respostas: a) Volume = 375pi; b) PQ = 21,59 . 
za
�
+ está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície 
. Determinar: 
no sistema de coordenadas cartesianas; 
E
�
 faz com o vetor normal à superfície plana; 
as duas componentes vetoriais de E
�
 normal e tangencial à superfície plana.
zy aa
��
+ ; b) θ =70,53o; 
)zy aa �� ++ e ( yxT 22431 aaaE ���
�
++−=
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; 
origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Expressar este vetor em:
coordenadas esféricas no ponto P. 
coordenadas cartesianas no ponto P. 
; b) zyx 25 5 5 aaaA −−−=
�
. 
zy a
�
+ aplicado ao ponto P(x = – 3 , y = 1, z = 2), determinar: 
As coordenadas esféricas r, θ e φ do ponto P; 
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P;
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P;
faz com o semi-plano radial, partindo do eixo z, que passa por P.
);; °=°= 15045 φθ b) α = 75o; c) β = 123,9
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa 
) e Q(r = 20, θ = 60o, φ = 90o) , e orientado no sentido de P a Q. 
expresso em coordenadas cartesianas; 
 faz com o vetor normal à superfície plana z = 0;
O módulo da projeção do vetor A� sobre a superfície plana z = 0. 
zyx 590 677 aaa ,, ++ ; b) α = 85,75o; c) Proj
6 
 = 10, φ = 2pi/9 e φ = 
superfícies em questão, utilizando integração; 
O comprimento de um segmento linear que une dois vértices opostos do volume. 
está aplicado no ponto P(x = 0, y = 1, z = 1) da superfície 
 
normal e tangencial à superfície plana. 
)za� . 
, com módulo igual a 10, está orientado do ponto P(r = 5; θ = pi/4; φ = pi/4) à 
. Expressar este vetor em: 
, y = 1, z = 2), determinar: 
faz com a superfície esférica, centrada na origem, que passa por P; 
faz com a superfície cônica, coaxial com o eixo z, que passa por P; 
plano radial, partindo do eixo z, que passa por P. 
= 123,9o; d) γ = 142,06o. 
, de módulo igual 8, está situado sobre a linha reta que passa pelos pontos 
) , e orientado no sentido de P a Q. 
mal à superfície plana z = 0; 
987 Proj ,=A . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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1.6) Transformar o vetor 5E =
a) A(r = 4, θ = 30o, φ = 120
b) B(x = – 2 , y = 2 , z = 
 
Respostas: a) aE 
4
5
r +=
 
1.7) Sejam dados os pontos A(r = 1, 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte:
a) O volume total (vol) da porção de volume esférico formado;
b) Os vetores normais de área, 
esférico nas direções dos vetores unitários 
c) O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
d) O vetor 
→
AB , localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
 
Respostas: a) vol. = 
36
13pi
; b) 
d) =AB 3713,1
 
1.8) Sejam dados os dois pontos A(r = 10, 
Determinar: 
a) A distância d entre os dois pontos medida em linha reta;
b) A distância d’ entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
 
Respostas: a) d = 11,37 unidades de comprimento.
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento
 
1.9) a) Se os vetores axA =
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de 
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima.
 
Respostas: a) x = –1,5, y = 
b) vol. = 20,25 unidades de volume
 
1.10) Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas 
Determinar: 
a) A distância entre os 2 pontos medida em 
b) A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
c) O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
d) A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5.
 
Respostas: a) AB = 5,32 unida
c) 64,34o = 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área.
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x x5 a
�
 para coordenadas esféricas nos seguintes pontos:
= 120o); 
, z = –2). 
φθ aa 2
35
 
4
35
+ ; b) aE
2
25
 
2
25
r −=
Sejam dados os pontos A(r = 1, θ = pi/3, φ = pi/6) e B(r = 3, θ = pi/2, 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
Determinar, usando integração quando possível, o seguinte: 
(vol) da porção de volume esférico formado; 
Os vetores normais de área, rS
�
, θS
�
 φS
�
, que saem da superfície da porção de volume 
esférico nas direções dos vetores unitários ra
�
, θa
�
 e φa
�
, respectivamente ;
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico);
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esf
; b) rr 8
3
aS �
� pi
= , θθ
pi
= aS �
�
3
, φφ
pi
= aS �
�
3
2
; c) AB = 2,2318
+=−+ aaaaa 4487,1 5093,1 5,0 6883,1 3713 rzyx
Sejam dados os dois pontos A(r = 10, θ = 45o, φ = 0o) e B(r = 10, θ = 60
entre os dois pontos medida em linha reta; 
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10.
a) d = 11,37 unidades de comprimento. 
b) d’ = 12,09 unidades de comprimento. 
zyx a3a3a ++ , zyx a2aya2B ++= , e 
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de 
b) Determinar o volume do paralelepípedo retângulo formado acima. 
1,5, y = –1,0, z = –0,5 unidades de comprimento; 
b) vol. = 20,25 unidades de volume 
Sejam 2 pontos em coordenadas esféricas ( )oo 30,60,5r =φ=θ= e (r =
A distância entre os 2 pontos medida em linha reta; 
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5;
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos;
A área compreendida entre estas 2 linhas e o círculo de raio r = 5. 
a) AB = 5,32 unidades de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento;
= 1,123 rad, d) área = 14,04 unidades de área. 
7 
para coordenadas esféricas nos seguintes pontos: 
φθ aa 5 + . 
/2, φ = pi/4), os quais 
representam 2 vértices extremos da porção de um volume esférico formado com estes pontos. 
, que saem da superfície da porção de volume 
, respectivamente ; 
O comprimento do segmento AB (“diagonal principal” da porção de volume esférico); 
, localizado em A e dirigido de A para B, expresso em coordenadas esféricas. 
; c) AB = 2,2318 
φθ + aa 7786,0 . 
= 60o, φ = 90o). 
entre os dois pontos medida ao longo da superfície esférica r = 10. 
, e zyx azaaC ++= , 
representam os lados de um paralelepípedo retângulo, quais os valores de x, y e z? 
)oo 120,30,5 =φ=θ= . 
A distância entre os 2 pontos medida ao longo da superfície esférica r = 5; 
O ângulo entre as 2 linhas que se estendem da origem até os 2 pontos; 
des de comprimento; b) AB = 5,61 unidades de comprimento; 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo II:: ÁÁNNÁÁLLIISSEE VVEETT
1.11) Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plan( )0,1,3 e está apontado no sentido de crescimento do eixo(a) Em coordenadas cartesianas;
 
Respostas: a) xa2
1
a +−=
 
1.12) Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos 
)z,,(Q 222 φρ em função das coordenadas cilíndricas dos pontos.
 
Resposta: 22
2
1d −ρ+ρ=
 
1.13) Demonstrar que =α sencos
α = ângulo entre o versor a�
θ = ângulo entre o versor a�
φ = ângulo entre o versor a�
 
Resposta: Sugestão: Observar que 
φ=•ρ cosaa x
��
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
TTOORRIIAALL 
Um círculo, centrado na origem, com raio de 2 unidades, situa-se sobre o plano 
Determinar o vetor unitário, situado sobre o plano xy, que é tangente ao círculo no ponto P
e está apontado no sentido de crescimento do eixo y: 
Em coordenadas cartesianas; (b) Em coordenadas esféricas.
ya2
3
; b) φ= aa 
Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos 
em função das coordenadas cilíndricas dos pontos. 
( ) ( )2121221 zzcos2 −+φ−φρρ 
φθcossen , usando produtos escalares, sendo:
ra
�
 (coord. esférica) e o versor xa
�
 (coord. cartesiana)
za
�
 (coord. cartesiana) e o versor ra
�
 (coord. esférica)
xa
�
 (coord. cartesiana) e o versor ρa
�
 (coord. cilíndrica).
Sugestão: Observar que θ+θ= ρ cosasenaa zr
���
 e que • aa r
��
 e 0aa xz =•
��
 
8 
se sobre o plano xy. 
, que é tangente ao círculo no ponto P
(b) Em coordenadas esféricas. 
Determinar uma expressão para calcular a distância entre dois pontos )z,,(P 111 φρ e 
usando produtos escalares, sendo: 
(coord. cartesiana) 
(coord. esférica) 
(coord. cilíndrica). 
α= cosa x
�
, 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 9 
 
Capítulo II 
 
LEI DE COULOMB E INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
 
2.1 – LEI DE COULOMB 
 
Força de uma carga Q1 sobre uma carga Q2: 
 
122
12o
21
2 a
R4
QQF
piε
=
 [N] 
 
onde: 
R 12 = vetor orientado de Q1 a Q2 
a 12 = versor orientado de Q1 a Q2 
 
Notas: O módulo de 2F depende dos valores das cargas pontuais, da distância entre elas e do meio. 
Adota-se vácuo como o meio neste caso, e em todas as análises posteriores até o capítulo 5. 
A orientação de 2F (ou sentido de 2F ) depende apenas dos sinais das 2 cargas pontuais. 
 
 
2.2 – INTENSIDADE DE CAMPO ELÉTRICO 
 
Força de uma carga pontual Q1 sobre uma carga de prova positiva QP situada num ponto P: 
P12
P1o
P1
P a
R4
QQF
piε
= 
 
Campo elétrico gerado pela carga pontual Q1 no ponto P (definição): 
 
P12
P1o
1
P
P a
R4
Q
Q
F
E
piε
==
 (Unidade: N/C ou V/m) 
 
Nota: A orientação do campo elétrico E depende apenas do sinal da carga que o produz (Q1). 
Assim, as linhas de força do campo elétrico saem (ou divergem) das cargas positivas e 
entram (ou convergem) para as cargas negativas. 
 
Campo elétrico gerado por n cargas pontuais: 
 
( ) mn
1m 2mo
m a
rr4
Q
rE ∑
−piε
=
=
 [V/m] 
 
onde: Qm = m-ésima carga pontual 
mr = posição da m-ésima carga pontual 
r = posição do ponto onde se quer o campo 
m
m
m
rr
rr
a
−
−
= = versor da m-ésima carga pontual 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.3 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO VOLUMÉTRICA CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dv
dQ
v =ρ = densidade volumétrica de carga (em C/m3), temos que dQ = ρvdv. 
Assim a fórmula para calcular o campo elétrico num ponto P, no vácuo, de um volume de cargas é: 
 
∫
piε
= R2
o
a
R4
dQE
 [V/m] (FÓRMULA GERAL) 
 
sendo: 
 Ra = versor orientado de dQ ao ponto P (saindo) 
R = distância de dQ ao ponto P 
εo = permissividade elétrica do vácuo [F/m] 
 
Nota: Genericamente: ρv dv = ρS ds = ρL dL = dQ, para volume → superfície → linha → ponto. 
 
 
2.4 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO LINEAR CONTÍNUA DE CARGAS 
 
Definindo 
dL
dQ
L =ρ = densidade linear de carga (em C/m), temos que dQ = ρLdL. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
filamento retilíneo ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
ρρpiε
ρ
= a
2
E
o
L
 
 
sendo: 
ρL = densidade linear de carga [C/m] (valor constante) 
ρ = menor distância (direção normal) da linha ao ponto P [m] 
ρa = versor normal à linha orientado para o ponto P 
 
Solução: Posicionando o eixo z sobre o filamento e o plano xy sobre 
o ponto P para facilitar a solução (ver figura), temos: 
dzdQ Lρ= 
ρρ+−= aazR z e 22zR ρ+= ⇒ 
22
z
R
z
aaz
R
R
a
ρ+
ρ+−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( )
( )
( ) ρ
ρρ
+=
ρ+piε
ρ+−ρ∞+
−∞=
=
ρ+
ρ+−
ρ+piε
ρ∞+
−∞=
= ∫∫ EE
z4
aazdz
z
z
aaz
z4
dz
z
E z2/322
o
zL
22
z
22
o
L
 
Por simetria 0Ez = . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
αρ= tgz 
ααρ= ddz 2sec 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) ρ
ρ
ρ ααρpiε
ρ
=
ρ+αρ
ααρ
piε
ρρ
== ∫∫
pi
pi−=α
pi+
pi−=α ados4
ad
4
EE 2/ 2/
2/
2/
o
L
2/322o
L c
tg
sec
2
2
 
[ ] [ ] ρpi pi−=αρpi pi−=αρ +piε
ρ
=α
piε
ρ
== a11
4
a
4
EE 2/ 2/
o
L2/
2/
o
L sen 
 
Daí chegamos finalmente a: ρρ ρpiε
ρ
== a
2
EE
o
L
 
 
Logo, para uma linha ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
inversamente proporcional à distância (ρ), e a direção de E é radial (normal) à linha. 
 
 
2.5 – CAMPO ELÉTRICO DE UMA DISTRIBUIÇÃO SUPERFICIAL CONTÍNUA DE 
CARGAS 
 
Definindo 
dS
dQ
S=ρ = densidade superficial de carga (em C/m2 ), temos que dQ = ρS dS. 
 
Demonstrar que a fórmula que fornece o campo elétrico num ponto P, no vácuo, devido a uma 
superfície plana ∞∞∞∞ com carga uniformemente distribuída (ver figura), é expressa por: 
 
n
o
s a
2
E
ε
ρ
=
 
 
sendo: 
ρS = densidade superficial de 
carga [C/m2] (constante) 
na = versor normal ao plano 
orientado para o ponto P 
 
Solução: 
Observando a figura temos: 
φρρρ=ρ= dddSdQ ss 
zazaR +ρ−= ρ e 22 zR +ρ= ⇒ 22
z
R
z
aza
R
R
a
+ρ
+ρ−
==
ρ
 
Substituindo na fórmula geral acima obtemos: 
( ) 22 z22os z
aza
z4
dd
0
2
0E
+ρ
+ρ−
+ρpiε
φρρρ∞+
=ρ
pi
=φ=
ρ
∫∫ 
( )
( ) z2/322o
zs
2
s EE
z4
ddaza
0
2
0E +=
+ρpiε
φρρρ+ρρ−∞+
=ρ
pi
=φ= ρ
ρ
∫∫ 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 12 
Por simetria 0E =ρ . 
( ) ( ) 2/322o zs2/322ozsz z
d
02
az
z
d
0d
2
04
az
EE
+ρ
ρρ∞+
=ρε
ρ
=
+ρ
ρρ∞+
=ρφ
pi
=φpiε
ρ
== ∫∫∫ 
Fazendo a substituição trigonométrica (ver triângulo ao lado): 
α=ρ tgz 
αα=ρ dzd 2sec , 
 
e levando na expressão acima e desenvolvendo, 
 
( ) αα
pi
=αε
ρ
=
α
ααpi
=αε
ρ
=
+α
αααpi
=αε
ρ
== ∫∫∫ d
2/
02
ad2/
02
a
zz
dzz2/
02
azEE
o
zs
o
zs
2/322
2
o
zs
z sen
sec
tg
tg
sectg
2[ ] [ ] z
o
s2/
0
o
zs
z a1022
a
EE +
ε
ρ
=α−
ε
ρ
==
pi
=αcos ⇒ z
o
s
z a2
EE
ε
ρ
== 
 
De uma forma mais geral, fazendo nz aa = ⇒ n
o
s
n a2
EE
ε
ρ
==
 
Logo, para o plano ∞ com carga uniformemente distribuída, a magnitude de E é 
independente da distância (z) do plano a P, e a direção de E é normal ao plano. 
 
 
2.6 – LINHA DE FORÇA E ESBOÇO DE CAMPO 
 
Obtenção da equação da linha de força de E no plano xy: 
 
Para um ponto na linha de força no plano xy, temos: 
yyxx aEaEE += 
yx ayaxL ∆+∆=∆ 
 
onde L//E ∆ (2 vetores em paralelo) 
 
Fazendo LdL →∆ , obtemos: 
yx adyadxLd += 
 
Como, LdE ∝ , obtemos: 
 
dy
E
dx
E yx
=
 
Logo, basta resolver esta equação diferencial para obter a equação da linha de força no plano xy. 
 
Nota: Para uma linha de força de E no espaço tridimensional, obtém-se a expressão: 
 
dz
E
dy
E
dx
E zyx
==
 (Atenção: Resolve-se duas a duas, segundo as projeções em xy, yz e zx) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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2.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
2.1) Uma linha infinita possui uma distribuição de carga com densidade ρL = -100 [ηC/m] e está 
situada no vácuo sobre a reta y = –5 [m] e z=0. Uma superfície plana infinita possui uma 
distribuição de carga com densidade ρS = α/pi [ηC/m2] e está situada no vácuo sobre o plano 
z = 5 [m]. Determinar o valor da constante α para que o campo elétrico resultante no ponto 
P(5,5,-5) não possua componente no eixo z. 
 
Resposta: α = 4. 
 
2.2) Dado um campo ( ) ( ) ( ) φφρρ φρ+φρ=φρ aaE ��� ,E,E, em coordenadas cilíndricas, as equações 
das linhas de força em um plano z = constante são obtidas resolvendo a equação diferencial: 
 
φρρ=φρ d dEE 
a) Determinar a equação da linha de força que passa pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0) para o 
campo φρ φρ−φρ= aaE
��
�
22 cossen . 
b) Determinar um vetor unitário passando pelo ponto P(ρ = 2, φ = 30o, z = 0), que seja 
paralelo ao plano z = 0 e normal a linha de força obtida no item anterior. 
Respostas: a) φ=ρ 2cos82 ; b) 






+±= φρ aaa
���
2
3
2
1
. 
 
2.3) Duas linhas infinitas de carga com mesmas densidades lineares uniformes ρL = k [ηC/m] 
estão colocadas sobre o plano z = 0. As duas linhas se cruzam no ponto (-2, 1, 0), sendo que 
uma é paralela ao eixo x e a outra paralela ao eixo y. Determinar exatamente em que posição 
no plano z = 0 deverá ser colocada uma carga pontual Q = k [ηC] para que o campo elétrico 
resultante na origem se anule. 
 
Resposta: 








− 0
5
52
5
5P
44
;; . 
 
2.4) Determinar a força que atua sobre uma carga pontual Q1 em P(0,0,a) devido à presença de 
uma outra carga Q2, a qual está uniformemente distribuída sobre um disco circular de raio a 
situado sobre o plano z=0. 
 
Resposta: ( ) z2
o
21
 22
4
QQ
aF −⋅=
apiε
 
 
2.5) Seja um campo elétrico dado por ( ) [ ]mV y2cos y2sene5 yxx2 aaE −= − . Determinar: 
a) A equação da linha de força que passa pelo ponto P(x=0,5; y=pi/10; z=0); 
b) Um vetor unitário tangente a linha de força no ponto P. 
 
Respostas: a) 212,1x2ey2cos −= ou ( )606,0y2cosln5,0x += ; b) yxT 8090,05878,0 aaa −= . 
 
2.6) O segmento reto semi-infinito, z ≥ 0, x = y = 0, está carregado com ρL = 15 nC/m, no vácuo. 
Determine E nos pontos: 
a) PA (0, 0, –1); b) PB (1, 2, 3) 
Respostas: a) zA a8,134E −= [V/m]; b) zyxB a0,36a2,97a6,48E −+= [V/m]. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIII:: LLEEII DDEE CCOOUULLOOMMBB EE IINNTTEENNSSIIDDAADDEE DDEE CCAAMMPPOO EELLÉÉTTRRIICCOO 14 
2.7) Duas bolas dielétricas iguais de diâmetro bem pequeno, pesando 10 g cada uma, podem 
deslizar livremente numa linha plástica vertical. Cada bola é carregada com uma carga 
negativa de 1 µC. Qual é a distância entre elas, se a bola inferior for impedida de se mover? 
 
Resposta: d = 300 [mm] 
 
2.8) Duas cargas pontuais de +2 C cada uma estão situadas em (1, 0, 0) m e (-1, 0, 0) m. Onde 
deveria ser colocada uma carga de –1 C de modo que o campo elétrico se anule no ponto (0, 
1, 0)? 
 
Resposta: Em (x = 0, y = 0,16 m, z = 0) 
 
2.9) a) Uma carga com densidade uniforme ρL = K C/m 
está distribuída sobre um pedaço de condutor 
circular de raio r = 2 m, posicionado sobre o 
plano y = 1 m, conforme mostra a figura abaixo. 
Determinar o campo elétrico E resultante na 
origem. 
b) Repetir o item (a), supondo, porém, que toda a 
carga seja concentrada no ponto (0,2,0). 
Respostas: a) y
o
a
8
3KE
piε
−
= [V/m]; b) y
o
a
12
KE
ε
−
= [V/m] 
 
2.10) Uma carga é distribuída uniformemente, com densidade ( )pi=ρ − 1810 9s C/m2, sobre uma 
lâmina retangular finita de 1 mm × 1 m, estando centrada na origem, sobre o plano z = 0, e 
com os lados paralelos aos eixos x e y. Usando aproximações de senso comum, estimar o 
valor do campo elétrico E
�
 nos seguintes pontos do eixo z: 
(a) z = 0,001 mm; (b) z = 1 cm; (c) z = 100 m 
Respostas: a) za1E = [V/m]; b) za
1,0E
pi
= [V/m]; c) z
7
a
2
10E
pi
=
−
 [V/m] 
 
2.11) Quatro cargas pontuais, iguais a 3 µC localizam-se, no vácuo, nos quatro vértices de um 
quadrado de 5 cm de lado. Determine o módulo da força que age em cada carga. 
 
Resposta: 61,9 N 
 
2.12) Uma carga pontual de 1 nC localiza-se na origem, no vácuo. Determine a equação da curva no 
plano z = 0, para o qual Ex = 1 V/m. 
 
Resposta: ( )3222 yxx8,80 += ou φ=ρ cos998,2 
 
2.13) Três cargas pontuais Q, 2Q e 3Q ocupam respectivamente os vértices A, B e C de um 
triângulo equilátero de lado l. Uma das cargas tem a máxima força exercida sobre ela e uma 
outra tem a mínima força. Determinar a razão entre as magnitudes destas 2 forças. 
 
Resposta: Razão = 1,82, sendo as magnitudes das forças máxima e mínima iguais, 
respectivamente, a 7,94k e 4,36k, onde k = Q2/(4pi εo l2) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 15 
 
Capítulo III 
 
DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO, LEI DE GAUSS E DIVERGÊNCIA 
 
3.1 – DENSIDADE DE FLUXO ELÉTRICO ( D ) 
 
É o fluxo por área produzido por cargas livres e é independente do meio onde estas estão situadas. 
 
Fórmula geral: ∫
pi
=ε= R2o aR4
dQED
 (Unidade: C/m2) 
 
onde dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração de cargas. 
 
3.2 – A LEI DE GAUSS 
 
“O fluxo elétrico (líquido) que atravessa qualquer superfície fechada é igual a carga total interna 
envolvida por esta superfície”. 
 
A expressão matemática é dada por: 
∫ ==Ψ
S
internatotal QSd.D (Unidade: C) 
onde, 
∫ρ=
.vol
vinterna dvQ (Nota: No SI: inttotal Q=Ψ ) 
 
3.3 – APLICAÇÃO DA LEI DE GAUSS – GAUSSIANA 
 
Gaussiana (def.): É uma superfície especial com as seguintes propriedades: 
(i) É uma superfície fechada; 
(ii) Em cada um de seus pontos D é tangencial ou D é normal. Assim, 
se 0SdDSdD =⇒⊥ • ; (Neste caso D é tangencial à gaussiana) 
se dSDSdDSd//D =⇒ • (Neste caso D é normal à gaussiana) 
(iii) Em todos os pontos onde Sd//D , a magnitude de D é constante. 
 
Cálculo de D , aplicando a lei de Gauss (e gaussiana), para os seguintes casos especiais: 
 
a) Carga pontual Q 
 
Para uma gaussiana esférica de raio R 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
Como Sd//D e .cteD = em todos pontos da gaussianaD (área da esfera) = Q 
D 4piR2 = Q 
Logo: 
2R4
QD
pi
=
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 16 
Em forma vetorial: 
R2 aR4
QD
pi
=
 ( D é inversamente proporcional ao quadrado da distância) 
 
b) Filamento retilíneo ∞∞∞∞ com dLdQL =ρ = constante 
 
Para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ 
 
∫ =•gaussianaS int
QSdD (Lei de Gauss) 
D (área lateral do cilindro) = ρL L 
D 2piρL = ρL L 
 
Logo: 
piρ
ρ
=
2
D L
 
 
Em forma vetorial: 
ρ
piρ
ρ
= a
2
D L
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
c) Cabo coaxial ∞∞∞∞ com os condutores central (+Q) e externo (–Q) com ρρρρs constante 
 
Aplicando a lei de Gauss para uma gaussiana cilíndrica de raio ρ (ver figura), 
∫ =•
gaussianaS int
QSdD 
temos as seguintes situações: 
i) Se ρ < a ⇒ D = 0, pois a carga interna é nula 
ii) Se ρ > b ⇒ D = 0, pois a carga interna líquida é nula (blindagem eletrostática) 
iii) Se a < ρ < b (gaussiana tracejada) ⇒ D 2pi ρ L = +Q 
Daí obtemos: 
L2
QD
piρ
=
 
 
Sendo a carga uniformemente distribuída, com densidade superficial de carga ρS no 
condutor central, podemos re-aplicar a lei de Gauss, obtendo-se: 
D 2pi ρ L = ρS 2pi a L 
 
piρ
ρ
=
ρ
ρ
=
2
D Ls
a
 onde 
aa pi
ρ
=
pi
===ρ
2L2
Q
S
Q
dS
dQ L
s 
 
sendo ρL a densidade linear de carga no condutor central. 
 
 
Em forma vetorial: 
 
ρρ
piρ
ρ
=
ρ
ρ
= a
2
aD Ls
a
 ( D é inversamente proporcional à distância) 
 
Nota: Observar a semelhança com a fórmula de D para a linha ∞, obtida acima. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 17 
3.4 – DIVERGÊNCIA 
 
 
 
Seja A um vetor qualquer expresso por: 
zzyyxx aAaAaAA ++= 
 
aplicado ao vértice A(x,y,z) do pequeno volume retangular da figura acima dado por: 
zyxv ∆∆∆=∆ 
 
Definindo divergência de um vetor A , ou div A , com notação matemática A•∇ , como: 
 
v
SdA
limA S
0v ∆
=∇
•
•
∫
→∆
 (Nota: O resultado desta operação é um escalar.) 
 
onde ∇ representa o operador vetorial “nabla” ou “del”. 
 
Para a superfície que envolve o pequeno volume retangular da figura acima temos: 
SdASdA 
DCGHABFEBCGFADHEEFGHABCD SSSSSSS
•• ∫∫∫∫∫∫∫ +++++= 
 
Cálculo da 1a e da 2a integral do 2o membro (fluxo de A na direção x): 
zy)x(Adzdy)x(A)a(dSa)x(ASdA xx
yy
yy
zz
zz
xABCDxx
SABCD
∆∆−≅−=−= ∫ ∫∫∫
∆+
=
∆+
=
•• 
zyx
x
A)x(Azy)xx(Adzdy)xx(ASdA Xxxx
yy
yy
zz
zzSEFGH
∆∆




 ∆
∂
∂
+≅∆∆∆+≅∆+= ∫ ∫∫
∆+
=
∆+
=
• 
 
Somando estas duas integrais, obtemos o fluxo líquido de A na direção x como: 
zyx
x
ASdA x
SS EFGHABCD
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
 
Similarmente a estas duas integrais, obtemos os fluxos líquidos de A nas direções y e z como: 
zyx
y
A
SdA y
SS BCGFADHE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
zyx
z
ASdA z
SS DCGHABFE
∆∆∆
∂
∂
≅+ •∫∫ 
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CCaappííttuulloo IIIIII:: DDEENNSSIIDDAADDEE DDEE FFLLUUXXOO EELLÉÉTTRRIICCOO,, LLEEII DDEE GGAAUUSSSS EE DDIIVVEERRGGÊÊNNCCIIAA 18 
Somando as 3 expressões anteriores, obtemos o fluxo total líquido que sai do pequeno volume: 
zyx
z
A
y
A
x
ASdA zyx
S
∆∆∆






∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
≅•∫ 
 
Substituindo esta última expressão na equação que define a divergência e simplificando, obtemos: 
z
A
y
A
x
AA zyx
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ •
 
 
Se A é substituído pelo vetor densidade de fluxo elétrico D e aplicado a definição de divergência: 
 v
0v
S
0v dv
dQ
v
Qlim
v
SdD
limD ρ==
∆
∆
=
∆
=∇
→∆→∆
•
•
∫
 
 
Assim obtemos uma importante equação da eletrostática: 
vD ρ=∇ • (1a equação de Maxwell da eletrostática) 
 
onde ρv representa a fonte de fluxo (divergência) de D . 
 
Notas: 
0D >∇ • ⇒ A região é fonte de fluxo ou a carga líquida da região é positiva. 
0D <∇ • ⇒ A região é sorvedoura de fluxo ou a carga líquida da região é negativa. 
0D =∇ • ⇒ A região não é fonte nem sorvedoura de fluxo ou a carga líquida é nula. 
 
 
3.5 – TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 
 
Da lei de Gauss, temos que: intS QSdD =•∫ 
Mas, sabemos que: dvQ v
vol
int ρρρρ∫= 
E também: Dv •∇=ρ 
 
Logo, juntando todas as expressões, obtemos: 
 
∫ ∫∇= ••
S vol
dv DSdD
 (Teorema da divergência de Gauss) 
 
sendo S a área que envolve o volume vol, ou vol o volume envolvido pela área S. 
 
Notas: 
1. O teorema da divergência pode ser aplicado a qualquer campo vetorial. 
2. O operador vetorial ∇ é somente definido em coordenadas cartesianas pela expressão: 
zyx a
z
a
y
a
x ∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇ 
Logo, não existe uma expressão para ∇ em coordenadas cilíndricas, nem em esféricas. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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3.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
3.1) Seja ρV = α r/ [C/m3] de r = 0 a r = R em coordenadas esféricas. Determinar D em todo o 
espaço. 
 
Resposta: r5
r2
aD α= [C/m2] para 0 < r < R e r2
2
r5
RR 2
aD α= [C/m2] para Rr ≥ . 
 
3.2) Uma carga com densidade linear uniforme ρL = k [ηC/m] está distribuída sobre o semi-eixo 
positivo de z. No plano z = 0, uma outra carga com densidade superficial ρS = k/(2piρ) 
[ηC/m2] é distribuída. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa o cilindro ρ = a [m], 
cujas bases estão situadas sobre os planos z = a e z = – a (a > 0). 
 
Resposta: ak2T =Ψ [ηC ]. 
 
3.3) O plano z=0 contém uma distribuição superficial uniforme de carga com ρS = 10 [ηC/m2]. 
Determinar a quantidade de linhas de fluxo que atravessa o triângulo formado pelos pontos A 
(0,2,0), B (2,0,2) e C (–2,0,2). 
 
Resposta: 20=Ψ [ηC ]. 
 
3.4) Determinar o fluxo elétrico líquido total que sai da porção de um cilindro definido por: 
 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ φ ≤ pi/2, 0 ≤ z ≤ 3, devido as seguintes condições: 
a) uma carga distribuída no interior da porção do cilindro com densidade volumétrica de 
carga dada por ρv = 4xyz2 [C/m3], sendo que ρv = 0 no exterior da porção de cilindro. 
b) a mesma quantidade de carga do item anterior, porém sendo toda ela concentrada na 
origem. 
 
Respostas: a) 72 [C]; b) 9 [C]. 
 
3.5) Seja 2v x6=ρ [µC/m3] na região – 1≤ x ≤ 1 [m] e ρv = 0 fora desta região. Determinar: 
a) A densidade de fluxo elétrico D na região 0 ≤ x ≤ 1 [m]; 
b) A densidade de fluxo elétrico D na região x > 1 [m]; 
c) A densidade de fluxo elétrico D na região –1 ≤ x ≤ 0 [m]; 
d) A densidade de fluxo elétrico D na região x < -1 [m]. 
 
Respostas: a) x3x2 aD = [µC/m2]; b) x 2 aD = [µC/m2]; c) x3x2 aD = [µC/m2]; 
d) x 2 aD −= [µC/m2]. 
 
3.6) Determinar o fluxo total que atravessa um cubo de lado a = 1 [m], centrado na origem e 
arestas paralelas aos eixos coordenados para cada uma das seguintes situações: 
a) Uma carga pontual Q = 20 [ηC] situada na origem; 
b) Uma linha infinita de cargas com densidade ρL = 20 [ηC/m] situada sobre o eixo x. 
Repetir a questão e calcular o fluxo que atravessa a face superior do cubo nas duas situações. 
Respostas: a) 20T =Ψ [ηC ]; b) 20T =Ψ [ηC ] ea) 3
10
T =Ψ [ηC ]; b) 5T =Ψ [ηC ]. 
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3.7) Seja ( )z1z8v −=ρ [C/m3] para 0 < z < 1, ( )z1z8v +=ρ [C/m3] para – 1 < z < 0 e 
0v =ρ para o restante do espaço. Determinar D em todo o espaço usando a Lei de Gauss. 
Respostas: 0=D para z ≤ –1, ( ) z23 1z3z234 aD −+⋅= [C/m3] para –1 < z < 0, 
 ( ) z23 1z3z234 aD −+−⋅= [C/m3] para 0 < z < 1, 0=D para z ≥ 1. 
 
3.8) Determinar o quantidade de fluxo elétrico devido a uma carga pontual Q na origem que passa 
através das superfícies esféricas definidas por: 
a) raio = r, estendendo de θ = 30o a θ = 60o, e de φ = 0o a φ = 360o; 
b) raio = 2r, estendendo de θ = 0o a θ = 90o, e de φ = 0o a φ = 90o. 
 
Respostas: a) ( )[ ] Q183,0Q4/13 =−=ψ ; b) ψ = Q/8 
 
3.9) Seja uma distribuição de carga no espaço onde ρV = K/r C/m3 para r < 2R e ρV = 0 para 
r > 2R, sendo K uma constante positiva. 
a) Determinar a carga total contida dentro da esfera de raio r = R; 
b) Determinar a densidade de fluxo elétrico que sai da superfície esférica r = R. 
 
Respostas: a) 2
.int KR2Q pi= ; b) ra2
KD = 
 
3.10) Uma carga pontual Q =24pi µC está localizada na origem, uma carga de densidade 241s −=ρ 
µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = a = 0,5 m, e uma carga de densidade 
242s =ρ µC/m2 está distribuída na superfície esférica r = b = 1 m. 
Determinar D em todas as regiões. 
 
Resposta: r2 ar
6D = µC/m2 para r < 0,5 m; 0D = para 0,5 ≤ r < 1 m; 
r2 ar
24D = µC/m2 para r ≥ 1 m 
 
3.11) Uma linha infinita de carga uniformemente distribuída com densidade m/C1L =ρ está 
colocada sobre o eixo y. Determinar o fluxo elétrico total que atravessa as seguintes 
superfícies: 
(a) a porção do plano z = 1 m, limitada por –1 < x < 1 m e –1 < y < 1 m; 
(b) a esfera de raio r = 1 m, centrada na origem. 
 
Respostas: a) ψ = 0,5 C; b) ψ = 2 C. 
 
3.12) a) Calcular a carga total em todo o espaço se a densidade volumétrica de carga é expressa em 
coordenadas esféricas como 233v )r/(1 a+=ρ , sendo a uma constante. 
b) Qual é o raio da esfera, centrada na origem, com densidade volumétrica de carga constante, 
ρv = 8 , que contém a mesma carga total do item anterior. 
 
Respostas: a) 
3T 3
4Q
a
pi
= ; b) 
a2
1
r = . 
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Capítulo IV 
 
ENERGIA E POTENCIAL 
 
4.1 – ENERGIA (TRABALHO) PARA MOVER UMA CARGA PONTUAL EM UM 
CAMPO ELÉTRICO 
 
Observando a figura, e adotando La como um vetor unitário na direção de Ld , tem-se: ( ) ( ) LdFdLaFLdaaFLdFLdFdW ...... ELELLEEaplicada L −=−=−=−== 
 
Substituindo EQFE = , chega-se a: 
LdEQdW .−= 
 
Integrando, obtém-se o trabalho (energia) necessário para mover uma carga Q desde o início (ponto 
B) até o final (ponto A) de uma trajetória, sob a ação do campo elétrico E , dado por: 
 
LdEQW .
)A(Final
)B(Início
∫−= 
 
onde ∫ = 0LdE. , pois o trabalho do campo eletrostático 
depende apenas das posições inicial e final da trajetória. 
 
Nota: Na eletrostática, o campo elétrico é conservativo. 
 
4.2 – DEFINIÇÃO DE DIFERENÇA DE POTENCIAL (VAB) E POTENCIAL (V) 
 
A diferença de potencial VAB entre 2 pontos A e B é definida como sendo o trabalho necessário 
para movimentar uma carga pontual unitária positiva desde B (tomado como referência) até A. 
 
Q
WVAB = ⇒ ∫−=
A
BAB LdEV . (FÓRMULA GERAL) 
 
Como o campo elétrico E é conservativo (na eletrostática), tem-se, para 3 
pontos A, B e C: 
VAB = VAC – VBC 
 
Os potenciais “absolutos” VA e VB são obtidos adotando-se uma mesma 
referência zero de potencial. Se, por exemplo, VC = 0, pode-se escrever VAB = VA – VB 
 
4.3 – O POTENCIAL DE UMA CARGA PONTUAL 
 
Supondo-se a carga na origem, tem-se, aplicando a fórmula geral: 
A
B
A r
AB r r2B r
0
QV E dL a dr a
4 r
. .= − = −
piε
∫ ∫ 
 
AB A B
0 A B
Q 1 1V V V
4 r r
 
= − = − 
piε  
 
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Se B → ∞ ⇒ VB → 0 ⇒ A
0 A
QV
4 r
=
piε
 (potencial absoluto) 
 
Escrevendo de forma genérica, o potencial absoluto devido a uma carga 
pontual Q fora da origem é: 
 
0
QV
4 R
=
piε
 
 
sendo R a distância da carga pontual Q ao ponto desejado. 
 
 
4.4 – O POTENCIAL DE UM SISTEMA DE CARGAS DISTRIBUÍDAS 
 
Para uma carga distribuída, com referência zero no infinito: 
 
0
dQ
4 RV piε= ∫ 
 
onde: dQ = ρL dL= ρsds = ρvdv, dependendo da configuração 
de cargas, 
rrRR ′−== = distância (escalar) de dQ ao ponto 
fixo P onde se quer obter V 
 
 
4.4.1 – VAB de uma reta ∞∞∞∞ com ρρρρL constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
L
AB
0
V a d a
2
.
ρ
ρ ρρ
ρ
= − ρ
piε ρ∫
 
 
L B
AB
0 A
V ln
2
ρ ρ
=
piε ρ
 
 
 
 
4.4.2 – VAB de um plano ∞∞∞∞ com ρρρρs constante 
 
Partindo de ∫−= ABAB LdEV . , obtemos: 
A
B
z s
AB z zz 0
V a dz a
2
.
ρ
= −
ε∫
 
 
( )sAB B A
0
V z z
2
ρ
= −
ε
 
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4.5 – GRADIENTE DO POTENCIAL ( V∇ ) 
 
O gradiente de uma função escalar (ex. V) é 
definido matematicamente por: 
 
 NadN
dVV =∇
 (resultado = vetor) 
 
onde dV, dN e Na
�
 são mostrados na figura. 
GaGa
cosdL
dV
a
dN
dVV NNN
�
==
θ
==∇ 
 
Daí, dVcosGdL =θ ⇒ dVLdG =•
��
 
onde: 
Nzzyyxx aGaGaGaGG =++=
���
�
 
Lzyx adLadzadyadxLd =++= 
dz
z
Vdy
y
Vdx
x
VdV
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
= 
sendo: 
Ld
�
 = vetor comprimento diferencial medido numa direção qualquer, 
dN = dLcosθ = menor distância entre as 2 superfícies equipotenciais V1 e V2. 
 
Assim, obtemos a expressão do gradiente em coordenadas cartesianas: 
zyx a
z
V
a
y
V
a
x
VVG ���
��
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂
=∇=
 
 
Propriedades do gradiente de uma função escalar V: 
 
a) V∇ é normal a V 
b) V∇ aponta no sentido do crescimento de V 
 
Logo V∇ é um vetor que dá a máxima variação no espaço de uma quantidade escalar (módulo do 
vetor) e a direção em que este máximo ocorre (sentido do vetor). 
 
Se V = função potencial elétrico, então: 
 
VE ∇−=
 ( E está apontado no sentido decrescente de V). 
 
 
Exemplo: Utilizando gradiente, determinar a expressão de E para uma carga pontual na origem. 
 
Solução: O potencial de uma carga pontual na origem (no vácuo) é: 
0
Q
4 r
=
piε
V 
 Tomando o gradiente de V, em coordenadas esféricas, sabendo-se que V = f(r): 
e fazendo VE ∇−= ⇒ r r2
0
V Q 1E a a
r 4 r
∂ − 
= − = −  ∂ piε  
�
� �
 ⇒ r2
0
QE a
4 r
=
piε
�
�
 
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4.6 – O DIPOLO ELÉTRICO 
 
É um sistema com 2 cargas pontuais iguais e simétricas (figura c) bem próximas tal que d < < r, 
sendo d a distância (separação) entre as cargas e r a distância do centro do dipolo a um ponto P 
desejado. 
 
 
Cálculo do potencial no ponto P devido ao dipolo na origem: 
 
P
0 1 0 2
Q QV
4 r 4 r
+ −
= +
piε piε
 
P
0 1 2
Q 1 1V
4 r r
 
=− 
piε  
 
2 1
P
0 1 2
r rQV
4 r r
 
−
=  
piε  
 
 
Sendo d << r, fazemos θ≅− cosdrr 12 e 221 rrr ≅ . Daí, 
p 2
0
Qd cosV 
4 r
θ
=
piε
 
 
Campo elétrico no ponto P devido ao dipolo elétrico na origem: 
 
( )r3
0
QdE 2cos a sen a
4 r θ
= θ + θ
piε
 (obtido de VE ∇−= ) 
 
Definindo momento de dipolo elétrico como dQp = , onde d é o vetor cuja magnitude é a 
distância entre as cargas do dipolo e cuja direção (e sentido) é de –Q para +Q: 
 
r
p 2
0
p a
V
4 r
.
=
piε
 
 
Notas: 
a) Com o aumento da distância, o potencial e o campo elétrico 
caem mais rápidos para o dipolo elétrico do que para a carga 
pontual. 
b) Para o dipolo elétrico fora da origem, o potencial é dado por: 
R
p 2
0
p a
V
4 R
.
=
piε
 
 
onde: 
Ra = versor orientado do centro do dipolo ao ponto desejado; 
R = distância do centro do dipolo ao ponto desejado. 
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4.7 – ENERGIA NO CAMPO ELETROSTÁTICO 
 
4.7.1 – Energia (trabalho) para uma distribuição discreta de cargas 
 
 
 
WE = trabalho total para trazer 3 cargas Q1, Q2, Q3 do ∞ e fixá-las nos pontos 1, 2, 3, nesta ordem: 
 
WE =W1 + W2 + W3 
WE = 0 + Q2 V2,1 + Q3 V3,1 + Q3 V3,2 (i) 
 
Nota: V2,1 = potencial no ponto 2 devido à carga Q1 no ponto 1 (V2,1 ≠ V21) 
 
Se as 3 cargas forem fixadas na ordem inversa, isto é, fixando Q3, Q2, Q1, nos pontos 3, 2, 1, temos: 
WE = W3’ + W2’ + W1’ 
WE = 0 + Q2 V2,3 + Q1 V1,2 + Q1 V1,3 (ii) 
 
(i) + (ii): 2WE = Q1 V1 + Q2 V2 + Q3 V3 
( )332211E VQVQVQ2
1W ++= 
 
Para N cargas: ∑
=
=
N
1i
iiE VQ2
1W
 [J] 
 
 
4.7.2 – Energia (trabalho) para uma distribuição contínua de carga 
 
Para uma região com distribuição contínua de carga, substituímos Qi da fórmula acima pela carga 
diferencial dQ = ρvdv e a somatória se transforma numa integral em todo o volume de cargas. 
∫ρ=
vol
vE Vdv2
1W
 [J] 
 
Pode-se demonstrar que o trabalho pode ser também expresso em função de D e/ou E como: 
 
dvED
2
1W
vol
E ∫= • ou 
2
E 0
vol
1W E dv
2
= ε∫ ou 
2
E
0vol
1 DW dv
2
=
ε∫ 
 
 
Nota: A densidade de energia do campo elétrico no vácuo pode ser obtida pelas expressões: 
2
2E
0
0
dW 1 1 1 DD E E
dv 2 2 2
•= = ε =
ε
 [J/m3] 
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Ex. 1 Calcular a energia WE armazenada num pedaço de cabo coaxial de comprimento L e 
condutores interno e externo de raios a e b, respectivamente, supondo que a densidade 
superficial de carga uniforme no condutor interno é igual a ρρρρs. 
 
Supondo uma gaussiana cilíndrica no interior do dielétrico (vácuo) de raio a < ρ < b, e 
aplicando a lei de Gauss ( int
S
QSdD =∫ • ), obtemos: 
ρ
ρ
=⇒piρ=piρ aa ss DL2L2D 
Substituindo na equação de energia obtida acima: 
( )2L 22 s
E
0 0vol z 0 0
/1 D 1W dv d d dz
2 2
pi
= φ= ρ=
ρ ρ
= = ρ ρ φ
ε ε∫ ∫ ∫ ∫
b
a
a
 
[ ]
2 2
s
E
0
1W 2 L
2
ρ
= ρ pi
ε
b
a
a ln 
 
Daí, obtemos finalmente: 
2 2
s
E
0
LW pi ρ=
ε
a bln
a
 
 
Ex. 2 Calcular a energia WE armazenada num capacitor de placas paralelas no vácuo, sendo V a 
diferença de potencial entre as placas iguais de área S e separadas por uma distância d. 
Supor o campo elétrico entre as placas uniforme desprezando os efeitos de bordas. 
 
Da equação de energia obtida acima, e sabendo que V = E d, obtemos: 
2
2 0
E 0
1 VW E dv dv
2 2 d
ε  
= ε =  
 
∫ ∫ ⇒ 
20
E
S1W V
2 d
ε
=
 
 
Tomando a expressão da capacitância do capacitor de placas 
paralelas ideal (cap. 5), teremos: 
2
E CV2
1W =
 onde 0SC
d
ε
= 
 
4.8 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
4.1) Três cargas pontuais idênticas de carga Q são colocadas, uma a uma, nos vértices de um 
quadrado de lado a. Determinar a energia armazenada no sistema após todas as cargas serem 
posicionadas. 
Resposta: ( )24
8
QW
o
2
E +⋅
piε
=
a
 [J]. 
 
4.2) Seja uma carga distribuída ao longo da porção |z| < 1 m do eixo z, com densidade linear de 
carga ρL = kz [ηC/m]. Determinar: 
a) O potencial em um ponto qualquer sobre o plano z = 0; 
b) O potencial em um ponto do eixo z situado a uma altura h = 2 m do plano z = 0. 
 
Respostas: a) VA = 0; b) VB = 1,775 [kV]. 
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4.3) Um quadrado de vértices A(0,0,0), B(0,1,0), C(1,1,0) e D(1,0,0), possui uma distribuição 
linear uniforme de carga com densidade ρL = 10 [pC/m] ao longo do lado AB, uma carga 
pontual Q1 = 1 [pC] no vértice C, uma carga pontual Q2 = -10 [pC] no vértice D. Determinar, 
no centro P do quadrado: 
a) O potencial elétrico devido a cada uma das três cargas; 
b) O potencial elétrico total devido às três cargas. 
 
Respostas: a) VP1 = 0,0127 [V], VP2 = – 0,127 [V], VL = 0,1584 [V]; b) VPT = 0,044 [V]. 
 
4.4) Um campo elétrico é dado em coordenadas cilíndricas por: � �E a V
m
=




100
2ρ ρ
 
Conhecidos os pontos A(3,0,4), B(5,13,0) e C(15,6,8), expressos em coordenadas cartesianas, 
determinar: 
 a) A diferença de potencial VAB; 
 b) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto B; 
 c) O potencial VA se a referência zero de potencial está no ponto C; 
 d) O potencial VA se a referência zero de potencial está no infinito. 
 
Respostas: a) VAB = 26,15 [V]; b) VA = 26,15 [V]; c) VA = 27,14 [V]; d) VA = 33,33 [V]. 
 
4.5) Uma superfície esférica no espaço livre, definida por r = 4 cm, contém uma densidade 
superficial de carga de 20 [µC/m2]. Determinar o valor do raio rA,, em centímetros, se a região 
compreendida entre as esferas de raios r = 6 cm e r = rA contém exatamente 1 mJ de energia. 
 
Resposta: rA = 6,54 [cm]. 
 
4.6) O campo potencial no vácuo é expresso por V = k/ρ. 
a) Determinar a quantidade de carga na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. 
b) Determinar a energia armazenada na região cilíndrica a < ρ < b e 0 < z < 1. 
 
Respostas: a) 





−⋅=
ab
11k2Q opiε ; b) 






−⋅=
22
2
oE
11k
2
1W
ba
piε . 
4.7) Uma linha de cargas uniforme de 2 m de comprimento com carga total de 3 nC está situada 
sobre o eixo z com o ponto central da linha localizado a +2 m da origem. Num ponto P sobre 
o eixo x, distante +2 m da origem, pede-se: 
a) Determinar o potencial elétrico devido a linha de cargas; 
b) Determinar o potencial elétrico se a carga total for agora concentrada no ponto central da 
linha; 
c) Calcular e comentar sobre a diferença percentual entre os dois valores de potencial obtidos. 
 
Respostas: a) VPL = 9,63 V; 
b) VPQ = 9,55 V; 
c) (VPQ – VPL)x100%/VPQ = -0,83 % 
Uma carga concentrada produz um potencial menor do que esta mesma carga 
distribuída, caso sejam iguais as distâncias dos centros destas cargas ao ponto 
desejado. 
 
4.8) Uma carga Q0 = +10 µC está colocada no centro de um quadrado de lado 1 m e vértices A, B, 
C, D. Supondo o meio o vácuo, determinar o trabalho necessário para: 
a) Mover a carga QA = +10 µC do infinito até fixá-la no vértice A do quadrado; 
b) Mover também a carga QB = –20 µC do infinito até fixá-la no vértice B do quadrado; 
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CCaappííttuulloo IIVV:: EENNEERRGGIIAA EE PPOOTTEENNCCIIAALL28 
c) Finalmente mover também a carga QC = +30 µC do infinito até fixá-la no vértice C do 
quadrado. 
 
Respostas: a) WA = 1,271 J; b) WB = –4,340 J; c) WC = 0,327 J. 
 
4.9) a) Determinar o potencial VP no ponto P(2, 0, 0) devido a uma carga total Q = 2 nC 
distribuída uniformemente ao longo do eixo y, de y = 0 até y = 2 m. 
b) Supondo que a mesma carga total Q = 2 nC seja agora concentrada num ponto, determinar 
em que posição esta deverá ser colocada ao longo do eixo y para produzir o mesmo 
potencial VP no ponto P(2, 0, 0) obtido no item (a). 
 
Respostas: a) VP = 7,9324 V; 
b) y = ± 1,072 m. 
 
4.10) a) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A 
e B devido a uma carga pontual Q, no vácuo. (Supor a carga na origem.) 
 b) Determinar a fórmula para o cálculo da diferença de potencial entre 2 pontos quaisquer A 
e B devido a uma carga distribuída uniformemente numa linha infinita com densidade ρL, 
no vácuo. 
 c) Uma carga com densidade linear constante ρL está distribuída sobre todo o eixo z e uma 
carga pontual Q está localizada no ponto (1, 0, 0). Sejam os pontos A(4, 0, 0), B(5, 0, 0) 
e C(8, 0, 0). Se VAB = VBC = 1 volt, determinar os valores numérico de ρL e de Q. O 
meio é o vácuo. 
 
Respostas: a) 





−
piε
=
BAo r
1
r
1
4
Q
ABV ; 
b) 
A
B
o
L ln
2 ρ
ρ
piε
ρ
=ABV ; 
c) 81,86L −=ρ pC/m; Q = 1800,04 pC 
 
4.11) Sabendo-se que ( )222 yxln4z20yx2 +−+=V V, no vácuo, determine o valor das seguintes 
grandezas no ponto P(6; -2,5; 3): 
a) V; b) E ; c) D ; d) ρv. 
 
Respostas: a) 135P −=V [V]; b) zyxP a20a5,72a1,61E −−= [V/m]; 
c) zyxP a177a642a541D −−= [pC/m2]; d) 5,88v =ρ [pC/m3]. 
 
4.12) Um dipolo z1 a20p = nC.m, localiza-se na origem, no vácuo, e um segundo dipolo 
z2 a50p −= nC.m localiza-se em (0, 0, 10). 
Determine V e E no ponto médio entre os dipolos. 
 
Resposta: 2,25M =V [V]; zM a32,4E −= [V/m]. 
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CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA
 
5.1 – CORRENTE (I) E DENSI
 
A corrente elétrica (convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por:
dt
dQI =
 > 0 (Unidade de corrente: C/s ou A)
 
A densidade de corrente de convecção
volume (nuvem) de cargas com densidade volumétrica 
vJ vρ= (Unidade de densidade de corrente: A/m
 
Para um condutor com densidade de carga dos elétrons 
velocidade de arrastamento (“drift speed”) 
( ) (EvJ eede −=µ−ρ=ρ=
 
Definindo eeµρ−=σ como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente:
 
EJ σ= → densidade de corrente de condução
 
A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade 
que o sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa.
 
Líquido ou gás
Condutor
Semicondutor
µ = mobilidade da carga (sempre +) [m
ρ = densidade volumétrica de carga (
h → 
e → elétron
 
 
Relação entre corrente e densidade de corrente (ver figura):
 
A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por (ver figura):
dSJdI N= (de onde tem
θ=θ= coscos dSJdSJdI 
SdJdI •= 
 
Daí, ∫= •s SdJI 
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Capítulo V 
 
CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA
CORRENTE (I) E DENSIDADE DE CORRENTE ( J ) 
(convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por:
(Unidade de corrente: C/s ou A) 
densidade de corrente de convecção J (uma grandeza vetorial) representa o movimento de um 
volume (nuvem) de cargas com densidade volumétrica ρv (em C/m3) numa velocidade 
(Unidade de densidade de corrente: A/m2) 
m densidade de carga dos elétrons ρv = ρe, onde os elétrons se deslocam com 
velocidade de arrastamento (“drift speed”) Evv ed µ−== (µe = mobilidade dos elétrons), tem
) Eeeµρ− 
como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente:
densidade de corrente de condução (Forma pontual da Lei de Ohm)
A tabela a seguir mostra as expressões para cálculo da condutividade σ de vários meios. O
sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa.
Meio Condutividade σσσσ [S/m] 
Líquido ou gás σ = – ρ
–
 µ
–
 + ρ+ µ+ 
Condutor σ = – ρe µe 
Semicondutor σ = – ρe µe + ρh µh 
= mobilidade da carga (sempre +) [m2/(V s)] 
= densidade volumétrica de carga (±) [C/m3] 
lacuna ou buraco (do inglês “hole”) 
elétron 
Relação entre corrente e densidade de corrente (ver figura): 
A corrente dI que atravessa uma área dS é dada por (ver figura): 
(de onde tem-se: 
dS
dIJ N = ) 
 
29 
CONDUTORES, DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 
(convencional) representa o movimento de cargas positivas e é expressa por: 
(uma grandeza vetorial) representa o movimento de um 
) numa velocidade v (em m/s). 
, onde os elétrons se deslocam com 
= mobilidade dos elétrons), tem-se: 
como condutividade do condutor (em S/m), obtemos finalmente: 
(Forma pontual da Lei de Ohm) 
de vários meios. Observe 
sinal menos é compensado pelo valor negativo da densidade volumétrica de carga negativa. 
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5.2 – CONTINUIDADE DA CORR
 
A corrente através de uma superfície 
igual a razão do decréscimo de cargas 
região – princípio da continuidade
 
 
dt
dQSdJ
s
I i−== •∫ 
 
onde +
dt
dQi
= razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície.
 
Aplicando o teorema da divergência à expressão acima, obtemos:
 
 
t
J v
∂
ρ∂
−=∇ •
 
 
“A corrente ou carga por segundo que sai 
de decréscimo de carga p
 
 
5.3 – CONDUTORES METÁLICOS
 
Definição de resistência de um condutor qualquer:
 
∫σ
∫−
==
•
•
s
a
bab
SdE
LdE
I
V
R
 
 
Para um condutor que possui seção reta uniforme
cilíndrico da figura, com área S e comprimento 
E
SdE
LdE
I
V
R
s
0
ab
σ
=
∫σ
∫−
==
•
•
�
 
 
Exemplo: Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura, para 
 
⇒
ρ
=
ρφ== E
k
h
I
S
IJ
k
dzdk
dk
R
h
0 0
b
a


σ
=
∫ ∫ φρρ
∫ ρ
σρ
=
φ
ρ
ρ
 
 
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CONTINUIDADE DA CORRENTE 
A corrente através de uma superfície fechada (fluxo de cargas positivas para fora da superfície) é 
de cargas positivas (ou acréscimo de cargas negativas) no interior da 
continuidade. Matematicamente, expressamos como: 
(Forma integral da equação da continuidade)
= razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície.
ivergência à expressão acima, obtemos: 
(Forma pontual da equação da continuidade)
“A corrente ou carga por segundo que sai (diverge) de um pequeno volume é igual a razão 
de decréscimo de carga por unidade de volume em cada ponto.” 
CONDUTORES METÁLICOS – RESISTÊNCIA (R) 
de um condutor qualquer: 
 [Ω] (parâmetro positivo) 
seção reta uniforme (condutor 
cilíndrico da figura, com área S e comprimento � ): 
SE
E
σ
�
 ⇒ 
S
R
σ
=
�
 
Calcular R para o condutor em forma de cunha da figura, para J (ou I) no sentido radial.
ρ
σρ
=
σ
= a
kJ
 
h
ln
hk
lnk
a
b
b
a
σφ






ρ
ρ
=φ

ρ
σ
ρ
ρ
 
30 
(fluxo de cargas positivas para fora da superfície) é 
(ou acréscimo de cargas negativas)no interior da 
(Forma integral da equação da continuidade) 
= razão (taxa) de acréscimo (incremento) de cargas no tempo dentro da superfície. 
(Forma pontual da equação da continuidade) 
de um pequeno volume é igual a razão 
(ou I) no sentido radial. 
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5.4 – O MÉTODO DAS IMAGENS
 
Aplicação: Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição 
deste por uma superfície equipotencial mais as 
 
 
 
Exemplo: Calcular o campo elétrico 
 
Aplicando o método das imagens, temos:
21 EEE += 
 
onde 1E e 2E são os campos no ponto P 
devido, respectivamente, a carga objeto 
(carga original) e a carga imagem.
Assim, 
 
1 2
2o
2
R2
1o
1 a
R4
Q
a
R4
Q
E
piε
+
piε
=
onde: 
11R R/Ra 1 = , sendo R
22R R/Ra 2 = , sendo 
 
Substituindo os valores, temos:
104
10
2
aa
2
36
104
1010E zy9
9
pi
−
+
−
pi
pi
×
=
−
−
( ) (zy a1010
90
aa
22
90E −−=
 
Daí: zy a35,40a97,28E −=
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O MÉTODO DAS IMAGENS 
Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição 
deste por uma superfície equipotencial mais as cargas imagens, como ilustra a figura.
Calcular o campo elétrico E no ponto P(0,1,1) m, para a configuração mostrada abaixo.
Aplicando o método das imagens, temos: 
são os campos no ponto P 
devido, respectivamente, a carga objeto 
(carga original) e a carga imagem. 
2Ra 
zy1 aaR −= o vetor distância orientado de Q
, sendo zy2 a3aR += o vetor distância orientado de Q
valores, temos: 
10
a3a
10
36
10
1010 zy
9
9 +
pi
×
−
−
 
) ( ) ( )zyzyzy a3a85,2aa82,31a3a +−−=+ 
z [V/m] (Nota: Conferir o sentido de E na figura)
31 
Na solução de problemas envolvendo um plano condutor aterrado pela substituição 
cargas imagens, como ilustra a figura. 
 
no ponto P(0,1,1) m, para a configuração mostrada abaixo. 
o vetor distância orientado de Q1 = Q a P, 
o vetor distância orientado de Q2 = –Q a P. 
 
na figura) 
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5.5 – A NATUREZA DOS MATER
 
Polarização P é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:
 
limp
v
1limP
v
vn
1i
i
0v
=∑
∆
=
→∆
∆
=→∆
 
onde n é o número de dipolos elétricos por unidade de volume 
A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico 
 
∫ •= SdDQ (
 
Por analogia, pode-se também relacionar o campo 
sendo esta carga chamada de carga de polarização
 
∫ •−= SdPQP (
 
A lei Gauss em termos da carga total
 
∫ •ε= SdEQ oT 
 
onde: 
QT = Q + QP = soma da carga livre com a carga de polarização
εo = 8,854×10-12 = permissividade elétrica do vácuo
 
Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que 
relaciona os 3 campos D , E e P
 
PED o +ε= 
 
 
Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem
 
EP oeεχ= [C/m2] 
 
sendo χe é a suscetibilidade elétrica do material
constante é relacionada com a permissividade elétrica relativa
εR, (grandeza também adimensional) através da expressão:
1Re −ε=χ 
 
Combinando estas 3 últimas equações obtém
 
ED ε=
 
 
onde: 
oR εε=ε 
 
sendo ε a permissividade elétrica absoluta
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A NATUREZA DOS MATERIAIS DIELÉTRICOS – POLARIZAÇÃO (P)
é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é:
v
plim total
0 ∆→
 (Unidade: C/m2 – mesma unidade de 
é o número de dipolos elétricos por unidade de volume ∆v 
A lei de Gauss relaciona a densidade de fluxo elétrico D com a carga elétrica livre
(Nota: D sai ou diverge da carga livre positiva
se também relacionar o campo P com uma carga, QP, que produz este campo, 
carga de polarização. 
(Nota: P sai ou diverge da carga de polarização
carga total, QT, (lei de Gauss generalizada) é expressa por:
= soma da carga livre com a carga de polarização 
permissividade elétrica do vácuo (unidade: F/m)
Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que 
P , para qualquer tipo de meio: 
(Nota: No vácuo 0P = ) 
Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem
 
suscetibilidade elétrica do material (constante adimensional, 
permissividade elétrica relativa (ou constante dielétrica) do material, 
, (grandeza também adimensional) através da expressão: 
Combinando estas 3 últimas equações obtém-se: 
permissividade elétrica absoluta do material, dada em F/m. 
32 
POLARIZAÇÃO (P) 
é definido como sendo o momento elétrico total por unidade de volume, isto é: 
mesma unidade de D ) 
carga elétrica livre, Q, isto é: 
positiva) 
, que produz este campo, 
carga de polarização negativa) 
ressa por: 
(unidade: F/m) 
Substituindo as cargas pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral que 
Para um material linear, homogêneo e isotrópico (mesma propriedade em todas as direções) tem-se: 
(constante adimensional, χ lê-se “csi”). Esta 
(ou constante dielétrica) do material, 
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Relações usando as densidades volumétricas de carga livre, 
polarização, ρP, e de carga total, ρ
 
dvQ vv ρ∫= 
dvQ PvP ρ∫= 
dvQ TvT ρ∫= 
 
 
5.6 – CONDIÇÕES DE CONTORN
Condição de contorno para as componentes tangenciais:
Para o pequeno percurso fechado retangular da figura, pode
0LdE
retângulo
=•∫ 
 
Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos:
0LELE 2t1t =∆−∆ ⇒ E
 
Condição de contorno para as componentes normais:
Para o pequeno cilindro da figura, pode
interna
cilindro
QSdD =•∫ 
 
Fazendo 0h →∆ (tendendo a fronteira), obtemos:
(i) Para a fronteira com carga (
SDSD S2n1n ρ=∆−∆
 
(ii) Para a fronteira sem carga (
2n1n DD = (Neste caso D
 
 
Relação de contorno se o meio 2 for um 
 
Componentes tangenciais:
Componentes normais: D
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Relações usando as densidades volumétricas de carga livre, ρv (ou simplesmente 
ρT: 
ρ=∇ • D v 
PP ρ−=∇ • 
ToE ρ=ε∇ • 
CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA MATERIAIS DIELÉTRICOS PERFEITOS
 
componentes tangenciais: 
Para o pequeno percurso fechado retangular da figura, pode-se aplicar: 
(válida para o campo E conservativo)
(tendendo a fronteira), obtemos: 
2t1t EE = ⇒ 2t1t EE = (Et é contínuo) 
Condição de contorno para as componentes normais: 
Para o pequeno cilindro da figura, pode-se aplicar: 
(Lei de Gauss) 
ndo a fronteira), obtemos: 
carga (ρS ≠ 0): 
SS∆ ⇒ S2n1n DD ρ=− (Neste caso D
carga (ρS = 0): 
(Neste caso Dn é contínuo) 
Relação de contorno se o meio 2 for um condutor perfeito (σ2 → ∞ ⇒ E2 = D2
Componentes tangenciais: 0E 1t = ⇒ 0D 1t = (as comp. tangenciais se anulam)
s1nD ρ= ⇒ 1s1n /E ερ= (existem somente comp. normais)
33 
(ou simplesmente ρ), de carga de 
LÉTRICOS PERFEITOS 
 
conservativo) 
(Neste caso Dn é descontínuo) 
2 = 0): 
(as comp. tangenciais se anulam)(existem somente comp. normais) 
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5.7 – CAPACITÂNCIA 
 
Qualquer dispositivo formado por 2 condutor
forma um capacitor (figura) cuja 
 
∫−
∫ ε
==
+
−
•
•
LdE
SdE
V
QC s
o
 
 
 
 
5.8 – EXEMPLOS DE CÁLCULO 
 
Análise do capacitor de placas planas paralelas:
 
adzaE
adSaE
V
QC
zz
0
d
zz
S
0
o ∫−
ε∫
==
•
•
 
Observe também as fórmulas: 
EdVo = 
SS
QED ρ==ε= 
 
onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal.
 
 
Ex. 1: Carrega-se um capacitor de placas pla
constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações 
instantâneas sofridas por: W
a) O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com 
b) A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d
 
Solução do caso 1(a) – ver figura abaixo
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Qualquer dispositivo formado por 2 condutores separados por um dielétrico 
forma um capacitor (figura) cuja capacitância é definida como: 
 [F] (parâmetro positivo) 
EXEMPLOS DE CÁLCULO DE CAPACITÂNCIA 
Análise do capacitor de placas planas paralelas: 
( )d0E
SE
z
z
−−
ε
= ⇒ 
d
SC ε=
 
onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal.
se um capacitor de placas planas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão 
constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações 
instantâneas sofridas por: WE, D, E, C, Q, V, e ρs, quando: 
O espaço livre entre as placas é substituído por um dielétrico com εR
A fonte de tensão é removida com as placas afastadas tal que d2 = 3d
ver figura abaixo: 
 
V2 = V1 = V (mesma fonte de tensão)
E2 = E1 (E = V/d) 
D2 = 3 D1 (D = εR ε0 E) 
C2 = 3 C1 (C = εR ε0 S/d) 
ρS2 = 3 ρS1 (ρS = DN = D) 
Q2 = 3 Q1 (Q = ρS S) 
W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou W = (1/2) 
34 
onde os campos E e D são considerados constantes no dielétrico do capacitor ideal. 
nas paralelas no espaço livre com uma fonte de tensão 
constante. Desconsiderando os efeitos de bordas (capacitor ideal), determinar as variações 
R = 3; 
= 3d1. 
(mesma fonte de tensão) 
ou W = (1/2) εRε0 E2 vol) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
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Solução do caso 1(b) – ver figura abaixo
 
Ex. 2: Determinar C de um capacitor coaxial
 
Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a < 
 
∫ =• ernaintQSdD 
2
QDQL2D
piρ
=⇒+=piρ
ρ
piερ
=
ε
= a
L2
QDE 
∫
=ρ piερ
−==
a
babo aL2
QVV
Vln
L2
QV o
a
b
o ⇒


 ρ
piε
−
=
)a/bln(
L2
V
QC
o
piε
==
 
Ex. 3: Determinar C de um capacitor esférico
 
Para uma gaussiana esférica de raio a < r < b 
 
∫ =• ernaintQSdD 
2
2
r4
QDQr4D
pi
=⇒=pi 
r2 ar4
QDE
piε
=
ε
= 
∫
=
piε
−==
a
br 2abo ar4
QVV
=⇒


−
piε
−
= V
r
1
4
QV o
a
b
o
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
EESS,, DDIIEELLÉÉTTRRIICCOOSS EE CCAAPPAACCIITTÂÂNNCCIIAA
 
 
ver figura abaixo: 
 
 
Q2 = Q1 (fonte de tensão removida)
ρS2 = ρS1 (ρS = Q/S) 
D2 = D1 (D = DN = ρS) 
E2 = E1 (E = D/ε0) 
C2 = C1/3 (C = εR ε0 S/d) 
V2 = 3V1 (V = Q/C ou V = E d)
W2 = 3 W1 (W = (1/2) C V2 ou W = (1/2) 
 
 
 
capacitor coaxial de raios a e b (a < b). 
Para uma Gaussiana cilíndrica de raio a < ρ < b e comprimento L 
L
Q
piρ
 
ρρ ρ• ada 
a
bln
L2
Q
piε
= 
) 
capacitor esférico de raios a e b (a < b). 
Para uma gaussiana esférica de raio a < r < b 
 
• rr adra 






−
piε b
1
a
1
4
Q
o
 
35 
(fonte de tensão removida) 
(V = Q/C ou V = E d) 
ou W = (1/2) εRε0 E2 vol) 
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CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE
b
1
a
1
4
V
QC
o
−
piε
==
 (Se b 
 
Ex. 4: Determinar C de uma linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos
 
Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio 
de permissividade ε, conforme mostrado na figura abaixo.
 
Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido 
com carga uniformemente distribuída é dada por:
A
BL
AB ln2
V
ρ
ρ
piε
ρ
= (
 
Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o 
potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é: 
L
1
0L
PO ln2
ln
2
V
piε
ρ
−
ρ
ρ
piε
ρ
=
 
onde: ρ1 e ρ10 = ρ0 são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente;
ρ2 e ρ20 = ρ0 são as menores distâncias do fio 2 (carga 
 
Da figura tem-se: 
 ( ) 221 yax +−=ρ 
 ( ) 222 yax ++=ρ 
 
Substituindo (03) e (04) em (02) e fazendo V
 
( )
( ) 22
22
L
yax
yaxln
2
V
+−
++
piε
ρ
=
 
Seja V = V1 = constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no 
espaço em que V = V1 é obtido fazend
 
( )
( )
/V4
22
22
e
yax
yax L1
=
+−
++ ρpiε
onde k1 é uma constante arbitrária dependente de V
 1
L
1 kln4
V
piε
ρ
= 
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Se b → ∞ ⇒ a4C piε= = capacitância do capacitor esférico isolado)
linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos
Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio 
, conforme mostrado na figura abaixo. 
Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido 
com carga uniformemente distribuída é dada por: 
(ρA e ρB são as menores distâncias do fio aos pontos A e B)
Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o 
potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é: 
1
2L
2
0 ln
2
ln
ρ
ρ
piε
ρ
=
ρ
ρ
 
são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente;
são as menores distâncias do fio 2 (carga –) aos pontos P e O, respectivamente.
stituindo (03) e (04) em (02) e fazendo VPO = V (com a referência V0 = 0 implícita), obtém
( )
( ) 22
22
L
2
2
yax
yaxln
4 +−
++
piε
ρ
= 
= constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dos pontos no 
é obtido fazendo: 
1k= 
é uma constante arbitrária dependente de V1 e expressa por: 
36 
apacitância do capacitor esférico isolado) 
linha de transmissão com dois fios infinitos paralelos 
Seja uma configuração condutora constituída por 2 fios (infinitos) paralelos, situados em um meio 
 
Foi visto no capítulo 4 que a diferença de potencial entre 2 pontos A e B devido a um fio infinito 
são as menores distâncias do fio aos pontos A e B) (01) 
Para os 2 fios infinitos paralelos da figura, com cargas simétricas com densidade linear uniforme, o 
potencial do ponto P(x, y, 0) em relação a um ponto qualquer O (referência) no plano x = 0, é: 
(02) 
são as menores distâncias do fio 1 (carga +) aos pontos P e O, respectivamente; 
) aos pontos P e O, respectivamente. 
(03) 
(04) 
= 0 implícita), obtém-se: 
(05) 
= constante, uma superfície equipotencial. Então, o lugar geométrico dospontos no 
(06) 
(07) 
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CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE
Desenvolvendo a expressão (06) temos:
 
( )2221 xyaax2xk =++−
 
( ) ( ) (1kax21kx 112 ++−−
 ( ya
1k
1k
ax2x 22
1
12 ++
−
+
−
 
2
2
1
1
k
a2
y
1k
1k
ax




=+





−
+
−
 
A equação (08) representa uma circunferência centrada em:
 
1k
1k
ahx
1
1
−
+
==
 e 0y =
e raio: 
 
1k
ka2
br
1
1
−
==
 
 
De (09), pode-se isolar k1, do seguinte modo:
 akahhk 11 +=− 
 
( ) ahahk1 +=− 
 
ah
ahk1
−
+
= 
 
Substituindo (11) em (10): 
 
ah
ah
a21
ah
ahb
−
+
=





−
−
+
 
 
ah
ah
a2
ah
a2b
−
+
=
−
 
 ( ) ah
ah
ah
b
2
2
−
+
=
−
 
 ah
ah
b2
+=
−
 
 
222 ahb −= 
 
22 bha −= 
 
Substituindo agora (12) em (11) e racionalizando o denominador:
22
22
1
h
h
bhh
bhhk
−
+
=
−−
−+
=
 
ou 
 
2
22
1 b
bhhk








−+
= 
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Desenvolvendo a expressão (06) temos: 
222 yaax2x +++ 
( )( ) 01kya 122 =−+ 
) 0= 
2
1
1
1k
ka




−
 
A equação (08) representa uma circunferência centrada em: 
0
 
, do seguinte modo: 
 
Substituindo agora (12) em (11) e racionalizando o denominador: 
( )222
2
22
22
22
22
22
bhh
bhh
bhh
bhh
bh
bh
−−





−+
=
−+
−+
×
−
−
37 
(08) 
(09) 
(10) 
(11) 
(12) 
2
2
22
2
b
bhh 




−+
= 
(13) 
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Substituindo (13) em (07): 
 
b
bhhln
4
V
22
L
1 



−+
piε
ρ
=
 
De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no 
potencial V = V1 e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver 
figura abaixo). Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por:
 
 
0V
L
V
QC
1
L
o −
ρ
== ⇒ C
 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito 
pequeno e igual a b) e um plano condutor, separados por uma distância h:
 
C
 
A expressão (15) também permite
cilíndricos nos potenciais V1 e –
2h (ver figura abaixo). 
 
Esta capacitância, obtida pela definição e da aplicação do método das i
metade do valor encontrado em (15), isto é:
 
 
2)V(V
L
V
Q
'C
11
L
o
ρ
=
−−
ρ
==
 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios 
muito pequenos e iguais a b), separados por uma distância 2h 
transmissão: 
 
C
 
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b
bhhln
2
22
L
2
2
−+
piε
ρ
=




 
De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no 
e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver 
figura abaixo). Esta pode ser obtida pela definição de capacitância por: 









−+
piε
=
bbhhln
L2C
22
 
h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito 
pequeno e igual a b) e um plano condutor, separados por uma distância h: 
( )bh2ln
L2C piε=
 
A expressão (15) também permite obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores 
–V1 (cargas simétricas), separados um do outro por uma distância 
Esta capacitância, obtida pela definição e da aplicação do método das imagens, corresponde a 
metade do valor encontrado em (15), isto é: 
2
C
V2
L
1
L
= ⇒ 









−+
piε
=
bbhhln
L
'C
22
 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios 
muito pequenos e iguais a b), separados por uma distância 2h – configuração de uma linha de 
( )bh2ln
L
'C piε=
 
38 
(14) 
De (14) podemos obter a capacitância de um capacitor formado por um condutor cilíndrico no 
e um plano condutor no potencial V = 0, separados por uma distância h (ver 
(15) 
h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por um fio condutor (de raio muito 
(16) 
obter a capacitância do capacitor formado por 2 condutores 
(cargas simétricas), separados um do outro por uma distância 
magens, corresponde a 
(17) 
Para b << h, obtém se a capacitância de um capacitor formado por 2 fios condutores (de raios 
configuração de uma linha de 
(18) 
 
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5.9 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
 
5.1) Uma carga está distribuída. com densidade linear de carga 
segmento que se estende do ponto (0,0,
plano z = 0 existe um plano condutor bastante grande, pede
a) Determinar a densidade superficial de carga na origem;
b) Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição 
no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a).
Respostas: a) 2S 9
2
a
−
=ρ [
 
5.2) Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de 
permeabilidades relativas ε
[ηC] situada na origem. 
dielétricos perfeitos (Dn1 = D
a) O campo elétrico na região 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1);
b) O campo elétrico na região 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1);
c) O ângulos formados pelos dois campos com a direção normal ao plano z = 1.
Respostas: a) 2(
5
59E1
�
⋅=
c) θ1 = 63,44o e 
 
5.3) A região 1, definida por 0 < 
relativa εR1 = 2, enquanto que a região 2, definida por 
material dielétrico de permissividade relativa 
elétrico na região 1 é dada por 
a) 2nD
�
; 
 
Respostas: a) φ= a4D 2n
��
; b) 
d) 2 a5,4P
��
+= ρ
 
5.4) A superfície de separação entre dois dielétricos é expressa pela equação do plano dada por: 
1z
4
y
3
x
=++ . O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa 
dielétrico 2 possui pemissividade relativa 
elétrico uniforme expresso por 
condições de contorno, quando necessário):
a) 2na (versor normal ao plano do lado da região 2); b) 
 
Respostas: a) 4(
13
1
2n aa ⋅=
c) (t2 13
1E ⋅=
e) (t1 913
1E ⋅=
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EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
Uma carga está distribuída. com densidade linear de carga ρL = pi/z [
segmento que se estende do ponto (0,0,a) ao ponto (0,0,3a), sendo a > 0. Sabendo que sobre o 
plano z = 0 existe um plano condutor bastante grande, pede-se: 
Determinar a densidade superficial de carga na origem; 
Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição 
no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a).
[ηC/m2]; b) aln3
2
3
z = = 1,5722a [m]. 
Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de 
εR1 = 2 e εR2 = 4. A região 1 contém uma carga pontual de 10 
C] situada na origem. Determinar, a partir das condições de contorno para materiais 
= Dn2 e Et1 = Et2), o seguinte: 
O campo elétrico na região 1, aplicado ao ponto (0, 2, 1); 
O campo elétrico na região 2, aplicado ao ponto (0, 2, 1); 
los formados pelos dois campos coma direção normal ao plano z = 1.
)aa2 zy
��
+ [V/m]; b) )aa4(
10
59E zy2
���
+⋅= [V/m]; 
e θ2 = 75,96o. 
A região 1, definida por 0 < φ < pi/4 rad, contém um material dielétrico de permissividade 
= 2, enquanto que a região 2, definida por pi/4 < φ < pi
material dielétrico de permissividade relativa εR2 = 4. Sabendo-se que a densidade de fluxo 
é dada por z1 a5a4a3D
����
++= φρ [ηC/m2], determinar, na região 2:
 b) 2tD
�
; c) 2D
�
; d) 
; b) z2t a10a6D
���
+= ρ ; c) 2 10a4a6D
���
++= φρ
za5,7a3
��
++ φ . 
A superfície de separação entre dois dielétricos é expressa pela equação do plano dada por: 
. O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa 
dielétrico 2 possui pemissividade relativa εR2 = 4. Na região do dielétrico 2 existe um campo 
elétrico uniforme expresso por yx2 3aaE += . Determinar os seguintes parâmetros (usando as 
condições de contorno, quando necessário): 
(versor normal ao plano do lado da região 2); b) n2E ; c) t2E ; d) 
)123 zyx aaa ++ ; b) 1234(
13
1
yxn2 aaE ++⋅=
)( zyx 12369 aaa −+ ; d) ( xn1 413
2
aE ⋅=
)( zyx 12369 aaa −+ . 
39 
/z [ηC/m], ao longo do 
> 0. Sabendo que sobre o 
Se esta carga linearmente distribuída fosse concentrada em um ponto, determinar a posição 
no eixo z que ela deveria ser colocada para obter a mesma solução de (a). 
Suponha que o plano z = 1 m separa o espaço em duas regiões com dielétricos de 
= 4. A região 1 contém uma carga pontual de 10 
Determinar, a partir das condições de contorno para materiais 
los formados pelos dois campos com a direção normal ao plano z = 1. 
[V/m]; 
/4 rad, contém um material dielétrico de permissividade 
pi/2 rad, contém outro 
se que a densidade de fluxo 
], determinar, na região 2: 
d) 2P
�
; 
za10
�
; 
A superfície de separação entre dois dielétricos é expressa pela equação do plano dada por: 
. O dielétrico 1 contém a origem e possui permissividade relativa εR1 = 2 e o 
= 4. Na região do dielétrico 2 existe um campo 
. Determinar os seguintes parâmetros (usando as 
; d) n1E ; e) t1E . 
)12 za ; 
)zy 123 aa ++ ; 
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5.5) Seja um condutor plano no potencial zero situado uma distância 
cilíndrico, de raio b, no potencial V
o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de 
cargas (supondo uniforme) e 
a) A capacitância (a partir da definição) entre o condutor plano e o 
b) A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio 
simétricos ±V1, com seus eixos separados por uma distância 2
c) Repetir os itens (a) e (b) supondo 
 
Respostas: a) 




 +
=
h
1
ln
C
c) ( bh2ln
L 2C1
piε
=
 
5.6) a) Determinar a expressão que fornece a diferença de potencial V
no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante 
b) Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V 
no ponto P eqüidistante entre o plano condutor (com V 
[C/m]. 
c) Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico 
resultante E neste mesmo ponto P.
 
Respostas: a) 
piε
ρ
=
o
L
AB 2
V
 
5.7) Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q
situadas em (0, a, 0) e (2a, 
= 0. Determinar (em função de Q, 
a) O potencial elétrico no ponto P(
b) O vetor campo elétrico no ponto P(
c) O vetor força resultante sobre a carga Q
 
Respostas: a) VP = 0; b) E
 
5.8) Um condutor de cobre (condutividade 
truncada, de dimensões 2 < 
 Se ρρ
aE �
� 410−
=
 [V/m], no interior do condutor, determinar:
a) A corrente total que atravessa o condutor;
b) A resistência do condutor,
c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades.
Respostas: a) I = 121,47 [A]; b) R = 1,475 [
c) Pb 540V = ,
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Seja um condutor plano no potencial zero situado uma distância h do eixo de um condutor 
, no potencial V1, expresso por: b
hh 2L
1 ln2
V +
piε
ρ
=
o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de 
cargas (supondo uniforme) e ε a permissividade elétrica do meio. Determinar:
A capacitância (a partir da definição) entre o condutor plano e o condutor cilíndrico acima;
A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio 
, com seus eixos separados por uma distância 2h; 
Repetir os itens (a) e (b) supondo b << h. 





−+
piε
bbh 22
L 2
; b) 





−+
piε
=
bhh 22
2
ln
L C
)b
L
 e ( )bh2ln
L C2
piε
= . 
Determinar a expressão que fornece a diferença de potencial VAB 
no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante 
Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V 
no ponto P eqüidistante entre o plano condutor (com V = 0) e a linha com 
Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico 
resultante E neste mesmo ponto P. 






ρ
ρ
A
B
o
ln ; b) VP = 50 ln3 = 54,93 [V]; c) E
(Nota: h = distância da linha infinita ao plano condutor.)
Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q
, a, 0), respectivamente, e um plano condutor aterrado (V = 0) em y
= 0. Determinar (em função de Q, a e εo): 
O potencial elétrico no ponto P(a, a, 0); 
O vetor campo elétrico no ponto P(a, a, 0); 
O vetor força resultante sobre a carga Q2. 
x2
o
P
50
525Q
aE
apiε
)( −⋅
= ; c) (
o
2
2
64
2QF ⋅=
apiε
Um condutor de cobre (condutividade σ = 71085 ⋅, [S/m]) tem a forma de uma cunha 
truncada, de dimensões 2 < ρ < 12 [cm], 0 < φ < 30o, 0 < z < 4 [cm]. 
[V/m], no interior do condutor, determinar: 
corrente total que atravessa o condutor; 
b) A resistência do condutor, 
c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades.
Respostas: a) I = 121,47 [A]; b) R = 1,475 [µΩ]; 
410−⋅ [V] ou 4Pa 10251V −⋅−= , [V]. 
40 
do eixo de um condutor 
b
b22 −
 [V], sendo ρL 
o módulo da densidade de carga (em C/m) no cilindro, no plano, ou na linha equivalente de 
a permissividade elétrica do meio. Determinar: 
condutor cilíndrico acima; 
A capacitância entre dois condutores cilíndricos paralelos, mesmo raio b e potenciais 




 b
; 
 entre 2 pontos A e B 
no espaço livre devido a uma linha infinita de carga com densidade linear constante ρL. 
Uma linha infinita de carga está paralela a um plano condutor. Determinar o potencial V 
= 0) e a linha com ρ piεL o= 100 
Para a mesma configuração do item (b) determinar a magnitude do campo elétrico 
h3
400
= [V/m]. 
: h = distância da linha infinita ao plano condutor.) 
Uma configuração de carga é constituída por duas cargas pontuais Q1 = +Q e Q2 = −Q, 
, 0), respectivamente, e um plano condutor aterrado (V = 0) em y 
)(
)
yx2
4
aa +
−
a
. 
[S/m]) tem a forma de uma cunha 
c) O valor do potencial no centro do condutor em relação a uma de suas extremidades. 
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CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE
5.9) A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 
camadas diferentes de dielétricos, dispostas como na figura abaixo (
dielétrico, S = área, a = comprimento). Determinar:
a) As capacitâncias individuais dos três capacitores formados (C
total resultante (CT); 
b) As diferenças de potencialexistentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V
c) As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos, isto é E
d) As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos, isto é D
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas: a) CC 21 ==
b) VV 21 ==
d) DD 21 ==
 
5.10) Um arco, carregado com carga distribuída com densidade constante 
um círculo de raio a. Sabendo
apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico (
obtido no centro do círculo formado pelo arco.
 
Resposta: y
o
L aE
apiε
ρ−
= .
 
5.11) A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de 
raios a e b, respectivamente, é dada pela expressão: 






piε
=
a
bln
L 2C , onde ε representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores.
Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura 
desprezível, comprimento L e raios 
dielétrico de permissividade 
dielétrico de permissividade 
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A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 
camadas diferentes de dielétricos, dispostas como na figura abaixo (ε
= comprimento). Determinar: 
acitâncias individuais dos três capacitores formados (C1, C2 
As diferenças de potencial existentes nos dielétricos 1 e 2, isto é V1 e V
As magnitudes dos campos elétricos nos três dielétricos, isto é E1, E2 
As magnitudes das densidades de fluxo nos três dielétricos, isto é D1
a
S
2 o
ε
, 
a
S
C o3
ε
=
 e 
a
S
2C oT
ε
= ; 
2
V
; c) 
a2
VE1 = ,
a4
VE 2 = e 
a3
VE3 = ; 
a2
Voε
 e 
a
V
D o3
ε
= . 
Um arco, carregado com carga distribuída com densidade constante ρL representa a metade de 
. Sabendo-se que este arco está em pé, com apenas suas extremidades 
apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico (
obtido no centro do círculo formado pelo arco. 
. (Nota: Adotou-se o plano condutor situado sobre y = 0)
A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de 
, respectivamente, é dada pela expressão: 
representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores.
Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura 
desprezível, comprimento L e raios a, 2a e 4a. Entre os condutores interno e central existe um 
elétrico de permissividade ε1 = εo, e entre os condutores central e externo existe um 
dielétrico de permissividade ε2 = 2εo. 
41 
A região entre as placas planas de um capacitor de placas paralelas é constituída por 3 
ε = permissividade do 
 e C3) e a capacitância 
e V2; 
2 e E3; 
1, D2 e D3. 
representa a metade de 
com apenas suas extremidades 
apoiadas sobre um plano condutor, porém isoladas deste, determinar o campo elétrico ( E ) 
situado sobre y = 0) 
A capacitância de um capacitor coaxial de comprimento L e condutores interno e externo de 
representa a permissividade elétrica do meio entre os condutores. 
Seja agora a configuração obtida com três cilindros condutores coaxiais, todos de espessura 
. Entre os condutores interno e central existe um 
, e entre os condutores central e externo existe um 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
CCaappííttuulloo VV:: CCOONNDDUUTTOORREE
a) Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração;
b) Se uma tensão V é aplicada entre os condutores interno
que surgirão entre os condutores interno e central (V
externo (V2), ambas tomadas em porcentagem de V.
 
Respostas: a) 
2ln
L2C o1
piε
=
b) V1 = 66,67% de V e V
 
5.12) A figura mostra uma concha de metal semi
(condutividade σ = 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha, 
ficando a metade mergulhada 
a) Determinar a resistência total entre a bola e a concha.
b) Se uma voltagem V0 = 1 volt for aplicada entre os dois 
condutores, calcular: 
• a corrente resultante, 
• a densidade de corrente na região entre a bola e a 
concha, supondo função somente de r,
• campo elétrico na região 
 
Respostas: a) 


piσ
=
a
1
2
1R
b) I = 2,79 A, 
 
5.13) A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço 
livre, onde na região 3, 
Determinar: 
a) εR3 
b) εR2 
c) 1E
�
 
d) a diferença de potencial através das regiões 2 e 
3. 
 
Respostas: a) εR3 = 1,339; b) 
c) z1 a004,8E =
d) V = V2 + V3 = 0,106 + 0,300 = 0,406 [V]
 
5.14) Uma esfera de raio a é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica
εR constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no 
interior e exterior da esfera são expressos, respectivamente, por:
2
cosEr3
V
R
o
int
+ε
θ
−=
 e 
a) Mostrar que intE é uniforme (isto é, possui módulo constante).
b) Mostrar que oext EE =
c) Mostrar que estes campos obedecem a
em r = a. 
Atenção: Cuidado para não esquecer o sinal negativo das expressões acima.
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Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração;
Se uma tensão V é aplicada entre os condutores interno e externo, determinar as tensões 
que surgirão entre os condutores interno e central (V1) e entre os condutores central e 
), ambas tomadas em porcentagem de V. 
, 
2ln
L4C o2
piε
= , 
2ln3
L4C o3
piε
= ; 
= 66,67% de V e V2 = 33,33% de V. 
A figura mostra uma concha de metal semi-esférica de raio b = 1 m cheia de água do mar 
= 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha, 
ficando a metade mergulhada na água. Pede-se: 
Determinar a resistência total entre a bola e a concha. 
= 1 volt for aplicada entre os dois 
 
a densidade de corrente na região entre a bola e a 
concha, supondo função somente de r, 
campo elétrico na região entre a bola e a concha. 
Ω=


− 358,0
b
1
; 
b) I = 2,79 A, r2 ar
444,0J =
 [A/m2], r2 ar
111,0E = [V/m]
A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço 
z3 a6E
��
=
 V/m e z3 a18P
��
=
 pC/m2. Se 
d) a diferença de potencial através das regiões 2 e 
= 1,339; b) εR2 = 1,512; 
z [V/m]; 
= 0,106 + 0,300 = 0,406 [V] 
é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica
constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no 
interior e exterior da esfera são expressos, respectivamente, por: 
 
θ
+ε
−ε
+θ−= cos
2
1
r
E
cosErV
R
R
2
o
3
oext
a
 
é uniforme (isto é, possui módulo constante). 
zoa para r >> a. 
Mostrar que estes campos obedecem a todas as condições de fronteira 
: Cuidado para não esquecer o sinal negativo das expressões acima.
42 
Determinar os valores das três capacitâncias obtidas com esta configuração; 
e externo, determinar as tensões 
) e entre os condutores central e 
esférica de raio b = 1 m cheia de água do mar 
= 4 S/m). Uma bola de metal de raio a = 0,1 m flutua no centro da concha, 
[V/m] 
A figura mostra dois blocos infinitos de dielétricos perfeitos e paralelos, rodeados pelo espaço 
. Se z2 a24P
��
= pC/m2. 
é feita de um dielétrico homogêneo com permissividade elétrica 
constante. A esfera está centrada na origem no espaço livre. Os campos de potencial no 
 (Eo = constante) 
fronteira do dielétrico 
: Cuidado para não esquecero sinal negativo das expressões acima. 
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Respostas: a) 
+ε
=
E3E
R
o
int
b) (oext cosEE =
c) De extE −=
 De intE ∇−=
 Logo, de ND
 
5.15) Um capacitor coaxial de raio interno 
contém duas camadas dielétricas, sendo uma na região 1 definida por 
outra na região 2 definida por 
a) Determinar a capacitância do capacitor coaxial.
b) Determinar Dρ e Eρ em 
= c
+
 (na região 2 próximo a fronteira com a região 1), sabendo
(referência) e V = 100 volts em 
 
Respostas: a) 
CC
CCC
21
21
+
=
b) D1 = 107,46 nC/m
 
5.16) Dado a ( φρ−= a210J 4 sen
(a) a região do plano x = 0, limitada por 0 < 
(b) a região do plano y = 0, limitada por 0 < 
Atenção: O problema é mais fácil de resolver em co
Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização.
 
Respostas: a) I = 20 mA; b) 
 
5.17) Sabendo as equações D =
isotrópico) 
a) Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos 
perfeitos: 
P
P
1R
2R
1t
2t
ε
ε
=
partindo das condições de contorno normal 
b) Determinar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa
qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização.
Atenção: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens.
 
Respostas: a) Demonstração; b) 
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( )θθ−θ asenacos2 r , portanto 2
E3E
R
o
int
+ε
=
) zor aEasenacos =θ−θ θ , pois =• cosaa rz
extV∇ e r=a, ( rR
R
o
ext senacos2
E3E −θε
+ε
=
intV∇ e r=a, ( )r
R
o
int asenacos2
E3E θ−θ
+ε
= θ
2N1N D= ⇒ NN intRext EE ε= e de T1T EE =
Um capacitor coaxial de raio interno a = 2 cm, raio externo b = 4 cm e comprimento L = 1 m, 
contém duas camadas dielétricas, sendo uma na região 1 definida por a < 
outra na região 2 definida por c < ρ < b com εR2 = 4. Sendo c = 3 cm, pede
Determinar a capacitância do capacitor coaxial. 
em ρ = c– (na região 1 próximo a fronteira com a região 2) e em 
(na região 2 próximo a fronteira com a região 1), sabendo-se que V = 0 em 
(referência) e V = 100 volts em ρ = a. 
pF55,202pF
51,77341,274
51,77341,274
=
+
×
= 
= 107,46 nC/m2, E1 = 6,068 kV/m, D2 = 107,46 nC/m
)φρ φ+ a2a cos [A/m2], determinar a corrente que cruza:
= 0, limitada por 0 < y < 2 cm e 0 < z < 1 cm, na direção 
= 0, limitada por 0 < x < 2 cm e 0 < z < 1 cm, na direção 
O problema é mais fácil de resolver em coordenadas cilíndricas
Fazer uma figura ilustrativa para facilitar a visualização. 
= 20 mA; b) I = 20 mA. 
PEo +ε= e ED ε= (para um dielétrico linear, homogêneo e 
Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos 
1
1
−
−
 e 
( )
( )1
1
P
P
1R2R
2R1R
1n
2n
−εε
−εε
= , 
partindo das condições de contorno normal 2n1n DD = e tangencial 
rminar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa
qual a densidade de fluxo elétrico é quatro vezes a polarização. 
: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens.
a) Demonstração; b) εR = 4/3 
43 
constante
2
= ; 
θcos e θ−=• θ senaaz ; 
)
TN extext EEa +=θ θ 
)
TN intint EE += 
2T ⇒ TT intext EE = 
= 4 cm e comprimento L = 1 m, 
< ρ < c com εR1 = 2, e 
, pede-se: 
(na região 1 próximo a fronteira com a região 2) e em ρ 
se que V = 0 em ρ = b 
= 107,46 nC/m2, E2 = 3,034 kV/m 
], determinar a corrente que cruza: 
< 1 cm, na direção xa− ; 
< 1 cm, na direção ya− . 
cilíndricas. 
(para um dielétrico linear, homogêneo e 
Demonstrar as seguintes relações para a polarização na fronteira entre 2 dielétricos 
e tangencial 2t1t EE = . 
rminar a constante dielétrica (ou permissividade elétrica relativa) εR do material no 
: Empregar somente as fórmulas dadas acima para resolver os dois itens. 
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Anotações do Capítulo V 
44 
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 45 
 
Capítulo VI 
 
EQUAÇÕES DE POISSON E DE LAPLACE 
 
6.1 – IMPORTÂNCIA DAS EQUAÇÕES DE POISSON E LAPLACE 
 
Veja no quadro abaixo uma comparação de 2 procedimentos usados para a determinação da 
capacitância de um capacitor. Os passos do primeiro são baseados nos conceitos teóricos dos 
capítulos 2 até 5, os quais dependem inicialmente do conhecimento da distribuição de carga, 
grandeza esta de difícil obtenção prática. Por outro lado, o segundo procedimento apresenta uma 
situação mais realística, a qual requer primeiramente a obtenção do potencial através das equações 
de Poisson ou Laplace. Estas equações e este novo procedimento são abordados neste capítulo. 
 
Quadro - Procedimentos para cálculo da Capacitância de um Capacitor 
Passo 
ou 
Etapa 
Procedimento I – Antigo Procedimento II – Novo 
Considera-se conhecida a (expressão da) densidade 
superficial de carga ρS de um dos condutores do 
capacitor (Nota: Se a carga deste condutor não for 
positiva, trabalhar com o módulo de ρS). 
Considera-se conhecida a expressão que fornece o 
potencial V em todos os pontos do capacitor, 
incluindo a diferença de potencial 0V entre os 2 
condutores. 
(i) 
Calcula-se a carga do condutor: 
dSQ SS ρ∫= 
Calcula-se o vetor E
�
 no dielétrico: 
VE ∇−=
��
 
(ii) Calcula-se o vetor D
�
 no dielétrico: 
QSdDS =∫ •
��
 (Gauss) 
Calcula-se o vetor D
�
 no dielétrico: 
ED
��
ε= 
(iii) 
Calcula-se o vetor E
�
 no dielétrico: 
ε= /DE
��
 
Calcula-se a densidade ρS em um condutor (de 
preferência o condutor positivo): 
condutora superfície naNS
DD
�
==ρ 
(iv) 
Calcula-se a ddp 0V entre os condutores: 
LdEVV
A
B
AB0
��
•∫−== 
Calcula-se a carga total no condutor escolhido: 
dSQ SS ρ∫= 
(v) 
Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor: 
0V
QC = 
Calcula-se, finalmente, a capacitância do capacitor: 
0V
QC = 
 
6.1.1 – Equação de Poisson 
 






∇−=
ε=
ρ=∇ •
VE
ED
D v
��
��
��
 ⇒ ( )[ ] vV ρ=∇−ε∇ • �� ⇒ ( )[ ] vV ρ−=∇ε∇ • �� 
Se a permissividade ε for constante, obtemos: 
ε
ρ
−=∇∇ vV. ou 
ε
ρ
−=∇ v2V
 Poisson 
 
6.1.2 – Equação de Laplace 
Se ainda a densidade volumétrica ρv for nula (dielétrico perfeito), obtemos: 0V2 =∇ Laplace 
 
Nota: ∇∇=∇ .2 = divergência do gradiente = (div.)(grad.) = Laplaciano ou “nabla 2” 
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 46 
6.2 – TEOREMA DA UNICIDADE 
 
“Se uma resposta do potencial satisfaz a equação de Laplace ou a equação de Poisson e 
também satisfaz as condições de contorno, então esta é a única solução possível.” 
 
 
6.3 – EXEMPLOS DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 
 
A seguir serão mostrados vários exemplos de solução da Equação de Laplace para problemas 
unidimensionais, isto é, onde V é função somente de uma única variável. Os tipos de exemplos 
possíveis são: 
1. V = f(x), sendo x coordenada cartesiana (válido também para V = f(y) e V = f(z)) 
2. V = f(ρ), sendo ρ coordenada cilíndrica 
3. V = f(φ), sendo φ coordenada cilíndrica(válido também se φ é coordenada esférica) 
4. V = f(r), sendo r coordenada esférica 
5. V = f(θ), sendo θ coordenada esférica 
 
Ex.1: Cálculo de V = f(x), sendo x coordenada cartesiana 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
x
V
2
2
=
∂
∂
 ⇒ 0
dx
Vd
2
2
= 
Integrando 1a vez: A
dx
dV
= 
Integrando 2a vez: BAxV += 
 
onde A e B são as constantes de integração que são determinadas a partir de condições de 
contorno (ou de fronteira) estabelecidas para a região em análise. 
 
Condições de contorno: x = constante ⇒ superfície plana 
Sejam: 



==
==
22
11
xxemVV
xxemVV
 
 
Substituindo acima, obtemos A e B como: 
12
12
xx
VVA
−
−
= 
e 
12
1221
xx
xVxVB
−
−
= 
Logo: 
12
1221
12
12
xx
xVxV
x
xx
VVV
−
−
+
−
−
=
 
 
 
Suponha agora que as condições de contorno sejam estabelecidas da seguinte maneira: 
 



====
====
dxxemVVV
0xxem0VV
2o2
11
 
Assim, temos: 
d
VA o= e 0B = ⇒ x
d
VV o=
 (0 ≤ x ≤ d) 
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 47 
Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor de placas // formado: 
(i) xo ad
VVE �
��
−=∇−= 
(ii) xo ad
V
ED �
�� ε
−=ε= 
(iii) 
d
V
DDD o
dx0xns
ε
====ρ
==
���
 
(iv) S
d
VSdSQ ossS
ε
=ρ=ρ∫= 
(v) 
o
o
o V
d/SV
V
QC ε== ⇒ 
d
SC ε=
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8) 
 
Ex.2: Cálculo de V = f(ρρρρ), sendo ρρρρ coordenada cilíndrica 
 
0
d
dV
d
d10V2 =





ρ
ρ
ρρ
⇒=∇ (ρ ≠ 0) 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
=
ρ
ρ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: BlnAV +ρ= 
 
Condições de contorno: ρ = constante ⇒ superfície cilíndrica 



=ρ=
=ρ=
a em VV
(refer.)b em 0V
o
 (b > a) 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
 
( )
( )a/bln
/blnVV o
ρ
=
 (a < ρ < b) 
 
 
Etapas de cálculo da capacitância C do 
capacitor coaxial formado: 
(i) ρρρ ρ=ρ
ρ−−
=
ρ∂
∂
−=∇−= a1)a/bln(
V
/b
/b
)a/bln(
aV
a
VVE o
2
o
 
(ii) ρρ
ε
=ε= a
1
)a/bln(
V
ED o 
(iii) )a/bln(a
V
D o
ans
ε
==ρ
=ρ (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) 
(iv) ∫ piε=ρ=ρ= s oss La2)a/bln(a
VSdSQ 
(v) )a/bln(
L2
V
QC
o
piε
==
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 2) 
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 48 
Ex. 3: Cálculo de V = f(φφφφ), sendo φφφφ coordenada cilíndrica 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
d
Vd1
2
2
2 =φρ (ρ ≠ 0) 
Fazendo ρ ≠ 0 ⇒ 0
d
Vd
2
2
=
φ
 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
=φ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: BAV +φ= 
 
Condições de contorno: φ = constante ⇒ superfície 
semi-plana radial nascendo em z 



α=φ=
=φ=
em VV
0 em0V
o
 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
φ
α
=
oVV
 
 
Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois planos finitos definidos por: 
φ = 0, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = 0) 
φ = α, a < ρ < b, 0 < z < h (Adotar V = Vo) 
Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: 
a
bln
α
ε
=
hC
 ) 
 
 
Ex. 4: Cálculo de V = f(r), sendo r coordenada esférica 
 
0
dr
dV
r
dr
d
r
10V 22
2
=





⇒=∇ (r ≠ 0) 
 
Integrando 1a vez: A
dr
dV
r2 = 
 
Re-arranjando e integrando 2a vez: 
 
B
r
AV +−=
 
 
Condições de contorno: r = constante ⇒ superfície esférica 



==
==
ar em VV
(refer.) b r em0V
o
 (b > a) 
 
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 49 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
b
1
a
1
b
1
r
1
VV o
−
−
=
 
 
Etapas de cálculo da capacitância C do capacitor esférico formado: 
(i) r2
o
r a
r
1
b
1
a
1
V
a
r
VVE 





−
−
−
=
∂
∂
−=∇−= 
(ii) r2
o a
r
1
b
1
a
1
V
ED
−
ε
=ε= 
(iii) ( ) 2oarns a
1
b
1
a
1
VD
−
ε
==ρ
=
 (= densidade superficial no condutor interno c/ carga +Q) 
(iv) ∫ pi
−
ε
=ρ= s
2
2
o
s a4
a
1
b
1
a
1
VdsQ 
(v) 
b
1
a
1
4
V
QC
o
−
piε
==
 (Mesmo resultado obtido na seção 5.8, Ex. 3) 
 
Ex. 5: Cálculo de V = f(θθθθ), sendo θθθθ coordenada esférica 
 
0V2 =∇ ⇒ 0
d
dV
sen
d
d
senr
1
2 =




θ
θ
θθ
 (r ≠ 0, θ ≠ 0, θ ≠ pi) 
 
Fazendo r ≠ 0, θ ≠ 0 e θ ≠ pi: 
0
d
dV
sen
d
d
=





θ
θ
θ
 
 
Integrando 1a vez: A
d
dV
sen =
θ
θ 
 
Re-arrajando e integrando 2a vez: ( )[ ] B2tglnAV +θ= 
 
Condições de contorno: θ = constante ⇒ superfície cônica 



α=θ=
pi=θ=
em VV
2 em0V
o
 (α < pi/2) 
 
Daí, obtém-se A e B e substituindo acima: 
 
( )[ ]
( )[ ]2/tgln
2/tglnVV o
α
θ
=
 
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Nota: Calcular a capacitância do capacitor formado por dois cones finitos definidos por: 
θ = pi/2, 0 < r < r1, 0 < φ < 2pi (Adotar V = 0) 
θ = α, 0 < r < r1, 0 < φ < 2pi (Adotar V = Vo) 
Desprezar os efeitos das bordas. (Resposta: ( )[ ]2tg
r2C 1
α
piε−
=
ln
 ) 
 
 
6.4 – EXEMPLO DE SOLUÇÃO DA EQUAÇÃO DE POISSON 
 
Exemplo: A região entre dois cilindros condutores coaxiais com raios a e b, conforme mostrado na 
figura abaixo, contém uma densidade volumétrica de carga uniforme ρV . Se o campo 
elétrico E e o potencial V são ambos nulos no cilindro 
interno, determinar a expressão matemática que fornece o 
potencial V na região, entre os condutores assumindo que 
sua permissividade seja igual à do vácuo. 
 
Solução: 
 
 Equação de Poisson: 
o
v2 V1V
ε
ρ
ρ
ρ
ρρ
−=





∂
∂
∂
∂
⋅=∇ 
 
 Integrando pela 1a vez: 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
ρ A
2
V
 A
2
V
o
v
2
o
v +⋅−=
∂
∂
⇒+⋅−=
∂
∂
 (01) 
 
 Porém, sabe-se que: EE −=
∂
∂
⇒
∂
∂
−==⇒
∂
∂
−=⇒∇−=
ρρρ ρ
V
 
V
 
VV EaEE (02) 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
ρ
ρ
ε
ρ
ρ
A
2
V
 
o
v +⋅−=−=
∂
∂
E (03) 
 
 1a Condição de Contorno (Obtenção de A): 0 =E para ρ = a. (04) 
 
 Substituindo (04) em (03), temos: 
 
 
2
o
v
o
v
2
A A
2
0 a
a
a ⋅
ε
ρ
=⇒−⋅
ε
ρ
= (05) 
 
 Substituindo (05) em (01), temos: 
 
 
ρε
ρρ
ε
ρ
ρ
2
o
v
o
v
22
V
 
a
⋅+⋅−=
∂
∂
 (06) 
 
 Integrando pela 2a vez: 
 
 B
222
V 2
o
v
2
o
v +⋅+⋅−= ρ
ε
ρρ
ε
ρ
lna (07) 
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 2a Condição de Contorno (Obtenção de B): 0V = para ρ = a. (08) 
 
 Substituindo (08) em (07), temos: 
 
 aaaaa
a
lnln
2
o
v2
o
v2
o
v
2
o
v
24
B B
222
0 ⋅−⋅=⇒+⋅+⋅−=
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
ε
ρ
 (09) 
 
 Substituindo(09) em (07), temos: 
 
aaaa ln
24
ln
24
V 2
o
v2
o
v2
o
v2
o
v
⋅
ε
ρ
−⋅
ε
ρ
+ρ⋅
ε
ρ
+ρ⋅
ε
ρ
−= 
 
( ) [ ]V ln
24
V 2
o
v22
o
v 




 ρ
⋅
ε
ρ
+ρ−⋅
ε
ρ
=
a
aa
 (10) 
 
 
6.5 – SOLUÇÃO PRODUTO DA EQUAÇÃO DE LAPLACE 
 
Suponha o potencial seja função das variáveis x e y de acordo com a seguinte expressão: 
 
XY)y(f)x(fV == onde )x(fX = e )y(fY = (01) 
 
Aplicando a equação de Laplace, obtemos: 
0V2 =∇ ⇒ 0
y
V
x
V
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 (02) 
 
(01) → (02): 
0
y
YX
x
XY 2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 (03) 
 
Dividindo (03) por XY: 
0
y
Y
Y
1
x
X
X
1
2
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
 
 
Separando os termos somente dependentes de x dos termos somente dependentes de y, escrevemos: 
2
2
2
2
dy
Yd
Y
1
dx
Xd
X
1
−= (04) 
 
Como )x(fX = e )y(fY = , então para que a equação (04) seja verdadeira, cada um dos membros 
de (04) deve resultar em uma mesma constante. Chamando esta constante de α2, temos: 
 
2
2
2
dx
Xd
X
1
α= (05) 
2
2
2
dy
Yd
Y
1
α−= (06) 
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Re-escrevendo (05) e (06) temos: 
 
X
dx
Xd 2
2
2
α= (07) 
Y
dy
Yd 2
2
2
α−= (08) 
 
Solução da equação (07) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: 
“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma 
constante positiva?” 
 
Solução 1: Função trigonométrica hiperbólica em seno ou co-seno. Assim: 
xhBxhAX α+α= sencos (09) 
 
Solução 2: Função exponencial. Assim: 
x'x' eBeAX α−α += (10) 
 
Solução da equação (08) pelo Método de Dedução Lógica: Basta responder a seguinte pergunta: 
“Qual é a função cuja segunda derivada é igual a própria função multiplicada por uma 
constante negativa?” 
 
Solução 1: Função trigonométrica em seno ou co-seno. Assim: 
yDyCY α+α= sencos (11) 
 
Solução 2: Função exponencial complexa. Assim: 
yj'yj' eDeCY α−α += (12) 
 
Nota: Veja no Anexo I a solução da equação diferencial (07) por série infinita de potências. 
 
Solução final da equação (01): 
 
Substituindo (09) e (11) em (01), obtemos finalmente: 
 
( )( )yDyCxhBxhAXYV α+αα+α== sencossencos
 (13) 
 
sendo que as constantes A, B, C e D são determinadas pelas condições de contorno do problema. 
 
Exemplo: Calcule o potencial na região interna da calha 
retangular da figura. São conhecidos todos os 
potenciais nos contornos metálicos da calha. 
Observe que temos, neste caso, V = f(x) f(y). 
Partir da expressão (13) obtida acima. 
 
Solução: Pela figura temos as condições de contorno: 
(i) V = 0 em x = 0, 
(ii) V = 0 em y = 0, 
(iii) V = 0 em y = d, 0 < x < c 
(iv) V = Vo em x = c, 0 < y < d 
 
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 53 
Aplicando as condições (i) e (ii) em (13) obtemos A = C = 0 e chamando BD = V1, chegamos a: 
yxhVyxhBDXYV 1 αα=αα== sensensensen (14) 
 
e aplicando a condição (iii), V = 0 em y = d, temos: 
dxhV0 1 αα= sensen ⇒ ( )…,2,1,0nd
n
=
pi
=α (15) 
 
Substituindo α de (15) em (14): 
d
yn
d
xnhVV 1
pipi
= sensen (16) 
 
Para a condição (iv) é impossível escolher um n ou V1 de modo que V = Vo em x = c, para cada 0 
< y < d. Portanto, deve-se combinar um número infinito de campos de potenciais com valores 
diferentes de n e valores correspondentes de V1, isto é, V1n. Assim, genericamente devemos ter: 
 
d
yn
d
xnhVV n1
0n
pipi
=∑
∞
=
sensen 0 < y < d (17) 
 
Aplicando agora a última condição de contorno (iv), V = Vo em x = c, 0 < y < d, obtemos: 
 
d
yn
d
cnhVV n1
0n
o
pipi
=∑
∞
=
sensen 0 < y < d (18) 
ou 
d
ynbV n
0n
o
pi
=∑
∞
=
sen 0 < y < d (19) 
onde, 
d
cnhVb n1n
pi
= sen (20) 
 
A equação (19) pode representar uma série de Fourier em seno para f(y) = V(y) = Vo em 0 < y < d 
(região de interesse) e f(y) = V(y) = –Vo em d < y < 2d, repetindo a cada período T = 2d. O gráfico 
desta função é mostrado na figura abaixo. 
 
Sendo a função ímpar, o coeficiente bn é dado por: 
 
dy
d
yn
sen)y(f
T
2b
T
0y
n
pi
∫=
=
 n=0,1,2,3,... 
ou 
( ) dy
d
yn
senV
d
1dy
d
yn
senV
d
1b o
d2
dy
o
d
0y
n
pi
−∫+
pi
∫=
==
 
 
 
Resolvendo as integrais, obtemos: 
ímparnpara
n
V4b on
pi
= (21) 
e 
parnpara0bn = 
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Substituindo bn de (21) em (20) e isolando V1n chegamos a: 
d
cnhn
V4V on1 pi
pi
=
sen
 (22) 
 
Finalmente, substituindo (22) em (17) obtemos a expressão para o potencial como: 
 
d
yn
d
xnh
d
cnhn
V4V o
ímpar
1n
pipi
pi
pi
∑=
∞
=
sensen
sen
 0 < x < c, 0 < y < d (23) 
 
ou, 
 
d
cnhn
d
yn
d
xnhV4V
ímpar
1n
o
pi
pipi
∑
pi
=
∞
= sen
sensen
 0 < x < c, 0 < y < d (24) 
 
 
6.6 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
6.1) Num meio uniforme de permissividade ε existe uma distribuição de cargas com densidade 
volumétrica ρv(r) = k, ocupando uma região esférica oca definida, em coordenadas esféricas, 
por a ≤ r ≤ b. Assumindo que o potencial seja zero em r = a, determinar pela equação de 
Laplace/Poisson, o campo elétrico ( )rE� e o potencial V(r) dentro das regiões: 
a) 0 ≤ r ≤ a; b) a ≤ r ≤ b; c) r ≥ b. 
Nota: Pode-se usar a Lei de Gauss para obter a segunda condição de contorno para E
�
. 
 
Respostas: a) ( ) 0r =E� e V(r) = 0; 
b) ( ) r2
3
 
r
r
3
k
r aE








−⋅=
a
ε
�
 e ( )








−+⋅
−
=
2
3
r2
r
3
k
rV
232 aa
ε
; 
c) ( ) r2
33
 
r3
k
r aE








−
⋅=
ab
ε
�
 e ( ) 






+−
−
⋅
ε
=
2
3
2r3
k
rV
2233 a3bab
. 
 
6.2) Na região interna entre os planos z = 0 e z = 2a foi colocada uma carga uniformemente 
distribuída com densidade volumétrica ρv. Na região externa aos planos, o meio é somente o 
vácuo. Determinar a distribuição de potenciais para: 
a) A região interna entre os planos definida por a2z0 ≤≤ ; 
Nota: A primeira condição de contorno é obtida fixando a referência de potencial zero em 
z = 0. A segunda condição de contorno é obtida verificando onde o campo elétrico 
é nulo, baseando-se na simetria da configuração de cargas. 
b) A região externa entre os planos definida por a2z ≥ . 
Nota: As condições de contorno devem ser obtidas partindo dos resultados do item 
anterior. 
Respostas: a) 





−⋅
−
= a
2
zzV
o
v
ε
ρ
; b) ( )aa 2zV
o
v
−⋅
−
=
ε
ρ
 
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 55 
6.3) Dados os campos de potencial ]V[yx3V −=′ e ( ) ]V[cos7r25V 2 θ−=′′ , pede-se: 
a) Verificar se estes campos de potencial satisfazem a Equação de Laplace; 
b) Determinar, para cada campo de potencial acima, a densidade volumétrica de carga no 
ponto P(0,5 ; 1,5 ; 1,0) no espaço livre. 
 
Respostas:a) V′ satisfaz (dielétrico perfeito) e V ′′ não satisfaz a Equação de Laplace; 
b) ρv = 0 (dielétrico perfeito) para V′ e ρv = –283,97 [pC/m3] para V ′′ . 
 
6.4) Seja ( )[ ] BA += 2tg θlnV a expressão algébrica para o cálculo do potencial elétrico no 
dielétrico entre dois cones condutores coaxiais, sendo θ o ângulo medido a partir do eixo dos 
cones e A e B duas constantes. Sejam estes cones condutores definidos por θ = 60o e θ = 
120o, separados por um espaço infinitesimal na origem. O potencial em P(r=1, θ = 
60o, φ= 90o) é 50 V e o campo elétrico em Q(r=2, θ = 90o, φ= 120o) é θa
�50 [V/m]. 
Determinar: 
a) O valor do potencial V no ponto Q; 
b) A diferença de potencial Vo entre os dois cones; 
c) O ângulo θ no qual o potencial elétrico é nulo. 
 
Respostas: a) VQ = – 4,93 [V]; b) Vo = 109,86 [V]; c) θ = 87,18o. 
 
6.5) Suponha que o espaço livre seja preenchido com uma carga distribuída com densidade 
volumétrica de carga ρV = kεox [C/m3]. Sejam os valores do quadro abaixo e 6106 k ⋅= . 
 Pede-se: 
a) Determinar as expressões matemáticas de 
V(x) e E(x); 
b) Completar os valores de V(x) e E(x) no 
quadro. 
 
Respostas: a) x1500
6
kx)x(V
3
+
−
= e 1500
2
kx)x(E
2
−= ; 
b) 
 
 
 
 
 
6.6) A figura mostra um capacitor de placas 
paralelas, com dois dielétricos (regiões) de 
permissividades relativas εR1 e εR2. 
Pede-se: 
a) Os valores das diferenças de potenciais 
V10 e V20, nas 2 regiões, em função da 
tensão da bateria Vo; 
b) As expressões matemáticas de V1(x) e 
V2(x) nas 2 regiões, determinadas a partir 
da equação de Laplace e condições de 
contorno apropriadas. 
 
Respostas: a) 
3
V
V o10 = e 3
V2
V o20 = ; b) x3
V
xV o1 d
=)( e )x2
3
V
xV o2 dd
−= ()( 
x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m] 
0 0 
5 
10 – 1200 
15 
x [mm] V(x) [V] E(x) [V/m] 
0 0 –1500 
5 7,375 –1425 
10 14,0 –1200 
15 13,125 –825 
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6.7) Um capacitor é constituído de duas placas planas condutoras situadas em φ = 0 e φ = α. As 
placas são limitadas pelos cilindros ρ = a e ρ = b e pelos planos z = 0 e z = h. Se a diferença 
de potencial entre as placas condutoras for Vo, pede-se: 
a) Determinar a expressão matemática do potencial V na região, partindo da equaçao de 
Laplace; 
b) Determinar a expressão matemática da capacitância; 
c) Dizer se é possível obter a mesma expressão da capacitância do item anterior, partindo da 
Lei de Gauss empregando uma superfície gaussiana. Justificar sua resposta; 
d) Determinar a separação que conduz a mesma capacitância do item (b) quando as placas são 
colocadas numa posição paralela, com o mesmo dielétrico entre elas. 
Nota: Assumir a permissividade do dielétrico como sendo a do vácuo. 
Respostas: a) φ
α
oVV = ; b) 
a
bh
ln⋅=
α
ε oC ; 
c) Não é possível obter uma superfície gaussiana para a solução pela Lei de 
Gauss, pois em qualquer plano radial (φ = cte), D não é constante (D = f (ρ)), 
apesar de ser normal à estes planos; 
d) ( ) ( )[ ]ablnabd α−= 
 
6.8) Num dispositivo o potencial elétrico é função somente da variável z, possuindo uma região 
com densidade volumétrica de carga ρv = ρo(z/z1) e condições de fronteira dadas por E = 0 
em z = 0 e V = 0 em z = z1. Determinar para qualquer ponto nesta região: 
a) O potencial elétrico V, 
b) O campo elétrico E� . 
 
Respostas: a) ( )313
1
o zz
z6
V −
ε
ρ−
= ; b) z2
1
o az
z2
E
ε
ρ
= 
 
6.9) a) Desenvolver as equações de Poisson e Laplace para um meio linear, homogêneo e 
isotrópico. 
 b) Sendo v = campo vetorial qualquer e f = campo escalar qualquer, demostrar a seguinte 
identidade vetorial: ( ) ( ) ( )fvvfvf ••• ∇+∇=∇ 
Sugestão: Usar o sistema de coordenadas cartesianas para facilitar sua demonstração. 
c) De que maneira deve a permissividade elétrica (ε) variar em um meio não-homogêneo sem 
carga, de modo que a equação de Laplace continue válida? 
Sugestão: Iniciar pelo desenvolvimento do item (a), supondo ε variando espacialmente 
(com a distância). Usar também a identidade vetorial do item (b). 
 
Respostas: a) Equação de Poisson: ερ−=∇ /V v2 , Equação de Laplace (ρv = 0): 0V2 =∇ ; 
b) Demonstração; 
c) Fazendo na identidade vetorial acima f = ε e Vv ∇= e tomando 0V2 =∇ 
(Laplace), obtém-se ( ) 0E =•ε∇ , logo E⊥ε∇ e a permissividade elétrica (ε) 
deve variar somente numa direção perpendicular ao campo elétrico ( )E . 
 
6.10) a) Demonstrar, partindo da equação de Laplace, que a capacitância C de um capacitor 
esférico formado por 2 superfícies condutoras esféricas de raios a e b (b > a), separadas 
por um dielétrico de permissividade elétrica ε, é dada por: 
ba
11
4C
−
piε
=
 
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b) Determinar a capacitância, CESFERA, de um capacitor esférico isolado formado por uma 
esfera de cobre de raio 9 cm, no vácuo. 
c) Se uma camada de um dielétrico uniforme (com εR = 3) de espessura d é colocada 
envolvendo a esfera de raio 9 cm do item (b), determinar d tal que a nova capacitância 
total equivalente seja 2 × CESFERA. 
Atenção: Note que a configuração final é de 2 capacitores esféricos dispostos em série. 
 
Respostas: a) Demonstração; b) CESFERA = 4piεoa = 10 pF (b → ∞); c) d = 27 cm. 
 
6.11) Dada a equação diferencial de segunda ordem 0X'xX2"X =−+ , considere uma solução na 
forma de série infinita de potências, e calcule os valores numéricos dos coeficientes a2 até a6 
desta série, sendo a0 = 1 e a1 = –2. 
Atenção: Como X é função somente de x, fazer ∑
∞
=
=
0n
n
n xX a . 
 
Respostas: a2 = 1/2, a3 = 1/3, a4 = –1/8, a5 = –1/12, a6 = 7/240. 
 
6.12) Sabendo-se que uma solução produto para a Equação de Laplace em duas dimensões é dada 
por 111 YXV = , onde 1X e 1Y são funções somente de x e y, respectivamente, verificar se 
cada uma das 5 funções dadas a seguir satisfaz ou não à equação de Laplace, justificando sua 
resposta. 
a) 11a YXV −= ; 
b) 1b YV = ; 
c) yYXV 11c += ; 
d) 11d YX2V = ; 
e) 2211e yxYXV −+= 
 
Respostas: (a) e (b) não satisfazem a Equação de Laplace. Observe que 12X∇ e 12Y∇ não 
são solucionáveis, já que não se sabe suas expressões matemáticas. Assim, não se 
pode afirmar que ( ) 0YX 112 =−∇ para (a), e nem que 0Y12 =∇ para (b); 
(c), (d) e (e) satisfazem a Equação de Laplace, já que ( ) 0YX 112 =∇ (dado) e 
também ( ) 0y2 =∇ e ( ) 022yx 222 =−=−∇ . 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVII:: EEQQUUAAÇÇÕÕEESS DDEE PPOOIISSSSOONN EE DDEE LLAAPPLLAACCEE
 
 58 
Anotações do Capítulo VI 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 59 
 
Capítulo VII 
 
CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 
 
7.1 – LEI DE BIOT-SAVART 
 
O campo magnético d H
�
 produzido pelo elemento de 
corrente contínua Ld
�
I no ponto P (ver figura) é: 
 
2R4
I
pi
×
=
RaLdHd
��
�
 ⇒ ∫
pi
×
=
2R4
I RaLdH
��
�
 (A/m) 
onde 
I dL K dS J dv
� � �
= = (ver figura) 
dL
dK I= = densidade superficial de corrente (A/m) 
dS
dJ I= = densidade (volumétrica) de corrente (A/m2) 
 
Exemplo: Calcular o campo magnético H
�
 num ponto P 
devido a um filamento retilíneo infinito com 
corrente I. 
 
Solução: ( ) ( ) 2/3222/322
zz
zadz
z
)aza(adz
Hd
+ρpi
ρ
=
+ρpi
−ρ×
=
φρ
4
I
4
I �����
 
( ) ( )
+∞
∞−
φφ∞+
∞− 







+ρρpi
ρ
=
+ρ
∫
pi
ρ
= 2/12222/322
z
az
z
adz
H
��
�
4
I
4
I
φ
piρ
= aH �
�
2
I
 
 
7.2 – LEI CIRCUITAL DE AMPÈRE (CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO) 
 
“A integral de linha de H ao longo de qualquer percurso fechado é exatamente igual à corrente 
enlaçada pelo percurso”. A expressão matemática é dada por: 
 
� �
H dL• =∫ I
 (I = corrente total enlaçada, sentido convencional) 
 
Amperiana (def.): É um percurso (caminho) especial com as seguintes propriedades: 
(i) É um percurso fechado; 
(ii) Em cada um de seus pontos H� é tangencial ou H� é normal ao percurso. Assim, 
se 0LdHLdH =⇒⊥ • ; (Neste caso H� é normal à amperiana) 
se dLHLdHLd//H =⇒ • (Neste caso H� é tangencial à amperiana) 
(iii) Em todos os pontos onde Ld//H , a magnitude de H� é constante. 
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Cálculo de H
�
, aplicando a lei circuital de Ampère (e amperiana), para alguns casos especiais: 
 
a) Condutor retilíneo ∞∞∞∞ com corrente I 
 
∫ = enlaçadaILdH
��
. 
I=φρ∫ φ
pi
=φ
φφ adaH
2
0
��
. ⇒ I=φ∫ρ
pi
φ dH
2
0
 
piρ
=φ 2
IH ⇒ φ
piρ
= aH �
�
2
I
 
 
 
b) Película plana ∞∞∞∞ com corrente com densidade superficial uniforme xxaKK �
�
= 
∫ = enlaçadaILdH
��
. 
dyKLdH x
L
0
A
D
D
C
C
B
B
A
∫=∫+∫+∫+∫
��
. 
LK0LH0LH xyy =+++ ⇒ 2KH xy = 
 
Nota: Forma geral para obtenção do campo H
�
 devido a 
uma película plana ∞ com corrente uniforme: 
naK2
1H �
��
×=
 ( H� independe da distância) 
onde na
�
 é versor normal ao plano orientado para o lado que se deseja obter H� . 
 
Ex.: Acima do plano da figura anterior: ( ) yyxyxzxx HaK21aK21aaK21H
������
=−=−=×= 
 
Atenção: Provar que o campo magnético H
�
 na região entre 2 superfícies infinitas condutoras e 
paralelas com densidades de corrente uniformes iguais e de sentidos opostos é dado por: 
naKH
���
×=
 ( H� = 0 nas regiões externas às 2 superfícies) 
 
 
c) Linha de transmissão coaxial com corrente total +I uniformemente distribuída no condutor 
central e –I no condutor externo 
∫ = enlaçadaILdH
��
. onde φ= aHH
��
 e φφρ= adLd
��
 
Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que: 
ρ < a ⇒ 2a2
H
pi
ρ
=φ I (no condutor central) 
a < ρ < b ⇒ 
piρ
=φ 2
H I (no dielétrico) 
b < ρ < c ⇒ 22
22
c
cI
b2
H
−
ρ−
piρ
=φ (condutor externo) 
ρ > c ⇒ 0H =φ (fora: blindagem magnética) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIII:: CCAAMMPPOO MMAAGGNNÉÉTTIICCOO EESSTTAACCIIOONNÁÁRRIIOO 61 
d) Solenóide de comprimento ∞∞∞∞ com uma distribuição superficial de corrente φ= aKK a
��
 
 
 
 
Para o solenóide infinitamente longo e a amperiana retangular ABCD temos: 
∫ = enlaçadaILdH
��
. ⇒⇒⇒⇒ dLKLdH a
d
0
A
D
D
C
C
B
B
A
∫∫∫∫∫ =+++
��
. ⇒⇒⇒⇒ dK000dH a=+++ 
Portanto: aKH = ⇒⇒⇒⇒ zaaKH
��
=
 
 
Se o solenóide for de comprimento finito d com N espiras nas quais flui uma corrente I, 
temos: 
d
Ka
NI
= ⇒ zad
 H �
� NI
=
 (Bem dentro do solenóide) 
 
 
e) Toróide ideal com distribuição superficial de corrente zaaKK
��
= em 0z,o =−ρ=ρ a , 
sendo ρρρρo o raio médio e a o raio da seção transversal do anel toroidal 
 
∫ = enlaçadaILdH
��
. (Lei circuital de Ampère) 
 
Para uma amperiana circular de raio ρ, tal que: 
ρ < ρo – a ⇒ 0H =φ (fora do anel) 
ρo – a < ρ < ρo + a ⇒ ρ
−ρ
=φ
ao
aKH 
Vetorialmente: φφ ρ
−ρ
= aKH oa
�� a
 
 
ρ > ρo + a ⇒ 0H =φ (fora do anel) 
 
Se este toróide possuir N espiras nos quais flui uma corrente I, temos: 
 
( )a
NI
−ρpi
=
o
a 2
K ⇒ φ
piρ
= a
2
 H �
� NI
 (Bem dentro do toróide) 
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7.3 – ROTACIONAL 
 
Seja um vetor (ou campo vetorial) qualquer expresso por: zzyyxx aAaAaAA
����
++= 
 
Definição: A componente do rotacional de A
�
 na direção da normal (versor na
� ) de uma área ∆S é 
dado por: 
( )
S
LdA
limaA.rot
0S
n ∆
•∫
=•
→∆
��
��
 
onde Ld
�
 representa o vetor diferencial de comprimento integrado ao longo do perímetro da área ∆S 
 
Para determinar uma expressão matemática para o rotacional no sistema de coordenadas 
cartesianas, seja o vetor A� aplicado no vértice da área ∆S = ∆y∆z que se situa mais próximo da 
origem, ou vértice 1 da figura mostrada ao lado. 
Neste caso, pela definição acima, temos: 
( )
zy
LdA
limaA.rot 12341
0zy
x ∆∆
∫ •
=•
→∆∆
��
��
 
 
Desenvolvendo separadamente ∫ •
12341
LdA
��
, temos: 
 
LdALdA
1
4
4
3
3
2
2
112341
����
•∫+∫+∫+∫=∫ • 
zAyz
z
A
Azy
y
AAyALdA z
y
y
z
zy
12341
∆−∆






∆
∂
∂
+−∆




 ∆
∂
∂
++∆≅∫ •
��
 
zy
z
A
y
ALdA yz
12341
∆∆






∂
∂
−
∂
∂
≅∫ •
��
 
 
Substituindo acima, obtemos, no limite, a componente do 
rotacional de A
�
 na direção do eixo x: 
( ) 






∂
∂
−
∂
∂
=•
z
A
y
A
aA.rot yzx
��
 
 
Semelhantemente, obtemos as componentes do rotacional 
de A
�
 nas direções dos eixos y e z, isto é: 
( ) 





∂
∂
−
∂
∂
=•
x
A
z
A
aA.rot zxy
��
 (ver figura) 
( ) 






∂
∂
−
∂
∂
=•
y
A
x
A
aA.rot xyz
��
 (ver figura) 
 
Combinando os 3 componentes (na forma vetorial), 
chegamos ao vetor que representa o rotacional de A
�
, 
sendo expresso por: 
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z
xy
y
zx
x
yz a
y
A
x
A
a
x
A
z
A
a
z
A
y
AA.rot ���
�








∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
+







∂
∂
−
∂
∂
= 
 
Para o vetor campo magnético zzyyxx aHaHaHH
����
++= e usando a notação de rotacional com o 
vetor nabla, pode-se escrever: 
HH.rot
���
×∇= 
 
Em coordenadas cartesianas, e somente neste sistema de coordenadas, o rotacional de um vetor 
pode ser obtido através do seguinte determinante: 
 
zyx
zyx
HHH
z/y/x/
aaa
H ∂∂∂∂∂∂=×∇
���
��
 
 
Nota: Ver no FORMULÁRIO GERAL as outras expressões do rotacional ( H�� ×∇ ) nos sistemas 
de coordenadas cilíndricas e esféricas. 
 
Aplicando novamente a definição do cálculo da componente do rotacional na direção do eixo x, 
porém agora para o vetor campo magnético, e considerando a lei circuital de Ampère, obtemos: 
 
( ) x
0zy
12341
0zy
x J
zylimzy
LdH
limaH.rot =∆∆
∆
=
∆∆
∫ •
=•
→∆∆→∆∆
xI
��
��
 
 
onde ∆Ix = corrente envolvida pelo percurso 12341, ou corrente que atravessa a área ∆Sx = ∆y∆z. 
 
De maneira análoga, obtém-se: ( ) yy JaH.rot =• �� 
( ) zz JaH.rot =• �� 
 
Daí, concluímos que o rotacional do vetor campo magnético resulta (na magnetostática) no vetor 
densidade de corrente, ou seja: 
 
JH
���
=×∇(Forma pontual da lei circuital de Ampère) 
 
Propriedades do operador rotacional: 
 
1) A divergência do rotacional de qualquer função ou campo vetorial é sempre nula. 
 ( ) 0A =×∇•∇ ���
 
 
Seja, por exemplo, HA �� = . Da expressão JH ��� =×∇ chegamos a 0J =•∇ �� . 
 
2) O rotacional do gradiente de qualquer função ou campo escalar é sempre nulo. 
 ( ) 0f =∇×∇ ��
 
Seja, por exemplo, f = -V. Da expressão V∇−= ��E chegamos a 0E =×∇ �� . 
 
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7.4 – TEOREMA DE STOKES 
 
Pela definição de rotacional, temos: 
 
( ) nS aHSLdH �
��
��
•×∇≈
∆
∫ • ∆
 
 ( ) SaHLdH nS ∆•×∇≈∫ • ∆ ����� 
 ( ) SHLdH S ����� ∆•×∇≈∫ • ∆ 
 
Somando a circulação de todos os ∆S da superfície S, chegamos na expressão matemática do 
teorema de Stokes: 
 
( )
C S
H dL H dS• = ∇× •∫ ∫
�� � � �
� 
 
Notas: 1 - O contorno C envolve a superfície S. Os vetores dL
�
 (de C) e dS
�
 devem satisfazer a 
“regra da mão direita” (com o polegar apontando dS
�
 e os outros dedos apontando dL
� ); 
 2 - O teorema de Stokes é válido para qualquer campo vetorial, e não somente o campo H
�
. 
 
7.5 – FLUXO MAGNÉTICO (ΦΦΦΦ) E DENSIDADE DE FLUXO MAGNÉTICO ( B� ) 
 
A densidade de fluxo magnético B
�
 é definida para o vácuo de permeabilidade magnética µo (sendo 
µo = 4pi ×10-7 H/m ) e o campo magnético H
�
, como: 
 
HB o
��
µ=
 (Unidade: Wb/m2) 
 
Nota: B
�
 é definido em outros meios somente a partir da seção 8.6 desta apostila. 
 
O fluxo magnético Φ que atravessa uma área S é obtido integrando B
�
 sobre a área S, isto é: 
 
Φ = •∫
� �
B dSS (Unidade: Wb) 
 
 
Exemplo: Calcular o fluxo magnético Φ entre o condutor interno (raio ρ = a) e o condutor externo 
(raio ρ = b) de uma linha coaxial de comprimento L no vácuo. 
 
Solução: φ
piρ
= aH �
�
2
I
 na região a < ρ < b 
φ
piρ
µ
=µ= aHB �
��
2
I
 
φφ ρ
piρ
µ
∫∫=∫=Φ adzdaSdB bL0
S
����
..
2
I
a
 
 
a
b
2
IL ln
pi
µ
=Φ
 [Wb] 
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Analogias entre as equações da eletrostática e da magnetostática 
ELETROSTÁTICA MAGNETOSTÁTICA 
1) Densidade de fluxo elétrico 
ED o
��
ε= (no vácuo) 
1) Densidade de campo magnético 
HB o
��
µ= (no vácuo) 
2) Fluxo elétrico 
SdDS
��
•=ψ ∫ 
2) Fluxo magnético 
SdBS
��
•=Φ ∫ 
3) Lei de Gauss da eletrostática 
intST QSdD =•=ψ ∫
��
 
3) Lei de Gauss da magnetostática 
0dSBS =•∫
�
 
4) Divergência da densidade de fluxo elétrico 
vD ρ=•∇
��
 
4) Divergência da densidade de fluxo magético 
0B =•∇
��
 
5) Rotacional do campo elétrico 
0E =×∇
��
 
5) Rotacional do campo magnético 
JH
���
=×∇ 
6) Circulação do campo elétrico 
0LdE =•∫
��
 
6) Circulação do campo magnético 
SdJILdH S
����
•==• ∫∫ 
 
 
 
7.6 – POTENCIAIS ESCALAR E VETOR MAGNÉTICOS 
 
O potencial escalar magnético Vm é definido, analogamente ao potencial eletrostático, a partir de: 
 
mVH ∇−=
��
 (Unidade de Vm: A ou Aespira) 
 
Esta expressão é definida somente na região onde 0J =
�
. (Por quê?) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
0Jem0Vm
2
==∇
��
 (Equação de Laplace para materiais homogêneos magnetizáveis) 
 
LdHV abab,m
��
•−= ∫ (Depende de percurso específico para ir de “b” até “a”) 
 
O potencial vetor magnético A
�
 é um campo vetorial tal que: 
 
� � �
B A= ∇ × que satisfaz 
� �
∇ • =B 0 (Unidade de A
�
: Wb/m) 
 
Outras expressões (obtidas por analogia com o potencial eletrostático): 
 
∫ pi
µ
=
R4
LdA
�
� I
 (Comparar com ∫ piε
ρ
=
R4
dLLV . Note que a direção de A
�
 é a mesma de Ld
�
) 
 
JA2
���
µ−=∇ (Comparar com a Equação de Poisson 
ε
ρ
−=∇ v2V
�
) 
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Exemplo: Para a região entre o condutor interno (raio ρ = a) e o 
condutor externo (raio ρ = b) da linha (ou cabo) 
coaxial do exemplo anterior, calcular: 
(a) Vm por mVH ∇−=
��
 
(b) LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= 
(c) A
�
 por BA
���
=×∇ 
 
Solução: 
 
(a) mVH ∇−=
��
 ⇒ φφ φ∂
∂
ρ
−=
piρ
a
V1
a
2
I m ��
 ⇒ 
pi
−=φ 2
I
d
dVm
 ⇒ C
2
IVm +φ
pi
−= 
 
Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), obtemos C = 0 ⇒ φ
pi
−=
2
IVm 
 
Seja um ponto P(a < ρ <b, φ = pi/4, z) situado na região entre os condutores (dielétrico) do 
cabo coaxial. Este pode ser atingido de várias maneiras, partindo da referência, mantendo os 
mesmos valores de ρ e z, e deslocando-se de um ângulo φ = ±2npi+pi/4, isto é, φ = pi/4, 
9pi/4, 17pi/4, ..., no sentido anti-horário, ou, φ = -7pi/4, -15pi/4, ... no sentido horário. 
 
Assim, o potencial VmP, com relação a referência de potencial zero em φ = 0, possui 
múltiplos valores em P, dependendo do percurso usado para chegar até P. Por exemplo: 





 pi
pi
−=
42
IVmP ou 




 pi
pi
−=
4
9
2
IVmP ou 




 pi−
pi
−=
4
7
2
IVmP , etc... 
 
Daí, pode-se concluir que o potencial escalar magnético representa um campo não-
conservativo. Lembre-se que o potencial eletrostático entre 2 pontos não depende do 
percurso ou caminho entre estes, representando assim um campo conservativo. 
 
(b) Adotando Vm = 0 em φ = 0 (referência), o potencial no ponto P(a < ρ <b, φ, z) é: 
LdHV
P
fRe
mP
��
•∫−= ⇒ φ∫
pi
−=φρ•
piρ∫
−=
φ
=φ
φφ
φ
=φ
d
2
I
ada
2
IV
00
mP
��
 ⇒ φ
pi
−=
2
IVmP 
 
(c) BA �
��
=×∇ ⇒ φφ
ρ
piρ
µ=






ρ∂
∂
−
∂
∂
a
2
I
a
A
z
A
z ��
 ⇒ 
piρ
µ=
ρ∂
∂
−
2
IAz
 
Integrando: ∫∫ ρ
ρ∂
pi
µ−=∂
2
IA z ⇒ C2
IAz +ρ
pi
µ
−= ln 
Tomando Az = 0 em ρ = b (referência), obtemos: b2
IC ln
pi
µ
= ⇒ 
ρpi
µ
=
b
2
IAz ln 
Vetorialmente: zzz a
b
2
I
aAA ��
�
ρpi
µ
== ln
 
 
Atenção: Note que A
�
 tem o mesmo sentido de za
�
 (sentido da corrente no condutor central 
pois ρ < b). Também A
�
 decresce com o aumento de ρ desde ρ = a até ρ = b. 
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7.7 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
7.1) a) Demonstrar que o campo magnético H� num ponto P devido a um filamento retilíneo de 
comprimento finito (extremidades A e B), com corrente I no sentido indicado, é dado por: 
( ) φαα
piρ
aH �
�
 
4 21
sensen +=
I
, sendo: 
α1, α2 = ângulos positivos medidos conforme indicados, 
φa
�
 = vetor unitário que define o sentido do campo no pto P, 
ρ = menor distância, na perpendicular, do ponto P ao segmento 
AB ou ao seu prolongamento. 
b) A partir da expressão de H� acima, determinar seus valores nos pontos C(0, 4, 0), D(3, 4, 
0) e E(-3, 4, 0), se o filamento for colocado sobre o eixo x, com suas extremidades A e B 
posicionadas, respectivamente, em (-3, 0, 0) e (3, 0, 0). 
c) A partir da expressão de H� acima, determinar seus valores nos mesmos pontos C, D e E, 
com o filamento sobre o eixo x, porém,agora com sua extremidade A posicionada na 
origem e sua extremidade B estendendo ao infinito. 
Respostas: a) Demonstração; 
b) zC 40
3
aH
pi
I
= [A/m], zD 208
133
aH
pi
I
= [A/m], zE 208
133
aH
pi
I
= [A/m]; 
c) zC 16 aH pi
I
= [A/m], zD 10 aH pi
I
= [A/m], zE 40 aH pi
I
= [A/m]; 
 
7.2) Um filamento de corrente muito longo está situado sobre a reta x = 5 e z = 0, possuindo uma 
corrente de 20pi [A], orientada no sentido positivo do eixo y. Determinar o campo magnético 
H
�
 (na forma vetorial) nos seguintes pontos: 
 a) O(0,0,0); b) P(0,0,5); c) Q(5,0,5); d) S(5,5,5). 
Respostas: a) zO 2 aH = [A/m]; b) zxP aaH += [A/m]; 
c) xQ 2 aH = [A/m]; d) xS 2 aH = [A/m]. 
 
7.3) Uma corrente filamentar I, no vácuo, sobre o eixo z, flui no sentido positivo do eixo. Seja um 
percurso retangular ABCDA sobre o plano z = 0, com vértices nos pontos A(a,a,0), B(-a,a,0), 
C(-a,-a,0) e D(a,-a,0). Determinar, para este percurso e utilizando o menor caminho, os 
seguintes valores: 
a) VmAB ; b) VmBC ; c) VmCD ; d) VmDA ; 
e) VmAB + VmBC + VmCD + VmDA → Concluir a respeito do valor obtido; 
f) VmAC por 2 caminhos (via B e depois via D) → Comparar os valores e concluir a respeito. 
Respostas: a) 
4
IVmAB = ; b) 4
IVmBC = ; c) 4
IVmCD = ; d) 4
IVmDA = ; 
e) IVVVV mDAmCDmBCmAB =+++ = corrente enlaçada; 
f) 
2
IV 1mAC = ≠ 2
IV 2mAC −= ⇒ Logo o sistema não é conservativo. 
 
7.4) Encontre a indução magnética no centro de um triângulo equilátero de lado a, conduzindo 
uma corrente I. 
Resposta: 
a 2
I9
B o
pi
µ
= . 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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7.5) Um toróide no espaço livre com seção transversal retangular é formado pela interseção dos 
planos z=0 e z=3 [cm] e os cilindros ρ=5 [cm] e ρ=7,5 [cm]. Uma densidade superficial de 
corrente flui na superfície interna do toróide sendo dada por z300aK
��
=int [A/m]. 
Determinar: 
a) O valor total da corrente Itotal na superfície interna do toróide; 
b) As densidades superficiais de corrente (forma vetorial) nas outras 3 superfícies do toróide, 
identificando-as por extK
�
, topoK
�
 e baseK
�
; 
c) O campo magnético H� dentro do toróide; 
d) O fluxo magnético total Φ total que circula dentro do toróide. 
 
Respostas: a) Itotal = 30pi [A]; b) zext 200aK −= [A/m], ρρ aK
15
topo = [A/m], 
ρρ
aK 15base −= [A/m]; c) φρ aH
15
= [A/m]; d) Φ total = 0,23 [µWb]. 
 
7.6) Calcular o campo magnético H� no ponto P 
da figura, admitindo que os fios são muito 
longos. 
 
Resposta: z
1
2
1
2
I
aH 





+⋅=
pia
 
 
 
7.7) Dado z2y2x2 z1xzy1x2yz aaaH )()( +−++=
�
 
a) Determinar ∫ • dLH ao longo do contorno quadrado indo de P(0, 2, 0) a A(0, 2+b, 0) a 
B(0, 2+b, b) a C(0, 2, b) a P(0, 2, 0); 
b) Determinar H×∇ ; 
c) Mostrar que ( )xH×∇ = 






∆
•∫
→∆ S0S
dLH
lim em P. 
 
Respostas: a) ∫ • dLH 3
248
4
32 bbb −−−= ; 
b) z22y2x2 )zzy2( )zyz2( )y)1x(2( aaaH −++++−=×∇ ; 
c) Demonstração (Notar que ∆S = b2 e que em P, x = 0, y = 2, z = 0). 
 
7.8) Seja uma espira circular de raio ρ = a, situada no plano z = 0, na qual circula uma corrente I 
no sentido anti-horário. Determinar no ponto P(0,0,h): 
a) O campo magnético H� ; 
b) O potencial magnético Vm, supondo a referência de potencial zero no infinito. 
Respostas: a) ( ) ( ) z2/3z2/3 a2a2H
���
22
2
22
2
ah
aI
az
aI
+
=
+
= ; b) 








+
−=
22m ah
hIV 1
2
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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7.9) Determinar no ponto P da figura abaixo, as contribuições para a intensidade do campo 
magnético H
�
causadas por I (sentido anti-horário) para: 
a) A seção semi-circular de raio a; 
b) Os 2 condutores horizontais de comprimento l, 
c) O condutor vertical de comprimento 2a, 
d) Repetir o item (b) supondo l >> a, 
e) Repetir o item (c) supondo l >> a. 
 
Respostas: a) za4
IH �
�
a
= ; b) za
2
IH �
�
22 ala
l
+pi
= ; c) za
2
IH �
�
22 all
a
+pi
= ; 
d) za2
IH �
�
api
= ; e) za2
IH �
�
2l
a
pi
= 
 
7.10) Dado φθ θ+θ= ar180a
r10H
2
���
cos
sen
, no espaço livre, determinar: 
a) H
��
×∇ ; 
b) a corrente que sai da superfície cônica θ = 30o, 0 ≤ φ ≤ 2pi, 
0 ≤ r ≤ 2, usando um dos lados do teorema de Stokes; 
c) usando o outro lado do teorema de Stokes, verificar o resultado 
anterior. 
 
Respostas: a) φθ θ+θ−θ
θ
=×∇ ar30a360a180H r
�����
sen
cos
sen
cos2
; 
b) 1o lado: A19593360SdHS −=pi−==•×∇∫ I
���
; 
c) 2o lado: A19593360LdH −=pi−==•∫ I
��
 
 
7.11) Três superfícies infinitas de corrente localizam-se, no vácuo, da seguinte maneira: xa100 A/m 
em z = 0, xa50− A/m em z = 4 m, e xa50− A/m em z = –4 m. 
a) Sendo Vm = 0 em P(1, 2, 3), ache Vm em Q(1,5; 2,6; 3,7). 
b) Sendo 0A = em P(1, 2, 3), ache A em Q(1,5; 2,6; 3,7). 
Sugestão: Use a componente apropriada de AB ×∇= e o seu conhecimento acerca da 
direção do vetor A . 
 
Respostas: a) A30V100y50V mQm =⇒−= ; 
b) ( ) m/Wba0,44Aa150z50A xQxoo µ−=⇒µ+µ−= 
 
7.12) Partindo da identidade vetorial ( ) AAA 2∇−•∇∇≡×∇×∇ , e utilizando coordenadas 
cartesianas, mostre zz
2
yy
2
xx
22 aaaA AAA ∇+∇+∇≡∇ , podendo A ser um vetor 
qualquer. 
 
Resposta: Demonstração. 
 
7.13) Demonstre que o potencial vetor magnético para dois fios compridos, retos e paralelos, que 
conduzem a mesma corrente I, em sentidos opostos, é: L
1
2o
r
rln
2
I
aA �
�






pi
µ
= , onde r2 e r1 são 
as distâncias dos fios ao ponto desejado e La
�
 é o vetor unitário paralelo aos fios. 
 
Resposta: Demonstração. 
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Anotações do Capítulo VII 
 
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Capítulo VIII 
 
FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 
 
8.1 – FORÇA SOBRE UMA CARGA EM MOVIMENTO 
 
BvQF ��� ×=
 (Unidade da força: N) 
 
Se ambos os campos elétrico e magnético estão presentes, a 
força sobre uma carga pontual Q, chamada força de Lorentz, é: 
 ( )BvEQF ���� ×+= em N, ou ( )BvEf v ���� ×+ρ= em N/m3 
 
 
8.2 – FORÇA SOBRE UM ELEMENTO DIFERENCIAL DE CORRENTE 
 
( ) ( ) ( ) BdtvIBvIdtBvdQFd ������� ×=×=×= ⇒ BLIdFd ��� ×= 
 
Para um condutor retilíneo, com .cteB =
�
, obtemos: BLIF
���
×=
 
 
Módulo da força F
�
: θ= senLIBF onde θ é o ângulo entre os 
vetores L
�
 e B
�
 
 
Sentido da força F
�
: Regra do produto vetorial, indo de L
�
 para B
�
. 
 
Nota: Caso os vetores L
�
 e B
�
 sejam perpendiculares (θ =90o), pode-se usar a conhecida 
“Regra dos 3 dedos da mão esquerda” para obter o sentido de F
�
. Assim, com o 
dedo indicador apontando B
�
 e o dedo médio apontando L
�
 (ou I), obtém-se o dedo 
polegar apontando o sentido de F
�
. 
 
 
Exemplo: Determinar as forças de repulsão entre 2 condutores filamentares retilíneos longos e 
paralelos, separados por uma distância d por onde fluem correntes I iguais e opostas. 
 
Solução:Os sentidos das forças estão indicados na figura. 
As duas forças possuem mesmo módulo, o qual é obtido do 
seguinte modo (no vácuo): 
LBF I= onde 
d2
HB oo
pi
µ=µ= I 
Logo: L
d2
F o I
I
pi
µ= ⇒ 
d2L
F o
pi
µ
=
2I
 [N/m] 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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8.3 – FORÇA ENTRE ELEMENTOS DIFERENCIAIS DE CORRENTE 
 
Densidade do fluxo magnético no ponto 2 devido ao elemento diferencial de corrente no ponto 1: 
2
12
R11
o2o2
R4
aLdI
HdBd 12
pi
×
µ=µ=
��
��
 
 
 
Relembrando, a força diferencial em um elemento diferencial de corrente é expressa por: 
BLIdFd
���
×= 
 
Substituindo B
�
 por 2Bd
�
, e 22 LdILId
��
= , a quantidade diferencial da força diferencial no 
elemento diferencial de corrente no ponto 2 torna-se: ( ) 2222 BdLdIFdd ��� ×= 
 
Substituindo 2Bd
�
: 
( ) 2
12
R11
o222
R4
aLdI
LdIFdd 12
pi
×
µ×=
��
��
 
( ) 2
12
R1
2
21
o2
R
aLd
Ld
4
IIFdd 12
��
�� ×
×
pi
µ= ⇒ ∫ ∫







 ×
×
pi
µ= 2
12
R1
2
21
o2
R
aLd
Ld
4
IIF 12
��
��
 
 
Nota: A segunda integral é necessária para obter o campo magnético em 2 devido à corrente no 
ponto 1. Pelo demonstrado, é melhor dividir o problema de calcular a força magnética em 
duas partes: primeiro calcula-se o vetor campo magnético, e depois calculamos a força. 
 
 
8.4 – TORQUE EM UMA ESPIRA INFINITESIMAL PLANA 
 
Para a espira infinitesimal retangular da figura e da definição de torque ( FrT ��� ×= ) , obtém-se: 
 
BSdTd
���
×= I
 (Unidade de T� : Nm) 
 
Definindo o momento magnético diferencial da espira como: 
 
Sdmd
��
I=
 (Unidade de m� : Am2) 
 
podemos escrever o torque na espira como sendo: 
 
BmdTd
���
×= 
 
De uma maneira geral, para B
�
 constante em toda área S, temos: 
 
BmBST
�����
×=×= I
 
 
Notas: 
• As equações acima são também válidas para qualquer forma de 
espira de corrente, como por exemplo a espira circular. 
• O torque na espira ( T� ) atua de tal maneira a alinhar o momento 
magnético ( m� ) produzido pela espira com o campo magnético externo ( B� ). 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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8.5 – A NATUREZA DOS MATERIAIS MAGNÉTICOS 
 
Existem 3 tipos de momentos magnéticos em um átomo causados por: 
1o) Rotação (spin) do elétron em torno de seu próprio eixo: spinm
�
 
2o) Rotação do núcleo em torno de seu próprio eixo: núcleom
�
 
3o) Movimento circular (órbita) do elétron em torno do núcleo: orbm
�
 
 
Dependendo da combinação desses momentos magnéticos pode-se classificar 6 tipos diferentes de 
material, conforme mostrado na seguinte tabela. 
 
CLASSIFICAÇÃO 
DO MATERIAL 
MOMENTOS 
MAGNÉTICOS 
B µµµµR 
VALORES USUAIS 
ALGUNS EXEMPLOS 
E COMENTÁRIOS 
1 – Diamagnético 0mm spinorb =+
��
 
Bint < Bapl, 
Bint ≅ Bapl 
µR < 1, 
µR ≅ 1 
H, He, NaCl, Cu, Au, Si, Ge, S, 
grafite, gases inertes. 
2 – Paramagnético pequenospinorb mm =+
��
 
Bint > Bapl, 
Bint ≅ Bapl 
µR > 1, 
µR ≅ 1 
K, O, Al, Be, tungstênio, terras-
raras, vários sais. 
3 – Ferromagnético 
orbspin mm
��
>> Bint >> Bapl µR >> 1 
103<µR <106 
Fe, Co, Ni, ligas. Domínios 
magnéticos fortes 
4 – Antiferromagnético 
orbspin mm
��
>> Bint ≅ Bapl µR ≅ 1 
 
Óxido de magnésio. Momentos 
adjacentes se opõem e cancelam 
5 – Ferrimagnético 
orbspin mm
��
> Bint > Bapl µR > 1 
10<µR <103 
Ferrites. Momentos adjacentes 
desiguais paralelos e opostos 
6 – Superparamagnético 
orbspin mm
��
> Bint > Bapl µR > 1 
1 < µR < 10 
Fitas magnéticas de gravação. 
Matriz não magnética. 
 
 
8.6 – MAGNETIZAÇÃO E PERMEABILIDADE MAGNÉTICA 
 
Magnetização M
�
 é definido como sendo o momento magnético total por unidade de volume, isto é: 
 
v
mlimm
v
1limM total
0v
vn
1i
i0v ∆
=∑
∆
=
→∆
∆
=→∆
�
��
 (Unidade: A/m – mesma unidade de H) 
 
onde n é o número de dipolos magnéticos por unidade de volume ∆v 
 
A lei circuital de Ampère relaciona o campo magnético H
�
 com a corrente de condução I que 
produz este campo, isto é: 
 
∫ •= LdH
��
I 
 
Por analogia, pode-se também relacionar o campo M
�
 com uma corrente, Im, que produz este 
campo, sendo esta corrente chamada de corrente de magnetização. 
∫ •= LdM
��
mI 
A lei circuital de Ampère em termos da corrente total, IT, é expressa por: 
 
∫ •µ
= LdB
o
�
�
TI 
onde: 
IT = I + Im = soma das correntes de condução e de magnetização 
µo = 4pi×10-7 = permeabilidade magnética do vácuo (unidade: H/m) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Substituindo as correntes pelas suas expressões com integrais, obtemos a seguinte expressão geral 
que relaciona os 3 campos B
�
, H
�
 e M
�
 em qualquer tipo de meio: 
 
MHB
o
��
�
+=
µ
 ⇒ ( )MHB o ��� +µ= (Análoga a PED o ��� +ε= ) 
 
Para um meio linear e isotrópico, pode-se relacionar M
�
 linearmente com H
�
 por: 
 
HM m
��
χ= (Análoga a EP oe
��
εχ= ) 
 
sendo χm chamada de susceptibilidade magnética (constante adimensional). 
 
Substituindo M
�
 na expressão geral, e arranjando os termos, obtemos a conhecida relação: 
 
HB
��
µ=
 
 
onde: 
oRµµ=µ = permeabilidade magnética absoluta (unidade: H/m) 
mR 1 χ+=µ = permeabilidade magnética relativa (constante adimensional) 
 
Nota: Por analogia com JH
���
=×∇ , pode-se chegar a: mJM
���
=×∇ e ( ) To JB ��� =µ×∇ . 
 
8.7 – CONDIÇÕES DE CONTORNO PARA O CAMPO MAGNÉTICO 
 
 
 
Aplicando a lei de Gauss do campo magnético ao pequeno cilindro da figura e fazendo ∆h→0: 
 
0SdBS =•∫
��
 ⇒ 0SBSB 2n1n =∆−∆ ⇒ 2n1n BB = 
 
Logo, a componente normal da densidade de fluxo magnético é contínua, isto é, não se altera. 
 
Aplicando a lei circuital de Ampère ao pequeno circuito fechado da figura, fazendo ∆h→0, temos: 
 
enlaçadaILdH =•∫
��
 ⇒ LKLHLH 2t1t ∆=∆−∆ ⇒ KHH 2t1t =− 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético sofre uma descontinuidade de K, isto é, altera-
se de K quando existe uma distribuição superficial de corrente na fronteira entre os 2 meios. Em 
forma vetorial, a expressão para o campo magnético acima é dada por: 
 ( ) KaHH 12n21 ���� =×− (Nota: 12na� = versor normal à fronteira dirigido da região 1 para a 2) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Se não existe distribuição de corrente na fronteira, isto é, se K = 0, obtém-se: 2t1t HH = 
 
Logo, a componente tangencial do campo magnético é contínua, isto é, não se altera quando não 
existe uma distribuição superficial de corrente (K) na fronteira entre os 2 meios. 
 
 
8.8 – CIRCUITO MAGNÉTICO 
 
A análise de circuitos magnéticos é feita por analogia com circuitos elétricos de corrente contínua 
constante. O quadro abaixo indica a analogia entre as equações desses circuitos. 
 
CIRCUITO ELÉTRICO CIRCUITO MAGNÉTICO 
1) Intensidade de campo elétricoVE ∇−=
��
 
1) Intensidade de campo magnético 
mVH ∇−=
��
 
2) Diferença de potencial elétrico 
∫ •=
B
A
AB LdEV
��
 
2) Diferença de potencial magnético 
∫ •=
B
A
AB,m LdHV
��
 
3) Lei de Ohm, forma pontual 
EJ
��
σ= 
3) Densidade de fluxo magnético 
HB
��
µ= 
4) Corrente elétrica 
∫ •= S SdJ
��
I 
4) Fluxo magnético 
Φ = •∫
� �
B dSS 
5) Resistência (R) 
S
LR
σ
= 
5) Relutância (ℜ) 
S
L
µ
=ℜ 
6) Lei de Ohm 
IV R= 
6) Lei de Ohm para circuitos magnéticos 
Φℜ=mV 
7) Lei de Kirchhoff das malhas 
∫ =• 0LdE
��
 
7) Lei circuital de Ampère 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ou ∫ =• NILdH
��
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de ar, de área de seção reta 
S = 6 cm2, raio médio rm = 15 cm, envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras onde circula uma 
corrente I = 4 A. Calcular a intensidade do campo 
magnético H no interior do toróide. 
 
Solução 1: Usando a equação do circuito elétrico análogo: 
LHNFmm =Φℜ== I 
Wb/Aesp1025,1
106104
10152
S
r2
S
L 9
47
2
o
m
o
×=
×××pi
××pi
=
µ
pi
=
µ
=ℜ
−−
−
Wb106,1
1025,1
4500NFmm 6
9
−×=
×
×
=
ℜ
=
ℜ
=Φ I 
23
4
6
m/Wb1067,2
106
106,1
S
B −
−
−
×=
×
×
=
Φ
= 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 76 
m/Aesp2120
104
1067,2BH 7
3
o
=
×pi
×
=
µ
=
−
−
 
 
 
Solução 2: Usando a lei circuital de Ampère: 
∫ =• enlaçadaILdH
��
 ⇒ INr2H m =pi× ⇒ 
mr2
NH
pi
=
I
 ⇒ m/Aesp2120
10152
4500H 2 =××pi
×
=
−
 
 
 
 
Exemplo: Seja um toróide de núcleo de aço-silício (figura abaixo) de área de seção reta S = 6 cm2, 
raio médio rm = 15 cm, com um entreferro ar� = 2 mm, o qual está envolvido por um 
enrolamento com N = 500 espiras. Calcular a corrente I que deve circular no enrolamento 
para que a densidade de fluxo magnético em todo o núcleo seja B = 1 Wb/m2. 
 
 
Solução: 
 
Escrevendo a equação do circuito elétrico análogo: 
Φℜ+Φℜ== araçoNFmm I 
 
ou, 
ar,maço,m VVNFmm +== I 
 
ou, 
araraçoaço LHLHNFmm +== I 
 
Daí, 
N
LHLH araraçoaço +
=I 
 
Fazendo Baço = B = 1 Wb/m2 e levando na curva do aço-silício (ver figura acima) obtemos: 
200Haço = Aesp/m 
 
Fazendo Bar = B = 1 Wb/m2, obtemos: 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
CCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 77 
5
7
o
ar
ar 109577,7
104
1BH ×=
×pi
=
µ
=
−
 Aesp/m 
 
Logo, 
( ) A56,3
500
002,0109577,7002,015,02200 5
=
××+−×pi×
=I 
 
Nota: Se desejarmos considerar o aumento da área da seção transversal por onde passa o fluxo no 
ar (devido ao espalhamento de fluxo quando o mesmo passa do ferro para o ar), utiliza-se o 
fator de espraiamento k, fazendo ferroar kSS = , sendo k > 1. 
 
8.9 – ENERGIA DE UM CAMPO MAGNETOSTÁTICO 
 
A energia total armazenada no campo magnetostático no qual B
�
 é relacionado linearmente com H
�
 
é obtida por: 
 
∫ •= volH dvHB2
1W
��
 [J] (Análoga a: ∫ •= volE dvED2
1W
��
) 
 
Notas: a) Fazendo HB �� µ= , ou 
µ
=
BH
�
�
 obtemos: 
∫ µ= vol
2
H dvH2
1W
 ou ∫ µ
= vol
2
H dv
B
2
1W
 
 
b) A densidade de energia (em J/m3) é dada por: 
 
µ
=µ=•=
2
2H B
2
1H
2
1HB
2
1
dv
dW ��
 
 
8.10 – AUTO-INDUTÂNCIA E INDUTÂNCIA MÚTUA 
 
Auto-indutância ou indutância própria ou simplesmente indutância, L, de um circuito fechado 
(espira ou bobina) é definida como a razão entre o fluxo total enlaçado pelo circuito (Λ) e a corrente 
(I) que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
II
Φ
=
Λ
=
NL
 (Unidade: Henry, H) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Nota: A equação da indutância pode também ser obtida a partir da energia no campo magnético 
(WH) devido a corrente I que flui no circuito fechado. Assim, temos: 
 
2I
HW2L = ⇒ 2IL
2
1WH = 
 
 
Indutância mútua, M, entre 2 circuitos fechados é definida como a razão entre o fluxo total 
enlaçado pelos 2 circuitos e a corrente que produz este fluxo. (Ver figura). 
 
11 II
12212
12
NM Φ=Λ=
 (Unidade: Henry, H) 
 
Nota: Em termos de energia mútua, temos: 
 
( ) ( )dvHH1dvHB1M
vol
21
vol
2112 ∫ •µ=∫ •=
����
2121 IIII
 
 
onde: 
1B
�
, 1H
�
 = campo que resulta de I1 (com I2 = 0) 
2H
�
 = campo que resulta de I2 (com I1 = 0) 
 
Na obtenção de M21, o lado direito da expressão 
acima não varia, pois o produto escalar é 
comutativo. 
Portanto, 
 
2112 MM = 
 
 
Exemplo: A figura mostra 2 solenóides coaxiais de raios r1 e r2, r1 < r2, com n1 e n2 espiras/m. 
Determinar (em H/m) as auto-indutâncias L1 e L2 e as indutâncias mútuas M12 e M21. 
 
Solução: Da seção 7.2, e sendo N = no espiras, n = no espiras/m: 
zz ana
NH ��
�
�
II == bem dentro do solenóide 
0H =
�
 fora do solenóide 
 
Assim, para o solenóide 1 (interno) temos: 




>ρ
<ρ=
=
1
1z1z
1
1
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 1
1 I
I
 
 
Similarmente, para o solenóide 2 (externo) temos: 




>ρ
<ρ=
=
2
2z2z
2
2
r
r
para
para
0
ana
N
H
��
�
� 2
2 I
I
 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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a) Cálculo de L1 e M12 em H/m (supondo I2 = 0): 
 
111 III
11111
1
nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2110110111 rnSHSB piµ=µ==Φ 1I 
Logo: 21
2
10
1 rn
L
piµ=
�
 [H/m] 
111 III
12212212
12
nNM Φ=Φ=Λ= � onde 211011011112 rnSHSB piµ=µ==Φ=Φ 1I 
Logo: 2121012 rnn
M
piµ=
�
 [H/m] 
 
b) Cálculo de L2 e M21 em H/m (supondo I1 = 0): 
 
222 III
22222
2
nNL Φ=Φ=Λ= � onde 2220220222 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I 
Logo: 22
2
20
2 rn
L
piµ=
�
 [H/m] 
222 III
21121121
21
nNM Φ=Φ=Λ= � onde 21201201221 rnSHSB piµ=µ==Φ 2I 
Logo: 
��
122
1210
21 MrnnM =piµ=
 [H/m] 
 
Atenção: Adotando agora n1 = 50 espiras/cm e n2 = 80 espiras/cm; r1 = 2 cm e r2 = 3 cm, para os 
2 solenóides coaxiais da figura, calcular os valores numéricos de L1 e L2 e M12 e M21. 
m/mH5,39L250104L 12271 =⇒×pi×××pi= − 
m/mH4,227L380104L 2
227
2 =⇒×pi×××pi=
−
 
m/mH2,63MM28050104MM 2112272112 ==⇒×pi××××pi== − 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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8.11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
 
8.1) Assume-se que o material ferromagnético da 
figura possui permeabilidade constante igual 
a µ. Sendo S1 = S2 = S3 = S = a área da 
seção reta em qualquer parte do núcleo, �1, 
�2 e �3 = os comprimentos médios do braço 
esquerdo, braço central e braço direito, 
respectivamente (com �1 = �3 = 2 � e �2 = �), 
determinar: 
a) A indutância L2 da bobina de N2 espiras 
do braço central; 
b) A indutância mútua M21 entre as duas bobinas. 
 
Respostas: a) 
�2
S N
L
2
2
2
µ
= ; b) 
�4
S NN
M 2121
µ= . 
 
8.2) Um condutor retilíneo muito longo estende-se sobre o eixo y, possuindo 
uma corrente I1, no sentido indicado. Um condutor de forma retangular 
rígida, com corrente I2 no sentido ABCDA, é posicionado no plano xy ao 
lado do condutor retilíneo, conforme mostrado na figura. Determinar: 
a) Os vetores forças sobre cada um dos lados do condutor retangular; 
b) O vetor força resultante sobre o condutor retangular; 
c) O fluxo total devido a I1 que atravessa o condutor retangular; 
d) A indutância mútua entre os 2 condutores. 
 
Respostas: a) x21oAB
a 2
b
aF
pi
µ II
−= , y
21o
BC 2
2
aF ln
pi
µ II
= , 
x
21oCD
a 4
b
aF
pi
µ II
= , 
y
21oDA 2
2
aF ln
pi
µ II
−= ; b) x21oR 
a 4
b
aF
pi
µ II
−= ; 
c) 2 
 2
b1o ln
pi
µ I
=Φ ; d) 2
2
b
M o12 ln
pi
µ
= . 
 
8.3) Duas placas infinitas, formadas de materiais magnéticos homogêneos, lineares e isotrópicos, 
de espessuras 3 e 4 [mm], localizam-se no vácuo conforme a figura abaixo. Se �a z tem a 
direção indicada e 
� � � �H a a a1 2 3= + +x y z [kA/m] na região (1), ache o ângulo entre o campo 
vetorial 
�
H e o vetor unitário �a z nas regiões (1), (2), (3) e (4). 
 
 
 
 
Respostas: 
θ1 = θ4 = 36,70o, 
θ2 = 56,14o; 
θ3 = 65,91o. 
 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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8.4) Um condutor filamentar infinito situa-se sobre o eixo z e conduz uma corrente I1 no sentido 
za
�
+ . Um segmento reto de condutor sólido se estende de PA(–�, l, 0) a PB(+�, 1, 0). 
Determinar: 
a) O campo magnético H� gerado pelo condutor infinito em um ponto genérico sobre o 
segmento condutor; 
b) O valor diferencial de força dF que surge devido ao campo magnético H� do item (a) 
atuando em um ponto genérico no segmento condutor quando este conduz uma corrente I2 
no sentido xa
�
+ ; 
c) O torque resultante totalT
�
 sobre o segmento condutor em relação ao ponto P0 (0, 1, 0). 
 
Respostas: a) 
)
)(
1(x 2
xI
2
xy1
+
−
=
pi
aa
H ; 
b) z2
21o
1(x 2
xdxII
adF
)+
=
pi
µ
; 
c) ( ) y21ototal arctg
 
II
aT �� −
−
=
pi
µ
. 
 
8.5) Um eletroimã com a armadura de ferro em forma de ∪ 
produz força suficiente para manter uma barra de ferro 
suspensa. Seja µR = 1800 para o ferro da armadura e da 
barra, e os ampères-espiras aplicados à bobina NI = 1 
[kA]. O comprimento médio total ao longo da 
armadura e da barra é de 1 [m] com uma seção 
transversal de 0,1 [m2]. Uma lâmina de cobre de 1 
[mm] entre a armadura e a barra previne o contato 
ferro-a-ferro. 
Adotando µcobre = µo, determinar: 
a) fluxo magnético produzido pelo eletroimã; 
b) A massa da barra de ferro (g = 9,8 m/s2). 
 
Respostas: a) Φ = 0,0492 [Wb]; b) m = Φ2/(µo g S) = 1965,6 [Kg]. 
 
8.6) Uma espira condutora circular de raio a está localizada sobre o plano z = 0 e nela circula 
uma corrente I na direção φ+ a
�
. Para um campo uniforme ( ) 2aaBB yxo ��� += , calcular a 
magnitude (módulo) e a direção (vetor unitário) do torque na espira. 
 
Respostas: Io
2BaT pi=
�
; ( ) 2aaa yxT ��� +−= . 
 
8.7) Seja uma bobina solenoidal (solenóide) de N espiras, com núcleo de ar, raio da seção reta 
igual a a e comprimento do núcleo igual a �. 
a) Determinar, usando a Lei Circuital de Ampère, a expressão que fornece o campo 
magnético resultante no interior do solenóide; 
b) Determinar, utilizando a definição de indutância, a expressão que fornece a indutância 
própria da bobina solenoidal. 
 
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Respostas: a) �
�
�H a= NI z ; b) L
No
=
µ pi2 2 a
�
. 
8.8) Um toróide, que possui seção transversal quadrada, é limitado pelas superfícies z = 0, z = 
20 [mm], ρ = 30 [mm] e ρ = 50 [mm]. A superfície em ρ = 30 [mm] conduz uma corrente 
distribuída cuja densidade superficial é � �K a= −10 z [kA/m]. Determinar: 
a) As densidades superficiais de correntes correspondentes às outras três superfícies, isto é 
( )
�
K ρ=50 , ( )
�
K z=0 e ( )
�
K z=20 ; 
b) O campo magnético �H no interior do toróide; 
c) A energia total armazenada (WH) no interior do toróide, cuja permeabilidade relativa é µR 
= 20. 
 
Respostas: a) ( ) z50 6aK
��
=
=ρ [kA/m], ( ) ρ= ρ= aK
�� 300
0z [A/m] e ( ) ρ= ρ−= aK
�� 300
20z [A/m]; 
b) � �H a= − 300
ρ φ [A/m]; c) WH = 72,6 [mJ]. 
 
 
8.9) A figura mostra uma bobina com N = 400 
espiras enrolada num núcleo de material 
ferromagnético formado com 2 materiais 
diferentes: (1) ferro fundido e (2) aço fundido. 
Determinar a corrente I na bobina, se a 
densidade de fluxo magnético no ferro fundido 
é B1 = 0,5 T. 
Nota: Ver em anexo as curvas B-H destes 
materiais. 
 
Resposta: I = 2,41 A 
 
 
 
 
 
 
8.10) Determinar o módulo da intensidade de campo magnético no interior de um material para o 
qual: 
a) a densidade de fluxo magnético é 4 mWb/m2 e a permeabilidade relativa é 1,008; 
b) a suscetibilidade magnética é –0,006 e a magnetização é 19 A/m; 
c) temos 8,1×1028 átomos/m3, cada átomo possui um momento de dipolo de 4×10-30 A.m2 
e χm = 10-4. 
 
Respostas: a) H = 3.160 [A/m]; b) H = 3.170 [A/m]; c) H = 3.240 [A/m]. 
 
8.11) Em um certo material magnético φρ= a5H 3 A/m e µ = 4×10-6 H/m. 
Determinar, para ρ = 2 m: 
a) J ; b) mJ c) TJ 
 
Respostas: a) . za80J = [A/m2]; b) zm a6,174J = [A/m2]; c) zT a6,254J = [A/m2] 
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8.12) a) Usando a lei circuital de Ampère, demonstrar que o campo magnético H� produzido por 
uma lâmina de corrente com densidade superficial de corrente K
�
 uniforme é expresso 
por: 
 
NaK2
1H �
��
×=
 
 
sendo: 
Na
�
 = versor normal à lâmina orientado para o lado desejado 
 
b) Uma espira retangular condutora está 
posicionada sobre o plano z = 0 conforme 
mostra a figura ao lado, sendo seus vértices em 
A(1,2,0), B(3,2,0), C(3,6,0) e D(1,6,0). Uma 
pequena corrente I circula no sentido anti-
horário na espira, que está submetida a uma 
densidade de fluxo magnético B
�
 produzido por 
2 lâminas de corrente x1 a400K
��
= A/m em 
z = 3 m, e z2 a300K
��
−= A/m em y = 0, no 
espaço livre. Determinar: 
b.1) O campo vetorial total B� sobre a espira 
devido as 2 lâminas de corrente; 
b.2) As forças resultantes sobre os 4 lados da espira e força total resultante; 
b.3) O torque total resultante T� em relação ao centro da espira, usando a fórmula 
FrT
���
×= . 
(Nota: Supor as forças aplicadas nos centros de cada lado da espira); 
b.4) O torque total resultante T� , usando a fórmula BST �
��
×= I . 
 
Respostas: a) Demonstração; 
b.1) xoyo a150a200B
��� µ+µ= 
b.2) 0F =
�
, CDzoAB Fa400F
���
−=µ= I , BCzoDA Fa600F
���
−=µ= I ; 
b.3) yoxo a1200a1600T
���
II µ+µ−= ; 
b.4) yoxo a1200a1600T
���
II µ+µ−= (igual ao obtido no item anterior) 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMOCCaappííttuulloo VVIIIIII:: FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 85 
Anotações do Capítulo VIII 
 
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Capítulo IX 
 
CAMPOS VARIÁVEIS NO TEMPO E AS EQUAÇÕES DE MAXWELL 
 
9.1 – A LEI DE FARADAY 
 
Haverá uma força eletromotriz, fem, ou tensão induzida, em qualquer uma das seguintes situações: 
1. Um caminho fechado estacionário é enlaçado por um fluxo magnético variável no tempo; 
2. Um caminho (fechado) se movimenta com relação a um fluxo magnético estacionário; 
3. Um caminho (fechado) móvel enlaçado por um fluxo magnético variável no tempo (1 + 2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A lei de Faraday quantifica esta fem estabelecendo que ela é proporcional a taxa de variação de 
fluxo que atravessa o caminho fechado (que não precisa ser condutor), sendo expressa por: 
 
dt
dΦ
−=fem
 [V] (para um caminho fechado) (01) 
ou, 
dt
dN Φ−=fem
 [V] (para um caminho fechado com N espiras - bobina) (02) 
 
Nota: O sinal menos das equações acima provém da lei de Lenz a qual indica que a fem está numa 
direção (ou possui uma polaridade) tal a produzir um fluxo magnético de oposição à 
variação do fluxo original. 
 
A fem induzida é definida como uma tensão induzida num caminho fechado, sendo expressa por: 
 
∫ •= LdE
��fem (03) 
 
Substituindo ∫ •=Φ
S
SdB
��
 em (01) e igualando com (03): 
∫ •∫ −=•=
SC
SdB
dt
dLdE
����fem
 (04) 
 
onde 
C = contorno da área S ao redor do qual a integral de linha é calculada, 
S = área limitada pelo contorno C onde a integral de superfície é calculada. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Nota: Na equação (04), o sentido de Ld
�
 deve sempre 
concordar com o sentido de Sd
�
 de acordo com a regra da 
mão direita ou do saca-rolhas (ver figura ao lado). Os dedos 
indicam a direção do caminho fechado, ou de Ld
�
, e o 
polegar indica a direção de Sd
�
. Adota-se para a fem o 
mesmo sentido de Ld
�
. Se o valor da fem for negativo, então 
seu sentido real (ver figura) é o contrário daquele de Ld
�
. 
 
 
Vamos agora separar a análise da fem em 3 partes, calculando: 
(1) a contribuição para a fem total por um campo magnético que varia dentro de um caminho 
fechado estacionário - fem variacional ou de transformador, 
(2) a contribuição para a fem total por um caminho ou contorno que se move sob a ação de um 
campo magnético constante - fem de velocidade ou de gerador, 
(3) a fem total, correspondendo a soma de (1) e (2). 
 
 
9.1.1 – Fem devido a um campo que varia dentro de um caminho fechado estacionário 
 
Passando a derivada para dentro da integral de superfície do lado direito de (04), obtemos: 
 
∫ •∂
∂
−=•∫=
S
Sd
t
BLdE
�
�
��fem
 (Equação de Maxwell, forma integral) (05) 
 
Usando o teorema de Stokes e transformando a integral de linha fechada em integral da superfície 
envolvida pela linha, 
 
Sd
t
BSdE
SS
�
�
���
•
∂
∂
∫−=•×∇∫ 
 
Igualando os integrandos, chegamos a: 
 
t
BE
∂
∂
−=×∇
�
��
 (Equação de Maxwell, forma pontual) (06) 
 
Notas: 
(a) As equações (05) e (06), chamadas de equações de Maxwell nas formas integral e pontual, 
respectivamente, são obtidas da lei de Faraday aplicada a um caminho ou circuito fechado. 
(b) Se B� não é função do tempo, as equações (05) e (06) reduzem as equações eletrostáticas: 
0LdE =•∫
��
 
0E =×∇
��
 
 
Exemplo: Seja um campo magnético simples o qual aumenta exponencialmente com o tempo 
dentro de uma região cilíndrica ρ < b e expresso por zkto aeBB
��
= , sendo Bo uma 
constante. Determinar a fem e o campo elétrico E� induzidos num contorno circular 
(espira) de raio ρ = a, a < b (ver figura abaixo), situado no plano z = 0. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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Solução: Tomando φφ= aEE
��
 (adotando o sentido anti-horário) 
na espira, e aplicando a equação (05) obtemos: 
2aafem pi−=pi= φ ktoekBE2 
 
Logo, obtemos na espira de raio ρ = a 
2afem pi−= ktoekB (sentido real é horário) 
aktoekB2
1E −=φ (sentido real é horário) 
Genericamente, as expressões de fem e E� para qualquer ρ, ρ < b, são dadas por: 
2fem piρ−= ktoekB φρ−= aekB2
1E kto
��
 
Nota: Refaça este exercício usando a equação de Maxwell na forma pontual (06). 
 
9.1.2 – Fem devido a um campo estacionário e um caminho móvel 
 
O fluxo que atravessa a superfície contida pelo caminho fechado em um tempo t é: 
 
BydSB ==Φ 
 
A partir da lei de Faraday (fem adotada no sentido anti-horário), obtemos : 
d
dt
dyB
dt
d
−=
Φ
−=fem ⇒ Bvd−=fem (07) 
 
Para uma carga Q movendo-se a uma velocidade v� em um campo magnético B� , tem-se: 
 
BvQF
���
×= ⇒ BvQ
F ��
�
×= ⇒ BvEm
���
×=
 (08) 
 
onde mE
�
 representa um campo elétrico de movimento (que gera fem) 
 
Assim, temos: 
 ( ) LdBvLdEm ����� •×∫=•∫=fem (09) 
 
No caso do condutor que se move sob a ação do campo magnético (figura acima), obtemos: 
( ) ( ) dxBvadxBvLdE d
0
xm ∫−=−•×∫=•∫=
�����fem ⇒ Bvd−=fem (= equação (07) acima) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
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9.1.3 – Fem total devido a um campo variável e um caminho móvel 
 
Se a densidade de fluxo magnético está também variando com o tempo, então nós devemos incluir 
ambas as contribuições, a fem de transformador (05) e a fem de movimento (09), resultando em: 
 
( ) LdBvSd
t
BLdE
S
����
�
��
•×+•
∂
∂
−=•= ∫∫∫fem (10) 
 
 
Nota: Tanto a expressão (10) acima pode ser usada em qualquer situação para calcular a fem, como 
também pode-se usar a expressão (01). Se o circuito envolver N espiras, sob a ação do fluxo 
Φ, o valor final da fem deve ser multiplicado por N. 
 
 
9.2 – CORRENTE DE DESLOCAMENTO 
 
A forma pontual da lei circuital de Ampère, 
 
JH
���
=×∇ (11) 
 
apesar de adequada para aplicação em situações com campos magnéticos estacionários é 
inadequada para aplicação em condições variáveis no tempo. 
 
Demonstração da validade desta afirmativa: 
 
Tomando a divergência de ambos os lados de (11): 
JH
�����
•∇=×∇•∇ 
 
Mas sabemos que 0)Hrot(div =� , resultando: 
0J =•∇
��
 (12) 
 
Porém, a equação da continuidade (seção 5.2) afirma que: 
t
J v
∂
ρ∂
−=•∇
��
 (13) 
 
Para que haja igualdade entre (12) e (13) é necessário que: 
0
t
v
=
∂
ρ∂
 
o qual representa uma limitação irreal para campos variáveis no tempo. 
 
 
Tornando a expressão (11) compatível para qualquer situação: 
 
Adicionando um termo desconhecido G
�
 a (11), temos: 
GJH
����
+=×∇ (14) 
 
Tomando novamente a divergência de ambos os lados: 
GJH
�������
•∇+•∇=×∇•∇ 
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Fazendo 0)Hrot(div =� , resulta em: 
 
0GJ =•∇+•∇
����
 
 
Da equação da continuidade(13), 
tt
G vv
∂
ρ∂
=





∂
ρ∂
−−=•∇
��
 
 
De Dv
��
•∇=ρ , temos: 
( )
t
D
t
DG
∂
∂
•∇=
∂
•∇∂
=•∇
�
�
��
��
 
 
Daí, chegamos a: 
t
DG
∂
∂
=
�
�
 (15) 
Substituindo (15) em (14), chegamos finalmente a: 
 
t
DJH
∂
∂
+=×∇
�
���
 (Lei circuital de Ampère, forma pontual) (16) 
 
Fazendo 
t
DJd ∂
∂
=
�
�
 (17) 
sendo dJ
�
 chamada de densidade de corrente de deslocamento. 
 
Substituindo (17) em (16): 
 
dJJH
����
+=×∇ (18) 
 
Semelhantemente a corrente de condução, pode-se determinar a corrente de deslocamento por: 
 
Sd
t
DSdJI
S
d
S
d
�
�
��
•
∂
∂
∫=•∫= (19) 
 
Integrando (16) sobre uma superfície S, para obtenção da forma integral da lei circuital de Ampère: 
 
Sd
t
DSdJSdH
SS
�
�
�����
•
∂
∂
∫+•∫=•×∇∫ 
 
Aplicando o teorema de Stokes ao primeiro membro da expressão acima, chegamos a: 
 
Sd
t
DLdH
S
�
�
��
•
∂
∂
∫+=+=•∫ III d (Lei circuital de Ampère, forma integral) (20) 
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9.3 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA PONTUAL OU DIFERENCIAL 
 
As quatro equações básicas de Maxwell são as seguintes: 
(1) 
� �
�
∇ × = −E B
t
∂
∂ (Lei de Faraday, forma pontual) (21) 
(2) 
� � �
�
� �
∇ × = + = +H J D
t
J J d
∂
∂ (Lei de Ampère, forma pontual) (22) 
(3) 
� �
∇ • =D vρ (Lei de Gauss do cpo. elétrico, forma pontual) (23) 
(4) 
� �
∇ • =B 0 (Lei de Gauss do cpo. magnético, forma pontual) (24) 
 
Equações auxiliares: 
(5) 
� �
D E= ε (25) 
(6) � �B H= µ (26) 
(7) EJ �� σ= (27) 
(8) vJ �� ρ= (28) 
 
Equações envolvendo campos de polarização e magnetização: 
(9) � � �D E Po= +ε (29) 
(10) ( )� � �B H Mo= +µ (30) 
 
Para materiais lineares: 
(11) � �P Ee o= χ ε (31) 
(12) � �M Hm= χ (32) 
 
Equação da força de Lorentz 
(13) ( )BvEfff vME ������ ×+ρ=+= (força por unidade de volume) (32) 
 
 
9.4 – EQUAÇÕES DE MAXWELL EM FORMA INTEGRAL 
 
As quatro equações básicas de Maxwell são as seguintes: 
(1) � �
�
�
E dL
B
t
dSS• = −∫ •∫
∂
∂ (Lei de Faraday, forma integral) (33) 
(2) � �
�
�
H dL
D
t
dSS• = + ∫ •∫ I
∂
∂ (Lei de Ampère, forma integral) (34) 
(3) � �D dS dvS vvol•∫ = ∫ ρ (Lei de Gauss do cpo. elétrico, forma integral) (35) 
(4) � �B dSS •∫ = 0 (Lei de Gauss do cpo. magnético, forma integral) (36) 
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Condições de contorno entre 2 meios ou regiões quaisquer: 
 
Componentes tangenciais: 
(5) Et1 = Et2 (37) 
(6) Ht1 – Ht2 = k (Se k = 0, então: Ht1 = Ht2) (38) 
 
Componentes normais: 
(7) Dn1 – Dn2 = ρS (Se ρS = 0, então: Dn1 = Dn2) (39) 
(8) Bn1 = Bn2 (40) 
 
Condições de contorno entre 2 regiões se a região 2 for condutora perfeita (σ = ∞): 
 
Componentes tangenciais: 
(9) Et1 = 0 (41) 
(10) Ht1 = k (42) 
 
Componentes normais: 
(11) Dn1 = ρS (43) 
(12) Bn1 = 0 (44) 
 
 
9.5 – EXEMPLOS DE CÁLCULO DA INDUÇÃO ELETROMAGNÉTICA 
 
Como visto na seção 9.1, quando um circuito se movimenta ( 0v ≠ ) e B varia com o tempo 
( 0tB ≠∂∂ ), a fem induzida total (representada nas figuras pelo símbolo ν) no circuito é dada por: 
 
 
( ) Sd
t
B
s
dB v ••
∂
∂
−×=+= ∫∫ �tm femfemfem (caso geral) (45) 
 
sendo femm e femt as fem(s) de movimento e de transformador, respectivamente. 
 
 
A equação (45) será usada nos exemplos a seguir que apresentam grau de dificuldade crescente. 
 
 
Exemplo 1: Espira – sem movimento e com variação de B (ver figura). 
 
Seja tcosBB 0 ω= na espira fixa de área A da figura. 
Fazendo 0v = em (1), obtemos: 
tsenBASd
t
B
s 0
ωω=
∂
∂
−== •∫tfemfem [V] 
 
(Nota: Sd tomado no mesmo sentido de B ) 
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Exemplo 2: Espira – com movimento e sem variação de B (ver figura). 
 
Seja a espira formada com o condutor 
deslizante conforme figura. 
Se 0
t
B
 constante B =
∂
∂
⇒= . 
Substituindo em (45), obtemos: 
 
( ) �� vBdB v −=×== •∫mfemfem [V] 
(Nota: �d tomado de acordo com Sd ou B ) 
 
Exemplo 3: Espira– com movimento e com variação de B (ver figura anterior). 
 
Na figura anterior, faça tcosBB 0 ω= . 
Assim 0v ≠ e 0tB ≠∂∂ na equação (45) acima. 
 
Cálculo da femm devido a velocidade do condutor (fem de movimento) – 1a parcela de (45): ( ) tcosBvvBdB v 0 ω−=−=×= •∫ ���mfem (Nota: �d de acordo com Sd ou B ) 
 
Cálculo da femt devido a variação temporal de B (fem de transformador) – 2a parcela de (45): 
tsenBtsenBASd
t
B
s 00
ωω=ωω=
∂
∂
−= •∫ xfemt � 
 
Cálculo da fem total: 
tsenBtcosvB 00 ωω+ω−=+= �� xfemfemfem tm 
 
( ) ( )δ+ωω+= tsenvB 220 xfem � 
 
onde ( )xω−=δ − vtan 1 e x = comprimento instantâneo da espira 
 
Exemplo 4: Tira condutora móvel – sem variação de B ( 0tB =∂∂ ) (ver figura). 
 
Seja a espira fixa formada com a 
tira deslizante da figura. 
Se 0
t
B
 constante B =
∂
∂
⇒= 
 
Substituindo em (45), obtemos: 
 
( ) �� vBdB v −=×= •∫mfem
 
(Nota: �d tomado de acordo com Sd ou B ) 
(Aplicação: Gerador de disco de Faraday) 
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Exemplo 5: Tira móvel – com variação de B . 
 
Na figura anterior faça tcosBB 0 ω= 
 
Cálculo da femm devido ao movimento da tira – 1a parcela de (45): ( ) tcosvBvBdB v 0 ω−=−=×= •∫ ���mfem 
 
Cálculo da femt devido a variação temporal de B – 2a parcela de (45): 
tsenBAtsenBSd
t
B
s 010
ωω=ωω=
∂
∂
−= •∫ �xfemt 
 
Cálculo da fem total: 
tsenBtcosvB 010 ωω+ω−=+= �� xfemfemfem tm 
 
( ) ( )δ+ωω+= tsenvB 2120 xfem � 
 
onde ( ))(vtan 11 xω−=δ − 
 
Exemplo 6: Espira rotativa – sem variação de B (gerador CA) – (ver figura). 
 
Seja a figura representativa de um gerador 
CA elementar (com uma única espira), onde 
temos: 
(a) vista em perspectiva, com a espira em 
posição vertical, 
 
(b) vista da seção transversal perpendicular 
ao eixo, com a espira numa posição 
qualquer. 
 
Seja θ o ângulo entre v e B medido no sentido 
anti-horário, sendo θ = 0 para a espira na posição 
vertical (considerar como instante t = 0). 
Se 0
t
B
 constante B =
∂
∂
⇒= 
De (45) e �d tomado de acordo com Sd 
(regra do saca-rolhas): 
( ) θ=×= •∫ senvB2dB v ��mfem 
 
Como θ = ωt e v = ωR 
tsenBR2 ωω= �mfem 
 
Como �R2 = A = área da espira 
tsenBA ωω=mfem 
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Exemplo 7: Espira rotativa – com variação de B (figura anterior). 
 
Seja tsenBB 0 ω= na figura anterior (sendo a freqüência ω de oscilação deste campo igual a 
velocidade angular ω de rotação da espira). 
 
Quando 0 e 0B0t =θ=⇒= (espira na posição vertical) 
 
De (45) e �d consistente com Sd (regra da mão direita ou do saca-rolhas), obtemos: 
)t2cos1(BRtsenB R2 020 ω−ω=ωω= ��mfem 
)t2cos1(B RtcosBR2 020 ω+ω−=ωω−= ��tfem 
 
t2cosBR2 0 ωω−=+= �tm femfemfem 
 
 
Notas sobre o exemplo 7: 
 a) A componente CC (estacionária ou independente do tempo) da fem, existente 
tanto em femm como em femt, desapareceu na fem total (ν); 
b) A fem total é função do dobro da freqüência angular ω (expressa em rad/s) que 
representa tanto a freqüência (ω) de rotação da espira como também a freqüência 
(ω) de variação temporal do campo magnético. 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS: 
 
9.1) Partindo das equações de Maxwell no espaço livre (vácuo), determinar: 
a) O campo magnético �H a partir de x)nyt( cosA aE
��
−ω= . 
b) O campo elétrico �E a partir de zy )nztsen()nzt( cosy aaB
���
−ω+−ω= 
Nota: A, ω e n são constantes e oon εµω= 
Respostas: a) [ ] [ ] zoz
o
)t( cos)nyt( cos
n
A)ny( cos)nyt( cosAn aaH ��
�
ω−−ω
ωε
−=−−ω
ωµ
−= ; 
b) [ ] [ ] xx
oo
)t( cos)nzt( cos
n
y)nz( cos)nzt( cosny aaE ��
�
ω−−ω
ω
=−−ω
ωεµ
= . 
 
9.2) a) Uma espira quadrada de lado � = 1 [m] tem seu plano normal a um campo magnético �B . 
Determinar a fem máxima induzida na espira nas seguintes condições: 
a.1) A espira é mantida estacionária enquanto o campo magnético varia de acordo com B 
= B0cos2pift sendo f = 159 [Hz] e B0 = 3 [mT]; 
a.2) O campo é mantido fixo em B = B0 = 3 [mT] enquanto a espira gira a uma rotação 
constante f = 159 [rot./s], cortando o fluxo magnético devido a B. 
 
 b) Na figura ao lado, a corrente induzida no circuito II, à 
direita, será no sentido horário ou anti-horário, quando 
a chave do circuito I é fechada? Justificar sua resposta 
com os conceitos já estudados. 
 
Respostas: a.1) femmax ≈ 3 [V]; 
a.2) femmax ≈ 3 [V]; 
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b) Quando a chave é fechada; uma corrente flui no sentido horário no Circuito I, 
produzindo um fluxo que entra no laço do Circuito I e sai no laço do Circuito 
II. Pela Lei de Lenz, a corrente induzida no laço do Circuito II deve produzir 
um fluxo em oposição ao fluxo indutor, isto é, entrando no laço do Circuito II. 
Então, a corrente induzida no Circuito II deve fluir no sentido horário. 
 
9.3) a) Junto a uma superfície condutora perfeita temos os campos de uma onda eletromagnética 
expressos por: E = 8 [V/m] e H = 2,8 ⋅ −10 3 [A/m]. Determinar os valores das densidades 
de carga e de corrente na superfície do condutor. 
 b) Em uma certa região do espaço livre o campo elétrico vale xo tcos z senE)t( aE
��
ωβ= 
sendo Eo o valor máximo do campo elétrico, ω a frequência [rad/s], t o tempo [s], β um 
parâmetro [rad/m] e z a distância [m]. 
b.1) Determinar 2 expressões para �H( )t nesta região partindo das equações de Maxwell; 
b.2) A partir destas 2 expressões de �H( )t calcular também o valor numérico de βω . 
Respostas: a) ρS = 8εo [C/m2] e K = 2,8 ⋅ −10 3 [A/m]; 
b.1) y
o
o tsenz cos
E 
aH �
�
ω⋅β
ωµ
β
−= e y
oo tsenz cos
E 
aH �
�
ω⋅ββ
ωε
−= ; 
b.2) 8
oo
103c1 ×==
εµ
=β
ω
 [m/s] = velocidade da luz. 
 
9.4) Duas bobinas A e B, de 300 e 600 espiras respectivamente, são colocadas lado a lado. Pela 
bobina A, faz-se circular uma corrente de 1,5 [A], produzindo um fluxo de 0,12 [mWb] 
nesta bobina e um fluxo de 0,09 [mWb] na bobina B. Calcular: 
a) A auto-indutância da bobina A; 
b) A indutância mútua entre as bobinas A e B; 
c) O valor médio da fem induzida em B quando se interrompe a corrente de A num tempo de 
0,2 [s]. 
 
Respostas: a) LA = 24 [mH]; b) M = 36 [mH]; c) femB = 0,27 [V]. 
 
9.5) Um condutor retilíneo longo conduz uma corrente expressa por: 
i = 100 sen(400t), onde t é o tempo. 
 Determinar a fem (por unidade de comprimento) induzida por 
este condutor sobre uma linha telefônica próxima, constituída 
por dois cabos paralelos ao condutor, conforme mostra o 
esquema. 
 
Resposta: [ ]fem t 
�
= −2 77 400, cos mV
m
. 
 
9.6) Uma bobina (primário) de 2000 espiras está enrolada sobre um núcleo de ar de 100 [cm] de 
comprimento e 2 [cm] de diâmetro. Outra bobina (secundário) está enrolada sobre a bobina 
primária. Admitindo que a corrente na bobina primária varia de 0 a 10 [A] em 0,01 segundo e 
que não haja fluxo disperso, determine: 
a) O número de espiras que a bobina secundária deve possuir para que a fem induzida nesta 
seja de 2 [V]; 
 
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b) O valor médio da fem induzida na bobina secundária, admitindo que ela possui 1100 
espiras e o núcleo é de ferro, apresentando uma permeabilidade relativa constante e igual a 
115. 
 
Respostas: a) N2 = 2533 espiras; b) fem2 = 100 [V]. 
 
9.7) Uma espira quadrada possui os vértices em (0; 0; 0), (0,2; 0; 0), (0,2; 0,2; 0) e (0; 0,2; 0) em t 
= 0. A espira é um condutor perfeito exceto em um de seus lados, onde existe um pequeno 
resistor de 100 [Ω] e está se movendo através do campo ( )[ ]B a= ⋅ −5 6 10 28 cos t y z� [µT] 
com uma velocidade constante de 40 �a x [m/s]. Calcular: 
a) A tensão induzida (fem) na espira em função do tempo; 
b) A potência dissipada (PR) no resistor em função do tempo; 
c) O torque (T) produzido na espira em função do tempo. 
 
Respostas: 
a) ( ) ( )[ ]t106cos4,0t106cos 103fem 888 ⋅−−⋅⋅−= [µV]; 
b) ( )°−⋅= 5,78t106cos 1,142P 82R [W]; c) T = 0. 
 
9.8) Num fio infinito, situado sobre o eixo y, circula uma corrente I no sentido +�a y . Uma espira 
quadrada de lado a, situa-se no plano xy, com seu lado paralelo e próximo do fio, mantido 
inicialmente a uma distância h do fio. Calcular a fem induzida na espira, se: 
a) A espira permanece imóvel e a corrente do fio é I = Imsenωt; 
b) A espira se afasta do fio com velocidade constante e igual a v e a corrente do fio é 
constanteII m == . 
Respostas: a) 




 +
pi
ωωµ
−=
h
aha
 ln
2
 tcos I
fem mo ; b) ( )ahh
va2
+pi
µ
=
 2
Ifem mo . 
 
9.9) Um anel de 3 voltas, com 0,5 [m2] de área, situado no ar, tem um campo magnético uniforme 
normal ao plano do anel. 
a) Se a densidade de fluxo variar de 5 [mT/s] qual é a fem que aparece nos terminais do anel? 
b) Se a fem nos terminais do anel for de 100 [mV], qual será a taxa de variação do campo 
magnético? 
 
Respostas: a) fem = –7,5 [mV]; b) dB
dt
= −66 6, [mT/s]. 
 
9.10) Calcular o valor máximo da corrente no fio 
infinito da figura a fim de que o valor eficaz da 
corrente na resistência de 0,05 [Ω] da espira 
retangular seja igual a 0,1 [A]. 
 
Resposta: Im = 13,73 [A]. 
 
 
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9.11) A figura abaixo mostra um condutor retilíneo, longo e estreito, de comprimento � , conectado 
através de fios condutores flexíveis a um voltímetro e executando um movimento harmônico 
simples no plano yz, sendo submetido a um campo magnético variável dado por 
xmax atcosBB
��
ω= . O eixo z é uma posição de equilíbrio do condutor o qual vibra no plano 
yz (entre y = –b e y = +b), com uma velocidade dada por ymax atcosvv
��
ω= . 
a) Determinar a fem induzida no condutor, desprezando a contribuição dos fios flexíveis. 
b) Indicar, na figura, o sentido da corrente resultante no instante 
ω
pi
=
2
t segundos. 
Respostas: a) tBt2Bv maxmaxmax ωω+ω−= senlcosfem ; b) Sentido anti-horário.9.12) Considere uma região cilíndrica infinitamente longa contendo um 
campo alternado dado em coordenadas cilíndricas como 
zo a)tcos(BB
��
α+ω= em ρ ≤ a e 0B =
�
 em ρ > a, sendo oB e 
α constantes, e ω a freqüência angular. Isto significa que B
�
 é 
espacialmente constante sobre a área do círculo de raio ρ e oscila 
harmonicamente no tempo, como acontece com um solenóide 
infinito ideal onde circula corrente alternada. Determinar o campo 
elétrico induzido E
�
, devido a este campo magnético alternado B
�
, 
na região: 
a) ρ ≤ a , isto é, internamente a região cilíndrica ou ao solenóide 
infinito ideal de raio a; 
b) ρ > a, isto é, externamente a região cilíndrica ou ao solenóide 
infinito ideal de raio a; 
 
Respostas: a) )t(senB
2
1E o α+ωωρ=φ para ρ ≤ a; 
b) )t(senB
2
1E o α+ωρ
ω=φ
2
a
 para ρ > a. 
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9.13) A figura ao lado mostra uma barra condutora (formada por três segmentos) situada sobre 
dois trilhos condutores paralelos conectados a um voltímetro. Toda a configuração está submetida a 
uma densidade de fluxo magnético B
�
. 
Calcular a fem induzida em cada uma das seguintes situações: 
a) za2B
��
= µT, xa6v
��
= m/s; 
b) zt60 ae2B
��
−
= µT, 0v =� m/s; 
c) zt60 ae2B
��
−
= µT, xa6v
��
= m/s. 
Dizer também qual é o sentido da corrente induzida em cada situação justificando sua 
resposta. 
 
Respostas: Para concordar com o vetor B
�
, adota-se o sentido anti-horário para a fem (e, 
portanto, para a corrente resultante). Após o cálculo da fem, chega-se a: 
a) 2,1−=fem µV. Logo a corrente será no sentido horário. 
b) t60e9,0 −=fem µV. Logo a corrente será no sentido anti-horário. 
c) t60e3,0 −−=fem µV. Logo a corrente será no sentido horário. 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS 99 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
1. HAYT JR, Willian, BUCK, J.A. “Eletromagnetismo”, McGraw-hill Interamericana, 7a 
Edição, 2008. (Livro texto) 
 
2. EDMINISTER, Joseph, “Eletromagnetismo”, Coleção Schaum, Editora Bookman, 2 a 
Edição, 2006. (Livro de Exercícios) 
 
3. GUIMARÃES, G.C., Apostila de Exercícios Resolvidos de Eletromagnetismo, ano 
2001. 
 
4. QUEVEDO, C.P., “Eletromagnetismo”, Edições Loyola, São Paulo, 1993. 
 
5. COREN, R.L., “Basic Engineering Electromagnetics”, Prentice-Hall International 
Editions, 1989. 
 
6. KRAUS, J.D., “Electromagnetics”, McGraw Hill, 1999. 
 
7. MARTINS, N., “Introdução à Teoria da Eletricidade e do Magnetismo”, Editora Edgard 
Blücher Ltda, 1973. 
 
8. REITZ, J.R., MILFORD, F.J., CHRISTY, R.W., “Fundamentos da Teoria 
Eletromagnética”, Editora Campus, 1982. 
 
9. KIP, A.F., “Fundamentos de Eletricidad y Magnetismo”, McGraw-Hill, 1972. 
 
10. SCHWARZ, S.E., “Electromagnetics for Engineers”, Saunders College Publishing, 
1990. 
 
11. SHADOWITZ, A., “The Electromagnetic Field”, Dover Publications, Inc., New York, 
1975. 
 
12. MACEDO, A., “Eletromagnetismo”, Editora Guanabara S.A., Rio de Janeiro, 1988. 
 
13. ULABY, Fawwaz T., “Eletromagnetismo para Engenheiros”, Editora Artmed - 
Bookman, 2007. 
 
14. PAUL, Clayton R., “Eletromagnetismo para Engenheiros”, Editora LTC, 2006. 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
RREEFFEERRÊÊNNCCIIAASS BBIIBBLLIIOOGGRRÁÁFFIICCAASS 100 
Anotações Gerais 
 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 101 
 
Anexo I 
 
SOLUÇÃO DE EQUAÇÃO DIFERENCIAL POR 
SÉRIE INFINITA DE POTÊNCIAS 
 
 
Este anexo pretende mostrar que a solução da equação diferencial (01) abaixo, ou da equação (07) 
da seção 6.5 (resolvida naquele lugar pelo Método da Dedução Lógica), pode ser feita por um 
método mais longo, porém mais potente e abrangente: a Substituição por Série Infinita de Potências. 
 
X
dx
Xd 2
2
2
α=
 (01) 
 
Supondo que a solução procurada X seja representada por uma série infinita de potências de x: 
∑
∞
=
=
0n
n
nxaX (02) 
 
Substituindo (02) em (01), efetuando as derivações, obtém-se: 
 
 ( ) ∑∑
∞
=
∞
=
− α=−
0n
n
n
2
0n
2n
n xaxa1nn (03) 
 
Se as duas séries infinitas de potências são iguais, estão os coeficientes correspondentes de mesma 
potência de x das duas séries devem ser iguais, termo a termo. Assim, 
 
 0
2
2 aa12 α=×× ; 1
2
3 aa23 α=×× ; ..., ( )( ) n22n aa)1n2n α=++ + (04) 
 
Os coeficientes pares podem ser expressos em função do coeficiente 0a , enquanto que os 
coeficientes ímpares podem ser escritos em função de 1a , conforme mostra o quadro: 
 
Coeficientes pares Coeficientes ímpares 
0
2
0
2
2 a!2
a
12
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
3
1
2
3
a
!3
a
23
a 
0
4
2
2
4 a!4
a
34
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
5
3
2
5
a
!5
a
45
a 
0
6
4
2
6 a!6
a
56
a
α
=
×
α
= 
α
α
=
×
α
=
1
7
5
2
7
a
!7
a
67
a 
... 
... 
0
n
n a!n
a
α
= (n par) 
α
α
=
1
n
n
a
!n
a (n ímpar) 
 
Substituindo estes coeficientes de volta na série de potências original (02), obtém-se: 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo II:: SSOOLLUUÇÇÃÃOO DDEE EEQQUUAAÇÇÃÃOO DDIIFFEERREENNCCIIAALL PPOORR SSÉÉRRIIEE IINNFFIINNIITTAA DDEE PPOOTTÊÊNNCCIIAASS 102 
 ∑∑
∞
=
∞
=
α
α
+
α
=
ímparn
1n
n
n
1
parn
0n
n
n
0 x!n
a
x
!n
aX 
ou, 
 
( ) ( )
∑∑
∞
=
∞
=
α
α
+
α
=
ímparn
1n
n
1
parn
0n
n
0 !n
xa
!n
x
aX (05) 
 
Reconhecendo que a primeira e a segunda série do segundo membro de (05) são, respectivamente, o 
co-seno hiperbólico e o seno hiperbólico, expressos por (06) e (07), 
 
( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅+
α
+
α
+=
α
=α ∑
∞
=
!4
x
!2
x1
!n
x
xcosh
42
parn
0n
n
 (06) 
( ) ( ) ( )
⋅⋅⋅+
α
+
α
+α=
α
=α ∑
∞
=
!5
x
!3
x
x
!n
x
xsenh
53
ímparn
1n
n
 (07) 
 
chega-se a equação (08): 
 
xsenhaxcoshaX 10 α
α
+α= (08) 
 
Fazendo 0aA = e α= /aB 1 , chega-se a solução final (09) mostrada abaixo. 
 
xsenhBxcoshAX α+α=
 (09) 
 
Deve-se observar que as constantes A e B são calculadas em termos das condições de contorno 
estabelecidas para o problema. 
 
As funções hiperbólicas de (09) podem ser escritas em termos de exponenciais, ou seja, 
 
2
ee
xcosh
xx α−α +
=α (10) 
2
ee
xsenh
xx α−α
−
=α (11) 
 
Assim, substituindo (10) e (11) em (09), obtém-se a expressão final (12) em termos de 
exponenciais, onde foram selecionadas novas constantes arbitrárias 'A e 'B . 
 
x'x' eBeAX α−α += (12) 
 
Atenção: O aluno deve exercitar a utilização do método aqui apresentado (Substituição por Série 
Infinita de Potências), resolvendo agora a equação diferencial (08) da seção 6.5, 
mostrada novamente em (13). 
Y
dy
Yd 2
2
2
α−= (13) 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo IIII:: CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 103 
 
Anexo II 
 
CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 
 
Este anexo tem o objetivo de apresentaras curvas de magnetização ou curvas B-H de quatro 
materiais ferromagnéticos diferentes a serem utilizadas em problemas do capítulo VIII, ou seja: 
A – Curva de magnetização do ferro fundido, 
B – Curva de magnetização do aço fundido, 
C – Curva de magnetização do aço-silício, 
D – Curva de magnetização da liga ferro-níquel. 
 
 
 
 
Figura 1 - Curvas B – H para H < 400 A/m 
 
Atenção para as divisões usadas na figura 1: 
Eixo B (eixo vertical) = 0,02 T por cada divisão (menor divisão) 
Eixo H (eixo horizontal) = 5 A/m por cada divisão (menor divisão) 
D 
C 
B 
A 
CONCEITOS TEÓRICOS E EXERCÍCIOS PROPOSTOS DE ELETROMAGNETISMO
 
 
AAnneexxoo IIII:: CURVAS B-H DE VÁRIOS MATERIAIS FERROMAGNÉTICOS 104 
 
 
 
Figura 2 - Curvas B – H para H > 400 A/m 
 
 
 
Atenção para as divisões usadas na figura 2: 
Eixo B (eixo vertical) = 0,02 T por cada divisão (menor divisão) 
Eixo H (eixo horizontal) = 50 A/m por cada divisão (menor divisão) 
 
B 
C 
D 
B 
C 
D 
A