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Lista de exercı́cios 2 – Capı́tulo 22 Tipler & Mosca
1. Dois planos verticais infinitos carregados são paralelos entre si e separados por uma
distância d = 4m. Determine o campo elétrico à esquerda dos planos (região I), entre
os planos (região II) e à direita dos planos (região III) (a) quando cada plano possui
uma densidade de carga superficial uniforme σ = 3µC/m2, e (b) quando o plano da
esquerda possui densidade de carga superficial uniforme σ = 3µC/m2 e o plano da
direita uma densidade σ =−3µC/m2. Desenhe as linhas de campo para cada um dos
casos.
2. Uma carga de 2,75µC é uniformemente distribuı́da sobre um anel cujo raio é de
8,5cm. Determine o campo elétrico sobre o eixo do anel a (a) 1,2cm, (b) 3,6cm,
(c) 4,0m de seu centro. (d) determine o campo a 4,0m utilizando a hipótese de que o
anel é uma carga puntiforme na origem e compare o resultado com o do item (c).
3. Um anel de raio R possui uma distribuição de carga
definida por λ (θ) = λ0 sinθ , conforme mostrado
na figura. (a) Qual é a orientação do campo elétrico
no centro do anel? (b) Qual é o módulo do campo
no centro do anel?
4. A carga de um segmento de reta finito possui densidade linear uniforme. O segmento
é posicionado entre as coordenadas x = 0 e x = a. Mostre que a componente y do
campo elétrico em um ponto sobre o eixo y pode ser expressa por
Ey =
λ
4πε0y
a√
y2 +a2
5. Uma casca hemisférica fina de raio R possui uma carga superficial uniforme σ – As-
sumir que o eixo de simetria da casca seja z. Determine a componente z do campo
campo elétrico no centro da casca (r = 0).
6. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um semicı́rculo de raio R = 5cm
no plano xy. Uma carga +q está uniformente distribuı́da ao longo da metade superior
e uma carga −q está uniformemente distribuı́da ao longo da metade inferior, como
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mostra a figura. Se q = 4,5pC, quais são a (a) magnitude e (b) direção do campo
elétrico produzido no ponto P, o centro do semicı́rculo?
7. Uma barra fina de vidro é encurvada na forma de um cı́rculo de raio R = 8,5cm no
plano xy. Uma carga +q está uniformente distribuı́da ao longo da metade superior
e uma carga −q está uniformemente distribuı́da ao longo da metade inferior, como
mostra a figura. Se q = 15pC, quais são a (a) magnitude e (b) direção do campo
elétrico produzido no ponto P, o centro do cı́rculo?
8. Um campo elétrico é definido como ~E = 300N/Cî para x > 0 e ~E = −300N/Cî para
x < 0. Um cilindro com 20cm de comprimento e 4cm de raio tem seu centro na
origem e seu eixo longitudinal sobre o eixo x, de modo que uma de suas extremidades
é posicionada em x = −10cm e a outra em x = 10cm. (a) Qual é o fluxo através de
cada uma das extremidades do cilindro? (b) Qual o fluxo através de sua superfı́cie
curva? (c) Qual é o fluxo resultante que sai da superfı́cie de todo o cilindro? (d) Qual
é a carga resultante no interior do cilindro?
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9. Uma carga puntiforme q = 2,0µC situa-se no centro de uma esfera com 0,5m de
raio. (a) Determine a área da superfı́cie da esfera (b) Determine o módulo do campo
elétrico nos pontos da superfı́cie da esfera (c) Qual é o fluxo do campo elétrico devido
à carga puntiforme através da superfı́cie da esfera? (d) A resposta ao item (c) poderia
ser mudada se a carga puntiforme fosse movimentada de modo que ela continuasse
interna à esfera, porém não mais em seu centro? (e) Qual é o fluxo resultante através
de um cubo com 1m de lado que envolve a esfera?
10. Uma carga de 2,0µC está 20cm acima do centro de um quadrado cujo lado tem com-
primento de 40cm. Determine o fluxo através do quadrado.
11. Uma casca esférica não-condutora, com raio interno a e raio externo b, tem uma densi-
dade volumétrica de carga ρ = A/r, sendo A uma constante e r é a distância ao centro
da casca. Além disso, uma carga puntiforme q está localizada no centro da casca. (a)
Determine a carga lı́quida da casca esférica contida numa superfı́cie gaussiana de raio
r, com a ≤ r ≤ b, (b) Determine o valor da constante A tal que o campo elétrico na
casca (a≤ r ≤ b) seja uniforme.
12. Uma pequena bola, não-condutora, de massa m =
1mg e carga q = 20nC uniformemente distribuı́da,
está suspensa de um fio isolante que faz um ângulo
θ = 30◦ com uma chapa não-condutora, vertical,
uniformemente carregada. Considerando o peso da
bola e supondo a chapa um plano infinito, deter-
mine a densidade superficial de carga σ da chapa.
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13. Mostre que o campo elétrico devido a uma casca cilı́ndrica de comprimento infinito e
raio R carregada uniformemente e apresentando uma densidade superficial de carga σ
é expresso por
Er =
0, para r < RσR
ε0r
= λ2πε0r , para r > R
em que λ = 2πRσ é a carga por unidade de comprimento da casca.
14. Um cilindro não-condutor infinitamente longo de raio R tem densidade volumétrica
de carga uniforme ρ(r) = ρ0. Mostre que o campo elétrico é dado por
Er =

ρR2
2ε0r
= λ2πε0r , para r > R
ρr
2ε0
= λ2πε0R2
r, para r < R
em que λ = πR2ρ é a carga por unidade de comprimento da casca.
15. Um cilindro não-condutor com comprimento infinito e raio R tem densidade vo-
lumétrica de carga não-uniforme ρ(r) = ar. (a) Mostre que a carga por unidade de
comprimento do cilindro é λ = 2πaR3/3. (b) Determine as expressões para o campo
elétrico devido a esse cilindro carregado. Você deve obter uma expressão para o campo
elétrico na região r < R e uma segunda expressão para o campo na região r > R.
16. Uma casca esférica de raio R1 tem uma carga total q1 uniformemente distribuı́da em
sua superfı́cie. Uma segunda casca esférica maior com raio R2, concêntrica com a pri-
meira, tem carga q2 também uniformemente distribuı́da em sua superfı́cie. (a) Utilize
a lei de Gauss para determinar o campo elétrico nas regiões r < R1, R1 < r < R2 e
r > R2. (b) Qual seria a relação entre as cargas q1/q2 e seus sinais relativos para que
o campo elétrico fosse nulo para r > R2. (c) Esquematize as linhas de campo elétrico
para a situação descrita no item (b) quando a carga q1 é positiva.
17. Uma casca esférica com 6cm de raio apresenta uma densidade superficial de carga
uniforme σ = 9nC/m2. (a) Qual é a carga total sobre a casca? Determine o campo
elétrico em (b) r = 2cm, (c) r = 5,9cm, (d) r = 6,1cm e (e) r = 10cm.
18. Uma esfera com 6cm de raio tem uma densidade volumétrica de carga uniforme ρ =
450nC/m3. (a) Qual é a carga total da esfera? Determine o campo elétrico em (b)
r = 2cm, (c) r = 5,9cm, (d) r = 6,1cm e (e) r = 10cm.
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19. Uma casca esférica grossa não-condutora, com raios interno a e externo b, tem den-
sidade volumétrica de carga uniforme ρ . Determine a carga total e o campo elétrico
para as regiões (a) r < a, (b) a < r < b e (c) r > b.
20. Uma placa metálica descarregada tem faces quadradas com 12cm de lado. Ela é colo-
cada em um campo elétrico externo perpendicular a suas faces. A carga total induzida
em uma das faces é de 1,2nC. Qual é o módulo do campo elétrico?
21. Uma placa quadrada condutora com 5m de lado tem uma carga resultante de 80µC.
(a) Determine a densidade de carga e o campo elétrico em cada uma das faces da
placa. (b) A placa é então colocada à direita de um plano infinito não-condutor com
uma densidade de carga de 2µC/m2, de modo que as faces da placa fiquem paralelas
ao plano. Determine o campo elétrico e a densidade de carga em cada face da placa,
desprezando os efeitos das bordas.
22. Um plano infinito apoiado no plano xz tem uma densidade superficial de carga uni-
forme σ1 = 65nC/m2. Um segundo plano infinito, com uma densidade de carga uni-
forme σ2 = 45nC/m2, intercepta o plano xz no eixo z e faz um ângulo de 30◦ com
o plano xz. Determine o campo elétrico no plano xy nos pontos de coordenadas (a)
(x;y) = (6m,2m) e (b) (x;y) = (6m,5m).
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23. A figura abaixo mostra um trecho da seção transversal de um cabo concêntrico. O
condutor interno tem raio R1 = 1,30mm e comprimento L = 11m, enquanto a casca
cilı́ndrica condutora coaxialtem raio R2 = 10R1 e o mesmo comprimento L. A carga
do condutor interno é Q1 = 3,4pC; e na casca é Q2 = −2Q1. Quais são as (a) mag-
nitude e direção (radialmente para dentro ou fora) do campo elétrico a uma distância
radial r = 2R2? Quais são as (b) magnitude e direção a r = 5R1? Quais são as cargas
nas superfı́cies (c) interior e (d) exterior da casca?
24. A figura abaixo mostra uma esfera sólida de a = 2cm concêntrica com uma casca
esférica condutora de raio interno b = 2a e raio externo c = 2,4a. A esfera tem uma
carga uniformemente distribuı́da q1 = 5 fC; a casca tem carga q2 = −q1. Qual é a
magnitude do campo elerico a distâncias radiais (a) r = 0, (b) r = a/2, (c) r = a, (d)
r = 1,5a, (e) r = 2,3a, e (f) r = 3,5a? Quais são as cargas nas superfı́cies (g) interior
e (h) exterior da casca?
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25. Uma carga puntual Q é localizada no eixo de um
disco de raio R a uma distândia b do plano do disco.
Mostre que se um quarto do fluxo elétrico devido a
carga passa através do disco, então R =
√
3b.
26. Uma esfera não-condutora de raio a, carregada uniformemente, tem seu centro na
origem e uma densidade volumétrica de carga ρ . (a) Mostre que em um ponto no
interior da esfera a uma distância r do centro, ~E = ρ3ε0 rr̂. (b) Material é removido da
esfera, deixando uma cavidade esférica de raio b = a/2 com centro em x = b sobre
o eixo x (Figura abaixo). Calcule o campo elétrico nas posições 1 e 2 mostradas na
Figura. (Sugestão: substitua a esfera com cavidade por duas esferas uniformes com
densidades de carga iguais, uma positiva e outra negativa.)
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Respostas
1. (a) ~EI = −
(
σ
ε0
)
î = −
(
3,39×105N/C
)
î, ~EII = 0, e ~EIII =
(
σ
ε0
)
î, (b) ~EI = 0, ~EII =(
σ
ε0
)
î =
(
3,39×105N/C
)
î, e ~EIII = 0.
2. (a) 4,69×105N/C, (b) 1,13×106N/C, (c) 1,54×103N/C.
3. ~E =− λ04ε0R ĵ.
5. E = σ4ε0 .
6. ~E =− |q|
π2ε0R2
ĵ = (−20,6N/C) ĵ.
7. ~E =− |q|
π2ε0R2
ĵ = (−23,8N/C) ĵ
8. (a) 1,51N.m2/C, (b) 0, (c) 3,02N.m2/C, (d) 2,67×10−11C.
9. (a) 3,14m2, (b) 7,19×104N/C, (c) 2,26×105N.m2/C, (d) Não, (e) 2,26×105N.m2/C.
10. φ = Qliq6ε0 = 3,37×10
4N.m2/C.
11. (a) Q = 2πA
(
r2−a2
)
, (b) A = q2πa2 .
12. σ = 2ε0mg tanθq = 5,0nC/m
2.
15. (b) Er<R = ar
2
3ε0
e Er>R = aR
3
3ε0r
.
16. (a) Er<R1 = 0, ER1<r<R2 =
1
4πε0
q1
r2 , Er>R2 =
1
4πε0
q1+q2
r2 , (b) q1/q2 =−1.
17. (a) 0,407nC, (b) zero, (c) zero, (d) 983N/C, (e) 366N/C.
18. (a) 0,407nC, (b) 339N/C, (c) 999N/C, (d) 983N/C, (e) 366N/C.
19. (a) Er<a = 0 e Qliq = 0, (b) Qliq =
4πρ
3
(
r3−a3
)
e Ea<r<b =
ρ
3ε0r2
(
r3−a3
)
, (c)
Qliq =
4πρ
3
(
b3−a3
)
e Ea<r<b =
ρ
3ε0r2
(
b3−a3
)
.
20. E = Q
ε0L2
= 9,42kN/C.
21. (a) σ = q2L2 = 1,60µC/m
2 e E = σ
ε0
= 1,81×105N/C, (b) Eesq =−0,68×105N/C
e σesq = 0,60µC/m2, Edir = 2,94×105N/C e σdir = 2,60µC/m2.
22. (a) ~E = (1,27N/C) î+(1,47N/C) ĵ, (b) ~E = (−1,27N/C) î+(5,87N/C) ĵ.
23. (a) ~E = − Q12πε0Lr r̂ = −(0,214N/C) r̂, (b) ~E =
Q1
2πε0Lr
r̂ = (0,855N/C) r̂, (c) Qint =
−Q1, (d) Qext =−Q1.
24. (a) E = 0, (b) E = q1r4πε0a3 = 0,056N/C, (c) E =
q1
4πε0a2
= 0,11N/C, (d) E = q14πε0r2 =
0,049N/C, (e) E = 0, (f) E = 0, (g) Qint =−q1, (d) Qext = 0.
25. φ discoe =
Q
2ε0
[
1− b√
b2+R2
]
.
26. (b) ~E1 = ~E2 =
ρb
3ε0
r̂.
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