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Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidades Continuação... ⇒⇒⇒⇒ Aproximação da Distribuição Binominal pela Distribuição Normal Seja X uma v.a discreta com distribuição binominal com parâmetros n e p. Se n é grande podemos calcular probabilidades associadas a X utilizando a tabela de distribuição normal padrão, uma vez que: npq npX Z −= Lembre-se: para uma distribuição binominal têm-se npq)X(Vnp)X(E 2 ==σ==µ Um gráfico pode ser montado para exemplificar a situação. Se np > 5 e nq > 5 a aproximação pela normal é “boa”, ou seja, pode ser aplicada com segurança! 1 Mas... precisamos empregar a “Correção de Continuidade”: (x - 0,5) e/ou (x + 0,5). Por quê? .... Por quê? empregamos a distribuição Normal como uma aproximação da distribuição Binomial . Então: ( ) ( ) −+≤≤−−=+≤≤−== npq np5,0a Z npq np5,0a P5,0aX5,0aPaXP ( ) −+≤≤−−=≤≤ npq np5,0b Z npq np5,0a PbXaP 2 Exemplo: Suponha que 25% de todos os motoristas habilitados de um determinado estado não tenham seguro e que a µ = 12,5 e o σ = 3,06. Represente por X o número de motoristas sem seguro em uma amostra aleatória de tamanho 50. Solução X = o número de motoristas sem seguro p: sucesso é o motorista não ter seguro = 0,25 como np = 12,5 > 5 e nq = 37,5 > 5 a aproximação pela normal pode ser aplicada com segurança. a) ( )10XP = ≈ ( ) ( ) ( )98,065,0 06,3 5,125,010 Z 06,3 5,125,010 P5,010X5,010P −Φ−−Φ= −+≤≤−−=+≤≤− b) ( ) ( ) 0,2578 0,65- 06,3 5,125,010 ZP10XP =Φ= −+≤=≤ c) ( ) ( ) ( ) 0,8320 61,20,98 06,3 5,125,015 Z 06,3 5,125,05 P15X5P =−Φ−Φ= −+≤≤−−=≤≤ 3 Observação: A distribuição de Poisson pode ser empregada como aproximação da Binominal. Logo, se X é uma Poisson com parâmetroλ>5, podemos fazer: λ λ−= XZ tem uma distribuição Normal padrão. que também precisa de uma “Correção de Continuidade”. 4 ⇒⇒⇒⇒ Distribuição Exponencial • Na distribuição de Poisson foi definido como v.a o número de falhas ao longo de um intervalo contínuo (tempo, distância, etc...); • A distância (intervalo contínuo) entre as falhas é uma outra variável aleatória que é freqüentemente de interesse; • A distribuição Exponencial é usada como modelo para distribuição dos tempos/distâncias (intervalo contínuo) entre a ocorrência de eventos sucessivos. A v.a X é igual à distância entre contagens sucessivas de um processo de Poisson: Supor que o número de eventos que ocorrem num intervalo de tempo tenha distribuição de Poisson. Então, a distribuição do tempo decorrido entre a ocorrência de dois eventos sucessivos é Exponencial. • Muita usada para modelar: clientes chegando em uma unidade de atendimento; chamadas em uma central telefônica; o tempo até a falha de um equipamento que não se desgasta (Propriedade de Falta de Memória - exemplo 5.22 do livro texto, pág. 91). • Importante usar unidades consistentes no cálculo de probabilidades, médias e variâncias envolvendo v.a Exponenciais (vide exemplo 5.21 do livro texto). 5 Uma v.a. contínua X, que tem distribuição Exponencial com parâmetro 0>λ , possui a seguinte f.d.p.: ≥λ < = λ− 0xe 0x0 )x(f x e a f.d.a (função de distribuição acumulada) é definida como: ≥− < =λ λ− 0xe1 0x 0 );x(F x Se a v.a X tiver uma distribuição Exponencial, com parâmetro λ, então: ( ) ( ) 2 1 XVe 1 XE λ = λ = Exemplo: Suponha que o tempo de resposta X num terminal de computador on line específico (o tempo entre o final de uma consulta de um usuário e o começo da resposta do sistema para essa consulta) tenha distribuição Exponencial com tempo de resposta esperado igual a 5 segundos. Dica do problema: ( ) 0,2 5 1 XE =λ⇒= λ = a) Qual probabilidade do tempo de resposta ser no máximo 10 segundos? ( )( ) 0,865 e-1 e-1 F(10;0,2) )10X(P 2-100,2- ====≤ b) Qual probabilidade do tempo de resposta estar entre 5 e 10 segundos? ( ) ( ) 0,233 e1e-1 F(5;0,2) - F(10;0,2) )10X5(P 12- =−−==≤≤ − 6
