Exercícios de equação (com resolução)

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Exercícios de equação
Questão 1 – Considere o conjunto universo U = ℕ e determine a solução da equação irracional a seguir:
Resolução:
Para resolvermos essa equação, devemos preocupar-nos em eliminar a raiz do primeiro membro. Observe que, para isso, é necessário elevarmos o primeiro membro ao mesmo índice da raiz, ou seja, ao cubo. Pelo princípio da equivalência, devemos também elevar o segundo membro da igualdade.
Veja que agora devemos resolver uma equação polinomial do segundo grau. Vamos passar o número 11 para o segundo membro (subtrair 11 em ambos os lados da igualdade), com o intuito de isolarmos a incógnita x.
x2 = 27 – 11
x2 = 16
Agora para determinar o valor de x, veja que existem dois valores que satisfazem a igualdade, x’ = 4 ou x’’ = –4, uma vez que:
42 = 16
e
(–4)2 = 16
Entretanto, observe no enunciado da questão que o conjunto universo dado é o conjunto dos números naturais, e o número –4 não pertence a ele, assim, o conjunto solução é dado por:
S = {4}
Questão 2 – Considere a equação polinomial x2 + 1 = 0 sabendo que o conjunto universo é dado por U = ℝ.
Resolução:
Pelo princípio da equivalência, subtraia 1 em ambos os membros.
x2 + 1 – 1= 0 – 1
x2 = – 1
Veja que a igualdade não possui solução, uma vez que o conjunto universo são os números reais, isto é, todos os valores que a incógnita pode assumir são reais, e não existe número real que, quando elevado ao quadrado, seja negativo.
12 = 1
e
(–1)2 = 1
Portanto, a equação não tem solução no conjunto dos reais, e, assim, podemos dizer que o conjunto solução é vazio.
S = {}
Questão 3 - (Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00 e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00.
De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas?
a) R$ 14,00.
b) R$ 17,00.
c) R$ 22,00.
d) R$ 32,00.
e) R$ 57,00.
Resolução:
Observe que as 50 pessoas que já estavam no grupo já haviam pagado sua parte e agora deveriam contribuir com mais R$ 7,00. Essa nova contribuição, somada à parte dos cinco novos integrantes, deve resultar em R$ 510,00. Assim, se a parte de cada um dos cinco novos integrantes for representada por x, teremos:
5·x + 50·7 = 510
5x + 350 = 510
5x = 510 – 350
5x = 160
x = 160
      5
x = 35
Agora observe que R$ 32,00 é exatamente o valor que cada uma das cinco novas pessoas do grupo pagará. Como o enunciado diz que todos pagarão exatamente a mesma quantia, podemos dizer que cada uma das 55 pessoas pagará R$ 32,00.
Gabarito: letra D.
Questão 4 - (Vunesp – 2011) Pedrinho tinha quatro anos quando sua mãe deu à luz gêmeos. Hoje a soma das idades dos três irmãos é 52 anos. A idade de Pedrinho hoje é:
a) 16 anos.
b) 17 anos.
c) 18 anos.
d) 19 anos.
e) 20 anos.
Resolução:
Para resolver esse problema, considere a idade dos gêmeos como x. Como Pedrinho é quatro anos mais velho, sua idade é 4 + x. Sabendo que a soma das idades dos três irmãos é igual a 52, podemos montar a seguinte equação:
4 + x + x + x = 52
4 + 3x = 52
3x = 52 – 4
3x = 48
x = 16
A idade dos gêmeos é 16 anos, o que significa que Pedrinho tem x + 4 = 16 + 4 = 20 anos.
Gabarito: letra E.
Questão 5 - Um terreno que possui formato quadrado tem área total de 784 m2 e foi dado como herança a dois irmãos, que decidiram dividi-lo ao meio diagonalmente com uma cerca de arame. Quantos metros de cerca serão construídos?
a) 39,6 m
b) 28 m
c) 32 m
d) 39,1 m
e) 40,2 m
Resolução:
Se o terreno foi dividido diagonalmente, o comprimento da cerca é igual ao comprimento da diagonal desse quadrado. Para descobri-la, precisamos descobrir a medida do lado do quadrado. Observe:
A = l2
784 = l2
l2 = 784
l = √784
l = 28 metros
A diagonal do quadrado, por sua vez, é determinada pela seguinte equação:
d = l√2
d = 28√2
d = 39,6 metros
Portanto, serão construídos 39,6 metros de cerca.
Gabarito: letra A.
Questão 6 - Qual o número de lados de um polígono que possui 170 diagonais?
a) 20 lados
b) 34 lados
c) 40 lados
d) 20 lados
e) 1369 lados
Resolução:
A fórmula usada para determinar o número de diagonais de um polígono a partir do número de lados é a seguinte:
D = n(n – 3)
     2
170 = n(n – 3)
        2
170·2 = n(n – 3)
340 = n2 – 3n
n2 – 3n – 340 = 0
Agora usaremos o método resolutivo de Bhaskara para resolver essa equação.
A = 1, b = – 3 e c = – 340
Δ = b2 – 4·a·c
Δ = (– 3)2 – 4·1·(– 340)
Δ = 9 + 1360
Δ = 1369
n = – b ± √Δ
      2·a
n = – (– 3) ± √1369
       2·1
x = 3 ± 37
    2
n’ = 3 + 37 = 40 = 20
  2        2
n’’ = 3 – 37 = – 34 = – 17
2          2 
Como não pode existir um polígono com número de lados negativo, esse polígono possui 20 lados.
Gabarito: letra D.