3- Funciones, continuidad y derivadas

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Funciones de varias variables 
 
En Matemática I analizaron el comportamiento de funciones de una variable. Para estas, una 
magnitud dependía de otra, siendo las variables una independiente y la otra dependiente. 
Existen casos en los que una magnitud depende de dos o más variables. Por ejemplo, si 
queremos calcular el volumen de un cono circular recto, debemos conocer su radio y su altura. 
La manera de expresarlo con una función es 2
1
( , )
3
V r h r h . Las variables independientes 
son r, h, y la variable dependiente es V. 
O la longitud de la diagonal de un prisma recto, depende de tres variables: el largo, la altura y 
la profundidad. Se calcula 2 2 2( , , )D l a p l a p   . Esta función tiene tres variables 
independientes, y la variable dependiente es D. 
En general, una función de n variables 1 2, ,..., nx x x es una relación que le asigna a cada punto 
1 2( , ,..., )nx x x un solo valor de la variable dependiente. 
Así como se definía el dominio de una función de una variable, también se puede definir el de 
una función de varias variables. Describiremos el conjunto de puntos para los cuales se puede 
aplicar la función. 
Para el primer caso 
21( , )
3
V r h r h representa el volumen de un cono circular recto. Como 
es función de dos variables, el dominio será un subconjunto de ℝ2. Hay que ver qué valores 
pueden tomar r, y h. Por ser las medidas del radio y de la altura del cono, deben ser números 
mayores a 0. No hay ninguna otra restricción, el dominio será Dom(V)={(r,h)∊ℝ2: r>0, h>0}. 
Gráficamente, vemos al dominio como el conjunto de puntos de ℝ2 que están en el primer 
cuadrante, excluyendo los puntos de los ejes. 
 
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En el segundo caso, la función 2 2 2( , , )D l a p l a p   es de tres variables, por lo tanto el 
dominio es un subconjunto de ℝ3. Nuevamente, las variables independientes representan 
longitudes, que sólo pueden tomar valores positivos. 
El dominio de esta función se escribe Dom(D)={(l,a,p)∊ℝ3: l>0, a>0, p>0}, y gráficamente es el 
primer octante del espacio ℝ3. 
 
De una función podemos conocer su expresión, sin que esté involucrado un contexto 
geométrico, como en los dos ejemplos anteriores. En esos casos, para describir el dominio 
debemos ver las restricciones algebraicas de la expresión. 
Por ejemplo, consideremos la función de dos variables 2( , )f x y y x  . Su dominio es un 
subconjunto de ℝ2, y la única condición que debe cumplir un punto para que se le puedan 
aplicar todas las operaciones es 2 0y x  , pues a un número negativo no se le puede calcular 
la raíz cuadrada. 
Esto es equivalente a pedir 2y x . Los puntos que satisfacen esto son los que están arriba de 
la curva 2y x (incluyendo a la parábola). Notamos que, a diferencia de los primeros 
ejemplos, no hay que pedirles a cada una de las variables independientes que sea mayor a 
cierto valor por separado, sino que se debe cumplir una desigualdad que involucra a las dos 
variables a la vez. 
Lo representamos de estas dos formas: 
Dom(f)={(x,y)∊ℝ2: y≥x2} 
 
 
Gráficas de funciones 
Después de describir el dominio de una función, nos podría interesar la forma que tiene su 
gráfica. ¿Cómo se define la gráfica de una función de varias variables? De la misma forma que 
para funciones de una sola variable. 
Para funciones del tipo ( )f x , la gráfica estaba formada por los puntos de la forma  , ( )x f x . 
Es decir, por los puntos (x,y)∊ℝ2, tales que Dom( )x f , con ( )y f x . Estos puntos 
generaban una curva plana. 
 
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Análogamente, la gráfica de una función de dos variables ( , )f x y será una superficie cuyos 
puntos (x,y,z)∊ℝ3 satisfacen ( , ) Dom( )x y f , con ( , )z f x y . 
De la misma manera, podemos definir a la gráfica de una función de tres variables como el 
conjunto de puntos (x,y,z,w)∊ℝ4, que cumplen ( , , )w f x y z . Pero es claro que no lo 
podremos representar en un gráfico, ya que no sabríamos cómo dibujar en ℝ4. Las únicas 
gráficas que podemos representar gráficamente son las de funciones de hasta dos variables. 
 
Como paso intermedio a la construcción de la gráfica de una función de dos variables, 
definimos a las curvas de nivel, cuyo estudio nos ayudará a imaginar la superficie de ecuación 
( , )z f x y . 
Curvas de nivel 
Sea la función ( , )f x y . Las curvas de nivel de esta función son las curvas planas de ecuación 
( , )f x y K , siendo K una constante real. 
Ejemplo 
Tomamos la misma función a la que le hallamos dominio: 2( , )f x y y x  . 
La expresión general de una curva de nivel de esta función es 2y x K  . Notar que los 
valores que puede tomar la constante K deben ser números mayores o iguales a 0, dado que la 
expresión del lado izquierdo toma la raíz positiva. 
Entonces las curvas de nivel tendrán ecuación 2y x K  , que es equivalente a 2 2y x K  , 
y también a: 2 2y x K  . Todas estas ecuaciones representan parábolas con eje de simetría 
vertical, y vértice en el punto  20;K . 
Reemplazando a la constante con los valores 
0, 1, 2, 3K K K K    , obtenemos las curvas: 
2 2 2 2; 1; 4; 9y x y x y x y x       .La representación de 
varias curvas de nivel en un mismo sistema de ejes coordenados da 
lugar a un mapa de contornos. El de esta función se ve así: 
 
Veamos cómo ese mapa nos puede dar una idea de la gráfica de la función. 
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Habíamos definido a la gráfica como el conjunto de puntos que cumplen ( , )z f x y . Al armar 
las curvas de nivel, reemplazamos la variable z por distintas constantes. Entonces a cada una 
de esas curvas las podemos imaginar en el espacio, sobre el plano de ecuación z K . En este 
ejemplo, eso se vería así: 
 
 
 
 
 
 
Todas estas curvas del espacio están contenidas en la superficie de ecuación 2z y x  . Si 
dibujáramos más curvas, se podría adivinar la forma de la gráfica. Tendríamos algo así: 
 
 
 
 
 
 
 
Pero realmente, ¿qué superficie define la ecuación 2z y x  ? La podemos transformar 
haciendo algunas operaciones: 2 2 2 2 2z y x z y x y x z        . 
Esta última es la ecuación de un paraboloide elíptico con vértice en el origen y cuyo eje de 
simetría es el eje y. Aunque en realidad en la ecuación original 2z y x  , sólo se acepta la 
raíz positiva, entonces es la mitad superior del paraboloide. 
Notemos que si la superficie de ecuación ( , )z f x y no fuera una cuádrica o una superficie 
conocida, a partir de las curvas de nivel, igualmente podríamos esbozar su gráfica. 
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Ejemplo 
Las curvas de nivel se usan en los mapas de clima para 
representar los lugares donde la temperatura es 
constante (isotermas), o donde el nivel de 
precipitaciones por unidad de tiempo es constante 
(isohietas). 
También en cartografía, representando los puntos en los 
cuales la altura sobre algún nivel de referencia es 
constante (isohipsa); y en oceanografía, los puntos donde 
la profundidad es constante (isóbata). 
 
Superficies de nivel 
Para el caso de las funciones de tres variables, ya vimos que no podemos representar su 
gráfica, pero sí podemos definir algo análogo a las curvas de nivel en las funciones de dos 
variables. 
Dada la función ( , , )f x y z , las superficies de nivel de esta función son las superficies de 
ecuación ( , , )f x y z K , siendo K una constante real. 
Ejercicios 
34. Describir y graficar el dominio de las funciones: 
a. ( , )
ln( )
x y
f x y
y

 
b. 2 2 2( , , )F x y z x y z   
c. 2 2( , ) ln( 1)h x y x y   
d. 
2 2
( , )
4 1
x y
g x y
x y


  
 
35. Graficar algunascurvas de nivel de cada función, y usarlas para esbozar sus gráficas. 
a. ( , ) 6 2f x y x y   
b. 2 2( , ) 36 4 9g x y x y   
c. 2 2( , ) 1h x y y x   
d. 
2 2
6
( , )
1
j x y
x y

 
36. Describir y graficar las superficies de nivel de la función 2 2 2( , , )G x y z x y z   para 
las constantes 2, 1, 0, 1, 2K K K K K       . 
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Continuidad 
Ya definimos dominio y gráfica de una función de dos variables. Los dos conceptos se pueden 
pensar de una manera análoga a las definiciones conocidas para funciones de una variable. 
Lo siguiente que se puede estudiar es la continuidad de una función ( , )f x y . Haremos lo 
mismo: adaptar la definición de función continua que vieron en Matemática 1. 
Se dice que la función ( , )f x y es continua en el punto ( ; )a b si: 
 está definida ( , )f a b 
 existe el límite 
( , ) ( , )
lim ( , )
x y a b
f x y

 
 esos dos valores coinciden: 
( , ) ( , )
lim ( , ) ( , )
x y a b
f x y f a b

 
 
La primera condición equivale a pedir que el punto ( ; )a b pertenezca al dominio de la función. 
Si eso no pasa, no puede haber continuidad en ese punto. 
La segunda condición habla de un límite, tendremos que ver cómo se calculan límites con 
funciones de dos variables, y qué significa la existencia del límite en un punto. Podemos 
adelantar que, haciendo una analogía con funciones de una variable, una función tiene límite 
en el punto ( , )a b si ( , )f x y L cuando ( , ) ( , )x y a b . 
La tercera condición pide una igualdad entre dos cantidades calculadas antes. 
 
Así como definimos la continuidad en un punto, diremos que una función ( , )f x y es continua 
en un conjunto D⊂ℝ2 si es continua en todos los puntos del conjunto D . 
 
Ejemplo 
La función 2 2( , ) ln( )f x y x y  es continua en todo su dominio, por ser composición de un 
polinomio y un logaritmo (ambas funciones continuas). Es decir, es continua en el conjunto 
D={(x,y)∊ℝ2: x2+y2>0}, o lo que es lo mismo, en D=ℝ2-{(0;0)}. No necesitamos calcular ningún 
límite para afirmar esto. Basta con analizar las operaciones que se usan para armar la 
expresión de ( , )f x y , y el dominio de esta. 
 
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Ejemplo 
Consideremos la función 
2 2ln( ) si ( , ) (0,0)
( , )
1 si ( , ) (0,0)
x y x y
g x y
x y
  
 

. 
Esta es una función “a trozos”. Cuando el punto a evaluar es el origen, la función toma el valor 
1. Si queremos evaluar en un punto distinto al origen, debemos reemplazarlo en la expresión 
de arriba. 
El dominio de ( , )g x y es todo ℝ2, dado que la expresión 2 2ln( )x y puede evaluarse en 
cualquier punto ( , ) (0,0)x y  , que es justamente donde se debe aplicar. El único punto en el 
que el logaritmo no se podría evaluar, la función le asigna el valor (0,0) 1g  . 
¿Dónde es continua ( , )g x y ? Para los puntos ( , ) (0,0)x y  , la expresión que vale es 
2 2ln( )x y , que es composición de funciones continuas. Por lo tanto en esos puntos, ( , )g x y 
es continua. 
¿Qué pasa en el punto (0,0) ? Analicemos si se cumplen las tres condiciones de continuidad: 
 (0,0) 1g  . 
 ¿Existe el límite 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
g x y

? Hay que decidir si el valor de ( , )g x y se va 
acercando a un número fijo cuando ( , ) (0,0)x y  . Como la intención es acercarse al 
punto (0,0) debemos usar la expresión 2 2ln( )x y , pues no importa cómo se 
comporta la función en el punto, sino en el alrededor. 
Al acercarnos al origen, el argumento del logaritmo tiende a 0, por lo tanto el 
logaritmo va tomando valores cada vez más grandes y negativos. Esto se escribe: 
 
0
2 2
( , ) (0,0) ( , ) (0,0)
lim ( , ) lim ln( )
x y x y
g x y x y

 
    
Por lo tanto, decimos que el límite 
( , ) (0,0)
lim ( , )
x y
g x y

 NO EXISTE. 
Al no cumplirse la segunda condición de la continuidad, concluimos que ( , )g x y no es 
continua en (0,0) . 
Entonces la función ( , )g x y es continua en D=ℝ2-{(0;0)}, a pesar de que su dominio es 
Dom(g)=ℝ2. 
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Límites 
Ya vimos que la idea de límite de funciones de dos variables es similar al caso de las funciones 
de una variable. Se dice que una función ( , )f x y tiene límite en el punto ( , )a b si 
( , )f x y L cuando ( , ) ( , )x y a b . Sin embargo, para decidir si un límite existe o no, habrá 
algunas diferencias en la manera de operar. 
Las propiedades que valían en límites de funciones de una variable, siguen valiendo (el límite 
de la suma, del producto, del cociente, potencia, etc.). 
Veamos ahora cómo se calculan ciertos límites. 
 Por evaluación directa. 
1
2
2 2( , ) (1;2)
2
1
lim
1 2x y
x y x y
y x



  

 
 
El numerador tiende a 1, el denominador tiende a 2. Entonces el límite existe y vale ½. 
 Mejorando la expresión. 
0
2 2
2 2( , ) (0;0)
0
4 2
lim
x y
x y
x y



  

 
Como aquí tanto el numerador como el denominador tienden a 0, aún no podemos 
saber si este límite existe. Se dice que hay una indeterminación. Tratamos de 
eliminarla “acomodando” la expresión. En este caso, al tener una raíz y una resta en el 
numerador, recurrimos a la técnica de multiplicar numerador y denominador por el 
conjugado de esa resta: 
   
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2( , ) (0;0) ( , ) (0;0)
2 22 2
( , ) (0;0) ( , ) (0;0)2 2 2 2
4 2 4 2 4 2
lim lim
4 2
4 4
lim lim
4 2
x y x y
x y x y
x y x y x y
x y x y x y
x yx y
x y x y
 
 
        
  
    
  
 
      2 2x y  2 2
2 2( , ) (0;0)
4
4 2
1 1
lim
44 2x y
x y
x y


   
 
  
 
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54 
 
 Acercarse al punto por “caminos”. 
0
2 2( , ) (0;0)
0
4
lim
x y
xy
x y




 
De nuevo hay una indeterminación, pero aquí no podemos simplificar la expresión 
para eliminarla y decidir si el límite existe o no. 
Lo que haremos será acercarnos al punto en cuestión, en este caso el (0;0) . 
Recordemos que la existencia del límite para funciones de una variable se aseguraba si 
los límites laterales existían y tenían el mismo valor. Pero para funciones de dos 
variables, existen infinitas maneras de aproximarse a un punto, dado que por un 
2( , )a b  pasan infinitas curvas. Por eso el método de acercarse a un punto por distintos 
caminos no nos sirve para asegurar la existencia del límite. Aunque si encontramos 
dos caminos para los que el valor del límite no coincida, ya podemos decir que el 
límite no existe (por la sencilla razón de que para existir, el valor del límite debe ser el 
mismo siempre, sin importar por qué curva nos acercamos). 
Elijamos una curva que pase por el punto (0;0) . Una opción 
sencilla es la recta de ecuación y x . Reemplazamos en el 
límite original, y se obtiene: 
2
2 2 2( , ) (0;0) 0 0
 
4 4 4
lim lim lim 2
2 2x y x x
y x
x x x
x x x  


  

 
Esto significa que al aproximarnos al origen por la recta y x , la función toma 
valores cercanos a 2. Pero esto no nos permite afirmar que el límite original exista, 
pues hay otros caminos que pasan por el punto. 
Ahora consideremos la recta vertical 0x  . Reemplazando: 
2 2 2( , ) (0;0) 0
 0
4 0 0
lim lim 0
0x y y
x
y
y y 

 
 

 
Por lo tanto, al acercarnos por esta recta la función toma 
valores próximos a 0. 
Así que ya podemos afirmar que el límite original NO EXISTE, pues hay dos caminos 
que arrojan distintos resultados. 
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 Si acercarse por caminos no es concluyente. 
0
2
2 2( , ) (0;0)
0
lim
x y
x y
x y




 
Este es otro caso en el que no podemos mejorar la expresión para salvarla 
indeterminación, y nos vamos a acercar por caminos: 
Recta y x . Reemplazamos en el límite original, y se obtiene: 
2 3
2 2 2( , ) (0;0) 0 0
 
lim lim lim 0
2 2x y x x
y x
x x x x
x x x  


  

 
Recta 0y  : 
2
2 2 2( , ) (0;0) 0
 0
0 0
lim lim 0
0x y x
y
x
x x 


 

Recta 0x  : 
2
2 2 2( , ) (0;0) 0
 0
0 0
lim lim 0
0x y y
x
y
y y 


 

Parábola 2y x : 
   2
2 2 4 4 2
2 2 4 22 2( , ) (0;0) 0 0 02 2
 
lim lim lim lim 0
11x y x x x
y x
x x x x x
x x xx xx x
   


   
 
 
Vemos que a lo largo de los cuatro caminos elegidos el valor del límite es 0. Por 
supuesto que esto no alcanza para sacar una conclusión. Pero podemos creer que el 
límite podría llegar a existir y valer 0. 
 
Una manera de demostrar que un límite existe es usando coordenadas polares. 
Describimos a las coordenadas de un punto como: cos( ), sen( )x r y r     . Ya 
vimos antes que si r es una constante, esta es la parametrización de una circunferencia 
de radio r, con centro en (0;0) . Pues bien, vamos a reemplazar a las variables ,x y en 
la expresión del límite, y hacer que r tienda a 0. Geométricamente, estamos 
acercándonos al origen por medio de circunferencias de radio cada vez menor. De esta 
forma abarcamos todos los caminos que llegan al punto en cuestión. 
 
   
22
2 22 2( , ) (0;0) 0
cos( ) sen( )
lim lim
cos( ) sen( )x y r
r rx y
x y r r
 
 
 
  

   
 
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Trabajando este límite: 
 
acotado0
3 2 2
2 2 20 0
1
cos ( ) sen( ) cos ( ) sen( )
lim lim 0
1cos ( ) sen ( )r r
r r
r
   
  

 

   
 
 
 
Ahora sí podemos concluir que el límite existe y vale 0. 
 
Aclaraciones: Si encontramos dos caminos que nos dan distintos resultados para el límite, 
entonces el límite original no existe. Pero si encontramos muchos caminos que arrojan el mismo 
límite, no podemos afirmar la existencia de este. Debemos recurrir a la técnica de las 
coordenadas polares, que sí es concluyente. ¿Entonces por qué no probamos con coordenadas 
polares desde el principio? Pues porque probar que un límite no existe, suele ser mucho más 
sencillo acercándonos por caminos. En cualquier caso, hay que ser prolijo, ordenado y cuidadoso. 
 
Ejercicios 
37. Decidir si existen los siguientes límites: 
a. 
( , ) (4;3)
1
lim
1x y
x y
x y
 
 
 
b. 
2
4 2( , ) (0;0)
lim
x y
x y
x y 
 
c. 
3
2 2( , ) (0;0)
lim
x y
x y
x y 
 
d. 
2
2 2( , ) (0;0)
lim
x y
x y
x y


 
e. 
2 2( , ) (0;1)
lim
2 1x y
xy x
x y y

  
 
f. 
 2 2
2 2( , ) (0;0)
lim
x y
x x y
x y
 

 
 
38. Describir el dominio de la función 
2 2
2 2
4 2
si ( , ) (0,0)
( , )
1 si ( , ) (0,0)
x y
x y
f x y x y
x y
   

  


 
y decidir en qué conjunto resulta continua. Justificar. 
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57 
 
Derivadas parciales 
Recordemos que para estudiar la razón de cambio de funciones de una variable, definíamos a 
la derivada de la función ( )f x en el punto 0x x como el límite del cociente incremental: 
0 0
0
0
( ) ( )
(́ ) lim
h
f x h f x
f x
h
 
 
El cociente incremental representa la variación media de ( )f x en el intervalo  0 0;x x h . En 
el numerador tenemos a la variación de la función en ese intervalo, y en el denominador a la 
variación de la variable x . 
Es claro que la única manera de desplazarse en el dominio de ( )f x desde el punto 0x x es 
hacia la izquierda o hacia la derecha. Veamos qué pasa con las funciones de dos variables. 
 
 
Sea una función de dos variables ( , )f x y . Consideramos un punto ( , )a b en el dominio de f. 
Queremos estudiar cómo cambia la función cuando nos movemos a partir de ese punto. 
Como , no hay una única dirección hacia la cual nos podemos mover. Es decir, para 
calcular la razón de cambio de ( , )f x y en ( , )a b hace falta decidir en qué dirección queremos 
desplazarnos. 
En principio, vamos a considerar dos direcciones principales: las direcciones de los ejes 
coordenados. 
Para desplazarse en el sentido del eje x, hay que dejar fija a la variable y. Luego, el cociente 
incremental en esa dirección es 
( , ) ( , )f a h b f a b
h
 
. 
Análogamente, para moverse en el sentido del eje y hay que dejar fija a la variable x. En esa 
dirección el cociente incremental es 
( , ) ( , )f a b h f a b
h
 
. 
Entonces para calcular la razón de cambio de ( , )f x y en el punto ( , )a b , en la dirección del 
eje x , se calcula el límite 
0
( , ) ( , )
lim
h
f a h b f a b
h
 
; y en la dirección del eje y , el límite 
0
( , ) ( , )
lim
h
f a b h f a b
h
 
. 
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58 
 
En general, la razón de cambio de una función ( , )f x y en la dirección del eje x se llama 
derivada parcial de f respecto de x , se simboliza ( , )
f
x y
x


, o ( , )xf x y , y se calcula: 
0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) limx
h
f f x h y f x y
x y f x y
x h
  
 

 
Y la razón de cambio de la función ( , )f x y en la dirección del eje y se llama derivada parcial 
de f respecto de y , se simboliza 
f
y


, o 
yf , y se calcula: 
0
( , ) ( , )
( , ) ( , ) limy
h
f f x y h f x y
x y f x y
y h
  
 

 
En la práctica, a la derivada respecto de x la obtenemos considerando a y como una 
constante, y a la derivada respecto de y considerando a x como una constante. 
Para el caso de funciones de tres variables, la definición es similar, y cuando derivamos 
respecto de una variable, consideramos a las otras dos como si fueran constantes. 
 
Ejemplos 
 Si 2 3 2 4( , ) 3f x y x x y y   , entonces las derivadas parciales son 
2 2( , ) 6 3xf x y x x y  , 
3 3( , ) 2 4yf x y x y y  . 
 Si 2 3( , , ) sen( )f x y z x y x z   , entonces las derivadas parciales son 
2 2 2( , , ) sen( ) cos( )xf x y z y x x y x y    ,
2 2 2( , , ) cos( ) 2 2 cos( )yf x y z x y x yx yx y x     , 
2( , , ) 3zf x y z z . 
 Si ( , ) ln( )f x y y xy  , entonces las derivadas parciales son 
1
( , )x
y
f x y y y
xy x
    , 
1
( , ) ln( ) ln( ) 1yf x y xy y x xy
xy
      . 
 Si 
2
3( , )
2
x y
f x y z
x y

 

 entonces las derivadas parciales son 
2
2
1 (2 ) ( ) 2
( , )
(2 )
x
x y x y
f x y
x y
    


, 
2
2
2 (2 ) ( ) 1
( , )
(2 )
y
y x y x y
f x y
x y
     


. 
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59 
 
Ejemplo 
Si tres resistencias de 1 2 3, ,R R R ohms se conectan en paralelo 
para obtener una resistencia de R ohms, se puede obtener el 
valor de R con la expresión 
1 2 3
1
1 1 1
R
R R R

 
. 
Determinar 
2
(30;45;90)
R
R


, esto es, la razón de cambio de la resistencia R respecto de 2R 
cuando 1 2 330, 45, 90R R R   . 
Calculemos la derivada parcial que se pide. Para eso se puede reescribir la función como 
 
1
1 1 1
1 2 3( ) ( ) ( )R R R R

     . 
Entonces    
2
1 1 1 2
1 2 3 2
2
1 ( ) ( ) ( ) 1( )
R
R R R R
R

         

, o lo que es equivalente, 
2
2 2
2
1 2 3
1
1 1 1
( )
R
R
R
R R R


  
  
 
. 
Luego, 
2 2 2
2 2 2 2
1 1 1 1
(30;45;90)
91 1 1 3 2 1 3
45 45 45
30 45 90 90 45
R
R

   
       
         
     
. 
Por lo tanto, en los valores dados, una pequeña variación de 2R produce un aumento de 
1
9 en 
la resistencia R . 
 
Derivadas de orden superior 
Así como calculamos las derivadas primeras de una función ( , )f x y , podemos volver a 
derivar estas dos funciones ( , ), ( , )x yf x y f x y , para obtener las llamadas derivadas segundas. 
Como cada una de las derivadasprimeras depende de dos variables, hay un total de cuatro 
formas posibles de calcular derivadas segundas: las dos veces respecto de x; las dos veces 
respecto de y; primero respecto de x, después respecto de y; o primero respecto de y, después 
respecto de x. Estas cuatro derivadas segundas se simbolizan: 
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60 
 
 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )xx yy xy yxf x y f x y f x y f x y ; o también 
2 2 2 2
2 2
, , ,
f f f f
x y y x x y
   
     
. 
 
Calculemos las derivadas segundas de la función ( , ) ln( )f x y y xy  . Para eso, necesitamos 
las derivadas primeras. Anteriormente vimos que eran ( , )x
y
f x y
x
 , ( , ) ln( ) 1yf x y xy  . 
Volvemos a derivar estas funciones: 
2
2 2xx
f f f f y y
f
x x x x x x
      
       
      
 
 
2
2
1 1
ln( ) 1yy
f f f f
f xy x
y y y y xy y
    
       
    
 
2 1
xy
f f f f y
f
y x y x y x x
      
      
       
 
 
2 1 1
ln( ) 1yx
f f f f
f xy y
x y x y x xy x
    
       
     
 
 
Ejercicios 
39. Calcular las derivadas primeras de las funciones: 
a. 2 2( , ) 2f x y x y  
b. 
2 2
( , , )
x z
f x y z
x y



 
c. ( , ) ln( )xyf x y e y  
d. ( , ) tan
y
f x y
x
 
  
 
 
e. 2( , ) cos ( 3 )f x y x y  
f. 2( , ) sen( )f x y x xy y   
 
40. Calcular todas las derivadas segundas y verificar que se cumpla la igualdad xy yxg g : 
a. ( , )
y yg x y x
x
  
b. ( , ) cos( )xg x y y e x y   
Notemos que las derivadas ,xy yxf f 
tienen idéntica expresión. 
Esto no pasa sólo para esta función, 
sino que las derivadas “cruzadas” 
coinciden, siempre que estas resulten 
continuas. 
Este resultado se conoce como 
teorema de Clairaut. 
 
any_b
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any_b
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any_b
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any_b
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any_b
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any_b
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61 
 
Diferenciabilidad 
Al estudiar funciones de una variable ( )f x , la existencia de la derivada en un punto 
aseguraba que en ese punto la gráfica de la función tenía una recta tangente. Además el valor 
de '( )f a daba la pendiente de esa recta. Geométricamente, la recta de ecuación 
'( ) ( ) ( )y f a x a f a    era una buena aproximación para la curva ( )y f x en un entorno 
de x a . 
En el caso de funciones de dos variables, la existencia de las derivadas parciales en un punto 
no asegura que en ese punto la gráfica de la función tenga un plano tangente. 
Ejemplo 
Consideremos a la función ( , )f x y x y  . Su dominio es ℝ2, y es continua en todos los 
puntos por ser composición de funciones continuas (valor absoluto y raíz). 
Calculemos las derivadas parciales en el punto (0;0) , usando la definición: 
0 0 0
0 0 0(0 ;0) (0;0) 0 0
(0;0) lim lim lim 0x
h h h
hf h f
f
h h h  
    
    
0 0 0
0 0 0(0;0 ) (0;0) 0 0
(0;0) lim lim lim 0y
h h h
hf h f
f
h h h  
    
    
Ambas derivadas parciales existen en el origen. Sin 
embargo, en el gráfico de la función podemos ver que hay 
un “pico” en el (0;0;0) , y que no existe plano tangente en 
ese punto. Es decir que la sola existencia de las derivadas 
parciales en el punto no asegura que la gráfica de la función 
tenga un plano tangente en ese punto. 
 
Se dice que una función ( , )f x y es diferenciable en un punto si y sólo si existe un plano 
tangente a la gráfica de ( , )f x y en ese punto. Para mostrar que una función de dos variables 
es diferenciable, usaremos el siguiente resultado: 
 
Teorema: Si una función ( , )f x y tiene derivadas parciales continuas en una región abierta R, 
entonces la función es diferenciable en esa región. 
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62 
 
Regla de la cadena 
Para derivar funciones de una variable donde hay una composición, usábamos la regla de la 
cadena. Esta decía que, si ( )w f x y ( )x g t son funciones derivables, entonces la derivada 
de la composición ( ( ))w f g t se puede calcular con la expresión 
dw df dx
dt dx dt
  . 
Esta regla se puede generalizar para composiciones de funciones de dos o más variables, en 
varias formas. Veamos algunos ejemplos. 
 
Si ( , )w f x y es diferenciable, y ( ), ( )x x t y y t  son derivables, la derivada de la 
composición ( ( ), ( ))w f x t y t es 
dw f x f y
dt x t y t
   
   
   
. 
Una manera de representar la dependencia indirecta de w respecto de t es 
mediante el diagrama de árbol, en el cual podemos ver que hay dos maneras de 
llegar desde w hasta t. Por esto es que en la expresión aparecen dos términos 
sumados. 
 
Si ( , , )w f x y z es diferenciable, ( ), ( ), ( )x x t y y t z z t   son derivables, la derivada de 
la composición ( ( ), ( ), ( ))w f x t y t z t es 
dw f x f y f z
dt x t y t z t
     
     
     
. 
En el diagrama que lo representa pueden verse las tres maneras de llegar 
desde la variable w hasta la variable t. 
 
Si ( , , ), ( , ), ( , ), ( , )w f x y z x x u v y y u v z z u v    son funciones diferenciables, se puede 
armar la composición ( ( , ), ( , ), ( , ))w f x u v y u v z u v . Así, la variable w depende de u y de v. 
Usamos el diagrama del árbol para ver que hay tres formas de llegar 
desde w hasta u, y tres de llegar desde w hasta v. Las derivadas parciales 
de w son: 
dw f x f y f z
du x u y u z u
     
     
     
, 
dw f x f y f z
du x v y v z v
     
     
     
 
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63 
 
Ejemplo 
El voltaje V en un circuito que satisface la ecuación V I R  cae 
lentamente cuando la batería se acaba. Al mismo tiempo, la resistencia R 
aumenta cuando el resistor se calienta. 
Si en cierto instante 24V  volt, 600R  ohms, 0,5
dR
dt
 ohms/segundo, y 
0,01
dV
dt
  volt/segundo, calcular cómo está cambiando la corriente. 
Tenemos una composición pues I depende de V y R (con 
V
I
R
 ), y V, R 
dependen del tiempo t. El diagrama sería el siguiente:
La derivada que buscamos es 
dI
dt
, y se calcula 
dI I dV I dR
dt V dt R dt
 
   
 
. 
Ya conocemos los valores de 
dV
dt
 y 
dR
dt
 en ese instante, falta hallar 
dI
dV
, 
dI
dR
. 
Como 
V
I
R
 , sus derivadas parciales son: 
1dI
dV R
 , 
2
dI V
dR R
  . 
Evaluando con los datos conocidos, 
1
(24;600)
600
dI
dV
 amp/volt, 
2
24 1
(24;600)
600 15000
dI
dR
    amp/ohm. 
Reemplazando en la expresión obtenida con la regla de la cadena, tenemos: 
1 1
amp/volt ( 0,01volt/seg) amp/ohm 0,5ohm/seg
600 15000
0,00005amp/seg
dI I dV I dR
dt V dt R dt
   
           
   
 
 
Entonces la corriente disminuye a razón de -0,00005 amperes por segundo. 
 
 
 
Cálculo vectorial: Diferenciación de funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
64 
 
Ejercicios 
41. La temperatura en los puntos del plano está dada por 2 2( , ) 3 4T x y x xy y y    
(temperatura en ºC, distancia en metros). Una hormiga se mueve según la función de 
posición ( ) cos( );sen(2 ) , 0 2r t t t t    . Calcular: 
a. Cómo cambia la temperatura para la hormiga en al pasar por el punto (1;0) . 
b. Cómo cambia la temperatura para la hormiga en al pasar por el punto ( 1;0) . 
c. Cómo cambia la temperatura para la hormiga al pasar por el punto (0;0) . ¿Qué 
dificultad encontramos en este punto? 
 
Gradiente 
Dada una función f: ℝ→ℝn de n variables, definimos su gradiente como el vector de ℝn, cuyas 
componentes son las derivadas parciales de f . 
Por ejemplo, si la función es ( , )f x y , el gradiente es ( , ) ,x yf x y f f  . Si la función es 
( , , )f x y z , el gradientees ( , , ) , ,x y zf x y z f f f  . La notación f se lee “gradiente de f ”. 
 
Derivada direccional 
Ya vimos que la razón de cambio de una función ( , )f x y en la dirección del eje x se calcula 
con la derivada parcial xf , y en la dirección del eje y con la derivada parcial yf . 
¿Qué pasa si queremos saber cómo cambia la función en una dirección que no sea la de los 
ejes? Es decir, si no podemos considerar a ninguna de las dos variables como una constante, 
sino que ambas cambian pero manteniendo una relación entre ellas. 
Tomemos una función ( , )f x y diferenciable, y un punto ( , )a b tal que el punto y un entorno 
de este pertenecen al dominio. Supongamos que queremos calcular cómo varía la función al 
movernos en la dirección del vector 1 2;v v v . 
Armemos las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa por ( , )a b y tiene al vector 
1 2;v v v como vector director. 
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65 
 
1
2
:
x a t v
L
y b t v
  

  
 
Esta recta pasa por el punto ( , )a b para el valor del parámetro 
0t  . 
Entonces lo que buscamos es cómo varía f al movernos sobre la recta L, esto es, al aumentar 
el parámetro t . Es decir, la derivada 
df
dt
. 
Como f depende de ,x y , mientras ,x y dependen de t , esta se calcula por medio de la 
expresión dada por la regla de la cadena: 
df f dx f dy
dt x dt y dt
 
   
 
 , evaluando para ( , ) ( , )x y a b , 0t  . 
Pero esta expresión puede verse también como el desarrollo del producto punto entre los 
vectores ( , )f a b , y 1 2;v v v . 
Luego, la razón de cambio de ( , )f x y en el punto ( , )a b , en la dirección del vector 1 2;v v v , 
se calcula resolviendo el producto punto ( , )f a b v  . 
Parece que ya respondimos a la pregunta de cómo calcular la variación de una función en un 
punto, al movernos en una dirección cualquiera. Ahora bien, ¿qué pasaría si en lugar del 
vector 1 2;v v v , hubiésemos elegido el vector 1 22 ;2w v v ? 
Es evidente que la recta que tiene a este último como su vector director es la misma que la 
anterior, pues y v w son paralelos. Entonces buscamos lo que varía f al desplazarnos sobre 
la misma recta L, por eso es que deberíamos obtener el mismo resultado. Sin embargo, la 
expresión deducida antes nos llevaría a ( , ) ( , ) (2 ) 2 ( , )f a b w f a b v f a b v       , que es 
el doble del valor calculado antes. 
¿Tiene sentido esto? La dirección elegida es la misma, sólo cambió la longitud del vector que la 
representa. La variación no debería depender de la longitud del vector que tomamos para dar 
la dirección en la cual nos queremos mover. 
Por lo tanto, para evitar esta ambigüedad, debemos fijar una longitud para el vector que dará 
la dirección. Por convención, tomaremos un vector unitario 1 2;u u u . 
 
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66 
 
La variación de f en el punto ( , )a b , en la dirección del vector unitario 1 2;u u u se llama 
derivada direccional de f , y se representa ( , )uD f a b . Se calcula con el producto punto 
( , ) ( , )uD f a b f a b u  
 
Observación: Si el vector unitario tiene la dirección de alguno de los ejes coordenados, la 
derivada direccional coincidiría con una de las derivadas parciales. 
En efecto, si 1;0u  , ( , ) ( , ), ( , ) 1;0 ( , )u x y xD f a b f a b f a b f a b   ; y si 0;1u  , 
( , ) ( , ), ( , ) 0;1 ( , )u x y yD f a b f a b f a b f a b   . 
En otras palabras, las derivadas parciales de una función son casos particulares de derivada 
direccional, donde la dirección es la de uno de los ejes coordenados. 
Definimos antes a las derivadas parciales porque son más sencillas de calcular, dado que a una 
de las variables la podemos considerar como una constante. 
 
Ejemplo 
Calcular la razón de cambio de la función 2 /( , ) x yf x y y e  , en el punto (0;1) , en la dirección 
del vector 1;1 . 
¿Existe alguna dirección v , para la que se cumpla (0;1) 3vD f  ? ¿Y otra para la que sea? 
(0;1) 2wD f  ? Si existen, hallar todos los posibles ,v w . Si no existen, explicar por qué. 
 Para la primera cuestión, debemos calcular el gradiente de la función, evaluarlo en el 
punto, y multiplicar por un vector unitario. Como el vector 1;1 tiene longitud 
2 21;1 ( 1) 1 2     , lo volvemos unitario dividiendo a sus componentes por 
2 . Entonces el vector unitario será 
1 1
;
2 2
u   . 
El gradiente de la función es: 
2 2
2
1
( , ) , ;2 ;(2 )
x x x x x
y y y y y
x y
x
f x y f f y e y e y e y e y x e
y y
 
              
 
. 
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67 
 
Evaluando en el punto, 
0 0
1 1(0;1) 1 ;(2 1 0) 1;2f e e       . Finalmente, la razón 
de cambio pedida es 
1 1 1 2 1
(0;1) (0;1) 1;2 ;
2 2 2 2 2
uD f f u         . 
Esto significa que la función crece a razón de 
1
2
 en el punto (0;1) , en esa dirección. 
 Para la segunda pregunta, debemos ver si algún vector unitario v satisface 
(0;1) (0;1) 1;2 3vD f f v v      . 
Esto se puede decidir escribiendo al vector buscado como 1 2;v v v , y planteando 
las dos condiciones  1 2 1 2el producto punto 1;2 ; 3, y la longitud ; 1v v v v   , 
mediante el sistema de ecuaciones 
1 2
2 2
1 2
2 3
( ) ( ) 1
v v
v v
 

 
. Si ese sistema tiene solución, 
entonces hay un vector v que cumple con lo pedido, y si no tiene solución, es porque 
no hay ningún v que satisfaga las condiciones. 
En lugar de hacer eso, vamos a analizar la existencia del vector observando la 
expresión que calcula la derivada direccional. 
Ya vimos que esta surge del producto punto (0;1) (0;1)vD f f v  . Ese producto 
puede resolverse multiplicando componente a componente, y también por medio de la 
multiplicación de los módulos de los vectores y el coseno del ángulo que estos forman 
(a esta fórmula la estudiamos en la página 8). 
Luego, tendremos (0;1) (0;1) (0;1) cos( ) 1;2 cos( )vD f f v f v v          
El módulo del gradiente en el punto es un número fijo (en este caso vale 5 ), el 
módulo del vector v es 1, por ser un vector unitario, entonces lo que falta ver es 
cuánto debería valer cos( ) si queremos que el producto punto resulte igual a 3. 
Despejando, se tiene 
3
(0;1) (0;1) 5 1 cos( ) 3 cos( ) 1,34
5
vD f f v           ≅1,34. 
Es decir, el valor del coseno del ángulo formado entre el gradiente y el vector unitario 
tiene que valer 1,34. Pero esto no es posible, dado que el coseno de cualquier ángulo 
siempre está entre -1 y 1. 
En conclusión, no existe ningún vector unitario v que cumpla (0;1) 3vD f  . 
Cálculo vectorial: Diferenciación de funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
68 
 
 Para la última pregunta, planteamos algo parecido a lo anterior, sólo que esta vez 
pediremos (0;1) 2wD f  . 
Hacemos el mismo análisis, despejamos de la expresión que calcula la derivada 
direccional: 
2
(0;1) (0;1) 5 1 cos( ) 2 cos( ) 0,89
5
wD f f w           ≅0,89. 
Pero esta vez sí existe un ángulo que cumple esta condición, pues si: 
 
Entonces existe un vector unitario w que satisface (0;1) 2wD f  . Es más, como el 
ángulo formado entre w y el gradiente (0;1)f puede medirse en los dos sentidos 
(horario y antihorario), habrá dos vectores w que cumplen lo pedido. 
 Gráficamente, estos dos vectores se verían así: 
 
Pero aún queremos saber las componentes exactas del vector w . Para eso debemos 
resolver el sistema de ecuaciones 
1 2
2 2
1 2
2 2
( ) ( ) 1
w w
w w
 

 
, del cual ya sabemos que tiene 
dos soluciones. Aplicando sustitución, se tiene: 
1 2 1 2 1 2
2 2 2 22 2
1 2 2 21 2
1 2 1 2
2 2 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
2
22
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) 1 (2 2 ) ( ) 1( ) ( ) 1
2 2 2 2
4 8 4( ) () 1 5( ) 8 3 0
2 2 2 2
8 28 ( 8) 4 5 3
102 5
w w w w w w
w w w ww w
w w w w
w w w w w
w w w w
ww
      
    
       
    
   
       
   
 
       
 

 
Cálculo vectorial: Diferenciación de funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
69 
 
Luego, tenemos dos opciones: 
2 1
8 2
1 2 2 1 0
10
w w

       ; ó 2 1
8 2 3 3 4
2 2
10 5 5 5
w w

       . 
Con lo cual el vector w puede ser 0;1w  , o 
4 3
;
5 5
w  . 
Verificamos: los dos son vectores unitarios, pues 
2 20;1 0 1 1   ; 
2 2
4 3 4 3 16 9
; 1
5 5 5 5 25 25
   
       
   
, 
y al resolver el producto punto tenemos: 
(0;1) (0;1) 1;2 0;1 1 0 2 1 2wD f f w          ,
4 3 4 3 4 6
(0;1) (0;1) 1;2 ; 1 2 2
5 5 5 5 5 5
wD f f w           
También notemos que estas dos soluciones son coherentes con el gráfico anterior. 
 
Del ejemplo anterior podemos concluir que la derivada direccional en un punto resulta ser un 
número acotado, pues no puede tomar cualquier valor. 
En general, la razón de cambio de f en el punto ( , )a b en la dirección del vector u se calcula 
haciendo: 
 acotado entre 1nro fijo
 -1 y 1
( , ) ( , ) ( , ) cos( )uD f a b f a b u f a b u 

       
Por lo tanto, la derivada direccional ( , )uD f a b se hace máxima si cos( ) 1  , es decir si 
0º  y se hace mínima si cos( ) 1   , es decir si 180º  . 
Pero el vector u que forma un ángulo de 0° con ( , )f a b es un vector paralelo al gradiente y 
con el mismo sentido que este; mientras que el vector u que forma un ángulo de 180° con 
( , )f a b es un vector paralelo al gradiente y con sentido opuesto a este. En ambos casos, u 
debe ser unitario. 
Por esto decimos que: 
Cálculo vectorial: Diferenciación de funciones de varias variables MATEMATICA II UNAJ 
 
 
70 
 
 La dirección de máximo crecimiento de una función en un punto está dada por el 
vector 
( , )
( , )
f a b
u
f a b



, que tiene la misma dirección y sentido del gradiente. En esa 
dirección, la razón de cambio de f es ( , ) ( , ) 1 1 ( , )uD f a b f a b f a b      . 
 La dirección de máximo decrecimiento de una función en un punto está dada por el 
vector 
( , )
( , )
f a b
u
f a b



, que tiene igual dirección y sentido opuesto al del gradiente. En 
esa dirección, la razón de cambio de f es ( , ) ( , ) 1 ( 1) ( , )uD f a b f a b f a b        . 
 Las cotas para la derivada de una función f en un punto ( , )a b son: 
( , ) ( , ) ( , )uf a b D f a b f a b     . Se llaman razón de cambio mínima y máxima. 
Aclaración: la expresión para la derivada direccional es válida también para funciones de tres 
variables, en ese caso el gradiente y el vector unitario u tienen tres componentes. 
Ejercicios 
42. Calcular la derivada direccional de las siguientes funciones, en el punto y en la 
dirección que se indican. 
a. 2( , ) sen( )xyf x y x y e y   , : (1;0)P , 2; 3v   
b. ( , , )
x
f x y z yz
y
  , : (4;1;1)P , 2;1;2v  
c. 2( , , ) yf x y z xe z  , 12: (1;ln(2); )P , en la dirección de máximo decrecimiento. 
43. La temperatura en los puntos del plano está dada por 2 2( , ) 3 4T x y x xy y   
(temperatura en °C, distancia en kilómetros). Una persona está en el punto (1;1) . ¿En 
qué dirección tiene que caminar si quiere que la temperatura aumente 1ºC/km? 
44. La derivada de ( , )f x y en  : 1;2P en la dirección del vector 1;1 es 2 , y en la 
dirección del vector 0; 2 es -3. ¿Cuál es la derivada de f en el punto  : 1;2P , en 
la dirección de 1; 2  ? Justificar. 
45. ¿En qué dirección se anula la derivada de 
2 2
2 2
( , )
x y
f x y
x y



 en el punto (1;1) ?