UAH _ Grado en Ingeniería de Computadores _ Física _ 4 Fisica_r

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Cuestionario_Previo_0_Analisis de Errores.pdf
Física para los Grados en Ingeniería Informática e Ingeniería de Computadores 
APELLIDOS Y NOMBRE:__________________________________________ 
FECHA:____________________________ GRUPO:________________ 
 
Cuestionario Previo 
Práctica 0 – Seminario de introducción al laboratorio y el análisis de errores 
Este cuestionario debe entregarse obligatoriamente relleno a la entrada de la correspondiente 
sesión de prácticas. La respuesta se escribirá en el espacio disponible tras cada enunciado. 
 
1. Un experimentador mide la longitud de una varilla mediante una regla cuya división más 
pequeña es 1 mm, obteniendo una longitud de 20 cm. 
a. Determinar el error absoluto y relativo. Explicar brevemente si tienen o no unidades. 
b. Escribir el resultado de la medida en centímetros, con una notación adecuada para 
un informe de laboratorio. 
 
 
 
 
2. Sean dos intensidades determinadas experimentalmente I1 e I2. La primera se ha obtenido 
mediante la lectura de un miliamperímetro analógico según lo indicado en la figura 1. La 
segunda se ha obtenido mediante la lectura de un multímetro digital según se muestra en la 
figura 2. Determinar el error absoluto y relativo del producto de ambas intensidades. 
 
Figura 1 Figura 2 
 
 
 
 
 
3. La siguiente gráfica realizada por un estudiante en el laboratorio representa una diferencia 
de potencial en voltios frente a la intensidad en amperios, incluyendo una recta ajustada 
visualmente a los datos. Identificar las incorrecciones en la representación y dibujar una 
gráfica correctamente formateada (incluyendo la recta de ajuste). 
0,0 5,0x10-3 1,0x10-2 1,5x10-2 2,0x10-2
0
25
50
75
100
125
150
volt
 
(I±1)·10-3A (V±0.1) V 
1 2.0 
3 7.0 
5 9.0 
7 11.0 
10 27.0 
15 41.0 
 
4. Indicar si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F): 
V F Los errores de cero de un instrumento de medida son de naturaleza 
aleatoria y no pueden corregirse. 
V F La pendiente de una recta es el ángulo que ésta forma con el eje de 
abscisas (X). 
V F La pendiente de una recta es siempre un número adimensional. 
 
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InfoTema1ElectrostaticaVacio_123.pdf
Tema I: Electrostática en el vacío.
Carga eléctrica: Distribuciones discretas y continuas de carga. Interacciones entre cargas: Ley
de Coulomb. El campo eléctrico. Ley de Gauss. El potencial electrostático. Dipolo eléctrico
Bibliografía:
P. Lorrain y Dale R. Corson “Campos y Ondas Electromagnéticas”. Edward M. Purcell
“Electricidad y Magnetismo” Curso de Física de Berkeley
Conocimientos previos: Las leyes fundamentales de la Mecánica, operaciones vectoriales
Objetivos: Familiarizarse con el concepto de carga. Familiarizarse con el concepto de acción a distancia. Asentar el
concepto de flujo de un campo vectorial. Comprender el significado de campo que deriva de un potencial, y su
aplicación al campo eléctrico.
Introducción
La interpretación de los fenómenos naturales mostró que era imposible su explicación solamente
a partir de fuerzas de tipo gravitatorio, puesto que no se podían explicar fenómenos como los
elásticos, de tensión superficial, presión de vapor y otros muchos, entre otras razones porque las
fuerzas gravitatorias resultaban demasiado pequeñas en varios órdenes de magnitud.
Por otra parte, y aun sin considerar la discrepancia cuantitativa, cuando se intentan describir los
fenómenos moleculares es imposible entender la existencia de las fuerzas repulsivas que existen
entre las partículas a nivel molecular, aplicando sólo los conceptos que son útiles en el estudio
de los fenómenos gravitatorios. 
Por tanto se requiere otro tipo de fuerzas de mayor magnitud mayores, que puedan representar
estas interacciones, y estas no son otras que las fuerzas de origen eléctrico y magnético.
Nuestro primer contacto con fenómenos de tipo eléctrico, es probablemente, cuando en la escuela
frotábamos un bolígrafo o una pluma sobre nuestro jersey, y atraíamos con él pedacitos de papel,
estábamos, sin saberlo, realizando una experiencia de triboelectricidad (electricidad por
frotamiento), que es probablemente, la primera forma en la que la humanidad puso de manifiesto
la existencia de cargas eléctricas y normalmente la primera vez que tendríamos la oportunidad
de pensar en la existencia de un campo de fuerzas. El estudio de la electrostática, nos va a
permitir ordenar las ideas sobre fenómenos conocidos, por un lado la existencia de fuerzas que
para su manifestación no necesitan del contacto, y por otro la naturaleza eléctrica de la materia.
Desde niños estamos acostumbrados a la existencia de la fuerza gravitatoria, por estar totalmente
ligada a nuestra vida, y no nos sorprende que las cosas abandonadas en el aire caigan. Si
recordamos la experiencia vivida con los trocitos de papel, veremos que nos pareció que
estábamos haciendo magia, o que aquello tenía algún tipo de trampa, ya que por primera vez nos
Electrostática en el vacío I - 1
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 1
Al acercar al péndulo la varilla de
ámbar electrizada, este pasa de su
posición vertical a ser atraído por
ella
Figure 2
Los péndulos al haber estado en
contacto con la misma varilla se
repelen
encontrábamos con una situación no habitual, la existencia de interacciones a distancia distintas
de las gravitatorias.
Esa misma sensación se desarrolló a lo largo de Edad Media y el Renacimiento, con lo que el
fenómeno eléctrico se ligó a la magia y a las ferias, por lo que su estudio desde el punto de vista
científico quedó en una situación análoga a la que tenía en las épocas griega y romana. El prefijo
“electro-“ proviene del nombre griego del ámbar (elektron), pues son las experiencias realizadas
al frotar una varilla de ámbar con la piel de un animal (igual que la experiencia realizada por
nosotros en la escuela), las que inician el desarrollo del estudio
de los fenómenos eléctricos.
Las experiencias de triboelectricidad realizadas con varillas de
ámbar o vidrio que permiten atraer, en contra de las fuerzas
gravitatorias, trocitos de papel, tuvieron una sistematización
empleando péndulos eléctricos análogos al representado en la
figura 1. Tras electrizar una varilla de ámbar frotándola con la
piel de un animal, al aproximarla a un péndulo eléctrico, se
observa que la esfera del péndulo es atraída por la varilla; otro
tanto ocurre si la varilla electrizada por frotamiento es de vidrio.
Si permitimos que la esfera del péndulo entre en contacto con la
varilla desaparece la atracción. Realicemos esta experiencia con
dos péndulos, uno lo ponemos en contacto con la varilla de
ámbar y el otro con la de vidrio, al aproximar los péndulos
veremos que se atraen. 
Por el contrario, si tras tocar con la mano los péndulos
descargarlos, ponemos a ambos en contacto con la misma
varilla electrizada, veremos que los dos péndulos se repelerán.
Al contrario de lo que ocurre si cada péndulo se pone en
contacto con un tipo de varilla.
Hoy sabemos que la explicación es sencilla, al frotar la varilla
de vidrio con un paño, la varilla pierde electrones (que
comunica al paño), quedando cargada positivamente,
ocurriendo al contrario con el ámbar, la carga que se adquiere
por la varilla se traslada parcialmente al péndulo,
produciéndose entonces los fenómenos de atracción y repulsión que hemos descrito. La
existencia de dos tipos distintos de interacción eléctrica, que recibieron los nombres de
electricidad resinosa y vítrea según quien la produjera, permite explicar fenómenos de atracción
y repulsión que no pueden entenderse con la teoría gravitatoria.
Carga eléctrica.
La carga es una propiedad de la materia que se pone de manifiesto cuando sobre ella actúa un
campo electromagnético. Vamos a sistematizar algunos de conocimientos que tenemos sobre la
Electrostática en el vacío I - 2
Fundamentos Físicos de la Informática
carga eléctrica. 
Todos tenemos la imagen de un átomo como una carga positiva (cuyo valor depende del número
de protones que contenga) alrededor de la cual giran cargas negativas (en igual número que el
de los protones del núcleo) que son los electrones de la corteza, siendo el conjunto neutro (sin
carga neta). 
Esa imagen encierra tres características de la carga eléctrica. En primer lugar, estamos poniendo
de manifiesto la existencia de “dos tipos de carga”, la positiva y la negativa. Después,
entendemos que la carga está “cuantizada” en el sentido de existir una unidad de carga y que
la carga total de un sistema es la suma de diversas unidades de carga. Por último, estamos
diciendo que “la unidad de carga es única” con independencia del signo de la misma, pues el
valor de la unidad de carga positiva tiene que ser el mismo que el de la negativa, para que el
átomo resulte neutro.
Por otra parte, se admite como ley fundamental de la naturaleza “la conservación de la carga”a
la que hoy día no se conoce ninguna excepción. Para entender esta ley fundamental tenemos en
cuenta que la carga eléctrica es una propiedad de la materia, y que en conjunto la materia es
neutra, de forma que cuando se carga un cuerpo otro tiene que adquirir una carga igual y de signo
contrario. 
Después de presentar algunas características de la carga vamos a ver como afrontaremos su
estudio. Para simplificar utilizamos el concepto de “carga puntual”. Para comprender esta idea
podemos pensar en otras situaciones como las siguientes. Al considerar un núcleo atómico lo
representamos por una esfera pequeña, ¿pero somos capaces de “ver realmente” un núcleo?, es
un hecho que es imposible verlo, de ahí que para nosotros el núcleo atómico sea una carga
puntual. Consideremos ahora el péndulo eléctrico, si poco a poco nos vamos alejando de él,
pasaremos de considerarlo como una esfera de un diámetro apreciable a una esfera más pequeña
para parecernos finalmente un punto, y otro tanto podemos decir del bolígrafo que usábamos en
la escuela para atraer los pedacitos de papel. ¿Es, que la naturaleza o el tamaño del núcleo, del
bolígrafo o del péndulo, varía según lo veamos nosotros?, la respuesta es evidente. Cuando
hablamos de cargas puntuales, como en mecánica cuando hablamos de masa puntual, estamos
diciendo que desde nuestro punto de observación las dimensiones del objeto son despreciables,
y lo tomaremos como un punto geométrico que posee carga, es lo que denominamos: “carga
puntual”.
Distribuciones continuas de carga.
Hasta ahora hemos empleado cargas que podíamos suponer
se encontraban perfectamente
localizadas y separadas de otras, que hemos denominado “cargas puntuales”. La realidad nos
lleva a la existencia de regiones en las que las cargas se encuentran muy cerca unas de otras de
manera que macroscópicamente las vemos como un continuo, en esa región podemos definir una
función que nos da el valor de la carga en cada punto, en esa región diremos que existe una
distribución continua de carga.
En los casos reales, como ocurre en la ionosfera o con el plasma generado en una campana de
Electrostática en el vacío I - 3
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 3
Volumen elemental “ ” que rodeadτ
a un punto en el espacio
vacío, nos encontramos con la existencia de una carga “q” distribuida en un volumen “ ”. Siτ
la distribución fuera uniforme en todo el espacio considerado, podríamos caracterizarla diciendo
que existe una densidad volúmica de carga constante la región, dada por la expresión. 
 ρ
τ
= q
Problema 1.- El radio medio del núcleo de azufre (número atómico 16) es aproximadamente 1.37 × 10-13 cm. Suponiendo
que la carga eléctrica este uniformemente distribuida en el núcleo, calcular la densidad de carga en C × m-3.
Datos
Llamamos qe a la carga del electrón, cuyo valor sabemos que es 16 10
19. × − c
Carga del núcleo (q) = Z @ qe = ( )16 16 10 2 56 1019 18× × = ×− −. . c
Radio de la esfera (r) = 137 10 137 1013 15. .× = ×− −cm m
Volumen de la esfera ( ) = = τ 4
3
3π r 107 10 44 3. × − m
Suponiendo que el núcleo sea una esfera, si la carga está uniformemente repartida en ella, la densidad volúmica de carga
es: , como nos dicen que la distribución es uniforme, podemos escribir: es decir: ρ
τ
= dq
d
ρ = ∆
∆ τ
q ρ = ×
×
2.56 10
1.07 10
-18
-44
= 2 4 1026 3. × −c m
ρ = × −2 4 1026 3. c m
A diferencia de la situación descrita anteriormente en la que la carga estaba uniformemente
distribuida en la región del espacio considerada, lo normal es encontrarse situaciones en las que
la carga no se distribuye de manera homogénea. Para caracterizar la distribución es preciso dar
el valor de la densidad de carga en todos y cada uno de losρ( )rr
puntos ( ) de la región. La densidad de carga será la carga que
r
r
existe en cada punto (considerando como tal el volumen
elemental que lo rodea)
 ρ
τ
( ) lim
r
r
q dq
d
= =
→∆τ
∆
∆τ0
siendo un elemento de volumen centrado en el punto y dqdτ rr
la carga elemental contenida en . La carga total en el volumendτ
sera entonces: 
 q dq r d= =∫ ∫τ τρ τ( )
r
Electrostática en el vacío I - 4
Fundamentos Físicos de la Informática
Problema 2.- La densidad de carga de una nube electrónica en el estado fundamental del átomo de hidrógeno viene
dado por la función , siendo qe la carga del electrón y a0 el radio de la primera órbita de Böhr.ρ π
( )
r
r
q
a
ee
r
a=
−
0
3
2
0
Calcular la carga total.
Datos
Densidad de carga ρ
π
( )
r
r
q
a
ee
r
a=
−
0
3
2
0
Si la densidad de carga viene dada por la expresión , la carga total será:ρ
π
( )
r
r
q
a
ee
r
a=
−
0
3
2
0
Q = , Para hacer esta integral debemos encontrar el elemento diferencial de volumen que nos permita generarρ τd∫
la esfera. Como la densidad de carga viene expresada como una función de la distancia al centro debemos hacer que
sea el radio el que nos marque el crecimiento del elemento de volumen, es decir el elemento de volumen será una
corona esférica de anchura infinitesimal, cuyo volumen es: . Por tanto la carga será:4 2π r dr
 Q = = . Tomando como límites de integración los valores extremos
q
a
e r dre
r
a
π
π
0
3
2
20 4∫
−
( )
4
0
3
q
a
e r e dr
r
a2
2
0
−
∫
del radio que permiten generar la esfera, es decir el radio variará desde el valor “0” hasta el infinito, luego debemos
calcular: .r e dr
r
a2
2
0
0
−
∞
∫
La integral la haremos por partes, llamando u = r2, dv = , tendremos du = 2r dr; ,e dr
r
a
−2
0 v
a
e
r
a=
−
−
0
2
2
0
recordando: , tendremos: = ( ) - u dv uv v du= − ∫∫ r e dr
r
a2
2
0
0
−
∞
∫ r 2
−







−
a
e
r
a0
2
2
0 −
∫
−
a
e r dr
r
a0
2
2
20 ( )
para calcular la segunda integral volvemos a aplicar la integración por partes. De nuevo haremos dv = ye dr
r
a
−2
0
ahora tomaremos como u = r, con lo que: , y du = dr, por tanto:v
a
e
r
a=
−
−
0
2
2
0
 = - =r e dr
r
a2
2
0
0
−
∞
∫
−

















− ∞
a
e
r
a0
2
0
2
0
a r
a
e
a a
e
r
a
r
a
0
0
2
0
2
0
2
0
2 2 2
0 0
−






 + −


























−
−
∞
 = al aplicar la regla de Barrow, obtenemos:− + +










− − − ∞
a r
e
a r
e
a
e
r
a
r
a
r
a0
2 2
0
2 2
0
3 2
0
2 2 4
0 0 0
 = , por tanto la carga total será: Q = , es− ∞ + ∞ + − − −






−∞ −∞ −∞2 0
3
0 0 0
3
0
4
0 0
4
e e
a
e e e
a
e
a0
3
4
4
0
3
q
a
e a0
3
4
decir: Q = qe 
Electrostática en el vacío I - 5
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 4
Superficie elemental que rodea a
un punto en un plano
Que nos expresa que la carga total de la nube electrónica del hidrógeno es la carga del electrón, como esperábamos
Existen situaciones en las que se encuentra carga se encuentra distribuida en una región en laτ
que una de sus dimensiones es mucho menor que las otras dos, es decir se puede considerar que
la carga está distribuida en una superficie. En este caso es más
cómodo acudir al concepto de densidad superficial de carga
definida como
 σ( )rr dq
dS
=
de forma que se cumplirá que la carga total es: 
 q r ds
S
= ∫ σ( )
r
Análogamente, puede considerarse una distribución de carga a lo
largo de una línea y acudiríamos a su caracterización mediante la
densidad lineal de carga
 λ = dq
dl
cumpliéndose también que la carga total venga dada por
 q dl
L
= ∫ λ
El caso limite sera aquel en que la carga total este concentrada en una región de dimensiones
despreciables, a lo que, como ya hemos dicho, se denomina carga puntual. Este es, por ejemplo,
el caso de un electrón o de un protón, que si bien ocupan una región finita, desde un punto de
vista macroscópico, para dimensiones tan pequeñas como las citadas ( 10-15 m) pueden ser
considerados como puntos geométricos.
Interacción entre cargas.
Las acciones que unas cargas van a realizar sobre otras, se van a poner de manifiesto por las
fuerzas que se van a ejercer entre ellas. Vamos a estudiar como se llegó a la actual formulación
de la interacción entre cargas siguiendo un desarrollo histórico comenzando con el caso más
sencillo la fuerza que se ejercen entre sí dos cargas que nos viene dada por:
Ley de Coulomb.
La formulación de las interacciones entre cargas puntuales se llevó a cabo en 1785 por Coulomb
empleando una balanza de torsión, si bien, podríamos decir, por darle un carácter intuitivo, que
el origen de esta ley experimental fue realizada con la ayuda de dos péndulos eléctricos cargados,
dispuestos en la misma horizontal. De la experiencia se dedujo que la fuerza que aparecía en las
cargas cumple:
Electrostática en el vacío I - 6
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 1 de problemas
Tres cargas en los vértices de
un triángulo
• Tiene la dirección de la línea que une las cargas.
• El módulo es proporcional al valor de ambas cargas.
• Puede ser atractiva o repulsiva según el signo de las cargas. Siendo
atractiva para cargas de distinto signo y de repulsión para cargas del
mismo signo.
• Es del tipo acción-reacción, con lo que la fuerza F21 que ejerce q2
sobre q1 es igual en magnitud pero de sentido opuesto a F12, esto es: 
r r
F F
12 21
= −
• Varia con la distancia de forma inversamente proporcional a su cuadrado.
Lo que se formula matemáticamente como:
 
r r
F K
q q
d
ue12
1 2
12
2 12
=
siendo la fuerza que ejerce la carga q1 sobre la q2, d12 la distancia entre ambas cargas, y
r
F12
r
u12
un vector unitario en la dirección definida por las cargas y en el sentido de q1 a q2. El valor de la
constante Ke (constante
eléctrica) varia según el sistema de unidades utilizado. En el Sistema
Internacional (SI) vale 9 × 109 y sus unidades son Newton × metro2 × culombio-2 (N m2 C-2). 
Esta expresión, que es aplicable sólo a dos cargas puntuales, es preciso generalizarala para
poder considerar situaciones en las que aparecen distribuciones discretas o continuas de cargas. 
En el caso de una distribución discreta de cargas puntuales, cada una de las cargas interaccionará
con todas las demás, con lo que quedará sometida a varias fuerzas. Para el estudio de estas
situaciones aceptaremos que se cumple el principio de superposición que establece que la
fuerza sobre una de las cargas será la suma de las fuerzas que independientemente ejerzan las
restantes. Por tanto, la fuerza que actúa sobre una carga (q), por la acción de varias (q’i), vendrá
dada por: 
 
r r
F K q
q
r
ue e
i
ii
n
i=
=
∑
'
2
0
Problema 3.- En los vértices de un triángulo equilátero de lado "r" se colocan cargas
"-e" y en el centro se coloca la carga "Q > 0. ¿Cuál debe ser el valor de Q para que la
fuerza sobre cualquiera de las cargas negativas sea nula?. 
Dada la simetría del problema, si la fuerza que actúa sobre una carga de las situadas
en un vértice es nula lo será la que actúe sobre cualquiera de las demás. Consideremos
una cualquiera de ellas (por ejemplo la situada en el vértice “B”), la fuerza que actúa,
será la suma de las fuerzas debidas a las demás cargas (tanto las “-e” como la “Q”),
las debidas a las del mismo signo serán repulsivas y la debida a “Q” atractiva.
Si la fuerza total que actúa es nula, lo serán las sumas de las componentes de las
Electrostática en el vacío I - 7
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 2 de problemas
Composición de las fuerzas FA y FC que
actúan sobre la carga situada en “B” y
su resultante
fuerzas según los ejes. Tomaremos como eje “X” el definido por el segmento CB, en estas condiciones la fuerza debida
a la carga situada en el vértice “C” será positiva y estará contenida en dicho eje, la fuerza debida a la carga situada
en “A” formará un ángulo de con el eje “X” y la debida a la carga “Q”, situada en el centro, formará un ánguloπ 3
de con el semieje negativo.π 6
Veamos los valores de las componentes de las fuerzas. Para ello calcularemos previamente el valor de la distancia de
la carga”Q” al vértice “B”. Sabemos que en un triángulo equilátero su baricentro es su ortocentro, es decir que el
punto “O” distará del vértice 2/3 de la altura, y ésta por Pitágoras es: , luego la distancia al vértice delh r=
3
2
centro será: . OB r=
3
3
EJE “X”
 = = ( )rFC X
r
FC K
e
r
E 2
 = = = ( )rFA X
r
FA cos
π
3
K
e
r
E 2 3
cos
π K e
r
E
2 2
 = = = ( )rFQ X −
r
FQ cos
π
6
− K
Q
r
E
3
62
cos
π
−
3
2
3
2
K Q
r
E
Si la componente “X” debe ser nula se cumplirá: +K
e
r
E 2
K e
r
E
2 2
+ = = 0; es decir: −






3
2
3
2
K Q
r
E K
r
e QE2 1
1
2
3 3
2
+




 −








Q e=
3
3
EJE”Y”
 = 0( )rFC Y
 = = = ( )rFA Y −
r
F senA
π
3
− K e
r
senE 2 3
π
−
3
2 2
K e
r
E
 = = = ( )rFQ Y
r
F senQ
π
6
K
Q
r
senE
3
62
π K Q
r
E
2
3
2
Si la componente “Y” debe ser nula se cumplirá: 0 + + = 0; es decir: −








3
2 2
K e
r
E K Q
r
E
2
3
2





 Q e=
3
3
Que como es lógico nos reproduce el valor de “Q” que hemos obtenido con la componente “X”.
 Q e=
3
3
Electrostática en el vacío I - 8
Fundamentos Físicos de la Informática
Hasta aquí hemos considerado la fuerza que actúa sobre una carga puntual por existir otras cerca
de ella. Consideremos ahora la acción de una distribución continua de cargas sobre una carga
puntual. Aplicamos de nuevo el principio de superposición, es decir, realizamos la suma de
efectos producidos por cada elemento diferencial de carga, que podemos considerar como una
carga puntual. Suponiendo que se trata de una distribución de cargas en volumen, cada elemento
diferencial de carga puede expresarse como , con lo que tendremos:dq d= ρ τ
 
r
r
r
F K q
r d
r
ue r= ∫
ρ τ
τ
( )
2
siendo un vector unitario en la dirección definida por cada elemento de volumen considerado
r
ur
y la carga puntual.
De la misma forma podemos considerar distribuciones lineales o superficiales de carga, en cuyo
caso habrá que considerar la integral de línea o superficie respectivamente.
Al iniciar el estudio de la interacción entre cargas eléctricas recurrimos a su comparación con la
interacción gravitatoria, y acabamos de comprobar que la expresión de la fuerza que se ejerce
sobre una carga por estar otra presente (ley de Coulomb) tiene una gran similitud formal con la
ley de Gravitación Universal ( ) que nos da la expresión de la fuerza sobre una
r r
F G
M m
r
ug r=
⋅
2
masa debida a otra situada en sus proximidades. Pasemos a ver las analogías y diferencias de
ambas leyes:
• Ambas fuerzas son del tipo acción-reacción.
• Ambas varían con la inversa del cuadrado de la distancia que separa a los escalares.
Sin embargo, aparece una diferencia fundamental ya que:
• La fuerza eléctrica puede ser atractiva o repulsiva según sea la naturaleza de las cargas. La
fuerza gravitatoria siempre es atractiva.
Además, debemos resaltar la gran diferencia entre los órdenes de magnitud de los módulos de
ambos tipos de fuerzas
Problema 4.- Comparar la fuerza eléctrica y la gravitatoria entre dos electrones
Datos
Carga del electrón (qe) = 1.6x 10
-19 C
Masa del electrón (me) = 2.0 x 10
-31 Kg
Constante de gravitación Universal (G) = 6.67 x 10-11 N m-2 kg
Constante eléctrica Ke = 9 x 10
9 N m2 C-2 
La fuerza gravitatoria entre dos masas sabemos que vale , siendo “r” la distancia que las separa
r r
F G
M m
r
uG r=
⋅
2
Electrostática en el vacío I - 9
Fundamentos Físicos de la Informática
y un vector unitario cuyo sentido es de una a otra masa.
r
ur
La fuerza electrostática entre los dos electrones será la fuerza de Coulomb, es decir , siendo “r”
r r
F K
Q q
r
uE E r=
⋅
2
la distancia que las separa y un vector unitario cuyo sentido es, en este caso, el de repulsión de una a otra masa.
r
ur
Una vez comparados los sentidos de las dos fuerzas, que en este caso son opuestas, al ser las cargas del mismo signo,
vamos a comparar los módulos de las mismas. La mejor forma de compararlos será calculando su relación,
recordando que la constante eléctrica en el sistema Internacional vale 9 ×109, tenemos: sustituyendo
F
F
K
G
q
m
E
G
E e
e
=
2
2
obtenemos: = 1.35 × 1020 × 6.4 × 1023 = 8.46 × 1043. Lo que nos dice que:
F
F
E
G
 la fuerza de naturaleza eléctrica es 43 órdenes de magnitud superior a la gravitatoria. 
Campo eléctrico.
De nuevo vamos a comparar las interacciones entre masas y entre cargas eléctricas, para analizar
si se pueden utilizar en el caso de las cargas algunos conceptos definidos para las masas, con su
correspondiente modificación, debido al cambio de propiedad de la materia considerada.
En el caso de las masas, sabemos que se puede definir el campo gravitatorio creado por una
masa, aunque en general nos solemos limitar a considerar de manera específica el campo
gravitatorio terrestre, es decir el creado por la Tierra. Esto es debido a dos razones, por una parte
estamos inmersos en él y nosotros mismos sentimos sus efectos, y por otra los otros campos
gravitatorios creados por cuerpos de nuestros entornos tienen efectos que, en contra de lo que
sucede con el campo gravitatorio terrestre, apenas podemos experimentar en nosotros mismos.
Estamos acostumbrados a la existencia del campo gravitatorio debido a la Tierra. Que sabemos,
se pone de manifiesto por la fuerza (en este caso siempre de atracción) que la Tierra ejerce sobre
cualquier objeto con masa situado en sus proximidades, por eso todos los cuerpos abandonados
en el aire “caen”. La representación del fenómeno la hacemos mediante un campo vectorial. Este
campo, aunque siempre existe, sólo se observa por el movimiento originado, por acción de la
fuerza, en el cuerpo
con masa. El campo que empleamos para modelizar el fenómeno gravitatorio
es un campo vectorial cuyas dimensiones son las de una fuerza por unidad de masa, (escalar
sobre el que se detecta su existencia). Esta fuerza se calcula como el producto del vector campo
en el punto, multiplicado por la masa del objeto (valor del escalar sobre el que vemos los efectos
del campo, y solemos escribir: 
r r
F m gg = ⋅
Electrostática en el vacío I - 10
Fundamentos Físicos de la Informática
El campo gravitatorio del que estamos hablando, está creado por una masa (la de la tierra) y, para
detectar su presencia empleamos otra masa. Esto quiere decir que si bien en cualquier punto de
nuestro entorno existe el campo gravitatorio, no lo detectamos si en ese punto no colocamos un
escalar adecuado para que sobre el aparezca la fuerza gravitatoria. Para detectar el campo
terrestre, no emplearíamos normalmente un rayo de luz por entender que no tiene masa.
Podemos actuar de la misma forma con el fenómeno eléctrico e intentar definir un campo, el
eléctrico, creado por una carga. Manteniendo el paralelismo con el campo gravitatorio, buscamos
definir también un campo vectorial. El vector que caracteriza el campo tendrá las unidades de
una fuerza dividida por el escalar sobre el que actúa la fuerza (la carga)”, y que por tanto será:
 , q >0
r
r
E
F
qq
e=
→
lim
0
Vamos a analizar la expresión anterior. En primer lugar, debemos tener claro, que el campo
eléctrico no es una fuerza. El campo eléctrico se pone de manifiesto por la aparición de una
fuerza, como le ocurría también al campo gravitatorio. Para que podamos detectar esa fuerza,
debemos colocar una carga eléctrica, como para detectar el campo gravitatorio, lo hacíamos
viendo la fuerza que se ejercía sobre un cuerpo con masa.
Si bien en el caso del campo gravitatorio terrestre es difícil apreciar que la fuerza ejercida sobre
una masa depende de su posición, en cuanto pensemos en la Ley de Gravitación universal
aplicada a los planetas entenderemos que la fuerza es distinta en cada posición. Cuando tenemos
una carga “Q” sabemos que si colocamos otra carga “q” aparece sobre ella una fuerza, que
depende de la distancia entre ambas, por tanto al variar la posición de la carga “q” la fuerza que
aparece sobre ella variará, lo que en términos de campo eléctrico significa que el vector campo
ha variado, por tanto, el campo eléctrico depende del punto que consideremos.
En este sentido, se define campo eléctrico como la región del espacio en la que al colocar en un
punto cualquiera, un cuerpo con la propiedad adecuada (carga eléctrica) aparece una fuerza sobre
este cuerpo.
En la expresión que nos ha servido para definir el campo, no hemos tenido en cuenta que el
fenómeno eléctrico se presenta sobre cargas positivas o negativas, y el sentido de sus efectos es
el opuesto para un tipo de cargas que para el otro. Para definir la dirección y el sentido del vector
que define el campo, tomaremos como sentido del campo en cada punto, el que seguiría una
carga positiva colocada en él..
En la expresión hemos empleado el límite del cociente (fuerza/carga) cuando la carga es muy
pequeña y positiva. Pedimos que la carga sea muy pequeña a fin de que no modifique el valor
del campo en el punto que estamos considerando y en sus cercanías. 
De lo anterior se deduce que el campo creado por una carga puntual en un punto cualquiera del
espacio “P”, tendrá la forma:
Electrostática en el vacío I - 11
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 3 de problemas
Representación de los campos
debidos a cada carga en el punto
“D”
 
r r
E K
Q
r
ue r= 2
siendo Q la carga que crea el campo, r el módulo del vector que une la carga “Q” y el punto “P”
en el que queremos conocer el campo (la distancia de la carga al punto) y un vector unitario
r
ur
en esa dirección, su sentido vendrá determinado por el del movimiento que tendría una carga
positiva colocada en el punto “P”.
Campo eléctrico creado por una distribución puntual de cargas.
Usando de nuevo el principio de superposición, la expresión del campo en un punto cualquiera
del espacio, “P”, debido a varias (n) cargas puntuales vendrá dada por la suma de las
contribuciones al campo de cada una de las cargas, es decir:
 
r r
E K
Q
r
ue
i
ii
n
i=
=
∑ 2
1
siendo Qi cada una de las “n” cargas generadoras del campo, ri el módulo del vector posición que
une cada una de ellas y el punto “P”, y un vector unitario en cada una de esas direcciones,
r
ui
cuyo sentido, como siempre, vendrá dado por el que tendría el movimiento de una carga positiva
colocada en el punto “P” si sólo existiera la carga “Qi”, lo que hace necesaria la suma vectorial
de los resultados obtenidos.
Problema 5.- Tres cargas puntuales de 3 × 10-9 C, se sitúan en los vértices de un cuadrado de 20 cm de lado. Hallar el
módulo, la dirección y el sentido del campo eléctrico en el vértice vacante del
cuadrado.
Datos
Lado del cuadrado (a) = 20 cm = 0.02 m
Valor de cada carga (q) = 3 × 10-9 C
El valor del campo creado por cada carga será: , siendo “r” la
r r
E K
q
r
uE r= 2
distancia de la carga al punto en el que queremos calcular el campo, y un vector
r
ur
unitario en esa dirección que al ser cargas positivas, tendrá por sentido el saliente
de la carga.
Los vectores campo generados por las cargas tendrán la posición representada en la figura. Por tanto al calcular el
campo total generado por la distribución debemos componer los tres campos.
Para calcular su módulo tendremos en cuenta:
- La distancia desde el vértice “D” a los vértices “B” y “C” será igual al lado del cuadrado (a), el módulo
del campo debido a ambos será el mismo.
- Al ser un cuadrado, la distancia entre los vértices opuestos (“A” y “D”), será: a 2
Electrostática en el vacío I - 12
Fundamentos Físicos de la Informática
Los campos serán: , , 
r r
E K
q
a
uC E CD= 2
r r
E K
q
a
uB E BD= 2 ( )
r r
E K
q
a
uA E AD=
2
2
Al ser los módulos de los campos iguales, su suma formará un ángulo de con cada uno de ellos, o
r r
E y EB C π 4
lo que es lo mismo tendrá la misma dirección y sentido que el debido a la carga colocada en el vértice “A”, es decir
según el vector . Por tanto el vector campo, que será la suma vectorial de los tres campos que hemos calculado,
r
uAD
será el campo debido a la carga situada en “A” más la suma de los campos debidos a las cargas situadas en “B” y
“C” que llevará el mismo sentido que aquella. = . Por tanto el campo
r r r
E E EB C B+ = 2 4
cos
π
2
2
22
K
q
a
E






en el punto “D” será: ( )rED r rE K q
a
uD E AD= +





2
1
2
2
 
r r
E K
q
a
uD e AD= 1 9 2,
Campo eléctrico creado por una distribución continua de cargas.
Si necesitamos conocer el campo debido a una distribución continua de cargas, razonaremos de
manera similar a como hicimos para determinar la fuerza debida a una distribución de cargas no
puntuales. Tomamos una carga elemental (dq) que de nuevo podemos considerar como una
carga puntual, calculamos el valor del campo debida a ella y aplicando el principio de
superposición, sumamos los efectos de todas las posibles cargas elementales en las que
subdividimos la distribución continua, es decir realizamos una suma continua (integración) de
las contribuciones. Desde el punto de vista formal la solución es sencilla, y la expresamos como:
; ; 
r r
E K
d
r
ue r= ∫
ρ τ
τ 2
r r
E K
ds
r
ue r= ∫
σ
2Σ
r r
E K
dl
r
ue
l
r= ∫
λ
2
siendo las densidades de carga volúmica, superficial y lineal respectivamente yρ σ λ, y
llamando “ y l” al volumen, la superficie y la línea sobre las que se distribuye la carga. τ, Σ
Problema 6.- Calcular el campo creado por una línea recta infinita uniformemente cargada con una densidad lineal de
carga , en un punto que dista “a” de ella.λ
Que el punto diste “a” de la línea cargada define una perpendicular a ella que nos servirá de eje de referencia.
Sabemos calcular el campo creado por una carga puntual, luego debemos convertir la línea cargada en una serie de
puntos,
y con ayuda del teorema de superposición calcular así el campo creado por la distribución.
Consideremos la carga puntual debida a un elemento de línea de longitud “dl”, que dará lugar a un campo cuyodE
r
1
valor es: ; por otro lado, al ser infinita la distribución aparece una simetría de forma que por cadadE K
dl
R
ue r
r r
1 2 1=
λ
Electrostática en el vacío I - 13
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 4 de problemas
Composición de los campos elementales
debidos a los diferenciales de carga
considerados.
dl que consideremos en la mitad superior de la semirrecta cargada, existirá un “-dl” en la semirrecta negativa, que
generará un campo del mismo módulo, si bien será distinta su dirección. Componiendo ambos campos tendremos:
; dE dE dE
r r r
= +1 2
 = , siendo un vector unitario perpendiculardE
r
2 2K
dl
R
e
λ
αcos ru⊥
r
u⊥
a la línea.
El campo, que estamos buscando será: . 
r r
E K
dl
R
ue= ∫ ⊥2 2
λ
αcos
Si más que mirar a la figura nos damos cuenta que: la distancia “R”, la
altura “l” y el ángulo “ ”, no son funciones independientes, y queα
únicamente “a” es constante y conocida. Teniendo en cuenta que:
, , obtenemos: ; porcosα =
a
R
tag
l
a
α = R
a
R
a
= =
cos
;
cosα α
2
2
2
otro lado: , diferenciando, obtenemos: ,l a tag= α dl a
d
=
α
αcos2
sustituyendo en el valor del módulo del diferencial de campo obtenemos:
; que ya sólodE K
a
a
de= 2
2
2 2
λ α
α
α α
cos
cos
cos dE
K
a
de=
2 λ α αcos
es función del ángulo de observación de la semirrecta, que variará desde 0 hasta , luego el módulo del campoπ 2
será: = = .E
K
a
de= ∫
2
0
2 λ α α
π
cos [ ]2 0 2
K
a
sene
λ
α
π
2K
ae
λ
Finalmente, el campo eléctrico vendrá dado por:
 
r r
E K
a
ue= ⊥2
λ
Ley de Gauss
Mediante la ley de Coulomb hemos calculado el campo eléctrico debido a una carga y a una
distribución discreta o continua de cargas (ya sea en volumen, superficie o línea), lo que podemos
entender como una relación del campo con sus fuentes. Ahora trataremos de encontrar otra
relación entre el campo eléctrico (concretamente su flujo) y las fuentes que lo generan.
Previamente vamos a recordar la definición de flujo de una magnitud vectorial a través de una
superficie “S”, aplicado al caso de un campo eléctrico.
Consideremos un campo eléctrico en el espacio representado por sus líneas de campo y una
superficie cerrada “S” cualquiera tal como se muestra en la figura 5. Dividamos la superficie en
pequeñas porciones, lo suficientemente pequeñas para que podamos suponer cada una de ellas
como una superficie plana, de forma que, en todos los puntos de cada una de ellas, el campo
eléctrico no varíe apreciablemente ni en módulo, ni en dirección, ni en sentido. Sabemos que a
Electrostática en el vacío I - 14
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 5
Representación de las líneas
de campo que atraviesan una
superficie cerrada
Figure 6
Rodeamos la carga “q” por una esfera de
radio “a”. En cada punto de la superficie,
los vectores campo y superficie son
radiales
cada superficie elemental que hemos construido le podemos asignar un vector superficie que será
perpendicular a ella cuyo sentido será saliendo del volumen y módulo el área de al superficie. 
Si tomamos uno de estos elementos de superficie, por ejemplo el j-ésimo, al que asignaremos el
vector , el producto escalar del vector campo en él por su vector superficie , es un
r
sj
r r
E sj j⋅
número al que llamamos flujo del vector campo a través de la porción de superficie sj. 
Sumando el flujo a través de todas las porciones, obtenemos el flujo
total a través de la superficie “S”, que será una magnitud escalar:
. Si las porciones las hacemos más y más pequeñas, laφ = ⋅∑
r r
E sj
j
j
suma dejará de ser discreta para convertirse en continua, es decir en
una integral de superficie. .φ = ⋅∫
r r
E ds
S
Como ejemplo vamos a calcular el valor del flujo del campo creado
por una carga puntual “q” a través de una superficie esférica, de radio
“a”, centrada en la carga. 
El módulo del vector campo eléctrico en cada punto de la superficie
esférica valdrá: , su dirección y sentido serán radiales. K
q
a
e 2
Por otro lado, el vector superficie sabemos que es
perpendicular en cada punto a la superficie, es decir, será
radial, luego el producto escalar será el producto de los
módulos de los vectores: =φ = ⋅∫
r r
E ds
esferasup
 = = 
r r
E ds
esfsup∫ ⋅ K
q
a
dse
esf
2
⋅∫sup K
q
a
dse
esf
2
⋅ ∫
r
sup
= = 4π Ke q. ( )K q
a
ae 2
24⋅ π
Como si mantenemos la terminología que hemos empleado
hasta ahora, nos va a aparecer el término en muchas de4π
las ecuaciones importantes del electromagnetismo,
expresaremos la constante eléctrica como , de manera que aparece una nueva constante1
4 0π ε
“ ” a la denominamos permitividad dieléctrica del vacío, cuyas unidades serán las inversasε0
a las de la constante eléctrica.
Con esta sustitución el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica viene dado
Electrostática en el vacío I - 15
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por: que es el enunciado del teorema de Gauss
r r
E ds
q
esfera
⋅ =∫ ε0
En el caso en que la superficie cerrada que consideremos rodeando la carga no sea esférica,
podemos demostrar (ver desarrollo en el anexo I) que el flujo total a través de la superficie, será
el mismo que a través de la superficie esférica si sólo existe la carga “q” colocada en su centro,
lo que escribiremos como: 
r r
E ds
q⋅ =∫Σ ε0
Por otro lado, si en lugar de una carga puntual tenemos una distribución de cargas, podemos
sumar la contribución de cada carga al flujo total a través de la superficie cerrada, por lo que
podemos escribir: 
r r
E ds
qi
n
⋅ =∫
∑
Σ
1
0ε
Problema 7.- Tres cargas de 10-9, 2×10-9, y -10-9 C, están situadas respectivamente en los puntos (1,1,1); (1,2,2); (1,2,1)
Calcular el flujo del campo creado por esta distribución a través de un cubo cuyos vértices están situados en los puntos 
(0,0,0); (3,0,0); (0,3,0); (0,0,3); (0,3,3); (3,3,3); (3,3,0); (3,0,0).
Aplicando el teorema de Gauss, sabemos que el flujo del campo eléctrico es la suma de las cargas encerradas en el
volumen dividida por . Como las tres cargas se encuentran dentro del cubo a considerar, el flujo será:
 = = 2.26 × 102 C m
r r
E ds
cubo
⋅ =
+ + × + −
∫
− − −10 2 10 109 9 9
0
( )
ε
2 10
8 85 10
9
12
×
×
−
−.
Acabamos de ver en un ejemplo que el cálculo del segundo miembro de la expresión del teorema
de Gauss es en muchos casos fácil, vamos a emplear esta facilidad para calcular el campo
eléctrico en un punto del espacio debido a una distribución de carga. 
Como el vector campo se encuentra en el primer miembro de la ecuación como un factor del
producto escalar de dos vectores, debemos pensar en una forma sencilla de realizar ese producto
escalar, lo que nos lleva a la necesidad de elegir una superficie que pase por el punto y que el
vector superficie sea para cada punto de ella perpendicular o paralelo al vector campo.
Como consecuencia de lo que acabamos de decir, debemos conocer cual será la “forma”
(dirección y sentido) del campo en cada punto del espacio para elegir así la superficie adecuada
que permita calcular , de modo que el teorema de Gauss sólo nos dará el módulo del
r r
E ds⋅∫Σ
vector campo eléctrico una vez que sepamos como es su dirección y sentido, lo que nos obliga
a pensar en las simetrías del campo para encontrar la superficie adecuada al caso. Por tanto el
Teorema de Gauss sólo será útil para calcular el campo eléctrico si existe algún tipo de simetría 
Problema 8.- Calcular, empleando el teorema de Gauss, el campo creado por una línea recta infinita uniformemente
cargada con una densidad lineal de carga , en un punto que dista “a” de ella.λ
Electrostática en el vacío I - 16
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 5 de problemas
Superficie cilíndrica que tomamos
como superficie de Gauss
Si queremos emplear el teorema de Gauss, para calcular el campo debemos buscar como superficie gaussiana una
superficie
cerrada que tenga la misma simetría que la distribución, para que así el módulo del vector campo sea el
mismo en todos los puntos de la superficie gaussiana.
En este caso la línea recta infinita, la superficie con simetría que rodea esta distribución podría ser, en principio, un
cilindro o un prisma recto, cuyo eje sea la línea cargada. Sin embargo, no tiene sentido considerar el prisma pues los
puntos de las caras laterales no equidistan del eje, y en consecuencia el módulo del vector campo no puede ser el
mismo, consideraremos, por tanto un cilindro cuyo eje sea la línea infinita cargada, y cuyo radio sea la distancia “a”
a la que queremos calcular el campo.
El teorema de Gauss establece que: . Calculemos el valor de cada uno de los miembros.
r r
E ds
qencerrada⋅ =∫Σ ε0
La integral a través de la superficie cerrada, será la suma del valor de la integral a través de cada base más la integral
a través de la superficie lateral:
 .
r r r r r r r r
E ds E ds E ds E ds
cilindro base base lat
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫1 2 sup
El campo creado por la distribución será normal a la línea, pues por cada elemento de carga que consideremos a lo
largo de la línea podemos encontrar otro simétrico a él respecto de un segmento
perpendicular a la recta que pase por el punto. Por tanto se anularán las
componentes paralelas a la línea y quedarán solamente las componentes
perpendiculares, como hemos visto en la solución del problema 6. En total, el
campo será de la forma indicada en la figura .( )r rE E ur=
base 1
En la base “1”, el vector superficie es normal a ella y dirigido hacia arriba
, como el vector campo es horizontal , su producto escalards ds u
r r
1 = ↑
r r
E E ur=
será nulo. .
r r
E ds⋅ =1 0
base 2
En la base “2”, el vector superficie es normal a ella y dirigido hacia abajo
, como el vector campo es horizontal , su producto escalards ds u
r r
2 = ↓
r r
E E ur=
será nulo. .
r r
E ds⋅ =2 0
Superficie lateral
En cada punto el vector superficie irá dirigido según el radio que le une al correspondiente punto del eje ,ds ds ul r
r r
=
luego será paralelo al campo: .
r r r r
E ds E ds⋅ = ⋅
Por tanto sólo tendremos que calcular la integral extendida a la superficie lateral: , pero dado que
r v
E ds E ds
lat lat
⋅ = ⋅∫ ∫sup sup
todos los puntos de la superficie lateral equidistan del eje, el módulo del vector campo será constante, y teniendo en
cuenta el valor de la superficie lateral del cilindro , obtenemos: .
r r
E ds E ah
lat
⋅ = ⋅∫sup ( )2π
Electrostática en el vacío I - 17
Fundamentos Físicos de la Informática
Calculemos ahora el segundo miembro de la ecuación, es decir, la carga encerrada por la superficie gaussiana. Si la
distribución es uniforme, la carga encerrada será la que tenga el tramo de línea que está incluida en la superficie
cilíndrica que hemos considerado, por tanto: . Igualando los dos miembros, obtenemos: ; esλ h ( )E ah h2
0
π
λ
ε
=
decir, . Como ya sabemos la dirección y el sentido del campo podemos escribir:E
a
=
1
2 0π ε
λ
 
r r
E
a
ur=
1
2 0π ε
λ
Que coincide con el valor obtenido por integración directa cuando sustituimos el valor de la constante
eléctrica, en la expresión obtenida: = Ke =
1
4 0π ε
r r
E K
a
ue r= 2
λ
2
1
4 0π ε
λ
a
ur
r
Potencial eléctrico
Dada la gran similitud formal que hemos comprobado que existe entre la expresión del campo
gravitatorio y el eléctrico, vamos a ver ahora, si ese parecido nos permite también hablar de un
potencial para el caso eléctrico. De ser así podremos trabajar con un campo escalar del que derive
el campo eléctrico con la ventaja que supone poder operar con el potencial (una única función
de la posición) en vez de hacerlo con el campo vectorial (tres funciones de la posición para poder
conocer en cada punto el módulo la dirección y el sentido), y cuando necesitemos conocer el
campo vectorial lo podemos calcular a partir de este potencial.
Veamos que ocurre cuando nos desplazamos dentro de un campo eléctrico para buscar una
expresión a partir de la que se pueda definir una función escalar relacionada con el campo
eléctrico. Supongamos que nos desplazamos desde un punto “A” a otro “B”siguiendo una línea.
En cada uno de los puntos de esta línea el campo tiene un valor “ ” que se puede considerar
r
E
constante en una diferencial de camino “ ”. Llamaremos circulación del vector campodl
r
eléctrico a la suma de los productos , de forma que la circulación a lo largo de toda la línea
r r
E dl⋅
es .
r r
F dl
linea
⋅∫
Para calcular esta integral de línea vamos a establecer en primer lugar un camino que, en
principio es muy rebuscado pero que será muy útil para poder buscar fácilmente la integral a lo
largo de cualquier curva. 
Trazamos dos rectas que partiendo de la carga creadora del campo, pasen por los puntos “A” y
“B”, como se muestra en la figura 7 y dibujamos el arco de circunferencia con centro en la carga,
limitado por las rectas. El camino que vamos a considerar esta formado por dos tramos, el
primero parte de “A” y sigue el arco de circunferencia, con centro en la carga, hasta el punto “C”,
que se encuentra en la recta determinada por el punto “B” y la carga. El segundo tramo va de “C”
a “B” siguiendo la recta que los une.
Electrostática en el vacío I - 18
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 7
Para ir desde el punto “A” al punto
“B”, trazamos un arco con centro en
la carga que pase por “A”, lo que nos
define el punto “C”
Para calcular la circulación del campo entre los puntos “A” y “B”, por el camino indicado,
tendremos que calcular la circulación en los dos tramos, y sumar los resultados obtenidos.
Tramo A-C
Para calcular la circulación debemos saber como son los vectores campo y
r r
E dl
A
C
⋅∫
“camino” en el tramo.
El campo en todos los puntos de este tramo, tendrá el
mismo módulo , ya que todos los puntos
1
4 0
2π ε
q
rA
equidistan de la carga en el radio del arco, el sentido
vendrá dado por un vector unitario radial , que será
r
ur
distinto en cada punto y estará dirigido hacia el infinito
si la carga es positiva.
El “desplazamiento” en cada punto será un vector de
módulo “dl” y el sentido será tangente a la trayectoria y
dirigido hacia “C”.
El producto escalar de los vectores campo y “camino” será el producto de dos vectores
perpendiculares (siempre el radio y la tangente son perpendiculares), luego la circulación
en este tramo será nula: = 0
r r
E dl
A
C
⋅∫
Tramo C-B
Aquí el vector campo será: , siendo r la distancia del punto considerado
r r
E
q
r
ur=
1
4 0
2π ε
a la carga, y un vector unitario contenido en la semirrecta “qB” y dirigido hacia el
r
ur
infinito.
El vector “camino” será: , siendo el mismo vector que nos daba el sentidodl dr ur
r r
=
r
ur
del campo y dr la variación sufrida por el “desplazamiento” que lo será a lo largo de la
línea por la que nos movemos.
En todo este ramo los vectores campo y “camino” son paralelos, luego su producto
escalar , será igual al producto de los módulos, por tanto: =
r r
E dl
q dr
rC
B
C
B
⋅ =∫ ∫ 4 0 2π ε
 = = , teniendo en cuenta como hemos
q dr
rC
B
4 0
2π ε ∫
q
r C
B
4
1
0π ε
−



q
r rB c4
1 1
0π ε
− −














definido el punto “C”, rC y de rA, son la misma magnitud (ambos son el radio del arco
Electrostática en el vacío I - 19
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 8
Ahora el camino para ir desde “A” al
punto “B”, lo haremos definiendo los
puntos “D”, “E” y “F” con arcos de
circunferencias de centro en la carga
centrado en la carga que pasa por ambos puntos), como el punto “A” es el definido
inicialmente por el problema que habíamos planteado, la circulación del campo eléctrico,
en este tramo, la podemos escribir: = . 
r r
E dl
C
B
⋅∫
q
r rA B4
1 1
0π ε
−






La circulación del campo entre “A” y “B” por este camino, valdrá la suma de los resultados
obtenidos en los dos tramos en que lo hemos descompuesto.
 = + = 0 + = . 
r r
E dl
A
B
⋅∫
r r
E dl
A
C
⋅∫
r r
E dl
C
B
⋅∫
q
r rA B4
1 1
0π ε
−






q
r rA B4
1 1
0π ε
−






Vamos a calcular ahora la circulación del campo desde “A” hasta “B” siguiendo otro camino, si
bien vamos a elegir un camino similar al anterior (figura 8). Ahora, trazamos una tercera línea
que parte de la carga, y se encuentra entre las correspondientes a los puntos “A” y “B”, y
trazamos dos arcos de circunferencia, uno que pase por “A” y llegue a la nueva línea y otro que
paso por “B” y llegue también a la nueva línea. Los extremos de estos arcos definirán en este
nueva línea los puntos “D” , “E” y “F” respectivamente. El
camino que consideramos ahora está formado por 4 tramos:
“AD” , “DE” , “EF” y “FB”, y debemos calcular la circulación
en cada uno de ellos y sumar los resultados obtenidos.
Siguiendo los razonamientos análogos al caso anterior, se llega
a los siguientes resultados:
Tramo A-D
El campo es radial y tiene el módulo constante e igual a:
1
4 0
2π ε
q
rA
El “camino” será, en cada punto un vector tangente a la circunferencia y dirigido hacia
“D”, luego perpendicular al campo.
 = 0
r r
E dl
A
D
⋅∫
Tramo D-E
El vector campo vale en cada punto: , y es paralelo a la recta
r r
E
q
r
ur=
1
4 0
2π ε
determinada por DE, y por tanto al vector “desplazamiento” con lo que el producto
escalar de los vectores campo y “camino”, será el producto de los módulos, luego:
Electrostática en el vacío I - 20
Fundamentos Físicos de la Informática
 = = = = =
r r
E dl
q dr
rD
E
D
E
⋅ =∫ ∫ 4 0 2π ε
q dr
rD
E
4 0
2π ε ∫
q
r D
E
4
1
0π ε
−



q
r rE D4
1 1
0π ε
− −














. 
q
r rD E4
1 1
0π ε
−






Tramo E-F
Igual que en el tramo “A-D”, los vectores campo y “camino” son perpendiculares, por
tanto = 0
r r
E dl
E
F
⋅∫
Tramo F-B
Igual que en el tramo D-E, teniendo en cuenta los nuevos puntos inicial y final luego: 
= = = =
r r
E dl
q dr
rF
B
F
B
⋅ =∫ ∫ 4 0 2π ε
q dr
rF
B
4 0
2π ε ∫
q
r F
B
4
1
0π ε
−



q
r rB F4
1 1
0π ε
− −














. 
q
r rF B4
1 1
0π ε
−






En total, la circulación del campo entre “A” y “B” por este camino, valdrá:
 = + + + = 0 + + 0 + 
r r
E dl
A
B
⋅∫
r r
E dl
A
D
⋅∫
r r
E dl
D
E
⋅∫
r r
E dl
E
F
⋅∫
r r
E dl
F
B
⋅∫
q
r rD E4
1 1
0π ε
−






 = + . 
q
r rF B4
1 1
0π ε
−






q
r rD E4
1 1
0π ε
−






q
r rF B4
1 1
0π ε
−






En la figura puede comprobarse que la distancia entre la carga y cada uno de los puntos “A” y
“D” (r A y rD) es la misma: (rA = rD), ocurriendo igual con las distancias entre la carga y cada uno
de los puntos “E” y “F” (rE = rF). Sustituyendo estos valores en la expresión de la circulación
tenemos:
 = + ; = 
r r
E dl
A
B
⋅∫
q
r rA E4
1 1
0π ε
−






q
r rE B4
1 1
0π ε
−






r r
E dl
A
B
⋅∫
q
r rA B4
1 1
0π ε
−






que es el mismo resultado que habíamos obtenido yendo por el otro camino.
A partir de este resultado podemos comprobar que podemos acercarnos a la forma de una curva
cualquiera tanto como queramos, sin más que trazar más radios que partan de la carga. Por tanto,
el resultado que hemos obtenido es generalizable para cualquier camino que tomemos para ir de
un punto a otro. Podemos decir que la circulación del campo no depende del camino es decir que
Electrostática en el vacío I - 21
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 9
Nos podemos hacer a la forma de un
camino cualquiera con tramos de
radios y de circunferencias de centro
en la carga 
Figure 10
La posición de las cargas vendrá
dada por los vectores 
r
r i'
el campo eléctrico es conservativo.
La expresión que hemos obtenido en el cálculo de la
circulación para ir de “A” a “B” del campo eléctrico nos
servirá para determinar el potencial eléctrico en los puntos del
campo. Si asimilamos directamente la circulación entre dos
puntos con la diferencia de potencial entre ellos, debida a una
carga puntual, tendríamos que:
• El potencial eléctrico en un punto varía con la
inversa de la distancia a la carga. Lo que
significa que si la carga es positiva, a mayor
distancia a la carga, menor potencial en el punto.
• La expresión obtenida no nos permite hablar de
potencial en un punto, sólo podemos hablar de
diferencia de potencial entre dos puntos del
espacio.
• Para el potencial creado por una carga puntual, podremos hablar de
potencial en un punto si tomamos como origen de potencial un punto muy
distante de la carga, en nuestro caso (aunque esto solamenterA → ∞
puede hacerse en el caso en que no existan cargas en el infinito). En este
caso el potencial creado por una carga positiva en un punto cercano “B”
resultaría negativo. Para subsanar esta circunstancia se define el potencial
eléctrico como la circulación del campo cambiada de signo.
 
Por tanto, la variación de potencial entre dos puntos A y B del campo, creado por una carga
puntual, vendrá dada por:
 = = - = V V E dlB A
A
B
− = − ⋅∫
r r q
r rA B4
1 1
0π ε
−






q
r rB A4
1 1
0π ε
−






y el potencial en un punto: V r
q
r
( )
r =
4 0π ε
Potencial creado por una distribución de cargas.
Si el campo está creado por una distribución discreta o continua
de cargas, podremos aplicar el principio de superposición para
obtener el potencial. En el caso de una distribución discreta,
cada una de ellas estará situada en un punto caracterizado por su
vector de posición . En total tendremos para la diferencia de
r
r i'
potencial entre los puntos A y B:
Electrostática en el vacío I - 22
Fundamentos Físicos de la Informática
 VB - VA = 
1
4
1 1
0 1π ε
q
r r r ri B i A ii
i n
r r r r−
−
−














=
=
∑ ' '
Si no existe carga en el infinito, y lo podemos tomar como origen de potenciales
 y podemos escribir que el potencial en un punto será:( )r V rA A→ ∞ =, ( ) 0
. V r
q
r r
i
ii
n
( )
'
r
r= −






=
∑
1
4 0 1π ε
En el caso de una distribución continua de carga, las podemos “discretizar” considerando como
carga puntual la encerrada en un volumen elemental ( ), de forma que dq = , con lo quedτ' ρ τd '
la suma discreta se convertirá en continua, la distribución de potencial será:
 V r
d
r r
( )
'
''
r
r r= −∫
1
4 0π ε
ρ τ
τ
Por tanto, en general, el campo electrostático es un campo conservativo, que deriva de un
potencial que calcularemos como: .V V E dlB A
A
B
− = − ⋅∫
r r
Como consecuencia de todo lo anterior, hemos visto que el campo electrostático se puede
describir por una función escalar que esta definida en todo el espacio excepto por una( )V rr
constante. La descripción del campo por un potencial presenta la ventaja de simplificar los
cálculos a la hora de conocer sus acciones.
Problema 8.- Determinar si el campo vectorial puede representar
r r r r r
a r x yz i y zx j z xy k( ) ( ) ( ) ( )= + + + + +2 2 2
un campo electrostático determinando la distribución de potencial correspondiente.
El campo vectorial dado está determinado en todos los puntos del espacio, por tanto puede existir carga en el infinito,
y no podemos hablar de potencial en un punto, sino de diferencia de potencial entre dos puntos. Para ver si podemos
encontrar una expresión para esta diferencia de potencial veremos si podemos encontrar una expresión de VA - VB, 
que vendrá dada por:
VA - VB = , siendo un vector cambio de posición cualquiera, pues la diferencia de potencial no puede− ⋅∫
r r
E dl
A
B
dl
r
depender del camino que empleemos parar llegar desde un punto a otro. Por tanto podemos escribir:
 = ;con lo que:dl
r
dx i dy j dz k
r r r
+ +
 = , y la distribución de potenciales
r r
E dl⋅ ( ) ( )( ) ( ) ( )x yz i y zx j z xy k dx i dy j dz k2 2 2+ + + + + ⋅ + +r r r r r r
será: 
Electrostática en el vacío I - 23
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 11
Esquema de un
dipolo
VA-VB= = =− ⋅∫
r r
E dl
A
B
− + + + + +∫ ( ) ( ) ( )x
yz dx y zx dy z xy dzA
B
2 2 2
= [ ]− + + + + +x xyz y xyz z xyzB
A3 3 3
Esta expresión permitirá calcular la diferencia de potencial entre dos puntos.
Dipolo eléctrico
A menudo nos vamos a encontrar una asociación de cargas sencilla formada por dos cargas
eléctricas iguales, pero de signo contrario, separadas una distancia pequeña respecto de la de
observación. Esta asociación de cargas recibe el nombre de dipolo eléctrico y su estudio suele
resultar interesante en el estudio de la materia.
El dipolo se caracteriza por su momento dipolar que es un vector que tiene por módulo el
producto de la carga por la distancia que separa las cargas, dirección la de la
recta que une las cargas y sentido desde la carga negativa hacia la positiva.
Dado que las dimensiones del momento dipolar son “carga × distancia” las
unidades en el Sistema Internacional (SI) serán culombios × metro (C × m).
Existe una unidad práctica el Debye, cuyo origen está ligado a la primera utilidad
que se dio al estudio de los dipolos: el conocimiento de la materia. Su relación
con la unidad del SI es: 1Debye = 3.33 × 10-30 C × m .
El dipolo crea un campo eléctrico resultante del creado por cada una de las dos
cargas. Las expresiones matemáticas del campo eléctrico y el potencial creados por el dipolo en
un punto, haciendo la aproximación que supone que la distancia de observación es muy grande
comparada con la que separa las cargas, lo que permite un desarrollo en serie de la expresión del
potencial, son para el potencial eléctrico y el campo:
 , para r >>d V
p u
r
r= ⋅
r r
4 0
2π ε
r
r r r
r r
r r
r
r r
E
p r r
r r
r r
p
r r
= ⋅ −
−
− −
−










1
4
3
0
5 3π ε
( ' )
'
( ' )
'
Como puede apreciarse, estas expresiones son bastante diferentes a las obtenidas en el caso de
cargas puntuales. La diferencia más significativa es que el potencial es inversamente proporcional
al cuadrado de la distancia del dipolo al punto (no inversamente proporcional como ocurría en
otros casos), y el campo inversamente proporcional al cubo de la distancia (y no al cuadrado).
Esto nos hace comprender por que, en ningún caso, puede considerarse el dipolo como una carga
puntual y es preciso tener en cuenta su momento dipolar.
Electrostática en el vacío I - 24
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 12
El campo eléctrico
ejerce fuerzas de
distinto sentido sobre
cada carga del dipolo
Acción de un campo eléctrico sobre un dipolo
Particularmente interesante resulta el caso de un dipolo rígido (el conjunto de las dos cargas
mantiene su distancia), cuando se encuentra en el seno de un campo electrostático.
Consideremos un dipolo, como el representado en la figura (la carga positiva en el punto “A”,
la negativa en “B”, separadas una distancia “d”), de momento dipolar . Cuando se
r r
p q d= ⋅
encuentra en el seno de un campo electrostático , cada carga se verá sometida a la acción de
r
E
una fuerza de valores: , , siendo y los campos
r r
F q E A+ = +( ) ( )
r r
F q E B− = −( ) ( )
r
E A( )
r
E B( )
existentes en las posiciones de las cargas positiva y negativa respectivamente. La fuerza
resultante será: 
 [ ]r r r r rF F F q E A E B= + = −+ − ( ) ( )
 Al ser el dipolo rígido, estas dos fuerzas están aplicadas en puntos
diferentes, con lo que aparecerá un par de fuerzas, cuyo momento resultante
(tomando momentos respecto del punto “B”), será: 
 = = 
r r r
M d F= × qd E A
r r
× ( ) r
r
p E A× ( )
En total, si el campo no es uniforme, el dipolo se verá sometido por una parte
a la acción de una fuerza de arrastre (resultante de las fuerzas), que lo
desplazará en sentido de los campos crecientes, y por otra parte, al ser de
momento no nulo producirá un giro que lo orientará en el sentido del campo.
Si el campo que actúa es uniforme ( ), la fuerza resultante será nula
r
E0
, y el momento (que será independiente del origen de momentos) será:[ ]r r r rF q E E= − =0 0 0
. Es decir un campo uniforme no desplazará al dipolo, si bien lo hará girar
r r r
M p E= × 0
orientándolo en el sentido del campo actuante.
Electrostática en el vacío I - 25
InfoTema2Dielectricos_123.pdf
Tema II: Electrostática en medios materiales.
Conductores en campos electrostáticos. Concepto de capacidad. Materiales dieléctricos.
Vectores Polarización y Desplazamiento
Bibliografía: Física. Volumen nº2. Tipler. Editorial Reverté. Física. Volumen nº2. Alonso y Finn.
Editorial Addison-Wesley
Conocimientos previos: Las leyes fundamentales de la Mecánica, operaciones vectoriales, concepto de campo eléctrico
Objetivos: Entender como es el campo electroestático en el interior y en las cercanías de un conductor cargado o
descargado. Comprender porque decimos que un conductor es un volumen equipotencial. Comprender que la
capacidad de un sistema de conductores es una propiedad que depende de la geometría del sistema. Entender como
se comportan los materiales dieléctricos en un campo electrostático, así como el significado del vector polarización y
las densidades de carga de polarización.
Introducción
Hemos visto que la presencia de cargas eléctricas en un punto cualquiera del espacio, daba lugar
a la existencia de un campo eléctrico, que hemos aprendido a detectar por la fuerza que aparecía
sobre otra carga, y hemos entendido se encontraba en el aire o en el vacío. En este tema, vamos
a estudiar tanto la influencia del medio en la distribución de campos generados por las cargas,
como la influencia del campo eléctrico en la “distribución” de las cargas eléctricas que son los
átomos y moléculas que forman un medio material.
Desde siempre se ha considerado que existían dos grandes grupos de medios materiales según
fuese su comportamiento frente a los campos eléctricos. Así, al hablar de experiencias de
triboelectricidad se calificó a los medios como eléctricos o aneléctricos según se manifestara o
no con facilidad este fenómeno. Esta primera división de los medios materiales se consolidó
cuando se estudió el comportamiento de la materia ante la conducción eléctrica, caso bien
distinto del que nos interesa ahora, y con algunas matizaciones, dio lugar a la denominación de
conductores (identificados con los metales) y aislantes (identificados con los no metales). La
aparición de propiedades de conducción en ciertos no metales, dio paso a la división hoy en uso
de los medios materiales como: conductores, semiconductores y dieléctricos. A continuación
veremos como se comportan los distintos tipos de medios conductores en el seno de los campo
electrostáticos.
Conductores en campos electrostáticos
Vamos a iniciar el estudio de las interacciones entre campos electrostáticos y medios materiales,
analizando el comportamiento de un medio conductor en un campo electrostático. Empezaremos
Electrostática en medios materiales II - 1
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figuras 1, 2 y 3
Representación de la
distribución de cargas en
un conductor
por comprender como se distribuyen sus cargas en esta situación, para conocer después como son
el campo y el potencial en los conductores, terminaremos su estudio analizando el campo y el
potencial debido a un conductor cargado, para llegar a entender el significado de la capacidad de
un conductor y de un conjunto de ellos.
Distribución de carga en un conductor en equilibrio electrostático
Vamos a considerar ahora un medio conductor que, como sabemos, se caracteriza por la
movilidad de los electrones en su volumen, al que supondremos inmerso en un campo
electrostático. 
En primer lugar supongamos que el conductor es neutro (no tiene carga
adicional). Sin embargo, en el volumen del conductor existen
electrones, que como sabemos se pueden mover con libertad por todo
el volumen del conductor. Si el campo eléctrico actúa sobre un electrón,
éste se verá sujeto a la acción de una fuerza que tenderá a
r r
F q Ee= ⋅
moverle en sentido opuesto al campo, y lo mismo ocurriría con todos
los electrones del conductor. Ahora bien, cada electrón que se desplaza
en contra del
campo (en la figura, hacia la izquierda del conductor),
provoca la aparición de una carga positiva en el conductor en el sentido
del campo (en la figura, a la derecha). Esta nueva distribución de cargas
causa la aparición de un nuevo campo eléctrico, opuesto al original,
cuyo valor irá aumentando a medida que se desplazan nuevos
electrones en contra del campo, y aparezcan cargas positivas en el otro
extremo del conductor.
Este fenómeno se mantendrá hasta que se igualen los módulos del
campo exterior aplicado y el nuevo (que se ha generado por el
deslazamiento de los electrones) de modo que al final el campo
electrostático en el volumen del conductor sea nulo, con lo cual no se
ejercerá fuerza alguna sobre los electrones libres que posee el
conductor. Por tanto la condición de equilibrio será: “El campo
electrostático en el interior de un conductor descargado es nulo”.
Si el conductor está cargado, con una carga “Q” la situación será la
misma, pues mientras exista un campo en el volumen del conductor las
cargas libres (electrones) se mueven por efecto de ese campo buscando
una distribución en la que exista equilibrio, que es aquella en la que el
campo en el interior del conductor es nulo, con lo que no existen fuerzas eléctricas sobre las
cargas. Este razonamiento nos lleva a que: “el campo electrostático en el interior de un
conductor es siempre nulo”
Por otra parte, si el campo en el interior del conductor es nulo, aplicando el teorema de Gauss
vemos que tiene que ocurrir que cualquier superficie cerrada que consideremos en el interior de
ese conductor no debe encerrar ninguna carga, luego “la carga en un conductor sólo se puede
Electrostática en medios materiales II - 2
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 1 de problemas
La línea roja representa
a la superficie de Gauss
que consideramos en el
volumen del conductor
Figure 4
Componentes normal y paralela
del campo eléctrico en la
superficie de un conductor
suponiendo que no fuese
perpendicular a ella
distribuir en la superficie del mismo”.
Problema 1.- Un objeto conductor es hueco. Si se introduce una carga puntual"Q" en la cavidad, demuéstrese que se
induce una carga "-Q" en la superficie interna de la cavidad.
Consideremos el conductor hueco, cuya sección se representa en la figura, si en su cavidad
interior existe una carga “Q”, al aplicar el teorema de Gauss para una superficie “ ” enΣ
el interior del volumen del conductor, se cumplirá: . 
r r
E ds
Qencerrada⋅ =∫Σ ε0
Como la superficie de Gauss que hemos considerado está toda ella en el volumen del
conductor, el campo eléctrico será nulo, lo que significa: , pero por otro lado
r r
E ds⋅ =∫Σ 0
esto obliga a que la carga encerrada en la superficie de Gauss sea nula, como en la cavidad
existe la carga”Q”, se debe encerrar una carga “- Q”. Por estar hablando de un conductor
sólo puede estar en una superficie, en este caso la superficie interior del hueco, como nos
pedían demostrar.
Potencial eléctrico de un conductor en un campo eléctrico
La primera conclusión que se saca del hecho de que campo electrostático sea nulo en el interior
de un conductor, es que: “los conductores son un volumen equipotencial”. Si el volumen del
conductor no está todo él a un único potencial, existirían al menos dos puntos, de ese volumen
que estarían a distinto potencial, lo que significaría que entre ellos existiría un campo
electrostático, lo que sabemos no es posible. 
Si aplicamos la definición de diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera del conductor,
tendremos: . Según hemos visto, dentro del conductor se cumple siempreV V E dlB A
A
B
− = − ⋅∫
r r
que el campo electrostático es nulo luego el integrando( )r rE = 0
de la ecuación anterior es nulo, como sumar muchas veces cero da
cero (no confundir con sumar cantidades muy pequeñas cuya
suma no tiene por que ser nula) llegamos a que
, luego el volumen del conductor estáV V E dlB A
A
B
− = − ⋅ =∫
r r
0
a potencial constante.
Campo eléctrico en la superficie de un conductor.
Veamos ahora, como tiene que ser al campo en la superficie de un
conductor. Supongamos, como se muestra en la figura 4, que el
campo no fuese perpendicular a la superficie del conductor,
Electrostática en medios materiales II - 3
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 5
Para calcular el campo en las
cercanías de un conductor tomamos
como superficie de Gauss un
cilíndrico recto una de cuyas bases
está en el conductor.
podemos descomponer el vector campo en dos componentes una normal y otra paralela a su
superficie. La componente paralela a la superficie, provocaría en los portadores (los electrones
que se pueden mover libremente por el volumen del conductor) un movimiento paralelo a la
superficie, lo que llevaría a una nueva distribución de cargas que modificaría el campo. La
situación de equilibrio es aquella en la que no existe movimiento de cargas, lo que sólo ocurre
cuando la componente del campo paralela a la superficie se anule. Por tanto, en la situación de
equilibrio “el campo electrostático es perpendicular a la superficie del conductor” . 
Para calcular el valor del campo en la superficie del conductor, consideremos que está cargado
con una densidad superficial de carga . Calcularemos el valor del campo aplicando el teoremaσ
de Gauss, para lo que tenemos que considerar una superficie cerrada. La superficie debe contener
los puntos en los que nos interesa calcular el campo y otros en
los que sea fácil conocer el flujo del campo eléctrico. En este
caso nos interesa considerar una superficie cilíndrica, como la
que se muestra en la figura 5, una de cuyas bases está en el
interior del conductor y la otra tan próxima a la superficie como
queramos.
Aplicando el teorema de Gauss a esta superficie tendremos:
. Calculemos por separado los dos
r r
E ds
Q
Sup cilindro
encerrada⋅ =∫ ε0
miembros de esta ecuación. El primer miembro lo podemos
escribir como:
 , calculemos ahora
r r r r r r r r
E ds E ds E ds E ds
Sup cil base base lateral
⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅∫ ∫ ∫ ∫. sup1 2
cada integral por separado.
Base 1
El vector superficie es normal a ella y dirigido hacia arriba, el vector campo, si
consideramos la carga positiva, también será perpendicular a la superficie del conductor
y por tanto a la base 1 del cilindro si la consideramos muy pequeña y tan próxima al
conductor como queramos. Por tanto, los vectores campo y superficie son paralelos y:
= ={como la superficie es pequeña el módulo del campo será constante}=
r r
E ds
base
⋅∫ 1 E dsbase⋅∫ 1
 llamando “S” al área de la sección recta del cilindro que es la superficie de GaussE ds
base1∫
que hemos elegido, tendremos: = E A S 
r r
E ds
base
⋅∫ 1
Base 2
El vector superficie es normal a ella y ahora dirigido hacia abajo, el vector campo, por
estar dentro del conductor será nulo, luego:
Electrostática en medios materiales II - 4
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 6
Esquema de una
esfera de radio “a”
cargada con carga
+Q
 = 0
r r
E ds
base
⋅∫ 2
Superficie cilíndrica
El vector superficie será normal en cada punto a la superficie lateral del cilindro, es decir
será horizontal, como el campo en las proximidades del conductor es perpendicular a la
superficie del conductor, es decir es vertical, se cumple que los vectores campo y
superficie son perpendiculares:
 = 0.
r r
E ds
lat
⋅∫sup
Por tanto, el calculo del primer miembro de la ecuación = E A S 
r r
E ds
cil
⋅∫sup
Veamos el valor del segundo miembro de la ecuación: , la carga encerrada en el
Qencerrada
ε0
cilindro será exclusivamente la de la superficie del conductor que esté dentro del propio cilindro,
si la densidad de carga es , y el área de la sección recta “S”, la carga total encerrada en elσ
cilindro de Gauss, será: . σ ⋅S
Igualando los dos términos de la ecuación obtenemos: , es decir que el módulo delE S
S⋅ = σ
ε0
vector campo será: , como sabemos que el campo es normal a la superficie del conductorE = σ
ε0
en cada punto. Si llamamos “ ”
al vector unitario normal a la superficie en cada punto,
r
un
tendremos que en las proximidades de un conductor cargado el campo electrostático es:
 
r r
E un=
σ
ε0
Veamos ahora que sucede en puntos más alejados del conductor, para lo cual vamos a considerar
algunos casos sencillos como el de un conductor esférico.
Campo y potencial debidos a una esfera conductora cargada.
Consideremos una esfera conductora de radio “a”, que está cargada con una
carga +Q. Para calcular la distribución de campos a que dará lugar deberemos
tener en cuenta que:
• la carga se sitúa en la superficie
• el campo en la superficie es radial (al ser siempre perpendicular a la
superficie)
• la esfera tiene simetría, de manera que girando alrededor de su centro
encontramos siempre la misma situación.
Electrostática en medios materiales II - 5
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 7
Como superficie de Gauss
tomamos una esfera
concéntrico con la esfera
cargada
Figure 8
Variación del módulo del campo eléctrico
debido a una esfera cargada de radio “a” 
Estas circunstancias tendrán como consecuencia que la distribución de campos a que de lugar
tendrá también la misma simetría que la esfera. Lo que nos lleva a que en cualquier punto
exterior:
• el campo será radial, y paralelo o antiparalelo a un vector unitario dirigido según el radio
según sea la carga positiva o negativa. Es decir en nuestro caso . 
r r
E E ur=
• su módulo es el mismo en todos los puntos del espacio que equidisten del centro de la
esfera.
Para calcular el módulo del campo, y considerando la simetría del problema, parece lógico
aplicar el teorema de Gauss. En este caso la superficie con la simetría
adecuada será otra superficie esférica concéntrica con la esfera
generadora del campo, pero de radio “r” que será la distancia al centro
de la esfera del punto genérico en el que estamos calculando el valor del
campo.
Según el teorema de Gauss: . Para calcular el primer
r r
E ds
Qtotal⋅ =∫Σ ε0
miembro tendremos en cuenta que el campo será radial y el vector
superficie por definición será normal a la superficie, , luegods ds ur
r r=
el producto escalar de los vectores campo y diferencial superficie será
igual al producto de los módulos 
r r
E ds E ds⋅ =
Como por simetría cualquier punto de la esfera de radio r es equivalente,
el módulo del campo será constante en toda la superficie gausiana que estamos considerando,
luego .
r r
E ds E ds E ds E r⋅ = = =∫ ∫ ∫Σ Σ Σ ( )4
2π
Para calcular el segundo miembro de la igualdad, debemos tener en cuenta que la única carga que
tenemos encerrada por la superficie gausiana, es la de la esfera conductora es decir:
.
Q Qtotal
ε ε0 0
= +
Igualando los dos miembros de la ecuación tenemos:
; el módulo del campo será:E r
Q
( )4 2
0
π
ε
=
, como sabemos que el campo es radial,E
Q
r
=
4 0
2π ε
escribiremos: . 
r r
E
Q
r
ur=
4 0
2π ε
Lo que nos dice que, a distancias suficientes (r > a), el
campo generado por la esfera cargada es el mismo que el
Electrostática en medios materiales II - 6
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 9
Para ir desde “A” hasta “B”, trazamos un arco de
circunferencia con centro en el de la esfera que
nos define el punto A’
que crearía una carga puntual situada en el centro de la esfera.
Como el campo en el interior del conductor debe ser cero, existirá una discontinuidad en la
superficie del mismo según se representa en la figura 8, el módulo del campo en la cara exterior
de la superficie valdrá: 
 mientras que en el interior el campo será nulo. E a
Q
aext
( ) =
4 0
2π ε
A partir de la expresión obtenida para el campo eléctrico podemos calcular el potencial teniendo
en cuenta que: 
 V r V r E dlB A
r
r
A
B
( ) ( )− = − ⋅∫
r r
Para calcular la integral desde el punto “A” hasta el punto “B” exteriores a la esfera, (figura 9),
sabemos que podemos elegir cualquier camino, por tanto la podemos calcular yendo desde “A”
hasta A’ y de A´ a “B”. Por la estructura del campo, el tramo desde A hasta A’ dará integral nula,
ya que el producto vectorial del campo (vector
paralelo a ) por el vector “movimiento” (vector
r
ur
paralelo a la tangente y en consecuencia
perpendicular a ) será el producto escalar de dos
r
ur
vectores perpendiculares que es nulo. La única
contribución será la debida a el tramo entre A’ y B
en el que el vector “movimiento” es de la forma
, lo que nos da el producto de dosdl dl ur
r r=
vectores paralelos, con lo que:
 = = = ; luegoV r V r E dlB A
r
r
A
B
( ) ( )− = − ⋅∫
r r
− ∫ E drr
r
A
B
− ∫
Q dr
rr
r
A
B
4 0
2π ε
− −



Q
r r
r
A
B
4
1
0π ε
.V r V r
Q
r rB A B A
( ) ( )
r r− = −





4
1 1
0π ε
Al estar la carga en la esfera, y por tanto no existir carga en el infinito podemos tomar como cero 
el potencial en el infinito (rA 6 4, V(rA) 60), lo que nos permite hablar de potencial en un punto
cualquiera exterior a la esfera .V r
Q
r
( )
r =
4 0π ε
En los puntos interiores en la esfera cargada, sabemos que el campo debe ser nulo y por tanto el
potencial constante. Si consideramos un punto de la superficie del conductor, su valor será
 , por tanto todos los puntos de el conductor tendrán este mismo potencial.V
Q
aa
=
4 0π ε
Si representamos en uno ejes coordenados el valor del módulo del campo eléctrico y del
Electrostática en medios materiales II - 7
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 10
Variación del módulo del campo y del potencial
debidos a una esfera cargada
Figure 11
La esfera de radio “a” tiene una carga
Q, y la de radio “b” está descargada
Figure 12
Las dos esferas de la figura anterior
unidas por un conductor descargado
potencial nos encontramos con lo representado en la figura 10 (representamos en rojo el valor
del potencial y repetimos en azul el módulo del vector campo en cualquier dirección del espacio). 
La figura nos permite ver que si bien tanto el
campo como el potencial disminuyen con la
distancia, la variación es mucho más rápida en el
caso del campo, lo hace con la segunda potencia
de la distancia, mientras el potencial lo hace con
la inversa de la distancia.
Por tanto, todos los puntos que estén a la misma
distancia del centro de la esfera tendrán el mismo
potencial, es decir, las superficies
equipotenciales serán esferas de centro él de la
esfera cargada, y radio la distancia al centro del
punto que consideremos. 
Influencia de la geometría en la
distribución de carga en un conductor
Vamos a estudiar cual es la influencia de la forma geométrica de un conductor en su
comportamiento desde el punto de vista eléctrico. Para ello, 
vamos a considerar dos conductores esféricos “A” y”B” de
radios “a” y “b” como se muestra en la figura 11. Originalmente
supondremos que el conductor “A” está cargado con una carga
(Qa = Q) y el segundo descargado (Qb = 0). Esto supondrá que
cada uno tendrá un potencial inicial distinto.
Supongamos ahora que los
unimos por un hilo conductor
muy fino, sin carga, como se
muestra en la figura 12,
formándose así un único conductor. 
Al ser un sistema aislado la carga total se mantendrá constante
e igual a Q . Además, al ser ahora un solo conductor su
potencial será el mismo en todos los puntos, si bien por
comodidad para el cálculo seguiremos hablando de cargas y
potenciales de cada esfera, como se indica en la tabla adjunta.
Estado inicial Estado final
Esfera “A”
radio “a” densidad de carga σa
Qa = Q Qa’
Va = Va Va’ = V
Electrostática en medios materiales II - 8
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 13
Esquema de un conductor terminado
en dos semiesferas de radios muy
distintos
Esfera “B” 
radio “b” densidad de carga σ b
Qb = 0 Qb’
Vb = Vb Vb’ = V
Los potenciales de cada esfera, según hemos calculado más arriba deberían ser: V
Q
aa
a'
'=
4 0π ε
y si bien sabemos se cumple que V’a = V’b = V, es decir:V
Q
bb
b'
'=
4 0π ε
 .V
Q
a
Q
b
a b= =' '
4 40 0π ε π ε
Por otro lado sabemos que la carga se conserva, por
tanto: Q’a+Q’b=Q. De la igualdad de los
potenciales obtenemos como relación entre cargas que: b Q’a = a Q’b de donde: 
 ; luego: ; y 
Q
a
Q
b
a b' '= Q bQ
ab
a'
'= Q bQ
a
Qa
a'
'+ = Q Q a
a ba
' =
+
Q Q
b
a bb
' =
+
lo que nos lleva a que la carga de la esfera de mayor radio es mayor que la carga del conductor
de menor radio: Q’a > Q’b
Al calcular la densidad de carga de cada esfera obtenemos: = , loσ
πa
aQ
a
= '
4 2
Q
a
a b a+
1
4 2π
que podemos escribir como: , operando de igual forma con la segunda esferaσ
πa
Q
a a b
=
+
1
4 ( )
tendremos: con lo que las densidades de carga de las esferas sonσ
πb
Q
b a b
=
+
1
4 ( )
inversamente proporcionales a sus radios, es decir : σa < σb
Si recordamos que el valor del módulo del vector campo eléctrico en las cercanías de un
conductor es la densidad de carga en el punto dividido entre g0,
tendremos que: y
r r
E ua
a
n=
σ
ε0
r r
E
Q
a a b
ua n= +
1
4 0π ε ( )
, es decir: , luego a menor
r r
E
Q
b a b
ub n= +
1
4 0π ε ( )
r
p
r
E Ea b
radio mayor densidad de carga y en consecuencia mayor será el
módulo del vector campo eléctrico.
Si consideramos un conductor como el que se muestra en la
figura 13, cuyos radios de curvatura son muy distintos, aun
cuando todo él este al mismo potencial, el campo en el extremo
de radio de curvatura menor (punta) será mucho mayor que el
campo en el otro extremo, y las cargas se acumularán en el
extremo de menor radio de curvatura.
Electrostática en medios materiales II - 9
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 14
Las líneas de campo del conductor “B”, originalmente en negro, se
ven distorsionadas por la presencia del conductor “A”
Extrapolando la situación, supongamos que uno de los extremos es un plano, es decir, su radio
de curvatura es infinito y el otro es una punta de radio de curvatura muy pequeño, el campo en
la punta será muchísimo mayor que el campo en el resto del conductor, con lo cual las cargas que
puedan estar en las cercanías del conductor caminaran hacia la punta. En esta propiedad de
campo intenso en las puntas se funda el pararrayos pues en caso de una tormenta el rayo, que no
es otra cosa que un movimiento de electrones sujetos a la acción de un campo capaz de atravesar
el aire, lo harán por la zona en la que el campo eléctrico sea más intenso.
Capacidad de un conductor.
En los diversos casos de cálculo del potencial debido a un conductor cargado que hemos
realizado, siempre nos encontramos que existe una relación entre la carga que tiene el conductor
y el potencial que adquiere, lo cual nos lleva a pensar que podemos establecer la relación que
existe entre ambas magnitudes para un conductor, para lo cual se define una nueva magnitud
denominada capacidad de un conductor, C = Q/V, cuya unidad es el culombio partido por
voltio, que se denomina faradio. 
En los apartados anteriores hemos visto que un conductor cargado es siempre un volumen
equipotencial. El valor del potencial que adquiere el conductor depende de su carga, pero también
varía según como está distribuida esa carga, y hemos visto que esta distribución depende de la
geometría del conductor. Por tanto, la capacidad del conductor será una característica que
dependerá exclusivamente de la forma del conductor. Así, por ejemplo, para un conductor
esférico el potencial adquirido cuando posee una carga Q es:
, con lo que , o lo que es lo mismo , queV K
Q
R
= C Q
V
Q R
K Q
R
Ke e
= = = C R= 4 0π ε
solamente depende del radio
Fenómenos de influencia
Por fenómenos de influencia
entendemos los cambios en el potencial
eléctrico que sufre un conductor por el
mero hecho de estar próximo a otro
conductor cargado.
Consideremos que introducimos un
conductor “A” en el campo eléctrico
creado por otro conductor cargado “B”. 
Analizando la situación desde el punto
de vista fenomenológico sabemos que
el conductor cargado (“B”) generará un
campo eléctrico. Al colocar en su
cercanía el conductor “A”, queda
Electrostática en medios materiales II - 10
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
sometido a los efectos del campo creado por “B” lo que, según hemos visto, provoca una
reordenación de las cargas de “A”, de manera que en su interior se cree un campo eléctrico que
anule el provocado por “B”. Por tanto, aparecerán cargas negativas en la superficie de “A”
próxima al conductor “B”.
Esta reordenación de cargas tendrá varias consecuencias:
• en el conductor “A” aparece un potencial que depende de la reordenación de sus cargas,
y por tanto del campo creado por “B” y de la geometría.
• en el exterior del conductor “A” aparece un campo eléctrico, que a su vez altera la
distribución de cargas, y por tanto el campo eléctrico y el potencial del conductor “B”
En total, el conductor “B” influye en el “A”, y a su vez lo que le sucede al conductor “A” influye
en el “B”. Esta situación continuará hasta que se logre un equilibrio.
Un caso especial se produce en la práctica cuando dos conductores próximos reciben cargas del
mismo valor y de signo contrario. En esta configuración, que recibe el nombre de condensador, 
también existirán fenómenos de influencia de un conductor sobre el otro de manera que al final
se logrará una distribución de carga, dentro de cada conductor, para que finalmente exista un
equilibrio. En ese momento cada uno de los dos conductores (que reciben el nombre de placas
del condensador) tendrá una carga + Q o - Q, y cada uno adquirirá un potencial diferente, pero
constante para cada uno de ellos, de forma que se establece entre ambos una diferencia de
potencial V. 
De la misma forma que en el caso de un conductor único, el potencial de cada conductor, y por
tanto la diferencia de potencial entre ellos dependerá de su carga y de la geometría (en este caso
tanto de la forma y tamaño de cada conductor como de su posición relativa). Por consiguiente,
también puede definirse la capacidad del condensador como la relación entre la carga (que en este
caso es la de una de las placas) y la diferencia de potencial entre ellas, y también veremos que
en este caso solo dependerá de la geometría de la configuración. 
Capacidad de distintos tipos de condensadores.
Existen distintos tipos de condensadores en función de su geometría. Los más usuales son el
condensador de placas plano paralelas, el condensador esférico y el condensador cilíndrico.
Condensador de placas plano paralelas.
Se compone de dos caras paralelas muy próximas de superficie “A” y separadas una distancia
“d”, de forma que una tiene carga +Q y la otra -Q. Esta configuración produce entre las placas
un campo constante y uniforme.
Para calcular su capacidad partimos de que el campo creado por un plano cargado con densidad
de carga σ en un punto próximo a su superficie viene dado por perpendicular a laE=
σ
ε2 0
superficie. El campo en un punto del espacio comprendido entre las placas será la suma de los
Electrostática en medios materiales II - 11
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 15
Esquema de un condensador
esférico
creados por cada una de ellas, y como ambos serán de sentido contrario al ser sus cargas de
distinto signo, en total obtenemos que el módulo del campo es: , y dado que el campo esE=
σ
ε0
constante en todos los puntos de la región comprendida entre las placas, la diferencia de potencial
entre ellas la podemos calcular como el producto de los módulos campo y distancia entre placas,
es decir será: V E d
d Q d
A
= ⋅ = =σ
ε ε
. .
.0 0
con lo que la capacidad del condensador queda: C
Q
V
Q A
Q d
A
d
= = ⋅ ⋅
⋅
=ε ε0 0.
Condensador esférico
Un condensador esférico está formado por una esfera conductora de radio “a” y concéntrica con
ella una corteza esférica de radio interior “b”, de forma que en la cara interior de la corteza y en
la esfera interior existan cargas iguales “Q” y de signo contrario,
distribución que puede conseguirse como indica la figura 15.
Para calcular su capacidad procedemos de la misma forma que
en el caso
anterior. Sabemos que aplicando el teorema de Gauss
a una superficie esférica concéntrica con los conductores que
pase por un punto del espacio comprendido entre ellos, el campo
eléctrico puede calcularse suponiendo que existe una carga Q en
el centro de la esfera, con lo que la diferencia de potencial que
existirá entre el conductor interior y el exterior será:
 .V a V b
Q
a b
( ) ( )− = −


4
1 1
0π ε
Con lo que la capacidad quedará: C
Q
V
= =
∆
1
4
1 1
0π ε a b
−



= , que solamente depende de la geometría del condensador. 4 0π ε
a b
b a−




Problema 2.- Un condensador que consta de dos placas paralelas muy próximas, de superficie 10 cm2 separadas 10-5
m. Se carga hasta que adquiere una diferencia de potencial de 50 V.
a) Determinar la distribución de potenciales entre sus placas.
b) La capacidad del condensador.
c) La carga que adquiere.
a) Datos
Permitividad del vacío ε0
12 18 85 10= × − −. F m
Superficie de las placas S = 10-3 m2
Separación entre las placas d = 10-4 m
Electrostática en medios materiales II - 12
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 2 de problemas
Corte del plano conductor que es
una placa del condensador
Figure 3 de problemas
En los planos r = a y r = b los potenciales
son constantes
Para determinar la distribución de potenciales que tenemos entre las placas, podríamos calcularlo por integración
directa o calculando el campo creado por una de ellas (un plano conductor cargado) en un punto cualquiera del
espacio y a partir de el campo obtener el potencial en un punto cualquiera. Dada la simetría del problema
emplearemos el teorema de Gauss para calcular el campo y por la definición de potencial obtener este.
Como el módulo del campo dependerá de la distancia a la carga, la simetría del problema nos lleva a tomar como
superficie de Gauss un prisma recto una de cuyas bases estará en el conductor (en la figura se representa un corte de
esta situación).
El teorema nos dice: , como siempre calcularemos cada uno
r r
E ds
Qencerrada⋅ =∫Σ ε0
de los términos de la igualdad por separado.
La la calcularemos como: + + 
r r
E ds⋅∫Σ
r r
E ds
base
⋅∫ 1
r r
E ds
base
⋅∫ 2
r r
E ds
lat
⋅∫sup
En la base “1” el campo y el vector superficie son paralelos, luego será el producto
de los módulos, que al depender el campo sólo de la distancia al plano será una
constante en la integral, con lo que tenemos: = = = E
r r
E ds
base
⋅∫ 1 E dsbase⋅∫ 1 E dsbase 1∫
S; siendo “S” el área de la base la superficie de Gauss que hemos considerado.
En la base “2” el campo es nulo, pues estamos en un conductor. Luego =
r r
E ds
base
⋅∫ 2
0.
En la superficie lateral los vectores campo y superficie son perpendiculares luego su producto escalar es nulo:
r r
E ds
lat
⋅∫sup
= 0. Por tanto = E S
r r
E ds⋅∫Σ
Calculemos el segundo miembro. Como sólo existe carga en el conductor, tendremos que la carga encerrada será:
; siendo “ ” la densidad de carga del conductor. Igualando los dos miembros tenemos: ; porσ ⋅ S σ E S
S
⋅ =
⋅σ
ε0
tanto el campo será: , donde es un vector unitario perpendicular
r r
E u=
σ
ε0
r
u
al plano cargado. (Observar que ahora hemos calculado el campo de distinta
forma que en la parte teórica, pero sin embargo el resultado ha sido el
mismo).
Para calcular la distribución de potenciales tendremos en cuenta, como
siempre, que:
 Siendo r la posición de un punto intermedioV r V r E dlA
r
r
A
( ) ( )− = − ⋅∫
r r
cualquiera entre rA y rB.
Para ir desde rA hasta rB el vector desplazamiento es antiparalelo al campo
eléctrico (suponemos que el potencial en rb es mayor que en ra), y como este
no depende de la distancia, pues su módulo hemos visto vale , la integral
σ
ε0
nos queda: , o lo que es lo mismo: , que es expresable por: V(r)V r V r rA a( ) ( )− = −
σ
ε0
V r r r VA A( ) = − −






σ
ε
σ
ε0 0
Electrostática en medios materiales II - 13
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 16
Esquema de dos condensadores
conectados en serie
= A r + B
 V(r) = A r + B 
b) Para determinar la capacidad del condensador debemos conocer la diferencia de potencial entre las placas
del condensador , teniendo en cuenta que hemos llamado “d” a la distancia entre los planosV V r rB A b a− = −
σ
ε0
( )
obtenemos: . V V dB A− =
σ
ε0
Recordando que la densidad de carga será la carga del plano dividida entre la superficie de la placa, podemos
escribir: , luego la capacidad será: = V V
d Q
SB A
− =
ε0
C
Q
V
= ε0
S
d
C
S
d
= ε0
La capacidad del condensador será: = C = × −
−
−8 85 10
10
10
12
3
4. 8 85 10
13. × − F
 C F nF= × =
−8 85 10 885013.
c) Para calcular la carga que adquiere el condensador tendremos en cuenta la relación entre carga capacidad
y diferencia de potencial entre placas: C V = Q, luego la carga que será el producto de la capacidad por la diferencia
de potencial será: Q = 4.4 10-11 C
 Q = 4.4 10 -11 C 
Asociación de condensadores.
En los circuitos eléctricos es frecuente que nos encontremos dos o más condensadores conectados
entre sí. Si tenemos dos condensadores podemos unirlos en serie o en paralelo según se conecten
la placa de un signo del primero con la del otro signo del segundo (serie), o las placas del mismo
signo de los dos condensadores entre sí (paralelo).
Condensadores en serie.
Al conectar la placa positiva de un condensador con la
negativa del otro, el conjunto es equivalente a un
condensador formado por las placas externas (no conectadas
entre sí), entre las que existirá una diferencia de potencial
igual a la suma de las diferencias de potencial de cada uno de
los condensadores. Para que el conjunto forme un
condensador único las placas extremas deberán tener la
misma carga, de forma que:
Carga Diferencia de potencial Capacidad
Condensador 1 Q V1 C1 = Q/V1
Condensador 2 Q V2 C2 = Q/V2
Condensador equivalente Q V = V1+V2 C = Q/V
Electrostática en medios materiales II - 14
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 17
Esquema de dos
condensadores conectados en
paralelo
para buscar la expresión de C en función de C1 y C2, vemos que podemos sumar las inversas de
las capacidades parciales, ya que al tener entonces el denominador común la expresión resulta
sencilla, y . es decir: la inversa de la capacidad equivalente es la
1 1 1
1 2
1 2
C C
V
Q
V
Q
V
Q C
+ = + = =
suma de las inversas de cada uno de los condensadores asociados en serie.
Condensadores en paralelo
Al conectar las placas con carga del mismo signo, el conjunto equivale a otro condensador con
una sola placa de cada signo en la que existe un carga igual a la suma de las cargas de cada una
de las placas, de forma que entre todas las placas positivas y las negativas existe la misma
diferencia de potencial. Por tanto:
Carga Diferencia de potencial Capacidad
Condensador 1 Q1 V C1 = Q1 /V
Condensador 2 Q2 V C2 = Q2 /V
Condensador equivalente Q = Q1 + Q2 V C = Q/V
Para buscar la expresión de la capacidad equivalente, sustituimos en
la expresión de C, con lo que:
. Por tanto, el condensadorC
Q
V
Q Q
V
Q
V
Q
V
C C= =
+
= + = +
1 2 1 2
1 2
equivalente a varios condensadores en paralelo tiene una capacidad
igual a la suma de las capacidades de cada uno de los condensadores
asociados.
Electrostática en materiales dieléctricos
Hasta el momento hemos visto que ocurre cuando un conductor se
encuentra en un campo eléctrico, veremos ahora que ocurre con los
dieléctricos. 
Por una parte, se observan algunos fenómenos relacionados con este tipo de materiales, por
ejemplo, cuando se introduce un material dieléctrico entre las placas de un condensador, se
comprueba que aumenta su capacidad, es decir, puede almacenar más carga con la misma
diferencia de potencial entre placas. Por otra parte, sabemos que en los medios dieléctricos no
existe la posibilidad de movimiento de los electrones en su volumen debido a que los electrones
de cada átomo o molécula que componen el material se encuentran por tanto fuertemente
ligados
a ella. Pero, para poder explicar fenómenos como el mencionado es preciso que cuando el
dieléctrico se encuentra en un campo eléctrico sucedan en su estructura atómica o molecular
algunas modificaciones.
Electrostática en medios materiales II - 15
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 19
Deformación sufrida por
una molécula simétrica, por
efecto del campo eléctrico
aplicado 
Figure 18
Representación de una
molécula covalente muy
simétrica
El fenómeno de la polarización
Para comenzar a analizar lo que ocurre cuando se sitúa un material dieléctrico en una región del
espacio en la que existe un campo eléctrico analicemos en primer lugar, lo que ocurre a nivel
microscópico, desde el punto de vista fenomenológico. Dado que el tipo de molécula va a
condicionar la respuesta, examinaremos los distintos casos que se pueden presentar empleando
modelos sencillos.
Supongamos en primer lugar que las moléculas con enlace covalente. En este caso la molécula
puede ser polar o no polar según no coincidan (no polar) o si coincidan los “centros de gravedad”
de las cargas positivas y negativas. En el caso de las moléculas polares, cada una de ellas tiene
un momento dipolar ya que se puede asimilar a un dipolo. En el caso de las moléculas no polares,
en una primera aproximación, podremos suponer que los electrones que forman el enlace forman
una nube electrónica que envuelve completamente a la molécula, con lo cual cada molécula de
la sustancia se puede representar, de la misma manera que ocurre con los átomos, por dos esferas
concéntricas de radios muy distintos (ver figura 18), la interna con carga neta positiva y la externa
con carga negativa.
La aplicación de un campo eléctrico externo al material en cuestión,
provocará el arrastre de la nube electrónica externa en sentido
contrario al campo, mientras que el resto de la molécula (o el
núcleo del átomo en el caso de moléculas monoatómicas) sufrirá un
desplazamiento en el mismo sentido del campo al ser una carga
positiva. El resultado será la deformación de la molécula, ya que el
campo, en general en el caso de los dieléctricos, no será suficiente
para arrancar un electrón de la corteza.
Esa deformación dará lugar a la separación
de los centros de gravedad de las cargas
positivas y negativas, lo que puede considerarse como la aparición de una
carga neta positiva, separada de la negativa una distancia muy pequeña
frente a la de observación, es decir, cada molécula puede ser sustituida por
un dipolo paralelo al campo eléctrico y cuyo módulo dependerá del
desplazamiento relativo de los centros de cargas y del valor de estas.
Podemos decir que el campo eléctrico a polarizado la molécula con un
momento dipolar que dependerá de la naturaleza del material y del valor
del campo que actúe. Dado que todas las moléculas del material son
iguales, todos los momentos magnéticos de cada una de las moléculas
tendrán la misma dirección y sentido, con lo que, en conjunto, el material
adquirirá un momento dipolar suma de los momentos dipolares de cada
una de las moléculas.
Supongamos ahora que el material del que estamos hablando está formado
por moléculas polares, por lo que cada una de ellas tiene ya un momento
dipolar permanente. 
Electrostática en medios materiales II - 16
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 20
Representación de los
dipolos permanentes
de un fluido dipolar en
ausencia y presencia
de campo eléctrico. En
(2) los dipolos están
algo ordenados en el
sentido del campo
Figure 21
Representación de una estructura iónica en ausencia y en
presencia de campo eléctrico
Consideremos el caso más sencillo, es decir que sus moléculas están
ordenadas totalmente al azar, por lo que no tienen porque presentar, desde
el punto de vista macroscópico, un momento dipolar. La aplicación de un
campo eléctrico dará lugar a la aparición de pares de fuerzas que
producirán pequeñas rotaciones en las moléculas de forma que todas se
orientarán tendiendo a la misma dirección con lo que aparecerá un
momento dipolar resultante. De nuevo, el módulo de ese momento dipolar
dependerá de la facilidad de reorientación de los dipolos ya existentes, es
decir del medio de que se trate, y del módulo del campo eléctrico actuante.
Además de los dieléctricos constituidos por moléculas covalentes, existen
otros cuya estructura se debe a un enlace iónico. Como ejemplo hemos
tomado el cloruro sódico, al ser una red en la que en sus vértices se
encuentran iones negativos y positivos, (Cl-) (Na+) (en la figura 21 sólo se
ha puesto el símbolo del átomo). Al aplicar un campo eléctrico los iones
positivos se verán
empujados por el
campo, mientras que
los negativos se
desplazarán en sentido contrario. El
resultado será la aparición de momentos
dipolares de resultante no nula dirigida en la
misma dirección y sentido del campo. El
módulo del momento dipolar resultante
dependerá, de nuevo, del valor del campo
actuante y de lo fácil o difícil que sea
desplazar los iones de su posición de origen,
es decir de la naturaleza de la sustancia.
Vector polarización. Susceptibilidad eléctrica.
Del estudio fenomenológico anterior podemos inferir, que cuando un material dieléctrico
cualquiera se encuentra en el seno de un campo eléctrico, cada una de sus moléculas tiene
asociado un momento dipolar, aun cuando inicialmente no existiera dipolo alguno. Si
consideramos un volumen cualquiera de dieléctrico, existirán en él un cierto número de dipolos
de manera que podemos caracterizar el material por la densidad de dipolos del material por
unidad de volumen, que llamaremos vector polarización o simplemente polarización ( ), de
r
P
forma que si cada molécula tiene un momento dipolar y la sustancia tiene “N” moléculas por
r
p
unidad de volumen es evidente que , al ser la polarización la densidad de momentos
r r
P N p=
dipolares moleculares.
Como no todos los materiales son homogéneos e isótropos, está magnitud debe caracterizar punto
a punto la sustancia, es decir debe ser una función vectorial definida en cada punto. Si queremos
tener el valor en cada punto del vector polarización, el volumen que debemos considerar para
definir esa densidad de momentos dipolares debe ser tan pequeño como necesitemos para rodear
Electrostática en medios materiales II - 17
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
sólo el punto en cuestión, es decir: ; . 
r
r
P
p=
→
lim
∆τ
∆
∆τ0
r
r
P
dp
d
=
τ
Las unidades del vector polarización serán las de un momento dipolar (culombios × metro)
divididas entre un volumen (m3), es decir culombios × metro-2.
Este vector polarización dependerá por un lado del campo eléctrico, que es su origen, y del tipo
de material del que se trate. En la mayoría de los materiales el vector polarización es directamente
proporcional al campo, , de forma que se puede introducir una constante de
r r
P E∝
proporcionalidad que debe depender del medio y que escribiremos como ; .χ εe 0
r r
P Ee= χ ε0
Esta nueva constante “ ” característica del material se denomina susceptibilidad eléctrica delχe
medio.
Analizando dimensionalmente la ecuación anterior se obtiene que la susceptibilidad así definida
no tiene dimensiones
Densidades de carga de polarización
Según hemos dicho antes, cuando una sustancia se polariza aparece en su volumen una nueva
distribución de cargas distinta de la del material en “reposo”. Esta reordenación interna de las
cargas de la substancia podrá dar lugar a que al considerar un volumen de la substancia o un área
de su superficie aparezca una densidad no nula de cargas. 
Densidad superficial de cargas de polarización
Para analizar esta situación desde el punto de vista fenomenológico, vamos a considerar el caso
de un material dieléctrico situado entre las placas de un condensador de placas planoparalelas,
de forma que ambos tengan la misma superficie. En primer lugar consideremos que el medio
dieléctrico es homogéneo e isótropo, es decir que su comportamiento es análogo en todos sus
puntos.
Por otra parte sabemos que el campo eléctrico creado por un condensador plano paralelo
también puede considerarse homogéneo en todos los puntos del interior del condensador. 
En estas condiciones el campo eléctrico creado en el interior del condensador orienta los dipolos
del material dieléctrico en dirección paralela al campo, de forma que si consideremos una capa
muy fina del paralelepípedo cuyo espesor venga definido por “d”, como se indica en la figura 22,
sobre la superficie del dieléctrico paralela a la placa positiva del condensador aparecerá un exceso
de carga negativa. De la misma forma, en la cara de dieléctrico próxima a la placa negativa
aparecerá un exceso de carga positiva.
Si llamamos “N” al número de moléculas por unidad de volumen del material y “qp” a la carga
producida en cada una de ellas por la polarización, tendremos que la carga en esa capa superior
(Qp) será igual al número de moléculas por unidad de volumen multiplicado por el volumen que
consideremos y por la carga de cada molécula, es decir:
Electrostática en medios materiales II - 18
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 22
Representación del fenómeno de
polarización dieléctrica
Qp = N (A d) qp = A N p
siendo p el módulo del momento dipolar molecular ( ). La densidad superficial de carga de
r
p
polarización será: = Qp /A = N p, que es precisamenteσ P σ P
el módulo del vector polarización ( ) para un medio como el
r
P
que hemos supuesto. Luego en estas condiciones (caras
perpendiculares al campo) podemos decir que la densidad
superficial de carga coincide con el módulo del vector
polarización . σ P P=
r
En las caras laterales del dieléctrico no aparece carga
superficial alguna debido a que el campo es paralelo a esta
superficie y por tanto a la dirección en la que aparecen los
dipolos, con lo que, de forma general escribiremos:
 σp P n= ⋅
r r
Esta densidad superficial de carga de polarización existe solamente cuando el dieléctrico está
sometido a la acción del campo exterior, de manera que cuando desaparece el campo
desaparecerán las cargas de polarización. En el ejemplo del condensador, si conectamos sus
placas a tierra su carga desaparecerá por el hilo conductor al que esté unido el condensador para
descargarse y por consiguiente desaparecerá el campo eléctrico. Sin embargo, las cargas de
polarización, si bien es cierto que existen, no podrán viajar por el conductor al estar ligadas a la
estructura del material, y lo que ocurrirá es que la densidad superficial de carga desaparecerá por
reordenamiento de las moléculas (despolarización del material).
Densidad volúmica de carga de polarización
Veamos ahora lo que ocurre en el interior del material dieléctrico. Si el material es homogéneo
todos los dipolos están igualmente orientados, con lo que en cualquier punto interior cada
extremo positivo estará próximo al negativo de oro dipolo con lo que en conjunto no aparecerá
densidad volúmica de carga.
 
Consideremos ahora un material cuya polarización no sea homogénea. Si tomamos un pequeño
elemento de volumen imaginario (τ) en el interior del material que esté rodeado por una
superficie “Σ”, no todos los dipolos contenidos son iguales, con lo que no tienen por que anularse
unos con otros, luego puede aparecer una carga en el volumen de forma que se puede definir una
densidad volúmica de carga de polarización tal que ∆Q dp p= ∫ρ ττ
Vector desplazamiento eléctrico. Permitividad dieléctrica
Veamos que ocurre cuando cargamos un material dieléctrico. La existencia de cargas libres en
el interior del dieléctrico dará lugar a la aparición de un campo eléctrico creado por ellas, este
Electrostática en medios materiales II - 19
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
campo eléctrico actuará sobre el propio dieléctrico de la misma forma que hemos visto en el caso
de que el campo fuese exterior, de manera que polarizará el dieléctrico dando lugar a al aparición
de densidades de cargas de polarización.
Para analizar lo que sucede en el interior del dieléctrico aplicaremos el teorema de Gauss.
Tomemos como superficie gausiana, una superficie cualquiera cerrada, situada
en el interior del volumen del dieléctrico, como se muestra en la figura. Según
el teorema de Gauss:
 . La carga encerrada es tanto la carga libre como la carga de
r r
E ds
Qtotal⋅ =∫Σ ε0
polarización del dieléctrico, es decir: Qtotal = Qlibre + Qpolarización; con lo que
podemos escribir 
ε 0. .
r r
E ds Q Qlibre polarizacion= +∫
pero sabemos que la densidad de carga de polarización está relacionada con el vector
polarización, y que crea un campo en sentido contrario del exterior (debido a la orientación de
los dipolos) de forma que 
Q P dspolarizacion = ∫
r r
.
con lo que en total podemos poner al ser el campo creado por las cargas de polarización de
sentido contrario al campo exterior queda
r
E
, de donde , expresión que podemosε 0
r r r r
E ds Q P dslibre. .= − ∫∫ ε 0
r r r r
E ds P ds Qlibre. .+ =∫∫
escribir de forma:
( )ε 0r r rE P ds Qlibre+ =∫ .
A la suma comprendida en el paréntesis la denominamos vector desplazamiento 
r r r
D E P= +ε 0
de forma que podemos escribir = Qlibre
r r
D ds⋅∫Σ
esta expresión es similar a la del teorema de Gauss considerando el vector desplazamiento en
lugar del vector campo y teniendo en cuenta solamente las cargas libres, por lo que se conoce
como la ley de Gauss para medios materiales. La ventaja de utilizar el vector desplazamiento
es que al estar relacionado solamente con las cargas libres es independiente del medio en el que
nos encontramos.
Para calcular el vector campo eléctrico a partir del vector desplazamiento veremos como están
relacionados a partir de la definición del vector desplazamiento
r r r
D E P= +ε0
Como sabemos que el vector polarización es proporcional al vector campo que le origina de
forma que , queda: = = .
r r
P Ee= χ
r
D ε ε χ0 0
r r
E Ee+ ( )ε χ0 1+ e E
r
Figure 23
Superficie
imaginaria en el
interior del medio
Electrostática en medios materiales II - 20
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
El producto , que nos relaciona el campo eléctrico en el medio con el nuevo vectorε χ0 1( )+ e
desplazamiento, sólo depende de las características del dieléctrico, lo llamaremos permitividad
dieléctrica del medio, que representaremos por , con lo que el vector desplazamiento y elε
campo eléctrico estarán relacionados por: . 
r r
D E= ε
Normalmente se emplea la permitividad relativa del medio que es la relación entre la
permitividad dieléctrica y la permitividad del vacío: = = , laε ε
εr
=
0
( )ε χ
ε
0
0
1+ e ( )1+ χe
relación: , entre los dos parámetros característicos del dieléctrico es la primeraε χr e= +( )1
relación constitutiva del medio. A partir de ella podemos escribir: .
r r r
D E Er= =ε ε ε0
Esta expresión nos permite resolver el calculo del campo eléctrico en cualquier material de una
manera más sencilla, ya que podemos hallar el vector desplazamiento producido por las cargas
libres, con lo que su valor se conserva independientemente del material que ocupe el espacio en
el que se ha calculado. Si ahora ese espacio está ocupado por un dieléctrico podemos calcular el
vector campo eléctrico en el material sin mas que multiplicar el vector desplazamiento por la
permitividad dieléctrica del medio, de forma que el vector campo es diferente según el material
de que se trate.
Vamos a analizar y afianzar los conceptos en el siguiente ejemplo, que nos servirá de resumen
de lo visto para los materiales dieléctricos.
Problema 3.- Se electriza una esfera de médula de saúco (de permitividad relativa 8), de 5 cm de radio, obteniendose
una distribución de carga de la forma ρ(r) = 3 x 10-12 r culombios/m3.
a) Calcular el campo y el desplazamiento eléctrico en todos los puntos del espacio.
Se recubre esta esfera con una corteza de radios 6 y 8cm, formada por un material de permitividad relativa 15.
b) Calcular ahora el campo y el desplazamiento eléctrico en todos los puntos del espacio.
c) Calcular
el vector polarización en la corteza dieléctrica.
d) Calcular las densidades superficiales de carga de polarización en la corteza
e) Calcular la carga total en el volumen de la misma.
 Datos
Radio de la esfera (a) = 5 cm = 5 × 10-2 m
Permitividad de la esfera ( ) = 8εr
Densidad de carga (r) = 3 x 10-12 r culombios m-3 ρ
a) Nos piden calcular el campo y el desplazamiento eléctrico creado por la distribución en todos los puntos del
espacio, tenemos dos regiones perfectamente diferenciadas: los puntos interiores y los puntos exteriores a la esfera. 
Electrostática en medios materiales II - 21
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 4 de problemas
Para calcular la carga encerrada
por la superficie de Gauss, toamos
como volumen elemental una
casaca esférica de radio r y espesor
dr
a1) Consideremos primero los puntos interiores (r < a)
Como estamos en un dieléctrico, para calcular el campo y el desplazamiento, podemos recurrir al teorema de Gauss
para dieléctricos, que en general será la forma más sencilla de calcular el campo al estar ligado exclusivamente a las
cargas libres, y que nos dice: . Tendremos que encontrar una superficie de Gauss que este de
r r
D ds Qlibre
Σ∫ ⋅ =
acuerdo con la distribución de carga que tenemos. La simetría del sistema implica que la superficie a considerar será
una esfera, de radio (r), concéntrica con la distribución. Para aplicar el teorema de Gauss, debemos calcular cada
uno de sus miembros.
El primero nos obliga a pensar como será el forma del vector desplazamiento a que de lugar la
r r
D ds
Σ∫ ⋅
distribución, por simetría esta forma no puede ser otra que vectores radiales, . De otro lado el vector
r r
D D ur=
superficie, al ser normal a ésta, será de la forma , lo que nos lleva a que el producto escalar de ambosds ds ur
r r
=
vectores será el producto de módulos. . Como la distribución de carga varía con la distancia al
r r
D ds D ds⋅ =∫ ∫Σ Σ
centro de la esfera (el radio de la superficie gausiana), el vector desplazamiento tendrá el mismo módulo en todos los
puntos que equidisten del centro de la esfera: , y la integral de “ds” en estas condiciones será:D ds D ds
Σ Σ∫ ∫=
. Luego: 4 2π r
r r r
D ds r D r⋅ =∫Σ 4
2π ( )
Vamos a calcular el segundo miembro, que es la carga libre encerrada en la esfera
de Gauss. Como nos dicen que se distribuye según la densidad de carga (r) = 3ρ
x 10-12 r culombios m-3, que por comodidad escribiremos como: , conρ ( )rr Kr=
lo que tendremos: 
 = , el diferencial de volumen (ver figuraQ r dlibre volumen
esfera
= ∫ ρ τ
τ
( )
( )
r
Kr dτ
τ∫
4 de problemas) será el producto del área de la superficie esférica por la altura 
diferencial: ; = =d r drτ π= 4 2 ( ) ( )Q Kr r drlibre r= ∫ 4 20 π 4 4
4
0
π K r
r








.π K r 4
Igualando los resultados obtenidos para ambos miembros tenemos:
. El vector desplazamiento en los puntos interiores, será: 4 2 4π πr D r K r( )r =
 
r r r
D r
K
r ur( ) = 4
2
Conocida la expresión del desplazamiento eléctrico para puntos interiores podemos calcular el campo eléctrico
recordando la relación entre ambos: . Luego: , o lo que es lo mismo: 
r r
D E= ε
r r r
E r
K
r ur( ) = 4
2
ε
 
r r r
E r
K
r u
r
r( ) = 4 0
2
ε ε
Substituyendo valores en ambas expresiones obtenemos para “r < a”: 
 y 
r r r
D r r u c mr( ) .= × ⋅
− −7 5 10 13 2 2
r r r
E r r u V mr( ) . /= ×
−106 10 2 2
Electrostática en medios materiales II - 22
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
Figure 5 de problemas
Tomamos como superficie de
Gauss una esfera concéntrica
la dieléctrica de radio genérico r
a2) Puntos exteriores a la distribución “r > a”
En el caso de puntos exteriores a la distribución tendremos el campo creado por una carga esférica, que como sabemos
se corresponde con el creado por una carga puntual situada en el centro de la distribución y cuyo valor sea el de la
carga total de la esfera. Podríamos aplicar el teorema de Gauss, tomando una superficie de Gauss que fuese una esfera
concéntrica, de radio “r”, como la mostrada en la figura 5 de problemas y obtendríamos: . 
r r
E
Q
r
utotal r=
1
4 0
2π ε
Tendremos que calcular la carga total encerrada en el volumen de la esfera que será:
, como el caso de puntos interiores, el elemento de volumen seráQ r dtotal
esfera
= ∫ ρ τ( )
r
una cáscara esférica de espesor “dr”, por tanto:
Qtotal = = , el campo debido a la distribución será:( )( )Kr r dra 4 2
0
π∫ π K a4
 = , es decir . 
r
E
1
4 0
4
2π ε
π K a
r
ur
r r r
E
Ka
r
ur=
1
4 0
4
2ε
Recordando la relación entre el campo y el vector desplazamiento, que por estar en el
vacío será: ,
r r
D E= ε0
 obtenemos: 
r r
D
K a
r
ur=
1
4
4
2
Sustituyendo valores tendremos para “r > a”
 y 
r r
E
r
u V mr=
× −5 3 10 7
2
.
/
r r
D
r
u c mr=
×
⋅
−
−47 10
18
2
2.
Es de resaltar que el campo y el desplazamiento eléctrico, en la zona con carga libre van variando con el cuadrado
de la distancia que nos separa del centro de la distribución, para variar con la inversa del cuadrado cuando nos
encontramos fuera de la zona de carga.
b) Datos
Radio interior de la corteza esférica (b) = 6 cm = 6 × 10-2 m
Radio exterior de la corteza esférica ( c) = 8 cm = 8 × 10-2 m
Para: b < r < c, = 15.εr
Como la carga libre no varía por la inclusión de un nuevo dieléctrico, el vector desplazamiento no variará de los
valores que hemos obtenido, otra cosa será el vector campo eléctrico, cuyo valor en cada punto del espacio lo podemos
calcular recordando que: . 
r r
E D= ε
Con la nueva geometría tenemos el espacio dividido en 4 regiones de permitividades distintas: 0<r<a; a < r < b; b
< r < c; y, c < r.
b1) En la primera de ellas 0 < r < a, si repasamos los razonamientos que hemos realizado, veremos que en los
resultados obtenidos, no intervienen las propiedades eléctricas del medio circundante. Luego el vector desplazamiento
en los puntos interiores, será: y , o lo que es lo mismo para “r < a”: 
r r r
D r
K
r ur( ) = 4
2
r r r
E r
K
r u
r
r( ) = 4 0
2
ε ε
Electrostática en medios materiales II - 23
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
 y 
r r r
D r r u c mr( ) .= × ⋅
− −7 5 10 13 2 2
r r r
E r r u V mr( ) . /= ×
−106 10 2 2
b2) La segunda región: a < r < b. La situación desde el punto de vista eléctrico es la de puntos exteriores a la
distribución, sin la existencia de nuevos dieléctricos. Coincidirá por tanto con lo estudiado en el apartado a2). Luego:
, y , o lo que es lo mismo para “a < r< b”
r r
E
Ka
r
ur=
1
4 0
4
2ε
r r
D
K a
r
ur=
1
4
4
2
 y 
r r
E
r
u V mr=
× −5 3 10 7
2
.
/
r r
D
r
u c mr=
×
⋅
−
−47 10
18
2
2.
b3) En la región: b < r < c, no existen nuevas cargas libres, son las mismas que en la región anterior, por tanto
el vector desplazamiento eléctrico no variará respecto de la región anterior: , recordando la
r r
D
K a
r
ur=
1
4
4
2
relación entre campo y desplazamiento, que en este medio de permitividad relativa 15 será: , obtenemos:
r r
D Er= ε ε0
, o lo que es lo mismo para “b < r < c”
r r
E
K a
r
u
r
r=
1
4 0
4
2ε ε
 y 
r r
E
r
u V mr=
× −3 5 10 8
2
.
/
r r
D
r
u c mr=
×
⋅
−
−47 10
18
2
2.
b4) En la última región: c < r, de nuevo el vector desplazamiento se conserva, pues no se añaden cargas libres
nuevas, es decir: . Como estamos en el vacío, el campo y el desplazamiento se relacionan por la
r r
D
K a
r
ur=
1
4
4
2
permitividad del vacío, con lo que: , que resultan ser los mismos valores que sin la cascara
r r
E
K a
r
ur=
1
4 0
4
2ε
dieléctrica. Para “c < r” 
 y 
r r
E
r
u V mr=
× −5 3 10 7
2
.
/
r r
D
r
u c mr=
×
⋅
−
−47 10
18
2
2.
c) Para calcular el vector polarización en la corteza dieléctrica una vez conocido el valor del vector campo, sólo
tendremos que recordar la relación entre campo y polarización , recordando que , y
r r
P Ee= χ ε0 χ εE r= − 1
retomando el valor del campo en la zona considerada (b < r < c), tenemos: , es decir:
r r
P
K a
r
ur
r
r=
−ε
ε
1
4
4
2
 
r r
P
r
u V mr=
× −4 3 10 18
2
.
/
d) Las densidades de carga de polarización son el producto escalar del vector polarización en el punto
considerado por el vector superficie correspondiente: , luego:σ P P n= ⋅
r r
 el vector polarización será paralelo al campo, e irá por tanto en el mismo sentido que el radio, el( )σ p b P b n= ⋅
r r
( )
vector superficie será saliente de la cascara y su sentido será el opuesto al de la polarización, luego:
Electrostática en medios materiales II - 24
Iniciación al estudio de los campos electromagnéticos
=- 2.6 × 10-19 c m-2( ) = − ⋅p b P(b) nσ
r r
 ( ) − −= − × 15 2P b 1.2 10 c mσ
En la otra cara los vectores son paralelos y por tanto: = 3.4 × 10-19 c m-2( )σ P c P c n= ⋅
r r
( )
 ( ) − −=+ × 16 2P c 6.7 10 cmσ
e) Para calcular la carga de polarización total en la corteza debemos saber que la carga total de la corteza tiene que
ser cero, pues hemos introducido la corteza descargada y no se ha generado carga sólo se ha redistribuido la existente.
Si calculamos la carga de polarización que tenemos en las dos superficies la diferencia hasta cero será la que
tengamos en el volumen.
En la superficie de radio “b” la carga total será: , teniendo en cuenta que la densidad( )P bb Sup radio "b"Q ds= σ ⋅∫
superficial de carga de polarización en esa superficie es constante, la carga total será , como( ) ( )2P bbQ 4 b= σ ⋅ π
conocemos el valor de la densidad de carga que acabamos de calcular, tenemos = C( ) 17p bQ 5,4 10 C−= − ×
Para la superficie externa de la corteza esférica razonaremos de igual forma obteniendo:
 = ( ) ( )2P ccQ 4 c= σ ⋅ π + × −5 4 10 17, C
Por tanto la carga total entre las dos superficies esféricas que limitan la cáscara esférica es cero, de donde se infiere
que la carga de polarización en el volumen de dicha corteza es nula
Electrostática en medios materiales II - 25
InfoTema3EnergiaElectros_089.pdf
III - 1
Figura 1
El trabajo realizado por la fuerza que
ejercemos nosotros (en rojo en la figura)
aumenta la energía potencial de la masa.
Por el contrario el movimiento espontáneo,
gracias a la fuerza realizada por el campo
(en negro) disminuye la energía potencial de
la masa
Tema 3: Energía del campo electrostático
Conocimientos previos. Energía mecánica. Energía de una carga en un campo electrostático.
Energía electrostática de una distribución discreta de cargas. Energía electrostática de una
distribución continua de cargas. Energía electrostática de un conductor cargado. Densidad de
energía del campo electrostático.
Bibliografía: J. Reitz, F. Milford, R. Christy "Fundamentos de la Teoría Electromagnética" Ed.
Addison-Wesley Iberoam
Conocimientos previos: Los conceptos básicos de trabajo y energía que nos da la Mecánica clásica
Objetivos: Afianzar los conceptos de trabajo realizado por un campo, y de energía potencial de un campo conservativo
así como el concepto de energía propia de un campo o un sistema.
Conocimientos previos. Energía mecánica
En Mecánica aprendimos que el trabajo realizado por una fuerza para ir de un punto a otro, era
el producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, de forma que si la fuerza es un vector de
un campo de fuerzas, el trabajo realizado para desplazarse de un punto a otro del campo es igual
a la circulación del vector campo (fuerza en este caso) a lo largo de la curva que determina la
trayectoria seguida. Además sabemos que si esa circulación no depende de la curva seguida,
decimos que el campo de fuerzas es conservativo, de forma que se puede definir una nueva
magnitud, que llamamos energía potencial, cuyo valor
coincide con el trabajo realizado por el campo de fuerzas
cambiado de signo, así podemos hablar de energía
potencial asociada a la posición. Cuando nos desplazamos
en contra del campo, aumenta la energía potencial,
mientras que un desplazamiento, entre los mismos puntos,
producido por las fuerzas que definen el campo hace que
la energía potencial disminuya en la misma cantidad. 
Tal vez el ejemplo más claro, por estar muy unido a
nuestra experiencia cotidiana, sea el de levantar una masa
una cierta altura. El campo de fuerzas gravitatorio que
actúa sobre la masa “m”, tiene en cada punto un valor
de (va dirigida hacia abajo). Si levantamos una−mgr
masa “m” en contra del campo gravitatorio , el trabajo
se realiza en contra del campo, por lo que el “trabajo
realizado por el campo” es negativo y la masa aumenta su
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 2
energía potencial.
Por el contrario cuando el cuerpo cae, lo hace por la acción del campo, el trabajo lo realiza el
campo (trabajo positivo) y disminuye la energía potencial.
 En total podemos decir que el trabajo realizado por el campo es igual a la variación de energía
potencial cambiada de signo.
Trabajo realizado por el campo = - Trabajo realizado por nosotros
Trabajo realizado por el campo = - Variación de la energía potencial
Trabajo realizado por nosotros = + Variación de la energía potencial
Con estas ideas, vamos a estudiar en primer lugar el valor del trabajo realizado al desplazar una
carga en un campo eléctrico y posteriormente calcularemos el trabajo necesario para formar una
distribución de cargas, lo que nos permitirá saber la energía que se almacena en el campo
eléctrico, e introducir el concepto de energía del campo eléctrico y ver donde se encuentra.
Energía de una carga en un campo electrostático
Supongamos una carga eléctrica que puede desplazarse en una región del espacio en la que existe
un campo eléctrico. Si una carga se encuentra en un punto en el que existe un campo
electrostático, se verá sometida a la acción de una fuerza de valor: , siendo 
r r rF q E r= ( )
r rE r( )
el valor del campo en el punto en el que se encuentra la carga “q”. Al desplazar la carga, dado
que el campo electrostático es un campo conservativo, el trabajo que realizaran las fuerzas
eléctricas no dependerá del camino que sigamos, de forma que si y son los vectores derrA
rrB
posición de los puntos inicial y final del recorrido, el trabajo valdrá: . ,W F dlA B r
r
A
B
→ = ⋅∫
r r
 = . W q E dlA B r
r
A
B
→ = ⋅∫ ( )
r r
q E dl
r
r
A
B r r
⋅∫
En esta expresión, la integral cambiada de signo corresponde a la diferencia de potencial entre
los puntos “A” y “B”. Por tanto podemos decir que el “trabajo realizado por las fuerzas del
campo, para llevar la carga desde el punto “A” hasta el punto “B” coincide con el producto
de la carga, por la diferencia de potencial entre los puntos, cambiado de signo”:
, o lo que es lo mismo, la variación de energía potencial al mover[ ] ( )W V V qA B campo B A→ = − −
una carga del punto A al B vale: . Es decir la variación e energía potencial( )∆E V V qp B A= −
al mover una carga del punto A al B es igual a la variación de potencial multiplicada por el valor
de la carga. Lo que nos permite dar un significado físico a la magnitud matemática que es el
potencial del que deriva el campo, como variación de energía potencial por unidad de carga. Este
hecho va a ser de gran importancia a la hora de calcular, en situaciones simples, la variación de
energía de las cargas.
Vamos a sacar conclusiones de las expresiones matemáticas que hemos obtenido. Sabemos que
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 3
Figura 2
Cada carga de la distribución
ocupa el lugar definido por su
vector posición.
el sentido del campo eléctrico es hacia los potenciales decrecientes, luego una carga positiva que
se encuentre en un campo eléctrico, se verá sometida a la acción de una fuerza dirigida hacia los
potenciales decrecientes. Es decir que el campo tenderá a mover las cargas positivas hacia los
potenciales decrecientes, que corresponden a puntos con menor energía potencial.
Si la carga es negativa, la fuerza será opuesta al sentido del campo, por tanto el campo tenderá
a mover a las cargas negativas hacia los puntos de mayor potencial, ya que en estos puntos una
carga negativa tendrá
menor energía potencial de la carga (mayor valor absoluto pero de signo
negativo).
Hasta aquí hemos hablado de variación de energía potencial, si queremos hablar de energía
potencial de una carga en un punto del campo tendremos que establecer un origen en el que la
energía potencial sea cero. Por otra parte, estamos relacionando esta variación con la variación
de potencial entre los puntos del campo. Podemos pensar que igual que si no existen cargas el
infinito podemos hablar de potencial nulo en el infinito, también podremos poner en el infinito
el origen de energía potencial. En este caso, el trabajo que realizarán las fuerzas del campo, para
enviar al infinito una carga positiva será el producto del potencial en el punto por el valor de la
carga, lo que significa que si nosotros traemos desde el infinito una carga positiva unitaria,
debemos realizar un trabajo, contra las fuerzas del campo, igual al valor del potencial eléctrico
en el punto. De ahí, que en algunas ocasiones se defina el potencial eléctrico en un punto, como
el trabajo necesario para traer desde el infinito hasta el punto una carga unitaria.
Energía (potencial) electrostática de una distribución discreta de cargas
En primer lugar, vamos a aclarar lo que entenderemos por energía electrostática de un sistema
de cargas. Siempre que hablamos de un sistema y de su energía, estamos hablando de la energía
potencial que por el mero hecho de existir ese sistema, y no otro, con su forma y distribución,
se puede liberar en un momento dado. Está claro, que si se puede liberar una cierta energía, es
porque esa energía se ha invertido en conseguir que la distribución tenga esa forma y
composición. Por tanto, en valor absoluto, la energía que se libera
tiene que ser igual a la empleada para formar la distribución.
Si en un determinado lugar del espacio se encuentran distintas cargas
(qi), cuya posición respecto de un origen viene desterminada por el
vector ( ), será porque en un momento determinado, alguien lasrri
habrá colocado en el lugar que ocupan ahora. 
Para calcular el valor de la energía que es necesaria para conseguir
que las cargas están en las posiciones que ocupan en la distribución
(energía electrostática de la distribución o energía propia del sistema
de cargas), tendremos que conocer el trabajo que debemos realizar
para traer desde el infinito cada carga y colocarla en el lugar que
ocupa. Para traer la primera carga y colocarla en la posición que
ocupa en la distribución final, no tendremos que realizar ningún trabajo (llamando W1 a ese
trabajo, tenemos W1 = 0), pues al no existir todavía ninguna, no habrá que vencer fuerza alguna
para colocarla en su lugar final.
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 4
Para traer la segunda carga q 2, como ya existe q 1, existe un campo eléctrico debido a ella, que
dará lugar a la aparición de un campo de fuerzas que actuarán sobre la segunda carga, será
necesario un trabajo igual al valor del potencial creado por la carga q1 en el punto por el valor
de la carga que situamos en él, es decir: , siendo r1,2 el módulo del vectorW
q
r
q2 1
0 12
24
=
π ε
posición de la carga q 2 respecto de la posición de la carga q 1.
Para traer la tercera carga q3, tendremos que tener en cuenta que al existir dos cargas q1 y q2,
existe una distribución de potenciales de valor: ; siendo r13 y r23 los
q
r
q
r
1
0 13
2
0 234 4πε π ε
+
vectores posición de la carga “q 3” respecto las cargas q1 y q2 respectivamente, por tanto el
trabajo realizado para traer la tercera carga y colocarla en su posición final, será:
 W q
r
q q
r
q3 1
0 13
3
2
0 23
34 4
= +
π ε π ε
En general, para traer la carga “i-ésima”, como ya existen i-1 cargas, existirá en la posición
definida por el vector ri , lugar en el que queremos colocar la nueva carga, un potencial de valor:
, lo que supondrá realizar un trabajo:V q
r
q
r
q
ri i i
i
i i
= + + + −
−
1
0 1
2
0 2
1
0 14 4 4π ε π ε π ε, , ,
...
. W q
r
q q
r
q q
r
qi
i
i
i
i
i
i i
i= + + +
−
−
1
0 1
2
0 2
1
0 14 4 4π ε π ε π ε, , ,
...
Con lo que, en total, para traer las n cargas habrá que realizar un trabajo que vendrá dado por:
Wtotal = W1 + W2 + W3 + . . . +Wi + . . . Wn-1 + Wn 
Luego la energía potencial de la distribución, que será la suma de las energías necesarias para
traer las distintas cargas hasta ocupar la posición final en la distribución, valdrá:
Wtotal = W1 + W2 + ... + Wi + .... + Wn
Si realizamos esta suma, podemos comprobar que en el último sumando aparecen todos los
productos de las cargas por los potenciales de los puntos en los que se encuentran, en el sumando
anterior falta el sumando procedente de la anteúltima carga y así sucesivamente.
Si ahora calculamos la energía necesaria para deshacer la distribución, utilizando la misma
mecánica que hemos empleado para formar la distribución. Es decir primero llevaremos la carga
q1 desde su posición actual hasta el infinito, luego la segunda y así sucesivamente. El valor de
la energía así obtenido, tiene que ser igual que el de la energía necesaria para formar la
distribución, ya que no se puede perder, ni generar energía en el proceso.
En esta operación, el trabajo realizado por las fuerzas del campo, para llevar la primera carga
desde su posición actual hasta el infinito, será igual al producto del potencial debido a todas las
demás cargas en el punto ocupado por q1, multiplicado por el valor de la carga. Es decir 
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 5
 T q
r
q q
r
q q
r
q q
r
q q
r
qi
i
n
n
n
n
1
2
0 2 1
1
3
0 3,1
1
0 1
1
1
0 1 1
1
0 1
14 4 4 4 4
= + + + + + +−
−π ε π ε π ε π ε π ε, , , ,
... ...
Para llevarnos la carga q2, el trabajo será:
 , pues ya no estáT q
r
q q
r
q q
r
q q
r
qi
i
n
n
n
n
2
3
0 3,2
2
0 2
2
1
0 1 2
2
0 2
24 4 4 4
= + + + + +−
−π ε π ε π ε π ε
... ...
, , ,
presente la carga q1 para generar potencial en la posición de q2.
Y así sucesivamente. Podemos comprobar que los sumandos que ahora aparecen son los que
faltaban en la suma anterior. En total sumando ambos trabajos tendremos 
 2 Wdistribución = Wtotal + Ttotal, 
y en la expresión total encontraremos “n” sumandos en cada uno de los cuales aparecen n-1
sumandos correspondientes a los productos de cada carga por el potencial creado en el punto en
el que se encuentra por todas las demás cargas y en total se encuentra: 
[1
4 0π ε
q
r
2
2 1,
+
q
r
3
3,1
+ ...
q
r
i
i,1
+ ...
q
r
n
n
−
−
+1
1 1,
q
r
n
n,1
]q1
[1
4 0π ε
q
r
1
1 2,
+ q
r
3
3,2
+ ...
q
r
i
i,2
+ ...
q
r
n
n
−
−
+1
1 2,
q
r
n
n,2
]q2
[1
4 0π ε
q
r
1
1 3,
+ q
r
2
2 3,
+
... q
r
i
i,3
+ ...
q
r
n
n
−
−
+1
1 3,
q
r
n
n,3
]q3
. . . 
[1
4 0π ε
q
r i
1
1,
+
q
r i
2
2,
+ ...
q
r
i
i i
−
−
+1
1,
q
r
i
i i
−
−
+1
1,
...
... q
r
n
n i
−
−
+1
1,
q
r
n
n i,
]qi
 . . . 
[1
4 0π ε
q
r n
1
1 1, −
+
q
r n
2
2 1, −
+ ... ...
q
r
i
i n, −
+
1
...
q
r
n
n n, −1
]qn-1
[1
4 0π ε
q
r n
1
1,
+ q
r n
2
2,
+ ... ...
q
r
i
i n,
+ ...
q
r
n
n n
−
−
1
1,
]qn
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 6
Es decir, sumando: 2 Wdistribución = , y por tantoV qi j
j
i j
n
i,
=
≠
∑ ⋅
1
Wdistribución = 
1
2 1
V qi j
j
i j
n
i,
=
≠
∑ ⋅
que nos dice que la energía de la distribución es la semisuma de los productos de cada carga por
el potencial creado en su posición por todas las demás.
Energía electrostática de una distribución continua de cargas.
Si la distribución es continua actuaremos como en otras ocasiones considerando la carga
contenida en un volumen muy pequeño de la distribución, para poderlo considerar un punto,dτ'
con lo que trataremos a esta carga como una carga “puntual” de valor , y despuésρ τd '
sumaremos la contribución de todas las cargas, operación que en caso de cargas continuas deberá
ser una integral extendida a todo el espacio en el que se encuentren las
cargas.
Por tanto, la energía total de la distribución será:
Wdistribución = 
1
2
V r r d( ) ( ) '
'
r r
ρ τ
τ∫
donde hemos llamado al potencial en el “punto” que estamos considerando y que estaráV r( )r
debido al resto de cargas y siendo un volumen cualquiera que contenga a todas las cargas delτ'
sistema, no teniendo porque estar restringido al volumen que ocupan las cargas, pues si el
volumen que tomamos contiene puntos sin carga la densidad de carga en esos puntos será nula.
La expresión anterior puede simplificarse en el caso en que las cargas están distribuidas en las
superficies de conductores, de tal forma que si la densidad superficial de carga es , laσ
expresión anterior se transforma en:
Wdistribución = 
1
2
V ds
S
σ '
'∫
siendo S’ la suma de todas las superficies de los conductores.
Energía electrostática de un conductor cargado.
Consideremos ahora un conductor suficientemente lejos de cualquier carga al que pretendemos
cargar con una carga Q, para lo que necesitaremos realizar un cierto trabajo. Para calcular este
trabajo consideremos un proceso de carga, de forma que el conductor va adquiriendo la carga
deseada a partir de diferenciales de carga dq. En un momento cualquiera de este proceso el
conductor tendrá una carga “q” por efecto de la cual adquiere un potencial V, si queremos
aumentar su carga en “dq” tendremos que realizar un trabajo para vencer la repulsión de las
cargas existentes, que vendrá dado por dW = V.dq , siendo V el potencial del conductor por
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 7
efecto de la carga que anteriormente tenia. Este proceso continuará desde que el instante inicial,
en el que el conductor no tenía ninguna carga hasta que adquiera la carga total Q, por tanto el
trabajo total realizado será la suma de todos los diferenciales de trabajo, es decir:
 W V dq
Q
= ⋅∫0
Ahora bien, para realizar esta integral hay que tener en cuenta que V depende de la carga con lo
que debemos poner toda la expresión en función de una sola variable y constantes. Sabemos que
en un conductor la relación entre la magnitud que relaciona la carga de un conductor y el
potencial que adquiere por efecto de esa carga es la capacidad del conductor que es una constante
para cada conductor puesto que sólo depende de su geometría. Por tanto podemos poner: ,V
q
C
=
con lo que la integral que nos da el trabajo quedará:
 W q
C
dq
C
q dq
C
Q Q
C
Q Q
= = = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=∫ ∫0 0
2
21 1 1
2
1
2
siendo Q la carga total, si llamamos V al potencial final adquirido por la carga total Q, la
expresión anterior la podemos escribir también como:
 W QV CV Q
Cconductor
= = =
1
2
1
2
1
2
2
2
Densidad de energía del campo electrostático
Cuando tenemos un distribución de carga se crea un campo electrostático por lo que podemos
hablar de energía potencial asociada al campo electrostático. 
Para relacionar el valor de la energía con el campo creado por una distribución de carga, vamos
a analizar el caso más sencillo de un campo homogéneo como el creado entre las placas de un
condensador plano paralelo, y seguiremos un proceso análogo al seguido en el caso de un
conductor cargado.
Partimos de un condensador descargado al que vamos añadiendo carga en cantidades
diferenciales dq, (por ejemplo llevando carga desde una placa a la otra con lo que las dos van
adquiriendo cantidades iguales de cargas de distinto signo). En un momento cualquiera del
proceso cada una de las placas estará cargada con una carga “q” con lo que entre las placas del
condensador existirá un campo eléctrico “E” y una diferencia de potencial “V” entre ambas
placas, y seguimos el proceso desde que la carga de las placas es cero hasta la carga total Q.
Para llevar una carga “dq” desde una placa a la otra será necesario realizar un trabajo que
dependerá de la carga a transportar y de la diferencia de potencial que exista en ese momento
entre las placas: , y en total . Para realizar esta integral hay que tenerdW V dq= ⋅ W V dq
Q
= ∫ .0
en cuenta que el potencial depende de la carga, luego es necesario realizar un cambio para que
la expresión dependa de una sola variable. Al igual que en el caso del conductor podemos utilizar
Fundamentos Físicos de la Informática
Energía del campo electrostático III - 8
la capacidad del condensador para relacionar el potencial y la carga con lo que tendremos
 = W
q
C
dq
C
q dq
C
Q Q
C
Q Q
= = = =∫ ∫0 0
2
21 1 1
2
1
2
1
2
1
2
2Q V C V. .=
siendo Q y V la carga y la diferencia de potencial totales al finalizar el proceso de carga.
En el caso del condensador, como estamos intentando relacionar la energía con el campo
electrostático y este es constante entre las placas del condensador, podemos poner conV E d= ⋅
lo que el trabajo queda 
= W CV CE d
A
d
E d= = =1
2
1
2
1
2
2 2 2 2 2ε 1
2
1
2
( ) ( )A d E E DE⋅ ⋅ =ε τ
siendo D el valor del vector desplazamiento, E el del campo eléctrico existente entre placas y τ
el volumen comprendido entre las placas del condensador que coincide con la región en la que
existe el campo electrostático, por lo que es común definir la densidad de energía en el campo
electrostático como w D E=
1
2
.
El calculo anterior le hemos realizado en una región del espacio en la que el campo era
homogéneo, lo que nos ha permitido simplificar los cálculos. En el caso en que esto no suceda
así tendremos que recurrir a un proceso matemático más complejo del que podemos obtener que,
en general la energía del campo viene dada por: W = 1
2
r r
D E d⋅∫τ τ'
y la densidad de energía del campo electrostático por , pues su integral de volumenω =
1
2
r r
D E
nos da la energía total.
InfoTema5MagnetismVacio_123.pdf
Tema V: Campos magnéticos en el vacío
Fuerza magnética sobre cargas en movimiento. Fuerza sobre una corriente. Acción magnética
sobre una espira de corriente: momento magnético. Fuerzas entre corrientes. Ley de Biot y
Savat. Ecuaciones del campo magnético: Ley de Ampère. Flujo. El fenómeno de la inducción
magnética. Leyes de Faraday y de Lenz. Coeficientes de inducción.
Bibliografía: Sears, Zemansky, Young y Freedman “Física”. Ed. Addison Wesley Longman
Conocimientos previos: Los conceptos de corriente y densidad de corriente.
Objetivos: Comprender que los fenómenos eléctrico y magnético son visiones distintas del fenómeno electromagnético.
Conocer el comportamiento de las corrientes eléctricas sometidas a la acción de un campo magnético. Calcular la
inducción magnética creada por una coriente eléctrica. Aplicar la ley de Ampere al cálculo de la inducción magnética
creada por corrientes con la simetría necesaria. Manejar los conceptos de flujo y circulación.
Introducción
Varios años antes de Cristo, el hombre observó que ciertos minerales, tenían la propiedad de
atraer pequeños trozos de hierro, esta propiedad que no puede estar relacionada con la atracción
gravitatoria, puesto que no todos los cuerpos la poseen y puede presentarse en una dirección
distinta a esta, se manifiesta de forma más intensa en ciertas partes de aquellos materiales en los
que se presenta.
A primera vista este nuevo fenómeno y el eléctrico parece que no tienen nada en común, ya que,
por ejemplo, no son atraídos por los imanes los trocitos de papel ni las bolitas de corcho
electrizadas, se dio a esta nueva propiedad física el nombre de magnetismo en recuerdo que la
región “Magnesia” en la que, según la tradición, se observó por primera vez el fenómeno.
Como ya hemos dicho con anterioridad para el campo eléctrico, las propiedades magnéticas de
la materia han llegado hasta nosotros ligadas a la brujería y a los feriantes, lo que ha dificultado
un desarrollo más rápido de su conocimiento en los siglos pasados. Tenemos que esperar hasta
el primer cuarto del siglo XIX para encontrar la primera experiencia en la que se sistematiza el
comportamiento de los campos magnéticos.
El desarrollo del magnetismo ha estado ligado con la navegación y el comercio por la propiedad
de los imanes de orientarse señalando,
con buena aproximación, el polo norte geográfico. El
primer estudio sistemático del fenómeno, data de 1802 y se debe a Hans Christian Oersted quien
observó que al establecerse una corriente eléctrica por un conductor situado en las cercanías de
una brújula esta sufría una desviación, con lo que dejaba de señalar el polo norte, si bien en
algunas posiciones del hilo no se experimentaba desviación alguna. Es pues en el siglo XIX
Campo magnético en el vacío V - 1
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 1
La partícula cargada que se mueve
con velocidad “v”, sufre la acción de
una fuerza “F”, perpendicular a la
velocidad, al entrar en la zona en la
que existe un campo magnético “B”
cuando se inicia el estudio del magnetismo unido a la corriente eléctrica, esto es, al movimiento
de las cargas.
Hasta ahora hemos estudiado fenómenos que hemos denominado “electrostáticos” por deberse
a cargas que permanecían en reposo, y cuyas acciones se regían por la ley de Coulomb. Pero
pensemos que al decir que una carga está quieta, estamos relacionando su estado de movimiento
con un sistema de referencia. Si consideramos otro sistema de referencia en el que la carga se
mueva con movimiento rectilíneo y uniforme, los fenómenos que aparezcan no se pueden
explicar exclusivamente por la ley de Coulomb, como ocurre con el caso de cargas estáticas.
Diremos entonces que nos encontramos ante acciones magnéticas.
Es claro que no podemos dar un carácter absoluto a la división entre fenómenos eléctricos y
magnéticos, pues el sistema de referencia en el que nos encontremos nos hará ver que una carga
en reposo respecto del sistema de referencia “S” genera un campo eléctrico, la misma situación
desde un sistema de referencia “S' “, que se mueva respecto “S”, nos lleva a ver la existencia de
un campo magnético.
Como entendemos que el desarrollo histórico de la formulación del fenómeno magnético no
facilita su comprensión, vamos a empezar el estudio del magnetismo por el movimiento de cargas
en campos magnéticos.
Fuerza magnética sobre cargas en movimiento
Vamos a introducir fenomenológicamente la expresión de la fuerza que actúa sobre una carga
eléctrica que se encuentra en un campo magnético. Supongamos, que en una región del espacio
en la que sabemos que existe un campo magnético (por ejemplo
el entrehierro de un imán) introducimos, con velocidad
conocida, partículas cargas. En estas condiciones
observaremos: 
- que la carga se ve sometida a la acción de una fuerza
perpendicular a la velocidad que llevaba. 
- que si aumentamos el módulo de la velocidad, sin
variar ni su dirección ni su sentido, aumentará el
módulo de la fuerza que actúa sobre la carga.
 Si variamos la dirección de la velocidad:
- la fuerza es siempre perpendicular a la dirección de la
velocidad y a otra, que es siempre la misma.
- que existe una dirección de privilegio, en la que la
carga no sufre desviación. Esa dirección privilegiada, es
la dirección a la que la fuerza ha sido perpendicular
para cada velocidad que ha tenido la carga.
Lo que acabamos de describir lo podemos representar por una expresión del tipo:
, siendo un vector unitario en la dirección privilegia. La constante de[ ]r r rF q v up∝ × rup
Campo magnético en el vacío V - 2
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 2
Movimiento de un
electrón en un
campo magnético
proporcionalidad, será el módulo del vector inducción magnética “ ” que caracterizará al campo
r
B
magnético existente en la región. Lo que nos permite formular que, una carga que se mueve
estará sometida a la acción de una fuerza magnética de valor , y a una fuerza de[ ]r r rF q v B= ×
tipo eléctrico de valor . La fuerza total que puede actuar sobre una carga será:
r r
F q E=
[ ]( )r r r rF q E v B= + ×
que se conoce como la fuerza de Lorentz.
La expresión anterior nos permite un primer acercamiento a las unidades del vector inducción
magnética . En efecto las unidades de la inducción deben ser tales que multiplicadas por una
r
B
velocidad nos den las del campo eléctrico luego [B] = [E/v] = (V m-1) / (m s-1) = V s m-2 que se
conoce como “Tesla”, o Weber m-2. Veamos alguna de las aplicaciones de la fuerza de Lorentz.
Movimiento de una partícula cargada en el seno de un campo magnético de inducción magnética
perpendicular a la velocidad de la partícula.
Supongamos, que en la región limitada por el recuadro de la figura 2, a partir del momento en
que un electrón se encuentra en el punto “A” producimos un campo magnético
campo perpendicular al plano del papel y entrante en él, si el módulo del
vector inducción es B, en ese momento sobre la partícula actuará una fuerza
, si no existe campo eléctrico alguno, la expresión[ ]( )r r r rF q E v B= + ×
anterior se transforma en . Como la fuerza es en cada punto[ ]r r rF q v BB = ×
perpendicular a la velocidad, el movimiento se transformará en circular, pues
el módulo de la velocidad no variará, quien si lo hará será la dirección, que
será en cada punto perpendicular a la velocidad, por lo que describirá una
circunferencia, cuyo radio “r” será tal que que vendrá
r
F m r m
v
rM
= =ω 2
2
condicionado por el módulo de la fuerza central de origen magnético que actúa, lo que permite
escribir:
 
r r r r
F q v B F m
v
r
m rB M q q= ⋅ ⋅ = = =
2
2ω
luego el radio de la circunferencia descrita será: r
m v
q B
=
r
r
Si la velocidad y el campo magnético no son perpendiculares el electrón describirá una hélice,
cuya proyección sobre un plano perpendicular al campo tendrá por radio siendor
m v sen
B q
h =
r
r
ϕ
la velocidad axial a lo largo de la hélice constante e igual a: v cosφ, siendo φ el ángulo formado
por la velocidad y la inducción magnética
Campo magnético en el vacío V - 3
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 3
Figure 4
Semiconductor tipo “n” por el
que pasa una corriente “I” en
un campo magnético. Los
portadores (electrones) son
desviados a la cara anterior de
la muestra
Figure 5
Semiconductor tipo “p” por el
que pasa una corriente “I” en
un campo magnético. Los
portadores (huecos) son
desviados a la cara anterior de
la muestra.
Efecto Hall
Otra consecuencia inmediata de la fuerza experimentada por un carga en el seno de un campo
magnético es el efecto sufrido por los portadores de carga de un
conductor cuando está inmerso en un campo magnético, la desviación
sufrida por la carga en su trayectoria y las consecuencias que de este
hecho se derivan, se conoce como efecto Hall.
Tal vez el caso más curioso se presente en muestras semiconductoras,
pues en este caso el tipo de portador (hueco, o, electrón), va a tener
una influencia trascendental en el sentido del efecto, de modo que la
llamada tensión Hall (que aparece en la muestra) va a servir para
caracterizar el tipo de muestra de la que se trate.
- Consideremos una muestra paralelepipédica semiconductora tipo “n”, como la que se
muestra en la figura 4 por la que circula una corriente en el sentido
positivo del eje “Y”, que está situada en el interior de un campo
magnético homogéneo paralelo al eje “Z”. Si la muestra es de tipo “n”
la conducción se realiza por electrones y la velocidad de los
portadores será de sentido contrario al de la corriente, ,( )r rv v je= −
la inducción magnética será , al ser todos los vectores( )v rB B k= +
perpendiculares entre sí, aparecerá una fuerza de módulo
“ ”, y su sentido lo obtendremos del producto del signo deq v Be e⋅ ⋅
la carga por los sentidos de los vectores campo y velocidad
“ ”, es decir los electrones se verán empujados( ) ( )[ ]− − × + = +r r rj k i
hacia la cara externa.
- Veamos ahora que ocurre si la muestra, con la misma geometría, es tipo “p”, como se
muestra en la figura 5, es decir la conducción se lleva a cabo por
huecos (“cargas positivas”), suponiendo que la corriente tiene el
mismo sentido y que está en el mismo campo magnético, es decir su
inducción será: . Ahora la velocidad de los portadores( )v rB B k= +
tendrá el mismo sentido que la corriente, es decir, . La( )r rv v jp= +
fuerza tendrá por módulo:
. Su sentido será:q v Bp p⋅ ⋅
, es decir el mismo que antes, lo que significa( ) ( )[ ]+ × + = +r r rj k i
en esta situación que los portadores positivos se verán empujados
hacia la cara externa
Campo magnético en el vacío V - 4
Fundamentos Físicos de la Informática
Es decir en ambos casos va a aparecer una tensión entre las caras anterior y posterior de la
muestra, sin embargo, en un caso la cara exterior es positiva respecto de la interior (conducción
por portadores positivos) y en el otro la cara exterior es negativa respecto de la interior
(conducción por electrones). Por tanto el sentido de la tensión Hall, que nos ha resultado de signo
opuesto en un caso que en el otro, nos dirá el tipo de muestra que tenemos
 Fuerza sobre una corriente
Veamos que ocurrirá cuando varias cargas, que se mueven en el interior de un conductor, se
encuentran en el seno de un campo magnético de inducción . Por lo que acabamos de saber
r
B
cada portador se verá sujeto a la acción de una fuerza de valor: . Consideremos un
r r r
F q v B= ×[ ]
elemento de corriente de longitud diferencial ( ), de forma que todos los portadores en éldl
r
contenidos, se moverán con una velocidad promedio . Para cada portador la fuerza será:< >rv
, como en el interior del tramo de conductor que hemos considerado existirán[ ]r r rf q v Bp = < > ×
varios portadores, sobre el elemento de conductor que estamos considerando existirá una fuerza
, que será la suma de las fuerzas que actúan sobre todos y cada uno de los portadores quedF
r
contiene ese elemento de conductor . dF fp
r r
=∑
Para calcular la suma de las fuerzas sobre los portadores ( ), debemos saber el número total 
r
f p∑
de portadores que tenemos en el volumen de conductor que estamos considerando. Si llamamos
“n” al número de portadores por unidad de volumen y el volumen de la porción de conductor∆τ
considerado, el producto , será el número total de portadores es decir que la fuerza quen∆τ
actúa sobre el elemento de corriente será: . [ ]dF f n q v Br r r r= = < > ×∑ ∆τ
Calculemos ahora el valor de ese volumen de conductor que en general será un prisma recto de
sección “s”, si su longitud hemos dicho que es tendremos que , luego la fuerzadl
r
∆τ = ⋅r
r
s dl
que actuará será: = . [ ]dF f n q v Br r r r= = < > ×∑ ∆τ ( ) [ ]n s dl q v Br r r r⋅ < > ×
Vamos a reordenar la ecuación anterior, para ello tendremos en cuenta que en esa expresión
tenemos magnitudes que dependen de la naturaleza del conductor (n, q, ), de la geometría< >rv
del conductor ( ), y otras que pueden ser variadas por el observador ( ). Si queremos
r
s dl yB
r r
agrupar esas magnitudes por su origen, debemos intercambiar la posición que ocupan en la
fórmula la velocidad media de los portadores y la longitud de conductor que hemos considerado.
Desde el punto de vista del cálculo lo podemos hacer pues, son dos vectores paralelos, con lo que
obtenemos: , si ahora permutamos el orden del producto escalar y( ) [ ]dF n s v q dl Br r r r r= ⋅ < > ×
reagrupamos términos obtenemos: , el término entre paréntesis es( ) [ ]dF n q v s dl Br r r r r= < > ⋅ ×
Campo magnético en el vacío V - 5
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 6
Representación de una espira
rectangular en el seno de un campo
magnético horizontal, que forma
r
B
un cierto ángulo con el vector
superficie de la espira.
Figure 7
Representación de la espira de la
figura 6, vista desde arriba (visión
azimutal) en la que se representan las
fuerzas sobre los lados verticales y la
normal a la superficie de la espira 
r
n
la densidad de corriente ( ), lo que nos permite escribir: , el producto
r
J ( ) [ ]dF J s dl Br r r r r= ⋅ ×
escalar de la densidad de corriente por la superficie nos da la intensidad que circula por el
conductor, es decir:
 [ ]dF I dl Br r r= ×
que nos da la fuerza que actúa sobre un elemento de corriente. Si queremos obtener la fuerza
sobre un conductor debemos realizar la integral a lo largo de todo él.
 [ ]r r rF I dl B
circuito
= ×∫
Acción magnética sobre una espira de corriente: momento magnético
Como una aplicación directa del cálculo de la fuerza ejercida por una corriente, vamos a calcular
lo que ocurrirá con una espira que se encuentre en un campo magnético. Por sencillez de cálculo
vamos a suponer que tenemos una espira rectangular de lados “a” y “b” recorrida por una
corriente “I”, que se encuentra en un campo magnético de inducción . Supondremos que la
r
B
normal a la espira forma un ángulo con el campo, como seθ
muestra en las figuras 6 y 7
Apliquemos a cada uno de los lados de la espira la relación
general que hemos obtenido. Para el lado “1”, tendremos que:
, análogamente para el lado “3” tendremos:[ ]r r rF I l B1 1= ×
. Ambas fuerzas serán del mismo módulo, con la[ ]r r rF I l B3 3= ×
misma recta de acción pero de sentidos opuestos, luego su
resu l tan te s e rá nu la :
.
r r r
F F1 3 0+ =
Para los lados “2” y “4”
tendremos: y[ ]r r rF I l B2 2= ×
, cuyos módulos[ ]r r rF I l B4 4= ×
también serán los mismos, pero los vectores no estarán en la
misma línea. La resultante será nula, pero no el momento
resultante, su módulo será:
 el módulo de la fuerza será: 
r r r r r
M l F l F senR = × = ⋅ ⋅1 2 1 2 θ
 pues el campo es normal el lado “2”, luego:
r r r
F I l B2 2= ⋅
. ( )r r r rM l I l B senR = ⋅ ⋅ ⋅1 2 θ
Campo magnético en el vacío V - 6
Fundamentos Físicos de la Informática
Como y el producto anterior lo podemos escribir como .
r
l b1 =
r
l a2 =
r
M I a b B senR = θ
 El vector superficie de la espira será: , siendo un vector normal a la espira y cuyo
r r
S a b n= ( ) rn
sentido venga dado por el de circulación de la corriente. Teniendo en cuenta los sentidos de los
vectores que intervienen en la expresión del módulo del módulo del momento, podemos escribir: 
 [ ]r r rM I S BR = ×
Para una espira plana, el producto de su superficie por corriente que recorre la espira lo
denominamos momento magnético de la espira: , que nos ayudará a caracterizar desde
r r
m I S=
el punto de vista magnético a las corrientes cerradas.
Por tanto diremos que una espira en un campo magnético se ve sujeta a la acción de un par cuyo
momento es: 
r r r
M m B= ×
Como vemos, si una espira se encuentra en un campo magnético uniforme, este ejerce un par
sobre ella que la trata de orientar, y que se anulará si el campo es paralelo al momento magnético.
De la propia definición de momento magnético se desprende que sus unidades son: A m2.
Problema 1.- Calcular el momento magnético asociado al movimiento orbital de un electrón, que gira en una órbita
de radio “a0”, con una frecuencia .ν
Si el electrón gira con una frecuencia determinada, quiere decir que en cada segundo, pasa por cualquier punto de
la órbita una carga de , lo que supone que como el área de la órbita, supuesta circular es , el movimientoqeν π a0
2
orbital equivale a un momento magnético de módulo: 
r
m q ae= π ν0
2
Como el movimiento de los electrones en las órbitas es asociable a un momento magnético, la
acción de un campo magnético sobre la materia supondrá que las órbitas se verán orientadas por
la acción de un campo magnético. Si consideramos un electrón que gire en una órbita de radio
“a0”, sabemos que le podemos asociar un momento angular cuyo módulo será: ,( )
r r r
l a mv= ×0
teniendo en cuenta que la velocidad será perpendicular al radio en cada momento y valdrá: ,ω a0
nos queda: . Como hemos visto (ver problema anterior) que el momento magnético
r
l m a= ω 0
2
asociado a la órbita es: , podemos definir la relación entre el momento magnético
r
m q ae= π ν0
2
y el angular, introduciendo la “razón giromagnética” , que en este caso valdrá:γ =
r
r
m
l
Campo magnético en el vacío V - 7
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 8
Fuerza sobre un elemento de
corriente del circuito “2", por la
acción de otro elemento de
corriente del circuito “1".
. La razón giromagnética nos permitirá, conocido el valor del momento angular deγ 0 2
= q
m
e
e
un electrón en una órbita, asignarle
un momento magnético asociado lo cual nos será de gran
utilidad en el estudio del magnetismo de los medios materiales.
Fuerzas entre corrientes: Ley de Biot y Savat.
El estudio de las fuerzas ejercidas por un campo magnético sobre una carga en movimiento nos
ha permitido obtener la fuerza que ejerce un campo magnético sobre una corriente, por otro lado
hemos indicado que la sistematización del estudio del magnetismo tiene como puntal importante
las experiencias de Oersted, que observó que el paso de corrientes por hilos conductores suponía
la desviación de una brújula colocada un las cercanías de los hilos. Este hecho, supone que el
paso de corriente por un conductor da lugar a la aparición de un campo magnético, por tanto, si
ponemos dos corrientes suficientemente cercanas debe aparecer entre ellas un fuerza.
Supongamos dos circuitos “C1” y “C 2”, recorridos por intensidades I1 e I2, como se muestra en
la figura 8. Si analizáramos la fuerza que el elemento del primer circuito , ejerce sobre otrodl
r
1
elemento del segundo circuito, encontraríamos:dl
r
2
- El módulo de la fuerza será proporcional al valor de las intensidades de las dos corrientes, y 
la longitud del tramo considerado en cada circuito:
 d F I I dl dl2 1 2 1 2 1 2
r r r
, ∝
- El módulo de la fuerza es inversamente proporcional al cuadrado de
la distancia entre los dos elementos de corriente: dF
r
r
1 2
1 2
2
1
,
,
∝
-La fuerza es nula para los elementos de corriente que sondl
r
2
perpendiculares al plano definido por y el vector posición:dl
r
1
 si es al plano ( , ).dF
r
1 2 0, ≡ dl
r
2 ⊥ dl
r
1
r
r1 2,
Estas condiciones se pueden expresar matemáticamente diciendo: 
 
[ ]
d F K I I
dl dl u
rM
2
1 2 1 2
2 1 1 2
1 2
2
r
r r r
,
,
,
=
× ×
La expresión anterior introduce una nueva constante “K M” cuyo valor dependerá del sistema de
unidades. Para que la expresión sea homogénea, la constante debe tener unidades, que serán las
de una fuerza dividida por el cuadrado de la intensidad de corriente. En el Sistema Internacional,
la constante la escribimos como: , y su valor es 10-7 N A-2.K M =
µ
π
0
4
Por tanto la fuerza sobre un elemento de corriente en el circuito “2” debida a la existencia de una 
Campo magnético en el vacío V - 8
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 9
corriente en el circuito “1” será: .
( ) ( )[ ]
dF I dl
I dl r r
r rC
r r
r r r
r r2
0
2 2
1 1 2 1
2 1
34
1
= ×
× −
−∫
µ
π
Si recordamos la expresión que hemos obtenido para la fuerza que se ejercía sobre un elemento
de corriente que se encuentra en un campo magnético , y observamos la[ ]dF I dl Br r r= ×
expresión que acabamos de obtener, vemos que son idénticas si hacemos:
 
( ) ( )r r r r
r rB
I dl r r
r rC
=
× −
−∫
µ
π
0
1 1 2 1
2 1
34
1
Que será la expresión de la inducción magnética creada por una corriente “I1” en un punto
definido por la posición .
r
r2
Vamos a aplicar lo que acabamos de obtener al calculo de la inducción magnética creada por un
hilo recto indefinido por el que circula una corriente “I”, a una distancia “ ” del mismo.ρ
Si consideramos un elemento de longitud en el hilo, como se muestra en la figura 9, generará un
campo de inducción de valor: siendo un vector unitario en ladB
r
dB I
dl u
r
r
r
r r
= ×µ
π
0
24
r
ur
dirección y sentido de . El producto vectorial del elemento de hilo por el vector unitario nos
r
r
da que la inducción será entrante en el papel, y el módulo será: . dB I
dl sen
r
= µ
π
θ0
24
De la figura se desprende que: , , para ver el hilo completo es mejorsen
r
θ α ρ= =cos tag lα
ρ
=
emplear el ángulo luego será el que empleemos en la integración. De lo anterior se obtieneα
que: .dl d= ρ
α
α
cos2
Sustituyendo en la expresión del diferencial de la inducción
obtenemos:
 = dB I
d
=






µ
π
ρ α
α
α
ρ
α
0
2
24
cos
cos
cos
µ
π ρ
α α0
4
1
I dcos
Para obtener el módulo de la inducción tendremos que integrar
la expresión anterior. La variable de integración es el ánguloα
desde el que tenemos que conseguir ver el hilo completo, es
decir desde que valga hasta . − π 2 + π 2
Campo magnético en el vacío V - 9
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 10
 = = B I d=
−
+
∫
µ
π ρ
α α
π
π
0
2
2
4
1
cos [ ]µ
π
α
π
π0
2
2
4
I sen
−
+ µ
π ρ
0
2
I
Luego la inducción magnética generada por el hilo en un punto cualquiera del espacio será:
r r
B
I
u= µ
π ρ ϕ
0
2
Si queremos generalizar el resultado que hemos obtenido hasta ahora para el campo creado por
un hilo conductor, que era , pensemos en términos de densidad
( ) ( )r r r r
r rB
I dl r r
r rC
=
× −
−∫
µ
π
0
1 1 2 1
2 1
34
1
de corriente. El producto de la intensidad por el elemento de corriente, es expresable como
, el paralelismo entre el vector densidad de corriente y el elemento de longitud nos( )r r rJ ds dl⋅
permite escribir: sustituyendo lo anterior en la expresión de la inducción( )r r r rJ ds dl J d⋅ = τ
tenemos: que nos da la expresión del vector inducción magnética( ) ( )
r r
r r r
B r
J r u
R
d=
×
∫
µ
π
τ0
24
'
'
debida a una densidad de corriente. 
Vamos a ver un caso interesante de fuerzas entre corrientes, es el de la fuerza entre dos hilos
rectilíneos paralelos por los que circula una corriente.
Consideremos dos hilos paralelos separados una distancia por los que circulan corrientes I1ρ
e I2 en el mismo sentido, como se muestra en la figura 10. Según hemos calculado, el hilo “1”
creará en la posición del hilo “2” un campo magnético de inducción: , según
r r
B
I
u1
0 1
2
= µ
π ρ ϕ
sabemos sobre un elemento de longitud del hilo “2” aparecerá una fuerza:dl
r
2
. [ ]dF I dl B rr r r r1 2 2 2 1 2, ( )= ×
Como los vectores inducción y longitud son perpendiculares, el
módulo del producto será el producto de los módulos y el sentido
hacia el otro hilo, por tanto el módulo de la fuerza será:
 = , es decir aparece una fuerzadF I dl B1 2 2 2 1, =
µ
π ρ
0 1 2
24
I I
dl
por unidad de longitud de módulo:
 
dF
dl
I I1 2
2
0 1 2
2
, = µ
π ρ
Esta expresión, que nos da la fuerza por unidad de longitud entre
Campo magnético en el vacío V - 10
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 11
Figure 12
dos hilos conductores, ha sido utilizada para definir el amperio como unidad fundamental del
Sistema Internacional. Diremos que un amperio es la corriente estacionaria que cuando circula
por cada uno de dos conductores rectilíneos indefinidos y paralelos separados la distancia de un
metro, da como resultado la fuerza de . 2 10 7× − N m/
Definido así el amperio, el culombio resulta ser la cantidad de carga transportada por una
corriente uniforme de intensidad un amperio, que fluye durante un segundo.
Ecuaciones del campo magnético: Ley de Ampère.
Vamos a obtener algunas propiedades del campo magnético. Empezaremos calculando la
circulación del vector inducción magnética en un caso sencillo, para generalizarlo después. 
Consideraremos un hilo conductor rectilíneo infinito por el que circule una corriente “I”, se
generará un campo magnético de inducción: , cuyas líneas de campo serán
r r
B
I
r
u= µ
π ϕ
0
2
circunferencias contenidas en planos perpendiculares al hilo, de radio “r” con centro en puntos
del hilo. Tomaremos pues como línea sobre la que calcular la circulación una circunferencia de
radio “a”, como se muestra en la figura 11.
La circulación será: = , pues los vectores
r r
B dl
C
⋅∫ B dlC ⋅∫
inducción y desplazamiento serán vectores paralelos. Como el
valor del módulo de la inducción es constante en todos los
puntos de la circunferencia, la circulación será: =
µ
π
0
2
I
a
dl
C∫
 = . Luego para este caso sencillo tenemos:
µ
π
π0
2
2
I
a
a( ) µ0 I
 = .
r r
B dl
C
⋅∫ µ0 I
Vamos a ver si la curva es un
poco más complicada que ocurre. Emplearemos ahora como línea
cerrada la formada por dos arcos de circunferencia de amplitud θ
y , y radios “a” y “b” respectivamente, unidos por los2π θ−
tramos de radios que definen los arcos, como se muestra en la
figura
12. La circulación a lo largo de C' será: 
 = + + + . 
r r
B dl
C
⋅∫ '
r r
B dl
A
B
⋅∫
r r
B dl
B
C
⋅∫
r r
B dl
C
D
⋅∫
r r
B dl
D
A
⋅∫
En los tramos BC y DA, la inducción, que será tangencial, es
perpendicular al desplazamiento, que es radial; por tanto las dos
Campo magnético en el vacío V - 11
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 13
Esquema de un solenoide recto de “N”
espiras y longitud “L”
integrales son nulas. En los otros tramos, los dos vectores (inducción y desplazamiento) son
paralelos, quedando por tanto: = + , como las inducciones son de
r r
B dl
C
⋅∫ ' B dlA
B
⋅∫ B dlC
D
⋅∫
módulo constante en cada arco, y de valores: y respectivamente, tendremos que
µ
π
0
2
I
a
µ
π
0
2
I
b
calcular la integral del arco en cada caso, cuyos valores son: y , por tanto:( )θ a ( )2π θ− b
 = + = = . 
r r
B dl
C
⋅∫ '
µ
π
0
2
I
a
( )θ a µ
π
0
2
I
b
( )2π θ− b µ θ
π
µ π θ
π
0
2
2
2
I Io+ −( ) µ0 I
Encontramos de nuevo, que la circulación a lo largo de esta curva es proporcional a la corriente
que circula por el hilo. Con la estructura de curva que hemos tomado nos podemos acercar a la
forma de cualquier curva cerrada todo lo que queramos, y sin la necesidad de que el hilo este en
el centro de la curva. Dado por otro lado, que el campo, por venir de una expresión integral, tiene
que cumplir el principio de superposición, se generalizará la expresión anterior y diremos que
la circulación del vector inducción magnética a lo largo de una curva cerrada cualquiera es
siempre proporcional a la corriente que se encierre.
 = 
r r
B dl
C
⋅∫ µ0 I encerrada
Que es la expresión del teorema de Ampère en forma integral.
Vamos a aplicar el teorema de Ampère al calculo de la inducción magnética creada por un
solenoide. Un solenoide no es otra cosa que una asociación de espiras del mismo radio recorridas
por la misma corriente. La inducción magnética a la que darán lugar, será la suma de los vectores
campo debidos a cada espira lo que supondrá un campo uniforme, intenso en el volumen
encerrado por el solenoide, cuyas líneas se cerraran en el exterior del solenoide, con lo que la
inducción magnética en la superficie externa del solenoide será prácticamente nula. 
Esta propiedad de los solenoides, va a ser la que aprovechemos para elegir la línea sobre la que
calcular la circulación de la inducción. Vamos a tomar un
rectángulo uno de cuyos lados esté en el volumen del
solenoide; su paralelo, muy cercano a la superficie externa
del mismo y los otros dos perpendiculares a las líneas de
campo, como se muestra en la figura 13. En la expresión del
teorema de Ampère: = , debemos
r r
B dl
C
⋅∫ µ0 I encerrada
calcular cada uno de sus miembros. La circulación, será
 = + + + . 
r r
B dl
C
⋅∫
r r
B dl
P
Q
⋅∫
r r
B dl
Q
R
⋅∫
r r
B dl
R
S
⋅∫
r r
B dl
S
P
⋅∫
En los tramos PQ y RS el vector inducción es perpendicular
al vector movimiento, por tanto las integrales son nulas. En
el tramo SP, como lo podemos dibujar todo lo cercano que
queramos a la superficie externa del solenoide, la inducción
Campo magnético en el vacío V - 12
Fundamentos Físicos de la Informática
será nula, luego lo será la integral. Por tanto queda: = , en este tramo inducción
r r
B dl
C
⋅∫
r r
B dl
Q
R
⋅∫
y movimiento son paralelos, luego: = , como la inducción es uniforme nos que
r r
B dl
Q
R
⋅∫ B dlQ
R
⋅∫
dará la integral del desplazamiento que valdrá “l”: = B l
r r
B dl
C
⋅∫
Vamos a calcular el segundo miembro: . Realmente calcularemos la corrienteµ0 I encerrada
encerrada por el rectángulo. Si en la longitud total del solenoide (L) tenemos (N) espiras, en la
longitud “l”, que es el lado largo del rectángulo, tendremos espiras, lo que supone encerrar
N
L
l
una corriente de: , si igualamos los dos miembros de la ecuación, tendremos: B l =
N
L
I l





, lo que nos lleva a que la inducción magnética generada por un solenoide tiene porµ0
N
L
l
módulo: , siendo su dirección paralela al eje del solenoide y su sentido vendrá dadoB
N
L
I= µ0
por el de avance de un tornillo que movamos en el sentido marcado por la corriente. 
El flujo del campo magnético
Vamos ahora a expresar la otra propiedad importante del campo magnético, que es la inexistencia
de polos magnéticos asilados. Nosotros la hemos podido poner de manifiesto si alguna vez se nos
ha partido un imán, ya que lo que obtenemos por fractura de un imán son siempre dos imanes ,
y por mucho que los dividamos no conseguiremos un único polo magnético. Es decir las líneas
de fuerza del campo magnético no salen de ningún lugar, entran y salen en cada cara. Al obtener
la inducción creada por una espira o por un solenoide nos encontramos que las líneas de campo
son cerradas. La inexistencia de fuentes de las líneas de campo, supone que el flujo del vector
a través de una superficie cerrada cualquiera sea nulo, luego se cumplirá:
 
r r
B ds⋅ =∫Σ 0
Que nos permite escribir la segunda expresión fundamental de la inducción magnética. 
Las dos propiedades básicas de los campos magnéticos estacionarios, no dependientes del
tiempo, son el teorema de Ampere, que al estudiar los fenómenos dependientes del tiempo
tendremos que modificar y, su carácter solenoidal, o lo que es lo mismo que su flujo a través de
una superficie cerrada cualquiera es cero, que es una de las cuatro ecuaciones fundamentales del
electromagnetismo, conocidas como ecuaciones de Maxwell.
Campo magnético en el vacío V - 13
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 14
Al acercarse el imán se detecta paso
de corriente por el galvanómetro
Figure 15
El galvanómetro del circuito “2", sólo detecta paso de
corriente al abrir o cerrar el interruptor del circuito “1"
El fenómeno de la inducción magnética. Leyes de Faraday y Lenz
Hasta ahora hemos visto los campos eléctrico y magnético como fenómenos sin conexión
matemática alguna, es cierto que sabemos que ambos se generan por la existencia de cargas
eléctricas, pero no hemos encontrado ninguna relación entre sus vectores campo. Vamos a
encontrar esa relación que intuimos debe existir, pues el movimiento de las cargas quien produce
el campo magnético, o lo que es lo mismo que nosotros veamos las cargas desde un sistema de
coordenadas que se mueve respecto del suyo.
Hacia 1830 Michael Faraday en Inglaterra, y Joseph Henry en Estados Unidos realizaron una
serie de experimentos que ponían de manifiesto la relación entre los fenómenos eléctricos y
magnéticos. Supongamos que tomamos una bobina y la conectamos a un galvanómetro capaz de
acusar el paso de corriente (fig 14), si acercamos un imán a la bobina veremos que el
galvanómetro detecta paso de corriente, lo mismo ocurre cuando alejamos el imán, pero no es
así cuando esta quieto, por muy cerca que mantengamos el imán y la bobina.
La observación del galvanómetro nos dirá que la corriente que
circula cuando acercamos el imán a la bobina es de sentido
contrario a la que atraviesa la bobina cuando se aleja el imán.
Si ahora invertimos el imán, es decir acercamos el polo sur, la
corriente será del mismo sentido que cuando alejábamos el
polo norte con anterioridad. Es decir el movimiento relativo de
los polos del imán respecto del circuito tiene importancia a la
hora de generarse una corriente en el circuito, y no se establece
corriente alguna por estar el imán quieto y cercano a las
espiras.
Veamos otra experiencia curiosa, coloquemos dos circuitos
eléctricos cercanos y en reposo uno respecto del otro, uno de
ellos formado como antes, por una bobina y un galvanómetro
y el otro
formado por otra bobina conectada a una
batería con un interruptor (fig 15). Si cerramos
el interruptor observaremos, por un intervalo
de tiempo muy corto, el paso de una corriente
eléctrica en la otra bobina, la unida al
galvanómetro, no observando después ninguna
corriente en el circuito del galvanómetro,
aunque tengamos cerrado el circuito de la
batería. Sólo aparecerá de nuevo corriente en
la segunda bobina cuando abramos de nuevo
el circuito
primero.
Faraday describe el experimento que
acabamos de relatar como:“Cuando se hizo el
contacto, se produjo un efecto repentino y muy
leve en el galvanómetro y también hubo un efecto semejante, muy leve, cuando se interrumpió el
Campo magnético en el vacío V - 14
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 16
Figure 17
Esquema de un imán introduciéndose
en una espira (de la que se ha
representado sólo la mitad) en la que
se induce una corriente
contacto con la batería. Pero cuando la corriente voltaica pasaba por la primera hélice, no se observaba
ninguna alteración galvanométrica, ni se podía observar ningún efecto de inducción sobre la otra hélice,
aun cuando se había comprobado que el poder activo de la batería era muy grande”.
¿Qué ha ocurrido en este segundo experimento?, las bobinas están en reposo una respecto a otra,
¿qué ha podido variar?. La respuesta no es tan trivial, intentemos seguir el fenómeno:
Al conectar el interruptor, por el primer circuito empieza a circular una corriente eléctrica que
generará un campo magnético en sus proximidades, en consecuencia el segundo circuito se verá
inmerso en un campo magnético que permanecerá constante en tanto se mantenga la corriente
circulando por el primero de los dos circuitos. Al abrir de nuevo el interruptor del primer circuito 
el campo magnético creado por él desaparecerá, en consecuencia el segundo circuito dejará de
estar inmerso en un campo magnético.
En el galvanómetro del segundo circuito podremos observar que no se detecta corriente alguna
mientras el interruptor del primer circuito está abierto, en el
instante en que se cierra el interruptor el galvanómetro del
“circuito 2”, acusará paso de una corriente inducida por un
instante, dejando de circular después aunque el interruptor esté
cerrado y la corriente pase por él, al abrir de nuevo el interruptor
del “circuito 1”, el galvanómetro de “2” detecta el paso de
corriente inducida en sentido contrario al detectado en la
primera ocasión (Fig 16).
Sólo se acusa paso de corriente cuando existe un cambio en el
valor del campo magnético que atraviesa el “circuito 2”, que es
lo mismo que ocurría en la experiencia del imán que hemos
descrito anteriormente, pues por muy cerca que le
mantuviéramos del circuito, si no lo movíamos no se detectaba paso de corriente.
La primera consecuencia que podemos sacar de todo lo anterior, es que lo importante no es el
valor del campo en el que se encuentre la bobina que empleamos para detectar el fenómeno,
quien produce la corriente inducida en ella es el cambio en el
valor del campo.
Heinrich F.E. Lenz, realizó un estudio del fenómeno desde el
punto de vista de la conservación de la energía, lo que permite
predecir el sentido de la corriente inducida. La ley de Lenz nos
dice que: “la corriente inducida aparece en un sentido tal, que
se opone a la causa que la produce”. Igual que en Mecánica
empleando el principio de conservación de la energía hemos
conseguido sacar conclusiones sobre el comportamiento de los
sistemas sin necesidad de hacer un planteamiento completo del
fenómeno, vamos a ver que consecuencia obtenemos al aplicar
la conservación de la energía a esta situación.
Campo magnético en el vacío V - 15
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 18
La barra metálica se desplaza sobre los
carriles, en el seno de un campo
magnético.
Figure 19
El movimiento de la barra metálica, provoca el
paso de una corriente “I” por la resistencia “R”
Consideremos la primera experiencia que hemos comentado: si introducíamos el imán en la
espira se producía una corriente inducida, ¿cuál es su sentido?.
Sabemos que una corriente que circula por una espira produce un campo magnético cuyas líneas
de campo son cerradas en el espacio que la circunda, y resultan entrantes por una cara de la espira
y salientes por la otra, las líneas de campo del imán saldrán de su polo norte (N) y se cerrarán en
su interior al entrar en el mismo por su cara sur (S). Si, como prevé la ley de Lenz, la corriente
inducida en la espira debe oponerse al movimiento del imán, “la cara norte de la espira” debe
oponerse a la norte del imán, como indica la figura 17, para lo cual la corriente debe entrar por
la parte baja del trozo de cable que se esquematiza en la misma, y salir por su parte superior.
Para conseguir introducir el imán tendremos que realizar una fuerza que empuje al imán, la ley
de Lenz nos dice que la espira reaccionará generando una corriente que trate de impedir que
introduzcamos el imán. Por el contrario si alejamos el imán el circuito reaccionará generando una
corriente que trate de atraer al imán. De acuerdo con el principio de conservación de la energía
el trabajo realizado sobre el sistema debe ser igual al de generación de la corriente si suponemos
que no existen pérdidas caloríficas, por el paso de la corriente.
Los razonamientos de Lenz lo son para circuitos cerrados pues se habla siempre de intensidades
inducidas. Si el circuito es abierto podemos pensar en lo que ocurriría si fuese cerrado con lo que
llegaremos encontrar el sentido de la f.e.m. inducida que
debe aparecer para que circule la corriente.
Para completar el estudio del fenómeno de la inducción,
vamos a ver que ocurrirá se desplazamos una barra
conductora, con velocidad constante de módulo ”v”, sobre
unos carriles metálicos perpendicularmente a un campo
magnético como indica la figura 18. 
Como en el volumen del conductor existirán electrones
libres, podemos decir que se mueven con la misma velocidad
que el conductor, y por estar en un campo magnético se
verán sometidos a la acción de la fuerza de Lorentz
, que impulsará a los electrones a la parte[ ]r r rF q v B= ×
superior de la barra, con lo que ésta quedará cargada
negativamente en su parte superior y positivamente,
por defecto de electrones, en su parte inferior. Como
consecuencia de esta situación aparecerá en el interior
del conductor un campo eléctrico que estabilizará el
flujo de electrones, dado lugar a la aparición de una
situación estacionaria cuando las fuerzas sobre los
portadores sean iguales y opuestas.
; [ ]( )r r r r rF q E F q v BE M= = − = − × r r rE v B= − ×
La existencia en el interior del conductor de un campo
eléctrico uniforme y paralelo al conductor, capaz de
Campo magnético en el vacío V - 16
Fundamentos Físicos de la Informática
provocar de forma sostenida, el movimiento de los electrones por un posible circuito externo, da
lugar a la aparición de una fuerza electromotriz de valor: , capaz de generarε = ⋅ = −∫
r r
E dl vBl
una corriente si los raíles metálicos por los que se traslada el conductor se unen mediante una
resistencia eléctrica como se muestra en la figura 19.
En los tres fenómenos que hemos descrito, se produce una corriente inducida, o lo que es lo
mismo existe una f.e.m. inducida capaz de generar una corriente eléctrica, luego tenemos que
encontrar lo que de común tienen las tres situaciones. En las dos primeras vimos que la variación
del valor del campo magnético era la causa que generaba la corriente, pero en el tercer caso el
campo magnético lo hemos supuesto constante en módulo dirección y sentido. Lo que sí ocurre
en este tercer caso, es que la barra en su movimiento, si estuviera quieta no se produciría fuerza
sobre los portadores, va “barriendo” más y más líneas de fuerza del campo magnético, como si
aumentara no el valor del campo sino el área afectada por el fenómeno.
Como la magnitud que nos une un campo vectorial con el área a la que afecta, es el flujo; vamos
a calcular el valor del flujo del campo magnético afectado en la experiencia. Si hemos dicho que
la barra se mueve con velocidad constante de módulo “v” en un plano perpendicular al campo
magnético, el flujo: , la integral de la diferencial de superficie seráφ = = =∫ ∫ ∫
r r
B ds B ds B ds
la distancia entre los raíles multiplicada por el espacio (x) que haya recorrido la barra, que será
velocidad por tiempo: .( )x v t B l v t= =; φ
Si comparamos la expresión anterior con la que hemos obtenido para
la f.e.m. inducida en la
barra veremos que la una es la derivada temporal de la otra, es decir la velocidad de variación del
flujo es quien nos da la f.e.m. y el signo menos era previsible por las consideraciones energéticas
que siguiendo el razonamiento de Lenz hemos realizado, escribiremos que:
ε φ= − d
dt
en donde se resumen las dos leyes que rigen el fenómeno:
Ley de Lenz: “La variación del flujo magnético que enlaza a un circuito produce una
f.e.m. que se opone a la variación del flujo en él”
Ley de Faraday: “El valor de la f.e.m. coincide con la rapidez de variación del flujo
magnético”
De la definición de flujo, podemos ver que sus unidades serán las de la inducción multiplicadas
por m2, es decir o teslas x m2, o simplemente Weber.
Vamos a rescribir la ecuación anterior empleando notación integral. El primer miembro de la
ecuación, la fuerza electromotriz es la circulación del campo eléctrico, y el flujo es la integral de
superficie del vector campo magnético siempre que la superficie esté soportada por la línea a la
que se extiende la primera integral, sólo tendremos que encontrar la línea y la superficie
apropiadas.
Campo magnético en el vacío V - 17
Fundamentos Físicos de la Informática
Para tener una imagen gráfica, consideremos la situación que acabamos de estudiar. La f.e.m.
inducida la podemos escribir como: , siendo “c” la barra conductora. El flujo loε = ⋅∫
r r
E dl
c
hemos calculado sobre la superficie “ ” soportada por la barra y definida por ésta en suΣ
movimiento, la variación del flujo será: .− = − ⋅∫
d
dt
d
dt
B ds
φ r r
Σ
Lo que nos permite escribir que
 
r r r r
E dl
d
dt
B ds
C
⋅ = − ⋅∫ ∫Σ
siempre que la superficie “ ” esté soportada por la línea “C”.Σ
Coeficientes de inducción
Los coeficientes de inducción nos relacionan las ff.ee.mm. producidas en distintos circuitos, con
las intensidades que recorren otros que están en sus cercanías, e incluso con la que recorre el
propio circuito.
Sabemos que la ley de Biot y Savart nos da el valor de la inducción magnética creada por un
elemento de corriente “ ” que se encuentra en un punto definido por , en un punto cualquieradl
r r
r1
del espacio definido por el vector : . Esta expresión la podemos
r
r2
( ) ( )r r r r
r rB
I dl r r
r rC
2 1
0
1 1 2 1
2 1
34
1
, =
× −
−∫
µ
π
leer diciendo: la inducción magnética debida a un elemento de corriente en un punto cualquiera,
depende del valor de la intensidad de la corriente, de la geometría del circuito (se integra sobre
la línea que es el circuito “1”), y de la posición relativa entre el punto y el circuito. O lo que es
lo mismo: la inducción magnética debida a un circuito de corriente en un punto cualquiera del
espacio, depende del valor de la intensidad de la corriente y de la geometría propia del circuito
y relativa del punto considerado respecto del circuito.
Supongamos que tenemos “N” circuitos rígidos (que los circuitos sean rígidos es la condición
habitual de los circuitos eléctricos, por tanto no se quitará generalidad al razonamiento)
distribuidos en una región del espacio. Si llamamos Ij a la corriente que circula por el circuito “j”;
de lo que acabamos de decir se desprende, que si no variamos las condiciones geométricas de los
circuitos, la inducción magnética creada por el circuito “j” en los distintos puntos del circuito “i”
es proporcional al valor de la intensidad Ij; es decir: . En consecuencia el flujo de la
r
B Iij j∝
inducción magnética que atraviesa al circuito “i” debido a que por el “j” pasa corriente, será:
. La constante de proporcionalidad dependerá exclusivamente de la geometría de los dosφ ij jI∝
circuitos y de sus posiciones relativas y lo representaremos por Mij. 
Campo magnético en el vacío V - 18
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 1 de problemas
Si queremos conocer el valor del flujo total que atraviesa el circuito “i”, tendremos que sumar
las contribuciones de todos y cada uno de los circuitos presentes, incluyendo al propio circuito
“i”, es decir: , donde Mij dependerá exclusivamente de la geometría de losφ i ij j
j
N
M I=
=
∑
1
circuitos. Estos coeficientes que acabamos de introducir, son los coeficientes de inducción mutua
entre cada pareja de circuitos, y representan las contribuciones al flujo de la inducción magnética
que atraviesa un circuito dado debido a que está en presencia de varios. Naturalmente la propia
corriente que circula por un circuito genera un campo cuyo flujo también hemos tenido en cuenta,
y que corresponderá a los coeficientes de la forma Mii, que denotaremos por “Li”, a los que
llamaremos coeficientes de autoinducción.
Al escribir ahora la ley de Faraday tendremos: = . Se puede demostrarε
φ
j
jd
dt
= − −
=
∑ M
dI
dtiji
N
i
1
que la matriz de coeficientes de inducción es simétrica, es decir que Mij = Mji. No es extraño que
esto sea así pues los coeficientes de inducción, hemos dicho representaban la geometría relativa
entre los circuitos.
Naturalmente si consideramos un único circuito tendremos: = .ε φ= − d
dt
−L dI
dt
De forma esquemática, si consideramos dos circuitos podemos escribir que los flujos que
atraviesan ambos circuitos son de la forma:
 
φ
φ
1 1 1 12 2
2 12 1 2 2
= +
= +
L I M I
M I L I
Lo que nos permitirá calcular con facilidad la fuerza electromotriz inducida en uno de ellos una
vez conocidos los coeficientes de inducción.
Por su definición, los coeficientes de inducción tendrán unidades que serán las del flujo divididas
por las de la intensidad (Weber/amperio), o lo que es lo mismo las de una f.e.m. multiplicadas
por las del tiempo y divididas por las de una intensidad ( voltio x segundo/amperio), como el
voltio dividido por amperio es ohmio, tenemos que las unidades de los coeficientes de inducción
son ohmios x segundo que tiene nombre propio, “henrio”, en honor a Joseph Henry.
Problema 2.- Calcular la f.e.m. inducida en un hilo de longitud infinita, cuando
por una espira rectangular de lados “a” y “b”, que diste “d” del hilo, circula una
corriente: .i t I sen t( ) = ω
Para calcular la f.e.m. inducida, deberíamos poder calcular la variación de flujo
de la inducción magnética que atraviesa el hilo, pero definir el diferencial de
superficie en el hilo no parece tarea fácil.
Sin embargo si acudimos a la definición de coeficiente de inducción mutua entre
circuitos y de ahí calculamos la f.e.m. como: = ,ε
φ
= −
d
dt
− M
dI
dt
Campo magnético en el vacío V - 19
Fundamentos Físicos de la Informática
Figure 2 de problemas
podremos resolver el problema. Calculemos el coeficiente de inducción mutua. Dada la simetría de los coeficientes
dará lo mismo conocer el del hilo respecto el rectángulo que a la inversa. Vamos pues a suponer que por el hilo
circula una corriente “I”, como se muestra en la figura, y calcularemos el flujo que atraviesa el rectángulo.
Si la corriente es, por ejemplo, como la que se muestra en la figura, la inducción magnética será entrante en el papel
en la zona en la que está el rectángulo. Para calcular el flujo que atraviesa el rectángulo, tomaremos un elemento
de superficie en él, que esté a distancia “x” del hilo y tenga un espesor “dx”. La inducción en todos los puntos del
elemento de área será la misma y de módulo: , luego el flujo:B
I
x
=
µ
π
0
2
 = = . φ = ⋅∫
r r
B ds
rec gulotan
( )µ
π
0
2
d
d a
I
x
b dx
+
∫ ⋅
µ
π
0
2
1
I b a
d
ln +





El coeficiente de inducción mutua, como es la relación entre el flujo y la
intensidad, valdrá: .M
b a
d
= +





µ
π
0
2
1ln
Como la f .e .m. induc ida es: , nos queda:ε − M
dI
dt
 = . ( )ε µ
π
ω= − +





0
2
1
b a
d
d
dt
sen tln − +











µ ω
π
ω0
2
1
b a
d
tln cos
La expresión entre corchetes, que es una constante, la podemos denotar por , tendremos que en el hilo se induciráε0
una f.e.m. dependiente del tiempo también de forma senoidal de la forma:
 ε ε ω( ) cost t= 0
Veamos que influencia tiene la unidad que acabamos de introducir respecto de las unidades de
la permeabilidad magnética. De la ley de Biot y Savart se
( ) ( )r r r r
r rB
I dl r r
r rC
2 1
0
1 1 2 1
2 1
34
1
, =
× −
−







∫
µ
π
desprende que las unidades de la permeabilidad son: Tesla x m/ amperio, el tesla es Weber m-2,
que multiplicado por el metro y dividido por amperio, nos queda: weber dividido por amperio
= henrio, y m-2 multiplicado por metro “m”; luego las unidades de la permeabilidad del vacío
“ ” serán henrio x m-1.µ 0
Campo magnético en el vacío V - 20
InfoTema7MediosMagnetic_067.pdf
Campos magnéticos en medios materiales VII - 1
Tema VII: Campos magnéticos en medios materiales
El fenómeno de la imanación de la materia: Vector imanación. Corrientes de imanación.
Generalización de la Ley de Ampère. Susceptibilidad y permeabilidad magnética. Clasificación
de los medios materiales desde le punto de vista magnético. Energía magnética. Aplicaciones
Bibliografía: Reitz Milford “Fundamentos de la teoría electromagnética”
Conocimientos previos: El fenómeno de la inducción y la acción magnética de una corriente.
Objetivos: Dar una imagen simple del comportamiento magnético de la materia, introducir el campo
magnético para describir las acciones magnéticas, conocer algunas aplicaciones de las propiedades
magnéticas de los medios materiales.
El fenómeno de la imanación de la materia: Vector imanación
Sabemos que el magnetismo va siempre asociado al movimiento de las cargas, es decir a la
corriente eléctrica. Las corrientes que existen a escala microscópica en los materiales, a través
de las cuales se interpreta el comportamiento magnético de los mismos, pueden tener diversos
orígenes. Clásicamente ya hemos visto que el movimiento orbital electrónico lleva asociado un
momento magnético, ligado a través de la razón giromagnética al momento angular de dicho
momento orbital.
Como resultado mas general, que se sale de toda interpretación clásica, ocurre que cualquier
momento angular de una carga lleva asociado un momento magnético, y así, tanto el movimiento
de spin electrónico como el spin nuclear llevan asociados momentos magnéticos, descriptibles
por corrientes equivalentes a escala microscópica, que junto con el momento magnético orbital
de los electrones van a dar plena explicación de las propiedades magnéticas de la materia, de la
misma forma que los momentos dipolares eléctricos servían para explicar la respuesta dieléctrica
de un material. Es fácil preveer sin embargo que debido a su origen, el magnetismo material,
incluso explicado a nivel elemental, va a venir siempre ligado con la teoría cuántica. Por esta
razón nos vamos a limitar a acercarnos lo que podamos al conocimiento de los medios
magnéticos desde un punto de vista casi exclusivamente fenomenológico.
Acabamos de decir que cualquier momento angular de una carga lleva asociado un momento
magnético y sabemos que los momentos magnéticos se orientan por la acción de un campo ,
r
B
por tanto, al colocar cualquier sustancia en un campo magnético provocaremos la aparición de
un momento magnético neto, es decir se produce la imanación de la sustancia, este fenómeno lo
caracterizamos cuantitativamente utilizando el vector imanación que definimos como la
r
M
densidad volúmica de momento magnético:
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 2
Figura 1
Esquema de un material
homogéneamente imanado.
Figura 2
Esquema de una rebanada
cilíndrica de un material
uniformemente imanado
 
r r r
M m d m
d
= =
→
lim
∆τ
∆
∆τ0 τ
Las unidades del vector imanación (o magnetización) serán en consecuencia
r
M
, es decir: A m-1 .amperios metro
metro
× ( )
( )
2
3
Para nosotros, desde el punto de vista macroscópico, un material no será más que una gran
cantidad de pequeños momentos magnéticos, cuya densidad es el vector imanación.
Corrientes de imanación
Aún con la visión tan restringida con la que vamos a trabajar, si nos imaginamos una muestra
paralelepipédica de un medio material imanado homogéneamente e isotropamente, cuya sección
recta sea como la representada en la figura 1 y con el vector imanación
saliendo del papel, su interior lo podemos representar por una gran
cantidad de pequeños circuitos. Consideramos un punto del interior del
volumen del material, desde él veremos tantas corrientes dirigidas hacia
arriba como hacia abajo; hacia la derecha como hacia la izquierda; hacia
delante como hacia atrás. 
No podremos decir lo mismo si consideramos un punto de la superficie
(por ejemplo el “A”), pues la propia discontinuidad que representa la
superficie, impedirá que exista igualdad de corrientes en todos los
sentidos. De forma neta, en los puntos de la superficie aparecerá una
“corriente “, cuyo sentido será normal al vector superficie y, como se
r
λ
muestra en la figura 1, perpendicular al vector imanación. 
Vamos a sacar una relación entre el vector imanación y esa “corriente” equivalente partiendo de
un caso muy particular. Consideremos un cilindro de un material imanado con una imanación
uniforme “ ” y de él tomemos una rebanada de espesor “ ” como se muestra en la figura 2.
r
M ∆l
Por un lado, recordando que hemos definido el vector imanación
como la densidad de momentos magnéticos 
r r
M dm
d
=⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟τ
tendremos que . Si llamamos al momentodm M dr
r
= τ ∆
rm
magnético de la rebanada de espesor que estamos∆l
considerando, tendremos siendo “ ” el volumen∆
r rm M d= ∫ ττ τ
de la rebanada, cuyo valor será el área de la base por la altura, es
decir: . Como la imanación la podemos suponer uniformeS l⋅ ( )∆
en toda la rebanada, tendremos = ∆
r rm M d= ∫ ττ
r
M dτ
τ∫
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 3
Figura 3
Esquema de un material imanado no
homogéneamente.
= = , siendo un vector unitario paralelo al vector imanación.
r
M S l⋅ ⋅( )∆ M S l ueje∆
r rueje
Por otra parte si podemos hablar de momento magnético de la rebanada será porque exista una
corriente equivalente “Iequi” tal que que podemos escribir como .∆
r rm S Iequi= ∆
r rm S u Ieje equi= ( )
Igualando las dos expresiones que hemos obtenido para el momento magnético de la rebanada,
tenemos: = , o lo que es lo mismo , que∆
r rm S u Ieje equi= ( ) M S l ueje∆
r rM
I
l
equi= =
∆
λ
llamaremos densidad lineal de corrientes de imanación. De forma tal, que la corriente
 distribuida por la superficie del material nos produce los mismos efectos que elI lequi = ⋅λ ∆
material imanado
Realmente la densidad lineal de corriente de imanación ( ) tiene carácter vectorial y se cumple
r
λ
que: ; siendo un vector unitario perpendicular a la superficie. 
r r r
λ = ×M n rn
Existirán materiales en los que la distribución de corrientes en su
volumen, no será tan simétrica como el caso que hemos
comentado. Así, entre las dos rectas que hemos dibujado en la
representación de material no uniformemente imanado de la
figura 3, existe un mayor transporte de cargas hacia arriba que
hacia abajo. Naturalmente, elegidas otras dos rectas paralelas
podrá existir mayor transporte en otro sentido. Es decir el
volumen del material va a ser representable por densidades de
corriente cuyo valor dependerá de la imanación, o mejor de su
variación espacial. El volumen del material lo podemos
representar por unas densidades de corriente de imanación .
r
JM
Por tanto un material imanado lo podemos sustituir por dos
densidades de corrientes:
- Corrientes lineales de imanación por unidad de longitud , que situaremos en la
r
λ
superficie del material.
-Densidad de corrientes de imanación , que se distribuirán por el volumen.
r
JM
Generalización de la Ley de Ampère. El campo 
r
H
Vamos a ver como se verá modificado el teorema de Ampère, cuando lo queramos aplicar a un
medio material. 
Sabemos que el teorema de Ampere, nos dice: , siendo “I” la corriente total
r r
B dl I
c
⋅ =∫ µ 0
encerrada por la línea “c”. Vamos a aplicar el teorema a un material homogéneo e isótropo, al
que hemos enrollado un solenoide por el que circula
una corriente “I”, como se muestra en la
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 4
Figura 4
Aplicación del teorema de Ampérè (la línea de aplicación en rojo) a un
material imanado por la acción de una corriente “I”
figura 4. 
Para calcular la circulación del campo magnético de inducción , emplearemos como línea de
r
B
Ampérè el rectángulo “ABCD” de la figura 4, por tanto: = + +
r r
B dl
c
⋅∫
r r
B dl
A B
⋅
→∫
r r
B dl
B D
⋅
→∫
 + . 
r r
B dl
D C
⋅
→∫
r r
B dl
C A
⋅
→∫
Al ser el campo magnético 
r
B
horizontal, las integrales
correspondientes a los
t r a m o s " "B D→
y serán nulas al ser" "C A→
perpendiculares los vectores
campo y “movimiento”, en el
tramo , el campo es" "D B→
nulo y por último en el
tramo el producto" "A B→
escalar será el producto de los
módulos, al ser los vectores paralelos, y al ser el campo constante, nos queda: 
r r
B dl B dl
A B A B
⋅ =
→ →∫ ∫
= B L. 
Para calcular la corriente encerrada por la línea de Ampérè, debemos considerar tanto las
corrientes que circulan por los distintos hilos que encerramos en el rectángulo, como las
equivalentes debidas a las densidades de corriente lineal de imanación , que según hemos
r
λ
dicho nos permiten sustituir al material por ellas. Recordando que la corriente equivalente “Iequi”,
verifica que , en el caso que estamos estudiando tendremos que la corrienteI lequi = ⋅λ ∆
encerrada por la línea de Ampérè será: . Igualando los dos miembros de la expresiónN I L+ λ
del teorema obtenemos: o lo que es lo mismo, recordando el valor de laB L N I L= +µ λ0 ( )
densidad de corriente superficial de imanación , podemos rescribir la ecuación anterior
r r
λ = M
como: , es decir: . Al primer miembro le daremos nombre propioB N
L
I M
µ 0
= +
B M N
L
I
µ 0
− =
y le denominaremos excitación magnética o simplemente vector campo magnético , que
r
H
verifica que: . Lo que nos introduce un nuevo vector para caracterizar el campo
r
r
r
H B M= −
µ 0
magnético que va a estar unido a las corrientes de conducción. De la ecuación que hemos
empleado para definirlo se deduce que sus unidades serán las mismas que las del vector
imanación, es decir, A m-2.
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 5
Figura 1 de problemas
Como línea de circulación tomamos una
línea del campo magnético
De esta forma, si en el teorema de Ampérè empleamos en el primer miembro el nuevo vector
campo magnético “ ” que hemos introducido tenemos , lo que nos permite escribir
r
H
r
H N
L
I=
que , que nos dice que la circulación del campo magnético a lo largo de una
r r
H dl I
C
c⋅ =∫
r
H
curva cerrada es igual a la corriente de conducción encerrada.
Por tanto los vectores característicos del campo magnéticos se relacionan por: 
r r r
B H M= +µ 0 ( )
y el vector “ ” cumplirá que .
r
H
r r
H dl I
C
c⋅ =∫
Problema 1.- Calcular el campo magnético creado por un hilo rectilíneo de corriente recorrido por una intensidad
“I”.
Las líneas de campo magnético serán circunferencias centradas en el hilo, luego tomaremos como línea de
circulación una circunferencia de radio “r” y centro en el hilo, como se
indica en la figura. 
Aplicando el teorema de Ampere tenemos: . En el primer
r r
H dl I
C
c⋅ =∫
miembro los vectores campo y desplazamiento son paralelos, luego
tendremos simplemente el producto de los módulos: , como elH dl
C
⋅∫
módulo del vector campo es constante en toda la circunferencia lo podemos
sacar fuera de la integral: , pues la integral de “dl” aH dl H r
C∫ = ⋅ ( )2π
lo largo de la circunferencia es su longitud. 
Igualando los dos miembros de la ecuación obtenemos: , porH r I( )2π =
tanto el campo magnético, como sabemos que será tangente a la circunferencia, valdrá: 
r r
H
I
r
u=
2π θ
Susceptibilidad y permeabilidad magnética
Hemos dicho que los medios materiales se pueden considerar como un gran número de
momentos magnéticos ordenados o desordenados. Nuestra experiencia nos dice que, si bien
existen medios materiales que de forma espontánea presentan propiedades magnéticas (los
imanes), hay una gran cantidad de medios que no presentan esas propiedades. En estos últimos,
aunque también se da en los primeros, está claro que la acción del campo magnético podrá
ordenar los momentos magnéticos ya existentes y podrá aparecer la imanación de la que hemos
hablado hasta ahora. Podemos pues, establecer una relación causa-efecto entre el campo y la
imanación que experimenta el material, que escribiremos como: . La magnitud que
r r
M Hm= χ
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 6
hemos introducido ( ) la denominaremos susceptibilidad magnética, y no tendrá unidades. χm
Recordando la relación entre el campo magnético, la imanación y la inducción magnética,
tenemos: , si sustituimos la relación entre campo e imanación que acabamos( )r r rB H M= +µ0
de introducir tenemos: , llamando permeabilidad relativa del medio a:( )
r r
B Hm= +µ χ0 1 µ r
 tenemos: o lo que es lo mismo: . A la constante la( )1+ χm
r r
B Hr= µ µ0
r r
B H= µ µ µ µ= 0 r
denominaremos permeabilidad del medio, y por su definición tendrá las mismas unidades que
la permeabilidad del vacío.
Clasificación de los medios materiales desde le punto de vista magnético
Veamos a continuación un resumen de los distintos tipos de fenómenos magnéticos que pueden
aparecer en la, imanación de un material:
 a) Diamagnetismo: es una propiedad general de toda la materia y es debida a la
inducción de un momento magnético en sentido opuesto al campo aplicado. Es decir en
la relación , el sentido de la imanación será opuesto al del campo magnético 
r r
M Hm= χ
r
H
que la genera, lo cual nos lleva a que la susceptibilidad magnética será negativa
. ( )χm ≈ − −10 5
 b) Paramagnetismo: se presenta en materiales constituidos por entidades microscópicas
(moléculas, átomos o iones) con momento magnético permanente. En ausencia de campo
externo estos momentos están orientados al azar dando una de densidad neta de momento
magnético nula, es decir una imanación nula. La acción de un campo externo es tratar de
orientar en el sentido del campo a estos momentos en contra de la agitación térmica,
dando una imanación neta no nula en el sentido del campo aplicado. Como 
r r
M Hm= χ
los dos vectores serán paralelos, la susceptibilidad será positiva ( )χm ≈ + −10 3
 c) Ferromagnetismo: se caracteriza por una fuerte interacción entre momentos
magnéticos permanentes próximos existentes en el material, que da lugar a una
ordenación de los mismos incluso en ausencia de campo aplicado, lo cual se puede
manifestar por la existencia de una imanación espontánea. En ellos la susceptibilidad
magnética es muy grande, y varía con el campo aplicado (figura 5 a)
 d) Antiferromagnetismo: es un fenómeno análogo al anterior pero en el cual la
ordenación de los momentos magnéticos, todos del mismo valor, es antiparalela. Ello
conduce a una imanación espontánea nula. En ellos la susceptibilidad magnética es muy
grande, y varía con el campo aplicado (figura 5 b)
 e) Ferrimagnetismo: aquí también existe una ordenación antiparalela de dos subredes
de momentos magnéticos, pero estos no son iguales con lo cual existe imanación
espontánea. En ellos la susceptibilidad magnética es muy grande, y varía con el campo
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 7
Figura 5
Esquema de la distribución de los momentos magnéticos permanentes de los materiales:
 ( a ) Ferromagnéticos. ( b ) Antiferromagnéticos. ( c ) Ferrimagnéticos.
Figura 6
Representación de la susceptibilidad
magnética de los distintos tipos de
materiales magnéticos.
aplicado (figura 5 c)
En estos tres últimos casos de materiales, genéricamente denominados “ferromagnéticos”, la
susceptibilidad es mucho mayor que la unidad y función
del campo aplicado, apareciendo los llamados fenómenos
de histéresis.
Gráficamente (ver figura 6) podemos ver el
comportamiento distinto
de la susceptibilidad con el
campo aplicado. Nos encontraremos con comportamientos
lineales para materiales paramagnéticos y diamagnéticos,
estos últimos con susceptibilidad negativa, y con
comportamientos no lineales para los materiales
“ferromagnéticos” (los ferromagnéticos propiamente
dichos, los antiferromagnéticos y los ferrimagnéticos).
Vamos a describir brevemente en que consiste cada uno de
estos comportamientos, dando una explicación
fenomenológica de ellos. 
Diamagnetismo electrónico
Como ya se ha visto, el diamagnetismo está asociado al movimiento orbital electrónico y aunque
existe en toda la materia, sólo es observable cuando no existan momentos magnéticos
permanentes.
Vamos a realizar un análisis clásico que permite obtener resultados de acuerdo con la
experiencia. Se parte de considerar la acción de un campo magnético sobre un electrón en
movimiento orbital circular. En primer lugar consideraremos una órbita de radio “ro” orientada
con su plano perpendicular al campo magnético y que gira con velocidad angular . Si giraω 0
será porque existe una fuerza centrípeta de módulo . El movimiento lleva asociadoF m rc e o= ω
2
0
un momento angular de módulo , al que, como sabemos, podemos asociar unl m re0 0 0
2= ω
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 8
momento magnético , siendo la razón giromagnética, la
rm l q
m
m re
e
e0 0 0 0 0
2
2
= =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟γ ω γ 0 qe
carga del electrón y la masa del electrón.me
Si aplicamos un campo magnético, de inducción , al material, suponiendo que el campo a
r
B
nivel molecular es igual al exterior, lo que para materiales diamagnéticos es bastante correcto,
aparecerá sobre el electrón una fuerza adicional , suponiendo que el campo[ ]r r rF q v Bmag e= ×
y la velocidad son perpendiculares, tendremos: . La frecuencia debe variar,
r r
F q r Bmag e= ω 0
pues el radio de giro viene fijado por ser el de una órbita, y la existencia de una nueva fuerza nos
lleva a que varíen las condiciones de movimiento. La nueva frecuencia será mayor o menor que
la original según la fuerza magnética resulte centrípeta o centrífuga, dependiendo del sentido del
campo magnético. En cualquier caso, si recordamos el significado de la ley de Lenz, la variación
de la frecuencia de giro es siempre de forma tal que el cambio en el momento magnético
asociado, se oponga a la variación del campo aplicado.
La nueva velocidad angular cumplirá que la fuerza centrípeta será igual a la masa por la
aceleración del sistema. En este caso, la fuerza centrípeta la podemos escribir como la que existía
antes de aplicar el campo más o menos la fuerza de origen magnético, debida a la fuerza de
Lorentz: = , o lo que es lo mismo: =( )m re ω 02 0 ± q r Be ω 0
r
m re ω
2
0 ±q r Be ω 0
r
, dado que la variación en la frecuencia es muy pequeña podemos escribir:( )m re 0 2 02ω ω−
 = , donde hemos llamado a la diferencia de las( ) ( ) ( )ω ω ω ω ω ω2 02 0 0− = + ⋅ − 2ωδω δω
frecuencias angulares con y sin campo magnético aplicado.
Por tanto podemos escribir: = , que es la denominada frecuencia de Larmor.δω =
q
m
Be
e2
r
ω L
Este cambio en la frecuencia de giro lleva asociado un cambio en el momento magnético
,que será opuesto al campo aplicado y cuyo valor es: ( )δ γ δr rm l= δ δωm q
m
m re
e
e= 2 0
2
= = −
q
m
r Be
e
2
0
2
4
−
q
m
r He
e
2
0 0
2
4
µ
Luego la susceptibilidad del material tiene siempre un valor negativo.χm
Para un electrón cuya órbita no sea perpendicular al campo aplicado, su movimiento órbital lo
podemos suponer descompuesto en una proyección sobre un plano normal al campo y otra órbita
en un plano paralelo a , de tal forma que sólo el movimiento en el plano transversal es
r
H
afectado por el campo magnético. 
Paramagnetismo
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 9
Figura 7
Esquema de un material paramagnético en dos situaciones:
 (a) sin campo magnético aplicado, (b) tras haberle aplicado un
campo magnético
El paramagnetismo se da en materiales cuyas entidades microscópicas poseen momento
magnético permanente, si bien estos momentos magnéticos están desordenados, por lo cual no
presentarán imanación espontánea. Como ya hemos dicho seguirá existiendo el diamagnetismo
electrónico si bien, como sus efectos son dos órdenes de magnitud menores que los efectos
paramagnéticos, no los podemos detectar en este tipo de materiales.
Analicemos el comportamiento desde el punto de vista fenomenológico. Consideremos un
material paramagnético que, como tal, poseerá momentos magnéticos permanentes, los cuales,
a no existir interacciones importantes entre ellos, estarán desordenados por efecto de la energía
cinética que supone su temperatura, como se muestra en la figura 7 (a) lo que supondrá que no
presentará imanación alguna. Si aplicamos al material un campo magnético de inducción los
r
B
distintos momentos magnéticos de la sustancia se verán sometidos a la acción de un par de
fuerzas que tenderá a orientarlos en el sentido del campo aplicado como se muestra en( )r rm B×
la figura 7 (b), por lo que el material presentará una imanación , distinta de cero, en el mismo
r
M
sentido que el campo aplicado. Es
decir la susceptibilidad magnética que
podemos obtener será siempre un
número positivo.
La teoría general fue desarrollada por
Langevin, considerando el efecto
ordenador de un campo magnético
sobre los momentos magnéticos
existentes en su dirección y el efecto
desorientador de la temperatura,
empleando la estadística clásica se
llega para la susceptibilidad, a una
expresión del tipo: . χM
Cte
T
=
Que nos dice que en los medios paramagnéticos la susceptibilidad debe variar con la inversa de
la temperatura absoluta. Para obtener resultados cuantitativamente correctos hay que acudir a
tratamientos cuánticos, que dan también como resultado una variación de la susceptibilidad
magnética con la inversa de la temperatura y valores del orden de 10-3.
Ferromagnetismo
Se presenta en materiales con momentos magnéticos permanentes que interaccionan fuertemente
entre los más próximos, lo que se pone de manifiesto por la formación estructuras ordenadas
“dominios” separadas entre si por “paredes”. Desde el punto de vista experimental, los materiales
ferromagnéticos presentan tres características, ligadas entre sí, que conviene tratar por separado
por su distinta significación.
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 10
Figura 8
Curva de primera imanación de un
material ferromagnético
Figura 9
Variación de la imanación de un
material ferromagnético, con el
campo magnético aplicado
Figura 11
Variación de la imanación de un
material ferromagnético con el campo
aplicado, mostrando la imanación de
saturación.
Figura 10
Variación de la permeabilidad
magnética de un material
ferromagnético, con el campo
aplicado
a) Marcado carácter no lineal.
Si consideramos una muestra de un material inicialmente
desimanado, al aplicarle un campo magnético en una dirección
y sentido determinados cuyo módulo vaya aumentando, se
obtienen las curvas de primera imanación, que se esquematizan
en las figuras 8 y 9, tanto para
la inducción magnética como
p a r a l a i m a n a c i ó n
respectivamente.
Tanto la permeabilidad ,µ
como la susceptibilidad sonχm
funciones del campo aplicado.
En la gráfica H - B de la figura
8 se pone de manifiesto que la
susceptibilidad magnética varía
con el valor del campo aplicado,
lo que se ha representado en la
figura 10.
Esta no linealidad nos obliga a concretar, cuando se hable en
términos de permeabilidad, en que condiciones definimos dicho
parámetro, ya que puede tomar muchos valores incluso negativos
como veremos mas adelante. En el caso del hierro comercial el
valor de pico de es del orden de 6000.µ r
b) La existencia de imanación de saturación.
Experimentalmente se observa que al aumentar el módulo del campo aplicado la imanación va
creciendo, hasta un valor límite denominado de
saturación (figura 9). Por la propia definición
del vector inducción , no ocurrirá así con él;( )r r rB H M= +µ 0 ( )
pues el término seguirá aumentando a medida que loµ 0
r
H
haga el campo magnético, aunque no aumente la imanación.
c) La existencia de ciclo de histéresis
Una vez alcanzada la imanación de saturación, si se disminuye
gradualmente el valor del campo, se obtiene una curva de
imanación que no coincide con la de primera imanación, como
se muestra en la figura 11. Es decir el material guarda memoria
de los estados por los que ha pasado previamente. Además a
campo magnético aplicado nulo, aparece una imanación
remanente (en la figura Mr).Si seguimos disminuyendo el
campo (aumentará el módulo en sentido opuesto), la imanación
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 11
Figura 13
Esquema de los
dominios de un
material
ferromagnético
Figura 14
Esquema de la variación
sufrida por los dominios de un
ferromagnético en el seno de
un campo magnético.
Figura 12
Ciclo de histéresis de un material
ferromagnético típico
se hace nula para un valor del campo (Hc) que se denomina campo coercitivo. 
La imanación cambiará de sentido hasta un valor igual pero de sentido opuesto que la imanación
de saturación. Siguiendo el proceso (disminuir el módulo del campo aplicado hasta hacerlo nulo
y que vuelva a tener el mismo sentido que tenía al principio), se obtiene el ciclo de histéresis del
material (figura 12), que es simétrico respecto del origen de coordenadas.
Nos encontramos por tanto ante materiales que guardan memoria. En efecto, si tenemos un
material imanado en un sentido (su imanación es +Msat)
necesitaremos un campo magnético muy intenso de sentido
contario al que utilizamos para imanarle con “+Msat”, para
que adquiera una imanación “-Msat”, situación en la que
permanecerá hasta que apliquemos un campo magnético de
sentido opuesto. Tenemos un material cuyos estados pueden
representarse por los valores “0” y “1”.
Todos los fenómenos desaparecen a temperaturas superiores
a un valor crítico (Tc), pasando el material a tener un
comportamiento paramagnético, la susceptibilidad sigue la
ley de Curie-Weiss: 
 χ
θm
C
T
=
−
donde es la temperatura paramagnética queθ
aproximadamente coincide con la temperatura crítica o de Curie ferromagnética (Tc), aunque
generalmente .Por ejemplo para el hierro y . θ f Tc θ = 1093. K T Kc = 1043.
Una interpretación de los fenómenos de histéresis la realizó Weiss mediante el concepto de
dominios magnéticos. Estos son regiones del material completamente imanadas con un valor de
la imanación en cada uno de ellos, que no tiene
porque coincidir con la de los vecinos. La zona de
transición de un dominio a otro, que es de un
espesor mucho menor que los dominios, se
denominan paredes de Bloch.
Las paredes de los dominios se pueden mover por
acción de un campo magnético externo, para
campos poco intensos el desplazamiento de las
paredes es reversible y se da lugar a la aparición
de una imanación neta pequeña en el sentido del campo. Para campos
elevados los desplazamientos se hacen discontinuos e irreversibles
(debido por ejemplo a defectos o impurezas que existan en el material), comenzando así el
fenómeno de histéresis consistente en que al disminuir el campo aplicado las paredes de Bloch
no recorren el mismo camino que inicialmente. 
La imanación de saturación ocurre cuando los distintos dominios se orientan en el mismo sentido
que el campo aplicado debido al elevado valor del campo. Para cancelar de nuevo la imanación
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 12
es necesario aplicar un campo en sentido contrario que haga rotar los dominios lo suficiente.
Energía magnética
Hemos dicho que la existencia de corrientes supone la generación de campos magnéticos; es algo
evidente que si se genera algo, será por que se emplee en su generación una cierta cantidad de
energía, vamos a ver si de una forma sencilla somos capaces de cuantificar esa energía.
Consideremos una región del espacio en la que existan “N” circuitos, si por cada uno de ellos
circula una corriente, será por que existe un generador. En estas condiciones, en cada circuito,
se deben cumplir los lemas de Kirchoff, es decir que la suma de las ff.ee.mm. debe ser igual a
la suma de productos de intensidades por resistencias. La existencia de fuerzas electromotrices
inducidas en cada circuito por la existencia de corrientes en todos y cada uno de ellos, supondrá
la aparición de distintas ff.ee.mm. que debemos tener en cuenta en el momento de hacer la suma
de fuerzas electromotrices: , siendo la f.e.m. de todos los generadores,ε ε0 + =i t i R( ) ε 0 ε i t( )
la fuerza electromotriz total inducida; “i” la corriente que circula y “R” la resistencia
correspondiente. El paso de una carga “dq”, o lo que es lo mismo de “i dt”, por el circuito,
supone un balance energético que vendrá dado por: . Teniendo enε ε0
2dq t idt i R dti+ =( )
cuenta la ley de Faraday, podemos reordenar la expresión anterior como: .ε φ0
2dq i R dt d i= +
El primer miembro de la igualdad, es la energía subministrada por las baterías, el primer
sumando del segundo miembro es la energía perdida por efecto Joule, y el segundo será la
energía necesaria para establecer los campos magnéticos en ese circuito: . ( )dW d iB i= φ
Para los “N” circuitos, la energía necesaria será: . Naturalmente nosdW i t dB i i
i
N
=
=
∑ ( ) φ
1
interesa la energía total que será: . Para calcular la integral vamos a hacer algunaW dWB B= ∫
suposición que no modifique el resultado final. 
Teniendo en cuenta que el valor total de la energía magnética no dependerá de la forma en la que
se hayan establecido las corrientes, y en consecuencia los campos. Supondremos que en todo
momento, todas las corrientes son la misma fracción de su valor final: ;i t I ii i i( ) ,= ∀α
siendo la fracción correspondiente, que naturalmente variará entre cero y uno .α ( )0 1≤ ≤α
Si hemos supuesto que ese es el tipo de variación para las corrientes, los flujos variarán de la
misma forma: , donde es el valor final del flujo en el circuito “i”, por tanto:φ αi i
F= Φ Φ i
F
, luego: , intercambiando el orden entre lad di i
Fφ α= Φ ( )W dW I dB B i iF
i
N
= =
=
∑∫∫ α αΦ
1
0
1
derivada y la suma y sacando fuera de la integral las constantes, tenemos:
 = , si recordamos el valor del flujo que atraviesa un circuitoW I dB i i
F
i
N
= ∫∑
=
Φ α α
0
1
1
1
2 1
Ii i
F
i
N
Φ
=
∑
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 13
Figura 15
Esquema del corte longitudinal de
un solenoide que contiene un
material magnético de permeabilidad
 µ
en función de los coeficientes de inducción: y sustituimos ese valor en laφ i i j j
i
N
M I=
=
∑
1
expresión de la energía magnética, tenemos: . Que nos da la energíaW M I IB i j i j
i
N
j
N
=
==
∑∑12 11
magnética asociada a las corrientes estacionarias que circulan por los circuitos
Acabamos de calcular que la energía magnética asociada a un sistema de conductores valía:
, se puede demostrar que en términos de campo la energía magnéticaW M i iB i j i j
ji
= ∑∑12 ,
vale: , si bien su obtención requiere conocimientos que se salen de losW H B dB = ⋅∫
1
2
r r
τ
τ
límites de este temario. A continuación se realiza la comprobación de la identidad de ambas
expresiones para un caso sencillo.
Para comprobar la igualdad de las dos expresiones vamos a aplicar ambas a un solenoide recto de longitud “L” que
tenga un total de “N” espiras cuya sección recta sea “A” por el que circula una corriente “i” y en cuyo interior hemos
colocado un material magnético de permeabilidad magnética que lo llena completamente. Como sabemos, el campoµ
magnético en el interior será homogéneo y dirigido según la dimensión longitudinal del solenoide, para calcular su
módulo emplearemos el teorema de Ampérè. 
Tomaremos como línea de Ampérè un paralelogramo, en rojo en la figura 15,
uno de cuyos lados, de longitud
“l”, sea paralelo a la dimensión longitudinal del
solenoide. Como en el interior existe un material magnético emplearemos como
expresión del teorema: , siendo la curva “ ” el paralelogramo
r r
H dl IC⋅ =∫λ λ
e Ic la intensidad de conducción encerrada por la línea de Ampere. 
Para calcular la integral tendremos: 
 = + + + . 
r r
H dl⋅∫λ
r r
H dl
P
Q
⋅∫
r r
H dl
Q
R
⋅∫
r r
H dl
R
S
⋅∫
r r
H dl
S
P
⋅∫
En el tramo PQ, el campo será nulo, por tanto: = 0.
r r
H dl
P
Q
⋅∫
En QR y en SP el campo o es nulo o perpendicular a , lo que significa que el producto escalar es nulo,dl
r
luego: = = 0, luego: = , teniendo en cuenta que en ese tramo los
r r
H dl
Q
R
⋅∫
r r
H dl
S
P
⋅∫
r r
H dl⋅∫λ
r r
H dl
R
S
⋅∫
vectores campo y trayectoria son paralelos (realmente no sabemos si son paralelos o antiparalelos, pues no hemos dado
sentido a la corriente) tendremos: , al ser el campo homogéneo su módulo será constante,
r r
H dl H dl
R
S
R
S
⋅ = ⋅∫ ∫
 = . H dl H dl
R
S
R
S
⋅ =∫ ∫ H l⋅
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 14
Calculemos ahora el segundo miembro de la ecuación. La corriente de conducción encerrada será la que circule por
cada hilo conductor multiplicada por el número de conductores que encerremos, si en la longitud “L” tenemos un total
de “N” conductores, en “l” tendremos: conductores, suponiendo que por cada conductor circula una intensidad
N
L
l
“i”, la corriente de conducción encerrada será: . La expresión del teorema de Ampere nos permite escribir:
N
L
l i⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅
, luego el módulo del vector campo magnético en el interior del solenoide será: . ElH l N
L
l i⋅ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ H N
L
i=
vector campo será , siendo un vector unitario dirigido según la dimensión longitudinal del solenoide
r rH N
L
i u= ru
y cuyo sentido vendrá obligado por el de la corriente.
Recordando la relación entre el campo y la inducción magnética escribiremos: . ( )v rB H= µ r rB NL i u= µ
De lo que acabamos de obtener, se desprende que el valor de la energía magnética en el interior del solenoide calculado
de esta primera forma será:
 = = = , siendoW H B dB = ⋅∫12
r r
τ
τ
1
2
N
L
i u N
L
i u dr r⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∫τ µ τ
1
2
2
µ τ
τ
N
L
i d⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟∫ 12
2
µ τ
τ
N
L
i d⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟ ∫
“ ” el volumen interior del solenoide, que teniendo en cuenta sus dimensiones será A L, por tanto:τ
, o lo que es lo mismo . W N
L
i A LB =
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
⋅ ⋅
1
2
2
µ ( ) W N A
L
iB =
⋅1
2
2
2µ
Calcularemos ahora la energía almacenada en el solenoide empleando la expresión que nos da la energía necesaria para
que exista campo magnético, que sabemos viene dada por . En este caso, como sóloW M i iB i j i j
ji
= ∑∑12 ,
tenemos un circuito debemos hablar del coeficiente de autoinducción del mismo, que debemos calcular.
La ley de inducción nos dice que podemos reescribir como , es decir: .ε
φ
= −
d
dt
ε
φ
= −
d
di
di
dt
ε = −L di
dt
Debemos calcular el coeficiente de autoinducción de la bobina, para lo cual tenemos que conocer el flujo del campo
magnético que la atraviesa, pues , como el campo es un vector paralelo al vector superficie de las espirasφ = ⋅∫
r rB ds
Σ
del solenoide, el producto escalar coincidirá con el producto de los módulos , recordando el valor queφ = ∫ B dsΣ
hemos obtenido más arriba para el módulo del vector inducción y su independencia de la superficie
r rB N
L
i u= µ
sobre la que hemos de integrar, nos queda . La integral que nos queda por calcular, será el áreaφ µ= ∫NL i dsΣ
afectada en el cálculo del flujo, como el vector atraviesa todas y cada una de las espiras, el flujo lo será también de
r
B
todas y cada una, luego = N A, por tanto: . Como la autoinducción “ ” es la variaciónds
Σ∫ φ µ=
N
L
i N A( ) L
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 15
Figura 16
Esquema de un electroimán,
en el que hemos dibujado una
línea de Ampere (en azul) que
recorre todo el circuito
magnético
del flujo con la intensidad nos queda: . L = µ N
L
A
2
La energía necesaria para establecer el campo, será en este caso: , es decir: .W iB =
1
2
2L W N
L
A iB =
1
2
2
2µ
Valor que coincide con el obtenido empleando la expresión de la energía del campo magnético en función del valor
de los campos existentes en el espacio.
Por tanto, en este caso y realmente en todos, la energía del campo magnético la podemos escribir
como: W H B dB = ⋅∫12
r r
τ
τ
La expresión , nos permite hablar de un concepto, ya empleado en el casoW H B dB = ⋅∫
1
2
r r
τ
τ
eléctrico, de densidad de energía del campo “wB”, que definiremos como la energía por unidad
de volumen que tenemos en el espacio , cuyo valor coincide, como es evidente, conw d W
dB
B=
τ
el semiproducto escalar de los dos vectores campo .w B HB = ⋅
1
2
r r
Como aplicación del valor de la energía magnética que acabamos de obtener, vamos a calcular
la energía que se pierde cada vez que se describe un ciclo de histéresis en un material
ferromagnético, lo que nos permitirá seleccionar el material ferromagnético que más nos interese
en las distintas aplicaciones de este tipo de materiales. 
Para ello consideremos un electroimán como el que se esquematiza en la figura 16, que está
formado por un núcleo de un material ferromagnético con un entrehierro, en el que arrollamos
un solenoide por el que circulará una corriente continua para poder generar el campo magnético.
Como ya hemos dicho más arriba, la energía que suministran las fuentes (batería) para generar
la corriente será , siendo “ ” la fuerza electromotriz de la batería. Esta energía serádW dqF = ε ε
la suma de la necesaria para en establecer el campo magnético y la que
se pierda por efecto Joule: , suponiendo que seε φdq i R dt d i= +2
desprecian las pérdidas por calor, volvemos a obtener: . dW d iB = φ
El flujo, realmente su diferencial, será el debido a todas y cada una de
las espiras (N) que forman el solenoide es decir si llamamos al flujoδφ
que atraviesa cada espira, el flujo total será: , luego lad Nφ δφ=
energía que suministran las fuentes la podemos escribir como
, lo que recordando la expresión del teorema de AmperedW N iB = δφ
( ) nos permite decir que . Llamando
r r
H dl N i⋅ =∫ dW H dlB = ⋅∫
r r
δφ
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 16
Figura 17
“A” al área de la sección recta del electroimán, como el flujo es el producto escalar del campo
por la superficie, se cumplirá .δφ δ=
r r
A B
Teniendo en cuenta el paralelismo entre los vectores superficie, campo y “movimiento” dl
r
podemos escribir: o lo que es lo mismo: , siendo dW A B H dlB = ⋅∫ δ
r r
W H B dB = ⋅∫
r v
δ τ
τ
τ
el volumen del circuito magnético, es decir en el que existe campo magnético no nulo.
La expresión nos da el trabajo realizado sobre el sistema en los casos en losW H B dB = ⋅∫
r v
δ τ
τ
que aparecen fenómenos de histéresis. Según la expresión anterior, podemos hablar de una
energía por unidad de volumen de material debida a la modificación del campo, cuyo valor es
. dw H dBB= ⋅
r r
El caso de materiales que presentan histéresis y la corriente que circula es alterna presenta un
interés especial. Al variar la intensidad que recorre el devanado
del electroimán, el vector campo magnético también variará
r
H
siguiendo esas variaciones. Supongamos que en el instante
inicial el campo es nulo, si aumenta el valor de la intensidad irá
aumentando el valor del campo hasta llegar al máximo (+ Hmax),
disminuye hasta un mínimo (- Hmax) y luego vuelve a cero. La
inducción magnética muestra una variación semejante, pero
r
B
en un material ferromagnético típico irá retrasada respecto del
campo describiendo el ciclo de histéresis. 
El trabajo por unidad de volumen para que la inducción
evolucione desde el punto “a” hasta el “b” siguiendo la curva de
histéresis será: , que es el área( ) ,w H dBB a b
a
b
= ⋅∫
r r
comprendida por el eje “B” y la curva de histéresis entre los puntos “a” y “b”; que será
positiva,
al serlo el campo y . La contribución debida al tramo “b - c”, será también el
r
H dB
r
( ) ,cwB b
área encerrada por el eje “B” y la curva de histéresis entre “b” y “c”; cuyo signo será ahora
negativo por tener sentidos opuesto el campo y la variación de la inducción . Siguiendo
r
H dB
r
el mismo razonamiento para los otros dos tramos, llegamos a que el trabajo, por unidad de
volumen, necesario para que el material describa el ciclo de histéresis es: , quew H dBB = ⋅∫
r r
coincide con el área del ciclo.
Como al finalizar cada ciclo, la material ferromagnético volverá a estar en las mismas
condiciones que cuando lo inició, la energía magnética del núcleo magnético será la misma, por
tanto representa la energía que se ha perdido y que aparecerá en forma de calorw H dBB = ⋅∫
r r
y representa la energía irreversible empleada en los cambios de la estructura de dominios que
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 17
Figura 18
se producen en el material ferromagnético.
Como hemos dicho que la energía que hemos calculado es la energía por unidad de volumen
perdida por ciclo en el núcleo del electroimán, la energía por pérdidas por histéresis dependerá
de la frecuencia de la corriente alterna.
Aplicaciones
Vamos a dedicar este apartado a revisar algunas aplicaciones tecnológicas de las propiedades que
conocemos del campo magnético en el vacío y en medios materiales. Los materiales
ferromagnéticos por su alta permeabilidad magnética serán en general el soporte empleado en
muchas de ellas, pues al ser alta su permeabilidad relativa supondrá una menor dispersión de las
líneas de campo. 
Grabación magnética
La grabación magnética de datos se fundamenta en la existencia de ciclo de histéresis en los
materiales ferromagnéticos. El conseguir que un material ferromagnético, generalmente una
ferrita, pase del estado de imanación de saturación “+MS” al estado “-MS”puede ser interpretado
como tener un “1” o un “0”, de esta forma, podremos trabajar en un sistema binario.
El material ferromagnético empleado se divide en pequeñas porciones, cada una de las cuales
es interpretada como un cero o un uno, que se distribuyen convenientemente ordenadas en un
soporte magnéticamente inerte en forma de disco o de cinta.
Según la forma del soporte nos encontramos con los discos duros, los discos flexibles y las
cintas. Los dos primeros tienen entre otras ventajas la posibilidad de acceder directamente a la
información. Esto es, el cabezal de lectura es móvil en dirección radial y se sitúa de esta forma
en la zona del disco donde se encuentra la grabación. Por el contrario la cinta magnética es de
acceso secuencial, lo que significa que necesariamente para leer una zona grabada, ésta tiene que
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 18
Figura 19
Esquema de la grabación de información magnética de datos. El sentido del campo aplicado a cada
región imanable hace que esta adquiera una imanación en un sentido o en el contrario
desplazarse hasta conseguir coincidir con la posición que ocupa el lector correspondiente.
Las superficies de estos dispositivos suelen estar recubiertas de partículas de materiales
ferromagnéticos cuyo ciclo de histéresis debe tener una alta imanación remanente para que la
grabación sea intensa y una alta coercitividad para impedir la fácil desimanación, de esta forma
la grabación sera más permanente y conseguir así que no se pierda la información por la acción
de campos externos incontrolados. Estas características se consiguen actualmente con aleaciones
de Ni y Co.
En el esquema indicado en la figura 18 podemos distinguir claramente entre el cabezal
magnético y el soporte magnético, en este caso una cinta magnética.
 El cabezal magnético consta de un electroimán, en cuyo núcleo de ferrita se arrolla un solenoide
que será recorrido por una corriente de pulsos. Como ya hemos dicho el soporte magnético tiene
un substrato no magnético sobre el que se deposita un material imanable generándose así tanto
zonas imanables como zonas no imanables o de transición.
Veamos cómo se realizan los procesos de grabación y lectura con este dispositivo.
 a) Proceso de grabación.
El cabezal magnético, dispositivo capaz de escribir y leer, es un núcleo de ferrita en forma de
herradura con polos magnéticos opuestos, separados por una distancia muy pequeña, entrehierro
o gap, de forma que áreas muy reducidas del medio imanable resulten afectadas en cada instante.
En el núcleo se arrolla una bobina por la que se hace pasar una corriente de pulsos que generará
un campo magnético que imanará la región imanable del soporte magnético que se encuentre en
el entrehierro en un sentido o en otro según sea el sentido de la corriente que generó el campo
magnético (figura 19). De esta manera es posible pasar de un estado al opuesto en el ciclo de
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 19
Figura 20
Esquema del proceso de lectura de información en un soporte magnético
histéresis de la partícula y obtener dos posibles imanaciones que se asocian a los dos estados
binarios, 0 o 1.
Las colecciones de datos se graban en círculos concéntricos al eje del disco llamados pistas.
Cada una de éstas se divide en un numero igual de segmentos llamados sectores. El cabezal de
escritura o lectura se mueve desde el borde exterior del disco hacia el anillo central, deteniéndose
justamente en la pista indicada.
La superficie del soporte contiene partículas magnéticos ordenadas formando matrices de
partículas y situadas en una película delgada sobre un soporte. Cada una de las matrices es
equivalente a un cero o un uno dependiendo del sentido de la imanación del medio. En estas
películas los dominios magnéticos ocupan todo el espesor de la capa y la dirección de su
imanación espontánea es siempre paralela a la superficie a la misma. Estas capas de un solo
dominio de espesor son las que se denominan películas magnéticas delgadas. En este sistema
bidimensional, en los procesos de imanación y desimanación, los momentos magnéticos
atómicos pueden cambiar de sentido en un intervalo de tiempo de 1 nanosegundo y orientarse
en la dirección del campo externo producido por el cabezal.
En el proceso de grabación, por la bobina del cabezal pasan impulsos de corriente, cada uno de
estos impulsos crean un campo magnético pulsante que orienta las partículas de las zonas
imanables con una orientación determinada, quedando sus polos alineados según la dirección del
campo (figura 19). Un cambio en el sentido de la corriente que circula por el cabezal supondrá
un cambio en el sentido del campo y en consecuencia en el sentido de la imanación de la zona
imanable que se encuentre en el entrehierro.
b)Proceso de lectura.
Se desplaza el cabezal sobre la superficie del disco móvil, que contiene matrices de partículas
imanadas situadas en las diferentes pistas y sectores. El entrehierro del cabezal encuentra en las
pistas, un mosaico matricial de pequeños imanes cuyos campos magnéticos van sucesivamente
actuando sobre el cabezal. Se producen variaciones del flujo en el entrehierro del cabezal y se
generan impulsos de inducción de flujo magnético en el gap del cabezal que dependerá de la
orientación de los pequenos imanes. 
Cuando dos de estos se encuentran con sus polos N o S enfrentados, su flujo magnético se
dispersa y penetra en el gap y al impulso de corriente generado se le asocia un 1. Cuando los
Fundamentos Físicos de la Informática
Campos magnéticos en medios materiales VII - 20
Figura 21
Representación del número 1.011
polos de las partículas están orientados N con S, entonces su campo magnético se concentra y
no penetra en el gap. El flujo detectado es mínimo y asociada con el valor 0 (figura 20).
En la figura 21 se observa como el 1 corresponde siempre a una matriz con pares partículas
imanadas en sentido contrario, lo que
incrementa el flujo en el entrehierro
del cabezal y el
0 se corresponde con
pares de partículas imanadas de igual
sentido, el que disminuye el flujo en el
entrehierro.
Los discos duros se fabrican de un
material "duro" platos de aluminio
rígidos recubiertos de una película de
partículas de substancia magnética.
Por el contrario, los disquetes, se
fabrican de material plástico,
recubierto también de partículas magnéticas. Como están expuestos a deformación por
temperatura y humedad, son denominados flexibles en contraste con los duros. La principal
diferencia entre los discos duros y flexibles esta en la velocidad. 3.600 rpm frente a 360 rpm, y
en la densidad de partículas imanadas proporcional a la cantidad de datos que pueden memorizar,
que es muy superior. Los discos duros cada vez se fabrican con mas capacidad, del orden del
Gigabyte.
Tema4Informatica_089.pdf
Corriente eléctrica IV - 1
 
Tema IV: Corriente eléctrica
Corriente y densidad de corriente eléctrica. La ecuación de continuidad. Corriente de
conducción. Ley de Ohm. Propiedades de conducción en los materiales: Conductores,
semiconductores y aislantes. Circuitos de corriente continua. Leyes de Kirchoff. Teoremas del
análisis de redes: superposición, Thevenin y Norton.
Bibliografía: “Física”. Paul A. Tipler Ed. Reverté. “Física Universitaria”. Sears. Zemansky. Young
Ed Addison-Wesley. “La naturaleza de las cosas”. Susan M. Lea. John Robert Burke Ed
Paraninfo
Conocimientos previos: Nociones sobre los circuitos en corriente continua. Nociones sobre el fenómeno de la
conducción eléctrica y el campo eléctrico.
Objetivos: Diferenciar elemento activos de pasivo en un circuito de corriente continua, desde el punto de vista
energético. Conocer el significado de los parámetros que caracterizan los elementos de un circuito de corriente continua.
Aplicar las leyes de los circuitos al análisis de los mismos. Fijar los conceptos de: densidad de corriente, campo
eléctrico no conservativo, conductividad y resistividad. Dar información sobre los procesos de conducción en los
distintos medios materiales.
Hasta ahora hemos tratado con cargas eléctricas en reposo, y hemos considerado los efectos que
producían sobre otras cargas o asociaciones de cargas o el comportamiento de los campos que
generaban. Vamos ahora a considerar cargas que se mueven para caracterizarlas y entender
algunos de los efectos que producen y cuales son las causas que provocan ese movimiento.
Corriente y densidad de corriente eléctrica.
El movimiento de las cargas es lo que conocemos como corriente eléctrica, y el proceso por el
que se transporta la carga se denomina conducción. Para caracterizar este fenómeno, se define
la magnitud intensidad de corriente, como la velocidad a la que se transporta la carga por un
punto dado en un medio conductor. Representa, por tanto, la variación neta de la carga en el
tiempo en un punto dado
 I dQ
dt
=
La unidad empleada para medir esta nueva magnitud, la intensidad, serán culombios/segundo,
que recibe el nombre de amperio.
Consideremos un medio conductor con un solo tipo de portador de carga, cada uno de los cuales
posee una carga q, decimos esto pues a lo largo del tema veremos que existen conductores que
tienen varios tipos de portadores de carga, que contiene “n” de ellos por unidad de volumen y
supondremos que todos tienen la misma velocidad . Para calcular la corriente que atraviesarv
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 2
Figura 1
Los electrones contenidos en el
paralelepípedo cuya área de la base
es y su arista atravesarán
r
S
r
v t⋅ ∆
la superficie en el tiempo 
r
S ∆ t
una cierta superficie imaginaria “S” en su volumen, esto es la carga que pasa por ella en la
unidad de tiempo, razonaremos de la siguiente manera.
Sea el vector que caracteriza la superficie a través de la cual fluye la corriente (fig. 1). En el
r
S
intervalo de tiempo t, el espacio recorrido por cada portador es , luego las cargas que∆ v t∆
atravesarán la superficie en el intervalo serán las contenidas∆t
inicialmente dentro del prisma oblicuo de la figura. El volumen
del paralelepípedo será el producto escalar de los vectores
superficie de la base y arista: , por tanto, el número
r rS v t⋅ ( )∆
total (N) de partículas que se encuentran en este volumen será el
producto del número de cargas por unidad de volumen del
conductor “n” por el valor del volumen, es decir:
, lo que supone una carga[ ]N n S v t= r r( )∆
 Q n q S v t=
r r( )∆
la corriente a través de la superficie será:
 I S Q
t
q n S v( ) = =∆
∆
r r
La expresión de I(S) está formada por una parte característica del
medio conductor que hemos considerado (la carga que poseen los portadores, el número de ellos
por unidad de volumen y lo fácil o difícil que es para esos portadores moverse en el volumen del
conductor) y por otra parte que la hemos fijado nosotros y es meramente geométrica, S.q n vr
Para desglosar estas dos contribuciones introducimos una nueva magnitud, la densidad de
corriente , lo que nos permite escribir la intensidad en la forma 
r rJ n q v=
 I J S= ⋅
r r
La densidad de corriente la mediremos en amperios m-2.
Para llegar a esta expresión, hemos considerado que las cargas atraviesan una superficie
cualquiera “S”. Si queremos que nuestro resultado sea más fiable, debemos considerar una
superficie diferencial, pues cuanto más pequeña sea la superficie que analicemos, serán más
ciertas todas las aproximaciones que hemos realizado, de forma que de manera más general
debemos escribir:
 I J ds
S
= ⋅∫
r r
A pesar de todo, en la práctica es difícil aceptar que todos los portadores tengan la misma
velocidad . Es más realista interpretar la densidad de corriente en la forma:rv
 
r rJ n q v= < >
donde es el valor medio de la velocidad de arrastre de los portadores.< >
rv
Sabemos, que la intensidad es la variación temporal de la carga que atraviesa un conductor, lo
que expresaremos por: . Consideremos un volumen “ ” cualquiera en el interior dei t dQ
dt
( ) = τ
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Corriente eléctrica IV - 3
Figura 2
Si el conductor es lineal la
densidad de corriente y el
campo eléctrico tendrán una
variación como la representada
un conductor, en él existirá una carga , de modo que si por ese volumen circula unaQ d= ∫ ρ ττ
corriente podemos escribir , donde la derivada total de la carga se tienei t dQ
dt t
d( ) = = ∫∂∂ ρ ττ
que transformar en derivada parcial al depender la densidad de carga también de la posición en
la que nos encontremos.
Si en ese volumen queremos relacionar la intensidad de corriente que lo atraviesa, con la
densidad de corriente escribiremos: , siendo “ ” la superficie que cierra eli t J ds( ) = −∫
r r
Σ
Σ
volumen “ ” que estamos considerando, e indicando el signo negativo que el sentido del vectorτ
superficie es en todos los puntos hacia el exterior del volumen. La propiedad transitiva de la
igualdad , nos permite obtener la ecuación de continuidad:
 
r r
J ds
t
d
Σ∫ ∫= −
∂
∂
ρ τ
τ
siendo, como hemos dicho, el volumen limitado por la superficie . τ Σ
De la expresión anterior se desprende que si no existe variación temporal de la densidad de carga
(por cada carga que sale del volumen entra una nueva) la densidad de corriente será una
constante lo que se conoce como corriente estacionaria,.
Corriente de conducción. Ley de Ohm
Acabamos de introducir el concepto de corriente eléctrica como el movimiento a lo largo de una
dirección de portadores de carga, generalmente electrones, en el volumen de un conductor. Está
claro que si los electrones se mueven dentro del volumen de un conductor es porque existe una
fuerza que los pone en movimiento en su propia dirección y aunque “choquen” con otros
electrones o con los átomos que constituyen el material, mantienen esa velocidad promedio de
la que hemos hablado. Según sabemos, un campo eléctrico ejerce sobre las cargas una fuerza en
su dirección (será en el mismo sentido si son cargas positivas y en sentido contrario si son cargas
negativas) podemos por tanto establecer una
relación causa efecto entre el campo eléctrico y la
corriente que aparece, que escribiremos de la forma:
 
r r
J E= σ
que se conoce como ley de Ohm.
La constante de proporcionalidad, que depende del conductor, la
denominaremos conductividad del medio y se medirá en queA m
V m
−
−
2
1
se denomina siemens m-1 (la implantación del siemens como unidad
de conductividad es menor, se sigue usando el ). CabeΩ− −1 1m
esperar, que en el caso general la dependencia sea complicada, por
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Corriente eléctrica IV - 4
lo que vamos a centrarnos en el caso más simple, aunque de gran significación práctica, los
medios lineales homogéneos e isótropos.
- Un medio lineal, es aquel que presenta una relación lineal entre la densidad de
corriente y el campo como la representada en la figura 2, lo que permite hablar de una
conductividad cuyo valor, al ser independiente del campo, será . σ σ α= tag
- Un medio es homogéneo si presenta las mismas propiedades en todos sus puntos. En
nuestro caso equivale a indicar que no depende de la posición.σ
- Un medio es isótropo si sus propiedades son las mismas en todas las direcciones, esto
es, si no existen direcciones privilegiadas como ocurre, por ejemplo, en los materiales
amorfos. En estas condiciones la conductividad es una magnitud escalar.
Por tanto para medios conductores lineales, homogéneos e isótropos, el parámetro que
caracteriza macroscópicamente su comportamiento conductor, será la “constante” conductividad
( ). σ
Vamos a dar una forma conocida a la Ley de Ohm que acabamos de escribir, para ello vamos a
hacer uso de nuestra experiencia con los fenómenos de conducción, que seguro tiene que ver con
la conducción de la corriente eléctrica doméstica. Consideremos un conductor filiforme, en él
tanto el campo eléctrico como la densidad de corriente y el vector superficie tienen la misma
dirección en todos los puntos, por tanto el producto escalar del vector densidad de corriente por
el vector superficie transversal del hilo será el producto de los módulos, con lo que podemos
prescindir del carácter vectorial de estas magnitudes y trabajar exclusivamente con sus módulos
y los signos que correspondan. De la definición de intensidad obtenemos = J S =I J S= ⋅
r r
σ E S
= , Siendo a la diferencia de potencial que genera el campo eléctrico y “L” laσ
∆V
L
S ∆V
longitud del hilo conductor. La expresión anterior la podemos reordenar, separandoI V
L
S= σ ∆
las magnitudes que dependen del material del que esté constituido el conductor y
obtenemos de dondeI S
L
V= σ ∆
 ∆V L
S
I= ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
σ
la magnitud entre paréntesis se conoce como resistencia del hilo conductor “R”, que se medirá
en ohmios. Todo ello nos permite escribir
 ∆V R I=
que se conoce como ley de Ohm para los circuitos eléctricos.
La resistencia del conductor que hemos introducido, normalmente se escribe como: ,R L
S
= ρ
donde hemos introducido una nueva magnitud la resistividad del material “ ” cuya unidad enρ
el S.I. será (voltio metro)/ amperio, o simplemente ohmio metro ( ). Esta claro que laΩ ⋅m
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Corriente eléctrica IV - 5
resistividad “ ” es la inversa de la conductividad “ ”, y por tanto también lo serán susρ σ
unidades, de ahí que como ya hemos dicho más arriba aún hoy, es muy normal encontrarnos
conductividades expresadas en ohmio-1.m-1, que muchas veces lo encontraremos escrito como
mho.m-1.
En general la resistividad (o la conductividad) depende de la temperatura de diferente forma,
según sea la naturaleza del conductor, por eso se define el coeficiente térmico de la resistividad
(en terminología inglesa, RTC), como:
 α
ρ
ρ
=
1 d
dT
Si la resistividad aumenta con la temperatura, este coeficiente será positivo (resistencia PTC),
como ocurre en los metales, y si disminuye, esto es, si la conductividad disminuye cuando
aumenta la temperatura, el coeficiente será negativo (resistencias NTC), como ocurre en los
semiconductores.
Normalmente, para metales, se toma una temperatura de referencia, T0, y empleando el valor de
la resistividad a esta temperatura, , se utilizaρ0
 α
ρ
ρ
0
0
1
0
= ⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ =
d
dT T T
Para pequeñas variaciones, T - T0, de la temperatura se puede considerar que la resistividad varía
con la temperatura en la forma: . Para intervalos mayores se recurre a( )[ ]ρ ρ α= + −0 0 01 T T
una expresión más general:
 ρ = + + +a b T c T2 ...
Problema 1.- La variación de la resistividad del cobre puro con la temperatura viene dada en la siguiente tabla. Calcular
el coeficiente térmico de la resistividad para el cobre.
Como no nos dan temperatura respecto de la que referir el
coeficiente térmico, lo haremos respecto de la mayor, que es
prácticamente el cero Celsius. 
Al ser unos datos numéricos no podemos calcular la derivada de
la resistividad respecto de la temperatura, debemos por tanto
hacerlo como el incremento de la resistividad dividido por el
incremento de la temperatura para dos valores de esta. Tomando
los valores correspondientes a las temperaturas 275 K y 125 K,
tenemos:
= ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦275
1
T
∆ρα
ρ ∆
8 8
8
1 1,59 10 0,583 10
275 1251,59 10
− −
−
× − ×
−×
= K-134,22 10−×
Tomemos ahora las temperaturas 275 K y 175 K:
 810 mρ× Ω× T (K)
0,583 125
0,916 175
1,25 225
1,59 275
Tabla 1
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Corriente eléctrica IV - 6
= K-1
8 8
8
1 1,59 10 0,916 10
275 1751,59 10
α
− −
−
× − ×
=
−×
34,24 10−×
Tomando ahora la pareja de datos que nos falta tenemos:
 = K-1
8 8
8
1 1,59 10 1,25 10
275 2251,59 10
α
− −
−
× − ×
=
−×
34,28 10−×
Como vemos el resultado es el mismo en los tres casos ( la diferencia, en el caso más desfavorable, es del orden de
8 centésimas en 4 unidades, es decir de 8 en 400, del 2%).
En los semiconductores, como su conductividad varía con la temperatura de forma exponencial
según una ley del tipo , los resultados serán completamente distintos, si bien laσ σ
ε
=
−
0 e
A
kT
mecánica de cálculo y los principios empleados serán idénticos, obteniendose resultados como
una mayor conductividad al aumentar la temperatura.
 Propiedades de conducción en los materiales: Conductores, semiconductores y aislantes
Pasemos ahora al estudio microscópico de la conducción. Sabemos que la corriente se puede
entender como el arrastre por un campo eléctrico de unos “portadores" de carga como son los
electrones (conductores electrónicos como metales y semiconductores) o los cationes y aniones
(conductores iónicos como por ejemplo los electrolitos y los gases ionizados).
En ausencia de campo los portadores están sometidos a un movimiento totalmente desordenado
consecuencia de la agitación térmica (los portadores se van a comportar como las moléculas de
un gas, que tienen una energía cinética promedio que depende de la temperatura absoluta, pero
su dirección y sentido están distribuidos totalmente al azar) Al aplicar un campo eléctrico un
portador de carga “q” y masa “m” estará sometido a una aceleración:
 a F
m
q E
m
electrica= =
siendo ahora la velocidad de cada portador suma de dos términos, el correspondiente a la
agitación térmica, vter, que por ser totalmente al azar no dará lugar a un transporte neto de carga
en ninguna dirección, y la velocidad de arrastre por el campo, varr, que por ser ordenada (en la
dirección del campo eléctrico aplicado) dará lugar a una corriente eléctrica de densidad, en su
misma dirección cuyo valor será:
 J = n q varr 
Si el portador no está sometido a ningún tipo de oposición al movimiento ordenado, su
velocidad, y en consecuencia la corriente, aumentará con en tiempo, varr = a t. Sin embargo,
sabemos que al aplicar una batería a un conductor se produce una corriente estacionaria, cuyo
valor nos lo da la ley de Ohm, de forma instantánea prácticamente y que este valor se mantiene
mientras el campo se mantenga constante. Para resolver esta aparente contradicción se aceptó
como aproximación la existencia del tiempo de relajación “ ” que es una característica delτ
proceso de frenado u oposición al movimiento de arrastre de los portadores y que permite poner:
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Corriente eléctrica IV - 7
 v a q E
marr
= =τ τ
siendo en consecuencia
 J n q
m
E= ⋅
2
τ
Para materiales isótropos el tiempo de relajación coincide con el tiempo libre medio entre
colisiones.
Introducido el tiempo de relación como parámetro característico a escala microscópica de unτ
medio conductor, vemos a introducir ahora otro parámetro, la movilidad “ ” de un portadorµ
que definimos como la relación entre la velocidad estacionaria de arrastre que adquiere y el
módulo del campo que actúa sobre el mismo.
 v Earr = µ
resultando la relación entre ambos parámetros microscópicos
 µ τ=
q
m
La movilidad en el S.I. se mide en m2 V-1 s. Conviene hacer notar que la relación vectorial
 
r rv Earr = µ
implica que es negativa para portadores con carga negativa, y positiva para los portadoresµ
positivos.
Para terminar vamos a relacionar el parámetro macroscópico conductividad, con el microscópico
movilidad, ya que recogiendo las últimas relaciones
 
r r r rJ E n q v n q E= = =σ µ
para conducción debida a un solo tipo de portador, resultando:
 σ µ= n q
Si tenemos varios tipos de portadores obtenemos:
 σ µ= ∑n qi i i
i
Para el caso frecuente, de tener sólo dos tipos de portadores, de cargas iguales y opuestas, q-=-q+,
tomando las movilidades en valor absoluto se tiene la expresión
 σ µ µ= ++ + + − −q n n( )
ya que el producto es siempre positivo, tanto para portadores de carga positiva comoq µ
negativa.
Problema 2.- Por un hilo de cobre pasa una densidad de corriente de 103 A/m2. Suponiendo que cada átomo contribuye
a la conducción con un electrón.
a) Calcular la velocidad de arrastre electrónica correspondiente a esta densidad de corriente.
Utilizando la conductividad observada (5.9 x 107 mho m-1).
b) Calcular el tiempo medio de colisión para el electrón de cobre.
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Corriente eléctrica IV - 8
c) Si la temperatura es de 27º C. Comparar la velocidad térmica a esta temperatura con la obtenida en el primer
apartado. 
Peso atómico del cobre 63.6. Densidad del cobre 8.92 gr/cm3. Número de Avogadro 6.02 × 1023.Constante de
Boltzmann 1.38 × 10-23 j K-1
 Datos
Apartado a)
Densidad de corriente (J) = 103 a m-2
Carga de los portadores (electrones) q = 1.6 × 10-19 c
Peso atómico del Cu (M) = 63.6
Densidad del Cu (d) = 8.92 g cm-3 = 8.92 × 103 kg m-3
Número de Avogadro (NA) = 6.02 × 1023
Sabemos que la densidad de corriente cumple: . Como nos hablan de un hilo conductor, los vectores
r r
J nq v=
densidad de corriente y superficie son dos vectores paralelos, lo que nos permite escribir: J = n q <v>. De la expresión
anterior, conocemos: el valor de la densidad de corriente, la carga de los portadores y para poder calcular la
velocidad de arrastre nos hace falta conocer el número de portadores por unidad de volumen de la muestra. 
Para calcular el número de portadores recordaremos que un mol de una sustancia tiene un número de moléculas
iguales al número de Avogadro, como nos dicen que cada átomo de Cu contribuye a la conducción con un único
electrón, el número de moléculas (que coincide con el de átomos al ser una molécula monoatómica) será a su vez el
número de portadores.
Por tanto n (número de portadores / unidad de volumen) =número de átomos / unidad de volumen = 
= = = = .
numero de moleculas
unidad de volumen
numero de moles N
unidad de volumen
A×
masa
masa molecular
N
unidad de volumen
A× densidad
masa molecular
N A×
 = 8.45 × 1028 portadores m-3n
d
M
N A= ×
Luego la velocidad <v> = = 7.4 × 10-8 m s-1
J
nq
 <v> = 7.4 × 10-8 m s-1
b) Conductividad ( ) = 5.9 × 107 mho m-1σ
Sabemos que la conductividad es: , siendo la movilidad de los portadores, que está relacionada con elσ µ= nq µ
tiempo medio de colisión “ ”, por la expresión: , por tanto: = 2.5 × 10-14 sτ µ τ=
q
m
τ
σ
=
m
nq2
 τ = × −2 5 10 14. s
c) Temperatura de la muestra T = 300 K
Sabemos que la temperatura de la muestra se refleja por la velocidad de los portadores y que se cumple que la energía
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Corriente eléctrica IV - 9
Figura 3
Distribución de la energía potencial del electrón en un átomo
“hidrogenoide”
térmica del sistema es su energía cinética: ; por tanto: , sustituyendo valores obtenemos:
1
2
3
2
2mv k T= v
k T
m
=
3
vT = 1.18 × 105 m s-1
Que si la comparamos con la de arrastre debida a la conducción <v> = 7.4 × 10-8 m s-1, observamos que existen ocho
órdenes de magnitud de diferencia a favor de la velocidad térmica. ¿Cómo puede existir conducción si la velocidad
térmica es mucho mayor que la de arrastre?. La respuesta es fácil si bien la velocidad al azar es mucho mayor, la de
conducción al tener siempre en la misma dirección y sentido supone un fenómeno continuo.
Problema propuesto. Calcular la conductividad de una disolución acuosa de cloruro sódico 0,1 N si las
movilidades de los iones en disolución acuosa son 45,1 x 10-5 cm2 s-1 V-1 y 61.9x10-5 cm2
s-1 V-1 para los iones sodio y cloruro respectivamente y se supone totalmente ionizado el
soluto.
Veamos con algún modelo sencillo como podemos explicar el comportamiento de los distintos
materiales frente al fenómeno de la conducción, para lo que utilizaremos dos modelos dos
formas de explicar la realidad, para poder entender comportamientos distintos de los distintos
medios materiales. Empezaremos con el modelo del gas de electrones libres para metales, para
continuar con los modelos de bandas energía que son más útiles a la hora de explicar el
comportamiento de dieléctricos y semiconductores.
El modelo del gas de electrones para metales
Para interpretar la elevada conductividad que presentan los metales, Drude (1900) propuso
considerar estos materiales dotados de una gran concentración de electrones libres en su interior,
aunque ligados al metal, en el sentido de no tener energía suficiente para abandonar su volumen,
aunque si pueden moverse libremente en él.
Este modelo, que se conoce como modelo del gas electrónico, da una explicación aceptable de
la realidad sin hacer uso de la
Física Cuántica. Se supone que
mientras los electrones más
externos se pueden mover por el
material, los internos permanecen
ligados a los núcleos formando
una red de iones positivos fijos
entre los que se mueven los
electrones externos.
Veamos el razonamiento completo
con un ejemplo para fijar ideas.
Con s i d e r e mo s u n me t a l
monovalente como es el sodio
cuyo número átomo es 11, la
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Corriente eléctrica IV - 10
Figura 5
Distribución de energía potencial de los electrones en el seno de un metal.
Figura 4
Distribución de la energía potencial de un electrón cuando están
dos átomos hidrogenoides cercanos.
distribución de los once electrones de su corteza nos da una primera capa llena con dos
electrones, una segunda llena con ocho electrones y una tercera capa en la que sólo existe un
electrón, luego podemos considerar cada átomo de sodio como una carga positiva de 1 protón
(suma de los +11 protones del núcleo con los -10 electrones de las capas internas) y un electrón
girando en la órbita característica de la tercera capa. La visión "hidrogenoide" de este átomo
polielectrónico (número atómico 11) consiste en considerar el electrón más externo (el décimo
primero) y el ión positivo (carga +e) que supondremos fijo en el origen de coordenadas. La
energía potencial de un electrón (carga -e) a una distancia “r” del ión positivo, situado en el
origen, viene dada por el producto del valor del potencial debido al ión en “r”, por la carga del
electrón:
 W e
r
= −
2
04π ε
Luego al energía potencial del electrón
varía con la inversa de la distancia al
núcleo, para cualquier dirección del
espacio. Sustituyendo valores obtenemos:
 W
r
eV= − 14 4,
donde la energía viene expresada en “eV”
(electrón-voltios) para “r” en Angström
Si ahora consideramos dos átomos iguales
a una distancia
suficientemente corta, por
ejemplo 4 , las curvas de energíaA
0
potencial se superponen en la forma que se
muestra en la figura 4.
Considerando finalmente el sólido completo, tendríamos una distribución de energías como la
que se muestra en la figura 5, obtenida como la superposición de las distribuciones de potencial
debidas a los distintos “núcleos” situados en los puntos verdes de la figura.
Los electrones de conducción del metal serán los que tengan energías superiores a la
correspondiente al "fondo" del pozo de potencial (valor de los máximos de potencial
intermedios) por lo que se pueden mover libremente en el interior del metal. Para salir al exterior
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Corriente eléctrica IV - 11
Figura 6
WF intervalo de energías ocupado por electrones de
conducción
Figura 7
Representación esquemática de tres estados energéticos
permitidos que se desdoblan al acercarse átomos iguales
necesitarán tener la energía suficiente para superar la barrera de potencial que existe en la
superficie, lo que se puede favorecer aportando energía al sistema, bien calentando (emisión
termoeléctrica), bien iluminando (emisión fotoeléctrica), aplicando un campo. La situación en
ausencia de toda perturbación, por ejemplo a 0°K y en la oscuridad, es como se muestra en el
esquema de la figura 6.
El trabajo de extracción Wext se define
como la energía mínima para sacar un
electrón del metal y la energía de Fermi
WF, que es la energía máxima que puede
tener un electrón de conducción en el
cero absoluto, por ejemplo en el sodio
Wext = 2,3 eV; WF = 3,12 eV
El modelo de bandas de energía.
El modelo de bandas, responde a una teoría muy elaborada que ha servido de gran ayuda en la
comprensión del comportamiento electrónico los materiales. Si bien su estudio detallado implica
conocimientos de Física Cuántica, haremos una descripción del mismo empleando únicamente
los conceptos más básicos que se deben poseer tras haber superado los estudios preuniversitarios.
Sabemos que en un átomo aislado sus electrones sólo pueden ocupar un cierto número de niveles
de energía separados por grandes zonas de energías prohibidas que no pueden ser ocupadas como
estados energéticos. Por eso cuando describimos la configuración electrónica de un átomo
colocamos cada nuevo electrón de su corteza en un estado energético distinto (1s1, 1s2, 2s1, 2s1,
2p1, 2p2 ...) y tantas veces como escribamos la configuración electrónica del mismo átomo tantas
veces como escribiremos la misma estructura. Si consideramos un sólido, la proximidad entre
átomos hace que se modifiquen ligeramente los valores de energía permitidos de forma que para
cada posible “posición de un electrón aparecen varias posibles posiciones en los átomos
contiguos que pueden ser ocupadas
por los electrones de ambos átomos,
por lo que decimos que los niveles
energéticos en ambos átomos “se han
desdoblado”. Como en un material la
cantidad de átomos implicados es
enorme, los desdoblamientos de los
niveles permitidos forman bandas casi
continuas de energías permitidas.
Estos desdoblamientos dependen
además directamente del solapamiento
de las funciones de onda de los
electrones, y serán tanto más
importantes cuanto mayor sea la
energía de los electrones, es decir,
cuanto más externos sean.
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Corriente eléctrica IV - 12
Figura 8
Esquema de bandas de energía para un
aislador
Figura 9
Esquema de bandas de energía de un conductor
Se encuentra como hecho real, que apoya esta visión simplificada, que la anchura de las bandas
depende de las distancias interatómicas y no de la densidad de átomos. La densidad de átomos
influye en el número de niveles de energía permitidos dentro de cada banda, y como la cantidad
de átomos en un material es tan elevada, estas bandas son prácticamente continuas.
Estas bandas de energías permitidas están separadas por espacios de energías prohibidas. Como
en la conducción los posibles portadores en los que estamos interesados sólo son los de energías
superiores, normalmente nuestro interés estará centrado en las dos bandas superiores que son las
denominadas Banda de Valencia (BV) y Banda de Conducción (BC).
Acabamos de ver que en una banda existen diferentes posibles valores energéticos y, por tanto,
cada uno de estos valores puede estar ocupado por un electrón. Cuando cada valor posible está
ocupado por un electrón decimos que la banda está llena. Cuando existen valor no ocupados ,
los electrones de una banda pueden moverse entre los diferentes niveles.
Es un hecho interesante a destacar que si una banda
está llena (todos sus niveles energéticos están
ocupados) esa banda no contribuye a la conducción.
En efecto, para que hubiera posibilidad de conducción
por los electrones de esa banda, estos deberían tener la
posibilidad de pasar a niveles de energía superiores,
energía que adquirirían del campo eléctrico, pero si
están todos los niveles ocupados y la siguiente banda
de energía está separada por una energía que no se
puede cubrir por el campo actuante (caso normal), la
energía aportada por el campo se invierte toda en
colisiones con la red y no se efectúa conducción.
En forma análoga una banda completamente vacía, por
lo mismo, no puede aportar nada a la conducción, no
hay electrones que puedan aumentar su energía y moverse. En contraposición una banda
parcialmente llena, contribuye a la conducción, pues
sus electrones están capacitados para saltar a niveles
de energía superiores, adquiriendo la energía del
campo eléctrico.
Con todo esto a la vista, y fijándonos en las bandas de
valencia y conducción, los esquemas correspondientes
a un aislador y a un metal serían los representados en
las figuras 8 y 9.
En un conductor se confundirían las bandas de
valencia y de conducción, quedando en ésta estados
permitidos no ocupados.
En un aislador la B. V. está completamente ocupada y la B.C. completamente vacía, existiendo
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Corriente eléctrica IV - 13
Figura 10
Esquema de la producción de un
hueco en la banda de valencia
entre ambas un salto (“gap”) de energías prohibidas, Eg,
Semiconductores
Existen materiales denominados semiconductores, que a bajas temperaturas tienen un esquema
de bandas equivalentes al de los aisladores, pero el “gap” de energías prohibidas Eg es pequeño,
de forma que subiendo la temperatura, la energía térmica es capaz de hacer saltar algunos
electrones de la banda de valencia a la de conducción, con lo que estos materiales conducen,
aunque sólo sea pobremente, la electricidad.
La conducción en un semiconductor tendrá lugar por el movimiento de los electrones que han
sido excitados energéticamente hasta la banda de energía
originalmente vacía, o banda de conducción. Pero además,
este salto del electrón provoca la aparición de un hueco, o
defecto de un electrón, en la banda de valencia. La banda de
valencia deja de estar totalmente llena y contribuye por tanto
al proceso de conducción. Por esta razón para describir el
fenómeno de conducción los portadores que tendremos que
considerar serán: los electrones en la banda de conducción, y
los huecos (ausencia de electrones en la banda de valencia
por haber saltado a la banda de conducción) en la banda de
valencia.
Conviene dejar bien claro, que el "hueco" no es una partícula
eléctrica con existencia real, sino que es un concepto que
introducimos para expresar de forma cómoda la conducción
de carga eléctrica en la banda de valencia. En lugar de referirnos a los muchos electrones de la
banda de valencia, nos fijamos en los pocos huecos que se han producido en ella. El "hueco"
considerado como una partícula cargada vendrá caracterizado por una cierta masa que nos
reflejará su respuesta dinámica a una fuerza externa como puede ser la aplicación de un campo
eléctrico, y una carga que será igual en magnitud y de signo opuesto a la del electrón, ya que el
hueco se desplazará en la dirección del campo (esto es los electrones "rellenan" el hueco
moviéndose en sentido opuesto al
campo por el signo negativo de su carga).
Los materiales que responden a este tipo de conducción se denominan semiconductores
intrínsecos, como ejemplos de semiconductores intrínsecos tenemos:
 1) "sustancias elementales" como son el Si y Ge (Grupo IV) y
 2) “semiconductores compuestos” como el arseniuro de galio AsGa (compuestos III-V)
o el sulfuro de cadmio, SCd (Compuestos II-VI).
Para terminar conviene indicar que en la práctica se puede conseguir modificar
extraordinariamente la conductividad de un semiconductor impurificándolo con sustancias
adecuadas en cantidades muy pequeñas. 
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 14
Figura 11
Figura 12
Así por ejemplo, si añadimos a un semiconductor de silicio una pequeñísima concentración de
As, material del grupo V, este átomo tiene un electrón en exceso con respecto al Si (grupo IV)
lo que implica la aparición de niveles energéticos,
los correspondientes al electrón extra, muy próximos
a los permitidos en la banda de conducción del
silicio por lo que es muy fácil que esos “electrones
extra” pasen a esta banda, lo que representa un
aumento de portadores n, o lo que es lo mismo que
aumente el número de electrones que se pueden
mover en la banda de conducción del silicio
aumentando por tanto la conductividad. Este tipo de
impurezas se llama “tipo n” por aumentar la concentración de electrones, o impurezas dadoras,
porque ceden un electrón a la banda de conducción, o por exceso, ya que tienen un exceso de
electrones respecto al material intrínseco.
Del mismo modo, la adición de impurezas del grupo III (B, In, Ga) a un semiconductor
intrínseco (Ge, Si) da lugar a un semiconductor extrínseco “tipo p”, por aumentar la
concentración de huecos en la banda de valencia
del semiconductor intrínseco. En este caso, los
niveles energéticos que origina la impureza son
muy próximos a la banda de valencia lo que
permite que electrones de la banda de valencia
pasen con facilidad a los estados energéticos
vacíos y permitidos del nivel de aceptores dejando
un hueco en dicha banda de valencia, que podrá
ser ocupado por un nuevo electrón de esa banda al
que el campo actuante le proporcione la energía suficiente. Lo que provoca una conducción por
huecos en la banda de valencia. 
Estos semiconductores se denominan extrínsecos. La contribución del material con el que
impurificamos la muestra (dopamos al semiconductor) es aumentar considerablemente la
conductividad respecto del semiconductor intrínseco, ya que incorporación de estados
energéticos permitidos muy próximos a la banda de valencia en el caso de impurezas aceptoras
(semiconductores tipo p) o muy próximos a la banda de conducción en el caso de impurezas
dadoras (semiconductores tipo n) permiten el movimiento en la banda de valencia de huecos o
de electrones por la banda de conducción respectivamente.
Circuitos de corriente continua
Sabemos que la corriente eléctrica la podemos entender como el paso de portadores de carga
que, con mayor o menor libertad, se puedan mover por un medio determinado debido a la fuerza
que ejerce sobre ellos un campo eléctrico. Es claro entonces que un mismo campo eléctrico
actuando sobre distintos medios producirá corrientes de distinta magnitud según la oposición o
resistencia que oponga el medio al movimiento de los portadores de carga a su través. La primera
consecuencia a que llegamos es que, debido a la "fricción" que va a oponer el medio al paso de
los portadores, cierta cantidad de la energía eléctrica se va a convertir en energía calorífica,
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 15
fenómeno comúnmente conocido como efecto Joule. Además de este tipo de energía, la energía
eléctrica se puede convertir en otros tipos, como por ejemplo en energía mecánica si la corriente
se aprovecha para mover un motor. A todos estos tipos de elementos que colocados en un
circuito van a suponer un consumo de energía los denominaremos elementos pasivos y como
elemento pasivo típico tenemos el caso de las resistencias.
Si por un circuito queremos que circule una corriente eléctrica estacionaria (mantenida en el
tiempo) dado que en un circuito siempre existen elementos pasivos, lo que en lenguaje ordinario
llamamos elementos que consumen energía eléctrica, es preciso que existan elementos que
suministren energía eléctrica; a estos elementos los denominaremos elementos activos. El
funcionamiento de estos dispositivos es el transformar otro tipo de energía en eléctrica. A
continuación citamos varios ejemplos de estos elementos:
a) Intercambio de energía química en eléctrica. Dispositivos basados en este tipo de
transformación son las pilas y baterías, elementos de gran aplicación en la producción
de energía eléctrica.
b) Transformación de energía mecánica en eléctrica. La dinamo, por ejemplo, es un
transductor de energía mecánica en eléctrica con gran interés también como generador
de este tipo de energía; otro ejemplo lo constituye un micrófono, que transforma la
energía de vibración (debida al sonido) en señales eléctricas. Este último dispositivo no
es útil como fuente generadora de energía eléctrica que supla consumos de energía de
otros elementos y se aplica a los fines específicos que todos conocemos.
c) Transformación de energía luminosa en eléctrica. Ejemplo típico lo constituyen las
células fotoeléctricas.
d) Transformación de energía térmica en eléctrica. Como elemento que aprovecha
directamente esta transformación tenemos por ejemplo el termopar, útil en termometría.
Dos conceptos básicos relativos respectivamente a los ya citados de elementos pasivos y activos
son los de diferencia de potencial y fuerza electromotriz, que simbólicamente denotaremos por
“V” y “ ” y que definimos a continuación.ε
Diferencia de potencial entre dos puntos de un elemento pasivo, es la energía que debido al paso
de la unidad de carga a su través, se convierte de eléctrica en otra forma de energía.
Fuerza electromotriz de un elemento activo, es la energía que por el paso de la unidad de carga
a través del elemento, se transforma de otro tipo de energía a energía eléctrica.
Lógicamente tanto “V” como “ ” vienen en las mismas unidades, a saber, el julio/culombio enε
el sistema internacional, unidad que normalmente se conoce como voltio. Según lo dicho
anteriormente, la energía que se convierte en eléctrica al pasar una carga q a través de un
elemento activo de fuerza electromotriz será “ ”. Análogamente, la energía eléctrica queε q ⋅ ε
se disipa en un elemento pasivo al pasar una carga q, si es V la diferencia de potencial entre los
extremos del elemento, será “ ”. q V⋅
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 16
Figura 14
Diagrama I-V de un elemento
pasivo real
Figura 13
Diagrama I-V de un elemento pasivo
ideal
En la práctica es más útil sin embargo el concepto de potencia o variación con el tiempo de la
energía, que vendrá dada por la variación con el tiempo de la carga, es decir por la intensidad,
por la fuerza electromotriz o por la diferencia de potencial del elemento activo o pasivo. Así, la
potencia eléctrica que da un elemento activo de fuerza electromotriz cuando suministra unaε
corriente I será
 P I vatiossu istradamin ( )= ε
La potencia que se disipa en un elemento pasivo cuando entre sus extremos existe una diferencia
de potencial V y se encuentra recorrido por una corriente I es
 P V Idisipada =
Caracterización de los elementos de un circuito de corriente continua
Las magnitudes que se miden en un circuito son diferencias de potencial (o voltajes) e
intensidades, y a través de estas magnitudes podremos caracterizar a un elemento. Así, si
tenemos un elemento pasivo típico como es una resistencia, podremos ir conectando diferentes
voltajes entre sus extremos, y midiendo las intensidades que producen, con lo cual se obtendrá
un resultado como el reflejado en la figura 13.
Se observa que el diagrama V-I del elemento pasivo ideal
representado, es lineal. Como parámetro que nos caracteriza
a
este elemento se define la resistencia que es el cociente entre la
diferencia de potencial y la intensidad.
 R V
I
=
La unidad de resistencia en el Sistema Internacional, el
voltio/amperio, que como ya
sabemos se denomina ohmio.
En la práctica muchos
elementos son lineales dentro
de un rango grande de valores de V e I, mostrando no obstante
un carácter no lineal para valores elevados de V, tal como se
muestra en la figura 14.
Otros elementos que ya no son las resistencias usuales, aunque
sean elementos pasivos en un circuito, muestran un carácter
marcadamente no lineal, a lo cual se denomina normalmente
comportamiento "no óhmico".
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 17
Figura 15
Otro dato que es preciso conocer para caracterizar un elemento pasivo (supongamos una
resistencia de valor R para centrar ideas) es la potencia
máxima que puede disipar debido a su geometría y
constitución. Esta potencia máxima constituirá un límite para
la tensión en bornes de la resistencia y la intensidad que va la
a atravesar.
Según que el elemento se alimente con un generador de tensión
fija V o que por él pase una intensidad fija I, la expresión de la
potencia, P = VI, en conjunción con la ley de Ohm nos permite
obtener dos expresiones duales para la potencia en función de
los datos prefijados
 P V I V V
R
V
R
= ⋅ = ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
=
2
 P V I I R I I R= ⋅ = ⋅ =( ) 2
Debemos tener cuidado al usar estas expresiones, pues la primera de las ecuaciones la leeremos
diciendo que la potencia que disipa una resistencia es inversamente proporcional a la resistencia
y en la segunda que es directamente proporcional a la misma, por eso es mejor a la hora de
afrontar un problema emplear la forma general (P = VI) y según las condiciones del mismo
calcular la magnitud que desconozcamos con la ayuda de la ley de Ohm.
Así, por ejemplo, si de una resistencia, nos dan su valor R = 100 y que puede disipar comoΩ
máximo 1 vatio, la tensión máxima con que se puede alimentar será:
 V P R voltios= ⋅ = 10
Análogamente, la intensidad máxima será:
 I P
R
amperio= = 0 1,
de forma que evidentemente el producto V I quede igual a 1 vatio.
El darnos la potencia máxima, nos permite dibujar una "curva de seguridad" V I = Pmax = cte. en
un diagrama I-V.
De forma que los puntos encima de la curva de la figura 15 (sección rayada) son prohibitivos en
el sentido de peligrar el elemento (se fundirá). Si además conocemos el valor de la resistencia
del elemento, la intersección de su curva característica (línea punteada) con la curva de seguridad
nos dará los valores máximos de V e I con que se puede alimentar el elemento.
También los elementos activos precisan de caracterización. En el caso de una pila, por ejemplo,
en principio basta con decir cuál es su fuerza electromotriz; en este caso, si el elemento es ideal,
es decir, si entre sus extremos existe siempre una diferencia de potencial igual a la fuerza
electromotriz del elemento independientemente de la intensidad que suministre, su diagrama I-V
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 18
Figura 16
Representación del comportamiento de
un generador de tensión
Figura 17
Figura 18
Representación del
comportamiento de un
generador de intensidad
será el del elemento ideal de la figura 16.
Sin embargo es fácil comprender que un elemento de este tipo
no puede existir dado que a valores muy altos de la intensidad,
si la diferencia de potencial sigue siendo la fuerza electromotriz
, el producto , es decir, la potencia eléctrica que es capazε ε I
de suministrar la pila o batería, tendería a infinito. En el
diagrama anterior se ha dibujado también la característica de un
elemento real, que en el tramo inicial suele ser lineal. En este
tramo se cumple que
 V I ri= − ⋅ε
y a ri se denomina resistencia interna del elemento, que cuanto
más pequeña sea tanto más se aproximará al elemento ideal, al
generador de tensión ideal. Recalquemos entonces que la fuerza
electromotriz de un elemento activo es la diferencia de potencial que existe entre sus extremos
cuando suministra intensidad nula.
 ε =
=
V I 0
Todo ello debido, a que un
elemento activo real hay que
c o m p r e n d e r l o c o m o
asociación de un elemento
activo ideal de fuerza
electromotriz y de unε
elemento pasivo de resistencia ri. Lo que representamos esquemáticamente en la figura 17.
También los elementos activos tienen un límite en la potencia suministrada, lo cual, en el caso
de un generador de tensión, impone un límite en la intensidad que
pueden suministrar.
Otro tipo de elemento activo cuyo uso no está tan generalizado como
el de generador de tensión (batería o pila) y que se suele lograr a partir
de transformaciones adecuadas de ellos o con elementos de estado
sólido, son los generadores de intensidad, que dan una intensidad I
prácticamente constante, independiente de la tensión que suministren.
Su característica I-V sería la que se muestra en la figura 18.
Lógicamente, la resistencia interna de un generador de intensidad
tiende a infinito en el caso ideal, a la inversa de lo que teníamos en el
caso del generador de tensión cuya resistencia interna tiende a cero en
el caso ideal.
Leyes de Kirchoff.
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 19
Figura 19
Figura 20
Figura 21
Figura 22
Figura 23
Como sabemos los elementos activos y pasivos se suelen conectar entre sí formando lo que
denominamos circuito eléctrico. Si acabamos de decir que cualquier combinación que se nos
ocurra de elementos activos y pasivos forma un circuito, será
necesario imponer algún orden, en ese infinito horizonte, si
queremos poder calcular cual es la intensidad que circula por un
punto determinado o la caída de tensión que se produce entre
dos puntos del circuito, es decir si queremos analizar el circuito.
Para ello, emplearemos los conceptos de nudo y malla:
- Por nudo entendemos la intersección de 3 o más hilos
conductores, denominando rama al conjunto de
elementos que existen entre dos nudos consecutivos.
- Una malla es cualquier recorrido cerrado que se pueda realizar
en un circuito sin pasar dos veces por el mismo punto.
Así, si consideramos el circuito de la figura 20, que está formado por tres
resistencias y una pila, en la que hemos considerado independentemente
su resistencia interna, nos encontramos con la existencia de dos nudos
los puntos “A” y”B”, ya que sólo en ellos se encuentran tres hilos
distintos, mientras que existen en él tres mallas distintas, pues son tres
las distintas figuras cerradas distintas que podemos dibujar a partir del
circuito que hemos considerado y que hemos representado en las figuras
21, 22 y 23.
Para relacionar las magnitudes características de un circuito,
emplearemos las dos leyes de Kirchoff, una referida a los nudos y la otra a las mallas.
- La primera de ellas la ley de los
nudos, nos dice: “la suma de todas las
intensidades que concurren en un
nudo ha de ser igual a cero”.
 Ii =∑ 0
Esto tiene que ser así, ya que si la
suma es distinta de cero ( ),Ii ≠∑ 0
en el nudo se ganaría o se perdería
carga y ninguna de estas dos
posibilidades es aceptable. Es decir: la carga
eléctrica no se acumula en ningún sitio de la red, ya
que la corriente es estacionaria y tampoco se puede
perder.
- La segunda, ley de mallas, dice: "para cada malla del circuito se cumple que la suma algebraica
de las fuerzas electromotrices en una malla cualquiera de una red es igual a la suma algebraica
de los productos R I en la misma malla”:
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 20
Figura 24
Figura 25 Figura 26
Figura 27
 I Ri i = ∑∑ ε
La forma práctica de hacer un estudio de un circuito es la siguiente:
a) Asignamos un sentido arbitrario de circulación de la
intensidad en cada rama del circuito.
b) Aplicamos la ley de nudos.
Cuando se aplica esta ley, se considera positiva la intensidad de una
corriente si se dirige hacia el nudo y negativa si se aleja del mismo
(también puede utilizarse
el convenio contrario).
Para el nudo A: I1 - I2 - I3 = 0; I1 = I2 + I3
Para el nudo B sale exactamente igual, ya que no hay tantas ecuaciones
como nudos. Si hay “n” nudos en la red se aplica la regla de los nudos
a “n-1” de éstos. La aplicación de dicha regla al nudo enésimo no
proporciona una ecuación independiente.
c) Aplicación de la ley de mallas.
Elegimos un sentido arbitrario para "recorrer" la malla. El producto IR
es positivo cuando la dirección de circulación de la intensidad que
hemos decidido en a) coincide con la que hemos elegido para recorrer
la malla y negativo en caso contrario.
Una fuerza electromotriz , será positiva cuandoε
según la dirección que hemos elegido para
recorrer la malla, entremos por la placa negativa
y salgamos por la positiva. Es decir, que si
suponemos que la pila es la única que existiera en
el circuito, la corriente que genera va en el sentido
que hemos elegido como positivo.
Lo que nos permite escribir para cada circuito:
El de la figura 25 I1 r + I1 R1 + I3 R3 = ε
El de la figura 26 - I2 R2 + I3 R3 = 0
El de la figura 27 + I1 r + I1 R1 + I2 R2 = ε
Pero esta ecuación no era necesario hallarla, ya que es la suma de las
dos anteriores, luego tampoco hay tantas ecuaciones como mallas.
Las mallas que son suma de otras mallas no dan información nueva
sobre el circuito (una forma práctica de escribir el número correcto
de ecuaciones de malla es: cada ecuación que escribamos tacharemos
una rama del circuito, cuando ya no podamos dibujar una malla, ya
tendremos todas las posibles ecuaciones de malla del circuito)
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 21
Figura 28
Esquema de un potenciómetro
Para este circuito tenemos tres ecuaciones con tres
incógnitas que podemos resolver:
De aquí podemos hallar las tres incógnitas: I1, I2 e I3.
 Ejemplo: el potenciómetro.
Este dispositivo tiene como objetivo la medida de la fuerza electromotriz de un generador
cualquiera. Tendremos que medir la diferencia de potencial que suministra, sin pedir suministro
de corriente. En esencia su funcionamiento consiste en conectar en oposición con la fuerza
electromotriz que se quiere medir ( ) una tensión conocida y variable, de forma que justoε x
cuando esta tensión vale la corriente que pasa por el circuito es nula.ε x
Un esquema elemental del potenciómetro lo constituye el de la figura 28. En este esquema
tenemos que:
1) es una batería de potenciaε b
suficiente para alimentar al circuito
con estabilidad; su valor no necesita
conocerse con precisión; R2 es una
resistencia que va a limitar el valor
de I al orden de magnitud que
deseemos.
2) AC es un hilo de resistencia
uniforme (resistividad y sección
constantes) B es un cursor móvil a lo
largo del hilo con objeto de variar la resistencia entre los puntos A y B. Lógicamente se cumplirá
que
R AB = k.l 
siendo k una constante y “l” la longitud del hilo uniforme comprendido entre los puntos “A” y
“B”.
3) G es un galvanómetro encargado de acusar cuando la corriente por la rama ACDB es nula; en
este caso la corriente por BA coincide con I de acuerdo con la primera ley de Kirchoff.
4) Para equilibrar el potenciómetro, es decir para que por G no pase corriente, se deja
inicialmente el interruptor S abierto con objeto de que la resistencia, R1 proteja al galvanómetro;
se varia el cursor B hasta que aproximadamente G no acuse paso de corriente. Se cortocircuita
R1 a través del interruptor S y se ajusta con mayor precisión el cursor B para anular la corriente
que pasa por G.
I1 - I2 - I3 = 0
+ I1 r + I1 R1 + I2 R2 = ε
- I2 R2 + I3 R3 = 0
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 22
Cuando se ha equilibrado el potenciómetro se cumplirá que
VBA = I RAB = I (k l)
y como por ACDB no pasa corriente, el punto D estará al mismo potencial que el B y el C al
mismo que el A; es decir:
VBA = VDC = ε
El procedimiento normal de medida es por comparación de la fuerza electromotriz incógnita con
otra patrón conocida que suele ser una pila Weston de cadmio. Ambas fuerzas electromotrices
se colocarán lógicamente entre los puntos C y D y con la polaridad mostrada respecto a la
polaridad de . ε b
Si la pila patrón, de fuerza electromotriz , se equilibra con una longitud l = lp, se tendrá: ε p
 ε p pI k l=
Si la fuerza electromotriz incógnita se equilibra con una longitud lx, se tendrá:
 ε x xI k l=
con lo cual:
 ε εx p
x
p
l
l
=
⎛
⎝
⎜⎜
⎞
⎠
⎟⎟
Hemos querido dedicarle una atención especial al potenciómetro por dos razones. La primera,
porque justifica la definición de fuerza electromotriz de una pila como la diferencia de potencial
del generador cuando por él no pasa corriente, pues en la descripción que hemos realizado queda
patente que se mide una diferencia de potencial aunque no existe paso de corriente por la pila
desconocida. Por otro lado, obtener medidas de magnitudes por detección de nulo es el
fundamento de todos los métodos de medida utilizando “puentes de medida”, pues siempre es
más fácil detectar que por una rama de un circuito no pasa corriente, que medir con precisión
suficiente un valor determinado de la intensidad por la rama.
Teoremas del análisis de redes
Acabamos de introducir algunos conceptos de uso común al hablar de circuitos eléctricos, vamos
a definir, de un modo sistemático, tanto los que acabamos de introducir como los que son de uso
más frecuente en el análisis de redes.
Elemento de circuito: Es un componente indivisible con dos bornes o terminales.
Como ejemplos una resistencia o una fuente, pila o batería.
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 23
Parámetro: Es la representación simbólica de los elementos de circuito. Una
resistencia se representa por R, una pila o batería por ∆V o, , ε
Rama: Se construye mediante la unión de elementos de circuito de manera que
el conjunto forma un dispositivo de dos terminales. Se supone que los elementos
de circuito se conectan entre sí mediante conductores ideales, es decir sin
resistencia.
Malla: Es una figura cerrada formada por la unión de ramas.
Nudo: Es el punto de unión de dos o más ramas, o el punto en el que concurren
tres o más conductores.
Red: Es la interconexión de ramas y mallas. Frecuentemente se utiliza la palabra
circuito con el mismo significado que red. 
Red de parámetros concentrados: Es una red compuesta por elementos de circuito
aislados, es decir, elementos que se comportan en la red de manera que cada
componente se puede caracterizar por un solo parámetro, por ejemplo por su
resistencia, por su capacidad o por su fuerza electromotriz.
Red de parámetros distribuidos: Es una red compuesta por elementos que no
pueden ser caracterizados por un parámetro único y por tanto no se tratan
analíticamente como componentes individuales separados. Un cable coaxial es
un ejemplo de una red de parámetros distribuidos y se caracteriza por su
resistencia por unidad de longitud, su capacidad por unidad de longitud y su
autoinducción por unidad de longitud.
Potencial: También conocido como tensión, es la forma abreviada de hablar de
diferencia de potencial entre dos puntos y en el análisis de circuitos es sinónimo
de voltaje. Se suele representar la tensión por V o en el caso de corrientes∆V
continuas y por e o en las variables. Cuando se trata de la fuerza∆v
electromotriz de una fuente se suele representar por ε
Generador de tensión: También conocido como fuente, es un dispositivo de dos
bornes o terminales entre los que existe una tensión sin que circule corriente, es
decir, la fuente es un elemento activo que mantiene la tensión en sus bornes. 
La fuente de tensión es ideal, cuando la diferencia de potencial entre sus bornes
es independiente de la corriente que suministra. Los generadores reales, tienen
resistencia interna y se verifica que ∆V I r= − ⋅ε
Generador de corriente: También conocido como fuente de corriente, se
caracteriza por mantener una corriente entre sus terminales en ausencia de
potencial entre ellos. Un generador de corriente
es ideal cuando la corriente
suministrada es independiente del potencial entre los terminales
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 24
Figura 29
Elemento lineal: Es todo elemento en el que la relación entre la intensidad que
lo recorre y la tensión entre sus bornes es lineal, es decir, no depende del valor
de la corriente ni de la tensión.
Circuito lineal: Es el compuesto exclusivamente por elementos lineales.
Rama activa: Es una rama en la que existe uno o más generadores y puede o no
tener elementos pasivos como resistencias.
Rama pasiva: es aquella en la que sólo existen elementos pasivos, es decir, no
tiene fuentes.
Tras esta revisión de los términos más usuales en el análisis de circuitos y de las leyes de
Kirchoff, que son el fundamento de todo el análisis de circuitos, vamos a describir otros
conceptos de uso común cuando se realiza el análisis de redes.
Principio de superposición
Si en una red lineal, existen dos o más fuentes, la intensidad que circula por el circuito será la
suma de las intensidades que produciría cada generador si sólo existiera él en el circuito.
Así las intensidades que recorren el circuito de la izquierda de la figura 29, son la suma de las
que recorren los dos circuitos de la derecha de la misma figura, es decir:
I = I`` - I’; I1 = I’1 - I``1; I2 = I’2 - I``2
para calcular las intensidades en cada uno de los circuitos de la derecha, se cortocircuitan las
fuentes pero se mantienen los valores de las resistencias internas de las mismas.
Resistencia de entrada de una red.
Supongamos que tenemos una red pasiva (por ejemplo un altavoz), de la que desconocemos las
resistencias que la componen y como están conectadas entre sí, sólo está a nuestro alcance los
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 25
Figura 30
El circuito (b) representa el equivalente Thevenin del circuito (a)
dos bornes de conexión. Para caracterizar la red, emplearemos su resistencia de entrada, que
podemos calcular alimentándola con un generador de fuerza electromotriz conocida “ ”,ε
midiendo la intensidad “I” que recorre el generador tenemos que la resistencia de entrada (Rin
o Re) será
 R
Iin
=
ε
Naturalmente si conocemos la distribución de elementos pasivos que componen el circuito,
podemos calcular analíticamente la resistencia de entrada del circuito imaginándolo conectado
a una batería de fuerza electromotriz conocida y calculando después la corriente que atravesaría
la batería, el cociente entre ambas magnitudes nos dará la resistencia de entrada.
Teorema de Thevenin
Si el circuito del que disponemos es un circuito activo (como por ejemplo un amplificador) que
debemos conectar a una resistencia de
carga (por ejemplo un altavoz) se puede
demostrar que el conjunto se comporta
como un elemento activo (una pila en el
caso de continua) y una resistencia en
serie con el generador, que recibe el
nombre de resistencia de salida (Raut,
R0). 
En el circuito (a) de la figura 30, su
equivalente Thevenin será el circuito (b)
en el que la batería tendrá una fuerza
electromotriz y unaε0 4= V
resistencia interna o de salida del circuito de valor R0 = 0,6 . Ω
Teorema de Norton
Acabamos de decir que un circuito activo cualquiera equivale a un generador de tensión y una
resistencia en serie con él. Del mismo modo se puede establecer el equivalente Norton del
circuito que será un generador de intensidad y una resistencia en paralelo, tales que ante una
carga cualquiera suministren la misma intensidad que proporciona la red.
Teorema de la máxima transmisión de potencia.
Entre los múltiples teoremas relativos a circuitos vamos a detenernos en el de máxima
transferencia de potencia, debido al interés que ofrece en el mejor aprovechamiento de la
potencia disponible.
Una situación comúnmente encontrada es la reflejada en la figura 31 en la cual se tiene el
generador equivalente del circuito de alimentación (de fuerza electromotriz con unaε
resistencia interna Ri) que se "carga" con una resistencia Rc. Nos preguntamos: ¿qué valor ha de
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente eléctrica IV - 26
Figura 31
tener Rc para que el sistema alimentador (caracterizado por y Ri) suministre la máximaε
potencia? 
En el circuito tendremos que la potencia suministrada a Rc sera:
 P V I I R
R R
Rc AB c
i c
c= = = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟2
2
ε
Como la variable cuyo valor pedimos es Rc, tendremos que
la potencia será máxima cuando se cumpla que: y ∂
∂
P
R
c
c
= 0 ∂
∂
2
2 0
P
R
c
c
<
Es fácil comprobar que el máximo aprovechamiento se
cumple cuando: Rc = Ri
y en este caso la potencia disipada es
 ( )P
Rc cmax
=
ε2
4
El lograr que Rc = Ri se denomina, acoplar resistencias.
Tema6Informatica_056.pdf
Corriente alterna VI - 1
Figura 1
Tema VI: Circuitos de Corriente Alterna
Elementos de circuito en corrientes variables.- Régimen transitorio y estacionario de un
circuito.- Empleo de la notación compleja. Impedancia de los elementos de circuito.-
Asociaciones de elementos: impedancia equivalente.- Potencia en circuitos de corriente alterna.
Bibliografía: “Física” Paul A. Tipler Ed Reverté.
Conocimientos previos: tratamiento de circuitos de corriente continua. Nociones de números complejos.
Objetivos: Entender la diferencia entre corriente continua y corriente variable. Comprender la importancia
de colocar como elementos de circuito en corrientes variables con el tiempo los distintos elementos pasivos.
Introducción
Hasta ahora, cuando hemos hablado de circuitos, entendíamos que la corriente que lo atravesaba
era constante, es decir su valor no dependía del tiempo. Si
pensamos en lo que ocurre cuando se conecta o desconecta el
interruptor de un circuito, aunque éste sea tan simple como el
mostrado en la figura 1, nos daremos cuenta que la corriente pasa
de ser nula a tener un cierto valor constante o viceversa, lo que
significa que existe un intervalo de tiempo en el que la corriente
tiene que variar, es decir existe un régimen transitorio tanto en el
cierre como en la apertura de un circuito por simple que éste sea.
Pero no es ésta la única situación en la que nos encontraremos con
circuitos en los que la coriente que circula por ellos sufre variación a lo largo del tiempo, el caso
más común es el de circuitos de corriente alterna. Al estudio de estos dos casos vamos a dedicar
el presente tema.
Elementos pasivos de un circuito en corriente variable
Cuando en corriente continua considerábamos una resistencia, encontramos que entre la corriente
que la atravesaba, el valor de la resistencia y la diferencia de potencial que aparecía entre sus
extremos se verificaba la ley de Ohm ( ) es decir, que en cada instante el producto de∆V I R= ⋅
la intensidad por el valor de la resistencia nos daba el valor de la diferencia de potencial entre
sus bornes. Esta relación, que como acabamos de decir se cumple instante a instante, se sigue
verificando en corrientes variables y nos permite escribir
 v t R i tR ( ) ( )= ⋅
que nos dice que la forma de variación de la intensidad y la diferencia de potencial es la misma
(hemos reservado las letras minúsculas para las magnitudes que varían con el tiempo y las
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 2
Figura 2
Esquema de un circuito R-L alimentado por
un generador de c.c.
mayúsculas para las que no dependen de él).
Veamos que podemos decir de un condensador. Sabemos que en corriente continua, por un
condensador no circula corriente, sólo mientras se esta cargando existe paso de cargas por el
circuito al que está conectado. Lo que si es un hecho, es que en cada momento se verificará que
su capacidad, su carga y la diferencia de potencial entre sus bornes se relacionan por:
, lo que recordando que la intensidad es la derivada temporal de la carga, nosq t C v tC( ) ( )= ⋅
permite escribir: 
 i t
d q t
dt
C d v t
dt
C( ) ( ) ( )≡ =
En forma análoga, en una autoinducción L, sabemos que una corriente variable con el tiempo,
produce una f.e.m inducida que se opone
a la variación de dicha corriente, cuyo valor es:
, fuerza electromotriz, que considerada como caída de tensión será:εL t L
d i t
d t
( ) ( )= −
 v t t L d i t
d tL L
( ) ( ) ( )= − = +ε
Por tanto, cuando hablamos de corrientes variables con el tiempo, nos encontramos que la
presencia de condensadores y de bobinas supone una relación entre las tensiones a las que están
sometidas y las corrientes que los atraviesan, que ya no es tan sencilla como en el caso de las
resistencias en corriente continua. Pasemos a ver como es el comportamiento de cada uno de
estos elementos pasivos en el caso de corrientes variables con el tiempo.
Regímenes transitorio y estacionario
Diremos que un circuito ha alcanzado el régimen estacionario cuando sus magnitudes
características se reproducen de forma idéntica a lo largo del tiempo, en esta situación se
encuentra un circuito pasado un cierto tiempo desde que se conectó.
Como los fenómenos en la Naturaleza no se producen de forma brusca, hasta que se alcance el
régimen estacionario, las magnitudes características del
circuito irán variando para alcanzar su valor estacionario,
es decir, el circuito estará en régimen transitorio.
Veamos como ejemplo el circuito R-L de la figura 2,
siendo “R” y “L” la resistencia y autoinducción
equivalente del circuito que hemos alimentado por una
pila de f.e.m “ ” que se conecta en t = 0ε0
En cada instante, la tensión suministrada por el generador
, se divide en caídas de tensión en la resistencia (vR) yε0
en la autoinducción (vL).
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 3
Figura 3
Variación con el tiempo de la corriente que
circula por un circuito R-L al conectar, en
t=0, un generador de c.c.
Figura 4
Representación de tres sistemas cuyos
tiempos propios van disminuyendo de valor.
Como el sistema “1” tarda másτ τ τ1 2 3f f
en alcanzar el estado estacionario que el “3”
 ε0 = + = +v v i R L
d i
d tR L
La solución de esta ecuación (que se realiza con detalle en el apéndice 1), con la condición de
corriente nula en el instante inicial [i(0) = 0] es:
 i t
R
e
t
L R( ) = −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−ε0 1
cuya representación gráfica se muestra en la figura 3.
En el estado estacionario, cuando el tiempo transcurrido
e s m u y g r a n d e s e c u m p l e :( )t → ∞
, es decir: , lo que( )i R e( )∞ = −
− ∞ε 0 1 i t
R
( )→ ∞ = ε 0
supone que la corriente que circula por el circuito no
varía con el tiempo, con lo cual y la caída deL di
dt
= 0
tensión se efectúa sólo en la resistencia, sin que influya la presencia de la autoinducción
(despreciando la resistencia de la misma).
Veamos que ocurre en el transitorio. Al conectar la batería, se producirá el paso de una corriente,
con lo que en la bobina aparecerá una f.e.m. inducida que se opondrá a que tenga lugar esa
variación, razón por la que la corriente no llega al máximo de forma instantánea. Desde el punto
de vista numérico, está claro que el valor del exponente del número “e”, va a influir en el tiempo
que la corriente tarde en alcanzar el valor estacionario. Ese exponente contiene la relación L/R,
que tiene las dimensiones de un tiempo y se denomina
( ) tiempo propio del circuito: . En el instante τ τ =
L
R
t = τ
la corriente, toma el valor: que es( )i R e( )τ
ε
= − −0 11
siempre la misma fracción del valor final de la
corriente, lo cual justifica el nombre de “propio” para
ese tiempo que viene definido por la relación entre la
autoinducción y la resistencia del circuito, que son dos
características del mismo.
Consideremos tres circuitos cuya intensidad en estado
estacionario “I” sea la misma. Hemos definido el
tiempo propio “ ” como la relación entre laτ
autoinducción y la resistencia , supongamos los tiempos propios de los tres circuitosτ =
L
R
cumplen: , eso significará que el tiempo que tarda el circuito “1” en alcanzar elτ τ τ1 2 3f f
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 4
Figura 5
(a) El condensador conectado a una pila adquiere una carga “Q”. (b) Al
sustituir la pila por una resistencia, el condensador se descargará a su
través.
régimen estacionario es mayor que lo que tarda en logralo el tercero de los circuitos (figura 4)
pues cuando se cumple que la intensidad que pasa por cada circuito es la misma fracciónt = τ
de la intensidad en estado estacionario, concretamente es veces el valor final de la1 1−⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟e
intensidad estacionaria, ya que hemos dicho que se cumple que: ( )i I e( )τ = − −1 1
Otro ejemplo de régimen transitorio lo encontramos en el fenómeno de descarga de un
condensador. Supongamos que tenemos un condensador cargado por estar unido a una batería
como se muestra en la figura (5 - a) y sustituimos la pila por una resistencia como se muestra en
la figura (5 - b) el condensador se descargará a través de la resistencia, por lo que aparecerá una
corriente variable con el tiempo, i (t), sabemos que en el instante inicial el condensador tendrá
una carga y que transcurrido un cierto tiempo el condensador quedará descargado.Q C= ⋅ε
Vamos a analizar con detalle el fenómeno.
Cuando el condensador está cargado aparece entre sus bornes una diferencia de potencial VC que
será igual a la fuerza electromotriz
de la pila , al descargarse seε = VC
tendrá que verificar también que la
suma de las diferencias de potencial
entre los elementos del circuito será
igual a la fuerza electromotriz
actuante, en este caso ninguna, luego
se verificará:
 .V VC R+ = 0
Sabemos que en cada instante en la
resistencia se cumple ,V R i tR = ⋅ ( )
y en el condensador ,C V q tC⋅ = ( )
sustituyendo los respectivos valores de la diferencias de potencial en la ecuación anterior
obtenemos: , lo que recordando la relación existente entre la intensidad queR i t
C
q t⋅ + =( ) ( )1 0
recorre un elemento de circuito y la carga que lo atraviesa nos permite escribir: ,dq
dt
R
C
q+ =1 0
luego o lo que es lo mismo: , separando variablesdq
dt R C
q= −
⋅
1 dq
R C
q dt= −
⋅
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
1
obtenemos: .dq
q R C
dt= −
⋅
1
Recordando que al valor intermedio de la carga y por tanto variable con el tiempo, lo hemos
representado por “q” [en vez de utilizar q(t)], al considerar el instante inicial y uno cualquiera
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 5
Figura 6
intermedio, tenemos: , es decir, , o lo que es lo mismo:dq
q RC
dt
Q
q t
∫ ∫= − 10 [ ] [ ]ln q RC tQ
q t= −
1
0
, es decir, , recordando la definición de logaritmoln lnq Q
RC
t− = − 1 ln ( )q t
Q RC
t⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ = −
1
neperiano, obtenemos: , de donde:q t
Q
e RC
t( )
=
−
1
 q t Q e RC
t
( ) =
− 1
que nos da la variación de la carga del condensador con el tiempo.
El exponente de la función que hemos obtenido
, tiene las dimensiones de la inversa de un1
RC
tiempo (se recomienda al alumno que lo compruebe)
por ello al producto “RC” se le conoce como tiempo
propio del circuito, pues ese producto cuyo valor
sólo depende del circuito que estemos considerando
es tal que cuando ha transcurrido un tiempo
, la carga del condensador ha pasado a serτ = RC
 veces la carga “Q” que tenía inicialmente el1
e
condensador, como se puede apreciar en la figura 6.
Empleo de la notación compleja para el tratamiento de las corrientes alternas sinusoidales
En general, se denomina corriente alterna a aquella definida por magnitudes que varían de signo
a medida que transcurre el tiempo. El caso más interesante es cuando la variación es armónica
(cualquier otra variación puede expresarse como suma de variaciones armónicas) y las
magnitudes son representables por funciones del tipo:
 0x(t) X cos ( t )= ω + ϕ
donde X0 es la amplitud, la frecuencia angular y la fase, de la magnitud armónica.ω ϕ
Vamos a introducir una técnica matemática de gran utilidad para la trabajar con magnitudes que
varían con el tiempo armónicamente. Recordando que y comoe j senjα α α≡ +cos
 se puede escribir como: , vemos que un númerocosα α+ j sen ( )1⋅ +cosα αj sen e jα
complejo de módulo unitario y fase . α
De todo lo anterior se desprende
que la función que queremos representar
 se puede representar como la parte real de un número complejo de( )x t X t( ) cos( )= +0 ω ϕ
módulo X0 y fase tω + ϕ
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 6
Figura 7
Figura 8
Representación del complejo e j tω
al aumentar el tiempo
 { }x t X e j t( ) Re ( )= +0 ω ϕ
significando “Re” la parte real de la magnitud compleja entre corchetes.
La expresión la podemos escribir como el producto de dos exponenciales:X e j t0
( )ω ϕ+
 una dependiente del tiempo y la otra no, lo que leeremos diciendo que el número( )X e ej j t0 ϕ ω⋅
complejo está multiplicado por la exponencial , que es unX e j0
ϕ e j tω
número complejo de módulo unitario y fase dependiente del tiempo.
Haciendo , podemos escribir . X X e j= 0
ϕ { }x t X e j t( ) Re= ω
El término X es un complejo de módulo constante e igual a X0 y fase ,ϕ
como se representa en la figura 7. Veamos el significado de la segunda
exponencial.
El término es un número complejo de módulo unitario y fase (recordar lo escrito máse j tω ωt
arriba para ), es decir mientras su módulo permanece inalterable su fase va variando con ele jα
tiempo, veamos como. Consideremos algunos instantes notables
Para “t = 0” obtenemos , que es un complejo de módulo “1” y fase nula. Si transcurre ele0
tiempo hasta que , como , obtenemos , es un complejo de módulot T=
4
j t j
T
T jω π π= =2
4 2
e
jπ
2
“1” y fase . Al seguir aumentando el valor del tiempoπ
2
transcurrido llegamos a , como ,t T=
2
j t j
T
T jω π π= =2
2
obtenemos , es un complejo de módulo “1” y fase . Ene jπ π
el instante , como ,t T= 3
4
j t j
T
T jω π π= =2 3
4
3
2
obtenemos , es un complejo de módulo “1” y fasee
j3
2
π
, por último cuando el tiempo transcurrido es ,3
2
π
t T=
como , obtenemos , es unj t j
T
T jω π π= =2 2 e
j 2π
complejo de módulo “1” y fase de nuevo nula. Es decir, que a medida que aumenta el tiempo,
la representación del complejo de módulo unitario va girando dentro del plano complejo.e j tω
Por tanto la representación de cualquier función multiplicada por será la de la funcióne j tω
incluida en un plano complejo que gire con velocidad angular .ω
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 7
Figura 9
Representación fasorial de una
magnitud armónica.
Figura 10
Representación de un fasor,
su derivada y su integral
temporales
El producto de ambos complejos, lo podemos representar por un lado un complejo de módulo
X0 que forma un ángulo “ ” con el eje real, pero contenido en un plano complejo que gira conϕ
velocidad angular “ ”. ω
Si suponemos que el observador se encuentra girando solidario con el plano complejo (como
nosotros lo estamos con la Tierra) la variación temporal que supone el giro, podemos no tenerla
en cuenta, siempre que todas las magnitudes que intervengan en el problema tengan la misma
dependencia temporal (se muevan con la misma velocidad
angular). 
Esta es la denominada “representación fasorial” de una
magnitud armónica. En ella se hace abstracción de la
dependencia temporal, fijándose sólo en el complejo de
módulo X0, y fase respecto a un origen dado. Laϕ
simplificación así obtenida, se puede mantener en tanto se
cumpla que la respuesta del circuito sea de la misma frecuencia
que impone el elemento activo o generador, lo cual permite
hacer abstracción de la dependencia temporal, que de otra
forma se arrastraría siempre en forma equivalente en todas las
ecuaciones.
Para mejor comprender la utilidad de la notación exponencial introducida, veamos la
simplificación que su uso representa en el cálculo de derivadas e integrales, operadores que se
presentan frecuentemente en el comportamiento de circuitos con corriente variable. Así, para
calcular la derivada temporal de la magnitud genérica que hemos definido, tendremos:
 [ ]dx
dt
d
dt
X t X sen t= + = − +0 0cos( ) ( )ω ϕ ω ω ϕ
Por otra parte, empleando la notación compleja:
 [ ]ddt X e j X e j X e
j t j t j t
0 0
( ) ( )ω ϕ ω ϕ ωω ω+ += =
cuya parte real es precisamente el valor de la . dx
dt
Así pues en notación fasorial, el derivar una magnitud armónica con
respecto al tiempo, equivale simplemente a multiplicarla por . Dejω
la misma forma se demuestra que la integral temporal de una magnitud
armónica, equivale a dividir por . jω
Hemos visto que la derivada temporal de un fasor X es otro fasor
j X, cuyo módulo es veces el de X y la fase se ve aumentada enω ω
/2 respecto de la del fasor original (multiplicar por j en el planoπ
complejo equivale a rotar /2 en sentido positivo). Análogamente, la representación de π x dt∫
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 8
Figura 11
Representación en el plano complejo
de las impedancias de una
resistencia, una autoinducción y un
condensador.
será. el fasor X/(j ), cuyo módulo es veces menor que el de X y cuyo argumento es /2ω ω π
menor que el de X, como se representa en la figura 10. Como resumen de la notación fasorial,
podemos escribir:
Magnitud Representada por
x(t) X
d x(t)
d t
 j Xω
 x t dt( )∫ Xj j
X
ω ω
= −
Impedancia de los elementos de un circuito
Veamos ahora el comportamiento de los elementos de circuito en el caso particular de corriente
alterna sinusoidal, con ayuda de la notación introducida. Definiremos “impedancia de un
elemento pasivo” como la relación entre la tensión a la que está sometido y la corriente que lo
recorre. En general dependerá de la naturaleza del propio elemento y de la frecuencia de la señal
que lo atraviesa.
Para una resistencia hemos visto que: vR(t) = R i(t), que en notación fasorial podemos escribir
como: VR = R I, por lo que la impedancia correspondiente, ZR, será:
 Z V
I
RR R= =
que es un número complejo de módulo “R” y fase nula, es decir un número real positivo.
Pasemos al caso de los elementos denominados reactivos, es
decir, autoinducciones y capacidades. En el caso de una
autoinducción L, hemos visto que en términos de diferencia de
potencial, la relación entre la corriente que lo atraviesa y la
tensión entre sus extremos es: , teniendo env t L d i t
dtL
( ) ( )=
cuenta que para los fasores la derivada temporal es multiplicar
por nos permite escribir: y la impedanciajω V j L IL = ( )ω
correspondiente será:
 . Z j LL = ω
que es un número complejo de módulo “ ” y fase , esLω
2
π
+
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Corriente alterna VI - 9
Figura 12
Representación de los fasores
tensión e intensidad en una
resistencia
decir, un número imaginario puro positivo.
En el caso de una capacidad C, sabemos que la relación entre la diferencia de potencial que
aparece entre sus extremos y la carga que adquiere es: , lo que escrito en[ ]v t C q tc ( ) ( )⋅ =
términos de intensidad es: , de donde teniendo en cuenta que env t
q t
C C
i t dtC ( )
( ) ( )= = ∫1
notación fasorial la integral temporal equivale a dividir por , nos permite escribir:jω
, luego, la impedancia será:V
C j
IC =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1
ω
 . Z
j C
j
CC
= = −
1
ω ω
que es un número complejo de módulo y fase , es decir, un número imaginario puro
1
Cω 2
π
−
negativo.
Se observa que las impedancias de los elementos reactivos (condensadores y bobinas) son
números imaginarios puros, mientras que la impedancia de las resistencias son números reales,
lo cual, como veremos, viene directamente ligado con los consumos de energía que presentan
estos elementos.
Veamos que información podemos obtener de lo que acabamos de escribir respecto a intensidad
que recorre un elemento pasivo y la tensión que a parece entre sus bornes, empleando la notación
fasorial. Sabemos que se debe cumplir la ley de Ohm para corriente alterna que nos dice que el
fasor tensión es igual al producto del fasor intensidad por el número complejo que es la
impedancia del elemento pasivo:
V = I Z
Para aplicarlo, vamos a suponer que cada elemento es recorrido por una intensidad variable con
el tiempo , y vamos a calcular la tensión que aparece entre bornes en cada caso.i t I t( ) cos= 0 ω
El fasor intensidad (I) tendrá:
mod ulo I
fase I
=
=
0
0ϕ
Consideremos una resistencia R, su impedancia (ZR) será el
complejo de como se debe cumplir la ley de
mod ulo R
fase R
=
=ϕ 0
Ohm, el fasor tensión en bornes de la resistencia tendrá: por
módulo el producto de los módulos de la impedancia y de la
intensidad y por fase la suma de las fases de ambos:
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 10
Figura 13
Representación de los fasores
tensión e intensidad en una bobina
Figura 14
Representación de los fasores
tensión e intensidad en un
condensador
 lo que gráficamente se representa en la figura 12.( )mod ulo V I R
fase
R
V I R
= ⋅
= + =
0
0ϕ ϕ ϕ
Las variaciones temporales serán para la intensidad, la que hemos supuesto: yi t I t( ) cos= 0 ω
para la tensión, como no existe variación de fase: . v t V tR( ) cos= ω
Consideremos ahora una bobina de autoinducción L, su
impedancia (ZL) será el complejo de para que
mod ulo L
fase L
=
= +
ω
ϕ
π
2
se cumpla la y de Ohm el fasor tensión en bornes de la bobina
tendrá por módulo el producto de los módulos de la intensidad
y la impedancia inductiva y por fase la suma de ambos:
 lo que se representa gráficamente
( )mod ( )ulo V I L
fase
L
V I L
= ⋅
= + =
0
2
ω
ϕ ϕ ϕ
π
en la figura 13.
Las variaciones temporales serán para la intensidad serán de la forma:
 y para la tensión, como va desfasada en , o loi t I t( ) cos= 0 ω +
π
2
v t V tL( ) cos= +
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ω
π
2
que es lo mismo: . v t V sen tL( ) = − ω
Consideremos por último un condensador de capacidad C, su impedancia (ZC) será el complejo
de para que se cumpla la ley de Ohm, la tensión en
mod ulo
C
fase C
=
= −
1
2
ω
ϕ
π
bornes del condensador será un fasor de 
( )mod ulo V I
C
fase
C
C I C
= ⋅
= + = −
0
1
2
ω
ϕ ϕ ϕ
π
lo que se representa en la figura 14.
Las variaciones temporales serán para la intensidad, la que hemos
supuesto: y para la tensión, como va desfasada eni t I t( ) cos= 0 ω
, o lo que es lo mismo:−
π
2
v t V tC( ) cos= −
⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
ω
π
2
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 11
Figura 16
Esquema de dos impedancias conectadas en serie
Figura 15
Representación de la variación temporal de la corriente que
atraviesa una bobina y de la diferencia de potencial en bornes de
la misma
. v t V sen tC( ) = ω
Si queremos representar, en función del tiempo, lo que acabamos de obtener empleando fasores
tendremos por ejemplo para una bobina, las variaciones temporales de la tensión y la intensidad
que se muestran en la figura 15.
Asociaciones de elementos: Impedancia equivalente
Hasta ahora nos hemos limitado al estudio de componentes puros; sin embargo, en un circuito
los elementos se encuentran asociados entre sí y conviene introducir de forma análoga a como
se hizo en corriente continua, la impedancia equivalente de una asociación.
Como ya se ha citado, las leyes de Kirchhoff estudiadas en los circuitos de corriente continua
se generalizan de inmediato a los circuitos de corriente alterna sin más que tener en cuenta que
debemos aplicarlas en cada instante.
No obstante, pasando a notación fasorial, el carácter lineal de las leyes de circuitos permite hacer
también abstracción de la dependencia temporal y las leyes quedan formalmente invariables,
cuando se aplican a los fasores.
Así, en una asociación en serie de dos
impedancias Z1 y Z2 las leyes antedichas
indican que la corriente i(t) es la misma en las
dos impedancias y que la caída de tensión
total v(t) es la suma de la caída en cada una de
ellas, lo que expresado en términos de fasores
equivale a que el fasor intensidad “I” es el
mismo y los fasores diferencia de potencial
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 12
Figura 17
Esquema de dos impedancias conectadas en
paralelo
cumplen:
V1 + V2 = V
Por tanto, la impedancia equivalente, será:
 Z V
I
V V
I
V
I
V
I
Z Z= = + = + = +1 2 1 2 1 1
"La impedancia equivalente de una asociación en serie es la suma de impedancias de cada uno
de los elementos" 
De forma análoga, en una asociación en paralelo
la tensión v(t) será la misma en las dos
impedancias Z1 y Z2 y la suma de las intensidades
que recorran cada una será la intensidad i(t) de la
asociación, lo que en términos de fasores se
escribirá diciendo que el fasor tensión “V” es
único y los fasores intensidad cumplen:
I = I1 + I2
con lo cual:
 I
V Z
I
V
I
V Z Z
= = + = +
1 1 11 2
1 2
Debemos subrayar que ahora las impedancias son
en general números complejos, por lo que la suma de impedancias será la suma de los números
complejos correspondiente que las representan y al hablar de la inversa de la impedancia,
hablamos del complejo inverso de la misma.
En el caso de elementos en paralelo, conviene introducir la denominación de “admitancia” de
un elemento o asociación que es la inversa de su impedancia:
 Y
Z
=
1
con lo cual resulta, que: "La admitancia equivalente de una asociación paralelo es la suma de las
admitancias de cada uno de los elementos".
Aplicación circuito R-L-C serie
Este circuito se encuentra frecuentemente en la practica; puede provenir, por ejemplo, de la
asociación de un condensador y de una bobina en serie, llevando la bobina asociada no solo su
autoinducción L sino también una resistencia R (la de los arrollamientos que la forman).
Las impedancias de cada elemento sabemos que son:
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Corriente alterna VI - 13
Figura 18
Esquema de un circuito R L C serie. La tensión
“V” en bornes del generador será la suma de las
caídas de tensión en los tres elementos
Figura 19
Representación de la variación con la frecuencia del módulo de la
impedancia presentada por una resistencia , unaξ R
autoinducción y un condensador .ξ L ξ c
 ZR = R, , Z j LL = ω Z
j
CC
= −
ω
Al estar los tres elementos en serie, la impedancia equivalente será
 Z R j L
C
= + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ω
ω
1
Si llamamos y al módulo y al argumento de laξ θ
impedancia, tendremos:
 ξ ω
ω
= + −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟R L
C
2
2
1
 tag
L
C
R
θ
ω
ω
=
− 1
Como podemos ver, tanto el módulo como la fase de la impedancia, varían con la frecuencia. En
la figura 19 se ha representado la
variación del módulo de la impedancia
para los tres elementos puros
(resistencia, bobina y condensador) y
podemos observar que existe una
frecuencia en la que coinciden los
módulos de la impedancia debida a una
bobina y a un condensador, como
ambas impedancias son números
imaginarios puros, pero de fase opuesta,
eso quiere decir que existe una
frecuencia en la que el circuito presenta
una impedancia exclusivamente real,
aunque esté compuesto por elementos
reactivos. Esta frecuencia, denominada
“frecuencia de resonancia ” tiene unaω r
importancia grande, pues si el circuito entra en resonancia, absorberá mayor energía que otra
frecuencia cualquiera (recordar lo que significaba resonancia de un oscilador armónico) Es decir,
captará (sintonizará) mejor las señales emitidas a esa frecuencia que a cualquier otra. Como
hemos dicho que en la resonancia, se ha de cumplir la igualdad de módulos de la impedancia
capacitiva e inductiva, tendremos:
 ω
ωr r
L
C
=
1
o bien
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Corriente alterna VI - 14
Figura 20
Representación de la variación
con la frecuencia del módulo de la
impedancia de un circuito R L C
Figura 21
Representación de la variación con la frecuencia de la
fase de la impedancia de un circuito R L C
 ω r L C
=
1
y debido a que las fases de dichas impedancias son opuestas, resulta que la impedancia total del
circuito es real e igual a R:
 para : Z = R ω ω= r
o bien, en módulo y argumento:
 ξ = R θ = 0
Gráficamente la variación de Z con la podemos representar (figuras 20 y 21) por:ω
Para frecuencias inferiores a resulta:ω r
 ω
ω
L
C
<
1
lo cual indica un comportamiento capacitivo . ( )θ < 0
A la frecuencia de resonancia ocurre que la impedancia es mínima y coincide con el valor de la
resistencia. Si la resistencia es pequeña pueden
fluir intensidades muy elevadas por el circuito.
A frecuencias superiores a la de resonancia ocurre que:
 ω
ω
L
C
>
1
y el comportamiento es inductivo . ( )θ > 0
Si hablamos en términos de la intensidad que atraviesa el circuito serie (figura 18) al variar la
Fundamentos Físicos de la Informática
Corriente alterna VI - 15
Figura 22
Variación del módulo del fasor
intensidad en un circuito R L C serie
impedancia del mismo variará la intensidad que lo recorre, pues, a cualquier frecuencia se tiene
que cumplir la ley de Ohm , por tanto la intensidad que recorre el circuito, variará con laI V
Z
=
frecuencia, haciéndose máxima a la frecuencia de resonancia. Si tenemos en cuenta que la
energía de la corriente está relacionada con la intensidad, esta energía será máxima en
resonancia, como ya esperábamos.
Es también útil discutir el comportamiento del circuito con valores de la resistencia distintos;
supuesto que la tensión alterna de alimentación sea fija (su
amplitud se mantiene constante), al variar la frecuencia de la
fuente, se presenta la situación representada en la figura 22.
El circuito se hace tanto más “selectivo” cuanto menor es su
resistencia, esto significa que existen valores de R para los que
sólo pasan intensidades apreciables para frecuencias muy
próximas a la de resonancia. Si al circuito se le aplica una señal
que contiene mezcladas muchas frecuencias, la corriente toma
valores elevados sólo para la frecuencia a que está
“sintonizado” el circuito, o frecuencia de resonancia del
mismo.
El comportamiento de un circuito R-L-C paralelo es semejante
en todo al del circuito serie, sólo que intercambiado los papeles
de impedancia por admitancia. Es la admitancia la que toma un valor mínimo en torno a la
resonancia, punto en el cual se cancelan la YL con la YC; por tanto en este punto la impedancia
es la impedancia paralelo, RP , del circuito. La selectividad del circuito es tanto mayor cuanto
mayor es la RP, (es decir cuanto menor es la admitancia en la resonancia).
Potencia en circuitos de corriente alterna
Comencemos de nuevo tratando el caso más familiar, que es el de una resistencia. Si la
resistencia es recorrida por una intensidad:
 i t I t( ) cos= 0 ω
entre sus extremos existirá una diferencia de potencial: 
 v t R i t R I t V t( ) ( ) cos cos= ⋅ = =0 0ω ω
donde IO y V0 son denominados corriente y tensión “de pico”.
En esta situación la potencia instantánea disipada en la resistencia será: 
 P t i t v t V I tR ( ) ( ) ( ) cos= ⋅ = 0 0
2 ω
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Corriente alterna VI - 16
Figura 23
Representación de la potencia instantánea disipada en una resistencia.
que toma siempre valores positivos. En la práctica es más significativa la denominada “Potencia
media por ciclo”, definida como:
 P
T
P dtR R
T
= ∫
1
0
siendo el período de la señal. T = 2π
ω
De las expresiones de la potencia instantánea y promedio, teniendo en cuenta que el valor medio
de es ½, resulta:cos2 ωt
 P V I V IR ef ef= =0 02
donde se ha introducido la
tensión eficaz Vef y la
cor r i en te e f i caz , I e f ,
relacionadas con los valores
de pico por
 y V Vef = 02
I Ief = 02
Además, teniendo en cuenta
que VO = I0 R, se deducen las
siguientes expresiones para la
potencia media:
 P V
R
I RR ef ef= =
2
2
que nos dicen que la tensión e intensidad eficaces son la tensión e intensidad que deberían existir
en una resistencia para que esta disipase la misma cantidad de energía por unidad de tiempo que
se disipa en el circuito de alterna.
En un condensador o en una autoinducción, la corriente y la tensión están desfasadas en /2;π
si una depende con , la otra lo hará en la forma y la potencia instantánea tendrácosωt sen tω
una expresión de la forma: , siendo (el signo dependeráP t P sen t t( ) cos= ± 0 ω ω P I V0 0 0= ⋅
de considerar un condensador o una bobina) es decir . P t P sen t( ) = ± ⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟0
1
2
2ω
A diferencia de lo que ocurre en una resistencia, la potencia toma alternativamente valores
positivos y negativos; como el valor medio en un periodo del seno de un ángulo es nulo, se tiene
que la potencia media disipada por ciclo en un condensador o en una autoinducción es nula:
 P PL C= = 0
En los elementos denominados reactivos, en los que la corriente y la tensión están desfasadas en
/2, la potencia media disipada es nula, pues aunque la potencia instantánea es no nula tomaπ
alternativamente valores positivos y negativos equivalentes. Físicamente en estos elementos
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Corriente alterna VI - 17
Figura 24
existe un flujo reversible de energía entre ellos y el generador que alimenta al circuito.
En el caso general, en el que exista un desfase entre la tensión y la intensidad, podemosϕ
descomponer ésta en dos componentes, una Ir paralela a la tensión
y otra Ix en cuadratura con la misma. 
 I Ir = cosϕ
 I I senx = ϕ
La componente en cuadratura, Ix , no contribuye a la potencia
media disipada en el circuito, por ello se la denomina componente
“reactiva” y solo contribuye a un trasiego reversible de energía
entre el generador y el circuito. La otra componente, Ir , da una
potencia media disipada
 P V I V Ir ef ef= =
1
2
cosϕ
que es la responsable del suministro irreversible de energía entre el generador y el resto del
circuito.
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Corriente alterna VI - 18
APÉNDICE 1
Sabemos que en cada instante, la intensidad de corriente que circula por el circuito, cumple:
, que lo podemos escribir como: , o lo que es lo mismo:ε 0 = +R i L
di
dt
L di
dt
R i= −ε 0
; que escr ibimos como: , es decir :( )di
dt L
R i= −1 0ε
di
dt L
R i= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 1
0
0ε
ε
, separando variables escribimos: , como la integraldi
L
R i dt= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ε
ε
0
0
1 di
L
R i
dt
ε
ε
0
0
1−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
del primer miembro será igual a la integral del segundo, tenemos: , hemosdt di
L
R i
∫ ∫=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ε
ε
0
0
1
dicho que en el instante inicial (t = 0), la intensidad es nula, luego: , ladt L di
R i
t i
0 0
0
0 1
∫ ∫=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ε
ε
integral del segundo miembro es el logaritmo neperiano del paréntesis con las constantes
adecuadas.
, luego: , teniendo[ ]t L R
R it
i
0
0
0
0 0
1= − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥ε
ε
ε
ln t L
R
R i− = −⎛
⎝⎜
⎞
⎠⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − −
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
0 1 1 0
0
0
0ε
ε
ε
ln ln( )
en cuenta que el logaritmo de la unidad es siempre cero, obtenemos: , quet L
R
R i= − −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ln 1
0ε
escrito en forma exponencial nos lleva a: , o lo que es lo mismo1
0
− =
−R i e
R
L
t
ε
 i
R
e
t
L R= −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−ε 0 1 /