_ Ingenieria electronica _ Regulación Automática _ TEMA 11 _

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Capítulo 11: Análisis en el 
dominio de la frecuencia 
 
carlos.platero@upm.es (C-305) 
mailto:carlos.platero@upm.es
Análisis en el dominio de la frecuencia 
 Cuando a un sistema se le somete a una excitación de tipo 
senoidal en la entrada y se observa la señal de salida en el 
régimen permanente, las relaciones que se establecen entre 
estas dos señales son conocidas como la respuesta en 
frecuencia de ese equipo. 
 La frecuencia de la señal de entrada es la variable 
independiente. 
   max 0x t X sen t    
       jtsenjGXtyrp  max
Ventajas de la respuesta en frecuencias 
1. La descripción del método muestra lo asequible en 
el terreno experimental. 
2. Con esta teoría es posible cuantificar la estabilidad 
de una estructura de realimentación negativa. 
3. Los reguladores de control calculados a partir de 
criterios en la respuesta en frecuencia suelen tener 
un comportamiento robusto. 
   max 0x t X sen t    
       jtsenjGXtyrp  max
Respuesta frecuencial en sistemas LTI (1/2) 
   max 0x t X sen t    
       jtsenjGXtyrp  max
     
 
  22max 



s
X
sD
sN
sXsGsY
  
 





n
i i
i
ps
a
js
k
js
k
sY
1
21

  tjtjrp ekek
js
k
js
k
Lty 

 








 21
211
        
 
j
jG
XsG
s
XjssYjsk
js
js
2
max22max1 

















        
 
j
jG
XsG
s
XjssYjsk
js
jss
2
max22max





 









    tjtjrp ejGejG
j
X
y    
2
max
Respuesta frecuencial en sistemas LTI(2/2) 
   max 0x t X sen t    
       jtsenjGXtyrp  max
    tjtjrp ejGejG
j
X
y    
2
max
           jjjj ejGejGjG  
      jejGjG 
   
   





 


j
eeee
jGXty
tjjjtjjj
rp
2
max


(rad/sec) 
A
rg
u
m
e
n
to
 (
d
e
g
);
 M
ó
d
u
lo
 (
d
B
) 
Diagrama de Bode 
-10 
0 
10 
20 
10 -1 10 0 10 1 
-100 
-50 
0 
50 
100 
ATENUACIÓN 
AMPLIFICACIÓN 
Diagramas de Bode 
 La respuesta en frecuencia transcurre en el dominio complejo. Presentación visual 
de la respuesta en dos curvas: módulo y argumento. 
 Diagrama de amplitud: la ganancia en decibelios y la frecuencia, en abscisas, estará en 
décadas. 
 En cuanto al argumento se refleja en el diagrama de fase, donde el eje de abscisa es 
igual que en el módulo, es decir, en décadas y el eje de ordenadas se deposita el 
argumento en escala natural. 
 
 
 
 
 
 
    
  

10
10
log
log20


dec
jGdBjG
Justificación 
 La ventaja de la representación logarítmica reside en que los productos se 
convierten en suma y las divisiones en resta. 
 
 
 





















































2
,,
,
2
,,
,
211
211
rnrn
r
r
qp
q
d
p
jnjn
j
j
iz
i
ss
TjTj
ss
Tj
kjG





    
 








































q rnrnr
qp
j
p
jnjn
j
i
iz
jj
rTj
Tjd
jj
TjkjGdBjG
2
,,
,
2
,,
,1010
,21log201log20
log2021log20
1log20log20log20












      
  






















































r rnrn
r
q
qp
j jnjn
j
i
iz
jj
Tjd
jj
TjkjG
2
,,
,
2
,,
,
21arg1arg
2
21arg1argargarg











Diagrama de Bode en términos simples 
 Los términos o factores básicos de los sistemas LTI 
son: 
1. Ganancia estática o término invariante en frecuencias. 
2. Polos y ceros en el origen, (jT)1 
3. Polos y ceros de primer orden, (1+jT)1 
4. Polos y ceros de segundo orden, 1
2
21


























nn
jj





Términos invariantes en frecuencia 
    
  
0
arg
00
log20 10




k
jG
k
kdBjGkjG



-30
-20
-10
0
10
20
30
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
-30
0
30
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
a) G(s)=10 
-40
-30
-20
-10
0
10
20
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
0
45
90
135
180
225
270
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
b) G(s)=-0.1 
Polos y ceros en el origen 
     
  
101/ 20log
arg / 2
G j T G dB T
G
   
 
   
 
Cuando el módulo sea unidad, 
|G()|[dB]=0, cortará al eje de las frecuencias en: T
f
T
pp


2
1
;
1
0,0, 
    
   2/arg
log20




jG
TdBjGTjjG
a) G(s)=? b) G(s)=jw 0.1 
-20
-10
0
10
20
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
10
2
89
89.5
90
90.5
91
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Polos y ceros de primer orden(1/2) 
 Tanto el módulo como el argumento son dos curvas continuas con la 
frecuencia, pero ambas están limitadas por su comportamiento asintótico. 
 
Tj
G




1
1       
   TarctgG
TTjdBjGG




arg
1log201log20
2
   dBjG 0
   radianesG 0arg 
  TjG  log20
  
2
arg  G
Cuando 0  T<< 1, entonces: 
Si    T>> 1, luego: 
La mayor discrepancia que hay entre la respuesta real y la asintótica se da 
en la frecuencia del polo: 
T
T pp
1
1  
   dBjG 3
  
4
arg  G
Ejemplo 
 Calcular la respuesta en frecuencia del cuadripolo RC 
%% Matlab 
>>g=tf(1,[1e-3 1]) 
>>bode(g) 
-40
-30
-20
-10
0
10
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
1
10
2
10
3
10
4
10
5
-90
-45
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
g=tf(1,[1e-3 1])
bode(g)
g=tf(1,[1e-3 1])
bode(g)
g=tf(1,[1e-3 1])
bode(g)
g=tf(1,[1e-3 1])
bode(g)
g=tf(1,[1e-3 1])
bode(g)
Problema 1 
 En el circuito de la figura se considera 
que el amplificador operacional es ideal. 
Éste es excitado por el tren de impulsos 
indicado. Se pide: 
1. Serie de Fourier de la señal de entrada. 
2. Respuesta en frecuencia de la ganancia de 
tensión del circuito. 
3. Diagrama de Bode y curva polar del apartado 
anterior. 
4. Expresión analítica del armónico fundamental 
de la señal de salida. 
 
 Datos: R1= 10k, R2 = 90k, C= 100 
nF, R=105/  
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V
]
Problema 1 
 Serie de Fourier de la señal de entrada: señal de entrada es una función impar y 
de nivel de continua cero: 
 
 
 
 
 Respuesta en frecuencia de la ganancia de tensión del circuito. 
 
 
 
 Diagrama de Bode y curva polar del apartado anterior. 
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V
]    

 n
n
btnsenbu n
n
ne cos1
2
100
1





 



210
1
10



j
Av
-20 
-10 
0 
10 
20 
M
o
d
u
lo
 (
d
B
) 
10 
1 
10 
2 
10 
3 
10 
4 
-90 
-45 
0 
a
rg
u
m
e
n
to
 (
d
e
g
) 
Bode 
 (rad/sec) 
Problema 1 
 Expresión analítica del armónico fundamental de la señal de salida. 
-0.025 -0.02 -0.015 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Tren de impulsos
[s]
[V
]
    

 n
n
btnsenbu n
n
ne cos1
2
100
1





 



210
1
10



j
Av
-20
-10
0
10
20
M
o
d
u
lo
 (
d
B
)
10
1
10
2
10
3
10
4
-90
-45
0
a
rg
u
m
e
n
to
 (
d
e
g
)
Bode 
 (rad/sec)







4
100
2
104
)1(



tsenu erArms
Polos y ceros de primer orden(2/2) 
 Tanto el módulo como el argumento son dos curvas continuas con lafrecuencia, pero ambas están limitadas por su comportamiento asintótico. 
La mayor discrepancia que hay entre la respuesta real y la asintótica se da 
en la frecuencia del polo: 
   dBjG 0
   radianesG 0arg 
  20 logG j T 
  arg 2G
 
Cuando 0  T<< 1, entonces: 
Si    T>> 1, luego: 
1
1z zT
T
   
   3G j dB 
  arg 4G
 
  TjG  1       
   TarctgG
TTjdBjGG




arg
1log201log20
2
Polos y ceros de segundo orden(1/3) 
 Polos de segundo orden 
 
 
 
 a) Baja frecuencia, <<n: 
 
 b) Alta frecuencia, >>n: 
 
 c) =n: 
 
12
1
2

















nn
jj
G






  
2
2
2
21log20 

























nn
dBG






   2
2
arg
1
n
n
G arctg






 
 
  
 
    2log20dBG   
2
 Garctg
  
n
dBG


 log40
   dBdBG 0
    Garctg
   radianesGarctg 0
Polos y ceros de segundo orden(2/3) 
 La respuesta en frecuencia de un sistema de segundo orden estará 
parametrizada, para un valor de frecuencia natural dada, en función de . 
 (rad/sec) 
F
a
s
e
 (
d
e
g
);
 M
a
g
n
it
u
d
 (
d
B
) 
Diagrama de Bode 
-60 
-40 
-20 
0 
20 
10 0 10 1 
-200 
-150 
-100 
-50 
0 
T
o
: 
Y
(1
) 
=0.1 
=0.3 
=0.7 
=1 
=2 
=0.1 
=0.3 
=0.7 
=1 =2 
Polos y ceros de segundo orden(3/3) 
 Para valores de  menores a 0.7 aparece un pico de resonancia, cuya 
amplitud se puede demostrar que vale: 
 
 
 Ejemplo 
    707.00
12
1
2max


 

 rr MGG
221   nr
dBMsradsrad rrn 2010]/[3153605.0]/[31623  
330 100 10R L mH C nF   
Diagrama de Bode de una FDT LTI-SISO. 
1. Sustituir s por j en la FDT-LTI y disponer la expresión 
en los términos básicos, según se han indicado: 
términos invariantes en frecuencia, polos y ceros en el 
origen, polos y ceros de primer y de segundo orden. 
2. Determinar las frecuencias de ruptura de las asíntotas 
de los polos y ceros de la FDT, ordenándolos de menor 
a mayor. 
3. Obtener el trazado asintótico del módulo y del 
argumento. 
4. Ubicar puntos conocidos de las curvas e interpolar. 
Problema de resonancia 
http://www.youtube.com/watch?v=eAXVa__XWZ8 
http://www.youtube.com/watch?feature=fvwp&v=j-zczJXSxnw&NR=1 
Problema 4 
 En una pequeña grúa de construcción se desea mejorar el comportamiento 
del desplazamiento de la carga de masa M cuando ésta es desplazada 
radialmente. Para ello se ha introducido un encoder que permite saber en 
todo momento la longitud del cable del que cuelga la carga (L). Con la ayuda 
de datos experimentales que relacionan la velocidad de desplazamiento del 
carrito de la grúa (Vgrua) con la velocidad radial de desplazamiento de la carga 
(Vcarga) y las ecuaciones físicas que rigen el sistema, se ha llegado al siguiente 
modelo del sistema: 
 
Vgrua 
Vcarga 
Mg 
L 1.- Dibujar el diagrama de bode del sistema 
obteniendo numéricamente los valores más 
característicos. 
 2.- ¿Con que periodo oscilará la carga si es 
sometida a un escalón en la velocidad de 
entrada?. 
L
g
s
M
B
s
L
g
sV
sV
sG
g
c


2)(
)(
)(
m
Ns
s
m BKgMmLg 3540025.38.9 2 
Problema 4 
1. Bode 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. S=-0.04+j1.73 - T=3.6s 
 
Vgrua 
Vcarga 
Mg 
L 
 3 / 0.025 26n rrad s M dB   
-40
-20
0
20
40
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-1
10
0
10
1
-180
-135
-90
-45
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) 0 5 10 15 20 25 30
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
%% Matlab 
>>g=9.8; L=3.25;M=400;B=35; 
>>G=tf(g/L,[1 B/M g/L]) 
>>bode(G); 
>>step(G) 
Problema 4 
 Mediante el método de Truxal y el correspondiente diseño de un filtro Notch se procede a 
intentar cancelar el efecto de las oscilaciones. Se obtiene la función de transferencia de un 
filtro que en serie con la planta modifica la acción de control sobre la velocidad de la grúa 
según la siguiente FDT: 
 
 
 
3.- Dibújese aproximadamente el diagrama de bode del filtro. 
4.- Caracterizar la respuesta temporal del sistema completo ante una entrada en escalón 
5.- Justifique desde el punto de vista frecuencial el efecto del filtrado. 
L
g
s
L
g
s
L
g
s
M
B
s
sV
sV
sG
deseada
g
c



2
)(
)(
)(
2
2
 
 
, ,
,
3 / 0.025 26
3 / 1
n z z r z
n p p
rad s M dB
rad s
 
 
  
  -40
-30
-20
-10
0
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
45
90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Problema 4 
 Mediante el método de Truxal y el correspondiente diseño de un filtro Notch se 
procede a intentar cancelar en cadena abierta el efecto de las oscilaciones. Se 
obtiene la función de transferencia de un filtro que en serie con la planta modifica la 
acción de control sobre la velocidad de la grúa según la siguiente FDT: 
 
 
 
4.- Caracterizar la respuesta temporal del sistema completo ante una entrada en 
escalón 
5.- Justifique desde el punto de vista frecuencial el efecto del filtrado. 
L
g
s
L
g
s
L
g
s
M
B
s
sV
sV
sG
deseada
g
c



2
)(
)(
)(
2
2
 , 3 / 1n p prad s  
-40
-30
-20
-10
0
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-2
10
-1
10
0
10
1
10
2
-90
-45
0
45
90
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
0 1 2 3 4 5 6
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Step Response
Time (sec)
A
m
p
lit
u
d
e
Término 1-jT 
 En los sistemas de fase mínima existe una relación 
biunívoca entre la curva de magnitud y fase. Esta 
característica no ocurre si el sistema es de fase no 
mínima. 
 El desfase final para sistemas de fase mínima cuando la 
frecuencia tiende a infinito es . Siendo n el grado 
del denominador de la FDT y m el grado del numerador. 
En cambio, esto no sucede en sistemas de fase no mínima. 
 En cualquier tipo de sistema, de fase mínima o no, la 
pendiente de la curva del módulo en Bode es -20(n-
m)[dB/dec] para el espectro de alta frecuencia. Por tanto, 
es posible determinar experimentalmente, con el 
diagrama de Bode, si el sistema es de fase mínima o no. 
 mn 
2

Diagrama de Bode del retardo en la transmisión 
 Retardo: 
  TTsenjTeG Tj     1cos
-1
-0.5
0
0.5
1
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
-1260
-1080
-900
-720
-540
-360
-180
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
%%Matlab 
>>g=tf(1,1,'InputDelay',2); 
>>bode(g) 
>>pade(2,1) 
 Aproximación Pade: 
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
-1
-0.5
0
0.5
1
Time (s)
A
m
p
lit
u
d
e
Pade approximation of order 1: step response comparison
 
 
Pade approximation
Pure delay
10
-1
10
0
10
1
-300
-200
-100
0
Frequency (rad/s)
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
re
e
)
Phase response comparison
 
2
1
2
1
Tj
Tj
G






Ejemplo 11.4 
 Obtener el diagrama de Bode del equipo de prácticas de 
la célula Peltier según el modelo de Ziegler-Nichols. 
  22.1
66.131
4




s
e
sG
s
p
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-2160
-1800
-1440
-1080
-720
-360
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
>>g=tf(1.22,[13.66 1],'InputDelay',4) 
>>bode(g) 
2579067.16
624567.16
7.166473.04
67.1629.04073.04
22
11





 rad
g=tf(1.22,[13.66 1],'InputDelay',4)
bode(g)
g=tf(1.22,[13.66 1],'InputDelay',4)
bode(g)
g=tf(1.22,[13.66 1],'InputDelay',4)
bode(g)
Diagrama polar o de Nyquist 
 La repuesta en frecuencia de los sistemas se 
representan a modo de fasor en el diagrama 
polar. 
 Una forma fácil de obtener este diagrama es 
apoyarse previamente en la construcción del 
diagrama de Bode. 
 Escala natural. Utilidad: estabilidadrelativa 
 Términos invariantes en frecuencia 
3
10
0
2
1





k
k
k
k
k

Diagrama polar: Polos y ceros en el origen 
 Polos en el origen 
 
 
 
 
 
 Ceros en el origen 
 
 
  0lim
lim
2/
11
0
jG
jG
TTj
G












2
1
1  






T
G
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0
10
1
-180
-135
-90
-45
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0
10
1
-180
-135
-90
-45
0
-20
-15
-10
-5
0
5
10
0
10
1
-180
-135
-90
-45
0
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
 
 
  




jG
jG
TTjG





lim
0lim
2
0
-5 
0 
5 
10 
15 
20 
10 
0 
10 
1 
0 
45 
90 
135 
180 
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 
-10 
-8 
-6 
-4 
-2 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
1
1
2
G
T

 
   
 
Diagrama polar: Polos y ceros primer orden 
 Polos de primer orden 
 
 
 
 
 Ceros de primer orden 
 
 
 Tarctg
TTj
G 

 




2
1
1
1
1
    2/0lim01lim
0




GG
-40 
-30 
-20 
-10 
0 
10 
-2 
10 
0 
10 
2 
-90 
-45 
0 
-0.5 0 0.5 1 1.5 
-0.5 
-0.4 
-0.3 
-0.2 
-0.1 
0 
0.1 
0.2 
0.3 
0.4 
0.5 
 
   
4
2
1
90lim1
01lim
















T
G
GTjG
G
40 20 
0 
10 
20 
30 
10 
-2 
10 
0 
10 
2 
0 
45 
90 
-1 0 1 2 
-20 
-15 
-10 
-5 
0 
5 
10 
15 
Diagrama polar: Polos y ceros segundo orden 
 Polos de segundo orden 
 
 
 
 
 
 Ceros de segundo orden 
 
222
21
1
12
1



































nnnn
jj
G











   
  1800lim
902
1
2
1
01lim
0
0










G
j
GG n
 máximoValorM rnr
2
2
12
1
21




 
2
21 
















nn
jj
G





 
 
  jG
G
G
n 




2
lim
01lim
0





Diagrama polar: Retardo en la transmisión 
   cos 1j TG j e T j sen T T       
-1
-0.5
0
0.5
1
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
0
10
1
-1260
-1080
-900
-720
-540
-360
-180
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Ejemplo 11.5 
 Obtener la curva polar del equipo de prácticas de la 
célula Peltier según el modelo de Ziegler-Nichols. 
  22.1
66.131
4




s
e
sG
s
p
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
M
a
g
n
itu
d
e
 (
d
B
)
10
-3
10
-2
10
-1
10
0
10
1
-2160
-1800
-1440
-1080
-720
-360
0
P
h
a
s
e
 (
d
e
g
)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
2579067.16
624567.16
7.166473.04
67.1629.04073.04
22
11





 rad