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D E P A R T A 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPLEMENTO DE CÁLCULO 
M E N T O D E C I E N C I A S B Á S I C A S
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Instituto Profesional Dr. Virginio Gómez 
Departamento de Ciencias Básicas 
INTRODUCCION
 Ante las exigencias tales como innovación, calidad, normalización de productos, uso eficiente de
recursos energéticos y el consiguiente tratamiento medioambiental, modernas metodologías en la
fabricación de productos, gestión de la producción y control de procesos; debidas todas ellas al elevado
nivel de competencia determinadapor la globalización de las economías, se requiere que Ud. posea una
formación de alto nivel en competencia técnica, evaluativa y de gestión, organizativa y mucho más.
 Es por ello que debe poseer las herramientas necesarias para desempeñarse en actividades
productivas y de servicios de ingeniería. Algunas de ellas pueden ser generadoras de energía eléctrica, en
los sectores exportadores (minero-metalúrgico, celulosa y papel , agroindustrial, entre otros),
transformación de materiales (siderurgia), consultoría, evaluación de proyectos, montajes industriales y
mantención en sectores productivos.
 Es por tanto necesario un dominio a nivel de aplicación de conceptos involucrados para modelar
fenoménos físicos o geométricos, tales como equilibrio y movimiento de los cuerpos (aplicados en
mecánica -sólidos-, neumática -gases-, hidraúlica -líquidois- ) cuya representación corresponda a funciones
escalares o vectoriales de una o varias variables.
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1
I N D I C E 
 
 
 
 
 
 Pág. 
I SUCESIONES Y SERIES 
 Sucesiones ........................................................................................................... 
 Límite de una sucesión ......................................................................................... 
 Serie .................................................................................................................... 
 Serie geométrica .................................................................................................. 
 Serie p o hipergeométrica ................................................................................... 
 Teoremas sobre series ........................................................................................ 
 Criterio para establecer la convergencia de serie: 
 criterio de comparación .................................................................. 
 criterio de la integral ..................................................................... 
 criterio de la serie alterna ............................................................... 
 criterio de la razón ....................................................................... 
 Serie de potencias ................................................................................................ 
 Serie de Taylor ................................................................................................... 
 
 
3 
4 
7 
8 
9 
11 
 
13 
16 
19 
23 
26 
30 
II FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES 
 Funciones de más de una variable ...................................................................... 
 Dominio de funciones de dos variables ............................................................... 
 
 
35 
36 
 
 
III DERIVADAS PARCIALES 
 Derivadas parciales .................................................................................. 
 Derivación implícita ........................................................................................... 
 Regla de la cadena ........................................................................................... 
 Aplicaciones de las regla de cadena: 
 problemas con enunciado ................................................................ 
 demostraciones .............................................................................. 
 Derivada direccional ......................................................................................... 
 Gradientes ......................................................................................................... 
 Derivadas parciales de orden superior ................................................................. 
 Máximos y mínimos para funciones de varias variables .................................... 
 Hessiano de una función de dos variables .......................................................... 
 Criterio de la segunda derivada .......................................................................... 
 Multiplicadores de Lagrange .............................................................................. 
 
 
40 
45 
48 
 
55 
59 
62 
66 
70 
73 
73 
73 
77 
 
 
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2
IV INTEGRACION MULTIPLE 
 Gráfico en ‘ 3 : .................................................................................................... 
 planos ...................................................................................... .... 
 esfera ........................................................................................... 
 cilindro ........................................................................................... 
 cono .............................................................................................. 
 paraboloide .................................................................................... 
 Integrales dobles .................................................................................................... 
 Propiedades de la integral dobles ....................................................................... 
 Aplicaciones de la integral doble: 
 cálculo de áreas en el plano ........................................................... 
 determinar el valor de la región ‘ ................................................. 
 cálculo de volúmenes ..................................................................... 
 Cálculo de volúmenes ......................................................................................... 
 Coordenadas cilíndricas ..................................................................................... 
 Coordenadas esféricas ........................................................................................ 
 
 
 
82 
82 
86 
87 
 89 
91 
92 
95 
 
98 
103 
108 
116 
123 
128 
 
V CAMPOS VECTORIALES 
 Campos vectoriales ............................................................................................ 
 campo vectorial conservativo ............................................................ 
 campo vectorial conservativo en el plano ......................................... 
 Rotacional .......................................................................................................... 
 Campo vectorial conservativo en el espacio ...................................................... 
 Plano tangente y recta normal a una superficie .................................................. 
 
136 
137 
137 
141 
141 
146 
 
 
VI ECUACIONES DIFERENCIALES 
 Ecuaciones diferenciales .................................................................................. 
 Ecuaciones diferenciales ordinarias de variable separables ............................... 
 Ecuaciones diferenciales ordinarias exactas .......................................................Ecuaciones diferenciales ordinarias .................................................................... 
 
 
150 
151 
 154 
158 
 
 
VII AUTOEVALUACIONES ................................................................................. 162 
 
 
VIII BIBLIOGRAFÍA .................................................................................................. 178 
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Sucesiones
 : Una sucesión o secuencia es una función cuyo dominio es el conjunto de los númerosConcepto
naturales a b ™œ 
 Si el n-ésimo elemento de una sucesión se designa por , entonces una sucesión es el+ œ 0 88 a b
conjunto de parejas ordenadas de la forma , donde a ba b8 0 8 8 − 
Ejemplo: 
 
1) Si , 
2
)(
+
=
n
nnf entonces: 
 
 n 1 2 3 4 5 ... n 
)(nf 
 
3
1 
2
1 
5
3 
3
2 
7
5 
... 
 2+n
n 
 
 Los pares ordenados serán: 
 
...;
2
,...
7
5,5;
3
2,4;
3
1,3;
2
1,2;
3
1,1 





+






























n
nn 
 
 Como el dominio de toda sucesión es siempre , es usual usar la 
notación { } { }nanf =)( para representarla. 
 
En el ejemplo 
 
{ } { }nanf =)( = { },...,...,,,,, 54321 naaaaaa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 { }






+
=






+
= ...,
2
...,,
7
5,
3
2,
5
3,
2
1,
3
1 
2
)(
n
n
n
nnf 
 
 2) si es impar si es par0 8 œ
" 8
$ 8
a b œ
 œ  œ a b0 8 œ "ß $ß "ß $ß "ß $ß "ß $ß ÞÞÞ
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4
 
 
Concepto de Límite de una Sucesión 
 
{ }
Lan
n
Lna
MnLnaM
=
∞→
><−>>
lim
:por denota sey es sucesión la de límite el que dice se
 entonces , que siempre talque0 existe 0 para Si εε
 
 
Si el límite de la sucesión existe se dice que la sucesión es convergente CV 
y si no existe se dice que la sucesión es divergente DV. 
 
 
Límite de una Sucesión 
 
Sea )(xfy = una función real definida ∈∀ x ™ + con lim Lxf =)( , 
 ∞→x 
 
entonces si { }na es una sucesión tal que )( ∈∀= xanf n se tiene que 
lim Lna = 
∞→n 
 Ejemplos À
 Determinar si la sucesión es CV o DV
 1) œ 8
8  #
 0 B œ H970 B œ  Ö  # ×
B
B  #
a b a b ‘
 ™ ‘ ©  Ö  # ×
 lim lim lim
B Ä _ B Ä _ B Ä _
B "
B  #
œ œ œ "
B
B
B # #
B B B
 " 
 Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim
8 Ä _
8
8  #
œ "
 2) œ "  &8
#8  %8
$
$
 0 B œ H970 B œ  Ö! ×
"  &B
#B  %B
a b a b$
$
‘
 ™ ‘ ©  Ö!×
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 lim lim lim
B Ä _ B Ä _ B Ä _
" &B &
#B  %B #
œ œ œ
" &B "
B B B
  &
#B %B
B B
 # 
%
B
$
$
$ $ $
$
$
$ $ #
 Por lo tanto, , luego la sucesión es CV.lim
8 Ä _
"  &8 &
#8  %8 #
œ
$
$
 
 3) œ Š ‹8 † =/8
8
1
 0 B œ B † =/8 H970 B œ  Ö! ×
B
a b a bŠ ‹1 ‘
 ™ ‘ ©  Ö!×
 lim
B Ä _
B † =/8 œ _ † !
B
Š ‹1
 œ
B Ä _
=/8
B
"
B
lim
Š ‹1
 œ
!
!
 œ P L
B Ä _
 -9=
B B

"
B
w #
#
lim
1 1Š ‹
 œ
B Ä _
-9=
B
"
lim
1
1Š ‹
 œ 1
 Por lo tanto, , luego la sucesión CV.lim
8 Ä _
8 † =/8 œ
8
Š ‹1 1
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Teorema: Si { }na y { }nb y son sucesiones CV y es c un número, entonces: 
 
 a) La sucesión { }c tiene como límite c 
 
 b) lim ⋅=⋅ cac n lim na 
 ∞→n ∞→n 
 
 c) lim =± )( nn ba lim na ± lim nb 
 ∞→n ∞→n ∞→n 
 
 d) lim =⋅ nn ba lim ⋅na lim nb 
 ∞→n ∞→n ∞→n 
 
e) 
∞→n
lim na
nb
 = 
nn
nn
b
a
∞→
∞→
lim
lim
 si 0lim ≠
∞→
n
n
b 
 
Ejercicios
 Determine si la sucesión CV o DV
 a) b) c) œ  œ  œ 8  " #8  " 8  "
#8  " $8  " 8
# #
#
 d) e) f) œ  œ  œ È$8 / "#8  8 8
8
8  "  8
$
# #
 Solución
 a) CV b) CV
 c) DV d) DV
 e) DV f) DV
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Series
 
Concepto de Series Infinitas 
 
 
Si { }na es una sucesión infinita, entonces : 
......321
1
+++++=∑
∞
=
n
n
n aaaaa 
 
se llama serie infinita o simplemente serie. Los números ,...321 ,...,,, naaaa 
se llaman términos de la serie infinita. 
 
 Sea la siguiente sucesión de sumas parciales 
 
 
nn aaaaS
aaaS
aaS
aS
++++=
++=
+=
=
L
M
321
3213
212
11
 
 
Si { } { }nn SSSSS ,,,, 321 L= converge, entonces la serie ∑
∞
=1n
na converge. 
 Concepto de convergencia o divergencia de series infinitas
 Sea una serie infinita dada y sea la sucesión de sumas parciales." œ 
8 œ "
_
+ W8 8
Si existe y es igual a , entonces la serie dada es CV y S es la suma de la serielim
8 Ä _
W W8 convergente a b
y si no existe, entonces la serie dada es DV y la serie no tiene suma.lim
8 Ä _
W8 divergente a b
Teorema : Si la serie ∑
∞
=1n
na es CV, entonces 
 
Teorema : Si , entonces la serie dada ∑
∞
=1n
na es DV. 
0lim =
∞→
n
n
a
0lim ≠
∞→
n
n
a
 
 Para determinar la CV o DV de series es necesario conocer algunas series especiales como así
mismo algunos criterios de convergencia de series, pues los dos teoremas antes mencionados no establecen
bajo que condiciones una serie dada CV o DV.
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Serie Geométrica
La serie 
 Primer término 
 
0con 32
0
≠+⋅++⋅+⋅+⋅+=⋅∑
∞
=
ararararaara n
n
n LL 
 razón 
 
razón la es y minoprimer tér el es donde geométrica serie denomina Se ra 
 
Teorema À + † < < W œ
8 œ !
_
8 +
"  <
La serie geométrica de razón converge a si, y sólo si,"
 y diverge si, y sólo si, ¸ ¸ ¸ ¸<  " <   "
 Ejemplos
 Determine si las series son CV o DV
 +Ñ œ < œ  "
8 œ ! 8 œ !
_ _" " "
# # #8
8" " Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ #
"
" 
"
#
 
 ,Ñ < œ  "
8 œ !
_ & &
% %
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie DV.
 
 -Ñ  < œ   "
8 œ !
_ " "
# #
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
" #
" 
"
#
$
 .Ñ # †  < œ   "
8 œ !
_ # #
$ $
8" Œ 
 Por lo tanto, la serie CV y su suma es W œ œ
# '
" 
#
$
&
 Por lo tanto, la serie DV./Ñ $ † < œ  "
8 œ !
_ ' '
& &
8" Œ 
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Serie p o serie Hiperarmónica
0con serie llama se
1
3
1
2
111 serie La
1
>
+++++=∑
∞
=
pp
nn pppn p
LL
 
 
.armónica serie denomina se
1
3
1
2
111 serie la entonces ,1 Si
1
LL +++++== ∑
∞
= nn
p
n
 
 
 
 La serie es si, y sólo si, y es si, y Teorema convergente divergenteÀ : :  "
8 œ "
_ "
8:
"
 sólo si, !  : Ÿ "
 
 Ejemplos
 Determine si las series son CV o DV
 Por lo tanto, la serie DV+Ñ : œ "
8 œ "
_ "
8
"
 Por lo tanto, la serie CV,Ñ : œ $
8 œ "
_ "
8
"
$
 Por lo tanto, la serie DV-Ñ : œ
8 œ "
_ " "
8 $
"
"Î$
 Por lo tanto, la serie CV.Ñ : œ
8 œ "
_ "
8
" 1 1
 Por lo tanto, la serie CV/Ñ : œ
8 œ "
_ " %
8 $
" È$ %
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Ejercicios
 I Decida si las siguientes series geométricas CV. o DV.
"Ñ #Ñ  $Ñ #
8 œ ! 8 œ ! 8 œ !
_ _ _% ( )
# $ &8
8 8" " "Œ  Œ  
%Ñ &Ñ Ð  #&Ñ 'Ñ
8 œ ! 8 œ ! 8 œ !
_ _ _$ &'
Ð  ""Ñ $8
8
8" " " a b 
II Decida si las siguientes series CV. o DV.:
"Ñ #Ñ $Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ #
"&8 8"& 8%Î*
" " " 
%Ñ&Ñ 'Ñ
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# % (
8& 8 8&Î) "#Î&
" " " 
Solución
I
1) la serie CV 2) , la serie DV< œ ß < œ 
" (
# $
3) la serie DV 4) la serie CV< œ ß < œ  ß
) "
& ""
5) la serie DV 6) la serie DV< œ  #&ß < œ &' ß
II
1) la serie DV 2) la serie CV: œ " ß : œ "& ß
3) la serie DV 4) la serie CV: œ ß : œ &ß
%
*
5) la serie DV 6) la serie CV: œ ß : œ ß
& "#
) &
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Teoremas sobre Series
 : Si y son dos series infinitas que difieren solamente en un númeroTeorema 1 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
finito de términos, entonces ambas series CV o ambas series DV.
 : Determine si la serie es CV o DVEjemplo "
8 œ "
_ "
8  "
 y"
8 œ "
_ " " " " " "
8  " # $ % & 8  "
œ     ÞÞÞ   ÞÞÞ
 "
8 œ "
_ " " " " " "
8 # $ % & 8
œ "      ÞÞÞ   ÞÞÞ
 La serie equivale a la serie armónica, pero con un término menos. Como "
8 œ "
_ "
8  "
 es DV, entonces es también DV.! "
8 œ "
_ " "
8 8  "
8 œ "
_
 : Sea una constante no nula:Teorema 2 -
 a) Si es CV y su suma es , entonces es CV y su" " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _
+ W - † + œ - † +8 8 8
 
 suma es -WÞ
 b) Si es DV, entonces DV." "
8 œ " 8 œ "
_ _
, - † ,8 8
 :Ejemplo
 1) " " "
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _# " "
$ $ $8 8 8
œ # † œ # †
 es serie geométrica con y por lo tanto CV."
8 œ "
_ " "
$ $8
< œ
 Así, es CV."
8 œ "
_ #
$8
 
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 2) " "È È
8 œ " 8 œ "
_ _# # "
$ 8 8
œ †
$
 es serie con y por lo tanto DV." È
8 œ "
_ " "
8
: : œ
#
 Así, es DV." È
8 œ "
_ #
$ 8
 
 : Si y son series CV cuyas sumas, respectivamente, son A y B,Teorema3 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
entonces:
 a) es CV y su suma es A B" a b
8 œ "
_
+  , 8 8
 b) es CV y su resta es A B" a b
8 œ "
_
+  , 8 8
 
 :Ejemplo
 " " "Œ 
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _" $ " $
# & # &8 8 8 8
 œ 
 es CV y su suma es "
8 œ "
_ "
#8
"
 es CV y su suma es "
8 œ "
_ $ $
& %8
 Luego, es CV y su suma es " Œ 
8 œ "
_ " $ (
# & %8 8

 
 : Si es una serie CV y es una serie DV, entoncesTeorema 4 " "
8 œ " 8 œ "
_ _
+ ,8 8
 es DV." a b
8 œ "
_
+ „ ,8 8
 
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Ejemplo:
 " " "Œ 
8 œ " 8 œ " 8 œ "
_ _ _& # & #
) *8 ) *88 8
 œ 
 es una serie geométrica con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ & "
) )8
< œ
 es una serie con y por lo tanto DV"
8 œ "
_ # "
* 8
† : : œ "
 Luego, es DV." Œ 
8 œ "
_ & #
) *88

Criterios para establecer la convergencia de series infinitas
 
A.- Criterio de comparación 
 
 
 
Sea ∑
∞
=1n
na una serie de términos positivos: 
 
a) Si ∑
∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es CV y ∈∀≤ nba nn , entonces 
 
∑
∞
=1n
na es CV. 
 
b) Si ∑
∞
=1n
nb es una serie de términos positivos que es DV y ∈∀≥ nba nn , entonces 
 
∑
∞
=1n
na es DV 
 : Determine si la serie CV o DV.Ejemplos
 "Ñ
8 œ "
_ "
&8  "
"
 &8  " Ÿ '8 a8 − 
 
" "
&8  " '8
 
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 serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
'8 ' 8
œ †
 Luego, es DV"
8 œ "
_ "
&8  "
 #Ñ
8 œ "
_ "
8  %
"
#
 8  %   8 a8 −# # 
 
" "
8  % 8
Ÿ
# #
 
 serie con y por lo tanto CV"
8 œ "
_ "
8
: : œ #
#
 Luego, es CV."
8 œ "
_ "
8  %#
 
 
 $Ñ
8 œ "
_ 8
8  "
"
#
 8
8 "
8  " #8
"
" "
# #
#
# "
& %
$
$ "
"! '
%
% "
"( )
&
& "
#' "!
#
 
 
8 "
8  " #8
 
#
 
 serie armónica y por lo tanto DV" "
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
#8 # 8
œ †
 Luego, es DV."
8 œ "
_ 8
8  "#
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Ejercicios
 Decida si la serie CV. o DV.
"Ñ #Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8  ($ %  $8
" " 
 
$Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" "
8  # $8  "#
" " 
 
 &Ñ
8 œ "
_ "
8  %
" È 
Solución
 1) CV 2) CV
3) DV 4) CV
5) DV
 
V
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IO
 G
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16
B) Criterio de la Integral de Cauchy 
 
 
 Sea )(xfy = una función continua, positiva, decreciente y definida 1≥∀ x , entonces la 
 
serie ∑
∞
=1n
na es CV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es CV y la 
 
serie ∑
∞
=1n
na es DV si la integral impropia ∫
∞+
1
)( dxxf es DV . 
 :Ejemplos
 Determinar si la serie CV o DV.
 "Ñ 8 † /
8 œ "
_
8" 
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ B † / 0 B a B   "Ba b a b
 ( (
" "
_
 
,Ä_
B † / .B œ B † / .BB B
,
lim
 ( B † / .B ? œ B Ê .? œ .BB
 .@ œ / .B Ê @ œ  /B B 
 ( (B † / .B œ  B/   / .BB B B  
œ  B/  /  GB B 
œ  G
 B  "
/B
 lim lim
,Ä_ ,Ä_"

"
( º, B † / .B œB  B  "
/B
,
œ 
 ,  " "  "
/ /
lim
,Ä_ ,
œ 
 ,  " #
/ /
lim
,Ä_ ,
 œ P L 
 " #
/ /
w
,Ä_ ,
Œ lim
 œ
#
/
 
Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( "
"
_
 B † / .B Þ 8 † /B 8
#
/
8 œ "
_
V
IR
G
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#Ñ
8 œ "
_ E<->1 8
8  "
" 
#
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B   "
E<->1 B
B  "
a b a b
#
 ( (
" "
_
# #,Ä_
E<->1 B E<->1 B
B  " B  "
.B œ .B
,
lim
 
 ( E<->1 B "
B  " "  B
.B ? œ E<->1 B Ê .? œ .B
# #
 
 ( (E<->1 B
B  "
.B œ ?.?
#
œ  G
?
#
#
 œ G
E<->1 B
#
a b#
 lim lim
,Ä_ ,Ä_"
#
#
"
( a b º, E<->1 B E<->1 B
B  " #
.B œ
,
œ 
E<->1 , E<->1 "
# #
lim
,Ä_
# #a b a b
œ 
) $#
1 1# #
 œ
$
$#
1#
 Por lo tanto, CV a Luego la serie es CV.( "
"
_
# #
#E<->1 B $ E<->1 8
B  " $# 8  "
.B Þ
8 œ "
_1
 $Ñ
8 œ "
_ "
8  " 68 8  "
" a b a bÈ
 es decreciente, positiva y definida 0 B œ 0 B a B   "
"
B  " 68 B  "
a b a ba b a bÈ
 ( (a b a b a b a bÈ È" "
_
,Ä_
" "
B  " 68 B  " B  " 68 B  "
.B œ .B
,
lim
 ( a b a bÈ a b" "B  " 68 B  " .B ? œ 68 B  " Ê .? œ .BB  "
V
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 ( (a b a bÈ È" "B  " 68 B  " .B œ .??
œ ? .?( "#
œ # ?  GÈ
 œ # 68 B  "  GÈ a b
 lim lim
,Ä_ ,Ä_" "
( a b a bÈ È a b º
, "
B  " 68 B  "
.B œ # 68 B  "
,
œ # 68 ,  "  # 68#lim
,Ä_
È a b È
œ _ # 68#È
 œ _
 Por lo tanto, DV Luego la serie( a b a bÈ"
_ "
B  " 68 B  "
.B Þ
 es DV." a b a bÈ8 œ "
_ "
8  " 68 8  "
Ejercicios
 Determine si la serie CV o DV.
 "Ñ #Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _" 8
#8  "
#
8  #$
" " 
 
 $Ñ %Ñ
8 œ # 8 œ "
_ _" /
8 688
"Î8
8
" "a b # #
 
 &Ñ
8 œ "
_ "
8  "#
" È 
 
Solución
 1) DV 2) DV
 3) CV 4) CV
 5) DV
V
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19
Series infinitas de términos positivos y negativos
 
Concepto: Si ∈∀> nan 0 , entonces: 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
aaaaaaa
aaaaaaa
⋅−−−+−+−=⋅−
⋅−++−+−+−=⋅−
++
∞
=
∞
=
∑
∑
1
54321
1
1
54321
1
)1( )1(
y
)1( )1(
L
L
 
 
 
 Se denominan series alternas o series alternantes. 
 
 
 :Ejemplos
 "Ñ  " † œ      ÞÞÞ   " †
8 œ "
_
8 8" " " " " "
8  " # $ % & 8  "
" a b a b
 #Ñ  " † œ "      ÞÞÞ   " †
8 œ "
_
8  " 8  "" " " " " "
8 # $ % & 8
" a b a b
 
C.- Criterio de la serie alterna 
 
 Si ∈∀> nan 0  , entonces las series alternas n
n
n
a⋅−∑
∞
=1
)1( y 
 n
n
n
a⋅− +
∞
=
∑ 1
1
)1( convergen si, y sólo si: 
 
 a) ∈∀<< + naa nn 10  
 
 
b) lim 0=na 
∞→n 
 
V
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 :Ejemplos
 Determine si la serie CV o DV."Ñ  " †
8 œ "
_
8 "
$8
" a b
 + œ + œ8  "
" "
$ 8  " $8
8a b
 +Ñ  a8 −
" "
$8  $ $8

 ,Ñ œ !
"
$8
lim
8Ä_
 Por lo tanto, la serie CV.
 
 #Ñ  " †
8 œ "
_
8  " "
8  "
" a b
#
 + œ + œ8  "
" "
8  "  "
8
8  "a b# #
 +Ñ  a8 −
" "
8  #8  # 8  "# #

 Por lo tanto, la serie CV.,Ñ œ !
"
8  "
lim
8Ä_ #
 :Teorema
 a) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † +  " † +8 8  "8 8
 CVA si la serie es CV.Absolutamente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
 b) Una serie o se dice que es" "a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † +  " † +8 8  "8 8
 CVC si la serie es DV.Condicionalmente Convergente a b "
8 œ "
_
+8
V
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 :Ejemplos
 "Ñ  " †
8 œ "
_
8 &
%8
" a b
 + œ + œ8  "
& &
%8  "
8
%8
 +Ñ  a8 −
& &
%8  " %8

 ,Ñ œ !
&
%8
lim
8Ä_
 La serie es CV." a b
8 œ "
_
 " †8
&
%8
 es una serie geométrica con y por lo tanto, CV" " Œ 
8 œ " 8 œ "
_ _& " "
% % %8
œ & † < œ
8
 Luego la serie CVA" a b
8 œ "
_
 " †8
&
%8
 #Ñ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b È
 + œ + œ8  "
" "
8  "
8
8È È
 +Ñ  a8 −
" "
8  " 8È È 
 ,Ñ œ !
"
8
lim
8Ä_ È
 La serie es CV." a b È
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
 es una serie con y por lo tanto, DV" "È
8 œ " 8 œ "
_ _" " "
8
œ : : œ
8 #
"
#
 Luego la serie CVC" a b È
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
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22
Ejercicios
 Usando criterio de la serie alterna, indique si la serie CV. o DV. En caso de ser CV. decida,
además, si es CVA. o CVC.
"Ñ Ð  "Ñ † #Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8
8  " 8  "#
" " 1 1 
$Ñ Ð  "Ñ † %Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ #
_ _
8 8  "
Ð8  "Ñ 8  "# $
" " 1 1 
 
&Ñ Ð  "Ñ † 'Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8  "
8 8 $8  "
" "È 1 1 
 Solución
 1) CVC 2) CVA 3) CVA
 
 4) CVA 5) CVA 6) CVC
V
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D.- Criterio de la Razón o Criterio de D'Alambert 
 
Sea ∑
∞
=1n
na una serie infinita donde : 0≠na 
 
y ρ=+
∞→ n
n
a
a
n
1lim 
 
entonces: 
 
 a) cuando 1<ρ , la serie CVA. 
 
 b) cuando 1>ρ , la serie DV. 
 
 c) cuando 1=ρ el criterio no da información. 
 
 
Ejemplos:
 Determine si la serie CV o DV.
 
!
"Ñ
8 œ "
_ $8  "
8
"
 !
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a b
+8  "
+ $ † $ 8  "8
œ œ † œ
$8  #
8  "
$8  "
8
$ † $ † $ 8 $8
8  " † 8
8
 lim
8Ä_
$
8  "
œ !  "
 Por lo tanto, CV
!
"
8 œ "
_ $8  "
8
 
!
#Ñ  " †
8 œ "
_
8 #8
8
" a b a b
 
!
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a b a b a b a b a b+8  "+ #88 œ œ †
#8  #
8  "
#8
8
#8  # † #8  " † #8 8
8  "
 œ
%8  '8  #8
8  "
$ #
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
$ #
$ #
%8  '8  #8
8  "
œ
%  '  #
8 8 8
8 8 8
8 "
8 8

V
IR
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IN
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 G
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œ %8  '8  #
" 
"
8
lim
8Ä_
#
œ
_
"
œ _  "
 Por lo tanto, DV.
!" a b a b
8 œ "
_
 " †8
#8
8
 
 $Ñ  " †
8 œ "
_
8 #
8
8
" a b
$
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b+8  "
+8
œ œ †
#8  "
8  "
#8
8
# † # 88
8  "
#8
$
$
$
Š ‹$
 œ
#8
8  $8  $8  "
$
$ #
 lim lim
 8Ä_ 8Ä_
$
$ #
$
$
$ #
$ $ $ $
#8
8  $8  $8  "
œ
#
8
8
8 8 8 "
8 8 8 8
 $  $ 
 œ #
"   
$ $ "
8 8 8
lim
8Ä_
# $
 œ #  "
 Por lo tanto, DV." a b
8 œ "
_
 " †8
#8
8$
 %Ñ  " †
8 œ "
_
8 8  #
&8
" a b
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
+8  "
+ & † & 8  # &8  "!8
œ œ † œ
8  $
&8  "
8  #
&8
8  $ & 8  $
8
8
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
w8  $ " "
&8  "! & &
œ P L œ  "
 Por lo tanto, CVA." a b
8 œ "
_
 " †8
8  #
&8
V
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Ejercicios
 Determine si la serie CV o DV.
 "Ñ #Ñ Ð  "Ñ
8 œ ! 8 œ "
_ _8 " x &
# #8 x8
8
8" "a b a b 
 
$Ñ Ð  "Ñ %Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 8 x 8
8 $ $ 8  "8 8
#" "a b a b 
 
&Ñ Ð  "Ñ
8 œ "
_
8 "
Ð#8  "Ñx
" 
 Solución
1) DV 2) CVA 3) DV 
 
4) CV 5) CVA
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Serie de Potencias
 
 
Concepto: Una serie de potencias en ax − es una serie de la forma : 
 
 variable.es , númerosson y
)(
0
)(3)(3
2)(2)(10
xaib
nax
n
nb
naxnbaxbaxbaxbb −∑
∞
=
=−++−+−+−+ L
 
 
Si x es un número particular, entonces ax − se transforma en un número 
y nax
n
nb )(
0
−∑
∞
=
es una serie infinita de términos constantes. 
 
Si 0=a , entonces se obtiene la siguiente serie 
nxnbxbxbxbb
nx
n
nb +++++=∑
∞
=
L33
2
2100
 
 
 Es importante conocer los intervalos de convergencia o divergencia de una serie de potencias.
Como aparece la variable , entonces una serie de potencias es una función B 0 B œ , B  +
8 œ !
_
8
8a b a b"
donde el dominio de la función es el intervalo de convergencia de la serie. Para ello se utiliza el Criterio de
la Razón y se resuelve la inecuación , además se debe hacer el análisis de los extremos.3  "
 :Ejemplos
 Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
 "Ñ  " †
8 œ "
_
8  " # † B  "
8 8
8 † $8
" a b a b
 º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
a ba b+8  "+8 œ
# † B  "8  " 8  "
8  " † $8  "
# † B  "8 8
8 † $8
 œ †
# † # † B  " † B  " 8 † $8 8 8
8  " † $ † $8 # † B  "8 8
º ºa b a ba b a b
 œ † † B  "
# 8
$ 8  "
¸ ¸
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
# 8 # 8
$ 8  " $ 8  "
† † B  " œ † B  "¸ ¸ ¸ ¸
 œ P L † B  "
# "
$ "
w
8Ä_
¸ ¸ lim
 œ † B  "
#
$
¸ ¸
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# #
$ $
† B  "  " Í  "  ÐB  "Ñ  "¸ ¸
Í   B  " 
$ $
# #
 Í   B 
& "
# #
 Análisis de los extremos
Para B œ 
&
#
" "a b a bŒ 
a b a b
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † œ  " †8  " 8  "
# † 8
$
#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8
 " $8 8
#8 
 œ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b#
 œ 
8 œ "
_ "
8
"
Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV."
8 œ "
_ "
8
Para B œ
"
#
" "a b a bŒ 
8 œ " 8 œ "
_ _
 " † œ  " †8  " 8  "
# †8
$
#
8
8 † $ 8 † $8 8
# †8
$8
#8 
 œ  " †
8 œ "
_
8  " "
8
" a b
 
Pero, es una serie alterna que es CVC." a b
8 œ "
_
 " †8  "
"
8
Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie
 es " a b a b
8 œ "
_
 " †   B Ÿ8  "
# † B  " & "8 8
8 † $ # #8
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#Ñ  " †
8 œ "
_
8 B  $
8
8
" a b a b
!
 !
!
º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a ba ba b+8  "+8 œ
B  $ 8  "
8  "
B  $ 8
8
 
!
!
œ †
B  $ † B  $ 88
8  " † 8 B  $ 8
º ºa b a ba b a b
 œ † B  $
"
8  "
¸ ¸
 
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
" "
8  " 8  "
† B  $ œ B  $¸ ¸ ¸ ¸
 œ B  $ † !¸ ¸
 œ !  "
 Por lo tanto, la serie es CVA 
!
" a b a b
8 œ "
_
 " † a B −8
B  $ 8
8
‘
 
!
$Ñ  " †
8 œ "
_
8 8
"! † B8 8
" a b
 
!
!º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b
+8  "
+8
œ
8  "
"! † B8  " 8  "
8
"! † B8 8
 
!
!
œ †
8  " † 8 "! † B
"! † "! † B † B 88 8
8 8º ºa b
 œ 8  " †
"
"! B
a b ¸ ¸
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
a b ¸ ¸ ¸ ¸8  " † œ Ð8  "Ñ" ""! B "! B
 œ †_
"
"! B¸ ¸
 œ _  "
 Por lo tanto, la serie es DV 
!
" a b a b
8 œ "
_
 " † a B −8
B  $ 8
8
‘
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29
Ejercicios
 Determine el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias
"Ñ Ð#8Ñx † #Ñ Ð  "Ñ †
8 œ ! 8 œ "
_ _B ÐB  &Ñ
#
8
8  "
8
8 † &8
" "Œ  
$Ñ %Ñ Ð  "Ñ †
8 œ" 8 œ "
_ _ÐB  #Ñ ÐB  (Ñ8  " 8
Ð8  "Ñ † $8  "
8  "
8 † (8
" " 
&Ñ Ð  "Ñ † 'Ñ Ð  "Ñ
8 œ " 8 œ "
_ _
8 " 8B 8x ÐB  %Ñ
8  " 8
Ð#8  "Ñ $8
" " #
!
 †
(Ñ )Ñ † Ð  #BÑ
8 œ " 8 œ "
_ _8x † B 88
Ð#8Ñx 8  "
8  "" " Œ  
*Ñ "!Ñ Ð  "Ñ †
8 œ " 8 œ "
_ _# † B # † B8 8 #8  " #8
8 Ð#8Ñx
8" " 
#
 
Solución
 No existe intervalo de convergencia"Ñ
 #Ñ !  B Ÿ "!
 $Ñ  " Ÿ B  &
 %Ñ !  B Ÿ "%
 &Ñ ‘
 No existe intervalo de convergencia'Ñ
 (Ñ ‘
 )Ñ   B 
" "
# #
 *Ñ  Ÿ B Ÿ
" "
# #
 "!Ñ ‘
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30
Serie de Taylor
Concepto : La expresión ∑
∞
=
−⋅
=
0 !
)()(
)(
n n
naxanfxf corresponde a la serie de Taylor de 
f alrededor de ax = o desarrollo de f en una serie de potencias alrededor de ax = . 
 
)(af n es la n-ésima derivada de f evaluada en ax = . 
 
Si la serie de Taylor toma la forma ∑
∞
=
⋅
=
0 !
)0(
)(
n n
nxnfxf que se conoce con el nombre de 
serie de Maclaurin de f . 
 
 Ejemplos
 1)Desarrollar en serie de Taylor en torno a , la función B œ " 0 B œ
"
B
a b
 0 B œ Ê 0 " œ "
"
B
! !a b a b
 0 B œ  œ  B Ê 0 " œ  "
"
B
w
#
# wa b a b
 0 B œ œ #B Ê 0 " œ #
#
B
ww
$
$ wwa b a b
 0 B œ  œ  'B Ê 0 " œ  '
'
B
www
%
% wwwa b a b
 0 B œ œ #%B Ê 0 " œ #%
#%
B
3@
&
& 3@a b a b
0 B œ    
" † B  "  " † B  " # † B  "  ' † B  " #% † B  "
! " #x $ %
a b a b a b a b a b a b a b a b! # $ %
! ! ! !
 0 B œ    
B  " B  " # † B  " ' † B  " #% † B  "
" " # ' #%
a b a b a b a b a b a b! # $ %
 0 B œ B  "  B  "  B  "  B  "  B  "a b a b a b a b a b a b! # $ %
 Por lo tanto, 0 B œ œ  " † B  "
"
B
8 œ !
_
8 8a b a b a b"
V
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31
 2) Desarrollar en serie de Maclaurin 0 B œ -9=Ba b
 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "! !a b a b
 0 B œ  =/8B Ê 0 ! œ !w wa b a b
 0 B œ  -9=B Ê 0 ! œ  "ww wwa b a b
 0 B œ =/8B Ê 0 ! œ !w ww ww wa b a b
 0 B œ -9=B Ê 0 ! œ "3@ 3@a b a b
 
 
! ! ! !
0 B œ    
" † B ! † B  " † B ! † B " † B
! " #x $ %
a b a b! # $ %
 
! ! !
0 B œ  !   ! 
B B B
! # %
a b ! # %
 
! ! !
0 B œ  
B B B
! # %
a b ! # %
 Por lo tanto, 
!
0 B œ -9=B œ  " †
8 œ !
_
8 B
#8
#8
a b a b" a b
3) Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia en À
 +Ñ 0 B œ 68 "  Ba b a b
 0 B œ 68 "  B Ê 0 ! œ !! !a b a b a b
 0 B œ œ "  B Ê 0 ! œ "
"
"  B
w " wa b a b a b
 0 B œ  œ  "  B Ê 0 ! œ  "
"
"  B
ww
#
# wwa b a b a ba b
 0 B œ œ # "  B Ê 0 ! œ #
#
"  B
www
$
$ wwwa b a b a ba b
 0 B œ  œ  ' "  B Ê 0 ! œ  '
'
"  B
3@
%
% 3@a b a b a ba b
 
 0 B œ    
! † B " † B " † B # † B ' † B
" " # ' #%
a b ! # $ %
 0 B œ !  B   
B B B
# $ %
a b # $ %
 Por lo tanto, 0 B œ 68 "  B œ  " †
8 œ !
_
8 B
8  "
8  "
a b a b a b"
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32
 Intervalo de convergencia
 º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
¸ ¸ Œ +8  "
+ 8  # B † B 8  #8 B
œ œ † œ B †
B8  #
8  #
8  "
8  "
B † B 8  " 8  "8
8
#
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ  Œ B † œ B †8  " 8  "
8  # 8  #
 œ P L B †w
8Ä_
"
"
¸ ¸ lim
 œ B¸ ¸
 ¸ ¸B  " Í  "  B  "
 Análisis de los extremos
 Para B œ  "
 " "a b a b a b
8 œ ! 8 œ !
_ _
 " † œ8
 "  "8  " #8  "
8  " 8  "
 œ 
8 œ !
_ "
8  "
"
 œ 
8 œ "
_ "
8
"
 Pero, es la serie armónica y por lo tanto DV"
8 œ "
_

"
8
 Para B œ "
 " "a b a ba b
8 œ ! 8 œ !
_ _
 " † œ  " †8 8
" "8  "
8  " 8  "
 Pero, es una serie alterna que CVC" a b
8 œ !
_
 " †8
"
8  "
 Luego el intervalo de convergencia de la serie es " a b
8 œ !
_
 " †  "  B Ÿ "8
B8  "
8  "
 
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33
 ,Ñ 0 B œ /Ba b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "B! !a b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw wa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bw ww wa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "Bwww wwwa b a b
 0 B œ / Ê 0 ! œ "B3@ 3@a b a b
 
 
! ! ! ! !
0 B œ    
" † B " † B " † B " † B " † B
! " # $ %
a b ! # $ %
 Por lo tanto, 
!
0 B œ / œB
8 œ !
_ B8
8
a b "
 Intervalo de convergencia
 !
!
!
!º º º º
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
a b a b ¸ ¸ Œ + B † B 8 "+ 8  " † 8 B 8  "œ œ † œ B †
B8  "
8  "
B8
8
8
8
8"
8
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
¸ ¸ ¸ ¸Œ  Œ B † œ B †" "
8  " 8  "
 œ B † !¸ ¸
 œ !  "
 Por lo tanto, el intervalo de convergencia de la serie es 
!
"
8 œ !
_ B8
8
‘
Ejercicios
I Desarrollar en serie de Taylor
"Ñ 0ÐBÑ œ B + œ " #Ñ 0ÐBÑ œ + œ  "$
"
B
È con con 
$Ñ 0ÐBÑ œ 68 B  " + œ " %Ñ 0ÐBÑ œ -9= B + œ
$
a b con con 1
 
II Desarrollar en serie de Maclaurin y determinar intervalo de convergencia
"Ñ 0ÐBÑ œ / #Ñ 0ÐBÑ œ =/8 $B $Ñ 0ÐBÑ œ -9= B BÎ#
"
#
 Œ 
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Solución
I
"Ñ 0 B œ "    
B  " B  " & † B  " & † B  "
# ' &% )"
a b a b a b a b# $ %
#Ñ 0 B œ  B  "
8 œ !
_
8a b a b"
$Ñ 0 B œ 68#    
B  " B  " B  " B  "
# ) #% '%
a b a b a b a b# $ %
%Ñ 0 B œ †  " †  †  " †
" $
# #8 # #8  "
8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8  "
B  B 
$ $
#8 #8  "
a b a b a b" "Š ‹ Š ‹a b a b
È1 1
! !
II
"Ñ 0 B œ aB −
8 œ !
_ B8
# † 88
a b "
!
 CV ‘
#Ñ 0 B œ  " † a B −
8 œ !
_
8 $ † B
#8  " #8  "
#8  "
a b a b" a b! CV ‘
$Ñ 0 B œ -9= †  " †  =/8 †  " †
" B " B
# #8 # #8  "
8 œ ! 8 œ !
_ _
8 8  "
8 8  "a b a b a bŒ  Œ " "a b a b
# #
! !
CV aB − ‘
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Funciones de más de una variable
 Hasta el momento se han estudiado funciones de una sola variable, es decir, funciones de la forma
C œ 0 B C B B −a b , donde la variable depende de la variable , . Se extenderá ahora este concepto a‘
funciones de más de una variable.
 Por ejemplo À
 
22),( yxyxfz +== e variableslas de depende yxz 
yzxzyxfw +== ),,( zyxw y , variableslas de depende 
 En estos casos los elementos del dominio de la función no serán números reales, sino elementos
de otros espacios numéricos.
 Si , entonces los elementos del dominio de son pares ordenados y , por lo tanto, seD œ 0 Bß C 0a b
está trabajando en el espacio numérico real bidimensional .a b‘#
 Si , entonces los elementos del dominio de son triadas o ternas y , por lo tanto, seA œ 0 Bß Cß D 0a b
está trabajando en el espacio numérico real tridimensional .a b‘$
 Concepto de función de dos variables
 Sea un conjunto de pares ordenados reales. Si a cada par ordenado de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de e El conjunto es el dominio de y el0 Bß C 0 B CÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß C 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘# a b a bBß C È 0 Bß C œ B  C # #
#Ñ 0 À È‘ ‘# 
a b a bBß C È 0 Bß C œ B  C
BC
 
#
$Ñ 0 À È‘ ‘# 
a b a bBß C È 0 Bß C œ /BC
B  C
 
 
 
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 Concepto de función de tres variables
 Sea un conjunto de ternas ordenadas reales. Si a cada terna ordenada de le corresponde unH H
número real , entonces se dice que es función de El conjunto es el dominio de y el0 Bß Cß D 0 Bß Cß DÞ H 0a b
conjunto de valores es el recorrido de 0 Bß Cß D 0a b
Ejemplos À
"Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B  C  D # # #
#Ñ 0 À È‘ ‘$ a b a bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ B  C
BC  D
 
#
$Ñ 0 À È‘ ‘$ 
a b a b a ba bBß Cß D È 0 Bß Cß D œ -9= BC  D68 C  D  B #
 Dominio de funciones de dos variables
 Para determinar el dominio de funciones de dos variables sedeben considerar las mismas
restricciones que para funciones de una sola variable, es decir,
 a) si la función está formada por una expresión que lleva una raiz cuadrada, entonces la cantidad
subradical debe ser mayor o igual a cero.
 b) si la función está formada por una fracción, entonces el denominador debe ser distinto de cero.
 c) si la función está formada por una fracción con raiz cuadrada en el denominador, entonces la
cantidad subradical debe ser mayor que cero.
 d) si la función está formada por una expresión que tenga logaritmo, entonces el argumento del
logaritmo debe ser mayor que cero.
Ejemplos:
 Determinar el dominio de las siguientes funciones
 "Ñ 0 Bß C œ #&  B  Ca b È # #
 #&  B  C   !# #
 B  C    #& Î †  "# # a b
 B  C Ÿ #&# #
 corresponde a todos los puntos del plano que forman una circunferencia centrada deB  C œ #&# #
radio cinco.
 corresponde a todos los puntos del plano que se encuentran en el interior de laB  C  #&# #
circunferencia de radio cinco.
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H970 œ Bß C − Î Bß C{ se encuentra en y dentro de la circunferenciaa b a b‘#
 }B  C œ #&# #
 #Ñ 0 Bß C œ
$B  &C
B  C
a b
 B  C Á !
B Á C
 corresponde a todos los puntos el plano que están en la recta B œ C B œ C
 { no está en la recta H970 œ Bß C − Î Bß C B œ C ×a b a b‘#
 
 $Ñ 0 Bß C œ 68 #B  Ca b a b
 #B  C  !
 #B  C
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la recta #B œ C C œ #B
 corresponde a todos los puntos del plano que están bajo la recta #B  C C œ #B
 { está bajo la recta H970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B ×a b a b‘#
 
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 %Ñ 0 Bß C œ
*B  #&C  ##&
C  B  #
a b È # #
 *B  #&C  ##&   !# #
*B  #&C   ##& Î À ##&# # 
 
B C
#& *
   "
# #
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la elipse
B C
#& *
 œ "
# #
 
B C
#& *
 œ "
# #
 corresponde a todos los puntos del plano que están fuera de la
B C
#& *
  "
# #
 elipse 
B C
#& *
 œ "
# #
 C  B  # Á !
C Á B  #
 corresponde a todos los puntos del plano que están en la rectaC œ B  #
C œ B  #
 corresponde a todos los puntos del plano que no están en la rectaC Á B  #
 C œ B  #
 { está en y fuera de la elipse H970 œ Bß C − Î Bß C  œ "
B C
#& *
a b a b‘# # #
 y no están en la recta C œ B  # ×
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Ejercicios
 Determine el dominio de las siguientes funciones À
 
 +Ñ 0ÐBß CÑ œ
B  C  "
%C  &B
# #
È
 
 ,Ñ 0ÐBß CÑ œ 68Ð*  B  $C Ñ# #
 -Ñ 0ÐBß CÑ œ
B  C  $'
#B  $C
È # #
#
 
 .Ñ 0ÐBß CÑ œ
/ C  #B
68ÐC  BÑ
È
Solución
 está sobre la recta +ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ B
&
%
œ a b a b‘#
 está en el interior de la elipse ,ÑH970 œ Bß C − Î Bß C  œ "
B C
* $
œ a b a b‘# # #
 está en y dentro de la circunferencia-ÑH970 œ Bß C − Î Bß Cœa b a b‘#
 y no pertenece a la parábola B  C œ $' C œ  B
#
$
# # # 
 { está sobre las rectas e y está en la.ÑH970 œ Bß C − Î Bß C C œ #B C œ Ba b a b‘#
 recta C œ #B ×
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Derivadas Parciales
 
 :por definidas
 , funciones lasson a respectocon y a respectocon de Primeras
parciales derivadas las entonces , variablesdos defunción una , ),( Sea
Conceptos
yx ffyxf
yxfz = 
siempre que exista el límite. 
 
),(),(lim),(),(
0 x
yxfyxxfyxf
x
z
x
yxf
xx ∆
−∆+
==
∂
∂
=
∂
∂
→∆ 
y
yxfyyxfyxf
y
z
y
yxf
y
y ∆
−∆+
==
∂
∂
=
∂
∂
→∆
),(),(lim),(),(
0
 
 Es decir, si entonces para determinar se considera constante la variable y seD œ 0 Bß C ß 0 Ca b B
deriva con respecto a . De la misma forma , para obtener se considera constante la variable y seB 0 BC
deriva con respecto a C
Ejemplos À
Obtener en 0 ß 0 ÀB C
"Ñ 0 Bß C œ $B  #C  (B  %Ca b # $
0 œ 'B  ( 0 œ  'C  %B C
# 
 
#Ñ 0 Bß C œ #BC  *B  &Ca b $ %
0 œ #C  #(B 0 œ #B  #!CB C
# $ 
 
$Ñ 0 Bß C œ $BC  %Ba b a b# $
0 œ $ $BC  %B $C  % 0 œ ")BC $BC  %BB C
# # ## #a b a b a b 
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%Ñ 0 Bß C œ
#B  &C
$B  #C
a b $
0 œ 0 œ
# $B  #C  $ #B  &C  "&C $B  #C  # #B  &C
$B  #C $B  #C
B C
$ # $
# #
a b a b a b a b
a b a b 
0 œ 0 œ
%C  "&C  #!C  %&BC  %B
$B  #C $B  #C
B C
$ $ #
# #a b a b 
 
&Ñ 0 Bß C œ BC  B C  B Ca b # $ % (
0 œ C  #BC  %B C 0 œ B  $B C  (B CB C
$ $ ( # # % ' 
 
'Ñ 0 Bß C œ B/  >1 #B  $CBCa b a b
0 œ /  BC/  #=/- #B  $C 0 œ B /  $=/- #B  $CBC BC BCB C
# # #a b a b 
 
(Ñ 0 Bß C œ 68 B  C  =/8 BC  BC -9= BCa b a b a b a b# #
0 œ  C -9= BC  C-9= BC  BC =/8 BC
#B
B  C
B # #
#a b a b a b
0 œ  B -9= BC  B-9= BC  B C=/8 BC
 #C
B  C
C # #
#a b a b a b
 El concepto de derivada parcial también es posible extenderlo para una función de tres variables.
 Sea , una función de tres variables, entonces las derivadas parciales primeras de A œ 0 Bß Cß D 0a b
con respecto a , a y a están definidas porB C D À
 
`0 Bß Cß D `A 0 B  Bß Cß D  0 Bß Cß D
`B `B B
œ œ 0 Bß Cß D œ
B Ä !
a b a b a ba bB lim
?
?
?
 
`0 Bß Cß D `A 0 Bß C  Cß D  0 Bß Cß D
`C `C C
œ œ 0 Bß Cß D œ
C Ä !
a b a b a ba bC lim
?
?
?
 , z
`0 Bß Cß D `A 0 Bß Cß D  D  0 Bß Cß D
`D `D D
œ œ 0 Bß C œ
D Ä !
a b a b a ba bD lim
?
?
?
 siempre que el límite exista
 
 Es decir, si para determinar se consideran constantes las variables y y seA œ 0 Bß Cß D 0 C DBa b
deriva con respecto a la variable . De esta misma forma para obtener se consideran constantes lasB 0C
variables y y se deriva con respecto a la variable . Por último, por igual camino para calcular seB D C 0D
consideran constantes las variables e y se deriva con respecto a la variable .B C D
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Ejemplos À
Obtener en0 ß 0 ß 0 ÀB C D
"Ñ 0 Bß Cß D œ #B  %C  &D  $B  %C  Da b # $ %
0 œ %B  $ 0 œ  "#C  % 0 œ #!D  "B C D
# $ 
 
#Ñ 0 Bß Cß D œ BC  $CD  %BD  BCDa b
0 œ C  %D  CD 0 œ B  $D  BD 0 œ  $C  %B  BCB C D 
 
$Ñ 0 Bß Cß D œ BC/  68 B  C  DBDa b a b
0 œ C/  BCD/ BD
"
B  C  D
B
BD
0 œ B/ BD
"
B  C  D
C
0 œ B C/ BD
"
B  C  D
D
#
%Ñ 0 Bß Cß D œ
$B  &C
#C  D
a b
0 œ
$
#C  D
B
0 œ œ
 & #C  D  # $B  &C &D  'B
#C  D #C  D
C # #
a b a b
a b a b
0 œ
$B  &C
#C  D
D #a b
 
&Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B  C  D  =/8 $B  C  >1 &C  %Da b a b a b a b# # #
0 œ  $ -9= $B  C
#B
B  C  D
B # # #
a b
0 œ  -9= $B  C  &=/- &C  %D
#C
B  C  D
C # # #
#a b a b
0 œ  %=/- $B  C
#D
B  C  D
D # # #
#a b
 
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'Ñ 0 Bß Cß D œ B/  C -9= BCD  D BCDBCDa b a b È
0 œ /  BCD/  C D =/8 BCD BCD BCD
CD
# BCD
B
#
#a b È
0 œ B D/  -9= BCD  BCD =/8 BCD BCD
BD
# BCD
C
#
#a b a b È
0 œ B C/  BC =/8 BCD  BCD BCD
BCD
# BCD
D
# # a b È È
 
(Ñ 0 Bß Cß D œ =/8 #B  $C  >1 $C  %D  68 &D  Ba b a b a b a b$ #$ %
0 œ '=/8 #B  $C -9= #B  $C  )Ò68 &D  B Ó †
"
&D  B
B
# %a b a b a b a b
0 œ  *=/8 #B  $C -9= #B  $C  *Ò=/- $C  %D Ó $C  %DC
# # $ #a b a b a b a b
0 œ  "#Ò=/- $C  %D Ó $C  %D  %!Ò68 &D  B Ó †
"
&D  B
D
# $ # %a b a b a b a b
Ejercicios
 I Determine y en:0 0B C
 +Ñ 0 Bß C œ $B  %C  B C  BCa b # $
 ,Ñ 0 Bß C œ 68 $B  'C  -9= $BC  '  B >1 #C  "!a b a b a b a b
 -Ñ 0 Bß C œ $B  %C  $B  C  %B  )Ca b a bÈ ) ( '
 .Ñ 0 Bß C œ
(B  )C
%C  *B
a b
 II Determiney en:0 ß 0 0B C D
 +Ñ 0 Bß Cß D œ BCD  68 $B  %C  &D  %B  'C  *Da b a b
 ,Ñ 0 Bß Cß D œ %B  *C  (Da b È$ % % (
 -Ñ 0 Bß Cß D œ -9= $B  'C  (D  /  B C D-9= BCDa b a b a b $ % '
 .Ñ 0 Bß Cß D œ
B68C  D=/8C
C>1B  BC/
a b
D
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44
Solución
I +Ñ 0 œ $  #BC  C 0 œ  %  B  $BCB C$ # #
 ,Ñ 0 œ  $C † =/8 $BC  '  >1 #C  "!
$
$B  'C
B a b a b
 0 œ   $B † =/8 $BC  '  #B † =/- #C  "!
'
$B  'C
C
#a b a b
 -Ñ 0 œ  #% $B  C  #)B
$
# $B  %C
B
( 'È a b
 0 œ   ) $B  C  %)C
#
$B  %C
C
( &È a b
 .Ñ 0 œ 0 œ 
"!!C "!!B
%C  *B %C  *B
B C# #a b a b
II +Ñ 0 œ CD   % 0 œ BD   '
$ %
$B  %C  &D $B  %C  &D
B C
 0 œ BC   *
&
$B  %C  &D
D
 ,Ñ 0 œ 0 œ
"'B  $'C
$ %B  *C  (D $ %B  *C  (D
B C
$ $
% % ( % % (# #É Éa b a b$ $
 0 œ
%*D
$ %B  *C  (D
D
'
% % ( #Éa b$
 -Ñ 0 œ  $=/8 $B  'C  (D  CD † =/8 BCD † /  $B C D-9= BCDB # % 'a b a b a b
 0 œ  '=/8 $B  'C  (D  BD † =/8 BCD † /  %B C D-9= BCDC $ $ 'a b a b a b
 0 œ (=/8 $B  'C  (D  BC † =/8 BCD † /  'B C D-9= BCDD $ % &a b a b a b
 .Ñ 0 œ
68C C>1B  BC/  B68C  D=/8C C=/- B  C/D
C>1B  BC/D
B
D #
#
a b a ba b
a b
 0 œ
B
C
 D-9=C C>1B  BC/  B68C  D=/8C >1B  B/D D
C>1B  BC/D
C #
Œ a b a ba b
a b
 0 œ
 =/8C C>1B  BC/  B68C  D=/8C BC/D D
C>1B  BC/D
D #
a ba b a ba b
a b
V
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45
Derivación implícita
 Cuando no es posible despejar una variable en función de las restantes se usa el concepto de
derivada implícita.
 Si , es decir, es una función de dos variables que depende de e . Para obtener D œ 0 Bß C D B C
`D
`B
a b
se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a . C D B
 Para obtener se considera constante la variable y se deriva implícitamente con respecto a
`D
`C
B D
C.
 Obtener , enEjemplo À À
`D `D
`B `C
 "Ñ B  C  D œ #&# # #
 Para 
`D
`B
 #B  #D † œ ! Ê œ 
`D `D B
`B `B D
 Para 
`D
`C
 #C  #D † œ ! Ê œ 
`D `D C
`C `C D
 
 #Ñ >1 B  C  >1 C  D œ "a b a b
 Para 
`D
`B
 =/- B  C  =/- C  D † œ !
`D
`B
# #a b a b
 
`D =/- B  C
`B =/- C  D
œ 
#
#
a ba b
 Para 
`D
`C
 =/- B  C  =/- C  D † "  œ !
`D
`C
# #a b a b Œ 
 
`D =/- B  C  =/- C  D
`C =/- C  D
œ 
# #
#
a b a ba b
 $Ñ D † /  C † /  / œ #BD CD BC
 Para 
`D
`B
 
`D `D `D
`B `B `B
† /  D † / † D  B †  C † / †  C/ œ !BD BD CD BCŒ  #
V
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46
 
`D D /  C/
`B /  BD/  C /
œ 
BD BC
BD BD CD
#
#
 Para 
`D
`C
 
`D `D `D
`C `C `C
† /  BD † / †  /  C † / † D  C †  B/ œ !BD BD CD CD BCŒ 
 
`D /  CD/  B/
`B /  BD/  C /
œ
CD CD BC
BD BD CD#
 %Ñ /  >1 CD œ 68 BCD  -9= BDBCD a b a b a b
 Para 
`D
`B
 / CD  BC  C=/- CD œ CD  BC  =/8 BD † D  BBCD
`D `D " `D `D
`B `B BCD `B `B
Œ  Œ  Œ a b a b#
 
`D
`B
œ
"
B
 D=/8 BD  CD/BCD
BC/  C=/- CD   B=/8 BDBCD
"
D
a b
a b a b#
 
 Para 
`D
`C
 / BD  BC  =/- CD D  C œ BD  BC  B=/8 BDBCD
`D `D " `D `D
`C `C BCD `C `C
Œ  Œ  Œ a b a b#
 
`D
`B
œ
"
C
 D=/- CD  BD/BCD
BC/  C=/- CD   B=/8 BDBCD
"
D
#
#
a b
a b a b
Ejercicios
 Obtener y en
`D `D
`B `C
À
 
 +Ñ B  %C  *D œ $' ,Ñ CD  BD  BC  BCD œ !# # #
 -Ñ $B  %C  'D œ '! .Ñ #B  C  D œ 68D% $ &
 /Ñ =/8ÐB  CÑ  -9=ÐC  DÑ  =/-ÐD  BÑ œ " 0Ñ B/  C=/8 CD œ D>1 BDBC a b a b
V
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47
Solución
 +Ñ œ  œ
`D B `D %C
`B *D `C *D
 ,Ñ œ œ
`D CD  D  C `D BD  D  B
`B C  B  BC `C C  B  BC
 -Ñ œ  œ 
`D #B `D #C
`B &D `C &D
$ #
% %
 .Ñ œ œ
`D # `D  "
`B `C" "
D D
 "  "
 /Ñ œ
`D  -9= B  C  =/- B  D >1 B  D
`B =/8 C  D  =/- B  D >1 B  D
a b a b a ba b a b a b
 
 
`D  -9= B  C  =/8 C  D
`C =/8 C  D  =/- B  D >1 B  D
œ
a b a ba b a b a b
 0Ñ œ
`D D =/- BD  /  BC/
`B C -9= CD  >1 BD  BD =/- BD
# # BC BC
# #
a ba b a b a b
 
 
`D B /  =/8 CD  CD -9= CD
`C >1 BD  BD =/- BD  C -9= CD
œ
# BC
# #
a b a ba b a b a b
 
 
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Regla de la cadena
 
 
Teorema : Supóngase que ),( yxfz = , es una función de dos variables y que existen 
 
 y 
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂
con ),( srfx = e ),( srfy = funciones de sr y para las cuales 
 
 existen las derivadas .,,,
s
y
r
y
s
x
r
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
 Luego, 
s
z
r
z
∂
∂
∂
∂ y existen y vienen dadas por: 
 
 
 
 
 
 
s
y
y
z
s
x
x
z
s
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
r
y
y
z
r
x
x
z
r
z
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
Ejemplos
 1) Determine en:
`D
`<
 D œ B  C# #
 B œ =  <$ %
 C œ =<
 
`D `D `B `D `C
`< `B `< `C `<
œ †  †
 
`D `D `B `C
`B `C `< `<
œ #B œ #C œ %< œ =$
 
`D
`<
œ #B %<  #C =a b a ba bˆ ‰$
 
 2) Determine en:
`D
`=
 D œ C  $B C$ #
 B œ <-9= =a b
 C œ <=/8 =a b
 
 
`D `D `B `D `C
`= `B `= `C `=
œ †  †
 
 
`D `D `B `C
`B `C `= `=
œ  'BC œ $C  $B œ  <=/8 = œ <-9= =# # a b a b
 
`D
`=
œ  'BC  <=/8 =  $C  $B <-9= =a ba b a ba b a bˆ ‰# #
V
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49
 3) Determine y en:
`D `D
`+ `,
 D œ =/8 #B  $Ca b
 B œ >1 +  /a b ,
 C œ 68 "  +  -9= $,a b a b
 
`D `D `B `D `C
`+ `B `+ `C `+
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ #-9= #B  $C œ $-9= #B  $Ca b a b
 
`B `C "
`+ `+ "  +
œ =/- + œ #a b
 
`D "
`+ "  +
œ #-9= #B  $C =/- +  $-9= #B  $C a b a b a ba b a bˆ ‰ Œ #
 
 
`D `D `B `D `C
`, `B `, `C `,
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ #-9= #B  $C œ $-9= #B  $Ca b a b
 
`B `C
`, `,
œ  / œ  $=/8 $,, a b
 
`D
`+
œ #-9= #B  $C  /  $-9= #B  $C  $=/8 $,a b a ba ba b a b a bˆ ‰,
 El teorema también es aplicable para funciones de tres variables 
Si ),,( zyxfw = es una función de tres variables para la cual existen 
 
z
w
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ,, con ),(;),(;),( srfzsrfysrfx === . 
 
 Entonces w es función de sr y , luego 
 
s
w
r
w
∂
∂
∂
∂ y existen y están definidas por: 
 
 
 
 
 
r
z
z
w
r
y
y
z
r
x
x
w
r
w
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂
 
s
z
z
w
s
y
y
z
s
x
x
w
s
w
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
+
∂
∂
⋅
∂
∂
=
∂
∂ 
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 :Ejemplos
 1) Obtener en:
`A
`<
 A œ B  #CD  D# $
 B œ -9= <  /=a b
 C œ #<  $=
 D œ 68 <  >1 #=a b a b
 
`A `A `B `A `C `A `D
`< `B `< `C `< `D `<
œ †  †  †
 
`A `A `A
`B `C `D
œ #B œ #D œ #C  $D#
 
`B `C `D "
`< `< `< <
œ  =/8 < œ # œa b
 
`A "
`< <
œ #B  =/8 <  #D #  #C  $Da ba b a ba ba b ˆ ‰Œ #
 2) Obtener en:
`A
`=
 A œ -9= B  C  Da b# $
 B œ < =$ %
 C œ =/8 $<#a b
 D œ >1 %=  (a b'
 
`A `A `B `A `C `A `D
`= `B `= `C `= `D `=
œ †  †  †
 
`A `A
`B `C
œ  #B=/8 B  C  D œ =/8 B  C  Dˆ ‰ ˆ ‰# $ # $
 
`A
`D
œ  $D =/8 B  C  D# # $ˆ ‰
 
`B `C `D
`= `= `=
œ %< = œ ! œ #%=/- %=  ( † %=  ($ $ # ' &a b a b
 
`A
`=
œ  #B=/8 B  C  D %< =   $D =/8 B  C  D #%=/- %=  ( † %=  (ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ˆ ‰ˆ ‰ ˆ ‰ a b a b# $ $ $ # # $ # ' &
 
 
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 3) Determine en :
`A
`+
 A œ
BC
D
 B œ +-9= ,  =/8 ,a b a b
 C œ 68 +  +=/8 ,a b a b
 D œ #+  $,
 
`A `A `B `A `C `A `D
`+ `B `+ `C `+ `D `+
œ †  †  †
 
`A C `A B `A BC
`B D `C D `D D
œ œ œ 
#
 
`B `C " `D
`+ `+ + `+
œ -9= , œ  =/8 , œ #a b a b
 
`A C B " BC
`+ D D + D
œ -9= ,   =/8 ,   #Š ‹ Š ‹ Š ‹a b a b a ba b Œ  #Otra aplicación de la regla de la cadena es la siguiente: 
 
1) Sea ),( yxfz = una función de dos variables donde y 
y
z
x
z
∂
∂
∂
∂ existen, 
 con )(tfx = e )(tfy = , entonces z depende de t y 
t
z
∂
∂ queda definida por: 
 
 
dt
dy
y
z
dt
dx
x
z
dt
dz
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
 
 
2) Sea ),,( zyxfw = una función de tres variables donde 
z
w
y
w
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂ y , existen, 
con )(tfx = , )(tfy = y )(tfz = , entonces w depende de t y 
t
w
∂
∂ queda definida por: 
 
 
dt
dz
z
w
dt
dy
y
w
dt
dx
x
w
dt
dw
⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
+⋅
∂
∂
= 
 
 
 
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 Ejemplos
 1) Determine en:
.D
.>
 D œ BC/BC
 B œ >  >% È
 C œ > † 68 >  "$a b
 
.D `D .B `D .C
.> `B .> `C .>
œ †  †
 
`D `D
`B `C
œ C/  BC / œ B/  B C/BC BC BC BC# #
 
.B " .C "
.> .> >  "
œ %>  œ 68 >  "  $> † 68 >  " †
# >
$ $ #È a b a b
 
 
.D " "
.> >  "
œ C/  BC / %>   B/  B C/ 68 >  "  $> † 68 >  " †BC BC BC BC
# >
ˆ ‰ ˆ ‰ È Œ a b a b# $ # $ #
 Determine en:#Ñ
.A
.>
 A œ BCD
 B œ >  $>  &(
 C œ
>
>  $#
 D œ E<-=/8 >a b
 
.A `A .B `A .C `A .D
.> `B .> `C .> `D .>
œ †  †  †
 
`A `A `A
`B `C `D
œ CD œ BD œ BC
 
.B .C " >  $  > #> .D "
.> .> .>
œ (>  $ œ œ
>  $ "  >
'
#
# # #
a b a b
a b È
 
.A $  > "
.>
œ CD (>  $  BD   BC
>  $ "  >
a b a b a bˆ ‰    a b È'
#
# # #
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Ejercicios
 Determine À
 
 si+Ñ
`A
`<
 A œ 68ÐB  C Ñ# #
 
 B œ < -9= >
 C œ < =/8 >
 si,Ñ
.E
.>
 E œ B  C  #B  $C$ $ È
 
 B œ E<->1 >  -9=> =/8>a b
 C œ > † >1 >a b
 si-Ñ ß ß
`? `? `?
` ` `3 ) 9
 ? œ B  #C  #D# # #
 B œ -9= =/83 ) 9
 C œ =/8 =/83 ) 9
 D œ -9=3 9
 Hallar en el punto si.Ñ Ð"ß "ß "Ñ
`A
`B
 A œ -9= +,a b
 + œ BCD
 , œ
%ÐB  C Ñ
1
# #
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Solución
 +Ñ œ -9= >   =/8 >
`A #B #C
`< B  C B  C
Œ  Œ # # # #
 
 ,Ñ œ $B   =/8 >  -9= >
`E B "
`> "  >#B  $C È Œ # # ##
   $C  >1 >  > =/- >
$
# #B  $C È a b# #
 -Ñ œ #B -9= =/8  %C =/8 =/8  %D -9=
`?
`3
) 9 ) 9 9a ba b a ba b a ba b
 
`?
`
œ #B  =/8 =/8  %C -9= =/8
)
3 ) 9 3 ) 9a ba b a ba b
 
`?
`
œ #B -9= -9=  %C =/8 -9=  %D =/8
9
3 ) 9 3 ) 9 9a ba b a ba b a ba b
 .Ñ "ß "ß " œ !
`A
`B
a b
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Aplicaciones de la regla de la cadena
 A) Problemas con enunciado
 1) En cierto instante, el radio de la base de un cilindro recto es de 12 cm. y la altura es de 36 cm..
En ese instante, el radio decrece a razón de 5 cm/seg. y la altura crece a razón de 4 cm/seg.¿Con qué
rapidez cambia el volumen en ese momento?
 
 Z œ < 2 Z œ 0 <ß 21 # a b
 cm
cm
seg
< œ 0 > œ  & < œ "#
.<
.>
a b
 cm
cm
seg
2 œ 0 > œ % 2 œ $'
.2
.>
a b
 
.Z `Z .< `Z .2
.> `< .> `2 .>
œ †  †
 
.Z .< .2
.> .> .>
œ # <2 †  < †a b ˆ ‰1 1 #
 
.Z
.>
œ )'% †  &  "%% † %a b a b a b a b1 1
 
.Z
.>
œ  %$#!  &('1 1
 
 
.Z
.>
œ  $(%%1
 El volumen decrece a razón de cm /seg$(%%1 3
 
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56
 2) En cierto instante, el ángulo de un triángulo tiene 60º y crece a razón de 5 grados/seg., el!
lado c mide 10 cm. y crece a razón de 1 cm/seg y el lado b mide 16 cm y decrece a razón de cm/seg."#
Hallar la velocidad de variación del lado a.
 
 Por teorema del coseno
 + œ ,  -  #,- † -9=# # # !
 ; ; ; + œ 0 ,ß -ß , œ 0 > - œ 0 > œ 0 >a b a b a b a b! !
 + œ ,  -  #,- † -9=È # # !
 º cm 
grados cm
seg seg
!
!
œ '! œ & , œ "' œ 
. ., "
.> .> #
 cm 
cm
seg
- œ "! œ "
.-
.>
 
.+ `+ . `+ ., `+ .-
.> ` .> `, .> `- .>
œ †  †  †
!
!
.+ ,- † =/8 . ,  - † -9= ., -  , † -9= .-
.> .> .> .>
œ  
,  -  #,- † -9= ,  -  #,- † -9= ,  -  #,- † -9=
     È È È! ! ! !! ! !# # # # # #
.+ " "
.> #
œ ,- † =/8 &  ,  - † -9=   -  , † -9= "
,  -  #,- † -9=È ” •a ba b a b a ba bŒ # # ! ! ! !
.+ " ""
.> "% #
œ   #  %!! $Œ È
.+ " (
.> "% #
œ   %!! $Œ È
 
El lado a crece a razón de 
cm
seg
" (
"% #
  %!! $Œ È
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57
 3) Una caja rectangular cambia de tamaño en tal forma que su longitud crece a razón de 3 cm/seg,
su ancho decrece a razón de 2 cm/seg y su altura crece a razón de 1 cm/seg
 a)¿Cuál es la rapidez de variación del volumen en el instante en que la longitud es 15, el ancho es
10 y la altura es 8 cm.?
 b) ¿Con qué rapidez cambia el área total en ese mismo instante?
 
 +Ñ Z œ 6+2 Z œ 0 +ß 6ß 2a b
 ; 
cm cm
seg seg
+ œ "! œ  # 6 œ "& œ $
.+ .6
.> .>
 
cm
seg
2 œ ) œ "
.2
.>
 
.Z `Z .+ `Z .6 `Z .2
.> `+ .> `6 .> `2 .>
œ †  †  †
 
.Z .+ .6 .2
.> .> .> .>
œ 62  +2  6+a b a b a b
 
.Z
.>
œ "#!  #  )! $  "&! "a ba b a ba b a ba b
 El volumen crece a razón de 150 cm /seg.
.Z
.>
œ "&! 3
 
 ,ÑE œ #+6  #+2  #62
 
.E `E .+ `E .6 `E .2
.> `+ .> `6 .> `2 .>
œ †  †  †
 
.E .+ .6 .2
.> .> .> .>
œ #6  #2  #+  #2  #+  #6a b a b a b
 
.E
.>
œ %'  #  $' $  &! "a ba b a ba b a ba b
 El área total crece a razón de 66 cm /seg.
.E
.>
œ '' 2
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Ejercicios
 La altura de un cono circular recto es 200 cm. y está creciendo a razón de 40 cm/min. El"Ñ
radio de la base es 60 cm. y decrece a razón de 15 cm/min. ¿ Con qué rapidez varía el volumen del cono
en ese instante ?
 Las dimensiones de un sólido rectangular en un instante dado son largo 15 cm., ancho 8#Ñ À
cm. y alto 12 cm. Si el largo y el alto decrecen a razón de 2 y 3 cm/seg ,respectivamente, y el ancho crece
a razón de 5 cm/seg. Calcular la razón de cambio del:
 volumen.+Ñ
 área total si el sólido es sin tapa.,Ñ
 área total si el sólido es con tapa.-Ñ
 Las dimensiones de un cilindro recto, en un instante dado son radio 16 cm. y altura 50 cm. Si el$Ñ
radio crece a razón de 4 cm/seg y la altura decrece a razón de 10 cm/seg. Determinar la razón de
cambio del À
 volumen.+Ñ
 área total , si el cilindro no tiene tapa.,Ñ
 área lateral, si el cilindro tiene tapa.-Ñ
Solución
 El volumen del cono decrece a razón de cm /min."Ñ (#Þ!!! 1 3
 #Ñ
 
 El volumen del sólido rectangular crece a razón de cm /seg.+Ñ $%) 3
 El área total del sólido rectangular decrece a razón de cm /seg si el sólido es sin ,Ñ ( #
 tapa.
 El área total del sólido rectangular crece a razón de cm /seg si el sólido es con tapa.-Ñ &# #
 $Ñ
 El volumen del cilindro crece a razón de cm /seg.+Ñ $)%! 1 3
 El área total del cilindro crece a razón de cm /seg .,Ñ #!) #
 El área lateral del cilindro crece a razón de cm /seg .-Ñ )! #
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 B) Demostraciones
 Sea . Haciendo "Ñ A œ 0 C  B  >ß D  C  > ? œ C  B  > à @ œ D  C  >a b
Demostrar que 
`A `A `A `A
`B `C `D `>
 #   œ !
 con y A œ 0 ?ß @ ? œ C  B  > @ œ D  C  >a b
 
`A `A `? `A `@
`B `? `B `@ `B
œ †  †
 
`A `A `A `A `A
`B `? `@ `B `?
œ  "  ! Ê œ a b a b
 
`A `A `? `A `@
`C `? `C `@ `C
œ †  †
 
`A `A `A `A `A `A
`C `? `@ `C `? `@
œ "   " Ê œ a b a b
 
`A `A `? `A `@
`D `? `D `@ `D
œ †  †
 
`A `A `A `A `A
`D `? `@ `D `@
œ !  " Ê œa b a b
 
`A `A `? `A `@
`> `? `> `@ `>
œ †  †
 
`A `A `A `A `A `A
`> `? `@ `> `? `@
œ  "  " Ê œ  a b a b
 
`A `A `A `A `A `A `A `A `A `A
`B `C `D `> `? `? `@ `@ `? `@
 #   œ   #  #   
 
 
`A `A `A `A
`B `C `D `>
 #   œ !
 Por lo tanto, 
`A `A `A `A
`B `C `D `> #   œ !
 
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 2) Suponga que donde y son constantes. Demostrar que:? œ 0 B  +>ß C  ,> ß + ,a b
 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 Sea y: œ B  +> ; œ C  ,>
 
`? `? `: `? `;
`> `: `> `; `>
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `? `?
`> `: `; `> `: `;
œ +  , Ê œ +  ,a b a b
 
`? `? `: `? `;
`B `: `B `; `B
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `?
`B `: `; `B `:
œ "  ! Ê œa b a b
 
`? `? `: `? `;
`C `: `C `; `C
œ †  †
 
 
`? `? `? `? `?
`C `: `; `C `;
œ !  " Ê œa b a b
 
 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 +  , œ +  ,
`? `? `? `?
`: `; `: `;
 Por lo tanto, 
`? `? `?
`> `B `C
œ + †  , †
 
 3) Para con e , demostrar que:A œ 0 Bß C B œ <-9= C œ <=/8a b ) )
 Œ  Œ  Œ  Œ Œ `A `A `A " `A
`B `C `< < `
 œ 
# # # #
# )
 
`A `A `B `A `C
`< `B `< `C `<
œ †  †
 
`A `A `A
`< `B `C
œ † -9=  † =/8a b a b) )
 Œ  Œ  Œ `A `A `A `A `A
`< `B `B `C `C
œ -9=  # † -9= =/8  =/8
# # #
# #) ) ) )
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`A `A `B `A `C
` `B ` `C `
œ †  †
) ) )
 
`A `A `A
` `B `C
œ †  <=/8  † <-9=
)
) )a b a b
 Œ  Œ  Œ `A `A `A `A `A
` `B `B `C `C
œ < =/8  #< † -9= =/8  < -9=
)
) ) ) )
# # #
# # # # #
 Œ Œ  Œ  Œ " `A `A `A `A `A
< ` `B `B `C `C
œ =/8  # † -9= =/8  -9=
#
# # #
# #
)
) ) ) )
 Œ  Œ Œ  Œ  Œ a b a b`A " `A `A `A
`< < ` `B `C
 œ -9=  =/8  =/8  -9=
# # # #
#
# # # #
)
) ) ) )
 Œ  Œ Œ  Œ  Œ `A " `A `A `A
`< < ` `B `C
 œ 
# # # #
# )
 Por lo tanto, Œ  Œ  Œ  Œ Œ `A `A `A " `A
`B `C `< < `
 œ 
# # # #
# )
Ejercicios
 Si tiene derivadas parciales continuas respecto a"Ñ A œ 0ÐB  Cß B  CÑ
 ? œ B  C ß @ œ B  CÞ
 Pruebe que 
`A `A `A `A
`B `C `? `@
† œ 
# #Œ  Œ 
 Si y con #Ñ + œ 0ÐBß CÑ , œ 1ÐBß CÑ B œ < -9= > à C œ < =/8 >
 Demuestre que y 
a` " `, `, " `+
`< < `> `< < `>
œ œ 
Solución
 
 Se cumple"Ñ
 Sugerencia: Efectúe las siguientes condiciones:#Ñ
 y 
`+ `, `+ `,
`B `C `C `B
œ œ 
 
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 Derivada direccional
 La derivada direccional es una generalización de la derivada parcial que permite obtener la razón
de cambio de una función con respecto a la distancia en cualquier dirección. Así la derivada parcial con
respecto a puede considerarse como la derivada en la dirección y la derivada parcial con respecto a B B C
puede considerarse como la derivada en la dirección .C
 
 Sea una función de dos variables y sea un vector unitario.D œ 0 Bß C ? œ -9= 3  =/8 4a b p ) )
Entonces la derivada direccional de en la dirección de , denotada por es0 ? H 0 Bß C Àp ? a b
 
 si existe el límiteH 0 Bß C œ
2 Ä !
0 B  2-9= ß C  2=/8  0 Bß C
2
? a b a b a blim ) )
 Si y se obtiene? œ 3 Ê œ ! Ê -9=! œ " à =/8! œ ! Àp )
 H 0 Bß C œ œ
2 Ä !
0 B  2ß C  0 Bß C `0
2 `B
3 a b a b a blim
 Si y se obtiene? œ 4 Ê œ Ê -9= œ !à =/8 œ " À
# # #
p
)
1 1 1
 H 0 Bß C œ œ
2 Ä !
0 Bß C  2  0 Bß C `0
2 `C
4 a b a b a blim
 
 Así, y son casos especiales de la derivada direccional.
`0 `0
`B `C
 
Teorema: Si ),( yxf y sus derivadas parciales son continuas y 
 
 jseni θθµ += cosr , entonces: 
 
 
 θθµ senyxfyxfD yx ),(cos),( +=r 
 
 
 
 
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 Ejemplos
 1) Dada la función , hallar la derivada direccional de en la0 Bß C œ B  C  #B  #C 0a b # #
dirección en el punto ) 1œ # Î$  #ß  &a b
0 Bß C œ #B  # Ê 0  #ß  & œ  #B Ba b a b 
0 Bß C œ #C  # Ê 0  #ß  & œ  "#C Ca b a b 
? œ -9= 3  =/8 4 Ê ? œ  3  4
# # " $
$ $ # #
p pŒ  Œ  È1 1 
H 0  #ß  & œ  #    "#
" $
# #
? a b a b a bŒ   È
H 0  #ß  & œ "  ' $? a b È
 2) Calcular la derivada direccional de en en la dirección de0 Bß C œ C -9=#B Î'ß "a b a b# 1
@ œ $3  %4
p
0 Bß C œ  #C =/8 #B Ê 0 Î'ß " œ  # " =/8 œ  $
$
B B
# #a b a b a b Š ‹ È 1 1
0 Bß C œ #C -9= #B Ê 0 Î'ß " œ # " -9= œ "
$
C Ca b a b a b Š ‹ 1 1
m@m œ *  "' œ & ß @ ? œ Ê ? œ 3  4
@ $ %
m@m & &
p p p p
p
È no es unitario, 
H 0 Î'ß " œ  $  " 
$ %
& &
? a b a bŠ ‹È Œ  Œ 1
H 0 Î'ß " œ 
$ $  %
&
? a b È1
 Este concepto también es aplicable para funciones de tres variables. En , la dirección de un‘3
vector está determinado por sus cosenos directores, es decir À
, ? œ -9= 3  -9= 4  -9= 5! " #
 Sea una función de tres variables y unConcepto À 0 Bß Cß D ? œ -9= 3  -9= 4  -9= 5a b p ! " #
vector unitario, entonces la derivada direccional en dirección de está dada por? Àp
 si existe elH 0 Bß Cß D œ
0 B  2-9= ß C  2-9= ß D  2-9=  0 Bß Cß D
2
?
2Ä!
a b a b a blim ! " #
límite
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Teorema: Si ),,( zyxf es una función de tres variables y 
 
 kji γβαµ coscoscos ++=r , entonces: 
 
 
 γβαµ cos),,(cos),,(cos),,(),,( zyxfzyxfzyxfzyxfD zyx ++=r 
 
 
 
Ejemplos À
 1) Dada la función . Encontrar la derivada direccional de0 Bß Cß D œ B  BC  BD  C  Da b # # #
0 Bß Cß D T  "ß #ß " @ œ #3  4  #5a b a ben en la dirección del vector p
0 Bß Cß D œ #B  C  D Ê 0  "ß #ß " œ  "B Ba b a b 
0 Bß Cß D œ B  #C Ê 0  "ß #ß " œ $C Ca b a b 
0 Bß Cß D œ  B  #D Ê 0  "ß #ß " œ  "D Da b a b 
m@m œ %  "  % œ $ ß @ ? œ Ê ? œ 3  4  5
@ # " #
m@m $ $ $
p p p
p
È no es unitario, 
H 0 Bß Cß D œ  "  $    " 
# " #
$ $ $
? a b a b a b a bŒ  Œ  Œ 
H 0 Bß Cß D œ  "? a b
 2) Hallar la derivada direccional si en en la dirección0 Bß Cß D œ / -9= B  / =/8 C T !ß !ß #a b a bC D
del vector si TU U  #ß "ß #
p a b
0 Bß Cß D œ  / =/8B Ê 0 !ß !ß # œ !B B
Ca b a b 
0 Bß Cß D œ / -9= B  / -9= C Ê 0 !ß !ß # œ "  /C C
C D #a b a b 
0 Bß Cß D œ / =/8 C Ê 0 !ß !ß # œ !D D
Da b a b 
TU œ U T œ  #ß "ß #  !ß !ß # œ  #ß "ß !
Ä a b a b a b
m@m œ %  "  ! œ &ß @ ? œ Ê ? œ  3  4
@ # "
m@m & &
p p p p
p
p
È È È È no es unitario, 
H 0 Bß Cß D œ !   "  /  ! !
# "
& &
?
#a b a b a b a ba b   È È
H 0 Bß Cß D œ
"  /
&
?
#a b È
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Ejercicios
 Determine la derivada direccional si se conoce la función, el punto en que se ha de evaluar y la
dirección o vector.
 el punto es y la dirección +Ñ 0 Bß C œ ß "ß # œ
C $
B  C %
a b a b ! 1
 el punto es y la dirección ,Ñ 0 Bß C œ B  BC  C ß $ß " œ
&
'
a b a b# # ! 1
 el punto es y la dirección -Ñ 0 Bß C œ C  B-9= ÐBCÑ ß !ß ! œ
#
$
a b a b ! 1
 el punto es y el vector .Ñ 0 Bß C œ #B  $BC  C ß "ß  " @ œ 3  4a b a b# # p
 el punto es y el vector /Ñ 0 Bß Cß D œ BE<->1ÐCDÑ ß %ß "ß " @ œ Ò#ß  "ß "Óa b a b p
 el punto es y el vector 0Ñ 0 Bß Cß D œ ß Ð#ß $ß &Ñ @ œ 5
BC
D
a b p
 el punto es y el vector está en la dirección 1Ñ 0 Bß Cß D œ 68ÐB  C  D Ñ ß !ß "ß ! TUa b a b# # Ä
 si yT !ß "ß ! U $ß %ß "a b a b
 el punto es y el vector está en la dirección 2Ñ 0 Bß Cß D œ ß "ß "ß " EF
B  C  D
68ÐB  C  DÑ
a b a bÈ # # # Ä
si yE #ß  "ß " F "ß !ß #a b a b
 
Solución
 +ÑH 0 "ß # œ ,ÑH 0 $ß " œ -ÑH 0 !ß ! œ
# &  ( $ $  "
' # #
? ? ?a b a b a bÈ È È
 .ÑH 0 "ß  " œ  # # /ÑH 0 %ß "ß " œ 0ÑH 0 #ß $ß & œ 
' '
"# #&
? ? ?a b a b a bÈ È 1
 1ÑH 0 !ß "ß ! œ 2ÑH 0 "ß "ß " œ
$ 68$  "
"* $ 68 $
? ? #
a b a bÈ a b
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 Gradientes
 1) De H 0 Bß C œ 0 Bß C -9=  0 Bß C =/8? B Ca b a b a b) )
 œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † Ò -9= ß =/8 ÓB Ca b a b ) )
 œ Ò0 Bß C ß 0 Bß C Ó † ?B C
pa b a b
 
 
El vector jyxfiyxf yx ),(),( + 
 
se conoce como vector gradiente 
 
 jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇=jyxfiyxfyxfyxfgrad yx ),(),(),(),( +=∇=
 
 
 De #Ñ H 0 Bß Cß D œ 0 Bß Cß D -9=  0 Bß Cß D -9=  0 Bß Cß D -9=? B C Da b a b a b a b! " #
 œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † Ò -9= ß -9= ß -9= ÓB C Da b a b a b ! " #
 œ Ò0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D ß 0 Bß Cß D Ó † ?B C D
pa b a b a b
 
El vector kzyxfjzyxfizyxf zyx ),,(),,(),,( ++ 
 
se conoce como vector gradiente 
 
 kzyxfjzyxfizyxfzyxfzyxfgrad zyx ),,(),,(),,(),,(),,( ++=∇= 
 
 Así ß H 0 Bß C œ ? † f0 Bß C?
pa b a b
 H 0 Bß Cß D œ ? † f0 Bß Cß D?
pa b a b
 Sea la medida en radianes del ángulo formado por los vectores y entonces! ? f0ßp
 , pero ? † f0 œ m?m † mf0m † -9= m?m œ "p p p!
 ? † f0 œ mf0m † -9=p !
 Si entonces alcanza su máximo valor, es decir, la derivada direccional alcanza su! œ !ß -9=! œ "
máximo valor cuando está en la misma dirección y sentido que ? f0p
 
),,(),,(Máx 
),( ),(Máx 
zyxfzyxfD
yxfyxfD
∇=
∇=
µ
µ
r
r
 
 
 Si ° entonces ° alcanza su mínimo valor, es decir, la derivada direccional! œ ")! ß -9=")! œ  "
alcanza su mínimo valor cuando está en la misma dirección, pero sentido contrario con ? f0p
 
),,(),,(Mín 
),( ),(Mín 
zyxfzyxfD
yxfyxfD
∇−=
∇−=
µ
µ
r
r
 
 
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 Ejemplos À
 1) La temperatura en cualquier punto de una placa rectangular situada en el plano esT Bß C BCa b
X Bß C œ
 C
B  C
a b 
# #
 a) Determine el vector gradiente en el punto T $ß %a b
 b) Obtener la máxima derivada direccional de la temperatura en este punto
 c) Hallar la dirección donde se produce la máxima razón de cambio en este punto
 +Ñ X Bß C œ Ê X $ß % œ
#BC #%
B  C '#&
B B
# # #
a b a ba b
 X Bß C œ Ê X $ß % œ
 B  C  #C (
B  C '#&
C C
# # #
# # #
a b a ba ba b
 fX $ß % œ ß
#% (
'#& '#&
a b ” •
 Máx,Ñ H X $ß % œ mfX $ß % m œ  œ
#% ( "
'#& '#& #&
?
# #a b a b ËŒ  Œ 
 -Ñ ? œ œ œ ß
fX $ß % #% (
mfX $ß % m #& #&
#% (
'#& '#&
ß
"
#&
p a ba b
” • ” •
 
 2) Si volts es el potencial eléctrico en cualquier punto en y Z T Bß Cß D Z œ
'!
B  C  D
a b È‘3 # # #
Þ ÀEncontrar
 a) Rapidez de cambio del potencial en el punto en la dirección del vectora b "ß "ß  "
@ œ $3  '4  #5
p
 b) Magnitud y dirección de la mínima razón de cambio del potencial en este mismo punto.
 +Ñ Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ œ $
'!B '! #!
B  C  D $ $
$
B B
# # # $
a b a bÉa b È È
 Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ  œ  $
'!C '! #!
B  C  D $ $
$
C C
# # # $
a b a bÉa b È È
 Z Bß Cß D œ  Ê Z  "ß "ß  " œ œ $
'!D '! #!
B  C  D $ $
$D
a b a bÉa b È È# # # $ D
 fZ  "ß "ß  " œ $ß  $ß $
#! #! #!
$ $ $
a b ” •È È È
 no es unitario, m@m œ *  $'  % œ ( @ ? œ 3  4  5
$ ' #
( ( (
p p pÈ
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 H Z  "ß "ß  " œ $ß  $ß $ † ß  4 ß 5
#! #! #! $ ' #
$ $ $ ( ( (
? a b ” • ” •È È È
 H Z  "ß "ß  " œ $
##!
#"
? a b È
 Mín,Ñ H Z  "ß "ß  " œ  mfZ  "ß "ß  " m œ  #!? a b a b
 Dirección ? œ œ
fZ  "ß "ß  "
 mfZ  "ß "ß  " m  #!
#! #! #!
$ $ $
$ß  $ß $
p a ba b
” •È È È
 œ  ß 
$ $ $
$ $ $
” •È È È
Ejercicios
 Obtener el gradiente de la función y el valor de la máxima derivada direccional en el punto"Ñ
indicado À
 +Ñ 0 Bß C œ B  -9=ÐBCÑ T Ð"ß Î% Ña b # 1
 ,Ñ 0 Bß C œ B C  B  C TÐ$ß %Ña b È
 -Ñ 0 Bß Cß D œ /  D T Ð!ß  $ß "ÑBCa b #
 Obtener el gradiente de la función y el valor de la mínima derivada direccional en el punto#Ñ
indicado À
 +Ñ 0 Bß C œ B  BC  C T  "ß "a b a b# #
 ,Ñ 0 Bß Cß D œ ÐB  CÑ  ÐC  DÑ  ÐD  BÑ T #ß  "ß #a b a b# # #
 $Ñ
 La densidad , en cualquier punto de una placa rectangular, en el plano , es+Ñ ÐBß CÑ BC
H Bß C œ Þ
BC
B  C  $
a b È # #
 Halle la razón de cambio de la densidad en el punto 2,3 en la dirección de +Þ"Ñ œ & Î$Þa b ! 1
 Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de la densidad en ese+Þ#Ñ
punto.
 Suponga que la temperatura en cualquier punto está dada,Ñ Bß Cß Da b
por À X Bß Cß D œ B C  CD  /BCa b #
 Determinar la razón de cambio de en el punto P 1,1,1 en la dirección del vector OP donde,Þ"Ñ X a b p
O es el origen del sistema.
 ¿Cuál es la mínima razón de cambio en P?.¿ En qué dirección?.,Þ#Ñ
 
 El potencial eléctrico es en volts en el plano y -Ñ Z Bß C BC Z Bß C œ $B C  %C  BCa b a b a b $ #
-Þ"ÑDetermine la razón de cambio del potencial en la dirección del vector CD
p
con en el punto G #ß " àH 'ß #  "ß  % Þa b a b a b
-Þ#ÑObtener el vector gradiente en este mismo punto.
 Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio del potencial en-Þ$Ña b "ß  % Þ
 Hallar un vector unitario ortogonal al vector gradiente en . Con ese vector calcule-Þ%Ñ  "ß  %a b
la derivada direccional en el mismo punto.
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Solución
 "Ñ
 Máx+Ñf0 "ß Î% œ #  ß  H 0 "ß Î% œ
# #
) # )
# †  "' #  "%%a b a b È È È ÈÉ1 11 1 1? #
 Máx,Ñ f0 $ß % œ "ß H 0 $ß % œ
( '&
% %
a b a bŒ  È?
 Máx-Ñ f0 !ß  $ß " œ  $ß !ß # H 0 !ß  $ß " œ "$a b a b a b È?
 #Ñ
 Mín+Ñ f0  "ß " œ  "ß " H 0  "ß " œ  #a b a b a b È?
 Mín,Ñf0 #ß  "ß # œ "!ß %ß "! H 0 #ß  "ß # œ  ' 'a b a b a b È?
 $Ñ
 +Þ"ÑH 0 #ß $ œ
")  ( $
'%
? a b È
 Máx +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ ? œ ß
$($ ") (
$# $($ $($
?
pa b È  È È
 
 ,Þ"ÑH 0 "ß "ß " œ
& $  # $/
$
? a b È È
 Mín +Þ#Ñ H 0 #ß $ œ  #/  )/  *? #a b È
 ? œ ß ß 
/  # /  # "
#/  )/  * #/  )/  * #/  )/  *
p
# # # È È È
 -Þ"ÑH 0  "ß  % œ 
"'# "(
"(
? a b È
 -Þ#ÑfZ  "ß  % œ  $#ß  $%a b a b
 Máx -Þ$Ñ H 0 #ß $ œ # &%& ? œ  ß 
"' "(
&%& &%&
?
pa b È  È È
 los vectores unitarios ortogonales al gradiente son -Þ%Ñ
    È È È È"( "' "( "'&%& &%& &%& &%&ß   ß
 El valor de la derivada direccional en ambos casos es cero.
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Derivadas Parciales de orden superior
 Si es una función de dos variables, es decir, , entonces y son funciones0 D œ 0 Bß C
`0 `0
`B `C
a b
también de dos variables. Luego, es posible volver a derivarlas y obtener así las derivadas parciales de
segundo orden que se definen como:
 +Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß C  0 Bß C ` 0
`B 2 `B2 Ä !
a b a b a bB B B
BB
#
#
lim
 ,Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2  0 Bß C
`C 2 `C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CC
#
#
lim
 -Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2  0 Bß C ` 0
`C 2 `C`B2 Ä !
a b a b a bB B B
BC
#
lim
 .Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß C  0 Bß C
`B 2 `B`C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CB
#
lim
 : Para funciones continuas . En este curso sólo se trabajará con funciones continuas.Nota 0 œ 0BC CB
 :Ejemplos
 Dada la función, obtener 0 ß 0 ß 0BB CC BC
 "Ñ 0 Bß C œ #B  $B C  BC  $Ca b $ # # #
 0 œ 'B  'BC  C 0 œ  $B  #BC  'CB C# # #
 0 œ "#B  'C 0 œ #B  'BB CC
 0 œ  'B  #CBC
 
 #Ñ 0 Bß C œ / -9=B  =/8Ca b a bBC
 0 œ C/ -9=B  =/8C  / † =/8BB BC BCa b
 0 œ B/ -9=B  =/8C  / † -9=CC BC BCa b
 0 œ C / -9=B  =/8C  C/ † =/8B  C/ † =/8B  / † -9=BBB # BC BC BC BCa b
 0 œ B / -9=B  =/8C  B/ † -9=C  B/ † -9=C  / † =/8CCC # BC BC BC BCa b
 0 œ / -9=B  =/8C  BC/ -9=B  =/8C  C/ † -9=C  B/ † =/8BBC BC BC BC BCa b a b
 Este concepto también se puede extender para funciones de tres variables
 Sea una función de tres variables con , y funciones también de tresA œ 0 Bß Cß D
`0 `0 `0
`B `C `D
a b
variables, entonces las segundas derivadas parciales se definen como:
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 +Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß Cß D  0 Bß Cß D ` 0
`B 2 `B2 Ä !
a b a b a bB B B
BB
#
#
lim
 ,Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2ß D  0 Bß Cß D
`C 2 `C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CC
#
#
lim
 -Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß Cß D  2  0 Bß Cß D ` 0
`D 2 `D2 Ä !
a b a b a bD D D
DD
#
#
lim
 
 .Ñœ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2ß D  0 Bß Cß D ` 0
`C 2 `C`B2 Ä !
a b a b a bB B B
BC
#
lim
 /Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß Cß D  2  0 Bß Cß D ` 0
`D 2 `D`B2 Ä !
a b a b a bB B B
BD
#
lim
 0Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß Cß D  0 Bß Cß D
`B 2 `B`C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CB
#
lim
 1Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß Cß D  2  0 Bß Cß D
`D 2 `D`C2 Ä !
` 0a b a b a bC C C
CD
#
lim
 2Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 B  2ß Cß D  0 Bß Cß D ` 0
`B 2 `B`D2 Ä !
a b a b a bD D D
DB
#
lim
 3Ñ œ œ 0 œ
` 0 0 Bß C  2ß D  0 Bß Cß D ` 0
`C 2 `C`D2 Ä !
a b a b a bD D D
DC
#
lim
 : Para funciones continuas . En este curso sólo se trabajaráNota 0 œ 0 ß 0 œ 0 ß 0 œ 0BC CB BD DB CD DC
con funciones continuas.
 Ejemplos
 Para las siguientes funciones, determinar 0 ß 0 ß 0 ß 0 ß 0 ß 0BB CC DD BC BD CD
 "Ñ 0 Bß Cß D œ B  $B C  C  $C D  D  BD  CDa b $ # $ # # #
 0 œ $B  'BC  D 0 œ $B  $C  'CD  DB C# # # #
 0 œ  $C  #D  #BD  CD #
 0 œ 'B  'C 0 œ 'C  'DBB CC
 0 œ #  #B 0 œ 'BDD BC
 0 œ #D 0 œ  'C  "BD CD
 
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 #Ñ 0 Bß Cß D œ / † -9=D  / † =/8B  / † >1 Ca b B C D
 0 œ / † -9=D  / † -9=B 0 œ / † =/8B  / † =/- CB CB C C D #
 0 œ  / † =/8D  / † >1 CD B D
 0 œ / † -9=D  / =/8B 0 œ / † =/8B  #/ † =/- C † >1 CBB CCB C C D #
 0 œ  / † -9=D  / † >1 C 0 œ / † -9=BDD BCB D C
 0 œ  / † =/8D 0 œ / † =/- CBD CDB D #
Ejercicios
 1) En la ecuación de Laplace es‘# À
 
` 0 ` 0
`B `C
 œ !
# #
# #
 Demuestre que las siguientes funciones cumplen esta ecuación
 +Ñ 0ÐBß CÑ œ 68ÐB  C Ñ# #
 ,Ñ 0ÐBß CÑ œ E<->1 
C B
B B  C
Š ‹
# #
 -Ñ 0ÐBß CÑ œ / † =/8 C  / † =/8 BB C
 .Ñ 0ÐBß CÑ œ E<->1
#BC
B  C
Œ # #
 2) En la ecuación de Laplace es‘$ À
 
` 0 ` 0 ` 0
`B `C `D
  œ !
# # #
# # #
 Demuestre que la función cumple con esta ecuación.0ÐBß Cß DÑ œ
"
B  C  DÈ # # #
Solución
 Cada una de las funciones cumple con la ecuación de Laplace, tanto en como en .‘ ‘# 3
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Máximos y mínimos para funciones de varias variables
 :Conceptos
 1) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ]D œ 0 Bß C B ß C ß 0 B ß Ca b a b! ! ! !
es un punto de de si, y sólo simáximo relativo 0 Bß Ca b
 a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C Ÿ 0 B ß Ca b a b a b a b! !
 ) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ]# D œ 0 Bß C B ß C ß 0 B ß Ca b a b! ! ! !
es un punto de de si, y sólo simínimo relativo 0 Bß Ca b
 a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C   0 B ß Ca b a b a b a b! !
 ) Si es una función de dos variables, entonces se dice que el punto [ ] es$ D œ 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b
un de si, y sólo si punto crítico 0 Bß C f0 +ß , œ Ò !ß ! Óa b a b
 Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un%Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a b
máximo relativo de si 0 Bß C a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C Ÿ 0 +ß ,a b a b a b a b a b
 Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un&Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a b
mínimo relativo de si 0 Bß C a Bß C − H970 Bß C ß 0 Bß C   0 +ß ,a b a b a b a b a b
 Si [ ] es un punto crítico de , entonces se dice que [ ] es un %Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b a b punto
de silla de si [ ] no es máximo ni mínimo.0 Bß C +ß ,ß 0 +ß ,a b a b
 Hessiano de una función de dos variables
 Sea una función de dos variables, se define el Hessiano como:D œ 0 Bß Ca b
 L Bß C œ 0 0
0 0
a b Œ BB BC
CB CC
 : Criterio de la Segunda derivadaTeorema a b
 Si [ ] es un punto crítico, entonces:+ß ,ß 0 +ß ,a b
 
 1) [ ] es un de si, y sólo si+ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bmínimo relativo
 ¸ ¸a b a bL +ß ,  ! • 0 +ß ,  !BB
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 2) [ ] es un de si, y sólo si+ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bmáximo relativo
 ¸ ¸a b a bL +ß ,  ! • 0 +ß ,  !BB
 [ ] es un de si, y sólo si$Ñ +ß ,ß 0 +ß , 0 Bß Ca b a bpunto de silla
 ¸ ¸a bL +ß ,  !
 No hay información si %Ñ L +ß , œ !¸ ¸a b
 
 :Ejemplos
 Estudiar los máximos y mínimos relativos de las funciones:
 "Ñ 0 Bß C œ &  B  Ca b # #
 0 œ  #B 0 œ  #CB C
 0 œ ! Ê  #B œ ! Ê B œ !B
 0 œ ! Ê  #C œ ! Ê C œ !C
 Así, es el punto crítico de a b a b!ß !ß & 0 Bß C
 0 œ  # 0 œ  # 0 œ !BB CC BC
 L Bß C œ Ê L !ß ! œ # !  # !
!  # !  #
a b a bŒ  Œ 
 ¸ ¸a b a bL !ß ! œ %  ! • 0 !ß ! œ  #  !BB
 Por lo tanto, es un máximo relativo de a b a b!ß !ß & 0 Bß C
 
 #Ñ 0 Bß C œ #B  C  $B  $C  "#B  %a b $ $ #
 0 œ 'B  'B  "# 0 œ $C  $B C# #
 0 œ ! Ê 'B  'B  "# œ ! Ê B œ " • B œ  #B "# #
 0 œ ! Ê $C  $ œ ! Ê C œ " • C œ  "C " ##
 Así, son puntos críticos de a b a b a b a b"ß "ß  "$ à "ß  "ß  * à  #ß "ß "% à  #ß  "ß ")
 0 Bß Ca b
 0 œ "#B  ' 0 œ 'C 0 œ !BB CC BC
 L Bß C œ "#B  ' !
! 'C
a b Œ 
 L "ß " œ Ê L "ß " œ "!)  ! • 0 "ß " œ ")  !") !
! '
a b a b a bŒ  ¸ ¸ BB
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 Por lo tanto, es un mínimo relativo de a b a b"ß "ß  "$ 0 Bß C
 L "ß  " œ Ê L "ß  " œ  "!)  !") !
!  '
a b a bŒ  ¸ ¸
 Por lo tanto, es un punto de silla de a b a b"ß  "ß  * 0 Bß C
 L  #ß " œ Ê L "ß " œ  "!)  ! ") !
! '
a b a bŒ  ¸ ¸
 Por lo tanto, es un punto de silla de a b a b #ß "ß "% 0 Bß C
 L  #ß  " œ  ") !
!  '
a b Œ 
 ¸ ¸a b a bL "ß " œ "!)  ! • 0 "ß " œ  ")  !BB
 Por lo tanto, es un máximo relativo de a b a b #ß  "ß ") 0 Bß C
 
 en el intervalo $Ñ 0 Bß C œ -9= B  =/8 C Ò !ß # Óa b 1
 0 œ  =/8B 0 œ -9=CB C
 0 œ ! Ê  =/8B œ ! Ê B œ ! à B œ • B œ #B " $# 1 1
 0 œ ! Ê -9=C œ ! Ê C œ • C œ
# #
$
C " #
1 1
 Así, son puntosŠ ‹ Š ‹ Š ‹Œ  Œ  Œ !ß ß # à !ß ß ! à ß ß ! à ß ß  # à # ß ß # à # ß ß !
# # # # # #
$ $ $1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
críticos de 0 Bß Ca b
 0 œ  -9=B 0 œ  =/8C 0 œ !BB CC BC
 L Bß C œ  -9=B !
!  =/8C
a b Œ 
 L !ß œ Ê L "ß " œ #  ! • 0 !ß œ  "  !
# #
 " !
!  "
Š ‹ Š ‹Œ  ¸ ¸a b1 1BB
 Por lo tanto, es un máximo relativo de Š ‹ a b!ß ß # 0 Bß C
#
1
 L !ß œ Ê L !ß œ  "  !
$ $
# #
 " !
! "Œ  Œ  Œ ¸ ¸1 1
 Por lo tanto, es un punto de silla de Œ  a b!ß ß ! 0 Bß C$
#
1
 L ß œ Ê L ß œ  "  !
# #
" !
!  "
Š ‹ Š ‹Œ  ¸ ¸1 11 1
 Por lo tanto, es un punto de silla de Š ‹ a b1 1ß ß ! 0 Bß C
#
 L ß œ Ê L ß œ "  ! • 0 ß œ "  !
$ $ $
# # #
" !
! "Œ  Œ  Œ  Œ ¸ ¸1 1 11 1 1BB
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 Por lo tanto, es un mínimo relativo de Œ  a b1 1ß ß  # 0 Bß C$
#
 L # ß œ
#
 " !
!  "
Š ‹ Œ 1 1
 ¸ ¸Š ‹ Š ‹L # ß œ "  ! • 0 # ß œ  "  !
# #
1 1
1 1
BB
 Por lo tanto, es un máximo relativo de Š ‹ a b# ß ß # 0 Bß C
#
1
1
 L # ß œ Ê L # ß œ  "  !
$ $
# #
 " !
! "Œ  Œ  Œ ¸ ¸1 11 1
 Por lo tanto, es un punto de silla de Œ  a b# ß ß ! 0 Bß C$
#
1
1
Ejercicios
 1) Determine los extremos relativos y los puntos de silla de las siguientes funciones À
 +Ñ 0ÐBß CÑ œ #B  %C  B  C  $# #
 ,Ñ 0ÐBß CÑ œ ÐB  CÑÐB  CÑ
 -Ñ 0ÐBß CÑ œ %BC  B  C% %
 .Ñ 0 Bß C œ B  BC  C  #B  #C  %a b # #
 2) Un fabricante produce diariamente unidades de la mercancía A, unidades de la mercancíaB C
B. Si es la utilidad diaria que se obtiene en su venta y T Bß C T Bß C œ $$B  ''C  BC  B  $C Þa b a b # #
¿Cuántas unidades de cada artículo deben producirse diariamente para que el fabricante logre la máxima
utilidad diaria?
Solución
 "Ñ
 es un máximo relativo de +Ñ "ß #ß # 0 Bß Ca b a b
 es un punto de silla de ,Ñ !ß !ß ! 0 Bß Ca b a b
 es un punto de silla de y son máximos relativos de-Ñ !ß !ß ! 0 Bß C "ß "ß # à  "ß  "ß #a b a b a b a b
0 Bß Ca b
 es un mínimo relativo de .Ñ  #ß  #ß  ) 0 Bß Ca b a b
 Deben fabricarse unidades de la mercancía A y 15 unidades de la mercancía B para#Ñ #%
maximizar lautilidad diaria.
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Multiplicadores de Lagrange
 Cuando es necesiario resolver problemas con enunciado de máximos y/o mínimos, pero con
alguna condición adicional es preferible usar un método mucho más rápido que el criterio de la segunda
derivada el cual nos permite trabajar con funciones de variables, este nuevo método se denomina8
Multiplicadores de Lagrange
 Sea una función de variables a la cual interesa calcular sus puntos críticos0 B ß B ß B ß ÞÞÞß B 8a b" # $ 8
con la condición adicional . Para determinar los puntos críticos se forma una1 B ß B ß B ß ÞÞÞß B œ !a b" # $ 8
nueva función auxiliar
 J B ß B ß B ß ÞÞÞß B ß œ 0 B ß B ß B ß ÞÞÞß B  1 B ß B ß B ß ÞÞÞß Ba b a b a b" # $ 8 " # $ 8 " # $ 8- -
 Los puntos críticos de esta nueva función cumplen con las condiciones del problema a resolver, es
decir, si el problema consiste en minimizar, entonces el punto es el mínimo buscado y sia bB ß B ß B ß ÞÞÞß B" # $ 8
el problema consiste en maximizar, entonces el punto es el máximo buscado.a bB ß B ß B ß ÞÞÞß B" # $ 8
 :Ejemplos
 1) Hallar las dimensiones de una caja rectangular sin tapa y con volumen específico, si se quiere
usar la mínima cantidad de material en su manufactura.
 
 0 +ß 6ß 2 œ +6  #+2  #62a b
 Z œ +62 Ê 1 +ß 6ß 2 œ +62  Za b
 J +ß 6ß 2ß œ +6  #+2  #62  +62  Za b a b- -
 J œ 6  #2  62 Ê J œ ! Ê œ  "
6  #2
62
+ +- - a b
 J œ +  #2  +2 Ê J œ ! Ê œ  #
+  #2
+2
6 6- - a b
 J œ #+  #6  +6 Ê J œ ! Ê œ  $
#+  #6
+6
2 2- - a b
 J œ +62  Z Ê J œ ! Ê +62 œ Z %- - a b
 ya b a b" $
  œ  Ê +6  #+62 œ #+62  #6 2
6  #2 #+  #6
62 +6
# #
 Ê +6 œ #6 2# #
 Ê + œ #2 &a b
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 ya b a b# $
  œ  Ê + 6  #+62 œ #+ 2  #+62
+  #2 #+  #6
+2 +6
# #
 Ê + 6 œ #+ 2# #
 Ê 6 œ #2 'a b
 y a b a b& '
 + œ 6 (a b
 y a b a b a b a b% ß & ß ' (
 +62 œ Z Ê + + œ Z
+
#
a ba bŠ ‹
 Ê œ Z
+
#
$
 Ê + œ #Z$
 , Ê + œ #Z 6 œ #Z ß 2 œ
#Z
#
È È È$ $ $
 Luego, las dimensiones de la caja son base udl y altura [udl].È È$ $#Z Ò Ó #Z
#
 2) Un fabricante produce tres tipos de llantas de automóvil, que se designarán por A , B y C . Sean
B ß C ß D el número de llantas diarias fabricadas de cada uno de los tipos A , B y C respectivamente. La
utilidad en cada llanta tipo A es de $200, en las de tipo B es de $300 y en las de tipo C es de $500. El
número de llantas que se puede producir diariamente está sujeto a la restricción .#B  C  $D œ #()%# # #
Determinar cuántas llantas de cada tipo se deben producir para maximizar la utilidad.
 0 Bß Cß D œ #!!B  $!!C  &!!Da b
 1 Bß Cß D œ #B  C  $D  #()%a b # # #
 J Bß Cß Dß œ #!!B  $!!C  &!!D  #B  C  $D  #()%a b a b- - # # #
J œ #!!  %B Ê J œ ! Ê œ  "
&!
B
B B- - a b
J œ $!!  #C Ê J œ ! Ê œ  #
"&!
C
C C- - a b
J œ &!!  'D Ê J œ ! Ê œ  $
#&!
$D
D D- - a b
J œ #B  C  $D  #()% Ê J œ ! Ê œ #B  C  $D œ #()% %- -
# # # # # # - a b
 ya b a b" #
  œ  Ê &!C œ "&!B Ê C œ $B &
&! "&!
B C
a b
 y a b a b" $
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  œ  Ê "&!D œ #&!B Ê D œ B '
&! #&! &
B $D $
a b
 y a b a b a b% à & '
 #B  C  $D œ #()% Ê #B  *B  $ B œ #()%
#&
*
# # # # # #Œ 
 Ê &)B œ )$&##
 Ê B œ "%%#
 , Ê B œ "# C œ $' ß D œ #!
 Por lo tanto, la cantidad diaria de unidades a producir para maximizar la utilidad es de 12
unidades de llantas tipo A, 36 unidades de llantas tipo B y 20 unidades de llantas tipo C.
 
 3) Un disco circular tiene forma de la región limitada por la circunferencia . Si B  C œ " X# #
grados es la temperatura en cualquier punto del disco y , encuentre los puntos másX œ #B  C  C# #
calientes y los puntos más fríos en el disco
 0 Bß C œ #B  C  Ca b # #
 1 Bß C œ B  C  "a b # #
 J Bß Cß œ #B  C  C  B  C  "a b a b- -# # # #
 J œ %B  #B Ê J œ ! Ê œ  # ß B Á ! "B B- - a b
 J œ #C  "  #C Ê J œ ! Ê œ ß C Á ! #
"  #C
#C
C C- - a b
 J œ B  C  " Ê J œ ! Ê B  C œ " $- -# # # # a b
 y a b a b" #
  # œ Ê  %C œ "  #C Ê C œ  %
"  #C "
#C #
a b
 ya b a b$ %
 B  C œ " Ê B  œ " Ê B œ ß B œ 
" $ $
% # #
# # #
" #
È È
 Si entonces en , B œ !ß B  C œ " C œ " Ê C œ " ß C œ  "# # # " #
 Si entonces en , C œ !ß B  C œ " B œ " Ê B œ " ß B œ  "# # # " #
 
 Luego, los puntos críticos de la función de temperatura son:
    È È$ " $ " *# # # # %ß  Ê X ß  œ
    È È ß  Ê X  ß  œ$ " $ " *# # # # %
V
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 a b a b!ß " Ê X !ß " œ !
 
 a b a b!ß  " Ê X !ß " œ #
 a b a b"ß ! Ê X !ß " œ #
 a b a b "ß ! Ê X !ß " œ #
 Por lo tanto, los puntos más calientes del disco son , y el punto más   È È$ " $ "# # # #ß   ß 
frío del disco es a b!ß " Þ
Ejercicios
 Resuelva los siguientes problemas con enunciado utilizando Multiplicadores de Lagrange À
 1 Hallar los valores extremos de sujetos a la restricción Ñ 0 Bß C œ BC 1 Bß C œ B  C  "!a b a b # #
 2 El área de la superficie de una caja rectangular sin tapa ha de ser 108 pies . Hallar su máximo2Ñ
volumen posible.
 3 Un recipiente se construye con un cilindro circular recto de radio 5 cm. y con dos tapas cónicasÑ
en los extremos. Si se da el volumen, hallar la altura H del cilindro y la altura h de cada una de las tapas
cónicas, de manera que el área de la superficie total sea la menor posible.
 4 Una empresa tiene tres fábricas, en cada una de las cuales se elabora el mismo producto. Si laÑ
Fábrica A produce unidades, la fábrica B produce unidades y la fábrica C produce unidades, susB C D
respectivos costos de producción son dólares, dólares, dólares. Si se va a$B  #!! C  %!! #D  #!!# # #
surtir un pedido de unidades. Determinar cómo debe distribuirse la producción entre las tres fábricas"Þ"!!
a fin de minimizar el costo de producción total.
 5 Si se gastan miles de dólares en trabajo e miles de dólares en equipamiento, la producciónÑ B C
de una cierta fábrica será unidades. Si hay dólares disponibles, ¿cómoTÐBß CÑ œ '! B C "#!Þ!!!"Î$ #Î$
debe ser distribuido el dinero entre trabajo y equipamiento para generar la mayor producción posible?.
 6 Hállese los puntos sobre la esfera donde tieneÑ B  C  D œ #& 0 Bß Cß D œ B  #C  $D# # # a b
sus valores máximos y mínimos
 7 Se construye un tanque horizontal de forma cilíndrica y con extremos semiesféricos. DetermineÑ
el diámetro y la longitud de su porción cilíndrica si el tanque ha de tener 8000 m de agua y se pretende3
utilizar la menor cantidad posible de material para construirlo.
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Solución
 Los puntos máximos son y los puntos mínimos son"Ñ &ß & à  &ß  &Š ‹ Š ‹È È È È
Š ‹ Š ‹È È È È &ß & à &ß  &
 Las dimensiones de la caja son base 6 pies y alto 3 pies , luego el máximo volumen de la caja#Ñ
rectangular es 108 pies .3
 
 La altura de cada uno de los conos es unidades y la altura del cilindro es$Ñ 2 # & LÈ
Z %
#& $
 &
1
È unidades .
 Deben fabricarse 200 unidades en la fábrica A , 600 unidades en la fábrica B y 300 unidades en%Ñ
la fábrica C a fin de minimizar el costo total de producción total.
 Deben destinarse 40.000 dólares en trabajo y 80.000 dólares en producción para generar la&Ñ
mayor producción posible.
 El punto máximo es y el punto mínimo es'Ñ ß ß
& "% "! "% "& "%
"% "% "% 
È È È
 È È È ß  ß & "% "! "% "& "%"% "% "% .
 El problema no tiene solución.(Ñ
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Gráficos en ‘3
 Si es un función de dos variables, entonces su gráficocorresponde a un conjunto deD œ 0 Bß Ca b
ternas donde sus coordenadas satisfacen a la función dada.
 La gráfica de una ecuación en se denomina .‘3 superficie
 1) Plano
 Su ecuación general es donde [ ] es el vector normal al plano.+B  ,C  -D  . œ ! +ß ,ß -
 Es posible encontrar varios tipos de planos
 a) El plano intersecta a los tres ejes coordenados a b+B  ,C  -D  . œ !
 En este caso se ubican los puntos de intersección del plano con los ejes coordenados.
 
 : GraficarEjemplo #B  $C  %D  "# œ !
 eje X  C œ D œ ! Ê B œ '
 eje Y  B œ D œ ! Ê C œ %
 eje Z  B œ C œ ! Ê D œ $
 
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 b) El plano pasa por el origen a b+B  ,C  -D œ !
 En este caso se grafican las rectas que se obtienen cuando y luego se trazanB œ ! à C œ !
paralelas a las dos rectas encontradas.
 : GraficarEjemplo &B  $C  "&D œ !
 B œ ! Ê $C  "&D œ ! Ê C œ &D
 C œ ! Ê &B  "&D œ ! Ê B œ $D
 
 
 c) El plano es paralelo a uno de los ejes coordenados
 Si es paralelo al eje X entonces su ecuación es ß ,C  -D  . œ !
 : GraficarEjemplo &C  #D  "! œ !
 
 Si es paralelo al eje Y entonces su ecuación es ß +B  -D  . œ !
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 : GraficarEjemplo $B  #D  "# œ !
 
 
 Si es paralelo al eje Z entonces su ecuación es ß +B  ,C  . œ !
 : GraficarEjemplo *B  #C  ") œ !
 
 d) El plano es paralelo a dos de los ejes coordenados
 Si es paralelo al plano YZ entonces su ecuación es ß +B  . œ !
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 : GraficarEjemplo B œ #
 
 
 Si es paralelo al plano XZ entonces su ecuación es ß ,C  . œ !
 : GraficarEjemplo C œ #
 
 
 Si es paralelo al plano XY entonces su ecuación es ß -D  . œ !
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 : GraficarEjemplo D œ #
 
 2) Esfera
 a) Si el centro es y su radio , entonces su ecuación es G !ß !ß ! < B  C  D œ <a b # # # #
 
 
 b) Si el centro es y su radio , entonces su ecuación esG 2 ß 5ß 6 <a ba b a b a bB  2  C  5  D  6 œ <# # # #
V
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 3) Cilindro
 a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es 
B C
+ ,
 œ "
# #
# #
 
 
 Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del+ œ , + Á ,
cilindro es una elipse.
 b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es 
B D
+ -
 œ "
# #
# #
V
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 Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del+ œ - + Á -
cilindro es una elipse.
 c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es 
C D
, -
 œ "
# #
# #
 
 Si , entonces la base del cilindro es una circunferencia y si , entonces la base del, œ - , Á -
cilindro es una elipse.
 
 
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 4) Cono
 a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es 
B C D
+ , -
 œ
# # #
# # #
 Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono+ œ , + Á ,
es una elipse.
 
 b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es 
B D C
+ - ,
 œ
# # #
# # #
 
 Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono+ œ - + Á -
es una elipse.
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 c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es 
C D B
, - +
 œ
# # #
# # #
 
 Si , entonces la base del cono es una circunferencia y si , entonces la base del cono, œ - , Á -
es una elipse.
 5) Paraboloide Elíptico
 a) Si su eje de simetría es paralelo al eje Z , entonces su ecuación es 
B C
+ ,
 œ #
# #
# #
 
 Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base+ œ , + Á ,
del paraboloide es una elipse.
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 b) Si su eje de simetría es paralelo al eje Y , entonces su ecuación es 
B D
+ -
 œ #,C
# #
# #
 
 Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base+ œ - + Á -
del paraboloide es una elipse.
 c) Si su eje de simetría es paralelo al eje X , entonces su ecuación es 
C D
, -
 œ #+B
# #
# #
 
 Si , entonces la base del paraboloide es una circunferencia y si , entonces la base del, œ - , Á -
paraboloide es una elipse.
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Integrales Dobles
 Concepto de integral doble
 
 Sea una función de dos variables continua tal que , D œ 0 Bß C 0 Bß C   ! a Bß C − V Va b a b a b
una región del plano . es el dominio de .BC V 0 Bß Ca b
 Se determinará cómo calcular el volumen de la región sólida situada entre la superficie
D œ 0 Bß Ca b. Para ello se realiza el siguiente proceso:
 Se subdivide la región en rectángulos no necesariamente iguales, se enumeran los V 8 8
rectángulos desde a . Cada rectángulo tiene área con < < E 3 œ "ß #ß $ß ÞÞÞß 88" 3
 
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 E œ ˜ B † ˜ C3 3 3
 El área aproximada de la región será V E µ ˜ B † ˜ C
3 œ "
8" 3 3
 
 Se elige un punto cualquiera en cada rectángulo y se determina su imagen a b! "3 3ß 0a b! "3 3ß . Con esto se forma un paralelepípedo
 
 Su volumen es Z œ ˜ B † ˜ C † 0 ß3 3 3 3 3a b! "
 Luego, el volumen aproximado total será Z µ 0 ß † ˜ B † ˜ C
3 œ "
8" a b! "3 3 3 3
 Pero a medida que los rectángulos son cada vez más pequeños se está aproximando al valor real de
 Z
 Así,
 Z œ 0 ß † ˜ B † ˜ C œ 0 Bß C .E
8 Ä _
3 œ "
8
lim " a b a b( (! "3 3 3 3
V
donde o.E œ .C .B .E œ .B .C
V
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 Integrales Iteradas
 "Ñ
 
 Si e son continuas en el intervalo , entoncesC œ 0 B C œ 1 B Ò +ß , Óa b a b
 ( ( ( (a b a ba b
a b
V
0 Bß C .E œ 0 Bß C .C .B
B œ + C œ 0 B
B œ , C œ 1 B
 #Ñ
 
 Si y son continuas en el intervalo , entoncesB œ 0 C B œ 1 C Ò -ß . Óa b a b
 ( ( ( (a b a ba b
a b
V
0 Bß C .E œ 0 Bß C .B .C
C œ - B œ 0 C
C œ . B œ 1 C
 
 
V
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95
 Propiedades de las integrales dobles
 1) es constante.( ( ( (a b a b
V V
5 0 Bß C .E œ 5 0 Bß C .E 5
 2) Si y son integrables en , entonces 0 Bß C 1 Bß C Va b a b
 ( ( ( ( ( (a b a b a b a b
V V V
Ò0 Bß C „ 1 Bß C Ó .E œ 0 Bß C .E „ 1 Bß C .E
 Si y es continua en , entonces$Ñ V œ V  V 0 Bß C V" # a b
 ( ( ( ( ( (a b a b a b
V V V
0 Bß C .E œ 0 Bß C .E  0 Bß C .E
" #
 Si los límites de integración son todos constantes, entonces%Ñ À
 ( ( ( (a b a b
+ - - +
, . . ,
0 Bß C .C .B œ 0 Bß C .B .C
 varía en el intervalo e varía en el intervalo B Ò +ß , Ó C Ò -ß . Ó
 Ejemplos À
"Ñ B  #B C  C  BC .C .B œ B C  B C  C  BC .B
" "
% #
( ( (ˆ ‰  º
! " !
# # #
# # $ # # # % #
"
#
 
 œ #B  %B  %  #B  B  B   B .B
" "
% #
( Œ 
!
#
# # # #
 œ 'B   B .B
"& $
% #
( Œ 
!
#
#
 œ B  B  B
' "& $
$ % %
$ #
!
#º
 œ
#$
#
#Ñ =/8 B -9= C .C .B œ =/8 B .C .B
"  -9=#C
#
( ( ( ( Œ 
! ! ! !
Î# Î#
# # #
1 1 1 1
 œ =/8 B C  .B
" =/8 #C
# #(  º
!
#
!
Î#1 1
 œ =/8 B .B
"
# #
(
0
1 1 #
 œ .B
% #
"  -9= #B1( Œ 
!
1
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 œ B 
) #
=/8 #B1 Œ º
!
1
 œ
)
1#
 
$Ñ .C .B B  C œ B " 
B C
B  C B
( ( Œ Š ‹
" !
$ B
# #
# # #
#
È
 
 
C
B
œ >1 Ê C œ B >1 Ê .C œ B =/- .! ! ! !#
 C œ ! Ê >1 œ ! Ê œ !! !
 C œ B Ê >1 œ " Ê œ
%
! !
1
( ( ( ( a b" ! " !
$ B $ Î%
# # # #
# #È ÈB B =/- .
B  C B "  >1
.C .B œ .B
1 ! !
!
 œ .B( º
"
$
!
Î%È
!
1
 œ .B
%
1(
"
$È
 œ B
%
1 º
"
$È
 œ $  "
%
1Š ‹È
Ejercicios
 Resuelva À
 +Ñ / .C .B
# B# "
C
C( (È È È" #
 ,Ñ .C .B
% B
B
C
B
( ( Ê
"
#
 
 
 -Ñ =/8 . .
-9=( (
! !
1 )
3 ) 3 )
 .Ñ B .C .B
# B  B
#B  #
( (
"
#
#
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 /Ñ -9= . .
Î% >1 =/-( (
! !
$ #
1 ) )
3 ) 3 )
 0Ñ B / .C .B
B
BC( (
! !
$
#
Solución
 +Ñ / .C .B œ / %  # #  #/
# B# "
C
C( (È È È Š ‹È" # #È
 ,Ñ .C .B œ 
% B
B
C %!$
B #"
( ( Ê
"
#
 
 
 -Ñ =/8 . . œ
-9= "
$
( (
! !
1 )
3 ) 3 )
 .Ñ B .C .B œ
# B  B
#B  #
*
%
( (
"
#
#
 /Ñ -9= . . œ
Î% >1 =/- "
#!
( (
! !
$ #
1 ) )
3 ) 3 )
 0Ñ B / .C .B œ  &
B
BC /
#
( (
! !
$
#
*
 
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 Aplicaciones de la integral doble
 1) Cálculo de áreas en el plano ‘2
 En si , entonces representa el área de regiones del( ( ( (a b a b
V V
0 Bß C .E 0 Bß C œ " .E
plano.
 Así,
 E œ .C .B œ .B .C
B œ + C œ 0 B C œ - B œ 0 C
+ œ , C œ 1 B C œ . B œ 1 C( ( ( (a b a b
a b a b
 :Ejemplos
 1) Hallar el área de la región situada bajo la parábola sobre el eje X y sobre laV C œ %B  B ß#
recta C œ  $B  '
 Intersección de las curvas
 %B  %B œ  $B  '#
 ! œ B  (B  '#
 ! œ B  " B  'a ba b
 B œ "ß C œ $" "
 no es solución, por condiciones del problemaB œ 'ß C œ  "## # a b
 C œ %B  B#
 C œ ! Ê %B  B œ ! Ê B œ !ß B œ %# " #
 C œ  $B  '
 C œ ! Ê  $B  ' œ ! Ê B œ #
 
 E œ .C .B  .C .B( ( ( (
" $B' # !
# %BB % %BB# #
 E œ C .B  C .B( (º º
" #
# %%BB %BB
$B' !
# #
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 E œ  B  (B  ' .B  %B  B .B( (ˆ ‰ ˆ ‰
" #
# %
# #
 E œ    'B  
B (B %B B
$ # # $
$ # # $# %
" #
º º
 E œ 
"$ "'
' $
 [u. de a.]E œ
"&
#
 Por otro lado, 
 C œ %B  B C œ  $B  '#
 B  %B  C œ ! $B œ '  C#
 
 B œ B œ # 
% „ "'  %C
# $
CÈ
 B œ
% „ % %  C
#
È a b
 B œ # „ %  CÈ
 
 E œ .B .C  .B .C( ( ( (
! # $ # %C
$ # %C % # %C
C
$
È È
È
 Pero, como ya se sabe de Cálculo II, al obtener el àrea de una región del plano el a obtener al
integrar respecto al eje X como el respecto al eje Y debe ser el mismo. Por lo tanto,
 [u. de a.]( ( ( (
! # $ # %C
$ # %C % # %C
C
$
È È
È.B .C  .B .C œ
"&
#
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100
 2) Determinar el área limitada por e C œ B C œ B$ #
 Intersección de las curvas
 B œ B Ê B  B œ ! Ê B B  " œ ! Ê B œ !ß C œ ! à B œ "ß C œ "$ # $ # # " " # #a b
 
 E œ .C .B( (
! B
" B
$
#
 E œ C .B( º
!
" B
B
#
$
 E œ B  B .B( ˆ ‰
!
"
# $
 E œ 
B B
$ %
$ % "
!
º
 [u. de a]E œ
"
"#
 
 Por otro lado,
 
 C œ B Ê C œ B C œ B Ê C œ B$ #È È$
 [u. de a]E œ .B .C œ
"
"#
( (
! C
" C
È
È$
V
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101
Ejercicios
 Determine el área encerrada por las curvas respecto al eje y respecto al eje . Plantee ambas\ ]
integrales, pero resuelva sólo una de ellas.
 +Ñ B œ C à B œ #C  C# #
 ,Ñ C œ =/8B à C œ -9= B à B œ !
 -Ñ B œ C  C à B  C œ !#
 .Ñ B œ %C à )C œ B  "'# #
 ; /Ñ B  C œ "' à C œ 'B C œ !# # È
 
 Solución
 +ÑE œ .C .B( (
! " "B
" B
È
È
 E œ .B .C( (
! C
" #CC
#
#
 [ u.de a.]E œ
"
$
 ,ÑE œ .C .B( (
! =/8 B
Î% -9= B1
 E œ .B .C  .B .C( ( ( (
! ! #Î# !
#Î# E<- =/8 C " E<- -9= CÈ
È
 [ u.de a.]E œ #  "È
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102
 -ÑE œ .C .B  .C .B( ( ( (
# B !
! "Î%" "%B " "%B# #
" "%B
#
È È
È
 E œ .B .C( (
! C
# CC#
 [ u.de a.]E œ
%
$
 .ÑE œ # .C .B( (
!
%
B#
%
B "'#
)
 E œ # .B .C  # .B .C( ( ( (
! ! # # C
# # C % # # C#È
È
È È
 [ u.de a.]E œ
$#
$
 /ÑE œ .C .B  .C .B( ( ( (
! ! # !
# 'B % "'BÈ È #
 E œ .B .C( (
!
# $ "'CÈ È
C#
'
#
 [ u.de a.]E œ
)  # $
$
1 È
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103
 2) Conocida una región del plano , determinar el valor de una cierta integral dobleV BC
Ejemplos
 1) Obtener el valor de donde es la región del plano limitada por en( ( È
V
B.E V C œ #&  B ß#
el primer cuadrante; e$B  %C œ ! C œ !
 
 Intersección de las curvas
 È È#&  B œ B #&  B œ ! $B  %C œ !ß C œ !$
%
# #
 #&  B œ B #&  B œ ! $B œ !
*
"'
# # #
 
 %!!  "'B œ *B #& œ B B œ ! ß C œ !# # #
 %!! œ #&B & œ B ß C œ !#
 "' œ B#
 % œ B ß C œ $
 Si .E œ .C .B
 
 ( ( ( ( ( (
V
B.E œ B.C .B  B.C .B
! ! % !
% B & #&B$%
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 œ BC .B  BC .B( (º º
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% &B #&B
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 œ B .B  B #&  B .B
$
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 ( ( (º
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B.E œ †  ? .?
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# º!
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V
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104
 Si .E œ .B .C
 
 ( ( ( (
V
B.E œ B.B .C
! C
$ #&C
%
$
#È
 œ .C
B
#
( º
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$ # #&C
C
È #
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$
 œ #&  C  C .C
" "'
# *
( Œ 
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# #
 
 œ #&  C .C
" #&
# *
( Œ 
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#
 
 œ #&C  †
" #& C
# * $
Œ º$ $
!
 œ (&  #&
"
#
a b
 
 œ #&
 Por lo tanto, si se usa el operador o para un mismo ejercicio el resultado.E œ .C .B .E œ .B .C
de la integral es el mismo
V
IR
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 G
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M
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Z
 
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105
 2) Determine el valor de donde es la región del plano limitada por ( (
V
BC .E V B œ " à B œ ##
à C œ " à C œ $B  " ÞPlantee ambas integrales, pero calcule sólo una de ellas.
 Para .E œ .C .B
 
 ( ( ( (
V
BC .E œ BC .C .B# #
" "
# $B"
 Para .E œ .B .C
 
V
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106
 ( ( ( ( ( (
V
BC .E œ BC .B .C  BC .B .C# # #
" " #
# # & #
C"
$
 Resolviendo
 ( ( ( (
V
BC .E œ BC .C .B# #
" "
# $B"
 œ B .B
C
$
( º
"
# $ $B"
"
 œ *B  *B  $B  .B
#
$
( Œ 
"
#
% $
 œ    B
*B *B $B #
& % # $
& % # #
"
º
 œ
&'"
#!
Ejercicios
 Determine el valor de Considere y resuelva la( (
V
0ÐBß CÑ .EÞ .E œ .C .B ß .E œ .B .C
integral que usted estime más conveniente.
 +Ñ .E V À C œ ! à C œ B à B œ %
V
C
"  B#
( ( È
 ,Ñ BC / .E V À B  C œ +
V
ÐB  C Ñ( (  # # ## #
 -Ñ .E V À " Ÿ B Ÿ # à " Ÿ C Ÿ B
V
B
B  C
( ( È # #
V
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107
 Solución
 +Ñ
 ( ( ( (
V
C C
"  B#
.E œ .C .B
"  B! !
% B
#
È
 ( ( ( (
V
C C
"  B#
.E œ .B .C
"  B! C
# %
#
#
 ( (
V
C 68Ð"(Ñ
"  B#
.E œ
%
 ,Ñ BC / .E œ % BC / .C .B
V
ÐB  C Ñ ÐB  C Ñ( ( ( ( # # # #
!
+ + B
!
È # #
 ( ( ( (
V
BC / .E œ % BC / .B .CÐB  C Ñ ÐB  C Ñ 
# # # #
! !
+ + CÈ # #
 ( ( ˆ ‰
V
BC / .E œ "  / +  "ÐB  C Ñ + #
# # #
 -Ñ .E œ .C .B
V
B B
B  C B  C
( ( ( (È È# # # #" "
# B
 ( ( ( (È ÈV
B B
B  C B  C
.E œ .B .C
# # # #
"
# #
C
 ( ( È
È ÈÈ È È V
B #  & &  "!  "  #
B  C
.E œ  #68
# ## #
V
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108
 3) Cálculo de volúmenes
 Por definición representa el volumen del sólido comprendido en ( ( a b a b
V
0 Bß C .E D œ 0 Bß C
con el área de la base y la altura..E 0 Bß Ca b
 Z œ .Z œ 0 Bß C .E
V V
( ( ( ( a b
 Z œ 0 Bß C .C .B
B œ + C œ 0 B
B œ , C œ 1 B( ( a b
a b a b
 Z œ 0 Bß C .B .C
C œ - B œ 0 C
C œ . B œ 1 C( ( a b
a b a b
 
 Ejemplos
 1) Determinar el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el plano D œ #  B  #C
 B  #C  D œ #
 Intersección con los ejes
 eje X eje Y eje Z
 B œ # C œ " D œ #
 
V
IR
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 G
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109
 es la región en el plano V BC
 D œ ! Ê B  #C œ #
 
 Z œ #  B  #C .C .B( ( a b
! !
#  "B#
 Z œ #C  BC  C .B( º
!
#
#
 "
!
B
#
 Z œ  B  #   B   B  " .B
B B
# %
( Œ 
!
# # #
 Z œ  B  "  .B
B
%
( Œ 
!
# #
 Z œ   B 
B B
# "#
# $ #
!
º
 Z œ  #  # 
)
"#
 [u. de v.]Z œ
#
$
 Si se considera se tiene.E œ .B .C
 B  #C œ # Ê B œ #  #C
 [u. de v.]Z œ #  B  #C .B .C œ
#
$
( ( a b
! !
" ##C
 
V
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110
 2) Calcular el volumen, en el primer octante, del sólido limitado por el cilindro y losB  C œ *# #
planos y B  C œ $ D œ %
 
 La región del plano esV
 
 Z œ % .C .B( (
! $B
$ *BÈ #
 Z œ %C .B( º
!
$ *B
$B
È #
 Z œ % *  B  "#  %B .B( Š ‹È
!
$
#
 Z œ % *  B .B  % B  $ .B( (È a b
! !
$ $
#
 Z œ % *  B .B  %  $B
B
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( È Œ º
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#
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!
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111
 *  B œ * "  Ê *  B œ * " 
B B
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# #
# #Œ  ” •Š ‹
 
B
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œ =/8 Ê B œ $=/8 Ê .B œ $-9= .) ) ) )
 B œ ! Ê œ ! B œ $ Ê œ
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"  -9=#
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(
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 Z œ ")   ")
=/8#
#
Œ º) )
1
#
!
 [u. de v.]Z œ *  ")1
Ejercicios
 Usando integrales dobles, calcule el volumen del sólido limitado por las siguientes superficies.
 El cilindro y los planos +Ñ B  C œ % D œ ! à D œ )# #
 el cono y el paraboloide ,Ñ B  C œ D D œ B  C# # # # #
 El cilindro los planos en el primer octante.-Ñ B  C œ #& à B  C œ & à D œ ) à# #
Solución
 +Ñ Z œ % ) .C .B ,Ñ Z œ % B  C  B  C .C .B( ( ( ( Š ‹È
! ! ! !
# %B " "B
# # # #
È È# #
 [u. de v.] [u. de v.]Z œ $# Z œ
'
1
1
 -Ñ Z œ ) .C .B( (
! &B
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 [u. de v.]Z œ &!  "!!1
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112
Integrales Triples
 Sea una función de tres variables, continua en una cierta región de , entoncesA œ 0 Bß Cß D Wa b ‘$
0 Bß Cß D Wa b es integrable en .
 Si varía desde hasta varía desde hasta varía desdeB B œ + B œ , ß C C œ 0 B C œ 1 B ß Da b a b
D œ 0 Bß C D œ 1 Bß Ca b a bhasta , entonces
 es la integral triple de la región de( ( ( ( ( (a b a b
W
0 Bß Cß D .Z œ 0 Bß Cß D .Z W
+ 0 B 0 BßC
, 1 B 1 BßC
a b a b
a b a b
‘$.
 Si varía desde hasta varía desde hasta varía desde hastaB B œ + B œ , ß C C œ - C œ . ß D D œ /
D œ 0 , entonces son equivalentes:
 ( ( ( ( ( (a b a b
W
0 Bß Cß D .Z œ 0 Bß Cß D .D .C .B
+ - /
, . 0
 œ 0 Bß Cß D .D .B .C( ( ( a b
- + /
. , 0
 
 œ 0 Bß Cß D .C .B .D( ( ( a b
/ + -
0 , .
y otras más 
 Ejemplos
 Evaluar
 "Ñ BC .D .C .B œ BCD .C .B( ( ( ( ( º
" ! " " !
# B BBC # B BBC
"
 œ B C  B C  BC .C .B( ( ˆ ‰
" !
# B
# # #
 œ   .B
B C B C BC
# $ #
( Œ º
"
# # # # $ # B
!
 œ   .B
B B B
# $ #
( Œ 
"
# % & $
 œ  
B B B
"! ") )
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"
º
 œ
")*
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113
 #Ñ C 68 D >1 B .B .D .C œ C 68 D 68 =/- B .D .C( ( ( ( ( ¸ ¸º
" / ! " /
! #/ Î$ ! #/ Î$
!
1 1
 œ C 68D 68 =/- Î$  68 =/- ! .D .C( ( ˆ ‰¸ ¸ ¸ ¸a b
" /
! #/
1
 œ 68 # C 68D .D .Ca b( (
" /
! #/
 ? œ 68 D Ê .? œ .D .@ œ .D Ê @ œ D
"
D
 ( ( ( ( (a b  º
" / ! " /
! #/ Î$ ! #/#/
/
1
C 68 D >1 B .B .D .C œ 68 # C D 68D  D † .D .C
"
D
 œ 68 # C D 68 D  D .Ca b(  º
"
! #/
/
 œ 68 # C #/ 68 #/  #/  / 68 /  / .Ca b a b( a b a b
"
!
 œ 68 # C #/ 68 #  #/ 68 /  #/  / 68 /  / .Ca b a b( a b a b a b
"
!
 œ #/Ò68 # Ó C .Ca b (#
"
!
 œ #/Ò68 # Ó
C
#
a b º# # !
"
 
 œ  /Ò68 / Óa b #
 
 $Ñ C / .D .B .C œ C / .B .C( ( ( ( ( º
" C ! " C
# C 68 B # C
D D
68 B
!
# #
 œ C /  / .B .C( ( ˆ ‰
" C
# C
68B !
#
 œ BC  C .B .C( ( a b
" C
# C#
 œ  BC .C
B C
#
( Œ º
"
# # C
C
#
 œ  C   C .C
C C
# #
( Œ 
"
# & $
$ #
 œ   C .C
C $C
# #
( Œ 
"
# & $
#
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 œ   œ
C $C C %(
"# ) $ #%
' % $ #
"
º
 %Ñ .B .D .C
D
B  D
( ( (
! ! !
# C $ D
# #
È
 B  D œ D  " Ê B  D œ D  "
B B
D D
# # # # # #
#
#
#Œ  ” •Š ‹
 
B
D
œ >1 Ê B œ D >1 Ê .B œ D =/- .) ) ) )#
 B œ ! Ê œ ! B œ $ D Ê œ
$
) )
1È
 ( ( ( ( ( ( ” •Š ‹! ! ! ! ! !
# C $ D # C $ D
# #
#
#
È È
D D
B  D
.B .D .C œ .B .D .C
D  "
B
D
 œ D =/- . .D .C
D
D >1  "
( ( ( a b! ! !
# C Î$
# #
#
1
)
) )
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! ! !
# C Î$1
)
 œ .D .C( ( º
! !
# C Î$
!
)
1
 œ .D .C
$
1( (
! !
# C
 œ D .C
$
1( º
!
# C
!
 œ C .C
$
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 œ †
$ #
C1 #
#
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º
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#
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1
 
V
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115
Ejercicios
 Resuelva las siguientes integrales triples À
 +Ñ BCD .D .C .B
B  C
( ( (È! !
" " #
# #
 ,Ñ -9= .C .B .D
Î Î BD C
D
( ( ( Š ‹
! ! !
# #1 1
 -Ñ .D .C .B
B C
C  D
( ( (
" $ !
# $ C
# #
È
 .Ñ #C B .D .C .B
"  B( ( ( È
" !  B
" B#
#
È
È
Solución
 +Ñ BCD .D .C .B œ
B  C
$
)
( ( (È! !
" " #
# #
 ,Ñ -9= .C .B .D œ
Î Î BD C
D )
( ( ( Š ‹
! ! !
# # #1 1 1
 -Ñ .D .C .B œ 
B C
C  D #
( ( (
" $ !
# $ C
# #
È
1
 .Ñ #C B .D .C .B œ !
"  B( ( ( È
" !  B
" B#
#
È
È
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116
 La integral triple permite calcular el volumen de sólidos de la forma donde se( ( (
 W
.Z .Z
usará como: .Z œ .D .C .B ß .Z œ .D .B .C
 :Ejemplos
 1) Determinar el volumen de la región, en el primer octante, limitada superiormante por el cilindro
D  C œ " B  C œ " à B  C œ $# # y situada entre los planos 
 
 En el plano se observaBC
 
 B  C œ " Ê B œ "  C B  C œ $ Ê B œ $  C
 Z œ .D .B .C( ( (
! "C !
" $C "CÈ #
 Z œ D .B .C( ( º
! "C
" $C "C
!
È #
V
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117
 Z œ "  C .B .C( ( È
! "C
" $C
#
 Z œ "  C † B .C( È º
!
"
#
$C
"C
 Z œ "  C $  C  "  C .C( È a b
!
"
#
 Z œ # "  C .C( È
!
"
#
 C œ =/8 Ê .C œ -9= .) ) )
 C œ ! Ê œ ! C œ " Ê œ
#
) )
1
 Z œ # "  =/8 † -9= .( È
!
#
1
#
) ) )
 Z œ # -9= .(
!
#
1
#
) )
 
 Z œ # .
"  -9=#
#
( Œ 
!
1
# )
)
 Z œ 
=/8#
#
Œ º) )
1
#
!
 u. de v.Z œ Ò Ó
#
1
 
 Si se considera la integral sería.Z œ .D .C .B
Z œ .D .C .B  .D .C .B  .D .C .B( ( ( ( ( ( ( ( (
! "B ! " ! ! # ! !
" " "C # " "C $ $B "CÈ È È# # #
V
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 G
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118
 2) Determinar el volumen de la esfera B  C  D œ +# # # #
 
 En el plano BC
 
V
IR
G
IN
IO
 G
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M
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Z
 
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119
 Por simetría
 
 Z œ ) .D .C .B( ( (
! ! !
+ + B + B CÈ È# # # # #
 Z œ ) D .C .B( ( º
! !
+ + B + B C
!
È È# # # # #
 Z œ ) +  B  C .C .B( ( È
! !
+ + B
# # #
È # #
 a b a bŒ +  B  C œ +  B "  C
+  B
# # # # #
#
# #
 a b a b” • È+  B  C œ +  B "  C+  B# # # # # # #
#
 
C
+  B
œ =/8 Ê C œ +  B =/8 Ê .C œ +  B -9= .È È È# # # # # #) ) ) )
 C œ ! Ê œ ! C œ +  B Ê œ
#
) )
1È # #
 Z œ ) +  B "  .C .B
C
+  B
( (
ÍÍÍÌ a b” • È! !
+ + B
# #
# #
#È # #
 Z œ ) +  B † "  =/8 † +  B -9= . .B( ( È È È
! !
+
# # # # #
1
#
) ) )
 Z œ ) +  B -9= . .B( ( ˆ ‰
! !
+
# # #
1
#
) )
 Z œ ) +  B . .B
"  -9=#
#
( (ˆ ‰
! !
+
# #
1
# )
)
 Z œ % +  B  .B
=/8#
#
( ˆ ‰Œ º
!
+
# #
!
)
)
1
#
 Z œ % +  B .B
#
( ˆ ‰
!
+
# # 1
 Z œ # + B 
B
$
1Œ º# $ +
!
 [u. de v.]Z œ +
%
$
$1
V
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120
 3) Determinar el volumen, sobre el plano del sólido formado por el cilindro y elBC B  C œ #&# #
plano B  C  D œ )
 
 En el plano BC
 
 
 Z œ .D .C .B( ( (
&  #&B !
& #&B )BC
È
È
#
#
 Z œ D .C .B( ( º
&  #&B
& #&B )BC
!È
È
#
#
V
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 Z œ )  B  C .C .B( ( a b
&  #&B
& #&B
È
È
#
#
 Z œ )C  BC  .B
C
#
( Œ º
&
& # #&B
 #&B
È
È
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 Z œ "' #&  B  #B #&  B .B( Š ‹È È
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 ? œ #&  B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B
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#
#
 ? œ  & Ê ? œ ! ? œ & Ê ? œ !
  # B #&  B .B œ  # ? †
.?
#
( (È È
& !
& !
#
 œ !
 Luego,
 Z œ #!!  !1
 [u. de v.]Z œ #!!1
V
IR
G
IN
IO
 G
O
M
E
Z
 
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122
Ejercicios
 Determinar, en coordenadas cartesianas, el volumen del sólido limitado por À
 El cilindro los planos +Ñ B  C œ "' ß C  D œ % ß C œ  # ß D œ ! ß B œ !# #
 El cilindro los planos,Ñ B  %C œ % ß D œ ! à D œ B  ## #
 El cono y el plano -Ñ %B  *C  $'D œ ! D œ "# # #
 El plano con .Ñ D œ '  #C ! Ÿ B Ÿ % à ! Ÿ C Ÿ #
 Los planos /Ñ D œ '  B  C à C œ B à C œ #
Solución
 [u. de v.]+Ñ Z œ .D .B .C œ
'%
$
( ( (
# ! !
% "'C %CÈ #
1
 [u. de v.],Ñ Z œ .D .C .B œ %( ( (
#  !
# B#
È
È
%B#
#
%B#
#
1
 [u. de v.]-Ñ Z œ % .D .C .B œ #( ( (
! !
$ "# *B
#
$
%B *C# #
'
È
É 1
 [u. de v.].Ñ Z œ .D .C .B œ $#( ( (
! ! !
% # '#C
 [u. de v.]/Ñ Z œ .D .C .B œ )( ( (
! B !
# # 'BC
V
IR
G
IN
IO
 G
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Z
 
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123
Transformación de Integrales Triples
 Al trabajar con integrales triples, a veces, es conveniente hacer uso de algún sistema de
coordenadas que no sea el sistema de coordenadas cartesianas
Coordenadas Cilíndricas
 Las coordenadas cilíndricas constan de coordenadas polares en el plano y una coordenada comoD
en el sistema cartesiano. Las fórmulas de transformación de coordenadas cartesianas a cilíndricas son:
 B œ < -9=)
 C œ < =/8)
 D œ D
 
 En el plano BC
 
 Z œ .Z œ < .D .< .
W
( ( ( ( ( (
) ) )
) ) )
œ <œ< DœD ß<
œ <œ< DœD ß<
" " "
# # #
a b
a b
)
V
IR
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124
 Ejemplos
 1) Determinar el volumen del sólido limitado por el semicono y el planoD œ B  C D œ %È # #
 
 En el plano sólo existe un punto, pero en un plano paralelo al plano , , se forma laBC BC D œ %
circunferencia B  C œ "'# #
 
 B  C œ "' Ê < -9=  < =/8 œ "'# # # #a b a b) )
 
 Ê < -9=  < =/8 œ "'# # # #) )
 Ê < -9=  =/8 œ "'# # #a b) )
 Ê < œ "'#
 Ê < œ %
 El cono en coordenadas cilíndricas queda:
 D œ B  C Ê D œ < -9=  < =/8 Ê D œ <È Éa b a b# # # #) )
 : No es posible reemplazar en el valor de porque corresponde a la figuraNota D œ < < œ %ß < œ %
que queda en el plano , por lo tanto se está trabajando en , en cambio corresponde a laBC D œ <‘#
transformación de una superficie, es decir, se está trabajando en Luego, los sistemas son incompatibles.‘3Þ
V
IR
G
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125
 Por simetría
 Z œ % < .D .< .( ( (
! ! <
% %1#
)
 Z œ % <D .< .( ( º
! !
% %
<
1
#
)
 Z œ % %<  < .< .( ( ˆ ‰
! !
%
#
1
#
)
 Z œ % #<  .
<
$
( Œ º
!
#
$ %
!
1
#
)
 Z œ % .
$#
$
(
!
1
#
)
 Z œ
"#)
$
º
1
#
!
 [u. de v.]Z œ
'%
$
1
 2) Determinar el volumen del sólido, sobre el plano , limitado por el cilindro BC B  C  $ œ *# #a b
y el cono B  C œ D# # #
 
 
V
IR
G
IN
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126
En el plano BC
 
 B  C  $ œ * Ê B  C  'C  * œ *# # ##a b
 
 Ê <  '< -9= œ !# )
 Ê < <  '=/8 œ !a b)
 Ê < œ ! ß < œ '=/8" # )
 
 El cono en coordenadas cilíndricas queda:
 B  C œ D Ê < œ D Ê < œ D# # # # #
 Z œ < .D .< .( ( (
! ! !
'=/8 <1 )
)
 Z œ <D .< .( ( º
! !
'=/8 <
!
1 )
)
 Z œ < .< .( (
! !
'=/8
#
1 )
)
 Z œ .
<
$
( º
!
$ '=/8
!
1 )
)
 Z œ #"'=/8 .
"
$
(
!
$
1
) )
 Z œ (# =/8 =/8 .(
!
#
1
) ) )
 
 Z œ (# =/8 "  -9= .( ˆ ‰
!
#
1
) ) )
 Z œ (# =/8  =/8 -9= .( ˆ ‰
!
#
1
) ) ) )
 Z œ (#  -9= 
-9=
$
Œ º) )$
!
1
 [u.de v.]Z œ *'
V
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G
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127
Ejercicios
 Calcular, en coordenadas cilíndricas, el volumen del sólido limitado por À
 La esfera y el cilindro +Ñ B  C  D œ "' B  C œ %# # # # #
 El plano , el cilindro y el paraboloide ,Ñ D œ ! B  C œ " D œ B  C# # # #
 
 El cilindro y los planos -Ñ B  C œ % D œ ! ß C  D œ %# #
Solución
 [ u. de v.]+Ñ Z œ # < .D .< . œ #  "' $
"#)
$
( ( ( Œ È
! ! !
# # "'<1 È #
) 1
 [ u. de v.],Ñ Z œ < .D .< . œ
#
( ( (
! ! !
# " <1 #
)
1
 [ u. de v.]-Ñ Z œ < .D .< . œ "'( ( (
! ! !
# # %< =/81 )
) 1
V
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128
Coordenadas Esféricas
 Si en la región una de las superficies es una esfera, conviene trabajar con coordenadas esféricasW
mediante la transformación
 B œ -9= =/83 ) 9
 C œ =/8 =/83 ) 9
 D œ 3
 En el plano BC
 
 En el plano DC
 
V
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129
 varía desde hasta ) ) ) 1œ ! œ #
 varía desde hasta 9 9 9 1œ ! œ
 varía desde hasta 3 3 3 3 3œ œ" #
 Z œ .Z œ =/8 . . .
W
( ( ( ( ( (
) ) 9 9 3 3
9 9
œ œ œ
œ
#
" " "
œ # œ# #) ) 3 3
3 9 3 9 )
 :Ejemplos
 1) Determinar el volumen de la esfera B  C  D œ +# # # #
 
 
 B  C  D œ +# # # #
 Ê -9= =/8  =/8 =/8  -9= œ +a b a b a b3 ) 9 3 ) 9 3 9# # # #
 Ê -9= =/8  =/8 =/8  -9= œ +3 ) 9 3 ) 9 3 9# # # # # # # # #
 Ê =/8 -9=  =/8  -9= œ +3 9 ) ) 3 9# # # # # # #a b
 Ê =/8  -9= œ +3 9 9# # # #a b
 Ê œ +3# #
 Ê œ +3
 
 Z œ =/8 . . .( ( (
! ! !
# +
#
1 1
3 9 3 9 )
 Z œ =/8 . .
$
( ( º
! !
# $ +
!
1 1 3
9 9 )
 Z œ =/8 . .
+
$
$
! !
#( (1 1 9 9 )
V
IR
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130
 Z œ  -9= .
+
$
$
!
#
!
( º1 19 )
 Z œ + .
#
$
$
!
#( 1 )
 Z œ +
#
$
$
#
!
)º 1
 [u. de v.]Z œ +
%
$
1 $
 2) Calcular el volumen que se forma en el interior de la esfera y el conoB  C  D œ #+D# # #
B  C œ D# # #
 B  C  D œ #+D Ê B  C  D  #+D œ ! Ê B  C  D  + œ +# # # # # # # ###a b
 Intersección de las superficies
 B  C  D œ #+D# # #
 B  C œ D Ê #D œ #+D Ê #D  #+D œ ! Ê D œ ! ß D œ +# # # # # " #
 
 Considerando las simetrías en el plano se observa:DC
V
IR
G
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131
 
 
 Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:
 B  C  D œ #+D Ê œ #+ -9= Ê  #+ -9= œ !# # # # #3 3 9 3 3 9
 Ê œ ! ß œ #+ -9=3 3 9" #
 B  C œ D Ê -9= =/8  =/8 =/8 œ -9=# # # # # # # # # # #3 ) 9 3 ) 9 3 9
 Ê =/8 -9=  =/8 œ -9=3 9 ) ) 3 9# # # # # #a b
 Ê =/8 œ -9=3 9 3 9# # # #
 Ê =/8 œ -9=# #9 9
 Ê >1 œ " Ê œ
%
#9 9
1
 Por simetría
 Z œ % =/8 . . .( ( (
! ! !
#+-9=
#
1 1
# % 9
3 9 3 9 )
 Z œ % =/8 . .
$
( ( º
! !
$ #+ -9=
!
1 1
# % 3
9 9 )
9
 Z œ -9= =/8 . .
$#+
$
$
! !
$( (1 1# % 9 9 9 )
 Z œ  .
$#+ -9=
$ %
$ %
! !
( º
1 1
# %9
)
 Z œ + .
) $
$ %
$
!
( 1# )
 Z œ #+$
!
)º
1
#
 [u.de v.]Z œ +$1
V
IR
G
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132
 3) Calcular el volumen que queda en el interior de la esfera y el paraboloideB  C  D œ %D# # #
D œ B  C# #
 B  C  D œ %D Ê B  C  D  %D œ ! Ê B  C  D  # œ %# # # # # # # # #a b
 Intersección de las superficies
 B  C  D œ %D# # #
 B  C œ D Ê D  D œ %D Ê D  $D œ ! Ê D œ ! ß D œ $# # # # " #
 
 Considerando las simetrías en el plano se observa:DC
 
 Transformando las superficies a coordenadas esféricas se tiene:
 B  C  D œ %D Ê œ % -9= Ê  % -9= œ !# # # # #3 3 9 3 3 9
 Ê œ ! ß œ % -9=3 3 9" #
 B  C œ D Ê -9= =/8  =/8 =/8 œ -9=# # # # # # # #3 ) 9 3 ) 9 3 9
 Ê =/8 -9=  =/8 œ -9=3 9 ) ) 3 9# # # #a b
 Ê =/8 œ -9=3 9 3 9# #
 Ê =/8  -9= œ !3 9 3 9# #
 Ê œ ! ß œ œ -9>1 -9=/-
-9=
=/8
3 3 9 9
9
9
" # #
V
IR
G
IN
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133
 Igualando los 3
 % -9= œ
-9=
=/8
9
9
9#
 (se están considerando las simetrías)=/8 œ Ê =/8 œ Ê œ
" "
% # '
#9 9 9
1
 
 Por simetría
 Z œ % =/8 . . .  % =/8 . . .( ( ( ( ( (
! ! ! ! !
%-9= -9>1 -9=/-
# #
1 1 1 1
1
# # #6
6
9 9 9
3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )
 Z œ % =/8 . .  % =/8 . .
$ $
( ( ( (º º
! ! !
$ $% -9= -9>1 -9=/-
! !
1 1 1 1
1
# ' # #3 3
9 9 ) 9 9 )
9 9 9
6
 Z œ -9= =/8 . .  -9>1 -9=/- . .
#&' %
$ $
( ( ( (
! ! !
$ $ #
1 1 1 1
1
# ' # #
9 9 9 ) 9 9 9 )
6
 Z œ  .   .
#&' -9= % -9>1
$ % $ %
( (º º
! !
% %
!
1 11 1
1
# #' #
'
9 9
) )
 Z œ .  * .
'% ( "
$ "' $
( (
! !
1 1
# #
) )
 Z œ  $
#)
$
) )º º
1 1
# #
! !
 [u.de v.]Z œ
$(
'
1
V
IR
G
IN
IO
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134
Ejercicios
 I Calcular, en coordenadas esféricas, el volumen del sólido À
 Dentro de la esfera y arriba del cono +Ñ B  C  D œ %D B  C œ D# # # # # #
,Ñ B  C œ D à B  C œ $DComprendido por los conos y bajo la semiesfera# # # # # #
D œ %  B  CÈ # #
 Dentro de la esfera y sobre -Ñ B  C  D œ % D œ "# # #
 II Evalue la integral usando coordenadas cilíndricas o esféricas
 +Ñ .D .C .B
"  B "  B  C D
B  C
( ( (È È È! ! !
" # # #
# #
 ,Ñ D .D .B .C
"  C #  B  C
B  C
#( ( (È ÈÈ! !
" # # #
# #
 -Ñ .D .B .C
%  C %  B  C "
B  C  D
( ( (È È
! ! !
# # # #
# # #
 III Convierta la siguiente integral a coordenadas esféricas y rectangulares
 ( ( (
È
! ! !
"# %  <#
< .D .< .
1
)
 
V
IR
G
IN
IO
 G
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135
Solución
 I
 [u. de v.]+Ñ Z œ =/8 . . . œ )( ( (
! ! !
# Î% %-9=
#
1 1 9
3 9 3 9 ) 1
 ,Ñ Z œ =/8 . . .  =/8 . . .( ( ( ( ( (
! ! ! ! ! !
# Î$ # # Î% #
# #
1 1 1 1
3 9 3 9 ) 3 9 3 9 )
 
 o
 Z œ =/8 . . .( ( (
! Î% !
# Î$ #
#
1 1
1
3 9 3 9 )
 [u. de v.]Z œ
) #  )
$
1 È
 [u. de v.]-Ñ Z œ =/8 . . . œ
&
$
( ( (
! ! "Î-9=
# Î$ #
#
1 1
9
3 9 3 9 ) 1
 II
 +Ñ .D .C .B œ
"  B "  B  C D
B  C '
( ( (È È È! ! !
" # # #
# #
1
 ,Ñ D .D .B .C œ
"  C #  B  C
B  C
# #  "
"&
( ( (È ÈÈ  
È
! !
" # # #
# #
# 1
 -Ñ .D .B .C œ
%  C %  B  C "
B  C  D
( ( (È È
! ! !
# # # #
# # #
1
 III
 ( ( ( ( ( (
È
! ! ! ! ! !
" " "B %B C# %  <#
< .D .< . œ % .D .C .B
1
)
È È# # #
 ( ( ( ( ( (
È
! ! ! ! ! !
" Î# Î' #
#
# %  <#
< .D .< . œ % =/8 . . .
1
) 3 9 3 9 )
1 1
  % =/8 . . .( ( (
! Î' !
Î# Î# "Î=/8
#
1 1 9
1
3 9 3 9 )
 [u. de v.]( ( (
È
Œ È
! ! !
"# %  <#
< .D .< . œ  # $
"'
$
1
) 1
V
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G
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136
Campos Vectoriales
 Son funciones que asignan a un punto del plano o del espacio un vector.
 :Conceptos
 1) Sean y dos funciones de dos variables definidas en una ciertaQ œ 0 Bß C R œ 0 Bß Ca b a b
región del plano . La función definida por:V J
 jyxNiyxMyxF ),(),(),( +=
 
se llama campo vectorial sobre VÞ
 2) Sean tres funciones de tres variables definidas enQ œ 0 Bß Cß D àR œ 0 Bß Cß D à T Bß Cß Da b a b a b
una región del espacio. La función definida por:W J
kzyxPjzyxNizyxMzyxF ),,(),,(),,(),,( ++= 
 
se .llama campo vectorial sobre W
 El gradiente es un ejemplo representativo de campo vectorial pues:
 +Ñf0 Bß C œ 0 Bß C † 3  0 Bß C † 4a b a b a bB C
 Haciendo y se tiene que Q œ 0 Bß C R œ 0 Bß C f0 Bß C œ Q3  R4B Ca b a b a b
 ,Ñf0 Bß Cß D œ 0 Bß Cß D † 3  0 Bß Cß D † 4  0 Bß Cß D † 5a b a b a b a bB C D
 Haciendo se tiene queQ œ 0 Bß Cß D àR œ 0 Bß Cß D à T œ 0 Bß Cß DB C Da b a b a b
f0 Bß Cß D œ Q3  R4  T5a b
 Algunos ejemplos físicos de campos vectoriales son:
 a) los cuales se usan para describir el movimiento de un sistema deCampos de velocidades
partículas en el plano o en el espacio como también para describir el flujo de corrientes de aire alrededor de
un objeto en movimiento.
 b) se definen mediante la ley de la gravitación de Newton, que estableceCampos gravitacionales
que la fuerza de atracción ejercida sobre una partícula de masa localizada en por una partícula7 Bß Cß D" a b
de masa localizada en es:7 !ß !ß !# a b
 J Bß Cß D œ  † ?
K7 7
B  C  D
a b " #
# # #
p
con la constante gravitatoria y un vector unitario en la dirección que va del origen a .K ? Bß Cß Dp a b
V
IR
G
IN
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 G
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137
 c) se definen por la ley de Coulomb, que establece que la fuerzaCampos de fuerzas eléctricas
ejercida sobre una partícula con carga eléctrica localizada en por una partícula con carga; Bß Cß D" a b
eléctrica localizada en viene dada por:; !ß !ß !# a b
 J Bß Cß D œ † ?
- ; ;
m<m
a b " #
#
p
donde , y una constante que depende de la elección de unidades para ; < œ B3  C4  D5 ? œ - m<m ;
<
m<m
p
"
y .;#
 Campo vectorial conservativo
 Un campo de vectores se llama conservativo si existe una función diferenciable tal queJ
J œ f0 .
 
 La función se llama de .0 Jfunción potencial
 Los campos gravitacionales, los magnéticos y los de fuerzas eléctricas son conservativos.
 
 Que un campo vectorial sea conservativo significa que cumple con las condiciones de la ley de
conservación de la energía (la suma de la energía cinética y la energía potencial de una partícula es
constante).
Campo vectorial conservativo en el plano
 Sean y dos funciones de dos variables que tienen primeras derivadasQ œ 0 Bß C R œ 0 Bß Ca b a b
parciales continuas, entonces :
 
x
N
y
MjyxNiyxMyxF
∂
∂
=
∂
∂
⇔+= voconservati es ),(),(),(
 
 Ejemplos
 Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función potencial.
 "Ñ J Bß C œ B C 3  BC 4a b #
 Q œ B C Ê œ B
`Q
`C
# #
 R œ BC Ê œ C
`R
`B
 , por lo tanto, el campo vectorial no es conservativo.
`Q `R
`C `B
Á
V
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 G
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138
 #Ñ J Bß C œ %B  #C $B C 3  $C  #B  #B C 4a b a b a b$ # # # $
 Q œ %B  #C  $B C Ê œ #  'B C
`Q
`C
$ # # #
 R œ $C  #B  #B C Ê œ #  'B C
`R
`B
# $ #
 , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.
`Q `R
`C `B
œ
 J œ f0 Bß Ca b
 Q Bß C 3  R Bß C 4 œ 0 Bß C 3  0 Bß C 4a b a b a b a bB C
 Luego, por igualdad de vectores, Q Bß C œ 0 Bß C ß R Bß C œ 0 Bß Ca b a b a b a bB C
 Así,
 0 Bß C œ %B  #C  $B C Î .BB $ # #a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ %B  #C  $B C .BB $ # #
 0 Bß C œ B  #BC  B C  G C "a b a b a b% $ #
 0 Bß C œ $C  #B  #B C Î .CC # $a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ $C  #B  #B C .CC # $
 0 Bß C œ C  #BC  B C  G B #a b a b a b$ $ #
 De 1 y 2 se tienea b a b
 , donde 0 Bß C œ #BC  B C  B  C  G G B œ B ß G C œ Ca b a b a b$ # % $ % $
 $Ñ J Bß C œ /  BC/  C -9= BC 3  B /  =/8 BC  BC -9= BC 4a b a b a ba b a b a bBC BC # # BC
 Q œ /  BC/  C -9= BCBC BC # a b
 
`Q
`C
œ B/  B/  B C/  #C -9= BC  BC =/8 BCBC BC # BC #a b a b
 R œ B /  =/8 BC  BC -9= BC# BC a b a b
 
`R
`B
œ #B/  B C/  C -9= BC  C -9= BC  BC =/8 BCBC # BC #a b a b a b
 , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.
`Q `R
`C `B
œ
V
IR
G
IN
IO
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139
 J œ f0 Bß Ca b
 0 Bß C œ /  BC/  C -9= BC Î .BB BC BC #a b a b (
 ( (a b a bˆ ‰0 Bß C .B œ /  BC/  C -9= BC .BB BC BC #
 ? œ BC Ê .? œ C .B
 .@ œ / .B Ê @ œ
/
C
BC
BC
 0 Bß C œ  BC †  † C .B 
/ / / C =/8 BC
C C C C
a b ( a bBC BC BC #
 0 Bß C œ  B/   C =/8 BC  G C
/ /
C C
a b a b a bBC BCBC
 0 Bß C œ B/  C=/8 BC  G C "a b a b a b a bBC
 0 Bß C œ B /  =/8 BC  BC -9= BC Î .CC # BCa b a b a b (
 ( (a b a b a bˆ ‰0 Bß C .C œ B /  =/8 BC  BC -9= BC .CC # BC
 ? œ BC Ê .? œ B.C
 .@ œ -9= BC .C Ê @ œ
=/8 BC
B
a b a b
 0 Bß C œ   BC †  † B .C
B / -9= BC =/8 BC =/8 BC
B B B B
a b a b a b a b(# BC
 0 Bß C œ B/   C =/8 BC   G B
-9= BC -9= BC
B B
a b a b a ba b a bBC
 0 Bß C œ B/  C =/8 BC  G B #a b a b a b a bBC
 De 1 y 2 se tienea b a b
 , donde 0 Bß C œ B/  C=/8 BC  G G B œ G C œ Ga b a b a b a bBC
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140
Ejercicios
 Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.
"Ñ JÐBß CÑ œ Ð#B  $CÑ 3  $ÐB  C Ñ 4#
 
#Ñ JÐBß CÑ œ 3  4
#B B
C C
#
#
$Ñ JÐBß CÑ œ 3  4
#B #C
B  C B  C# # # #
 
 
%Ñ JÐBß CÑ œ #BC 3  $C B 4$ # # 
&Ñ JÐBß CÑ œ / Ò=/8 C 3  Ð-9= C  #Ñ 4 ÓB 
'Ñ JÐBß CÑ œ B/ 3  C/ 4C B
Solución
 "Ñ 0 Bß C œ  $BC  B  C  G G B œ B àG C œ Ca b a b a b# $ # $
 
 #Ñ 0 Bß C œ  G G B œ G C œ G
B
C
a b a b a b#
 $Ñ 0 Bß C œ 68 B  C  G G B œ G C œ Ga b a b a b¸ ¸# #
 %Ñ 0 Bß C œ B C  G G B œ G C œ Ga b a b a b# $
 No es conservativo&Ñ
 No es conservativo'Ñ
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141
Concepto de rotacional de un campo vectorial en el espacio
 El rotacional de esJ Bß Cß D œ Q3  R4  T5a b
 
k
y
M
x
Nj
z
M
x
Pi
z
N
y
P
PNM
zyx
kji
zyxFzyxrotF






∂
∂
−
∂
∂
+





∂
∂
−
∂
∂
−





∂
∂
−
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
×∇=
 
),,(),,(
 
 
 
 Campo vectorial conservativo en el espacio
 Sean y tres funciones de tres variables dondeQ œ 0 Bß Cß D ß R œ 0 Bß Cß D T œ 0 Bß Cß Da b a b a b
sus primeras derivadas son continuas. El campo vectorial es conservativo si,J Bß Cß D œ Q3  R4  T5a b
y sólo si , es<9>J Bß Cß D œ Ò !ß !ß ! Óa b
decir,
 
y
M
x
N
z
M
x
P
z
N
y
P
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂ ,,
 
 :Ejemplos
 Decida si el campo vectorial dado es conservativo, en caso afirmativo, hallar la función potencial.
 "Ñ J Bß Cß D œ B C D 3  B D 4  B C 5a b $ # # #
 Q œ B C D R œ B D T œ B C$ # # #
 <9> J œ
3 4 5
` ` `
`B `C `D
B C D B D B C
a b
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â$ # # #
 œ 3 B  B  4 #BC  B C  5 #BD  #B CDa b a b a b# # $ # $
 por lo tanto, no es conservativo.<9> J Á Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b
 #Ñ J Bß Cß D œ #BC 3  B  D 4  #CD 5a b a b# #
 Q œ #BC R œ B  D T œ #CD# #
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 <9> J œ
3 4 5
` ` `
`B `C `D
#BC B  D #CD
a b
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â# #
 œ 3 #D  #D  4 !  !  5 #B  #Ba b a b a b
 por lo tanto, es conservativo.<9> J œ Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b
 J Bß Cß D œ f0 Bß Cß Da b a b
Q Bß Cß D 3  R Bß Cß D 4  T Bß Cß D 5 œ 0 Bß Cß D 3  0 Bß Cß D 4  0 Bß Cß D 5a b a b a b a b a b a bB C D
 Luego, por igualdad de vectores, ,Q Bß C D œ 0 Bß Cß D ß R Bß Cß D œ 0 Bß Cß D ßa b a b a b a bB C
T Bß Cß D œ 0 Bß Cß Da b a bD
 Así,
 0 Bß Cß D œ #BC Î .BBa b (
 ( (a b0 Bß Cß D .B œ #BC.BB
 0 Bß Cß D œ B C  G Cß D "a b a b a b#
 0 Bß Cß D œ B  D Î .CC # #a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß Cß D .C œ B  D .CC # #
 0 Bß Cß D œ B C  D C  G Bß D #a b a b a b# #
 0 Bß Cß D œ #CD Î .DDa b (
 ( (a b0 Bß Cß D .D œ #CD .DD
 0 Bß Cß D œ CD  G Bß C $a b a b a b#
 De , y a b a b a b" # $
 donde0 Bß Cß D œ B C  CD  G G Bß C œ B C ß G Cß D œ CD ß G Bß D œ Ga b a b a b a b# # # #
 
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 $Ñ J Bß Cß D œ C/ -9=D  =/- B 68 CD 3  B/ -9=D  4
>1 B
C
a b a ba b Œ BC # BC
   / =/8D  5
>1B
D
Œ BC
 Q œ C/ -9=D  =/- B 68 CDBC # a b
 
 R œ B/ -9=D 
>1 B
C
BC
 
 T œ  / =/8D 
>1B
D
BC
 <9> J œ
3 4 5
` ` `
`B `C `D
C/ -9=D  =/- B 68 CD B/ -9=D   / =/8D 
>1 B >1B
C D
a b
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ âa bBC # BC BC
œ 3  B/ =/8D  B/ =/8D  4  C/ =/8D   C/ =/8D 
=/- B =/- B
D D
a b Œ BC BC BC # #BC
 5 / -9=D  BC/ -9=D   / -9=D  BC/ -9=D 
=/- B =/- B
C C
Œ BC BC # #BC BC
 por lo tanto, es conservativo.<9> J œ Ò !ß !ß ! Ó ß Ja b
 
 J œ f0 Bß Cß Da b
 0 Bß Cß D œ C/ -9=D  =/- B 68 CD Î .BB BC #a b a b (
 ( (a b a bˆ ‰0 Bß Cß D .B œ C/ -9=D  =/- B 68 CD .BB BC #
 0 Bß Cß D œ  >1B 68 CD  G Cß D
C/ -9=D
C
a b a b a bBC
 0 Bß Cß D œ / -9=D  >1B 68 CD  G Cß Da b a b a bBC
 0 Bß Cß D œ / -9=D  >1B 68C  >1B 68D  G Cß D "a b a b a bBC
 0 Bß Cß D œ B/ -9=D  Î .C
>1 B
C
C
BCa b (
 ( (a b Œ 0 Bß Cß D .C œ B/ -9=D  .C>1 B
C
C
BC
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144
 0 Bß Cß D œ  >1B 68 C  G Bß D
B/ -9=D
B
a b a bBC
 0 Bß Cß D œ / -9=D  >1B 68 C  G Bß D #a b a b a bBC
 0 Bß Cß D œ  / =/8D  Î .D
>1B
D
D
BCa b (
 ( (a b Œ 0 Bß Cß D .D œ  / =/8D  .D>1B
D
D
BC
 0 Bß Cß D œ / -9=D  >1B 68D  G Bß C $a b a b a bBC
 De , y a b a b a b" # $
 donde0 Bß Cß D œ / -9=D  >1B 68D  >1B 68C  G G Bß C œ >1B 68C ß G Bß D œ >1B 68Dßa b a b a bBC
G Cß D œ Ga b
Ejercicios
 I Encontrar el rotacional en el punto indicado
"Ñ JÐBß Cß DÑ œ BCD 3  C 4  D 5 Ð " ß #ß " Ñ 
#Ñ JÐBß Cß DÑ œ B D 3  #BD 4  CD 5 Ð #ß  "ß $ Ñ# 
$Ñ JÐBß Cß DÑ œ / =/8 C 3  / -9=C 4  5 Ð !ß !ß $ ÑB B 
%Ñ JÐBß Cß DÑ œ / Ð 3  4  5 Ñ Ð $ß #ß ! ÑBCD 
 II Encuentre donde<9>Ð J ‚ K Ñ À
"Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3  #B 4  $C 5 KÐBß Cß DÑ œ B 3  C 4  # 5 
#Ñ JÐBß Cß DÑ œ B 3  D 5 KÐBß Cß DÑ œ B 3  C 4  D 5 # #
 III Decida si el campo vectorial es conservativo, en caso afirmativo, encuentre la función
potencial.
"Ñ JÐBß Cß DÑ œ C/ 3  B/ 4  / 5D D D
#Ñ JÐBß Cß DÑ œ $B C D 3  #B CD 4  B C 5# # $ $ #
$Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3  4  Ð#D  "Ñ 5
" B
C C#
%Ñ JÐBß Cß DÑ œ 3  4  5
B C
B  C B  C# # # #
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145
Solución
 I
 "Ñ <9> J "ß #ß " œ #4  5a b
 #Ñ <9> J #ß  "ß $ œ (3  %4  '5a b
 $Ñ <9> J !ß !ß $ œ  #5a b
 %Ñ <9> J $ß #ß ! œ '3  '4a b
 II
 "Ñ <9> J ‚ K œ  3  %B 4  $C 5a b
 #Ñ <9> J ‚ K œ B  B  #BD 3   #BD  D  D 5a b a b a b# #
 III
 Noes conservativo"Ñ
 #Ñ 0 Bß Cß D œ B C D  Ga b $ #
 G Bß C œ G Bß D œ G Cß D œ Ga b a b a b
 $Ñ 0 Bß Cß D œ  D  D  G
B
C
a b #
 
 G Bß C œ à G Bß D œ G Cß D œ D  D
B
C
a b a b a b #
 %Ñ 0 Bß Cß D œ 68 B  C  D  G
"
#
a b ¸ ¸# #
 
 G Bß C œ 68 B  C à G Bß D œ G Cß D œ D
"
#
a b a b a b¸ ¸# #
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146
Plano tangente y recta normal a una superficie
 Conceptos
 1) Si es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente estáD œ 0 Bß Ca b
dada por:
 
 ),( donde0)(),(),( bafczcbyaxbaf ==−−−−⋅∇ 
 
 2) Si es la ecuación de una superficie, entonces la ecuación del plano tangente está0 Bß Cß D œ !a b
dada por:
 0),,(),,( =−−−⋅∇ zcbyaxcbaf
 
 El vector es el vector normal a la superficie f0 +ß ,ß - 0 Bß Cß D œ !a b a b
 3) La recta normal a una superficie de la forma en el punto de ella esD œ 0 Bß C +ß ,ß - Àa b a b
 
),( donde
1),(),(
bafccz
baf
by
baf
ax
yx
=
−
−
=
−
=
−
 
 4) La recta normal a una superficie de la forma en el punto de ella es0 Bß Cß D œ ! +ß ,ß - Àa b a b
 
),,(),,(),,( cbaf
cz
cbaf
by
cbaf
ax
zyx
−
=
−
=
− 
 
 :Ejemplos
 I Hallar la ecuación del plano tangente y las ecuaciones de la recta normal a la superficie dada en
el punto dado.
 en el punto"Ñ D œ 68 B  C  $ß %ß 68&È a b# #
 D œ 68 *  "' Ê D œ 68&È
 Por lo tanto, el punto pertenece la la superficie a b È $ß %ß 68& D œ 68 B  C# #
 0 Bß C œ † œ Ê 0  $ß % œ 
" #B B $
B  C # B  C B  C #&
B
# # # # # #
a b a bÈ È
 0 Bß C œ † œ Ê 0  $ß % œ
" #C C %
B  C # B  C B  C #&
C
# # # # # #
a b a bÈ È
 f0  $ß % œ  ß
$ %
#& #&
a b Œ 
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147
 Ecuación plano tangente
 
 Œ  a b a b ß † B  $ß C  %  D  68& œ !$ %
#& #&
  B   C   D  68& œ ! Î † #&
$ * % "'
#& #& #& #&
  $B  %C  #&D  #&  #& 68& œ !
 $B  %C  #&D  #&  #& 68& œ !
 Ecuación recta normal
 
B  $ C  % D  68&

$
#&
œ œ
%
#&
 "
 
#& B  $ #& C  % D  68&
 $ %  "
œ œ
a b a b
 en el punto #Ñ BC  CD  BD œ " #ß $ß  "a b
 a ba b a ba b a ba b# $  $  "  #  " œ '  $  # œ "
 Por lo tanto, el punto pertenece la la superficie a b#ß $ß  " BC  CD  BD œ "
 0 Bß Cß D œ C  D Ê 0 #ß $ß  " œ #Ba b a b
 0 Bß Cß D œ B  D Ê 0 #ß $ß  " œ "Ca b a b
 0 Bß Cß D œ B  C Ê 0 #ß $ß  " œ &Da b a b
 f0 #ß $ß  " œ #ß "ß &a b a b
 Ecuación plano tangente
 
 a b a b#ß "ß & † B  #ß C  $ß D  " œ !
 #B  %  C  $  &D  & œ !
 #B  C  &D  # œ !
 Ecuación recta normal
 
B  # C  $ D  "
# " &
œ œ
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148
 II Demuestre que todo plano tangente al cono pasa por el origenB  C œ D# # #
 0 Bß Cß D œ B  C  Da b # # #
 0 Bß Cß D œ #BBa b
 0 Bß Cß D œ #CCa b
 0 Bß Cß D œ  #DDa b
 f0 Bß Cß D œ #Bß #Cß  #Da b a b
 Sea un punto del cono, luego a b+ß ,ß - +  , œ -# # #
 f0 +ß ,ß - œ #+ß #,ß  #-a b a b
 Ecuación plano tangente
 a b a b#+ß #,ß  #- † B  + ß C  , ß D  - œ !
 #+B  #+  #,C  #,  #-D  #- œ !# # #
 Si entonces pero ,a b a b a bBß Cß D œ !ß !ß ! ß  #+  #,  #- œ  # +  ,  #- ß +  , œ -# # # # # # # # #
así  # +  ,  #- œ !a b# # #
 Por lo tanto, todo plano tangente al cono pasa por el origen.B  C œ D# # #
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149
Ejercicios
 I) Determine la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto dado.
"Ñ $C  #BC  BD œ ! TÐ  "ß "ß "Ñ# # 
#Ñ C œ / -9= B T Ð!ß "ß !ÑD 
$Ñ C/  D œ ! TÐ!ß  "ß "ÑBC # 
II) Obtener la ecuación de la recta normal a la superficie en el punto dado.
"Ñ B  C  D œ ' TÐ  )ß  "ß "Ñ#Î$ #Î$ #Î$ 
#Ñ  DB  BC  CD œ "# T Ð$ß  #ß !Ñ# # # 
$Ñ D œ Ð+B  ,CÑ T Ð+ß ,ß -Ñ# 
Solución
 I
 "Ñ $B  %C  #D  " œ !
 #Ñ  C  D  " œ !
 $Ñ B  C  #D  " œ !
 II
 "Ñ œ œ
$ B  ) $ C  " $ D  "
 "  # #
a b a b a b
 #Ñ œ œ
B  $ C  # D
%  "#  *
 $Ñ œ œ
B  + C  , D  -
#+ +  , #+ +  ,  "a b a b# # # #
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150
 Ecuaciones Diferenciales
 Son ecuaciones donde aparecen derivadas. El objetivo de una ecuación diferencial es encontrar la
función que dio origen a la ecuación.
 Si en una ecuación diferencial aparecen diferenciales totales, derivadas totales, o ambas, pero no
hay derivadas parciales la ecuación diferencial se llama EDO y si sóloecuación diferencial ordinaria a b
contiene derivadas parciales se llama EDP .ecuación diferencial parcial a b
 Ejemplos de EDO
 +Ñ7 œ J B œ B >
. B
.>
#
#
a b
 ,Ñ œ  5 B œ B >
.B
.>
a b
 -Ñ  # †  B œ ! C œ C B
. C . B .B
.B .C .C
Œ  Œ  Œ  a b# ## # #
 .Ñ œ B  $ C œ C B
.C
.B
# a b
 Ejemplos de EDP
 +Ñ  œ 5 † ? œ ? Bß Cß >
` ? `? `?
`B `C `>
#
#
a b
 ,Ñ  œ ! ? œ ? Bß C
` ? ` ?
`B `C
# #
# #
a b
 Orden de una EDO
 Es el orden de la mayor derivada que existe en la ecuación.
 Grado de una EDO
 Es el mayor exponente al cual está elevada la mayor derivada.
 Ejemplos
 Ecuación Orden Grado
.C
.B
œ B  & " "
. C . C .C
.B .B .B
 #  œ -9= B $ "
. C .C
.B .B
  $C œ B # #
$ #
$ #
#
#
#
# $
#
Œ 
Œ  Œ 
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151
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de primer orden y de primer grado
 Su característica es :
0),(),( =+ dyyxNdxyxM 
 
 En este tipo de ecuaciones se estudiarán las EDO:
 1) de variables separables
 2) exactas
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias de Variables Separables a bEDVS
 se puede separar, si es posible, y escribirla como:Q Bß C .B  R Bß C .C œ !a b a b
 0 B † 1 C † .B  0 B † 1 C † .C œ !" " # #a b a b a b a b
 la cual se resuelve por integración
0 B 1 C
0 B 1 C
† .B œ  † .C
" "
# #
a b a ba b a b
 Ejemplos
 "Ñ B .B  C  " .C œ !$ #a b
 B .B œ  C  " .C Î$ #a b (
 ( ( a bB .B œ  C  " .C$ #
 
B C  "
% $
œ   G
% $a b
 
 
 #Ñ &B "  C .B œ C "  B .Ca b a b#
 
&B C
"  B "  C
.B œ .C Î
# (
 ( (&B C
"  B "  C
.B œ .C
#
 ( &B .?
"  B #
.B ? œ "  B Ê .? œ #B .B Ê œ B.B
#
#
 ( (&B
"  B ?
.B œ &
.?
#
#
 œ 68 ?  G
&
#
¸ ¸
 œ 68 "  B  G
&
#
¸ ¸#
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 ( C
"  C
.C
 C À "  C Ê C À  C  " œ  "
 … C „ "
 "
 ( ( (C "
"  C "  C
.C œ  .C  .C
 œ  C  68 "  C  G¸ ¸
 Por lo tanto,
 ( (&B C
"  B "  C
.B œ .C
#
 
&
#
68 "  B œ  C  68 "  C  G¸ ¸ ¸ ¸#
 $Ñ C  " .B  #C "  B .C œ !a b È# #
 
.B #C
"  B
œ .C Î
C  "È (# #
 ( (È .B #C"  B œ .CC  "# #
 E<-=/8B œ 68 C  " ¸ ¸# G
 %Ñ /  † œ ! Î .B
C .C
B .B
B C# #
 
 
/ C
/
.B  .C œ !
B
B
C
#
#
 B / .B œ  C / .C ÎB C# # (
 ( (B / .B œ  C / .CB C# #
 
/ /
# #
œ  G
B C# #
V
IR
G
IN
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153
 Ejercicios
 Resuelva las siguientes ecuaciones À
"Ñ œ
.C B  "
.B C
#
#
 
 
#Ñ œ C Ð#  =/8BÑ
.C
.B
$Ñ C =/8B / .B  C .C œ !-9=B " 
%Ñ C #B  $ .B  B %  C .C œ !È È# #
&Ñ Ð$B  %B  #Ñ .B  Ð#C  "Ñ .C œ !# 
'Ñ C .B  Ð"  BÑ .C œ !È
 Solución
 "Ñ B  C  $B  $G œ !$ $
 #Ñ #B  -9=B  68 C  G œ !¸ ¸
 $Ñ C /  "  C G œ !-9=B
 %Ñ $ 68  # 68  #B  $  %  C  G œ !
#B  $  $
B C
%  C  #È Èº º º ºÈ È È È# # # #
 &Ñ B  #B  C  #B  C  G œ !$ # #
 'Ñ 68 "  B  # C  G œ !¸ ¸ È
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154
 Ecuaciones Diferenciales ordinarias exactas a bEDE
 
 
Para que 0),(),( =+ dyyxNdxyxM seaexacta debe ocurrir que 
x
N
y
M
∂
∂
=
∂
∂ 
 Para determinar la función se realiza un proceso similar a encontrar la función potencial de un
campo vectorial conservativo.
 Ejemplos
 "Ñ B  C .B  C  B .C œ !a b a b# #
 Q œ B  C Ê œ  "
`Q
`C
#
 R œ C  B Ê œ  "
`R
`B
#
 Por lo tanto, es una EDE
`Q `R
`C `B
œ
 0 Bß C œ B  C 0 Bß C œ C  BB C# #a b a b
 0 Bß C œ B  C Î .BB #a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ B  C .BB #
 0 Bß C œ  BC  G C "
B
$
a b a b a b$
 0 Bß C œ C  B Î .CC #a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ C  B .CC #
 0 Bß C œ  BC  G B #
C
$
a b a b a b$
 De y a b a b" #
 con y 0 Bß C œ  BC    G G B œ G C œ
B C B C
$ $ $ $
a b a b a b$ $ $ $
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155
 #Ñ %B C  #BC .B  $B C  B .C œ !a b ˆ ‰$ $ % # #
 Q œ %B C  #BC Ê œ "#B C  #B
`Q
`C
$ $ $ #
 R œ $B C  B Ê œ "#B C  #B
`R
`B
% # # $ #
 Por lo tanto, es una EDE
`Q `R
`C `B
œ
 0 Bß C œ %B C  #BC 0 Bß C œ $B C  BB C$ $ % # #a b a b
 0 Bß C œ %B C  #BC Î .BB $ $a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .B œ %B C  #BC .BB $ $
 0 Bß C œ B C  B C  G C "a b a b a b% $ #
 0 Bß C œ $B C  B Î .CC % # #a b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ $B C  B .CC % # #
 0 Bß C œ B C  B C  G B #a b a b a b% $ #
 De y a b a b" #
 con 0 Bß C œ B C  B C  G G B œ G C œ Ga b a b a b% $ #
 $Ñ #B >1 C  =/8 #C .B  B =/- C  #B -9= #C  / .C œ !a b a b# # C
 Q œ #B >1 C  =/8 #C Ê œ #B =/- C  # -9= #C
`Q
`C
#
 R œ B =/- C  #B -9= #C  / Ê œ #B =/- C  # -9= #C
`R
`B
# # C #
 Por lo tanto, es una EDE
`Q `R
`C `B
œ
 0 Bß C œ #B >1 C  =/8 #C 0 Bß C œ B =/- C  #B -9= #C  /B C # # Ca b a b
 0 Bß C œ #B >1 C  =/8 #C Î .BBa b (
 ( (a b a b0 Bß C .B œ #B >1 C  =/8 #C .BB
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156
 0 Bß C œ B >1 C  B =/8 #C  G C "a b a b a b#
 0 Bß C œ B =/- C  #B -9= #C  / Î .CC # # Ca b (
 ( (a b ˆ ‰0 Bß C .C œ B =/- C  #B -9= #C  / .CC # # C
 0 Bß C œ B >1 C  B =/8 #C  /  G B #a b a b a b# C
 De y a b a b" #
 con y 0 Bß C œ B >1 C  B =/8 #C  /  G G B œ G G C œ /a b a b a b# C C
 %Ñ C /  %B .B  #BC/  $C .CŠ ‹ Š ‹# BC $ BC ## #
 Q œ C /  %B Ê œ #C/  #BC /
`Q
`C
# BC $ BC $ BC# # #
 R œ #BC/  $C Ê œ #C/  #BC /
`R
`B
BC # BC $ BC# # #
 Por lo tanto, es una EDE
`Q `R
`C `B
œ
 0 Bß C œ C /  %B 0 Bß C œ #BC/  $CB C# BC $ BC #a b a b# #
 0 Bß C œ C /  %B Î .BB # BC $a b (#
 ( (a b Š ‹0 Bß C .B œ C /  %B .B ? œ BC Ê .? œ C .BB # BC $ # ##
 ( ( (a b0 Bß C .B œ / .?  %B .BB ? $
 0 Bß C œ /  B  G Ca b a b? %
 0 Bß C œ /  B  G C "a b a b a bBC %#
 0 Bß C œ #BC/  $C Î .CC BC #a b (#
 ( (a b Š ‹0 Bß C .C œ #BC/  $C .C ? œ BC Ê .? œ #BC .BC BC # ##
 ( ( (a b0 Bß C .B œ / .?  $C .BC ? #
 0 Bß C œ /  C  G Ba b a b? $
 0 Bß C œ /  C  G B #a b a b a bBC $#
 De y a b a b" #
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157
 con y 0 Bß C œ /  B  C  G G B œ B G C œ  Ca b a b a bBC % $ % $#
Ejercicios
 Encuentre la solución general en À
"Ñ C/  .B  B/  .C œ !BC
" B
C C
BCŒ  Œ # 
#Ñ Ð C =/8B Ñ .B   .C œ !
" C
B B
# Œ 
$Ñ Ð "  68 CÑ .B  .C œ !
B
C
 
%Ñ Ð  -9= B -9= C  B Ñ .B  Ð=/8B =/8 C  CÑ .C œ !#
&Ñ =/- B .B  "  C .C œ !# È 
'Ñ -9= C .B  ÐC =/8B  / Ñ .C œ !C
Solución
 "Ñ 0 Bß C œ /   G
B
C
a b BC
 No es una EDE#Ñ
 $Ñ 0 Bß C œ B 68 C  B  Ga b
 %Ñ 0 Bß C œ  =/8B-9=C   G
B C
$ #
a b $ #
 &Ñ 0 Bß C œ >1 B  "  C  G
#
$
a b a b$Î#
 No es un EDE'Ñ
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158
 Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales
 Una ecuación diferencial ordinaria es lineal EDL si es de primer grado entre la variablea b
dependiente y sus derivadas.
 Su forma general es: 
 
)()()()()( 11
1
10 xgyxadx
dyxa
dx
ydxa
dx
ydxa nnn
n
n
n
=++++ −−
−
L 
 
 Ejemplos
 "Ñ  $BC œ =/8B
.C
.B
 #ÑP  V  C œ I B
. C .C "
.B .B -
#
#
a b
 Se llama ecuación diferencial lineal de primer orden a una ecuación lineal respecto a la función
desconocida y a su derivada.
 Su forma característica es:
 Su forma característica es : 
 
)()( xQyxP
dx
dy
=⋅+ 
 
donde y son funciones continuas.T B U Ba b a b
 Si , entonces la ecuación diferencial se llama ecuación diferencial lineal homogéneaU B œ !a ba bEDLH la cual se resuelve como una EDVS
 
 
La solución de la ecuación )()( xQyxP
dx
dy
=⋅+ es: 
 
 [ ]∫ +⋅= CxxQxy )()()(
1 µ
µ
 con ∫= dxxPex )()(µ 
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159
 Ejemplos
 "Ñ  #BC œ %B
.C
.B
 T B œ #B U B œ %Ba b a b
 . .a b a b(B œ / Ê B œ /#B .B B#
 C œ %B/ .B  G
"
/B
B
#
#Œ (
 C œ #/  G
"
/B
B
#
#Š ‹
 C œ #  G/B#
 
 #Ñ  C -9>1 B œ &/
.C
.B
-9=B
 T B œ -9>1 B U B œ &/a b a b -9=B
 . . .a b a b a b(B œ / Ê B œ / Ê B œ =/8B-9>1B .B 68 =/8B¸ ¸
 C œ &/ † =/8 B .B  G
"
=/8B
Œ ( -9= B
 C œ  &/  G
"
=/8B
a b-9= B
 C œ -9=/- B  &/  Ga b-9= B
 $Ñ #B .C œ #B  C .B Î .Ba b$
 #B œ #B  C
.C
.B
$
 #B  C œ #B Î À #B
.C
.B
$
 
.C "
.B #B
 C œ B#
 T B œ U B œ B
"
#B
a b a b #
 . . . .a b a b a b a b( ÈB œ / Ê B œ / Ê B œ / Ê B œ B
"
#B
.B
"
# 68 B 68 B¸ ¸ È
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 C œ B † B .B  G
"
BÈ Œ ( È#
 C œ B  G
" #
B (È Œ (Î#
 C œ B  GB
#
(
$ "#
 %Ñ C .B œ =/8 #B .B  .C Î .B
 C œ =/8 #B 
.C
.B
 
.C
.B
 C œ =/8 #B
 T B œ " U B œ =/8 #Ba b a b
 . .a b a b(B œ / Ê B œ /.B B
 C œ =/8 #B † / .B  G
"
/B
BŒ (
 
 ( =/8 #B † / .BB
 ? œ / Ê .? œ / .B .@ œ =/8 #B Ê @ œ 
-9= #B
#
B B
 ( (=/8 #B † / .B œ   / -9= #B .B/ -9= #B "
# #
B B
B
 ? œ / Ê .? œ / .B .@ œ -9= #B Ê @ œ
=/8 #B
#
B B
 ( (Œ =/8 #B † / .B œ    / =/8 #B .B/ -9= #B " / =/8 #B "
# # # #
B B
B B
 ( =/8 #B † / .B œ   / -9= #B / =/8 #B
# % %
/ =/8 #BB
B B B
 
& / -9= #B / =/8 #B
% # %
=/8 #B † / .B œ    G( B B B
 ( =/8 #B † / .B œ    G#/ -9= #B / =/8 #B
& &
B
B B
 Por lo tanto,
 C œ =/8 #B † / .B  G
"
/B
BŒ (
 C œ    G
" #/ -9= #B / =/8 #B
/ & &B
B BŒ 
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161
 C œ  -9= #B  =/8 #B  G/
# "
& &
B
 Ejercicios
 Resuelva las siguientes ecuaciones
 "Ñ  C œ /
.C
.B
$B
#Ñ œ  #B  "
.C C
.B B
$Ñ œ B /  %C
.C
.B
 %B# 
%Ñ =/8B  C -9= B œ B =/8B
.C
.B
 
&Ñ  C >1 B œ =/- B
.C
.B
Solución
 "Ñ C œ  G/
/
#
$B
B
 #Ñ C œ B #B  68 B  Gˆ ‰¸ ¸
 $Ñ C œ / B  G
"
$
%B $Œ 
 %Ñ C œ "  B -9>1 B  G -9=/- B
 &Ñ C œ =/8B  G -9= B
 
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Autoevaluación N°1
Complemento de Cálculo
Nombre: ............................................................... 
Carrera: ................................... Sección: .............
1) Determine si las siguientes series convergen o divergen, justifique.
 a) b) ! "Œ 
8œ"
_
#
8œ"
_ 8" $
8 %
 c) d) ! "
8œ"
_
8
8œ"
_#
&
8
#
$
2) Decida si la serie alterna es CVC o CVA o es divergente À
 !a b
8œ"
_
8"
#
$
 " †
8
8  #
3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:
 ! a b a b8œ"
_
8
#8
 "
B
#8 x
 
4) Realice el desarrollo en serie de Maclaurin Þ
 0 B œ /
B
#a b
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163
Pauta de corrección
" œ #
"
8
) a) es serie p, p , por lo tanto CV !
8œ"
_
#
 
 b) es serie geométrica , r , por lo tanto CV!Œ 
8œ"
_ 8$ $
% %
œ
 c)es serie geométrica , r , por lo tanto CV !
8œ"
_
8
# "
& &
œ
 d) es serie p , p , por lo tanto DV!
8œ"
_
8 œ
#
$
#
$
2) Decida si la serie alterna es convergente o divergente À
 !a b
8œ"
_
8"
#
$
 " †
8
8  #
 + œ + œ8 8  "
8  # 8  "  #
8 8"
#
$
#
$
a b
a b
 a) !  +  +8" 8
 Se cumple primera condición. (1)!  8  " 8
8  "  # 8  #
a b
a b
#
$
#
$
 b) lim
8Ä_
8+ œ !
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
8
#
$
+ œ
8
8  #
 regla de L´Hopitalœ #8
$8
lim
8Ä_ #
 regla de L´Hopitalœ #
$8
lim
8Ä_
 Se cumple segunda condición. (2)œ !
 
 De (1) y (2) la serie es convergente.!a b
8œ"
_
8"
#
$
 " †
8
8  #
 
 Consideremos la serie asociada:
 !
8œ"
_ #
$
8
8  #
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164
 Por criterio de la integral
 función continua, positiva, decreciente. Así es posible 0 B œ B
B  #
a b #
$
 utilizar el criterio de la integral
 
 ( (
" "
_ ,# #
$ $,Ä_
$B B
B  # B  #
.B œ .B ? œ B  #lim
 .? œ $B .B#
 œ .?
$?
lim
,Ä_
(
 œ 68?"
$
lim
,Ä_
 œ 68 B  #"
$
lim
,Ä_
$
"
,ˆ ‰‚
 œ 68 ,  #  68 "  #"
$
lim
,Ä_
$ $ˆ ‰ ˆ ‰
 œ 68 _  68 $"
$
lim
,Ä_
a b a b
 œ _
 De esta forma la serie asociada es divergente!
8œ"
_ #
$
8
8  #
 Por tanto, la serie es CVC!a b
8œ"
_
8"
#
$
 " †
8
8  #
 3) Obtener el intervalo de convergencia de la serie de potencia:
 ! a b a b8œ"
_
8
#8
 "
B
#8 x
 ; + œ + œB B
#8x #8  # x
8 8"
#8 #8#
a b
 + B B
+ #8  # #8  " %8  $8  #
œ œ œ
B
#8  # x
B
#8x
8"
8
#8#
#8
# #
#
a b a ba b
 lim lim
8Ä_ 8Ä_
8"
8
#
#º º º º+ B+ %8  $8  #œ
 œ B "
%8  $8  #
¸ ¸ º º#
8Ä_ #
lim
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165
 œ B † !¸ ¸#
 œ !
 la serie es CV3 ‘œ !  " aB −  " B
#8 x
! a b a b8œ"
_
8
#8
4) Realice el desarrollo en serie de Maclaurin Þ
 0 B œ / 0 ! œ "a b a b"#B
 ´ ´0 B œ / 0 ! œ" "
# #
a b a b"#B
 ´´ ´´0 B œ / 0 ! œ" "
% %
a b a b"#B
 ´´´ ´´´0 B œ / 0 ! œ" "
) )
a b a b"#B
 ´ ´0 B œ / 0 ! œ" "
"' "'
v va b a b"#B
 0 B œ / 0 ! œ" "
$# $#
v va b a b"#B
 0 B œ / 0 ! œ" "
'% '%
v v ´ ´a b a b"#B
 ! a b
8œ!
_
8
8 # $ %
0 ! œ "  †  †  †  †  ÞÞÞ
B " B " B " B " B
8x # "x % #x ) $x "' %x
 ! a b " Œ 
8œ!
_
8
8 8
8œ!
_ 8
0 ! œ
B " B
8x # 8x
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166
Autoevaluación N°2
Complemento de Cálculo
Nombre:.............................................................
Carrera:...................................... ..Sección.............
"Ñ #Ñ =/8 B  C  -9= C  D œ " Sea a b a b
 Obtener :
 +Ñ ,Ñ`D `D
`B `C
 
#Ñ Las dimensiones de un sólido rectangular, sin tapa, en un instante dado 
 son largo 9 cm., ancho 6 cm. y alto 3 cm. Si el ancho y el alto crecen a razónÀ
 de 1 cm/seg. y el largo decrece a razón de 3 cm/seg. Determinar À
 a) Rapidez de cambio del volumen.
 b) Rapidez de cambio del área total. 
$ Bß C 51Î7) La densidad en en cualquier punto de una placa rectangular 4a ba b#
 situada en el plano es BC Bß C œ Þ"
B  C  $
4a b È # #
 La distancia se mide en metros.
 a1) Obtener la r zón de cambio de la densidad en el punto en la + $ß #a b
 dirección del vector unitario .? œ -9= 3  =/8 4# #$ $
1 1
 a2) Determine la dirección y magnitud de la máxima razón de cambio de
 en 4a b a bBß C $ß #
%Ñ Un contenedor, en forma de paralelepípedo rectangular, ha de tener un
 volumen de 480 pies cúbicos. Utilizando multiplicadores de Lagrange
 determine las dimensiones de modo que su costo sea el menor posible,
 considerando que la base tiene un costo de $5000 por pie cuadrado y las
 caras laterales $3000 por pie cuadrado.
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167
Pauta de Corrección
1 Sea Ñ =/8 B  C  -9= C  D œ "a b a b
 Obtener :
 +Ñ À =/8 B  C  -9= C  D œ "`D
`B
a b a b
 -9= B  C  =/8 C  D  œ !`D
`B
a b a bŒ 
 `D -9= B  C
`B =/8 C  D
œ
a ba b
 
 ,Ñ À =/8 B  C  -9= C  D œ "`D
`C
a b a b
 -9= B  C  "  =/8 C  D "  œ !`D
`C
a b a bˆ ‰ Œ 
 =/8 C  D  =/8 C  D œ  -9= B  C`D
`C
a b a b a b
 `D =/8 C  D  -9= B  C
`B =/8 C  D
œ 
a b a ba b
2Ñ
 6 œ * -7 + œ ' -7 2 œ $ -7
 .6 -7 .+ -7 .2 -7
.> =/1 .> =/1 .> =/1
œ  $ œ " œ "
 +Ñ Z œ 6+2
 .Z `Z .6 `Z .+ `Z .2
.> `6 .> `+ .> `2 .>
œ †  †  †
 .Z .6 .+ .2
.> .> .> .>
œ +2 †  62 †  6+ †
 .Z
.>
œ ")  $  #( "  &% "a b a b a b
 .Z
.>
œ #(
 El volumen crece a razón de #( -7
=/1
$
 ,ÑE œ 6+  #+2  #62
 .E `E .6 `E .+ `E .2
.> `6 .> `+ .> `2 .>
œ †  †  †
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 .E .6 .+ .2
.> .> .> .>
œ +  #2  6  #2  #+  #6a b a b a b
 .E
.>
œ "#  $  "& "  $! "a b a b a b
 .E
.>
œ  $
 El área total decrece a razón de $ -7
=/1
#
3)
a1) ? œ -9= 3  =/8 4 Ê ? œ  3  4p p# # "$ $ # #
$1 1
È
 4 4a b a bÈ ˆ ‰Bß C œ Ê Bß C œ B  C  $"B  C  $# # # # "Î#
 4 4
B B
œ  B  C  $ #B Ê œ 
" B
# B  C  $
ˆ ‰ a b a b# #
$Î#
# # $Î#
 4
B
a b$ß # œ  $
'%
 4 4
C C
œ  B  C  $ #C Ê œ 
" C
# B  C  $
ˆ ‰ a b a b# #
$Î#
# # $Î#
 4
C
a b$ß # œ  #
'%
 f $ß # œ  ß $ #
'% '%
4a b Œ 
 H $ß # œ f $ß # † ??
p
4 4a b a b
 œ  ß   ß$ # " $
'% '% # #
Œ  È
 œ $  # $
"#)
È
a2) Q+BH $ß # œ mf $ß # m?4 4a b a b
 Q+BH $ß # œ * %
'% '%
? # #
4a b Ê
 Q+BH $ß # œ "$
'%
?4a b È
 ? œ Ê ? œ  ß f $ß # $ #
mf $ß # m "$ "$
p p4
4
a ba b  È È
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4) 
 Z œ %)! :3/=$
 Z œ BCD Ê BCD œ %)!
 E œ #BC  #CD  #BD
 G œ &!!! #BC  $!!! #CD  #BDa b a b
 J Bß Cß Dß œ "!!!!BC  '!!!CD  '!!!BD  BCD  %)!a b a b- -
 
J œ "!!!!C  '!!!D  CD œ ! Ê œ  "
"!!!!C  '!!!D
CDB
- - a b
J œ "!!!!B  '!!!D  BD œ ! Ê œ  #
"!!!!B  '!!!D
BDC
- - a b
J œ '!!!D  '!!!B  BC œ ! Ê œ  $
'!!!C  '!!!B
BCD
- - a b
J œ BCD  %)! œ ! Ê BCD œ %)! %
-
 a b
De y a b a b" #
 œ 
"!!!!C  '!!!D "!!!!B  '!!!D
CD BD
 B œ C
De ya b a b" $
 œ 
"!!!!C  '!!!D '!!!C  '!!!B
CD BC
"!BC  'BD œ 'CD  'BD
 "!B œ 'D
 &
$
B œ D
a b a b a b% ß & ' y 
BCD œ %)! Ê B † B † B œ %)! Ê B œ %)! † Ê B œ #))
& $
$ &
 $ È$
Luego, las dimensiones del contenedor serán base pie pie y alturaB œ #)) à C œ #))È È$ $
D œ #))&$
È$ pie.
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Autoevaluación N°3
Complemento de Cálculo
Nombre ..............................................Sección..............
1.- Determine los límites de integración según la región R sombreadaa b
 para: 
 con ( (
V
.E .E œ .C.B à .E œ .B.C
 
 
2.- Integre À #-9= . . .
! ! !
Î# =/8
# #( ( (1 1 ) 9 3 3 ) 9
3.- Calcular en Coordenadas Cartesianas, el volumen del sólido limitado por
 y los planos D œ %  C B œ C à C œ ##
 
4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el
 cilindro el paraboloide y el plano B  C œ * ß D œ B  C D œ !# # # #
5.- Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los 
 conos y la semiesfera B  C œ D à B  C œ $D D œ %  B  C# # # # # # # #È
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 Pauta de Corrección
".- Determine los límites de integración según la región R sombreadaa b
 para: 
 con ( (
V
.E .E œ .C.B à .E œ .B.C
 Para .E œ .C.B
 ( ( ( (
V ! B
" /
.E œ .C.BÈ
B
 Para .E œ.B.C
 Intersección entre la curva y la recta B œ C B œ "#
 B œ CB œ " Ê C œ " Ê C œ "
#
#
 Ê C œ  "
 Puntos de intersección : a b a b"ß " à "ß  "
 Intersección entre la curva y la recta C œ / B œ !B
 C œ /B œ ! Ê C œ / Ê C œ "
B
!
 
 Puntos de intersección : a b!ß "
 Luego ( ( ( (
! ! ! 68C
" C " "#
.C.B  .C.B
#Þ  #-9= . . . œ -9= . .
#
$
 ( ( ( ( ( º
! ! ! ! !
Î# =/8 Î#
# # # $
=/8
!
1 1 ) 1 1 )
93 3 ) 9 93 ) 9
 œ -9= =/8 . .#
$
( (
! !
Î#
# $
1 1
9 ) ) 9
 œ -9= =/8 "  -9= . .#
$
( ( ˆ ‰
! !
Î#
# #
1 1
9 ) ) ) 9
 œ -9=  -9=  -9= .# "
$ $
( Œ º
!
Î#
# $
!
1 1
9 ) ) 9
 œ -9= .)
*
(
!
Î#
#
1
9 9
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 œ .) "  -9=#
* #
( Œ 
!
Î#1 9
9
 œ % =/8#
* #
Œ º9 9 1Î#
!
 œ #
*
1
$Þ Z œ .D.B.C- ( ( (
! ! !
# C %C#
 Z œ D .B .C( ( º
! !
# C %C
!
#
 Z œ Ð%  C Ñ .B .C( (
! !
# C
#
 Z œ %B  BC .C( ˆ ‰º
!
#
#
C
!
 Z œ %C  C .C( ˆ ‰
!
#
$
 Z œ #C  C"
%
# %
#
!
º
 Z œ % ?Þ ./ @Þa b
4.- Plantear, en Coordenadas Cilíndricas, el volumen del sólido limitado por el
 cilindro el paraboloide y el plano B  C œ * ß D œ B  C D œ !# # # #
 
 
 Z œ % <.D.<.( ( (
! ! !
$ <1#
#
)
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&Þ  Plantear en Coordenadas Esféricas, el volumen del sólido limitado por los 
 conos y la semiesfera B  C œ D à B  C œ $D D œ %  B  C# # # # # # # #È
 
 Z œ % =/8 . . .( ( (
! Î% !
Î# Î$ #
#
1 1
1
3 9 3 9 )
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Departamento de Ciencias Básicas 
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Autoevaluación N°4
Complemento de Cálculo
Nombre:....................................................................... 
Carrera: .......................................... Sección: ...........
1) Decida si el siguiente campo vectorial es conservativo en En caso de serlo‘#Þ
 determine su función potencial
 J Bß C œ 3  4B C
B  C B  C
a b
# # # #
 
2) Encuentre el rotacional de Fa b a bBß Cß D œ B/  D-9=Cß C/  D=/8Cß "  DBC BC #
3) Dada la superficie Obtener la ecuación del plano tangente yD œ  B/ ÞBC#
 de la recta normal en el punto Ð  " ß ! ß " Ñ 
4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) a bB  "  C œ B  ".C
.B
#
b) a b a b/  C-9=B .B  B/  =/8B .C œ !C C
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Departamento de Ciencias Básicas 
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Pauta de Corrección
1) J Bß C œ 3  4B C
B  C B  C
a b
# # # #
 Q œ Ê œB `Q #BC
B  C `C B  C# # # # #a b
 R œ  Ê œC `R #BC
B  C `B B  C# # # # #a b
 , por lo tanto, el campo vectorial es conservativo.`Q `R
`C `B
œ
 J œ f0 Bß Ca b
 Q Bß C 3  R Bß C 4 œ 0 Bß C 3  0 Bß C 4a b a b a b a bB C
 Luego, por igualdad de vectores, Q Bß C œ 0 Bß C ß R Bß C œ 0 Bß Ca b a b a b a bB C
 
 Así,
 0 Bß C œ Î .BB
B  C
B # #
a b (
 ( (a b0 Bß C .B œ .B ? œ B  CB
B  C
B # #
# #
 .? œ #B.B
 ( (a b0 Bß C .B œ .?
#?
B
 0 Bß C .B œ 68 B  C  G C ""
#
a b a b a b¸ ¸# #
 0 Bß C œ  Î .CC
B  C
C # #
a b (
 ( (a b0 Bß C .C œ  .C ? œ B  CC
B  C
C # #
# #
 .? œ  #C.B
 ( (a b0 Bß C .B œ .?
#?
C
 0 Bß C .B œ 68 B  C  G B #"
#
a b a b a b¸ ¸# #
 De 1 y 2 se tienea b a b
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 , donde 0 Bß C œ 68 B  C  G G B œ G C œ G"
#
a b a b a b¸ ¸# #
2) <9> J œ
3 4 5
` ` `
`B `C `D
B/  D-9=C C/  D=/8C "  D
a b
â ââ ââ ââ ââ ââ ââ ââ â
 
BC BC #
 <9> J œ =/8Cß =/8Cß C /  B /  D=/8Ca b  ‘# BC # BC
3) D œ  B/# BC
 D  B/ œ !# BC
 
 0 Bß Cß D œ D  B/a b # BC
 0  "ß !ß " œ "  "/ œ !a b !
 Así el punto pertenece a la superficiea b "ß !ß " D œ  B/# BC
 0 Bß Cß D œ /  BC/ 0  "ß !ß " œ "B BC BCa b a b
 0 Bß Cß D œ B / 0  "ß !ß " œ "C # BCa b a b
 0 Bß Cß D œ #D 0  "ß !ß " œ #D a b a b
 Luego
 f0  "ß !ß " œ "ß "ß #a b a b
 Plano tangente Recta Normal
 a ba b"ß "ß # B  "ß C  !ß D  " œ ! œ œB  " C  ! D  "
" " #
 B  "  C  #D  # œ ! B  " œ C œ D  "
#
 B  C  #D  " œ !
4) Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales:
a) a bB  "  C œ B  ".C
.B
#
 .C " B  "
.B B  " B  "
 C œ
#
 .C " B  " B  "
.B B  " B  "
 C œ œ /
"
B  "
.Ba ba b (
.
 
 . œ /68lB"l
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 .C "
.B B  "
 C œ B  " œ B  ".
 C œ B  " B  " .B  G"
B  "
 ‘( a ba b
 C œ B  " .B  G"
B  "
 ‘( ˆ ‰#
 C œ  B  G" B
B  " $
 ‘$
 
b) a b a b/  C-9=B .B  B/  =/8B .C œ !C C
 Q œ /  C-9=B Ê Q œ /  -9=BC CC
 R œ B/  =/8B Ê R œ /  -9=BC CB
0 Bß C œ /  C-9=B .BB
Ca b a b(
0 Bß C œ B/  C=/8B  G C ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ "a b a b a bC
0 Bß C œ B/  =/8B .CC
Ca b a b(
0 Bß C œ B/  C=/8B  G B ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ #a b a b a bC
De y cona b a b a b a b a b" # 0 Bß C œ B/  C=/8B  G G B œ G C œ GC
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Departamento de Ciencias Básicas 
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Bibliografía
Autor Título Editorial
 
Thomas/Finney Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley
Ayres Frank Cálculo Diferencial e Integral Mc Graw -Hill
Protter-Morrey Cálculo con Geometría Analítica Adisson-Wesley
 
Louis Leithold El Cálculo con Geometría Analítica Harla
Marsden Jerrold Cálculo Vectorial Adisson Wesley
Spiegel murray Cálculo Superior Mc Graw -Hill
	I N D I C E
	Unidad 1:Sucesiones y Series.
	Unidad 2:Funciones de más de una variable
	Unidad 3:Derivadas Parciales
	Unidad 4:Integración Multiple
	Unidad 5:Campos Vectoriales
	Unidad 6:Ecuaciones Diferenciales
	Autoevaluación