DINAMICA CIRCULAR

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Jorge Mendoza Dueñas174
Concepto
Es una parte de la mecánica que estudia las condi-
ciones que deben cumplir una o más fuerzas que
actúan sobre un cuerpo, para que éste realice un
movimiento circular.
DINÁMICA CIRCULARDINÁMICA CIRCULARDINÁMICA CIRCULARDINÁMICA CIRCULARDINÁMICA CIRCULAR
FUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPETFUERZA CENTRÍPETAAAAA
Es la resultante de todas las fuerzas radiales que ac-
túan sobre un cuerpo en movimiento circular y vie-
ne a ser la responsable de obligar a dicho cuerpo a
que su velocidad cambie contínuamente de direc-
ción , dando origen a la aceleración centrípeta.
ac
v
R
=
2
ACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPETACELERACIÓN CENTRÍPETA (A (A (A (A (a
C
)))))
Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con
la cual cambia de dirección el vector velocidad.
áF mc c= a F m
v
Rc
=
2
La fuerza centrípeta
no es una fuerza real
como el peso, reac-
ción, tensión, etc., es
más bien una resul-
tante de las fuerzas en
la dirección del radio
en cada instante. Siendo así, dicha fuerza se pue-
de representar de la siguiente manera:
Fuerza Centrípeta: Resultante de Fuerzas Radiales
CASOS COMUNES
Analicemos el diagrama de cuerpo libre de un mó-
vil en movimiento circular en cuatro posiciones:
A,B,C y D, luego determinemos la fuerza centrípeta
en cada posición.
Fc = Σ fuerzas hacia el centro - Σ fuerzas hacia afuera
En el punto “A”:
En el punto “B”:
En el punto “C”:
En el punto “D”:
FUERZA CENTRÍFUGAFUERZA CENTRÍFUGAFUERZA CENTRÍFUGAFUERZA CENTRÍFUGAFUERZA CENTRÍFUGA
(SEUDO(SEUDO(SEUDO(SEUDO(SEUDO-FUERZA)FUERZA)FUERZA)FUERZA)FUERZA)
Esta “Fuerza” es mencionada en muchos libros,
pero realmente no existe.
Muchas personas afirman que la fuerza centrífuga
existe en algunos casos y se manifiesta como la
reacción de la fuerza centrípeta (acción); sin em-
bargo, todos sabemos que la tercera ley de Newton
(acción y reacción) sólo se cumple para fuerzas rea-
les (peso , reacción, tensión, etc) y no para resultan-
tes de varias fuerzas.
Muchos manifiestan que la fuerza centrípeta es la
que jala al cuerpo hacia el centro del circulo y la
centrífuga es la que jala hacia fuera del círculo; en
realidad esto es falso.
F mg Tc A= +
F Tc B=
F T mgc C= −
F T mgc D= − cos θ
La aceleración centrípeta se representa mediante
un vector dirigido hacia el centro del circulo.
Dinámica 175
− Un disco acoplado a un motor.
− Un medidor de frecuencia (R.P.M.)
− Un cilindro de aproximadamente 1 m de diá-
metro y una altura no mayor de 50 cm.
− Un borrador (determinar su peso en kg)
NOTA
Cuando se representa el diagrama de cuerpo libre, el lector no dibujará la fuerza centrípeta y menos aún
la “fuerza centrífuga”.
ILUSTRACIONES
EXPERIENCIA: DINÁMICA CIRCULAR
Demostrar que la fuerza centrípeta obliga a
un cuerpo a describir como trayectoria una
circunferencia.
OBJETIVO
MATERIAL A EMPLEARSE
NÚMERO DE ALUMNOS: Dos
1.- Colocar los materiales según la figura mostrada.
PROCEDIMIENTO
2.- Colocar el borrador en la pared interna del ci-
lindro, observar.
3.- Activar el disco lentamente.
Jorge Mendoza Dueñas176
4.- Colocar el borrador en la pared interna del ci-
lindro, observar.
5.- Si el borrador ha caído, aumentar la frecuen-
cia del disco, para luego volver a colocar el
borrador en la posición mostrada.
6.- Repetir el paso 5 hasta que el borrador no
caiga.
7.- Conseguido el objetivo, anotar la frecuencia
del disco (R.P.M.)
8.- Repetir todo el proceso cuatro veces más.
PREGUNTAS
1.- Completar la tabla
2.- Cuando el disco se encuentra estático y colo-
camos el borrador en la pared interna, ¿Por
qué cae? hacer su diagrama de cuerpo libre.
3.- Cuando el disco gira lentamente y colocamos
el borrador en la posición indicada, ¿Por qué
cae? hacer su diagrama de cuerpo libre.
4.- Cuando el disco gira lo suficiente para que el
borrador permanezca en su posición inicial.
¿Por qué no cae? se le ayudará proporcionán-
dole el diagrama de cuerpo libre del borrador.
5.- ¿Será la fuerza centrípeta la reacción normal
que empuja al borrador hacia el eje del cilin-
dro? Si - No.
6.- ¿Cuánto vale dicha fuerza centrípeta? (en tér-
minos de m = masa del borrador) recordar
Fc = mv
2/R.
7.- Sabemos que la fuerza de rozamiento se cal-
cula f = µN. Si el cilindro no gira, entonces no
hay fuerza centrípeta, luego la normal sería
cero (N = 0). ¿Hacia donde iría el borrador?,
¿Por qué? ¿Describiría una circunferencia
como trayectoria?
8.- En el momento que el borrador no cae, a que
es igual la fuerza de rozamiento.
A) mg D) 4mg
B) 2mg E) 5mg
C) 3mg
9.- Calcule el coeficiente µs entre el borrador y el
cilindro.
10.- ¿Es posible que el borrador suba cuando el
cilindro gira? experimente y comente.
f(RPM)
f(RPS)
ω = 2πf
(rad/s)
v = ωR
 (m/s)
1° vez 2° vez 3° vez 4° vez 5° vez Promedio
Dinámica 177
Fuerza eFuerza eFuerza eFuerza eFuerza externaxternaxternaxternaxterna
Fuerza Externa: Para que la carreta se mueva, es nece-
sario la presencia de una fuerza externa, en el presente
caso dicha fuerza se activará por intermedio del caballo.
Fuerza internaFuerza internaFuerza internaFuerza internaFuerza interna
Fuerza Interna: La niña trata de mo-
ver el coche, no cumplirá su cometi-
do ya que F es una fuerza interna.
Fuerza centrípetaFuerza centrípetaFuerza centrípetaFuerza centrípetaFuerza centrípeta
Las personas dentro de “la montaña rusa” en
movimiento perciben diferentes sensaciones
en su paseo circular, debido a la variación
contínua de la fuerza centrípeta.
Evidentemente las sensaciones más extraor-
dinarias se producen en la parte más alta y
baja del aparato dado que son los puntos en
donde la fuerza centrípeta alcanza valores
extremos.
La fuerza centrífugaLa fuerza centrífugaLa fuerza centrífugaLa fuerza centrífugaLa fuerza centrífuga
La Fuerza Centrífuga: Siempre que accionamos la licuadora
para hacer un jugo por ejemplo, observamos la presencia de
un cono hueco, ¿Por qué dicho hueco?
El líquido está conformado por partículas y éstas al entrar en
un movimiento circular tratarán de escapar tangencialmente de-
bido a la inercia: Seudo Fuerza Centrífuga; dicha “Seudo Fuer-
za” será mayor cuanto más grande sea el radio, motivo por el
cual se forma el “cono hueco”.
Ciencia y Tecnología 177
Jorge Mendoza Dueñas178
¿P¿P¿P¿P¿Por qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga?or qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga?or qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga?or qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga?or qué gira la piedra? - ¿Fuerza centífuga?
Cuando una persona hace girar
una piedra mediante una cuerda,
el brazo de la persona trata de es-
capar hacia afuera. ¿Fuerza cen-
trífuga?
El peso se anula con Tsenθ.
Mientras que Tcosθ es la
única fuerza radial y obliga a
la piedra a describir una cir-
cunferencia.
En este caso la fuerza cen-
trípeta es igual a Tcosθ
La tensión siempre se re-
presenta mediante un
vector jalando al cuerpo, por
lo tanto ¿Qué es lo que jala
a la persona ? Rpta. La ten-
sión, la cual si no es muy
grande se anulará con las
fuerzas de rozamiento (f).
DDDDD.C.L..C.L..C.L..C.L..C.L. (per (per (per (per (persona)sona)sona)sona)sona)
AAAAAuto en la curuto en la curuto en la curuto en la curuto en la cur vvvvva - ¿Fuerza centrífuga?a - ¿Fuerza centrífuga?a - ¿Fuerza centrífuga?a - ¿Fuerza centrífuga?a - ¿Fuerza centrífuga?
Cuando una persona se encuentra dentro de un auto
que se mueve en una trayectoria curva, ésta tiene la
sensación de ser empujada horizontalmente hacia
afuera, incluso puede ser lanzada hacia un costado.
¿Qué obliga al auto a no seguir en línea recta? Rpta.
Las fuerzas de rozamiento en las llantas, por este
motivo el auto se moverá en línea curva y la
sumatoria de las fuerzas de rozamiento compon-
drán la fuerza centrípeta.
Pero ¿Qué obliga a la persona a describir la misma tra-
yectoria curva? Rpta. Nada. “ Todo cuerpo que se mueve
en línea recta, seguirá así a no ser que fuerzas externas
lo impidan” (Ley de la Inercia).
¿Qué se hará para que la persona
no salgadisparada?
Se colocará una puerta la cual pre-
sionará a la persona hacia el cen-
tro del círculo.
En nuestro caso si no hay
puerta, el rozamiento en-
tre el asiento y el cuerpo
de la persona será tan
pequeño que no impedi-
rá que ella salga dispa-
rada ( por efecto de la
inercia).
DDDDD.C.L..C.L..C.L..C.L..C.L. (piedra) (piedra) (piedra) (piedra) (piedra)
Ciencia y Tecnología178
Dinámica 179
TESTTESTTESTTESTTEST
1.- Se debe ejercer una fuerza centrípeta sobre un cuer-
po para mantenerlo en movimiento.
a) Rectilíneo.
b) Con aceleración constante.
c) Con cantidad de movimiento constante.
d) Circular.
e) Uniforme.
2.- La fuerza centrípeta que actúa sobre un satélite en
órbita alrededor de la Tierra se debe a:
a) La gravedad. d) La pérdida de peso.
b) Los retro cohetes. e) Ley de la inercia.
c) Los cohetes.
3.- ¿A qué representamos con v2/r ? ¿Porqué?
a) Aceleración tangencial – mantiene la velocidad
constante.
b) Aceleración instantánea – cambia la dirección de
la velocidad.
c) Aceleración centrípeta – la palabra significa bus-
ca el centro.
d) Aceleración normal – cambia el valor de la velocidad.
e) Ninguna de las anteriores.
4.- En la ecuación F = mv2 /r, ¿ se sobrentiende que la
fuerza y la aceleración tienen la misma dirección y el
mismo sentido?
a) No – porque no cumple para todas las fuerzas.
b) Si – esto siempre es cierto para fuerzas resultan-
tes y aceleraciones.
c) Si – para algunos casos particulares.
d) No – solo para el movimiento unidimensional.
e) N.A.
5.- En la posición “A” dibuje los vectores que representan
la velocidad v, la aceleración a y la fuerza F que actúan
sobre m. Considere que el movimiento es en el senti-
do de las manecillas del reloj como se indica.
a)
b)
c)
d) e) N.A.
6.- Un artista de circo guía una
motocicleta por el lado inte-
rior de un cilindro rugoso ver-
tical. No se desliza hacia aba-
jo en dicho cilindro.
En el diagrama hemos indica-
do la fuerza gravitacional que
actúa sobre el artista y la mo-
tocicleta. Dibuje las fuerzas que se necesita para que
se mueva a lo largo de la circunferencia.
a) d) Imposible realizar.
b) e) Faltan datos.
c)
7.- ¿En un péndulo cónico tiene sentido hablar de la fuer-
za centrífuga?
a) No – porque las fuerzas de reacción se aplican
para fuerzas reales y no para las resultantes de
estos.
b) Si – porque es la reacción de la fuerza centrípeta.
c) No – porque no existe fuerza centrípeta.
d) Si – porque siempre existe.
e) A y D son correctas.
8.- Un motociclista recorre las paredes internas de una
esfera, en que punto sentirá mayor presión.
a) A
b) B
c) C
d) D
e) D y B
W
W
W
W
N
F
r
F
r
Fcf
Jorge Mendoza Dueñas180
T
mv
R
mgA
A= −
2
mv
R
mg TA A
2
= +
PROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELPROBLEMAS RESUELTOSTOSTOSTOSTOS
A problemas de aplicación
9.- Señalar con V
(verdadero) ó F
(falso).
El sistema gira
con velocidad an-
gular constante.
Las moscas repo-
san sobre A y B y
son de igual masa
“m”, (las moscas
están en las pare-
des internas).
( ) La fuerza centrípeta que soportan es mayor en la
mosca B.
( ) Las dos giran con la misma aceleración centrípeta.
( ) Entre las moscas existe una diferencia de fuerzas
radiales igual a mω2d
a) FVF
b) VFV
c) VFF
d) FFF
e) FFV
10.- Se suelta la esferita “m”
desde el reposo en A ,
por la superficie esfé-
rica lisa. Al pasar por B
el diagrama de fuer-
zas sobre “m” es:
a)
b)
c)
d)
e)
1.- Una masa de 10 kg, describe una trayectoria circular de
radio 1 m y con una velocidad constante de 10 m/s. Cal-
cular la fuerza (en Newton) que mantiene su trayectoria.
Solución:
La fuerza resultante que obliga al cuerpo a describir una
circunferencia, es la fuerza centrípeta.
Solución :
o En el punto “A”
Remplazando datos:
2.- Se hace girar una piedra en un plano vertical. Cuando
pasa por el punto “A” tiene una velocidad de 10 m/s,
en “B” tiene una velocidad de 15 m/s y en “C” 20 m/s.
Calcular la tensión en A, B y C sabiendo que m = 4 kg
R = 2 m ( g= 10 m/s2).
F
mv
R
Fc c= ⇒ =
2 210 10
1
b gb g F mg Tc A= +
T NA =160
F Nc = 1 000
Dinámica 181
T
mv
R
T NB
B
B= ⇒ =
2
450
o En el punto “B”:
o En el punto “C”:
F Tc B=
T mg Fc c− =
3.- Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente en
un plano vertical. Si la diferencia entre la tensión máxi-
ma y la tensión mínima de la cuerda es igual a 10 Newton.
¿ Cuál es la masa de la piedra? (considera g = 10 m/s2).
Solución:
F T mgc = +min
mv
R
T mg
2
= +min ........... (1)
mv
R
T mg
2
= −max ........... (2)
0 2= − −T T mgmax min
2mg T T= −max minb g
2 10 2 10 10mg m= ⇒ =b g
4.- Un carrito de masa “m” se desplaza con una velocidad
“v” sobre una pista cóncava de radio “R” como se mues-
tra en la figura. Determinar la fuerza que ejerce el ca-
rrito sobre la pista en el punto más bajo (g es la acele-
ración de la gravedad).
Solución:
El valor de la fuerza que ejerce el carrito sobre la pista es
el mismo que la pista le ejerce al carrito:
5.- A un vaso con aceite se le hace describir un movimien-
to circular uniforme, mediante un hilo de 2,5 m de lon-
gitud. El movimiento se realiza en un plano vertical.
Calcular la velocidad angular mínima con la que debe
girar el vaso para que no caiga el aceite (g = 10 m/s2).
Solución:
Para que la velocidad sea mínima, la tensión en la
cuerda deberá ser nula.
o En la parte más alta:
Pero: T = 0
F N mg
mv
R
N mgc = − ⇒ = −
2
N mg
mv
R
= +
2
F mg Tc = +
m R mgω2 =
F Fc radiales= Σ
1.- Se muestra un auto venciendo la gravedad, si se co-
nocen: “µ”, “R”
y “g”. ¿Cuál es
el valor de la
v e l o c i d a d
(cte), para
que el auto
no caiga?
B problemas complementarios
T
mv
R
mg T Nc C
C= + ⇒ =
2
840
F T mgc = −max
o Tensión mínima: Punto A
o Tensión máxima: Punto B
o (2) en (1):
m kg= 0 5, ω ω= = ⇒ =g
R
rad s
10
2 5
2
,
/
Jorge Mendoza Dueñas182
Solución:
o Verticalmente: (equilibrio)
o Horizontalmente:
o De (1) y (2)
F mg=
µN mg= ............ (1)
F F Nc radiales= =Σ
mv
R
N
2
= ............ (2)
µ µ= ⇒ =gR
v
v gR
2
2
v
gR=
µ
2.- ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre las llan-
tas de un auto de 1 000 kg y la calzada, si la velocidad
máxima con que
puede desarrollar
una curva es 50 m
de radio, sin pati-
nar, es de 72 km/h?
(g = 10 m/s2).
Soluci ón:
La fuerza que obliga
al auto a dar la vuel-
ta es la fuerza centrí-
peta y ésta es conse-
cuencia de por lo
menos una fuerza
real y radial ( fuerza
de rozamiento)
o Verticalmente:
o Horizontalmente:
D.C.L. (auto)
D.C.L. (auto)
N mg= ........... (1)
f
mv
R
=
2
µN mv
R
=
2
........... (1)
........... (2)
o De (1) y (2):
3.- Una esferita rueda
con una velocidad
“v” a lo largo de una
circunferencia hori-
zontal dentro de un
cono hueco, tal
como se muestra.
Determinar “v” en
función de “y”.
Solución:
De la figura:
o Verticalmente:
o Horizontalmente:
o (1) : (2)
µ = v
gR
2
g m s=10 2/ R m= 50;
µ µ= ⇒ =
20
10 50
0 8
2b g
b gb g ,
;
tanθ = R
y
ΣF= 0
........... (1)
F
mv
Rc
=
2
........... (2)
4.- Un cuerpo descansa
sobre una platafor-
ma horizontal, y se
encuentra a 2 m del
eje; si µ = 0,20. Calcu-
lar la velocidad angu-
lar máxima de la pla-
taforma para que el
cuerpo no salga dis-
parado (g = 10 m/s2).
tanθ = gR
v2
R
y
gR
v
v gy= ⇒ =
2
Nsen mgθ =
N
mv
R
cos θ =
2
v km h m s= =72 20/ /20 m/s
Dinámica 183
Solución:
La fuerza que obliga al cuerpo a describir una circun-
ferencia es la fuerza centrípeta y ésta es consecuen-
cia de por lo menos una fuerza real y radial (fuerza de
rozamiento).
o Verticalmente:
o Horizontalmente:
o (2) : (1)
D.C.L. ( cuerpo)
ΣF = 0
F m rc = ω
2
µ ωN m r= 2 ...... (2)
...... (1)N mg=
µ
ω
ω
µ
= ⇒ =
2r
g
g
r
5.- Una piedra de masa 4 kg se hace girar en un plano hori-
zontal mediante una cuerda de 50 cm, la resistencia a la
rotura de la cuerda es 200 N. ¿ Cuál es la máxima veloci-
dad angular a la que se podrá hacer girar la piedra?
Solución:
o Horizontalmente:
D.C.L. (piedra)
T Nmax = 200
F Tc =
m r Tω ω2 200
4 0 5= ⇒ =max ,b gb g
ωmax /=10rad s
6.- Una bolita se encuentra atada a una cuerda y gira en
un plano vertical, si en el instante mostrado su veloci-
dad tangencial es de 4 m/s. ¿Cuál es la tensión de la
cuerda? (m = 7 kg ; g = 10 m/s2).
Solución:
7 4
2
7 10
1
2
2b g b g= − FHG
I
KJT
7.- Un motociclista efec-
túa un movimiento
circular muy peligro-
so, con un radio de
4 metros. ¿ Cuál debe
ser su velocidad míni-
ma que debe tener
para no caer? El coefi-
ciente de fricción en-
tre las llantas y la pis-
ta es 0,5 (g = 10 m/s2).
Solución:
o Verticalmente:
Para que no caiga:
o Horizontalmente:
o (1) : (2)
f mg=
µN mg= ............ (1)
F
mv
Rc
=
2
N
mv
R
=
2
............ (2)
µ = ⇒ =gR
v
v
2
10 4
0 5
b gb g
,
v m s= 8 94, /
Dato:o
ΣF= 0
f m r= ω2
ω ω= ⇒ =
0 20 10
2
1
,
/
b gb g
rad s
F T mgc = − °cos 60
mv
R
T mg
2
60= − °cos
T N= 91
D.C.L. (motociclista)
Jorge Mendoza Dueñas184
8.- Dos esferitas se encuentran unidas mediante un ca-
ble del modo como se muestra en la figura, despre-
ciando todo tipo de
fricción determinar con
qué velocidad angular
constante debe girar la
esferita “1” para que la
esferita “2” permanezca
en equilibrio.
(m2 = 5m1; g = 10 m/s
2).
Solución:
o Equilibrio vertical (m2):
o Luego: (β) = (α)
D.C.L. (m2)
T m g= 2
o Horizontalmente (m1): D.C.L. (m1)
......... (α)
F Tc =
......... (β)
9.- Calcular la velocidad angular del anillo de masa”m” que
gira en torno al eje mostrado. El anillo está sujeto por
un cable inextensible (g = 10 m/s2).
m r m g1
2
2ω =
m r m g1
2
15ω = b g
o Verticalmente:
o Horizontalmente:
o (2) : (1)
Nótese que la ten-
sión es la misma
por ser la misma
cuerda, ya que pasa
por un anillo.
Cálculo del radio “R”
......... (1)
......... (2)
ω ω= ⇒ =
10
18
5
5
3
ω ω2 = ⇒ =g
R
g
R
Solución:
m r T1
2ω =
R sen m= ° =6 37 18
5
ΣF = 0
mg T T= ° + °cos cos53 37
mg T= ° + °cos cos53 37b g
m R Tsen Tsenω2 53 37= ° + °
m R T sen senω2 53 37= ° + °b g
F m Rc = ω
2
ω2 53 37
53 37
4
5
3
5
3
5
4
5
1
R
g
sen sen
= ° + °
° + °
=
+
+
=
cos cosω ω= = ⇒ =5
2
5
2
10 5g rad sb g /
rad/s
Dinámica 185
1.- En la figura, “A” es una rueda
motriz de 4 m de radio,”B”
es una rueda movida por
fricción y tiene un radio de
0,5 m. En qué relación están
sus aceleraciones centrípe-
tas? acp (A) / acp (B) = ??
Rpta.
2.- Un bloque gira en un plano horizontal atado a una cuer-
da de 0,1 m de longitud. Calcular la velocidad angular
máxima si se sabe que la máxima tensión en la cuerda
sin romperse es de 9 veces su peso (g = 10 m/s2).
Rpta. 30 rad/s
3.- Un piloto de 80 kg de masa quiere hacer un lazo de
30 m de radio con una velocidad de 50 m/s. Deter-
minar la reacción mínima sobre el asiento del pilo-
to en Newton (g = 10 m/s2).
Rpta. 5 866,7 N
4.- En la figura se muestra una plataforma lisa, en la cual
se ha colocado un cuerpo de 2 kg unido a un resorte
de constante igual a 20 N/cm. Si la plataforma está gi-
rando a razón de 20 rad/s. Determinar la deformación
del resorte.
Rpta. 8 cm
5.- Una esferita unida a un hilo de longitud “R” se le hace
girar en un plano vertical a partir del extremo libre del
hilo. Encontrar una relación entre la velocidad angular,
g y R , para la cual la cuerda siempre permanezca tensa.
Rpta.
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
A problemas de aplicación
6.- Estando un resorte ingrá-
vido no deformado y el ta-
blón girando, se une a su
extremo un bloque pe-
queño. Encontrar una re-
lación entre la velocidad
angular, K y m, para la cual
el resorte no se deforme
ilimitadamente.
Rpta.
7.- Un avión da “una vuelta mortal” de radio igual a 500 m,
a una velocidad constante de 360 km/h. Hallar el peso
del piloto en el punto superior si su masa es de 70 kg
(g = 10 m/s2).
Rpta. 700 N
8.- Una piedra atada a una cuerda gira uniformemente (ve-
locidad angular cte) en un plano vertical. Encontrar la
masa de la piedra, si la diferencia entre la tensión máxi-
ma y mínima en la cuerda es 20 N ( g = 10 m/s2).
Rpta. 1 kg
9.- Un cuerpo de 5 kg de masa atado a un cable de 1 m
de longitud gira en un plano vertical constante con
una velocidad tangencial de 10 m/s. Si la tensión mí-
nima del cuerpo es 450 N y la máxima 550 N. Hallar la
tensión en “c” (g = 10 m/s2).
Rpta. 500 N
10.- Una esfera de masa “M” se sujeta a una cuerda de lon-
gitud “L”, haciéndola girar en un circulo horizontal, for-
mando la cuerda un ángulo “α” con la vertical. Deter-
minar la velocidad angular de la esfera.
Rpta.
1
8
ω > g
R
ω < K
m
ω
α
= g
Lcos
Jorge Mendoza Dueñas186
B problemas complementarios
1.- Acerca de la fuerza centrípeta, es falso que:
a) Es una fuerza resultante radial.
b) Es necesario para que exista movimiento circular.
c) Origina una aceleración normal ó centrípeta.
d) Determina cambios en la dirección de la velocidad.
e) Origina cambios en el módulo de velocidad
tangencial de los cuerpos que realizan movimien-
to circular.
Rpta. E
2.- Una esfera de 0,5 kg, es
soltada en el punto A. Si
al pasar por B y C tiene
rapidez de 5 m/s y 3 m/s
respectivamente. Calcu-
lar las reacciones nor-
males en dichos puntos
(g = 10 m/s2).
Rpta.
3.- Una cuerda de longitud 60 cm cuya resistencia de ro-
tura es 100 kg hace girar a un objeto de 8 kg en un
plano horizontal.
¿Cuál es la máxi-
ma velocidad que
puede comuni-
carse a dicho ob-
jeto (g = 10 m/s2).
Rpta.
4.- Que velocidad mínima será necesaria darle a un móvil
que está atado a una cuerda para que describa una tra-
yectoria circular vertical en la parte superior? ( R = 5 m)
(g = 10 m/s2).
Rpta. 7 m/s
5.- Un automóvil se desplaza en una pista horizontal de
200 m de radio. ¿Con qué rapidez máxima se puede
desplazar dicho automóvil en dicha pista? El coeficien-
te de rozamiento entre la pista y los neumáticos es 0,8
(g = 10 m/s2).
Rpta. 40 m/s
6.- Determinar la velocidad que debe tener un tren sobre el
Ecuador terrestre, de manera que no exista fuerza de con-
tacto entre el tren y el camino, RT = 6 400 km.
Rpta. 8 km/s
7.- Calcular la máxima velocidad
angular con la cual puede gi-
rar el sistema tal que el anillo
se encuentre a una distancia
de 0,5 m respecto del vértice
“O”. El coeficiente de roza-
miento estático entre el anillo
y la barra es 0,5 (g = 10 m/s2).
Rpta.
8.- Dos esferas de 1 kg, cada uno están unidos por una cuer-
da de 0,5 m de longitud y una de ellas mediante otra
cuerda de 0,5 m unida a un eje vertical que gira con
velocidad an-
gular constante
de 10 rad/s. Cal-
cular las tensio-
nes que sopor-
tan cada cuer-
da cuando las
esferas giran en
un plano hori-
zontal liso.
Rpta. T1 = 150 N ; T2 = 100 N
9.- Dos bolas idénticas unidas por un hilo de longitud
”L = 10 m” se mueven con velocidades iguales “v” por
una mesa horizontal lisa. El centro del hilo choca contra
un clavo. ¿Cuál será la tensión del hilo en el instante que
éste haga contacto con el clavo? las velocidades de las
bolas forman un ángulo de 30° respecto al hilo y la masa
de las bolas es m = 1 kg, v = 10 m/s.
Rpta. 5 N
10.- Un péndulo doble gira alrededor del eje vertical, de ma-
nera que los hilos ya-
cen en un mismo pla-
no y forma con la verti-
cal, ángulos constantes
de 37º y 53º. Las longi-
tudes de los hilos son
iguales a 5 m ¿Cuál es
la velocidad angular de
rotación del péndulo?
Rpta. ω = 1,38 rad/s
R N
R N
B
C
=
=
165
8
45
8
5 3
5 2 rad/s
m/s